UCV-FACES-ECONOMA ECONOMETRA I, Semestre I-2011

UCV-FACES-ECONOMAECONOMETRA I, Semestre I-2013Profesor: Angel CovaTema I: Introduccin a la Econometra1Definicin y objetivoEconometra: medicin econmica (significado literal).

Consiste en analizar datos de origen econmico aplicando herramientas estadsticas y matemticas, con el propsito de dar soporte emprico a los modelos planteados por la teora econmica. No se considera una ciencia sino una disciplina que combina la teora econmica, la matemtica y la estadstica.2Metodologa economtricaPlanteamiento de la teora econmica.Especificacin del modelo matemtico de la teora.Especificacin del modelo estadstico de la teora (economtrico).Obtencin de los datos.Estimacin de los parmetros del modelo economtrico.Pruebas de hiptesis.Pronstico o prediccin.Utilizacin del modelo para fines de control o poltica econmica.

3Metodologa economtrica

44Los modelos y sus tipos.Finito, infinito.Lineal, no lineal.Simple, mltiple.Esttico, dinmico.Determinista, estocstico.De identidad, comportamiento.Uniecuacional, multiecuacional.Microeconmico, macroeconmico.

5El modelo economtrico Tipo de modelo y ecuacin.Variable dependiente (explicada) y variables independientes (explicativas). Parmetros (poblacionales) y estimadores (muestrales).Datos observados, datos estimados y trmino de error.6

Supuestos sobre las perturbaciones

7Criterios de seleccin de un modeloSer aceptable segn los datos.Ser consistente con la teora.Tener regresores dbilmente exgenas.Mostrar constancia paramtrica.Exhibir coherencia en los datos.Ser inclusivo.

La econometra como disciplinaRequisitos y niveles de conocimiento, bondades y problemas, alcances y limitaciones, coherencia entre la estadstica y la teora econmica.

88UCV-FACES-ECONOMAECONOMETRA I, Semestre I-2013Profesor: Angel CovaTema II: El Modelo Clsicode Regresin Lineal9Anlisis de regresinSe trata del estudio de la dependencia de la variable explicada, respecto a una o ms variables (denominadas explicativas), con el objetivo de estimar y/o predecir la media o valor promedio poblacional de la primera en trminos de los valores fijos conocidos (en muestreo repetido) de las ltimas.

Cuando dicha relacin se escribe a travs de una ecuacin lineal en los parmetros con una o mas variables explicativas, entonces se habla de un modelo clsico de regresin lineal (MCRL).10Trminos y conceptos para aclararEstablecer diferencias entre:Anlisis de regresin y anlisis de correlacin.Anlisis de regresin y anlisis de causalidad.

Dejar claro los siguientes trminos:Significado del trmino lineal (en las variables y en los parmetros).Significado del trmino de perturbacin estocstica. Funcin de Regresin Poblacional (FRP) y Funcin de Regresin Muestral (FRM).

11Supuestos del MCRLEl modelo de regresin es lineal en los parmetros.Los valores de X son fijos en muestreo repetido.El valor medio de la perturbacin (t) es igual a cero.Homoscedasticidad o igual varianza de t.No existe autocorrelacin entre las perturbaciones.La covarianza entre ty Xt es igual a cero.El nmero de observaciones (n) debe ser mayor que el nmero de parmetros por estimar.Variabilidad en los valores de X.El modelo de regresin esta correctamente especificado.No hay multicolinealidad perfecta entre las variables explicativas.

12Especificacin matricial del MCRL

13Especificacin matricial del MRLC

14Supuestos sobre las perturbaciones

15Estimacin por Mnimos Cuadrados Ordinarios (MCO)

16Estimacin por Mnimos Cuadrados Ordinarios (MCO)

17Propiedades estadsticas de los estimadores MCO

18Resumen de propiedades(enfoque matricial)

19Interpretacin de los estimadores de Si la variable explicativa Xi aumenta en una unidad, la variable explicada Y aumenta en promedio tantas unidades como indica el valor estimado de , manteniendo constante el resto de las variables explicativas.

Si la variable explicativa Xi aumenta en una unidad, la variable explicada Y disminuye en promedio tantas unidades como indica el valor estimado de , manteniendo constante el resto de las variables explicativas.

Nota: recuerde mencionar la unidad de medida de cada variable.

20

Condicin de ortogonalidad(enfoque matricial)

21Explicacin del promedio de la variable dependiente (Y) en el MRLC

22Suma de cuadrados: total, explicada y de residuos

23Suma de cuadrados: total, explicada y de residuos

24Los residuos y la bondad del ajuste: R2

25El R2 constituye la proporcin de la SEC con respecto a la STC, y nos indica que tanto de las variaciones que se producen en la variable dependiente (Y) son explicadas por el modelo estimado.Conceptos para revisar Algebra matricial.Derivadas totales y parciales.Propiedades de los logaritmos Distribuciones tericas de probabilidad: NormalZ (normal estndar)t de student2 F de snedecorEstimacin puntual y por intervalo.Contraste de hiptesis.

26Forma funcional de los modelosModelo lineal.Modelo log-lin (crecimiento).Modelo lin-log.Modelo log-log (logartmico, elasticidad constante).27

Los parmetros de acuerdo a la forma funcional de los modelos

28Interpretacin de los parmetros segn la forma funcional de los modelos1) Modelo lineal. Para i > 0; Xi aumenta (1 unidad); Y aumenta (i unidades). Para i < 0; Xi aumenta (1 unidad); Y disminuye (i unidades). 2) Modelo log-lin.Para i > 0; Xi aumenta (1 unidad); Y aumenta en porcentaje (i*100).Para i < 0; Xi aumenta (1 unidad); Y disminuye en porcentaje (i*100). 3) Modelo lin-log.Para i > 0; Xi aumenta (1%); Y aumenta (i/100 unidades).Para i < 0; Xi aumenta (1%); Y disminuye (i/100 unidades).

4) Modelo log-log.Para i > 0; Xi aumenta (1%); Y aumenta en porcentaje (i %).Para i < 0; Xi aumenta (1%); Y disminuye en porcentaje (i%).

29Comparacin entre modelosutilizando la bondad de ajuste R2Requisitos:El mismo tamao de la muestra (n).La misma variable dependiente (Y).

En este sentido, si tienen igual tamao de muestra se pueden comparar directamente los modelos:Lineal con lin-log.Logartmico con log-lin.

Si no se cumplen estas dos condiciones es necesario realizar transformaciones a los modelos para poder comparar la bondad de ajuste de los mismos.Pasar de logaritmo a lineal.Pasar de lineal a logaritmo.

30Modelo logartmico Elasticidad constante

31Modelo log-linTasas de crecimiento

32Inferencia en el MCRL para los coeficientes de la regresin

33Inferencia en el MCRL para los coeficientes de la regresin

3435Contraste de hiptesis para los coeficientes de la regresin (caso A)Naturaleza del problema.Determinar si la variable Xi aporta informacin de forma individual para explicar a la variable Y, a un nivel de significancia .Planteamiento de hiptesis.Ho: i = 0Ha: i 0 Estadstico de contraste.

Regla de decisin.

Conclusin.Si rechazo Ho, Xi aporta informacin de forma individual para explicar a la variable Y , a un nivel de significancia .

36Contraste de hiptesis para los coeficientes de la regresin (caso B)Naturaleza del problema.Determinar si la variable Xi aporta informacin de forma individual para explicar a la variable Y, a un nivel de significancia .Planteamiento de hiptesis.Ho: i 0Ha: i < 0 Estadstico de contraste.

Regla de decisin.

Conclusin.Si rechazo Ho, Xi aporta informacin de forma individual para explicar a la variable Y , a un nivel de significancia .

37Contraste de hiptesis para los coeficientes de la regresin (caso C)Naturaleza del problema.Determinar si la variable Xi aporta informacin de forma individual para explicar a la variable Y, a un nivel de significancia .Planteamiento de hiptesis.Ho: i 0Ha: i > 0 Estadstico de contraste.

Regla de decisin.

Conclusin.Si rechazo Ho, Xi aporta informacin de forma individual para explicar a la variable Y , a un nivel de significancia .

38Contraste de hiptesis de significancia global de la regresinNaturaleza del problema.Determinar si las variables explicativas en conjunto explican el comportamiento de Y, a un nivel de significancia .Planteamiento de hiptesis.Ho: 1=2=3==k=0Ha: Algn i 0 Para todo i=1,2,,k Estadstico de contraste.

Regla de decisin.

Conclusin.Si rechazo Ho, las variables explicativas en conjunto explican el comportamiento de Y, a un nivel de significancia .

Restricciones lineales sobre los parmetrosEn ocasiones los modelos planteados por la teora econmica exigen el cumplimiento de ciertas relaciones en los coeficientes. En este sentido, nos vemos en la necesidad de plantear restricciones lineales sobre los parmetros, las cuales dependern del requerimiento exigido tericamente. Como ejemplo se pueden mencionar:

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40Contraste de hiptesis para un conjunto de restricciones lineales sobre los parmetros

41Contraste de hiptesis para un conjunto de restricciones lineales sobre los parmetrosNaturaleza del problema.Determinar si la restriccin lineal planteada es estadsticamente vlida, a un nivel de significancia .Planteamiento de hiptesis.Ho: 1+2=1Ha: 1+2 1 Estadstico de contraste.

Regla de decisin.

Conclusin.Si rechazo Ho, no hay evidencia estadstica para afirmar que se cumple la restriccin lineal planteada, a un nivel de significancia .

Para estudiar este problema se aplica la prueba de estabilidad de los parmetros conocida como Test de Chow, el cual consiste en lo siguiente: Asumiendo que se dispone de n observaciones, se realiza una regresin del modelo planteado con todas las n observaciones y se obtiene SRC.Se divide la muestra de n observaciones en tantas sub-muestras (sub-perodos) como considere necesario el investigador, digamos m sub-muestras.Se realiza una regresin del modelo planteado para cada sub-muestra, de las cuales se obtienen SRCi, i=1,2,,m.Se calcula el siguiente estadstico:

Estableciendo un nivel de significancia , si el valor calculado de la F, resulta mayor que el valor crtico proporcionado por la tabla, entonces se rechaza la hiptesis nula (Ho: No hay cambios en los valores de los parmetros).

42Estabilidad de los parmetros.Contraste de estabilidad estructural

Naturaleza del problema.Determinar si hay cambios en los valores de los parmetros en el tiempo, a un nivel de significancia .Planteamiento de hiptesis.Ho: No hay cambios en los valores de los parmetros.Ha: Hay cambios en los valores de los parmetros. Estadstico de contraste.

Regla de decisin.

Conclusin.Si rechazo Ho, hay cambios en los valores de alguno de los parmetros en el tiempo, a un nivel de significancia . 43Estabilidad de los parmetrosContraste de estabilidad estructural

Prediccin en el modelo lineal.

44El objetivo consiste en predecir un conjunto de valores de Y que estn fuera de la muestra original (n). Dicho concepto puede verse expresado a continuacin:45Prediccin en el modelo lineal. Contraste de fallo predictivoNaturaleza del problema.Determinar si el modelo estimado es bueno para realizar pronstico, a un nivel de significancia .Planteamiento de hiptesis.Ho: Yp= Xp+p ; p~N(0,2Ig)Ha: Yp Xp+p Estadstico de contraste.

Regla de decisin.

Conclusin.Si rechazo Ho, el modelo estimado no es bueno para realizar pronstico, a un nivel de significancia .

46UCV-FACES-ECONOMAECONOMETRA I, Semestre I-2013Profesor: Angel CovaTema III: Evaluacindel Modelo Economtrico.46Profesor: Angel Cova47Criterios de seleccin de un modeloSer aceptable segn los datos.Ser consistente con la teora.Tener regresoras dbilmente exgenas.Mostrar constancia paramtrica.Exhibir coherencia en los datos.Ser inclusivo.

4748Evaluacin de los supuestos en el Modelo de Regresin Lineal ClsicoCorrecta especificacin del modelo.No hay multicolinealidad perfecta entre las variables explicativas.Homoscedasticidad en las perturbaciones.No existe autocorrelacin entre las perturbaciones.Las perturbaciones estn normalmente distribuidas.4849Violacin de los supuestos en el Modelo de Regresin Lineal ClsicoErrores de especificacin (modelo).Multicolinealidad (variables explicativas).Heteroscedasticidad (perturbaciones).Autocorrelacion (perturbaciones). No normalidad (perturbaciones).

4950Especificacin del modelo y pruebas de diagnsticoTipos de errores de especificacin5051Tipos de errores de especificacin.Omitir variables relevantes.Incluir variables innecesarias.Adoptar una forma funcional incorrecta.Errores de medicin.Especificar incorrectamente el trmino de error.

5152Omitir variables relevantesModelo correcto:

Modelo incorrecto:

Variable omitida:X5tTermino de error:

5253Incluir variables innecesariasModelo correcto:

Modelo incorrecto:

Variable innecesaria:X5tTermino de error:

5354ConsecuenciasOmitir variables relevantes; produce estimadores MCO eficientes (varianza mnima), pero sesgados.

Incluir variables innecesarias; produce estimadores MCO insesgados, pero ineficientes (varianzas altas).

5455Ejercicio de la demanda de pollosY: Consumo per cpita de pollos (libras)X1: Ingreso per cpita real disponible ($)X2: Precio real al detal del pollo por libra ($)X3: Precio real al detal del cerdo por libra ($)X4: Precio real al detal de la carne de res por libra ($)X5: Precio real compuesto de los sustitutos del pollo por libra ($)5556Omisin de una variable relevanteModelo correcto:

Modelo incorrecto:

Variable omitida:X1t

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57Variable omitida (X1)

5758Contraste de hiptesis (pasos)Naturaleza del problema.Determinar si la variable X1 es relevante (contribuye al modelo) a un nivel de significancia .

Planteamiento de hiptesis.Ho: se omiti la variable X1 siendo irrelevante.Ha: se omiti la variable X1 siendo relevante.

Estadstico de contraste.

Regla de decisin.Si Fcalculada > Fcritica, Rechazo HoSi Pvalue < , Rechazo Ho

Conclusin.Si rechazo Ho, debo incluir la variable X1 al modelo a un nivel de significancia .

5859Variable omitida (X1)

5960Inclusin de una variable innecesariaModelo correcto:

Modelo incorrecto:

Variable innecesaria:X5t

60

61Variable innecesaria (X5)

62Contraste de hiptesis (pasos)Naturaleza del problema.Determinar si la variable X5 es necesaria (contribuye al modelo) a un nivel de significancia .

Planteamiento de hiptesis.Ho: la variable X5 es innecesaria.Ha: la variable X5 es necesaria.

Estadstico de contraste.

Regla de decisin.Si Fcalculada > Fcritica, Rechazo HoSi Pvalue < , Rechazo Ho

Conclusin.Si rechazo Ho, debo dejar la variable X5 en el modelo a un nivel de significancia .

626263Variable innecesaria (X5)

6364La prueba RESET de RamseyDetectar forma funcional inapropiada prueba de mala especificacin.6465Contraste de hiptesis (pasos)Naturaleza del problema.Determinar si el modelo esta correctamente especificado a un nivel de significancia .

Planteamiento de hiptesis.Ho: modelo correctamente especificado.Ha: modelo incorrectamente especificado.

Estadstico de contraste.

Regla de decisin.Si Fcalculada > Fcrtica, Rechazo HoSi Pvalue < , Rechazo Ho

Conclusin.Si rechazo Ho, entonces el modelo esta mal especificado a un nivel de significancia .

6566Modelo lineal (incorrecto)

6667Modelo logartmico (correcto)

6768MulticolinealidadQu pasa si las regresoras estn correlacionadas?6869Fuentes de la multicolinealidadEl mtodo de recoleccin de informacin empleado (un fenmeno muestral).Restricciones en el modelo en la poblacin objeto de muestreo. Especificacin del modelo.Un modelo sobredeterminado (k > n)Tendencia comn en las regresoras.70Naturaleza de la multicolinealidadRelacin lineal exacta:

Relacin lineal inexacta:(baja, moderada, alta)

No hay relacin lineal:Cor(Xi, Xj) = 0 para todo i j

71Estimacin y multicolinealidadColinealidad perfecta:No se pueden calcular los estimadores MCO (son indeterminados) y sus errores estndar son infinitos.

Colinealidad no perfecta:Se pueden calcular los estimadores MCO, pero no se pueden interpretar.Se mantiene la propiedad de insesgamiento y de eficiencia (varianza mnima), pero los errores estndar son grandes en relacin con el valor de los estimadores y por ende pequeos valores t (lo que conduce a no poder rechazar la Ho de que i = 0)

7172Advertencias sobre la multicolinealidadLa multicolinealidad es un problema de grado y no de clase.Es por lo general una caracterstica de la muestra y no de la poblacin.Aun cuando los coeficientes son no significativos individualmente, una combinacin lineal de ellos puede resultar eficiente si el objetivo es el pronstico.

73Deteccin del problemaUn valor alto del R2 acompaado de estadsticos t poco significativos.Altas correlaciones simples entre parejas de regresores.Examen de correlaciones parciales.Regresiones auxiliares (regla prctica de Klien).Factores de tolerancia y de inflacin de varianza (investigar).

74R2 alto y pocas t significativas

75Anlisis de correlaciones simples

76Regresiones auxiliares (X1)

77Regresiones auxiliares (X2)

78Regresiones auxiliares (X3)

79Regresiones auxiliares (X4)

80Regresiones auxiliares (X5)

81Medidas correctivasNo hacer nada (posible problema de deficiencia de datos, micronumerosidad)Informacin a priori (si conozco la relacin que existe entre las variables, planteo modelo restringido por dicha relacin).Combinacin de informacin de corte transversal y de series de tiempo (mezcla de datos).Eliminacin de variables (sesgo de especificacin).Transformacin de variables (1eras diferencias) o transformacin de razn (trminos per cpita, trminos reales) por aquello de la tendencia comn.Datos nuevos o adicionales (midiendo la sensibilidad y los cambios en los errores estndar).Regresiones polinomiales.82HeteroscedasticidadQu pasa cuando la varianza del error no es constante?8283Naturaleza de la heteroscedaticidadSi la varianza condicional de i (dado Xi) aumenta en la medida que aumenta Xi, entonces se evidencia un problema de heteroscedasticidad.

Fuentes del problema:Modelos de aprendizaje sobre los errores (i disminuye).A mayor ingreso, mayor ingreso discrecional.Mejores tcnicas de recoleccin de datos (tecnologa).Datos o factores atpicos, sobretodo en muestras pequeas.Errores de especificacin.Asimetra en la distribucin de una o ms regresoras.Incorrecta transformacin de los datos.

84El problema de heteroscedasticidadConsecuencias:Los estimadores continan siendo lineales, insesgados y consistentes pero no son eficientes.

Deteccin:Naturaleza del problema (series de corte transversal).Mtodo grafico (diagrama de dispersin entre los residuos al cuadrado y los valores estimados de Y).Prueba de Park (mtodo exploratorio).Prueba general de White.

85Mtodo grfico

86Prueba de ParkPark sugiere que la varianza heteroscedastica es una funcin de la variable explicativa X que se expresa por:

Si 0 => hay heteroscedasticidad.

87Prueba de Park

88Prueba general de White (pasos)Ejemplo con un modelo de 3 variables (si aumenta el nmero de variables, esta prueba consume grados de libertad rpidamente)

Estime el siguiente modelo y obtenga los residuos estimados (t).

Efectu la siguiente regresin auxiliar y obtenga el R2.Sin trminos cruzados (prueba de heteroscedasticidad pura)

Con trminos cruzados (prueba de heteroscedasticidad y de sesgo de especificacin)

Bajo la hiptesis nula de que no hay heteroscedasticidad, n* R2 obtenidos de la regresin auxiliar, asintticamente sigue la distribucin Ji-cuadrada con k gl (parmetros de la de regresin auxiliar sin incluir el intercepto).n* R2 ~2k gl

89Contraste de hiptesis (pasos)Naturaleza del problema.Determinar si los residuos (i) son homoscedasticos a un nivel de significancia .

Planteamiento de hiptesis.Ho: No hay heteriscedasticidad => (1 = 2 = 3 = 4 = 5 = 0)Ha: Hay heteroscedasticidad => (algn i 0)

Estadstico de contraste.n* R2 ~2k gl

Regla de decisin.Si n* R2 >2k gl, Rechazo HoSi Pvalue < , Rechazo Ho

Conclusin.Si rechazo Ho, hay problemas de heteroscedasticidad a un nivel de significancia .8990Sin trminos cruzados

91Con trminos cruzados

92Medidas correctivas Mtodo de mnimos cuadrados ponderados (MCP).Cuando la varianza heteroscedastica es conocida:

Cuando la varianza heteroscedastica es desconocida:

Donde wi puede ser: Xi, Xi, E(Yi) dependiendo del patrn observado.

Una trasformacin logartmica.

93Prueba para los modelos lineal y logartmico

94Autocorrelacin Qu sucede si los trminos de error estn correlacionados?9495Naturaleza del problemaSimblicamente se expresa: E(ij) 0 para i j

Fuentes del problema:Inercia (las series econmicas suben o bajan en funcin de los ciclos econmicos y en relacin con los valores anteriores).Sesgo de especificacin por variables excluidas o por una forma funcional incorrecta. Rezagos de la variable explicada o de las explicativas en el modelo.Manipulacin de los datos (cambios en la periodicidad de la serie y/o interpolacin - extrapolacin).Transformacin de datos (operadores de diferencias).No estacionariedad de las series de tiempo.

96El problema de autocorrelacinConsecuencias:Los estimadores continan siendo lineales, insesgados y consistentes pero no son eficientes.

Deteccin:Mtodo grafico Residuos respecto al tiempo.Residuos estandarizados respecto al tiempo.Residuos y residuos rezagados (diagrama de dispersin).Prueba d de Durbin- Watson.

97Anlisis grfico de los residuos (Yt = 0 + 1X1t + X2t + t)

98Prueba d de Durbin- Watson.Supuestos:El modelo de regresin incluye el intercepto.Las variables explicativas X son no estocsticas.La perturbaciones se generan mediante un esquema autorregresivo de 1er orden (t = t-1 + t), no se puede utilizar para esquemas de orden superior.El trmino de error est normalmente distribuido.El modelo de regresin no incluye valores rezagados de la variable dependiente como variable explicativa. No hay observaciones faltantes en los datos.99Prueba d de Durbin- Watson.

100Contraste de hiptesis (pasos)Naturaleza del problema.Determinar si los residuos (i) estn correlacionados a un nivel de significancia .

Planteamiento de hiptesis.Ho: No hay autocorrelacin en los residuos.

Estadstico de contraste. Durbin- Watson (d)

Regla de decisin.Si 0 < d < dl => se evidencia autocorrelacin positiva (ZR)Si dl d du=> sin decisin (ZI)Si du < d < 4 - du => no hay autocorrelacin (ZA)Si 4 - du d 4 - dl => sin decisin (ZI)Si 4 - dl < d < 4=> se evidencia autocorrelacin negativa (ZR)

100101Prueba d de Durbin- Watson.Modelo linealModelo logartmico

102Medidas correctivasMnimos cuadrados generalizados

103Medidas correctivasEn niveles1eras diferencias

104NormalidadPor qu debe formularse el supuesto de distribucin normal en las perturbaciones?104105Supuesto de normalidad La regresin lineal normal clsica supone que cada i esta normalmente distribuida con media, varianza y covarianza:

Que en forma compacta se expresa como:Normal e idnticamente distribuidos con media cero y varianza constante.

106Razones del supuesto de normalidadi representa las variables explicativas que no forman parte del modelo de regresin, se espera que su influencia en la variable explicada sea pequea y de forma aleatoria. Por Teorema del Lmite Central (TLC) se demuestra que la distribucin de la suma de un gran nmero de variables aleatorias independientes e idnticamente distribuidas tiende a una normal a medida que aumenta el nmero de variables indefinidamente .Como los estimadores MCO son una funcin lineal de i, entonces tambin siguen una distribucin normal, lo que implica pruebas de hiptesis mas sencillas.Adems, permite utilizar las pruebas estadisticas: t, F y 2.107Contraste de hiptesis (pasos)Naturaleza del problema.Determinar si los residuos (i) estn normalmente distribuidos a un nivel de significancia .

Planteamiento de hiptesis.Ho: i se distribuye normalmente.Ha: i no se distribuye normalmente.

Estadstico de contraste.Prueba asinttica o de muestras grandes:

Regla de decisin.Si JB >22gl, Rechazo HoSi Pvalue < , Rechazo Ho

Conclusin.Si rechazo Ho, los residuos no se distribuyen normalmente a un nivel de significancia .107

108Residuos del modelo lineal

109Residuos del modelo logartmico

UCV-FACES-ECONOMAECONOMETRA I, Semestre I-2013Profesor: Angel CovaTema IV: Modelo de Ecuaciones Simultneas110Naturaleza de los Modelos de Ecuaciones Simultneas (MES)Los MES contienen ms de una variable dependiente (endgena), lo cual requiere igual nmero de ecuaciones.Asimismo, la variable endgena (regresada) de una ecuacin puede participar como variable explicativa (regresora) en otra ecuacin del sistema (mutuamente o conjuntamente dependientes).En los MES no es posible estimar los parmetros de una ecuacin aisladamente sin tener en cuenta la informacin derivada de las restantes ecuaciones del sistema.111Modelo de Ecuaciones Simultneas vs MCRLMCRLMESUniecuacional.Estimacin por MCO.Y: variable dependiente.X: variables independientes.

Multiecuacional.Problema de identificacin, estimacin por otros mtodos.Y1t, Y2t Variables endgenas.X1t Variable exgena.

112Ejemplo 1: Modelo de oferta y demanda.El precio P de un bien y sus cantidades vendidas Q, estn determinadas por la interseccin de las curvas de oferta (Qs) y de demanda(Qd):

Si: u1t( u2t) > 0 Desplaza Qd (Qs) hacia arriba.Si: u1t( u2t) < 0 Desplaza Qd (Qs) hacia abajo.

Existe dependencia simultanea entre P y Q, y por ende E(uit , Pt) 0

113Ejemplo 2: Modelo Keynesiano de determinacin del ingreso.Ct es la funcin consumo, donde B1 es la propensin marginal a consumir, y Yt es la ecuacin identidad del ingreso nacional , It es la inversin.

Ct y Yt son interdependientes, lo que provoca que Yt se encuentre relacionado con ut, ya que cambios en ut originan desplazamientos de Ct, la cual a su vez afecta a Yt. En tal sentido, no es correcto estimar los coeficientes aplicando MCO.

114Ejemplo 3: Modelo Salario-Precio.En este caso la variable P ingresa en ecuacin de W, y la variable W ingresa en ecuacin de P (mutuamente dependientes), por lo que se espera que dichas variables estn correlacionadas con las perturbaciones estocsticas correspondientes.

115Ejemplo 4: Modelo IS.Equilibrio en el mercado de bienes:

Al estimar la funcin Ct de forma aislada se obtienen estimaciones sesgadas para B0 y B1, debido a que el consumo depende del Ydt, esta a su vez de Yt, que tambin depende de r, G y otros parmetros que se reflejan en 0

116Inconsistencia y sesgo de los estimadores MCOEn los MES las variables endgenas de una ecuacin pueden participar como variable explicativa en otra ecuacin del sistema. En este sentido, los estimadores obtenidos por MCO seran:Inconsistentes: el lmite de probabilidad del estimador no tiende hacia el verdadero valor poblacional (parmetro) a medida que aumenta el tamao de la muestra (n). Sesgados: el valor esperado del estimador no coincide con el parmetro poblacional indistintamente del tamao de la muestra.117Notacin y definicionesVariables: Endgenas (estocsticas): son variables conjuntamente dependientes y sus valores se determinan dentro del modelo. Se denotan por: M = Y1, Y2, Y3, , YM

Predeterminadas (no estocsticas): son aquellas que sus valores estn determinados fuera del modelo. Se denotan por: K = X1, X2, X3, , XKExgenas (presente y rezagada) Xt y Xt-iEndgenas rezagadas Yt-i118Notacin y definicionesEcuaciones:Forma estructural o de comportamiento: muestra la estructura original del modelo (de acuerdo a la teora) o comportamiento del agente econmico manera explcita.Forma reducida: muestra a una variable endgena en funcin de las variables predeterminadas, ms el trmino de error. Se obtienen a partir de las ecuaciones estructurales.

119119Notacin y definicionesParmetros o coeficientes:Estructurales: miden relaciones econmicas o de comportamiento en el modelo estructural. De forma reducida (de impacto o corto plazo): son los coeficientes correspondientes a las ecuaciones en forma reducida y miden el impacto inmediato de un cambio unitario del valor de la variable exgena sobre la variable endgena.

120Ejemplo 5: Notacin y definicionesSea el modelo de oferta y demanda

Condicin de equilibrio:

121Se obtiene:

Ejemplo 5: Notacin y definiciones122Ejemplo 6: Notacin y definicionesModelo Keynesiano de determinacin del ingreso (continuacin)

123Problema de identificacin Objetivo: determinar si las estimaciones numricas de los parmetros de una ecuacin estructural pueden obtenerse a partir de los coeficientes estimados de la forma reducida.

Posibles condiciones de la ecuacin:Identificada (exactamente o sobreidentificada).No identificada (subidentificada).

124Problema de identificacin 125Problema de identificacin Sub identificacin: No se pueden estimar los parmetros estructurales a partir de los coeficientes estimados de la forma reducida. Ejemplo:

4 coeficientes estructurales vs 2 coeficientes de impacto.

126Problema de identificacin Identificacin exacta: Pueden obtenerse valores nicos de los parmetros estructurales a partir de los coeficientes estimados de la forma reducida . Ejemplo:

6 coeficientes estructurales vs 6 coeficientes de impacto.

127Problema de identificacin Sobre identificacin: Pueden obtenerse ms de un valor para alguno de los parmetros estructurales. Ejemplo:

7 coeficientes estructurales vs 8 coeficientes de impacto.

128Reglas para la identificacin Notacin:M = N de variables endgenas en el modelo.m = N de variables endgenas en una ecuacin. K = N de variables predeterminadas en el modelo.k = N de variables predeterminadas en una ecuacin.Reglas:Condicin de orden(necesaria pero no suficiente).Condicin de rango.129Reglas para la identificacin Condicin de orden (necesaria pero no suficiente): En un modelo de M ecuaciones simultneas, para que una ecuacin est identificada debe excluir al menos M-1 variables (endgenas y predeterminadas) que aparecen en el modelo.

EcuacinVariables Excluidas (VE)(K-k) Vs. (m-1)SubidentificadaVE < (M-1)(K-k) < (m-1)Identificacin exactaVE = (M-1)(K-k) = (m-1)SobreidentificadaVE > (M-1)(K-k) > (m-1)130Reglas para la identificacin Condicin de rango (concepto): En un modelo que contiene M ecuaciones en M variables endgenas, una ecuacin esta identificada si y solo si puede construirse por lo menos un determinante diferente de cero, de orden (M-1)(M-1), a partir de los coeficientes de las variables (endgenas y predeterminadas) excluidas de esa ecuacin particular, pero incluidas en las otras ecuaciones del modelo.

131Reglas para la identificacin Condicin de rango (procedimiento): Escriba el sistema en forma tabular.Elimine los coeficientes del rengln en el cual aparece la ecuacin bajo consideracin.Elimine las columnas que corresponden a aquellos coeficientes del punto anterior que son diferentes de cero.Con los datos que quedan en la tabla, forme todas las matrices posibles de orden M-1 y obtngase los determinantes correspondientes. Si es posible encontrar al menos un determinante distinto de cero, la ecuacin en cuestin estar identificada.

132Reglas para la identificacin Ejemplo 7:EcuacinCoeficientes de las variablesEvaluacin1Y1Y2Y3Y4X1X2X3(K-k) Vs. (m-1)Identificacin1.11011213011002 = 2Exacta1.22001230212201 = 1Exacta1.33031010313201 = 1Exacta1.44041420100432 = 2Exacta

133Prueba de simultaneidad (Hausman)Pasos (Ejemplo 8):

1)Realice la siguiente regresin y obtenga la estimacin de Pt y vt

2)Realice siguiente regresin y contraste la significancia 2.

134Prueba de simultaneidad (Hausman)Naturaleza del problema.Determinar si la variable endgena Q esta correlacionada con el trmino de error v, a un nivel de significancia .

Planteamiento de hiptesis.Ho: No hay simultaneidadHa: Hay simultaneidad

Estadstico de contraste.

Regla de decisin.Si tcalculada > t/2;n-k Rechazo HoSi Pvalue < , Rechazo Ho

Conclusin.Si rechazo Ho, hay problemas de simultaneidad a un nivel de significancia .

En dicho caso no puede utilizarse MCO.

135Mtodos de estimacin Mtodos de informacin limitada (uniecuacionales): cada ecuacin del sistema se estima individualmente considerando nicamente las restricciones impuestas sobre dicha ecuacin, sin preocuparse por las restricciones sobre otras ecuaciones del sistema. Mtodos de informacin completa (mtodos de sistemas): estiman todas las ecuaciones en el modelo de manera simultnea, tomando en cuenta las restricciones existentes sobre todas las ecuaciones del sistema.

136Mtodos de estimacin(uniecuacionales) Mnimos Cuadrados Ordinarios (MCO).Mnimos Cuadrados Indirectos (MCI).Mnimos Cuadrados en Dos Etapas (MC2E).

Son los ms utilizados en la prctica debido a mltiples razones, entre ellas: menores costos, carga computacional menor, evitan trasmisin de errores de especificacin al resto de las ecuaciones del sistema.

137Modelos recursivos y MCOCaractersticas:No se produce correlacin entre las variables explicativas y las perturbaciones estocsticas.No existe correlacin entre los trminos de perturbaciones estocstica de las diferentes ecuaciones (cero correlacin contempornea).No hay interdependencia entre las variables endgenas, cada ecuacin presenta una dependencia causal unilateral.Puede aplicarse MCO a cada ecuacin en forma separada, obteniendo estimadores insesgados y consistentes.

138Modelos recursivos y MCOEjemplo:

Y=variables endgenas; X=variables exgenasY1 afecta a Y2; Y2 no afecta a Y1 Y1 y Y2 afectan a Y3; Y3 no afecta a Y1 ni Y2

139Estimacin de una ecuacin exactamente identificada (MCI)Pasos:Obtener las ecuaciones en forma reducida.Aplicar MCO individualmente a las ecuaciones en forma reducida.Estimar los coeficientes estructurales a partir de los coeficientes obtenidos de las ecuaciones reducidas.

140Estimacin de una ecuacin exactamente identificada (MCI)Ejemplo 10: Modelo Keynesiano (continuacin ejemplo 6)1.

2. Los parmetros pueden ser estimados por MCO, ya que las variables no estn correlacionadas con el trmino de error.

141Estimacin de una ecuacin exactamente identificada (MCI)

3. Estimacin de coeficientes estructurales para Ct

142Estimacin de una ecuacin sobreidentificada (MC2E)Considere el siguiente MES:

La idea bsica del MC2E consiste en purificar la variable explicativa estocstica Y1, de la influencia de la perturbacin estocstica u2.Etapas:Realice la regresin de Y1 sobre todas las variables predeterminadas en el sistema (para eliminar la correlacin entre Y1 y u2).Reemplazar los Y1 de la ecuacin original, por los Y1 estimados en la etapa 1, para luego aplicar MCO a la ecuacin as transformada.

143Estimacin de una ecuacin sobreidentificada (MC2E)Caractersticas del MC2E:Puede aplicarse a una ecuacin individual en el sistema. Para sistemas con muchas ecuaciones es un mtodo econmico.Proporciona solamente una estimacin por parmetro en ecuaciones sobreidentificadas, a diferencia del MCI.Tambin se puede aplicar cuando existe identificacin exacta Si R2 en las regresiones de la forma reducida son altos, las estimaciones por MCO y MC2E sern muy cercanas. Si el R2 es bajo, las estimaciones por MC2E carecen de significado.

144Plan de evaluacin TemaSemanaEvaluacin Peso (%)IIntroduccin a la econometra12IIEl Modelo Clsico de Regresin Lineal31 evaluacin 10%4567IIIEvaluacin del Modelo Economtrico82 evaluacin 35%910IVModelo de Ecuaciones Simultaneas113 evaluacin 20%1213Preparadurias (10%)144 evaluacin 25%1516ReparacionesTodos los temas145