Elektřina = jevy spojené s náboji

Coulombův zákon pro sílu mezi dvěma bodovými náboji velikosti q1 a q2 ve vakuu:

Elektrický náboj:

● Jednotka 1 coulomb (1C)● Celočíselný násobek elementárního náboje e=1.602 10-19C● Dvojí znaménko +,-● Zachovává se

Náboj se projevuje silou mezi nabitými objekty.

2

21

04

1

r

qqF

F/m10854.8 120

Směr síly: od sebe pro stejná znaménka náboje a k sobě pro opačná znaménka

je permitivita vakua

Platí princip superpozice: síly od různých nábojů se vektorově sčítají, takže sílu od libovolného rozložení náboje získáme jako součet (integrál) sil od bodových nábojů.

Stejný tvar Coulombova zákona a Newtonova gravitačního zákona

Hlavní rozdíl: elektrická síla přitažlivá i odpudivá, gravitační jen přitažlivá

Podobné vlastnosti elektrických a gravitačních sil

Možno zavést elektrické pole: jeden náboj vytváří pole, druhý testuje

Síla na testovací náboj je úměrná velikosti testovacího náboje.

Sílu vydělíme hodnotou testovacího náboje q a dostaneme intenzitu:

q

FE

rr

Q rrE

204

Intenzita pole bodového náboje Q ve vakuu v místě r

…směr od kladného náboje, k zápornému náboji

Elektrické pole je konzervativní

Můžeme zavést potenciální energii. Referenční bod často klademe do nekonečna jako v gravitačním poli.

Potenciální energii vydělíme velikostí testovacího náboje a dostaneme potenciál:

rrErr

~d~

U

Pro bodový náboj: r

Q

r

rQ

rr

QU

r 02

02

0 4~

~d

4~

~d~

~4

rrr

r

rr dd rr r dr

dr

kde jsme využili

jednotka 1 volt (1V)

Přesněji elektrostatické—na příští přednášce uvidíme, že časová změna ho může udělat nekonzervativním

Stejně jako síla je i potenciální energie úměrná velikosti testovacího náboje.

Obrácený vztah:

z

U

y

U

x

UUU

rrrrrrE ,,grad

Intenzita: tečná k siločárám ve směru šipek, kolmá na ekvipotenciály.

Ekvipotenciály (čárkované) = plochy konstantního potenciáluSiločáry (plné) jsou na ně kolmé a mají směr

Homogenní pole Bodový náboj 2 bodové náboje (tvořící dipól)

Grafické znázornění intenzity a potenciálu…pomocí ekvipotenciál a siločar:

Obdobný Gaussovu zákonu pro gravitační pole:

Uzavřenou plochu rozdělíme na kousky o obsahu A, vynásobíme A průmětem intenzity do směru normály k plošce, sečteme přes celou uzavřenou plochu a provedeme limitu A 0:

AEAE dcosΔcos

Tím jsme dostali tok elektrické intenzity uzavřenou plochou. Gaussův zákon říká, že tento tok je roven náboji uvnitř plochy děleno permitivitou vakua:

0

dcos

QAE

Gaussův zákon

Důkaz jako v gravitačním případě: ukážeme pro bodový náboj a použijeme princip superpozice

Pro bodový náboj využijeme toho, že

d4

d

4ddcos

02

0

q

r

AqArEArE

takže

000

44

d4

dcos

qqqArE

dAdA

r

d

E(r)

q

dA je průmět plošky dA do směru kolmého k intenzitě E.

Příklad použití Gaussova zákona: pole rovnoměrně nabité nekonečně velké desky

s plošnou nábojovou hustotou

● Tok pláštěm je nulový

● Tok každou z podstav je EA

● Náboj uvnitř válce je A

Jako uzavřenou plochu vezmeme válec, jehož podstavy s obsahem A jsou rovnoběžné s deskou a který je deskou předělen v půlce.

Gaussův zákon má tvar:

0

2A

EA

02

E

Takže E nezávisí ani na vzdálenosti od desky.

Pak platí:

Ze symetrie musí být intenzita kolmá k desce a závislá jen na vzdálenosti od desky, ne na poloze podél desky:

= 2 rovnoběžné desky ve vzdálenosti l se stejnou hustotou náboje opačného znaménka:

02

EE

Pohled z boku

Pole je konstantní mezi, nulové vně

+ -

E+

E-

E= E++E- 0 0

0

l

Rovinný kondenzátor

Plochu každé desky označíme S

…pak každá deska je nabitá nábojem S.

Síla mezi deskami je

SESS

SESEF 20

2

00

0

2

2

1

2

1

2

Práce na oddálení desek na vzdálenost l: SlEFlW 202

1

Zákon zachování energie: tato práce se přemění na energii elektrického pole.

Prostorová hustota energie elektrického pole je: 202

1E

Sl

W

V

W

(síla je konstantní a ve směru posunutí)

Napětí na kondenzátoru = rozdíl potenciálů na deskách:

0l

ElU

Kapacita kondenzátoru = náboj na jeden volt:

l

S

l

S

l

Q

U

Qc 0

00

využili jsme vztahu mezi nábojem Q a plošnou nábojovou hustotou .

Charakterizuje prostředí

Charakterizuje geometrii

● Kapacita roste, když roste plocha desek a klesá vzdálenost mezi nimi.

● Kapacita roste, když zvýšíme mezi deskami—viz dále.

Jednotka: Fm

m

m

F 2

Příklad: kondenzátor s deskami 23cm oddělenými mezerou 1mm

pF3.5F103.5m10

m106

m

F1085.8 12

3-

2412

c

● Plošná hustota náboje při napětí 1V:

293

120 C/m1085.8

m10

F/m1085.8V1

-l

U

Vidíme, že farad je obrovská jednotka zejména kvůli malé hodnotě permitivity vakua. Běžně používané kondenzátory mají kapacitu maximálně mikrofarady, když obsahují vysoce polární elektrolyty.

● Náboj na kondenzátoru:

cUSQ C103.5m106m

C1085.8 1224

29

● Kapacita:

● Intenzita pole uvnitř kondenzátoru při napětí 1V: V/m10001mm

V1E

● Síla mezi deskami kondenzátoru:

N107.2C103.5m

V1000

2

1

2

1 912 EQQEQEF

● Hustota energie:

36

26122

0 m

J104.4

m

V10

m

F1085.8

2

1

2

1

E

● Energie v poli kondenzátoru:

J107.2m10106m

J104.4

2

1 1433-43

620

SlE

…ani kvadrát poměrně velké hodnoty intenzity nepřekoná malou hodnotu permitivity.

Zatím jsme studovali elektrické pole vytvořené náboji.

Když toto pole naopak působí na nabité částice, tak je urychluje podle Newtonova zákona

Užití: obrazovka a lineární urychlovač (viz zvětšující se délku trubic)

E

vq

t

m

d

d

Působení elektrického pole na náboje

Toto byly nabité částice ve volném prostoru. Většinou je máme v prostředí, zejména elektrony a ionty v pevné látce.

Dvě základní možnosti:

1. Izolanty: náboje se mohou jen málo pohnout z rovnovážné polohy

Důsledek: zeslabení pole uvnitř látky

Popis: permitivita vakua se vynásobí relativní permitivitou r, takže

Např. látka složená z polárních molekul …elektrické pole uspořádá směr molekul:

2

21

r04

1

r

qqF

Gaussův zákon má pak tvar:

r0

dcos

QAE

Coulombův zákon má pak tvar:

vzduch 1,00054

polystyrén 2,6

papír 3,5

porcelán 6,5

slída 7,0

sklo 7,6

křemík 12

voda 80

Relativní permitivita…bezrozměrné číslo většinou řádu jednotek:

Využití: možnost zvětšení kapacity kondenzátoru, jak už bylo zmíněno.

Příklad: když mezi desky kondenzátoru vložíme papír, kapacita se zvýší 3,5

l

Sc r0

Pokud je mezi deskami kondenzátoru izolant s relativní permitivitou r, pak kapacita je

2. Vodiče: náboje se mohou pohybovat po materiálu

Pohyb nábojů popisuje veličina elektrický proud:t

Q

t

QI

d

d

Δ

Δ

Jednotka: 1amper (1A)

Coulomb je odvozená jednotka: náboj, který proteče za 1s, když je proud 1A.

Když teď víme, jak velký je náboj, získáme představu, jak velká je elektrostatická síla. Síla mezi dvěma bodovými náboji velikosti 1C vzdálenými 1m ve vakuu:

3 tíha Empire State Building!N10m

CV10

m

C

F

m

1

11

10

1

4

1

F/m104F/m10854.8

10102

2

210221

0

100

120

r

qqF

Slovy: náboj, který proteče vodičem za jednotku času

Ve většině vodičů se mohou pohybovat jenom elektrony. Ionty zůstávají na místě.

Bez vnějšího pole:

= pohyb elektronů náhodnými směry velkou rychlostí v0 řádu 106m/s (z Prahy do Londýna za 1s)

Ale tento pohyb trvá jen krátkou dobu řádu =10-14s, za niž elektron ulétne jen řádově 10-8m, než se srazí (s nečistotami v materiálu, s dalšími elektrony, s kmitající krystalovou mřížkou, atd.) a pokračuje v jiném náhodném směru.

v průměru se elektron nepohybuje nikam: 00 v

Ohmův zákon= vztah mezi elektrickým polem a proudem ve vodiči. Nyní ho odvodíme.

Přiložené elektrické pole urychluje elektrony:

Ev

et

m d

de

Konstantní síla jako pro volný pád konstantní zrychlení

tm

ete

0

Evv mezi srážkami, tj. pro t< platí:

Pro elektrické pole 1V/m má druhý člen velikost řádu:

m/s10s10kg10

V/m1C10 3-14

30-19

Druhý člen v každém okamžiku zanedbatelný (o cca 10 řádů) vůči prvnímu, ale…

Elektron má hmotnost me10-30kg a náboj – e –10-19C, takže Newtonův zákon má tvar:

…v průměru to je naopak: první člen vypadne, druhý zůstane

e

dee

0 met

met

met

Ev

EEvv

index „d“ od slova drift

Z driftové rychlosti můžeme spočítat proud:

● Pokud má vodič průřez A, pak za dobu t jím protečou elektrony v objemu

● Pokud elektronů na jednotku objemu je n, pak náboj proteklý průřezem vodiče je

tAenvVenQ ΔΔΔ d

tAvxAV ΔΔ d

Úměra mezi silou a rychlostí podobně jako pro odpor prostředí v harmonickém oscilátoru.

Aenvt

QI dΔ

Δ

Odtud proud

Proud je úměrný průřezu vodiče. Zavedeme proudovou hustotu jako vektor o velikosti

Příklad: měděný vodič o průřezu A=1mm2=10-6m2.Měď má n1029 elektronů v m3, takže při driftové rychlosti 10-3m/s poteče proud

A10m10m/s10m01C10 2-6332919 I

denvA

Ij

a směru toku náboje, tj.

dvj en

Dosazení za driftovou rychlost: EEj

e

2

m

ne

Ohmův zákon

Ul

AI

A

Ij

l

UE

,

A

l

A

lR Označíme:

kde 1/ je měrný odpor. Pak Ohmův zákon má známější tvar

R

UI

e

2

m

ne je měrná vodivostkde

A I

U,l

E

Vyjádření pomocí délky l, průřezu A, napětí U a proudu I:

Příklad: řádový odhad měrného odporu mědi

me 10-30kge 10-19Cn 1029m-3

10-14s

ne

m2

e

cmμΩ10Ωm10Ωm101010

10 7-142938

30

Přesná hodnota při pokojové teplotě: 1,7cm

Obecně dobré vodiče mají měrný odpor řádu několika cm.

● Vztah pro měrný odpor:

● Řádové odhady parametrů elektronu:

● Odtud:

a mědi:

Když vodičem teče proud, náboj vstupuje na vyšším potenciálu než vystupuje.

Tím se snižuje energie náboje. Za dobu t proteče náboj Q =I t a pokles energie je UQ. Proto spotřebovaný výkon je

22

Δ

ΔRI

R

UUI

t

QUP

Elektron ztrácí energii při srážkách v materiálu. Takto předaná energie materiálu je teplo zvané Jouleovo.

Použití: elektrický ohřívač.

Příklad: 1kW ohřívač má odpor Ω50Ω1000

1001214

W10

V2203

222

P

UR

Výkon Ohmův zákon říká, že je potřeba potenciálový rozdíl mezi konci vodiče, aby jím tekl elektrický proud.

● Na rozhraní mezi izolanty a vodiči. Typický příklad: Si s diamantovou krystalovou strukturou:

● V čistém stavu to jsou izolanty

● Malé množství příměsí mnohanásobně zvětší vodivost

Např. 0,001% As v Si zvětší vodivost 10 000 při pokojové teplotě

Tato citlivost umožnila vytvořit aktivní součástky—tranzistory—bez vakuových elektronek

Aktivní součástka: elektřina řídí elektřinu

Polovodiče

Rozdíl mezi vodičem a polovodičem je nejen v číselné hodnotě měrného odporu, ale i v závislosti měrného odporu na teplotě.

Vodič—roste: Polovodič—klesá:

Když se teplota blíží k absolutní nule, měrný odpor některých kovů, např. mědi, se blíží k nenulové hodnotě. Pro jiné kovy se stane něco zajímavějšího:

Odpor úplně zmizí skokem při určité tzv. kritické teplotě:

Do poloviny 80. let nejvýše 20-30K

Pak nová skupina materiálů, vrstevnatých oxidů mědi, u kterých se to děje při 100-150K, tzv. “vysokoteplotní supravodiče“. Dosud není jasné, zda v nich má supravodivost stejný mechanismus jako v nízkoteplotních nebo jiný.

1911: objev1933: supravodič vytlačuje magnetické pole1935: vlnová podstata elektronů je důležitá1950, 1957: úplné řešení

Supravodivost

Stručná historie:

Elektrické obvodyProtože se při tekoucím proudu energie přeměňuje z elektrické na tepelnou, potřebujeme zdroj, který bude udržovat elektromotorické napětí = napětí, které dodává elektrickou energii.

Možnost: baterie

Symboly v diagramech:

+Baterie:

Rezistor (odpor):

nebo

-chemická energie elektrická energie

Podobné jako s vodou, kde odpor prostředí překonává pumpa:

Tohle je nejjednodušší obvod: jeden zdroj a jeden odpor

Složitější obvody: Kirchhoffovy zákony

1. Kirchhoffův zákon o proudech v uzlech: Co vteče do uzlu, to vyteče.

Je to vlastně zákon zachování náboje.

2. Kirchhoffův zákon o napětích ve smyčkách: Co dodají zdroje, to spotřebují spotřebiče.

v1+v2+v3+v4=0Je to vlastně zákon zachování energie.

Napětí se někdy značí písmenem v nebo V.

Příklad:

33222

33111

231

IRIRV

IRIRV

III

Tři rovnice pro tři neznámé proudy. Ty můžeme vyřešit.

Uzel

Levá smyčka

Pravá smyčka

1221133221

1311

232

1311

232

131

00

0

0111

0

0

0111

0

0

0111

VRVRRRRRRR

VRRR

VRR

VRRR

VRR

VRR

133221

23132321

133221

23113

133221

1221311

13311

12

133221

12213

11

RRRRRR

VRVRRIII

RRRRRR

VRRVR

RRRRRR

VRVRRRV

RIRRV

RI

RRRRRR

VRVRI

Řešení:

1. Úprava soustavy na trojúhelníkový tvar:

2. Postupné vyjádření neznámých od poslední k první:

Dělič proudu:

URR

RUIRU

RR

UIIRIRU

21

2222

2121

● Komplementární závislost na odporech.● V děliči napětí můžeme použít proměnný odpor (potenciometr) a

tak měnit výstupní napětí.

R2

R1

U2

U1

I

U

I2

R1

R2

I

I1

Použití: děličeDělič napětí:

21

2211

III

RIRI

IRR

RI

RIRII

21

12

2212

● Elektrické náboje vytvářejí elektrické pole.

● Toto elektrické pole působí silou na jiné náboje a ovlivňuje jejich pohyb.

● Náboje v pohybu vytvářejí také magnetické pole.

● Elektrické a magnetické pole se vzájemně ovlivňují.

● Elektromagnetické pole se může oddělit od nábojů.

Dnes:

Příště: