Řešení diferenciálních a diferenčních...

Řešení diferenciálních a diferenčních rovnic

Petr Hušek

MAS 2007/08 ČVUT v Praze 5 - Řešení diferenciálních a diferenčních rovnic 2/29


Petr Huš[email protected]

katedra řídicí technikyFakulta elektrotechnická

ČVUT v Praze

mailto:[email protected]


Co se dnes dozvíme?

Jaké vstupní signály používáme pro ověřování modelůJak analyticky vyřešit jednoduché lineární diferenciálnírovniceZ jakých částí se skládá řešení diferenciální rovniceJak vyřešit diferenční rovnici


Používané vstupní signály

0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

u(t)

t[s]

jednotkovy skok

0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

u(t)

t[s]

jednotkovy skok diskretni

0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

u(t)

t[s]

impulsni vstup

0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

u(t)

t[s]

impulsni vstup diskretni

( ) ( )u t t=1 ( ) ( )u t t= δ


0 2 4 6 8 100

2

4

6

8

10u(

t)

t[s]

rampa

0 2 4 6 8 100

2

4

6

8

10

u(t)

t[s]

rampa diskretni

0 2 4 6 8 10-1

-0.5

0

0.5

1

u(t)

t[s]

harmonicky vstup

0 2 4 6 8 10-1

-0.5

0

0.5

1

u(t)

t[s]

harmonicky vstup diskretni



Diferenciální rovnice

() ) )( (J B rR R

ddtv v t Ft t+ =

derivace hledané (výstupní) funkce

známá (vstupní) funkce (+ jejíderivace)

parametry (konstanty)

nutné pro ověření správnosti modelu (nebo odsimulovat)známe vstup u(t), počáteční podmínky; výstup y(t) = ?


lineární (formována lineární kombinací derivací vstupu a výstupu) x nelineární diferenciální rovnice

obecná lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty v teorii systémů

řád rovnice n (>=m)popisuje lineární spojitý systémk její řešení nutno znát n počátečních podmínek

() ) )( (J B rR R

ddtv v t Ft t+ = ( ( )( ) )v t vd

dta tb F t+ =2

( ) ( )) ( ( )( ) ( )( ) ) ) ( )( (n n mm

n nm

ma a a b b by t y t y u t tt u t u− −−−+ + + = + + +1 0 1 011

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) , ( () ( ), ( ) p) ro d y ty t y t y t y y t y t y td

t tut

= = = = = =′′ = <2

2 02 0 0

( ) ( )( ), ( ), , ( ), ( )n ny y y y− − ′1 20 0 0 0…


analytické řešení

ypp(t) – závisí na počátečních podmínkách (odezva na ně)

– pouze funkce eat, eatsin(ωt+φ), tn

(( )) ()pp uy tt yy t= +

0 2 4 6 8 100

2

4

6

8

10

y pp(

t)

t[s]

ypp(t)=konst

0 2 4 6 8 100

2

4

6

8

10

y pp(

t)

t[s]

ypp(t)=t

0 2 4 6 8 10-1

-0.5

0

0.5

1

y pp(

t)

t[s]

ypp(t)=sin(2t+π /3)

0 2 4 6 8 10-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

y pp(

t)

t[s]

ypp(t)=e-tsin(2t+π /3)

0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

y pp(

t)

t[s]

ypp(t)=e-0.5t

0 2 4 6 8 100

2

4

6

8

10

y pp(

t)t[s]

ypp(t)=0.1t2


yu(t) – odezva na vstupní signál u(t) (vnucená)

– skládá se z funkcí eat, eatsin(ωt+φ), tn (závislé na vlastnostech systému) a z funkce signálu u(t)

rovnice 1.řádu – integrační charakter

Řešení jednoduchých diferenciálních rovnic

Ci0 u1

Lu0 iL

v

m

F

(( ) (,) )C C Cd

dt Ctu u uit = =0 00

1 (( ) (,) )L L Ld

dt Lti i iut = =0 00

1 ( )( ) ( ),dv t vd

vtt m

F= = 001

( )( ) ( ),u td bd

yt

y t y= = 00


(( () ( )) )ppt

uy t b uy t y dy t τ= + = τ+ ∫0

0řešení:

: (( ) ( ) ( ))t

y tu t y d yt b bt= + τ τ = += ∫0 00

11

( ) ( ) ( )( ) ( ) , ; ( ), .,F t F td m kgdtv t v v v t

mt v t== = += =0 0

1 0 01 52

0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

F(t)

t[s]

vstupni signal

0 2 4 6 8 100

1

2

3

4

5

6

7

v(t)

t[s]

prubeh rychlosti, v0=2m/s


( ): ( ) sin( ) cos( )( ) sint by t y b d y tu t t = + ωτ τ = − ω −

ω= ω ∫0 0

0

1

( ) ( ) sin ,( ) ( ) , ; ( ) ., . cosd mv t v v v t vkgdt

F t tm

t F t= = + −== =0 00 0 0 52 51

0 2 4 6 8 10-1

-0.5

0

0.5

1

F(t)

[N]

t[s]

vstupni signal

0 2 4 6 8 100

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

v(t)

[m/s

]

t[s]

prubeh rychlosti, v0=2m/s


rovnice 1.řádu

( ) ( () )J d B rR dt R

v v t Ft t+ =

,( ) ( ) ( )( )y t y t u ta b ydt

yd

+ = = 00

ω,v

Fr

R

J

r

R

Cu0iR iC

u1

101

( ( ) )) (du t u ut tRCdt

+ =

Fv

B

( ) )( ()dm Bd

vt

v t F tt + =

( )v v= 00 ( )v v= 00 ( )u u=1 100( (( ) ) )v t vd B

dt

tt

m mF+ = 1 ( ) ( ) ( )v t v td B Rr

dt

J JF

t+ = 1 1 0

( ) ( ) 1 )1 (ddt RC R

uu tC

tu t + =


( ) ( )(( ) )t

at aau

tpp y ty t b u eyy ee dt

− − ττ+ τ= + = ∫00

řešení:

: ( )( ) ( )t

at at a at atb by t y e be eu t d y e ea a

t − − τ − −= + τ = + −= ∫0 00

1

2 .

,

. kgm , . Nms/rad, . m,

(( ) ( ) ( ) ,

( ) ; (

) ( ) ( ),

). m, t

d B Rrdt Jv t v t v v

v v tJ

J B

t t

r

t

eR

F F

−

=+ =

== = = = = −

= 01 39

1000

0 0 6 60 36 0 5 0 2 0 15

0 2 4 6 8 100

1

2

3

4

5

6

7

v[m

/s]

t[s]

trenazer, J=0.36 kgm2, B=0.5 Nms/rad, R=0.2 m, r=0.15 m

0 2 4 6 8 100

20

40

60

80

100

F(t)

[N]

t[s]

vstupni signal


rovnice vyšších řádůlineární

– analyticky velmi obtížné– použití integrální transformace – Laplaceova (pracné)– numerické metody (součást simulačních programů)

nelineární– analyticky většinou nemožné– numerické metody (součást simulačních programů)


Diferenční rovniceposunuté průběhy hledané

(výstupní) funkce

známá (vstupní) funkce (+ jejíposunutí nebo diference)

parametry (konstanty)

( )() ()( )v t v tJ J BT rR t TT TF− = −−−

( ( )) ( )v t T vJ B rR R

Ft TTt

t−∆ = −−+∆

diference hledané (výstupní) funkce


lineární (formována lineární kombinací posunutých průběhů vstupu a výstupu) x nelineární diferenciálnírovnice

obecná lineární diferenční rovnice s konstantními koeficienty

řád rovnice n (>=m) ↔ kauzalitapopisuje lineární diskrétní systém

( )() ()( )v t v tJ J BT rR t TT TF− = −− −

( ) ( ) ( ) sin ( )t t T t Tl

Tg tTϕ ϕ − ϕ − ϕ −− + + =2

2 22 0

( ) ( ) (( ) ( ) (

))

n n

m m

y t y t Tu t u t T u t mT

y t na a ab

Tb b

−

−

+ + + =

= +

− −

+ +− −1 0

1 0

pro( ) ( )u t ty t = =


( ), ( ), , ( )y y y n −0 1 1…

jiný zápis diferenční rovnice: t = kT (k → t) →

nebo

pokud popisuje spojitý systém, T – perioda vzorkováník její řešení nutno znát n počátečních podmínek

pro systémy řádu n>=2 často nutno p.p. přepočítat:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )n n

m mu k u k u k my k y k ya a ab

kb

nb−

−

+ + + =

=

− −

−+ +− +1 0

1 0

11

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )n n

m mu t u t u t my t y t ya a ab

tb

nb−

−

+ + + =

=

− −

−+ +− +1 0

1 0

11


kyvadlo

( ) ( ) ( ) sin ( )t t T t Tl

Tg tTϕ ϕ − ϕ − ϕ −− + + =2

2 22 0

( ) , ( ) TTϕ = ϕ ϕ = ϕ00

( ) ( ) ( )( ) , ( ) ( ) ( ) ( )T T TT T

∆ϕ ϕ −ϕϕ = ϕ ω = ⇒ ϕ = ω +ϕ0

0 00 0 0 0

m

mφ ( ) , ( )

potřebujeme

většinou známe

přepočet

ϕ = ϕ ω = ω0 00 0


Řešení diferenčních rovnic

( )() ()( )v t v tJ J BT rR t TT TF

rekurzivně

− = −− −

2. kgm , . Nms/rad, . m m ( ), . ,J B R r v= = = = =0 36 0 5 0 2 0 15 0 0

( ) ( ( ))v t v t F tJ BT rJ

T RTJ

T− = −−−

volba T = 0.1s: .( ) ( ( )) .v t v t T F t T−− − =0 861 0 0083

.( ) ( ( )) .v t v t T F t T−= − +0 861 0 0083

uvažujme F(t) = 100*1(t)


t = T = 0.1s: ( ). .. ..

( ) ( )v T v F= += ⋅ + ⋅=

0 861 0 00830 861 0 0 0083 100

0

0

0

83t = 2T = 0.2s: . .

. . .) ( (

.

( ))v T v T F T= += ⋅ + ⋅=

0 861 0 00830 861 0 83 0 0083 1001

2

54t = 3T = 0.3s: . .

.( )

.(

..

( ) ) F Tv T v T= ⋅ + ⋅= ⋅ + ⋅=

0 861 0 00830 861

3 21 71 0 0083 1 0

20

2 16


velmi snadno algoritmizovatelné

%inicializacer=0.15;R=0.2;J=0.36;B=0.5;T=0.1;t = [0:0.1:10]; % casova osa, t = [0 0.1 0.2 ... 10]v = zeros(1,101); % inicializace rychlosti, v = [0 0 ... 0]Fped = 100;F = [0, Fped*ones(1,100)]; % konstantni sila, F = [0 100 100 ... 100]

% vypocet rychlostifor i = 2:101 % smycka pro vypocet rychlosti

v(i) = ((J-B*T)/J)*v(i-1) + (r*R*T/J)*F(i); % rovnice pro rychlostend

%vykresleni grafu%cas na osu x, rychlost na osu yfigure(2)plot(t,v,'Color','Blue','LineStyle','none','Marker','o','MarkerSize',8,'Linewidth',3) grid on %mrizkaset(gca,'FontSize',14)title('Rychlost setrvacniku','FontSize',14) %nadpis grafuxlabel('t[s]','FontSize',14) %popis osy xylabel('v[m/s]','FontSize',14) %popis osy y


-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

20

40

60

80

100

F(t)

[N]

t[s]

vstupni sila

0 2 4 6 8 100

1

2

3

4

5

6rychlost setrvacniku

t[s]

v[m

/s]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

1

2

3

4


t[s]

v[m

/s]

0 2 4 6 8 100

1

2

3

4

5


t[s]

v[m

/s]

diskretni vypocetspojite reseni


0 0 .2 0 .4 0 .6 0 .8 10

2 0

4 0

6 0

8 0

1 0 0

F(t)

[N]

t [s ]

vs tup n i s ila

0 0 .2 0 .4 0 .6 0 .8 10

1

2

3

4

5ryc h lo s t s e trva c n iku

t[s ]

v[m

/s]

y(t)y(t-1)

u(t-1)

n


F(t) = 100+100sin2t ↔ změníme 1 (jeden)!! řádek v programu

%inicializacer=0.15;R=0.2;J=0.36;B=0.5;T=0.1;t = [0:0.1:10]; % casova osa, t = [0 0.1 0.2 ... 10]v = zeros(1,101); % inicializace rychlosti, v = [0 0 ... 0]Fped = 100;F = [0, Fped+Fped*sin(2*t)];% harmonicka sila

% vypocet rychlostifor i = 2:101 % smycka pro vypocet rychlosti

v(i) = ((J-B*T)/J)*v(i-1) + (r*R*T/J)*F(i); % rovnice pro rychlostend

%vykresleni grafu%cas na osu x, rychlost na osu yfigure(2)plot(t,v,'Color','Blue','LineStyle','none','Marker','o','MarkerSize',8,'Linewidth',3) grid on %mrizkaset(gca,'FontSize',14)title('Rychlost setrvacniku','FontSize',14) %nadpis grafuxlabel('t[s]','FontSize',14) %popis osy xylabel('v[m/s]','FontSize',14) %popis osy y


0 2 4 6 8 100

50

100

150

200

F(t)

[N]

t[s]

vstupni sila

0 2 4 6 8 100

2

4

6

8


t[s]


v[m

/s]

a co nelineární systémy?


kulička na tyči( ) ( ) s ( )( in)x t x t T x t t TT KT− + =− ϕ −− 22 22

gKRr

=⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎝ ⎠

2215

. m, . mR r= =0 01 0 007

0 0.5 1 1.5 20

1

2

3

4

5

phi[o

]

t[s]

vstupni uhel

0 0.5 1 1.5 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1kulicka na tyci

t[s]

x[m

]



Je jednodušší vyřešit diferenciální nebo diferenční rovnici?

analytickydiferenciální rovnice je o něco jednoduššírovnice vyšších řádů nebo nelineární velmi obtížné

numericky bez použití speciálních nástrojů (matematický software, simulační nástroje)

diferenciální rovnice neřešitelnádiferenční rovnice řešitelná velmi jednoduše


Kontrolní otázky

Budeme-li šlapat na trenažeru konstantní silou, jeho rychlost se po nějaké době ustálí na konečné hodnotě. Je tato hodnota závislá na velikosti momentu setrvačnosti J? Pokuste se zdůvodnit.Pro systém kulička na tyči napište program, který vykreslí odezvu polohy kuličky na skok úhlu z 0 na 5 stupňů, jestliže počáteční poloha kuličky je x(0) = -0.2m.Které veličiny a v jakých časových okamžicích mají vliv na hodnotu výstupu diskrétního systému v čase y(t)?Určete hodnotu rychlosti závaží v časech t = 0, T, 2T následujícího systému. Volte T = 0.1s, m = 2kg. Vstupní síla F(t) = 100.1(t).

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

20

40

60

80

100F(

t) [N

]

t[s]

vstupni sila

v

m

F


Jak obecně vypadá diferenciální a jak diferenční rovnice popisujícílineární systém 2.řádu?Průběhy výstupních veličin spojitých a diskrétních systémů u probraných příkladů se přesně neshodují. Proč?Může mít lineární spojitý systém nenulový výstup, jestliže na jeho vstup nepřivedeme žádný signál? A lineární diskrétní systém?Je následující diferenční rovnice lineární?

Kolik počátečních podmínek je třeba znát k jednoznačnému řešenílineární diferenční rovnice?

() ( ) )(y t y t T u t T+ + =− −2 1

Řešení diferenciálních a diferenčních rovnicŘešení diferenciálních a diferenčních rovnicCo se dnes dozvíme?Kontrolní otázky

Date post:	07-Feb-2021
Category:	Documents
Upload:	others
View:	0 times
Download:	0 times

Řešení diferenciálních a diferenčních...

Documents