FC2011 - FSv ČVUT v Praze -- FSv ČVUT --...

B03C - Řešený příklad

Příklad – Dodatečně předepnutá lávka

ZadáníVypracujte návrh dodatečně předpjatého betonového konstrukčního prvku (průvlak, mostní konstrukce…). Jedná se o spojitý třípolový nosník, předepnutí je uvažováno 7 dní po vybetonování, uvedení do provozu ve stáří 100 dní. Konstrukce je projektována na dobu životnosti 36 500 dní (100 let). Zatížení uvažujte vlastní tíhou g0, ostatním stálým (g-g0) a proměnným (užitným) zatížením q.

Vstupní data uvažujte podle Vašeho zadání.

L [m] rozpětí hlavního pole spojitého nosníkub [m] šířka nosné konstrukcea [-] poměr rozpětí krajního pole k rozpětí středního pole(g-g0)k [kN/m2] zatížení ostatní stálé – charakteristická hodnotaqk [kN/m2] užitné (proměnné) zatížení – charakteristická hodnota

třída betonu

Předpínací ocel: 7-mi drátová lana, 15 mm (0,6‘‘); f pk=1770 MPa; f p 0.1k=1560 MPa

Příčný řez konstrukce

Vypracujte:- návrh tvaru průřezu, výpočet průřezových charakteristik- výpočet vnitřních sil, zjištění extrémních hodnot od užitného (nahodilého) zatížení- návrh počtu předpínacích lan- předběžné posouzení v rozhodujících průřezech – MSP omezení napětí- výpočet ztrát předpětí- podrobné posouzení rozhodujících průřezů – MSP omezení napětí- posouzení MSÚ: Ohyb v jednom průřezu- posouzení MSÚ: Smyk + kroucení- posouzení hlavních napětí v místě střední podpory- posouzení deformace konstrukce – návrh nadvýšení pro dlouhodobé účinky se

započítáním účinků dotvarování, posouzení deformací od nahodilého zatížení- výkres tvaru nosné konstrukce, výkres předpětí, schéma betonářské výztuže (podélná

výztuž, smyková výztuž)

1


1. Rozměry nosné konstrukce, tvar průřezu, průřezové charakteristiky

Plocha průřezu

A=1,738 m2

Vzdálenost těžiště od dolních vláken průřezuzT=0,782m=ed

Vzdálenost těžiště od horních vláken průřezuzT=0,518m=eh

Moment setrvačnosti vzhledem k ose y

I y=0,276 m4

1.1 Materiály

Beton: C 30/37, f cd=f ck

1,5=20 MPa

Ocel: 7 – mi drátová lana, 15 mmf pk=1770 MPa (mez pevnosti)f p 0.1k=1560 MPa (smluvní mez kluzu)

2. Zatížení

STÁLÉ gk [kN.m-1] γf [-] gd [kN.m-1]

Vlastní tíha g0 43.45 1.35 58.66

2


Ostatní stálé g-g0 7.56 1.35 10.21CELKEM 51.01 - 68.87

PROMĚNNÉ qk [kN.m-1] γf [-] qd [kN.m-1]Užitné q 16.5 1.5 24.75CELKEM 16.5 - 24.75

2.1.1 Zatěžovací stavy

Pro výpočet vnitřních sil bude potřeba nasimulovat všechny sestavy zatížení na konstrukci.

3. Výpočet vnitřních silVýpočet vnitřních sil bude proveden dvěma metodami. Nejdříve bude proveden ruční výpočet (silová, nebo deformační metoda) pro stálé zatížení a minimálně jednu sestavu nesymetrického nahodilého zatížení v rozhodujících průřezech konstrukce. Za pomocí statického programu (Scia, či podobné) pak budou vypočteny vnitřní síly od všech sestav zatížení a ty pak budou porovnány s ručním výpočtem.

3


3.1 Vnitřní síly dle Scia EngineerV následující tabulce jsou výsledky vnitřních sil v rozhodujících průřezech vypočtených pomocí programu Scia Engineer. Výsledky ručních výpočtů jsou zde vynechány.

ZatíženíPrůřez g0 g-g0 g qmin qmax g + qmin g + qmax

M 5 617.74 109.6 727.34 -264.91 504.11 462.43 1231.45M 10 -2773.09 -491.98 -3265.07 -1159.89 86.11 -4424.96 -3178.96M 15 2020.78 358.52 2379.3 -190.74 973.21 2188.56 3352.51

Q 10, L -537.57 -95.37 -632.94 -212.94 - -845.88 -Q 10, P 639.18 113.4 752.58 - 259.6 - 1012.18

3.2 Obálka momentů

3.3 Odhad staticky neurčitého momentuVzhledem k faktu, že přepětí na staticky neurčité konstrukci působí jednak primárními, tak i sekundárními účinky, je nejdříve nutné odhadnout staticky neurčitý moment od předpětí.

∆ M P=(10−15 ) % ∙M 10 , min

Zvoleno 10 %∆ M P=0,1 ∙ M 10 ,min=0,1 ∙ 4424,96 kNm=442,5 kNm

Průběh staticky neurčitého momentu>

3.4 Výsledné návrhové hodnoty momentůJe nutné si uvědomit, že návrhové hodnoty momentů pro návrh přepětí jsou ve skutečnosti charakteristické hodnoty těchto veličin.M 10=M 10 ,min+∆ M P=−4424,96 kNm+442,5 kNm=−3982,46 kNm

M 15=M 15, min+∆ M P=3352,51 kNm+442,5 kNm=3795,01 kNm

4


4. Návrh a schéma trasování kabelu

4.1 Návrh trasování kabelu

5


5. Předběžný návrh předpětí

5.1 Nutná předpínací síla na konci životnostiNapětí v horních vláknech - Průřez 10:

σ h=M10

I y∙ eh=

3982,460,276

∙0,518=7,47 [MPa ](tah)

Předpokládaná vzdálenost kabelů od těžiště průřezu v průřezu 10:

eP ,10=eh−c−∅ p

2=0,518−0,1−0,1

2=0,368 m

Krytí c je zvoleno 0,1 m.

Předpoklad návrhu: NULOVÉ NAPĚTÍ V TAŽENÝCH VLÁKNECH. Jedná se tedy o předpoklad, kdy je součet napětí od zatížení a od předpětí roven 0.

σ hf +σh

P=0 [MPa]

σ hf −

N P, ∞10

A−

N P, ∞10 ∙ eP, 10

I y∙ eh=0[ MPa]

Po úpravě

N P,∞10 =

σ hf

1A

+eP,10 ∙ eh

I y

[kN ]

N P ,∞10 = 7 470 000

11,738

+ 0,368 ∙ 0,5180,276

=5900,28[kN ]

Napětí v dolních vláknech - Průřez 15:6


σ d=M 15

I y∙ ed=

3795,010,276

∙0,782=10,75[MPa](tah)

Předpokládaná vzdálenost kabelů od těžiště průřezu v průřezu 15:

eP ,15=ed−c−∅ p

2=0,782−0,1−0,1

2=0,632 m

Krytí c je zvoleno 0,1 m.

σ df +σ d

P=0[MPa]

N P,∞15 =

σ df

1A

+eP ,15 ∙ ed

I y

[kN ]

N P,∞15 = 10 750000

11,738

+ 0,632 ∙ 0,7820,276

=4543,46[kN ]

Nutná předpínací síla:

N P,∞=max [ N P,∞10 ; NP ,∞

15 ]=max [ 5900,28; 4543,46 ]=5900,28[kN ]

5.1.1 Návrh počtu předpínacích lan:N P,∞=σ P ,∞ ∙ A p

AP=NP ,∞

σ P,∞[mm2]

AP=5900,28

1053 ∙106 =5603 [mm2]

kde σ P , ∞=σ P , max ∙ (1−25 % )=1404 ∙0,75=1053 [ MPa ]

σ P, max=min [ 0,8 f pk ;0,9 f p ,0,1 , k ]=¿

¿min [ 0,8 ∙1770 ;0,9 ∙1560 ]=¿

¿min [ 1416 ;1404 ]=1404 [MPa ]

Při napínacím napětí σ P , max se uvažují dlouhodobé ztráty 25%.

Počet předpínacích lan n:

n=AP

AP , 1=5603

150=37,4 lan→ NÁVRH 38 lan

NÁVRH KABELŮ: 2 x 19 lan, (v praxi nejčastěji 12, 15, 19)

7


6. Předběžné posouzení předpětí- Posouzení pro 3 průřezy: 5, 10, 15

- Posouzení ve 3 časech:t0 - okamžik těsně po vnesení předpětí

- již proběhly krátkodobé ztráty (10 % )tup - čas uvedení do provozu, t = 100 dní

- proběhly krátkodobé ztráty a část dlouhodobých ztrát ( asi 15 % )t∞ - t = 36500 dní = 100 let (konec životnosti)

- proběhly veškeré ztráty (asi 25 % )

Na co si dát při posuzování pozor:

- v průřezu 5 a 15 se v tup vyskytuje q MIN- v průřezu 10 se v tup vyskytuje q MAX- předpínací síla, vypočtená pro konec životnosti → t0 → N P, 0=

N P, ∞

75∙90

→ tup → N P,0=N P , ∞

75∙ 85

- vypočtený sekundární moment od předpětí je také platný pro t∞, pro t0 a tup je tedy nutno hodnoty přepočítat

- v tomto případě byla snížen excentricita v poli z 0,532 m na 0,5 m, protože docházelo k tahům v horních vláknech v čase t0

- excentricitu v průřezu 5 je třeba vyladit tak, aby napětí pěkně vycházelo

8


7. Výpočet ideálních průřezových charakteristik

7.1 Výpočet pracovního součiniteleBeton: C 30/37, Ec = 32 GPaOcel: 1770/1560, Es = 195 GPa19-ti lanový kabel VSL – kanálek Ø = 97 mm = 100 mm

Pracovní součinitel m = Es

Ec=195

32=6,09 ¿

7.2 Průřez 5:Plocha oslabeného průřezu:

A0=A−2 ∙ π ∙∅ 2

4=1,738−2 ∙ π ∙0,12

4=1,722[m2]

Statický moment plného průřezu k dolním vláknům:

9


S=2,75∙ 0,25 ∙(1,05+ 0,252 )+1 ∙1,05 ∙ 1,05

2=1,359 [m3]

Statický moment kanálků předpínací výzuže:

Shole=2 ∙ π ∙∅ 2

4∙ (zT+ep

5 )=2 ∙ π ∙ 0,12

4∙ (0,782−0,25 )=0,0084 [m3]

Statický moment oslabeného průřezu:

S0=S−Shole=1,359−0,0084=1,351[m3]

7.2.1 Ideální statické veličiny

Plocha ideálního průřezu:

Ai=A0+A0 ∙m=1,722+38 ∙ 150 ∙10−6 ∙ 6,09=1,757 [m2]

Statický moment kanálků předpínací výztuže:

SP=38 ∙150 ∙ 10−6 ∙ (0,782−0,25 ) ∙ 6,09=0,0185[m3]

Statický moment ideálního průřezu:

Si=S0+SP=1,351+0,0185=1,370[m3]

Těžiště ideálního průřezu ke spodním vláknům:

zT=S0

Ai= 1,37

1,757=0,780 [m ]

Moment setrvačnosti ideálního průřezu:

I yi=1

12∙ 2,75 ∙ 0,253+2,75 ∙ 0,25 ∙(1,3−0,78− 0,25

2 )2

+ 112

∙1 ∙1,053+1 ∙ 1,05∙(0,78−1,052 )

2

−( 164

∙ π ∙ 0,14+ π ∙0,12

4∙ 0,2482)∙ 2+38 ∙150 ∙ 10−6 ∙ 0,2482 ∙ 6,09=0,277 [m4]


A0=1,722 [m2]


S=1,359[m3]


Shole=2 ∙ π ∙∅ 2

4∙ (zT+ep

10 )=2∙ π ∙ 0,12

4∙ (0,782+0,368 )=0,0181[m3]


S0=S−Shole=1,359−0,0181=1,341[m3 ]

10




Ai=1,757[m2]


SP=38 ∙150 ∙ 10−6 ∙ (0,782+0,368 ) ∙ 6,09=0,04 [m3]


Si=S0+SP=1,351+0,04=1,381[m3]


zT=S0

Ai=1,381

1,757=0,786 [m]


I yi=1

12∙ 2,75∙ 0,253+2,75 ∙0,25 ∙(1,3−0,786−0,25

2 )2

+ 112

∙1 ∙1,053+1 ∙1,05 ∙(0,786−1,052 )

2

−( 164

∙ π ∙0,14+ π ∙ 0,12

4∙ (0,368−(0,786−0,782 ) )2) ∙2+38 ∙150 ∙10−6∙ (0,368−(0,786−0,782 ) )2 ∙6,09=0,27812[m4 ]


A0=1,722[m2 ]


S=1,359[m3]


Shole=2 ∙ π ∙∅ 2

4∙ (zT+ep

15 )=2∙ π ∙ 0,12

4∙ (0,782−0,5 )=0,0044[m3]


S0=S−Shole=1,359−0,0044=1,355[m3]



Ai=1,757[m2]


SP=38 ∙150 ∙ 10−6 ∙ (0,782−0,5 ) ∙6,09=0,0098 [m3]

11



Si=S0+SP=1,351+0,0098=1,365[m3]


zT=S0

Ai= 1,365

1,757=0,777 [m]


I yi=112

∙ 2,75∙ 0,253+2,75 ∙0,25 ∙(1,3−0,777−0,252 )

2

+ 112

∙1 ∙1,053+1 ∙ 1,05∙(0,777−1,052 )

2

−( 164

∙ π ∙0,14+ π ∙ 0,12

4∙ ( 0,5−(0,782−0,777 ) )2)∙ 2+38 ∙150 ∙10−6 ∙ ( 0,5−(0,782−0,777 ) )2 ∙6,09=0,2803[m4]

8. Výpočet ztrát předpětí

8.1 Krátkodobé ztráty

8.1.1 Ztráty třením

Změny napětí v průřezu v důsledku ztráty třením:

∆ σP ,1=−σ P , 0 ,max ∙ (1−e−μ ∙ ( α+k ∙l ) )

kde μ… koeficient tření v zakřiveném úseku

α… celková úhlová změna do daného místa

k… koeficient tření v přímém úseku na 1 m délky

μ = 0,19 (ocelový kanálek)k = 0,01 m-1

- Úhlové změny: (Průřez 5) α=α1=0,06527 [rad ]

(Průřez 10) α=α1+α 2+α3=0,06527+0,10097+0,10097=0,26721[rad ]

(Průřez 15) α=α1+α 2+α3+α 4+α5=0,06527+0,10097+0,10097+0,11835+0,11835=0,50391 [rad ]

- Délky “l”: (Průřez 5) l=l1+l2=1,503+4,653=6,156 [m ]

(Průřez 10) l=l1+l2+l3+l 4+l5=1,503+4,653+0,369+11,453+0,799=18,777[m ]

(Průřez 15) l=l1+l2+l3+l 4+l5+ l6+l7+l8=1,503+4,653+0,369+11,453+0,799+0,799+13,887+0,349=33,812[m ]

12


- Ztráty třením v jednotlivých průřezech

∆ σP ,1,5=−1404 ∙ (1−e−0,19 ∙ ( 0,06527+ 0,01∙ 6,156) )=−33,43 [MPa ]

∆ σP ,1,10=−1404 ∙ (1−e−0,19 ∙ (0,26721+0,01 ∙18,777 ) )=−116.27 [MPa]

∆ σP ,1,15=−1404 ∙ (1−e−0,19∙ (0,50391+0,01 ∙33.812 ) )=−207.57[MPa]

8.1.2 Pokluz v kotvě

- Pokluz lana uvažuji w=0,005 m

w=Aw

EP→ Aw=w ∙EP=0,005 ∙195 000=975[ MPa]

kde Aw je plocha napětí

Změny napětí na jednotku délky v jednotlivých přímých úsecích:

pP=σ P , 0 ,max ∙ (1−e−μ ∙ ( ∆α+k ∙ l) )=1404 ∙ (1−e−0,19 ∙ (0+0,01 ∙1 ))=2,665 [ MPa ]

Změna napětí na jednotku délky v oblouku 1:

p1=σP , 0 ,max ∙ (1−e−μ ∙ ( ∆α 1+ k∙ l) )=1404 ∙ (1−e−0,19 ∙ (0.01403+0,01 ∙1) )=6.395 [ MPa ]

kde: ∆ α1=a1

L1=0,06527

4,653=0,01403[rad ∙ m−1]

Změna napětí na jednotku délky v oblouku 2:

p2=σP ,0 ,max ∙ (1−e−μ ∙ ( ∆α 2+ k ∙l) )=1404 ∙ (1−e−0,19 ∙ (0.00882+0,01 ∙1) )=5.011 [ MPa ]

kde: ∆ α2=a2

L1=0,10097

11.453=0,00882[rad ∙ m−1]

13


Předpoklad: ztráta pokluzem vymizí v oblouku 2:

Plocha napětí při předpokladu vymizení pokluzu v oblouku 2:

Aw=2∙( 12

∙ xP, 1 ∙ pP ∙ xP,1+xP, 1∙ ( x1∙ p1+ xP ,2 ∙ pP+x2 ∙ p2 ))+¿ Přímá

+2 ∙( 12

∙ x1 ∙ p1 ∙ x1+x1∙ ( xP ,2 ∙ pP+x2 ∙ p2 ))+¿ Oblouk 1

+2 ∙( 12

∙ x P,2 ∙ xP ,2 ∙ pP+ xP ,2 ∙ ( x2 ∙ pP ))+¿ Přímá

+2 ∙ 12

∙ x2 ∙ x2 ∙ p2+¿ Oblouk 2

Aw=2∙(12

∙ 1,5 ∙2,655 ∙ 1,5+1,5∙ ( 4,65 ∙6,395+0,369 ∙ 2,665+x2∙ 5,011))+¿

+2 ∙( 12

∙ 4,65 ∙6,395 ∙4,65+4,65∙ (0,369 ∙2,665+x2 ∙ 5,011))+¿

+2 ∙( 12

∙ 0,369∙ 0,369 ∙2,665+0,369 ∙ ( x2∙ 5,011))+¿

+2 ∙ 12

∙ x2 ∙ x2 ∙5,011

Aw=5,011 x22+65,333 x2+245,936=975

Logické jediné řešení:x2=7,192[m ]

Dosah pokluzu xw:xw=xP ,1+x1+xP ,2+x2=1,5+4,65+0,369+7,192=13,711[m ]

Z tohoto plyne, že ztráta pokluzem v kotvě se projeví pouze v průřezu 5

14


15


Celková ztráta pokluzem v kotvě:

∆ σP ,w=−2 ∙ ( xP , 1 ∙ pP+x1 ∙ p1+xP ,2 ∙ pP+x2 ∙ p2 )=−2 (1,5 ∙2,665+4,65 ∙6,395+0,369∙ 2,665+7,192 ∙5,011 )=−141,51[ MPa]

Ztráta v průřezu 5:

∆ σP ,2,5=−(141,51−2 ∙ ( xP,1 ∙ pP+x1∙ p1 ))=− (141,51−2 ∙ (1,5 ∙2,665+4,65 ∙ 6,395 ) )=−74,04 [MPa ]

Kontrola:∆ σP ,2,5+2 ∙ ∆ σ P,1,5 ≈ ∆ σ P , w

−74,04+2∙ (−33,42 )=−140,90 ≈ 141,51…………………Vyhovuje

8.2 Dlouhodobé ztrátyNapětí ve výztuži po okamžitých ztrátách:

σ P 0=σ P 0 ,max−∆ σP, 1−∆ σP , 2

Průřez σP,0,max ∆σP,1 ∆σP,2 σP,0 μ

5 1404 -33.43 -74.04 1296.53 0.73310 1404 -116.27 0 1287.73 0.72815 1404 -207.57 0 1196.43 0.676

μ=σ P 0

f Pk , kde f pk=1770 MPa

8.2.1 Ztráta relaxací

- Třída 2 - lana se sníženou relaxací

- Pro třídu 2 platí:∆ σ Pr

σ P0=−0,66 ∙ 2,5 ∙e9,1 ∙ μ∙ ( t

1000 )0,75 ∙ (1−μ)

∙10−5

∆ σPr=−σ P 0 ∙0,66 ∙2,5 ∙ e9,1 ∙ μ ∙( t1000 )

0,75 ∙ (1−μ)

∙10−5

Kde t je doba po napnutí v hodinách

Celková relaxace ∆ σPrkapacitapro t = 500 000 h (cca 57 let)

∆ σPrkapacita=−σ P0 ∙0,66 ∙2,5∙ e9,1 ∙ μ ∙( 500 000

1000 )0,75∙ (1−μ )

∙ 10−5

+ Napětí drženo 5 minut na konstantní hodnotě

→korekce ztráty předpětí pro t = 1/12 h16


∆ σPrcor=−σ P0∙ 0,66 ∙ 2,5 ∙e9,1 ∙ μ∙( 1

121000 )

0,75 ∙ (1−μ )

∙ 10−5

Průřez 5

∆ σPrkapacita=−1296,53 ∙ 0,66 ∙ 2,5∙ e9,1 ∙0,733 ∙(500 000

1000 )0,75 ∙ (1−0,733 )

∙10−5=−58,56 [MPa ]

∆ σPrcor=+1296,53∙ 0,66 ∙ 2,5 ∙ e9,1 ∙0.733 ∙( 1

121000 )

0,75 ∙ (1−0,733 )

∙ 10−5=+2,57 [MPa ]

Průřez 10

∆ σPrkapacita=−1287,73 ∙ 0,66 ∙ 2,5∙ e9,1 ∙0,728 ∙(500 000

1000 )0,75 ∙ (1−0,728 )

∙10−5=−56,89 [MPa]

∆ σPrcor=+1287,73∙ 0,66 ∙ 2,5∙ e9,1 ∙0,728 ∙( 1

121000 )

0,75 ∙ (1−0,728 )

∙ 10−5=+2,36 [MPa ]

Průřez 15

∆ σPrkapacita=−1196,43 ∙ 0,66∙2,5 ∙ e9,1 ∙ 0,676 ∙( 500 000

1000 )0,75 ∙ (1−0,676)

∙ 10−5=−41,96 [MPa ]

∆ σPrcor=+1196,43 ∙ 0,66 ∙ 2,5 ∙ e9,1 ∙ 0,676 ∙( 1

121000 )

0,75 ∙ (1−0,676)

∙10−5=+0,95[ MPa]

17


Ztráty předpětí v čase t = 100 dní

Průřez 5

∆ σPr100=−1296,53 ∙0,66 ∙ 2,5 ∙e9,1 ∙ 0,733 ∙( 2400

1000 )0,75 ∙ ( 1−0,733)

∙10−5=−20,10[ MPa]

Průřez 10

∆ σPr100=−1287,73 ∙0,66 ∙ 2,5 ∙e9,1 ∙ 0,728 ∙( 2400

1000 )0,75 ∙ ( 1−0,728)

∙10−5=−19,14[ MPa]

Průřez 15

∆ σPr100=−1196,43 ∙0,66 ∙2,5 ∙ e9,1∙ 0,676 ∙( 2400

1000 )0,75∙ (1−0,676)

∙10−5=−11,46 [ MPa]

Průřez ∆σP,3,1(100 dní) ∆σP,3,2(36 500 dní)

5 - 20,1 + 2,57 = - 17,53 MPa - 58,56 + 2,57 = - 55,99 MPa10 - 19,14 + 2,36 = - 16,78 MPa - 56,89 + 2,36 = - 54,53 MPa15 - 11,46 + 0,95 = - 10,51 MPa - 41,96 + 0,95 = - 41,01 MPa

8.2.2 Dotvarování betonu

Síla v kabelech (celková) po okamžitých ztrátách v jednotlivých průřezech:

N P ,05 =σ P ,0

5 ∙ n∙ A P 1=1296,53∙ 38 ∙150=7390,22[kN ]

N P ,010 =σ P ,0

10 ∙ n∙ A P 1=1287,73∙ 38 ∙150=7340,06[kN ]

N P ,015 =σ P ,0

15 ∙ n∙ A P 1=1196,43 ∙ 38∙150=6819,65[kN ]

Momenty v jednotlivých průřezech (vlastní tíha + ostatní stálé + stat. neurčitý moment):

M g5=727,34+132,75=860,09[kNm]

M g10=−3265,07+442,50=−2822,57 [kNm]

M g15=2379,30+442,50=2821,8 ¿

Napětí v betonu v místě předpínacího kabelu:

σ cPg+P=

−N P,0

Ai−

N P,0 ∙ eP,i

I y , i∙ eP, i+

M g

I y ,i∙ eP ,i

Pozor: excentricita pouze ke kabelu, ne ke krajním vláknům

Napětí v betonu v místě předpínacího kabelu v jednotlivých průřezech:

σ cP(g+P ) 5=−7,390

1,757−

7,390 ∙ (0,25−(0,782−0,78 ) )2

0,277+ 0,860

0,277∙ (0,25−(0,782−0,78 ) )=−5,08[MPa ]

18


σ cP(g+P ) 10=−7,340

1,757−

7,340 ∙ (0,368− (0,786−0,782 ) )2

0,278+ 2,823

0,278∙ (0,368− (0,786−0,782 ) )=−3,98[MPa]

σ cP(g+P ) 15=−6,820

1,757−

6,820 ∙ (0,5−(0,782−0,777 ) )2

0,280+ 2,822

0,280∙ (0,5−(0,782−0,777 ) )=−4,86[ MPa]

Ztráta dotvarováním:

∆ σPc=−E p

Ec (τ )∙ σ cP

g+ P ∙φ ( t ; τ )

Kde: τ…čas předepnutí τ = 7 dnít…sledovaný okamžik t 1 = 100 dní

t 1 = 100 let

Výpočet součinitele dotvarování φ (t ; τ ) a modulu pružnosti Ec (τ) pomocí programu CREEP & SHRINKAGE

Vstupní parametry: tvar průřezu: nekonečná deska

Vlhkost r.h.: 50%Cement c : 300 kg ∙m−3

Voda w : 115kg ∙m−3

Kamenivo a : 2137 kg ∙ m−3

fc: 30 MPa

Doba ošetřování: 7 dní

Napětí: průřez 5: −5,08 MPa

průřez 10: −3,98 MPa

průřez 15: −4,86 MPa

19


Výstupy:

Ec (7 )=21748 MPa

ϕ ϕČas

100 36500Průřez

5 0,83 2,8110 0,83 2,8115 0,83 2,81

Ztráta dotvarováním v jednotlivých průřezech v čase 100 dní:

∆ σP ,4,15 =−195000

21748∙ 5,08 ∙0,83=−37,81[MPa]

∆ σP ,4,110 =−195000

21748∙ 3.98 ∙0,83=−29,62[MPa]

∆ σP ,4,115 =−195000

21748∙ 4.86 ∙0,83=−36,17[ MPa]

Ztráta dotvarováním v jednotlivých průřezech v čase 36500 dní:

∆ σP ,4,25 =−195000

21748∙ 5,08 ∙2,81=−127,99[ MPa]

∆ σP ,4,210 =−195000

21748∙ 3,98 ∙2,81=−100,28[ MPa]

∆ σP ,4,215 =−195000

21748∙ 4,86 ∙2,81=−122,45 [MPa ]

8.2.3 Smršťování betonu

Základní výpočet pro smršťování:

∆ σPS=−Ep ∙ εcS ( t )

Kde ε cS (t ) je součinitel smršťování v čase t (z programu CREEP & SHRINKAGE)

Smrštění betonu v čase t:

∆ σPS( t)=−Ep ∙ (εcS (t )−εc

S (τ ) )Smrštění betonu v čase t = 100 dní (čas uvedení do provozu):

∆ σP ,5,1=−E p ∙ (εcS (100 )−εc

S (7 ))=−195000 ∙ (56,33∙10−6−8,22 ∙10−6 )=−9,38[kNm]

Smrštění betonu v čase t = 36500 dní (čas na konci životnosti):

∆ σP ,5,1=−E p ∙ (εcS (36500 )−εc

S (7 ) )=−195000 ∙ (439,51 ∙10−6−8,22 ∙10−6 )=−84,10[kNm]

20


8.3 Přehled napětí a sil ve výztuži

Napětí a sílyPrůřez

5 10 15Napínací napětí σ P, 0 ,max [Mpa] 1404,00 1404,00 1404,00

Krát

k.

Ztrá

ty Tření ∆ σP ,1 [Mpa] -33,43 -116,27 -207,57Pokluz ∆ σP ,2 [Mpa] -74,04 0,00 0,00

Napětí po okamžitých ztrátách σ P , 0 [Mpa] 1296,53 1287,73 1196,43Síla ve výztuži po okamžitých ztrátách N P ,0 [kN] 7390,22 7340,06 6819,65

Dlou

hodo

bé zt

ráty

100

dní

Relaxace ∆ σP ,3,1 [Mpa] -17,53 -16,78 -10,51Dotvarování ∆ σP ,4,1 [Mpa] -37,81 -29,62 -36,17Smršťování ∆ σP ,5,1 [Mpa] -9,38 -9,38 -9,38

Napětí při uvedení do provozu σ P , 100 [Mpa] 1231,81 1231,95 1140,67Síla ve výztuži při uvedení do provozu N P,100 [kN] 7021,32 7022,12 6501,18

36 5

00 d

ní Relaxace ∆ σP ,3,2 [Mpa] -55,99 -54,53 -41,01Dotvarování ∆ σP ,4,2 [Mpa] -127,99 -100,28 -122,45Smršťování ∆ σP ,5,2 [Mpa] -84,10 -84,10 -84,10

Napětí na konci životnosti σ P, ∞ [Mpa] 1028,45 1048,82 948,87Síla na konci životnosti N P ,∞ [kN] 5862,17 5978,27 5408,56

9. Výpočet celkového účinku předpínacího kabelu

9.1 A) Řešení náhradou lomeným kabelempolohu těžišťové osy uvažujte pro plný betonový průřez

21


Ke ztrátě předpětí dochází v uzlu

- Síla v kabelu + →

- Svislé síly + ↓

N AX=N1

N1 X=N1

N2 X=N2 atd… (rozdíl je zcela zanedbatelný – rozdíl v délce přepony a odvěsny)

sin α=N AZ

N1→ N AZ=N 1 ∙ sin α=|sin α=tan α|=N1 ∙ tan α=

eB−e A

L1

10

NBZ=N2 Z−N1 Z=N2∙eC−eB

L1

10

−N 1∙eA−e A

L1

10

22


A na stejném principu pokračovat v dalších uzlech…

9.1.1 Postup při vyplňování tabulky Excelu

23


- Zelené hodnoty jsou potřeba zadat

- Je nutné vypočítat ztráty třením a pokluzem – dle vzorců, které již byly použity dříve

- Z tohoto pak vypočítat v každém úseku předpínací sílu N P ,0

- Vzhledem k napínání z obou konců je možné využít symetrii

- M i=H i ∙ e

- Z excelu s příčinkovými čarami vypsat pořadnice pro průřez 10 a 15 + pořadnice derivace

- na jednotlivé průřezy (tj. 10 a 15) působí svislé síly a vodorovné síly (viz. str. 21)

- účinek svislých sil se dostane násobením hodnoty síly s pořadnicí příčinkové čáry

- Celkový účinek svislých sil na M 10 se tedy získá sečtením účinku všech sil →∑ V i ∙ ηM 10, i

- Stejně pro M 15 (zde možno využít symetrie)

- Dále působí vodorovné síly mimo těžišťovou osu, které způsobí osamělé momenty v daném místě

- Každý osamělý moment vyvodí část výsledného momentu v průřezu 10 a 15- hodnoty se získají tak, že se vynásobí M i ∙ ηi

,,

kde M i=H i ∙ e a ηi, je hodnota derivace příčinkové čáry (v momentu se dosazuje záporná

hodnota)

24


9.1.2 Příklad

- Tento moment způsobí kladný moment v průřezu 10- Opět platí, že když se sečtou účinky všech osamělých momentů na průřez 10 (15), tak se získá výsledný moment od vodorovných sil

25


- Sečtením výsledných momentů od svislých a vodorovných sil se získá M P ,TOT , 10 a M P ,TOT , 15

- Tyto momenty obsahují primární a sekundární momentyM P ,TOT=M PP+M PS

- Určení MPS z průřezu 15M P ,TOT , 15=M PP,15+M PS , 15

kde M PP , 15=NP ,0,15∙ e15=−6888,16 ∙ 0,5=−3444,08 [kNm]

M PS , 15=M P, TOT ,15+M PP , 15=−2466,71−(−3444,08 )=977,37 [kNm]

Pro jednotlivé fáze:

1. Po vnesení předpětí: t = 0M PS , 15

0 =977,37[kNm ]

2. Uvedení do provozu: t = 100 dníM PS , 15

100 =N P,100

N P ,0∙ M PS ,15

0 = 6501,186819,65

∙977,37=931,73 [kNm ]

3. Konec životnosti: t = ∞M PS , 15

∞ =N P, ∞

N P, 0∙ M PS ,15

0 =5408,566819,65

∙977,37=775,14[kNm ]

- Původně odhadnutý ∆ M P=442,5 kNm

- Výsledný ∆ M P je vyšší o 75 % → bylo by tedy vhodnější uvažovat při předběžném návrhu 15%

26


9.2 B) Ekvivalentní zatíženíP1, P2, PPOD… průměrné síly v jednotlivých úsecích kabelu

P1=( N AB ∙ LAB+N BC ∙ LBC+…+N JK , KRAJ ∙ LJK , KRAJ )

L1

P2=…

PPOD=…

Určení ekvivalentního zatížení:

p1=P1 ∙8 ∙ f 1

L12 =59,77[kN m−1]

p2=P2 ∙8 ∙ f 2

L22 =57,40[kN m−1]

pPOD=P2 ∙8 ∙ f POD

LPOD2 =1028,10 [kN m−1]

- poloha T.O. pro plný betonový průřez

f …vzepětí obloukuL … délka půdorysného průmětu oblouku

Výsledná zatížení a momenty: (viz tabulka níže)M P ,TOT , 10=3447,4[kNm ]

M P ,TOT , 10=−2692,3[kNm ]

27


28


9.3 Porovnání obou způsobů výpočtu celkového účinku předpětíLomený kabel:

M P ,10 ,V =3652,31[kNm]

M P ,15 ,V=−2549,79[kNm]

Ekvivalentní zatížení: M P ,TOT , 10=3447,40[kNm]

M P ,TOT , 15=−2692,3[kNm ]

Hodnoty odpovídají 94,4 %, resp. na 94.7 %. Výpočet lze tedy považovat za správný.

29


10. Finální posouzení napětí- Nyní již můžeme posoudit MSP z hlediska napětí v průřezu

- Jedná se o stejnou tabulku, jako v případě předběžného posouzení, je však třeba změnit hodnoty podle výsledků celkového účinku předpětí. Jedná se o tyto hodnoty:

- Hodnota staticky neurčitého momentu

- Hodnota předpínací síly

Napětí ve výztuži:

Průřez5 10 15

σ P, 0 ,max 1404 1404 1404σ P , 0 1296,53 1287,73 1196,43

σ P , 100 1231,81 1231,95 1140,67σ P , ∞ 1028,45 1048,82 948,87

Staticky neurčitý moment pro jednotlivé fáze:

Průřezčas t 5 10 15

0 293,21 977,37 977,37100 279,52 931,73 931,73 ∞ 232,54 775,14 775,14

Působící ohybové momenty od zatížení včetně staticky neurčitého momentu od předpětí:

Průřez 5:

čas t Mf + ∆Mp [kNm] působení momentů od zatížení [kNm]0 911 g0 + P0 = 617,74 + 293,21

100 742 g0 + gost + Pup + qmin = 617,74 + 109,60 + 279,52 + (-264,91) ∞ 1464 g0 + gost + P∞ + qmax = 617,74 + 109,60 + 232,54 + 504,11

Průřez 10:

čas t Mf + ∆Mp [kNm] působení momentů od zatížení [kNm]0 -1796 g0 + P0 = -2773,09 + 977,37

100 -2246 g0 + gost + Pup + qmax = -2773,09 - 491,08 + 931,73 + 86,11 ∞ -3650 g0 + gost + P∞ + qmin = -2773,09 - 491,98 + 775,14 + (-1159,84)

30


Průřez 15:

čas t Mf + ∆Mp [kNm] působení momentů od zatížení [kNm]0 2998 g0 + P0 = 2020,78 + 977,37

100 3120 g0 + gost + Pup + qmin = 2020,78 + 358,52 + 931,73 + (-190,74) ∞ 4127 g0 + gost + P∞ + qmax = 2020,78 + 358,52 + 775,14 + 973,21

- Z finální tabulky posouzení MSP je vidět, že v průřezu 15 na konci životnosti v místě spodních vláken je tah.

- To je způsobeno jak většími ztrátami, tak větším sekundárním momentum

- Napětí je však menší než pevnost betonu v tahu, je možné tedy návrh považovat za vyhovující.

31


11. Posouzení MSÚ – ohybová únosnostPosouzení průřezu 10 v čase t= 100 let

11.1 Působící vnější zatíženíVlastní tíha NK g0

M g 0 , d=1,35 ∙ M g 0 , k=1,35 ∙ (−2773,09 )=−3743,7 kNm

Ostatní stálé zatížení gost

M g , ost ,d=1,35 ∙M g ,ost , k=1,35 ∙ (−491,98 )=−664,2kNm

Proměnné zatížení – užitné q

M q , d=1,5 ∙ M q ,k=1,5 ∙ (−1159,89 )=−1739,7 kNm

Návrhový moment:

M Ed10 =M g 0 , d+M g , ost ,d+ M q ,d=−6147,7 kNm

11.2 PředpětíPosuzována konstrukce na konci životnosti, tedy všechny ztráty již proběhly:

N p , ∞ ,d10 =γ p ∙n ∙ A p ,1 ∙ δ p , ∞

10 =1,0 ∙38∙ 150 ∙1048,82=5978,27 kN

N ps ,∞ ,d10 =γ p∙ ∆ M p , ∞

10 =1,0 ∙775,14=775,14 kNm

11.3 Stav dekomprese, základní napětí

- výztuž je zainjektována a soudržně provázána s kanálkem a ten následně s betonem

- pokud chceme navodit stav dekomprese (tj. nulová napětí v betonu po celém průřezu), musíme vynutit protažení výztuže -> protažení okolního betonu

- ve výztuži dochází k přírůstku napětí

32


11.3.1 Výpočet napětí δ cp∞ … Napětí v betonu v okolí kabelu

Na oslabený průřez působí:

Primární účinky předpětí

Sekundární účinky předpětí

Vlastní tíha

Zainjektování kanálků => na ideální průřez působí:

Ostatní stálé zatížení

Výpočet napětí δ cp∞ :

σ cp∞ =

−N p , ∞,d10

A0−

N p , ∞, d10 ∙ e p ,0

I y ,0∙e p , 0−

∆ M p ,∞, d10

I y, 0∙ e p ,0+

M g0 ,d10

I y, 0∙ ep ,0+

M g ,ost , d10

I y ,i∙ e p ,i=

−5,9781,722

−5,978∙0,3710,2734

∙0,371− 0,7750,2734

∙ 0,371+ 3,7430,2734

∙ 0,371+ 0,6640,2781

∙ 0,364=−1,58 MPa

11.3.2 Primární vnitřní síly

Základní předpínací napětí v předpínací výztuži:

σ p0=σ p

∞+Ep

Ecm∙|σ cp

∞|=1048,82+ 19532

∙ 1,58=1058,45 MPa

Základní předpínací síla:

P0=σ p0 ∙n ∙ A p ,1=1058,45∙ 38 ∙150=6033 kN

Primární vnitřní síly:

N pp0 =−P0=−6033 kN

M pp0 =N pp

0 ∙C p ,i10 =−6033∙ 0,364=−2196 kNm

33


- V případě železobetonu vzdoruje vnějšímu momentu dvojice vnitřních sil F c a F s. Z podmínky F c=F s je možno určit „x“ a M Rd.

- Zde vstupuje do rovnice ještě tlaková síla N pp0 a tím se výpočet komplikuje.

∆ FP=Fc+N PP0

kde: ∆ FP rezerva v předpínací výztužiF c výslednice tlakových napětí v tlačené části průřezu

ε P0=

σ P0

EP= 1058,45

195000=0,00543→ platí pro ε P

0 <εPc

f cd=301,5

=20 MPa

f pd=15601,15

=1356 MPa

ε pe=f pd

EP= 1356

195000=0,00695

11.3.3 Moment na mezi únosnosti

M Rd=−F c ∙ zc+∆ F p ∙e p ,i10

+ + -

34


11.3.4 Nalezení plochy neutrální osy X:

2 podmínky:

- Dosaženo mezní poměrné přetvoření v jednom (nebo obou) materiálu

- Splněny podmínky rovnováhy ∆ F p=Fc+N PP0

Při nalezení polohy neutrální os se vychází z optimálního porušení:x=x1 => dosaženo mezního přetvoření v obou materiálech

N pp0 =−6033 kN

∆ F p … ε P=εud → ∆ σ p=f pd−σ p0 =1356−1058=298 MPa

∆ F p=∆ σ p ∙ A p ,1 ∙ n=298 ∙150 ∙38=1698 kN

F c1=0,8 ∙ x1 ∙ b ∙ f cd

x1 je definováno z geometrie (podobností trojúhelníků)

x1

εcu=

h−x1−c p ,i10

ε ud−ε p0=∆ εP

x1

εcu=

h−cP,i10

ε ud−ε p0 −

x1

εud−ε p0

x1∙( 1ε cu

+ 1ε ud−ε p

0 )=h−Cp , i10

εud−ε p0

x1∙ε ud−ε P

0 +εcu

εcu(εud−ε p0 )

=h−CP,i

10

εud−ε p0

x1∙εud−ε p

0 +ε cu

εcu=h−C P ,i

10

x1=εcu ∙(h−C p ,i

10 )εud−ε p

0 +εcu

=0,0035(1,3−0,15)

0,02−0,00543+0,0035=0,223 m

F c1=−0,8 ∙ 0,223∙ 1∙20000=−3568 kN

∆ F p−F c−N PP0 =R → dvě tahové síly + jedna tlaková

Po dosazení:R=1698−3568+6033=4163kN

35


Pokud je R < 0 → velká tlaková síla v betonu

- pro její snížení musíme zmenšit hodnotu x => přetvoření výztuže zůstává na ε ud , přetvoření betonu je menší než ε cu => rozhoduje „přetržení“ výztuže

Pokud je R > 0 → malá tlaková síla v betonu

- pro její zvětšení musíme zvětšit hodnotu x => přetvoření betonu zůstává na ε cu , přetvoření výztuže je menší než ε ud →rozhoduje rozdrcení betonu

!ZDE VŠAK POZOR!

Z podmínky rovnováhy: ∆ F p−F c−N pp0 =0 určíme x

- Víme ale, že přetvoření výztuže pokleslo z ε ud na ε p

- Ve výše uvedené rovnici uvažujeme ∆ F p konstantní, to však platí pouze pro ε p∈ ⟨ ε pe ;εud ⟩ (viz. bilineárný prac. diagram výstuže)

- Po vypočtení skutečného x je tedy nutné ověřit hodnotu ε P

- Pokud ε P<ε pe , je nutno použít itenační proces (např. v Excelu) a určit hodnotu x v závislosti na měnící se síle ∆ F p

V našem případě R=4163 kN>0→ je nutné zvětšit x

F c=1698+6033=7731=0,8 ∙ x ∙b ∙ f cd

Po vyjádření x:

x= 7,7310,8 ∙1 ∙ 20

=0,483 m

Nyní je nutné ověřit podmínku zplastizování předpínací výztuže:

ε p∈ ⟨ ε pe ; εud ⟩εcu

x=

ε ´ p

h−c p ,i10 −x

36


Po dosazení:

0,00350,483

=ε ´ p

0,667→ε ´ p=0,0048

Při stavu dekomprese je však ve výztuži přetvoření ε p0, které je nutní zahrnout:

ε p0=0,00543

Celkové přetvoření předpínací výztuže je potom:

ε P=ε ´ P+ε P0 =0,00543+0,0048=0,0102

ε P∈ ⟨ε pe ; εud ⟩ → vyhovuje

Pro ověření podmínky rovnováhy ∆ F p−F c−N pp0 =0 určíme:

∆ FP=konst .=1698 kN

F c=−0,8 x ∙b ∙ f cd=0,8 ∙ 0,483 ∙1 ∙ 20000=−7728 kN

N PP0 =−6033 kN

Po dosazení:

∆ FP+F c+(−N PP0 )=1698−7728+6033=∅

Pozn.: pokud by z podobnosti trojúhelníků vyšlo že ε P=(ε´¿¿P+ε P0 )<εPc¿ pak neplatí, že

∆ FP=konst .. V takovém případě je nutné ∆ FP a x určit iterativním způsobem (například v Excelu).

Hledáme řešení, kdy x→ 0 a zároveň je splněna podmínka rovnováhy F p−F c−N pp0 =0.

Jednotlivé členy podmínky rovnováhy určíme z následujících vztahů:

ε p=ε cu(h−c¿¿ p , i10−x)

x+ε p

0 ¿

σ p=ε p∙ Ep

F p=σ p ∙ A p

F c=0,8 ∙ x ∙b ∙ f cd

N PP0 =konst .=−6033 kN

Pro výpočet momentu únosnosti určíme rameno sil z:

z=h−c p ,i10 −0,8 ∙ x

2=1300−150−0,8 ∙ 483

2=957 mm

Případně alternativním způsobem:zMi=786 mm

zc=zMi−0,8 ∙ x

2=786−0,8 ∙483

2=593 mm

37


zP=h−CP,i10 −z Mi=1300−150−786=364 mm

z=zc+z p=957 mm

Moment na mezi únosnosti, tedy moment dvojice sil F c a F p:

M R=Fc ∙ zc+FP ∙ z P=−7728 ∙ 0,593−1698 ∙0,364=−5200,78 kNm

11.3.5 Posouzení průřezu

Proti vnějšímu momentu působí ještě moment vyvolaný předpětím, neboť síla N PP0 působí na

excentricitě:

M PP0 =NPP

0 ∙CP ,i10 =−6033 ∙ (1,3−0,15−0,786 )=−2196 kNm

Moment únosnosti průřezu:

M Rd=M R+M PP0 =−5200 , 78−2196=−7397 kNm

|M Rd|≥|M E , d10 +M Ps ,∞ ,d

10 ||−7397|≥|−6148+775|

7397 ≥ 5373 [ kNm ] → Navržený průřez vyhovuje z hlediska MSÚ!!

38


12. Posouzení MSÚ – smyk a kroucení

12.1 Smykové únosnostObálka posouvajících sil od kombinace MSÚ:

Celková hodnota návrhové posouvající síly v řezu 0:

V Ed0 =571,70 kN

Celková hodnota návrhové posouvající síly v řezu 10 (zleva):

V Ed10 L=1173,69kN

Celková hodnota návrhové posouvající síly v řezu 10 (zprava):

V Ed10 P=1405,35 kN

V Ed10 =max (V Ed

10 L ,V Ed10 P )=1405,35 kN

Smyková únosnost vyztuženého průřezu s ohybovou trhlinou, resp. jeho stojiny, je omezena jednak únosností tlačeného betonu V Rd ,max (tlačené diagonály) a jednak únosností navržené smykové výztuže V Rd ,s .

Nejdříve stanovíme únosnost tlačené diagonály V Rd ,max průřezu, která rozhoduje o maximální smykové únosnosti prvku:

V Rd ,max=α cw ∙bw ∙ z ∙ ν1 ∙ f cd ∙ cotgθ+cotgα1+cotg2θ

kde α cw je součinitel, kterým se vyjadřuje stav napjatosti v tlačeném pásu:

α cw=1+σ cp

f cdpro 0<σcp<0,25 ∙ f cd

α cw=1,25 pro 0,25 ∙ f cd<σ cp<0,5 ∙ f cd

α cw=2,5 ∙(1−σcp

f cd) pro 0,5 ∙ f cd<σ cp<1,0 ∙ f cd

Přitom σ cp je průměrné napětí v tlaku v uvažovaném průřezu, při zahrnutí ekvivalentní plochy výztuže, vyvolané návrhovou normálovou silou N p , ∞,d

0 respektive N p , ∞ ,d

10 :

39


σ cp=N p ,∞ , d

10

Ac+ Ap ∙ m

bw je nejmenší šířka průřezu mezi tlačeným a taženým pásem

z je rameno vnitřních sil v průřezu – zjednodušeně lze uvážit z=0,9 ∙ d

ν1 je redukční součinitel tlakové pevnosti betonu při porušení smykem.

Doporučená hodnota se stanoví ze vztahu ν1=0,6 ∙(1− f ck

250 ) θ je úhel sklonu tlakových diagonál od osy nosníku kolmé na posouvající sílu.

Hodnota sklonu tlakových diagonál θ se pro předpjaté konstrukce volí v rozsahu: 1,25 ≤ cotgθ≤ 2,5

α je úhel sklonu smykové výztuže od osy nosníku kolmé na posouvající sílu. Pro prvky se svislou smykovou výztuží (svislé třmínky), kdy α=0, je výraz cotgα=0.

Únosnost smykové výztuže V Rd ,s (třmínků) určíme ze vztahu:

V Rd ,s=A sw

s∙ z ∙ f ywd ∙ cotgθ

kde A sw

s je průřezová plocha smykové výztuže v průřezu na jednotku délky

nosníku, přitom musí být splněn minimální stupeň smykového vyztužení:

ρw=A sw

s ∙ bw ∙ sinα≥ ρw , min=

0,08 ∙√ f ck

f yk

s je součinitel, kterým se vyjadřuje stav napjatosti v tlačeném pásu:f ywd je návrhová mez kluzu smykové výztuže

Kompletní návrh a posouzení smykové výztuže v řezu 0 a 10 lze provést v Excelu.

40


12.1.1 Posouzení průřezu 0

41



42


12.2 Únosnost průřezu v krouceníSchéma podepření lávky – kroucení je přenášeno dvojicemi tahové a tlakové reakce v koncových podporách, jak je patrné z následujícího schématu:

Pro vyvození maximálního kroutícího momentu budeme uvažovat působení užitného (proměnného) zatížení na polovině mostu:

Zatížení kroutícím momentem po délce mostu:

mEd=γq ∙ q ∙ b2

∙ b4=1,5 ∙ 1

8∙ 6 ∙ 2,75=3,09 kNm /m

Průběh kroutícího momentu od kombinace MSÚ:

Celková hodnota kroutícího momentu v řezu 0:

M Ed ,0=(a+ 12 ) ∙ L∙ mEd=(0,6+0,5 ) ∙ 30∙3,09=102,09 kNm

Celková hodnota kroutícího momentu v řezu 10:

M Ed ,10=L2

∙mEd=302

∙ 3,09=46,41 kNm

Smykové napětí od kroucení budeme uvažovat pro plný průřez na náhradním komorovém průřezu, kde tloušťka stěn a desek tohoto průřezu je definována jako t ef , i.

t ef , i=Au

=1,7388,1

=0,215 m, dále musí platit t ef , i=0,215 ≥ 0,1=2 ∙ c→ splněno

43


kde A plocha betonového průřezu

u obvod betonového průřezu

c je výška krytí betonářské výztuže (třmínků); uvažujeme c=50 mm

Účinek kroucení je tímto převeden na smykový účinek po obvodě průřezu.

Náhradní tloušťka je uvažována konstantní po obvodě průřezu, konstantní je také velikost smykového napětí. Vztah mezi kroutícím momentem a smykovým napětím po obvodě náhradního průřezu je následující:

τ t ,i ∙t ef ,i=M Ed

2 ∙ Ak

Plocha Ak je definována střednicí náhradního komorového průřezu:

Ak=(b−t ef , i) ∙ (h−tef ,i )=(1−0,215 ) ∙ (1,3−0,215 )=0,852 m2

Velikost výsledné posouvající síly v náhradní stěně je pak dána vztahem:

V Ed ,i=τ t , i ∙ t ef , i ∙ zi=M Ed

2 ∙ Ak∙ (h−tef ,i )


V Ed ,i0 = 102,09

2 ∙0,852∙ (1,3−0,215 )=65,00 kN


V Ed ,i10 = 46,41

2 ∙0,852∙ (1,3−0,215 )=29,60 kN

Smyková výztuž průřezu pak bude navržena i na přírůstek smykové síly od kroucení. Návrh výztuže je proveden stejným způsobem jako pro dimenzování na prostý smyk, přičemž návrh je proveden pro náhradní stěnu tloušťky t ef , i a výšky h. Vzhledem k vysoké rezervě ohybové únosnosti průřezu je možné zanedbat účinek podélných sil (interakci smyku respektive kroucení a ohybu není nutné uvažovat).

Určíme únosnost stejného vyztužení, jako bylo použito pro prostý smyk. V náhradní stěně tloušťky t ef , i se však v tomto případě nachází pouze 1 profil smykové výztuže, uvažujeme tedy s jednostřižnou smykovou výztuží stejného profilu a o stejných vzdálenostech.

44



Využití smykové výztuže prostým smykem:

f u ,sw0 =

V Ed

V Rd=571,7

863=66,2%

Využití smykové výztuže od kroucení:

f u ,t0 =

V Ed

V Rd= 65

215,7=30,1 %

Využití smykové výztuže celkem:f u

0= f u , sw0 + f u ,t

0 =66,2+30,1=96,3 % →Vyhovuje

45



Využití smykové výztuže prostým smykem:

f u ,sw10 =

V Ed

V Rd=1405,4

1726=81,4 %

Využití smykové výztuže od kroucení:

f u ,t10 =

V Ed

V Rd= 29,6

431,5=6,9 %

Využití smykové výztuže celkem:f u

10=f u ,sw10 +f u , t

10 =81,4+6,9=88,3 %→ Vyhovuje

46

Date post:	25-May-2019
Category:	Documents
Upload:	truongthien
View:	225 times
Download:	0 times

FC2011 - FSv ČVUT v Praze -- FSv ČVUT --...

Documents