Funkce

Pojem funkce

Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Funkce

• vyjadřuje závislost dvou veličin

• veličiny z oblasti fyziky, biologie, statistiky,

různé obory techniky, …

• závislost lze vyjádřit graficky (graf), rovnicí

nebo tabulkou

Úkol: Uveďte příklady závislosti dvou veličin.

Např.: závislost dráhy na čase, hmotnost tělesa na jeho

objemu (fyzika), závislost obsahu čtverce na délce jeho

strany, ….

Funkce - příklady

1. Sestavte tabulku závislosti obsahu obdélníku

na délce jeho jedné strany. Platí S = a.b,

a = 6 cm, b {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10 cm}.

b (cm)

1 2 3 4 5 6 7 8 9

S (cm2)

b (cm)

S (cm2)

6 12 18 24 30 36 42 48 54

Funkce - příklady

2. Sestavte tabulku závislosti dráhy s ujeté autem na čase t, víte-li, že průměrná rychlost auta v = 75 km/h a pro čas t platí t {1, 2, 3, 4, 5, 6 h}.

t (h) 1 2 3 4 5 6

s (km)

Rovnice: s = v . t

s = 75 . t

t (h)

s (km) 75 150 225 300 375 450

Funkce - definice

• Funkcí f nazýváme přiřazení, které každému prvku dané množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo.

• Množinu D nazýváme definiční obor funkce f.

• Funkce f je dána:

vzorcem (rovnicí)

tabulkou

grafem

Funkce - zápis

• Funkci zapisujeme:

f: x y, x D (čteme: prvku x množiny D je přiřazeno funkcí f reálné číslo y)

nebo: y = f(x), x D (čteme: prvku x množiny D je přiřazeno funkcí f reálné číslo y)

Funkce - pojmy

• proměnná x = nezávisle proměnná

• proměnná y = závisle proměnná

• množina D = definiční obor (množina všech

reálných čísel - x, je dána s funkcí)

• množina H = množina hodnot funkce (množina všech reálných čísel - y, která jsou danou

funkcí f přiřazena prvkům jejího D - x)

Funkce - graf

• Grafem funkce f: x y, x D nazýváme

množinu všech bodů roviny, které mají

souřadnice [x, y]

Funkce - příklady

1. Zapište alespoň deset hodnot funkcí:

a) y = x2 + 1, D = R c)

b)

0RD,xy

0RD ,x

1y

2. Sestrojte graf funkce:

a) y = 2x, D = {-2, -1, 0, 1, 2}

b) y = 2x, D = R

3. Sestrojte na milimetrový papír grafy funkcí ze

cvičení 1.

Funkce - příklady

4. Sestavte tabulku funkce dané rovnicí m = ρ.V,

kde ρ = 7,8 g/cm3 a V {1, 2, 3, 4, 5, 6 cm3}.

5. Vyberte z uvedených tabulek ty, které mohou

být zadáním funkce (znovu si přečti, jak je definována

funkce).

x 1 2 3 4 5

y 3 6 9 12 15

x 1 1 2 2 3

y 1 2 3 4 5

x 1 2 3 4 5

y 1 1 2 2 3

Funkce – příklady řešení

x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

y = x2 + 1 10 5 2 1 2 5 10 17 26 37

x -2 -1 -0,5 -0,25 -0,1 0,1 0,25 1 2 4

-0,5 -1 -2 -4 -10 10 4 1 0,5 0,25 x

1y

1. Zapište alespoň deset hodnot funkcí:

xy

x 0 1 2 3 4 5 9 16 25 36

0 1 1,4 2 2 2,2 3 4 5 6

Funkce – příklady řešení

x -2 -1 0 1 2

y = 2x -4 -2 0 2 4

2. Sestrojte graf funkce: x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y = 2x -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 x

y

1

5

4

3

2

-5

-1

-2

-3

-4

0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 x

y

1

5

4

3

2

-5

-1

-2

-3

-4

Funkce – příklady řešení

V (cm3) 1 2 3 4 5 6

m (kg) 7,8 15,6 23,4 31,2 39 46,8

4. Sestavte tabulku funkce dané rovnicí m = ρ.V,

kde ρ = 7,8 g/cm3 a V {1, 2, 3, 4, 5, 6 cm3}.

Funkce – příklady řešení

5. Vyberte z uvedených tabulek ty, které mohou

být zadáním funkce.

x 1 2 3 4 5

y 3 6 9 12 15

x 1 1 2 2 3

y 1 2 3 4 5

x 1 2 3 4 5

y 1 1 2 2 3

je funkce

není funkce (číslu jedna

jsou přiřazeny dvě hodnoty 1 a 2,

číslu dvě také)

je funkce

Funkce

Lineární funkce

Lineární funkce

Grafem lineární funkce je přímka.

Definice

Každá funkce y = ax + b,

kde a, b jsou libovolná reálná čísla

a definičním oborem je množina všech

reálných čísel, se nazývá lineární funkce.

Úkol

Sestrojte graf lineární

funkce y = 3x – 2.

x 1 2

y = 3x – 2 1 4

0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 x

y

1

5

4

3

2

-5

-1

-2

-3

-4

A[0; – 2] Všímej si souřadnic průsečíku grafu s osou y.

Označíme jej bodem A, platí A[0; -2],

y-nová souřadnice bodu A je rovna konstantě

b v rovnici funkce.

Příklady

1. Kterému číslu je rovna konstanta b v zadání lineární funkce y = 2x + b, jestliže graf této funkce protíná osu y v bodě o souřadnicích [0; 5]?

b = 5

y = 2x + 5

2. Určete, jaké souřadnice bude mít bod, ve kterém protíná graf lineární funkce y = 3x – 5 osu y.

3. Zapište lineární funkci, jestliže víte, že platí: a = 5, b = 0. Jaké souřadnice má bod, ve kterém graf této funkce protíná osu y?

[0; – 5]

y = 5x

bodem [0; 0]

Závěr

• Graf lineární funkce y = ax + b protíná osu

y v bodě o souřadnicích [0; b].

• Graf lineární funkce y = ax (b = 0)

prochází počátkem soustavy souřadnic

[0; 0].

Lineární funkce Funkce je rostoucí, právě když

pro každé dvě hodnoty x1, x2

z jejího definičního oboru platí:

jestliže x1 < x2, pak y1 < y2.

x 1 2

y = 3x – 2 1 4

0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 x

y

1

5

4

3

2

-5

-1

-2

-3

-4

A[0; – 2]

y = – 3x – 2

y = 3x – 2

Funkce je klesající, právě když

pro každé dvě hodnoty x1, x2

z jejího definičního oboru platí:

jestliže x1 < x2, pak y1 > y2.

x – 1 – 2

y = – 3x – 2 1 4

Pozoruj číslo a v rovnici. Co vidíš?

Lineární funkce

Lineární funkce y = ax + b je rostoucí,

jestliže a > 0.

4

5x

4

3y

Lineární funkce y = ax + b je klesající,

jestliže a < 0.

Uveď příklady rostoucí funkce.

Uveď příklady klesající funkce.

Např.:

y = x – 4; y = 0,3x + 0,1; y = 1,4x – 5;

Např.:

y = – 2x – 5; y = – x + 1; y = – 0,4x – 5; 8x3

2y

Lineární funkce

x -1 2

y = – 4 4 4

Lineární funkci y = ax + b, kde a = 0, nazýváme konstantní funkce. Jejím grafem je vždy přímka rovnoběžná s osou x, která prochází bodem [0, b].

Např.:

y = – 4

0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 x

y

1

5

4

3

2

-1

-2

-3

-4

y = – 4

y = 2

x -3 4

y = 2 2 2

y = 2

Příklady

1. Rozhodněte, která z daných funkcí je lineární. Df = R.

a) y = 2x + 1 b) y = x2 – 5 c) y = 0,5 – 2x

d) e) f)

Řešení:

a), c), e), f)

2. Určete průsečíky grafů daných funkcí s osou y:

a) y = – x + 3 b) y = 7x + 15 c) y = 0,5x - 0,6

3. Rozhodněte, zda je daná funkce rostoucí nebo klesající:

a) y = – 5x b) y = 2x – 4 c) y = – 0,3x + 0,5

d) y = – 8 e) y = 1 – x

a) [0; 3]

a) [0; 15]

a) [0; - 0,6]

a) klesající

b) rostoucí

c) klesající

d) konstantní

e) klesající

3

1-xy 7

x

3y

5

24x-y

Příklady

4. Sestrojte grafy lineárních funkcí. Df = R.

a) y = 2x + 1 b) y = 2x

c) y = 2x – 3 d) y = 2x + 3

Řešení:

5. Sestrojte grafy lineárních funkcí. Df = R.

a) y = – x + 3 b) y = x + 3

c) y = 6x – 2 d) y = – 6x – 2

6. a) Zapište libovolnou rostoucí lineární funkci a sestrojte její graf.

b) Zapište libovolnou klesající lineární funkci a sestrojte její graf.

Řešení:

Příklad č. 4

0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 x

y

1

5

4

3

2

-5

-1

-2

-3

-4

y = 2x + 1

x 1

y = 2 3

y = 2x + 1

y = 2x

x 1

y = 2 2

y = 2x

y = 2x - 3

x 2

y = 2 1

y = 2x + 3

x -1

y = 2 1

y = 2x - 3

y = 2x + 3

Co pozorujete?

Zapište závěr.

Příklad č. 5

0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 x

y

1

5

4

3

2

-5

-1

-2

-3

-4

y = – x + 3

x 1

y = 2 2

y = – x + 3

y = x + 3

x -2

y = 2 1

y = 6x – 2

x 1

y = 2 4

y = – 6x – 2

x -1

y = 2 4

y = 6x – 2

y = – 6x – 2

y = x + 3

Co pozorujete?

Zapište závěr.

Příklady z praxe

1. V balonu je 1,8 kg tekutého propanu. Plynovým hořákem se spotřebuje každou hodinu 0,2 kg propanu. Jaké množství m propanu bude v balonu za t hodin letu? Sestrojte graf a určete z něho:

a) Kolik kg propanu bude v balonu za 3 h; 5 h; 6,5 h?

b) Za jakou dobu se zmenší zásoba propanu o 0,6 kg; 1 kg; 1,5 kg?

2. Sestrojte grafy funkcí vyjadřujících závislost velikosti proudu I na napětí U podle Ohmova zákona pro odpory: R1 = 10 , R2 = 25 , R3 = 50 .

3. Na natření 10 metrů plotu se spotřebuje 4,5 kg barvy. Natěrač má zásobu 20 kg barvy. Napište rovnici popisující závislost množství zásoby barvy (y kg) na délce natřeného plotu (x m). Určete podmínku pro x.

Příklady z praxe 4. Napište rovnici funkce vyjadřující závislost počtu vyrobených

součástek n na čase t (v hodinách) na pravidelně pracujícím automatu, který vyrobí za 8 hodin vždy 120 součástek.

5. Silnice stejnoměrně klesá. Určete graficky výšku bodu, který je vzdálen od místa A 15 km, má-li bod vzdálený od místa A 5 km výšku 150 m a bod vzdálený od místa A 9 km výšku 120 metrů.

6. Cisterna na naftu se má naplnit na 55 m3. Čerpadlo dodá do cisterny 3,5 m3 nafty za minutu. Před začátkem činnosti čerpadla bylo již 6 m3 nafty. Určete graficky, za jak dlouho se cisterna naplní.

7. Auto a motorka vyjíždějí z místa B po stejné trase tak, že nejprve vyjede auto průměrnou rychlostí 50 km/h a za dvě hodiny za ním motorka průměrnou rychlostí 70 km/h. Určete graficky, kdy a v jaké vzdálenosti od výchozího místa motorka auto dohoní.

Příklady z praxe - řešení

Řešení:

1) m = - 0,2t + 1,8; m3 = 1,2 kg; m5 = 0,8 kg; m6,5 = 0,5

kg; 3 h, 5 h, 7,5 h

2) I = 0,1U; I = 0,04U; I = 0,02U

3) y = - 0,45x + 20; 0 m ≤ x ≤ 400/9 m

4) n = 15t

5) 75 m

6) y = 3,5x + 6

7) y1 = 50x + 100; y2 = 70x; 5 h; 350 km

Funkce

Matematika – 9. ročník

Funkce Co to vlastně je?

Funkce je vlastně jakýsi matematický stroj. Do funkce vložíte nějaký vstup (materiál) a funkce vrátí nějaký výstup (výrobek).

Úkolem matematické funkce je vzít jakýsi vstup (nějaké číslo), něco s tímto vstupem udělat, změnit ho a následně toto nové číslo vrátit na výstupu.

Funkce Co to vlastně je?

Funkce vyjadřuje závislost dvou veličin.

Veličiny jejichž závislost popisují funkce bývají z oblasti fyziky, chemie, technických oborů, ale i biologie či matematické statistiky…

Závislost lze popsat rovnicí, tabulkou nebo grafem.

Funkce Definice

Funkce je předpis, který každému číslu x z množiny D přiřadí právě jedno číslo y z množiny H.

Funkci obvykle zapisujeme ve tvaru

y = f(x), x ∈ D

nebo

f: x → y, x ∈ D

(čteme: Prvku x množiny D je funkcí f přiřazeno reálné číslo y)

Funkce Definiční obor a obor hodnot funkce

Definiční obor (značíme D(f)), je množina

všech přípustných hodnot argumentu x, tedy všechny hodnoty, kterých může proměnná x nabývat.

Obor hodnot (značíme H(f)) je poté množina všech přípustných y, tedy množina všech prvků, kam může ukazovat funkce f.

Funkce Zadání

Funkce může být zadána:

Rovnicí y = 2x – 3, x ∈ D

Tabulkou

Grafem

t (h) 1 2 3 4 5 6

s (km) 5, 5 11,0 16,5 22,0 27,5 33,0

Funkce Příklady

1. Zapište rovnici a sestavte tabulku závislosti dráhy s ujeté cyklistou za čas t,

je-li průměrná rychlost cyklisty v =18 𝑘𝑚

ℎ.

Pro t platí, že 𝒕 ∈ 1; 2; 3; 4; 5; 6 .

Rovnice: s = v · t => s = 18 · t

t (h) 1 2 3 4 5 6

s (km)Tabulka: 18 36 54 72 90 108

Funkce Příklady

2. Zapište rovnici a sestavte tabulku závislosti hmotnosti m železného plechu při změně objemu

V, je-li průměrná hustota železa =7,8 𝑔

𝑐𝑚3 .

Pro V platí, že 𝑽 ∈ 10; 25; 40; 50; 75; 100 .

Rovnice: m = · V => m = 7,8 · V

Tabulka: V (cm3) 10 25 40 50 75 100

m (g) 78 195 312 390 585 780

Funkce Příklady

3. Sestavte tabulku, do níž zapíšete deset hodnot funkcí: a) y = 2x – 1; 𝐷 ∈ 𝑅 b) y = x2 – 2; 𝐷 ∈ 𝑅

c) y = 2

𝑥; 𝐷 ∈ 𝑅 − 0 d) y = 𝑥; 𝐷 ∈ 𝑅 ≥ 0

x -3 -2 -1 0 1 2 3 5 7 10

y = 2x - 1 -7 -5 -3 -1 1 3 5 9 13 19

x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 7

y = x2 - 2 14 7 2 -1 -2 -1 2 7 14 47

x -4 -3 -2 -1 -0,5 1 2 3 4 7

y = -0,5 -0,7 -1 -2 -4 2 1 0,7 0,5 0,3

x 0 1 2 3 4 5 7 9 16 25

y = √𝑥 0 1 1,4 1,7 2 2,2 2,6 3 4 5

Funkce Graf

Grafem funkce y = f(x), x ∈ D nazýváme množinu všech bodů roviny, které mají souřadnice [x; y].

Funkce Graf

4. Sestrojte graf funkce:

a) y = x + 2; 𝐷 ∈ 𝑅

b) y = x + 2; 𝐷 = − 2;−1; 0; 1; 2; 3

c) y = x + 2; 𝐷 = < −2; 3 >

Funkce Graf

4. a) x -2 -1 0 1 2 3

y = x + 2 0 1 2 3 4 5

Funkce Graf

4. b) x -2 -1 0 1 2 3

y = x + 2 0 1 2 3 4 5

Funkce Graf

4. c) x -2 -1 0 1 2 3

y = x + 2 0 1 2 3 4 5

Funkce Příklady

5. Zjistěte, zda dané tabulky popisují funkce:

x 1 2 3 4 6 10

y -3 -1 1 3 7 15a)

b)

c)

x 1 1 3 4 4 5

y -4 -2 1 2 5 8

x -2 -1 0 1 3 5

y -4 -2 -2 2 5 5

je funkce

je funkce

není funkce – číslu 1

jsou přiřazeny dvě

různé hodnoty, stejně

tak číslu 4