93
Fyzikální systém a jeho modelování na příkladech z mechaniky Petr Heřman, Ústav biofyziky, UK 2.LF říjen 2005
Fyzikální systéma jeho modelování
na příkladech z mechaniky
Petr Heřman, Ústav biofyziky, UK 2.LF
říjen 2005
1.Proč systém?2.Proč modelování?3.Proč mechanika?
1. Proč systém?
a) Co je systém?
systém = soustava
Slovo soustava implikuje, že soustava sestává,že je sestavena z více částí.
Příklady.....
Př. 1 – Neznámý objekt (UFO)
pozorování (observace, neinvazivní přístup) zákonitosti chování odhady vstupů a výstupů> funkcionální model (blackbox)
Demonstrace:Model rovnoměrně zrychleného,rovnoměrnéhoa rovnoměrně zpomaleného pohybu.
Př. 2 – Budík
experimentální přístup způsoby dělení (analýza. dekomposice) struktura systému hierarchie systému… > základní princip:
harmonický oscilátor
Př. 3 – Živý organismus (člověk)
experimentální přístup systém a jeho subsystémy:
soustava oběhová soustava trávící soustava nervová soustava lymfatická … atd.
Cíl přednášky:Na několika známých příkladech(pohyb hmot.bodu, harmonický oscilátor, model krevního oběhu)● Látku velmi stručně zopakovat:
Fyzika: Mechanika Kinematika Dynamika pohybu hmotného bodu Harmonický oscilátor Práce, energie, výkon Pole, potenciál, gradient Hydrodynamika
Matematika: Funkce jedné a více proměnných Základy infinitezimálního počtu
● Nahlédnout v nových souvislostech: Diferenciální rovnice ve fyzice
● Precizovat běžně užívané pojmy Fyzikální systém Model
1. Kinematika(pohyb)
trajektorie
t0
t1
t2
t3
t4
t7
t6
t8
t5
Trajektories vyznačenímčasových okamžiků.
(model UFO)
0
10
20
30
40
50
0 1 2 3 4 5 6 7 8
s
[s ]t
[m ] s = s(t)
Funkční závislost dvou veličinabscisaor
diná
ta (p
ořad
nice
)
Jedna možnost: Linearizace průběhu > model rovnoměrného pohybus jedním parametrem (průměrná rychlost v)
0
10
20
30
40
50
0 1 2 3 4 5 6 7 8
s
[s ]t
[m ]
s(t) = v . tv = konst
s[m ]
0
10
20
30
40
50
0 1 2 3 4 5 6 7 8
[s ]tDruhá možnost:
Analýza nerovnoměrného pohybu: tři fáze:I. zrychlený, II. rovnoměrný a III. zpomalený pohyb
I.
II.
III.
0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5
--->
s
---> t0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5
--->
s
---> t0
5
10
15
20
0 0.5 1 1.5 2
--->
s
---> t0
5
10
15
20
0 0.5 1 1.5 2
--->
s
---> t0
1
2
3
4
5
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
--->
s
---> t0
1
2
3
4
5
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
--->
s
---> t
I. rovnoměrně zrychlený
II. rovnoměrný III. rovnoměrně zpomalený
P o h y b :
Rozložení (analýza) složitého pohybuna elementární druhy pohybu.
0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5
--->
s
---> t0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5
--->
s
---> t0
5
10
15
20
0 0.5 1 1.5 2
--->
s
---> t0
5
10
15
20
0 0.5 1 1.5 2
--->
s
---> t0
1
2
3
4
5
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
--->
s
---> t0
1
2
3
4
5
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
--->
s
---> t
s=s t =s1 1 2
a0 ⋅t1−t 2
dráha s=s t =1 2
a0 ⋅t2dráha s
s=s t =v0 ⋅t
dráha s
I. rovnoměrně zrychlený
II. rovnoměrný III. rovnoměrně zpomalený
P o h y b :
Identifikace jednotlivých druhů elementárních pohybů:Doplnění známých vztahů určujících pohyb.
t1
s1
I. rovnoměrně zrychlený
II. rovnoměrný III. rovnoměrně zpomalený
P o h y b :
Parametrická identifikace dílčích modelů.
0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 50
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5
dráha s=s t =1 2
a0 ⋅t2
t0
5
10
15
20
0 0.5 1 1.5 20
5
10
15
20
0 0.5 1 1.5 2
s=s t =v0 ⋅t
dráha s
t0
1
2
3
4
5
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
1
2
3
4
5
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
s=s t =s1 1 2
a0 ⋅t1−t 2
dráha s
t
s s s
a0 =2 s
t 2a0 =−
2 s
t 2v0 =
s t
t=5[s ] , s=25[m ] t=2 [s ] , s=20 [m ] t=1[s ] , s=5[m ]
a0 =2 [m⋅s−2] v0 =10 [m⋅s−1] a0 =−10 [m⋅s−2]
Po dosazení naměřených hodnot:
I. rovnoměrně zrychlený
II. rovnoměrný III. rovnoměrně zpomalený
P o h y b :
Parametrická identifikace dílčích modelů.
0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 50
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5
dráha s=s t =1 2
a0 ⋅t2
t0
5
10
15
20
0 0.5 1 1.5 20
5
10
15
20
0 0.5 1 1.5 2
s=s t =v0 ⋅t
dráha s
t0
1
2
3
4
5
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
1
2
3
4
5
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
s=s t =s1 1 2
a0 ⋅t1−t 2
dráha s
t
s s s
a0 =2 [m⋅s−2] v0 =10 [m⋅s−1] a0 =−10 [m⋅s−2]parametry :
t0 =0 [s ] t2 =0 [s ] t0 =0 [s ]časové okamžiky : t0 =0 [s ]
STOP
0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5
--->
s
---> t0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5
--->
s
---> t0
5
10
15
20
0 0.5 1 1.5 2
--->
s
---> t0
5
10
15
20
0 0.5 1 1.5 2
--->
s
---> t0
1
2
3
4
5
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
--->
s
---> t0
1
2
3
4
5
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
--->
s
---> t
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5
--->
v
---> t0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5
--->
v
---> t0
2
4
6
8
10
12
0 0.5 1 1.5 2
--->
v
---> t0
2
4
6
8
10
12
0 0.5 1 1.5 2
--->
v
---> t0
2
4
6
8
10
12
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
--->
s
---> t0
2
4
6
8
10
12
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
--->
s
---> t
-12-10-8-6-4-2
024
0 1 2 3 4 5
--->
a
---> t-12-10-8-6-4-2
024
0 1 2 3 4 5
--->
a
---> t-12-10-8-6-4-2024
0 0.5 1 1.5 2
--->
a
---> t-12-10-8-6-4-2024
0 0.5 1 1.5 2
--->
a
---> t
-12-10-8-6-4-2024
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
--->
s
---> t
-12-10-8-6-4-2024
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
--->
s
---> t
rychlost v=vt =a0 ⋅t
a=a t =a 0=konst=a0 0
zrychlení zrychlení
a=a t =a 0=konst=a0 =0
zrychlení
a=a t =a 0=konst=a0 0
rychlost v=v t =v0 a0 ⋅trychlost
v=v t =v 0=konst=v0
s=s t =s1 1 2
a0 ⋅t1−t 2
dráha s=s t =1 2
a0 ⋅t2dráha s
s=s t =v0 ⋅t
dráha s
I. rovnoměrně zrychlený
II. rovnoměrný III. rovnoměrně zpomalený
Z vypočtených parametrů snadno určímeprůběhy rychlostí a zrychlení.
s[m ]
0
10
20
30
40
50
0 1 2 3 4 5 6 7 8
[s ]t
I
II
III
a0 =2 [m⋅s−2] v1 =10 [m⋅s−1] a3 =−10 [m⋅s−2]parametry :
t0
t1 =5 [s ] t3 =8 [s ]časové okamžiky : t2 =7 [s ]
STOP
Opětným spojením dostaneme model, charakterizovanýtřemi časovými intervaly a odpovídajícími třemi parametry(indexy na sebe navazují):
t1
t2 t3
t0 =0 [s ]
0
10
20
30
40
50
0 1 2 3 4 5 6 7 8
00 1 2 3 4 5 6 7 8
0
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
0 1 2 3 4 5 6 7 8
v=v t
s=s t
a=a t
Po syntéze jednotlivých částíparametrického modelu můžemesložit dohromady i namodelovanéprůběhy rychlosti a zrychlení.Místa zlomu průběhu rychlostia nespojitosti průběhu zrychleníjsou určena místy, která jsmepůvodně se značnou mírounejistoty odhadli z průběhuzávislosti s = s(t) jako místa,kde křivka mění svůj charakter.Kdybychom měřili přímo rychlostnebo zrychlení, mohli bychomje určit přesněji. Otázka: ??Jak ale spočítat v(t) a a(t) z s(t)ještě před spočítáním parametrů?
Odpověď:
Ano, se znalostí základního principuinfinitesimálního počtu a jeho fyzikálníinterpretace.
Isaac Newton, Gottfried Wilhelm Leibniz(baroko, 2. pol. XVII. stol.):
Diferenciální a integrální počet se stávázákladním matematickým nástrojem celéhonastupujícího období klasické fyziky.
život = změnazměna = derivace=> život = derivacefyzika = změna=> fyzika = derivace
biofyzika = druhá derivace
Velká část fyzikálních veličin je odvozenaz jiných veličin jejich derivováním.(lat. derivatio = odvádění vody, odvodňování;přeneseně: odvozování – např. v gramatice).
např:dráha > rychlost > zrychleníenergie > výkonel. náboj > el. proudel. indukční tok > indukované napětí
Derivace
0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5
--->
s
---> t
0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5
--->
s
---> t
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5
--->
v
---> t
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5
--->
v
---> t
rychlost v=v t =a0 ⋅t
dráha s=s t =1 2
a0 ⋅t2Př.:
Veličina:dráha
Její první derivacepodle času= rychlost
?? Jak jsem na to přišel ??
0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5
--->
s
---> t
0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5
--->
s
---> t
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5
--->
v
---> t
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5
--->
v
---> t
rychlost v=v t =a0 ⋅t
dráha s=s t =1 2
a0 ⋅t2Přijdu na to,když buď:
1) znám vzorečky pohybu
anebo
2) umím derivovat
0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5
--->
s
---> t
0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5
--->
s
---> t
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5
--->
v
---> t
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5
--->
v
---> t
rychlost v=v t =a0 ⋅t
dráha s=s t =1 2
a0 ⋅t22a) Umím derivovat:
2b) Neumím,neznám analytickýtvar funkce atd.
?? Co teď ??
ds t dt
=s=a0 ⋅t
0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5
--->
s
---> t
0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5
--->
s
---> t
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5
--->
v
---> t
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5
--->
v
---> t
rychlost v=v t =a0 ⋅t
dráha s=s t =1 2
a0 ⋅t2Každopádně:
Pochopit:1) geometrický2) fyzikálnívýznam derivace.
...
0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5
--->
s
---> t
0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5
--->
s
---> t
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5
--->
v
---> t
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5
--->
v
---> t
rychlost v=v t =??
dráha s=s t =v⋅tIdea(první přiblížení):
Nahradím dráhunerovnoměrnéhopohybudrahou pohyburovnoměrného.(Př.: dvě auta)
?? Co se stanes průběhemrychlosti??0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5
--->
v
---> t
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5
--->
v
---> t
rychlost v=v t =??
0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5
--->
s
---> t
0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5
--->
s
---> t
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5
--->
v
---> t
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5
--->
v
---> t
rychlost v=v t =??
dráha s=s t =v⋅t
Co se stanes průběhemrychlosti?
Zprůměruje se:Bude konstantnía rovná průměrnérychlosti.
0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5
--->
s
---> t
0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5
--->
s
---> t
t0 ≤t≤t1
Další aproximace:
Nahradím dráhunerovnoměrnéhopohybu lomenoučarou.
?? Jak budevypadat průběhrychlosti ??
s t =s1 v2 ⋅t−t1t1 ≤t≤t2
s t =v1 ⋅t
t2 ≤t≤t3
t3 ≤t≤t 4
t4 ≤t≤t5
s t =s2 v3 ⋅t−t2
s t =s3 v4 ⋅t−t3
s t =s4 v5 ⋅t−t4
dráha s=s t =1 2
a0 ⋅t2
t∈{t0, t1, t2, t3, t4, t5 }
t t t
t=1 s
0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5
--->
s
---> t
0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5
--->
s
---> t
dráha s=s t =1 2
a0 ⋅t2
t∈{t0, t1, t2, t3, t4, t5 }
Spočteme: s5
s4
s3
s2 s1
s1 =1 m s2 =3 m s3 =5 m s4 =7 m s5 =9 m
vi= si
t
t=1 s
v1 =1 ms−1
v2 =3 ms−1
v3 =5 ms−1
v4 =7 ms−1
v5 =9 ms−1
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5
--->
v
---> t
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5
--->
v
---> t
rychlost v=v t =??
0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5
--->
s
---> t
0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5
--->
s
---> t
dráha s=s t =1 2
a0 ⋅t2
t∈{t0, t1, t2, t3, t4, t5 }
Spočteme:s5
s4
s3
s2s1
s1 =1 ms2 =3 ms3 =5 ms4 =7 ms5 =9 m
vi=si
t
t=1 s
v1 =1 ms−1
v2 =3 ms−1
v3 =5 ms−1
v4 =7 ms−1
v5 =9 ms−1
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5
--->
v
---> t
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5
--->
v
---> t
rychlost v=v t =??
0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5
--->
s
---> t
0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5
--->
s
---> t
Rychlost v danémintervalu je vlastněsklonem úsečky,její směrnicí:
s
v= s t
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5
--->
v
---> t
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5
--->
v
---> t
rychlost v=v t
t
Na rozdíl odanalytické geometrietato směrnice máfyzikální rozměr,daný poměremfyzikálních rozměrůobou veličin.
[ms−1]=[m ][s ]
dráha s=s t
v= s t
0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5
--->
s
---> t
0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5
--->
s
---> t
Promítnemelido grafu namístolomené čárypůvodní křivku,vidíme, že onasměrnice v danémintervalu je jejítětivou (sečnou)mezi body,ohraničujícímiinterval.
s
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5
--->
v
---> t
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5
--->
v
---> t
rychlost v=v t
t
dráha s=s t
0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5
--->
s
---> t
0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5
--->
s
---> t
??Lze si představitstále jemnějšíaproximaci,kdy budeme zmenšovatna nekonečněmalou míru,až skoro k nule??
s
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5
--->
v
---> t
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5
--->
v
---> t
rychlost v=v t
t
dráha s=s t
t
0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5
--->
s
---> t
0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5
--->
s
---> t
Zároveň sse zmenší i ,ale jejich poměr
se už mnoho měnitnebude.
Sečna přejde v téměřrovnoběžnou tečnu,jejíž směrnice určíokamžitou rychlostv tečném bodě.
s
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5
--->
v
---> t
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5
--->
v
---> t
rychlost v=v t
t
dráha s=s t s
t
v= s
t
0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5
--->
s
---> t
0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5
--->
s
---> t
Okamžitou rychlostteď můžeme spočítatpro libovolný časovýokamžik t.
Tak jako tečna můžeplynule klouzatpo hladké křivce,i schodovitá křivkaprůběhu rychlostise vyhladí. Namístoprůměrných rychlostídostáváme okamžité.
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5
--->
v
---> t
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5
--->
v
---> t
rychlost v=v t
dráha s=s t
v= s t
Namísto poměru nyní píšeme
Nekonečně malé veličiny ... diferenciály.Derivace je poměrem dvou diferenciálů.Derivaci v matematiceoznačujeme čárkou:
Precizněji definujemederivaci jako limitu:
Ve fyzice pro vyjádření derivacepodle času můžeme psát tečku:
v=dsdt
s ' t =dsdt
s ' t = lim t0
s t
=dsdt
s=dsdt
ds , dt
Proces derivování můžeme několikrát opakovat.
Tak jako je rychlost derivací dráhy
tak je zrychlení derivací rychlosti:
Zrychlení je tedy derivací derivace:
neboli druhou derivací dráhy:
v=s=ds /dt
a=v=dv /dt
a=d ds t /dt /dt
a=a=d2 s t
dt2
Derivace vyšších řádů
Derivace vektorových veličin
Dosud jsme uvažovali jednorozměrný pohyb.UFO ale létá v prostoru. Proto:
v t =r t = dr /dt
a t =v t = dv /dt
a t =s t = d2 r /dt2r t0dt r t0
dr
je polohový vektor.r
0
10
20
30
40
50
0 1 2 3 4 5 6 7 8
00 1 2 3 4 5 6 7 8
0
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
0 1 2 3 4 5 6 7 8
v t =s t
s=s t
a t =s t
Shrnutí (na našemmodelu UFO):
Měříme dráhu
Počítáme rychlostjako její první derivacia zrychlení jakodruhou derivaci.Určíme parametry:0 t5 : a1 =2 ms−2
5 t7 : a2 =0 ms−2
7 t8 : a1 =−10 ms−2
s=s t
v2 =10 ms−1
Integrování je opačným postupem k derivování.
Jeli rychlost derivací dráhy,pak dráha je integrálem rychlosti:
Jeli zrychlení derivací rychlosti,pak rychlost je integrálem zrychlení.
A jako je zrychlení druhou derivací dráhy,tak i dráha je dvojným integrálem zrychlení:
Integrál
s=∫ v dt
v=∫a dt
v=s
a=v
a= s s=∬a dt2
Problém nalezení primitivní funkce:
Známli průběh ,jak najduaby platilo ??
1) počítat analyticky2) počítat numericky3) graficky
s t =∫ v t dt
v=v t
v t =ds t /dts=s t
0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5
--->
s
---> t
0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5
--->
s
---> t
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5
--->
v
---> t
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5
--->
v
---> t
rychlost v=v t =konst.
dráha s=s t =v⋅tVratíme sek jednomuz předchozíchobrázků.
Dosud jsmeodvozovali(derivovali)rychlost z dráhy.
?? Jde to i naopak?Z dráhy rychlost ??
0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5
--->
s
---> t
0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5
--->
s
---> t
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5
--->
v
---> t
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5
--->
v
---> t
rychlost v=v t =konst.
dráha s=s t =v⋅t
Nejdříve siprohodíme grafy...
a z druhého hnedvidíme:
?? Co ten součinznamená graficky??
?? Lze jej vyčíst iz horního grafu ??
s t =v⋅t
0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5
--->
s
---> t
0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5
--->
s
---> t
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5
--->
v
---> t
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5
--->
v
---> t
rychlost v=v t =konst.
dráha s=s t =v⋅t
A hned vidíme,že součinznamená plochuobdélníkao hranách v a t, tj.:
(„Plocha“ nikoli !!ale součin jednotek.)
Což přesně odpovídákonečnému bodudráhy na grafu dráhy.
v⋅t
v⋅t
5 s⋅5 ms−1 =25 m
m2
0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5
--->
s
---> t
0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5
--->
s
---> t
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5
--->
v
---> t
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5
--->
v
---> t
rychlost v=v t =konst.
dráha s=s t =v⋅t
A platí to nejenompro koncový bod,ale i pro kterýkolijiný.
Např prodostáváme:
5 ms−1 ⋅3 s=15 m
v⋅t
t=3 s
0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5
--->
s
---> t
0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5
--->
s
---> t
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5
--->
v
---> t
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5
--->
v
---> t
rychlost v=v t =konst.
dráha s=s t =v⋅t
Důležité:
Pokaždé se jednáo plochu podkřivkou, tj. mezikřivkou a abscisou(zde osou t),ohraničenouzleva i zpravahranicí danéhointervalu.
v⋅t
v⋅t
0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5
--->
s
---> t
0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5
--->
s
---> t
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5
--->
v
---> t
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5
--->
v
---> t
rychlost v=v t =a⋅t
dráha s=s t =1 2
a⋅t2
To platí prolibovolný průběh:Zde má plochatvar trojúhelníkus plochou
Což odpovídázrychlenému pohybu
1 2⋅10 ms−1 ⋅5 s=25 m
1 2⋅2 ms−2 ⋅5 s2 =25 m
1 2
v⋅t
0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5
--->
s
---> t
0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5
--->
s
---> t
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5
--->
v
---> t
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5
--->
v
---> t
rychlost v=v t =a⋅t
dráha s=s t =1 2
a⋅t2
Pro máme:
Což opět odpovídábodu na grafu dráhy:
1 2⋅6 ms−1 ⋅3 s=9 m
1 2⋅2 ms−2 ⋅3 s2 =9 m
1 2
v⋅t
t=3 s
0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5
--->
s
---> t
0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5
--->
s
---> t
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5
--->
v
---> t
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5
--->
v
---> t
rychlost v=v t =a⋅t
dráha s=s t =1 2
a⋅t2
Čili:
Graf dráhyukazuje velikostplochy pod křivkourychlosti
Neboli:
dráha ječasovým integrálemrychlosti
1 2
v⋅t
s t
v t
s t
v t
0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5
--->
s
---> t
0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5
--->
s
---> t
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5
--->
v
---> t
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5
--->
v
---> t
rychlost v=v t =a⋅t
dráha s=s t =1 2
a⋅t2
1 2
v⋅t=8 ⋅4
2 =16 m
s t = ∫=0
=t
v d
Zapisujeme jakourčitý integrál:
s t = ∫=0
=t
a⋅d
s t =[ 1 2
a⋅2 ]0
t
s 4=[ 1 2
a⋅2 ]0
4
=16 m
0
10
20
30
40
50
0 1 2 3 4 5 6 7 8
00 1 2 3 4 5 6 7 8
0
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
0 1 2 3 4 5 6 7 8
v=v t
s t =∫ v t dt
a t =v t
Shrnutí: na našemUFO modelu nyní:Měříme rychlostPočítáme dráhujako její integrál azrychleníjako její derivaci.Parametry stejně:0 t5 : a1 =2 ms−2
5 t7 : a2 =0 ms−2
7 t8 : a1 =−10 ms−2
v=v t s t
a t
v2 =10 ms−1
Dynamika
F t =m⋅a t =m⋅r t =m⋅v t
„2. Newtonův zákon“ [1687] = „zákon síly“:
p t =m⋅v t , tudíž:Hybnost:
F t =pt [N ]=[kg⋅ms−1 /s ]
Ke kinematickým veličinám, rychlosti a zrychlení,jsme přibrali hmotnost, a dostali jsme dvě nové,dynamické veličiny: hybnost a sílu, svázané opět derivací.
0
10
20
30
40
50
0 1 2 3 4 5 6 7 8
00 1 2 3 4 5 6 7 8
0
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
0 1 2 3 4 5 6 7 8
v=v t
s=s t
a=a t
Připomeneme sikinematikunašeho UFO.
?? Jaká bude jehodynamika ??
... miniaturizují se,celý talíř má jen 1kg.
??Jak bude vypadatprůběh hybnostia tažné sílyUFOních motorů??
0
10
20
30
40
50
0 1 2 3 4 5 6 7 8
00 1 2 3 4 5 6 7 8
0
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
0 1 2 3 4 5 6 7 8
p=pt
s=s t
F=F t
pt =m⋅v t
F t =m⋅a t
[kg⋅ms−1]=[kg]⋅[ms−1]
[N ]=[kg]⋅[ms−2]
1 kg⋅ms−1 =1 Ns=1 L
G.W.Leibniz [1646 1716]
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
0 1 2 3 4 5 6 7 8
F=F t
1 L=1 Leibniz
G.W.Leibniz [1646 1716]
...
0
10
20
30
40
50
0 1 2 3 4 5 6 7 8
00 1 2 3 4 5 6 7 8
0
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8
p=pt
s=s t
0
2
4
6
8
10
0 10 20 30 40 500
2
4
6
8
10
0 10 20 30 40 500
2
4
6
8
10
0 10 20 30 40 500
2
4
6
8
10
0 10 20 30 40 500
2
4
6
8
10
0 10 20 30 40 500
2
4
6
8
10
0 10 20 30 40 500
2
4
6
8
10
0 10 20 30 40 500
2
4
6
8
10
0 10 20 30 40 500
2
4
6
8
10
0 10 20 30 40 500
2
4
6
8
10
0 10 20 30 40 50
p [kg⋅ms−1]
s [m ]
p=ps
Fázový prostor stavový prostor klasické(ale i kvantové) fyzikySouřadnice:● polohový vektor● vektor hybnosti
UFO – pohyb v čase:
0s1s
2s
3s4s
5s 6s 7s
8s
Věta impulsová (účinková):Když je síla F t =konstpak je impuls síly:
Už víme, že:
I=F⋅t
I=∫ F t ⋅dt
(Impuls síly působí změnu hybnosti.Je to integrální tvar 2. Newtonova zákona.)
F=p= dp /dt
I=∫dpdt⋅dt=∫ dp= p
Jinak ale:
, tudíž:
Práce a kinetická energieKdyž je síla F s=konst , pak koná práci:
Jinak ale:
(skalární součin)W=F⋅sW=∫
s
F⋅ds
Víme, že urychlující síla: F=m⋅a=m⋅dvdt
Pak: W=∫m⋅dvdt⋅ds=m∫
dsdt⋅dv=m∫v⋅dv
W=m⋅v2
2 =
p2
2 m=W k≥0 Kinetická energie
Kinetická energie v prostoruVektor rychlosti má v kartézském prostoru složky:
v=vx , vy , vz
W k=W kxW kyW kz
v2 =v⋅v=v2 =vx , vy , vz2 =vx
2 vy2 vz
2
Jeho druhá mocnina je jeho skalárním součinems ním samým. Podle Pythagorovy věty:
Proto celkovou kinetickou energii můžeme chápatjako součet kinetických energií souřadných složek:
0
10
20
30
40
50
0 1 2 3 4 5 6 7 8
00 1 2 3 4 5 6 7 8
0
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8
v=v t
s=s t UFO:
dráha
rychlost
kinetická energie
0
10
20
30
40
50
0 1 2 3 4 5 6 7 80
10
20
30
40
50
0 1 2 3 4 5 6 7 80
10
20
30
40
50
0 1 2 3 4 5 6 7 80
10
20
30
40
50
0 1 2 3 4 5 6 7 80
10
20
30
40
50
0 1 2 3 4 5 6 7 80
10
20
30
40
50
0 1 2 3 4 5 6 7 80
10
20
30
40
50
0 1 2 3 4 5 6 7 80
10
20
30
40
50
0 1 2 3 4 5 6 7 80
10
20
30
40
50
0 1 2 3 4 5 6 7 80
10
20
30
40
50
0 1 2 3 4 5 6 7 8
[ms−1]
[J ]
[m]
[s]
[s]
[s]
W k t W k t =mv2 t
2
Síla, rychlost a výkon
Čím je urychlované těleso rychlejší, tím delšídráha, po které musí urychlující síla působitza jednotku času, a tím také roste potřebnývýkon:
P t =F t ⋅v t [W ]=[N ]⋅[ms−1]
F t ,v t ?? Co když jsou vektory vzájemně kolmé ??
(Nápověda: skalární součin ...)
00 1 2 3 4 5 6 7 8
0
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8
v=v t
UFO:
dráha
rychlost
výkon
[ms−1]
[s]
P t =F t ⋅v t
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
0 1 2 3 4 5 6 7 8
F=F t
[N ]
[s]
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
0 1 2 3 4 5 6 7 8-100
-80
-60
-40
-20
0
20
0 1 2 3 4 5 6 7 8-100
-80
-60
-40
-20
0
20
0 1 2 3 4 5 6 7 8-100
-80
-60
-40
-20
0
20
0 1 2 3 4 5 6 7 8-100
-80
-60
-40
-20
0
20
0 1 2 3 4 5 6 7 8
P=P t
[W ]
[s]
Práce a výkonUrychlující síla vykonává práci v průběhu času.Čím více práce vykoná a v čím kratším čase,tím je vyšší výkon. Výkon je tedy derivacíenergie podle času:
P t =dWdt
=W
Tento vztah mezi energií a výkonemse neomezuje jen na mechaniku,ale má obecnou platnost.
[W ]=[J ][s ]
UFO 1kg:
kinetická energie
výkon:
0
10
20
30
40
50
0 1 2 3 4 5 6 7 80
10
20
30
40
50
0 1 2 3 4 5 6 7 80
10
20
30
40
50
0 1 2 3 4 5 6 7 80
10
20
30
40
50
0 1 2 3 4 5 6 7 80
10
20
30
40
50
0 1 2 3 4 5 6 7 80
10
20
30
40
50
0 1 2 3 4 5 6 7 80
10
20
30
40
50
0 1 2 3 4 5 6 7 80
10
20
30
40
50
0 1 2 3 4 5 6 7 80
10
20
30
40
50
0 1 2 3 4 5 6 7 80
10
20
30
40
50
0 1 2 3 4 5 6 7 8
[J ]
[s]
W k t
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
0 1 2 3 4 5 6 7 8-100
-80
-60
-40
-20
0
20
0 1 2 3 4 5 6 7 8-100
-80
-60
-40
-20
0
20
0 1 2 3 4 5 6 7 8-100
-80
-60
-40
-20
0
20
0 1 2 3 4 5 6 7 8-100
-80
-60
-40
-20
0
20
0 1 2 3 4 5 6 7 8
P=P t
[W ]
[s]
P t =dWdt
=W
Výkon a práceA zřejmě naopak platí, že výkon, byť kolísavý,vykonávaný po nějakou dobu, odvádí práci.Práce je tedy časovým integrálem výkonu:
W=∫P t dt
1 joule = 1 wattsekunda
[J ]=[W ]⋅[s ]
UFO 1 kg:
výkon
... energie
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
0 1 2 3 4 5 6 7 8-100
-80
-60
-40
-20
0
20
0 1 2 3 4 5 6 7 8-100
-80
-60
-40
-20
0
20
0 1 2 3 4 5 6 7 8-100
-80
-60
-40
-20
0
20
0 1 2 3 4 5 6 7 8-100
-80
-60
-40
-20
0
20
0 1 2 3 4 5 6 7 8
WW
P=P t P=P t
∫P t dt=W
0
10
20
30
40
50
0 1 2 3 4 5 6 7 80
10
20
30
40
50
0 1 2 3 4 5 6 7 80
10
20
30
40
50
0 1 2 3 4 5 6 7 80
10
20
30
40
50
0 1 2 3 4 5 6 7 80
10
20
30
40
50
0 1 2 3 4 5 6 7 80
10
20
30
40
50
0 1 2 3 4 5 6 7 80
10
20
30
40
50
0 1 2 3 4 5 6 7 80
10
20
30
40
50
0 1 2 3 4 5 6 7 80
10
20
30
40
50
0 1 2 3 4 5 6 7 80
10
20
30
40
50
0 1 2 3 4 5 6 7 8
[J ]
[s ]
W t
[W ]
[s]
Potenciální energie, potenciálV tíhovém poli Země je tíha
Pak práce zdvihající břemeno W = pot. energie U:
W=−∫ G⋅ds=−m∫g⋅ds=m⋅g∫ dh=m⋅g⋅h=U [J ]
Intenzita (gravitačního) pole =síla na jednotkovou hmotnost:
G=m⋅g [N ]
E=Gm=
m⋅gm
=g [N⋅kg−1]
Potenciál (grav.) pole = pot. energie / jednot. hmotnost:
V=Um=−∫g⋅ds=g⋅h [J⋅kg−1] (skalár!)
Často klademe: Pak:U∞=0, V∞=0 U≤0, V≤0
Gradient
?? Lze naopak spočítat intenzitu polez potenciálu? Jak??
Asi nějakou derivací, protože víme,že derivování je opačnou operací k integrování.
Ale jak spočítat vektorovou veličinu ze skaláru ??
V=−∫s
E⋅dsViděli jsme, že potenciál je integrální veličina:
Na rozdíl od časových derivací a integrálů tadyjde o integrování a derivování v prostoru.
E=E x , E y , E z=−∂V∂ x
,−∂V∂ y
,−∂V∂ z
E=−grad V
∂V∂ x
,∂V∂ y
,∂V∂ z
... parciální derivace
grad=∇= ∂∂ x
, ∂∂ y
, ∂∂ z
diferenciální operátor
Gradient „graduje“,míří „nahoru“, směremk vyššímu potenciálu.
Intenzita táhne, kam to „padá“, směr k nižšímu potenciálu,tj. proti gradientu, po jeho spádu.
Harmonický oscilátorjako příklad fyzikálního systému
a jeho modelu
Identifikace částí
pružina
závaží
pružina
závaží
Dekomposice (analýza)
pružina
závaží
materiál, tvar, rozměry, technologie výroby, stáří, ...
dtto
Vlastnosti částí systému
pružina
závaží
Charakterisace částí(výb r ě charakteristických vlastností)
závislost síly na prodloužení pružiny:
závislost síly na zrychlení závaží:
F k=F x
F m=F a
pružina
závaží
Charakteristiky ve trvaru grafů
F k=F x
F m=F a
a
F m
F k
x
F m
F k
x
a
pružina
závaží
Linearisace
F k=F x
F m=F a
a
F m
F k
x
F m
F k
x
a
pružina
závaží
Parametrisace – identifikace parametrů
k=F k
x
m=F m
a
a
F m
F k
x
F m
F k
x
a
směrnice p ímky:ř
směrnice p ímky:ř
pružina
závaží
Parametrické vyjádření závislostí
F k=F x =k⋅x
F m=F a=m⋅a
a
F m
F k
x
F m
F k
x
a
Model se soustředěnými parametry
k
m
I když každý fyzikální objekt můžemecharakterisovat řadou parametrů jakoje hmotnost, pružnost, objem atd.,u modelu se soustředěnými parametryjsou tyto vlastnosti soustředěny dojednotlivých diskrétních součástek.
(V našem příkladu u pružiny uvažujemejen pružnost a zanedbáváme hmotnost,u závaží zase uvažujeme jen hmotnosta zanedbáváme pružnost.)
Syntéza modelu
F k=k⋅x
F m=m⋅aF m
F k
}F k=k⋅x
m⋅ak⋅x=0
F kF m=0
Dvě rovnice popisují dvě součásti.Třetí jejich vzájemné spojení:
Jejich sloučením dostáváme rovnicipopisující chování systému.
Obyčejná diferenciální rovnice 2. řádu
m⋅ak⋅x=0V rovnici
to vypadá, že máme dva konstantní parametry m a k a dvě proměnné a a x.Ve skutečnosti je zrychlení a druhou derivací polohy x podle času t:
a=d2 x
dt2 = x
Použitím tohoto vztahu dostáváme:
m⋅xk⋅x=0
a po úpravě konečně hledanou rovnici harmonického oscilátoru:
xkm⋅x=0
Řešení diferenciální rovnice
xkm⋅x=0
k
m x
x t =Asin tkterá má obecné řešení:
x2 ⋅x=0
= km
Označíme si poměr
a dostáváme rovnici:
představující harmonické kmity o amplitudě A s úhlovou frekvencía fázovým posunem
.
čiližekm=2
-2
-1
0
1
2
0 1 2 3 4 5 6 7 8
-2
-1
0
1
2
0 1 2 3 4 5 6 7 8
-2
-1
0
1
2
0 1 2 3 4 5 6 7 8
výchylka:
rychlost:
zrychlení:
x t =xmax⋅sin t
v t =vmax⋅cos t
a t =−amax⋅sin t
Kinematika harmonického oscilátoru
-2
-1
0
1
2
0 1 2 3 4 5 6 7 8
-2
-1
0
1
2
0 1 2 3 4 5 6 7 8
-2
-1
0
1
2
0 1 2 3 4 5 6 7 8
síla pružiny:
hybnost závaží:
setrvačná síla závaží:
F k t ~x t
Dynamika harmonického oscilátoru
F mt ~a t
p t ~v t
-2
-1
0
1
2
-2 -1 0 1 2
Fázový prostor harmonického oscilátoru
p t
x t
0s
1s
2s
3s
4s
5s
7s
6s
-2
-1
0
1
2
0 1 2 3 4 5 6 7 8
-2
-1
0
1
2
0 1 2 3 4 5 6 7 8
-2
-1
0
1
2
0 1 2 3 4 5 6 7 8
potenciální energie:
kinetická energie:
celková energie:
U t ~x2t
Energie harmonického oscilátoru
W k t ~v2t
UW k t =konst
Mechanika pevných těles
0
20
40
60
80
100
120
140
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6
[%]
[MPa]
Kost(kompaktní oblast femuru)
2029 let
5059 let
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
0 10 20 30 40 50 60 70
[%]
[MPa]
Sval(svalové vlákno levésrdeční komory)
napětí v tahu
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
0 5 10 15 20 25
[%]
[MPa]
Aorta
radiální vlákna
obvodová vlákna
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
[%]
[MPa]
Nervové vlákno(nervus femoralis)
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
0 10 20 30 40 50 60 70
[%]
[MPa]
Všechny tkáně
0
20
40
60
80
100
120
140
0 5 10 15 20 25
[%]
[MPa]
Všechny tkáně(kromě srdeční)
![...6.305 Napište rovnice asymptot, —3, souYadnice vrcholü a ohnisek hy- b) 22 _ x2 36 36 + 6.27 Parabola Parabola s parametrem p(p > 0), která má vrchol V [m; n] a jejíž osa](https://static.dokumenty.site/doc/80x56/5e92b01bf40cc90693474793/-6305-napite-rovnice-asymptot-a3-souyadnice-vrchol-a-ohnisek-hy-b.jpg)
![Dokumentace oblastí s Yê]QDPQêP SRYRG RYêP rizikem · km 2 m 3 /s 3m 3 /s m 3/s m 3 /s m /s m /s m 3 /s SR t]HQt nad SUDYRE HåQtP S tWRNHP6USLQD 318,60 11,8 21,7 30,1 40,2 56](https://static.dokumenty.site/doc/80x56/60bed162bbaaaf0e0e463ff9/dokumentace-oblast-s-yqdpqp-sryrg-ryp-km-2-m-3-s-3m-3-s-m-3s-m-3-s.jpg)
