Fourierova transformace

EO2 – Přednáška 2

Pavel MášaX31E

O2 - P

avel

Máša

X31EO2 - Pavel Máša - Přednáška 2

• Známe Fourierovy řady v komplexním tvaru

Spektrum této řady je diskrétní

Obvody tedy musíme řešit v HUS člen po členu (pracné)

Touto řadou můžeme popsat pouze periodické průběhy

? Co když obvod vybudíme osamoceným impulsem?

? Jak vypočítat výstupní napětí jedním výpočtem, ne pracně krok za krokem, po jednotlivých harmonických?

ÚVODEM

f (t) =

1Xk=¡1

Akejk!0tf (t) =

1Xk=¡1

Akejk!0t

Ak =1

T

Z T0

f (t)e¡jk!0t dtAk =1

T

Z T0

f (t)e¡jk!0t dt

X31E

O2 - P

avel

Máša

X31EO2 - Pavel Máša - Přednáška 2

Co se stane, pokud budeme prodlužovat periodu obdélníkového průběhu?

Nebo zužovat obdélníkový impuls?

FOURIEROVY ŘADY – ROZŠIŘOVÁNÍ PERIODY

Ak =1

T

Z t02

¡t02

U0e¡jk!0t dt =

U0T

·e¡jk!0t

¡jk!0

¸ t02

¡t02

=

=U0T

cos(¡k!0 t02 ) + j sin(¡k!0t02 )¡ cos(k!0

t02 )¡ j sin(k!0

t02 )

¡jk!0=

=U02

2 sin(k!0t02 )

k!0=

U0t0T

sin(k!0t02 )

k!0t02

=S

TSa

μk!0

t02

¶Ak =

1

T

Z t02

¡t02

U0e¡jk!0t dt =

U0T

·e¡jk!0t

¡jk!0

¸ t02

¡t02

=

=U0T

cos(¡k!0 t02 ) + j sin(¡k!0t02 )¡ cos(k!0

t02 )¡ j sin(k!0

t02 )

¡jk!0=

=U02

2 sin(k!0t02 )

k!0=

U0t0T

sin(k!0t02 )

k!0t02

=S

TSa

μk!0

t02

¶

X31E

O2 - P

avel

Máša

X31EO2 - Pavel Máša - Přednáška 2

• Jak v případě zužování impulsu, tak prodlužování periody je obalovou křivkou        funkce

• Čím větší je poměr periody T k šířce impulsu t0, tím více spektrálních čar padne do jedné periody         funkce.

sin xx

sin xx

sin xx

sin xx

Zužování – konstantní T, zmenšování t0, k reprezentuje stále stejnou frekvenci(frekvenční) vzdálenost sousedních čar se nemění – funkce se rozšiřuje směrem k ∞sin x

xsin x

x

Rozšiřování – konstantní t0, T roste směrem k ∞, k reprezentuje stále nižší frekvence(frekvenční) vzdálenost sousedních čar klesá k 0 – funkce zůstává na místě, klesá aleamplituda!!!

sin xx

sin xx

X31E

O2 - P

avel

Máša

X31EO2 - Pavel Máša - Přednáška 2

Prodloužení periody k ∞

Původně diskrétní frekvence se stává spojitou

Amplituda frekvenčního spektra (původně jednotlivých harmonických) se blíží 0

Koeficienty (harmonické) musíme vynásobit periodou T (jinak → 0 !)

Přímá Fourierova transformace

T !1 ) !0 =2¼

T! 0; ¢!0 = !0 ! 0T !1 ) !0 =

2¼

T! 0; ¢!0 = !0 ! 0

PŘECHOD OD FOURIEROVY ŘADY K FOURIEROVĚ TRANSFORMACI

TAk =

Z T2

¡T2

f (t)e¡jk!0t dtT

2!1TAk =

Z T2

¡T2

f (t)e¡jk!0t dtT

2!1

F(j!) = limT!1

TAk = limT!1

Z T2

¡T2

f (t)e¡jk!0t dt =

Z 1¡1

f (t)e¡j!t dtF(j!) = limT!1

TAk = limT!1

Z T2

¡T2

f (t)e¡jk!0t dt =

Z 1¡1

f (t)e¡j!t dt

ff (t)g = F(j!) =Z +1¡1

f (t)e¡j!t dtff (t)g = F(j!) =Z +1¡1

f (t)e¡j!t dtX3

1EO2

- Pav

el Má

ša

X31EO2 - Pavel Máša - Přednáška 2

• Časový průběh je vyjádřen řadou

• Pokud T→ ∞, pak v této rovnici Zpětná Fourierova transformace

pokud je to možné, nepoužíváme přímo definiční integrál, ale snažíme se využít vlastností a známých obrazů ze slovníku

ZPĚTNÁ TRANSFORMACE

f (t) =

1Xk=¡1

(TAk)ejk!0t ¢ 1

T=

1Xk=¡1

(TAk)ejk!0t ¢ 12¼

!0

=

=1

2¼

1Xk=¡1

(TAk)ejk!0t ¢ !0 = j¢! = !0j =

1

2¼

1Xk=¡1

(TAk)ejk!0t¢!

f (t) =

1Xk=¡1

(TAk)ejk!0t ¢ 1

T=

1Xk=¡1

(TAk)ejk!0t ¢ 12¼

!0

=

=1

2¼

1Xk=¡1

(TAk)ejk!0t ¢ !0 = j¢! = !0j =

1

2¼

1Xk=¡1

(TAk)ejk!0t¢!

¢! ! d!;P!

R¢! ! d!;

P!

R

¡1 fF(j!)g = f (t) = 12¼

Z +1¡1

F(j!)ej!t d!¡1 fF(j!)g = f (t) = 12¼

Z +1¡1

F(j!)ej!t d!

X31E

O2 - P

avel

Máša

X31EO2 - Pavel Máša - Přednáška 2

Funkce musí splňovat Dirichletovy podmínky (Fourierovy řady !)

Funkce musí být absolutně integrovatelná 

značně omezující podmínka, kdy transformace není použitelná ani na tak běžnou funkci, jakou je jednotkový skok (stejnosměrné napětí / proud)

Splňuje podmínku

PODMÍNKY EXISTENCE

Z 1¡1

jf(t)j dt < 1Z 1¡1

jf(t)j dt < 1

limt!§1

f (t) = 0limt!§1

f (t) = 0

Transformace je základním prostředkem pro popis frekvenčních vlastnostídiskrétních systémů  (číslicové zpracování zvuku a obrazu – CD, SACD a DVDpřehrávače, domácí kina, …) 

X31E

O2 - P

avel

Máša

X31EO2 - Pavel Máša - Přednáška 2

Transformace je prostředkem pro frekvenční analýzu frekvenčního spektračasových průběhů – tam, kde má funkce F(jω) maxima, jsou přítomnyv časovém průběhu frekvenční složky

u(t) = (sin(2¼t) + 2 sin(6¼t)) e¡¼t2

u(t) = (sin(2¼t) + 2 sin(6¼t)) e¡¼t2 Fourierův obraz

U(j!) =¡j2

e¡14

!2+12! ¼+36¼2

¼

¡2 e6 ! + e4 !+8 ¼ ¡ e2 !+8 ¼ ¡ 2

¢U(j!) =

¡j2

e¡14

!2+12! ¼+36¼2

¼

¡2 e6 ! + e4 !+8 ¼ ¡ e2 !+8 ¼ ¡ 2

¢Musí splňovat podmínky existence

jU(j!)jjU(j!)j

Funkce je „roztažená“má omezené frekvenční rozlišení

X31E

O2 - P

avel

Máša

X31EO2 - Pavel Máša - Přednáška 2

ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI

vlastnost vzor obraz

Linearita

Posunutí v originále

Posunutí v obraze (modulace)

Derivace

Integrál

Změna měřítka

Obraz exp. pulsu

f(t) = af1(t) + bf2(t) F(j!) = aF1(j!) + bF2(j!)

f(t) = f1(t¡ t0) F(j!) = F1(j!)e¡j!t0

f (t) = f1(t)ej!0t F(j!) = F1

¡j(! ¡ !0)

¢f (t) =

dnf1(t)

dtnF(j!) = (j!)n F1(j!)

F(j!) =dnF1(j!)

d(j!)nf (t) = (¡t)nf1(t)

f (t) =

Z t¡1

f1(t) dt F(j!) =F1(j!)

j!

f (t) = f1(at) F(j!) =1

jaj F1μ

j!

a

¶f (t) = e¡at F(j!) =

1

j! + a

X31E

O2 - P

avel

Máša

X31EO2 - Pavel Máša - Přednáška 2

00

PŘÍKLAD

Vypočítejte Fourierovu řadu obdélníkového průběhu na obrázku. Um = 2 V, T = 0.1 s, t0 = 0.025 s

Uk =1

T

Z t02

¡t02

Ume¡jk!0t dt =

UmT

·e¡jk!0t

¡jk!0

¸ t02

¡t02

=Umt0

T

sin(k!0t02 )

k!0t02

=2

k¼sin

k¼

4Uk =

1

T

Z t02

¡t02

Ume¡jk!0t dt =

UmT

·e¡jk!0t

¡jk!0

¸ t02

¡t02

=Umt0

T

sin(k!0t02 )

k!0t02

=2

k¼sin

k¼

4

-15 -10 -5 0 5 10 15-0.2

0

0.2

0.4

!0 =2¼

T=

2¼

0:1= 20¼ ) k = 16 ´ ! = 16¢20¼ := 1005:31 s¡1!0 =

2¼

T=

2¼

0:1= 20¼ ) k = 16 ´ ! = 16¢20¼ := 1005:31 s¡1

X31E

O2 - P

avel

Máša

X31EO2 - Pavel Máša - Přednáška 2

00

Vypočítejte Fourierovu transformaci obdélníkového průběhu na obrázku. Porovnejte s Fourierovou řadou vypočítanou výše.Um = 2 V, t0 = 0.025 s

-1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800 1000-0.02

0

0.02

0.04

F(j!) =

Z t02

¡ t02Ume

¡j!t dt = Um

·e¡j!t

¡j!

¸ t02

¡ t02= Um

2 sin ! t02

!= Umt0

sin ! t02

! t02= 0:05

sin 0:0125!

0:0125!F(j!) =

Z t02

¡ t02Ume

¡j!t dt = Um

·e¡j!t

¡j!

¸ t02

¡ t02= Um

2 sin ! t02

!= Umt0

sin ! t02

! t02= 0:05

sin 0:0125!

0:0125!

-15 -10 -5 0 5 10 15-0.2

0

0.2

0.4

Amplituda u Fourierovy řady se mění s periodou!

řada

transformace

X31E

O2 - P

avel

Máša

X31EO2 - Pavel Máša - Přednáška 2

00

PŘÍKLAD 2

Najděte Fourierův obraz časového průběhu na obrázku.U1 = 1 V, U2 = 2V, t0 = 0.05 s

U1U1

U2U2

t0t0

• Časový průběh můžeme považovat za superpozici dvou průběhů– Obdelníka, Um = 1 V– Pily, Um = 1 V

Řešení pro obdélníkový průběh známe z minulého příkladu, ale musíme ho upravit – změnila se amplituda, doba t0 a průběh je posunut v čase

použitou vlastností je změna měřítka, a = 0.5 a posunutí v originále o -0.025 s

F1(j!) =1

2¢ 2 ¢ 0:05 sin 2 ¢ 0:0125!

2 ¢ 0:0125! ¢ e¡j!0:025 = 0:05

sin 0:025!

0:025!e¡j!0:025F1(j!) =

1

2¢ 2 ¢ 0:05 sin 2 ¢ 0:0125!

2 ¢ 0:0125! ¢ e¡j!0:025 = 0:05

sin 0:025!

0:025!e¡j!0:025

Změna amplitudy Změna časového měřítka posunutí

F2(j!) =

Z t00

Umt0

te¡j!t dt =

¯̄̄̄¯̄̄ u = t v

0= e¡j!t

u0= 1 v =

e¡j!t

¡j!

¯̄̄̄¯̄̄ = Um

t0

·te¡j!t

¡j! ¡e¡j!t

(¡j!)2

¸t00

=Umt0!2

¡e¡j!t0(1 + j!t0)¡ 1

¢F2(j!) =

Z t00

Umt0

te¡j!t dt =

¯̄̄̄¯̄̄ u = t v

0= e¡j!t

u0= 1 v =

e¡j!t

¡j!

¯̄̄̄¯̄̄ = Um

t0

·te¡j!t

¡j! ¡e¡j!t

(¡j!)2

¸t00

=Umt0!2

¡e¡j!t0(1 + j!t0)¡ 1

¢X3

1EO2

- Pav

el Má

ša

X31EO2 - Pavel Máša - Přednáška 2

Na rozdíl od pracných Fourierových řad (kde je nutno počítat s každou frekvenční složkou samostatně) můžeme hledat průběh výstupního napětí při neharmonickém buzení obdobně, jako v HUS1. Najdeme Fourierův obraz budícího impulsu

2. S využitím přenosu (stejný, jako v HUS), najdeme obraz výstupního napětí

3. Zpětnou Fourierovou transformací najdeme časový průběh

Z časových průběhů výstupního a vstupního napětí můžeme určit frekvenční vlastnosti obvodu1. Najdeme Fourierův obraz budícího impulsu

2. Najdeme Fourierův obraz výstupního napětí

3. Určíme přenos obvodu

POUŽITÍ V ELEKTRICKÝCH OBVODECH

x1(t) ! X1(j!)x1(t) ! X1(j!)

X2(j!) = P(j!)X1(j!)X2(j!) = P(j!)X1(j!)

X2(j!) ! x2(t)X2(j!) ! x2(t)

x1(t) ! X1(j!)x1(t) ! X1(j!)

x2(t) ! X2(j!)x2(t) ! X2(j!)

P(j!) =X2(j!)

X1(j!)P(j!) =

X2(j!)

X1(j!)

X31E

O2 - P

avel

Máša

X31EO2 - Pavel Máša - Přednáška 2

Integrační článek na obrázku je vybuzen obdélníkovým impulsem dle obrázku. Vypočítejte časový průběh výstupního napětí.

1.

2.

3.

Nyní již zbývá „pouze“ zpětná transformace…

1. Víme, že       je obrazem integrálu

nejdříve najdeme funkci            a tu následně zintegrujeme

2. Obraz                              je superpozicí obrazů dvou funkcí,             představuje časové zpoždění t0

3.

4.

t0

0

Um

t

PŘÍKLAD

U1(j!) =

Z t00

Ume¡j!t dt = Um

·e¡j!t

¡j!

¸t00

=Um¡j!

£e¡j!t0 ¡ 1

¤U1(j!) =

Z t00

Ume¡j!t dt = Um

·e¡j!t

¡j!

¸t00

=Um¡j!

£e¡j!t0 ¡ 1

¤P(j!) =

1

1 + j!RCP(j!) =

1

1 + j!RC

U2(j!) =1

1 + j!RC¢ Um¡j!

£e¡j!t0 ¡ 1

¤U2(j!) =

1

1 + j!RC¢ Um¡j!

£e¡j!t0 ¡ 1

¤

1

j!

1

j!

½Z t0

u0

2(¿)d¿

¾=

1

j!¢ Um

1¡ e¡j!t01 + j!RC

½Z t0

u0

2(¿)d¿

¾=

1

j!¢ Um

1¡ e¡j!t01 + j!RC

u0

2(t)u0

2(t)

Um1¡ e¡j!t01 + j!RC

Um1¡ e¡j!t01 + j!RC

e¡j!t0e¡j!t0

¡1½

1

1 + j!RC

¾=

1

RCe¡

1RC t ) u02(t) =

UmRC

³e¡

1RC t ¢ 1(t) ¡ e¡ 1RC (t¡t0) ¢ 1(t¡ t0)

´¡1

½1

1 + j!RC

¾=

1

RCe¡

1RC t ) u02(t) =

UmRC

³e¡

1RC t ¢ 1(t) ¡ e¡ 1RC (t¡t0) ¢ 1(t¡ t0)

´Z t

0

u0

2(¿)d¿ =UmRC

μZ t0

e¡1

RC ¿d¿ ¡Z t

t0

e¡1

RC (¿¡t0)d¿

¶= Um

h(1¡ e tRC )1(t)¡ (1¡ e¡

t¡t0RC )1(t¡ t0)

iZ t0

u0

2(¿)d¿ =UmRC

μZ t0

e¡1

RC ¿d¿ ¡Z t

t0

e¡1

RC (¿¡t0)d¿

¶= Um

h(1¡ e tRC )1(t)¡ (1¡ e¡

t¡t0RC )1(t¡ t0)

iPozn. – jde to i lépe – Laplaceova transformace...

X31E

O2 - P

avel

Máša

X31EO2 - Pavel Máša - Přednáška 2

Na vstup obvodu jsme připojili zdroj s časovým průběhem

Na výstupu obvodu jsme naměřili časový průběh napětí

Najděte přenos obvodu. Navrhněte vhodné zapojení.

PŘÍKLAD

u1(t) = 10e¡500t Vu1(t) = 10e¡500t V

u2(t) = 6:¹6(e¡500t ¡ e¡2000t) Vu2(t) = 6:¹6(e¡500t ¡ e¡2000t) V

U1(j!) =10

j! + 500U1(j!) =

10

j! + 500

U2(j!) =6:¹6

j! + 500¡ 6:

¹6

j! + 2000=

6:¹6 ¢ 2000¡ 6:¹6 ¢ 500(j! + 500)(j! + 2000)

=10000

(j! + 500)(j! + 2000)U2(j!) =

6:¹6

j! + 500¡ 6:

¹6

j! + 2000=

6:¹6 ¢ 2000¡ 6:¹6 ¢ 500(j! + 500)(j! + 2000)

=10000

(j! + 500)(j! + 2000)

P(j!) =U2(j!)

U1(j!)=

10000(j!+500)(j!+2000)

10j!+500

=1000

j! + 2000P(j!) =

U2(j!)

U1(j!)=

10000(j!+500)(j!+2000)

10j!+500

=1000

j! + 2000

X31E

O2 - P

avel

Máša

X31EO2 - Pavel Máša - Přednáška 2

Fourierova transformaceSnímek číslo 2Fourierovy řady – Rozšiřování periodySnímek číslo 4Přechod od fourierovy řady k fourierově transformaciZpětná transformacePodmínky existenceSnímek číslo 8Základní vlastnostipříkladSnímek číslo 11Příklad 2Použití v elektrických obvodechpříkladpříklad