Ústav technologie, mechanizace

a řízení staveb

Teorie měření

a regulace

© 2015 - Ing. Václav Rada, CSc.

22.z-4.trZS – 2015/2016

Fourierova transformace

T- MaR

T- MaRKYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY

TEORIE ŘÍZENÍ

… „druhá část“ tématu předmětu pokračuje ….

… oblastí matematických „pomůcek“

© VR - ZS 2015/2016

FOURIEROVA

TRANSFORMACE

T- MaRKYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY

Fourierova transformace

© VR - ZS 2009/2010

Principem je náhrada proměnné frekvenčním operátorem jω.

Libovolnou periodickou funkci ve tvaru:

f (t) = f (t+T)

kde T ... je doba kmitu

můžeme vyjádřit součtem nekonečné harmonické Fourierovy řady:

f (t) = ci * ej*i*ω1*t = b0 + 2 * │ci │* cos (i*ω1*t + φi) =

= b0 + ai * sin (i*ω1*t ) + bi * cos (i*ω1*t )

kde ci = ½ * SQRT ... je komplexní konstanta

b0 , bi , ai ... jsou reálné konstanty

ω1 = 2 * π / T ... je úhlový (kruhový) kmitočet základní frekvence (základního kmitu).

i

1i

1i

1i

T- MaRKYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY

Fourierova transformace

© VR - ZS 2009/2010

Roste-li doba kmitu T nade všechny meze, přechází f (t) na

neperiodickou funkci a součet lze nahradit integrálem – pak pro

neperiodickou funkci f (t) bude platit:

f (t) = (1 / (2*π) * ej*ω*t * dω * e-j*ω*t * dt

a obraz funkce f (t) :

F [ f (t) ] = F (j) = e-j*ω*t * dt

se nazývá Fourierovým integrálem nebo Fourierovým

obrazem.

2/

2/

T

T

T- MaRKYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY

Fourierova transformace

© VR - ZS 2009/2010

Pak časová funkce f (t) pro známý obraz bude dána vztahem:

f (t) = (1 / (2*π)) * F (jω) * ej*ω*t * dω

Obraz F (jω) se nazývá spektrem funkce f (t) a jeho absolutní

hodnota v závislosti na kmitočtu dává amplitudové spektrum a

jeho argument arg F (jω) dává fázové spektrum.

T- MaRKYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY

Statické vlastnosti

© VR - ZS 2009/2010

Statické vlastnosti = statické charakteristiky vyjadřují závislosti

(hodnot) veličiny výstupní na (hodnotách) veličiny vstupní, čili vyja-

dřuje vztah mezi vstupní a výstupní veličinou v ustáleném stavu – po

skončení všech (časově závislých a v čase probíhajících) přechod-

ných dějů.

Statickou charakteristiku získáme zpravidla měřením a vynesením

do grafu, protože grafická podoba je průkazná a reprezentativní.

Taky se z ní snadno a rychle zjistí, zda je prvek (obvod) lineární

nebo obsahuje nelinearitu.

Vytváření frekvenčních charakteristik u nelinearit je speciální úlohou

….. mimo náplň a obsah této prezentace.

T- MaRKYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY

Statické vlastnosti

© VR - ZS 2009/2010

Typické nelinearity – omezení (spojitý průběh), relé (nespo-

jitý průběh), obecný spojitý

T- MaRKYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY

Dynamické vlastnosti

© VR - ZS 2009/2010

Dynamické vlastnosti vyjadřují chování prvku nebo obvodu při

změnách – probíhají v čase.

Matematicky jsou popsány diferenciálními rovnicemi:

an* + an-1* + ... + a1* + a0* y (t) =

= bm* + bm-1* + ... + b1* + b0* x (t)

dt

(t)y dn

n

1-n

1-n

dt

(t)y d

dt

(t)dy

dt

(t)x dm

m

1-m

1-m

dt

(t)x d

dt

(t)dx

T- MaRKYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY

Dynamické vlastnosti

© VR - ZS 2009/2010

Řešení diferenciálních rovnic vyšších řádů je velmi obtížné a

celkem zdlouhavé a proto se používají jiné způsoby.

Možnost jak vyjádřit dynamické vlastnosti jsou:

- diferenciální rovnice – viz předchozí text

- operátorový přenos (přenosová funkce) – nejčastěji použí-

vaný způsob – diferenciální rovnice se transformuje vytvo-

řením poměru obrazu výstupní veličiny k obrazu vstupní

veličiny

T- MaRKYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY

Dynamické vlastnosti

© VR - ZS 2009/2010

- přechodová charakteristika – je grafickým znázorněním

integrálu diferenciální rovnice při skokové vstupní fun-

kci a znamená grafické vyjádření chování v čase

- impulsní charakteristika – obdobná charakteristika pro

vstupní signál ve tvaru Diracova impulsu – je derivací

přechodové charakteristiky

- frekvenční přenos – je dán pro vstupní sinusový signál

s konstantní amplitudou a proměnnou frekvencí – vzhle-

dem k linearitě bude sinusový i na výstupu, ale s jinou

amplitudou a fází – frekvenční přenos je tedy poměr

výstupní sinusovky ke vstupní pro každou frekvenci

T- MaRKYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY

Dynamické vlastnosti

© VR - ZS 2009/2010

- frekvenční charakteristika – je grafickým vyjádřením

dynamického chování přenosové funkce v daném frek-

venčním spektru (rozsahu) – existuje amplitudová a fázo-

vá frekvenční charakteristika v komplexní rovině (pří-

padně v polární rovině) a v semilogaritmických sou-

řadnicích

- rozložení pólů a nul v komplexní rovině.

T- MaRKYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY

Operátorový přenos

© VR - ZS 2009/2010

Spolu s frekvenční charakteristikou je nejobvyklejší a taky nejvíce

vypovídá o vlastnostech obvodu, prvku nebo systému.

Diferenciální frekvenční rovnice (z předchozí kapitoly) se převede

na operátorový tvar záměnou operátorů – frekvenčního jω za

Laplaceův operátor p – za předpokladu nulových počátečních

podmínek.

Takže bude platit:

an* pn * Y (p) + an-1* p

n-1* Y (p) + ... + a1* p * Y (p) + a0* Y (p) =

= bm* pm * X (p) + bm-1* p

m-1* X (p) + ... + b1* p * X (p) + b0* X (p)

T- MaRKYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY

Operátorový přenos

© VR - ZS 2009/2010

Nebo vyjádření jako poměr, čili přenosová funkce:

F (p) = Y (p) / X (p) =01

11

011

1

*...**

*...**

apapbpa

bpbpbpbn

nn

n

mm

mm

za podmínky, že n ≥ m, což je u běžných systémů (a průmyslo-

vých obzvláště) lehce splnitelné.

T- MaRKYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY

Frekvenční přenos

© VR - ZS 2009/2010

Nebo vyjádření jako poměr, čili přenosová funkce:

Pro sinusový periodický vstupní signál ve tvaru:

x (t) = sin ω* t = e j* ω * t

bude výstupní signál mít tvar:

y (t) = A * sin ( ω* t + φ ) = A * e j*( ω*t + φ)

A frekvenční přenos bude mít tvar:

F (jω) = Y (jω) / X (jω) =

=01

11

011

1

)(*...)(*)(*

)(*...)(*(j*

ajajbja

bjbjbbn

nn

n

mm

mm

T- MaRKYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY

Frekvenční přenos

© VR - ZS 2009/2010

Frekvenční přenos v komplexní rovině bude mít tvar podílu

dvou polynomů:

)(*)(

)(*(

fje

djc

F (jω) =

T- MaRKYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY

Frekvenční přenos

© VR - ZS 2009/2010

Komplexní výrazy v čitateli a jmenovateli lze vyjádřit vektorem

s amplitudou A a argumentem tg φ.

A = (SQRT( c2(ω) + d2(ω) ) / (SQRT( e2(ω) + f2(ω) )

φ = arctg (d(ω) / c(ω)) – arctg (e(ω) / f(ω) )

nebo pro komplexní rovinu:

P(ω) = Re [ F (jω) ]

Q(ω) = Im [ F (jω) ]

T- MaRKYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY

Frekvenční přenos

© VR - ZS 2009/2010

Pro semilogaritmické souřadnice platí pro přenosovou funkci vztah:

F(jω) = A (ω) * ejφ(ω)

přitom pro amplitudu, která se vyjadřuje v dB [decibelech], bude

platit:

│F(jω)│dB = 20 * log│F(jω)│ = 20 * log A(ω)

T- MaRKYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY

Frekvenční přenos

© VR - ZS 2009/2010

Re [ F (jω) ]

Im [ F (jω) ]

ω = 0

ω = ∞

A

φ

ω

Frekvenční

charakteristika

v komplexní

rovině

T- MaRKYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY

Frekvenční přenos

© VR - ZS 2009/2010

fázová frekvenční

charakteristika

amplitudová

frekvenční

charakteristika

0 [ o ]

0

1100 1 k 10 k f [Hz]

20 log A [ dB ]

+90

-90

-180

-270

-360

+180

10

20 log K

Frekvenční charakteristika

v semilogaritmických souřadnicích

T- MaRKYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY

Přechodová charakteristika

© VR - ZS 2009/2010

Pokud na vstup soustavy působí nějaký časově rozložený signál (v

průběhu času působící signál), soustava na něj zareaguje a na výs-

tupu se objeví odpovídající odezva – výstupní rovněž časově roz-

ložený signál.

Proto, pokud bude na vstupu použit přesně definovaný standardi-

zovaný signál, bude možné tvar výstupního signálu předvídat a

hlavně porovnávat odezvy různých soustav – což splňují:

- jednotkový skok

- jednotkový (Diracův) impuls

T- MaRKYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY

Přechodová charakteristika

© VR - ZS 2009/2010

Jednotkový skok

t [čas]t = 0

x (t)

T- MaR

© VR - ZS 2015/2016

… a to by bylo

zatím

vše

.........

KYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY

T- MaR

© VR - ZS 2009/2010

Témata

KYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY

…………