DLUHOPISY-Teorie a Praxe -...

1

Teorie a praxe dluhopisů

Ing. B.Stádník Ph.D.

2

Obsah Úvod do matematiky dluhopisů Spojité úročení Teorie Řešené příklady Vnitřní výnosové procento a investice Teorie Souvislost se složeným úročením Vyjádření vnitřního výnosového procenta Vnitřní výnosové procento na různé bázi Přechod mezi bázemi Praktické výpočty vnitřního výnosového procenta Souvislost se spořením Souvislost s důchody Souvislost s reinvesticí CF1, CF2, ... CFn Investice v období mezi cash flow Investice bez splatnosti Investice bez splatnosti-investice v období mezi cash flow Výnosy s lomenými exponenty Souvislost lomených exponentů s vnitřním výnosovým procentem Kombinované výnosy Rozdílná úroková míra pro jednotlivá období mezi cashflow Rozdílná úroková míra pro jednotlivá cashflow po celou dobu investice Řešené příklady Parametry dluhopisů Obecná charakteristika typického dluhopisu Základní parametry dluhopisů Označení dluhopisu Konvence pro počítání časových intervalů (Day Count Convention) Charakter úrokového výnosu Vztah mezi kupónovou sazbou a kupónovou výplatou Odchýlená perioda prvního kupónu (Odd First Coupon) Vyjádření ceny Splácení kupónových výplat (splátkový kalendář) Doba do splatnosti (Time/Term to Maturity) Dluhopisy bez splatnosti (Perpetual Bonds) Doba života dluhopisu (Time of Living) Denominace (denomination) Emitent, typ emitenta (issuer, debtor) Další práva držitele a emitenta Zajištění proti inflaci Forma dluhopisu Způsob převoditelnosti Vztah cena/výnos Kalkulace výnosů u dluhopisů

3

výnos do splatnosti (Yield to Maturity), ISMA Method US Street Convention True Yield Spojité úročení U.S. Treasury Convention Braeß/Fangmeyer, Moosmüller Yield Japanese Simple Yield (JGB Simple) Money Market Yield Kupónová výnosnost Běžná výnosnost (Current Yield) Rendita (adjusted current yield) výnos s reinvesticí kupónů Výnos bezkupónových dluhopisů Výnos u dluhopisů bez splatnosti Výnos u dluhopisů s variabilní kupónovou sazbou Procentní vyjádření ceny dluhopisu Citlivost ceny dluhopisů na úrokovou míru Macaulayova durace (Macaulay Duration) kupónového dluhopisu Macaulayova durace bezkupónového dluhopisu Macaulayova durace dluhopisu bez splatnosti Konvexita dluhopisu Měnící se citlivost Použití Macaulayovy durace pro odhad změny tržní ceny Modifikovaná durace (Modified Duration) BPV(Basis Point Value, DV01) Citlivost ceny u dluhopisu s variabilním kupónovou sazbou Změna celkové bilance výnosu z dluhopisu při změně vnitřního výnosového procenta Durace (Macaulyova) portfolia Imunizace portfolia Celková cena dluhopisu (Dirty Price, Total Price) Kotovaná cena dluhopisu (Clean Price, Quoted Price) AÚV, alikvotní úrokový výnos (Accrued Interest) Obchodování s dluhopisy Trhy dluhopisů Rizika spojená s obchodováním s dluhopisy Likvidita Riziko emitenta dluhopisu Rating Vývoj tržní ceny dluhopisu Pravděpodobnostní rozdělení výnosů Teorie popisující vývoj tržní ceny likvidních investičních instrumentů Teorie efektivních trhů Moderní teorie finančních trhů Ekonomické ukazatele ovlivňující tržní cenu Korelace s akciemi Flying to Quality,Flying to Safety Shrnutí o vývoji tržní ceny Dluhopisové futures kontrakty

4

Conversion Factor , Cheapest to Delivery Zajištění dluhopisového portfolia pomocí futures kontraktů Oceňování dluhopisů Stanovení běžné úrokové sazby pomocí bezkupónových dluhopisů Oceňování typického kupónového dluhopisu pomocí běžných úrokových sazeb Stanovení běžné úrokové sazby pomocí kupónových dluhopisů (Bootstapping) Oceňování typického kupónového dluhopisu pomocí IRS (Interest Rate Swap) Řešené příklady Použitá literatura

5

Úvod Teorie a praxe dluhopisů pojednává o jednom z nejvýznamnějších investičních instrumentů finančních trhů. V textu je vedle pojednání o praktických aspektech nakládání s dluhopisy kladen důraz i na jejich matematický popis, který je nezbytný pro pochopení všech souvislostí. V první části jsou ujednoceny a rozvedeny některé záležitosti finanční matematiky, které jsou v praxi na dluhopisy aplikovány. Druhá část je podrobným rozborem parametrů dluhopisů, včetně nejrůznějších užívaných způsobů kalkulace výnosů a citlivosti ceny na úrokovou míru. V třetí části se zabýváme obchodováním s dluhopisy, jeho riziky, vývojem jejich tržní ceny a faktory, které ji ovlivňují. Podrobněji se věnujeme i současným modelům finančních trhů, které lze na vývoj tržní ceny dluhopisů aplikovat. Ve čtvrté části pojednáváme o oceňování dluhopisů. V textu se nachází řada řešených příkladů pro lepší porozumění. Jelikož je dluhopis celosvětovým investičním instrumentem je za českým pojmem v závorce uveden i příslušný pojem v angličtině.

6

Úvod do matematiky dluhopisů Spojité úročení Teorie Spojité úročení připisuje úrok v nekonečně malých intervalech a je teoretickým limitním případem, ke kterému lze dospět při zvyšování připisovací frekvence úroků do nekonečna. Základním vztahem je:

niePVFV (45) kde i…………………… vnitřní výnosové procento, vyjádřené jako úroková míra za období n............................... počet období PV............................ současná hodnota (počáteční částka) FV............................ budoucí hodnota (zúročená částka) Vztah je možné odvodit s použitím:

en

n

n

11lim

následovně (viz též Finanční matematika pro každého):

ni

ni

m

m

mn

me

imm

i

11lim1lim

kde m............................... počet úrokovacích období za období n Při praktických výpočtech při úročení za určitý počet dní lze vztah (45) modifikovat, například do podoby (50)

die

ePVFV

365 (50) kde ie…………………… vnitřní výnosové procento, vyjádřené jako roční (p.a.) d............................... počet dní úročení při konvenci 1 rok=365 dní

7

Vztah lze odvodit následovně:

di

dii

m

e

m

mde

m

e

e

e

e

imm

i365

365365

36511lim3651lim

Řešené příklady: Příklad 101 Vypočítejte velikost úroku při spojitém úročení za 122 dní při úrokové sazbě id=0.01% za den z částky 200000 CZK. Řešení:

202454.94200000 1220001.0 eePVFV did Z toho úrok je roven 202454.94-200000 = 2454.94 CZK. Příklad 102 Vypočítejte velikost úroku při spojitém úročení za 122 dní při úrokové sazbě 0.01% za den z částky 200000 CZK. Porovnejte výsledek úročení částky 200 000 CZK za 122 dní při spojitém úročení, úročení s denním úrokovacím obdobím a jednoduchým úročení. Uvažujte úrokovou sazbu 0.01% za den. Řešení: Spojité úročení podle příkladu 102:

202454.94200000 1220001.0 eePVFV did Úročení s denním připisováním úroků:

202454.82)0001.01(200000)1( 122 ddiPVFV

Jednoduché úročení:

202440)0001.01221(200000)1( didPVFV Příklad 103

8

Na jakou částku se zúročí 555000 USD spojitým úročením při úrokové sazbě i=3.5% p.a. za 380 dní. Uvažujte, že rok má 365 dní. Řešení:

575596.26555000 365380035.0

365

eePVFVd

ie

Příklad 104 Jakou částku obdržím po 18 měsících spojitého úročení, jestliže nejprve uložím 100 EUR a po 13 měsících vyberu 50 EUR, ie=5% p.a. Jakou částku obdržím ve stejném případě při jednoduchém úročení? Řešení: Při jednoduchém úročení bude výsledná částka:

46.56)05.01251(50)05.0

12181(100 FV

První člen lze interpretovat jako jednoduchým úročením zúročenou částku 100 EUR po 18 měsících a druhý člen jako snížení výsledné částky o 50 EUR včetně úroků za 5 měsíců. V případě spojitého úročení:

73.565010005.0

12505.0

1218

eeFV Vnitřní výnosové procento a investice Teorie Vnitřní výnosové procento je úroková míra, známá též pod pojmem IRR (Intrernal Rate of Return). Jeho výpočet vyplývá z definice rovnice budoucích diskontovaných finančních toků, ve které je souvislost mezi současnou hodnotou PV, budoucími finančními toky CF1, CF2, ... CFn a vnitřním výnosovým procentem i dána vztahem (55). Vnitřní výnosové procento je ve vztahu vyjádřeno jako úroková míra za období mezi jednotlivými budoucími finančními toky, které přicházejí v pravidelných časových intervalech. Typickou interpretací vztahu (55) je investice, kdy investujeme částku o velikosti PV na n období, ze které nám plynou budoucí finanční toky CF1, CF2, ... CFn. Vnitřní výnosové procento investice je pak i.

9

nn

iCF

iCF

iCF

iCFPV

)1(...

)1()1()1( 33

22

11

(55)

i…………………… vnitřní výnosové procento vyjádřené k časovému období mezi jednotlivými cash flow, úrokovací období je rovné období mezi dvěma cashflow CF1, CF2, ... CFn … budoucí cash flow PV ………………… současná hodnota n .............................. počet období do posledního budoucího finančního toku Souvislost se složeným úročením Současnou hodnotu PV, kterou může být například investice do dluhopisu, si lze představit jako součet několika investic o hodnotách PV1, PV2, ... PVn o celkové hodnotě PV, přičemž každá dílčí investice se zúročí složeným úročením v jeden z budoucích finančních toků CF1, CF2, ... CFn.. Rovnice (60).

nn

n iCF

iCF

iCF

iCFPVPVPVPVPV

)1(...

)1()1()1(... 3

32

21

1321

(60)

Vyjádření vnitřního výnosového procenta Vnitřní výnosové procento lze vyjádřit jako např. roční, denní, měsíční atd. Nejedná se o bázi výnosového procenta (viz. níže), která vyjadřuje období, po kterém se připíše úrok, ale pouze o velikost úroku za období, za které je vyjádřeno. Je-li i vyjádřeno jako roční, pak jeho vyjádření jako měsíční, popřípadě denní je rovno i/12, popřípadě i/365. Pro srovnání ve vztahu (63) je idd vyjádřeno jako denní a ve vztahu (75) je id vyjádřeno jako roční, přičemž se jedná o výnosové procento na denní bázi a platí že idd=365 id.

36536533

36522

3651

)1(...

)1()1()1(

n

dd

n

dddddd iCF

iCF

iCF

iCFPV (63)

Vnitřní výnosové procento na různé bázi Složené úročení připisuje úrok jednou za zvolené období, které je v případě vztahu (55) rovné časovému intervalu mezi budoucími finančními toky. Počet úrokovacích období lze však měnit v závislosti na jeho délce (báze úrokovacího období), kdy báze může být roční, měsíční, denní popřípadě spojitá, avšak počet úrokovacích období mezi okamžikem PV a CF1, CF2, ... CFn. musí být přirozené číslo.

10

Rovnici (55) lze za předpokladu, že časový interval mezi budoucími finančními toky je jeden rok a jeden rok je i doba je do prvního finančního toku, přepsat například do tvarů (65), (70), (75), (80). Všechny uvedené možnosti lze považovat za správné.

ne

n

eee iCF

iCF

iCF

iCFPV

)1(...

)1()1()1( 33

22

11

(65)

ie …………………… vnitřní výnosové procento vyjádřené jako roční na roční bázi

nin

iii pppp

CFCFCFCFPV

2

16

21

34

21

22

21

1 ... (70)

ip …………………… vnitřní výnosové procento vyjádřené jako roční na půlroční bázi

365

3651

3653

3651

33652

3651

2365

3651

1 ...

nin

iii dddd

CFCFCFCFPV (75)

id…………………… vnitřní výnosové procento vyjádřené jako roční na denní bázi

365365

3653653

3

3653652

2

365365

1 ...ssss in

niii

e

CF

e

CF

e

CF

e

CFPV

(80)

is…………………… vnitřní výnosové procento vyjádřené jako roční na spojité bázi Za předpokladu, že CF1 = CF2 = CF2 =...= CFn =CF přechází vztah (60) na vztah (85)

i

iCFPVn

11

(85)

Přechod mezi bázemi

11

Přechod mezi bázemi lze uskutečnit pomocí vztahu (88) odvozeného z rovnosti FV (87)

365

36511

ndn

eiPViPV (87)

1365

1365

d

eii (88)

Dosazením (88) do (65) dostáváme (65) Jestliže potřebuje převést vnitřní výnosové procento na roční bázi ie na spojitou bázi is, vyjdeme z rovnice:

sie ei 1

po úpravě pak:

)1ln( es ii Praktické výpočty vnitřního výnosového procenta Analytický výpočet vnitřního výnosového procenta vede obecně k řešení obecné rovnice n-tého stupně, která od 5. stupně analytické řešení nemá a je nutné ji řešit numericky. Souvislost se spořením Rovnici (65) lze transformovat do tvaru (92), kterou lze interpretovat následovně. Částku PV necháme úročit složeným úročením po n úrokovacích období. Vždy na konci období odebereme částku CF1, CF2, ... CFn. až do nulového zůstatku.

0...)1()1()1()1( 33

22

11

nn

rn

rn

rn

r CFiCFiCFiCFiPV (92) Souvislost s důchody Rovnice (55) je též rovnice důchodová, kde CF1, CF2, ... CFn jsou důchodové výplaty a PV investovaná částka. Souvislost s reinvesticí CF1, CF2, ... CFn Rovnici (55) lze taktéž přepsat do podoby (94), kterou lze interpretovat následovně.

12

Levá strana rovnice představuje zúročenou hodnotu PV po n obdobích složeným úročením s úrokovacím obdobím rovném časovému intervalu mezi jednotlivými budoucími finančními toky. Pravá strana rovnice (94) vyjadřuje součet zúročených budoucích finančních toků složeným úročením, přičemž CF1 se úročí po n-1 období , tedy od počátku jeho vzniku do konce n-tého období, CF2 se úročí po n-2, opět do konce n-tého období. Situaci je možné interpretovat jako reinvestici budoucích finančních toků na úrokovou sazbu i do konce n-tého období. Jelikož se levá strana rovnice rovná pravé, lze konstatovat, že PV, zúročená složeným úročením, je rovna součtu složeným úročením zhodnocených budoucích finančních toků o stejné úrokové sazbě i a stejném úrokovacím období.

nnnnn CFiCFiCFiCFiPV ...)1()1()1()1( 3

32

21

1 (94) Investice v období mezi cash flow Jestliže mezi počátkem investice a prvním budoucím finančním tokem CF1 není stejně dlouhé období jako mezi jednotlivými budoucími toky, je nutné ve smyslu vnitřního výnosového procenta zavést tak dlouhé úrokovací období, aby počet úrokovacích období mezi současností a CF1 a současně mezi jednotlivými CF bylo přirozené číslo. Řešení bývá obvykle více. Je-li například 18 dní do prvního budoucího finančního toku a interval mezi budoucími toky je 1 rok, lze použít vztah (91) popřípadě (92). Obě možnosti lze považovat za správné.

36518

3651

365218

3651

336518

3651

218

3651

1 ...

nin

iii dddd

CFCFCFCFPV (91)

id…………………… vnitřní výnosové procento vyjádřené jako roční na denní bázi

36536518

365365218

3

36536518

2

36518

1 ...ssss i

n

niii

e

CF

e

CF

e

CF

e

CFPV

(92)

is…………………… vnitřní výnosové procento vyjádřené jako roční na spojité bázi Pro CF1 = CF2 = CF2 =...= CFn =CF lze vztah (91) zjednodušit na vztah (93).

11

11

365

3651

365

3651

18

3651

d

d

d

i

ni

i

CFPV (93)

13

Investice bez splatnosti Jestliže nepředpokládáme ukončení investice, je vztah mezi PV, CF1, CF2, ... CF a i limitní záležitostí pro n jdoucí do nekonečna (94). Investice bez splatnosti má reálnou interpretaci například na skutečně existující dluhopisy bez splatnosti, popřípadě s extrémní dobou do splatnosti, anebo například v modelech pro ocenění akcií.

nn

oon iCF

iCF

iCF

iCFPV

)1(...

)1()1()1(lim 3

32

21

1

(94)

Pro CF1 = CF2 = CF2 =...= CFn =CF

roon i

CFPV

lim (95)

Investice bez splatnosti-investice v období mezi cash flow Je-li například 18 dní do prvního budoucího finančního toku a interval mezi budoucími toky je 1 rok, lze použít vztah (96).

36518

21

365218

21

336518

21

218

3651

1 ...lim

nin

iiioon dddd

CFCFCFCFPV (96)

Pro CF1 = CF2 = CF2 =...= CFn =CF

1365

1

18365

3651

365

3651

18

3651

36511

1lim

d

d

d

d i

i

i

ioonCFCFPV (97)

Výnosy s lomenými exponenty Výnosy s lomenými exponenty nejsou obecně v souladu se složeným úročením a tedy s konstrukcí vnitřního výnosového procenta, jelikož tímto způsobem prakticky složené úročení aplikovat nelze. Jejich interpretace je velmi obtížná, přesto se používají např. pro výpočet RPSN, popřípadě v USA pro výpočet výnosů u dluhopisů. Rovnici (55) by za použití výnosů s lomeným bylo možné přepsat do podoby (98), která vystihuje například příchod dvou budoucích cashflow vždy za období 1 rok, předpokládáme-li io vyjádřenou jako roční. io

14

pak odpovídá efektivní úrokové míře složeného úročení, na kterou však úročit prakticky nelze.

223

3

22

2

21

1

)1(...

)1()1()1(n

o

n

ooo i

CF

i

CF

i

CF

i

CFPV

(98)

Je-li například 5 dní do prvního budoucího finančního toku a interval mezi budoucími toky je 1/2 rok, lze použít vztah (99).

1801805

18018025

3

1801805

2

1805

1

)1(...

)1()1()1(

n

od

n

ododod i

CF

i

CF

i

CF

i

CFPV (99)

Souvislost lomených exponentů s vnitřním výnosovým procentem

36518

3651

365218

3651

336518

3651

218

3651

1 ...

nin

iii dddd

CFCFCFCFPV (99a)

Rovnici (99a) můžeme pomocí ir vyjádřit jako (99b), popřípadě pomocí iq (99c).

365365318

365365218

3

36536518

2

36518

1

)1(...

)1()1()1(

r

n

rrr i

CF

i

CF

i

CF

i

CFPV (99b)

9036518

4190

36518

41

3

9036518

41

2

9018

41

1 ...

qqqq i

n

iii

CFCFCFCFPV (99c)

Pro vztahy mezi ir , iq , id platí:

1365

1365

d

rii (99d)

14

14

q

r

ii (99e)

15

S využitím výše uvedených vztahů lze vypočítat RPSN. RPSN (roční procentní sazba nákladů) je úroková sazba na roční bázi. Dochází-li například k pravidelným splátkám jednou za měsíc, lze počítat vnitřní výnosové procento například v MS Excel na měsíční bázi a požadované RPSN pak vypočítat jako příslušnou efektivní úrokovou míru. Kombinované výnosy V případě kombinovaných výnosů uvažujeme kombinaci složeného a jednoduchého úročení během doby do posledního cash flow, popřípadě do ukončení doby investice. Můžeme například uvažovat, že během období do prvního cash flow budeme investici úročit jednoduchým úročení a po zbytek období pak úročením složeným. Tento přístup je oblíbený například v případě dluhopisů. Rovnice pro PV pak nabývá podoby (100).

12 1365

11365

1

3

1365

1

2

3651

1 ...

n

komkomkomkomkomkomkomiid

n

iidiidid

CFCFCFCFPV (100)

ikom………………… kombinovaný výnos (jednoduché a složené úročení) vyjádřený pro období mezi jednotlivými cahflow Po úpravách obdržíme:

12 113

12

1

3651

...1n

komkomkomkom

in

iiid

CFCFCFCFPV (101)

V případě že CF1 = CF2 = CF2 =...= CFn =CF lze vztah (101) dále zjednodušit na:

12 111365

1

1...111 nkomkomkom

komiii

id

CFPV

a dále zjednodušit na:

11

11

1

1

3651

kom

nkom

komi

i

id

CFPV

16

V případě, že budeme uvažovat například pololetní úrokovací období, vztah (100) přejde na podobu (103):

npkom

kompkom

kompkom

pkompkomi

id

n

iidi

idid

CFCFCFCFPV

2

1365

12

1365

1

3

21

3651

2

3651

1

_4

_2

___

... (103)

ikom_p………………… kombinovaný výnos (jednoduché a složené úročení) na pololetní bázi vyjádřený pro období mezi jednotlivými cahflow V případě že CF1 = CF2 = CF2 =...= CFn =CF lze vztah (103) dále zjednodušit na:

11

11

21

1

3651

_

2_

_

pkom

npkom

pkom

i

i

id

CFPV

V případě, že budeme uvažovat jednoduché úročení pro první 2 období, vztah (100) budeme modifikovat následovně:

21365

36511365

3651

3

3653651

2

3651

1 ...

n

komkomkomkomkomkomiid

n

iididid

CFCFCFCFPV (102)

V případě že CF1 = CF2 = CF2 =...= CFn =CF lze vztah (103) dále zjednodušit na:

11

11

1

1

3653651

3651

1

kom

nkom

komkomi

i

idid

CFCFPV (103)

Situace podle vztahu (102) však pravděpodobně nemají žádnou reálnou interpretaci. Rozdílná úroková míra pro jednotlivá období mezi cashflow

17

Jestliže budeme uvažovat rozdílnou úrokovou míru pro jednotlivá období i1, i2, i3... in, vztah (55) můžeme přetransformovat do podoby:

)1)...(1)(1)(1(...

...)1)(1)(1()1)(1()1(

321

2321

3

21

21

1

1

n

n

iiiiCF

iiiCF

iiCF

iCFPV

(109)

Jestliže budeme například uvažovat jen 2 rozdílné sazby i1, i2 pro například 10 období mezi cashflow, přičemž ke změně dojde na konci 5. období:

52

51

102

25

1

7

25

1

65

1

52

1

21

1

1

)1()1(...

)1()1(

)1()1()1(...

)1()1(

iiCF

iiCF

iiCF

iCF

iCF

iCFPV

(111)

V případě že CF1 = CF2 = CF2 =...= CFn =CF přechází (111) na:

2

52

511

51 )1(1

)1(1)1(1

ii

iiiCFPV

Rozdílná úroková míra pro jednotlivá cashflow po celou dobu investice Jestliže budeme uvažovat rozdílnou úrokovou míru pro jednotlivá cashflow CF1, CF2, ... CFn pro celé období investice vztah (55) můžeme přetransformovat do podoby:

nn

n

iCF

iCF

iCF

iCFPV

)1(...

)1()1()1( 33

32

2

21

1

1

(112)

Jedná se o případ, kdy uvažujeme pro každé jednotlivé cashflow jinou úrokovou sazbu, která je platná pro celé období investice. Nezaměňovat s rozdílnou úrokovou mírou pro jednotlivá období. (viz. kapitola Rozdílná úroková míra pro jednotlivá období).

18

Řešené příklady: Příklad 201 Uvažujme investici o velikosti 1000 000 CZK, která na konci každého měsíce přináší 100 000 CZK po dobu jednoho roku. Vypočítejte vnitřní výnosové procento na měsíční, roční a spojité bázi. Každé z nich vyjádřete jako měsíční a roční. Řešení Vnitřní výnosové procento na měsíční bázi, vyjádřené jako měsíční, vypočítáme z rovnice:

12321 )1(100000...

)1(100000

)1(100000

)1(1000001000000

mmmmmmmm iiii

kde imm……………………vnitřní výnosové procento vyjádřené jako měsíční na měsíční bázi Vzhledem ke komplikovanosti analytického řešení můžeme použít aplikaci Microsoft Excel a funkci Míra výnosnosti s parametry (-1000 000, 100 000, 100 000,..., 100000), pomocí které vypočítáme imm=2.92% Vnitřní výnosové procento na měsíční bázi, vyjádřené jako roční, zjistíme z rovnice:

12321

121

100000...

121

100000

121

100000

121

1000001000000

mmmm iiii

kde im……………………vnitřní výnosové procento vyjádřené jako roční na měsíční bázi Vzhledem k již vypočítanému imm vypočítáme im podle vztahu im = imm ·12, který vyplývá z předešlých dvou rovnic a logiky věci. im=35.04% Vnitřní výnosové procento na roční bázi, vyjádřené jako roční, můžeme zjistit z rovnice:

1212

123

122

121

1

100000...1

100000

1

100000

1

1000001000000eeee iiii

Zde se však nabízí jednodušší cesta, kterou je využití vztahů pro přechod mezi bázemi, podle kterého:

19

112

112

m

eii

%25.411123504.01

12

ei

Jestliže chceme vnitřní výnosové procento na roční bázi vyjádřené jako roční vyjádřit jako měsíční, pouze ho vydělíme dvanácti, dostáváme iem = ie /12=41.25/12 =3.44% Vnitřní výnosové procento na spojité bázi, vyjádřené jako roční, vyplývá z rovnice:

1212

123

122

12

100000...1000001000001000001000000

ssss iiii

eeee

kde is……………………vnitřní výnosové procento vyjádřené jako roční na spojité bázi Opět využijeme vztahů pro přechod mezi bázemi:

%53.34)4125.01ln()1ln( es ii Chceme-li is vyjádřit jako měsíční, pak ism = is /12=34.53/12= 2.88 % Příklad 202 Srovnejte možnosti investování částky o velikost PV na dobu 5 let a) na termínovaný vklad s ročním připisováním úroků a úrokovou sazbou i % p.a. b) do investice, která přináší na konci každého roku postupně budoucí finanční toky CF1, CF2, ... CF5 a její vnitřní výnosové procento je i % p.a. Při srovnání neuvažujte kreditní rizika, ani daňové záležitosti. Řešení: Z rovnice (94) plyne, že obě alternativy přinesou po 5 letech stejný finanční efekt za předpokladu, že budoucí finanční toky z investice CF2, ... CF5 budou reinvestovány např. na termínované vklady s ročním připisováním úroků a stejnou úrokovou sazbu i % p.a. Příklad 203 Vypočítejte vnitřní výnosové procento investice ie na roční bázi vyjádřené jako roční, která na konci každého roku přinese postupně cashflow 20, 22, 25, 28, 15, 50 (tis. USD). Počáteční

20

investovaná částka je 120 tis. USD a do prvního cashflow zbývá 63 dní. Dále uvažujme, že rok má 360 dní. Řešení: Hledané ie vyplývá z rovnice:

360360563

360360463

360360363

360360263

36036063

36063

1

50

1

15

1

28

1

25

1

22

1

20120

eeeeee iiiiii

Jestliže chceme pro výpočet ie použít například Microsoft Excel funkci Míra výnosnosti, je vhodné si rovnici přepsat do podoby:

3605633604633603633602633606363 150

115

128

125

122

120120

dddddddddddd iiiiii

kde idd ……………………vnitřní výnosové procento vyjádřené jako denní na denní bázi S použitím Míry výnosnosti s parametry (-120, 0,..0, 20, 0,..0, 22, 0,..0, 25, 0,..0, 28, 0,..0, 15, 0,..0, 50), kdy ve dnech, kdy není žádný cashflow dosazujeme 0, obdržíme: idd = 0.027% Dále pak s využitím výše uvedených vztahů dopočítáme ie. id = 0.027·360=9.72%

1021.013600972.01

360

ei

ie = 10.21%

21

Parametry dluhopisů Pro další úvahy budeme značit: JH ……………….... jmenovitá hodnota dluhopisu (vyjádřena jako desetinné číslo) P ………………...... celková cena dluhopisu (dirty price) v jednotkách měny Pclean ……………… kotovaná cena dluhopisu (clean price) v jednotkách měny PP ……………....… prodejní cena dluhopisu (dirty price) v jednotkách měny PP_clean …………….. prodejní cena dluhopisu (clean price) v jednotkách měny PJH ………………... cena dluhopisu v procentech z JH (vyjádřena jako desetinné číslo) c ………………...... kupónová výplata (platba) dluhopisu (v jednotkách měny) cs ………………...... kupónová sazba dluhopisu (vyjádřena jako desetinné číslo) f ………………...... frekvence výplaty kupónu n …………………... počet zbývajících kupónových výplat od pořízení dluhopisu do splatnosti m ………………….. počet úrokovacích období za období mezi výplatami kupónu i ……………….….... úroková sazba s ročním připisováním úroků, vyjádřena jako desetinné číslo za období mezi výplatami kupónů a na bázi rovné této době (úrokovací období je rovné období mezi výplatami kupónů) ie ……………….…... úroková sazba s ročním připisováním úroků (na roční bázi), vyjádřena jako roční (desetinné číslo) ip ……………….…... úroková sazba s pololetním připisováním úroků (na pololetní bázi), vyjádřena jako roční (desetinné číslo) id ……………….…....úroková sazba s denním připisováním úroků (na denní bázi), vyjádřena jako roční (desetinné číslo) iq ……………….…... úroková sazba se čtvrtletním připisováním úroků (na čtvrtletní bázi), vyjádřena jako roční (desetinné číslo) O ……………….….. celkový objem dluhu, který vlastník obdrží při splatnosti dluhopisu, O= počet kusů dluhopisu x JH d ……………….….. počet dní do nejbližší kupónové výplaty (počítá se od následujícího dne) Obecná charakteristika typického dluhopisu Dluhopis je investiční instrument, jehož základní charakteristiky jsou:

dluhopis je cenný papír právo držitele dluhopisu představuje zejména právo na splacení kupónových

plateb a jmenovité hodnoty (nominální hodnoty) emitentem dluhopisu, další práva souvisí zejména s akciemi emitenta

držení dluhopisu nezakládá vlastnická práva na emitentovi dluhopis je vedle akcií nejvýznamnější cenný papír finančních trhů dluhopisy (především státní) se obchodují ve značných objemech na

mimoburzovních finančních trzích operace s dluhopisy jsou ve většině zemí legislativně upraveny legislativní úprava ČR – Zákon o dluhopisech

22

Základní parametry dluhopisů

označení dluhopisu (bond designation) konvence pro počítání časových intervalů (day count convention) charakter úrokového výnosu, popř. kupónová sazba, od které se odvozuje

velikost kupónové platby (výplaty)(coupon rate) frekvence výplaty kupónových plateb (frequency of coupon paymant) jmenovitá (nominální) hodnota (nominal, par, face value) doba do splatnosti (term to maturity) doba života dluhopisu (time of living of a bond) denominace (denomination) emitent, typ emitenta (issuer, debtor) další práva držitele a emitenta zajištění proti inflaci forma dluhopisu způsob převoditelnosti cena/výnos (price/yield)

Označení dluhopisu Při nakládání s dluhopisy se setkáváme zpravidla nejprve s jejich běžným označením, které slouží jednak k rychlé identifikaci emitenta a jednak poskytuje základní informace o kupónové sazbě a splatnosti. Státní dluhopisy České republiky jsou označovány jako CZGB, například: CZGB 4.60 08/18 je český státní dluhopis s pevnou kupónovou sazbou 4.6 a se splatností v srpnu 2018. Další identifikací může být např. ISIN, v tomto případě: CZ0001000822. Přehled vybraných užívaných označení emitenta v běžném označení dluhopisu pro státní dluhopisy některých států:

UST, US, T (US Trasury Bond), státní dluhopis USA T-Bills, státní pokladniční poukázky USA (splatnost do 1 roku)

T-Notes, státní dluhopisy USA (splatnost do 10 let) T-Bonds, státní dluhopisy USA (splatnost do 30 let) TIPS (Treasury Inflation-Protected Securities),státní dluhopisy USA se zajištěním proti inflaci STRIPS (Separate Trading of Registered Interest and Principal Securities), státní dluhopisy USA vzniklé separací kupónů a jmenovité hodnoty do bezkupónových dluhopisů

DBR, Bund (Deutschland Bundesrepublic Bund), německý státní dluhopis Bubill, německé státní pokladniční poukázky Schätze, krátkodobé německé státní dluhopisy (splatnost do 2 let) Bobls, střednědobé německé státní dluhopisy (splatnost do 5 let) Bunds, německé dluhopisy (splatnost do 10 let) Buxl, dlouhodobé německé dluhopisy (splatnost zhruba do 30 let)

JGB (Japanese Government Bond), japonský státní dluhopis

23

UK Gilt, státní dluhopis Velké Británie (označení zhruba od roku 2005) UK Stock, státní dluhopis Velké Británie (označení zhruba do roku 2005) Gilt Strips, státní dluhopisy Velké Británie vzniklé separací kupónů a jmenovité hodnoty do bezkupónových dluhopisů GKO (Государственное Краткосрочное Обязательство), krátkodobé bezkupónové

ruské státní dluhopisy OFZ (Облигации Федерального Займа), kupónové ruské státní dluhopisy

CGB (Canadian Goverment Bond), kanadský státní dluhopis, s označením CGB se ale též setkáváme v případě Chinese Government Bonds, čínských státních dluhopisů

BTP (Buoni del Tesoro Poliennali), italský státní dluhopis OAT (Obligations Assimilables du Trésor), francouzský státní dluhopis

Korporátní dluhopisy v označení emitenta nesou název společnosti. Příklady některých vybraných užívaných označení emitenta pro korporátní dluhopisy:

FORD MO CO (korporátní dluhopis společnosti Ford Motor Company) MERO ČR (označení korporátního dluhopisu společnosti MERO ČR,a.s) ČEZ (označení korporátního dluhopisu společnosti ČEZ,a.s)

Vedle označení emitenta je součástí běžného označení dluhopisu i informace o velikosti kupónové sazby a splatnosti. Na obr. 2.3 je uvedeno běžné označení německého státního dluhopisu “DBR” s kupónovou sazbou 4.5 % a se splatností v lednu 2013. Na obr. 2.6 je uvedeno běžné označení státního dluhopisu USA “T” s kupónovou sazbou 3 a 1/8 a se splatností v září 2013. Kromě běžného označení dluhopisu se setkáváme s označením různými kódy je např. Common Number anebo ISIN. Na obr. 2.3 je takové označení v poli “IDENTIFIERS”, na obr. 2.6 je takové označení v poli “IDENTIFICATION”. Konvence pro počítání časových intervalů (Day Count Convention) Konvence pro počítání časových intervalů mají rozsáhlé uplatnění ve finanční matematice v oblasti úročení a všech navazujících aplikací, kde je nutné stanovit dohodu o počtu dní za určitá časová období. Vzhledem k dané skutečnosti, že každý rok, stejně jako každý měsíc, nemá stejný počet dní, vznikly různé snahy o zjednodušení přístupu k počítání dní v daném intervalu. Pro jednoduchost by zřejmě bylo nejvhodnější zvolit pevnou délku roku jako 360 dní, jelikož 360 je dělitelné 2, 4, 12 a pololetí by pak zahrnovalo 180 dní, čtvrtletí 90 a měsíc 30 dní. Takový způsob však na druhou stranu vnáší do systému prvky nespravedlnosti, když například za měsíc únor bychom obdrželi stejný úrok jako za měsíc leden, přičemž dlužník by mohl s penězi nakládat v lednu déle.

24

Obr.2.3 Popis dluhopisu, zdroj: Bloomberg

Obr.2.6 Popis dluhopisu, zdroj: Bloomberg

25

U dluhopisů se konvence uplatňují při výpočtech všech výnosů za určité časové období a stejně tak pro výpočet úrokového výnosu (AÚV). Při výpočtu počtu dní v časovém intervalu je podstatné datum počátku intervalu (from), datum konce intervalu (to) a počet dní v celých měsících intervalu. Pro výpočty výnosů a AÚV se do počtu dní obvykle první, anebo poslední den intervalu, nezapočítává. V případě obchodů s dluhopisy těmto okamžikům odpovídají datumy vypořádání obchodu (settlement days) Nejdůležitějšími konvencemi jsou:

30/360 US (Bond basis, 360/360, 30U/360) Konvence se používá pro korporátní dluhopisy USA. Platí:

- Jestliže počátek intervalu připadne na 31. den v měsíci, pak se tento den posune na 30. den v měsíci.

- Jestliže konec intervalu připadne na poslední den v únoru, pak se tento den posune na 30. den v měsíci.

- Jestliže konec intervalu připadne na 31. den některého měsíce, pak se posune na 30. den v měsíci.

- Každý celý měsíc uvnitř intervalu má 30 dní. - Každý celý rok uvnitř intervalu má 360 dní.

30E/360 (30/360, ICMA 30S/360, Eurobond basis (ISDA 2006), Special German) Platí:


- Jestliže konec intervalu připadne na poslední den v únoru, pak se tento den nijak nepřizpůsobuje konvenci.

- Jestliže konec intervalu připadne na 31. den některého měsíce, pak se posune 30. den v měsíci.


30E/360 ISDA (30E/360 ISDA, Eurobond basis (ISDA 2000), German) Platí:



- Jestliže konec intervalu připadne na 31. den některého měsíce a první den byl posunut na 30.den, posune se i konec intervalu na 30. den v měsíci.


30E+/360 Platí:



26

- Jestliže konec intervalu připadne na 31. den některého měsíce, posune se na první den dalšího měsíce.


V případě, že budeme vyjadřovat poměrnou část intervalu k délce roku (např. pro výpočet úroků za necelou část roku při použití úrokové sazby vyjádřené jako roční), pak do jmenovatele vkládáme pro výše uvedené konvence 360. Poměrná část pak bude vyjádřena jako:

kde D je počet dní v intervalu v souladu s výše uvedenými konvencemi. Další konvence:

Actual/Actual ISDA(Actual/Actual, Act/Act, Actual/365, Act/365) Platí: Počítá se skutečný počet dní v intervalu (podle juliánského kalendáře). Jestliže interval obsahuje přestupné i nepřestupné roky, budeme vyjadřovat poměrnou část intervalu k délce roku jako:

kde D1 je počet dní v intervalu během nepřestupného roku a D2 je počet dní v intervalu během přestupného roku.

Actual/365 Fixed (Act/365 Fixed, A/365 Fixed, A/365F, English) Platí:

Počítá se skutečný počet dní v intervalu (podle juliánského kalendáře) a poměrná část pak bude vždy vyjádřena jako:

kde ACT je skutečný počet dní v intervalu.

Actual/360 (Act/360, A/360, French) Platí:

Počítá se skutečný počet dní v intervalu (podle juliánského kalendáře) a poměrná část pak bude vždy vyjádřena jako:

Actual/365L (ISMA-Year) Platí:

360D

36636521 DD

365ACT

360ACT

27

Počítá se skutečný počet dní v intervalu (podle juliánského kalendáře) a poměrná část pak bude v případě, že časový interval zahrnuje 29. únor, vyjádřena jako:

v ostatních případech jako:

V praxi se lze setkat ještě s dalšími konvencemi, které upravují zejména jmenovatele v poměrném vyjádření k celkové délce období, jestliže například mezi kupónovými výplatami není celý rok:

Actual/Actual ICMA (Actual/Actual, Act/Act ICMA, ISMA-99, Act/Act ISMA) Poměrná část bude vyjádřena jako:

kde f frekvence kupónových výplat. Charakter úrokového výnosu

Rozdělení dle charakteru úrokového výnosu:

s pevnou úrokovou sazbou s pohyblivou úrokovou sazbou (kupón vázaný na LIBOR, PRIBOR) bez úrokové sazby, zerobondy (diskontované dluhopisy) svlečené dluhopisy (Strip Bonds) Jedná se o dluhopisy, u kterých se oddělily kupóny od jmenovité hodnoty a

obchodují se zvlášť jako bezkupónové dluhopisy Vztah mezi kupónovou sazbou a kupónovou výplatou Jedním ze základních parametrů typických kupónových dluhopisů je frekvence výplaty. Pomocí frekvence výplaty a znalosti kupónové sazby můžeme snadno vypočítat velikost kupónové výplaty podle vztahu:

fACTACT

365ACT

366ACT

28

JHf

cc s

Jestliže je perioda výplaty ½ roku, bude frekvence rovna 2. Doba mezi výplatami kupónů se taktéž nazývá kupónové období nebo kupónová perioda. Odchýlená perioda prvního kupónu (Odd First Coupon) Dluhopis, jehož první kupónová perioda je kratší než zbylé kupónové periody je označován jako dluhopis s odd short first coupon. Dluhopis, jehož první kupónová perioda je delší než zbylé kupónové periody je označován jako dluhopis s odd long first coupon. Odlišnosti v kupónových periodách ovlivňují výpočet výnosu (viz. kapitola Kalkulace výnosů z dluhopisu). Vyjádření ceny V závislosti na geografickém umístění trhu dochází k různým specifickým odlišnostem v označování jednotlivých emisí i způsobu zápisu ceny. Například v USA se užívá systém 1/32 v Evropě 1/10 (decimální) systém. („102-3+” v USA odpovídá evropské ceně = 102+3/32+1/64). Splácení kupónových výplat (splátkový kalendář) Při řešení různých úloh týkajících se dluhopisů je vhodné znázornit strukturu budoucích cash flow v čase. U typického kupónového dluhopisu se setkáváme se strukturou budoucích cash flow dle obr. 2.9. Důležité je, že při splacení JH dochází taktéž k výplatě posledního kupónu. Bod P označuje okamžik pořízení dluhopisu (Purchase Date), časová vzdálenost mezi jednotlivými kupónovými výplatami (kupónové období, kupónová perioda) bývá stejná. Časový interval mezi P a nejbližší kupónovou výplatou může být libovolná část roku, která se zpravidla počítá ve dnech. Speciální případ je Odd First Coupon (viz. kapitola Odchýlená perioda prvního kupónu). Na obrázku 2.12 je struktura budoucích cash flow pro dluhopis bez splatnosti.

Obr.2.9 Struktura budoucích cash flow, zdroj: vlastní zpracování

29

Obr.2.12 Struktura budoucích cash flow, zdroj: vlastní zpracování Doba do splatnosti (Time/Term to Maturity) Doba do splatnosti dluhopisu je jedním z nejpodstatnějších parametrů, od které se odvíjí výnos do splatnosti, citlivost na změnu úrokové sazby a tím i volatilita tržní ceny a rizika při držbě dluhopisu. Doba do splatnosti se počítá jako časové období od pořízení dluhopisu do jeho splatnosti. Podle doby do splatnosti se dluhopisy dělí na:

krátkodobé (zhruba do 2 let) střednědobé (zhruba do 5 až 10 let) dlouhodobé (nad 10 let) s extrémně dlouhou dobou do splatnosti (nad 100 let) bez splatnosti –věčná renta

Dělení dle doby do splatnosti není jednotné a v závislosti na regionálních zvyklostech se může lišit. Na dluhopisy s extrémně dlouhou dobou do splatnosti lze pohlížet jako na dluhopisy bez splatnosti. Příkladem může být dluhopis emitovaný společností West Shore Railroad se splatností v roce 2361. Dluhopisy bez splatnosti (Perpetual Bomds) Dluhopisy bez splatnosti nejsou pouze zajímavou teoretickou konstrukcí, ale lze s nimi skutečně obchodovat. Nyní si uvedeme některé základní charakteristiky, se kterými se v praxi setkáváme v souvislosti s dluhopisy bez splatnosti:

označují se jako Perpetuals, popř. Perps nemají datum splatnosti obvykle patří mezi podřízený dluh (subordinate bonds), takže v případě likvidace

emitenta mají nižší prioritu při uspokojení věřitelů obvykle mají opci (call opci), takže emitent může za určitých podmínek emise splatit

předčasně, ne ale dříve než za 5 let od datumu emise (Call Protection Period)

Nejznámějším příkladem jsou britské UK Consols (Consolidated Annuities). Pro zajímavost uvedeme některé údaje z jejich historie: označují se jako Consolidated Stock

30

za první datum emise je uváděn rok 1751 emise mají call opci, ale není pravděpodobné, že by byly v dohledné budoucnosti

splaceny kupónové platby se vyplácejí 4x počne kupónová sazba byla několikrát snížena (1752-z 3.5 na 3 %, 1888 z 3 na 2.75%, 1903-

z 2.75 na 2.5%)

Doba života dluhopisu (Time of Living) Doba života dluhopisu představuje časové období od jeho emise po splatnost. Z hlediska praxe není tento údaj podstatný při srovnání například s důležitostí doby do splatnosti. V praxi se přesto můžeme setkat se situacemi, kdy doba života dluhopisu nabývá významu. Jedná se o pojmy “On-the-Run“ a “Off-the-Run“ a používá se zejména v souvislosti se státními dluhopisy USA. “On-the-Run“ jsou dluhopisy, které byly emitovány v nedávné době vzhledem k okamžiku pořízení a jejich likvidita je vyšší než u emisí “Off-the-Run“, které byly emitovány podstatně dříve. Vyšší likvidita souvisí s umísťováním nově emitovaných dluhopisů do portfolií a celkově s vyšší obchodní aktivitou s těmito tituly. Vyšší likvidita pak souvisí s jejich nepatrně nižším výnosem jako “daň“ za likviditu. Denominace Denominace dluhopisu nám říká v jaké měně bude držitel dluhopisu pobírat případné kupónové výplaty a jmenovitou hodnotu. Je zřejmé, že denominace úzce souvisí s měnovým rizikem. Ve spojení s denominací dluhopisů souvisí některá označení emisí, se kterými se v praxi setkáváme:

Eurobonds jsou mezinárodní dluhopisy, které jsou denominovány v jiné měně než je domácí

měna státu, ve kterém jsou emitovány. V názvu nesou označení měny, ve které jsou denominovány. Např. Eurodollar jsou Eurobondy denominované v USD, vydané mino USA, společností která nemá sídlo v USA. Euroyen jsou Eurobondy denominované v JPY (Japonský jen). Eurobondy jsou daňově zvýhodněné.

Yankee bond s jsou mezinárodní dluhopisy, které jsou denominovány v USD, vydávané v USA zahraniční společností Kangaroo bonds jsou mezinárodní dluhopisy, které jsou denominovány v AUD (v Australských dolarech), vydávané v Austrálii zahraniční společností Maple bonds jsou mezinárodní dluhopisy, které jsou denominovány v Kanadském dolaru, vydávané v Kanadě zahraniční společností

31

Samurai bonds jsou mezinárodní dluhopisy, které jsou denominovány v JPY (v Japonském jenu) , vydávané v Japonsku zahraniční společností Uridashi bonds jsou mezinárodní dluhopisy, které nejsou denominovány v JPY (v Japonském jenu) , vydávané v Japonsku a určené pro retailové investory Shibosai bonds privátní emise v Japonsku, které jsou určeny pro institucionální investory a banky Shogun bonds

jsou mezinárodní dluhopisy, které nejsou denominovány v JPY (v Japonském jenu), vydávané v Japonsku zahraniční společností nebo cizí vládou

Bulldog bonds jsou mezinárodní dluhopisy, které jsou denominovány v GBP (v Britské libře), vydávané ve Velké Británii zahraniční společností nebo cizí vládou Matrioshka bonds jsou mezinárodní dluhopisy, které jsou denominovány v Ruském rublu, vydávané zahraniční společností v Rusku Arirang bonds jsou mezinárodní dluhopisy, které jsou denominovány v Korejském womu, vydávané zahraniční společností v Jižní Koreji Kimchi bonds jsou mezinárodní dluhopisy, které nejsou denominovány v Korejském womu, vydávané zahraniční společností v Jižní Koreji Formosa bonds jsou mezinárodní dluhopisy, které nejsou denominovány v Taiwanském dolaru, vydávané zahraniční společností na Taiwanu Panda bonds jsou mezinárodní dluhopisy, které nejsou denominovány v čínském Jüanu (též renminbi-denominated), vydávané zahraniční společností v Číně

Emitent, typ emitenta (issuer, debtor)

státní korporátní komunální (emitentem je uzemní samosprávný celek) bankovní dluhopisy (někdy považovány za korporátní dluhopisy)

32

hypoteční zástavní listy (pohledávkami z hypotečních úvěrů) CDO (Collateralized Debt Obligation)

Další práva držitele a emitenta

vyměnitelné dluhopisy (právo na výměnu dluhopisu v době splatnosti za akcie emitenta)

prioritní dluhopisy (právo na přednostní upisování akcií emitenta) opční dluhopisy (warrant), právo na nákup akcií emitenta dluhopisy s call opcí dluhopisy s put opcí podřízené dluhopisy (pohledávky z těchto dluhopisů jsou při likvidaci

společnosti uspokojeny až na posledním místě) Zajištění proti inflaci (Inflation Indexed Bonds, Iinflation-Linked Bonds) Některé dluhopisy v sobě mají vestavěnou ochranu proti inflaci v různé podobě. Za zmínku stojí zejména:

TIPS (Inflation Protected Securities) I-Bonds

Základními rysy TIPS jsou:

státní dluhopisy USA, které investorovi poskytujou ochranu proti inflaci, ale i deflaci

nízké investiční riziko jmenovitá hodnota roste s inflací jmenovitá hodnota klesá s deflací při splatnosti obdrží vlastník dluhopisu buď inflačně navýšenou jmenovitou

hodnotu, anebo původní jmenovitou hodnotu, podle toho, která je vyšší inflace se aktualizuje podle Consumer Price Index (CPI) úroková sazba se nemění, výplata kupónu se mění, jelikož je úměrná součinu kupónové sazby a jmenovité

hodnoty (která se mění s vývojem CPI) kupón je vyplácen pololetně splatnost je 5, 10, and 20-let při emisi

Základními rysy I-Bonds jsou:

státní dluhopisy USA, které investorovi poskytujou ochranu proti inflaci jmenovitá hodnota zůstává narozdíl od TIPS konstantní úrokový výnos má dvě složky:

- fixní (může být i nulová) - pohyblivou (mění se 2x ročně podle CPI )

33

Příklad: Nakoupíme TIPS za 1000 000 USD ve jmenovité hodnotě, s kupónovou sazbou 3.3 % p.a. CPI pololetně vzroste o 1 %. O kolik USD pololetně vzrostl úrokový výnos? Frekvence výplaty kupónu je pololetní. Řešení: Úrokový výnos před nárůstem CPI: 1000 000·0.033·0.5=16500, úrokový výnos po půl roce: 1000 000·1.01·0.033·0.5=16665, tedy o 165 USD.

Dalšími dluhopisy s ochranou proti inflaci jsou například:

Index-Linked Gilt (Velká Británie) Bund index (Německo) JGBi (Japonsko)

Forma dluhopisu

listinné (plášť + kupónový arch) dematerializované, zaknihované

Způsob převoditelnosti

na majitele (doručitele) na jméno na řad-převoditelné indosamentem (rubopisem) a předáním

Vztah cena/výnos Vztah mezi cenou a výnosem pro dluhopis s konečnou dobou do splatnosti je znázorněn na obr. 2.15. Na svislé ose je cena P, na vodorovné pak výnos z dluhopisu do splatnosti (podrobněji v kapitole Kalkulace výnosů u dluhopisů). Jestliže je výnos do splatnosti roven nule, pak celková cena pořízení musí být rovna součtu všech budoucích cashflow, tedy všech případných kupónových plateb plus jmenovitá hodnota. Vztah mezi cenou a výnosem pro dluhopis bez splatnosti je znázorněn na obr. 2.18 . Narozdíl od dluhopisu s konečnou dobou do splatnosti je pro výnos rovný nule cena nekonečně velká, neboť odpovídá součtu nekonečně mnoha cashflow. Křivka je obecně sestupná a konvexní. Přesný tvar se pak odvíjí od typu výnosu, který počítáme, parametrů dluhopisu a okamžiku pořízení. Při výnosu zvětšujícím se do nekonečna, limituje cena k nule. Lze konstatovat, že dva rozdílné dluhopisy mají různé tvary křivek cena/výnos.

34

S tvarem křivky též úzce souvisí citlivost ceny na změnu výnosu do splatnosti. V prvním přiblížení lze podle tvaru křivky usoudit, že citlivost se zvětšuje s klesajícím výnosem. Jinak řečeno, při stejné změně výnosu pozorujeme větší výchylku v ceně v oblasti nižších úrokových sazeb.

Obr. 2.15 Graf ceny v závislosti na výnosu u dluhopisu se splatností, zdroj: vlastní zpracování

Obr.2.18 Graf ceny v závislosti na výnosu u dluhopisu bez splatnosti, zdroj: vlastní zpracování

35

Obr. 2.21 Výnosová analýza dluhopisu, zdroj: Bloomberg

Obr. 2.24 Výnosová analýza dluhopisu, zdroj: Bloomberg

36

Kalkulace výnosů u dluhopisů Výnos z dluhopisu je obecně míra, která vyjadřuje vztah mezi pořizovací cenou a velikostí plateb obdržených po dobu života dluhopisu. Výnos lze definovat téměř jakýmkoliv předpisem, podstatná je ovšem interpretace a návaznost definovaného výnosu na reálnou ekonomiku. Ke každému uváděnému výnosu z dluhopisu je tudíž pro správnou interpretaci podstatná informace o jaký výnos se jedná. U dluhopisu je taktéž nutné respektovat, že celkový výnos je dosažen jednak pobíráním pravidelných úrokových plateb, zahrnovaných pod označení - úrokový výnos a jednak rozdílem mezi pořizovací a prodejní cenou, označovaný jako kapitálový výnos. V případě držby dluhopisu do splatnosti je prodejní cenou JH. Následně je stručně podán přehled nejpoužívanějších výnosů u dluhopisu (některé jsou zachyceny na obr 2.21, 2.24):

výnos do splatnosti (Yield to Maturity), ISMA Method

Vychází ze struktury IRR (Internal Rate of Return), taktéž označovaný jako vnitřní výnosové procento, figuruje v rovnici diskontovaných budoucích finančních toků, používanou obecně pro posouzení výnosu z jakékoliv investice, která přináší budoucí finanční toky v různých časových horizontech, avšak ve stejných časových intervalech. Interpretace odpovídá procesu, kdy se počáteční investovaná částka rozdělí na několik částí, přičemž každá se zúročí na jeden z budoucích příjmů složeným úročením s úrokovacím obdobím rovným intervalu příchodu jednotlivých plateb a úročí se počet období, za které příjem obdržíme. Pro dluhopis s pevnou kupónovou sazbou a roční kupónovou platbou o velikosti c, o jmenovité hodnotě JH, splatným přesně za 4 roky, pořízený za cenu P, vypočítáme roční vnitřní výnosové procento i (jako desetinné číslo) ze vztahu (201):

432 111)1( eeee iJHc

ic

ic

icP

(201)

obecně pro n kupónových plateb:

n

eeee iJHc

ic

ic

icP

1

...11)1( 32 (201b)

Z výše uvedeného vztahu taktéž vyplývá, že reinvestujeme-li kupónové

platby na složené úročení s úrokovou sazbou i a s úrokovacím obdobím 1 rok, pak celkový příjem za dobu držení dluhopisu bude stejný, jako když částku P na počátku uložíme na stejný typ úročení na celé období držení dluhopisu.

Jestliže do splatnosti zbývá méně než jedno kupónové období:

3653653

3653652

365365

365 )1()1()1()1(

d

e

d

e

d

e

d

e i

JHc

i

c

i

c

i

cP (201c)

37

obecně pro n kupónových plateb:

365365)1(

3653652

365365

365 )1(...

)1()1()1(

nd

e

d

e

d

e

d

e i

JHc

i

c

i

c

i

cP (201d)

Často je možné se setkat s úpravou vztahu (201d) do podoby:

)1(21365

)1(

1...

)1(1

)1(1

)1(n

eeed

e

ic

JH

iii

cP (201e)

Jestliže do nejbližší výplaty kupónu zbývá například 100 dní, výplata je

jednou za rok, do splatnosti zbývají 4 výplaty a používáme konvenci ACT/365, pak můžeme použít vztah (202), založený na připisování úroků na denní bázi a příslušnou úrokovou míru, která odpovídá například ročnímu připisování úroků, spočítat jako efektivní úrokovou míru.

1195830465100 )

3651()

3651()

3651()

3651( dddd i

JHcic

ic

icP

(202)

Mezi ie a id platí následující vztah ve smyslu (99d), jestliže používáme konvenci 1 rok=365 dní:

1365

1365

d

eii

Předpokládáme, že rok má 360 dní a jedno čtvrtletí dní 90. Jestliže chceme rovnici zapsat s použitím iq, dostáváme:

90

36518

4190

36518

4190

36518

4190

18

41

...

qqqq iiii

JHccccP

Pro vztahy mezi ie , iq platí:

38

14

14

q

e

ii

US Street Convention

Používá konstrukci IRR, avšak namísto vnitřního výnosového procenta na roční bázi, používá pro vyjádření výnosu ip, které je na bázi pololetní. Situace je dána zvyklostí vyplácet na státních dluhopisech USA kupóny pololetně. Vztah (201) pak přechází na:

432 )

21()

21()

21()

21( pppp i

JHci

ci

ci

cP

True Yield Zohledňuje skutečné pracovní dny, pakliže výplata kupónu připadne na nepracovní den. V závislosti na použité konvenci dochází k odchylkám při výpočtu i. Spojité úročení Spojité úročení představuje poměrně elegantní způsob sjednocení výpočtu výnosů, jelikož nezná pojem úrokovací období. Vzhledem k tomu odpadá celá řada komplikací, které jsou dané zaváděním různých typů výpočtů vnitřního výnosového procenta pro různá úrokovací období (US Street Convention x Yield to Maturity s ročním úrokovacím obdobím). Přesto však není v praxi příliš rozšířeno. Pro výpočet ceny můžeme použít zmodifikovaný vztah (80):

ssss indididid

e

JHc

e

c

e

c

e

cP

365365)1(

3653652

365365

365

... (203)

is…………………… vnitřní výnosové na spojité bázi (vyjádřen jako roční)

U.S. Treasury Convention používá jednoduché úročení, jestliže do výplaty nejbližšího kupónu zbývá necelá kupónová perioda

39

112

21

21

21

21

3601

1...111 nust

nustustust

ustiiii

id

JHcP

iust …………………… US Treausury Yield (vyjádřen jako roční)

Braeß/Fangmeyer, Moosmüller Yield

jednoduché úročení, jestliže do výplaty nejbližšího kupónu zbývá necelá kupónová perioda. Braeß/Fangmeyer metoda používá roční úrokovací období pro zbytek doby do splatnosti, Moosmüller yield používá úrokovací období, které je stejně dlouhé, jako perioda mezi výplatami kupónů. Obě metody dávají stejný výsledek v případě roční kupónové výplatě a vztah pro výpočet celkové ceny pak vychází ze vztahu (103).

112 1111365

1

1...111 nmos

nmosmosmos

mosiiii

id

JHcP

V případě, že je perioda mezi kupónovými výplatami například pololetí, bude se Braeß/Fangmeyer Yield a Moosmüller Yield lišit. Moosmüller Yield lze vypočítat ze vztahu:

1121

21

21

21

21

3651

1...111 nmos

nmosmosmos

mosiiii

id

JHcP

imos…………………… Moosmüller Yield (vyjádřen jako roční) Braß/Fangmeyer Yield pak bude:

2

1

_21

_22

_21

__1111

3651

1...111 n

fangb

n

fangbfangbfangbfangbiiiiid

JHcP

ib_fang…………………… Braß/Fangmeyer Yield (vyjádřen jako roční)

Japanese Simple Yield (JGB Simple)

40

tP

PJHP

ciclean

clean

cleanj .

ij…………………… Japanese Simple Yield (vyjádřen jako roční)

Money Market Yield Používá se, jestliže zbývá jedna výplata do splatnosti, d je příslušný počet dní do výplaty:

midJHcP

3651

(204)

im…………………… Money Market Yield (vyjádřen jako roční) V případě, že zbývá jedna výplata do splatnosti přechází v Money Market Yield i Braß/Fangmeyer Yield, Moosmüller Yield a též US Treasury Convention Yield. V souvislosti s Money Market Yield se setkáváme s konvencí Money Market (Act/360) a Money Market (Act/365).

Kupónová výnosnost

Je prostý podíl kupónové platby a JH (205), v závislosti na frekvenci výplaty je půlroční, roční atd., popřípadě je vhodný jeho přepočet.

JHci c (205)

ic…………………… kupónová výnosnost (vyjádřena jako roční) Vypovídací schopnost kupónové výnosnosti je však velmi malá, jelikož

nezohledňuje pořizovací cenu a například výnosu do splatnosti odpovídá pouze v případě, že dluhopis pořídíme přesně za jmenovitou hodnotu.

Běžná výnosnost (Current Yield) Již zohledňuje pořizovací cenu P a má větší vypovídací schopnost než výnosnost kupónová.

41

cleanb P

ci (206)

ib…………………… kupónová výnosnost (vyjádřena jako roční)

Ve jmenovateli vztahu (206) je kotovaná cena, nikoliv cena celková. V případě celkové ceny by běžná výnosnost byla zkreslená cenou za AÚV, takže například v případě nákupu za jmenovitou hodnotu by běžná výnosnost nekorespondovala s kupónovou výnosností a mohla by být nižší.

Rendita (adjusted current yield)

tPPP

Pci

clean

cleancleanP

cleanR .

_ (207)

Rendita zohledňuje kapitálový i úrokový výnos, ze vztahu (208) však

vyplývá, že je založena na principech jednoduchého úročení a nerespektuje rozdílné časové horizonty budoucích finančních toků.

R

Pcleanclean it

PctP.1

.

(208)

ir…………………… rendita (vyjádřena jako roční)

Výnos s reinvesticí kupónů Jestliže budeme kupóny postupně reinvestovat na dobu do splatnosti dluhopisu tak, že první kupón budeme reinvestovat na běžnou úrokovou sazbu i1 (např. na termínovaný vklad) s úrokovacím obdobím rovným kupónovému období, druhý kupón stejným způsobem na úrokovou sazbu i2, třetí kupón stejným způsobem na úrokovou sazbu i3, pak pro is platí:

4

33

221

)1()1()1()1(

siJHcicicic

P

is…………………… výnos s reinvesticí kupónů (vyjádřen jako roční) Sazba is je vlastně běžnou úrokovou sazbou na období do splatnosti dluhopisu a s úrokovacím obdobím, které je rovno období kupónovému.

42

Zajímavý případ nastane, jestliže budeme kupóny reinvestovat na běžnou sazbu, která je rovna vnitřnímu výnosovému procentu i:

4

32

)1()1()1()1(

siJHcicicic

P

(208a)

Sazba is pak nutně musí být rovna i, jelikož za předpokladu is = i, můžeme vztah (208a) dále rozložit na součet zlomků:

4321 )1()1()1()1( iJHC

ic

ic

icP

(208b)

který není nic jiného než investicí do dluhopisu s vnitřním výnosovým procentem (výnosem do splatnosti) i. Je tedy zřejmé, že jestliže budeme kupóny dluhopisu reinvestovat na stejnou běžnou úrokovou sazbu jako je výnos do splatnosti, pak výnos s reinvesticí kupónů is je roven tomuto výnosu do splatnosti.

Při kalkulaci výnosů se setkáváme s některými dalšími pojmy:

Domestic Yield Označení pro způsob kalkulace výnosu z dluhopisu podle domácí konvence, anebo zužívaných zvyklostí. Annual Compounded Označení pro způsob kalkulace výnosu z dluhopisu na roční bázi (s ročním připisováním úroků). Semi-Annual Compounded Označení pro způsob kalkulace výnosu z dluhopisu na pololetní bázi (s pololetním připisováním úroků). V případě státních dluhopisů USA se jedná vlastně o Street Convention. Quarterly Compounded Označení pro způsob kalkulace výnosu z dluhopisu na čtvrtletní bázi (se čtvrtletním připisováním úroků). Monthly Compounded Označení pro způsob kalkulace výnosu z dluhopisu na měsíční bázi (s měsíčním připisováním úroků).

43

Výnos bezkupónových dluhopisů Výnos do splatnosti u bezkupónových dluhopisů je dán vztahem:

niJHP

)1( (210)

jestliže počet období do splatnosti od okamžiku pořízení je přesně n a úroková sazba vztažená k období je i. Jestliže do splatnosti nezbývá celý počet období lze (210) transformovat do podoby:

360)1(d

i

JHP

kde d je počet dní do splatnosti. Důležité je respektovat konvenci pro počítání časových intervalů. Jestliže do splatnosti zbývá méně než jeden rok, lze použít Money Market Yield v podobě:

)360

1( idJHP

Výnos u dluhopisů bez splatnost Pro výnos u dluhopisů bez splatnosti můžeme použít vztahy (95),(97). Vztah (95) pro účely dluhopisů přepíšeme na:

icP

Obdobně u vztahu (97). K takto jednoduchému vztahu lze dospět i poměrně jednoduchou úvahou. Máme-li pobírat úrok ve výši c věčně, například každý rok, je nutné, aby právě tato částka odpovídala ročnímu úroku ve výši i % z P, které je pak současně vnitřním výnosovým procentem. Výnos u dluhopisů s variabilní kupónovou sazbou Výnos u dluhopisů s variabilním kupónem je dán vývojem referenční sazby, které se přizpůsobuje nejbližší kupónová výplata. Vývoj referenční sazby odpovídá vývoji příslušných úrokových sazeb v ekonomice. O “klasickém” výnosu do splatnosti nemá smysl hovořit.

44

Procentní vyjádření ceny dluhopisu Cenu dluhopisu můžeme vyjádřit jednak v jednotkách měny:

niJHc

ic

ic

icP

1

...11)1( 32 (213)

a jednak jako procento ze jmenovité hodnoty, jestliže levou i pravou stranu rovnice vydělíme JH:

niJHc

iJHc

iJHc

iJHc

JHP

1

1...

11)1( 32

Jestliže je výplata kupónu roční, můžeme podíl c/JH nahradit přímo velikostí kupónové sazby cs.

nssss

ic

ic

ic

ic

JHP

1

1...11)1( 32 (220)

Jestliže levou i pravou stranu rovnice vynásobíme číslem 100, je cena vyjádřena přímo v procentech:

nssss

ic

ic

ic

ic

JHP

1

100100...1

1001

100)1(

100100 32

Takové vyjádření je nejběžnější v dluhopisové praxi a velikost jmenovité hodnoty, která ve vztahu vůbec nefiguruje, nemá žádný praktický význam. V praxi se obvykle operuje s celkovým objemem dluhu O, který vlastník dluhopisu obdrží při splatnosti, kupónovou sazbou cs a cenou v procentech ze jmenovité hodnoty 100·P/JH. Z těchto parametrů se všechny ostatní parametry jednoduše dopočítají. Citlivost ceny dluhopisů na úrokovou míru Výše uvedené vztahy jsou přesné vztahy mezi pořizovací popř. tržní cenou a určitým výnosem. Taková závislost se nejnázorněji zobrazí v příslušném grafu, kde se na ni obecně pohlíží jako na P= f(i), tedy cena je funkcí výnosového procenta, přičemž změna i se udává v bazických bodech (b.p.) popřípadě v procentních bodech. Dále se zaměříme na vnitřní výnosové procento. Nebudeme tedy řešit závislost ceny na jiném druhu výnosu než je výnos do splatnosti, nebo-li vnitřní výnosové procento ( IRR). Je nutné zdůraznit, že změnu vnitřního výnosového procenta v příslušném matematickém vztahu nelze ztotožnit se změnou některé tržní úrokové sazby v ekonomice, popřípadě se změnou klíčové úrokové sazby některou centrální bankou. Jakým způsobem se zobrazí taková změna na vnitřním výnosovém procentu je obecně otázka obtížná.

45

Z funkční závislosti taktéž vyplývá, že při i=0 je cena pouhým součtem všech budoucích příjmů a pro i jdoucí do nekonečna funkční hodnota konverguje k 0.

Citlivost ceny dluhopisu vyjadřuje míru změny ceny při změně vnitřního výnosu. Macaulayova durace (Macaulay Duration)/dále též jen durace/kupónového dluhopisu Pro odvození základních souborů uvažujme nejprve jednoduchý případ, kdy pořizujeme dluhopis za cenu P, který má přesně 3 roky do splatnosti a roční výplatu kupónu. Vnitřní výnosové procento investice, které je v okamžiku nákupu totožné s výnosem do splatnosti je možné vypočítat z následujícího vztahu, kde i= ie:

32 11)1( iJHc

ic

icP

Pro posouzení citlivosti je vhodné zkoumat strmost křivky závislosti ceny na výnosu, tedy vlastnosti 1. derivace funkce P podle i. Předpis pro 1. derivaci v obecném bodě je:

432 1

312

)1(1

iJHc

ic

icP

P’ je obecně závislá na úrokové sazbě a nastává tudíž situace, kdy pro jeden dluhopis máme více citlivostí na změnu úrokové míry podle toho, jaké jsou obecně úrokové sazby v ekonomice. Abychom situaci pro jeden dluhopis zpřehlednili, vynásobíme a současně vydělíme výraz P a dále vytkneme 1/(1+i). Dostáváme vztah pro první derivaci podle i v podobě:

Část vztahu označíme jako:

(240)

a můžeme zobecnit pro n kupónových plateb:

PP

iJHc

ic

ic

iP

32 13

12

)1(1

)1(1

PiJHc

ic

ic

Mac D

32 13

12

)1(1

PiJHcn

ic

ic

Macn

D

1...

12

)1(1

2

P

iJHn

ick

Macn

n

kk

D

1

..)1(1

46

Obr. 2.27 Výnosová analýza německého státního dluhopisu, zdroj:Bloomberg

Obr. 2.30 Výnosová analýza státního dluhopisu USA, zdroj:Bloomberg

47

Člen MacD je Macaulayova durace. Je to vážený průměr časového období do splatnosti, váhy jsou diskontované finanční toky. Macaulayova durace je nezávislá na úrokové sazbě, je závislá pouze na faktorech, které ovlivňují střední dobu splatnosti, tedy c, JH a jejich časové rozložení. Jestliže i je úroková sazba na roční bázi, vyjádřená jako roční, pak MD je střední doba splatnosti v letech. Jestliže chceme vyjádřit změnu dP s použitím di , použijeme Taylorovu větu:

Rdhafdhafdhafafhaf

...!3)(

!2)()()()(

32

Pro naše účely ji můžeme přepsat do tvaru:

RdiifdiifdiifdP

...!3)(

!2)()(

32

(245)

S použitím Macaulayovy durace a při zanedbání členů vyšších řádů, tedy pouze s použitím:

diifdP )(

obdržíme:

dii

PMacdP dur )1( (250)

V případě, že výplata kupónu je jednou za pololetí, můžeme vztah mezi cenou a vnitřním výnosem zapsat do podoby:

23

22

21

)1()1()1( i

JHc

i

c

i

cP

přičemž z výše uvedeného platí:

2scc

První derivace ceny podle vnitřního výnosového procenta je:

48

1

23

122

121

)1(

23

)1(

22

)1(

21

i

JHc

i

c

i

cP

Odvozený vztah lze zobecnit pro n budoucích kupónových plateb na:

V případě, že do nejbližší výplaty kupónu zbývá například 18 dní, výplata je roční, do splatnosti zbývají 3 kupónové výplaty, rok má 360dní, citlivost můžeme vyjádřit následovně:

360360218

36036018

36018

)1()1()1(

i

JHc

i

c

i

cP

PP

i

JHc

i

c

i

c

i

P

23

22

21

)1(

23

)1(

22

)1(

21

)1(1

Pi

JHc

i

c

i

c

Mac D

23

22

21

)1(

23

)1(

22

)1(

21

Pi

JHcn

i

c

i

c

Mac

n

D

222

21

)1(

2...)1(

22

)1(

21

P

i

JHn

i

ck

Mac

n

n

kk

D

21 2 12...

)1(

2

49

1

3603602181

36018

)1(

360360218

)1(

36036018

)1(

36018

1360

36018

i

JHc

i

c

i

cP

Odvozený vztah lze zobecnit pro n budoucích kupónových plateb a d zbývajících dní do následující kupónové výplaty na:

(260)

V případě, že uvažujeme úrokovou sazbu na půlroční bázi, půlroční výplatu kupónu, 3 kupónové výplaty, do následující výplaty přesně ½ roku:

P

i

JHnd

i

ckd

Mac

nd

n

kkd

D

3603601

1

0 360360

1

3603601

...)1(

360360

PP

i

JHc

i

c

i

c

i

P

360

360218360

3601836018

)1(

360360218

)1(

36036018

)1(

36018

)1(1

Pi

JHc

i

c

i

c

Mac D

360360218

36036018

36018

)1(

360360218

)1(

36036018

)1(

36018

Pi

JHcnd

i

cd

i

cd

Mac

nddd

D

3603601

360360

360 )1(

3603601

...)1(

360360

)1(

360

50

32

212

121

ppp i

JHcic

icP

131211

21

23

21

22

21

21

ppp i

JHc

i

c

i

cP

PP

i

JHcic

ic

iP

ppp

p

321

21

3

21

2

21

21

121

P

i

JHcic

ic

Mac

ppp

D

321

21

3

21

2

21

21

Odvozený vztah lze zobecnit pro n budoucích kupónových plateb a m úrokovacích období mezi výplatami kupónů:

Pmi

JHcn

mic

mi

c

mMac

nmmm

D

1

...1

2

11

21

Pmi

JHn

mick

mMac

nm

n

kk

m

D

111

1

51

Macaulayova durace bezkupónového dluhopisu Macaulayova durace bezkupónového dluhopisu je rovna době do splatnosti. Je zřejmé, že střední doba splatnosti dluhopisu, který má jediný budoucí finanční tok v době splatnosti, musí být rovna právě této době. Macaulayova durace dluhopisu bez splatnosti V případě věčného dluhopisu je závislost P a i daná jedním ramenem hyperboly podle vztahu:

iCP

Pro i blížící se k nule limituje cena P nekonečna, jelikož při nulovém výnosu bychom při investování do dluhopisu měli obdržet to, co jsme vložili. Jelikož obdržíme nekonečně mnoho kupónových výplat, bude i cena P nekonečně velká. Pro Macaulayovu duraci dluhopisu bez splatnosti použijeme opět první derivaci ceny podle výnosu:

2iCP

Pii

PiCP

11

2

ii

PiiP

1

12

Jelikož musíme respektovat, že dii

PMacdP dur )1( a současně diifdP )(

iiMacD

1

Konvexita dluhopisu Jestliže chceme vyjádřit změnu dP přesněji použijeme opět Taylorovu větu:

Rdhafdhafdhafafhaf

...!3)(

!2)()()()(

32

ve tvaru pro změnu ceny v závislosti na úrokové míře i:

52

RdiifdiifdiifdP

...!3)(

!2)()(

32

a namísto pouze prvního členu rozvoje budeme uvažovat první dva členy.

!2)()(

2diifdiifdP

Člen

diif )( obsahuje duraci a člen

!2)( 2diif

v sobě obsahuje konvexitu. Jestliže položíme

Conv =P

if )( (272)

pak můžeme dP přibližně vyjádřit jako:

2

21

)1(diConvPdi

iPMacdP dur

(274)

Přesnou změnu ceny při konkrétní změně úrokové míry bychom obdrželi jednoduše po dosazení původní a změněné sazby do rovnice závislosti ceny na vnitřním výnosovém procentu a následně z nich vyjádřili změnu ceny. Durace však charakterizuje citlivost ceny na vnitřní výnosové procento v jednom bodě křivky. Kdybychom zvažovali situaci, kdy do první kupónové výplaty zbývá jedno celé kupónové období a do splatnosti dluhopisu zbývá n kupónových výplat, pak:

niJHc

ic

icP

1

...1)1( 2

132 1

...12

)1(1

niJHcn

ic

icP

53

243 1)1(...

16

)1(2

niJHcnn

ic

icP

P

iJHcnn

ic

ic

Convn 243 1

)1(...16

)1(2

V případě obr. 2.33 investujeme při ceně 100 jednotek měny, rovné JH, stejnou částku do dluhopisu se splatností 3, 4, 6 let, s kupónovou sazbou 3% p.a. a s výnosem do splatnosti 3% p.a. při ceně 100. Citlivost ceny např. dluhopisu s nejdelší dobou splatnosti na výnosu je z obrázku zřejmě největší v oblasti reálných nižších úrokových sazeb. V oblasti vysokých úrokových sazeb je situace opačná.

Obr.2.33 Investice do tří kupónových dluhopisů s různou dobou do splatnosti, zdroj: vlastní zpracování

Obrázek 2.36 znázorňuje závislost ceny na vnitřním výnosovém procentu u dluhopisů se stejnou dobou splatnosti =3 roky, avšak s různou velikostí kupónových sazeb (0,3,20%).

54

Z grafu je taktéž zřejmé, že jestliže investujeme stejnou částku 130 do všech dluhopisů, pak například při vzestupu hodnoty vnitřního výnosového procenta bude pokles ceny u každého dluhopisu jiný. Největší pokles bude u dluhopisu s nejnižší kupónovou sazbou, tedy v našem případě rovnou 0. Tato situace však nastává jen v oblasti nižších úrokových sazeb a v oblasti vysokých úrokových sazeb bude situace opačná. Na obrázku obr. 2.39 je znázorněna situace, kdy investujeme postupně dvojnásobnou a trojnásobnou částku do jednoho dluhopisu. Je nutné si uvědomit, že citlivost celkové ceny se s počtem nakoupených dluhopisů zvyšuje. V případě procentuální změny ceny, je citlivost ceny na počtu nakoupených dluhopisů nezávislá. Na obrázku obr. 2.39 je znázorněn i fakt, že každý kupónový dluhopis lze rozdělit na několik bezkupónových dluhopisů. Výsledné charakteristiky jsou na obrázku znázorněny.

Obr.2.36 Investice do tří kupónových dluhopisů se stejnou dobou do splatnosti, ale různou kupónovou sazbou

zdroj: vlastní zpracování

Macaulayova durace není závislá na velikosti ceny, což však celková výchylka je. Procentuální změnu ceny u dluhopisů s různou Macaulayovou durací, která odpovídá střední době splatnosti, pak můžeme znázornit například v následujícím obrázku obr.5. Vyšší hodnoty Macaulayovy durace mohou souviset s nižším kupónem, vyšší dobou splatnosti, popř. kombinací obou faktorů. Na obr. 2.45 jsou hodnoty první derivace P=f(i) v závislosti na velikosti doby splatnosti. V tabulkách 2.48 a 2.51 jsou hodnoty Mac.durace v závislostech na době splatnosti a výši kupónové sazby.

55

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49

Investice do jednoho, dvou, tří dluhopisů o stejné JH a kupónové sazbě,kupón.sazba=10%, roční výplata, splatnost=3 roky

celková cena v jednotkách měny

výnos do splatnosti v %

3 dluhopisy

2 dluhopisy

1dluhopis

Obr.2.39 Investice do více dluhopisů se stejnou dobou do splatnosti a shodnou kupónovou sazbou, zdroj: vlastní

zpracování

Obr.2.42 Změna ceny při poklesu výnosu do splatnosti o 30 b.p., zdroj: vlastní zpracování

56

Obr.2.45 hodnoty první derivace P=f(i) v závislosti na velikosti doby splatnosti

Tab. 2.48 jsou hodnoty Mac.durace v závislosti na výši kupónové sazby, zdroj: vlastní zpracování

57

Tab. 2.51 Hodnoty Mac.durace v závislosti na výši kupónové sazby a doby do splatnosti, zdroj: vlastní zpracování

Měnící se citlivost U dvou různých dluhopisů se můžeme setkat se situací kdy pro určité rozmezí vnitřního výnosu je první dluhopis citlivější než druhý a v jiném rozmezí výnosu je situace opačná. Uvažujme například dva dluhopisy (bezkupónový dluhopis-ZeroCoupon a kupónový dluhopis-DL2) podle obr.9. Z tab.2.54 je patrné, že v rozmezí výnosů 0-2% p.a. je změna ceny při změně výnosu do splatnosti o 1 procentní bod vyšší u dluhopisu (DL2) v rozmezí sazeb 3-14% p.a. je citlivější bezkupónový dluhopis (ZeroCoupon) a od 15% výše je opět citlivější kupónový dluhopis (DL2). Situace je též znázorněna na obr.2.57.

ZeroCoupon Dl2

kup.sazba 0.00 5.25 splatnost 27.00 78.00

JH 431.00 100.00

58

i cena změna ceny cena změna ceny

nákup 0.01 329.46 329.42 0.02 252.51 -76.95 227.82 -101.60 0.03 194.03 -58.48 167.52 -60.30 0.04 149.48 -44.55 129.78 -37.74 0.05 115.44 -34.04 104.89 -24.89 0.06 89.38 -26.07 87.63 -17.26 0.07 69.36 -20.01 75.13 -12.51 0.08 53.96 -15.41 65.71 -9.42 0.09 42.07 -11.89 58.38 -7.33 0.10 32.88 -9.19 52.53 -5.86 0.11 25.75 -7.13 47.74 -4.79 0.12 20.21 -5.54 43.76 -3.98 0.13 15.90 -4.31 40.39 -3.37 0.14 12.53 -3.37 37.50 -2.89 0.15 9.90 -2.63 35.00 -2.50 0.16 7.84 -2.06 32.81 -2.19 0.17 6.22 -1.62 30.88 -1.93 0.18 4.94 -1.28 29.17 -1.72 0.19 3.93 -1.01 27.63 -1.54 0.20 3.14 -0.80 26.25 -1.38 0.21 2.51 -0.63 25.00 -1.25 0.22 2.01 -0.50 23.86 -1.14 0.23 1.61 -0.40 22.83 -1.04 0.24 1.29 -0.32 21.88 -0.95

Tab 2.54 Měnící se citlivost, zdroj: vlastní zpracování

0.00

50.00

100.00

150.00

200.00

250.00

300.00

350.00

1 9 17 25 33 41 49 57 65 73 81 89 97 105 113 121 129 137 145 153 161 169 177 185 193

Obr. 2.57 Měnící se citlivost, zdroj: vlastní zpracování

59

Použití Macaulayovy durace pro odhad změny tržní ceny Jestliže ve vztahu (250) vydělíme levou i pravou stranu rovnice P, obdržíme následující vztah:

)1( idiMac

PdP

dur (275)

Levou stranu (275) můžeme interpretovat jako procentuální změnu ceny P. Vztah lze pak použít pro snadné odhady (bez výpočtů) procentuální změny ceny při změně vnitřního výnosového procenta o 1%, jelikož pravá strana rovnice je při hodnotách i<<1 rovna zhruba –Macdur:

durdur MacMacP

dP

)01.01(1100 (276)

Člen:

100P

dP

je roven procentuální změně ceny vyjádřené v procentech. Obdobně můžeme dobře odhadnout procentuální změnu ceny v případě změny nitřního výnosového procenta o 1,2,3,... procent.Vztah (276) můžeme modifikovat do podoby:

kMackMacP

dPdurdur

)01.01(100

kde k je příslušná procentuální změna vnitřního výnosového procenta. Modifikovaná durace (Modified Duration) Jestliže ve vztahu (278) zahrneme do jednoho členu zlomek

)1( iMacdur

obdržíme vztah pro tzv. modifikovanou duraci:

)1( iMac

Mod durdur

popřípadě

60

)1(mi

MacMod durdur

(282)

Modifikovaná durace tedy závisí na vnitřním výnosovém procentu a s jeho zvyšováním dochází k jejímu snížení. Blíží se tedy svými vlastnostmi k sensitivitě, když například Macaulayova durace jako střední doba splatnosti na vnitřním výnosovém procentu nezávisí. Přibližnou změnu ceny v jednotkách měny bychom pomocí modifikované durace mohli zapsat:

diPModdP dur (284) Dolarová durace, (Dollar Duration) První derivace f podle i ve vztahu:

RdiifdiifdiifdP

...!3)(

!2)()(

32

který je již výše zmíněnou aplikací Taylorovy věty pro změnu ceny dluhopisu, je nazývána dolarovou (korunovou) durací $dur a přibližnou změnu cenu v jednotkách měny můžeme pomocí dolarové durace $dur zapsat ve tvaru:

didP dur $ (286) BPV(Basis Point Value, Risk/Bloomberg/, DV01) BPV udává velikost změny (v absolutní hodnotě) v ceně dluhopisu při změně vnitřního výnosového procenta o 1% , přičemž cena dluhopisu je 100 jednotek měny. Hodnoty jsou blízké Macaulayově i modifikované duraci. Obr. 2.27, 2.30 znázorňuje jak Macaulayovu duraci (Conv Duration), modifikovanou duraci (Mod Duration) a BPV (Risk). Narozdíl od Macaulyaovy durace udává BPV změnu ceny přesně. BPV je tedy možné přesně spočítat jako rozdíl ceny dluhopisu před změnou a ceny dluhopisu po změně vnitřního výnosového procenta. Kdybychom chtěli vyjádřit absolutní hodnotu změny ceny při změně vnitřního výnosového procenta o +1% a ceně 100 jednotek měny, obdržíme:

durdur Maci

MacdP

01.0)1(

100

61

BPV se taktéž interpretuje jako změna dluhopisu za 100 000 jednotek měny při změně o 1 b.p. Citlivost ceny u dluhopisu s variabilním kupónovou sazbou Citlivost ceny dluhopisů s variabilní kupónovou sazbou se mění od okamžiku fixace sazby do výplaty kupónu. Směrem k výplatě kupónu se snižuje, situace je obdobná jako u bezkupónového dluhopisu. Změna celkové bilance výnosu z dluhopisu při změně vnitřního výnosového procenta Jestliže dojde k nákupu dluhopisu, který budeme držet do splatnosti, nemá změna vnitřního výnosového procenta žádný vliv na prodejní cenu, kterou je jmenovitá hodnota. Jestliže chceme dluhopis prodat před splatností a dojde-li například k vzestupu vnitřního výnosového procenta, vlivem celkového vzestupu úrokových měr v ekonomice, cena dluhopisu poklesne. Kupónové platby lze sice reinvestovat výhodněji, ale pokles celkové ceny typického kupónového dluhopisu bývá řádově větší, než případný nárust úroků při reinvestici kupónových plateb. Příklad: Vypočítejte celkovou bilanci z držení dluhopisu (včetně reinvestice kupónů) po dvou letech, jestliže po prvním roce držby dojde k vzestupu vnitřního výnosového procenta o 3 procentní body na úroveň, na které se udrží až do splatnosti. Dluhopis má roční výplatu kupónu, cs =5%, i=5%, JH=1000 CZK, splatnost je za tři roky. Do následné výplaty kupónu zbývá přesně jeden rok. Řešení: Cena v době nákupu:

0001

05.011000100005.0

05.01100005.0

)05.01(100005.0

32

P

Bez výpočtu je zřejmé, že jestliže je vnitřní výnosové procento rovné kupónové sazbě, pak musí být cena rovna jmenovité hodnotě. Po dvou letech a po změněné sazbě na 8% p.a. bude prodejní cena dluhopisu:

22.97208.01

1000100005.0

P

Pokles ceny je tedy roven:

8.2722.9721000 Zvýšení úrokového zisku při reinvestici vlivem zvýšení úrokové sazby o 3 p.b. bude:

62

5.25.525405.01100005.008.01100005.0 Celková ztráta 27.8 CZK je tedy jen zcela nepatrně kompenzována možností zlepšení reinvestice, která v našem případě přináší zlepšení o 2.5 CZK. Durace (Macaulyova) portfolia Durace portfolia složeného z více dluhopisů o různých duracích je rovna váženému průměru Macaulayových durací.

ndurndurdurnportfodur wMacwMacwMacwwwMac ...... 221121_ Macdur_portfo .......... durace portfolia w.......................... poměrná část celkové ceny (investice) P V případě jednoho kupónového dluhopisu můžeme na investici pohlížet jako na investici do několika bezkupónových dluhopisů, které pak tvoří portfolio o třech bezkupónových dluhopisech se splatností postupně za 1, 2, 3 období a se jmenovitou hodnotou C, C, C+JH. Durace takového portfolia musí být rovna Macaulayově duraci kupónového dluhopisu. V případě, že do první kupónové výplaty zbývá přesně jedno kupónové období, platí:

Pro jednotlivé poměrné časti investice w1,w2,...w2 platí:

... první bezkupónový dluhopis

... druhý bezkupónový dluhopis

PiJHcn

ic

ic

MacMacn

portfodurD

1...

12

)1(1

2

_

Pi

c

w )1(1

Pi

c

w2

2)1(

11_ durMac

22_ durMac

63

... třetí bezkupónový dluhopis

Imunizace portfolia Při imunizaci portfolia je záměrem sestavit portfolio s většího počtu dluhopisů tak, aby celková durace portfolia byla rovna určité hodnotě, pakliže je to vůbec možné. Jestliže dojde ke změně úrokové míry v ekonomice a s tím související změně vnitřního výnosového procenta dluhopisů, bude výchylka ceny portfolia odpovídat výchylce ceny jakéhokoliv jiného portfolia, popřípadě dluhopisu se stejnou durací. Budeme-li například zajišťovat portfolio proti kapitálové ztrátě při jeho budoucím prodeji a následné investici do portfolia jiného, které mají nyní stejnou současnou hodnotu, je nutné, aby měli obě portfolia stejnou duraci.

Obr.2.60 Dekompozice celkové ceny dluhopisu, zdroj: vlastní zpracování

Celková cena dluhopisu (Dirty Price, Total Price) Ze vztahu (201) můžeme vypočítat celkovou cenu P transakce, kterou zaplatíme za dluhopis při požadovaném vnitřním výnosu i. Celková cena je označována též jako Dirty (Full) Price a kromě vlivu blížící se výplaty kupónu v sobě odráží i současný stav a

PiJHc

wn

n)1(

33_ durMac

64

očekávaný vývoj vnitřního výnosového procenta. Je zřejmé, že při blížící se výplatě kupónu, kdy celý kupón obdrží držitel dluhopisu v rozhodném dni, by při zachování stejného požadovaného úrokového výnosu docházelo ke zvyšování ceny dluhopisu. Aby bylo zřejmé, že k vzestupu ceny dluhopisu došlo například v důsledku změny očekávání vývoje tržních sazeb, popřípadě jiných vlivů a ne v důsledku blížícího se rozhodného dne pro výplatu kupónové platby, byla úroková složka ceny od celkové ceny oddělena. Úroková složka se nazývá alikvotní úrokový výnos-AÚV (Accrued Interest) a odečteme-li od celkové ceny AÚV dostaneme kotovanou cenu (Clean Price), obr. 2.60. Kotovaná cena dluhopisu (Clean Price, Quoted Price)

Kotovaná cena dluhopisu je cena, která se běžně udává při obchodování na finančních trzích. Její vývoj je obtížně predikovatelný a podrobně o něm pojednáváme v kapitole Vývoj tržní ceny dluhopisu. AÚV, alikvotní úrokový výnos (Accrued Interest) Na obr. 2.63 je znázorněn průběh AÚV. Jestliže Settlement-date (den připsání kupónu na účet) je shodný s Ex-date (den následný po rozhodném dni pro výplatu kupónu Coupon date), nedosahuje AÚV záporných hodnot a je znázorněno tenkou čárou. Jestliže je Ex-date a Settlement-date rozdílné datum, je průběh znázorněn silnou čárou. Úrokový výnos po dobu držení dluhopisu, který je dán rozdílem AÚV v době prodeje a nákupu, popřípadě ještě započtením vyplacení kupónové platby, odpovídá vždy přesně participaci na velikosti kupónové platby vzhledem k délce doby držení dluhopisu. Z hlediska úrokového výnosu je tedy zcela lhostejné, kdy dluhopis kupujeme a prodáváme, důležitá je pouze doba držení. AÚV narůstá na denní bázi, takže průběh v detailním zobrazení je schodovitý, obr.2.68.

65

Obr.2.63 Vývoj AÚV, zdroj: vlastní zpracování

Obr.2.68 Detailní vývoj AÚV zdroj: vlastní zpracování

Alikvotní úrokový výnos v Settlement day je roven nule. Koupíme-li tedy dluhopis. v tento den, je náš AÚV rovný 0. Připadá-li Settlement day na Ex-coupon date, je AÚV v Ex-coupon day roven.

66

Obchodování s dluhopisy Dluhopisy se ve většině případů obchodují na mimoburzovním trhu, kde si jednotlivé protistrany obchodu přímo mezi sebou sjednávají podmínky obchodu. Mimoburzovní obchodování s sebou přináší určité problémy s transparentností. Ceny dluhopisů se tak stanovují pomocí futures kontraktů, které se obchodují na burzovních trzích. Trhy dluhopisů

Obr.3.3 Centrální objednávková kniha na EUREXu, zdroj: vlastní zpracování

Dluhopisy se obchodují především na OTC (Over the Counter) mimoburzovním trhu. Pro vyjádření ceny se zásadně používá kotovaná (Clean Price) a to jako procento ze jmenovité hodnoty, takže samotná jmenovitá hodnota není pro potřeby obchodování důležitá. Postačuje pouze celková velikost zakoupeného dluhu při splatnosti, ze které se všechny potřebné parametry dopočítají přes kupónovou sazbu a Clean Price v procentech. U emisí státních dluhopisů je často užívaný market-making, kdy se účastník skupiny market-makerů zavazuje na vyžádání poskytovat jak cenu nákupní, tak současně prodejní k určité emisi.

Kontrakty futures (Euro-Bund Futures, 10 Year U.S. Treasury Notes Futures) obchodované zejména na EUREXu a CBOT jsou cenově určující pro dluhopisy obchodované na mimoburzovních trzích, i vzhledem k transparentnosti burzovního trhu.

Na obr. 3.3 je příklad vstupu do centrální objednávkové knihy na trhu EUREX.

Rizika spojená s obchodováním s dluhopisy

kreditní riziko (bezriziková úroková míra) úrokové riziko

67

měnové riziko kapitálové riziko související s vývojem tržní ceny likvidita

Likvidita Likvidita zejména státních dluhopisů je značná, standardní obchodovatelná jednotka pro jeden obchod s dluhopisy je 10 000 EUR/USD/CZK. Dluhopisové futures kontrakty, jejichž podkladovým aktivem jsou státní dluhopisy, obchodované na EUREXu, CBOT, CME patří k nejlikvidnějším futures kontraktů světa. Riziko emitenta dluhopisu Rating Pro ohodnocení emitenta se používají ratingové agentury. Odborná literatura se problematice ratingových agentur věnuje velmi frekventovaně, proto si zde uvedeme jen základní záležitosti. Ratingové ohodnocení využívají investoři při posouzení kreditního rizika emitenta a pravděpodobnosti defaultu (v případě dluhopisů se jedná o celkové nebo částečné nesplacení nominální hodnoty, kupónových výplat, popřípadě jiných nároků držitele dluhopisu). V souvislosti s finančními krizemi a zejména hypoteční krizí v USA byla kvalita ratingových ohodnocení kritizována, zejména za nadhodnocený rating u CDO. Agentury jsou dále kritizovány, že nejsou zcela nezávislé, což souvisí i se zdrojem jejich financování, kdy ohodnocení si platí sama ohodnocovaná společnost. V současné době jsou nejvýznamnějšími agenturami Standard & Poor’s, Moody’s Investors Service a Fitch Ratings. Zmiňované tvoří “velkou trojku”. Dále k nim lze přiřadit čínskou ratingovou agenturu Dagong Global Credit Rating, která nabývá na známosti v posledním období, zejména díky snižování ratingu USA, ke kterému se nakonec připojila i Standard & Poor’s. Rating můžeme rozdělit na rating emise a rating emitenta a dále podle časového hlediska na krátkodobý (do 1 roku splatnosti závazků) a dlouhodobý (nad 1 rok splatnosti závazků). Ratingové ohodnocení posuzuje celou řadu faktorů, které spolupůsobí při vzniku rizika nesplacení závazků společnosti nebo státu. U korporací se jedná zejména o ukazatele z účetnictví, zisk, likviditu, kapitálovou strukturu, vývoj ukazatelů, vztahy s obchodními partnery, řízení rizik, strategie společnosti. U státu je pak podstatný hospodářský růst, míra zadlužení, vývoj inflace, politická stabilita. Přehled ohodnocení je znázorněn v tabulce 3.6.

Moody's Standard &

Poor's; Fitch

Zhodnocení

Aaa AAA Téměř žádné úvěrové riziko. Vynikající schopnost splnění finančních závazků.

68

Aa1 AA+

Aa2 AA

Aa3 AA-

Bezpečná investice s nízkým rizikem.

A1 A+

A2 A

A3 A-

Bezpečná investice, náchylná na ekonomické změny a negativní vlivy v daném oboru podnikání.

Baa1 BBB+

Baa2 BBB

Baa3 BBB-

Středně bezpečná investice vyskytující se často při zhoršených podmínkách v ekonomice. Stále dostatečná schopnost dostát svým závazkům, ale situace se může zhoršit.

Ba1 BB+

Ba2 BB

Ba3 BB-

Spekulativní investice - dlužník čelí nepříznivým podmínkám a je obtížné předpovídat budoucí vývoj.

B1 B+

B2 B

B3 B-

Spekulativní investice - dlužník čelí nepříznivým podmínkám a očekává se zhoršení situace.

Caa CCC

Ca CC

Pravděpodobnost úpadku nebo jiného přerušení činnosti - závazky nejspíše nebudou splaceny.

69

C C

D Velmi vysoká pravděpodobnost úpadku. Trvalá neschopnost dlužníka dostát svým závazkům.

WR Hodnocení staženo.

NR NR Subjekt bez ratingu.

Moody's Standard & Poor's Fitch Zhodnocení (v rámci krátkého období)

P-1 A-1+ F1+ Vynikající schopnost plnit své finanční závazky.

P-2 A-1 F1 Velmi dobrá schopnost plnit své finanční závazky.

A-2 F2 Uspokojivá schopnost plnit své finanční závazky.

P-3

A-3 F3 Nepříznivé ekonomické podmínky by mohly oslabit schopnost dlužníka plnit své finanční závazky.

B B Spekulativní charakter - náchylnost k negativním změnám.

C C Vysoké riziko, že dlužník nebude schopen plnit své finanční závazky. Závislost na ekonomické situaci a podmínkách v daném odvětví podnikání.

NP (not prime)

D D Dlužník je v prodlení, neplní své finanční závazky.

Tab 3.6 Přehled ratingových ohodnocení, zdroj: interní zdroje VŠE Pro investory je podstatná pravděpodobnost defaultu, která přísluší ke každému ohodnocení. Přehled pravděpodobností je v tab 3.9.

70

Tab. 3.9. Přehled pravděpodobností defaultu k jednotlivým ratingových ohodnocením

Vývoj tržní ceny dluhopisu

Vývoj tržní ceny dluhopisu je podstatně komplikovanější než například vývoj ceny akcií. Pro názornost uvažujme nejprve jednoduchý případ vývoje tržní ceny kupónového dluhopisu splatného za 20 let, s kupónovou sazbou 10%, s roční výplatou kupónu a při neměnném výnosu do splatnosti rovnému 3% p.a. na roční bázi. Na obr. 3.12 je znázorněn vývoj kotované ceny a AÚV od okamžiku pořízení (0) do konce 14. roku držby. AÚV odpovídá 10 % kupónové sazbě s roční výplatou. Celková cena je pak v každém okamžiku rovna součtu kotované ceny a AÚV.

71

Obr.3.12 Vývoj tržní ceny kupónového dluhopisu při neměnném výnosu do splatnosti, zdroj: vlastní zpracování

Na obr. 3.18 je znázorněn vývoj ceny bezkupónového dluhopisu ceny a AÚV od okamžiku pořízení (0) do konce 19. roku držby. Při konstantním výnosu do splatnosti se cena blíží jmenovité hodnotě (Pull to Par effect). U kupónových dluhopisů se cena může blížit jak “shora“, tak i “zdola“. Blíží-li se shora, je výnos do splatnosti nižší než kuponová sazba a křivka je konkávní podle obr. 3.12. Blíží-li se zdola, je výnos do splatnosti vyšší než kuponová sazba a křivka je konvexní podle U bezkupónového dluhopisu se cena ke jmenovité hodnotě přibližuje vždy “zdola“ a křivka je konvexní. Tvar lze vysvětlit znaménkem druhé derivace ceny jako funkce času při konstantním výnosu. Pro bezkupónový dluhopis můžeme funkci zapsat ve tvaru:

kde n je počet období do splatnosti a t je čas (proměnná) První derivace podle t je:

Je zřejmé, že první derivace je kladná pro i >0, záporná pro i<0 , druhá derivace je v obou případech kladná. V případě záporné úrokové sazby -10% , by křivka měla tvar dle obr.3.15, tedy sestupná a konvexní. Takový vývoj je však nereálný.

tniJHP

)1(

)1ln()1( iiJHP nt

)1(ln)1( 2 iiJHP nt

72

Obr.3.15 Vývoj tržní ceny bezkupónového dluhopisu při neměnném výnosu do splatnosti a záporné úrokové

sazbě, zdroj:vlastní zpracování

Obr.3.18 Vývoj tržní ceny bezkupónového dluhopisu při neměnném výnosu do splatnosti, vlastní zpracování

V realitě není situace tak jednoduchá, výnos do splatnosti se pod vlivem ekonomické situace a jiných kurzotvorných mechanismů neustále mění a vývoj podle obr. 3.12 a 3.18 je zcela nereálný. Na obr. 3.21 je skutečný vývoj cen dluhopisu, který je zde reprezentovaný příslušným futures kontraktem.

73

Obr.3.21 Skutečný vývoj ceny dluhopisu reprezentovaný příslušným futures kontraktem, zdroj: Bloomberg

Pravděpodobnostní rozdělení výnosů Na obrázcích 3.24, 3.27 je zachyceno pravděpodobnostní rozdělení denních výnosů na dluhopisovém futures kontraktu FGBL. Pravděpodobnostní rozdělení není normálního charakteru a vykazuje typické rysy pravděpodobnostních rozdělení většiny likvidních investičních instrumentů, tedy velké chvosty (Fat Tails) v okrajových pásmech rozdělení a ostrost (špičatost) ve středním pásmu rozdělení. Vzhledem k tomu, že rozdělení není normálního charakteru, procesem, který ho vytvořil, nemůže být jedna náhodná procházka, kdy jsou po sobě jdoucí výnosové kroky v ceně(výnosu) na sobě nezávislé. Vysvětlením může být proces, který předpokládá závislost krků, anebo mix několika náhodných procházek. Podrobněji o této problematice pojednáváme v kapitole Teorie popisující vývoj tržní ceny likvidních investičních instrumentů. Teorie popisující vývoj tržní ceny likvidních investičních instrumentů

Vývojem tržní ceny likvidních investičních instrumentů a z toho vyplývajícího výnosu se zabývá celá řada teorií, popřípadě modelů.

74

Obr.3.24 Pravděpodobnostní rozdělení denních výnosů FGBL (1990-2004), zdroj:

Euro Bund Daily Future Returns.Source: Daniel Herlemont 2004, Risk Management Study of Managed Futures

Obr.3.27 Pravděpodobnostní rozdělení denních výnosů FGBL (1990-2004), zdroj:

Euro Bund Daily Future Returns.Source: Daniel Herlemont 2004, Risk Management Study of Managed Futures

Ne všechny lze však považovat za model úplný, od kterého se očekává, že dokáže vysvětlit všechny pozorované efekty související s vývojem tržní ceny na finančním trhu s pomocí reálně existujících prvků a mechanismů, které na finančním trhu opravdu působí. Jedná se tedy o to, aby model měl jasnou interpretaci na reálný objekt, jehož je modelem.

75

Mezi pozorované efekty (nezbytné vysvětlit) patří zejména vývoj cen/výnosů likvidních investičních instrumentů, který je blízký náhodné procházce (ale ne shodný), pozorované odchylky od normality v pravděpodobnostních rozděleních cen/výnosů pro různě dlouhá období (typickým znakem je pozitivní kurtosis s ostrostí a velkými chvosty - fat tails), finanční krize (krachy), volatilní vývoj ceny v časových intervalech, kdy na finanční trh nepřicházejí žádné významné kurzotvorné informace, vliv ekonomických informací na vývoj ceny, malá pravděpodobnost (popřípadě nemožnost) získání určité výhody při dosahování zisku při spekulativních obchodech.

Teorie efektivních trhů, stejně tak i např. koncept behavioral finance, jsou modely založené na popisu vnitřních mechanismů, od kterých se jednoznačně odvíjí i možný výstup systému při daném vstupu. Konkrétně teorie efektivních trhů na základě příchodu neočekávaných kurzotvorných informací, které jsou ze své podstaty náhodné (vstup systému) a na které finanční trh správně reaguje (teorie tvrdí o vnitřním mechanismu systému, že reakce účastníků trhu je v průměru správná), dovozuje vznik náhodné procházky ceny/výnosů v grafech jednotlivých investičních instrumentů (výstup systému), tedy svým způsobem dovozuje z vnitřního popisu a vstupu i výstup systému, jako jeho odezvu na vstup. Takto popsaný systém je však systémem bez paměti, není tedy systémem dynamickým (ve smyslu kybernetickém). Ve zcela obecné rovině lze při správném vnitřním popisu jakéhokoliv systému dovodit i korektní a jednoznačný výstup systému při daném vstupu..

Naopak existují teorie, které popisují jen výstup systému (technická analýza) a na základě takového popisu se snaží modelovat i predikci budoucího vývoje. Takové teorie se reálnou interpretací mechanismů mezi vstupem a výstupem systému mnohdy vůbec nezabývají, popřípadě je velmi obtížná a je tedy komplikované i dokazování jejich správnosti, jelikož se zde pohybujeme v oblasti statistického zpracování získaných dat, kde na správnost teorie lze usuzovat jen s určitou pravděpodobností.

Další skupinou jsou teorie, které popisují primárně systém z vnějšku (vztahy mezi vstupem a výstupem) a svému popisu se snaží najít odpovídající interpretaci s větším či menším úspěchem.

Mezi nejznámější a dosud velmi diskutovanou teorii patří teorie efektivních trhů. Lze konstatovat, že testy tržní efektivity stále probíhají, i když mnohdy s nejistým výsledkem, jehož nejistota však není dána samotnou teorií, ale zejména testovacím prostředím.

Samotná teorie efektivních trhů není zcela správnou teorií, neboť pravděpodobnostní rozdělení výnosů likvidních investičních instrumentů, např. akcií nelze vzhledem k empirickým pozorováním obecně považovat za normální, přičemž by takovým, vzhledem k předpokládané náhodné procházce cen/výnosů, mělo být. Odchylky od normality pozorované v pravděpodobnostních rozděleních cen/výnosů likvidních investičních instrumentů lze vysvětlit několika způsoby. Jednou z možností je dynamické modelování, předpokládající systémy s pamětí, které k odchylkám od normality skutečně vede a má i svoji odůvodněnou interpretaci na finanční trh. Model dynamického finančního trhu je typickým zástupcem dynamického modelování.

Druhou možností je modelovat odchylky od normality efekty, které souvisí s měnící se volatilitou. Ty vedou například k modelování odchylek pomocí mixu více normálních rozdělení, avšak v praxi taková rozdělení na finančních trzích nenacházíme. Modely s měnící se volatilitou mají navíc obtížnou interpretaci a v mnoha případech je zpochybnitelná.

Další možností jsou například některé modernější modely, které jsou založeny na teorii katastrof (za zakladatele je považován R. Thom, 60. léta 20.st.), rozvinutá v oblasti finančních trhů zejména Ch. Zeemanem (70. léta 20.st.). Modely vysvětlují odchylky od normality pomocí problematiky stability systémů (například stochastická teorie Cusp katastrof), mnohdy ale vyžadují interpretaci, kterou nelze použít ve zcela obecné rovině. Předpokládají např. účast dvou skupin účastníků finančního trhu-chartistů a fundamentalistů,

76

přičemž jejich podíl je vstupní veličinou systému, od které se odvíjí stav-míra změny tržního ohodnocení investičního instrumentu. Model využívá poměrně dobře kyberneticky rozpracovaný aparát pro posouzení stability systému, zabývá se jejím porušením v okamžicích krachů finančních trhů, avšak obecný model musí dobře popisovat i výrazné odchylky v obdobích, kdy se situace z hlediska chartistů a fundamentalistů nemění.

Larrain (1991), Vaga (1991) stejně jako Hsieh (1991, 1995) a Peters (1994, 1996) se zabývají vznikem odchylek od normality, převážně však jejich měřením, například pomocí Hurstova koeficientu, který souvisí s teorií fraktálů a soběpodobností fraktálních struktur. Teorie se méně věnují přesné interpretaci modelů na finanční trh. Například Larrain (1991) připouští, že finanční trh obsahuje dlouhodobou paměť a může vytvářet poměrně velké výchylky, které nejsou náhodné, ale deterministické.

Behavioral Finance jsou spíše konceptem pro popis určitých situací, které byly pozorovány opakovaně a které jsou dávány do souvislostí s psychologickými aspekty účastníků finančních trhů. V žádném případě se nejedná o ucelený model, který by komplexně řešil problematiku a usiloval o vysvětlení všech efektů, které lze na finančních trzích pozorovat.

Teorie efektivních trhů a technická analýza jsou dokonce v přímém rozporu ohledně možnosti predikce budoucího cenového vývoje. Dokazování předpokladů i důsledků teorií je značně problematické. Nyní si podrobněji rozebereme teorii efektivních trhů a některé modernější pohledy. Teorie efektivních trhů Předpoklady modelu Teorie efektivních trhů je jedním z nejpoužívanějších modelů, snažících se vysvětlit chování likvidních finančních trhů. Za zakladatele teorie fiktivních trhů lze považovat Eugene Famu, který základní předpoklady a konsekvence zformuloval na základě empirických pozorování v letech 1965-1970. Teorie efektivních trhů má několik předpokladů a navíc lze podle ní finanční trhy rozdělit do několika submodelů podle toho jakou mají formu „efektivity“. Základní předpoklady teorie efektivních trhů:

Na finančních trzích je dostatek racionálně uvažujících investorů, kteří se snaží zhodnotit cenu příslušného investičního instrumentu, aktivně obchodují a mají k dispozici pravdivé, relevantní a aktuální informace z ekonomiky. Při počínání jsou řízeni především ziskovým motivem.

Investoři reagují správně a rychle na nové relevantní informace. Obchodování je spojeno s nízkými transakčními náklady a snadno přístupné.

K výše uvedeným předpokladům je nutné uvést následující. Druhý předpoklad se často mírně modifikuje do podoby, že ne všichni investoři správně ohodnocují příslušný instrument, nýbrž jej ohodnocují správně v průměru. Uvedená modifikace připouští nesprávnou reakci některých investorů, avšak v průměru je ohodnocení správné. K předpokladům je nutné dodat, že se přijímají bez důkazu a jejich správnost by tudíž měla být dovozována na základě souladu důsledků modelu s empirickým pozorováním. Důsledky modelu, vyplývající z předpokladů:

77

Kursy investičních instrumentů velmi rychle a přesně zohledňují ve svých cenách nové relevantní informace. Časové zpoždění mezi příchodem informací a jejich vestavěním do ceny je minimální.

Tržní ceny/kurzy konají náhodnou procházku. Generátorem náhodných kroků je příchod neočekávaných informací, které jsou ze své vlastnosti „být neočekávaný“ náhodné a to jak v čase, kdy přicházejí, tak především ve svém charakteru pozitivnosti/negativnosti vzhledem k ceně/výnosu investičního instrumentu. Právě náhodnost charakteru informace způsobí onen nečekaný náhodný krok nahoru/dolů v ceně/výnosu. Jestliže pak předpokládáme posloupnost neočekávaných informací s 50% pravděpodobností příchodu pozitivního/negativního charakteru, pak takový proces vygeneruje několik kroků náhodné procházky normálního (gaussovského) typu.

Na efektivních trzích nelze použít postupů, vycházejících z historických, anebo současných kurzů pro predikci budoucího vývoje ceny/výnosu.

Finanční trhy dále mohou nabývat tří forem efektivnosti. Slabá forma efektivnosti. Předpokládá, že v aktuálním cenovém/výnosovém ohodnocení jsou obsažena veškerá historická data. Není tudíž možné použít například metodu technické analýzy pro predikci budoucích kurzů/výnosů. Pro získání profitu lze využít “pomalé” vstřebávání kurzotvorných informací. Středně silná forma efektivnosti. Předpokládá, že v aktuálním cenovém/výnosovém ohodnocení jsou obsažena nejen veškerá historická data, ale i všechny aktuální relevantní ekonomické informace. Na finančním trhu nelze nalézt podhodnocený/ nadhodnocený investiční instrument. Silná forma efektivnosti je doplněním středně silné formy o neveřejné informace. Při silné formě efektivnosti pozbývá smysl shromažďovat i neveřejné informace, které nepomohou získat výhodu při predikci budoucího vývoje ceny/výnosu investičního instrumentu. Pozitiva a nedokonalosti modelu Teorie efektivních trhů je poměrně jednoduchý model. Jeho výstup v podobě pohybu kurzů/výnosů náhodnou procházkou je snadno pochopitelný a vysvětluje v prvním přiblížení celou řadu efektů, které můžeme na finančním trhu skutečně pozorovat Nyní se zaměříme podrobněji na splnění předpokladů modelu, ve kterých je možné najít několik výrazných slabin. Otázkou je, zda-li lze předpokládat, že na finančním trhu je převaha racionálně uvažujících investorů, což může být dáno i celkovým snazším přístupem velkého množství veřejnosti na finanční trh, zejména na derivátové trhy. Otázkou je, zdali lze předpokládat, že se většina investorů zabývá správným ohodnocením příslušného investičního instrumentu, přičemž je zřejmé, že pro naplnění jejich ziskového motivu postačuje správně odhadnout směr budoucího vývoje. Investorům může být informace o správném ohodnocení nepřínosná, neboť její vypovídací schopnost o budoucím vývoji je prakticky nepoužitelná, je-li všeobecně známo, že kurzy jsou například dlouhodobě nadhodnocené a i přes to se ke své „správné“ hodnotě nevracejí, naopak se od ní mohou ještě vzdalovat. Otázkou je, zdali vůbec existuje vždy tzv. správná cena investičního instrumentu, anebo lze najít jen „rozumnou“ cenu v určitých cenových pásmech, vždyť při hledání například vnitřní hodnoty akcií pracujeme pouze s pravděpodobností budoucích dividendových výnosů, s částečně subjektivním dojmem o předpokládaném riziku investice a z toho získaného

78

kvantitativního ohodnocení požadované míry výnosnosti. Často se v modelech neuvažuje prodejní cena a předpokládá se držení akcie nekonečně dlouho. V případě dluhových instrumentů není situace o moc příznivější, zkusme například přesně ocenit požadovanou míru výnosnosti dluhopisu splatného za 30 let. Výše jsme nastínili několik sporných záležitostí, které jsou částečně v rozporu s předpoklady teorie efektivních trhů. Je zřejmé, že jestliže nejsou zcela jistě splněny předpoklady modelu, nelze též usuzovat, že budou v praxi naplněny důsledky. Některé rozpory teorie efektivních trhů s realitou: Nejvýraznější důsledek teorie efektivních trhů je pohyb cen/výnosů náhodnou procházkou, kterou generují neočekávané informace. Jaké je empirické potvrzení tohoto důsledku? Statistické zpracování historických dat naznačuje že vývoj cen/výnosů je velmi blízký náhodné procházce, nicméně pravděpodobnostní rozdělení cen/výnosů není totožné s normálním (Gaussovským), obr 3.24. V rozdělení se nacházejí deformace, o kterých budeme pojednávat v dalších kapitolách. Dalším důsledkem předpokladů je fakt, že efektivní finanční trhy reagují pouze v případě příchodu neočekávané relevantní informace z ekonomiky. Přímá pozorování však prokazují, že finanční trhy vykazují pohyb i v případě, že žádná relevantní informace na trh prokazatelně nepřichází. Nelze též souhlasit s konstatováním, že se „neustále něco děje“ a jakýkoliv pohyb ceny/výnosu na finančním trhu je důsledkem příchodu nějaké informace. Je sice pravdou, že na finanční trh neustále nějaké informace přicházejí, avšak nelze očekávat, že každá informace způsobí pohyb ceny. Obchodníci na finančním trhu běžně zadávají do centrálních objednávkových knih celou řadu limitních pokynů s platností například 1 den a více, přičemž počítají s tím, že cena se může vychylovat i za nezměněné ekonomické situace právě bez příchodu neočekávaných informací, jinak by limitní příkazy neměly logický smysl. Moderní teorie finančních trhů Modernější teorie vývoje tržní ceny likvidních investičních instrumentů (např. Model dynamického finančního trhu) předpokládají účinky zpětných vazeb, které napomáhají vytvořit odchylky od normality, pozorované např. v pravděpodobnostním rozdělení dle obr.3.24.

Zpětné vazba je zde příčinnou vazbou mezi budoucností a minulostí, kterou se přenášejí informace z výstupu systému opět na jeho vstup a přispívá tak k řízení systému a tedy ke zpětnému ovlivnění výstupu systému.

Jestliže uvažujeme finanční trh jako systém, pak výstupem systému můžeme chápat především cenu určitého investičního instrumentu a vstupem systému pak činnost obchodníků, investorů, spekulantů vkládajících pokyny k nákupu či prodeji investičního instrumentu.

Jaké informace lze získat na výstupu finančního trhu? Jedná se o cenu investičního instrumentu a tím i výnosů, dále pak o zobchodované objemy, informace o vývoji trhu v minulosti v podobě grafů, celou historii o tom, jak po příchodu určité informace finanční trh reagoval atd.

Předpokládejme, že většina investorů výstupní informace sleduje a jsou pak těmito informacemi nějak ovlivněni při budoucím investičním rozhodnutí, např. ohledně nákupu nebo prodeje určitého investičního instrumentu. Následný samotný nákup nebo prodej je již konkrétní zásah do vývoje ceny, který uzavře zpětnovazební smyčku a může například odchýlit pravděpodobnost směru následného kroku od 50%. Tímto procesem se vlastně realizuje zpětná vazba mezi budoucími a minulými kroky ve vývoji ceny investičních

79

instrumentů a můžeme konstatovat, že jestliže alespoň jeden aktivní investor sleduje historická data, pak na finančním trhu existuje zpětná vazba.

Existuje celá řada studií, kolik % investorů používá technickou analýzu, či jiný prostředek pro predikci budoucího vývoje a následný způsob investování, a tak na základě minulosti ovlivňuje budoucí vývoj. Je zřejmé, že informace na výstupu finančního trhu mohou ovlivňovat budoucí chování investorů i bez vlivu vnějších informací přicházejících z ekonomiky. Taková zpětná vazba může sama o sobě být motorem ve vývoji ceny i bez jakéhokoliv vlivu informací, které nepocházejí z výstupu systému.

Výše uvedené zřejmě dobře odůvodňuje zavedení předpokladu, že finanční trh můžeme pokládat za dynamický systém – systém s pamětí, u něhož je okamžitá hodnota vnitřních veličin závislá na okamžitých i minulých hodnotách a musíme opustit představy o rozdělení normálního typu vývoje tržní ceny. Jednoduché modely zpětné vazby se též objevují v rámci Behavioral finance, kde se předpokládá vznik setrvačného chování při vzestupu či poklesu ceny.

Zpětné vazby předpokládá např. i model Koherentního trhu. (Tonis Vaga 1994) Podle modelu Dynamického finančního trhu předpokládáme zejména tyto základní

zpětné vazby:

Setrvačnost trendů

Jedná se o tendenci prodlužování krátkodobých i dlouhodobých trendů, které mohou prvotně vzniknout například procesem náhodného příchodu pokynů. Obchodníci pak vkládají pokyny pod vlivem trendové formace a způsobují svým postupem prodloužení či stabilizaci trendu. Zpětná vazba spočívá v pozorování trendu v minulých (historických datech) a pod tímto vlivem zásah do budoucího vývoje.

Zpětná vazba vlivem převládajících trendů souvisí s již výše zmiňovaným modelem Feedback (setrvačného chování ceny při jejím vzestupu či poklesu) v rámci konceptu Behavioral finance.

Setrvačnost ceny - klidová Jedná se o tendenci setrvávání ceny na předešlé hodnotě, jestliže na finanční trh nepřišla žádná relevantní informace a současně není aktivován proces setrvačnosti trendů. Na finančních trzích často dochází k tendenci návratu k předešlé hodnotě, jestliže došlo k odchýlení například v důsledku procesu náhodného příchodu pokynů do centrální objednávkové knihy (popřípadě do OTC trhu). Techniky obchodování Většina obchodních technik, zejména na denní bázi je zpětnovazební proces. Velmi používaná technika úrovňového obchodování je přímo založena na existenci vztahu mezi minulým (včerejším vývojem) a budoucím zásahem do finančního trhu. Například při úrovňovém obchodování na denní bázi je podstatných několik úrovní. První úroveň je hodnota, na které cena uzavírala předchozí den, další úrovně jsou především úrovně dané metodami technické analýzy, kdy se jedná o úroveň opuštění např. trendového kanálu, či úrovně resistence, popřípadě odporu, které již vývoj ceny v nedávné době „testoval“. Úrovně často souvisejí s psychologií „kulatých“ čísel.

80

Investoři mnohdy postupují způsobem, který lze popsat následovně. Jestliže cena od otevření ještě neprolomila některou z úrovní, lze očekávat její návrat k uzavírací hodnotě z předešlého dne. Pokud cena úroveň prolomila, lze očekávat její pokračování ve směru prolomení. Prolomení se často zachycuje umístěním STOP-LOSS pokynů, kterými se takto otevírají pozice ve směru očekávání. Tendence vracení se k závěrečné předchozí zavírací hodnotě vyústila i v několik metod používaných při tradingu, např. Monday Gap, která tvrdí, že jestliže se objeví mezera ve vývoji ceny v pondělí, bude vždy vývojem uzavřena. Pro účely tvorby modelu je podstatná skutečnost, že někteří obchodníci přizpůsobují své obchodování tomuto předpokladu a uzavírání gap pak podporují. Mezi techniky obchodování patří i technická analýza.

Ekonomické ukazatele ovlivňující tržní cenu V souladu se všemi modely i s praxí lze konstatovat, že tržní cena je ovlivněna příchozími ekonomickými informacemi, přičemž lze očekávat, že všechny většinově očekávané informace jsou v ceně již zohledněny. Podstatné pro následný krok ve vývoji ceny je obsah nově příchozí neočekávané kurzotvorné informace. Na takový typ informace je možné očekávat i skokovou změnu s minimálním objemem obchodů. Je nutné si však uvědomit, že cena se pohybuje i v okamžicích, kdy na finanční trh nepřicházejí žádné kurzotvorné informace. Obecně lze shrnout, že obsah informace, který naznačuje možné vyšší výnosové procento dluhopisu, působí na pokles ceny a naopak. Ekonomické ukazatele USA, které jsou z hlediska vývoje tržní ceny dluhopisů nejpodstatnější:

• Ukazatele nezaměstnanosti (Unemployment Figures) • Consumer Price Index (CPI) • Producer Price Index (PPI)

• Personal Income a Consumption Expenditures

• Hrubý domácí produkt (Gross National Product)

• Car Sales

• Retail Sales • Industrial Production and Capacity Utilization

• Housing Starts and Building Permits

• Durable Goods Orders

81

Korelace s akciemi Korelace akcií a dluhopisů závisí na volbě datového vzorku. Korelace na denní bázi nabývá nižších hodnot (např. 0.12), korelace na časově delší bázi je výraznější a pozitivní, což je patrné se srovnáním vývoje akciového a dluhopisového indexu podle obr. 3.30.

Obr.3.30 Vývoj ceny akcií a dluhopisů (2010), zdroj:interní zdroje VŠE

Obr.3.33 Vývoj korelace ceny akcií a dluhopisů na měsíční bázi, zdroj:interní zdroje VŠE

82

Obr.3.36 Vývoj korelace ceny akcií a dluhopisů na denní bázi, zdroj:interní zdroje VŠE

Flying To Quality, Flying to Safety Při vývoji tržní ceny dluhopisu se často setkáváme s efektem, které souvisí i například s krátkodobou negativní korelací dluhopisů (zejména státních) s akciemi. Efekt je označován jako Flying To Quality nebo Flying to Safety a dochází při něm k přelévání kapitálu z akcií do dluhopisů během propadů čí krizí na akciovém trhu, popřípadě obecně z rizikovějších instrumentů do méně rizikových. Shrnutí o vývoji tržní ceny

Jestliže dluhopis nedržíme do splatnosti, pak je celkový výnos z jeho držení závislý nejenom na nákupní ceně, ale i na prodejní ceně, za kterou dluhopis prodáme.

Tržní prodejní cenou rozumíme Clean Price, nebo-li kotovanou cenu, která je rovna Dirty Price zmenšená o AÚV.

Vývoj Clean Price, zejména u střednědobých a dlouhodobých dluhopisů, je v rozsahu několika procent velmi obtížně predikovatelný. Vzhledem k duraci například dluhopisů splatných za 10 let dochází při kolísání vnitřního výnosového procenta v rozmezí +/- 10 b.p. k výchylkám celkové ceny v rozmezí +/- 1 % z tržní ceny. K takovým výchylkám často dochází i během jediného obchodního dne, z čehož vyplývá, že velikost fluktuací tržní ceny a tudíž kapitálového výnosu u takových dluhopisů je mnohem významnější než velikost úrokového výnosu z kupónových plateb, který se pohybuje v řádech procent z pořizovací ceny, ale za jeden rok.

Vývoj Clean Price u krátkodobých dluhopisů již není vzhledem k duraci příliš „dramatický“ a s blížícím se okamžikem splacení postupně konverguje ke jmenovité hodnotě.

Vývoj Clean Price lze dobře přirovnat k náhodné procházce ceny, stejně jako u akcií a jiných instrumentů obchodovaných na likvidních finančních trzích, i když vzhledem k pravděpodobnostním rozdělením se o náhodnou procházku jednat nemůže.

V souladu s některými moderními modely finančních trhů je predikovatelnost směru budoucího vývoje jen zhruba o 1 % vyšší než 50%.

Cena Clean Price se v praxi odvozuje od ceny příslušného Futures kontraktu. Faktory a informace nejvíce ovlivňující vývoj ceny/výnosu dluhopisů, přicházejících

z reálné ekonomiky:

83

„rychlá x pomalá“ ekonomika inflační tlaky (CPI, PPI, NAPM, unemployment figures) protiinflační politiky centrálních bank, pohyby úrokových sazeb, strategie

FEDu, FOMC flying to safety, flying to quality měnové operace centrálních bank (BOJ, ECB, Federal Reserve System) úrokový spread a kreditní riziko u korporátních dluhopisů emerging markets vliv vývoje akciových trhů vliv finančních krizí vliv situace na komoditních trzích

Tržní cena se v souladu s praxí pohybuje i v časových intervalech, kdy na trh nepřicházejí žádné kurzotvorné informace.

Všechny výše uvedené faktory a rizika je třeba uvažovat při správě dluhopisového portfolia, zejména riziko výchylky tržní ceny u dlouhodobějších dluhopisů a zvolit přiměřený způsob ochrany. Dluhopisové futures kontrakty Futures kontrakty patří mezi finanční deriváty. Hlavní rysy futures jsou následující:

Má formu termínového obchodu, kdy mezi uzavřením obchodu a jeho vypořádáním existuje určitý časový interval (u dluhopisových futures běžně 3 měsíce). Po vypršení časového intervalu futures kontrakt expiruje.

Jedná se o nepodmíněný termínový obchod (narozdíl od opčních kontraktů). Jedna protistrana je povinna podkladové aktivum při expiraci futures dodat (krátká(short) pozice) a druhá koupit (dlouhá(long) pozice).

Futures kontrakty se obchodují na organizovaných trzích (EUREX, LIFFE, CBOT, CME,...)

Futures kontrakty lze kdykoliv na příslušném trhu koupit (otevřít dlouhou (long)) pozici a následně prodat. Je možný i opačný postup, kdy nejprve kontrakt prodáme (otevřeme krátkou(short) pozici) a následně dokoupíme.

Při uzavření termínovaného obchodu není teoreticky nutná žádná počáteční investice. Případné zisky při následném pohybu ceny podkladového aktiva tak mohou vzniknout “z ničeho“. S tímto faktem souvisí pojem “pákový efekt“. U futures kontraktů dochází ke skládání tzv. margin na denní bázi, kterou se organizovaný trh zajišťuje proti ztrátám vzniklým během 1 dne. Velikost margin je spojena s empiricky zjištěnou volatilitou příslušného kontraktu a neměla by přesáhnout maximální možnou denní ztrátu vztaženou na příslušný počet kontraktů. Margin je možné chápat jako počáteční investici na nákup futures kontraktu.

Cena závisí zejména na ceně podkladového aktiva, ale též na jiných faktorech. Futures kontrakty se používají zejména pro:

spekulace

84

Spočívá ve snaze zrealizovat kapitálový zisk rozdílnou cenou při nákupu a následném prodeji, popřípadě prodejem a následným nákupem. V prvním případě otevíráme spekulativní dlouhou(long) pozici, v druhém případě otevíráme spekulativní krátkou (short) pozici. Z pohledu teorie her se jedná o hru s nulovým součtem, kdy jedna protistrana získává a druhá o stejnou částku přichází. zajištění

O zajištění budeme podrobně pojednávat v kapitole Zajištění dluhopisového portfolia pomocí futures kontraktů

arbitráž Na likvidních dluhopisových trzích je možnost arbitráže prakticky vyloučena. Výhody burzovního trhu oproti trhu OTC: velká likvidita odpadá kreditní riziko

Nevýhody burzovního trhu oproti trhu OTC: standardizace kontraktů

Jak jsme se již v předchozím textu zmínili, cena dluhopisů se v praxi odvozuje od cen příslušných futures kontraktů a to zejména díky vysoké transparentnosti organizovaného (burzovního) futures trhu. Velký počet obchodů (celkový objem jedné transakce je ale mnohem nižší než u skutečných dluhopisů) souvisí s nízkými náklady pro vstup na futures trh a považuje se za prospěšný pro vypovídací hodnotu burzovní ceny. Na následujícím obr. 3.36 je zachycen dopolední vývoj ceny dluhopisového kontraktu FGBL, obchodovaném na EUREXu. V tabulkách 3.39 pak jeho bližší burzovní specifikace.

Obr.3.36 Dluhopisový kontrakt FGBL, zdroj: EUREX

85

Contract Specifications

Version 19 Sep 2011 Contract Standards

Notional short-, medium- or long-term debt instruments issued by the Federal Republic of Germany, the Republic of Italy or the Swiss Confederation with remaining terms and a coupon of:

Contract Product ID Remaining Term

Years

Coupon Percent

Currency

Euro-Schatz Futures FGBS 1.75 to 2.25 6 EUR

Euro-Bobl Futures FGBM 4.5 to 5.5 6 EUR

Euro-Bund Futures FGBL 8.5 to 10.5 6 EUR

Euro-Buxl® Futures FGBX 24.0 to 35.0 4 EUR

Short-Term Euro-BTP Futures FBTS 2 to 3.25 6 EUR

Mid-Term Euro-BTP Futures FBTM 4.5 to 6 6 EUR

Long-Term Euro-BTP Futures FBTP 8.5 to 11 6 EUR

CONF Futures CONF 8.0 to 13.0 6 CHF

Tab. 3.38 Specifikace dluhopisových kontraktů na EUREXu, zdroj: EUREX

Contract Values EUR 100,000 or CHF 100,000.

Settlement A delivery obligation arising out of a short position may only be fulfilled by the delivery of certain debt securities issued by the Federal Republic of Germany, the Republic of Italy or the Swiss Confederation with a remaining term on the Delivery Day within the remaining term of the underlying. Debt securities issued by the Republic of Italy must have an original term of no longer than 16 years. In the case of callable bonds issued by the Swiss Confederation, the first and the last call dates must be between eight and 13 years. Debt securities must have a minimum issue amount of EUR 5 billion respectively CHF 500 million in the case of debt securities issued by the Swiss Confederation.

Price Quotation and Minimum Price Change The Price Quotation is in percent of the par value.

Minimum Price Change Contract

Percent Value

Euro-Schatz Futures 0.005 EUR 5

Euro-Bobl Futures 0.01 EUR 10

Euro-Bund Futures 0.01 EUR 10

Euro-Buxl® Futures 0.02 EUR 20

Short-Term Euro-BTP Futures 0.01 EUR 10

Mid-Term Euro-BTP Futures 0.01 EUR 10

Long-Term Euro-BTP Futures 0.01 EUR 10

CONF Futures 0.01 CHF 10

86

Contract Months Up to 9 months: The three nearest quarterly months of the March, June, September and December cycle.

Delivery Day The tenth calendar day of the respective quarterly month, if this day is an exchange day; otherwise, the exchange day immediately succeeding that day.

Notification Clearing members with open short positions must notify Eurex on the Last Trading Day of the maturing futures which debt instrument they will deliver. Such notification must be given by the end of the Post-Trading Full Period.

Last Trading Day Two exchange days prior to the Delivery Day of the relevant maturity month. Close of trading in the maturing futures on the Last Trading Day is at 12:30 CET.

Daily Settlement Price The Daily Settlement Prices for the current maturity month of CONF Futures are determined during the closing auction of the respective futures contract. For all other fixed income futures, the Daily Settlement Price for the current maturity month is derived from the volume-weighted average of the prices of all transactions during the minute before 17:15 CET (reference point), provided that more than five trades transacted within this period. For the remaining maturity months the Daily Settlement Price for a contract is determined based on the average bid/ask spread of the combination order book.

Final Settlement Price The Final Settlement Price is established by Eurex on the Final Settlement Day at 12:30 CET based on the volume-weighted average price of all trades during the final minute of trading provided that more than ten trades occurred during this minute; otherwise the volume-weighted average price of the last ten trades of the day, provided that these are not older than 30 minutes. If such a price cannot be determined, or does not reasonably reflect the prevailing market conditions, Eurex will establish the Final Settlement Price.

Market-Making An overview of Designated Market Makers for Euro-BTP Futures is available here.

Tab. 3.39 Specifikace dluhopisových kontraktů na EUREXu, zdroj: EUREX

Conversion Factor , Cheapest to Delivery Dojde-li k expiraci futures kontraktu, protistrana, která je v dlouhé pozici (long position), obdrží dodávku (delivery) podkladových dluhopisů od protistrany, která je v krátké pozici (short position), za dodací cenu (delivery price). K expiraci dochází zpravidla v pravidelných intervalech, například pro dluhopisové futures na EUREXU v tří měsíčních cyklech, viz. tab 3.42 (Expiry month) Deliverable Bonds and Conversion Factors Product Code

Product name Currency Expiry month

CONF CONF Futures CHF Dec Mar Jun Sep

87

2011 2012 2012 2012

FBTM Mid-Term Euro-BTP Futures

EUR Dec 2011

Mar 2012

Jun 2012

Sep 2012

FBTP Long-Term Euro-BTP Futures

EUR Dec 2011

Mar 2012

Jun 2012

Sep 2012

FBTS Short-Term Euro-BTP Futures

EUR Dec 2011

Mar 2012

Jun 2012

Sep 2012

FGBL Euro-Bund Futures EUR Dec 2011

Mar 2012

Jun 2012

Sep 2012

FGBM Euro-Bobl Futures EUR Dec 2011

Mar 2012

Jun 2012

Sep 2012

FGBS Euro-Schatz Futures EUR Dec 2011

Mar 2012

Jun 2012

Sep 2012

FGBX Euro-Buxl® Futures EUR Dec 2011

Mar 2012

Jun 2012

Sep 2012

Tab. 3.42 Specifikace expirace dluhopisových kontraktů na EUREXu, zdroj: EUREX Protistrana v krátké pozici musí pro dodání použít některý z dluhopisů, které jsou předepsané příslušným trhem. Například pro Euro-Bund Futures (FGBL), s expirací v prosinci 2011, musíme použít některý z dluhopisů podle tab. 3.45. Z důvodu zabránění negativního dopadu vyšší poptávky po určitých emisích dluhopisů na likviditu dluhopisového trhu před expirací futures kontraktu, stanovuje příslušný trh více emisí, ze kterých je možné vybrat dluhopisy pro dodání. Deliverable Bonds for Euro-Bund Futures Dec 2011 Deliverable Bond ISIN

Coupon Rate (%)

Maturity Date

Conversion Factor

DE0001135408 3.00 04.07.2020 0.803418

DE0001135416 2.25 04.09.2020 0.750685

DE0001135424 2.50 04.01.2021 0.760622

DE0001135440 3.25 04.07.2021 0.803821

DE0001135457 2.25 04.09.2021 0.729389 Tab. 3.45 Specifikace dluhopisů k dodání při expiraci, zdroj: EUREX

Conversion Factor (C_factor) v tab 3.45 slouží k přepočtu ceny kontraktu, na základě jeho settlement ceny (Settlement Price) na čistou cenu dluhopisu, za kterou se pak podkladový dluhopis dodává. Settlement cenu zveřejňuje příslušný burzovní trh. V tab.3.48 vidíme settlement ceny u dluhopisových futures kontraktů na EUREXu.

88

Fixed Income Futures Product Expiry Month Final Settlement Price

FEO1 September 98,540

FGBL September 138,16

FGBM September 123,43

FGBS September 109,785

FGBX September 120,48

FEU3 September 98,464

CONF September 147,73

FBTP September 106,36

FBTS September 104,12

FEUU September 98,97

Tab. 3.48 Settlement ceny u futures kontraktů, zdroj: EUREX

U každého jednotlivého dluhopisu z tab. 3.45 můžeme dopočítat čistou cenu pro dodání podle vztahu:

factorCPP settlementDclean __ kde C_factor je Conversion Factor, Pclean_D je čistá cena pro delivery a Psettlement je settlement cena futures kontraktu. Přepočet vychází ze skutečnosti, že cena dluhopisového futures obecně odpovídá ceně určitého kupónového dluhopisu D. Dluhopis D má splatnost, která odpovídá době do splatnosti podkladových dluhopisů pro daný futures kontrakt (“remaining terms“ v “contract specification“, tab. 3.38) a kupónovou sazbu, která je uvedena ve specifikaci futures kontraktu (“coupon“ v “contract specification“, tab 3.38). Podstatné pro výpočty dodací ceny je, že výnos do splatnosti dluhopisu D by se měl v okamžiku delivery rovnat výnosu do splatnosti všech dluhopisů určených pro delivery. Na základě této úvahy vypočteme C_factor. Jestliže je stejná kupónová sazba u dluhopisů pro delivery jako je kupónová sazba ve specifikaci futures kontraktu, C_factor je roven 1. Máme-li pro dodání na výběr více dluhopisů (viz tab. 3.45), vybereme takový, se kterým jsou spojeny nejnižší náklady na dodávku. Náklad představuje rozdíl mezi pořizovací cenou dluhopisu Pclean a jeho cenou pro dodání Pclean_D

factorCPPPPCOST SettlementDcleanDcleanclean ___ Pojem “Cheapest to Delivery“ se používá pro dluhopis s nejnižšími náklady na dodání, tedy s nejnižšími COST.

89

Příklad Stanovte, který z dluhopisů v tab. 3.51 je “Cheapest to Delivery“, jestliže Settlement Price pro FGBL (prosincový kontrakt) by byla stanovena na 137.15. Deliverable Bond ISIN

Coupon Rate (%)

Quoted Price

Conversion Factor

DE0001135408 3.00 111.43 0.803418

DE0001135416 2.25 105.07 0.750685

DE0001135424 2.50 107.41 0.760622

DE0001135440 3.25 113.77 0.803821

DE0001135457 2.25 104.76 0.729389

Tab. 3.51 Settlement ceny u futures kontraktů, zdroj: EUREX

Řešení Pro výpočet “Cheapest to Delivery“ vypočteme nejprve cenu dluhopisů pro delivery (Delivery Price) jako součin Conversion Factor, který je daný futures trhem a tržní ceny dluhopisů (Quoted Price), tab. 3.54. Deliverable Bond ISIN Delivery Price Quoted Price Conversion Factor

DE0001135408 110.19 111.43 0.803418

DE0001135416 105.96 105.07 0.750685

DE0001135424 104.32 107.41 0.760622

DE0001135440 110.24 113.77 0.803821

DE0001135457 100.03 104.76 0.729389

Tab. 3.54 Delivery price u futures kontraktů, zdroj: EUREX

Nejnižší náklady představuje 2. dluhopis shora (DE0001135416), kde rozdíl mezi cenou pořízení a cenou pro delivery (prodejní) je dokonce pozitivní. Ve všech ostatních případech je negativní. Zajištění dluhopisového portfolia pomocí futures kontraktů Dluhopisové portfolio je vystaveno riziku kapitálových ztrát vzhledem k obtížně predikovatelným výchylkám tržní ceny. Jestliže neplánujeme držet všechny jednotlivé dluhopisy v portfoliu až do splatnosti a z nějakého důvodu je musíme před splatností prodat (například v případě pojistného plnění pojišťoven), tržní cena se v takový okamžik může pohybovat hluboko pod pořizovací cenou dluhopisu a prodejem budeme realizovat kapitálové ztráty. V případě, že nechceme portfolio

90

takovému riziku vystavit a akceptujeme, že výnos z držení dluhopisu bude představovat jen úrokový výnos v podobě kupónových plateb, popřípadě AÚV, můžeme portfolio zajistit pomocí futures kontraktů (hedging portfolia pomocí futures). Takto zajištěné portfolio bude v případě správného zajištění téměř imunní vůči změnám tržní ceny, takže v případě prodeje dluhopisů před splatností bychom neměli realizovat kapitálové ztráty. Slovo “téměř“ je voleno záměrně, neboť existují určitá rizika, která nelze hedgingem zcela odstranit. Jestliže zajišťujeme dluhopis, který je přímo podkladovým aktivem některého futures kontraktu, pak tento futures kontrakt volíme pro zajištění a situace je nejjednodušší. Princip zajištění pak vyplývá z obrázku 3.57. Na obrázku je vývoj kotované tržní ceny zajišťovaného dluhopisu a jeho futures kontraktu. Jestliže dluhopis máme v portfoliu (jsme tedy v jeho případě v dlouhé pozici) a ve futures otevřeme krátkou pozici ve stejném objemu jmenovitých hodnot, bude výsledné P/L v průběhu zajištění zhruba nulové, jelikož výchylky P/L budou stejné. Průběh jednotlivých P/L je na obr. 360. Podstatná je zde stejná citlivost ceny na úrokové sazby u futures jako u podkladového dluhopisu.

Obr. 3.57 Příklad vývoje tržní ceny futures kontraktu a podkladového dluhopisu, zdroj: vlastní zpracování V tomto případě mluvíme o tzv. perfect hedging. I v případě perfect hedging však nedokážeme odstranit některá rizika, jako je například basis risk, související obecně s odchylkami ve vývoji porušujícími předpokládanou korelaci ve vývoji futures ceny a ceny podkladového aktiva. Na obr. 3.60 je znázorněna situace, kdy se cena futures vyvíjí jiným způsobem než je cena podkladového aktiva. Cena futures F se může nalézat nad i pod cenou podkladového aktiva S. V případě dluhopisu bychom pro takové srovnání museli přepočíst cenu pomocí Conversion Factor. Obě situace mají následující pojmenování:

• F < S, Normal Backwardation • F > S, Contango

91

Obr. 3.57 Příklad vývoje P/L z pozice ve futures kontraktu a podkladového dluhopisu, zdroj: vlastní zpracování

Keynes, Hicks tvrdí, že v případě Normal Backwardation spekulanti zaujímají dlouhou pozici ve futures a hedgeři krátkou pozici, v případě Contango zaujímají spekulanti krátkou pozici ve futures a hedgeři dlouhou pozici. V případě, že zajišťujeme dluhopis, který není podkladovým aktivem pro některý futures kontrakt a jehož doba do splatnosti je rozdílná od dostupných futures, použijeme pro jeho zajištění takový kontrakt, který dobou do splatnosti zajišťovanému dluhopisu odpovídá nejvíce. Rozdílnou citlivost ceny na úrokovou sazbou pak musíme kompenzovat objemem pozice ve futures, jelikož absolutní hodnota výchylky P/L je dána jednak citlivostí kotované ceny a jednak velikostí pozice. Jestliže budeme zajišťovat portfolio s větší Macaulayovou durací než odpovídá futures kontraktu, musíme otevřít ve futures pozici o větším objemu než je pozice v dluhopisech, aby se absolutní výchylky P/L vyrovnaly. V takovém případě hovoříme o tzv. Cross Hedging. Základní rysy Cross Hedgingu jsou:

• zajišťovaný instrument a podkladové aktivum futures nejsou stejné, ale ceny jsou korelovány

• existuje koeficient h-Hedge Ratio, pro který platí: S= h* F + , h= * S / F Hedge Ratio h minimalizuje odchylky P/L dané odchylkami ve vývoji porušujícími předpokládanou korealci (obr.3.63)

92

Obr.3.60 Vývoj futures a spotové ceny, zdroj: John Hull, Options, Futures, and Other Derivatives, 6th edition

Obr.3.63 Optimální zajištění v bodě h, zdroj: John Hull, Options, Futures, and Other Derivatives, 6th edition

V případě dluhopisů stanovujeme koeficient h:

FMacSMac

didFdidS

dFdSh

D

D

93

Na základě znalosti h můžeme stanovit optimální počet kontraktů pro optimální zajištění. Z logiky věci platí:

hO

O 1_fs

N

1_f

s

OO

hN

Os .............................. objem pozice zajišťovaných dluhopisů (v jednotkách měny) O1_f .......................... objem jednoho futures kontraktu (v jednotkách měny) N .............................. počet futures kontraktů Příklad: Jaké množství futures kontraktů potřebujeme pro zajištění dluhopisu se střední dobou do splatnosti 7 let, jestliže objem dluhopisu ve jmenovité hodnotě je 1 000 000 USD, kotovaná cena je 107.5 % JH a cena futures, s podkladovým aktivem se střední dobou do splatnosti 5 let, je 102.3% JH. JH podkladového aktiva na jeden futures kontrakt je 100 000 USD. Řešení:

141000001000000

57

OO

1_f

s hN

Údaj o ceně není podstatný, jelikož se nám jedná o vzájemné relativní výchylky v P/L dané vývojem kotované ceny zajišťovaného dluhopisu a futures kontraktu. Při dlouhodobém zajištění je nutné vzhledem k expiraci futures kontaktů zajištění obnovovat a průběžně volit futures na podkladové dluhopisy s menší dobou do splatnosti.

94

Oceňování dluhopisů Stanovení běžné úrokové sazby pomocí bezkupónových dluhopisů Běžná úroková sazba, která připisuje úrok jednou ročně je vlastně analogií úrokové sazby, se kterou se setkáváme při úročení vkladu v bance. Platí:

)1( 111 iPVFV

2222 )1( iPVFV

. . .

nnnn iPVFV )1(

i1, i2,... in, jsou běžné úrokové sazby. Po výnos bezkupónových dluhopisů platí analogické vztahy:

)1( 11 i

JHP

22

2 )1( iJHP

.

.

.

nn

n iJHP

)1(

kde i1, i2,... in, jsou běžné úrokové sazby, které můžeme snadno ze znalosti JH a tržní celkové ceny dopočítat podle vztahu:

1 nn P

JHi

Oceňování typického kupónového dluhopisu pomocí běžných úrokových sazeb V případě jednoho kupónového dluhopisu můžeme na investici pohlížet jako na investici do n bezkupónových dluhopisů s různou dobou do splatnosti, které pak tvoří

95

portfolio o více bezkupónových dluhopisech se splatností postupně za 1, 2, 3,...,n období a se jmenovitou hodnotou C, C, ..., C+JH. V takovém případě budeme po každém dílčím dluhopisu požadovat zúročení odpovídající běžným úrokovým sazbám. Jelikož tedy bude platit rozdílná úroková míra pro jednotlivá cashflow (C, C, ..., C+JH) po celou dobu investice, můžeme aplikovat vztah (112) v podobě:

nniJHc

ic

ic

icP

1

...11)1( 3

32

21

(290)

Cenu dluhopisu můžeme též vyjádřit jako:

niJHc

ic

ic

icP

1

...11)1( 32

Je zřejmé, že obě ceny by se měly teoreticky rovnat. Kdybychom měli k dispozici strukturu vnitřních výnosových procent, mohli bychom přímo dosadit do vztahu pro vnitřní výnosové procento i. Jelikož se však nejběžněji dluhopisy oceňují pomocí běžných úrokových sazeb, dosadíme běžné úrokové sazbu podle obrázku 4.3 do vztahu (290). Stanovení běžné úrokové sazby pomocí kupónových dluhopisů (Bootstapping) Pro získání běžných úrokových sazeb ze znalosti cen kupónových dluhopisů a jejich parametrů můžeme použít metodu Bootstrapping. Metoda spočívá v postupném výpočtu běžných úrokových sazeb i1, i2,... in ze znalosti parametrů kupónových dluhopisů. Z kupónového dluhopisu splatného za 1 rok můžeme vypočítat i1 ze vztahu:

)1( 11 i

JHcP

11

1

P

CJHi

Při znalosti i1 můžeme jeho dosazením do vztahu pro 2 letý dluhopis:

221 1)1( iJHc

icP

snadno dopočítat i2. Dosazením i1, i2 do:

33

221 11)1( i

JHcic

icP

dopočítáme i3. Obdobně postupujeme pro i4, i5,... in. Oceňování typického kupónového dluhopisu pomocí IRS (Interest Rate Swap) Vzhledem k likviditě IRS je možné stanovit vnitřní výnosové procento z hodnoty sazby IRS.

96

Úrokový swap (IRS) je dohoda dvou stran vyměnit si úrokové závazky (platby) v různých sazbách vztahující se ke stejné nominální částce (jistině). Zpravidla se přitom jedná o výměnu fixní platby úroků za variabilní. Dochází tedy pouze k výměně úroků, avšak nikoli k výměně jistiny (tj. kapitálovému toku). Kupující IRS (plátce fixního úroku) profituje z nárůstu úrokových sazeb. Prodávající IRS (nabyvatel, příjemce fixního úroku) profituje v případě poklesu úrokových sazeb. V případě IRS představuje cena swapu vlastně velikost kupónové sazby, kterou platí kupující prodávajícímu. Jelikož na počátku ani na konci transakce nedochází k žádnému finančnímu vypořádání jistin, lze si celou situaci představit tak, že prodávající swapu kupuje kupónový dluhopis za cenu P=100% JH, při splatnosti ho pak prodává za 100% JH a během držby obdrží kupónové výplaty, odpovídající kupónové sazbě, která je rovna ceně IRS.

Obr.4.3 Struktura běžných úrokových sazeb, zdroj: vlastní zpracování

Situaci, kdy dochází k vypořádání IRS na roční bázi, odpovídá vztah:

nIRSIRS

IRSIRS

IRSIRS

)1(100...

)1()1(100 21

kde IRS je velikost fixní sazby(cena IRS swapu).

97

Řešené příklady: Příklad 901 Mějme dluhopis s fixní kupónovou sazbou 6.8% p.a., s frekvencí výplaty 1x ročně. Situace v den nákupu: 5 kupónových výplat do splatnosti. 25 dní do příští výplaty kupónu-settlement day (den nákupu nepočítejte), výnos do splatnosti 2.5 % p.a, konvence act/360, settlement day je shodný s ex-coupon day. Vyjádřete cenu dluhopisu jako procento ze jmenovité hodnoty a Macaulayovu duraci dluhopisu. Řešení: Podle vztahu (209) a (220) můžeme cenu vyjádřit jako procento ze jmenovité hodnoty následovně:

360360425

360360325

360360225

36036025

36025

)025.01(

1068.0

)025.01(

068.0

)025.01(

068.0

)025.01(

068.0

)025.01(

068.0

JHP

122.8%1.228JHP

kde P/JH je požadovaná cena jako procento ze jmenovité hodnoty, 0.068 je c/JH. Kdybychom i převedli na id pomocí vztahu pro převod mezi bázemi:

1365

1365

dii

Mohli bychom P/JH vyjádřit následovně:

3604253603253602253602525 )1(1068.0

)1(068.0

)1(068.0

)1(068.0

)1(068.0

ddddd iiiiiJH

P

a obdrželi bychom stejný výsledek. Ze vztahu (260) můžeme vypočítat Macaulayovu duraci, jestliže zlomek ještě vydělíme JH:

98

c současně přejde v cs =0.068, n=5, d=25 a Macaulayovu duraci spočítáme podle:

Příklad 902 Pro dluhopis z příkladu 901 spočítejte cenu v procentech ze jmenovité hodnoty a Macaulayovu duraci pro případ, že do nejbližší kupónové výplaty zbývá přesně 1 rok=360dní. Řešení: Kdybychom uvažovali do první kupónové výplaty 1 rok, pak P/JH:

%977.11919977.1)025.01(1068.0

)025.01(068.0

)025.01(068.0

)025.01(068.0

)025.01(068.0

54321

JHP

Pro Macaulyovu duraci bychom modifikovali vztah (260) na:

Po dosazení bychom obdrželi:

JHP

i

cnd

i

cd

i

cd

Mac

nddd

sss

D

3603601

360360

360 )1(

1360

3601

...)1(

360360

)1(

360

3855.3228.1

)1(

1068.0360

3601525

...)1(

068.0360

36025

)1(

068.036025

3603601525

36036025

36025

iiiMacD

JHP

ic

ic

ic

Mac

sss

D

5)1(15...

)1(2

)1(21

99

Příklad 903 Pro dluhopis z příkladu 901 vypočítejte AÚV v den nákupu v procentech ze JH. Řešení:

Do celého kupónu zbývá AÚV za 25 dní, tudíž se musí odečíst příslušná poměrná část od celého kupónu. Příklad 904 Pro dluhopis z příkladu 901 vypočítejte clean price v den nákupu v procentech ze JH. Řešení: Clean price vypočítáme jako rozdíl celkové ceny a AÚV v den nákupu.

Příklad 905 Vypočítejte, jak se změní cena dluhopisu při poklesu úrokové sazby o 3 procentní body. Dluhopis má roční výplatu kupónu, cs =5%, i=10%, JH=1000 CZK, splatnost je za tři roky. Do následné výplaty kupónu zbývá přesně jeden rok. Řešení: Nabízejí se dvě cesty výpočtu. První cestou je vypočítat cenu dluhopisu P před změnou úrokové sazby a následně po změně. Výsledná změna je rozdíl těchto dvou cen. Druhou možností je vypočítat změnu ceny pomocí Macaulayovy durace a konvexity. Cena dluhopisu před změnou úrokové sazby pomocí (213):

875.66

1.011000100005.0

1.01100005.0

)1.01(100005.0

32

P

4606.419977.1

)025.01(1068.05...

)025.01(068.02

)025.01(068.0

521

DMac

%33.60633.0360251068.0068.0

36025068.0

JHAÚV

%47.1161647.10633.0228.1 JH

AÚVJHP

JHPclean

100

Cena dluhopisu po změně úrokové sazby pomocí (213):

947.51

07.011000100005.0

07.01100005.0

)07.01(100005.0

32

P

Rozdíl cen=ΔP=71.85 Změna ceny pomocí Macaulayovy durace. Nejprve vypočítáme podle (240) Macaulayovu duraci:

Následně dosadíme do (250):

04.6803.0)1.01(

66.875849.2

P

Abychom výsledek zpřesnili, vypočítáme ještě konvexitu podle (272):

Conv = 25.966.87564.8103

ΔP pak můžeme přibližně vyjádřit podle (274) jako:

69.7165.304.6821

)1(2

diConvPdi

iPMacdP dur

Přesná hodnota změny ceny je 71.85, s použitím Macaulayovy durace a konvexity je přibližná hodnota 71.69. Kdybychom použili další členy v Taylorově rozvoji, výsledek se dále zpřesní. Příklad 906 Odhadněte o kolik procent se změní cena dluhopisu při vzestupu úrokové sazby o 1 %. Dluhopis má roční výplatu kupónu, cs =5%, i=10%, JH=1000 CZK, splatnost je za tři roky. Do následné výplaty kupónu zbývá přesně jeden rok. Řešení: Pro odhad můžeme použít vztah (76), podle kterého je procentuální změna ceny dluhopisu při změně vnitřního výnosového procenta o 1% rovna Macaulayově duraci. V příkladu 905 byla Maculayova durace stejného dluhopisu stanovena na 2.849 a příslušná procentuální změna

849.2

66.8751.011000503

1.01502

)1.01(501

32

DMac

101

ceny je tedy taktéž 2.849. Jelikož došlo k vzestupu úrokové sazby, cena o tuto hodnotu poklesne Příklad 907 Vypočítejte celkovou bilanci z držení dluhopisu po dvou letech, jestliže po prvním roce držby dojde k vzestupu vnitřního výnosového procenta o 3 procentní body. Dluhopis má roční výplatu kupónu, cs =5%, i=5%, JH=1000 CZK, splatnost je za tři roky. Do následné výplaty kupónu zbývá přesně jeden rok. Řešení: Cena v době nákupu:

0001

05.011000100005.0

05.01100005.0

)05.01(100005.0

32

P

Bez výpočtu je zřejmé, že jestliže je vnitřní výnosové procento rovné kupónové sazbě, pak musí být cena rovna jmenovité hodnotě. Po dvou letech a po změněné sazbě na 8% p.a. bude prodejní cena dluhopisu:

22.97208.01

1000100005.0

P

Pokles ceny je pak roven:

8.2722.9721000 Celkový úrokový výnos ze dvou kupónů je 100 CZK. Budeme-li navíc uvažovat reinvestici prvního kupónu na sazbu 8% p.a., bude z úrokového výnosu příjem 104 CZK. Celková bilance z nákupu a prodeje dluhopisu (včetně reinvestice kupónů) je na konci druhého roku 104-27.8=76.2 CZK. Částka je nižší, než kdyby k vzestupu vnitřního výnosového procenta nedošlo. Příklad 908 Porovnejte Moosmüller Yield a Yield to Maturity u dluhopisu, jestliže do splatnosti zbývá 54 dní. Jedná se o německý státní dluhopis, který se obchoduje za celkovou (dirty price) 103.23%, kupónová sazba je rovna 3.5% s roční výplatou kupónu, konvence ACT/365. Pro Yield to Maturity i v daném případě platí:

36554

1 i

JHcP

Vyjádříme-li cenu v procentech ze jmenovité hodnoty:

102

36554

1

1

i

cJHP s

Dosadíme-li číselné hodnoty:

36554

1

1035.00323.1i

Z rovnice pak obdržíme i, které je rovno 1.78 %. Moosmüller Yield imoos vypočteme z rovnice:

moos

s

i

cJHP

365541

1

Dosadíme-li číselné hodnoty:

moosi365541

1035.00323.1

Z rovnice pak obdržíme imoos , které je rovné 1.77 %. Moosmüller Yield vychází nižší, jelikož s finanční matematiky je známo, že při področním úročení, při ročním úrokovacím období, je při stejné úrokové sazbě jednoduché úročení výhodnější než složené. Obecně pro i platí:

ii

3655411 365

54

Při stejné FV a PV (v našem případě P a C+JH) pak musí být úroková sazba, která používá jednoduché úročení, nižší. Příklad 909 Mějme dluhopis s fixní kupónovou sazbou 6.3% p.a., s frekvencí výplaty 1x ročně. Situace v den nákupu: 3 kupónové výplaty do splatnosti. 64 dní do příští výplaty kupónu-settlement day (den nákupu nepočítejte), výnos do splatnosti na roční bázi ie=2.1 % p.a, konvence

103

act/365, settlement day je shodný s ex-coupon day. Vyjádřete cenu dluhopisu jako procento ze jmenovité hodnoty pomocí spojitého úročení. Řešení: S využitím vztahu (203) dostaneme vztah pro cenu dluhopisu jako procento ze jmenovité :

sss ids

ids

ids

e

c

e

c

e

cJHP

3653652

365365

365

1

Sazbu is vyjádříme pomocí i ze vztahu:

1 sie ei

)1ln( ii s

Číselně pak:

%078.2)021.01ln( si

%27.1141063.0063.0063.002078.0

36536526402078.0

3653656402078.0

36564

eee

JHP

Pro srovnání ještě uvedeme výpočet podle ISMA method s použitím sazby ie:

3653652

365365

365 )1(

1

)1()1(

d

e

sd

e

sd

e

s

i

c

i

c

i

cJHP

Číselně pak:

%27.114)021.01(

1063.0

)021.01(

063.0

)021.01(

063.0

365365264

36536564

36564

JHP

Je zřejmé, že oba výsledky se musejí rovnat. Příklad 910: Máme US Treasury Bond, fixní kupónová sazba=6 1/5

% p.a., frekvence výplaty kupónu je pololetní, situace v den nákupu: 5 kupónových výplat do splatnosti, 25 dní do příští kupónové výplaty (den

104

nákupu nepočítejte), výnos do splatnost (podle Street Convention) = 2.354% p.a., konvence ACT/360, settlement day=ex-coupon day.

1. Vyjádřete celkovou cenu (dirty) price v den nákupu jako procento ze jmenovité hodnoty. 2. Vyjádřete AÚV v den nákupu. 3. Vyjádřete Macaulayovu duraci.

Řešení: 1.

180180425

180180325

180180225

18018025

18025

)2

1(

12

)2

1(

2

)2

1(

2

)2

1(

2

)2

1(

2

i

c

i

c

i

c

i

c

i

c

JHP

sssss

Dosazením za cs=0.062, i=0.02354 obdržíme celkovou cenu v procentech ze jmenovité hodnoty. Obdobně dosazujeme i v dalších bodech 2. a 3. 2.

Macualayova durace jako střední doba splatnosti v pololetích:

Pro vyjádření v letech dělíme výsledek dvěma.

ss cc

JHAÚV

36025

2

JHP

i

c

i

c

i

c

Mac

sss

D

180180425

18018025

18025

)2

1(

12180

180425

...)

21(

218018025

)2

1(

218025

105

Použitá literatura:

1. Galen, D., Burghardt;Terrence,M., Belton; Morton, Lane; John, Papa: Treasury Bond Basis, Third Edition, McGraw-Hill, 2005

2. Frank, J., Fabozzi; T.,Dessa, Fabozzi: The Handbook of Fixed Income Securities, Fourth Edition, Irwin Professional Publishing, 1995

3. Musílek, Petr: Finanční trhy a investiční bankovnictví, ETC Publishing,852 s. ISBN 80-86006-78-6, Praha, 1999

4. Radová, Jarmila; Dvořák, Petr, Málek, Jiří: Finanční matematika pro každého, 6. aktualizované vydání, Grada Publishing, a.s., Praha, 2007

5. Stádník, Bohumil: Model dynamického finančního trhu, disertační práce, VŠE, Fakulta financí a účetnictví, Praha, 2011

6. Veselá, Jitka: Analýzy trhu cenných papírů, II.díl: Fundamentální analýza, VŠE, Praha, 2003

Date post:	16-Jun-2018
Category:	Documents
Upload:	dangnhu
View:	226 times
Download:	1 times

DLUHOPISY-Teorie a Praxe -...

Documents