42
Funkce jedné proměnné
| Date post: | 01-Jan-2016 |
| Category: |
Documents |
| Upload: | macey-nunez |
| View: | 57 times |
| Download: | 1 times |
Funkce jedné proměnné
Řekneme, že je (reálná) funkce jedné (reálné) proměnné, jestliže je přesný předpis, který každému prvku přiřadí právě jedno reálné číslo .
Definice funkce
Mxf
f
)(xf
MfD )(
)(:)()( fDxxffH
)(:)(, fDxxfx
Definiční obor:
Obor hodnot:
Graf funkce:
Jedná se o graf funkce?
NE ANO ANO
Nechť je funkce jedné (reálné) proměn-né a je interval. Řekneme, že
1. f je rostoucí v Y, jestliže
2. f je klesající v Y, jestliže
3. f je ryze monotónní v Y, jestliže je rostoucí nebo klesající.
Vlastnosti funkcí I.
))()(( 212121
xfxfxxYxYx
f)( fDY
))()(( 212121
xfxfxxYxYx
Nechť je funkce jedné (reálné) proměn-né a je interval. Řekneme, že
4. f je neklesající v Y, jestliže
5. f je nerostoucí v Y, jestliže
6. f je monotónní v Y, jestliže je neklesající nebo nerostoucí.
Vlastnosti funkcí II.
))()(( 212121
xfxfxxYxYx
f)( fDY
))()(( 212121
xfxfxxYxYx
je v klesající
je v rostoucí
Příklady funkcí I.))(( xxf
x
)( fD
);0)( fH
f 0;(
f );0
je v neklesající
Příklady funkcí II.
0pro1
0pro0
0pro1
)sgn(
x
x
x
x
)( fD
1,0,1)( fH
f
)sgn(xNakreslete graf
)( fD
Příklady funkcí III.:g
}3;2;0;1{)( gD)(gH
1021)(
3201
xg
x
Nakreslete grafg}2,1,0{
Základní elementární funkce
1. Konstantní funkce
2. Identická funkce
3. n-tá mocnina
4. Polynom
5. Racionální funkce
6. Exponenciální funkce
7. Goniometrické funkce
8. Inverzní funkce – n-té odmocniny, logaritmické funkce, cyklometrické funkce
je v neklesající i nerostoucí
Konstantní funkce (1)))(( axf
x
f );(
afH
fD
)(
);()(
je v rostoucí
Identická funkce (2)))(( xxf
x
f
);()(
);()(
fH
fD
);(
n-tá mocnina (3)
a) n je liché
je v rostoucí
))(( n
xxxf
f
);()(
);()(
fH
fD
);(
n-tá mocnina (3)
b) n je sudé
))(( n
xxxf
);0)(
);()(
fH
fD
je v klesající a v rostoucí f 0;( );0
Polynom (4)
))(( 2210
nn
xxaxaxaaxf
);()( fD
nejvýše n-tého stupně
Racionální funkce (5)je definována jako podíl dvou
polynomů.
Exponenciální funkce (6)a) základní exponenciální funkce
je v rostoucí
))(( x
xexf
f
);0()(
);()(
fH
fD
);(
Exponenciální funkce (6)b) obecná exponenciální funkce
je v klesající
),0(),)((
aaxf x
x
f
);0()(
);()(
fH
fD
);(
i. )1,0(a
Exponenciální funkce (6)
je v rostoucíf
);0()(
);()(
fH
fD
);(
ii. jedná se o konstantní funkci
1a
iii. ),1( a
)1)((
xfx
Goniometrické funkce (7)a)
jsou periodické funkce s periodou
)sin(x
cosasin
1;1(cos)(sin)
);((cos)(sin)
HH
DD
b) )cos(x
2
Goniometrické funkce (7)c)
jsou periodické funkce s periodou
)tg(x
cotgatg
ZkkD ;\(cotg)
d) )cotg(x
);((cotg)(tg) HH
ZkkD ;2
\(tg)
Vlastnosti goniometrických funkcí
1. pro :
2. pro :
3. pro :
4.
5.
6.
Zkkx ;2
\ )cos(
)sin()tg(
x
xx
Zkkx ;\ )sin(
)cos()cotg(
x
xx
Zkkx ;2
\
)tg(
1)cotg(
)cotg(
1)tg(
xx
xx
)1)(cos)((sin 22
xxx
))cos()sin(2)2(sin( xxxx
))(sin)(cos)2(cos( 22 xxxx
Jestliže funkce zobrazuje prostě interval X (tj. )na interval Y (tj. ), potom existuje inverzní funkce taková, že
Definice inverzní funkce
1f
f))()(( 2121
21
xfxfxxXxXx
))(( xfyXxYy
))()(( 1 yfxxfyYyXx
Vlastnosti inverzních funkcí
1.
2.
3.
4.
5. Je-li klesající v X, potom je klesající v Y
6. Je-li rostoucí v X, potom je rostoucí v Y
7. Grafy a jsou symetrické podle osy 1. a 3. kvadrantu
)()()()( 11 fDfHfHfD
)))((( 1 xxffXx
)))((( 1 xxffYx
ff 11)(
1ff
1ff
1ff
Základní elementární funkceInverzní funkce
1. n-tá odmocnina
2. logaritmické funkce
3. cyklometrické funkce
n-tá odmocnina (1)a) n je liché
inverzní k
tedy ex.
);();(: na
prosté
nx
);();(: n x
n-tá odmocnina (1)b) n je sudé
);0);(: na
prosténení
nx
i.
ii. );0);0: na
prosté
nx
);00;(: na
prosté
nx
n-tá odmocnina (1)
i. inverzní k
tedy ex.
);00;(: na
prosté
nx
0;();0:n x
n-tá odmocnina (1)
ii. inverzní k
tedy ex.
);0);0: na
prosté
nx
);0);0: n x
Logaritmické funkce (2)a) přirozený logaritmus inverzní k
tedy ex.
);0();(: na
prosté
xe
);();0(:)ln( x
Vlastnosti přirozeného logaritmu
1.
2. a tedy
3.
4.
))ln(();0();(
yxey x
yx
10 e 01ln
)(ln);(
xexx
)( ln
);0(xe x
x
Logaritmické funkce (2)b) obecný logaritmus inverzní k
- prostá pro
tedy ex.
i.
)1,0(a ii.
),1( a
);0();(: na
xa);1()1,0( a
);();0(:log xa
Vlastnosti obecného logaritmu
Značení:
Vlastnosti:
1.
2.
3.
Vztah mezi přirozeným a obecným logaritmem:
xx elogln xx 10loglog
))(log();0();(
yxay ax
yx
))((log);(
xa xax
)( log
);0(xa x
x
a
)( ln
);(
axx
xea
Cyklometrické funkce (3)
jsou inverzní k funkcím goniometrickým (žádná z nich ale není prostá), a proto se omezíme vždy jen na část def. oboru, kde je daná funkce prostá.
Cyklometrické funkce (3)a) arcsin x inverzní k
tedy ex.
1;12;2
:sin na
prosté
2;2
1;1:arcsin
Cyklometrické funkce (3)b) arccos x inverzní k
tedy ex.
1;1;0:cos na
prosté
;01;1:arccos
Cyklometrické funkce (3)c) arctg x inverzní k
tedy ex.
;
2;2
:tgna
prosté
2;2
;:arctg
Cyklometrické funkce (3)d) arccotg x inverzní k
tedy ex.
;;0:cotgna
prosté
;0;:arccotg
Vlastnosti cyklometrických funkcí
1.
2.
)arcsinsin((arcsin)(arcsin)
yxxyDyHx
))n(arcsin(si(sin)
xxDx
))n(sin(arcsi(sin)
xxHx
)arctgtg((arctg)(arctg)
yxxyDyHx
))(arctg(tg(tg)
xxDx
))(tg(arctg(tg)
xxHx
)arccotgcotg((arccotg)(arccotg)
yxxyDyHx
))otg(arccotg(c(cotg)
xxDx
))otg(cotg(arcc(cotg)
xxHx
)arccoscos((arccos)(arccos)
yxxyDyHx
))s(arccos(co(cos)
xxDx
))s(cos(arcco(cos)
xxHx
Elementární funkce
jsou funkce, které vzniknou z funkcí konstantních, identických, , , , funkcí goniometrických a cyklometrických
užitím operacísčítání, odčítání, násobení, dělení a skládání.
n x xe xln
1.
2.
3.
4.
5.
6.
0existuje BB
A
0ex.)sudé( AnAn
,0ex.ln AA 0ex.log AAa
,2
ex.tg kAA )(ex.cotg ZkkAA
,11ex.arcsin AA 11ex.arccos AA
0)(.ex))(( ))(ln()()( xfexf xfxgxg
Definiční oboryelementárních funkcí
1.
2.
3.
4.
5.
6.
1
1)(
x
xxf
xxxf )1()(
Určete definiční obor f
1
1arcsin)(
x
xxf
))ln(ln()( xxf
3
22
)(
x
x
exf
24)( xxxf
1.
2.
3.
4.
5.
Nezapomeňte určit definiční obor a obor hodnot f a f
-1
1
1)(
x
xxf
Určete inverzní funkci f
1
1arctg)(
x
xxf
))ln(arccos()( xxf
2
)( xexf
1)( 2 xxf
