1
ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNIFakulta aplikovaných věd - KMAoddělení geomatiky
Geodézie pro stavitelství
KMA/GES
Ing. Martina Vichrová, Ph.D.
Vytvoření materiálů bylo podpořeno prostředky z projektu FRVŠ č. 584/2011.
Základy teorie chyb a vyrovnávacího počtu.
TISK
2
Proces měření měření určité veličiny = porovnávání této měřené veličiny s jinou veličinou stejného druhu, která je zvolená za jednotku míry (etalon) - délky, úhly, výšky, času, … přenáší se buď etalon na objekt nebo objekt na etalon
proces měření pak:Měření = přenos + porovnání (odečtení) 1. 2. Etalon 3.
Každé měření v geodézii se vykonává vícekrát, nejméně dvakrát.možnost získat potřebnou kontrolu měření a určit nejspolehlivější hodnotu měřené veličiny a míru její přesnosti
Měření – proces, kdy v určitém časovém intervalu získáváme diskrétní či spojité hodnoty měřené veličiny. Každý měřičský proces se realizuje určitou metodou měření. (Tuto metodu determinuje přesnost měření, průměrně dosahovaná touto metodou). Přesnost měření se pak vyjadřuje základní střední chybou měření m či jednotkovou základní střední chybou m0. Tyto chyby jsou funkcí citlivosti použitého přístroje a postupu měření.
Čada, V. Přednáškové texty z geodézie: kapitola 4
Proces měření měření určité veličiny = porovnávání této měřené veličiny s jinou veličinou stejného druhu, která je zvolená za jednotku míry (etalon) - délky, úhly, výšky, času, … přenáší se buď etalon na objekt nebo objekt na etalon
proces měření pak:Měření = přenos + porovnání (odečtení) 1. 2. Etalon 3.
Každé měření v geodézii se vykonává vícekrát, nejméně dvakrát.možnost získat potřebnou kontrolu měření a určit nejspolehlivější hodnotu měřené veličiny a míru její přesnosti
Měření – proces, kdy v určitém časovém intervalu získáváme diskrétní či spojité hodnoty měřené veličiny. Každý měřičský proces se realizuje určitou metodou měření. (Tuto metodu determinuje přesnost měření, průměrně dosahovaná touto metodou). Přesnost měření se pak vyjadřuje základní střední chybou měření m či jednotkovou základní střední chybou m0. Tyto chyby jsou funkcí citlivosti použitého přístroje a postupu měření.
Jedno měření … …
… … žádné měření!!!
Čada, V. Přednáškové texty z geodézie: kapitola 4
3
Proces měření
Činitelé ovlivňující měřičský proces:• objekty měření – měřičské značky, jejich signalizační zařízení (např. jejich nestabilita, nedokonalá funkce, nevhodné tvary…)• prostředí měřičského procesu – měnící se stav fyzikálních vlastností ovzduší (teplota, tlak, index lomu …), změna stability podloží pod přístrojem ale i celým systémem, …• měřič – např. únava zraku, snížení pozornosti, …• komplexem měřičských přístrojů, zařízení a pomůcek – např. nesplnění geometrických podmínek os přístroje, nepřesné dělení stupnic k odečítání, mechanické změny, …
Některé faktory způsobují změnu ve výsledcích pouze o hodnotu, která použitým přístrojem není zaznamenatelná a ve výsledcích se tedy vůbec neprojeví. Některé faktory však způsobují velice výrazné změny ve výsledcích. Při opakovaném měření veličiny stejnou metodou za relativně shodných podmínek dostáváme odlišné výsledky měření.
Zpracováním výsledků měření se podrobně zabývá:
teorie chyb a vyrovnávací počet.Čada, V. Přednáškové texty z geodézie: kapitola 4
Opakování měření … různé výsledky???
Opakování měření stejné veličiny… dostáváme obecně různé výsledky?? Čím je to způsobeno???
• nedokonalosti našich smyslů a přístrojů• vliv prostředí• nedostatečná znalost všech okolností
nevyhnutelné měřické chyby
Zvýšení přesnosti měření:• volba vhodného přístroje• měření za vhodných vnějších podmínek• zkušený a pečlivý měřič
Pouhé snížení vlivu nevyhnutelných měřických chyb, ne jejich vyloučení !!!
4
Opakování měření … různé výsledky??? číselný výsledek měření – náhodná veličina vyrovnávacím počtem hledáme „nejspolehlivější hodnotu“ a dostáváme přesnost měření hodnoty od skutečné pravé hodnoty
ε = x - l Při opakovaném měření:
l1 = x – ε1
l2 = x – ε2
…ln = x – εn
hodnotu skutečnou x zpravidla neznáme a její odhad nahrazujeme hodnotnou vyrovnanou
= li + vi
vyrovnaná hodnota je ovšem pouze statistickým odhadem pravé (skutečné) hodnoty x
Hrubé chyby, omyly hrubé chyby:
• jsou způsobeny pospícháním při měření, měřením za nepříznivých podmínek (otřesy přístroje větrem, kroucení stativu přístroje sluncem, vibrace obrazu cílového bodu vlivem proudění vzduchu, …) • vliv na měřené hodnoty, že výrazně vybočují z řady ostatních měření
vzniká hrubá chyba omyly:
• jsou způsobeny nesprávným čtením na stupnici,• cílením na nesprávný bod,• neurovnáním a nedostředěním stroje na stanovisku,• posunem stativu během měření,• chybným zápisem naměřených hodnoty do zápisníků měření…
Proti omylům a hrubým chybám se lze bránit kontrolním měřením. Pro každý přístroj a metodu měření je stanovena přesnost měření, v mezích odvozených z této přesnosti jsou měřické chyby považovány za nevyhnutelné, mimo tyto meze za hrubou chybu nebo omyl. Podezřelá měření (odlehlá pozorování) ze souboru měření vylučujeme nebo musíme měření opakovat.
5
Náhodné a systematické chyby
nevyhnutelné chyby:• náhodné• systematické
náhodné chyby:
• při měření (stejná veličina, metoda, podmínky měření, pečlivost, …) vznikají náhodně, mají různou velikost i různá znaménka
• oscilují kolem nuly, jejich střední hodnota je nulová
systematické chyby:• při více měřeních téže veličiny zůstávají stálé, nebo sepředvídatelným způsobem mění• některé lze matematicky z měření vyloučit (volba vhodnéhopostupu, metody, …)
Chyby při měření vodorovných úhlů
přístrojové chyby• chyba alhidádové libely• úklonná chyba• kolimační chyba, ….
měřické chyby• chyba z nesprávné horizontace• chyba z nesprávné centrace stroje• chyba z nesprávné centrace signálu• chyba z nepevného postavení stroje• chyba z cílení• chyba ze čtení stupnice vnější chyby (z prostředí)
• refrakce• vibrace
Jedná se o chyby nevyhnutelné, které mohou mít charakter buď chyb systematických nebo nahodilých.
Čada, V. Přednáškové texty z geodézie: kapitola 5
6
Přístrojové chyby
chyba alhidádové libely• chyba vzniká jako důsledek nesprávné rektifikace alhidádové libely• Chyba se nedá vyloučit měřením v obou polohách dalekohledu!
úklonná chyba je způsobená nekolmostí svislé osy alhidády V k točné ose dalekohledu H.
• Úklonná chyba se odstraní měřením v obou polohách dalekohledu. • v první a druhé poloze má vliv sklonu točné osy opačná znaménka, aritmetický průměr z obou poloh dalekohledu bude tedy chyby ze sklonu točné osy dalekohledu zbaven
kolimační chyba je způsobená nekolmostí záměrné přímky Z k točné ose dalekohledu H.
• Kolimační chyba se odstraní měřením v obou polohách dalekohledu. • V první a druhé poloze má vliv kolimační chyby opačná znaménka, aritmetický průměr z obou poloh dalekohledu bude tedy kolimační chyby zbaven.
Čada, V. Přednáškové texty z geodézie: kapitola 5
Přístrojové chyby
chyba z excentricity alhidády – pokud osa alhidády neprochází přesně středem limbu.
• Aritmetickým průměrem z odečtení dvou diametrálně postavených odečítacích pomůcek se vliv chyby z excentricity alhidády vyloučí.
nediametrální poloha čtecích zařízení – nejsou-li odečítací indexy přesně diametrálně.
• Chyby v první a druhé poloze mají opačná znaménka, a proto je lze vyloučit měřením ve dvou polohách dalekohledu.
chyba z excentricity záměrné roviny Z – není-li dalekohled umístěn centricky, neprochází záměrná rovina osou alhidády
• průměr z obou čtení bude tedy zbaven vlivu chyby z excentricity záměrné roviny• Při stejně dlouhých záměrách se vliv chyby z excentricity záměrné roviny na měřený úhel v jedné poloze neprojeví. Se zvětšujícím se rozdílem v délkách stran se zvětšuje také vliv chyby.
Čada, V. Přednáškové texty z geodézie: kapitola 5
7
Přístrojové chyby chyba z nestejnoměrného dělení kruhu
• Dnešní přístroje mají limby velmi přesně dělené, neboť se zhotovují automaticky, avšak žádný stroj není dokonalý. • Vliv chyby způsobené nestejnoměrným dělením kruhu se snižuje opakovaným měřením a čtením vždy na jiném místě kruhu.
chyba ze sklonu roviny limbu• U novějších přístrojů se již s touto chybou prakticky nesetkáme. • U starších přístrojů se může vyskytnout případ, že se při výrobě nepodaří vyhovět požadavku kolmosti limbové roviny ke svislé ose alhidády. Avšak i v tomto případě je vliv chyby nepatrný a tudíž zanedbatelný.
runová chyba• Vzniká tím, že délka stupnice pro jemné čtení neodpovídá délce jí odpovídajícího intervalu limbu (vlivem nesprávného zvětšení čtecího mikroskopu). U moderních optických teodolitů je již tato chyba zanedbatelná.
Čada, V. Přednáškové texty z geodézie: kapitola 5
Chyby prostředí (vnější chyby) chyba z refrakce
• Paprsky se šíří přímočaře pouze ve vakuu, v atmosféře dochází při průchodu paprsku různě hustými vzduchovými vrstvami k lomu světla, tzv. refrakci.
• horizontální (je menší, projevuje se při měření vodorovných směrů) a vertikální (je značná, projevuje se při měření svislých úhlů) refrakce
• Refrakční chyba σ má složku systematickou c a složku proměnlivou γ.
• Refrakci nelze z měření zcela nevyloučit! chyba z vibrace
• Vibrace způsobuje chvění cílové značky
• Je způsobená prouděním vzduchu (teplejší přízemní vrstvy vzduchu jsou lehčí než nad nimi ležící vrstvy studenějšího vzduchu, vzniká stálé stoupání teplých vrstev – vlnění, vibrace. Závisí na vlhkosti půdy a úpravě povrchu terénu (asfalt).
• Vibrace není nebezpečná, protože je viditelná. Pokud je vlnění silné a stěžuje cílení, přestaneme měřit. Čada, V. Přednáškové texty z geodézie: kapitola 5
8
Rozbor přesnosti měřených vod. směrů
Základní charakteristikou přesnosti měření vodorovných směrů a vodorovných úhlů je střední chyba m, která vznikne spolupůsobením všech chyb přístrojových, měřických a vnějších.
• mi – souhrnná střední chyba všech přístrojových chyb• mω - střední chyba vlastního měření• ms – střední chyba v centraci signálu• mt – střední chyba v centraci teodolitu
Střední chyba vlastního měření mω zahrnuje chybu z cílení mc a chybu ve čtení stupnice mo. Střední chyby v centraci nelze uvést průměrnou hodnotou, neboť jejich velikost a vliv závisí nejen na použitém způsobu centrace, ale také na vzdálenosti cíle, musíme je tedy uvažovat zvlášť.
Čada, V. Přednáškové texty z geodézie: kapitola 5
Rozbor přesnosti vod. úhlů
Střední chyba úhlu měřeného v jedné poloze dalekohledu• Úhel je roven rozdílu dvou směrů ω = ψ2 - ψ1 , a tedy střední chyba
Střední chyba směru měřeného v jedné poloze
dalekohledu
Střední chyba úhlu měřeného v obou polohách dalekohledu, (v s skupinách)
Čada, V. Přednáškové texty z geodézie: kapitola 5
9
Měření svislých úhlů
přístrojové chyby • úklonná chyba• kolimační chyba• chyba alhidádové libely• indexová chyba, …
měřické chyby • chyba z nesprávné horizontace• chyba z nesprávného dostředění přístroje• chyba v cílení a odečtení• chyba z urovnání indexové libely
vnější chyby (z prostředí) • chyba z refrakce• chyba z vibrace
Jedná se opět o chyby nevyhnutelné, které mohou mít charakter buď chyb systematických nebo nahodilých.
Abychom mohli vliv těchto chyb na výsledek měření vyloučit, nebo alespoň omezit na nejmenší míru (měřickou metodou, popř. výpočtem), je třeba znát příčinu jejich vzniku i vliv na výsledek měření.
Čada, V. Přednáškové texty z geodézie: kapitola 5
Indexová chyba značení „ i “ vznikne pokud odečítací indexy neleží v základním směru, tj. pokud spojnice odečítacích indexů není rovnoběžná se záměrnou přímkou dalekohledu nebo s osou indexové libely (popř. kompenzátoru). vztahy pro určení i jsou závislé na typu a směru číslování vertikálního kruhu.
Indexovou chybu můžeme eliminovat měřením v obou
polohách dalekohledu.Čada, V. Přednáškové texty z geodézie: kapitola 5
10
Rozbor přesnosti měřených svislých úhlů Vliv přístrojových chyb na měřený svislý úhel je velice nebezpečný. Je třeba měřit přístrojem, který je řádně rektifikován a přezkoušen. Zbytkové chyby po rektifikaci již mají na svislý úhel pouze zanedbatelný vliv. Pečlivým měřením se také vyloučí chyby z nesprávného postavení přístroje. Zbylé chyby (chyba v cílení, odečtení a urovnání indexové libely) jsou nahodilé a na sobě nezávislé. Střední chyba v měřeném svislém úhlu m se vypočte podle vztahu:
• mc je střední chyba v cílení• mo je střední chyba v odečtení• mi je střední chyba v urovnání indexové libely.
Pokud se svislý úhel měří v obou polohách dalekohledu je:
Čada, V. Přednáškové texty z geodézie: kapitola 5
Chyby při měření délek pásmem chyby systematické
• chyba z nesprávné délky pásma• chyba ze změny délky pásma vlivem teploty• chyba z průhybu pásma• chyba z protažení pásma• chyba z nevodorovné polohy pásma• chyba z vybočení pásma ze směru• chyba z určení sklonu nebo převýšení pásma
chyby náhodné• chyba z provážení konce pásma• chyba z vyznačení kladu pásma• chyba z přiřazování pásma• chyba ze čtení
chyby hrubé• chyba ze čtení• chyba z provážení• chyba ze špatného přiřazení počátku• chyba ze špatného počtu kladů• chyba z překroucení pásma
Nejnebezpečnější jsou chyby systematické (měření se neustále opakuje). Jejich vliv je třeba z měření vyloučit nebo alespoň jejich vliv snížit a to buď matematickou opravou nebo metodou měření. O velikosti náhodných chyb rozhoduje pečlivost prováděných úkonů a znalost zdrojů těchto chyb.
Čada, V. Přednáškové texty z geodézie: kapitola 6
11
Rozbor přesnosti měřených délek pásmem
Celková střední chyba měřené délky m: • vliv systematických chyb
• vliv náhodných chyb „ v „ Měření n-krát opakujeme, neboť střední chyba se zmenšuje s dmocninou z počtu měření n:
Velikost rozdílu d nesmí překročit tzv. mezní odchylku.
V praxi se často délky měří jen dvakrát, tím získáme tzv. měřickou dvojici.
střední rozdíl souboru měřických dvojic:
střední chyba mi jednoho měření:
Čada, V. Přednáškové texty z geodézie: kapitola 6
Zdroje chyb při nivelaci
hrubé chyby
• je nutné se jich vyvarovat (zvýšení pečlivosti a soustředěnosti skupiny měřičů)• nejčastěji se vyskytující hrubé chyby: záměna směru číslování laťové stupnice, opomenutí urovnání nivelační libely u libelových nivelačních přístrojů nebo krabicové libely u kompenzátorových nivelačních přístrojů, záměna výstupku na podložce, posun podložky, obrácená lať či odečítání podle dálkoměrné rysky.
nevyhnutelné chyby
• nevyhnutelné chyby mohou mít charakter buď chyb systematických nebo nahodilých• vliv těchto chyb je třeba z měření vyloučit nebo alespoň omezit ne nejmenší míru
Čada, V. Přednáškové texty z geodézie: kapitola 11
12
Zdroje chyb při nivelaci
nevyhnutelné chyby
• chyby systematickéze zakřivení horizontu (geometrická nivelace ze středu – vyloučení)
ze sklonu záměrné přímky (L – geom. niv., K – jenom zmenšit)
ze svislé složky refrakce (geometrická nivelace ze středu, vhodné podmínky, minimální výška nad terénem, …)
z nesprávné hodnoty délky laťového úseku (laboratorní komparace latí)
z nesvislé polohy latě (důsledné urovnávání latí, kývání latí)
• nahodilé chybyz nepřesného urovnání nivelační libelyze změny výšky přístroje a latěze čtení laťové stupnice (vhodná volba délky záměry, technologie a observačních podmínek)
z nestejnoměrného dělení laťové stupnice a nekolmostiz přeostření dalekohledu (vyskytuje se při nepřesném rozměření sestav a při záměrách v blízkosti terénu v nevhodných observačních podmínkách )
Čada, V. Přednáškové texty z geodézie: kapitola 11
Metody vyrovnání sítí
Při měření geodetických veličin se mohou vyskytnout dva druhy chyb:• chyby hrubé,• chyby nevyhnutelné.
Hrubé chyby je nutné z měření vyloučit. K tomu nám slouží opakování měření. Chyby nevyhnutelné se vyskytují při každém měření. Dále se dělí na chyby nahodilé a chyby systematické.
Chyby systematické zatěžují měření stále stejnou hodnotou jistého znaménka. Jejich vliv se proto snažíme co nejvíce potlačit zvolenou metodou měření nebo vhodným matematickým postupem.
Chyby nahodilé se řídí zákonitostmi náhodného jevu (předpokládáme velký soubor měření):
• Je pravděpodobnější, že se vyskytne malá chyba než chyba velká.• Pravděpodobnost výskytu kladné i záporné chyby stejné absolutní velikosti je stejná.• Chyby překračující určitou mez se nevyskytují.
Čada, V. Přednáškové texty z geodézie: kapitola 7
13
Metody vyrovnání sítí
Plocha mezi křivkou a osou velikosti chyb se nazývá Gaussův klobouk. Pravděpodobnost, že se chyba vyskytne na ploše Gaussova klobouku je rovna 1.
Čada, V. Přednáškové texty z geodézie: kapitola 7
Metody vyrovnání sítí
Abychom určili nejpravděpodobnější hodnotu z hodnot naměřených (liší se v důsledku nahodilých chyb), provádíme měření v nadbytečném počtu, což nám následně umožňuje naměřené hodnoty vyrovnat. Při vyrovnání zohledňujeme podmínku metody nejmenších čtverců (MNČ):
Pokud měření nebyla provedena se stejnou přesností, zavádíme pro každé měření tzv. váhu měření (číslo, které charakterizuje přesnost naměřené hodnoty. Tato hodnota je subjektivní – určuje ji měřič – a leží obvykle v intervalu <0,1>. Platí: čím je měření přesnější, tím je váha větší.) Potom podmínka MNČ má tvar
Pro jednoduchost lze používat maticový zápis:
Čada, V. Přednáškové texty z geodézie: kapitola 7
14
Metody vyrovnání sítí
rozeznáváme vyrovnání trojího druhu (podle způsobu měření):• vyrovnání měření přímých.• vyrovnání měření podmínkových.• vyrovnání měření zprostředkujících.
zavedení symbolů:• li naměřená hodnota• vi oprava naměřené hodnoty• Īi naměřená hodnota opravená o opravu• pi váha naměřené hodnoty• i= 1,.., n index měření (n je počet měření)
Platí:
Čada, V. Přednáškové texty z geodézie: kapitola 7
Vyrovnání měření přímých nejjednodušší typ vyrovnání užijeme, pokud máme změřenu jedinou veličinu nezávisle vícekrát veličina může být měřena buď ve všech případech se stejnou přesností (matice vah P je jednotková) nebo s různou přesností při jednotlivých měřeních (např. použijí se různě přesné přístroje, měří různí měřiči, atd.).
Máme naměřeny hodnoty l1,.., ln . Ke každému měření přísluší váha pi. Nejpravděpodobnější hodnota je vážený aritmetický průměr.
Střední chyba jednoho měření Opravy získáme ze vztahu
Čada, V. Přednáškové texty z geodézie: kapitola 7
15
Vyrovnání měření podmínkových
Mezi naměřenými veličinami platí určité podmínky. Tyto podmínky musí být navzájem nezávislé. Působením nahodilých chyb však naměřené veličiny nesplňují přesně dané podmínky, proto musíme provést jejich vyrovnání, tak aby výsledné veličiny opravené o opravy zjištěné v průběhu vyrovnání již tyto podmínky splňovaly.
Způsoby stanovení podmínek Podmínky vyjadřujeme prostřednictvím podmínkových rovnic. Jejich počet je roven počtu nadbytečných měření
nadbytečná měření = všechna měření – nutná měření
základní typy podmínkových rovnic:• trojúhelníkové,• stranové,• závěrové,• základnové.
Postup Čada, V. Přednáškové texty z geodézie: kapitola 7
Vyrovnání měření zprostředkujících
Při tomto druhu měření měříme veličiny (zprostředkující), které jsou ve funkčním vztahu s veličinami, jež chceme zjistit.
Máme změřeny veličiny l1, ..., ln. . Ke každému měření přísluší váha pi. Nejprve najdeme funkční vztahy mezi naměřenými veličinami a hledanými neznámými. Tím získáme zprostředkující rovnice.
Postup Čada, V. Přednáškové texty z geodézie: kapitola 7
16
Prameny a literatura
Čada Václav. Přednáškové texty z geodézie: kapitoly 4, 5, 6, 7, 11http://www.gis.zcu.cz/studium/gen1/html/index.html
Děkuji za pozornost …
Dotazy …
ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNIFakulta aplikovaných věd - KMAoddělení geomatiky
Ing. Martina Vichrová, Ph.D.
