projekt GML Brno Docens

DUM č. 13 v sadě

13. Ma-1 Příprava kmaturitě a PZ – algebra, logika, teorie množin, funkce,posloupnosti, řady, kombinatorika, pravděpodobnost

Autor: Jarmila Šimečková

Datum: 05.06.2013

Ročník: maturitní ročníky

Anotace DUMu: Funkce - absolutní hodnota: definice, geometrický význam, vlastnosti, funkce sabsolutní hodnotou, grafy, rovnice a nerovnice s absolutními hodnotami, sada úlohs výsledky

Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škola školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu.

projekt GML Brno Docens Název DUMu: Ma-1 Příprava k maturit ě a PZ – algebra, logika, teorie množin, funkce, posloupnosti, řady, kombinatorika, pravdepodobnost Autor: Jarmila Šimečková Datum: 20.12.2012 Ročník: maturitní seminář 4.A, 4.B, 8.AV, 6.AF, 6.BF Anotace DUMu: Funkce - absolutní hodnota: definice, geometrický význam, vlastnosti, funkce s absolutní hodnotou, grafy, rovnice a nerovnice s absolutními hodnotami, sada úloh s výsledky 13.Funkce, rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou

Absolutní hodnota reálného čísla a: a pro a 0 |a|

-a pro a 0

Geometrický význam absolutní hodnoty:

|x-s| r r r r-s s s+r Rovnice, nerovnice případně funkce s jednou absolutní hodnotou řešíme z definice absolutní hodnoty, s více absolutními hodnotami metodou nulových bodů.

Vlastnosti absolutních hodnot Pro každé reálné číslo a platí: 1. |a| 0, přičemž |a| = 0, právě když a= 0 2. |-a|= |a| 3. a) |a|= r,r 0 právě když a = r nebo a = -r b) |a| r, r 0, právě když -r r c) |a| r, r 0, právě když a r nebo a pro každá dvě reálná čísla a,b platí 1. |a±b| |a|+ |b| 2. |a±b| ||a|-|b|| |a|-|b| 3. |a-b| = |b-a| 4. |a b|= |a| |b|

5. b

a

b

a = pro b ≠ 0

Příklady: 1) (VŠE) Řešte rovnice v R:

131)

4321)

16243)

21)

03213)

132)

725)

231)

22

22

+−=+

=+−−++

=−+−−+

−=

=+−−

−++=

+−=−−+

−=−−

xxxh

xxxg

xxxf

xxe

xxd

xxxc

xxxxb

xxa

)

{ } { }0)8;2))3

3;1)

4;5

2)

2

1);2)3;-a):Řešení

hgřešenínemáfe

dcb

−

±±

−

−∞+∞

2) (VŠE) Řešte rovnice v Z:

11

1)

2332)

1159916)22

−=−

−−=−+

=−−−

xx

c

xxxxb

xxa

Řešení: { } { } { }2)1;0;1;2;3);-1;0....;-3;-2a) cb −−−

3) (VŠE) Řešte rovnice v daném intervalu:

(

))2;2472462)

1;3312312)

3;3647)

3;072632)

−=++−−+

−−−⋅=+−+

−−=−−+

+=−+−⋅

vxxxd

vxxxc

vxxxb

vxxxa

Řešení:

{ } { }

{ }1-)3

1;3)

1)1a)

dc

b

−

4) (VŠE) Řešte v R x R soustavy rovnic:

−=−=+−

=−=+−

573

21)

052

43)

yx

yxb

yx

yxa

Řešení:

[ ]

−

−−

5

7;

5

8,

2

1;

2

1)

3

2;

3

5,2;5)

b

a

5) (VŠE) V množině reálných čísel řešte nerovnice:

13

)

2

2

1

1)

31

1)

1)

12

22)

11)

342)

21)

63)

≤−

−≥

−

≥+

−≤

<−−

−>+−

<−≤

≥−+

≥−

x

xi

xxh

xg

xxfx

xe

xxd

xc

xxb

xa

)( )

)( ( ) ( )

) )

∞−∪−−

−∞−

+∞∪

+∞∞−∪

∞+∪−∞−∞+∪−∞−

2

3;)

3

4;11;0)1;

3

4)

2

1;)

;23

4;0);)7;62;1)

;2

3

2

1;);93;):

ihgf

edc

baŘešení

32

1log1)

43log2)

31log2)

2log)

12

11-xlog 0)

1log)

212

log)

23

1log)

11

23)

≤+<

<+<

≤−≤

>−

≤+

<

>−

≥−

≤−

−≤+−

xr

xq

xp

xo

n

xm

xl

xk

x

xj

)

( )

( ) ( )

( ) ( )) ( 1999;1921;2001)

10;1,01,0;10)1001;10199;999)

01,0;00;01,0)11;10

11

10

9;9)

;1010

1;0)

;20005

1;0)10;10)

4

1;

4

1): 75

∪−−

∪−−∪−−

∪−

∪

−

+∞∪

∞+∪− −

r

qp

on

m

lkjŘešení

6)(MZLU) V oboru R řešte nerovnice:

3- x 2)

23)

236)

213)

532)

312)

11)

12)

542)

233)

131)

12)

<−

−>−

+≤−

−≥+

+≤+

+>+

≥−+

≤+

<++

+≥+

+>−

+≥−

xl

xxk

xxj

xxi

xxh

xxg

xxf

xxe

xxd

xxc

xxb

xxa

( ) ( )

( )

) )

řešenínemálRkj

ih

g

Rfřešenínemáed

cba

Řešení

))4;1)

;2);4

3)

;23

2;)

))3

1;9)

;2

1

4

5;)0;)

2

1;)

:

∞+−∞+−

+∞∪

−∞−

−

∞+−∪−∞−

∞−∞−

7) (MZLU) Nakreslete graf funkce ( )xfy = a určete průsečíky s osami souřadnic

xyh

xyg

xyfx

xye

3log)

3)

1)

2)

=

−=

−=

=

xyl

xyk

xyj

xyi

sin2)

1cos)

sin3)

cos2)

=

−=

=

=

tgxyn

gxym

−=

=

)

cot)

2)

2cot)

xtgyp

xgyo

=

−=

xxyd

xyc

xyb

xya

+=

−=

−=

−=

)

2)

1)

4)

2

2

a)

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-5

5

x

y

(0,4)

(2,0)(-2,0)

b)

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-4

-2

2

4

x

y

(0,1)

(1,0)(-1,0)

c)

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-2

2

4

x

y

(0,-2)

(2,0)(-2,0)

d)

-3 -2 -1 1 2

-2

-1

1

2

3

x

y

(0,0)

(1,2)

e)

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-2

2

4

x

y

(0,-2)

(0,2)

f)

-4 -2 2 4 6

-4

-2

2

4

6

x

y

(1,0)(0,1)

g)

-4 -2 2 4 6

-4

-2

2

4

6

x

y

(3,0)(-3,0)

(0,3)

h)

-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

-1

1

2

x

y

(1,0)

i)

-6 -4 -2 2 4 6

-6

-4

-2

2

4

6

x

y

(0,2)

(-4.71,0) (-1.57,0) (1.57,0) (4.71,0)

j)

-6 -4 -2 2 4 6

-6

-4

-2

2

4

6

x

y

(0,0)(-3.14,0)(-6.28,0) (3.14,0) (6.28,0)

(0,3)

k)

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-5

5

x

y

(0,0)(-3.14,0)(-6.28,0) (3.14,0) (6.28,0)(0,-1)

l)

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-5

5

x

y

(0,0)(-3.14,0)(-6.28,0) (3.14,0) (6.28,0)

(0,2)

m)

-4 -3 -2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

(3.14/2,0)(-3.14/2,0) (3.14,0)(-3.14,0)

n)

-6 -4 -2 2 4 6

-12

-10

-8

-6

-4

-2

xy

(3.14,0)(-3.14,0) (6.28,0)(-6.28,0) (0,0)

o)

-6 -4 -2 2 4 6

-12

-10

-8

-6

-4

-2

xy

(3.14,0)(-3.14,0) (6.28,0)(-6.28,0) (0,0)

p)

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

5

10

x

y

(3.14,0)(-3.14,0) (6.28,0)(-6.28,0) (0,0)

8) (VŠE) Nakreslete graf funkce ( )xfy = v jejím definičním oboru

( )

1ln)

1ln)

1ln)1

2)

1

2)

1

2)

cossinsincos)

65)

65)

65)

65)

24)

sinsin

sin2)

11)

1

1)

46)

34222)

42)

)

2

2

2

2

2

2

2

+=

+=

+=−+

=

+=

++

=

⋅+⋅=

++=

++=

+−=

+−=

−−=

+=

+−−=

−=

++=

−+⋅−−−=

−−⋅−=

+=

xys

xyr

xyqx

xyp

x

xyo

x

xyn

xxxxym

xxyl

xxyk

xxyj

xxyi

xyh

xx

xyg

xxyf

xye

xxyd

xxxyc

xxxyb

x

xxya

Řešení: a)

y=(abs(x)+x)/x

-3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

x

y

b)

y=x^2-x*abs(x-2)-4

Posloupnost 1

-3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-2

2

x

y

(0.5,-9/2)

(0,-4)

c)

y=2-abs(2-x)-2*abs(x+4)-3x

Posloupnost 1

-15 -10 -5 5 10

-20

-15

-10

-5

5

x

y

(-4,8)

(2,-16)

(0,-8)

d)

y=x^2+6*abs(x)+4

Posloupnost 1

-40 -30 -20 -10 10 20 30 40

20

40

60

x

y

(0,4)

e)

y=1/(abs(x)-1)

-3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-2

2

x

y

(0,-1)

f)

y=abs(x-1)-abs(x+1)

-3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-2

2

x

y

(-1,2)

(1,-2)

g)

y=((2sin(x))^2)/(sin(x)+abs(sin(x)))

-10 -5 5 10

-10

-5

5

10

x

y

-4π

-3π

-2π -π 0 π 2π

3π

h)

y=abs(abs(x-4)-2)

-2 2 4 6 8

-2

2

4

6

8

x

y

(0,2)

(2,0) (6,0)

i)

y=abs(x^2-5x+6)

f(x)=(x^2-5x+6)

-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

1

2

3

4

x

y

(2,0) (3,0)(2.5,-0.25)

j)

y=x^2-5abs(x)+6

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

2

4

6

8

x

y

(-2.5,-0.25) (2.5,-0.25)

(0,6)

k)

y=abs(x^2+5x+6)

f(x)=x^2+5x+6

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3

2

4

6

8

x

y

(-2.5,-0.25)

(0,6)

l)

y=x^2+5abs(x)+6

f(x)=x^2+5(x)+6

f(x)=x^2-5(x)+6

-6 -4 -2 2 4 6

2

4

6

8

10

12

x

y

(-2.5,-0.25)

(0,6)

(2.5,-0.25)

m)

y=abs(cos(x))*sin(x)+abs(sin(x))*cos(x)

-1 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

x

y

(3.14/4,1)

(3.14+3.14/4,-1)

(3.14/2,0) (3.14,0)

n)

y=(abs(x+2))/(x+1)

-8 -6 -4 -2 2 4 6

-5

5

x

y

(-2,0)

(0,2)

o)

y=(2abs(x))/(1+abs(x))

-6 -4 -2 2 4 6 8

-5

5

x

y

p)

y=(abs(x-2))/(x-1)

-6 -4 -2 2 4 6 8

-5

5

x

y

(0,-2)

(2,0)

q)

y=abs(ln(x+1))

-2 -1 1 2 3 4 5 6

-2

2

4

x

y

r)

y=ln(abs(x+1))

-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1

-3

-2

-1

1

x

y

s)

y=abs(ln(abs(x+1)))

-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5

-1

1

2

3

x

y

Literatura:

1) Sbírka příkladů z matematiky k přijímacím zkouškám na VŠE, autoři: Marta Rosická a Lada Eliášová, ISBN 80-86119-62-9

2) Matematika – příklady pro přijímací zkoušky, RNDr.Petr Rádl a kolektiv, ISBN 80-7157-625-5