Obsah - home.zcu.czhome.zcu.cz/~teska/m1e/skripta1.pdf · KMA/ZM1 P redn a sky RNDr. Blanka Sediva,...

KMA/ZM1 PrednaskyRNDr. Blanka Sediva, PhD.Katedra matematiky FAV

Zapadoceska univerzita v Plzni

[email protected]

Obsah

0.1 Matematicke objekty, matematicke definice, matematicke vety . . . . . . . . . . . . . . 4

1 Mnozina a operace s mnozinami 51.1 Definice zakladnıch mnozinovych pojmu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Cıselne mnoziny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Intervaly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Operace s mnozinami, Vennovy diagramy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5 Omezenost mnozin, maximum a minimum mnoziny, supremum a infimum mnoziny . . . 91.6 Prehled pouzıvanych symbolu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Posloupnosti realnych cısel 142.1 Definice posloupnosti, zadavanı posloupnosti, graf posloupnosti, operace s posloupnostmi 142.2 Operace s posloupnostmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3 Vlastnosti posloupnostı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4 Konvergence posloupnosti, definice limity posloupnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.5 Algebra limit posloupnostı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.6 Prıklady limit posloupnostı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Nekonecne rady realnych cısel 213.1 Zakladnı vlastnosti cıselnych rad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2 Prıklady cıselnych rad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3 Konvergence cıselnych rad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4 Zakladnı vlastnosti funkcı 264.1 Realna funkce f realne promenne x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.2 Operace s funkcemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.3 Vlastnosti funkcı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.4 Prosta funkce a inverznı funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.5 Zakladnı typy funkcı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.5.1 Linearnı funkce f : y = a0 + a1 x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.5.2 Kvadraticka funkce f : y = a0 + a1 x+ a2 x

2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.5.3 Polynomicke funkce x3, x4, x5, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.5.4 Linearnı lomene funkce f : y =a0 + a1 x

b0 + b1 x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.5.5 Exponencialnı funkce f : y = ax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1

4.5.6 Logaritmicke funkce f : y = logz(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.5.7 Funkce s absolutnı hodnotou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5 Polynomy 425.1 Delenı polynomu polynomem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.1.1 Hornerovo schema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.2 Odhady korenu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.2.1 Racionalnı koreny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.2.2 Odhad poctu realnych korenu a jejich polohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.3 Numericke metody odhadu realnych korenu polynomu P (x) . . . . . . . . . . . . . . . 495.4 Rozklad lomene racionalnı funkce na parcialnı zlomky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6 Vektory a vektorovy prostor 536.1 Vektorovy prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.2 Volny a vazany vektor, podprostor vektoroveho prostoru . . . . . . . . . . . . . . . . . 556.3 Baze vektoroveho prostoru a souradnice vektoroveho prostoru vzhledem k bazi . . . . . 566.4 Skalarnı soucin vektoru a norma vektoru, vektorovy soucin v R3 . . . . . . . . . . . . . 59

7 Matice - zakladnı pojmy a definice 617.1 Operace s maticemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627.2 Determinant maticemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657.3 Inverznı matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707.4 Vypocet inverznı matice pomocı Jordanovy eliminace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

8 Soustava linearnıch rovnic 738.1 Graficke resenı soustavy dvou linearnıch rovnic o dvou neznamych . . . . . . . . . . . . 748.2 Elementarnı upravy matic a hodnost matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 758.3 Resenı soustav linearnıch rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

8.3.1 Graficky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768.3.2 Substitucnı metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768.3.3 Gaussovou eliminacnı metodou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768.3.4 Cramerovym pravidlem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 778.3.5 Nalezenım inverznı matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

8.4 Homogennı a nehomogennı soustavy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

9 Analyticka geometrie 839.1 Analyticka geometrie v rovine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

9.1.1 Smernicova, usekova, obecna a vektorova rovnice prımky . . . . . . . . . . . . . 839.1.2 Odchylka dvou prımek a vzdalenost bodu od prımky . . . . . . . . . . . . . . . 859.1.3 Vzajemna poloha dvou prımek v rovine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 869.1.4 Transformace kartezskych souradnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

9.2 Analyticka geometrie v prostoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 889.2.1 Obecna, usekova a parametricka rovnice roviny . . . . . . . . . . . . . . . . . . 889.2.2 Odchylka dvou rovin, vzdalenost bodu od roviny, poloha dvou rovin . . . . . . . 89

2

9.2.3 Prımka v prostoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

10 Limita funkce v bode x0 ∈ R ∪ {−∞; +∞} 9110.1 Definice limity funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9110.2 Vlastnosti limit funkcı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9710.3 Nektere limity vybranych funkcı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9810.4 Neurcite vyrazy - specialnı typy limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

11 Spojitost realne funkce realne promenne 10011.1 Spojitost v bode x0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10011.2 Body nespojitosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10111.3 Spojitost funkce v uzavrenem intervalu I = 〈a; b〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

12 Derivace realne funkce realne promenne 10312.1 Definice diferencnıho podılu a derivace a jejich geometricka interpretace . . . . . . . . . 10312.2 Pravidla pro derivovanı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10512.3 Prehled derivacı elementarnıch funkcı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

13 Vyuzitı derivace 10813.1 Stacionarnı body a vztah k lokalnım maximum a minimum . . . . . . . . . . . . . . . . 10813.2 Vety o strednı hodnote - nabyvanı hodnot na uzavrenem intervalu . . . . . . . . . . . . 11013.3 Vyuzitı derivacı pro vypocet limit - l´Hospitalovo pravidlo . . . . . . . . . . . . . . . . 11113.4 Vyuzitı derivacı pro urcovanı rovnice tecen a rovnice normaly . . . . . . . . . . . . . . 11213.5 Vyuzitı derivacı pro aproximaci funkce polynomem - Tayloruv polynom . . . . . . . . . 113

14 Vysetrovanı prubehu funkce 11514.1 Zakladnı pojmy dulezite pro prubeh realne funkce f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11514.2 Postup pri vysetrovanı prubehu funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

3

KMA/ZM1 (Blanka Sediva): 4

0.1 Matematicke objekty, matematicke definice, matematicke vety

Mezi zakladnı pojmy, se kterymi se budeme casto potkavat jsou:

Definice pojmu je charakteristika nejakeho matematickeho jevu, charakteristika (vymezenı pojmu)musı byt jednoznacna tak, abychom mohli rozhodnout, zda nejaky matematicky objekt definicivyhovuje nebo ne. Obvykle v definici vyjmenujeme vlastnosti, ktere matematicky objekt musımıt, abychom ho mohly oznacovat prıslusnym pojmem.

Veta (matematicka veta) je tvrzenı, ktere muzeme pomocı drıve zavedenych definic a jednoduchychlogickych uvah povazovat za platne. Kazda veta ma svoje predpoklady a dale vlastnı tvrzenı. Zhlediska logiky ma tedy charakter:

Kdyz jsou splneny predpoklady . . . , pak platı . . . .

Jednoduche (snadno dokazatelne) vety se casto nazyvajı tvrzenı nebo lemma.

Vety, ktere jsou zalozeny na zakladnıch (intuitivnıch) matematickych pojmech, ktere nelzedokazat, nazyvame axiomy.

Dukaz je logicky postup, pomocı ktereho overujeme platnost matematicke vety.

Pri dukazech se opırame o principy vyrokove logiky, zalozene na pojmu vyrok (cokoliv o cem ma smysluvazovat, zda je pravda nebo nenı pravda). V matematice pouzıvame logiku vyuzıvajıcı pouze dvastavy: vyrok ma smysl (pravdivy vyrok) nebo vyrok nema smysl (nepravdivy vyrok).Pro slozene vyroky budeme pouzıvat nasledujıcı oznacenı

a zaroven znacıme V1 ∧ V2 a slovne interpretujeme”platı vyrok V1 a zaroven vyrok V2“

nebo znacıme V1 ∨ V2 a slovne interpretujeme”platı vyrok V1 nebo vyrok V2 nebo platı oba vyroky,

tj. platı alespon jeden z vyroku“

implikace znacıme V1 ⇒ V2 a slovne interpretujeme”kdyz platı vyrok V1 pak platı vyrok V2“,

POZOR pokud vyrok V1 neplatı mohou pro vyrok V2 nastat obe situace, tedy muze platit anemusı

ekvivalence znacıme V1 ⇔ V2 a slovne interpretujeme”vyrok V1 platı prave tehdy, kdyz platı vyrok

V2“

negace znacıme V1 nebo nonV1 a slovne interpretujeme”nenı pravda, ze V1“, hodnota vyrazu V1

nabyva opacnych hodnot nez je hodnota vyrazu V1

Poznamka: Matematicke vety majı charakter implikacı nebo ekvivalencı. Casto pri dukazech vyuzıvametoho, ze platı

V1 ⇒ V2 ⇔ nonV2 ⇒ nonV1

4 10. zarı 2010

KMA/ZM1 (Blanka Sediva): 1 Mnozina a operace s mnozinami 5

1 Mnozina a operace s mnozinami

1.1 Definice zakladnıch mnozinovych pojmu

Zavedenı pojmu mnozina je velice slozite, my budeme pod pojmem mnozina chapat souhrn matem-atickych objektu, ktere majı spolecnou vlastnost a dokazeme tyto objekty tedy vymezit. Je nezbytnenutne, abychom VZDY dokazali rozhodnout, zda matematicky objekt je prvkem mnoziny nebo nenıprvkem mnoziny.Pouzıvame znacenı

• objekt x je prvkem mnoziny M (objekt x nalezı do mnoziny M): x ∈M

• objekt x nenı prvkem mnoziny M (objekt x nenalezı do mnoziny M): x /∈M

• kazdy prvek x mnoziny M (vsechny prvky x z mnoziny M): ∀x ∈M

• existuje (alespon jeden) prvek x mnoziny M : ∃x ∈M

• existuje prave jeden prvek x mnoziny M : ∃!x ∈M

Mnozinu vymezujeme dvemi zakladnımi zpusoby:

1. vyctem vsech prvku {x1, x2, . . . , xn}

2. stanovenım charakteristickych vlastnostı {x : V (x)}, kde V (x) je vlastnost prvku, napr. x jesude cıslo.

Pokud nad prvky mnoziny zavedeme algebraicke operaci (scıtanı, odcıtanı, nasobenı a podobne) sprvky mluvıme obvykle o algebre. Modernı algebra studuje vlastnosti ruznych mnozin co nejobecneji,aby bylo mozno dosazene zavery pouzıt na co nejvıce konkretnıch prıpadu.

1.2 Cıselne mnoziny

Specialnım typem mnoziny jsou cıselne mnoziny, kdy prvky nazyvame cıslem. Pojem cısla patrı kjednomu ze zakladnıch pojmu matematiky, postupne v ramci historickeho vyvoje byl tento pojemstale rozsirovan a kazde dıte zopakuje pri seznamovanı s cısly tento historicky vyvoj.

Prirozena cısla znacıme N = {1, 2, 3, . . . }

Prirozena cısla rozsırena o nulu znacıme N0 = {0, 1, 2, 3, . . . }

Cela cısla znacıme Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . . }

Racionalnı cısla znacıme Q =

{p

q: p, q ∈ Z, nesoudelna, q 6= 0

}Realna cısla znacıme R (definici neuvadıme nikoliv proto, ze neexistuje, ale protoze je tak slozita,

ze to presahuje jednu prednasku)

5 10. zarı 2010


Iracionalnı cısla {x ∈ R : x nenı racionalnı}

Komplexnı cısla znacıme C = {[x, y] : x, y ∈ R, usporadana dvojice realnych cısel}

PlatıN ( Z ( Q ( R

Budeme predpokladat, ze pro vyse uvedene cıselne mnoziny zname zakladnı operace (je dobre sirozmyslet, ktere algebraicke operace nam

”zachovavajı mnozinu“, tj. pri kterych operacıch dostaneme

cıslo opet ze stejne mnoziny :

rovnost-nerovnost umıme rozhodnout, ktere dve cısla jsou stejna

usporadanı pro dve cısla umıme rozhodnout, ktere cıslo je mensı <, ev. vetsı >, prıpadne mensınebo rovno ≤ nebo vetsı nebo rovno geq

scıtanı pro dve cısla umıme najıt a+ b

nasobenı pro dve cısla umıme najıt a · b

odcıtanı pro dve cısla umıme najıt a− b

delenı pro dve cısla umıme najıt a/b

Rozmyslete si, ve kterych cıselnych mnozinach platı nasledujıcı tvrzenı:

komutativnı zakon tj. a+ b = b+ a, resp. a · b = b · a

asociativnı zakon tj. (a+ b) + c = a+ (b+ c), resp. (a · b) · c = a · (b · c)

existence nuloveho prvku 0 tj. existence prvku, pro ktery platı a+ 0 = 0 + a = a

existence opacneho prvku k prvku a tj. existence prvku −a, pro ktery platı a+ (−a) = 0

existence jednotkoveho prvku 1 tj. existence prvku, pro ktery platı a · 1 = 1 · a = a

existence inverznıho prvku k prvku a tj. existence prvku a−1, pro ktery platı a · a−1 = 1

distributivnı zakon tj. (a+ b) · c = a · c+ b · c

tranzitivnost rovnosti tj. a = b a zaroven b = c, pak a = c

tranzitivnost nerovnosti tj. pokud a < b a zaroven b < c, pak a < c

6 10. zarı 2010


1.3 Intervaly

Pro jednoduchost zavedeme nasledujıcı pojmy a oznacenı pro specialnı podmnoziny realnych cıselOmezene intervaly

uzavreny interval 〈a; b〉 je mnozina {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} • •a b

polouzavreny interval (a; b〉 je mnozina {x ∈ R : a < x ≤ b} ◦ •a b

polouzavreny interval 〈a; b) je mnozina {x ∈ R : a ≤ x < b} • ◦a b

otevreny interval (a; b) je mnozina {x ∈ R : a < x < b} ◦ ◦a b

Neomezene intervaly

〈a; +∞) je mnozina {x ∈ R : x ≥ a} •a

(a; +∞) je mnozina {x ∈ R : x > a} ◦a

(−∞; a〉 je mnozina {x ∈ R : x ≤ a} •a

(−∞; a) je mnozina {x ∈ R : x < a} ◦a

(−∞; +∞) je mnozina x ∈ R

1.4 Operace s mnozinami, Vennovy diagramy

Mnozina je tedy matematicky objekt, se kterym muzeme ruzne mnozinove operace a zajımat se ovztahy mezi ruznymi mnozinami.My budeme potrebovat nasledujıcı mnozinove operace:

inkluse znacıme A ⊂ B a slovne interpretujeme mnozina A je podmnozinou mnoziny B, platı vyrokx ∈ A⇒ x ∈ B

mnozinova rovnost (identita) znacıme A ≡ B a slovne interpretujeme mnozina A je ekvivalentnıs mnozinou B, platı vyrok x ∈ A⇔ x ∈ B

sjednocenı znacıme A ∪B a slovne interpretujeme sjednocenı mnozin A a B, platı

A ∪B ≡ {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}

tez pouzıvame symbolyn⋃i=1

Ai pro sjednocenı konecneho poctu mnozin,∞⋃i=1

Ai pro sjednocenı

nekonecneho poctu mnozin a⋃i∈I

Ai pro sjednocenı mnozin z indexove mnoziny I

7 10. zarı 2010


prunik znacıme A ∩B a slovne interpretujeme prunik mnozin A a B, platı

A ∩B ≡ {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}

tez pouzıvame symbolyn⋂i=1

Ai pro prunik konecneho poctu mnozin,∞⋂i=1

Ai pro prunik nekonecneho

poctu mnozin a⋂i∈I

Ai pro prunik mnozin z indexove mnoziny I

rozdıl znacıme A\B a slovne interpretujeme rozdıl mnozin A a B,resp. doplnek mnoziny B v mnozineA platı

A \B ≡ {x : x ∈ A ∧ x /∈ B}

kartezsky soucin znacıme A×B a slovne interpretujeme kartezsky soucin mnozin A a B (ZALEZINA PORADI) platı

A×B ≡ {[x; y] : x ∈ A ∧ y ∈ B}

Uzitecne je graficke znazornovanı mnozinovych vztahu a operacı pomocı tzv. Vennovych diagramu,kdy mnoziny znazornujeme pomocı obrazku.

• Mnozina B je podmnozina mnoziny B

• Sjednocenı mnozin A ∪B

8 10. zarı 2010


• Prunik mnozin A ∩B

Vztahy mezi dvemi a vıce mnozinami se zabyva matematicka analyza. Zakladnım pojmem je v tetomatematicke oblasti pojem zobrazenı mnoziny A do mnoziny B.Specialnım prıpadem jednoznacneho zobrazenı z mnoziny realnych cısel do mnoziny realnych jsourealne funkce realnych promennych.

1.5 Omezenost mnozin, maximum a minimum mnoziny, supremum a in-fimum mnoziny

V teto kapitole se budeme zabyvat pouze podmnozinami mnoziny R. Pod pojmem mnozina M tedyv nasledujıcım textu chapeme M ⊂ R. Mohli bychom pracovat i v obecnejsıch mnozinach, ale potre-bujeme predevsım tyto dve zakladnı vlastnosti realnych cısel.Na realnych cıslech mame definovanou relaci usporadanı, tj. pro dve ruzna realna cısla a, b ∈ R nastanevzdy prave jedna z moznostı a < b nebo b < a.V realnych cıslech platı Cantoruv axiom spojitosti. Pro kazde dve ruzna realna cısla a, b ∈ R, a < b,existuje realne cıslo c tak, ze platı a < c < b.

Definice 1.1 Mnozina M se nazyva shora omezena mnozina, pokud existuje realne cıslo a ∈ Rtak, ze

∀x ∈M ⇒ x < a.

(pro kazde cıslo x z mnoziny M platı, ze x je mensı nez cıslo a)

Definice rıka, ze musı existovat cıslo a ∈ R, takovych cısel muze ale existovat i vıce.

Definice 1.2 Mnozina M se nazyva zdola omezena mnozina, pokud existuje realne cıslo b ∈ Rtak, ze

∀x ∈M ⇒ b < x.

(pro kazde cıslo x z mnoziny M platı, ze x je vetsı nez cıslo b)

Definice 1.3 Mnozina M se nazyva omezena mnozina, pokud je omezena shora a zaroven jeomezena zdola.

9 10. zarı 2010


Definice 1.4 Cıslo a ∈ R se nazyva supremem mnoziny M , pokud

1. ∀x ∈M ⇒ x < a nebo x = a (zkracene x ≤ a)

2. cıslo a je nejmensı cıslo splnujıcı podmınku (1.)

Supremum mnoziny M znacıme supM, supremum mnoziny je cıslo, ktere muze, ale nemusı lezet vmnozine M. Supremum mnoziny je vzdy urceno jednoznacne, tj. neexistujı dve suprema.

Definice 1.5 Cıslo b ∈ R se nazyva infimem mnoziny M , pokud

1. ∀x ∈M ⇒ x > a nebo x = a (zkracene x ≥ a)

2. cıslo a je nejvetsı cıslo splnujıcı podmınku (1.)

Infimum mnoziny M znacıme inf M, infimum mnoziny je cıslo, ktere muze, ale nemusı lezet v mnozineM. Infimum mnoziny je urceno jednoznacne.

Definice 1.6 Cıslo a ∈M se nazyva maximem mnoziny M , pokud ∀x ∈M ⇒ x ≤ aMaximum mnoziny M znacıme maxM, maximum mnoziny je vzdy prvkem mnoziny M. Maximummnoziny je urceno jednoznacne.

Definice 1.7 Cıslo b ∈M se nazyva minimem mnoziny M , pokud ∀x ∈M ⇒ x ≥ bMaximum mnoziny M znacıme minM, maximum mnoziny je vzdy prvkem mnoziny M. Minimummnoziny je urceno jednoznacne.

Veta 1.1 Necht’ M ⊂ R je podmnozina realnych cısel, pak platı nasledujıcı tvrzenı:

• Jestlize mnozina M je shora omezena, pak mnozina M ma supremum.

• Jestlize mnozina M je zdola omezena, pak mnozina M ma infimum.

• Jestlize mnozina M ma maximalnı prvkem, pak mnozina M ma supremum a maxM = supM .

• Jestlize mnozina M ma minimalnı prvkem, pak mnozina M ma infimum a minM = inf M .

• Jestlize mnozina M ma konecny pocet prvku, pak mnozina M je omezena (shora i zdola) a mamaximum i minimum a supremum i infimum.

Prıklady:

• Pro uzavreny interval 〈−1; 100〉 platı

– mnozina je omezena shora, cıslo a z definice je naprıklad cıslo 101 nebo cıslo 100.00001

– mnozina je omezena zdola

– mnozina ma maximum a minimum maxM = 100 a minM = −1

– mnozina ma supremum a infimum supM = 100 a inf M = −1

10 10. zarı 2010


• Pro otevreny interval (−1; 100) platı

– mnozina je omezena shora, cıslo a z definice je naprıklad cıslo 101 nebo cıslo 100.00001


– mnozina nema maximum a nema minimum maxM = @ a minM = @– mnozina ma supremum a infimum supM = 100 a inf M = −1

• Pro interval (−1; +∞) platı

– mnozina nenı omezena shora


– mnozina nema maximum a nema minimum maxM = @ a minM = @– mnozina nema supremum ale ma infimum supM = @ a inf M = −1

• Pro mnozinu M =

{1

n: n ∈ N

}=

{1;

1

2;1

3;1

4; . . .

}platı

– mnozina je omezena shora, naprıklad cıslem 2

– mnozina je omezena zdola, naprıklad cıslem 0

– mnozina ma maximum ale nema minimum maxM = 1 a minM = @– mnozina ma supremum a ma infimum supM = 1 a inf M = 0

• Pro mnozinu M ={n2 : n ∈ N

}= {1; 4; 9; 16; . . . } platı

– mnozina nenı omezena shora

– mnozina je omezena zdola, naprıklad cıslem 0

– mnozina nema maximum ale ma minimum maxM = @ a minM = 1

– mnozina nema supremum ale ma infimum supM = @ a inf M = 1

• mnozina M muze byt zobrazena tez graficky

mnozina M - silne vyznacena cast

•a

◦b

a = inf M = minM b = supM

11 10. zarı 2010


12 10. zarı 2010


1.6 Prehled pouzıvanych symbolu

V1 ⇒ V2 jestlize platı V1, pak platı V2

V1 ; V2 obecne neplatı tato implikace

V1 ⇔ V2 V1 platı prave tehdy, kdyz platı V2

V1 ∧ V2 platı vyrok V1 a zaroven platı vyrok V2

V1 ∨ V2 platı vyrok V1 nebo platı vyrok V2 (nebo platı oba vyroky)

V1 negace (opak) vyroku V1

M = {x : V (x)} mnozina M zadana pomocı vyroku V

x ∈M objekt x je prvkem mnoziny M

x /∈M objekt x nenı prvkem mnoziny M

∀x ∈M pro kazdy prvek mnoziny M

∃x ∈M existuje prvek mnoziny M

∃!x ∈M existuje prave jeden prvek mnoziny M

@ neexistuje

A ∪B sjednocenı mnozin A a B⋃Ai sjednocenı vıce mnozin Ai

A ∩B prunik mnozin A a B⋂Ai prunik vıce mnozin Ai

A ⊂ B mnozina A je podmnozina mnoziny B

A ⊆ B mnozina A je podmnozina mnoziny B (mnoziny mohou byt ekvivalentnı)

A ( B mnozina A je podmnozina mnoziny B (mnoziny nejsou ekvivalentnı)

N mnozina vsech prirozenych cısel

N0 mnozina vsech prirozenych cısel rozsırena o prvek 0

Z mnozina vsech celych cısel

Q mnozina vsech racionalnıch cısel

R mnozina vsech realnych cısel

R+ (R−) mnozina vsech kladnych (zapornych) realnych cısel

R+0 (R−0 ) mnozina vsech nezapornych (nekladnych) realnych cısel

a = b cıslo a je rovno cıslu b

a 6= b cıslo a nenı rovno cıslu b

a.= b cıslo a je po zaokrouhlenı rovno cıslu b

a ≈ b cıslo a je priblizne rovno cıslu b

a� b cıslo a je mnohem (radove) mensı nez cıslo b

maxM (minM) maximum (minimum) mnoziny M

supM (inf M) supremum (infimum) mnoziny M13 10. zarı 2010

KMA/ZM1 (Blanka Sediva): 2 Posloupnosti realnych cısel 14

2 Posloupnosti realnych cısel

2.1 Definice posloupnosti, zadavanı posloupnosti, graf posloupnosti, op-erace s posloupnostmi

Definice 2.1 Posloupnostı realnych cısel (cıselnou posloupnostı) nazyvame kazde zobrazenı mnozinyvsech prirozenych cısel N do mnoziny realnych cısel R.

N −→ R

n 7→ an

Pro posloupnosti cısel pouzıvame znacenı {an}+∞n=1, prıpadne znacenı (an)+∞

n=1, prıpadne {a1; a2; a3; . . . }nebo (a1; a2; a3; . . . )

Posloupnost je dana

slovnım vyjadrenım naprıklad- kazdemu prirozenemu cıslu je prirazena jeho druha mocnina;

tabelarne (vyctem vsech clenu), pokud je jasny princip konstrukce posloupnosti, naprıklad {1; 4; 9; 16, ; 25; . . . }

analyticky (vzorem pro n-ty clen, naprıklad an = n2 + 3

rekurentne (je dano nekolik prvnıch clenu posloupnosti a je dan predpis, jak se vypocte dalsı clenna zaklade predchazejıcıch clenu), naprıklad a1 = 1, a2 = 4 a an − 2an−1 = 2

Graf posloupnosti musı odpovıdat situaci, kdy definicnı obor posloupnosti jsou prirozena cısla.

TAKTO ANO

TAKTO NE !!!

14 10. zarı 2010


Vybranou posloupnostı z posloupnosti {an}+∞n=1 nazyvame posloupnost {bn}+∞

n=1, k nız existuje takovarostoucı posloupnost prirozenych cısel {kn}+∞

n=1, ze bn = akn .

Posloupnost{n2}+∞n=1

je vybranou posloupnostı z posloupnosti {n}+∞n=1 .

2.2 Operace s posloupnostmi

S posloupnostmi muzeme provadet zakladnı algebraicke operace tak, ze naprıklad soucet dvouposloupnostı je posloupnost, ktera ma cleny odpovıdajıcı souctu prıslusnych clenu puvodnıch posloup-nostı.

{an}+∞n=1 + {bn}+∞

n=1 = {an + bn}+∞n=1

Obdobnym zpusobem zavedeme odcıtanı posloupnostı, soucin posloupnostı a podıl posloup-nostı (pokud majı vsechny podıly smysl).

2.3 Vlastnosti posloupnostı

Definice 2.2 Posloupnost {an}+∞n=1 se nazyva

• rostoucı, pokud pro kazde n ∈ N platı an ≤ an+1;

• ostre rostoucı, pokud pro kazde n ∈ N platı an < an+1;

• klesajıcı, pokud pro kazde n ∈ N platı an ≥ an+1;

• ostre klesajıcı, pokud pro kazde n ∈ N platı an > an+1.

Souhrnne nazyvame rostoucı, ostre rostoucı, klesajıcı a ostre klesajıcı posloupnosti jako posloupnostimonotonnı.Konstantnı posloupnost nazyvame takovou posloupnost, pro kterou platı an = konstanta pro ∀n ∈ N

Definice 2.3 Posloupnost {an}+∞n=1 se nazyva

• omezena shora, pokud existuje realne cıslo KH takove, ze pro kazde n ∈ N platı an ≤ KH ;

• omezena zdola, pokud existuje realne cıslo KD takove, ze pro kazde n ∈ N platı KD ≤ an;

• omezena, pokud existuje realne cıslo K takove, ze pro kazde n ∈ N platı |an| ≤ K.

Nekdy pouzıvame mısto termınu omezena posloupnost termın posloupnost ohranicena.

Veta 2.1 Posloupnost je omezena prave tehdy, kdyz je omezena zdola a zaroven je omezena shora.

Specialnım prıpadem posloupnostı jsou posloupnosti aritmeticke a geometricke. POZOR vetsina posloup-nostı nenı ani aritmeticka ani geometricka.

15 10. zarı 2010


Aritmeticka posloupnost je posloupnost, pro kterou platı an− an+1 = d = konstanta pro ∀n ∈ N.Cıslo d se nazyva diferencı aritmeticke posloupnosti.

Pokud diference aritmeticke posloupnosti je kladna, pak posloupnost je ostre rostoucı.

Pokud diference aritmeticke posloupnosti je zaporna, pak posloupnost je ostre klesajıcı.

Pokud diference aritmeticke posloupnosti je rovna nule, pak posloupnost je konstantnı.

Geometricka posloupnost je posloupnost, pro kterou platıanan+1

= q = konstanta pro ∀n ∈ N.

Cıslo q se nazyva kvocientem geometricke posloupnosti.

Pokud kvocientem geometricke posloupnosti je q > 1 a a1 > 0, pak posloupnost je ostre rostoucı.

Pokud kvocientem geometricke posloupnosti je q > 1 a a1 < 0, pak posloupnost je ostre klesajıcı.

Pokud kvocientem geometricke posloupnosti je 0 < q < 1 a a1 > 0, pak posloupnost je ostreklesajıcı.

Pokud kvocientem geometricke posloupnosti je 0 < q < 1 a a1 < 0, pak posloupnost je ostrerostoucı.

Pro q < 0 je geometricka posloupnost alternujıcı, tj. an = (−1)nbn (posloupnost se strıdavymiznamenky).

Pro q = 1 je geometricka konstantnı.

Definice 2.4 Necht’ je dana posloupnost {an}+∞n=1, oznacme

A = {a ∈ R; existuje n ∈ N tak, ze a = an}

pak definuje pojmy maximum posloupnosti, minimum posloupnosti, infimum posloupnosti a supremumposloupnosti nasledujıcım zpusobem

• max {an}+∞n=1 = maxA;

• min {an}+∞n=1 = minA;

• sup {an}+∞n=1 = supA;

• inf {an}+∞n=1 = inf A.

Veta 2.2 Z kazde posloupnosti lze vybrat posloupnost monotonnı.

16 10. zarı 2010


2.4 Konvergence posloupnosti, definice limity posloupnosti

Definice 2.5 Rekneme, ze cıslo a ∈ R je vlastnı (konecnou) limitou posloupnosti {an}+∞n=1,

jestlize∀ε > 0∃n0 ∈ N;∀n > n0 (n ∈ N) =⇒ |an − a| < ε

Tuto skutecnost strucne zapisujeme

limn→∞

an = a nebo strucneji an → a pro n→∞

Ilustracnı obrazek vlastnı limity posloupnosti.

Definice 2.6 Rekneme, ze posloupnost {an}+∞n=1 ma nevlastnı limitou posloupnosti +∞ , jestlize

∀K > 0∃n0 ∈ N;∀n > n0 (n ∈ N) =⇒ an > K


limn→∞

an = +∞ nebo strucneji an → +∞ pro n→∞

Rekneme, ze posloupnost {an}+∞n=1 ma nevlastnı limitou posloupnosti −∞ , jestlize

∀L < 0∃n0 ∈ N;∀n > n0 (n ∈ N) =⇒ an < L


limn→∞

an = −∞ nebo strucneji an → −∞ pro n→∞

Definice 2.7 Posloupnost, ktera ma vlastnı (konecnou) limitu se nazyva posloupnost konvergentnı.Posloupnost, ktera nenı konvergentnı se nazyva divergentnı. Divergentnı posloupnost muze mıt limiturovnu +∞ nebo −∞ nebo limita neexistuje.

17 10. zarı 2010


Nynı uvedeme nekolik zakladnıch vet o limitach. Dukazy techto vet budou pouze naznaceny.

Veta 2.3 Kazda posloupnost ma nejvyse jednu limitu.

Dukaz vety sporem: Omezım se pouze na vlastnı limity. Budu predpokladat, ze existujı dve ruzna

cısla limn→∞

an = a a limn→∞

an = b. Pak zvolım 0 < ε <|a− b|

2. Podle definice limity musı existovat index

n0(a) pro hodnotu a a index n0(b) pro hodnotu b, vezmu vetsı z techto hodnot. Pak musı platit

∀n > max(n0(a);n0(b)) (n ∈ N) =⇒ a− ε < an < a+ ε a zaroven b− ε < an < b+ ε

A to je spor, protoze intervaly (a− ε; a+ ε) a (b− ε; b+ ε) jsou disjunktnı (majı prazdny prunik).

Veta 2.4 Kazda konvergentnı posloupnost je omezena.

Dukaz: Zvolıme si ε = 1 a najdeme prıslusny index n0 a pak musı platit pro vsechny n > nO (n ∈ N)

a− 1 < an < a+ 1

Jestlize zvolım KH = max {a1; a2; . . . ; an0−1; a+ 1} a KD =∈ {a1; a2; . . . ; an0−1; a− 1} dostanu omezu-jıcı konstanty pro posloupnost.POZOR: obracena implikace neplatı. Existuje posloupnost, ktere je omezena, ale nema konecnoulimitu, naprıklad an = (−1)n. Platı vsak nasledujıcı vety.

Veta 2.5 Kazda omezene monotonnı posloupnosti je konvergentnı.A pro klesajıcı posloupnost platı lim

n→∞an = inf {an}+∞

n=1 a

pro rostoucı posloupnost platı limn→∞

an = sup {an}+∞n=1

Veta 2.6 Z kazde omezene posloupnosti lze vybrat podposloupnost, ktera je konvergentnı.

18 10. zarı 2010


2.5 Algebra limit posloupnostı

Pod pojmem algebra limit chapeme operace”scıtanım, odcıtanım, . . . limit“. V teto casti se omezıme

pouze na vlastnı (konecne) limity.

Veta 2.7 Necht’ jsou dany dve konvergentnı posloupnosti {an}+∞n=1 a {bn}+∞

n=1, pricemz limn→∞

an = a a

limn→∞

bn = b, pak platı

• limn→∞

an + bn = a+ b;

• limn→∞

an − bn = a− b;

• limn→∞

K · an = K · a, kde K je libovolne realne cıslo (vcetne nuly);

• limn→∞

an · bn = a · b;

• limn→∞

anbn

=a

b, pokud b 6= 0.

Veta 2.8 Vety o limitovanı posloupnostı

1. Necht’ limn→∞

an = a a limn→∞

bn = b

a necht’ existuje index n0 takovy, ze pro vsechny n > n0 ∈ N platı

an ≤ bn

pak take platı

limn→∞

an ≤ limn→∞

bn

2. Necht’ limn→∞

an = a a limn→∞

bn = b a necht’ a < b, pak exituje index n0 takovy, ze pro vsechny

n > n0 ∈ N platıan < bn.

POZOR: Neostre nerovnosti pri limite zustavajı! Ostra nerovnost muze prejıt v neostrou.

Prıklad

{1

n

}+∞

n=1

a

{2

n

}+∞

n=1

, platı an < bn, ale limn→∞

an = limn→∞

bn.

Veta 2.9 Veta o sevrenı, veta o dvou policistech Necht’ jsou dany tri posloupnosti {an}+∞n=1,

{bn}+∞n=1 a {cn}+∞

n=1, kde limn→∞

an = a a limn→∞

cn = a

a necht’ existuje index n0 takovy, ze pro vsechny n > n0 ∈ N platı

an ≤ bn ≤ cn,

pak takelimn→∞

bn = a

19 10. zarı 2010


2.6 Prıklady limit posloupnostı

1. limn→∞

qn =

@, pro q ∈ (−∞;−1〉0, pro q ∈ (−1; 1)

1, pro q = 1

+∞, pro q ∈ (1; +∞)

2. limn→∞

Pk(n)

Qm(n)= lim

n→∞

a0 + a1n+ · · ·+ aknk

b0 + b1n+ · · ·+ bmnm

akbm, pro k = m

0, pro k < m

±∞, pro k > m

3. limn→∞

(1 +

a

n

)n= ea

4. limita typukonst.

±∞je rovna 0

5. limita typukonst.

0muze byt rovna +∞ nebo −∞ nebo nemusı existovat

6. limita typu±∞±∞

muze byt cokoliv, casto muzeme pouzıt nasledujıcıch vztahu

4√n� 3

√n�

√n� n� n2 � n3

(1

4

)n�(

1

2

)n� 1� (2)n � (4)n

lnn� n� en � n!� nn

20 10. zarı 2010

KMA/ZM1 (Blanka Sediva): 3 Nekonecne rady realnych cısel 21

3 Nekonecne rady realnych cısel

V dalsım budeme zkoumat vyznam symbolu

a1 + a2 + a3 + · · · =∞∑n=1

an

nekonecne (a prıpadne konecne) rady se casto pouzıvajı pro vyjadrenı ocekavanych prıjmu nebo platebv budoucıch obdobıch.

3.1 Zakladnı vlastnosti cıselnych rad

Definice 3.1 Bud’ {an}+∞n=1 posloupnost realnych (komplexnıch) cısel. Oznacme

s1 = a1

s2 = a1 + a2

s3 = a1 + a2 + a3

s4 = a1 + a2 + a3 + a4

. . . . . . . . .

sn = a1 + a2 + a3 + a4 + · · ·+ an.

Cıslo sn nazveme n-tym castecnym souctem rady∞∑n=1

an a posloupnost {sn}+∞n=1 nazveme posloupnost

castecnych souctu dane rady.

Symbol∞∑n=1

an = a1 + a2 + a3 + . . . se nazyva rada.

Jestlize existuje (vlastnı nebo nevlastnı) limita posloupnosti castecnych souctu, tj. existuje s tak, ze

limn→∞

sn = s,

pak cıslo s nazveme souctem rady a pıseme

∞∑n=1

an = s

Pokud s je konecne cıslo, tj.∞∑n=1

an = s ∈ R rıkame, ze rada konverguje.

Pokud s je ±∞, tj.∞∑n=1

an = ±∞ rıkame, ze rada diverguje.

Pokud limn→∞

sn neexistuje, rıkame, ze rada osciluje.

21 10. zarı 2010


3.2 Prıklady cıselnych rad

Geometricka rada konverguje pro |q| < 1Radu

a+ aq + aq2 + aq3 + · · · =∞∑n=0

aqn,

kde a a q jsou dana cısla (a je prvnı clen rady a q je kvocient rady), nazveme geometrickouradou.

Pro castecne soucty platı

sn = a1− qn

1− q

a limita castecnych souctu pro n→∞ je pro |q| < 1 rovna a1

1− q, pro ostatnı prıpady je limita

rovna +∞, -∞ nebo neexistuje.

Celkove tedy platı, ze geometricka rada pro konverguje pro |q| < 1

a+ aq + aq2 + aq3 + · · · =∞∑n=0

aqn =a

1− qpro |q| < 1

Prıklad: Je dana nekonecna cıselna rada∞∑n=0

an, kde an =1

42n+4

1. Urcete pro n−ty clen posloupnosti castecnych souctu sn.

2. Sectete prvnıch 10,15 a 16 clenu posloupnosti an.

3. Vypoctete soucet nekonecne cıselne rady.

Pro cleny teto rady platı an ==1

42n+4=

1

42n · 44=

1

256· 1

16n, tedy jedna se o geometrickou radu

∞∑n=0

an =1

256

(1

16+

1

162+

1

163+ . . .

)=

1

256· 1

16

(1 +

1

16+

1

162+ . . .

),

kde prvnı clen rady a ma hodnotu

a =1

256 · 16=

1

4096

a kvocient rady q ma hodnotu

q =1

16.

Podle predchazejıcıch vztahu vıme, ze pro castecne soucty platı sn = a1− qn

1− qa rada konverguje

pro |q| < 1 k hodnote s∞ =a

1− q.

22 10. zarı 2010


1. Pro n−ty clen posloupnosti castecnych souctu sn platı

sn = a1− qn

1− q=

1

4096

1−(

116

)n1−

(116

)2. Sectete prvnıch 10,15 a 16 clenu posloupnosti an.

s10 =1

4096

1−(

116

)10

1−(

116

) .= 0.00026

s15 =1

4096

1−(

116

)15

1−(

116

) .= 0.00026

s16 =1

4096

1−(

116

)16

1−(

116

) .= 0.00026

3. Vypoctete soucet nekonecne cıselne rady, kde q =1

16a

∣∣∣∣ 1

16

∣∣∣∣ < 1

s∞ =a

1− q=

(1

4096

)1−

(116

) =1

3840

Rada∞∑n=0

1

n(n+ 1)konverguje

Pouzijeme nasledujıcı trik1

n(n+ 1)=

1

n− 1

n+ 1a dostavame posloupnost castecnych souctu

s1 =1

1− 1

2

s2 =1

1− 1

2+

1

2− 1

3

s3 =1

1− 1

2+

1

2− 1

3+

1

3− 1

4

s4 =1

1− 1

2+

1

2− 1

3+

1

3− 1

4+

1

4− 1

5. . . . . . . . .

sn =1

1− 1

n+ 1

Pro limitu castecnych souctu pak platı

limn→∞

1− 1

n+ 1= 1,

23 10. zarı 2010


tedy rada∞∑n=0

1

n(n+ 1)konverguje a soucet rady je roven jedne.

∞∑n=0

1

n(n+ 1)= 1

Rada∞∑n=0

1

ndiverguje, harmonicka rady

∞∑n=0

1

n= 1 +

1

2+

1

3+

1

4+

1

5+ . . .

= 1 +1

2+

(1

3+

1

4

)+

(1

5+

1

6+

1

7+

1

8

). . .

≥ 1 +1

2+

(1

2

)+

(1

4+

1

4

). . .

= 1 +1

2+

(1

2

)+

(1

2

). . .

3.3 Konvergence cıselnych rad

Veta 3.1 Nutna podmınka konvergence cıselne rady Necht’∞∑n=1

an = a1 + a2 + a3 + . . .

konverguje, pak limn→∞

an = 0.

Poznamky:

• jedna se nutnou podmınku, tedy: pokud limn→∞

an je ruzna od nuly, pak rada nemuze byt konver-

gentnı

• nejedna se o podmınku postacujıcı: prıkladem je harmonicka rada∞∑n=0

1

n, kde podmınka

limn→∞

an = 0 je splnena, ale rada je divergentnı

Rozhodnutı o konvergenci cıselne rady je v konkretnıch situacıch velmi slozite, pomahajı nam ruznakriteria konvergence.Jednodussı je situace pro rady s nezapornymi cleny, kdy muzeme pouzıvat naprıklad nasledujıcı kriteria

Srovnavacı kriterium: Bud’∞∑n=0

an a∞∑n=0

bn dve rady s nezapornymi cleny a necht’ existuje k tak,

ze pro vsechna n > k platı an ≤ bn, potom platı:

• je-li∞∑n=0

bn konvergentnı, je∞∑n=0

an take konvergentnı

24 10. zarı 2010


• je-li∞∑n=0

an divergentnı, je∞∑n=0

bn take divergentnı

Prıkladem pouzitı je rada∞∑n=0

1

lnn, ktera je divergentnı (srovnam

1

lnn>

1

n)

Cauchyho (odmocninove) kriterium Bud’∞∑n=0

an rada s nezapornymi cleny a necht’ existuje limita

limn→∞

n√an = A , potom platı:

• je-li A < 1, je∞∑n=0

an konvergentnı;

• je-li A > 1, je∞∑n=0

an divergentnı;

• je-li A = 1, nemohu o konvergenci na zaklade tohoto kriteria rozhodnout.

D´Alembertovo (podılove) kriterium Bud’∞∑n=0

an rada s kladnymi cleny a necht’ existuje limita

limn→∞

an+1

an= A , potom platı:

• je-li A < 1, je∞∑n=0

an konvergentnı;

• je-li A > 1, je∞∑n=0

an divergentnı;

• je-li A = 1, nemohu o konvergenci na zaklade tohoto kriteria rozhodnout.

25 10. zarı 2010

KMA/ZM1 (Blanka Sediva): 4 Zakladnı vlastnosti funkcı 26

4 Zakladnı vlastnosti funkcı

4.1 Realna funkce f realne promenne x

• zobrazenı f : A→ B, kde A ⊆ R a B ⊆ R

• zobrazenı, ktere ke kazdemu x ∈ A prirazuje prave jedno y = f(x) ∈ B

• ∀x ∈ A ∃! y ∈ B : y = f(x)

• x - argument funkce f ; y - funkcnı hodnota funkce f

• D (f) = A: definicnı obor funkce f

• H (f) = B: obor (funkcnıch) hodnot funkce f

• maximalnı (existencnı) definicnı obor je takova podmnozina realnych cısel, pro ktera ma ana-lyticky vzorec funkce smysl

• graf funkce: mnozina vsech bodu {[x, y];x ∈ D (f), y = f(x)} ve zvolene soustave souradnic(kartezske souradnice Oxy, sfericke souradnice, . . . )

• zpusoby zadanı funkce

– analyticke (vzorec, rovnice, nekolik rovnic pro ruzne casti definicnıho oboru + definicnıobor)

Napr.

f : y = −2x+ 3

f(x) :=

{x2 pro x ∈ (−3, 3)

9 jinak

– grafickym zadanım

– vyctem funkcnıch hodnot {(1; 1), (2; 4), (3; 9), (4, 16)}

4.2 Operace s funkcemi

• ekvivalence funkcı

– rovnost funkcı f1 a f2: f1 ≡ f2 ⇔ D (f1) = D (f2) ∧ ∀x ∈ D (f1) : f1(x) = f2(x)

• uporadanı funkcı

– funkce f1 je vetsı nez f2 na mnozine M ⊂ D (f1) ∩ D (f2) :

f1 ≥ f2 ⇔ ∀x ∈M : f1(x) ≥ f2(x)

– funkce f1 je ostre vetsı nez f2 na mnozine M ⊂ D (f1) ∩ D (f2) :

f1 > f2 ⇔ ∀x ∈M : f1(x) > f2(x)

26 10. zarı 2010


– funkce f1 je mensı nez f2 na mnozine M ⊂ D (f1) ∩ D (f2) :

f1 ≤ f2 ⇔ ∀x ∈M : f1(x) ≤ f2(x)

– funkce f1 je ostre mensı nez f2 na mnozine M ⊂ D (f1) ∩ D (f2) :

f1 < f2 ⇔ ∀x ∈M : f1(x) < f2(x)

• algebraicke operace s funkcemi

– scıtanı (odcıtanı) funkcı f1 a f2 na mnozine M ⊂ D (f1) ∩ D (f2):

g = f1 ± f2 ⇔ ∀x ∈M : g(x) = f1(x)± f2(x)

– nasobenı funkcı f1 a f2 na mnozine M ⊂ D (f1) ∩ D (f2):

g = f1 · f2 ⇔ ∀x ∈M : g(x) = f1(x) · f2(x)

– delenı funkcı f1 a f2 na mnozine M ⊂ D (f1) ∩ D (f2):

g =f1

f2

⇔ ∀x ∈M ; f2(x) 6= 0 : g(x) =f1(x)

f2(x)

• skladanı funkcı

– g = f1 ◦ f2 : g(x) = f1(f2(x)), pokud je splneno, ze H (f2) ⊆ D (f1)

∗ D (g) ⊆ D (f2)

∗ H (g) ⊆ H (f1)

– g: slozena funkce

– f1: vnejsı funkce

– f2: vnitrnı funkce

• opacnym postupem dostavame rozklad slozene funkce na elementarnı funkce

27 10. zarı 2010


• transformace grafu funkcı (specialnı typy skladanı)

– g(x) = −f(x): graf funkce g je soumerny s grafem funkce f podle osy x

– g(x) = f(−x): graf funkce g je soumerny s grafem funkce f podle osy y

– g(x) = f(x) +K: graf funkce g je vzhledem ke grafu funkce f posunuty o konstatnu K vesmeru osy y

28 10. zarı 2010


– g(x) = f(x + K): graf funkce g je vzhledem ke grafu funkce f posunuty o konstatnu −Kve smeru osy x

– g(x) = f(x · K): graf funkce g je vzhledem ke grafu funkce f deformovany smeru osy x(body pruniku grafu s osou y zustavajı zachovany)

– g(x) = K · f(x): graf funkce g je vzhledem ke grafu funkce f deformovany smeru osy y(body pruniku grafu s osou x zustavajı zachovany)

29 10. zarı 2010


4.3 Vlastnosti funkcı

• suda (licha) funkce

– suda funkce: ∀x ∈ D (f) : −x ∈ D (f) ∧ f(−x) = f(x)

– suda funkce je soumerna podle osy y

– x2, x1/2, cos(x), |x|, . . .

– licha funkce: ∀x ∈ D (f) : −x ∈ D (f) ∧ f(−x) = −f(x)

– licha funkce je soumerna podle pocatku 0

– 1/x, x3, sin(x), . . .

• periodicka funkce

– ∃p ∈ R \ {0} : ∀x ∈ D (f) : x± p ∈ D (f) ∧ f(x± p) = f(x)

– p je perioda funkce

– zakladnı (primitivnı) perioda: existuje-li pro funkci f nejmensı kladna perioda p

– goniometricke funkce - sin, cos, tg, cotg,. . .

• funkce omezena

– funkce f je omezena zdola na mnozine M ⊆ D (f):

∃ d ∈ R : ∀x ∈M platı d ≤ f(x)

– funkce f je omezena shora na mnozine M ⊆ D (f):

∃ h ∈ R : ∀x ∈M platı f(x) ≤ h

– funkce f je omezena na mnozine M ⊆ D (f):

30 10. zarı 2010


∃ d, h ∈ R : ∀x ∈M platı d ≤ f(x) ≤ h

– d: dolnı mez funkcnıch hodnot

– h: hornı mez funkcnıch hodnot

• extremy funkcı

– funkce f ma v bode xmin minimum na mnozine M ⊆ D (f):

∀x ∈M platı f(xmin) ≤ f(x)

– funkce f ma v bode xmin ostre minimum na mnozine M ⊆ D (f):

∀x ∈M platı f(xmin) < f(x)

– funkce f ma v bode xmin maximum na mnozine M ⊆ D (f):

∀x ∈M platı f(xmin) ≥ f(x)

– funkce f ma v bode xmin ostre maximum na mnozine M ⊆ D (f):

∀x ∈M platı f(xmin) > f(x)

– pokud M = D (f), jedna se o globalnı extrem funkce f (globalnı minimum, globalnı ostreminimum, globalnı maximum, globalnı ostre maximum)

– funkce f ma v bode xmin lokalnı minimum:

∃ ε > 0 takove, ze ∀x ∈ (xmin − ε, xmin + ε) platı f(xmin) ≤ f(x)

– funkce f ma v bode xmin ostre lokalnı minimum:

∃ ε > 0 takove, ze ∀x ∈ (xmin − ε, xmin + ε) platı f(xmin) < f(x)

– funkce f ma v bode xmin lokalnı maximum:

∃ ε > 0 takove, ze ∀x ∈ (xmin − ε, xmin + ε) platı f(xmin) ≥ f(x)

– funkce f ma v bode xmin ostre lokalnı maximum:

∃ ε > 0 takove, ze ∀x ∈ (xmin − ε, xmin + ε) platı f(xmin) > f(x)

• POZOR NA ZNACENI

– max f(x) je funkcnı hodnota v bode maxima - lezı na ose y

– xmax = argmax f(x) je bod, ve kterem funkce sveho maxima nabyva - lezı na ose x

• monotonı funkce

– funkce f je na mnozine M ⊆ D (f) ostre rostoucı:

∀x1, x2 ∈M, x1 < x2 platı f(x1) < f(x2)

– funkce f je na mnozine M ⊆ D (f) ostre klesajıcı:

31 10. zarı 2010


∀x1, x2 ∈M, x1 < x2 platı f(x1) > f(x2)

– funkce f je na mnozine M ⊆ D (f) rostoucı:

∀x1, x2 ∈M, x1 < x2 platı f(x1) ≤ f(x2)

– funkce f je na mnozine M ⊆ D (f) klesajıcı:

∀x1, x2 ∈M, x1 < x2 platı f(x1) ≥ f(x2)

– funkce monotonı: funkce klesajıcı, rostoucı

– funkce ryze monotonı: funkce ostre rostoucı, ostre klesajıcı

• vzajemne vazby mezi omezenostı, existencı lokalnıch a globalnıch extremu a monotoniı

– pokud ma funkce globalnı minimum, pak je omezena zdola

– pokud ma funkce globalnı maximum, pak je omezena shora

– lokalnı extremy k omezenosti nepostacujı

– kazdy globalnı extrem je i extrem lokalnı

– existujı funkce omezene zdola, ktere nemajı globalnı minimum

– existujı funkce omezene shora, ktere nemajı globalnı maximum

– pokud ma funkce v bode xmin ostre lokalnı minimum, pak ∃ ε > 0 takove, ze funkce f je vintervalu (xmin − ε, xmin) ostre klesajıcı a v intervalu (xmin, xmin + ε) ostre rostoucı

– pokud ma funkce v bode xmin lokalnı minimum, pak ∃ ε > 0 takove, ze funkce f je vintervalu (xmin − ε, xmin) klesajıcı a v intervalu (xmin, xmin + ε) rostoucı

– pokud ma funkce v bode xmax ostre lokalnı maximum, pak ∃ ε > 0 takove, ze funkce f jev intervalu (xmax − ε, xmax) ostre rostoucı a v intervalu (xmax, xmax + ε) ostre klesajıcı

– pokud ma funkce v bode xmax lokalnı maximum, pak ∃ ε > 0 takove, ze funkce f je vintervalu (xmax − ε, xmax) rostoucı a v intervalu (xmax, xmax + ε) klesajıcı

– existujı funkce f , ktere jsou v intervalu (a− ε, a) monotonnı a v intervalu (a, a+ ε) opacnemonotonnı, ale nemajı v bode a extrem

32 10. zarı 2010


4.4 Prosta funkce a inverznı funkce

– funkce f je prosta:

∀x1, x2 ∈ D (f), x1 6= x2 platı f(x1) 6= f(x2)

– funkce f je prosta na mnozine M ⊆ D (f):

∀x1, x2 ∈M, x1 6= x2 platı f(x1) 6= f(x2)

– funkce f−1 je inverznı k funkci f : pokud funkce f je prosta a platı

y = f(x)⇔ x = f−1(y)

– D (f−1) ≡ H (f)

– D (f) ≡ H (f−1)

– ∀x ∈ D (f) : x = f−1(f(x))

– f−1 ◦ f(x) ≡ 1

– pokud je funkce f prosta prosta na mnozine M ⊂ D (f), existuje inverznı funkce na tetomnozine M

– kazda ryze monotonı funkce je prosta → ke kazde ryze monotonı funkci existuje funkceinverznı

– grafy inverznıch funkcı jsou symetricke podle osy prvnıho a tretıho kvadrantu

33 10. zarı 2010


4.5 Zakladnı typy funkcı

• linearnı funkce f : y = a0 + a1 x grafem je prımka

• kvadraticke funkce f : y = a0 + a1 x+ a2 x2 grafem je p parabola

• mocninne funkce f : y = xα

– prirozeny mocnitel α ∈ N

– cely mocnitel α ∈ Z

– racionalnı mocnitel α =p

g∈ Q

– iracionalnı mocnitel α ∈ R

• linearnı lomene funkce f : y =a0 + a1 x

b0 + b1 xgrafem je hyperbola

• algebraicke funkce (vznikne z linearnı funkce pomocı konecneho poctu operacı scıtanı, odcıtanı,nasobenı, delenı, umocnovanı a odmocnovanı)

– polynomicke funkce stupne n (polynom Pn) f : y = a0 + a1 x+ a2 x2 + . . .+ an x

n

– lomene racionalnı funkce f : y =PnQm

– iracionalnı funkce (obsahuje odmocniny x)

• exponencialnı funkce f : y = ax

• logaritmicke funkce (inverznı k exponencialnım) f : y = loga(x)

• funkce s absolutnı hodnotou

• goniometricke funkce f : sin, cos, tg, cotg

• cyklometricke funkce (inverznı ke goniometrickym) f : arcsin, arccos, arctg, arccotg

34 10. zarı 2010


4.5.1 Linearnı funkce f : y = a0 + a1 x

• definicnı obor i obor hodnot jsou realna cısla

• monotonnı funkce,

– a1 > 0 ostre rostoucı

– a1 < 0 ostre klesajıcı

– a1 = 0 konstanta, nerostoucı, neklesajıcı

• neomezena funkce (pro a1 6= 0)

• inverznı funkce existuje pokud a1 6= 0

• grafem je prımka

• grafem inverznı funkce je opet prımka

Prıklady

• Sestrojte grafy funkcı f1 : y = x+ 3 a f2 : y = 2x− 1 a najdete k funkcım funkce inverznı

• Sestrojte grafy funkcı f1 : y =1

3x− 2 a f2 : y =

3− 2x

2a najdete k funkcım funkce inverznı

• Sestrojte graf funkce f1 : y =4x2 − 5x

2x

35 10. zarı 2010


4.5.2 Kvadraticka funkce f : y = a0 + a1 x+ a2 x2

• definicnı obor jsou realna cısla

• funkce omezena zdola pokud a2 > 0

• funkce omezena zhora pokud a2 < 0

• existujı dve vetve inverznı funkce

• grafem je parabola, parabola protına osu x v nulovych bodech

• f1 : y = x2 − 4

• f2 : y = −x2 − x+ 6 = −(x+ 3)(x− 2)

Prıklady

• Sestrojte graf funkce f : y = x2−5x+6 pro x ∈ 〈−5; 7〉 , urcete obor funkcnıch hodnot, sestrojtegraf funkce g(x) = |f(x)| a sestrojte graf funkce h(x) = x2 − 5|x|+ 6

• Sestrojte graf funkce f : y = x2 − 5x+ 6, urcete prusecıky funkce f s osami, najdete nejmensı anejvetsı hodnotu funkce f na intervalu 〈0; 4〉

36 10. zarı 2010


4.5.3 Polynomicke funkce x3, x4, x5, . . .

x2, x4, x6

x, x3, x5

Prıklady

• Sestrojte grafy funkcı f1 : y = x4 a f2 : y = x6 a na grafech vyznacte body funkcnıch hodnot

pro x =1

14

• Sestrojte grafy funkcı f1 : y = x3 a f2 : y = x5 a na grafech vyznacte body funkcnıch hodnot

pro x1 =1

32a pro x2 = 0, 25

37 10. zarı 2010


4.5.4 Linearnı lomene funkce f : y =a0 + a1 x

b0 + b1 x

• definicnı obor jsou vsechna realna cısla krome bodu −b0

b1

• obor hodnot jsou vsechna realna cısla krome bodu −a1

b1

• grafem je hyperbola

• inverznı funkcı je opet linearnı lomena funkce

• 1

xax+ 2

x− 1

Prıklady

• Sestrojte graf funkce f : y =2x− 2

x+ 1a vypoctete prusecıky s osami, urcete definicnı obor a obor

hodnot

• Sestrojte graf funkce f : y =3x+ 5

x+ 2a vypoctete prusecıky s osami, vypoctete funkcnı hodnoty

f(−1), f(−1/3), f(1)

38 10. zarı 2010


4.5.5 Exponencialnı funkce f : y = ax

• 2x,1

2

x

= 2−x, 2x − 1

• −2x, −2−x

Prıklady

• Sestrojte grafy funkcı 3x, 3−x, 3|x|, 3x + 1, 3x+1

• Sestrojte grafy funkcı1

2

x

, −1

2

x

• Sestrojte grafy funkcı 3x, 4x a sestrojte k funkcım grafy funkcı inverznıch

39 10. zarı 2010


4.5.6 Logaritmicke funkce f : y = logz(x)

• Logaritmicke funkce jsou inverznı k exponencialnım funkcım

• Definicnı obor (0;∞), obor hodnot jsou vsechna realna cısla

• log10(x), loge(x), 10x

• log2(x), log1/2(x), 2x

40 10. zarı 2010


4.5.7 Funkce s absolutnı hodnotou

• |2x|+ 1, |2x+ 1|, 2x

• |x2 − 2x− 8|, x2 − 2|x| − 8, x2 − 2x− 8

41 10. zarı 2010

KMA/ZM1 (Blanka Sediva): 5 Polynomy 42

5 Polynomy

Definice 5.1 Necht’ a0, . . . , an jsou prvky mnoziny T , n ≥ 0 prirozene cıslo. Polynomem (mno-hoclenem) P promenne x ∈ T nazyvame predpis

P (x) = anxn + an−1x

n−1 + . . .+ a1x+ a0 ∀x, an 6= 0

Stupen polynomu P (x) je nejvyssı mocnina promenne x u nız je nenulovy koeficient, znacıme st(P ).Nulovy polynom je polynom, ktery ma vsechny koeficienty rovny 0. Stupen nuloveho polynomu nenıdefinovan. Nekdy je vhodne dodefinovat stupen nuloveho polynomu cıslem −1.V dalsım budeme predpokladat, ze pracujeme s realnymi T = R (prıpadne komplexnımi polynomyT = C), tj. x ∈ R resp. x ∈ C.

Prıklady polynomu:

• 5x2 + 4x+ 6 ⇒ JE polynom stupne 2

• 7x10 + 23.2x ⇒ JE polynom stupne 10

• 5 ⇒ JE polynom stupne 0

• 4x3 + πx− 19 ⇒ JE polynom stupne 3

• sinx+ 7x5 ⇒ NENI polynom

• 0 ⇒ JE polynom, stupen nenı definovan

• 4

3x3 + x7 + 2 ⇒ JE polynom stupne 3

• 5x−6 + x5 ⇒ NENI polynom

• (4 + 2i )x2 + ix7 ⇒ JE polynom stupne 7

Definice 5.2 Polynomy P (x) a Q(x) se rovnajı (P (x) = Q(x)), pokud platı

P (α) = Q(α) ∀α

Veta 5.1 Polynomy P (x) = anxn+an−1x

n−1+. . .+a1x+a0 a Q(x) = bmxm+bm−1x

m−1+. . .+b1x+b0

se rovnajı prave tehdy, kdyz majı stejny stupen a rovnajı se jejich koeficienty, tj. n = m a

ai = bj i = 0, 1, . . . , n.

Prıklad: Urcete koeficienty A,B,C,D polynomuP (x) = A(x+ 1) +B(x3 + x2) + Cx2 − 3D tak, aby byl roven polynomu x3 + 2x+ 5.

Bx3 + (B + C)x2 + Ax+ (A− 3D) = 1x3 + 0x2 + 2x+ 5

B = 1

B + C = 0

A = 2

A− 3D = 5

⇒

A = 2

B = 1

C = −1

D = −1

42 10. zarı 2010


Definice 5.3 Operace s polynomy Necht’ jsou dany dva polynomy

P (x) = anxn + an−1x

n−1 + . . .+ a1x+ a0 =n∑i=0

aixi

a

Q(x) = bmxm + bm−1x

m−1 + . . .+ b1x+ b0 =m∑j=0

bjxj

1. Soucet dvou polynomu P (x) +Q(x) = (P +Q)(x) je polynom stupne max {n;m}

P (x) +Q(x) = (P +Q)(x) =

max{n;m}∑i=0

(ai + bi)xi

2. Nasobenı polynomu nenulovym cıslem λ ∈ R je polynom stupne n

λ · P (x) =n∑i=0

(λ · ai)xi

3. Nasobenı polynomu polynomem je polynom stupne n+m

P (x) ·Q(x) =n+m∑k=0

ckxk,

kde

ck =n∑i=0

m∑j=0

aibj

4. Delenı polynomu polynomem NENI OBECNE POLYNOM, ale racionalnı lomena funkce.Pokud Q(x) nenulovy, pak existujı jednoznacne urcene polynomy S(x) a R(x) tak, ze

P (x) = S(x) ·Q(x) +R(x),

kde R(x) nazyvame zbytek po delenı a st(R) < st(Q).

Definice 5.4 Necht’ je dan polynom P (x) =n∑i=0

aixi. Rekneme, ze cıslo c je korenem polynomu

(nulovym bodem polynomu) P (x), jestlize platı

P (c) =n∑i=0

aici = 0.

Poznamka: Polynom s realnymi koeficienty nemusı mıt obecne zadny realny koren - naprıklad polynomp(t) = 1 + t2 nema zadny realny koren, ma vsak dva imaginarnı koreny −i a i .

43 10. zarı 2010


Veta 5.2 Vlastnosti korenu polynomu s realnymi koeficienty

• ZAKLADNI VETA ALGEBRY Kazdy polynom stupne n ≥ 1 ma v C alespon jeden koren.

• Jestlize c je korenem polynomu P (x), pak polynom x− c delı polynom P (x) beze zbytku, tj.

P (x) = (x− c) · S(x);

• Jestlize c = a + i b je komplexnım korenem polynomu P (x), pak korenem polynomu je takekomplexne sdruzene cıslo c = a− i b a platı

P (x) = (x− (a+ i b)) · (x− (a− i b)) · S(x) =(x2 − 2 ax+ a2 + b2

)· S(x);

Definice 5.5 Necht’ je dan polynom P (x) =n∑i=0

aixi. Rekneme, ze cıslo c je k-nasobnym korenem

polynomu (nulovym bodem polynomu) P (x), jestlize existuje S(x) 6= 0 tak, ze platı

P (x) = (x− c)kS(x)

Veta 5.3 DUSLEDEK ZAKLADNI VETY ALGEBRY Kazdy polynom stupne n ≥ 1 s real-nymi nebo komplexnımi koeficienty ma v telese komplexnıch cısel prave n korenu, jestlize kazdy korenpocıtame tolikrat, kolik je jeho nasobnost.Oznacıme-li c1, c2, . . . cr vsechny navzajem ruzne (komplexnı) koreny polynomu P a oznacıme-li kjnasobnost j−teho korenu, pak k1 + k2 + · · ·+ kr = n a platı

P (x) = an · (x− c1)k1 · (x− c2)k2 · · · · · (x− cr)kr .

Polynomy (x− cj)kj nazyvame korenovymi ciniteli polynomu P a predchozımu vztahu rıkame rozkladpolynomu na (komplexnı) soucin korenovych cinitelu.Pokud vyuzijeme skutecnosti, ze pro komplexnı korenem polynomu platı, ze korenem je tez komplexnesdruzene cıslo a oznacıme c1, c2, . . . , cr realne koreny a cr+1, cr+1, . . . , cr+s, cr+s komplexnı koreny poly-nomu P dostavame realny rozklad na korenove cinitele tvaru

P (x) = an·(x−c1)k1 ·· · ··(x−cr)kr ·(x2−(cr+1+cr+1)x+cr+1·cr+1)kr+1·· · ··(x2−(cr+s+cr+s)x+cr+s·cr+s)kr+s

44 10. zarı 2010


5.1 Delenı polynomu polynomem

Algoritmus delenı polynomu polynomem je obdobny algoritmu delenı realnych cısel a ukazeme ho naprıkladu delenı polynomu P (x) = 2x4 − 3x3 − 5x+ 6 polynomem Q(x) = x2 + 1

(2x4 −3x3 −5x +6) : (x2 +1) = 2x2 vydelım nejvyssı mocniny 2x4/x2 = 2x2

−(2x4 +2x2 ) vynasobım 2x2 · (x2 + 1)

−−− −−− −−− −−− −−− odectu

−3x3 −2x2 −5x +6 a pokracuji analogicky − 3x3/x2 = −3x

celkove

(2x4 −3x3 −5x +6) : (x2 +1) = 2x2 −3x −2

−(2x4 +2x2 )

−−− −−− −−− −−− −−−−3x3 −2x2 −5x +6

−(−3x3 −3x)

−−− −−− −−− −−− −−−−2x2 −2x +6

−(−2x2 −2)

−−− −−− −−− −−− −−−−2x +8

Tedy platıP (x)

Q(x)=

2x4 − 3x3 − 5x+ 6

x2 + 1= (2x2 − 3x− 2) +

−2x+ 8

x2 + 1

5.1.1 Hornerovo schema

Pro delenı polynomu P (x) =n∑i=0

aixi linearnım dvojclenem (x− α) lze pouzıt Hornerovo schema.

Na zaklade nasledujıcı rovnosti

anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0 = (x− α) · (bn−1xn−1 + · · ·+ b1x+ b0) + P (α)

lze dokazat, ze pro koeficienty bn−1, bn−2, . . . , b1, b0 platı

bn−1 = an

bn−2 = an−1 + αbn−1

... ... ...

b1 = a2 + αb2

b0 = a1 + αb1

45 10. zarı 2010


a P (α) = a0 + αb0.Pokud P (α) = 0 je α korenem polynomu P (x).Cely postup lze zapsat do tabulky

an an−1 . . . a1 a0

α αbn−1 . . . αb1 αb0

bn−1 bn−2 . . . b0 P (α)

Hledame pomocı Hornerova schematu castecny podıl a zbytek pri delenı polynomuP (x) = 4x7 − 5x6 + 4x4 − 12x3 + 2x2 − x− 3 polynomem x− 2

4 -5 0 4 -12 2 -1 -3

2 2.4 2.3 2.6 2.16 2.20 2.42 2.83

4 3 6 16 20 42 83 163

P (x) = 4x7−5x6 +4x4−12x3 +2x2−x−3 = 163+(x−2) · (4x6 +3x5 +6x4 +16x3 +20x2 +42x+83)

5.2 Odhady korenu

5.2.1 Racionalnı koreny

Veta 5.4 Necht’p

qje racionalnı koren polynomu P (x) = anx

n + an−1xn−1 + · · ·+ a1x+ a0, pak cıslo

p je delitelem koeficientu an a cıslo q je delitelem koeficientu a0.Navıc pokud polynom ma pouze kladne koeficienty aj > 0 musı byt koren polynomu zaporne cıslo.

Prıklad: Uvazujme polynom x7 + 4x6 − 3x5 − 18x4 + x3 + 4x2 − 3x − 18. Pokud tento polynom maracionalnı koren, musı platit, ze tento koren je delitelem koeficientu a0 = 18.Koren tedy musı byt z mnoziny {±1;±2;±3;±6;±9;±18} .Pomocı Hornerova schematu dostavam

1 4 -3 -18 1 4 -3 -18

1 1 5 2 -16 -15 -11 -14 -32 ⇒ 1 nenı koren

-1 1 3 -6 -12 13 -9 6 -24 ⇒ -1 nenı koren

2 1 6 9 0 1 6 9 0 ⇒ 2 je koren (dalsı koreny musı byt zaporny delitel 9)

-3 1 3 0 0 1 3 0 ⇒ -3 je koren (dalsı koreny musı byt zaporny delitel 3)

-3 1 0 0 0 1 0 ⇒ -3 je koren

Pro studovany polynom tedy platı

x7 + 4x6 − 3x5 − 18x4 + x3 + 4x2 − 3x− 18 = (x− 2) · (x+ 3)2 · S(x),

kde S(x) je polynom stupne 4, ktery nema racionalnı koreny.

46 10. zarı 2010


5.2.2 Odhad poctu realnych korenu a jejich polohy

Veta 5.5 Necht’ P (x) = anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0 je polynom s realnymi koeficienty, pak

1. Descartesova veta Pocet kladnych korenu polynomu P (x) je bud’ roven poctu znamenkovychzmen v posloupnosti an, an−1, . . . , a0 jeho koeficientu nebo je o sudy pocet mensı.

2. Vsechny realne koreny polynomu P (x) lezı v intervalu 〈−A;A〉 ,kde A = max {|a0|; |a1|; . . . ; |an|}+ 1

3. Pokud alespon jeden z koeficientu polynomu je zaporny platı nasledujıcı hornı odhady realnychkorenu α.

• Maclaurinova veta α < 1 +|ai||an|

• Lagrangova veta α < 1 +n−r√B

• Tillova veta α < 1 + s−r

√|ai|as

kde

ai . . . nejmensı zaporny koeficient v posloupnosti an, an−1, . . . , a0;

ar . . . prvnı zaporny koeficient;

as . . . nejvetsı kladny koeficient pred prvnım zapornym koeficientem;

B . . . nejvetsı z absolutnıch hodnot zapornych koeficientu.

Prıklad: Uvazujme polynom P (x) = x4−2x3+x2−10x−20. Pak posloupnost koeficientu an, an−1, . . . , a0

je1,−2, 1,−10,−20

• pocet znamenkovych zmen je 3 ⇒ pocet kladnych korenu je 3 nebo 1;

• A = max {|1|; | − 2|; |1|; | − 10|; | − 20|}+ 1 = 21

•

ai = a0 = −20 . . . nejmensı zaporny koeficient v posloupnosti 1,−2, 1,−10,−20;

ar = a3 = −2 . . . prvnı zaporny koeficient;

as = a4 = 1 . . . nejvetsı kladny koeficient pred prvnım zapornym koeficientem;

B = 20 . . . nejvetsı z absolutnıch hodnot zapornych koeficientu.

a pro odhady platı

– Maclaurinova veta α < 1 +| − 20||1|

= 21

– Lagrangova veta α < 1 +n−r√B = 1 +

4−3√

20 = 21

– Tillova veta α < 1 +4−3

√| − 20|

1= 21

47 10. zarı 2010


Odhady nam nepomohly, budeme opakovat postup pro polynom Q(x) = P (−x) a tım zıskame dolnıodhad korenu polynomu Q(x) = P (−x) = x4 + 2x3 + x2 + 10x − 20 a pro odhady korenu tohotopolynomu platı

• posloupnost koeficientu 1, 2, 1, 10,−20

• pocet znamenkovych zmen je 1⇒ pocet kladnych korenu polynomu Q(x) je 1⇒ pocet zapornychkorenu polynomu P (x) je 1;

• A = max {|1|; |2|; |1|; |10|; | − 20|}+ 1 = 21

•

ai = a0 = −20 . . . nejmensı zaporny koeficient v posloupnosti 1, 2, 1, 10,−20;

ar = a0 = −20 . . . prvnı zaporny koeficient;

as = a1 = 10 . . . nejvetsı kladny koeficient pred prvnım zapornym koeficientem;

B = 20 . . . nejvetsı z absolutnıch hodnot zapornych koeficientu.

a pro odhady platı

– Maclaurinova veta α < 1 +| − 20||1|

= 21

– Lagrangova veta α < 1 +n−r√B = 1 +

4−0√

20.= 3.115

– Tillova veta α < 1 +1−0

√| − 20|

10= 3

Realne koreny polynomu P (x) = x4 − 2x3 + x2 − 10x− 20 lezı v intervalu 〈−3; 21〉.Jeden koren je zaporny a bud’ tri nebo jeden koren je kladny.

48 10. zarı 2010


5.3 Numericke metody odhadu realnych korenu polynomu P (x)

• Metoda pulenı intervaluPredpokladame, ze existuje interval 〈c1; c2〉 takovy, ze P (c1) · P (c2) < 0, ve kterem existujealespon jeden koren polynomu.

Pak oznacım c3 =c1 + c2

2a bud’ P (c3) = 0 a c3 je koren nebo P (c3) 6= 0. Z intervalu 〈c1; c3〉 a

〈c3; c2〉 vyberu interval, ve kterem funkcnı hodnoty v krajnıch bodech majı ruzna znamenka, tj.pro ktery platı P (ci) · P (cj) < 0.

Postup opakuji dokud urcenı korenu nenı dostatecne presne, tj. dokud nenı |ci − ci+1| < ε

• Metoda secen (metoda regula falsi)Predpokladame, ze existuje interval 〈c1; c2〉 takovy, ze P (c1) · P (c2) < 0, ve kterem existujealespon jeden koren polynomu.

Pak oznacım c3 =c2P (c1)− c1P (c2)

P (c1)− P (c2)prusecık spojnice bodu [c1;P (c1)] a [c2;P (c2)] s osou x. Z

intervalu 〈c1; c3〉 a 〈c3; c2〉 vyberu interval, ve kterem funkcnı hodnoty v krajnıch bodech majıruzna znamenka, tj. pro ktery platı P (ci) · P (cj) < 0.


49 10. zarı 2010


• Metoda tecen (Newtonova metoda)Predpokladame, ze existuje interval 〈c1; c2〉 takovy, ze P (c1) · P (c2) < 0, ve kterem existujealespon jeden koren polynomu. A dale predpokladejme, ze derivace P ′(x) a P ′′(x) majı ve sle-dovanem intervalu stale znamenko.

Pak posloupnost bodu vytvorıme podle vztahu ck+1 = ck −P (ck)

P ′(ck).


50 10. zarı 2010


5.4 Rozklad lomene racionalnı funkce na parcialnı zlomky

Pro funkce typuPn(x)

Qm(x), kde Pn a Qm jsou polynomy platı

1. pokud n ≥ m, pak existujı polynomy Rn−m a Pn (n < m) takove, zePn(x)

Qm(x)= Rn−m −

Pn(x)

Qm(x)a resıme rozklad pro podıl polynomu, kde polynom ve jmenovateli Qm(x) ma vyssı stupen nezpolynom v citateli Pn(x)

2. polynom Qm(x) ma jednoduche realne koreny x1.x2, . . . , xm pak existujı realna cısla A,B,C, . . .

Pn(x)

Qm(x)=

A

x− x1

+B

x− x2

+C

x− x3

+ . . .

koeficienty A,B,C, . . . urcıme porovnanım koeficientu u tychz mocnin promennych nebo podle

vztahu A =Pn(x1)

Q′m(x1), B =

Pn(x2)

Q′m(x2), C =

Pn(x3)

Q′m(x3), . . .

3. polynom Qm(x) ma realne koreny, z nichz nektere jsou vıcenasobne: x1 je α-nasobny, x2 je β−nasobny koren . . . , pak existujı realna cısla A1, A2, . . . , Aα, B1, B2, . . . , Bβ, C1, C2, . . .

Pn(x)

Qm(x)=

A1

(x− x1)+

A2

(x− x1)2 + · · ·+ Aα(x− x1)α

+B1

(x− x2)+ · · ·+ Bβ

(x− x2)β+

C

(x− x3)+ . . .

4. polynom Qm(x) ma jednoduche komplexnı koreny x1, x2, . . . , xm/2 a k nim vzdy koreny kom-plexne sdruzene x1, x2, . . . , xm/2, pak existujı realna cısla P1, P2, . . . , Q1, Q2 . . .

Pn(x)

Qm(x)=

P1x+Q1

x2 + p1x+ q1

+P2x+Q2

x2 + p2x+ q2

+ . . .

kde platı p2i − 4qi < 0 a resenım rovnic x2 + pix+ qi = 0 jsou komplexne sdruzene koreny xi a xi.

5. polynom Qm(x) ma vıcenasobne komplexnı koreny x1, x1 jsou α-nasobne koreny, x2, x2 jsou β−nasobne koreny . . . , pak platı

Pn(x)

Qm(x)=

P1x+Q1

x2 + p1x+ q1

+P2x+Q2

(x2 + p1x+ q1)2 + · · ·+ Pαx+Qα

(x2 + p1x+ q1)α+Pα+1x+Qα+2

x2 + p2x+ q2

+ . . .

Prıklady na rozklad parcialnıch zlomku

• 3x3 + 12x2 + 7x+ 2

x2 + 4x+ 3= 3x+

−2x+ 2

(x+ 1) (x+ 3)= 3x+

A

(x+ 1)+

B

(x+ 3)= 3x+

A (x+ 3) +B (x+ 1)

(x+ 1) (x+ 3)a porovnanım koeficientu dostaneme

A +B = −2

3A +B = 2

}=⇒

A = 2

B = −4

51 10. zarı 2010


• 3x+ 1

(x− 3)2 =A1

x− 3+

A2

(x− 3)2 =A1 (x− 3) + A2

(x− 3)2 a porovnanım koeficientu dostaneme

A1 = 3

−3A1 +A2 = 1

}=⇒

A1 = 3

A2 = 10

• 3x3 + 10x2 − x(x2 − 1)2 =

A1

x− 1+

A2

(x− 1)2 +B1

x+ 1+

B2

(x+ 1)2 =

=A1 (x− 1) (x+ 1)2 + A2 (x+ 1)2 +B1 (x− 1)2 (x+ 1) +B2 (x− 1)2

(x− 1)2 (x+ 1)2

a porovnanım koeficientu dostaneme

A1 +B1 = 3

A1 +A2 −B1 +B2 = 10

−A1 +2A2 −B1 −2B2 = −1

−A1 +A2 +B1 +B2 = 0

=⇒

A1 = 4

A2 = 3

B1 = −1

B2 = 2

• 7x2 − 10x+ 37

x3 − 3x2 + 9x+ 13=

A

x+ 1+

P x+Q

x2 − 4x+ 13=A (x2 − 4x+ 13) + (P x+Q) (x+ 1)

(x+ 1) (x2 − 4x+ 13)a porovnanım koeficientu dostaneme

A +P = 7

−4A +P +Q = −10

13A +Q = 37

=⇒A = 3

P = 4

Q = −2

52 10. zarı 2010

KMA/ZM1 (Blanka Sediva): 6 Vektory a vektorovy prostor 53

6 Vektory a vektorovy prostor

6.1 Vektorovy prostor

V prvnı prednasce jsme si upresnili a rozsırili pojem cıslo a cıselne mnoziny. Obecne uvazujme mnozinu,na ktere jsou zavedeny operace scıtanı + a nasobenı · a tyto operace splnujı zakladnı axiomy: aso-ciativita, komutativita, existence nuloveho prvku vzhledem ke scıtanı, existence jednotkoveho prvkuvzhledem k nasobenı, existence inverznıch prvku vzhledem k nasobenı a scıtanı a distributivnı zakon.Matematickou strukturu, ktere ma vsechny vyse uvedene vlastnosti nazyvame telesem a znacıme(T,+, ·).Klasickym prıkladem teles jsou mnoziny vsech realnych cısel s obvyklymi operacemi, mnoziny vsechracionalnıch cısle s obvyklymi operacemi, ale i naprıklad mnozina komplexnıch cısel.

Definice 6.1 Vektorovy prostor Predpokladejme, ze T je nejake teleso (naprıklad realna cısla).Vektor dimenze n nad telesem T je usporadana n-tice (x1, x2, x3, . . . , xn) prvku telesa T.Cıslo xi nazyvame i-ta souradnice vektoru.Vektor (x1, x2, x3, . . . , xn) znacımemathbfx, ev. −→xJsou-li x = (x1, x2, x3, . . . , xn) a y = (y1, y2, y3, . . . , yn) dva vektory stejne dimenze n nad telesem T ,pak souctem vektoru x a y rozumıme vektor

(x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3, . . . , xn + yn).

Je-li a ∈ T prvek telesa T a vektor x = (x1, x2, x3, . . . , xn), pak soucinem prvku a a vektoru x rozumımevektor

x = (a · x1, a · x2, a · x3, . . . , a · xn).

Mnozinu vsech vektoru dimenze n nad telesem T spolu s prave definovanymi operacemi scıtanı vektorua nasobenı vektoru prvkem telesa nazyvame aritmeticky vektorovy prostor dimenze n nadtelesem T . Obvykle tento vektorovy prostor znacıme V .

Scıtanı vektoru stejne dimenze a nasobenı prvky z telesa T ma radu vlastnostı spolecnych se scıtanıma nasobenım v ramci telesa T .Pro obecne vektorove prostory nenı dulezita jejich konkretnı vycıslena podoba (konkretnı hodnotysouradnic), ale algebraicke vlastnosti scıtanı a nasobenı prvky telesa T .

• x + y ∈ V pro vsechny x,y ∈ V

• (x + y) + z = x + (y + z) pro vsechny x,y, z ∈ V

• x + y = y + x pro vsechny x,y ∈ V

• existence prvku 0 takoveho, ze x + 0 = x pro vsechny x ∈ V

• pro vsechny x ∈ V existence prvku −x takoveho, ze x +−x = 0

• a · x ∈ V pro vsechny x ∈ V a a ∈ T

53 10. zarı 2010


• existence prvku 1 ∈ T takoveho, ze 1 · x = x pro vsechny x ∈ V

• a · (b · x) = (a · b) · x pro vsechny x ∈ V a a, b ∈ T

• (a+ b) · x) = a · x + b · x pro vsechny x ∈ V a a, b ∈ T

• a · (x + y) = a · x + a · y pro vsechny x,y ∈ V a a ∈ T

Prvky prostoru V , ktere splnujı vyse uvedena axiomy se nazyvajı vektory a prostor V nazyvamevektorovy prostor.Prıklady vektorovych prostoru

Mnozina Rn s operacemi scıtanı a nasobenı skalarem je mnozina vsech n-dimenzionalnıch us-poradanych n-tic realnych cısel. V prostoru R2 si muzeme predstavit geometrickou interpretacivektoru.

Mnozina vsech realnych polynomu s operacemi scıtanı polynomu a nasobenı polynomu realnychcıslem je nekonecne dimenzionalnı vektorovy prostor prvku tvaru p(x) = a0 + a1 · x + a2 · x2 +a3 · x3 + . . . nad telesem realnych cısel.

Mnozina vsech realnych polynomu stupne nejvyse n operacemi scıtanı polynomu a nasobenıpolynomu realnych cıslem je n- dimenzionalnı vektorovy prostor prvku tvaru p(x) = a0 + a1 ·x+ a2 · x2 + a3 · x3 + . . . an · xn nad telesem realnych cısel.

Mnozina vsech realnych funkcı definovanych na uzavrenem intervalu 〈0, 1〉 spolu s operacemi(f + g) (x) = f(x) + g(x) a (kf)(x) = kf(x)

Mnozina vsech realnych spojitych funkcı definovanych na uzavrenem intervalu 〈0, 1〉

Mnozina vsech realnych diferencovatelnych funkcı definovanych na uzavrenem intervalu 〈0, 1〉

54 10. zarı 2010


6.2 Volny a vazany vektor, podprostor vektoroveho prostoru

Termıny volny a vazany vektor vychazı z geometricke interpretace konecne dimenzionalnıch vektoruRn.

• Pokud uvazujeme o vektorech jako o prvcıch vektoroveho prostoru V , ktere splnujı vyse uve-dena pravidla o scıtanı vektoru, nasobenı vektoru prvkem telesa T , existenci nuloveho prvkuvektoroveho prostoru V a podobne, mluvıme o volnych vektorech.

• Pokud vektor chapeme jako orientovanou spojnici dvou bodu, mluvıme o vazanych vektorech.Geometricka interpretace souctu dvou vektoru pak odpovıda nasim stredoskolskym znalostem.

Definice 6.2 Podprostor vektoroveho prostoru. Kazdou podmnozinu U vektoroveho prostoru V, kteraje uzavrena vuci operacım scıtanı vektoru a nasobenı vektoru prvkem z T nazveme vektorovym pod-prostorem U .

Prıklady vektorovych podprostoru:

1. Mnozina vsech vektoru z prostoru {(k · x1, k · x2); k ∈ R} tvorı vektorovy podprostor mnozinyR2.

2. Mnozina spojitych funkcı na intervalu 〈0, 1〉 tvo59 podprostor vektorov0ho prostoru vsech funkcıdefinovanych na intervalu 〈0, 1〉.

3. Prazdny prostor je podprostor vektoroveho prostoru a cely prostor je take podprostor vek-toroveho prostoru. (jedna se o tzv. trivialnı prostory)

55 10. zarı 2010


6.3 Baze vektoroveho prostoru a souradnice vektoroveho prostoru vzh-ledem k bazi

Definice 6.3 Linearnı kombinace vektoru a linearnı obal mnoziny M .Necht’ jsou dany vektory v1,v2, . . .vk linearnı kombinacı techto vektoru rozumıme kazdy vektortvaru

α1 · v1 + α2 · v2 + α3 · v3 + · · ·+ αk · vk

Linearnım obalem mnoziny M rozumıme vsechny vektory tvaru

α1 · v1 + α2 · v2 + α3 · v3 + · · ·+ αk · vk,

kde v1,v2, . . .vk ∈M.Linearnı obal znacıme L(M).

Linearnım obalem mnoziny M jsou vsechny vektory, ktere vzniknou”linearnı kombinacı“ vektoru z

mnoziny. Rıkame, ze mnozina M generuje linearnı obal L(M).Naprıklad

1. pro vektory v1 = (1, 0) a v2 = (0, 1) je jejich linearnım obalem L({(1, 0), (0, 1)}) cely prostorR2;

2. pro vektory v1 = (1, 0) a v2 = (2, 0) je jejich linearnım obalem L({(1, 0), (2, 0)}) prostor vsechvektoru tvaru (k, 0), kde k ∈ R

Definice 6.4 Vektory v1,v2, . . .vk jsou linearne nezavisle, jestlize z rovnosti

α1 · v1 + α2 · v2 + α3 · v3 + · · ·+ αk · vk = 0

plyne, ze α1 = α2 = · · · = αk = 0.Vektory v1,v2, . . .vk jsou linearne zavisle, jestlize existujı α1, α2, . . . , αk, z nichz alespon jeden jenenulovy, pro ktera platı rovnost

α1 · v1 + α2 · v2 + α3 · v3 + · · ·+ αk · vk = 0

Dva linearne zavisle vektory se nazyvajı kolinearnı vektory (rovnobezne).

Vektory jsou linearne zavisle, pokud kazdy vektor lze napsat jako linearnı kombinaci zbylych vektoru.Tj. vektory v1,v2, . . .vk jsou zavisle, pokud vektor v1 je linearnı kombinacı vektoru v2,v3, . . .vk.

56 10. zarı 2010


Prıklady:

1. vektory v1 = (1, 0) a v2 = (2, 0) jsou linearne zavisle, protoze zvolım α1 = 2 a α2 = −1 adostanu

α1 · v1 + α2 · v2 = 2 · (1, 0) +−1 · (2, 0) = (2 + (−2), 0) = (0, 0)

2. vektory v1 = (1, 0) a v2 = (0, 1) nejsou linearne zavisle (jsou linearne nezavisle), protoze hledamα1 , α2 tak, aby

α1 · (1, 0) + α2 · (0, 1) = (0, 0)

tady(α1, α2) = (0, 0)

a to je splneno pouze pro α1 = α2 = 0

3. vektory v1 = (1, 3) a v2 = (2, 6) jsou linearne zavisle, protoze zvolım α1 = −2 a α2 = 1 adostanu

α1 · v1 + α2 · v2 = −2 · (1, 3) + 1 · (2, 6) = (2 + (−2),−6 + 6) = (0, 0)

4. vektory v1 = (1, 3) a v2 = (2, 4) nejsou linearne zavisle (jsou linearne nezavisle), protoze hledamα1 , α2 tak, aby

α1 · (1, 3) + α2 · (2, 4) = (0, 0)

tady resım soustavu

1 · α1 + 2 · α2 = 0

3 · α1 + 4 · α2 = 0

a najdu, ze jedinym resenım teto soustavy je

(α1, α2) = (0, 0)

5. Chapeme-li vektory graficky v prostoru R2 ev. R3 jsou smernice dvou linearne zavislych vektoru(kolinearnıch vektoru) jsou shodne. Vektory v1 a v2 jsou kolinearnı prave tehdy, kdyz existujeα ∈ R tak, ze

v1 = α · v2

57 10. zarı 2010


Definice 6.5 Mnozinu linearne nezavislych vektoru v1,v2, . . .vk, takovych ze tyto vektory generujıcely prostor V, tj. ze

L (v1,v2, . . .vk) = V

nazyvame bazı vektoroveho prostoru.

Poznamky:

1. Baze vektoroveho prostoru jsou tedy vektory”pomocı“, kterych umıme vyjadrit vsechny ostatnı

vektory z vektoroveho prostoru.

2. Jestlize vektory e1, e2, . . . ek tvorı bazi vektoroveho prostoru, pak kazdy vektor v ∈ V lze napsatjako linearnı kombinaci bazickych vektoru

α1 · e1 + α2 · e2 + α3 · e3 + · · ·+ αk · ek = v

3. V jednom vektorovem prostoru muze existovat vıce bazı, dokonce techto bazı existuje nekonecne.

• Vektory (1, 0, 0), (0, 1, 0) a (0, 0, 1) tvorı bazi vektoroveho prostoru R3

• Vektory (1, 0, 0), (0, 1, 0) a (1, 1, 1) tvorı bazi vektoroveho prostoru R3

• Vektory (−1, 0, 0), (0,−1, 0) a (−2, 2, 5) tvorı bazi vektoroveho prostoru R3

• Vektory (1, 0, 0), (0, x, 0) a (0, 0, x2) tvorı bazi vektoroveho prostoru vsech polynomu stupnenejvyse 2.

Veta 6.1 Pocet prvku baze je roven dimenzi vektoroveho prostoru.

Aritmeticky vektorovy prostor zalozeny na souradnicıch v sobe jiz obsahuje bazi prostoru. Souradnicevektoru nam urcujı koeficienty α1, α2, . . . , αn z definice linearne zavislych vektoru.Pokud bychom zvolili jine bazicke vektory, dostaneme jine souradnice. System nenı invariantnı vucizmene souradnic.

58 10. zarı 2010


6.4 Skalarnı soucin vektoru a norma vektoru, vektorovy soucin v R3

Vektorovy prostor Rn je prostor, ktery krome zakladnıch vlastnostı vektorovych prostoru splnuje jesteradu dalsıch

”dobrych“ vlastnostı.

1. V prostoru Rn jsou vzajemne jednoznacne”propojeny“ body a vektory. Libovolnym dvou bodum

A = (a1, a2, . . . , an) a B = (b1, b2, . . . , bn), muzeme priradit vektor vychazejıcı z bodu A asmerujıcı do bodu B,

v = −→v =−→AB = B − A = (b1 − a1, b2 − a2, . . . , bn − an)

Jedna se o afinnı prostor.

2. V prostoru umıme definovat normu (delku) vektoru

‖v‖ = |v| =√v2

1 + v22 + v2

3 + · · ·+ v2n

Jedna se o normovany linearnı prostor.

Libovolny vektor v muzeme normovat tak, ze vysledny vektor ma normu (delku) jedna:

u =v

|v|

3. V prostoru umıme definovat skalarnı soucin u,v ∈ Rn nasledujıcım zpusobem

ρ(u,v) = u · v = u1 · v1 + u2 · v2 + u3 · v3 + · · ·+ un · vn

Jedna se o prostor se skalarnım soucinem. V kazdem prostoru se skalarnım soucinem lze definovatnormu

‖v‖ =√ρ(u,v)

Jsou-li u,v ∈ R3 dva nenulove vektory, pak pro jejich skalarnı soucin platı

u · v = |u| · |v| · cosϕ,

kde ϕ je uhel, ktery dane vektory svırajı.

4. V prostorech se skalarnım soucinem definujeme pojem, kolme vektory.

Definice 6.6 Rekneme, ze dva nenulove vektory u,v ∈ Rn jsou kolme vektory, pokud

u · v = 0

59 10. zarı 2010


V prostorech R2, resp. R3 jsou kolme vektory ty vektory, pro ktere platı

cosϕ =u · v|u| · |v|

= 0

tj. cosϕ = 0, specialne tedy vektory, ktere svırajı uhelπ

2= 90◦

5. Jsou-li vektory linearne nezavisle a kolme, nazyvame je ortogonalnı vektory. Baze tvorenaortogonalnımi vektory se nazyva ortogonalnı baze.

Jsou-li vektory navıc jednotkove (majı-li normu jedna), nazyvame je ortonormalnı vektory.Baze tvorena ortonormalnımi vektory se nazyva ortonormalnı baze.

6. V prostoru R3 lze definovat tez vektorovy soucin

u× v = (u2 · v3 − u3 · v2, u3 · v1 − u1 · v3, u1 · v2 − u2 · v1)

Vysledkem vektoroveho soucinu je vektor.

Vektorovy soucin dvou linearne zavislych vektoru je nulovy vektor.

Vektorovy soucin dvou linearne nezavislych vektoru w = u× v ma nasledujıcı vlastnosti

• Vektorovy soucin je kolmy k obema danym vektorum: u ·w = 0 a v ·w = 0

• Norma (delka) vektoroveho soucinu je cıselne rovna obsahu rovnobeznıku urceneho vektoryu a v.

|w| = |u| · |v| · sinϕ,

kde ϕ je uhel vektoru u

60 10. zarı 2010

KMA/ZM1 (Blanka Sediva): 7 Matice - zakladnı pojmy a definice 61

7 Matice - zakladnı pojmy a definice

Definice 7.1 Maticı A typu m × n nazyvame schema slozene z m · n prvku (realnych, komplexnıch,celych cısel, . . . ), ktere jsou usporadany do m radu a n sloupcu.

Pıseme A =

a11 a12 . . . a1n

......

am1 . . . amn

= (aij)i=1...mj=1...n

• cıslo aij nazyvame prvkem matice;

• index i oznacuje cıslo radku (radkovy index);

• index j oznacuje cıslo sloupce (sloupcovy index).

Prıklad: 1 2 3 4

5 6 3.7 0

4 −2 8 −7.89

Dalsı pojmy:

• Prvky se stejnym radkovym a sloupcovym indexem ai i nazveme diagonalnı prvky a jejich spojnicinazveme hlavnı diagonalou matice A.

• Prvky s indexy ai n−i nazveme prvky vedlejsı diagonaly.

• Matice se nazyva ctvercovou maticı, pokud n = m, cıslo n se nazyva rad matice.

• Nulova matice je matice Am,n, jejız vsechny prvky jsou nulove, nulovou matici znacıme O.

• Matice, ktera ma na hlavnı diagonale prvnıch h prvku (h ≤ m,h ≤ n) nenulovych a ostatnıprvky nulove se nazyva diagonalnı matice.

• Trojuhelnıkova matice je matice, v nız jsou prvky po jedne strane hlavnı diagonaly rovny nule.Jsou-li prvky pod hlavnı diagonalou rovny nule, mluvıme o hornı trojuhelnıkove matici. Jsou-liprvky nad hlavnı diagonalou rovny nule, mluvıme o dolnı trojuhelnıkove matici.

Prıklady trojuhelnıkovych matic:1 0 0 0

5 6 0 0

4 −2 8 0

1 a a2 a3

0 1 a a2

0 0 1 a

61 10. zarı 2010


• Ctvercova diagonalnı matice, ktera ma diagonalnı prvky rovny jednicce, se nazyva jednotkovamatice a znacı se In nebo En.

I4 =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

• Ctvercova matice A = (aij)i,j=1...n se nazyva symetricka matice, pokud pro jejı prvky platıai,j = aj,i.

• Ctvercova matice A = (aij)i,j=1...n se nazyva antisymetricka matice, pokud pro jejı prvky platıai,j = −aj,i. Z definice plyne, ze diagonalnı prvky antisymetricke matice musı byt rovny nule.

7.1 Operace s maticemi

Mezi zakladnı operace s maticemi patrı: transpozice matic, scıtanı a odcıtanı matic se stejnymirozmery, nasobenı matice realnym (komplexnım) cıslem, nasobenı dvou matic (pokud majı prıslusnerozmery).

Definice 7.2 Necht’ je dana matice A = (aij)i=1...mj=1...n typu m×n, pak matici s prvky (bij = aji) nazveme

transponovanou maticı k matici A a znacıme ji AT . (Transponovana matice vznikne”

prehozenımradku a sloupcu“ puvodnı matice)

A =

(1 0 −2 −4

5 6 0 3

)AT =

1 5

0 6

−2 0

−4 3

Definice 7.3 Scıtanı matic, odcıtanı matic a nasobenı matic konstantou Necht’ jsou danydve matice A,B stejnych rozmeru, pak matici s prvky ai j+bi j nazveme souctem matic A a B. ZnacımeA+B. (pri scıtanı provadıme operaci scıtanı prvek po prvku).Analogicky definujeme odcıtanı matic a nasobenı matic realnym cıslem (komplexnım cıslem, konstan-tou).(

1 0 −2

−5 −6 0

)+

(1 5 5

0 6 0

)=

(1 + 1 0 + 5 −2 + 5

−5 + 0 −6 + 6 0 + 0

)=

(2 5 3

−5 0 0

)

Pokud matice nemajı stejny rozmer, nelze odcıtat nebo scıtat:

62 10. zarı 2010


(1 0 −2

−5 −6 0

)+

1 5 5

0 6 0

1 0 0

= neexistuje

Pri nasobenı matice konstantou zapisujeme λ · A a nasobıme opet prvek po prvku:

10 ·

(1 0 −2

−5 −6 0

)=

(10 0 −20

−50 −60 0

)

Veta 7.1 Pro scıtanı, odcıtanı a nasobenı matic konstantou platı nasledujıcı vztahy (predpoklademje, ze matice A,B a C majı stejne rozmery, r, s jsou realna (resp. komplexnı) cısla):

• A+B = B + A komutativnı zakon

• (A+B) + C = A+ (B + C) asociativnı zakon

• (A+B)T = AT +BT

• A+ 0 = 0 + A = A

• r A+ sA = (r + s)A distributivnı zakon

• r (A+B) = r A+ r B distributivnı zakon

• (r A)T = r AT

• (−1)A = −A

Definice 7.4 Necht’ matice A je matice s rozmery m× n a matice B je matice s rozmery n× p, pak

soucinem matic A ·B nazveme matici C s prvky cij =n∑k=1

aikbkj.

Vysledna matice C = A ·B ma rozmery m× p

Nasobek matic vznikne tak, ze prvek ci j matice soucinu je roven skalarnımu soucin i− teho radkuprvnı matice a j− teho sloupce druhe matice.

3 2 1

0 8 5

1 −1 0

0 0 1

·

7 8

6 1

0 1

=

21 + 12 + 0 24 + 2 + 1

0 + 48 + 0 0 + 8 + 5

7− 6 + 0 8− 1 + 0

0 + 0 + 0 0 + 0 + 1

=

33 27

48 13

1 7

0 1

POKUD NESOUHLASI ROZMERY MATIC, NELZE MATICE NASOBIT !

63 10. zarı 2010


(3 2 1

0 8 5

)·

(7 8 1

6 1 0

)= neexistuje

NASOBENI MATIC NENI KOMUTATIVNI A ·B 6= B · A

(1 0

2 1

)·

(1 3

1 0

)=

(1 3

3 6

)

(1 3

1 0

)·

(1 0

2 1

)=

(7 3

1 0

)

Veta 7.2 Pro nasobenı matic platı nasledujıcı vztahy (predpokladem je, ze matice A,B a C majıprıslusne rozmery takove, ze nasobky matic existujı):

• A · (B · C) = (A ·B) · C asociativnı zakon

• (A+B) · C = A · C +B · C distributivnı zakon

• (A ·B)T = BT · AT !!

• A · 0 = 0 · A = 0

• r(A ·B) = (r · A) ·B

• A ·B = 0 6⇒ A = 0 ∨B = 0

Definice 7.5 Necht’ n ∈ N je prirozene cıslo a matice A je ctvercova matice, pak mocninu maticedefinuji indukcnım postupem:

• A2 = A · A

• An = A · An−1

Matici A, pro kterou existuje prirozene cıslo n takove, ze platı An = 0 nazveme nilpotentnı maticı.

Prıklady netrivialnıch nilpotentnı matic:

0 1 3

0 0 −1

0 0 0

0 0 0 0

2 0 0 0

1 3 0 0

0 2 4 0

(

1 1

−1 −1

) 1 1 1

1 1 1

−2 −2 −2

64 10. zarı 2010


7.2 Determinant maticemi

Par poznamek na zacatku

Determinant je cıslo, ktere priradıme ctvercove matici A. Pokud A je ctvercova matice 2 × 2, pakdeterminant matice A spoctu podle vztahu

det

(a11 a12

a21 a22

)=

∣∣∣∣∣ a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21

a absolutnı hodnota determinant matice A udava obsah rovnobeznıku urceneho radkovymi (sloup-covymi) vektory matice A.

Uvazujme vektor v1 = (1, 1) a vektor v2 = (−2, 2), sestavıme matici A =

(v1

v2

)=

(1 1

−2 2

)Determinant teto matice je roven Determinant ma vsak i radu dalsıch pouzitı, jak uvidıme pozdeji.

det(A) = det

(1 1

−2 2

)= 1 · 2− 1 · (−2) = 4

Pokud zakreslıme vektory do obrazku a vykreslıme rovnobeznık urceny temito vektory, vidıme, zese jedna o obdelnık se stranami delky

√1 + 1 =

√2 a√

22 + 22 =√

8. Obsah tohoto obdelnıku jeS =√

2 ·√

8 = 4.

Definice 7.6 Definice determinantu indukcıNecht’ A je ctvercova matice radu n, pak determinant matice nazvu cıslo detA, ktere dostanu

• pro n = 1 je det (a11) = a11

• pro n = 2 je det

(a11 a12

a21 a22

)=

∣∣∣∣∣ a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21

65 10. zarı 2010


• pro n > 2 detA rozvojem podle zvoleneho radku nebo sloupce

detA = ai1 · (−1)i+1 · detAi1 +

+ ai2 · (−1)i+2 · detAi2 +

+ ai3 · (−1)i+3 · detAi3 +

+ . . . +

+ ain · (−1)i+n · detAin

kde detAij je subdeterminant matice Aij, ktera vznikne

vynechanım i-teho radku a k-teho sloupce matice A.

Prıklad na vypocet determinantu matice rozvojem podle prvnıho radku:∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3

4 5 6

7 8 9

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 1 ·det

(5 6

8 9

)−2 ·det

(4 6

7 9

)+ 3 ·det

(4 5

7 8

)= 1 · (−3)−2 · (−6) + 3 · (−3) = 0

Nedostatkem teto definice je jejı nejednoznacnost, nenı urceno podle ktereho radku delam rozvoj.Lze dokazat, ze vysledek vypoctu nezavisı na zvolenem radku a navıc lze determinant matice pocıtatstejnym postupem rozvojem podle libovolne zvoleneho sloupce.

Pri vypoctu determinantu rozvojem je jedno podle ktereho sloupce nebo radku rozvojprovedu.Obvykle VOLIM SLOUPEC nebo RADEK s NEJVETSIM POCTEM NUL !

66 10. zarı 2010


Veta 7.3 Vlastnosti determinantu

• detA = detAT .∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 1 3

2 4 5 1

3 6 7 5

4 8 3 7

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3 4

2 4 6 8

1 5 7 3

3 1 5 7

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣• Ma-li matice jeden radek nebo sloupec nulovy, pak je jejı determinant roven nule.

• Ma-li matice dva shodne radky nebo dva shodne sloupce, pak je jejı determinant roven nule.

• Pokud matice A je diagonalnı nebo trojuhelnıkova, pak det je soucin prvku na diagonale. Tj.detA = Πn

i=1aii = a11 · a22 · · · · · ann

• pro matici typu 3× 3 platı Sarrusovo pravidlo.

− − −↗ ↗ ↗

a11 a12 a13 a11 a12

a21 a22 a23 a21 a22

a31 a32 a33 a31 a32

↘ ↘ ↘+ + +

PRO MATICE VYSSICH RADU PODOBNE PRAVIDLO NEPLATI !!

67 10. zarı 2010


Elementarnı upravy matice a determinant

• Vznikne-li matice B z matice A vymenou dvou radku (nebo dvou sloupcu), pak detB = − detA.

• Vznikne-li matice B z matice A vynasobenım jednoho radku cıslem k, pak detB = k detA.∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 . . . a1n

. . .

kai1 kai2 . . . kain

. . .

an1 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= k ·

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 . . . a1n

. . .

ai1 ai2 . . . ain

. . .

an1 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣• Vznikne-li matice B z matice A prictenım vektoru (b1, b2, . . . , bn) k i− temu radku, pak platı∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 . . .

. . .

ai1 + b1 ai2 + b2 . . . ain + bn

. . .

an1 an2 . . .

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 . . .

. . .

ai1 ai2 . . . ain

. . .

an1 an2 . . .

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 . . .

. . .

b1 b2 . . . bn

. . .

an1 an2 . . .

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣• Vznikne-li matice B z matice A prictenım jineho radku nebo prictenım nasobku jineho radku,

pak detB = detA∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 . . .

. . .

ak1 ak2 . . . akn

. . .

ai1 + tak1 ai2 + tak2 . . . ain + takn

. . .

an1 an2 . . .

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 . . .

. . .

ak1 ak2 . . . akn

. . .

ai1 ai2 . . . ain

. . .

an1 an2 . . .

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣+ t

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 . . .

. . .

ak1 ak2 . . . akn

. . .

ak1 ak2 . . . akn

. . .

an1 an2 . . .

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

68 10. zarı 2010


=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 . . .

. . .

ak1 ak2 . . . akn

. . .

ai1 ai2 . . . ain

. . .

an1 an2 . . .

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣+ t · 0.

Pri vypoctu slozitejsıch determinantu nejprve matici upravım pomocı elementarnıchuprav s cılem zıskat sloupec nebo radek s

”velkym“ poctem nul a dale provedu rozk-

lad podle sloupce nebo radku.Prıklad na vypocet determinantu s pouzitım elementarnıch maticovych uprav a rozvojem∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

−3 −1 −3 4 −3

−7 −1 −10 5 −2

4 0 6 −4 −1

5 1 10 −4 5

5 3 4 −4 3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

2 0 7 0 2

−2 0 0 1 3

4 0 6 −4 −1

5 1 10 −4 5

−10 0 −26 8 −12

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 1 ·

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣2 7 0 2

−2 0 1 3

4 6 −4 −1

−10 −26 8 −12

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣2 7 0 2

0 0 1 0

−4 6 −4 11

6 −26 8 −36

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 1·

∣∣∣∣∣∣∣∣2 7 2

−4 6 11

6 −26 −36

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣∣2 7 2

0 20 15

0 −47 −42

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 2·20·(−42)−2·15·(−47) = 270

Definice 7.7 Ctvercova matice se nazyva regularnı matice prave tehdy, kdyz det(A) 6= 0.Ctvercova matice se nazyva singularnı matice prave tehdy, kdyz det(A) = 0.

Veta 7.4 Necht’ A a B jsou ctvercove matice stejneho stupne a R je regularnı matice, pak platı

• det(A ·B) = det(A) · det(B).

• det(R−1) = det(R)−1 =1

det(R)

Pro determinant souctu matic podobny vztah neplatı !

69 10. zarı 2010


7.3 Inverznı matice

Definice 7.8 Necht’ A je regularnı matice, I je jednotkova matice.Inverznı maticı k matici A nazyvame matici A−1, pro kterou platı A−1A = AA−1 = I.

7.4 Vypocet inverznı matice pomocı Jordanovy eliminace

Resenı soustavy rovnic Jordanovou eliminacı

2 −3 1 0

1 2 −1 3

0 1 0 3

∼

1 2 −1 3

0 −7 3 −6

0 1 0 3

∼

1 2 −1 3

0 1 0 3

0 −7 3 −6

∼

1 2 −1 3

0 1 0 3

0 0 3 15

∼

1 2 −1 3

0 1 0 3

0 0 1 5

∼

1 2 0 8

0 1 0 3

0 0 1 5

∼

1 0 0 2

0 1 0 3

0 0 1 5

⇒x = 2

y = 3

z = 5

Jordanova metoda vypoctu inverznı matice

AA−1 = I

Rozepıseme vyse uvedenou rovnost pro matici 3× 3

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

x11 x12 x13

x21 x22 x23

x31 x32 x33

=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Hledanı inverznı matice tedy odpovıda resenı trı soustav linearnıch rovnic

A ·

x11

x21

x31

=

1

0

0

⇒a11x11 + a12x21 + a13x31 = 1

a21x11 + a22x21 + a23x31 = 0

a31x11 + a32x21 + a33x31 = 0

70 10. zarı 2010


Maticovy zapis trı soustav rovnic1

A 0

0

0

A 1

0

0

A 0

1

Vsechny tri soustavy resıme najednou (A|I)1 0 0

A 0 1 0

0 0 1

∼ · · · ∼ · · · ∼ · · · ∼

1 0 0

0 1 0 A−1

0 0 1

Prıklad:

Urcete inverznı matici k matici A =

(1 1

1 2

):

Urcete inverznı matici k matici B =

1 0 1

0 1 0

1 1 2

:

Urcenı inverznı matice pomocı determinantu

Veta 7.5 Necht’ A je regularnı matice, pak pro inverznı matici platı

A−1 =1

detA

D11 D12 . . .

D21 D22 . . .

. . . . . .

. . . . . . Dnn

T

=1

detA

D11 D21 . . .

D12 D22 . . .

. . . . . .

. . . . . . Dnn

cıslo Dij = (−1)i+j · detAij je algebraicky doplnek prvku aij

Znovu prıklady

Urcete inverznı matici k matici A =

(1 1

1 2

):

71 10. zarı 2010


Urcete inverznı matici k matici B =

1 0 1

0 1 0

1 1 2

:

Veta 7.6 Vlastnosti inverznı matice

1. (A−1)−1

2. (A ·B)−1 = B−1 · A−1

3. (AT )−1 = (A−1)T

4. detA−1 =1

detA

5. Ke kazde regularnı matici existuje prave jedna inverznı matice.

72 10. zarı 2010

KMA/ZM1 (Blanka Sediva): 8 Soustava linearnıch rovnic 73

8 Soustava linearnıch rovnic

Definice 8.1 Necht’ aij, bi, i = 1, 2, . . . ,m, j = 1, 2, . . . , n jsou realna (nebo komplexnı) cısla. Sous-tavua11x1 + a12x2+ . . . +a1nxn = b1

a21x1 + a22x2+ . . . +a2nxn = b2

. . .

am1x1 + am2x2+ . . . +amnxn = bmnazyvame soustavou m linearnıch rovnic o n neznamych.Rovnici casto zapisujeme v maticovem tvaruAx = b

kde A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

. . .

. . .

. . .

am1 am2 . . . amn

, x =

x1

x2

. . .

xn

, b =

b1

b2

. . .

. . .

. . .

bm

Matice A se nazyva matice soustavy, vektor b se nazyva vektor pravych stran a vektor x se nazyvavektor neznamych.Matice

(A|b) =

a11 a12 . . . a1n | b1

a21 a22 . . . a2n | b2

. . . . . . . . . . . . |am1 am2 . . . amn | bm

se nazyva rozsırena matice soustavy.

Jestlize b = 0 rıkame, ze soustava je homogennı, jestlize B 6= 0 jedna se o soustavu nehomogennı.

• (Obecne) resenı soustavy je kazda n-tice cısel v1, v2, . . . , vn takova, ze po dosazenı za x1, x2, . . . , xnbudou vsechny rovnice splneny.

• Resit soustavu znamena najıt vsechna resenı (vsechny n-tice, ktere vyhovujı soustave)

• metody resenı: graficky, dosazenım, Gaussovou eliminacnı metodou, Cramerovym pravidlem,inverznı maticı, specialnımi numerickymi postupy, . . .

73 10. zarı 2010


8.1 Graficke resenı soustavy dvou linearnıch rovnic o dvou neznamych

Reste graficky soustavu 2 rovnic o dvou neznamych. Co to znamena graficky?

x− 2y = 2

x+ y = 5

x+ 2y = −4

2x+ 4y = 8

2x+ 4y = 0

x+ 2y = 0

Graficke resenı soustavy trı rovnic o trech neznamych

74 10. zarı 2010


8.2 Elementarnı upravy matic a hodnost matice

Definice 8.2 Elementarnı radkove (sloupcove) upravy matic jsou operace

1. Zmena poradı radku (sloupcu).

2. Vynasobenı radku (sloupce) nenulovym cıslem.

3. Prictenı nasobku nektereho radku k jinemu radku (totez pro sloupce).

Definice 8.3 Hodnost matice A typu m×n je pocet nenulovych radku trojuhelnıkove matice B, kteravznikne z matice A pomocı elementarnıch radkovych a sloupcovych uprav.Prevod matice na trojuhelnıkovou matici se nazyva Gaussova eliminacnı metoda.Vznikne-li matice C z matice A pomocı elementarnıch uprav, rıkame, ze C je ekvivalentnı s A.

• Hodnost matice je tedy cıslo h(A), hodnost nenulove matice je v rozmezı hodnot 1 az m

• Hodnost matice nezavisı na poradı elementarnıch uprav, kazdou nenulovou matici lze pomocıGaussovy eliminacnı metody upravit na hornı trojuhelnıkovou matici.

• Hodnost matice A je rad nejvetsıho nenuloveho subdeterminantu matice.

Subdeterminantem radu k rozumıme determinant matice vznikle z matice A vyberem prvku vezvolenych k radcıch a k sloupcıch.

• Ekvivalentnı matice majı stejnou hodnost.

Prıklad:Urcete hodnost nasledujıcıch matice

A1 =

1 2 3

3 5 1

2 3 −2

∼

1 2 3

0 −1 −8

2 3 −2

∼

1 2 3

0 −1 −8

0 −1 −8

∼

1 2 3

0 −1 −8

0 0 0

⇒ h(A1) = 2

A2 =

1 4 5 2

−1 3 2 1

2 1 0 1

∼

1 4 5 2

0 7 7 3

0 −7 −10 −3

∼

1 4 5 2

0 7 7 3

0 0 −3 0

⇒ h(A2) = 3

A3 =

3 1 1 1

5 4 6 3

2 −1 0 0

⇒ h(A3) = 3

75 10. zarı 2010


8.3 Resenı soustav linearnıch rovnic

8.3.1 Graficky

8.3.2 Substitucnı metoda

Z prvnı rovnice vyjadrım prvnı neznamou a dosadım do dalsıch rovnic, tım zmensım pocet rovnic nam− 1, postup opakuji dokud nemam pouze jednu linearnı rovnici.

8.3.3 Gaussovou eliminacnı metodou

Upravuji rozsırenou matici soustavy na hornı trojuhelnıkovy tvar.

Veta 8.1 Frobeniova veta. Soustava m linearnıch rovnic o n neznamych ma alespon jedno resenı,prave kdyz hodnost matice soustavy se rovna hodnosti rozsırene matice soustavy.

Pro soustavu Ax = b s n neznamymi platı:

• h(A) = h(A|B) = n⇒ soustava ma prave jedno resenıa11 a12 . . . a1n | b1

0 a22 . . . a2n | b2

0 0. . . . . . |

0 0 0 amn | bm

• h(A) = h(A|B) < n⇒ ma nekonecne mnoho resenı

a11 a12 . . . a1n | b1

0 a22 . . . a2n | b2

0 0. . . . . . |

0 0 0 0 | 0

• h(A) 6= h(A|B)⇒ soustava nema resenı

a11 a12 . . . a1n | b1

0 a22 . . . a2n | b2

0 0. . . . . . |

0 0 0 0 | bm

Prıklad: Reste soustavy lin. rovnic

76 10. zarı 2010


3x1 − 5x2 + 6x3 = −20

−x1 + 2x2 + 5x3 = 1

7x1 − 10x2 − 19x3 = −7

resenı Gauss. eliminacnı metodou ⇒ x1 = 2, x2 = 4, x3 = −1

x1 − 2x2 + x3 = 0

3x1 − 5x2 − 2x3 = −3

7x1 − 3x2 + x3 = 16

⇒ x1 = 3, x2 = 2, x3 = 1

2x− 3y + 4z = 8

3x+ 5y − z = 10

7x− y + 7z = 15

nema resenı

x+ y + 2z = 1

2x + 2z = 0⇒ nekonecne resenı x = t, y = 1− t, z = t kde parametr t ∈ R

⇒ (x, y, z) = (0, 1, 0) + t(−1,−1, 1)Algoritmus:

A|b =

a11 a12 . . . a1n b1

a21 a22 . . . a2n b2

. . .

am1 am2 . . . amn bm

,

8.3.4 Cramerovym pravidlem

Veta 8.2 Necht’ soustava Ax = b zahrnujıcı n rovnic o n neznamych ma regularnı matici (detA 6=0).Pak tato soustava ma jedine resenı:

x1 =detA1

detA, x2 =

detA2

detA, . . . , xn =

detAndetA

,

77 10. zarı 2010


kde Ai je matice, ktera vznikne z matice A nahrazenım i-teho sloupce sloupcem pravych stran.

Poznamka: Pouzitı Cramerova pravidla je velmi narocne na pocet operacı, pokud rozsah matice je n. . . potrebujeme (n− 1)n! nasobenı, n!− 1 scıtanı, mame n+ 1 determinantu⇒ (n+ 1)[(n− 1)n! + n!] = (n+ 1)!npro n = 30 ⇒ 2.5 · 1035 operacı

Prıklad:2x− 3y = 4

5x+ 7y = −9

|A| =

∣∣∣∣∣ 2 −3

5 7

∣∣∣∣∣ = 2 · 7− (−3) · 5 = 14 + 15 = 29⇒ |A| 6= 0 lze pouzıt Cramerovo pravidlo

|A1| =

∣∣∣∣∣ 4 −3

−9 7

∣∣∣∣∣ = 4 · 7− (−3) · (−9) = 28− 27 = 1⇒ x =detA1

detA=

1

29

|A2| =

∣∣∣∣∣ 2 4

5 −9

∣∣∣∣∣ = 2 · (−9)− 4 · 5 = −18− 20 = −38⇒ y =detA2

detA=−38

29

Vyuzitı Cramerova pravidla pro resenı rovnic s parametrem

x+ 3y = z = 1

2x− y − 3z = 0

3x+ (3a− 1)− 2z = a+ 3

|A| =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 3 1

2 −1 −3

3 3a− 1 −2

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 15a− 15⇒ lze pouzıt Cramerovo pravidlo pro a 6= 1

|Ax| =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 3 1

0 −1 −3

a+ 3 3a− 1 −2

∣∣∣∣∣∣∣∣ = a− 25⇒ x =detAxdetA

=a− 25

15a− 15

|Ay| =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1

2 0 −3

3 a+ 3 −2

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 5a+ 10⇒ y =detAydetA

=5a+ 10

15a− 15

78 10. zarı 2010


|Az| =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 3 1

2 −1 0

3 3a− 1 a+ 3

∣∣∣∣∣∣∣∣ = −a− 20⇒ z =detAzdetA

=−a− 20

15a− 15

Pro a = 1 Resım soustavu Gaussovou eliminacı

(A|b) =

1 3 1 1

2 −1 −3 0

3 2 −2 1

∼

1 3 1 1

0 −7 −5 −2

0 −7 −5 1

∼

1 3 1 1

0 −7 −5 −2

0 0 0 3

⇒

soustava nema resenı pro hodnotu parametru a = 1

8.3.5 Nalezenım inverznı matice

Veta 8.3 Necht’ soustava Ax = b zahrnujıcı n rovnic o n neznamych ma regularnı matici (detA 6=0).Pak existuje inverznı matice k matici A a soustava ma jedine resenı

x = A−1b

Maticove platıA · x = b

79 10. zarı 2010


a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

. . .

an1 an2 . . . ann

·

x1

x2

. . .

xn

=

b1

b2

. . .

bn

x1

x2

. . .

xn

=

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

. . .

an1 an2 . . . ann

−1

·

b1

b2

. . .

bn

x1

x2

. . .

xn

=

c11 c12 . . . c1n

c21 c22 . . . c2n

. . .

cn1 cn2 . . . cnn

·

b1

b2

. . .

bn

kde prvky cij, i, j = 1, 2 . . . n jsou prvky inverznı matice A−1.

80 10. zarı 2010


8.4 Homogennı a nehomogennı soustavy

Soustava s nulovym sloupcem pravych stran se nazyva homogennı soustava.

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

. . .

. . .

. . .

am1 am2 . . . amn

·

x1

x2

. . .

xn

=

0

0

. . .

. . .

. . .

0

• Pro homogennı soustavy vzdy platı: h(A) = h(A|B)

• Jedno resenı je vzdy x1 = 0, x2 = 0, . . . , xn = 0. Toto resenı nazyvame trivialnı (nebo nulove).

• Pokud h(A) = n ⇒ existuje pouze jedno resenı (nulove) homogennı soustavy.

• Pokud h(A) < n ⇒ existuje nekonecne mnoho resenı (jedno nulove) homogennı soustavy.

Veta 8.4 Homogennı soustava A · x = b se ctvercovou maticı A ma nenulove resenı ⇔ detA = 0.

Nehomogennı soustava je soustava s nenulovou pravou stranou.

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

. . .

. . .

. . .

am1 am2 . . . amn

·

x1

x2

. . .

xn

=

b1

b2

. . .

. . .

. . .

bm

(Obecne)resenı nehomogennı soustavy dostaneme tak,

ze secteme (obecne) resenı prıslusne homogennı soustavy a

jedno resenı zadane nehomogennı soustavy.

Prıklad: Reste nehomogennı soustavu pomocı homogennı a porovnejte toto resenı s resenım pomocıGaussovy eliminacnı metody.(

1 2 1 1

1 0 1 2

)∼

(1 2 1 1

0 −2 0 1

)⇒

x + 2y + z = 1

−2y = 1⇒ (x, y, z) = (0,−1

2, 2)

81 10. zarı 2010


(1 2 1 0

1 0 1 0

)∼

(1 2 1 0

0 −2 0 0

)⇒

x + 2y + z = 0

−2y + = 1⇒ (x, y, z) = (t, 0,−t)

Celkove resenı (x, y, z) = (0,−1

2, 2) + (t, 0,−t)

82 10. zarı 2010

KMA/ZM1 (Blanka Sediva): 9 Analyticka geometrie 83

9 Analyticka geometrie

9.1 Analyticka geometrie v rovine

Pohybujeme se v prostoru R2 a predpokladame, ze pracujeme s bazickymi vektory e1 = (1, 0) ae2 = (0, 1). Graficky temto bazickym vektorum odpovıdajı souradne osy. Vzhledem k tomu, ze bazickevektory e1 a e2 jsou kolme (jejich skalarnı soucin je roven nule) tvorı tento system tzv. kartezsky systemsouradnic.Souradnice se protınajı v bode 0.Kazdy bod z prostoru R2 charakterizujeme tedy jejich souradnicemi, ktere vyjadrujı koeficientylinearnı kombinace bazickych vektoru

(x, y) = v1 · e1 + v2 · e2.

Vzdalenost dvou bodu a = (ax, ay) a b = (bx, by)v prostoru R2 odpovıda odpovıda norme vektorudaneho temito body.

d(a,b) = ‖b− a‖ =√

(bx − ax)2 + (by − ay)2

Pomocı vektoroveho a maticoveho poctu muzeme naprıklad spocıtat obsah mnohouhelnıka. Pro obsahmnohouhelnıky s vrcholy (ax, ay), (bx, by), (cx, cy), . . . (zx, zy) platı

P =1

2

∣∣∣∣∣det

(ax bx

ay by

)+ det

(bx cx

by cy

)+ · · ·+ det

(zx ax

zy ay

)∣∣∣∣∣Obsah trojuhelnıka s vrcholy (ax, ay), (bx, by) a (cx, cy) je roven

P4 =1

2

∣∣∣∣∣∣∣∣det

ax ay 1

bx by 1

cx cy 1

∣∣∣∣∣∣∣∣

9.1.1 Smernicova, usekova, obecna a vektorova rovnice prımky

83 10. zarı 2010


Rovnice prımky je mnozina bodu p ={

(x, y) ∈ R2; . . .}

splnujıcı predpis:

Smernicova rovnice prımky y = k x+ q;

Usekova rovnicex

p+y

q= 1, kde p 6= 0 a q 6= 0;

Obecna rovnice prımky ax+ by + c = 0, kde a2 + b2 > 0 (alespon jedno z cısel a, b je nenulove);

Vektorova rovnice x = A + t(B −A) kde t ∈ R, kde m = (x, y) a A,B jsou dva body, kterymiprımka prochazı;

Parametricka rovnice

x = ax + (bx − ax)ty = ay + (by − ay)t

84 10. zarı 2010


Vlastnosti koeficientu:

1. obecne rovnice:

• koeficienty a, b urcujı souradnice normaloveho vektoru n = (a, b) a smeroveho vektorus = (−b, a)

• pokud a = 0 je prımka rovnobezna s osou x

• pokud b = 0 je prımka rovnobezna s osou y

• pokud c = 0 prochazı prımka pocatkem (0, 0)

2. smernicove rovnice:

• tento tvar nezahrnuje prımky rovnobezne s osou y

• koeficient k se nazyva smernice prımky,

• koeficient q je usek, ktery vytına prımky na ose y

Rovnice prımky prochazejıcı dvema body A = (ax, ay) a B = (bx, by) je

x− axbx − ax

=y − ayby − ay

neboli

y − ay =by − aybx − ax

(x− ax)

9.1.2 Odchylka dvou prımek a vzdalenost bodu od prımky

Pro ostry uhel ϕ prımek y = k1x+ q1 a y = k2x+ q2 platı

tgϕ =

∣∣∣∣ k1 − k2

1 + k1 · k2

∣∣∣∣ .Jsou-li dany prımky ve tvaru a1x+ b1y + c1 = 0 a a2x+ b2y + c2 = 0, je

tgϕ =

∣∣∣∣a1b2 − a2b1

a1a2 + b1b2

∣∣∣∣ .Pokud pouzijeme smerove vektory prımek s1 = (−b1, a1) a s2 = (−b2, a2) lze odchylku dvou prımekzapsat tez

cosϕ =|s1 · s2|‖s1‖ · ‖s2‖

,

kde v citateli je absolutnı hodnota skalarnıho soucinu vektoru s1 a s2.Vzdalenost bodu x0, y0 od prımky ax+ by + c = 0 je

d =

∣∣∣∣ax0 + by0 + c√a2 + b2

∣∣∣∣ .85 10. zarı 2010


9.1.3 Vzajemna poloha dvou prımek v rovine

Prımky v rovine mohou byt:

• rovnobezne splyvajıcı

• rovnobezne nesplyvajıcı

• ruznobezne kolme

• ruznobezne (nekolme)

Veta 9.1 Mejme dve prımky dane ve smernicovem tvaru y = k1 x+q2 a y = k2 x+q2 resp. v obecnemtvaru a1x+ b1y + c1 = 0 a a2x+ b2y + c2 = 0. Pak

• prımky jsou rovnobezne splyvajıcı, jestlize je jedna rovnice nasobkem druhe;

• prımky jsou rovnobezne, jestlize k1 = k2 resp. a1b2 + a2b1 = 0(normalove, resp. smerove vektory jsou zavisle);

• prımky jsou kolme, jestlize k2 = − 1

k1

resp. a1a2 + b1b2 = 0

(skalarnı soucin normalovych, resp. smerovych vektoru je roven nule).

9.1.4 Transformace kartezskych souradnic

Pri prechodu (transformaci) od jedne kartezske (ortonormalnı) soustavy k druhe kartezske soustavepouzijeme pouze operace posun a otocenı (rotace) o uhel α.

Veta 9.2 Pri prechodu od kartezskych (0;x; y) ke stejne orientovane kartezske soustave souradnic(0′;x′; y′) se souradnice transformujı podle vztahu

x′ = x cosα + y sinα−m′

y′ = −x sinα + y cosα− n′

resp.

x = x′ cosα− y′ sinα +m

y = x′ sinα + y′ cosα + n

kde m,n jsou souradnice noveho pocatku 0′ v soustave (0;x; y), m′ = m cosα+n sinα a n′ = −m sinα+n cosα a α je uhel otocenı os souradnic.

86 10. zarı 2010


Zapis v maticovem tvaru(x′

y′

)=

(cosα sinα

− sinα cosα

)·

(x

y

)−

(m′

n′

)=

(cosα sinα

− sinα cosα

)·

(x

y

)−

(cosα sinα

− sinα cosα

)·

(m

n

)

(x

y

)=

(cosα − sinα

sinα cosα

)·

(x′

y′

)+

(m

n

)

Oznacme x =

(x

y

)a x′ =

(x′

y′

), A =

(cosα sinα

− sinα cosα

)a m =

(m

n

). Pak zapıseme

transformace jednoduse v maticovem tvaru

x′ = A · (x−m)

A−1 · x′ + m = x

87 10. zarı 2010


9.2 Analyticka geometrie v prostoru

Pohybujeme se v prostoru R2 a predpokladame, ze pracujeme s bazickymi vektory e1 = (1, 0, 0),e2 = (0, 1, 0) a e3 = (0, 0, 1). Graficky temto bazickym vektorum odpovıdajı souradne osy. Vzhledemk tomu, ze bazicke vektory e1, e2 a e3jsou kolme (jejich skalarnı souciny jsou rovny nule) tvorı tentosystem tzv. kartezsky system souradnic.Souradnice se protınajı v bode 0 = (0, 0, 0).Kazdy bod z prostoru R3 charakterizujeme tedy jejich souradnicemi, ktere vyjadrujı koeficientylinearnı kombinace bazickych vektoru

(x, y, z) = v1 · e1 + v2 · e2 + v3 · e3.

Vzdalenost dvou bodu a = (ax, ay, az) a b = (bx, by, bz)v prostoru R3 odpovıda odpovıda normevektoru daneho temito body.

d(a,b) = ‖b− a‖ =√

(bx − ax)2 + (by − ay)2 + +(bz − az)2

Obsah ctyrstenu s vrcholy (ax, ay, az), (bx, by, bz), (cx, cy, cz) a (dx, dy, dz)je roven

P =1

6

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣det

ax ay az 1

bx by bz 1

cx cy cz 1

dx dy dz 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

Objem ctyrstenu je roven nule prave tehdy, kdyz lezı vsechny ctyri body v jedne rovine.

9.2.1 Obecna, usekova a parametricka rovnice roviny

Rovnice roviny je mnozina bodu ρ ={

(x, y, z) ∈ R3; . . .}


Obecna rovnice roviny Ax+By+Cz +D = 0, kde alespon jedno z cısel A,B,C je ruzne od nuly

Usekova rovnicex

p+y

q+z

r= 1,


x = ax + s1t1 + r1t2

y = ay + s2t1 + r2t2

z = az + s3t1 + r3t2,

kde t1, t2 ∈ R a rovina prochazı bodem A = (ax, ay, az) a s = (s1, s2, s3), r = (r1, r2, r3) jsou jejısmerove vektory.

Vlastnosti koeficientu:

88 10. zarı 2010


1. obecny tvar:

• koeficienty a, b, c urcujı souradnice normaloveho vektoru n = (a, b, c), pozor smerovy vektornenı urcen jednoznacne, rovina ma DVA smerove vektory (vektory kolme na normalovy);

• pokud a = 0 je rovina rovnobezna s osou x

• pokud b = 0 je rovina rovnobezna s osou y

• pokud c = 0 je rovina rovnobezna s osou z

• pokud d = 0 prochazı rovina pocatkem (0, 0)

• pokud a = b = 0 je rovina rovnobezna se souradnou rovinou urcenou osami x, y

2. usekovy tvar: p, q, r jsou useky, ktere vytına rovina na osach souradnic s prihlednutım k jejichorientaci - naprıklad p = −3 znamena, ze rovina protına zapornou poloosu −x ve vzdalenosti 3,tj. rovina prochazı bodem (−3, 0, 0)

Rovina v prostoru je jednoznacne urcena:

• tremi ruznymi body, ktere nelezı na jedne prımce;

• dvema ruznobeznymi prımkami;

• dvema ruznymi rovnobeznymi prımkami;

• bodem a prımkou, ktera danym bodem neprochazı.

9.2.2 Odchylka dvou rovin, vzdalenost bodu od roviny, poloha dvou rovin

Jsou-li n1 a n2 normalove vektory dvou rovin ρ a σ, potom pro odchylku ϕ techto dvou rovin platı

cosϕ =|n1 · n2|‖n1‖ · ‖n2‖

,

kde v citateli je absolutnı hodnota skalarnıho soucinu vektoru n1 a n2.Vzdalenost bodu x0, y0, z0 od roviny ax+ by + cz + d = 0 je

d =

∣∣∣∣ax0 + by0 + cz0 + d√a2 + b2 + c2

∣∣∣∣ .Vzajemna poloha dvou rovin je analogicka vzajemnym poloham prımek v prostoru

9.2.3 Prımka v prostoru

Rovnice prımky v prostoru je mnozina bodu ρ ={

(x, y, z) ∈ R3; . . .}


89 10. zarı 2010



x = ax + s1t

y = ay + s2t

z = az + s3t,

kde t ∈ R a prımky prochazı bodem A = (ax, ay, az) a jejı smerovy vektor je s = (s1, s2, s3).

Kanonicky tvar rovnicex− axs1

=y − ays2

=z − azs3

Obecny tvar rovnice (prusecnice dvou ruznobeznych rovin)

A1x+B1y + C1z +D1 = 0 a A2x+B2y + C2z +D2 = 0

Prımky v prostoru mohou byt:

• rovnobezne splyvajıcı - smerove vektory jsou linearne zavisle a prımky majı nekonecne mnohospolecnych bodu;

• rovnobezne nesplyvajıcı - smerove vektory jsou linearne zavisle a prımky nemajı spolecny bod;

• ruznobezne - smerove vektory jsou linearne nezavisle a prımky majı prave jeden spolecny bod;

• ruznobezne kolme - ruznobezne a skalarnı soucin smerovych vektoru je roven nule;

• mimobezne - smerove vektory jsou linearne nezavisle a prımky nemajı spolecny bod.

90 10. zarı 2010

KMA/ZM1 (Blanka Sediva): 10 Limita funkce v bode x0 ∈ R ∪ {−∞; +∞} 91

10 Limita funkce v bode x0 ∈ R ∪ {−∞; +∞}

10.1 Definice limity funkce

Definice 10.1 Vlastnı limita ve vlastnım bode limx→x0

f(x) = A.

Rekneme, ze funkce f(x) ma v bode x0 ∈ R vlastnı limitu, pokud existuje cıslo A ∈ R, tak, ze

Cauchyova definice

∀ε > 0,∃ δ > 0 tak, ze pro ∀x : x ∈ (x0 − δ, x0 + δ), platı f(x) ∈ (A− ε, A+ ε)

Heinova definice

∀ {xn}+∞n=1 ∈ D(f) takove, ze lim

n→+∞xn = x0, platı lim

n→+∞f(xn) = A

Poznamky:

1. Obe definice limit jsou ekvivalentnı. Rozdıl v prıstupu ukazema na prıkladu, kdy funkce f(x)ma ve vlastnım bode x0 vlastnı limitu A.

• Cauchyova definice pracuje s okolım: Vlastnı limita A ve vlastnım bode x0 existuje, pokudkdyz zvolım libovolne okolı bodu A - oznacıme (U(A, ε)), pak vzdy existuje okolı bodu x0

oznacım (U(x0, δ)) takove, ze pro vsechny body z tohoto okolı (U(x0, δ)) platı, ze f(x) lezıv okolı bodu A, tj. v okolı U(A, ε).

• Heinova definice pracuje s hromadnym bodem (bod, ke kteremu se blızı nejaka posloupnostbodu xn) a limitou funkcnıch hodnot posloupnosti f(xn). Vlastnı limita A ve vlastnım bodex0 existuje, pokud pro kazdou posloupnost bodu limitne smerujıcıch do x0 platı, ze jejichfunkcnı hodnoty f(xn) limitne smerujı do A.

91 10. zarı 2010


• Existujı funkce, ktere nemajı limitu ve sledovanem bode x0. Naprıklad funkce sgnx nemalimitu v bode x0 = 0.

Vyberu posloupnost

xn =

{(−1

2

)n}=

{−1

2,+

1

4,−1

8,+

1

16, . . .

},

tato posloupnost se limitne blızı k nule, limn→+∞

xn = 0, ale posloupnost funkcnıch hodnot

ma tvarf(xn) = {−1,+1,−1,+1, . . . }

a tato posloupnost nema limitu.

Proto ma nekdy smysl zkoumat chovanı funkce zvlast’ pro body blızıcı se k bodu x0 zlevaa zvlast’ pro body blızıcı se k bodu x0 zprava.

92 10. zarı 2010


Definice 10.2 Vlastnı limita ve vlastnım bode zprava limx→x0+

f(x) = A.

Rekneme, ze funkce f(x) ma v bode x0 ∈ R vlastnı limitu zprava, pokud existuje cıslo A ∈ R, tak, ze

Cauchyova definice

∀ε > 0,∃ δ > 0 tak, ze pro ∀x : x ∈ (x0, x0 + δ), platı f(x) ∈ (A− ε, A+ ε)

Heinova definice

∀ {xn}+∞n=1 ∈ D(f) takove, ze xn ≥ x0 a lim


n→+∞f(xn) = A

Vlastnı limita ve vlastnım bode zleva limx→x0−

f(x) = A. Definuji analogicky.

Definice 10.3 Nevlastnı limita ve vlastnım bode limx→x0

f(x) = +∞ nebo limx→x0

f(x) = −∞

Cauchyova definice

∀K, ∃ δ > 0 tak, ze pro ∀x : x ∈ (x0 − δ, x0 + δ), platı f(x) ∈ (K,+∞)

Heinova definice

∀ {xn}+∞n=1 ∈ D(f) takove, ze lim


n→+∞f(xn) = +∞

Nevlastnı limity zleva a zprava definuji analogicky.

Limita je v bode x0 je +∞ a limita je v bode x0 je −∞

93 10. zarı 2010


Limita je v bode x0 neexistuje, ale limita zprava je −∞ a limita zleva je +∞

Limita je v bode x0 neexistuje, ale limita zprava je −∞ a limita zleva je vlastnı (konecna) A

94 10. zarı 2010


Definice 10.4 Vlastnı limita v nevlastnım bode limx→+∞

f(x) = A

Cauchyova definice

∀ε > 0,∃M tak, ze pro ∀x : x ∈ (M,+∞), platı f(x) ∈ (A− ε, A+ ε)

Heinova definice


n→+∞xn = +∞, platı lim

n→+∞f(xn) = A

Vlastnı limita v nevlastnım bode −∞ definuji analogicky limx→−∞

f(x) = A

Limity zleva a zprava nema smysl definovat, protoze do nevlastnıho bodu se lze limitne dostat pouze zjedne strany. Do bodu +∞ se limitne blızıme zleva a do bodu −∞ se limitne blızıme zleva.

Prıklad funkcı limx→+∞

f(x) = A a funkce, ktera nema limitu v bode +∞

95 10. zarı 2010


Definice 10.5 Nevlastnı limita v nevlastnım bode limx→+∞

f(x) = +∞

Cauchyova definice

∀ε > 0,∃M tak, ze pro ∀x : x ∈ (M,+∞), platı f(x) ∈ (A− ε, A+ ε)

Heinova definice


n→+∞xn = +∞, platı lim

n→+∞f(xn) = A

Nevlastnı limity ve nevlastnıch bodech definuji analogicky. limx→−∞

f(x) = +∞, limx→+∞

f(x) = −∞,

limx→−∞

f(x) = −∞.

Prıklad funkcı s nevlastnı limitou v nevlastnım bode

96 10. zarı 2010


10.2 Vlastnosti limit funkcı

Veta 10.1 Funkce f ma v bode x0 nejvyse jednu limitu.

Veta 10.2 Funkce f ma v bode limitu prave tehdy, kdyz limita zleva se rovna limite zprava.

limx→+x0

f(x) = limx→−x0

f(x) = A⇔ limx→x0

f(x) = A

Veta 10.3 Algebra vlastnıch limit Jestlize funkce f, g majı vlastnı limity limx→x0

f(x) = A a

limx→x0

g(x) = B v bode x0 (bod muze byt vlastnı i nevlastnı), pak platı

1. limx→x0

(f(x)± g(x)) = A±B

2. limx→x0

(f(x) · g(x)) = A ·B

3. limx→x0

(f(x)

g(x)

)=A

Bpro B 6= 0

Veta 10.4 O limite sevrene funkce Jestlize, v okolı bodu x0 platı d(x) ≤ f(x) ≤ h(x) a platılimx→x0

d(x) = limx→x0

h(x) = A, pak

limx→x0

f(x) = A.

Veta 10.5 O limite slozene funkce Jsou dany dve funkce f : Df → Hf a g : Dg → Hg. Jestlizeplatı Dg ⊂ Hf a lim

x→x0f(x) = y0 a lim

y→y0g(y) = A, pak

limx→x0

g (f(x)) = A

Prıklady vyuzitı teto vety:

• limx→+∞

f(x) = limy→+0

f

(1

y

)

• limx→x0

(f(x))n =

(limx→x0

f(x)

)npro f(x) ≥ 0, n ∈ N

• limx→x0

n√f(x) = n

√limx→x0

f(x) pro f(x) ≥ 0, n ∈ N

• limx→x0

αf(x) = αlim

x→x0f(x)

pro α > 0

• jestlize, limx→x0

|f(x)| = 0, pak limx→x0

f(x) = 0

97 10. zarı 2010


10.3 Nektere limity vybranych funkcı

• limx→±∞

(1 +

a

x

)x= lim

x→±0(1 + ax)

1x = ea

• limx→+∞

ax = 0, limx→−∞

ax = +∞ pro 0 < a < 1

• limx→+∞

ax = +∞, limx→−∞

ax = 0 pro a > 1

• limx→0

sinx

x= 1

• limx→+∞

sinx

x= 0

• limx→0

sin ax

x= a

• limx→0

tgax

x= a

• limx→0

ex − 1

x= 1

• limx→0

ax − 1

x= ln a pro a > 0

• limx→0

ln(x+ 1)

x= 1

• limx→+∞

xa

ebx= 0 pro a ∈ R, b > 0

98 10. zarı 2010


10.4 Neurcite vyrazy - specialnı typy limit

Pro neurcite vyrazy, tj. limity podılu, rozdılu, nasobku a pod. dvou funkcı, kdy jedna nebo obe z limitjsou nekonecno, lze vypocıtat s pouzitım derivacı (viz. kapitola 13.).

• limita typu 0/0 nebo ∞/∞ (l’Hospitalova pravidla)Jestlize lim

x→af(x) = lim

x→ag(x) = 0 a existuje lim

x→af ′(x)/g′(x), pak existuje lim

x→af(x)/g(x) a platı

limx→a

f ′(x)

g′(x)= lim

x→a

f(x)

g(x)Jestlize lim

x→a|g(x)| = +∞ a existuje lim

x→af ′(x)/g′(x), pak existuje lim

x→af(x)/g(x) a platı

limx→a

f ′(x)

g′(x)= lim

x→a

f(x)

g(x)

• limita typu 0 · ∞ prevedeme na limitu typu 0/0 nebo ∞/∞:

limx→a

f(x) · g(x) = limx→a

f(x)1

g(x)

• limity typu 0∞, ∞0 a 1∞ prevedeme na limitu typu 0/0 nebo ∞/∞:limx→a

f(x)g(x) = limx→a

eg(x)·ln(f(x))

• limity typu ∞−∞ prevedeme na limitu typu 0/0 nebo ∞/∞:

limx→a

f(x)− g(x) = limx→a

1g(x)− 1

f(x)

1f(x)·g(x)

• nebo u limit typu ∞−∞ vyuzijeme vztah a− b =a2 − b2

a+ ba dostavame

limx→a

f(x)− g(x) = limx→a

f 2(x)− g2(x)

f(x) + g(x)

99 10. zarı 2010

KMA/ZM1 (Blanka Sediva): 11 Spojitost realne funkce realne promenne 100

11 Spojitost realne funkce realne promenne

11.1 Spojitost v bode x0.

Definice 11.1 Necht’ f : D ⊂ R→ R je realna funkce a bod x0 je hromadny bod Df . Pak rekneme,ze funkce f je spojita funkce v bode x0, pokud limita funkce f v bode x0 je rovna funkcnı hodnote vdobe x0.

f je spojita v x0def←→ lim

x→x0f(x) = f(x0)

Obdobne definujeme spojitost zleva a spojitost zprava v bode x0

f je spojita zleva v x0def←→ lim

x→x0−f(x) = f(x0)

f je spojita zprava v x0def←→ lim

x→x0+f(x) = f(x0)

Hromadny bod je takovy bod mnoziny, ke kteremu existuje konvergentnı posloupnost. Pokud bod nenıhromadny, rıkame, ze se jedna o izolovany bod.Rekneme, ze funkce je spojita v izolovanem bode, pokud je v tomto bode definovana.Funkce je spojita v bode x0 prave tehdy, kdyz je spojite zleva a zaroven zprava v danem bode x0.Funkce nenı spojita v hromadnem bode x0, pokud limita v tomto bode neexistuje nebo nenı konecna.

Veta 11.1 (Lokalnı vlastnosti spojitych funkcı) Necht’ funkce f je spojita v bode x0, pak

(A) existuje okolı bodu x0, ve kterem je funkce omezena

(B) pokud f(x0) 6= 0, existuje okolı, ve kterem funkce f zachovava znamenko.

Veta 11.2 (Algebraicke vlastnosti spojitych funkcı a spojitost slozene funkce).

• Jsou-li funkce f a g spojite v bode x0, pak funkce f ± g, f · g , |f | af

g, g(x) 6= 0 jsou spojite

v bode x0.

• Je-li funkce f spojita v bode x0 a funkce g spojita v bode f(x0), pak funkce g(f(x)) je spojitav bode x0.

100 10. zarı 2010


11.2 Body nespojitosti

Definice 11.2 Necht’ funkce f nenı spojita v hromadnem dobe x0, pak bod x0 je bodem nespojitosti.Bod nespojitosti muze byt nasledujıcıho druhu.

(A) Odstranitelna nespojitost, pokud limx→x0−

f(x) a limx→x0+

f(x) jsou konecne a shodne.

(B) Bod nespojitosti prvnıho druhu - skok, pokud limx→x0−

f(x) a limx→x0+

f(x) jsou konecne a ruzne.

(C) Bod nespojitosti druheho druhu, pokud alespon jedna z limit limx→x0−

f(x) a limx→x0+

f(x) je nekonecna

nebo neexistuje.

Body nespojitosti prvnıho druhu a druheho druhu jsou neodstranitelne body nespojitosti.

Odstranitelna nespojitost

Nespojitost I. druhu

101 10. zarı 2010


Nespojitost II. druhu

11.3 Spojitost funkce v uzavrenem intervalu I = 〈a; b〉Definice 11.3 Funkce f je spojita v uzavrenem intervalu I = 〈a; b〉, prave tehdy kdyz je spojita vkazdem vnitrnım bode intervalu a v krajnıch bodech je spojita zleva resp. zprava.

f je spojita v I = 〈a; b〉 def←→ f je spojita v kazdem x ∈ (a, b) a je spojita zleva v a a zprava v b

Veta 11.3 Necht’ funkce f je spojita na intervalu 〈a; b〉 a platı f(a) · f(b) < 0, pak existuje bodc ∈ 〈a; b〉 takovy, ze f(c) = 0.

Dusledek: (Resitelnost nelinarnıch rovnic) Necht’ funkce f je spojita 〈a; b〉 a necht’ f(a) 6= f(b), pakpro libovolne y0 ∈ 〈f(a); f(b)〉, existuje alespon jedno x0 takove, ze y0 = f(x0).

Veta 11.4 Weiestrassova veta. Je-li funkce f spojita na intervalu 〈a; b〉, pak je funkce f na tomtointervalu omezena.

POZOR: Implikace naopak neplatı. Funkce omezena na intervalu ; funkce spojita na intervalu.

Veta 11.5 Globalnı vlastnosti

1. Je-li funkce f spojita na intervalu 〈a; b〉, pak je f(〈a; b〉) opet interval nebo jednobodova mnozina.

2. Je-li f ostre monotonnı na intervalu I a f(I) je opet interval, pak f je spojita.

3. Je-li f spojita a prosta na intervalu I, pak existuje funkce inverznı a je take spojita na f(I).

102 10. zarı 2010

KMA/ZM1 (Blanka Sediva): 12 Derivace realne funkce realne promenne 103

12 Derivace realne funkce realne promenne

12.1 Definice diferencnıho podılu a derivace a jejich geometricka inter-pretace

Definice 12.1 Diferencnı podıl funkce f v bode x0. Pomer prırustku (diferencı) ∆f funkce f aprırustku (diference) ∆x argumentu x.

∆f

∆x=f(x0 + ∆x)− f(x0)

x− x0

Diferencnı podıl udava smernici secny P0P , kde bod P0 = [x0, f(x0)] a bod P = [x, f(x)].

Definice 12.2 Existuje-li vlastnı, resp. nevlastnı limita

lim∆x→0

∆f

∆x= lim

∆x→0

f(x0 + ∆x)− f(x0)

∆x= lim

x→x0

f(x)− f(x0)

x− x0

rıkame, ze funkce f ma v bode x0 vlastnı, resp. nevlastnı derivaci.

Tuto limitu oznacujeme f ′(x0) nebodf

dx(x0) nebo

df

dx

∣∣∣∣x0 nebo∂f

∂x(x0) nebo

∂f

∂x

∣∣∣∣x0 nebo f(x0).

Mısto o vlastnı derivaci mluvıme take o konecne derivaci nebo jenom o derivaci v bode x0.Derivace funkce f v bode x0 udava smernici tecny krivky dane rovnicı y = f(x) v bode P0 = [x0, f(x0)].Existuje-li vlastnı limita

limx→x0−

f(x)− f(x0)

x− x0

resp.

limx→x0+

f(x)− f(x0)

x− x0

v bode x0, nazyvame ji vlastnı derivacı zleva resp. zprava.Obdobne definujeme nevlastnı derivaci v bode zleva a zprava.

Diference a derivace funkce

103 10. zarı 2010


Definice 12.3 Funkce f je diferencovatelna v uzavrenem intervalu 〈a; b〉 prave tehdy, kdyz ma vlastnıderivaci v kazdem vnitrnım bode intervalu a v krajnıch bodech ma derivaci zleva resp. zprava. Funkce,jejız funkcnı hodnota v kazdem bode x ∈ (a, b) je f ′(x) se nazyva derivace funkce f na intervalu (a, b).

Pro uzavreny interval dodefinujeme funkcnı hodnoty f ′(x) v krajnıch bodech zleva a zprava.Funkce, ktera ma na intervalu 〈a; b〉 spojitou derivaci se nazyva spojite diferencovatelna funkce (hladkefunkce) na intervalu 〈a; b〉.Znacıme C(〈a; b〉) nebo C1(〈a; b〉).

Veta 12.1 (Souvislost existence vlastnı derivace a spojitosti) Jestlize funkce f ma vlastnı derivaci vbode x0, pak je funkce v bode x0 spojita.

POZOR: Obracena implikace neplatı. Funkce spojita v bode x0 ; funkce ma v bode x0 vlastnı derivaci.Naprıklad funkce f(x) = |x| v bode x0 = 0.

Prıklad spojite funkce, ktera ma derivaci v bode a nema derivaci v bode

Definice 12.4 (Derivace vyssıch radu) Existuje-li vlastnı, resp. nevlastnı limita

limx→x0

f ′(x)− f ′(x0)

x− x0

= f ′′(x0)

rıkame, ze funkce f ma v bode x0 vlastnı, resp. nevlastnı druhou derivaci.

Tuto limitu oznacujeme f ′′(x0) nebod2f

dx2(x0) nebo

d2f

dx2

∣∣∣∣x0 nebo∂2f

∂x2(x0) nebo

∂2f

∂x2

∣∣∣∣x0 nebo f(x0).

Obdobne definujeme derivace n−teho radu f (n)((x0), resp.dnf

dxn(x0)

104 10. zarı 2010


12.2 Pravidla pro derivovanı

Veta 12.2 Pravidla pro derivovanı. Necht’ u, v, f, g, u1, u2, . . . jsou diferencovatelne funkce promennex.

1. (konst)′ = 0

2. (u1 + u2 + . . .)′ = u′1 + u′2 + . . .

3. (u · v)′ = u′ · v + u · v′

4. (u

v)′ =

u′v − uv′

v2pro v(x) 6= 0

5. (f(g(x)))′ = f ′(g(x))g′(x) (derivace slozene fce)

6. (ln f(x))′ =f ′(x)

f(x)pro f(x) > 0

7. (f g)′ =(eg·ln(f)

)′= f g

(g′ ln (f) + g

1

ff ′)

pro f(x) > 0

8. jestlize x = g(y) je inverznı funkce k funkci y = f(x) a existuje-li v bode c derivace f ′(c) 6= 0,pak v bode d = f(c) existuje g′(d) a platı

g′(d) =1

f ′(c)

105 10. zarı 2010


12.3 Prehled derivacı elementarnıch funkcı

• (xn)′ = nxn−1 pro n ∈ N

• (x−n)′ = −nx−n−1 pro n ∈ N, x 6= 0

• (xa)′ = axa−1 pro a ∈ R, x > 0

• (ax)′ = ax ln a pro a > 0

• specialne (ex)′ = ex

• (loga x)′ =1

x ln apro x > 0, a > 0, a 6= 1

• specialne (ln x)′ =1

x

• (sinx)′ = cosx

• (cosx)′ = − sinx

• (tgx)′ =1

cos2 xpro x 6= (2k + 1)

π

2; k ∈ Z

• (cotgx)′ = − 1

sin2 xpro x 6= kπ; k ∈ Z

• (arcsinx)′ =1√

1− x2pro |x| < 1

• (arccosx)′ = − 1√1− x2

pro |x| < 1

• (arctgx)′ =1

1 + x2

• (arccotgx)′ = − 1

1 + x2

• (sinhx)′ = coshx

• (coshx)′ = sinhx

• (tghx)′ =1

cosh2 x

• (cotghx)′ = − 1

sinh2 xpro x 6= 0

106 10. zarı 2010


• (argsinhx)′ =1√

1 + x2

• (argcoshx)′ =1√

x2 − 1pro x > 1

• (argtghx)′ =1

1− x2pro |x| < 1

• (argcotghx)′ =1

1− x2pro |x| > 1

107 10. zarı 2010

KMA/ZM1 (Blanka Sediva): 13 Vyuzitı derivace 108

13 Vyuzitı derivace

13.1 Stacionarnı body a vztah k lokalnım maximum a minimum

Definice 13.1 Bod x0 je stacionarnım bodem funkce f pokud f ′(x0) = 0.

Veta 13.1 (Nutna podmınka lokalnıho extremu) Necht’ bod x0 je bodem lokalnıho extremu(minimum nebo maximum) funkce f a necht’ existuje f ′(x0), pak f ′(x0) = 0.

POZNAMKY:

• Funkce f ma lokalnı extrem pouze ve stacionarnıch bodech (f ′(x) = 0) nebo v bodech, kde prvnıderivace neexistuje.

• Existujı stacionarnı body, ve kterych nema funkce extrem. Prıklad f(x) = x3, stacionarnı bodje bod 0 (f ′(x0) = 3x2

0 = 0⇒ x0 = 0), ale funkce nema v tomto bode lokalnı extrem.

• Existujı body, ve kterych neexistuje derivace funkce a funkce ma v tomto bode extrem. Prıkladf(x) = |x−1|ma lokalnı minimum v bode x0 = 1 a nema v tomto bode derivaci, resp f ′−(1) = −1a f ′+(1) = 1.

Veta 13.2 Postacujıcı podmınka lokalnıho extremu Necht’ funkce f je diferencovatelna naprstencovem okolı bodu x0 a spojite v bode x0. Necht’ pro kazde x z intervalu (x0 − δ;x0) je f ′(x) > 0a pro kazde x y intervalu (x0;x0 + δ) je f ′(x) < 0, pak ma funkce f v bode x0 lokalnı maximum.

Veta 13.3 O stacionarnıch bodech

• Jestlize f ′(x0) = 0 a f ′′(x0) > 0, pak ma funkce v bode x0 ostre lokalnı minimum.

• Jestlize f ′(x0) = 0 a f ′′(x0) < 0, pak ma funkce v bode x0 ostre lokalnı maximum.

• Jestlize f ′(x0) = f ′′(x0) = 0 a f ′′′(x0) > 0, pak ma funkce v bode x0 inflexnı bod (graf prechazı zpolohy pod tecnou na polohu nad tecnou).

• Jestlize f ′(x0) = f ′′(x0) = 0 a f ′′′(x0) < 0, pak ma funkce v bode x0 inflexnı bod (graf prechazı zpolohy nad tecnou na polohu pod tecnou).

Obecne necht’ platı

f ′(x0) = f ′′(x0) = · · · = fm−1(x0) = 0 a fm(x0) 6= 0

• Je-li m liche a fm(x0) > 0, pak je funkce v bode x0 rostoucı, bod x0 je inflexnı bod: prechod zkokavnıho na konvexnı.

• Je-li m liche a fm(x0) < 0, pak je funkce v bode x0 klesajıcı, bod x0 je inflexnı bod: prechod zkovexnıho na konkavnı.

• Je-li m sude a fm(x0) > 0, pak ma funkce v bode x0 minimum.

108 10. zarı 2010


• Je-li m sude a fm(x0) < 0, pak ma funkce v bode x0 maximum.

Ukazku prubehu funkce

• funkce je spojita v Df = (−∞; +∞)

• funkce ma derivaci v Df − {x4}

• prvnı derivace funkce je rovna nule (f ′(x) = 0) v bodech x1, x2 a x3

• funkce ma lokalnı extrem v bodech x1, x2, x3 a x4

• funkce je rostoucı v intervalu (−∞;x1) ∪ (x2;x3) ∪ (x4,+∞)

• funkce je klesajıcı v intervalu (x1;x2) ∪ (x3;x4)

• druha derivace funkce je rovna nule (f ′′(x) = 0) v bodech x5 a x6, toto jsou inflexnı body funkce

109 10. zarı 2010


13.2 Vety o strednı hodnote - nabyvanı hodnot na uzavrenem intervalu

Veta 13.4 Rollova veta Jestlize funkce y = f(x) je spojita na uzavrenem intervalu 〈a; b〉 a ma vkazdem bode otevreneho intervalu (a; b) vlastnı nebo nevlastnı prvnı derivaci a platı f(a) = f(b), pakexistuje alespon jeden bod c ∈ (a; b) takovy, ze platı

f ′(c) = 0.

Veta 13.5 Lagrangeova veta Jestlize funkce y = f(x) je spojita na uzavrenem intervalu 〈a; b〉 ama v kazdem bode otevreneho intervalu (a; b) vlastnı nebo nevlastnı prvnı derivaci, pak existuje alesponjeden bod c ∈ (a; b) takovy, ze platı

f ′(c) =f(b)− f(a)

b− a.

POZNAMKA:

Geometricka interpretace uvedenych vet.

110 10. zarı 2010


13.3 Vyuzitı derivacı pro vypocet limit - l´Hospitalovo pravidlo

Veta 13.6 l´Hospitalovo pravidlo Jestlize bud’ limx→a

f(x) = limx→a

g(x) = 0 nebo limx→a|g(x)| = +∞

(o funkci f nemusım nic predpokladat) a jestlize existuje limx→a

f ′(x)/g′(x), pak existuje limx→a

f(x)/g(x)

a platı

limx→a

f ′(x)

g′(x)= lim

x→a

f(x)

g(x)

Toto pravidlo vyuzıvame pri urcovanı limit typu∞∞

nebo0

0.

Jestlize hledam limitu funkce f(x) · g(x), ktera je typu 0 · ∞ prevedu problem na hledanı limity typu∞∞

podle pravidla

limx→a

f(x) · g(x) = limx→a

g(x)1

f(x)

Jestlize hledam limitu funkce f(x) − g(x), ktera je typu ∞−∞ prevedu problem na hledanı limity

typu0

0podle pravidla

limx→a

(f(x)− g(x)) = limx→a

1g(x)− 1

f(x)

1f(x)· 1g(x)

Jestlize hledam limitu funkce f(x)g(x), ktera je typu 00 nebo∞0 nebo 1∞ prevedu problem na hledanılimity typu e0·∞ podle pravidla

limx→a

f(x)g(x) = limx→a

eg(x)·ln[f(x)]

111 10. zarı 2010


13.4 Vyuzitı derivacı pro urcovanı rovnice tecen a rovnice normaly

Veta 13.7 Tecny a normaly Necht’ funkce f ∈ C(〈a; b〉) a necht’ x0 ∈ (a; b), pak pro rovnici tecnyτ funkce f v bode x0 platı

τ : y = f(x0) + f ′(x0)(x− x0)

a pro rovnici normaly η funkce f v bode x0 platı

η : y = f(x0)− 1

f ′(x0)(x− x0)

112 10. zarı 2010


13.5 Vyuzitı derivacı pro aproximaci funkce polynomem - Tayloruv poly-nom

Veta 13.8 Tayloruv rozvoj funkce v bode Necht’ funkce f(x) ma na intervalu 〈a, x〉 (x > a)spojite derivace az do n-teho radu a na intervalu (a, x) ma spojitou derivaci n+ 1-nıho radu, pak lzefunkci rozvest v mocninou radu Taylorova typu:

f(x) = f(a) +f ′(a)

1!(x− a) +

f ′′(a)

2!(x− a)2 + . . .+

f (n)(a)

n!(x− a)n +Rn+1

kde zbytek Rn+1 lze vyjadrit naprıklad ve tvaru

Rn+1 =f (n+1)(a+ ϑ(x− a))

(n+ 1)!(x− a)n+1, ϑ ∈ (0, 1)

Specialne pro x = a+ h platı

f(a+ h) = f(a) +f ′(a)

1!h+

f ′′(a)

2!h2 + . . .+

f (n)(a)

n!hn +Rn+1.

Specialne pro a = 0 dostaneme Maclaurinuv vzorec

f(x) = f(0) +f ′(0)

1!(x) +

f ′′(0)

2!(x)2 + . . .+

f (n)(0)

n!(x)n +Rn+1

Prıklady Taylorovych rad

• ex = 1 +x

1!+x2

2!+ . . ., pro |x| < +∞

• ax = 1 +x ln a

1!+

(x ln a)2

2!+ . . ., pro |x| <∞, a > 0

• lnx =x− 1

1!− (x− 1)2

2!+

(x− 1)3

3!− . . ., pro 0 < x ≤ 2

• ln (1 + x) = x− x2

2!+x3

3!− . . ., pro −1 < x ≤ 1

• sinx = x− x3

3!+x5

5!− . . ., pro |x| < +∞

• cosx = 1− x2

2!+x4

4!− . . ., pro |x| < +∞

• arcsinx = x+1

2

x3

3+

1

2

3

4

x5

5+ . . ., pro |x| < 1

• arccosx =π

2− x− 1

2

x3

3− 1

2

3

4

x5

5− . . ., pro |x| < 1

• arctgx = x− x3

3+x5

5− . . ., pro |x| ≤ 1

• arccotgx =π

2− x+

x3

3− x5

5+ . . ., pro |x| ≤ 1

113 10. zarı 2010


Prıklad: Tayloruv rozvoj funkce f(x) = sin(x) v bode x0 = 0

• f(x) = sin(x)

• T1(x) = x

• T3(x) = x− 1

3!x3

• T5(x) = x− 1

3!x3 +

1

5!x5

114 10. zarı 2010

KMA/ZM1 (Blanka Sediva): 14 Vysetrovanı prubehu funkce 115

14 Vysetrovanı prubehu funkce

14.1 Zakladnı pojmy dulezite pro prubeh realne funkce f

Rostoucı funkce , pokud pro x1 < x2 platı f(x1) ≤ f(x2)

Ostre rostoucı funkce , pokud pro x1 < x2 platı f(x1) < f(x2)

Klesajıcı funkce , pokud pro x1 < x2 platı f(x1) ≥ f(x2)

Ostre klesajıcı funkce , pokud pro x1 < x2 platı f(x1) > f(x2)

Konvexnı (ostre konvexnı) funkce , pokud pro x1 < x < x2 platı f(x) < Y , kde bod [x, Y ] jebod, ktery lezı na usecce spojujıcı body [x1, f(x1)] a [x2, f(x2)].

Tj. platı Y = f(x1) +f(x2)− f(x1)

x2 − x1

(x− x1)

Konkavnı (ostre konkavnı) funkce , pokud pro x1 < x < x2 platı f(x) > Y , kde bod [x, Y ] jebod, ktery lezı na usecce spojujıcı body [x1, f(x1)] a [x2, f(x2)].

Tj. platı Y = f(x1) +f(x2)− f(x1)

x2 − x1

(x− x1)

A - lokalnı maximum A = [xA; yA = f(xA)] ∈ R2 - bod, ve kterem je funkcnı hodnoty maximalnı.Funkce nabyva maximum v bode xA a hodnota maxima (funkcnı hodnota v bode maxima) jeyA = f(xA)Bod xA je bodem lokalnıho maxima funkce f .

B - lokalnı minimum B = [xB; yB = f(xB)] ∈ R2 - bod, ve kterem je funkcnı hodnoty minimalnı.Funkce nabyva minima v bode xB a hodnota minima (funkcnı hodnota v bode minima) jeyB = f(xB)Bod xB je bodem lokalnıho minima funkce f .

C - inflexnı bod C = [xC ; yC = f(xC)] ∈ R2 - bod, kdy dochazı ke zmene chovanı funkce z konvexnıfunkce se stane funkce konkavnı (nebo naopak).Bod xC je inflexnım bodem funkce f .

D - nulovy bod D = [xD; 0] ∈ R2 - bod, kdy graf funkce protına osu x.Bod xD je nulovym bodem funkce f , pokud f(xD) = 0.

E - pol E = [xE;±∞] ∈ R2 - bod, kdy graf funkce diverguje do ±∞.Bod xE je polem funkce f , pokud lim

x→xEf(x) =∞ nebo lim

x→xEf(x) = −∞.

115 10. zarı 2010

KMA/ZM1 (Blanka Sediva): 14 Vysetrovanı prubehu funkce 116

14.2 Postup pri vysetrovanı prubehu funkce

1. Najdu definicnı obor funkce, prıpadne obor hodnot.

2. Rozhodnu, zda funkce nenı suda, licha nebo periodicka. V takovemto prıpade se omezıme pouzena cast definicnıho oboru.

3. Urcım limity v krajnıch bodech definicnıho oboru (ve vlastnıch bodech urcuji limity zleva azprava).

4. Urcım intervaly spojitosti a najdu body nespojitosti funkce a rozhodnu o druhu nespojitosti vdanych bodech.

5. Urcım body, ve kterych neexistuje prvnı derivace funkce a stacionarnı body (body, ve kterychje prvnı derivace rovna nule).

6. Najdu lokalnı extremy funkce a urcım intervaly monotonie:

• pokud f ′(x) > 0 pak funkce je rostoucı

• pokud f ′(x) < 0 pak je funkce klesajıcı v danem intervalu

7. Urcım body, ve kterych je druha derivace (a prıpadne dalsı derivace) funkce rovny nula. Najduinflexnı body a urcım intervaly konvexity a konkavnosti.

• pokud f ′′(x) > 0 pak funkce je konkavnı

• pokud f ′′(x) < 0 pak je funkce konvexnı v danem intervalu

8. Urcım rovnice asymptot.

• Pokud v bode x0 je alespon jedna z jednostrannych limit nevlastnı, je prımka x = x0

asymptota funkce f .

• Pokud pro x→∞ existuje prımky y = kx+ q takova, ze platı

limx→∞

f(x)− (kx+ q) = 0 a limx→∞

f(x)

kx+ q= 1

je prımky y = kx+ q asymptota funkce f v dobe ∞.

Asymptota v bode x0 = ∞ existuje prave tehdy, kdyz existujı konecne limity limx→∞

f(x)

x= k a

limx→∞

f(x)− kx = q

9. Najdu funkcnı hodnoty ve vybranych vyznamnych bodech (lokalnı extremy, inflexnı body, prusecıkys osou x a osou y, bode,ve kterych neexistuje derivace)

10. Na zaklade zıskanych vysledku nacrtnu graf

116 10. zarı 2010

Date post:	09-Feb-2018
Category:	Documents
Upload:	dinhxuyen
View:	214 times
Download:	0 times

Obsah - home.zcu.czhome.zcu.cz/~teska/m1e/skripta1.pdf · KMA/ZM1 P redn a sky RNDr. Blanka Sediva,...

Documents