Geometrická posloupnost (1.část)

VY_32_INOVACE_ 22-15

Úloha 1a)Sestrojme grafy následujících posloupností zadaných výčtem jejich prvků:

b) Jak se liší u těchto posloupností člen následující od členu předchozího?c)Zapišme tyto posloupnosti rekurentně. d)Sestavme vzorec pro n–tý člen daných posloupností.e)Jedná se v těchto případech o funkci? O jakou?

Řešení úlohy 1 Posloupnost (I.)

n30

an

2

8

4

16

2 41 51

Každý následující člen je dvojnásobkem členu předchozího, tzn. , žerekurentní určení posloupnosti je an+1 = 2an ; a1 = 1,

vzorec pro n-tý člen je an = 2n – 1.

Tato posloupnost je zvláštním případem funkce exponenciální y = 2x – 1.

Každý následující člen se rovná polovině členu předchozího, tzn., žerekurentní určení posloupnosti je

vzorec pro n-tý člen je

Tato posloupnost je zvláštním případem funkce exponenciální

n30

an

0,75

3

1,5

6

2 41 5

Posloupnost (II.)

Posloupnost (III.)

2 41 5 n30

an

-0,75

-3

1,5

6

0,375

Každý následující člen se rovná polovině členu předchozího se současnou změnou znaménka, tzn., žerekurentní určení posloupnosti je

vzorec pro n-tý člen je

Tato posloupnost není zvláštním případem funkce exponenciální .

(Proč?)

Definice geometrické posloupnosti

Posloupnost se nazývá geometrická, právě když

existuje takové reálné číslo q, že

Reálné číslo q je tzv. kvocient geometrické posloupnosti.

Poznámka: Ve všech úlohách budeme předpokládat, že a10 a zároveň q0.

Vlastnosti geometrické posloupnosti:

1.V geometrické posloupnosti je vždy podíl dvou libovolných

sousedních členů konstantní, protože .

2.Jestliže kvocient , jedná se o zvláštní případ exponenciální funkce, grafem jsou body ležící na exponenciále.

3.Omezení posloupnosti a její monotónnost záleží na hodnotách a .

Odpovězte na zadané otázky v následujícím testu.

Návod: Využijte grafů posloupností.

(Časový rozsah celého testu jsou 3 minuty.)

(Test ve formátu *.ppt nebo *.pdf )

Úloha 2Která z následujících posloupností je geometrická? Dokažme toto tvrzení na základě definice geometrické posloupnosti:

a)

b)

c)

Řešení úlohy 2

Má-li být posloupnost geometrická, musí platit, že podíl jejich

sousedních členů je konstantní a rovná se kvocientu q.

a)

b)

c)

Závěr: O geometrickou posloupnost se jedná pouze v a), c).

Domácí úkol

Která z následujících posloupností je aritmetická a která geometrická? Dokažte tato tvrzení na základě definice aritmetické a geometrické posloupnosti.Obě posloupnosti zapište rekurentně.

a)

b)

Děkuji za pozornost.

Autor DUM: RNDr. Ivana JanůAutor příkladů a grafů: RNDr. Ivana Janů