Aportaciones MatematicasMemorias 37 (2007) 91–100Artıculo de Exposicion

GEOMETRIA: ¿MATEMATICAS DE LO CURVO?

LILIA DEL RIEGO SENIOR

Resumen. Un hecho frecuente es que asociemos la palabra “curvo”, a lo torcido,chueco, tramposo, no derecho. Y en particular, al aprender algo de geometrıaEuclidiana, que estudia propiedades como congruencia o semejanza de figurasgeometricas en el plano, es comun pensar que todos tipos de la geometrıa que seestudian son planas, lo cual no es necesariamente cierto. Muchos de los espaciosimportantes de hecho son curvos.

En este artıculo empezaremos con las ideas de la geometrıa Euclidiana, dela geometrıa analıtica y de la geometrıa diferencial, como marco para discutir lainvestigacion actual sobre la geometrıa de las variedades diferenciables no nece-sariamente Riemannianas, cuya topologıa es diferente de la que conocemos sobreel plano bidimensional real. Incluye una amplia bibliografıa.

1. Geometrıa Euclidiana

Es muy probable que todos hayamos al menos estudiado algo de Geometrıa Euclidianaen el plano en un curso, o mas probablemente, en una parte de el. La base de esta geometrıafue dada por Euclides de Alejandrıa, en sus famosos libros: Los Elementos. Estos han sidouno de los libros de mas influencia en la historia, tanto por su metodo como por su contenidomatematico. En el primer libro podemos encontrar Teoremas tales como:

1. Si dos rectas paralelas estan cruzadas por una recta llamada transversal, los pares deangulos alternos internos, alternos externos y correspondientes que se forman, soncongruentes.

2. La suma de los angulos internos de cualquier triangulo es π.3. Supongamos que un trianguloCDE arbitrario es atravesado por una rectam paralela

a uno de los lados, por ejemplo m paralela al lado DE. Llamemos A y B a lasintersecciones de m con los lados del triangulo. Entonces los triangulos CAB yCDE son semejantes.

4. Los lados correspondientes de triangulos semejantes son proporcionales. Por ejem-plo, aplicado al4CAB y al4CDE anteriores,

(1)AB

AC=DE

DC.

Es frecuente que tendamos a pensar que las matematicas, divididas en subareas, no tienenrelacion directa entre ellas. Esto no resulta ası, como lo ejemplificaremos en lo que sigue.

2000 Mathematics Subject Classification. 51A99;51B20; 51B21; 53C50; 53C60.Esta es la version final del artıculo.

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Figura 1. La nocion de semejanza de Euclides ha sido aplicada tambien aotros poliedros y a algunas conicas. En estos grupos de figuras geometricashay aquellas que son semejantes. ¿Podrıas determinar cuales son?

1.1. Geometrıa Euclidiana y Geometrıa Analıtica. Pensemos en el plano real R2. Todoslos puntos de este plano estan representados por dos numeros reales y podemos definir lıneas,conicas, etc.. Lo que me interesa resaltar es que se nos dice que las funciones trigonometricassen(x), cos(x), etc. se pueden calcular utilizando cualquier triangulo ABC rectangulo.

Esta afirmacion es consecuencia directa de la Teorıa de Semejanza, en particular del Teo-rema de Euclides 4 mencionado en esta hoja. En general si deseamos calcular alguna funciontrigonometrica, empezamos pintando un trianguloABC rectangulo y si esta pequeno, pues loalargamos, construyendo otro triangulo rectangulo 1. El valor de las funciones trigonometri-cas no varıa porque los triangulos de la Figura 2 en general resultan ser semejantes, como lomostramos a continuacion. Sea α al angulo del vertice C del4ABC. Entonces:

(2) sen(α) =AB

AC.

Figura 2. La funcion sen(α) puede calcularse con el 4CAB o con el4CDE, porqueAB ‖ DE y por lo tanto los dos triangulos son semejantes.

1Si el angulo B en el4ABC no es recto, se modifica la Ecuacion 2 multiplicando por el seno delangulo B.

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Si el triangulo nuevo obtenido lo llamamos DEC, entonces en ese caso sen(α) =DE

DC,

pero esta razon es igual aAB

AC(c.f. Ecuacion (1) p. 91).

Resumiendo sen(α), ası como las demas funciones trigonometricas, pueden calcularseutilizando cualquiera dos triangulos rectangulos, siempre que sean semejantes [11, 12].

2. Geometrıa de Bolyai-Lobachevsky

Esta bella geometrıa, primera en ser llamada no-euclidiana, tuvo un desarrollo muy crıticoen el inicio del siglo XIX. Por mas de dos mil anos, el adjetivo “Euclidiano” era innecesarioporque ningun otro tipo de geometrıa habıa sido concebido. La posibilidad de construir unsistema geometrico coherente que reemplazara al V postulado de Euclides por el postuladoV′ fue demostrada de manera independiente por tres notables matematicos:

en Alemania, Carl Friedrich Gauß.en Rusia, Nicolai Ivanovich Lobachevsky yen Hungrıa, Janos Bolyai,

aunque hubieron otros destacados matematicos que contribuyeron a ella. Esta geometrıa seconoce sin embargo, solamente por el nombre de dos de ellos, debido a razones historicas.

A diferencia de las dos geometrıas anteriores, se estudia en los primeros anos de niveluniversitario y no en todos los programas de matematicas, aunque aparece como curso noelemental en algunos programas de fısica. Fue el primer ejemplo de una geometrıa cuyomodelo sobre R2 no es plano y que tuvo aplicaciones en la Fısica Relativista. Tambien recibeel nombre de Geometrıa Hiperbolica.

Una de las maneras de estudiarla a nivel universitario es como generalizacion de la Geo-metrıa Euclidiana. Existen muchos libros escritos al respecto, como por ejemplo [6, 9, 11, 12,13, 22, 25]. Lo que quisiera senalar es que muchos de los teoremas de Euclides dependen delV Postulado de Euclides, es decir, del paralelismo. Y tambien existen muchas proposicionesque son equivalentes al V Postulado. Por ejemplo,

Vequiv : Existe un triangulo en el cual la suma de la medida de los tres angulos es exactamenteπ.

En esta geometrıa de Bolyai-Lobachevsky, se sustituye el V Postulado (o sus postuladosequivalentes) por:

V′ : Dada una recta m y un punto P fuera de ella, existe un numero infinito de rectasque pasan por P paralelas a m.

En esta geometrıa siguen siendo validos los primeros 28 teoremas de Euclides y existenmuchos otros teoremas que le son propios. Por ejemplo, la suma de la medida de los angulosinternos de cualquier triangulo es menor que π, y no existe una Teorıa de la Semejanza. Verpor ejemplo el modelo de Poincare de esta geometrıa en la Figura 3. El conocido Teorema dePitagoras, de la Geometrıa Euclidana, no es necesariamente cierto en este tipo de Geometrıa ylas conocidas curvas conicas en 2 dimensiones para el plano de Bolyai-Lobachevsky tampocoresultan ser iguales a las que conocemos [2].

Es importante notar, sin embargo, que en porciones pequenas del plano, la geometrıahiperbolica de Bolyai-Lobachevsky se aproxima mucho a la Geometrıa Euclidiana.

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Figura 3. Este modelo del plano Hiperbolico en el cırculo, descrito porPoincare, fue realizado por el grabador holandes Escher.

Existen muchos otros tipos de Geometrıas como:

ProyectivaDescriptivaDiferencial:• Riemannianas• Semi-Riemannianas,• de Finsler,• de la Informacion, etc..

En lo que resta expondre especialmente el ultimo tipo de geometrıa: es mi especialidad.

3. Geometrıa Diferencial

La Geometrıa Diferencial es la disciplina en donde se aplican metodos analıticos y to-pologicos para obtener informacion geometrica de una curva, o de una superficie general.Gauß, su creador, utilizo metodos de Calculo Diferencial avanzado para estudiar superficiesinmersas en el espacio R3 [19, 30].

Los bellos metodos de Geometrıa Diferencial han sido aplicados en Fısica, particularmen-te, en Relatividad. Tambien se utilizan en otras aplicaciones del mundo real, como graficascomputacionales, ası como en el modelado del ADN (Acido Desoxirribonucleico). Hayahora un renovado interes por esta disciplina pues con el flujo de Ricci, es decir, con unaecuacion diferencial parcial que refleja el cambio de una metrica de acuerdo a su curvaturade Ricci, Richard Hamilton y Grigori Perelman caracterizaron a la ecuacion que tiene muchoen comun con la ecuacion del calor, en la cual una funcion evoluciona hacia funciones masadecuadas. De manera analoga, el flujo de Ricci cambia una metrica hacia metricas mejores.El estudio de este flujo les permitio demostrar el Teorema topologico de caracterizacion devariedades topologicas en R4 conocido como la Conjetura de Poincare [28]: Si una 3 varie-dad diferenciable compacta tiene grupo fundamental trivial, entonces debe ser homeomorfaa la esfera S3.

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Cabe senalar que la investigacion de Perelman sobre las singularidades de la Ecuaciondel flujo de Ricci lo hizo merecedor de una de las medallas Fields que la comunidad ma-tematica otorga cada 4 anos, durante el Congreso Internacional de Matematicas 2006, a losmatematicos menores de 40 anos que hayan desarrollado metodos extraordinarios en susinvestigaciones. Para completar este tema debo decir dos cosas:

1. Perelman declino la medalla.2. Los metodos utilizados tanto por Hamilton como por Perelman pertenecen a la

Geometrıa Riemanniana, que analizamos en la siguiente subseccion.

3.1. Geometrıa Riemanniana. En su informe de la tesis de Riemann, Gauß lo describecomo alguien que tenıa una facil y gloriosa originalidad. Con las recomendaciones de Gauß,Riemann fue nominado para un puesto en la prestigiosa Universidad de Gottingen.

El problema presentado a Riemann por Gauß fue el siguiente. Extender los metodos de laGeometrıa Diferencial de superficies en R3 desarrollados por el, a espacios mas generales.Requerıa identificar los elementos para poder realizarlo; ahora sabemos que son esencial-mente dos

1. investigar u obtener la idea de superficie general, lo que se conoce como variedaddiferenciable de dimension finita.

2. idear como medir angulos y vectores sin utilizar el producto escalar de vectoresen R3. Gauß lo habıa utilizado para definir una de las nociones mas importantesen Geometrıa: la curvatura que lleva su nombre. Existen varias otras curvaturasimportantes, como la de Ricci.

Ya existıa en este tiempo una extension de la idea de superficies inmersas en el planotridimensional a lo que se conoce como variedades diferenciales de dimension finita. La ideade un objeto geometrico esta estrechamente relacionada con la idea de su dimension.

Podemos pensar informalmente que la dimension de un objeto es igual al numero deparametros requeridos para su descripcion. Por ejemplo, una lınea en el espacio de dosdimensiones puede ser descrita por las dos ecuaciones:

x = 2 + 3t(3)

y = 1 + 5t(4)

El parametro t varıa sobre una lınea o un segmento de lınea. La lınea en el espacio dedos dimensiones es unidimensional, pues aunque esta dada por dos ecuaciones, lo que esimportante es que puede describirse solamente por la variable, llamada tambien parametro,t.

La esfera S2 en R3 es bi-dimensional. Es posible que cada uno de nosotros hayamos yaconsiderado inconscientemente este hecho, pues sabemos que todos los puntos en la tierrapueden localizarse mediante dos datos (parametros): latitud y longitud. Tambien es ciertoque la tierra localmente parece plana, como la de la Figura 4.

La idea formal de variedad diferenciable realM de dimension finitan sigue a continuacion.

Definicion 3.1. Una variedad diferenciable realM de dimension n es un espacio topologicoM no solamente localmente homeomorfo a Rn sino que tanto el homeomorfismo como suinverso son diferenciables.

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A un homoeomorfismo entre dos variedades M y N tal que tanto el como su inverso esdiferenciable lo llamaremos difeomorfismo. M y N se dicen entonces variedades difeomor-fas.

Una variedad real M de dimension n, llamada tambien n-variedad, puede describirsetambien como un espacio que es localmente como Rn, sin embargo, no tiene un sistema decoordenadas preferido. Ademas, una variedad puede tener propiedades topologicas globales,que la distinguen de la variedad topologicamente trivial Rn.

Figura 4. La tierra es una 2-variedad. Localmente es no solamente ho-meomorfa al plano real, sino difeomorfa.

En cuanto al problema de medir angulos y vectores, Riemann tuvo la genial idea deidentificar y definir lo que se conoce ahora como un producto o metrica gM , que lleva sunombre, sobre los espacios tangentes TM de cada variedad. Es decir, una funcion

gM : TM × TM −→ R .

gM es una metrica Riemanniana si en cada punto p de la variedad M cumple lo siguiente.Sean a, b ∈ R y v, w ∈ TpM

g(au + bv, w) = ag(u, w) + bg(v, w), bilineal

g(u, v) = g(v, u), simetrica

v 6= 0 =⇒ g(u, v) > 0, definida positiva.(5)

La variedad (M, gM) con esta metrica se dice variedad Riemanniana. Obviamente elproducto escalar usual definido sobre el plano R2 es Riemanniano y hace que el planotenga la geometrıa plana que conocemos. Pero la mayorıa de los espacios Riemannianosinteresantes, incluyendo a R2 con una metrica Riemanniana distinta al producto escalarusual, son curvos.

Si aceptamos las primeras dos condiciones (bilinealidad y simetrıa) pero cambiamosla ultima condicion (5), debilitandola, por que la metrica gM sea no degenerada, tanto lametrica gM como la variedad (M, gM) se dicen semi-Riemannianas. Estudiaremos este tipode variedades en la siguiente seccion.

La Geometrıa Riemanniana es un area muy activa de las Matematicas en la actualidad;hay muchos resultados importantes tanto locales, como globales [21, 7, 20, 24, 27].

Las ideas de Riemann concernientes a la geometrıa del espacio tuvieron un profundoefecto en el desarrollo de la teorıa fısica moderna [1]. Provee los conceptos y metodosusados despues en la Teorıa de la Relatividad [21] y recientemente, en la Geometrıa de

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la Informacion, que emergio al investigar las estructuras geometricas de una familia dedistribuciones de probabilidad [3]. Esta ultima ha sido aplicada exitosamente a problemasestadısticos de inferencia [29]. Riemann era un pensador original y una fuente de metodos,teoremas y conceptos que llevan su nombre.

Uno de los problemas fundamentales en la geometrıa de Riemann es estudiar la topologıade las variedades, por ejemplo, asumiendo condiciones especiales para su curvatura. Uno delos dos teoremas mas importantes de la Geometrıa Riemanniana lo ejemplifica:

1. Teorema de Gauss-Bonnet: relaciona la topologıa de una variedad Riemannianacompacta M con su curvatura. Implica por ejemplo que no existe ninguna metricaRiemanniana sobre S2 tal que su curvatura sea 0 o negativa. Pero sı resulta posibledefinir una metrica g sobre el toro T 2 que lo hace plano, es decir, de curvatura 0.

2. Teorema de Hopf-Rinow: toda variedad Riemanniana M compacta es completa(geodesicamente y de tipo Cauchy).

Parte de mi trabajo en esta area se ha centrado en describir la geometrıa determinadapor un ramillete (spray en ingles, gerbe en frances) sobre una variedad determinada poruna conexion [3, 14, 15]. Otros trabajos en Geometrıa Diferencial son en el campo de lasvariedades semi-Riemannianas.

3.2. Geometrıa semi-Riemanniana. En la subseccion anterior, pagina 96, definimos va-riedades semi-Riemannianas (M, g). La tercera condicion sobre su metrica g semi-Rieman-niana, vista como transformacion lineal, puede expresarse tambien como que g tenga rangomaximo, y no tiene valores necesariamente positivos.

Cada variedad Riemanniana puede ser vista como variedad semi-Riemanniana. Y la mis-ma variedad M con dos metricas semi-Riemannianas distintas representa variedades dife-rentes. Las variedades de Minkowski y las de Lorentz son un tipo especial de variedadessemi-Riemannianas.

La geometrıa en la variedad (M, g) resulta diferente de la de las variedades Riemannianas.Por ejemplo, la desigualdad de Cauchy-Schwarz ya no es valida y g no es ni norma niseminorma. La “longitud” de un vector distinto de cero

‖x‖2 = g (x, x)

puede tomar cualquier valor real, no necesariamente positivo, y no existe una medida deangulos natural [18, 21].

Para las variedades Riemannianias, el problema de la convexidad o conectividad geodesi-ca esta esencialmente resuelto. De hecho, como consecuencia del teorema de Hopf-Rinow,cualquier variedad Riemannianiana metricamente completa es tambien geodesicamente co-nexa. Ademas, cualquier par de puntos esta unido por un numero infinito de geodesicas sila variedad no es contraible. El problema de la conectividad geodesica es mucho mas deli-cado e interesante para las variedades semi-Riemannianas. De hecho solamente hay pocosresultados intrınsecos y se conocen muchos contraejemplos a la conectividad geodesica envariedades Lorentzianas [5, 23, 31]. Por ejemplo para dimM ≥ 3 una forma de Lorentz decurvatura positiva hace que el espacio sea geodesicamente conexo si y solamente si no esorientado por el tiempo [8].

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Mis trabajos dentro de este tipo de Geometrıa han sido sobre ramilletes en variedades Rie-mannianas, tanto homogeneos como generales, las funciones exponenciales que los defineny condiciones para la conectividad geodesica de estos espacios [15]. Presentamos resultadosrecientes sobre ramilletes dando muchos ejemplos de ramilletes planos en [16], aplicacio-nes a la Relatividad en [32] y el estudio de las conicas en este tipo de espacios en [2]. Lageometrıa y topologıa de estos espacios es extremadamente interesante y queda aun muchopor explorar.

El Teorema de Gauss-Bonnet, mencionado en la pagina 97 para variedades semi-Rieman-nianas sı resulta valido. Fue demostrado por S.S. Chern.

Figura 5. Localmente cada punto de un espacio de Finsler puede versecomo un espacio tangente.

3.3. Geometrıa de Finsler. La Geometrıa de Finsler es un area antigua dentro de la geo-metrıa diferencial, pero ha tenido un desarrollo lento en los ultimos 70 anos, debido a la com-plejidad de las estructuras de Finsler. De manera informal podemos describir a la geometrıade Finsler como aquella que estudia espacios metricos tales su metrica g no esta restringidaa funciones cuadraticas [10]. De hecho, los espacios de Finsler se presentan a traves de unavariedad, como se hace generalmente para las variedades Riemannianas o semi Riemannia-nas, pero la metrica no se enuncia de manera directa, sino que resulta definible en base a unafuncion de Finsler que se enuncia de manera explıcita.

Cartan desarrollo en 1934 una teorıa de curvatura, pero desafortunadamente, en estetipo de geometrıas no existe una manera unica de definir derivada covariante. Por ejemplo,utilizando las ideas de Cartan, la longitud de un vector y el vector obtenido de el por undesplazamiento infinitesimal paralelo dependen de poder escoger un “elemento de soporte”arbitrario. Fue precisamente por esto que el primer desarrollo de la geometrıa de Finsler sedio en terminos de generalizaciones directas de los metodos de la geometrıa Riemanniana.

Sin embargo, se sentıa que la introduccion del elemento de soporte no era deseable desdeun punto de vista geometrico. Por esta razon surgieron mas teorıas que no lo utilizaron. Sin

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embargo, el rechazar el uso de un elemento de soporte llevo a otro tipo de dificultades: porejemplo, la ortogonalidad natural entre dos vectores no es en general simetrica, mientras quelas dificultades analıticas se incrementan, sobre todo porque el lemma de Ricci no puede sergeneralizado como antes [33].

En los ultimos anos, la geometrıa de Finsler ha tenido un gran desarrollo debido al trabajode D. Bao, S.S. Chern, R. Bryant, Zhongmin Shen y otros. Uno de los problemas fundamen-tales en esta Geometrıa es estudiar y caracterizar metricas de Finsler de curvatura constante[34], o describir nuevas cantidades geometricas que describan fenomenos Finslerianos [17].La completez geodesica es muy interesante y distinta de los casos Riemannianos y semi-Riemannianos tambien. En el disco abierto de Poincare de Finsler existe una geodesica quees completa si va hacia el centro del cırculo, pero es incompleta si emana del centro [4], pag.333 y siguientes. Hasta fechas recientes se han empezado a analizar los espacios de Finslersemi-Riemannianos, y queda mucho por analizar.

Terminare resumiendo en una tabla las geometrıas examinadas.

Tipo de Geometrıa CaracterısticasEuclidiana geometrıa plana, paralela unicaHiperbolica geometrıa no plana,∞ paralelas

DiferencialRiemanniana g simetrica, bilineal, definida positiva

semi-Riemanniana g simetrica, bilineal, no degeneradade Finsler g no neces. simetrica, bilineal, def. positiva

Agradecimientos

La autora desea dar las gracias a CONACYT por el apoyo al proyecto 48598 y al arbitropor sus atinados comentarios, que indudablemente mejoraron mi artıculo.

Referencias

[1] Marsden R, Abraham. “Foundations of Mechanics”, Benjamin, 1987.[2] Flor de Marıa Aceff Sanchez y L. Del Riego Senior. Geodesic incompleteness of the conics on

special semi-Riemannian manifolds, en preparacion.[3] K Arwini, L Del Riego y CTJ Dodson. Universal connection and curvature for statistical manifold

geometry, Houston J. Math., Electronic Edition 33, No. 1, (2007), 145–161.[4] D. Bao, S.-S. Chern y Z. Shen. “An introduction to Riemann-Finsler geometry”, Springer-Verlag,

Graduate Texts in Mathematics 200, 2000.[5] John K. Beem, Paul E. Ehrlich y Kevin L. Easley. “Global Lorentzian Geometry”, Second Edition,

Dekker, New York, 1981.[6] R. Bonola, H.S. Carslaw, F. Enriques y J Bolyai. “Non-euclidean Geometry: A Critical and Histo-

rical Study of Its Development”, Courier Dover Publications, 1991.[7] W.M. Boothby. “An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry”, New

York: Academic Press, Pure and Applied Mathematics, 120, 1975.[8] E. Calabi y L. Markus. Relativistic Space Forms, Ann. Math., 2a. serie, 75, (1962), 63–76.[9] Judith N. Cedeberg. “A Course in Modern Geometries”, 2nd Edition. Springer Verlag, 2000.[10] Shiing Shen Chern. Finsler geometry is just Riemannian geometry without the quadratic restric-

tion. Notices of AMS, September, (1996), 959–963.

100 L. DEL RIEGO SENIOR

[11] Michael A. Clemens y Charles Herbert Clemens. “Geometry for the Classroom”, Springer Verlag,1991.

[12] Michael A. Clemens y Charles Herbert Clemens. “Geometry for the Classroom: Exercises andSolutions”, Springer Verlag, 1991.

[13] Hyperbolic geometry freewarehttp://cs.unm.edu/∼ joel/NonEuclid/

[14] L. Del Riego y C.T.J. Dodson. Sprays, universality and stability, Math. Proc. Camb. Phil. Soc.,(1988), 515–535.

[15] L. Del Riego y P.E. Parker. Pseudoconvex and disprisoning homogeneous sprays, GeometriaeDedicata, (1995), 211–220.

[16] L. Del Riego y P.E. Parker. Some nonlinear planar sprays, Nonlinear Analysis in Geometry andTopology, ed. TM Rassias, 2000, 21–52.

[17] L. Del Riego. 1-homogeneous Sprays in Finsler Manifolds, Cont. Math (2001), 411–414.[18] Boris V. Dekster. An angle in Minkowski space, J. Geom. 80 (2004) 31–47.[19] Manfredo do Carmo Perdigao. “Differential geometry of curves and surfaces”, Prentice-Hall,

1976.[20] Manfredo do Carmo Perdigao. “Riemannian geometry”, Translated from the Portuguese by Fran-

cis Flaherty, Theory & Applications. Boston, MA etc.: Birkhauser. xiii, 300 p. 1992.[21] C.T.J. Dodson y T. Poston. “Tensor Geometry: The Geometric Viewpoint and Its Uses”, 2a.

Edicion, Springer-Verlag Graduate Texts in Mathematics 130, 1980.[22] Marvin J Greenberg. “Euclidean and non Euclidean Geometries”, 3a. Edicion. Freeman, 1994.[23] R.P. Geroch. Domain of Dependence, J. Math Phys 11 (1970), 437–449.[24] M. Gromov. “Metric structures for Riemannian and non-Riemannian spaces”, Birkhauser, Boston,

1999.[25] R. Hartshorne. “Euclid and Beyond”, Springer Verlag, 2000.[26] http://en.wikipedia.org/[27] J. Jost. “Riemannian Geometry and Geometric Analysis”, Universitext, Springer, New York, 1995.[28] John Milnor. Towards the Poincare Conjecture and the Classification of 3-Manifolds. Notices of

the American Mathematical Society, 50, No. 10 (1993) 1226–1233.[29] Hiroshi Nagaoka y Shun-Ichi Amari. “Methods of Information Geometry”, American Mathema-

tical Society, 2000.[30] Barrett O’Neill. “Elementary Differential Geometry”, Academic Press, 1997.[31] Barret O’Neill. “Semi-Riemannian geometry, with applications to Relativity”, Elsevier Science,

1983.[32] A. Perez Raposo y L. Del Riego. Parallel translation in warped product spaces: application to

the Reissner-Nordstrom spacetime, Classical Quantum Gravity, 22, No. 14, (2005) 3105–3113.[33] Hanno Rund. “Preface to The Differential Geometry of Finsler Spaces”, Springer, 1959.[34] Zhongin Shen. Finsler Metrics with K=0 and S=0, arXiv.org. math/ math/0109060

Departamento de Matematicas, Facultad de Ciencias, Universidad Autonoma de SanLuis Potosı, San Luis Potosı, SLP, 78900 Mexico

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