02. 12. 2014 1
FIIFEI-09 Obvody stejnosměrných a
střídavých proudů
http://stein.upce.cz/msfei14.htmlhttp://stein.upce.cz/fei/fIIfei_09.ppt
Doc. Miloš Steinhart, UAFM UPCE EA 06 036, tel. 466 036 029 (026)
02. 12. 2014 2
Hlavní body• Jednoduché obvody
• Vznik a popis střídavých proudů• Střední, efektivní hodnoty a výkon• Komplexní symbolika• Vlastnosti jednoduchých obvodů RLC• Měření základních elektrických veličin:
• napětí, proudu, odporu, impedance, výkonu, frekvence…
• Výpočet předřadných odporů a bočníků.
02. 12. 2014 3
Úvod do střídavých proudů I• Střídavé proudy jsou obecně proudy, které se mění
v čase a občas mění svůj směr. V průběhu času tedy náboj teče oběma směry (EKG).
• Střídavými proudy (AC alternating currents) se často myslí důležitá podskupina: proudy periodické a harmonické. Ovšem i proudy jiných průběhů např. obdélníkový nebo trojúhelníkový (pilový) mají velký praktický význam.
02. 12. 2014 4
Úvod do střídavých proudů II• Nejprve budeme definovat určité střední
hodnoty, které umožní jednoduše popsat důležité vlastnosti střídavých proudů.
• Později se soustředíme na periodické proudy harmonického průběhu, protože:• se hojně vyrábějí a užívají. • každou funkci lze vyjádřit jako řadu nebo
integrál harmonických funkcí a proto dědí jejich některé vlastnosti.
02. 12. 2014 5
Střední hodnota I• Střední hodnota <f> časově závislé funkce
f(t) je konstantní hodnota, která má za určitý čas stejný integrál jako funkce f(t).
• Například střední proud je konstantní proud, který by za určitou dobu přenesl stejný náboj jako střídavý proud, o jehož střední hodnotu se jedná.
02. 12. 2014 6
Efektivní hodnota I• Při práci se střídavými veličinami je
užitečný ještě další druh střední hodnoty – hodnota efektivní.
• Teče-li střídavý proud rezistorem, jsou tepelné ztráty v něm úměrné druhé mocnině proudu. Ztráty tedy nezávisí na směru, kterým je přenášen náboj.
02. 12. 2014 7
Efektivní hodnota II
• Efektivní hodnota fef časově závislé funkce f(t) je konstantní hodnota, která má za nějaký čas stejné teplotní účinky jako časově závislá funkce.
• Budeme například napájet žárovku časově proměnným proudem I(t). Kdybychom ji nápajeli konstantním stejnosměrným proudem o velikosti Ief, svítila by se stejným jasem.
• Efektivní hodnota se často nazývá hodnota střední kvadratická a značí frms z angl. root mean square.
02. 12. 2014 8
Harmonické AC I• Z praktických i teoretických důvodů hrají
velmi důležitou roli střídavé proudy harmonického průběhu. Jsou to veličiny, jejichž závislost na čase lze vyjádřit jako harmonickou nebo-li goniometrickou funkci [sin(), cos(), exp(i)] času, např.:
U(t)=U0sin(t + )I(t)=I0sin(t + )
02. 12. 2014 9
Harmonické AC II
• Parametry U0 a I0 se nazývají amplitudy nebo špičkové hodnoty a z vlastností goniometrických funkcí je jasné, že U(t) a I(t) se mění sinusově mezi hodnotami –U0 a U0, respektive mezi –I0 a I0.
• Zde budeme dále střídavými napětími a proudy rozumět napětí a proudy průběhu harmonického.
02. 12. 2014 10
Harmonické AC III• Harmonická napětí mohou být generována
například využitím elektromagnetické indukce, když cívka s plochou S s N závity rovnoměrně rotuje v homogenním magnetickém poli o indukci B. V tomto případě se mění pouze úhel mezi osou cívky a směrem siločar. Předpokládejme závislost:
(t) = t • kde = 2f je úhlová frekvence a f je frekvence
rotace.
02. 12. 2014 11
Harmonické AC IV• Magnetický tok cívkou lze popsat:
m = NSBcos(t)• A elektromotorické napětí z Faradayova z. :
Vemf(t) = -dm/dt = NSBsin(t) • To odpovídá harmonickému napětí s
amplitudou U0 = NSB. Připojí-li se k cívce rezistor R, poteče jím střídavý proud s amplitudou I0 = NSB/R.
02. 12. 2014 12
Harmonické AC V
• Všimněme si důležitých skutečností:m(t) and Vemf(t) jsou fázově posunuty o 90°
nebo-li /2. Když je m(t) nula, má Vemf(t) maximální hodnotu. V tomto okamžiku je totiž změna m(t) největší.
• Amplituda U0 závisí na .
02. 12. 2014 13
Harmonické AC VI
• Harmonické napětí může být také výstupem z obvodu LC, je-li možné zanedbat ztráty nebo je-li energie vyzářená jako teplo trvale dodávána.
• Připojíme-li nabitý kondenzátor k cívce, bude v každém okamžiku platit druhý Kirchhoffův zákon:
-L dI/dt + Uc = 0• To vede na diferenciální rovnici druhého řádu,
jejímž řešením jsou harmonické oscilace.
02. 12. 2014 14
Střední hodnota II
• Je možné snadno ukázat, že střední hodnota harmonického napětí nebo proudu je nulová, zatímco u usměrněného napětí není.
• Znamená to, že náboj se nepřenáší , ale pouze osciluje a energie, která přenášena je, je skryta právě v oscilacích.
02. 12. 2014 15
Efektivní hodnota III
• Lze také snadno ukázat, že efektivní hodnoty harmonických napětí nebo proudů nulové nejsou.
• Říkáme-li například, že střídavé napětí v zásuvce je 240 V, mluvíme hodnotě efektivní Uef = 240 V. Takže žárovka připojená do zásuvky by zářila se stejným jasem, jako kdyby byla připojená ke konstantnímu stejnosměrnému napětí 240 V. Špičková hodnota napětí v zásuvce ale je U0 338V.
02. 12. 2014 16
Fázový posun• Napájíme-li obvody střídavým napětím, může v
jeho větvích docházet k fázovému posunu mezi napětím a proudem. Tyto veličiny tedy nedosahují nulové nebo maximální hodnoty ve stejný okamžik.
• Střídavý zdroj tedy generuje napětí s určitou časovou závislostí a vlastnosti spotřebiče určují, jaký poteče proud a tedy, jak bude odebírán náboj. Fázový posum popisujeme pomocí fáze :
• U(t) = U0sin(t) a I(t) = I0sin(t + )
02. 12. 2014 17
Výkon střídavého proudu
• Výkon v každém okamžiku je součin proudu a napětí:P(t) = U(t) I(t) = U0sin(t)I0sin(t + )
• Střední hodnota výkonu závisí na fázovém posunu mezi napětím a proudem:
<P> = UefIefcos • Výraz cos se nazývá účiník.
02. 12. 2014 18
Obvody střídavého proudu s R
• Protéká-li proud I(t) = I0sint ohmickým odporem R, platí Ohmův zákon v každém okamžiku a napětí na odporu je s proudem ve fázi, = 0 :
U(t) = RI0sint = U0sint
U0 = RI0
<P> = UefIef cos = RIef2 = Uef
2/R• Definujeme impedanci rezistoru :
XR = R
02. 12. 2014 19
Obvody střídavého proudu s L I
• Protéká-li proud I(t) = I0sint, dodávaný jistým střídavým zdrojem, indukčností L, platí v každém okamžiku druhý Kirchhoffův zákon:
U(t) – LdI(t)/dt =0• Napětí na indukčnosti tedy je:
U(t) = LI0cost = U0sin(t+/2)U0 = LI0
02. 12. 2014 20
Obvody střídavého proudu s L II• Mezi proudem a napětím na indukčnosti je tedy
fázový posun. Napětí předchází proud nebo proud je opožděn za napětím o úhel = /2 .
• Střední výkon bude nyní nulový:<P> = UefIef cos = 0
• Definujeme impedanci indukčnosti - induktanci:XL = L U0 = I0 XL
02. 12. 2014 21
Obvody střídavého proudu s L III• Protože impedance, tomto případě,
induktance, je poměr mezi amplitudami nebo efektivními hodnotami napětí ku proudu, můžeme ji považovat za zobecnění rezistance.
• Všimněme si závisloti na ! Čím vyšší je frekvence, tím vyšší je impedance.
02. 12. 2014 22
Obvody střídavého proudu s C I• Protéká-li proud I(t) = I0sint, dodávaný
jistým střídavým zdrojem, kapacitou C, platí v každém okamžiku opět druhý Kirchhoffův zákon:
U(t) – Q(t)/C =0• To odpovídá integrální rovnici pro napětí:
U(t) = –I0/C cost = U0sin(t – /2)U0 = I0/C
02. 12. 2014 23
Obvody střídavého proudu s C II
• Mezi proudem a napětím na kondenzátoru je opět fázový posun. Tentokrát se proud předbíhá o úhel = /2 před napětím.
• Střední výkon bude opět nulový:<P> = VefIef cos = 0
• Definujme impedanci kondenzátoru - kapacitanci:
XC = 1/C U0 = I0 XC
02. 12. 2014 24
Obvody střídavého proudu s C III• Protože impedance, tomto případě,
kapacitance, je poměr mezi amplitudami nebo efektivními hodnotami napětí ku proudu, můžeme ji opět považovat za zobecnění rezistance.
• Všimněme si opět závislosti na ! Čím vyšší je frekvence, tím je nyní impedance nižší.
02. 12. 2014 25
Výhybka u reprobeden• Rozdílné frekvenční chování impedancí
indukčnosti a kondenzátoru se využívá například při konstrukci výhybek u reprobeden.
• výškový reproduktor je připojen do série přes kondenzátor.
• hloubkový reproduktor je připojen do série přes indukčnost.
02. 12. 2014 26
Obecné střídavé obvody I• Je-li v obvodu více elementů R, C, L , je
možné vždy principiálně sestavit odpovídající integrální a diferenciální rovnice. Problémem je komplikovanost příslušných rovnic i ve velmi jednoduchých případech.
• Naštěstí existuje několik způsobů, jak problém elegantně zjednodušit.
02. 12. 2014 27
Obecné střídavé obvody II• Řešení střídavých obvodů, napájených
jedním zdrojem nebo více zdroji se stejnou frekvencí, je dvojrozměrný problém.
• Napájíme-li obvod napětím U0sint, budou napětí a proudy záviset na čase také jako t.
• Je tedy nutné a postačující popsat každou veličinu v každé větvi dvěma parametry, velikostí a fází.
02. 12. 2014 28
Obecné střídavé obvody III
• Používá jeden z matematických nástrojů:• Dvojrozměrné vektory.• Komplexní čísla v Gaussově rovině. Tento
popis je výhodnější, protože pro komplexní čísla je definováno více operací (např. dělení, mocniny a odmocniny).
• Souřadná soustava nebo Gaussova rovina rotuje s t, takže zobrazujeme jen velikost a fázi veličin a hovoříme tedy o fázorech.
02. 12. 2014 29
Obecné střídavé obvody IV
• Popis oběma způsoby je podobný. Velikost příslušné veličiny (napětí nebo proudu) je popsána velikostí fázoru nebo absolutní hodnotou komplexního čísla a fáze je popsána úhlem, který svírají s kladnou částí osy x nebo reálné osy.
02. 12. 2014 30
Obecné střídavé obvody V• Aparát komplexních čísel:
• Napětí U, proudy I, impedance Z a admitance Y = 1/Z se popisují pomocí komplexních čísel.
• Platí zobecněný komlexní Ohmův zákon:U = ZI nebo I = YU
• Pro sériovou kombinaci: Zs = Z1 + Z2 + …
• Pro paralelní kombinaci: Yp = Y1 + Y2 + …
02. 12. 2014 31
Obecné střídavé obvody VI• Tabulka komplexních impedancí a
admitancí. j je imaginární jednotka j2 = -1:• R: ZR = R YR = 1/R• L: ZL = jL YL = -j/L• C: ZC = -j/C YC = jC
• Dále se postupuje obdobně jako u obvodů stejnosměrných a lze používat i účinnější metody např. metodu obvodových proudů. Zpracovávané veličiny jsou ale komplexní.
02. 12. 2014 32
RC v sérii• Ilustrujme použití aparátu na sériové
kombinaci RC :• Proud I, společný pro oba R a C, budeme
považovat za reálný.Z = ZR + ZC = R – j/C
|Z| = (ZZ*)1/2 = (R2 + 1/2 C2)1/2
tg = –1/RC < 0 … kapacitní zátěž
02. 12. 2014 33
RL v sérii• Nyní mějme R a L , zapojené do serie:• Proud I, společný pro oba R a L, bude opět
reálný.Z = ZR + ZL = R + jL
|Z| = (ZZ*)1/2 = (R2 + 2L2)1/2
tg = L/R > 0 … induktívní zátěž
02. 12. 2014 34
RC paralelně• Nyní mějme R a L zapojené paralelně:• Napětí U, společné pro oba R i C, bude nyní
reálné.Y = YR + YC = 1/R + jC
|Y| = (YY*)1/2 = (1/R2 + 2C2)1/2
tg = –[C/R] < 0 … opět kapacitní zátěž
02. 12. 2014 35
RLC v sérii I• Nyní mějme R, L a C zapojené do série:• Opět proud I je společný pro všechny R , L, i C a
bude reálný.Z = ZR + ZC + ZL = R + j(L - 1/C)
|Z| = (R2 + (L - 1/C)2)1/2
• Nyní může být celková zátěž buď induktivní pro:L > 1/C … > 0
• nebo kapacitní pro:L < 1/C … < 0
02. 12. 2014 36
RLC v sérii II
• Objevuje se nový jev rezonance, když : L = 1/C 2 = 1/LC
• imaginární složky se vykompenzují a celý obvod se chová jako čistá rezistance.
• Z a U mají minimum, zatímco I má maximum• lze ji dosáhnout nezávisle změnou L, C nebo f !
02. 12. 2014 37
RLC paralelně I• Mějme R, L a C zapojené paralelně:• Nyní je napětí U společné všem R , L, C a bude tedy
reálné.Y = YR + YC + YL = 1/R + j(C - 1/L)
|Y| = (1/R2 + (C - 1/L)2)1/2
• Celková zátěž bude buď induktivní pro:L > 1/C … > 0
• nebo kapacitní :L < 1/C … < 0
02. 12. 2014 38
RLC paralelně II
• Opět se objevuje rezonance, je-li splněno: L = 1/C 2 = 1/LC
• Opět se imaginární složky vyruší a celý obvod se chová jako čistá rezistance (nebo čistá vodivost) :• Y, I mají minimum, Z,U mají maximum• lze ji dosáhnout nezávisle změnou L, C nebo f !
02. 12. 2014 39
Rezonance• Obecná definice rezonance:• Potřebujeme-li dodat energii do systému, který je
schopen kmitat s určitou vlastní frekvencí 0, nejefektivněji to lze učinit, pokud ji dodáváme s frekvencí odpovídající 0 a kmity jsou ve fázi.
• Vhodným příkladem z mechaniky je houpačka.• Rezonance se užívá například v ladících obvodech
přijímačů.
02. 12. 2014 40
Impedanční přizpůsobení.
• Ze stejnosměrných obvodů již víme, že potřebujeme-li přenést maximální výkon mezi dvěma obvody, musí se výstupní odpor prvního rovnat vstupnímu odporu následujícího.
• Ve střídavých obvodech se musí obdobně rovnat komplexní impedance.• Nevyrovnaná fáze vede k odrazu!
02. 12. 2014 41
Vícefázové proudy
• Při rozvodu elektrické energie se používá vícefázových soustav.
• Zcela běžný je rozvod třífázový v některých zařízeních se používá soustavy pětifázové.
• Výhodou jsou hlavně • úspora materiálu vodičů na přenesení jednotky
středního výkonu• přenos otáčivé informace – točivého pole
02. 12. 2014 42
Třífázový proud I• Umístěme tři cívky v rovině, aby jejich osy
navzájem svíraly 120° a otáčejme magnetem kolem osy procházející kolmo průsečíkem těchto os. Napětí indukovaná v jednotlivých cívkách budou navzájem fázově posunuta:
)sin()sin(
sin
32
03
32
02
01
tuutuu
tuu
02. 12. 2014 43
Třífázový proud II
• Součet těchto napětí je v každém okamžiku roven nule:
• Díky tomu lze odpovídající konce cívek spojit a vést napětí jen z druhých konců (trojúhelník) popřípadě také ze společného bodu, ale stačí vodič dimenzovaný na menší proud, který teče jen při nerovnoměrném zatížení fází (hvězda).
0)cossin2(sin 32
0 ttuui
02. 12. 2014 44
Třífázový proud III• Přivedeme-li každou fázi k jedné cívce a uspořádáme-li
je stejně, jako bylo napětí generováno bude průmět napětí do os x a y :
• To je takzvané točivé magnetické pole. Umístíme-li mezi cívky magnet nebo dokonce jen smyčku z vodiče, bude se otáčet s úhlovou rychlostí. To je základ asynchronních motorů z kotvou nakrátko.
tuuuuux sin)cos(cos 023
32
332
21 tuuuu y cos)sin(sin 02
33
233
22
02. 12. 2014 45
Třífázový proud IV• Střední celkový výkon (rovnoměrně
zatížené soustavy) je trojnásobek výkonu v jedné fázi:
• Důležité ovšem je, že tento výkon se přenáší efektivněji, méně vodiči.
Ru
R uuuP 232
322
21
120)(
02. 12. 2014 46
Voltmetry a ampérmetry I• Měření napětí a proudů je důležité nejen ve
fyzice a elektrotechnice, ale v mnoha jiných oblastech vědy a technologie, protože většina veličin se převádí na veličiny elektrické (například teplota, tlak ...).
• Je to proto, že elektrické veličiny se snadno přenáší i měří.
02. 12. 2014 47
Konstrukce V- a A- metrů I• Základem ručkových přístrojů je galvanometr. Je to velice
citlivý voltmetr i ampérmetr. Je obvykle charakterizován, proudem při plné výchylce a vnitřním odporem.
• Obdobné parametry, maximální proud nebo napětí a vnitřní odpor má i centrální jednotka přístrojů digitálních.
• Měřený obvod vnímá měřící přístroj právě jako odpor.• Měřící přístroj můžeme tedy chápat jako inteligentní odpor,
který ukazuje, jaký jím teče proud nebo jaké je na něm napětí.
02. 12. 2014 48
Konstrukce V- a A- metrů II• Mějme galvanometr s proudem při plné výchylce
If = 50 A a vnitřním odporem Rg= 30 . • Z ohmova zákona je napětí při plné výchylce
Uf = If Rg = 1.5 mV • Chceme-li měřit větší proudy, musíme
galvanometr přemostit tzv. bočníkem, který odvede přebytečný proud mimo.
02. 12. 2014 49
Konstrukce V- a A- metrů III• Například chceme měřit proud I0 = 10 mA. Jedná o
paralelní zapojení, je Uf = 1.5 mV a bočníkem musí procházet proud I = 9.950 mA, takže jeho odpor je Rp = 0.1508 a celkový vnitřní odpor přístroje je R = 0.15.
• Je tedy blíže ideálnímu ampérmetru, než vlastní galvanometr.
• Bočníky mají zpravidla malý odpor, ale musí být přesný a vydržet velké proudy.
02. 12. 2014 50
Konstrukce V- a A- metrů IV• Chceme-li měřit větší napětí, musíme zase použít
předřadný odpor, který je zapojen do série s galvanometrem a je na něm přebytečné napětí.
• Například chceme měřit napětí do U0 = 10 V. Při If = 50 A musí na předřadném odporu být U = 9.9985 V. Tedy Rs= 199970 a celkový vnitřní odpor R = 0.2 M
• Opět má blíže ideálnímu voltmetru než vlastní galvanometr.
• Předřadné odpory jsou zpravidla velké a přesné . Proud, který jimi teče je malý.
02. 12. 2014 51
Použití V- a A- metrů I• Voltmetry a ampérmetry mají konečný vnitřní
odpor a proto zatěžují měření systematickou chybou.
• Jak by se chovaly ideální přístroje?• Voltmetry se zapojují paralelně. Aby přitom
neovlivnily měřený obvod, měly by mít nekonečný vnitřní odpor.
• Ampérmetry se zapojují sériově. Aby neovlivnily obvod, musí na nich být nulový spád napětí a tedy musí mít vnitřní odpor nulový.
02. 12. 2014 52
Použití V- a A- metrů II• Měřme odpor metodou přímou. Můžeme použít
dvou zapojení. • V prvním je napětí měřené správně, ale vnitřní
odpor voltmetru způsobuje, že ampérmetr měří větší proud než teče měřeným odporem. Hodnota rezistoru vyjde menší.
• Toto zapojení může být použito pro měření malých odporů, kdy je chyba zanedbatelná
02. 12. 2014 53
Použití V- a A- metrů III• Ve druhém zapojení se měří správně proud,
ale vnitřní odpor ampérmetru způsobuje, že měřené napětí je vyšší než napětí na měřeném rezistoru. Jeho hodnota pak vychází vyšší.
• Toto zapojení lze použít pro měření velkých odporů.
• Vnitřní odpory přístrojů lze určit kalibrací.
02. 12. 2014 54
Použití V- a A- metrů IV
• Normální měření používá určité metody k určení neznámých informací o vzorku.
• Kalibrace je speciální měření na známém vzorku, které má vypovídat o zvolené metodě.
02. 12. 2014 55
Wheatstonův můstek I• Jedna z nejpřesnějších a nejsprávnějších metod
měření rezistance používá Wheatstonův můstek. • Jsou to v principu rezistory zapojené do čtverce.
Jeden z nich je neznámý. Ostatní tři jsou známé a navíc alespoň jeden z nich musí být (definovaně) proměnný. V jedné diagonále je napájecí zdroj a ve druhé galvanometr. Ten měří proud v diagonále a tedy vlastně i napětí mezi body, kde je připojen.
02. 12. 2014 56
Wheatstonův můstek II• V průběhu měření se mění hodnota
proměnného odporu s cílem můstek vyrovnat, což znamená, že galvanometrem neteče měřitelný proud. To je možné pouze, když jsou potenciály v bodech a a b stejné:
• I1R1 = I3R3 a I1R2 = I3R4 po vydělení
• R2/R1 = R4/R3 e.g. R4 = R2R3/R1
02. 12. 2014 57
Domácí úkol
• Určete střední a efektivní hodnotu dvojcestně usměrněného proudu trojúhelníkového tvaru.
• Kapitola 25 – 44, 45, 46, 47• Kapitola 29 – 28, 30, 31
Skalární součin Ať Definice I (ve složkách)
Definice II
n
iiibac
1
cosbac
bac
Skalární součin je součin velikosti jednoho vektoru krát průmět velikosti vektoru druhého do jeho směru. ^
Vektorový součin I Ať Definice (ve složkách)
Velikost vektoru
kjijki bac
sinbac
Velikost vektorového součinu je rovna obsahu rovnoběžníku tvořeného vektory .
bac
ba,
c
Vektorový součin II
zyx
zyx
zyx
bbbaaauuu
c
Vektor je kolmý k rovině vytvořené vektory a a společně vytváří pravotočivý systém.
ijk = {1 (sudá permutace), -1 (lichá), 0 (eq.)}
^
c
a
b
Výkon střídavého proudu I• Jako reprezentativní interval volíme = T:
T
T
T
dttttT
IU
tdttT
IU
dttItUT
P
0
200
0
00
0
]sincossincos[sin
sin)sin(
)()(1
Výkon střídavého proudu II
• Protože jen první integrál je nenulový.
coscos2
}22sinsin]
22cos
2[{cos
00
00
0
00
efef
TT
T
IUIU
dttdtt
dtT
IUP
^
Obvody střídavého proudu s C I• Z definice proudu I = dQ/dt a vztahu pro
kondenzátor Uc = Q(t)/C platí:
)sin(cos
sin)(1)(
200
0
0
0
tC
ItCI
tdtCIdttI
CtU
tt
• Kondenzátor je integrátor,
^
LC obvod I• Dosadíme za proud I = –dQ/dt a vztah
mezi napětím a nábojem na kondenzátoru Uc = Q(t)/C:
0)(2
2
LC
tQdt
Qd
• Bereme tedy v úvahu fakt, že kladným proudem se kondenzátor vybíjí. Získáváme homogenní diferenciální rovnici druhého řádu. Zde snadno uhodneme tvar řešení :
LC obvod II
• Parametry získáme dosazením za druhou derivaci náboje:
)cos()( 0 tQtQ
To je známý Thompsonův vztah pro úhlovou frekvenci netlumených harmonických kmitů.
LCtQ
LCtQ 10)(1)(2
LC obvod III
• Závislost proudu na čase získáme časovou derivací náboje : I = - dQ/dt:
• Jeho chování v čase je tedy harmonické.
)sin()sin()(
0
0
tItQtI
LC obvod IV• Napětí na kondenzátoru U(t) = Q(t)/C
• je také harmonické a je proti proudu fázově posunuté.
)cos()( 0 tCQtU
^
Střední hodnota I• <f> má stejný integrál jako f(t) za určitý
časový interval :
^
Často nás zajímá střední hodnota periodické funkce za velmi dlouhou dobu. Potom za reprezentativní dobu volíme periodu = T.
0
)(1 dttff
Střední hodnota II• <I> by přeneslo stejný náboj jako I(t) za
nějaký čas :
^
0
)(1 dttII
• Výsledek integrace je zřejmě přenesený náboj, protože I = dQ/dt. Po vydělení dostáváme střední proud za čas :
Efektivní hodnota I• fef má stejné tepelné účinky jako f(t) za jistý
časový interval :
^
Pro dlouhé časy volíme jako reprezentativní časový interval periodu = T (nebo T/2) .
0
2
0
22
)(1
)(1
dttff
dttff
ef
ef
Efektivní hodnota II• Ief má stejné tepelné účinky jako I(t) za jistý
časový interval:
^
Jas žárovky odpovídá teplotě a ta souvisí s tepelnými ztrátami na jejím vlákně.
0
2
0
22
)(1
)(1
dttII
dttRIRI
ef
ef
Střední hodnota III• Budiž I(t) = I0sin(t) a reprezentativní čas = T:
Protože hodnota cos je v obou mezích stejná – křivky obou polarit jsou symetrické.
0)][cos()sin( 00
0
0
TT
tT
IdttTII
^
Střední hodnota IV• Po jednocestném usměrnění I(t) bude • I(t) = I0sin(t) pro 0 < t < T/2 a I(t) = 0 pro T/2 < t < T:
^
Protože nyní cos(T/2) – cos(0) = -2 !
02/0
0
2/
0
0
)][cos(
)sin(
ItT
I
dttTII
T
T
Efektivní hodnota V• Ať I(t) = I0sin(t) a reprezentativní = T:
22
))2cos(1(2
)(sin
0
0
20
0
20
0
220
IdtT
I
dttT
I
dttTII
T
T
T
ef
^
Střední hodnota výkonu V
^
coscos2
]sin2sincos))2cos(1[(2
]sincossincos)(sin
]sincoscos)[sinsin(
)sin()sin(
00
0
00
0
200
0
00
0
00
efef
T
T
T
T
UIUI
dtttTUI
dttttTUI
dttttTUI
dtttTUIP
Třífázový proud I• Ukažme například, že u2+u3=-u1 :
1032
0
32
32
32
32
0
32
32
032
sincossin2)sincoscossin
sincoscos(sin)]sin()[sin(
utututt
ttuttuuu
^
Třífázový proud II• Vypočteme ux /u0:
ttt
tttt
ttt
tttuux
sincossin2sin
cossincos2sin)sincoscossin
sincoscos(sincossin
cos)sin(cos)sin(sin
23
322
32
32
32
32
32
32
32
32
32
32
32
0
^
Třífázový proud III• Vypočteme uy /u0:
tt
ttt
tt
ttuu y
cossincos2
sincossin2)sincoscossin
sincoscos(sinsin
sin)sin(sin)sin(
23
322
32
32
32
32
32
32
32
32
32
32
32
0
^
Třífázový proud IV• Vypočteme PR/u0
2:
232
23
212
3222
32222
23
23
2
23
23
22
322
3222
20
cos)1(sin
sincos2cossin2sin
)sincoscos(sin
)sincoscos(sinsin
)(sin)(sinsin
t
ttt
tt
ttt
tttuPR
^
