Funkce

Obsah:

1) Definice..................................................................................................................................22) Definiční obor funkce: D(f)....................................................................................................23) Obor hodnot funkce: H(f).......................................................................................................24) Graf funkce.............................................................................................................................25) Funkce sudá............................................................................................................................26) Funkce lichá............................................................................................................................37) Monotonie...............................................................................................................................38) Omezenost..............................................................................................................................39) Extrémy..................................................................................................................................310) Funkce inverzní....................................................................................................................311) Funkce periodická.................................................................................................................412) Rovnající se funkce..............................................................................................................413) Lineární funkce.....................................................................................................................414) Funkce s absolutními hodnotami..........................................................................................815) Kvadratické funkce.............................................................................................................1016) Lineární lomené funkce......................................................................................................1117) Mocninné funkce................................................................................................................1318) Odmocniné funkce..............................................................................................................1719) Exponenciální funkce.........................................................................................................1820) Logaritmická funkce...........................................................................................................1921) Logaritmus..........................................................................................................................2022) Věty o logaritmech.............................................................................................................2023) Exponenciální a logaritmické rovnice................................................................................2124) Exponenciální a logaritmické nerovnice............................................................................22Použitá literatura.......................................................................................................................22

1

1) Definice Reálná funkce f je předpis, podle kterého je každému x R přiřazeno nejvýše jedno y R, zapisujeme y = f(x)

2) Definiční obor funkce: D(f) - množina všech reálných čísel, která můžeme dosadit za proměnnou x, aby měl předpis smysl

tedy D(f) = {x R; existuje právě jedno y R, pro které y = f(x)}- určuje se na ose xpravidla pro určování definičního oboru:1) jmenovatel se nesmí rovnat nule2) pod odmocninou musí být nezáporné číslo3) logaritmovat lze pouze čísla kladná

4) není definováno: tg pro + k

cotg pro kPříklady1) Určete definiční obor funkce f

a) f: y =

b) f: y =

Řešení: 1) a) D(f) = (-∞; -3,5) (-3,5; 2) (2; ∞)b) D(f) = (-∞; -5) (-4; ∞)

3) Obor hodnot funkce: H(f) - množina všech reálných čísel y, ke kterým existuje aspoň jedno takové x z definičního

oboru, že platí y = f(x)- H(f) = {y R; existuje aspoň jedno x R, pro které y = f(x)}- určuje se na ose y

Příklady1) Určete hodnotu funkce f v bodech -3; 2; a +b, je-li f: y = 2x2 + 3x + 1

Řešení: 1) f(-3) = 10f(2) = 15f(a + b) = 2a2 + 4ab + 2b2 + 3a + 3b +1

4) Graf funkce - množina všech bodů roviny [x, f(x)], kde x D(f)

5) Funkce sudá Je-li x D(f), pak je -x D(f) f(-x) = f(x) - graf sudé funkce je osově souměrný podle osy y

6) Funkce lichá Je-li x D(f), pak je -x D(f) f(-x) = -f(x)

2

- graf liché funkce je souměrný podle počátku soustavy souřadnic Oxy

7) Monotonie - funkce f je v intervalu A D(f): a) rostoucí: x1, x2 A: x1 < x2 => f(x1) < f(x2)

b) klesající: x1, x2 A: x1 < x2 => f(x1) > f(x2) c) nerostoucí: x1, x2 A: x1 < x2 => f(x1) ≥ f(x2) d) neklesající: x1, x2 A: x1 < x2 => f(x1) ≤ f(x2) e) konstantní: x1, x2 A: x1 < x2 => f(x1) = f(x2) f) prostá: x1, x2 A: x1 ≠ x2 => f(x1) ≠ f(x2)

V grafu funkce roste nebo klesá zleva doprava.

Příklad1) Z těchto funkcí vypište všechny rostoucí funkce

f: y = - x + 7

g: y = 3 (0,5) -x + 5h: y = 2 log3 (x - 1) - 2k: y = log3 |x - 1|

Řešení1) g, h

8) Omezenost - určuje se na ose ya) omezená shora h R takové, že x A: f(x) ≤ h b) omezená zdola d R takové, že x A: f(x) ≥ d c) omezená - funkce f je na množině A D(f) omezená právě tehdy, když je na množině A omezená shora i zdola.

9) Extrémy - určují se na ose xa) maximum- funkce f má v bodě a maximum, právě když pro všechna x D(f) platí f(a) ≥ f(x)b) minimum- funkce f má v bodě b minimum, právě když pro všechna x D(f) platí f(b) ≤ f(x)

Typy extrémů (maximum nebo minimum) lokální - největší (nejmenší) v určitém intervalu globální - největší (nejmenší) v celém definičním oboru funkce- ostré - jeden bod- neostré - přímka (několik bodů)

10) Funkce inverzní - inverzní funkce k prosté funkci f je funkce f-1, kterou získáme záměnou proměnných x a y v původním předpisu funkce a vyjádřením y:Např.: f: y = 2x – 3 f-1: x = 2y -3 … x + 3 = 2y … y = x/2 + 1,5Platí:a) D(f-1) = H(f), H(f-1) = D)f)b) grafy původní funkce a funkce k ní inverzní jsou souměrné podle přímky y = x (osa I. a III. kvadrantu)

3

11) Funkce periodická - opakující se funkcepř. sin x, cos x,… - funkce f je periodická funkce právě tehdy, když existuje p R, p > 0, takové, že platí:

k Z x D(f): x+ kp D(f) f(x + kp) = f(x)- číslo p se nazývá perioda funkce f

12) Rovnající se funkce - funkce f a g se rovnají (zapisujeme f = g) právě tehdy, když funkce f a g mají stejný definiční obor (D(f) = D(g)) a pro všechna x z tohoto definičního oboru platí f(x) = g(x)

13) Lineární funkce - je dána ve tvaru: y = kx + qk R - {0} , q Rk…určuje sklon, q…průsečík s osou yk > 0 - rostoucí funkcek < 0 - klesající funkcek = 1 - funkce f svírá s osou x úhel 45°k = 0…y = q … konstantní funkceq = 0…y = kx … přímá úměrnost- grafem lineární funkce y = kx + q je přímka procházející bodem [0, q]- grafem konstantní funkce je přímka rovnoběžná s osou x- graf funkce přímá úměrnost prochází počátkem soustavy souřadnic

Ukázky grafů:a) y = x (k > 0)

y = x

x

y

4

b) y = -x (k < 0)y = -x

x

y

c) y = q (k = 0)y = q

x

y

Příklady1) Načrtněte grafy těchto funkcí a z grafů určete jejich vlastnosti

a) f: y = 2x; x (-2; 2)b) f: y = -2x + 1; x (-2; 1)c) f: y = x; x Rd) f: y = 3; x R

5

Řešení1)a)

y = 2x

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2x

y

- rostoucí funkce - lichá funkce- omezená shora h = 4- omezená zdola d = -4- prostá funkce, není periodická- maximum není- minimum není

b)y = -2x + 1

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1x

y

- klesající funkce- není ani sudá, ani lichá- omezená shora h = 5- omezená zdola d = -1- prostá funkce- maximum není- minimum není- není periodická

6

c)y = x

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

-2 -1 0 1 2x

y

- rostoucí funkce- lichá funkce- prostá funkce- není omezena shora ani zdola- maximum ani minimum nemá- není periodická

d)y = 3

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

-2 -1 0 1 2x

y

- konstantní funkce- sudá funkce- omezená shora i zdola hodnotou 3, je tedy omezená- maximum (-∞; ∞)- minimum (-∞; ∞)- není prostá

7

14) Funkce s absolutními hodnotami - je dána ve tvaru: y = |x|- absolutní hodnota reálného čísla a je číslo |a|, pro které platí:je-li a ≥ 0, je |a| = aje-li a < 0, je |a| = -a - pro každé a R je tedy |a| ≥ 0- je-li a ≠ 0, pak je |a| > 0 , |0| = 0

a) jednoduché (1 absolutní hodnota)- načrtneme graf funkce bez absolutní hodnoty a část funkce, která je pod osou x zobrazíme v osové souměrnosti (podle osy y) nad osu xb) složité (2 a více absolutních hodnot)- určíme nulové body a pomocí nich rozdělíme osu x na intervaly- v každém intervalu odstraníme absolutní hodnotu (dosazením bodu z daného intervalu: vyjde-li kladná hodnota, vnitřek absolutní hodnoty neměníme, vyjde-li záporná hodnota, v absolutní hodnotě obrátíme všechna znaménka) a upravíme- sestrojíme graf s uvedeným definičním oborem (intervalem) Ukázka grafu: y = |x|

y = |x|

x

y

Příklady1) Načrtněte grafy těchto funkcí

a) y = |3 - x|b) y = |x - 2| + |x + 1|c) y = 2|x + 3| - 2d) y = |x2 - 4|

Řešení1)a)

y = |3 - x|

0

1

2

3

4

5

-1 0 1 2 3 4 5 6 7x

y

8

b)y = |x - 2| + |x + 1|

0

1

2

3

4

5

6

7

8

-3 -2 -1 0 1 2 3 4x

y

c)

d)

15) Kvadratické funkce - je dána ve tvaru: y = ax2 + by + ca R - {0}b, c R- grafem kvadratické funkce je parabola (nepřerušovaná křivka)- pro a > 0 se rozevírá směrem nahoru- pro a < 0 se rozevírá směrem dolů

Určení souřadnic vrcholu paraboly – metoda doplnění na čtverec (a ± b)2

9

Ukázky grafů:a) y = x2

y = x2

x

y

b) y = -x2 y = -x2

x

y

Příklady1) Načrtněte grafy těchto funkcí

a) y = 2x2 - 4x - 6b) y = -x2 - x + 6

Řešení1)a)

y = 2x2 - 4x - 6

-10-8-6-4-202468

1012

-2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4x

y

10

b)y = -x2 - x + 6

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

-3,5 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3x

y

16) Lineární lomené funkce

- je dána ve tvaru: y =

a, b, c, d Rc ≠ 0, ad ≠ bc

Dělením čitatele jmenovatelem převedeme na tvar y =

- grafem každé lineární lomené funkce je hyperbola, jejíž asymptoty (tečny v nekonečnu) jsou přímky y = l a x = -d/c

- zvláštním případem je nepřímá úměrnost - je dána ve tvaru:

y = , kde k ≠ 0

Ukázky grafů:

a) y =

y = 1/x

x

y

11

b) y = -

y = -1/x

x

y

Příklady1) Načrtněte v téže soustavě souřadnic grafy těchto funkcí

a) f1: y = -

f: y = - + 2

b) g1: y =

g2: y =

g: y = 1 +

Řešení1)a)

12

b)

17) Mocninné funkce - je dána ve tvaru: y = xn

- pro všechna x R a pro všechna n N definujemexn = x . x . ... . xx ... základ mocniny (mocněnec)n ... exponent (mocnitel)

Ukázky grafů:a) s celým kladným exponentemn - sudé (př. y = x2)

- oborem hodnot je , ∞)- je rostoucí v , ∞)- je sudá- je omezená zdola d = 0- není omezená shora- v bodě 0 má minimum- v žádném bodě nemá maximum

13

n - liché (př. y = x3)

- oborem hodnot je R- je rostoucí- je lichá- není omezená shora, ani zdola- nemá v žádném bodě ani minimum, ani maximum

b) s celým záporným exponentemn - sudé (př. y = x-2)

- oborem hodnot je R+

- je rostoucí v (-∞, 0)- je klesající v (0, ∞)- je omezená zdola- není omezená shora- nemá v žádném bodě ani minimum, ani maximum- je sudá

n - liché (př. y = x-1)

- oborem hodnot je R - {0}- je klesající v (-∞, 0), v (0, ∞)- není omezená ani zdola, ani shora- nemá v žádném bodě ani minimum, ani maximum- je lichá

14

Příklady:1) Načrtněte graf této funkce: y = x3 + 12) Načrtněte v téže soustavě souřadnic grafy těchto funkcí:

a) y = x1; y = x3; y = x5

b) y = x2; y = x4; y = x6

Řešení1)

y = x3 + 1

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-2 -1,4 -0,8 -0,2 0,4 1 1,6 x

y

- průsečík s osou x v bodě 1; průsečík s osou y v bodě 1

2)a)

b)

15

18) Odmocniné funkce - je dána ve tvaru: y = - pro každé n N je n-tá odmocnina z nezáporného čísla x takové nezáporné číslo y, pro něž platí yn = xn...odmocnitel (exponent odmocniny)x...odmocněnec (základ odmocniny) Ukázky grafů:a) n - liché (př. y = )

y = x1/3

x

y

b) n - sudé (př. y =

y = x1/2

x

y

Příklad1) Načrtněte graf funkce: y = + 2

Řešení1)

16

19) Exponenciální funkce - je dána ve tvaru: y = ax

a > 0, a ≠ 1a...základ exponenciální funkceD(f) = RH(f) = (0; ∞)

Ukázky grafů:Funkce y = ax; a R+ - {1}a) a > 1

D(f) = RH(f) = (0; ∞)- je rostoucí- je prostá- omezená zdola- shora není omezená- v žádném bodě nemá maximum, ani minimum- funkční hodnota v bodě 0 je rovna 1

b) 0 < a < 1

D(f) = RH(f) = (0; ∞)- je klesající- je prostá- omezená zdola- shora není omezená- v žádném bodě nemá maximum, ani minimum- funkční hodnota v bodě 0 je rovna 1

Příklady1) Rozhodněte, zda jsou pravdivé výroky:

a) (0,75)2,5 < (0,75)2,4

b) (1,3)1,4 < (1,3)1,3

2) Načrtněte graf této funkce: y = 2x+1

17

Řešení1)a) ano; b) ne2)

y = 2x+1

0

1

2

3

4

5

6

-2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2x

y

20) Logaritmická funkce - je dána ve tvaru: y = loga xa...základ logaritmu- funkce y = loga x je inverzní funkce k funkci y = ax (ay = x), z čehož vyplývádefinice logaritmu: logaritmus (y) kladného čísla x je při kladném základu takové číslo y, kterým musíme umocnit základ a, abychom dostali číslo x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)

Ukázky grafů:Funkce y = loga x; a R+ - {1} a) a > 1

D(f) = (0; ∞)H(f) = R- je rostoucí- je prostá- není ani shora, ani zdola omezená- nemá v žádném bodě ani maximum, ani minimum- funkční hodnota v bodě 1 je rovna 0

b) 0 < a < 1

D(f) = (0; ∞)H(f) = R

18

- je klesající- je prostá- není ani shora, ani zdola omezená- nemá v žádném bodě ani maximum, ani minimum- funkční hodnota v bodě 1 je rovna 0

Příklady1) Načrtněte grafy těchto funkcí:

a) y = log4 xb) y = log0,5 x

Řešení1)a)

b)

21) Logaritmus - přirozený logaritmus: loge x = ln x

e...Eulerovo číslo: e = 2, 7182...- dekadický logaritmus: log10 x = log x

22) Věty o logaritmech - pro každé a > 0; a ≠ 1 a pro všechna kladná čísla r, s je:

loga (r . s) = loga r + loga s(Logaritmus součinu dvou kladných čísel je roven součtu logaritmů jednotlivých činitelů)

- pro každé a > 0; a ≠ 1 a pro všechna kladná čísla r, s je:

loga = loga r - loga s

(Logaritmus podílu dvou kladných čísel je roven rozdílu logaritmů dělence a dělitele)

- pro každé a > 0; a ≠ 1, pro všechna r R+ a pro všechna s R je:loga rs = s . loga r

(Logaritmus mocniny kladného čísla je roven součinu mocnitele a logaritmu základu mocniny)

Příklady1) Vypočítejte 4 . log6 3 + 5 . log6 2 - log6 122) Vypočítejte log2 8 - 4 . log2 2 + log2 32

19

Řešení1) 3; 2) 4

23) Exponenciální a logaritmické rovnice Exponenciální rovnice:Metody řešení:1) převedení na stejný základ- levou i pravou stranu rovnice převedeme na mocninu o stejném základu- pro výpočet kořenů použijeme větu: ax = ay x = y, a R, a > 0, a ≠ 1 (rovnají-li se základy, rovnají se i exponenty)2) zlogaritmování - levou i pravou stranu rovnice zlogaritmujeme a upravíme pomocí pravidel pro počítání

s logaritmy 3) substituce- celý výraz s exponentem nahradíme jinou proměnou

Logaritmické rovnice:Metody řešení:1) pomocí definice logaritmu2) převedení na jeden logaritmus- levou i pravou stranu rovnice převedeme tak, aby na každé straně rovnice byl jediný logaritmovaný výraz se stejným základem (při úpravě využijeme pravidla pro počítání s logaritmy)- platí věta: loga x = loga y x = y (rovnají-li se logaritmy, rovnají se i logaritmovaná čísla)3) substituce- výraz s logaritmem nahradíme jinou proměnou

Příklady1) Vypočítejte x z rovnice:

a) 2x . 5x = 0,1 (10x-1)5

b) 3x-1 + 3x-2 + 3x-3 = 132) Určete x, jestliže:

a) log1/3 x = -

b) logx = -2

3) Vypočítejte x z rovnice: log (x - 1) + log (x + 1) = 3 . log 2 + log (x - 2)

Řešení

1)a) ; b) 3

2)a) ;

3) 3; 5

20

24) Exponenciální a logaritmické nerovnice - při řešení exponenciálních a logaritmických nerovnic využíváme vlastností exponenciálních a logaritmických funkcí a obdobných metod jako u rovnic. Zásadní odlišnosti vyplývají z toho, že při některých základech jsou tyto funkce klesající, při jiných rostoucí:

- nechť a R, a > 0, a ≠ 1 a nechť f, g jsou funkce- pro a (0;1) jsou funkce klesající a tedy platí:

af(x) < ag(x) f(x) > g(x)af(x) > ag(x) f(x) < g(x) loga f(x) < loga g(x) f(x) > g(x) > 0loga f(x) > loga g(x) 0 < f(x) < g(x)

- pro a (1; ∞) jsou funkce rostoucí a platí:af(x) < ag(x) f(x) < g(x)af(x) > ag(x) f(x) > g(x)loga f(x) < loga g(x) 0 < f(x) < g(x)loga f(x) > loga g(x) f(x) > g(x) > 0

Příklady1) Vyřešte tyto nerovnice:

a) 2x+1 < 4b) log1/2 (x - 2) ≥ -3c) log1/2 (x -2) + log1/2 (x + 2) ≤ -2

Řešení1)a) x (-∞; 1); b) x ( 2; 10 ; c) x ( -∞; -2 2 ; ∞ )

Použitá literatura ODVÁRKO, Oldřich, Doc. RNDr. Matematika pro gymnázia – Funkce. 2. vyd., Prometheus. 1996. PrahaKUBÁT, Josef, RNDr. Sbírka úloh z matematiky pro přípravu k maturitní zkoušce a k přijímacím zkouškám na VŠ. 1. vyd., Prometheus. 2004. Praha

Zpracovala: Iveta Krausová, 3.A (2007/08), Gymnázium a SOŠ Jaroměř

Lektoroval: Mgr. Karel Hübner, Gymnázium a SOŠ Jaroměř

21