GEOMETRIE ALGEBRA Asvobodaz/BMA1/Matematika_1.pdf · 2009-09-29 · Z á kladn í pojmy teorie mno...

ALGEBRA A ALGEBRA A GEOMETRIEGEOMETRIE

MNOMNOŽŽINYINY

ZZáákladnkladníí pojmy teorie mnopojmy teorie množžinin

�� MnoMnožžinou rozuminou rozumííme soubor urme soubor urččitých objektitých objektůů, , kterkteréé se dajse dajíí navznavzáájem rozlijem rozliššit. Mnoit. Množžina je dina je dáána, na, dovedemedovedeme--li o kali o kažžddéém objektu (jakm objektu (jakéémkoliv, mkoliv, který nkterý náás napadne ) rozhodnout, jestli do ns napadne ) rozhodnout, jestli do níí patpatřříínebo ne.nebo ne.

�� ZZáápis pis aa∈∈AA znamenznamenáá, , žže prvek e prvek aa patpatřříí do do mnomnožžiny iny A A ((a a je prvkem je prvkem AA), naopak ), naopak

�� aa∉∉∉∉∉∉∉∉A A znamenznamenáá, , žže e aa nepatnepatřříí do do AA. .


�� MnoMnožžinu, kterinu, kteráá neobsahuje neobsahuje žžáádný prvek dný prvek nazývnazývááme me prpráázdnou mnozdnou množžinouinou a znaa značčííme ji me ji symbolem symbolem ∅∅. Tak nap. Tak napřřííklad mnoklad množžina vina vššech ech rereáálných kolných kořřenenůů rovnice rovnice

�� xx2 2 + 4 = 0+ 4 = 0�� Je prJe práázdnzdnáá..�� MnoMnožžina, kterina, kteráá obsahuje alespoobsahuje alespoňň jeden prvek se jeden prvek se

nazývnazýváá neprnepráázdnzdnáá..

ZZáákladnkladníí pojmy teorie mnopojmy teorie množžinin�� MnoMnožžina, kterina, kteráá obsahuje pouze koneobsahuje pouze koneččný ný

popoččet prvket prvkůů se nazývse nazýváá konekoneččnnáá. Kone. Koneččnou nou nazývnazývááme i prme i práázdnou mnozdnou množžinu.inu.

�� MnoMnožžina, kterina, kteráá nenneníí konekoneččnnáá se nazývse nazýváánekonenekoneččnnáá..

�� MnoMnožžiny budeme znainy budeme značčit velkými pit velkými píísmeny.smeny.

�� NN bude znamenat mnobude znamenat množžinu vinu vššech ech ppřřirozených irozených ččíísel, tj. 1, 2, 3, . . . sel, tj. 1, 2, 3, . . .


�� ZZ bude mnobude množžina vina vššech ech celýchcelých ččíísel, tj. sel, tj. �� . . . , . . . , --2, 2, --1, 0, 1, 2, . . .1, 0, 1, 2, . . .�� Q Q bude mnobude množžina vina vššech ech racionracionáálnlnííchch ččííselsel�� tj. tj. ččíísel tvaru psel tvaru p//q , kde pq , kde p∈∈ZZ a q a q ∈∈ NN . . �� ExistujExistujíí ččíísla, ktersla, kteráá nejsou racionnejsou racionáálnlníí, mezi n, mezi něě

patpatřříí ččíísla sla √√ 2 , 2 , ππ a dala dalšíší, tyto nazýv, tyto nazývááme je me je iracioniracionáálnlníímimi..


�� RR znaznaččíí mnomnožžinu vinu vššech reech reáálných lných ččíísel, sel, kterkteráá zahrnuje racionzahrnuje racionáálnlníí a iraciona iracionáálnlnííččíísla.sla.

�� CC znaznaččíí mnomnožžinu vinu vššech komplexnech komplexníích ch ččíísel tvaru a sel tvaru a ±± j.b, kde a,b j.b, kde a,b ∈∈ R. R.


�� NechNechťť AA, , BB jsou dvjsou dvěě mnomnožžiny a kainy a kažždý dý prvek mnoprvek množžiny iny AA je souje souččasnasněě prvkem prvkem mnomnožžiny iny BB. . ŘŘííkkááme, me, žže mnoe množžina ina AA je je ččááststíímnomnožžinyiny B, B, nebo taknebo takéé, , žže e AA je je podmnopodmnožžinouinou BB, p, přříípadnpadněě, , žže e BB je je nadmnonadmnožžinouinou AA. Zapisujeme. Zapisujeme

�� A A ⊂⊂⊂⊂⊂⊂⊂⊂ B B eventueventuáálnlněě B B ⊃⊃⊃⊃⊃⊃⊃⊃ A A ..�� JestliJestližže soue souččasnasněě A A ⊂⊂⊂⊂⊂⊂⊂⊂ B B a a A A ⊃⊃⊃⊃⊃⊃⊃⊃ B, B, řřííkkáámeme,,

Operace s mnoOperace s množžinamiinami

�� žže e AA a a BB jsou sobjsou soběě rovny, provny, píšíšeme eme A = BA = B. .

�� 1) Mno1) Množžinu tvoinu tvořřenou venou vššemi prvky mnoemi prvky množžiny iny AA a a vvššemi prvky mnoemi prvky množžiny iny BB nazývnazývááme me sjednocensjednoceníím mnom množžinin AA a a BB a oznaa označčujeme ujeme

�� A A ∪∪∪∪∪∪∪∪ BB eventueventuáálnlněě B B ∪∪∪∪∪∪∪∪ AA..�� MnoMnožžinu tvoinu tvořřenou venou vššemi prvky patemi prvky patřřííccíími mi

sousouččasnasněě

Operace s mnoOperace s množžinamiinami�� do mnodo množžiny iny AA i do mnoi do množžiny iny BB

nazývnazývááme prme průůnikem mnonikem množžin in AA, , BB a a znaznaččííme me

�� A A ∩∩∩∩∩∩∩∩ BB eventueventuáálnlněě B B ∩∩∩∩∩∩∩∩ AA..�� JeJe--li li �� A A ∩∩∩∩∩∩∩∩ B = B = ØØ,,�� ŘŘííkkááme, me, žže mnoe množžinyiny A, B A, B jsou jsou

disjunktndisjunktníí..


�� MnoMnožžinu vinu vššech prvkech prvkůů patpatřřííccíích do ch do AA a a sousouččasnasněě nepatnepatřřííccíích do ch do BB nazývnazývááme me rozdrozdíílemlem mnomnožžiny iny AA a a mnomnožžiny iny BB nebo nebo taktakéé dopldoplňňkemkem mnomnožžiny iny BB do mnodo množžiny iny AA..

�� Zapisujeme Zapisujeme A A -- BB. Z. Záápis pis BB –– AAreprezentuje zreprezentuje zřřejmejměě jinou mnojinou množžinu.inu.


�� SjednocenSjednoceníí�� ( A ( A –– B ) B ) ∪∪∪∪∪∪∪∪ ( B ( B –– A)A)�� Se nazývSe nazýváá symetrický rozdsymetrický rozdííl mnol množžin in A A a a BB..

�� MnoMnožžinu tvoinu tvořřenou venou vššemi uspoemi uspořřáádanými danými dvojicemi dvojicemi

�� ( ( aa, , bb ))


�� Takovými, Takovými, žže a e a ∈∈A a b A a b ∈∈B nazývB nazývááme me kartkartéézským souzským souččinem inem

�� mnomnožžin A a B a znain A a B a značčííme A x B.me A x B.

Operace s mnoOperace s množžinami inami --ppřřííkladyklady

�� 1) Nech1) Nechťť AA = = {{ aa, , bb, , cc }}�� BB == {{ aa, , 11, , 22 }}. . �� Potom Potom �� A A ∪∪∪∪∪∪∪∪ BB = = { { aa, , bb, , cc, 1, 2 } , 1, 2 } �� A A ∩∩∩∩∩∩∩∩ B = { B = { aa }}�� A A –– B = { B = { bb, c, c }}�� B B –– A = { 1, 2 }A = { 1, 2 }


�� A x B = {(A x B = {(aa, , aa), (), (aa, 1), (, 1), (aa, 2), (, 2), (bb, , aa),),�� ((bb,1), (,1), (bb, 2), (, 2), (cc, , aa), (), (cc, 1), (, 1), (cc,2) },2) }�� B x A = { (B x A = { (aa, , aa), (), (aa, , bb), (), (aa, , cc), (1, ), (1, aa),),�� (1, (1, bb), (1, ), (1, cc), (2, ), (2, aa), (2, ), (2, bb), (2, ), (2, cc) }) }


�� 2) 2) DokaDokažžtete,, žže plate platíí vztahyvztahy�� a) a) ( A ( A ∪∪∪∪∪∪∪∪ B ) B ) ∩∩∩∩∩∩∩∩ C = ( A C = ( A ∩∩∩∩∩∩∩∩ C ) C ) ∪∪∪∪∪∪∪∪ ( B ( B ∩∩∩∩∩∩∩∩ C )C )�� b) b) A A –– ( B ( B ∪∪∪∪∪∪∪∪ CC ) = ( A ) = ( A –– B ) B ) ∩∩∩∩∩∩∩∩ ( A ( A –– C )C )�� c) c) A A –– ( B ( B ∩∩∩∩∩∩∩∩ CC ) = ( A ) = ( A –– B ) B ) ∪∪∪∪∪∪∪∪ ( A ( A –– C )C )�� Vztahy b), c) lze slovnVztahy b), c) lze slovněě vyjvyjááddřřit takto:it takto:�� DoplnDoplněěk sjednocenk sjednoceníí je roven prje roven průůniku niku

dopldoplňňkkůů, dopln, doplněěk prk průůniku je roven niku je roven


�� sjednocensjednoceníí dopldoplňňkkůů. . JsouJsou to to tak zvantak zvanáápravidla pravidla de Morganade Morgana..

�� OTOTÁÁZKY A ZKY A ÚÚLOHYLOHY�� 1 Co je pr1 Co je práázdnzdnáá, nepr, nepráázdnzdnáá, kone, koneččnnáá a a �� nekonenekoneččnnáá mnomnožžina?ina?�� 2 Vysv2 Vysvěětlete co znamentlete co znamenáá, , žže e A A ⊂⊂⊂⊂⊂⊂⊂⊂ BB,,�� A = BA = B, , A A ⊃⊃⊃⊃⊃⊃⊃⊃ BB

Operace s mnoOperace s množžinami inami --cvicviččeneníí

�� 3 Vysv3 Vysvěětlete co je sjednocentlete co je sjednoceníí, pr, průůnik, rozdnik, rozdííl l �� a karta kartéézský souzský souččin dvou mnoin dvou množžin.in.�� 4 Doka4 Dokažžte platnost de te platnost de MorganovýchMorganových�� pravidel pro mnopravidel pro množžiny.iny.�� 5 Doka5 Dokažžte, te, žže plate platíí�� A A ∪∪∪∪∪∪∪∪ ( B ( B ∩∩∩∩∩∩∩∩ C ) = ( A C ) = ( A ∪∪∪∪∪∪∪∪ B) B) ∩∩∩∩∩∩∩∩ (A (A ∪∪∪∪∪∪∪∪ C )C )..

2. MATEMATICK2. MATEMATICKÁÁ LOGIKALOGIKA

�� V dalV dalšíším textu pm textu přředpokledpoklááddááme, me, žže ve vššechny naechny našše e vvěěty jsou vytvoty jsou vytvořřeny gramaticky spreny gramaticky spráávnvněě. . Uvedeme nUvedeme něěkolik pkolik přřííkladkladůů vvěět:t:

�� V1 Brno je mV1 Brno je měěsto.sto.�� V2 Brno nepatV2 Brno nepatřříí mezi mmezi měěsta.sta.�� V3 4 V3 4 < 3.< 3.�� V4 PV4 Přřesnesněě za tisza tisííc let v tuto dobu zde bude c let v tuto dobu zde bude �� prprššet.et.

MATEMATICKMATEMATICKÁÁ LOGIKALOGIKA

�� V5 PV5 Přřirozenirozenéé ččííslo slo xx je dje děělitelnlitelnéé ttřřemi.emi.�� V6 Existuje celV6 Existuje celéé ččííslo slo xx takovtakovéé, , žže e xx2 2 = 2= 2..�� V7 KaV7 Kažžddéé ppřřirozenirozenéé ččííslo slo xx je dje děělitelnlitelnéé�� ttřřemi.emi.

�� 2.1 2.1 Výrok a výrokovVýrok a výrokováá funkcefunkce. . Výrokem Výrokem rozumrozumííme vme věětu o ktertu o kteréé lze rozhodnout zda je lze rozhodnout zda je pravdivpravdiváá nebo nepravdivnebo nepravdiváá. V na. V naššich ich


�� PPřřííkladech je kladech je �� V1 výrokem (pravdivým)V1 výrokem (pravdivým)�� V2 a V3 jsou výroky (nepravdivV2 a V3 jsou výroky (nepravdivéé))�� V4 a V5 nejsou výroky (nelze rozhodnoutV4 a V5 nejsou výroky (nelze rozhodnout�� zda jsou pravdivzda jsou pravdivéé nebo nepravdivnebo nepravdivéé))�� V6 a V7 jsou výroky (nepravdivV6 a V7 jsou výroky (nepravdivéé))�� VVššimnimněěme si vme si věět V5 a V7. Obt V5 a V7. Oběě obsahujobsahujíí symbol symbol

xx. Ve v. Ve věěttěě V7 lze symbol V7 lze symbol xx vynechat anivynechat anižž to to zmzměěnníí jejjejíí smysl nebosmysl nebo


�� Ji lze pJi lze přřeformulovat takto:eformulovat takto:�� V8 VV8 Vššechna pechna přřirozenirozenáá ččíísla jsou dsla jsou děělitelnlitelnáá ttřřemi.emi.�� Ve V5 symbol Ve V5 symbol xx nelze vynechat. Dosadnelze vynechat. Dosadíímeme--li li

za x konkrza x konkréétntníí ččííslo, napslo, napřř. 4, potom dostaneme . 4, potom dostaneme vvěětutu

�� V9 PV9 Přřirozenirozenéé ččííslo 4 je dslo 4 je děělitelnlitelnéé ttřřemi. emi. �� Ta je jiTa je jižž výrokem (nepravdivým). Vvýrokem (nepravdivým). Věěta V5 ta V5


�� Je pJe přřííkladem tzv. kladem tzv. výrokovvýrokovéé funkcefunkce. Pod t. Pod tíímto mto pojmem rozumpojmem rozumííme vme věětu, ktertu, kteráá nenneníí výrokem a výrokem a kterkteráá obsahuje symbol pobsahuje symbol přřipouipouššttěějjííccíí dosazendosazenííkonkrkonkréétntníí hodnoty a kterhodnoty a kteráá po dosazenpo dosazeníí se stane se stane výrokem. Výrokovvýrokem. Výrokovéé funkce se obvykle znafunkce se obvykle značčíípp((xx), ), qq((xx), . . . ), . . . ..

�� MMíísto vsto věěty ty „„výrok výrok pp je pravdivýje pravdivý““ řřííkkááme me „„výrok výrok pp mmáá logickou hodnotu logickou hodnotu truetrue““ nebo zkrnebo zkráátka tka „„platplatíí p p ““..


�� MMíísto vsto věěty ty „„výrok výrok pp je nepravdivýje nepravdivý““ řřííkkááme me „„výrok výrok pp mmáá logickou hodnotu logickou hodnotu falsefalse““ nebo nebo krkráátce neplattce neplatíí pp ..

�� VidVidííme, me, žže nae našše definice výroku pe definice výroku přřipouipouššttíí pouze pouze dvdvěě logicklogickéé hodnoty. hodnoty. ŘŘííkkááme, me, žže pracujeme s e pracujeme s dvojhodnotovoudvojhodnotovou logikoulogikou. Jej. Jejíí zzááklady poloklady položžil il jijižž Aristoteles.Aristoteles.

�� 2.2 2.2 Negace výroku a logickNegace výroku a logickéé kvantifikvantifi--kkáátorytory..VidVidííme, me, žže výrok V2 je v jiste výrok V2 je v jistéém m


�� smyslu opasmyslu opaččný k výroku V1. ný k výroku V1. ŘŘííkkááme, me, žže je jeho e je jeho negacnegacíí. Obecn. Obecněě negacnegacíí výroku výroku pp rozumrozumííme me výrok výrok qq, který m, který máá tuto vlastnost:tuto vlastnost:

�� jeje--li li pp pravdivý je pravdivý je qq nepravdivý a naopak jenepravdivý a naopak je--li li pp nepravdivý je nepravdivý je qq pravdivý. Negace pravdivý. Negace

�� výroku výroku pp se oznase označčuje a uje a ččteme teme nonnon p p ..�� NechNechťť A je nA je něějakjakáá mnomnožžina a p(x) nina a p(x) něějakjakáá

výrokovvýrokováá funkce. Výrok funkce. Výrok

p


�� V10 Pro kaV10 Pro kažždý prvek dý prvek xx ∈∈∈∈∈∈∈∈ A A je pravdivý je pravdivý výrok výrok p(p(xx) )

�� se v matematice se v matematice ččastoasto zapisuje takto:zapisuje takto:�� V11 V11 pp((xx) ) ∀∀∀∀∀∀∀∀ xx ∈∈∈∈∈∈∈∈ A A nebonebo ∀∀∀∀∀∀∀∀ xx ∈∈∈∈∈∈∈∈ A A : : pp((xx) ) �� a a ččte se : te se : pp((xx)) platplatíí pro kapro kažžddéé xx z z

mnomnožžiny iny AA..�� OpaOpaččným výrokem k výroku V10 je výrok V12 ným výrokem k výroku V10 je výrok V12

V mnoV množžininěě AA existuje (alespoexistuje (alespoňň jeden)jeden)


�� prvek prvek aa takový, takový, žže výrok e výrok pp((aa) je nepravdivý ) je nepravdivý ––zapisuje se takto:zapisuje se takto:

�� V13 V13 ∃∃∃∃∃∃∃∃ aa ∈∈∈∈∈∈∈∈A A : : pp((aa) ) �� a a ččte se : v mnote se : v množžininěě AA existuje prvek existuje prvek aa takový, takový,

žže neplate neplatíí pp((aa) . ) . �� Z uvedených pZ uvedených přřííkladkladůů je význam symbolje význam symbolůů�� ∀∀∀∀∀∀∀∀ , , ∃∃∃∃∃∃∃∃ zzřřejmý. ejmý. ŘŘííkkáá se jim se jim logicklogickéé

kvantifikkvantifikáátorytory..


�� NegacNegacíí ke kake kažžddéému výroku mu výroku p p je výrok je výrok �� „„ nenneníí pravda, pravda, žže plate platíí pp „„

�� 2.3 2.3 Disjunkce a konjunkce výrokDisjunkce a konjunkce výrokůů. Vyjdeme z . Vyjdeme z ppřřííkladu výrokukladu výroku

�� V14 TrojV14 Trojúúhelnhelníík ABC je rovnoramenný k ABC je rovnoramenný nebo pravonebo pravoúúhlý.hlý.

�� Tento výrok je spojenTento výrok je spojeníím dvou výrokm dvou výrokůůV15V15


�� V15 TrojV15 Trojúúhelnhelníík ABC je rovnoramennýk ABC je rovnoramenný�� V16 TrojV16 Trojúúhelnhelníík ABC je pravok ABC je pravoúúhlýhlý�� Spojka nebo zde nenSpojka nebo zde neníí vyluvyluččovacovacíí, ale , ale řřííkkáá žže e

výrok V14 nenvýrok V14 neníí pravdivý pouze v ppravdivý pouze v přříípadpaděě, kdy , kdy ani jeden z výrokani jeden z výrokůů V15, V16 nenV15, V16 neníí pravdivý. Ve pravdivý. Ve vvššech ostatnech ostatníích pch přříípadech je pravdivý. padech je pravdivý. DostDostáávvááme se k pojmu me se k pojmu disjunkce disjunkce dvou výrokdvou výrokůů::


�� JsouJsou--li dli dáány dva výroky ny dva výroky pp a a qq, potom nový , potom nový výrok tvaru výrok tvaru „„ pp nebo nebo qq ““ nazývnazývááme disjunkcme disjunkcíívýrokvýrokůů pp, , qq a zapisujeme ji a zapisujeme ji

�� pp ∨∨∨∨∨∨∨∨ q q ((ččteme teme pp oror qq) ) –– je pravdivje pravdiváá, kdy, kdyžžalespoalespoňň jeden z výrokjeden z výrokůů pp, , qq je pravdivý a je pravdivý a nepravdivnepravdiváá, kdy, kdyžž oba výroky oba výroky pp, , qq jsou jsou nepravdivnepravdivéé. .

�� UvaUvažžme dalme dalšíší výrok:výrok:


�� V17 TrojV17 Trojúúhelnhelníík ABC je rovnoramenný a k ABC je rovnoramenný a pravopravoúúhlý.hlý.

�� Tento výrok je spojenTento výrok je spojeníím dvou výrokm dvou výrokůů V15, V16 V15, V16 spojkou spojkou „„ a a ““. Je pravdivý pouze v tom . Je pravdivý pouze v tom ppřříípadpaděě, kdy oba dva výroky jsou pravdiv, kdy oba dva výroky jsou pravdivéé..

�� Ve vVe vššech ostatnech ostatníích pch přříípadech je nepravdivý.padech je nepravdivý.�� DostDostáávvááme se k pojmu me se k pojmu konjunkcekonjunkce dvou dvou

výrokvýrokůů::


�� Konjunkce je pravdivKonjunkce je pravdiváá pouze v ppouze v přříípadpaděě, kdy oba , kdy oba výroky výroky pp a a qq jsou pravdivjsou pravdivéé..

�� MMěějme dva výroky jme dva výroky pp, , qq. Nový výrok tvaru . Nový výrok tvaru „„ ppa a qq ““ nazývnazývááme konjunkcme konjunkcíí výrokvýrokůů pp, , qq a a zapisujeme ji zapisujeme ji p p ∧∧∧∧∧∧∧∧ q q –– ((ččti ti pp etet q q ).).

�� 2.42.4 Implikace a ekvivalence výrokImplikace a ekvivalence výrokůů. Vyjdeme . Vyjdeme opopěět z pt z přřííkladu výroku:kladu výroku:

�� V18 JestliV18 Jestližže troje trojúúhelnhelníík ABC je rovnostranný k ABC je rovnostranný potom je rovnoramenný.potom je rovnoramenný.


�� PPřředchozedchozíí výrok se opvýrok se opěět sklt sklááddáá ze dvou výrokze dvou výrokůů::�� V19 V19 TrojTrojúúhelnhelníík ABC je rovnostranný,k ABC je rovnostranný,�� V20 TrojV20 Trojúúhelnhelníík ABC je rovnoramenný.k ABC je rovnoramenný.�� PPřři oznai označčeneníí výrokvýrokůů pp, , qq mmáá výrok V18 výrok V18

strukturu strukturu �� V21 JestliV21 Jestližže plate platíí pp, potom plat, potom platíí qq..�� Tento výrok nic neTento výrok nic neřřííkkáá o pravdivosti výroko pravdivosti výrokůů�� pp a a qq. . ŘŘííkkáá pouze to, pouze to, žže soue souččasnasněě nenneníí


�� MoMožžnnéé, aby sou, aby souččasnasněě platil výrok platil výrok pp a neplatil a neplatil výrok výrok q, q, tj.tj. výrok p výrok p ∧∧ q je nepravdivý. Výrok q je nepravdivý. Výrok V21 lze formulovat takV21 lze formulovat takéé takto:takto:

�� V22 JestliV22 Jestližže neplate neplatíí qq, potom neplat, potom neplatíí pp. . �� TTíím se dostm se dostáávvááme k pojmu me k pojmu implikaceimplikace dvou dvou

výrokvýrokůů: Jsou: Jsou--li dli dáány výroky ny výroky pp, , qq, potom nový , potom nový výrok tvaru výrok tvaru „„jestlijestližže e pp, potom , potom qq““


�� nazývnazývááme implikacme implikacíí výrokvýrokůů pp, , qq a pa píšíšemeeme�� pp �� q q ((ččti ti pp implikuje implikuje qq). Implikace je ). Implikace je

nepravdivnepravdiváá pouze kdypouze kdyžž výrok výrok pp je pravdivý a je pravdivý a sousouččasnasněě výrok výrok qq je nepravdivý. Ve vje nepravdivý. Ve vššech ech ostatnostatníích pch přříípadech je pravdivpadech je pravdiváá..

�� V matematice V matematice ččasto masto míísto výrokusto výroku�� JestliJestližže plate platíí pp, potom plat, potom platíí qq�� poupoužžíívváá nněěkterkteráá z nz náásledujsledujííccíích konstrukcch konstrukcíí::


�� NechNechťť platplatíí pp. Potom plat. Potom platíí qq. . �� Z Z pp plyne plyne qq, , �� pp je postaje postaččujujííccíí podmpodmíínkou pro nkou pro qq,,�� qq je nutnou podmje nutnou podmíínkou pro nkou pro pp,,�� qq platplatíí tehdy, kdytehdy, kdyžž platplatíí pp,,�� pp platplatíí jen tehdy, kdyjen tehdy, kdyžž platplatíí qq..�� Tato terminologie ztratTato terminologie ztratíí hrozivost, kdyhrozivost, kdyžž ji ji

aplikujeme na paplikujeme na přřííkladu výroku V18. kladu výroku V18.


�� MMíísto nsto něěj pouj použžijeme nijeme něěkterou z nkterou z náásledujsledujíí--ccíích ch konstrukckonstrukcíí::

�� NechNechťť trojtrojúúhelnhelníík ABC je rovnostranný potom k ABC je rovnostranný potom je rovnoramenný.je rovnoramenný.

�� Z Z rovnostrannostirovnostrannosti trojtrojúúhelnhelnííka ABC plyne jeho ka ABC plyne jeho rovnoramennostrovnoramennost. .

�� RovnostrannostRovnostrannost trojtrojúúhelnhelnííka ABC je postaka ABC je postaččujujííccíípodmpodmíínkou jeho nkou jeho rovnoramenrovnoramen-- nostinosti..


�� RovnoramennostRovnoramennost trojtrojúúhelnhelnííka ABC je nutnou ka ABC je nutnou podmpodmíínkou jeho nkou jeho rovnostrannostirovnostrannosti..

�� TrojTrojúúhelnhelníík ABC je rovnoramenný tehdy, kdyk ABC je rovnoramenný tehdy, kdyžžje rovnostranný.je rovnostranný.

�� TrojTrojúúhelnhelníík ABC je rovnostranný jen tehdy, k ABC je rovnostranný jen tehdy, kdykdyžž je rovnoramenný.je rovnoramenný.

�� ČČasto masto míísto výroku sto výroku „„ jestlijestližže e xx ∈∈∈∈∈∈∈∈AA, potom plat, potom platíípp((xx) ) ““ se pouse použžíívváá výrok výrok „„ pro kapro kažžddéé xx ∈∈∈∈∈∈∈∈A A platplatíípp((xx) ) ““


�� V matematice se V matematice se ččasto setkasto setkáávvááme s výroky, kdy me s výroky, kdy kromkroměě implikace implikace pp �� qq je pravdivje pravdiváá i implikace i implikace opaopaččnnáá, tj. s výroky tvaru :, tj. s výroky tvaru :

�� V23 (V23 (pp �� qq ) ) ∧∧∧∧∧∧∧∧ ((qq �� p p ) ) �� Tak napTak napřřííklad vedle výroku klad vedle výroku „„ JestliJestližže troje trojúúhelnhelníík k

ABC je pravoABC je pravoúúhlý potom hlý potom || AB AB || 22 + + ||BC BC || 22 = = || AC AC || 22 ““ ( Pythagorova v( Pythagorova věěta) platta) platíí i i výrok opavýrok opaččný ný „„ JestliJestližže e || AB AB || 22 + + || BC BC || 22 = = || AC AC || 22 , potom troj, potom trojúúhelnhelníík ABC je k ABC je pravopravoúúhlýhlý““


�� Výrok tvaru V23 krVýrok tvaru V23 kráátce zapisujeme tce zapisujeme �� V24 V24 pp ⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔ qq nebo taknebo takéé pp ≡≡≡≡≡≡≡≡ qq�� ((ččti ti p p je ekvivalentnje ekvivalentníí s s qq) a výroky ) a výroky pp, , qq

nazývnazývááme me ekvivalentnekvivalentníí..�� Výrok V24 lze formulovat takto:Výrok V24 lze formulovat takto:�� V25 V25 pp je nutnou a postaje nutnou a postaččujujííccíí podmpodmíínkou pro nkou pro q q

nebo taknebo takéé�� V26 V26 pp platplatíí tehdy a jen tehdy, kdytehdy a jen tehdy, kdyžž platplatíí qq


�� V obou výrocV obou výrocíích V25, V26 lze mezi sebou ch V25, V26 lze mezi sebou vymvyměěnit pnit píísmena smena pp a a qq..

�� 2.5 Tautologie. 2.5 Tautologie. Snadno se pSnadno se přřesvesvěěddččííme, me, žže e výrok výrok

�� V27 V27 pp ∨∨∨∨∨∨∨∨ p p je vje vžždy pravdivý ady pravdivý aťť p p platplatíí nebo nebo ne. Takovým, vne. Takovým, vžždy pravdivým, dy pravdivým, logiclogic--kým kým výrokvýrokůům se m se řřííkkáá tautologietautologie nebo tnebo tééžž logicklogickéézzáákonykony, tautologii V27 se , tautologii V27 se řřííkkáá


�� AristotelAristotelůův zv záákon o vyloukon o vylouččenenéém tm třřetetíím.m.�� DalDalšíšími dmi důůleležžitými tautologiemi jsou tzv. itými tautologiemi jsou tzv.

pravidla de Morgana:pravidla de Morgana:�� V28 V28 pp ∨∨∨∨∨∨∨∨ qq ≡≡≡≡≡≡≡≡ pp ∧∧∧∧∧∧∧∧ q q �� V29 V29 pp ∧∧∧∧∧∧∧∧ qq ≡≡≡≡≡≡≡≡ pp ∨∨∨∨∨∨∨∨ qq

�� 2.62.6 TeorTeoréémymy a jejich da jejich důůkazy. kazy. PravdivPravdivéé výroky výroky matematickmatematickéého charakteru se nazývajho charakteru se nazývajíímatematickými vmatematickými věětami tami –– teorteoréémy.my.


�� VVěěttššina teorina teoréémmůů mmáá tvar implikace tvar implikace pp �� q.q.�� InInžženýenýřři, a zvli, a zvlášášttěě studenti instudenti inžženýrstvenýrstvíí a a

bakalbakaláářřstvstvíí, se , se ččasto dopouasto dopouššttěějjíí chyby v tom, chyby v tom, žže e si z výroku si z výroku pp �� qq zapamatujzapamatujíí pouze výrok pouze výrok q q a a ten prohlten prohláássíí za pravdivý v kaza pravdivý v kažžddéé situaci (asituaci (aťťvýrok výrok p p platplatíí nebo neplatnebo neplatíí). Mohou t). Mohou tíím m vzniknout tvzniknout těžěžkkéé omyly a nomyly a něěkdy i zkdy i záábavnbavnéésituace. Tak napsituace. Tak napřřííklad výrokklad výrok

�� JestliJestližže 2=1, potom pan Nove 2=1, potom pan Nováák je papek je papežžemem


�� Je jistJe jistěě pravdivý. Ve skutepravdivý. Ve skuteččnosti pan Novnosti pan Nováák a k a papepapežž jsou dvjsou dvěě osoby. Jestliosoby. Jestližže 2=1, potom pan e 2=1, potom pan NovNováák a papek a papežž jsou jedna osoba a tedy pan jsou jedna osoba a tedy pan NovNováák je papek je papežžem. Samotný výrok em. Samotný výrok

�� Pan NovPan Nováák je papek je papežžem em �� SSáám o sobm o soběě pravdivý pochopitelnpravdivý pochopitelněě nenneníí..�� Platnost kaPlatnost kažžddéé matematickmatematickéé vvěěty je tty je třřeba eba

dokdokáázat. zat. VýjVýjíímkumku tvotvořříí tak zvantak zvanéé axiomyaxiomy, kter, kterééppřředem povaedem považžujeme za pravdivujeme za pravdivéé. .


�� DDůůkazy vkazy věět dt děěllííme na pme na přříímméé a nepa nepřříímméé. . Podstatou obou typPodstatou obou typůů ddůůkazu je implikace. kazu je implikace. NechNechťť je dje dáán výrok n výrok vv, jeho, jehožž platnost mplatnost mááme me dokdokáázat. zat.

�� Podstata pPodstata přříímméého dho důůkazu spokazu spoččíívváá v nv náásledujsledujííccíím m postupu: Hledpostupu: Hledáá se pravdivý výrok p (jehose pravdivý výrok p (jehožžplatnost byla jiplatnost byla jižž ddřřííve ovve ověřěřena, napena, napřř. axiom), . axiom), takový aby platila implikace takový aby platila implikace pp �� vv. Platnost . Platnost výroku výroku pp je tje tíím dokm dokáázzáána, nebona, neboťť, jak v, jak vííme v me v pravdivpravdivéé


�� implikaci z pravdivimplikaci z pravdivéého výroku mho výroku můžůže plynout e plynout pouze pravdivý výrok.pouze pravdivý výrok.

�� Podstata nepPodstata nepřříímméého dho důůkazu spokazu spoččíívváá v v nnááslesle--dujdujííccíím postupu: hledm postupu: hledáá se nepravdivý výrok se nepravdivý výrok nn(jeho(jehožž neplatnost byla jineplatnost byla jižž ddřřííve ovve ověřěřena), takový ena), takový aby platila implikace aby platila implikace vv �� nn. Platnost výroku v . Platnost výroku v je tje tíím dokm dokáázzáána, nebona, neboťť, jak v, jak vííme v pravdivme v pravdivééimplikaci nemimplikaci nemůžůže z pravdive z pravdivéého výroku plynout ho výroku plynout nepravdivýnepravdivý


�� výrok. To vvýrok. To vššak znamenak znamenáá, , žže výrok e výrok vv je je nepravdivý a tedy výrok nepravdivý a tedy výrok vv je pravdivý (pokud je pravdivý (pokud ovovššem pracujeme ve em pracujeme ve dvojhodnotovdvojhodnotovéé logice). logice). Uvedený druh dUvedený druh důůkazu se nazývkazu se nazýváá taktakéé ddůůkaz kaz sporemsporem..

�� ČČastým pastým přříípadem teorpadem teoréémmůů jsou teorjsou teoréémy tvaru my tvaru �� V30 V30 ∀∀∀∀∀∀∀∀ nn ∈∈∈∈∈∈∈∈ N : N : pp((nn),),�� kde kde pp((nn) je n) je něějakjakáá výrokovvýrokováá funkce.funkce.


�� Ze stZe střřednedníí šškoly znkoly znááte nte náásledujsledujííccíí vvěětu o tu o matematickmatematickéé indukci:indukci:

�� ** [[pp(1) (1) ∧∧∧∧∧∧∧∧ ((∀∀∀∀∀∀∀∀ kk∈∈∈∈∈∈∈∈N : (N : (pp((kk) ) �� pp((kk+1)))+1)))] ] �� ∀∀∀∀∀∀∀∀ nn∈∈∈∈∈∈∈∈N : N : pp((nn))�� ZZáápis vypadpis vypadáá hrozivhrozivěě. Je to výrok:. Je to výrok:�� JestliJestližže plate platíí výrok výrok pp(1) (1) a soua souččasnasněě je pravda, je pravda,

žže pro kae pro kažžddéé ppřřirozenirozenéé ččííslo slo kk z platnosti z platnosti výroku výroku pp((kk) ) plyne platnost plyne platnost pp((kk+1+1)),,


�� potom pro kapotom pro kažžddéé ppřřirozenirozenéé ččííslo slo nn platplatíí výrok výrok pp((nn)). .

�� Pravdivost implikace * je dokPravdivost implikace * je dokáázzáána. Stana. Staččíí tedy tedy pro platnost výroku V30, copro platnost výroku V30, cožž je pravje praváá strana v strana v implikaci *, dokimplikaci *, dokáázat platnost výroku na levzat platnost výroku na levééstranstraněě, tj. výroku, tj. výroku

�� ** ** pp(1) (1) ∧∧∧∧∧∧∧∧ ((∀∀∀∀∀∀∀∀ kk∈∈∈∈∈∈∈∈N : (N : (pp((kk) ) �� pp((kk+1)))+1)))�� Výrok ** je konjunkcVýrok ** je konjunkcíí a k jeho platnosti staa k jeho platnosti staččíí

tedy doktedy dokáázat, zat, žže soue souččasnasněě platplatíí dva dva


�� výroky.výroky.�� *** *** pp(1) (1) ∀∀∀∀∀∀∀∀ kk∈∈∈∈∈∈∈∈N : (N : (pp((kk) ) �� pp((kk+1))+1))�� V postupu *** kaV postupu *** kažždý jidý jižž ururččititěě vidvidíí znznáámou mou

metodu dokazovmetodu dokazováánníí matematickou indukcmatematickou indukcíí..

�� Na zNa záávvěěr podotknr podotkněěme, me, žže ze záápisem pisem �� xx ∈∈∈∈∈∈∈∈ A: A: ww((xx))�� RozumRozumííme v matematice mnome v matematice množžinu vinu vššech prvkech prvkůů

xx z mnoz množžiny iny AA splsplňňujujííccíích ch ww((xx).).

MATEMATICKMATEMATICKÁÁ LOGIKALOGIKAOTOTÁÁZKY a ZKY a ÚÚLOHYLOHY

�� Na zNa záávvěěrr podotknpodotkněěme, me, žže ze záápis pis xx∈∈∈∈∈∈∈∈A: A: ww((xx) ) reprezentuje mnoreprezentuje množžinu vinu vššech prvkech prvkůů xx z z mnomnožžiny A takových, iny A takových, žže pro ne pro něě platplatíí výrok výrok ww((xx)). . Tak napTak napřřííklad klad {{xx ∈∈∈∈∈∈∈∈RR: : xx > 0> 0} } znamenznamenáá mnomnožžinu inu vvššech reech reáálných lných ččíísel sel xx , , kterkteráá jsou vjsou věěttšíší nenežž nula. nula.

�� OTOTÁÁZKY a ZKY a ÚÚLOHYLOHY�� 1.Popi1.Popiššte vlastnte vlastníími slovy, co je výrok a co je mi slovy, co je výrok a co je

výrokovvýrokováá funkce.funkce.

MATEMATICKMATEMATICKÁÁ LOGIKALOGIKAOTOTÁÁZKY a ZKY a ÚÚLOHYLOHY

�� 2.Co je negace výroku a co jsou logick2.Co je negace výroku a co jsou logickéékvantifikkvantifikáátory. Uvetory. Uveďďte pte přřííklady.klady.

�� 3.Co jsou disjunkce a konjunkce dvou 3.Co jsou disjunkce a konjunkce dvou výrokvýrokůů.Uve.Uveďďte pte přřííklady.klady.

�� 4.Co jsou implikace a ekvivalence dvou výrok4.Co jsou implikace a ekvivalence dvou výrokůů. . UveUveďďte pte přřííklady.klady.

�� 5.Co je v matematick5.Co je v matematickéé vvěěttěě podmpodmíínka nutnnka nutnáá a co a co postapostaččujujííccíí. Uve. Uveďďte pte přřííklady.klady.

MATEMATICKMATEMATICKÁÁ LOGIKALOGIKAOTOTÁÁZKY, ZKY, ÚÚLOHY a LOHY a CVICVIČČENENÍÍ

�� 7.Vysv7.Vysvěětlete princip dtlete princip důůkazu matematickou kazu matematickou ïïndukcndukcíí..

�� 8. Co je tautologie.8. Co je tautologie.�� CVICVIČČENENÍÍ�� 6.Vysv6.Vysvěětlete princip ptlete princip přříímméého a nepho a nepřříímméého ho

ddůůkazu matematickkazu matematickéé vvěěty.ty.�� 1. Negujte bez pou1. Negujte bez použžititíí slov slov „„nenneníí pravda, pravda, žžee““

výrokyvýroky�� a)Nejma)Nejméénněě dvdvěě ttřřetiny studentetiny studentůů je chytrých.je chytrých...

MATEMATICKMATEMATICKÁÁ LOGIKALOGIKACVICVIČČENENÍÍ

�� 3. 3. DokaDokažžtete, , žže e nnáásledujsledujííccíí výroky jsou výroky jsou tautologiemitautologiemi

�� a) ((a) ((pp ∨∨∨∨∨∨∨∨ qq) ) ∧∧∧∧∧∧∧∧ ((pp ∨∨∨∨∨∨∨∨ qq)) )) ≡≡ ((pp ⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔ qq))�� b) (b) (pp ∨∨∨∨∨∨∨∨ qq) ) ≡≡ ((q q �� pp))�� 4. Uka4. Ukažžte, te, žže platnost výroku e platnost výroku „„ jestlijestližže plate platíí pp, ,

potom platpotom platíí qq““ je dokje dokáázzáána, kdyna, kdyžž se nse náám podam podařříídokdokáázat nzat něěkterý z výrokkterý z výrokůů

�� a) Neplata) Neplatíí zzáároveroveňň výrok výrok pp a negace výroku a negace výroku qq


�� b)Jestlib)Jestližže neplate neplatíí qq, potom neplat, potom neplatíí pp�� (Sta(Staččíí dokdokáázat, zat, žže výrokye výroky�� a) (a) (pp �� qq) ) ≡≡ pp ∧∧∧∧∧∧∧∧ qq�� b) b) ((pp �� qq) ) ≡≡ ((qq �� pp) jsou tautologie )) jsou tautologie )�� 5. Matematickou indukc5. Matematickou indukcíí dokadokažžte, te, žže plate platíí�� a) a) ∀∀∀∀∀∀∀∀ nn ∈∈∈∈∈∈∈∈ N N ::�� 1 + 2 + 3 + 4 + . . . + 1 + 2 + 3 + 4 + . . . + nn = =

( )12

n n +


�� b) b) ∀∀∀∀∀∀∀∀ nn ∈∈∈∈∈∈∈∈ N N ::�� 1 + 1 + qq + + qq2 2 + . . . + + . . . + q q nn –– 11 = = 1

1

nqq

−−

3 RE3 REÁÁLNLNÁÁ a KOMPLEXNa KOMPLEXNÍÍČČÍÍSLASLA

�� 3.1 3.1 DDĚĚLENLENÍÍ REREÁÁLNÝCH LNÝCH ČČÍÍSELSEL�� PPřřirozenirozenáá 1, 2, 3, . . . 1, 2, 3, . . . NN�� CelCeláá 0, 1, 0, 1, --1, 2, 1, 2, --2, . . . 2, . . . Z Z �� RacionRacionáálnlníí –– tvarutvaru pp//q q , , kde kde pp je je ččííslo celslo celéé a a qqččííslo pslo přřirozenirozenéé . . . . . . QQ

�� PlatPlatíí N N ⊂⊂⊂⊂⊂⊂⊂⊂ Z , Z Z , Z ⊂⊂⊂⊂⊂⊂⊂⊂ QQ..�� S racionS racionáálnlníími mi ččíísly v matematice sly v matematice nevystanevysta--ččíímeme. .

DDéélka lka úúhlophlopřřííččky jednotkovky jednotkovéého ho ččtverce je tverce je ččííslo slo a to nena to neníí racionracionáálnlníí..2

REREÁÁLNLNÁÁ a KOMPLEXNa KOMPLEXNÍÍČČÍÍSLASLA

�� VVššechna reechna reáálnlnáá ččíísla, ktersla, kteráá nejsou racionnejsou racionáálnlníínazývnazývááme iracionme iracionáálnlníí..

�� 3.2 RE3.2 REÁÁLNLNÉÉ MNOMNOŽŽINY, SUPREMUM A INY, SUPREMUM A INFIMUM.INFIMUM.

�� MnoMnožžiny, jejichiny, jejichžž prvky jsou pouze reprvky jsou pouze reáálnlnáá ččíísla sla nazývnazývááme me rereáálnými mnolnými množžinamiinami. Pro n. Pro náás zvls zvlášášťťddůůleležžitými reitými reáálnými mnolnými množžinami budou intervaly. inami budou intervaly. NechNechťť aa < < b b jsou libovolnjsou libovolnáá rereáálnlnáá ččíísla.sla.


�� 11.. ((-- ∞∞, , aa) =) ={{xx ∈∈∈∈∈∈∈∈ R: R: xx < < aa}}�� 2. 2. ((-- ∞∞, , aa]] =={{xx ∈∈∈∈∈∈∈∈ R: R: ((xx < < aa) ) ∨∨∨∨∨∨∨∨ ((xx = = aa))}}�� 3. (3. (aa, , ∞∞ ) =) ={{xx ∈∈∈∈∈∈∈∈ R: R: xx> > aa}}�� 4. [4. [aa, , ∞∞)) =={{xx ∈∈∈∈∈∈∈∈ R: R: ((xx> > aa) ) ∨∨∨∨∨∨∨∨ ((xx = = aa))}}�� 5. (5. (-- ∞∞, , ∞∞) =) = RR�� 66. . ((a, ba, b) =) ={{xx ∈∈∈∈∈∈∈∈ R: R: ((x x > > aa) ) ∧∧∧∧∧∧∧∧ ((xx < < bb))}}�� 7. (7. (a, ba, b] = ] = ((a, ba, b) ) ∪∪ {b} {b} �� 8. [8. [a, ba, b) = ) = ((a, ba, b) ) ∪∪ {a}{a}�� 9. [9. [a, ba, b] = ] = ((a, ba, b) ) ∪∪ {a,b}{a,b}


�� IntervalyIntervaly 1,1, 3,3, 5 a 65 a 6 nazývnazývááme otevme otevřřenenéé, intervaly , intervaly 2,4,5 a 9 uzav2,4,5 a 9 uzavřřenenéé a intervaly 7,8 a intervaly 7,8 polouzavpolouzavřřenenéé. . Interval 5 je jak otevInterval 5 je jak otevřřený tak uzavený tak uzavřřený.ený.

�� O reO reáálnlnéé mnomnožžininěě mnomnožžininěě MM řřekneme, ekneme, žže je e je shora ohranishora ohraniččenenáá, jestli, jestližže existuje ree existuje reáálnlnéé ččííslo slo hhtakovtakovéé, , žže pro ve pro vššechna echna xx∈∈∈∈∈∈∈∈M M platplatíí x x ≤≤≤≤≤≤≤≤ hh..KaKažžddáá shora ohranishora ohraniččenenáá mnomnožžina mina máá nekonenekoneččnněěmnoho hornmnoho horníích zch záávor. Mezi nimi vor. Mezi nimi


�� existuje vexistuje vžždy nejmendy nejmenšíší ččííslo slo –– supremumsupremummnomnožžiny iny MM, zna, značčííme me supsupMM..

�� supsupMM mmáá tyto dvtyto dvěě vlastnosti: a) Je hornvlastnosti: a) Je horníízzáávorou mnovorou množžiny M, iny M, tjtj, pro ka, pro kažžddéé xx∈∈∈∈∈∈∈∈M M platplatíí x x ≤≤supsupMM. b) je nejmen. b) je nejmenšíší z hornz horníích zch záávor.vor.

�� PPřřííklad. Nechklad. Nechťť AA = (= (-- ∞∞, , 22) , ) , B B = (= (-- ∞∞, , 22 ]]�� PotomPotom supsupAA=2, ale i =2, ale i supsupBB=2. V=2. Vššimnimněěme si, me si, žže e

supsupAA ∉∉∉∉∉∉∉∉ A A zatzatíímcomco supsupBB ∈∈∈∈∈∈∈∈ B.B.


�� To nTo náás vede k definici: jestlis vede k definici: jestližže e supsupMM ∈∈∈∈∈∈∈∈MM, , potom toto potom toto supremumsupremum nazvemenazveme maximemmaximemmnomnožžiny iny MM..

�� Analogicky definujeme ohraniAnalogicky definujeme ohraniččenost reenost reáálnlnéémnomnožžiny zdola a nejviny zdola a nejvěěttšíší dolndolníí zzáávoru mnovoru množžiny iny MM nazývnazývááme me infimeminfimem mnomnožžiny iny MM a zapisujeme a zapisujeme infinf MM. Je. Je--li li infinf M M ∈∈∈∈∈∈∈∈M, M, nazývnazýváá se minimem se minimem mnomnožžiny iny MM..


�� 3.3 ABSOLUTN3.3 ABSOLUTNÍÍ HODNOTA AHODNOTA A OKOLOKOLÍÍREREÁÁLNLNÉÉHO HO ČČÍÍSLA.SLA.

�� AbsolutnAbsolutníí hodnotou hodnotou aa ččíísla sla a a rozumrozumííme me vzdvzdáálenost bodu reprezentujlenost bodu reprezentujííccíího ho ččííslo slo a a na na ččííselnselnéé ose od poose od poččáátku. Plattku. Platíí tedy:tedy:

�� aa pro pro a a ≥≥ 0, 0, �� aa = = {{�� -- a a pro pro a < a < 00��


�� NechNechťť aa je libovolnje libovolnéé rereáálnlnéé ččííslo, slo, εε libolibo--volnvolnéékladnkladnéé rereáálnlnéé ččííslo. Potom platslo. Potom platíí

�� ((aa -- εε, , aa + + εε) = ) = { { x x ∈∈ R ; R ; xx –– aa < < εε}.}.�� Tento otevTento otevřřený interval nazývený interval nazývááme me εε--okolokolíím m ččíísla sla

(bodu) a nebo tak(bodu) a nebo takéé okolokolíím m ččíísla a osla a o polompoloměěruru εε..

KOMPLEXNKOMPLEXNÍÍ ČČÍÍSLASLA

�� 3.4 KOMPLEXN3.4 KOMPLEXNÍÍ ČČÍÍSLASLA�� Ze stZe střřednedníí šškoly vkoly vííme, me, žže komplexne komplexníí ččíísla jsou sla jsou ččíísla tvaru sla tvaru

�� aa + + bbjj ,,�� Kde Kde aa, , bb jsou rejsou reáálnlnáá ččíísla a sla a jj je tak zvanje tak zvanáá

imaginimagináárnrníí jednotka, jednotka, ččííslo a se nazývslo a se nazýváá rereáálnlnáá ččáást st komplexnkomplexníího ho ččíísla sla

�� zz = = aa + + bbjj


�� ZnaZnaččíí se Re se Re zz, re, reáálnlnéé ččííslo slo bb se nazývse nazývááimaginimagináárnrníí ččáást komplexnst komplexníího ho ččíísla sla zz. Zna. Značčíí se se ImImzz. Komplexn. Komplexníí ččííslo se nazývslo se nazýváá ryze imaginryze imagináárnrníí, je, je--li Re li Re zz = = 00 a a ImIm zz ≠≠≠≠≠≠≠≠ 00..

�� 3.6 OPERACE S KOMPLEXN3.6 OPERACE S KOMPLEXNÍÍMI MI ČČÍÍSLYSLY�� Rovnost dvou komplexnRovnost dvou komplexníích ch ččíísel sel zz11==aa11++bb11jj , ,

zz22==aa22++bb22jj je definovje definováána taktona takto�� zz1 1 = = zz22 ⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔ ((aa11 = = aa22) ) ∧∧∧∧∧∧∧∧ ((bb11 = = bb22))


�� SouSouččet a souet a souččin dvou komplexnin dvou komplexníích ch ččíísel sel zz11==aa11++bb11jj , , zz22==aa22++bb22jj je definovje definováána takto:na takto:

�� zz1 1 ++ zz22 = = ((aa11++aa22) + () + (bb11 + + bb22)) jj�� zz1 1 . . zz22 = = ((aa11..aa22 -- bb11..bb22 )) + + ((aa11..bb22 + + aa22..bb11)) jj�� ProPro ssččííttáánníí a na náásobensobeníí komplexnkomplexníích ch ččíísel platsel platíí

tattatáážž pravidla jako pro repravidla jako pro reáálnlnáá ččíísla.sla.�� NechNechťť zz==aa++bbjj ≠≠≠≠≠≠≠≠ 0 +00 +0jj je libovolnje libovolnéé komplexnkomplexnííččííslo. Potom komplexnslo. Potom komplexníí ččííslo slo yy


�� TakovTakovéé, , žže e z.yz.y = 1 = 1 oznaoznaččujeme ujeme 11//zz nebo taknebo takéé zz––11.. ZZáároveroveňň platplatíí

�� 11//zz = .= .

�� NechNechťť zz = = aa + + bbjj je libovolnje libovolnéé komplexnkomplexníí ččííslo, slo, potom potom aa –– bbjj se nazývse nazýváá komplexnkomplexněě sdrusdružženenééččííslo k slo k ččííslu slu zz a oznaa označčuje se uje se z z . Pro komplexn. Pro komplexněěsdrusdružženenáá ččíísla platsla platíí pravidla:pravidla:

��

2 2 2 2+ +a b- j

a b a b


�� zz1 1 ++ zz22 == zz1 1 ++ zz22

�� zz1 1 .. zz22 == zz11.. zz22

�� zz1 1 // zz22 == zz11// zz22

�� (( z z ) = ) = z z


�� zz = = zz ⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔ zz je reje reáálnlnéé ččíísloslo�� 3.7 GAUSSOVA ROVINA 3.7 GAUSSOVA ROVINA –– absolutnabsolutníí hodnota hodnota

a argument komplexna argument komplexníího ho ččíísla. Komplexnsla. Komplexníí ččíísla sla znznáázorzorňňujeme v ujeme v GaussovGaussověě rovinroviněě (obr.3.1) (obr.3.1) VzdVzdáálenost bodu lenost bodu reprezenreprezen--tujtujííccííhoho ččííslo slo zz ==aa + + bbjj od pood poččáátku, nazývtku, nazýváá--meme absolutnabsolutníí hodnotahodnotakomplexnkomplexníího ho ččíísla sla zz a oznaa označčujeme ujeme zz ((zz = = )) 2 2a b+


��

�� ObrObráázek 3.1zek 3.1

ϕ

z = a + bj

reálná osa

imaginární osa


�� Pro komplexnPro komplexněě sdrusdružženenéé ččííslo platslo platíí�� zz = = zz�� DDáále je zle je zřřejmejméé, , žže plate platíí�� zz = = aa + + bbjj = = zz( cos( cosϕϕ + i sin+ i sinϕϕ) ,) ,�� kde kde úúhel hel ϕϕ (m(měřěřený v obloukovený v obloukovéé mmíířře), e), urur--ččenýený

aažž na nna náásobky sobky ččíísla 2sla 2ππ vztahem vztahem �� tg tg ϕϕ = = bb/a/a�� je tak zvaný je tak zvaný argument komplexnargument komplexníího ho ččíísla sla a a


�� oznaoznaččuje se uje se argarg zz.. Argument pro který platArgument pro který platíí ϕϕ∈∈[0, 2 [0, 2 ππ ) se nazýv) se nazýváá hlavnhlavníí argumentargument a znaa značčíí se se ArgArg zz..

�� Pro libovolnPro libovolnáá komplexnkomplexníí ččíísla sla �� zz11 = = zz11( cos( cosϕϕ11 + i sin+ i sinϕϕ11))�� zz22 = = zz22( cos( cosϕϕ22 + i sin+ i sinϕϕ22))�� PlatPlatíí�� zz11..zz2 2 ==zz11..zz22(cos((cos(ϕϕ11+ + ϕϕ22)+)+isinisin ((ϕϕ11++ϕϕ22))))


�� Odtud matematickou indukcOdtud matematickou indukcíí plyne znplyne znáámý mý MoivreMoivreůůvv vzorecvzorec

�� zznn ==zznn(cos (cos nnϕϕ++isinisin nnϕϕ).).�� ODMOCNINY Z KOMPLEXNODMOCNINY Z KOMPLEXNÍÍHO HO ČČÍÍSLASLA�� NechNechťť zz = = a + ba + bjj = = zz( cos( cosϕϕ + i sin+ i sinϕϕ) je ) je

libovolnlibovolnéé komplexnkomplexníí ččííslo a nechslo a nechťť nn ∈∈∈∈∈∈∈∈ N.N.

( ) ( )( )111 2 1 2

2 2

cos .sinzz i

z zϕ ϕ ϕ ϕ= − + −


�� KaKažžddéé komplexnkomplexníí ččííslo slo y y takovtakovéé,, žže e �� yy n n = z= z�� se nazývse nazýváá nn –– ttáá odmocnina odmocnina z z ččíísla sla zz oznaozna--�� ččujemeujeme ji . Symbol znaji . Symbol značčíí kterkteréékoliv z koliv z nnřřeeššeneníí binomickbinomickéé rovnice rovnice yy nn = = zz s s neznez--nnáámoumouyy. . TakovTakováá binomickbinomickáá rovnicerovnice mmáá n n řřeeššeneníí yy11, , yy22, , . . . , . . . , yynn ppřřiiččememžž

��

n z n z


�� kk = 0, 1, . . . , = 0, 1, . . . , n n –– 1 . 1 .

�� OTOTÁÁZKY a ZKY a ÚÚLOHYLOHY�� 1. Vysv1. Vysvěětlete co je tlete co je supremumsupremum, , infimuminfimum, ,

maximum a minimum maximum a minimum ččííselnselnéé mnomnožžiny.iny.�� 2. Co je absolutn2. Co je absolutníí hodnota a okolhodnota a okolíí rereáálnlnéého ho ččíísla.sla.

12 2cos sinn

kk ky y in n

ϕ π ϕ π+

+ +� �= +� ��


�� 3. Definujte rovnost, sou3. Definujte rovnost, souččet, rozdet, rozdííl, soul, souččin a in a podpodííl dvou komplexnl dvou komplexníích ch ččíísel.sel.

�� 4. Co je absolutn4. Co je absolutníí hodnota a argument hodnota a argument komplexnkomplexníího ho ččíísla.sla.

�� 5. Uve5. Uveďďte te MoivreMoivreůůvv vzorec.vzorec.�� 6. Jak se definuj6. Jak se definujíí odmocniny z komplexnodmocniny z komplexníího ho ččíísla sla

a jak se vypoa jak se vypoččíítajtajíí. .


�� CVICVIČČENENÏÏ�� UrUrččete ete supremumsupremum, maximum, , maximum, infimuminfimum a a

minimum mnominimum množžiny iny MM..�� a) a) MM = = [ [ --5, 2 )5, 2 )�� b) b) M = [ M = [ 0, 1) 0, 1) ∪∪ [ 2, 3 ][ 2, 3 ]�� c) c) MM = { 3= { 3--11, 3, 3--22, 3, 3--33, . . . , 3, . . . , 3--nn, . . . }, . . . }�� d) M = {3/2, 3/4, 3/6, . . . , 3/2d) M = {3/2, 3/4, 3/6, . . . , 3/2nn, . . . }, . . . }

ALGEBRA ALGEBRA 4. 4. ALGEBRAICKALGEBRAICKÉÉ VEKTORY a MATICEVEKTORY a MATICE�� 4.1 ALGEBRAICK4.1 ALGEBRAICKÉÉ VEKTORY. VEKTORY. �� AAťť nn je pje přřirozenirozenéé ččííslo. slo. Algebraickým reAlgebraickým reáálným lným

vektoremvektorem aa dimensedimense nn rozumrozumííme uspome uspořřáádanou danou nn--ticitici rereáálných lných ččíísel sel

�� { { aa11, , aa22, , aa33, . . . , , . . . , aann}.}.�� ČČííslo slo aaii , , ii = 1, 2, . . . , = 1, 2, . . . , nn se nazývse nazýváá ii--ttáá slosložžka ka

vektoru vektoru aa..�� O dvou vektorech O dvou vektorech aa, , bb řřííkkááme, me, žže se rovnaje se rovnajíí

ALGEBRAICKALGEBRAICKÉÉ VEKTORY a VEKTORY a MATICEMATICE

�� a pa píšíšeme eme a = ba = b, pr, práávvěě tehdy, kdytehdy, kdyžž jsou stejnjsou stejnéédimenze a kdydimenze a kdyžž jejich odpovjejich odpovíídajdajííccíí si slosi složžky ky aaii, , bbiijsou si rovny, jsou si rovny, tjtj, , aaii == bbii ∀∀∀∀∀∀∀∀i.i.

�� SouSouččtem tem a + b a + b dvou algebraických vektordvou algebraických vektorůůstejnstejnéé dimense dimense n n o sloo složžkkáách ch aaii, , bbii je vektor je vektor cc o o slosložžkkáách ch ccii = = aaii ++ bbii ∀∀∀∀∀∀∀∀i. Soui. Souččinem inem αα ..aa

�� rereáálnlnéého ho ččíísla sla αα s algebraickým vektorem s algebraickým vektorem aadimense dimense n n nazývnazývááme vektor me vektor d d o sloo složžkkáách ch ddii= = αα..aaii propro ∀∀∀∀∀∀∀∀i. i. MnoMnožžinu vinu vššechech


�� algebraických realgebraických reáálných vektorlných vektorůů dimense dimense nnnazývnazývááme me nn--rozmrozměěrným vektorovým prostorem rným vektorovým prostorem VVnn nad oborem renad oborem reáálných lných ččíísel. Vektor, jehosel. Vektor, jehožžvvššechny sloechny složžky jsou rovny nule, nazývky jsou rovny nule, nazývááme me nulovým vektorem a oznanulovým vektorem a označčujeme ujeme oo..

�� MMíísto (sto (--1).1).aa ppíšíšeme eme --a a ; slo; složžky vektoru ky vektoru --a a jsou jsou slosložžkami vektoru kami vektoru a a s opas opaččným znamným znaméénkem.nkem.


�� Pro Pro operace soperace sččííttáánníí vektorvektorůů a na náásobensobeníí vekvek--toru toru ččííslem platslem platíí::

�� 1. 1. a+b = b+a, a+b = b+a, (( a+ba+b)) + c = a + + c = a + (( b+cb+c))�� 2. existuje vektor 2. existuje vektor oo ((nulovýnulový),),žže e a+o = aa+o = a�� 3 3 k vektork vektorůůmm a,b a,b ttééžže dimense e dimense nn existuje takový existuje takový

vektor vektor xx, , žže plate platíí a+x = ba+x = b.. PlatPlatíí zdezde�� x =x = b + (b + (--aa), co), cožž zapisujeme zapisujeme x = b x = b –– aa. Vektor . Vektor

xx nazývnazývááme rozdme rozdíílem vektorlem vektorůů bb, , aa..


�� 4. 4. αα.( .( a + ba + b ) = ) = αα..aa + + αα..bb�� 5. 5. ( ( αα + + ββ ).).a = a = αα..aa+ + ββ..aa�� 6. 6. αα.(.(ββ..aa) = () = (αα..ββ ).).aa , 0., 0.aa = = oo, , αα..oo = = oo�� 7. 7. Rovnost Rovnost αα..a = o a = o nastane tehdy a jen tehdy, nastane tehdy a jen tehdy,

kdykdyžž αα = 0 nebo = 0 nebo a = o a = o ..�� 8. 8. ––((αα..aa) = () = (-- αα).).a = a = αα.(.(--aa))


�� 4.2 SKAL4.2 SKALÁÁRNRNÍÍ SOUSOUČČIN DVOU VEKTORIN DVOU VEKTORŮŮ..�� SkalSkaláárnrníím soum souččinem dvou vektorinem dvou vektorůů aa, , bb stejstej--nnéé

dimense dimense nn o sloo složžkkáách ch aaii, , bbii ii=1,2,. . . , =1,2,. . . , n n nazývnazývááme me ččíísloslo definovandefinovanéé vztahemvztahem

�� aa..bb = = aa11..bb1 1 + + aa22..bb22 + . . . + + . . . + aann..bbnn

�� PPřřííklad. klad. NechNechťť aa = = {1, 0, {1, 0, --2}, 2}, bb= { 3, 2, 0} = { 3, 2, 0} potompotom a + ba + b ={4, 2, ={4, 2, --2}, 3.a = {3, 0, 2}, 3.a = {3, 0, --6 } a 6 } a skalskaláárnrníí sousouččin a.b = 1.3+0.2+(in a.b = 1.3+0.2+(--2).0 = 32).0 = 3


�� 4.3 LINE4.3 LINEÁÁRNRNÏÏ ZZÁÁVISLOST VEKTORVISLOST VEKTORŮŮ�� ŘŘííkkááme, me, žže vektor e vektor aa ∈∈ VVnn je je linelineáárnrníí komkom--binacbinacíí

vektorvektorůů aa11, , aa22, . . . , , . . . , aakk∈∈ VVnn existujexistujíí--li takovli takováárereáálnlnáá ččíísla sla αα11, , αα22, . . . , , . . . , ααk, k, žže plate platíí

�� a = a = αα11..aa11+ + αα22..aa2 2 + . . . + + . . . + ααkk..aakk

�� PPřřííklad. klad. NechNechťť aa ={3, ={3, --5, 2}, 5, 2}, bb = {1, 3, = {1, 3, --1},1},�� cc = {= {--2, 1, 7} 2, 1, 7} vektorvektor dd = {= {--5, 5, --15, 35} 15, 35} jeje

linelineáárnrníí kombinackombinacíí: : dd = 2.= 2.aa –– 3.3.b b + 4.+ 4.cc


�� PlatPlatíí vvěěta:ta:�� Vektory Vektory aa11, , aa22, . . . , , . . . , aakk z z VVnn jsou linejsou lineáárnrněě

zzáávislvisléé tehdy a jen tehdy, kdytehdy a jen tehdy, kdyžž existujexistujíí ččíísla sla ββ11, , ββ22, . . . , , . . . , ββk k takovtakováá, , žže alespoe alespoňň jedno z nich je jedno z nich je rrůůznznéé od nuly a platod nuly a platíí

�� ββ11..aa1 1 + + ββ22..aa22 + . . . + + . . . + ββ1k1k..aakk. . = = oo�� 4.4 B4.4 BÁÁZE VEKTOROVZE VEKTOROVÉÉHO PROSTORUHO PROSTORU�� Libovolnou mnoLibovolnou množžinu inu {{aa11, , aa22, . . . , , . . . , aann} } tvotvořřee--nounou

nn linelineáárnrněě neznezáávislými vektory z vislými vektory z VVnn


�� nazývnazývááme me bbáázzíí vektorovvektorovéého prostoru ho prostoru VVnn..�� PPřřííklad. Mnoklad. Množžina vektorina vektorůů {{ee11, , ee22, , ee33}}, kde, kde�� ee1 1 = = {1, 0, 0}, {1, 0, 0}, ee22 = = {0, 1, 0}, {0, 1, 0}, ee33 = = {0, 0, 1}{0, 0, 1} tvotvořříí

bbáázi vektorovzi vektorovéého prostoru Vho prostoru V33. Skute. Skutečč--nněě ββ11..ee1 1 + + ββ22..ee1 1 + + ββ33..ee3 3 je vektor daný je vektor daný usus--popořřáádanou danou trojictrojicíí {{ee11, , ee22, , ee33}} a je nulový, jen kdya je nulový, jen kdyžž ββ11 = = ββ22= = ββ3 3 = 0. Odtud vektory = 0. Odtud vektory ee11, , ee22, , ee3 3 jsou linejsou lineáárnrněěneznezáávislvisléé. .


�� PlatPlatíí vvěěta:ta:�� NechNechťť {{aa11, , aa22, . . . , , . . . , aann }} je libovolnje libovolnáá bbááze ze

vektorovvektorovéého prostoru ho prostoru VVnn. Potom ka. Potom kažždý vektor dý vektor aa z prostoru z prostoru VVnn je lineje lineáárnrníí kombikombi--nacnacíí vektorvektorůůz tz tééto bto bááze, tj. existujze, tj. existujíí ččíísla sla αα11, , αα22, . . . , , . . . , ααnntakovtakováá, , žže e

�� aa = = αα11aa1 1 + + αα22aa22 + . . . + + . . . + ααnnaann

�� ČČíísla sla αα11, , αα22, . . . , , . . . , ααn n nazývnazývááme soume souřřadnice adnice �� vektoru vektoru a a vzhledem k bvzhledem k báázizi {{aa11, , aa22, . . . , , . . . , aann }}. .


�� 4.5 HODNOST SOUSTAVY VEKTOR4.5 HODNOST SOUSTAVY VEKTORŮŮNechNechťť je dje dáána soustava na soustava {{aa11, , aa22, . . . , , . . . , aakk }} kklibovolných vektorlibovolných vektorůů z z VVnn. Jestli. Jestližže v soustae v sousta--vvěěexistuje existuje hh ≤≤ k k linelineáárnrněě neznezáávislých vislých vektovekto--rrůů a ne a ne vvííce, potom ce, potom ččííslo slo hh nazývnazývááme me hodhod--nostnost soustavysoustavy..

�� PPřřííkladklad. Ur. Urččete hodnost soustavy vektorete hodnost soustavy vektorůů�� {{aa = = {2, {2, --1, 3}, 1, 3}, bb = {5, 2, 6}, = {5, 2, 6}, cc = {3, 3, 3}}.= {3, 3, 3}}.�� ZZřřejmejměě cc = = --a + ba + b a a hodnost soustavy hodnost soustavy hh = 2.= 2.


�� NechNechťť je dje dáána soustava na soustava kk libovolných veklibovolných vek--tortorůůz z VVnn. Potom pro jej. Potom pro jejíí hodnost hodnost hh platplatíí::

�� hh ≤≤ min (min (kk, , nn).).�� Hodnost libovolnHodnost libovolnéé soustavy soustavy {{aa11, , aa22, ... , , ... , aakk }}

vektorvektorůů z z VVnn se nezmse nezměěnníí�� 1. Vym1. Vyměěnníímeme--li poli pořřadadíí vektorvektorůů v soustavv soustavěě..�� 2.Vym2.Vyměěnníímeme--li v kali v kažžddéém vektoru vektoru m vektoru vektoru

soustavy soustavy ii--tou a tou a jj--tou slotou složžku.ku.


�� 3. Vyn3. Vynáásobsobíímeme--li jeden vektor li jeden vektor ččííslem rslem růůzným od zným od nuly.nuly.

�� 4. P4. Přřiiččtemeteme--li k jednomu vektoru soustavy li k jednomu vektoru soustavy linelineáárnrníí kombinaci ostatnkombinaci ostatníích vektorch vektorůů soussous--tavytavy..

�� 5. Vynech5. Vynecháámeme--li v soustavli v soustavěě vektor, který je vektor, který je linelineáárnrníí kombinackombinacíí ostatnostatníích vektorch vektorůů soustasousta--vy vy (nap(napřř. nulový vektor).. nulový vektor).


�� 4.6 MATICE4.6 MATICE

11 12 1

21 22 2 2

1 2

1 2

... ...

... .... . ... . ... .

... .... . ... . ... .

... ...

ij n

j n

i i ij in

m m mj mn

a a a aa a a a

a a a a

a a a a

� ��


�� MnoMnožžinu inu m.nm.n ččíísel usposel uspořřáádaných do daných do mm řřáádd--kkůů a a nnsloupcsloupcůů (viz (viz úútvar na ptvar na přředchozedchozíí strastra--nněě) ) nazývnazývááme me maticmaticíí typutypu ((mm,,nn) nebo tak) nebo takéé typu typu mm//nn. . ČČíísla a sla a i j i j se nase nazzývajývajíí prvky prvky matimati--cece. Prvn. Prvníí index index ii oznaoznaččuje uje řřáádek, druhý index dek, druhý index jj sloupec ve sloupec ve kterkteréém prvek lem prvek ležžíí. Matice ozna. Matice označčujeme velkými ujeme velkými tutuččnými nými ppííss--

�� menymeny nebo taknebo takéé symbolicky .symbolicky .( )nij ma


�� O dvou maticO dvou maticíích ch AA, , B B řřííkkááme, me, žže jsou si rovny a e jsou si rovny a ppíšíšeme eme A=B, A=B, jestlijestližže jsou te jsou tééhohožž tyty--pupu a a odpovodpovíídajdajííccíí si prvky jsou sobsi prvky jsou soběě rovny, tj.rovny, tj.

�� aa i ji j = b= b i ji j pro pro ii=1,2, ... ,=1,2, ... ,mm jj=1,2, =1,2, …… ,,nnSouSouččtem dvou matic tem dvou matic AA, , B B ttééhohožž typu typu mm/n/nrozumrozumííme matici me matici C C typutypu mm/n/n pro jejpro jejíížž prvky prvky ccijijplatplatíí ccii jj = = aaii jj + + bbii jj . Sou. Souččineminem ččíísla sla αα s matics maticíí A A typu typu mm/n/n rozumrozumííme matici me matici DD ttééhohožž


�� typu typu mm/n/n takovou, takovou, žže e ddii jj = = αα..aaii jj a a oznaoznaččuu--jemejeme ji ji DD = = αα..AA. M. Míísto (sto (--1).1).AA ppíšíšeme eme ––AA,, podobnpodobněěmmíísto sto AA+(+(--1).1).B B ppíšíšeme eme AA –– B B a tento výraz a tento výraz nazývnazývááme rozdme rozdííl matic l matic A A a a BB. .

�� PPřřííklad klad NechNechťť jsou djsou dáány matice ny matice

3 4 2= 1 2 3

2 1 4

� �� −� ��

A1 -1 2

B= 2 1 -23 2 1

� ��


�� PotomPotom4 3 4 2 5 01 3 1 -3 1 55 3 5 -1 -1 3

� � � �� = � � � ��

A + B A - B =

6 8 42 -2 4 6

4 2 8

� ��

A =


�� Pro sPro sččííttáánníí matic stejnmatic stejnéého typu a pro ho typu a pro nnáásoso-- benbeníímatice matice ččííslem platslem platíí::

�� 1. 1. A + B = B + AA + B = B + A�� 2. (2. (A + BA + B) + ) + CC = = AA + (+ (B + CB + C))�� 3. 3. A + O = AA + O = A�� 4. K matic4. K maticíím m AA, , BB existuje prexistuje práávvěě jedna jedna mama-- ticetice

X X takovtakováá, , žže e A + X = BA + X = B. Plat. Platíí::�� X = BX = B + (+ (--1).1).A = B A = B –– AA ..


�� 5. 5. αα.(.(AA++BB)=)=αα..AA++αα..BB, (, (αα++ββ).).A=A=αα.A+.A+ββ..A A �� 4.7 GAUSSOVSK4.7 GAUSSOVSKÉÉ MATICEMATICE�� Významnou Významnou úúlohu budou v dallohu budou v dalšíších ch úúvahvaháách ch

hrhráát matice v tzv. t matice v tzv. GaussovskGaussovskéémm tvaru. Nechtvaru. Nechťť je je ddáána matice na matice A A typu(typu(mm,,nn). Potom o prvc). Potom o prvcíích ch aa1111, , aa2222, , aa3333, . . . , , . . . , aakkkk ,, kde kde

�� kk = min(= min(mm, , nn), ), řřííkkááme, me, žže tvoe tvořříí hlavnhlavníí diagodiago--nnáálulu. . JestliJestližže e mm ≤≤ nn (Matice (Matice AA mmáá nanejvýnanejvýšš


�� tolik tolik řřáádkdkůů kolik sloupckolik sloupcůů), v), vššechny prvky na echny prvky na hlavnhlavníí diagondiagonáále matice A jsou rle matice A jsou růůznznéé od nuly a od nuly a vvššechny jejechny jejíí prvky pod hlavnprvky pod hlavníí diagondiagonáálou jsou lou jsou rovny nule, potom o matici A rovny nule, potom o matici A řřííkkááme, me, žže je e je gaussovskgaussovskáá. .

�� 4.8 TRANSPONOVAN4.8 TRANSPONOVANÁÁ MATICEMATICE�� JestliJestližže z matice e z matice AA typu (typu (mm//nn) vytvo) vytvořřííme novou me novou

matici matici B B typu (typu (nn//mm)) tak, tak, žže za e za rr--týtý sloupec sloupec matice matice BB dosaddosadííme me rr--týtý řřáádekdek


�� matice matice AA, tj. , tj. bbij ij = = aajiji pro pro ii = 1, 2, . . . , = 1, 2, . . . , nn�� a a jj = 1, 2, . . . , = 1, 2, . . . , m m

potom tuto matici potom tuto matici BB nazveme nazveme transponotranspono--vanou k matici vanou k matici AA a oznaa označčujeme ji ujeme ji AA TT..

�� PPřřííklad.klad. 3 83 2 1

2 68 6 5

1 5

� ��

B = A =


�� KaKažždý algebraický vektor dý algebraický vektor x x dimense dimense nn lze lze povapovažžovat za jednoovat za jednořřáádkovou matici typu (1,dkovou matici typu (1,nn) ) nebo taknebo takéé za za jednosloupcovoujednosloupcovou matici typu(matici typu(nn,1). ,1). V dalV dalšíším budeme symbolem m budeme symbolem xx oznaoznaččovat ovat vektor zapsaný jako vektor zapsaný jako jednojednořřáádkodko--vváá matice. matice. Vektor, zapsaný jako Vektor, zapsaný jako jednosloupjednosloup--covcováá matice matice budeme oznabudeme označčovat symbolem ovat symbolem

�� xxTT . Tak nap. Tak napřřííklad:klad:


�� Zapisujeme:Zapisujeme:

�� To budeme uTo budeme užžíívat u soustav rovnic v vat u soustav rovnic v matimati--covcovéémm zzáápisu.pisu.

[ ]

1

2T

1 2, , . . . , = ..

n

n

xx

x x x

x

� ��

x = x


�� 4.9 N4.9 NÁÁSOBENSOBENÍÍ MATICE MATICMATICE MATICÍÍ�� Operaci nOperaci náásobensobeníí dvou matic dvou matic AA, , BB definujedefinuje--meme

pouze v ppouze v přříípadpaděě, kdy matice , kdy matice AA mmáá tentýtentýžž popoččet et sloupcsloupcůů jako matice jako matice BB řřáádkdkůů. Sou. Souččinem inem A.BA.Bmatice matice AA typu (typu (mm, , pp) s ) s matimati--ccíí BB typu (typu (pp,,nn) ) nazývnazývááme matici me matici CC typu (typu (mm, , nn) takovou, ) takovou, žže e

�� ccijij = = aaii11bb11jj + a+ aii22bb22jj + . . . + + . . . + aaipipbbpjpj

�� Slovy: prvek Slovy: prvek ccijij matice matice CC dostaneme tak, dostaneme tak, žžee


�� 4.9 N4.9 NÁÁSOBENSOBENÍÍ MATICE MATICMATICE MATICÍÍ�� Operaci nOperaci náásobensobeníí dvou matic dvou matic AA, , BB definujedefinuje--meme

pouze v ppouze v přříípadpaděě, kdy matice , kdy matice AA mmáá tentýtentýžž popoččet et sloupcsloupcůů jako matice jako matice BB řřáádkdkůů. Sou. Souččinem inem A.BA.Bmatice matice AA typu (typu (mm, , pp) s ) s matimati--ccíí BB typu (typu (pp,,nn) ) nazývnazývááme matici me matici CC typu (typu (mm, , nn) takovou, ) takovou, žže e

�� ccijij = = aaii11bb11jj + a+ aii22bb22jj + . . . + + . . . + aaipipbbpjpj

�� Slovy: prvek Slovy: prvek ccijij matice matice CC dostaneme tak, dostaneme tak, žžee

ALGEBRAICKALGEBRAICKÉÉ VEKTORY a VEKTORY a MATICE MATICE

�� řřáádky a sloupce povadky a sloupce považžujeme za vektory a ujeme za vektory a vytvovytvořřííme skalme skaláárnrníí sousouččin in ii--ttééhoho řřáádku dku matimati--cece AAa a jj--ttééhoho sloupce matice sloupce matice BB. V. Vííme, me, žže skale skaláárnrníívektor je definovvektor je definováán pouze pro vektory stejnn pouze pro vektory stejnéédimense, Odtud plyne podmdimense, Odtud plyne podmíínka, nka, žže matice e matice AAmusmusíí mmíít stejný pot stejný po--ččet sloupcet sloupcůů jako matice jako matice BBřřáádkdkůů. Jinak sou. Jinak souččin in A.BA.B nedefinujeme. nedefinujeme.

�� PPřřííkladyklady. 1. Nech. 1. Nechťť A, BA, B jsou matice z pjsou matice z přříí--


�� kladu ve 4.6. Potomkladu ve 4.6. Potom

�� NechNechťť

17 5 0= 12 9 3

15 7 6

� ��

AB8 4 7

= 1 8 19 17 16

� ��

BA

4 2 5 1/4 14/4 -11/4= 0 3 2 = 0 3 -2

0 4 3 0 -4 3

� � � ��

A B


�� PotomPotom

�� Pro nPro náásobensobeníí matic matic AA, , BB, , CC platplatíí pravidla: pravidla: �� 1. 1. AA((BCBC) = () = (ABAB))CC�� 2. (2. (A+BA+B))CC==AC+BC CAC+BC C((A+BA+B)=)=CA+CBCA+CB�� 3. 3. OA = OOA = O, , AO = OAO = O

1 0 0 1 0 0= 0 1 0 0 1 0

0 0 1 0 0 1

� � � ��

AB BA =


�� 4. (4. (ABAB))T T = = BBTTAATT

�� 5. 5. αα((ABAB) = () = (ααAA))B = A(B = A(ααBB) ) �� pokud ovpokud ovššem jsou v tem jsou v těěchto rovnostech chto rovnostech defidefi--

novnováányny sousouččty a souty a souččiny piny přřííslusluššných matic, tj. ných matic, tj. majmajíí--li matice li matice AA, , BB, , CC ppřředepsaný typ.edepsaný typ.

�� KomutativnKomutativníí zzáákon pro nkon pro náásobensobeníí matic obecnmatic obecněěneplatneplatíí. Plat. Platíí--li rovnost AB = BA, li rovnost AB = BA, řřííkkááme me žže e matice A, B komutujmatice A, B komutujíí. Obecn. Obecněě tata--kkéé neplatneplatíí, , žže e jestlijestližže je soue je souččin dvou matic in dvou matic


�� nulovnulováá matice, potom alespomatice, potom alespoňň jedna z nich je jedna z nich je nulovnulováá. Tak nap. Tak napřřííklad pro maticeklad pro matice

�� NechNechťť je dje dáána libovolnna libovolnáá soustava soustava mm linelineáárr--nnííchchrovnic o rovnic o nn neznneznáámých:mých:

1 2 3 1 0= 4 5 6 = 2 = 0

7 8 9 1 0

� � � � � ��

A B AB


�� aa1111xx11 + + aa1212xx22 + + aa1313xx33 + . . . + + . . . + aa11nnxxn n = = bb11�� aa2121xx11 + + aa2222xx22 + + aa2323xx33 + . . . + + . . . + aa22nnxxn n = = bb22

�� . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . .�� aamm11xx11 + + aamm22xx22 + + aamm33xx33 + . . . + + . . . + aamnmnxxnn = = bbmm

�� ZavedemeZavedeme--li oznali označčeneníí uvedenuvedenéé na dalna dalšíší stranstraněělze soustavu zapsat v tzv. maticovlze soustavu zapsat v tzv. maticovéém tvaru:m tvaru:

�� AxAxTT = = bbTT..


�� OznaOznaččeneníí::

�� To je takTo je takéé jedna z motivacjedna z motivacíí, pro, pročč jsme soujsme souččin in dvou matic definovali tak, jak je uvedeno na dvou matic definovali tak, jak je uvedeno na zazaččáátku kapitoly.tku kapitoly.

11 12 1 1 1

21 22 2 2 2T

1 2

. . .

. . .= , , =

. . . . . . . . . . . . .. . .

n

n

m m mn n n

a a a x ba a a x b

a a a x b

=

A x b


�� 4.10 4.10 ČČTVERCOVTVERCOVÉÉ MATICEMATICE�� JestliJestližže v matici e v matici AA typu (typu (mm,,nn) je ) je m = nm = n, po, po--tom ji tom ji

nazývnazývááme me ččtvercovtvercováá matice matice řřáádu ndu n. . ČČtvercovou tvercovou matici,, jejmatici,, jejíížž vvššechny prvky neechny prvky ne--leležžííccíí v hlavnv hlavníídiagondiagonáále jsou nulovle jsou nulovéé, , aaijij= = 00 pro pro i i ≠≠ j j nazývnazýváámemediagondiagonáálnlníí maticmaticíí. . JsouJsou--li v diagonli v diagonáálnlníí matici matici vvššechny prvky na hlavnechny prvky na hlavníí diagondiagonáále rovny jednle rovny jednéé, , nazývnazýváá se se jednotkovou maticjednotkovou maticíí řřáádu n.du n. OznaOznaččujemujem EEn n ..


�� DiagonDiagonáálnlníí matice jednotkovmatice jednotkováá maticematice

0 0 . . . 0 1 0 0 . . . 00 0 . . . 0 0 1 0 . . 00 0 . . . 0 0 0 1 . . . 0. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . 0 0 0 . . . 1

xxx

x


�� JestliJestližže ve e ve ččtevercovtevercovéé matici jsou vmatici jsou vššechny prvky echny prvky pod hlavnpod hlavníí diagondiagonáálou rovny nule, lou rovny nule, řříí--kkáámeme, , žže je e je to to hornhorníí trojtrojúúhelnhelnííkovkováá matice. Platmatice. Platíí aaijij = 0 pro = 0 pro jj< < ii.. PodobnPodobněě definujeme dolndefinujeme dolníí trojtrojúúhelnhelnííkovou kovou matici. Jestlimatici. Jestližže ve e ve ččtvercovtvercovéé matici matici AA pro pro vvššechny prvky echny prvky plapla--ttíí aaijij = = aajiji potom ji nazývpotom ji nazývááme me symetrickou maticsymetrickou maticíí. . Pro symetrickou matici platPro symetrickou matici platííAATT= = AA..

�� JestliJestližže plate platíí AATT= = --A A , potom se , potom se AA nazývnazýváá�� antisymetrickantisymetrickáá maticematice..


�� PPřřííkladklad. M. Měějme maticejme matice

�� Matice Matice AA je symetrickje symetrickáá, matice , matice BB je je antisyantisy--metrickmetrickáá.V.Vššimnimněěte si, te si, žže v matici e v matici BB jsou jsou

3 5 -7 0 0 5 -7 05 2 1 -2 -5 0 1 -2

= =-7 1 6 3 7 -1 0 30 -2 3 0 0 2 -3 0

A B


�� VVššechny prvky v hlavnechny prvky v hlavníí diagondiagonáále nulovle nulovéé. Plat. Platííto pro kato pro kažždou dou antisymetrickouantisymetrickou matici?matici?

�� NechNechťť AA je je ččtvercovtvercováá matice matice řřáádu du nn. Potom . Potom sousouččet vet vššech jejech jejíích prvkch prvkůů leležžííccíích na hlavnch na hlavníídiagondiagonáále nazývle nazývááme stopou matice. Tak napme stopou matice. Tak napřř. . stopou matice A z pstopou matice A z přředchozedchozíího pho přřííkladu je kladu je ččííslo 11.slo 11.

�� NechNechťť A A je libovolnje libovolnáá matice typu (matice typu (mm, , nn) a ) a nechnechťť EEmm , , EEnn jsou jednotkovjsou jednotkovéé matice matice řřáádu du


�� mm a a nn. Potom plat. Potom platíí::�� AEAEnn = = A A EEmmAA = A= A�� NechNechťť A A je libovolnje libovolnáá matice matice řřáádu du nn potom potom

mmíísto sto AA AA ččasto pasto píšíšeme eme AA2 2 podobnpodobněě mmíísto sto AAA AAA ppíšíšemeeme AA3 3 atd.atd.

�� 4.11 INVERSN4.11 INVERSNÍÍ MATICEMATICE�� NechNechťť AA je je ččtvercovtvercováá matice matice řřáádu du nn. Jest. Jest--liližžee

existuje existuje ččtvercovtvercováá matice matice BB ttééhohožž řřáádu du nntakovtakováá, , žže e BA = EBA = Enn , , kde kde EEnn je jednotkovje jednotkováá


�� matice matice řřáádu n, potom tuto matici nazývdu n, potom tuto matici nazývááme me inversninversníí k matici k matici A A a oznaa označčujemeujeme AAinvinv nene--bobotaktakéé AA--1. 1. JeJe--li li BA = EBA = Enn je potom takje potom takéé AB = AB = EEnn..

�� Ne ke kaNe ke kažžddéé matici A existuje inversnmatici A existuje inversníí mama--ticetice, , viz pviz přřííklad: klad:

1 0=

0 0� ��

A


�� ProblProbléémy existence a výpomy existence a výpoččtu inversntu inversníích matic ch matic se budeme zabývat pozdse budeme zabývat pozděěji.ji.

�� Pro Pro invertovatelninvertovatelnéé matice platmatice platíí::�� a) Ke kaa) Ke kažžddéé matici A existuje nanejvýmatici A existuje nanejvýšš jedna jedna

inversninversníí..�� b) (b) (ABAB))--1 1 = B= B--11AA--11

�� 4.12 ORTOGON4.12 ORTOGONÁÁLNLNÍÍ MATICEMATICE�� V mnohých technických problV mnohých technických probléémech hrajmech hrajíí


�� ZnaZnaččnou roli tak zvannou roli tak zvanéé ortogonortogonáálnlníí matice.matice. O O ččtvercovtvercovéé matici matici AA řřáádu du nn řřííkkááme, me, žže je e je ortogonortogonáálnlníí, jestli, jestližže je e je invertovatelninvertovatelnáá a plata platíí

�� AA--11 = A= ATT

�� OrtogonalituOrtogonalitu matice matice AA ururččííme podle vme podle věěty: ty: �� NechNechťť AA je ortogonje ortogonáálnlníí matice matice řřáádu du nn . Potom . Potom

skalskaláárnrníí sousouččin jejin jejíího libovolnho libovolnéého ho řřáádku se dku se sebou samým je roven jednsebou samým je roven jednéé a s jakýmkoliv a s jakýmkoliv jiným jiným řřáádkem je roven nule, tj.dkem je roven nule, tj.


�� PlatPlatíí

�� ObdobnObdobnéé tvrzentvrzeníí platplatíí o sloupco sloupcíích ch ortogoortogo--nnáálnlníímatice matice AA . Naopak, jestli. Naopak, jestližže pro e pro řřáádky matice dky matice A A platplatíí ppřředchozedchozíí vztahy a pro sloupce obdobnvztahy a pro sloupce obdobnéévzorce, potom matice vzorce, potom matice AA je ortogonje ortogonáálnlníí. .

2 2 21 2

2 2 2 2 2 21 1 2 2

... 1 , 1,2, ... ,

... 0 ,i i in

k l k l kn ln

a a a i na a a a a a k l

+ + + = =

+ + + = ≠


�� PPřřííklad.klad. MaticeMatice

�� je ortogonje ortogonáálnlníí..�� 4.13 HODNOST MATICE4.13 HODNOST MATICE�� Ve 4.5 jsme zavedli pojem hodnost soustaVe 4.5 jsme zavedli pojem hodnost sousta--vy vy

vektorvektorůů v prostoru v prostoru VVnn. Analogicky . Analogicky defidefi--nujemenujemehodnost matice.hodnost matice.

cos sinsin cosα αα α

−


�� HodnostHodnostíí matice matice A A typu (m, n) nazývtypu (m, n) nazývááme me hodnost soustavy vektorhodnost soustavy vektorůů, vytvo, vytvořřených ených řřáádd--kykyttééto matice. Oznato matice. Označčujeme ji ujeme ji hh((AA). Matice m). Matice máá tedy tedy hodnost hodnost hh((AA), jestli), jestližže v ne v níí existuje existuje hh((AA) line) lineáárnrněěneznezáávislých vislých řřáádkdkůů a ne va ne vííce.ce.

�� PlatPlatíí::�� Hodnost libovolnHodnost libovolnéé matice matice AA typu (typu (mm, , nn) se ) se

nezmnezměěnníí�� a) zama) zaměěnníímeme--li poli pořřadadíí řřáádkdkůů v matici, v matici,


�� b) zamb) zaměěnníímeme--li poli pořřadadíí sloupcsloupcůů v matici,v matici,�� c) vync) vynáásobsobíímeme--li kterýkoliv li kterýkoliv řřáádek dek nenulonenulo--výmvýmččííslem,slem,

�� d) pd) přřipoipoččtemeteme--li k libovolnli k libovolnéému mu řřáádku dku matimati--cecelinelineáárnrníí kombinaci ostatnkombinaci ostatníích ch řřáádkdkůů matimati--cece,,

�� e) vyneche) vynecháámeme--li v matici li v matici řřáádek, který je lidek, který je li--neneáárnrnííkombinackombinacíí ostatnostatníích ch řřáádkdkůů..


�� Hodnost kaHodnost kažžddéé gausovskgausovskéé matice matice AA typu (typu (mm, , nn), ), kde kde mm ≤≤ nn,, je rovna je rovna ččííslu slu mm..

�� PPřřííklad. Vypoklad. Vypoččíítejte hodnost tejte hodnost hh((AA) matice ) matice AA. . 1 -2 3 4 21 2 -1 0 1

= 1 -1 2 3 00 1 -1 1 22 3 -1 1 4

− − − −

A


�� StaStaččíí upravit matici A na upravit matici A na gaussovskýgaussovský tvar.tvar.

�� Provedli jsme nProvedli jsme náásledujsledujííccíí úúpravy: 1. pravy: 1. řřáádek dek ponechponecháán, 2.n, 2.řřáádek dek –– (minus) 1.(minus) 1.řř. 3.. 3.řřáádek dek --

1 -2 3 -4 20 4 -4 4 -3

= 0 1 -1 1 -20 1 -1 1 -20 7 -7 9 0

A


�� -- 1.1.řřáádek 4.dek 4.řřáádek ponechat 5.dek ponechat 5.řřáádek dek –– 2kr2kráát t 1.1.řřáádek. V tdek. V tééto matici, z dto matici, z důůvodu snadnvodu snadněějjšíší--ho ho výpovýpoččtu vymtu vyměěnnííme mezi sebou druhý a tme mezi sebou druhý a třřetetíířřáádek, soudek, souččasnasněě vynechvynechááme me ččtvrtý tvrtý řřáádek (je dek (je stejný jako tstejný jako třřetetíí řřáádek dek –– proto se vynechproto se vynecháánníím m hodnost hodnost matimati--cece nezmnezměěnníí). P). Páátý tý řřáádek opdek opíšíšeme a eme a dostanedostane--meme tak matici v ntak matici v níížž 1. a 2.1. a 2.řř. ponech. ponechááme, me, od 3.od 3.řř. ode. odeččteme 4x2 teme 4x2 řř. a od 4.. a od 4.řř. ode. odeččteme 7x2 teme 7x2 řřáádek. Po tdek. Po těěchto chto úúpravpraváách dostaneme ch dostaneme nnááslesle--


�� dujdujííccíí matice:matice:

�� V poslednV posledníí matici 1. a 2.matici 1. a 2.řřáádek ponechdek ponechááme,me,

1 2 3 4 2 1 2 3 4 20 1 1 1 2 0 1 1 1 20 4 4 4 5 0 0 0 0 50 7 7 9 14 0 0 0 2 14

− − − −� � � �� − − − −� � � �� −� � � �−� � � �


�� od tod třřetetíího odeho odeččííttááme 4x2.me 4x2.řřáádek a od dek a od ččtvrttvrtéé--ho ho 7x2.7x2.řřáádek. V tdek. V tééto matici vymto matici vyměěnnííme mezi sebou me mezi sebou ttřřetetíí a pa páátý sloupec. Dostaneme tý sloupec. Dostaneme

1 2 2 4 3 1 2 2 4 30 1 2 1 1 0 1 2 1 10 0 5 0 0 0 0 5 0 00 0 14 2 0 0 0 0 2 0

− − − − − − − −


�� PoslednPosledníí matice je jimatice je jižž gaussovskgaussovskáá matice a tedy matice a tedy hh((AA) = 4.) = 4.

�� 4.14 VLASTN4.14 VLASTNÍÍ ČČÍÍSLA a VLASTNSLA a VLASTNÍÍ VEKVEK--TORY MATICE.TORY MATICE.

�� V technickV technickéé praxi, ale i v samotnpraxi, ale i v samotnéé vyvyššíššímatematice (transformace obecnmatematice (transformace obecnéého tvaru ho tvaru kvadriky na tzv. kanonický) se kvadriky na tzv. kanonický) se ččasto setkasto setkáá--vváámemes s úúlohou lohou řřeeššit soustavu it soustavu n n rovnic o rovnic o nn neznneznáámých mých xx11, , xx22, . . . , , . . . , xxnn tvaru :tvaru :


�� aa1111xx1 1 + + aa1212xx2 2 + . . . + + . . . + aa11nnxxnn = = λλxx11�� aa2121xx1 1 + + aa2222xx2 2 + . . . + + . . . + aa22nnxxnn = = λλxx22

�� . . . . . .. . . . . . . . .. . .�� aann11xx1 1 + + aann22xx2 2 + . . . + + . . . + aannnnxxnn = = λλxxnn

�� tj. soustavutj. soustavu�� AxAxTT = = λλxxTT,,�� kde kde AA a a xxTT znaznaččíí::


��

�� UvedenUvedenáá soustava msoustava máá zzřřejmejměě vvžždy nulovdy nulovéé (tzv. (tzv. trivitriviáálnlníí) ) řřeeššeneníí, a, aťť je je ččííslo slo λλ jakjakéékoliv.koliv.

�� VznikVznikáá ototáázka, zda soustava mzka, zda soustava máá vvžždy i nedy i ne--

111 12 1

221 22 2

1 2

. . .

. . .= = . .. . . . . . . . .

. .. . . . . . . . .. . .

n

n

nn n nn

xa a axa a a

xa a a

TA x


�� nulovnulovéé řřeeššeneníí. Odpov. Odpověďěď je negativnje negativníí. . ExisExis--tujtujíí, v , v zzáávislosti na matici vislosti na matici AA, pouze n, pouze něěkterkteráá ččíísla sla λλ ((je je jich nanejvýjich nanejvýšš n) pro nn) pro něžěž nenulonenulo--vvéé řřeeššeneníí(samoz(samozřřejmejměě zzáávislvisláá na na λλ existuexistu--jjíí).). DostDostáávvááme me se tak k pojmse tak k pojmůům vlastnm vlastníí ččííss--la a vlastnla a vlastníí vektory vektory matice. Pmatice. Přři zavedeni zavedeníí ttěěchto pojmchto pojmůů je je žžáádoucdoucíípracovat v oboru komplexnpracovat v oboru komplexníích ch ččíísel. Resel. Reáálnlnáá ččíísla sla povapovažžujeme pouze za jejich zvlujeme pouze za jejich zvlášáštntníí ppřříípad. pad.


�� NechNechťť je dje dáána na ččtvercovtvercováá matice matice AA (obecn(obecněěkomplexnkomplexníí) n) n--ttééhoho řřáádu. Jestlidu. Jestližže existuje e existuje komplexnkomplexníí ččííslo slo λλ a nenulový vektor a nenulový vektor xx tata--kovýkový, , žže e

�� AxAxTT == λλxxTT,,

�� potom potom řřekneme, ekneme, žže e λλ je je vlastnvlastníím m ččííslem maticeslem matice AA a a x x jejjejíím vlastnm vlastníím vektorem m vektorem ppřřííss--luluššnýmným k tomuto k tomuto ččíísluslu. . MnoMnožžinu vinu vššech ech


�� VlastnVlastníích ch ččíísel matice sel matice AA nazývnazývááme jejme jejíím m spektremspektrem..�� PPřřííkladklad. Nech. Nechťť je dje dáána matice na matice

�� Potom Potom ččííslo 3 je jejslo 3 je jejíí vlastnvlastníí ččííslo a vektor slo a vektor xx,,

1 2 2= 2 4 -5

1 -2 3

A


�� xx = = {2,1,1} {2,1,1} je jejje jejíí vlastnvlastníí vektor pvektor přřííslusluššný ný tomuto vlastntomuto vlastníímu mu ččííslu. Skuteslu. Skuteččnněě, plat, platíí::

�� PoslednPosledníí rovnici mrovnici můžůžeme pseme psáát ve tvaru:t ve tvaru:�� AxAxTT = = λλEEnnxxTT a tedya tedy

T T

1 2 2 2 6 2= 2 4 -5 1 3 3 1 3

1 -2 3 1 3 1

= = =

Ax x


�� ( ( AA -- λλEEnn ) ) xxTT = = ooTT,,�� Kde Kde EEnn je jednotkovje jednotkováá matice matice nn--ttééhoho řřáádu, codu, cožž

lze rozepsat na soustavu rovnic:lze rozepsat na soustavu rovnic:( )

( )

( )

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

1 1 2 2

... 0

a ... 0 . . . . . . . . . . . . . .

... 0

n n

n n

n n nn n

a x a x a x

a x x a x

a x a x a x

λλ

λ

− + + + =

+ − + + =

+ + + − =


�� O výpoO výpoččtu vlastntu vlastníích ch ččíísel a vlastnsel a vlastníích vekch vek--tortorůů se se zmzmíínnííme pozdme pozděěji.ji.

�� OTOTÁÁZKY A ZKY A ÚÚLOHYLOHY�� 1 Co je algebraický re1 Co je algebraický reáálný vektor dimense lný vektor dimense nn�� 2 Co je 2 Co je nn--rozmrozměěrný vektorový prostor.rný vektorový prostor.�� 3 Uve3 Uveďďte pravidla pro operace sete pravidla pro operace seččííttáánníí vekvek--tortorůů

a na náásobensobeníí vektoru vektoru ččííslem,slem,�� 4 Co je skal4 Co je skaláárnrníí sousouččin dvou algebraických in dvou algebraických

vektorvektorůů..


�� 5 Co znamen5 Co znamenáá, , žže jsou vektory e jsou vektory aa11, , aa22, . . . , . . . aakklinelineáárnrněě zzáávislvisléé, Co znamen, Co znamenáá, , žže jsou linee jsou line--áárnrněěneznezáávislvisléé..

�� 6 Co je b6 Co je bááze vektorovze vektorovéého prostoru a jakou mho prostoru a jakou máázzáákladnkladníí vlastnost.vlastnost.

�� 7 Co je hodnost soustavy vektor7 Co je hodnost soustavy vektorůů a pa přři i jaja--kýchkýchúúpravpraváách se hodnost nezmch se hodnost nezměěnníí..

�� 8. Jak definujeme s8. Jak definujeme sččííttáánníí a na náásobensobeníí matic amatic a


�� NNáásobensobeníí matice matice ččííslem. Uveslem. Uveďďte pravidla pro te pravidla pro tyto operace.tyto operace.

�� 9 Co je inversn9 Co je inversníí matice.matice.�� 10 Co znamen10 Co znamenáá, , žže matice je ortogone matice je ortogonáálnlníí a jakou a jakou

znznááte nutnou a postate nutnou a postaččujujííccíí podmpodmíínku pro nku pro ortogonalituortogonalitu..

�� 11 Co je hodnost matice a jak se po11 Co je hodnost matice a jak se poččííttáá..�� 12 co jsou vlastn12 co jsou vlastníí ččíísla a vlastnsla a vlastníí vektory maticevektory matice--

ALGEBRAALGEBRA5. DETERMINANTY5. DETERMINANTY

�� 5.1 5.1 ÚÚVODVOD�� Pro Pro úúččely tohoto kursu nebudeme uvely tohoto kursu nebudeme uváádděět t

definici determinantu ndefinici determinantu n--ttééhoho řřáádu pomocdu pomocíípermutacpermutacíí. Zavedeme postupn. Zavedeme postupněě determinant determinant druhdruhéého a tho a třřetetíího ho řřáádu du vvččetnetněě zpzpůůsobu jejich sobu jejich výpovýpoččttůů a pak popisna pak popisněě zavedeme pojem zavedeme pojem determinantu determinantu nn--ttééhoho řřáádu a jeden zpdu a jeden způůsob jeho sob jeho výpovýpoččtutu a a uvedeme puvedeme přřesnou definici, kterou esnou definici, kterou vysvvysvěětltlííme na determinantu me na determinantu řřáádu 3. du 3.

DETERMINANTYDETERMINANTY

�� 5.2 DETERMINANT DRUH5.2 DETERMINANT DRUHÉÉHO a THO a TŘŘEE--TTÍÍHO HO ŘŘÁÁDU, KDU, KŘŘÍÍŽŽOVOVÉÉ a ARRUSSOVO a ARRUSSOVO PRAVIDLOPRAVIDLO

�� Determinantem druhDeterminantem druhéého ho řřáádu rozumdu rozumííme me ččíísloslozapsanzapsanéé do do ččtvercovtvercovéého ho schematuschematu::

11 1211 22 21 12

21 22

a aa a a a

a a= −


�� VýpoVýpoččet determinantu druhet determinantu druhéého ho řřáádu se produ se pro--vvááddíípodle tzv. kpodle tzv. křříížžovovéého pravidla, Jednotlivho pravidla, Jednotlivéé prvky prvky ččteme po teme po řřáádcdcíích: a jedna jedna, a jedna dva, a ch: a jedna jedna, a jedna dva, a dva jedna, a dva dva.dva jedna, a dva dva.

�� PPřřííklad.klad.�� 4 6

4.5 2.6 82 5

= − =


�� Determinantem tDeterminantem třřetetíího ho řřáádu rozumdu rozumííme me ččííslo slo uspouspořřáádandanéé do do ččtvercovtvercovéého ho schematuschematu

�� Jeho výpoJeho výpoččet provedeme tak, et provedeme tak, žže ke e ke schemaschema--tu tu ppřřipipíšíšeme prvneme prvníí dva dva řřáádky a výpodky a výpoččet proet pro--vvááddíímemejako soujako souččiny po diagoniny po diagonáálláách rovnoch rovno--

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a


�� bběžěžných s hlavnných s hlavníí a vedleja vedlejšíší::

11 12 1311 22 33 21 32 13 31 12 23

21 22 2331 22 13 11 32 23 21 12 33

31 32 33

11 12 13

21 22 23

a a aa a a a a a a a a

a a aa a a a a a a a a

a a aa a aa a a

+ + −=− − −

�� SoSoččiny na diagoniny na diagonáálláách rovnobch rovnoběžěžných s hlavnných s hlavníí a a na nna níí majmajíí znamznaméénko plus, sounko plus, souččiny na iny na diagondiagonáálláách rovnobch rovnoběžěžných s vedlejných s vedlejšíší a pa přříímo na mo na nníí jsou opatjsou opatřřeny znameny znaméénkem minus.Vzorec se nkem minus.Vzorec se dobdobřře pamatuje a nazýve pamatuje a nazýváá se se SarrusovýmSarrusovým pravidlempravidlem. . VýpoVýpoččet et determidetermi--nanatnanatůů ttíímto zpmto způůsobem lze sobem lze provprováádděět pouze u determinantt pouze u determinantůů ttřřetetíího ho řřáádu. Pro du. Pro výpovýpoččet determinantet determinantůů vyvyššíšších ch řřááddůů si odvodsi odvodííme me jinou metodu. jinou metodu.



�� PPřřííkladklad. Vypo. Vypoččíítejte hodnotu determinantu:tejte hodnotu determinantu:

�� =4.(=4.(--2).3+3.2.1+1.2.02).3+3.2.1+1.2.0--1.(1.(--2).12).1--4.2.04.2.0--3.2.3 3.2.3

4 2 1 4 2 13 -2 0 upravíme 3 -2 01 2 3 1 2 3 4 2 1 3 -2 0

5.3 SUBDETERMINANT a 5.3 SUBDETERMINANT a ALGEBRAICALGEBRAIC--KÝ DOPLNKÝ DOPLNĚĚKK

�� JestliJestližže v matici e v matici AA typu (typu (mm,,nn) vynech) vynechááme me ii--týtýřřáádek a dek a jj--týtý sloupec dostaneme novou matici sloupec dostaneme novou matici typu (typu (mm--1, 1, nn--1), kterou nazýv1), kterou nazývááme submaticme submaticíímatice A pmatice A přřííslusluššnou k prvku nou k prvku aaijij a oznaa označčujeme ji ujeme ji AAijij . . JeJe--li matice li matice ččtvercovtvercováá řřáá--dudu nn, potom , potom detdetAAijijnazývnazýváámeme subdetermisubdetermi--nanantemnanantem determinantu determinantu vytvovytvořřenenéého z ho z mama--ticetice A. A. ČČííslo (slo (--11) )

ii++jj..detdetAAijij..nazývnazývááme algebraickým doplme algebraickým doplňňkem k kem k

prvku prvku aaijij a a oznaozna--



�� ččujemeujeme jej jej AAijij..�� PPřřííklad. Urklad. Urččete ete AA3434 v v detdet A.A.

�� a a AA34 34 = (= (--1)1)3+43+4.det.detAA34 34 = = --detdetAA34 34 = 65= 65

34

3 6 5 33 6 5

2 -1 3 0det = . Potom det 2 1 3

2 1 0 -14 3 2

4 3 2 5

= −A A


�� 5.4 CRAMEROVO PRAVIDLO a VÝPO5.4 CRAMEROVO PRAVIDLO a VÝPO--ČČET ET INVERZNINVERZNÍÍ MATICEMATICE

�� ČČtvercovou matici tvercovou matici AA, jej, jejíížž determinant je rdeterminant je růůzný zný od nuly nazývod nuly nazývááme me regulreguláárnrníí maticmaticíí, je, je--li li detdetAA=0, =0, potom o matici potom o matici AA řřííkkááme, me, žže jee je singulsinguláárnrníí..

�� PlatPlatíí: Jestli: Jestližže je de je dáána soustava na soustava nn rovnic o rovnic o nnneznneznáámých mých AxAxTT==bbTT s reguls reguláárnrníí maticmaticíí AA, , potom platpotom platíí::


�� kdekde AAkk , , kk = 1, 2, . . . , = 1, 2, . . . , nn je matice vytvoje matice vytvořřenenáá z z matice matice A A ttíím, m, žže jeje jejíí kk--týtý sloupec je sloupec je nahranahra--zen zen sloupcem sloupcem bbTT.. Tento vzorec se nazývTento vzorec se nazýváá CramerovoCramerovopravidlopravidlo..

�� InverznInverzníí matici k maticimatici k matici�� pokud matice A je regulpokud matice A je reguláárnrníí lze spolze spoččíítat podle tat podle

vzorcvzorcůů::

1 21 2

detdet det, , . . . ,det det det

nnx x x= = = AA A

A A A

( )-1 * n

i j na=A ( )ni j n

a=A


��

�� Pro Pro praktickpraktickéé poupoužžititíí se tato pravidla se tato pravidla nehoneho--ddíí. . Tak napTak napřř. soustavu 30. soustavu 30--ti rovnic (a to je nepatrnti rovnic (a to je nepatrnáásoustava) by posoustava) by poččíítatačč provprováádděějjííccíí milion operacmilion operacííza sekundu za sekundu řřeeššil il CrameroCramero--výmvým pravidlem pravidlem ppřřibliibližžnněě 8.108.102121 let. Uvedelet. Uvede--meme proto efektivnproto efektivněějjšíšímetody pro metody pro řřeeššeneníí obou problobou probléémmůů..

a = jiA****

Adeti j


�� 5.5 Z5.5 ZÁÁKLADNKLADNÍÍ VLASTNOSTI DETERVLASTNOSTI DETER--MINANTMINANTŮŮ

�� NechNechťť je je ččtvercovtvercováá matice matice řřáá--dudu nn. . Potom platPotom platíí::

�� a) Jestlia) Jestližže e BB je matice, kterje matice, kteráá vznikne z vznikne z matimati--cece AAttíím, m, žže vyme vyměěnnííme mezi sebou dva me mezi sebou dva řřáádd--kyky, , eventueventuáálnlněě dva sloupce, potom platdva sloupce, potom platíí::

�� detdet BB = = -- detdet AA�� b) Jestlib) Jestližžee C C je matice, kterje matice, kteráá vznikne z vznikne z mama--

( )nij na=A

�� ticetice AA ttíím, m, žže v ne v níí vynvynáásobsobííme nme něěkterý který řřáá--dek, dek, eventueventuáálnlněě sloupec, sloupec, ččííslem slem λλ, potom plat, potom platíí detdet CC= = λλ..detdet AA..

�� c) Jestlic) Jestližže matice e matice AA mmáá dva stejndva stejnéé řřáádky dky eventueventuáálnlněě dva stejndva stejnéé sloupce, potom jejsloupce, potom jejíídeterminant je roven nule.determinant je roven nule.

�� d) Jestlid) Jestližže matice A obsahuje nulový e matice A obsahuje nulový řřáádek dek eventueventuáálnlněě sloupec, pak jejsloupec, pak jejíí determinant je roven determinant je roven nule.nule.



�� 5.6 ROZVOJ DETERMINANTU PODLE 5.6 ROZVOJ DETERMINANTU PODLE ŘŘÁÁDKU a PODLE SLOUPCE. PlatDKU a PODLE SLOUPCE. Platíí vvěěta:ta:

�� NechNechťť je je ččtvercovtvercováá matice matice nn--ttééhohořřáádu a nechdu a nechťť r r je libovolnje libovolnéé ččííslo z mnoslo z množžiny iny {1, {1, 2, . . . , 2, . . . , nn}}. Potom plat. Potom platíí vztahy:vztahy:

( )nij na=A

1 1 2 2

1 1 2 2

det = . . .det = . . .

r r r r rn rn

r r r r nr nr

a a aa a a

+ + ++ + +

AA

A A AA A A


�� kde kde AAijij je algebraický doplnje algebraický doplněěk k prvku k k prvku aaijij v v determinantu matice determinantu matice AA..

�� PPřředchozedchozíím vzorcm vzorcůům m řřííkkááme me rozvoj rozvoj deterdeter--minantuminantupodle rpodle r--ttééhoho řřáádkudku a a rozvoj rozvoj deterdeter--minantuminantu podle rpodle r--ttééhohosloupce.sloupce.

�� VVííme, me, žže e AAijij = . = . Proto se ve Proto se ve vzorcvzorcíích na pch na přředchozedchozíí stranstraněě znamznaméénka subnka sub--determinantdeterminantůů detdetAAijij ststřříídajdajíí..

( )1 deti jij

+− A


�� PPřřííkladklad. Rozvineme. Rozvineme--li podle tli podle třřetetíího sloupce a ho sloupce a determinanty tdeterminanty třřetetíího ho řřáádu podu poččííttááme me SarruSarru--sovýmsovýmpravidlem, dostpravidlem, dostáávvááme: me:

( ) ( )

( ) ( )

1 3 3 3

1 2 3 42 4 5 1 2 4

2 4 0 53. 1 3 0 2 2. 1 2 4 5

3 0 2 24 0 3 4 0 3

4 0 0 3

3 32 36 2 12 40 64 12 60

+ += − + −

= − + + − − = −


�� ProvedemeProvedeme--li rozvoj podle li rozvoj podle ččtvrttvrtéého ho řřáádku a opdku a opěět t poupoužžijeme ijeme SarrusovoSarrusovo pravidlo dostanepravidlo dostane--meme::

( ) ( )

( ) ( )

4 1 4 4

1 2 3 42 3 4 1 2 3

2 4 0 54. 1 4 0 5 3. 1 2 4 0

3 0 2 20 2 2 3 0 2

4 0 0 3

4 32 20 24 3 8 36 8 60

+ += − + −

=− − − + − − =−


�� 5.7 DAL5.7 DALŠÍŠÍ VLASTNOSTI DETERMIVLASTNOSTI DETERMI--NANTNANTŮŮ..

�� a) Pro libovolna) Pro libovolnéé ččííslo rslo r∈∈{1, 2, . . . , {1, 2, . . . , nn}} platplatíí

11 1, 1 1 1 1, 1 1

21 2, 1 2 2 2, 1 2

1 , 1 , 1

... ...

... .... ... . . . ... .

... ...

r r r r n

r r r r n

n n r nr nr n r nn

a a a b a aa a a b a a

a a a b a a

− +

− +

− +

++

=

+


��

�� b)Jestlib)Jestližže matice e matice BB vznikne z matice vznikne z matice

11 1 1 11 1 1

21 2 2 21 2 2

1 1

... ... ... ...

... ... ... .... ... . ... . . ... . ... .

... ... ... ...

r n r n

r n r n

n nr nn n nr nn

a a a a b aa a a a b a

a a a a b a

+

( )nij na=A


�� ttíím, m, žže ne něěkterý jejkterý jejíí řřáádek zndek znáásobsobííme me ččííslem slem ωω a a ppřřipoipoččteme k jinteme k jinéému mu řřáádku , potomdku , potom

�� detdet BB = = detdet AA..�� TotTotééžž platplatíí i sloupci sloupcíích.ch.�� c) Determinant hornc) Determinant horníí, eventu, eventuáálnlněě dolndolníí trojtroj--

úúhelnhelnííkovkovéé matice je roven soumatice je roven souččinu prvkinu prvkůůleležžííccíích na jejch na jejíí hlavnhlavníí diagondiagonáále.le.

�� d) Determinant jednotkovd) Determinant jednotkovéé matice je roven matice je roven jednjednéé..


�� e) e) detdet AAT T = = detdet AA�� f)f) detdet(AB) = (AB) = detdet A . A . detdet BB�� 5.8 NUTN5.8 NUTNÁÁ a POSTAa POSTAČČUJUJÍÍCCÍÍ PODMPODMÍÍNN--KA KA

INVERTOVATELNOSTI MATIC.INVERTOVATELNOSTI MATIC.�� Nutnou a postaNutnou a postaččujujííccíí podmpodmíínkou nkou invertovainvertova--

telnostitelnosti matice A je jejmatice A je jejíí regulreguláárnost.rnost.


�� OTOTÁÁZKY a ZKY a ÚÚLOHYLOHY

�� 1.Co je determinant 1.Co je determinant ččtvercovtvercovéé matice matice AA..�� 2. Odvo2. Odvoďďte te SarrusovoSarrusovo pravidlo.pravidlo.�� 3. Co je subdeterminant a algebraický 3. Co je subdeterminant a algebraický dopldopl--nněěkk..�� 4. Jak4. Jakáá znznááte pravidla pro te pravidla pro řřeeššeneníí soustavysoustavy


�� lili--neneáárnrnííchch rovnic a pro výporovnic a pro výpoččet inverznet inverzníí mama--ticeticepomocpomocíí determinantdeterminantůů..

�� 5. Uve5. Uveďďte vzorec pro rozvoj determinantu podle te vzorec pro rozvoj determinantu podle rr--ttééhoho řřáádku.dku.

�� 6. Uve6. Uveďďte vlastnosti determinantte vlastnosti determinantůů. . �� 7. Uve7. Uveďďte postup pte postup přři výpoi výpoččtu determinantu tu determinantu

GaussovouGaussovou eliminaeliminaččnníí metodou.metodou.�� 8. 8. ČČemu se rovnemu se rovnáá determinant determinant trojtrojúúhelnhelnííkoko--vvéé

matice. Odpovmatice. Odpověďěď zdzdůůvodnvodněěte.te.

DETERMINANTYDETERMINANTY�� OBECNOBECNÁÁ DEFINICE DEFINICE

DETERMINANTU nDETERMINANTU n--TTÉÉHO HO ŘŘÁÁDU.DU.�� Pojem permutacePojem permutace�� UvaUvažžme koneme koneččnou mnonou množžinu M inu M nn prvprv--

kkůů. Ka. Kažžddéé prostprostéé zobrazenzobrazeníí mnomnožžiny M iny M na sebe nazveme na sebe nazveme permutacpermutacíí ttééto to mnomnožžiny. Poiny. Poččet permutacet permutacíí nn prvkprvkůů je je nn!!

DETERMINANTYDETERMINANTY�� PPřřííklad.klad.�� Pro Pro nn = 3= 3�� PP11 = (1, 2, 3), P= (1, 2, 3), P2 2 = (1, 3, 2), P= (1, 3, 2), P33 == (2, 1, 3)(2, 1, 3)�� PP44 = (2, 3, 1), P= (2, 3, 1), P5 5 = (3, 1, 2), P= (3, 1, 2), P33 == (3, 2, 1)(3, 2, 1)�� Inverse v poInverse v pořřadadíí permutacepermutace�� OznaOznaččme me pp = (= (kk11, , kk22 , . . . , , . . . , kknn ) n) něějakjakéé popořřaa--

ddíí prvkprvkůů (1, 2, . . . ,(1, 2, . . . ,nn). Ka). Kažžddáá dvojicedvojice kkii , , kkjj ((ii<<jj)) pro nipro nižž je je kkii > > kkjj se se naznazývýváá inverseinverse


�� v pov pořřadadíí. Po. Pořřadadíí zzáákladnkladníí je ( 1, 2, . . . , je ( 1, 2, . . . , n n ).).�� V naV naššem pem přříípadpaděě je to (1, 2, 3) je to (1, 2, 3) �� PP2 2 = (1, 3, 2) obsahuje jednu inversi = (1, 3, 2) obsahuje jednu inversi podbnpodbněě�� PP4 4 = (2, 3, 1) obsahuje dv= (2, 3, 1) obsahuje dvěě inverse a inverse a �� PP6 6 = (3, 2, 1) obsahuje t= (3, 2, 1) obsahuje třři inverse.i inverse.�� Zavedeme toto oznaZavedeme toto označčeneníí: M: Máá li poli pořřadadíí p v p v

inversinversíí ppřřiiřřadadííme mu znamme mu znaméénko nko znznpp= (= (--1)1)vv..

DETERMINANTYDETERMINANTY�� OBECNOBECNÁÁ DEFINICE DETERMINANTUDEFINICE DETERMINANTU�� AAťť n n je pje přřirozenirozenéé ččííslo slo

�� A =A =

11 12 1

21 22 2 2

1 2

1 2

... ...

... .... . ... . ... .

... .... . ... . ... .

... ...

ij n

j n

i i ij in

m m mj mn

a a a aa a a a

a a a a

a a a a


�� Determinant tDeterminant tééto matice je souto matice je souččet et ��

�� Kde se sKde se sččííttáá pro vpro vššechna poechna pořřadadíí�� pp = ( = ( kk11, , kk22, . . . , , . . . , kknn ) .) .�� VVššimnimněěme si nme si nyynníí determinantu tdeterminantu třřetetíího ho řřáádu a du a SarrusovaSarrusova pravidla. pravidla.

1 21 2. ...nk k n k

nA znp a a a==== ∑∑∑∑


�� JednotlivJednotlivéé sousouččiniteleinitele ve vve vššech ech ssččíítantan--ccíích ch upravupravííme nme náásledovnsledovněě ::

�� aa11 11 aa22 22 aa33 33 + + aa13 13 aa2121 aa3232 + + aa12 12 aa23 23 aa3131

�� --aa13 13 aa22 22 aa31 31 -- aa11 11 aa2323 aa3232 -- aa12 12 aa21 21 aa3333

�� VidVidííme, me, žže prvne prvníí indexy jsou stabilnindexy jsou stabilníí. . DruhDruhéé indexy vytvindexy vytváářříí vvššech ech ššest est momožž--nýchnýchpermutacpermutacíí a pa přřííslusluššnnéé sousouččiny iny


�� majmajíí znamznaméénka urnka urččena poena poččtem sudých a tem sudých a lichých inverslichých inversíí..

6. SOUSTAVY LINE6. SOUSTAVY LINEÁÁRNRNÍÍCH CH ROVNICROVNIC

�� 6.1 MATICE a ROZ6.1 MATICE a ROZŠÍŠÍŘŘENENÁÁ MATICE MATICE SOUSTAVY. Soustavu SOUSTAVY. Soustavu mm linelineáárnrníích rovnic o ch rovnic o nnneznneznáámých mých

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

. . .. . .

. . . . . . . . . .. . .

n

n

m m mn m

a x a x a ba x a x a b

a x a x a b

+ + + =+ + + =

+ + + =

SOUSTAVY LINESOUSTAVY LINEÁÁRNRNÍÍCH CH ROVNICROVNIC

�� lze pslze psáát ve tvaru t ve tvaru �� AxAxTT = = bbTT,,�� kde jsme zavedlikde jsme zavedli oznaoznaččeneníí

11 12 1 1 1

21 22 2 2 2T T

1 2

.. .

. . ., ,

. . . . . . . .. . .

n

n

m m mn n m

a a a x ba a a x b

a a a x b

= = =

A x b


�� Matici Matici A A nazývnazývááme me maticmaticíí soustavysoustavy, vektor , vektor xxvektorem neznvektorem neznáámýchmých a vektor a vektor bb vektorem pravých vektorem pravých stran. stran. Takovou soustavu Takovou soustavu řřeešíšíme me GaussovouGaussovoueliminaeliminaččnníí metodou.metodou.

11 12 1 1

21 22 2 2T

1 2

. . .

. . .. . . . . . .

. . .

n

n

m m mn m

a a a ba a a b

a a a b

Ι =

A b


�� GaussovyGaussovy úúpravy provpravy provááddííme pme přříímo na matici mo na matici soustavy doplnsoustavy doplněěnnéé o posledno posledníí slouslou--pec pravých pec pravých stran rovnic. Takto upravenstran rovnic. Takto upravenéé matici matici řřííkkááme me rozrozšíšířřenenáá matice soustavymatice soustavy. .

�� 6.1 6.1 ŘŘEEŠŠITELNOST SOUSTAVY. VITELNOST SOUSTAVY. VĚĚTA TA FROBENIOVA.FROBENIOVA.

�� Soustava Soustava AxAxTT = = bbTT mmáá řřeeššeneníí tehdy a jen tehdy, tehdy a jen tehdy, kdykdyžž hh(A) = h((A) = h(AA||bbTT), tj. hodnost matice ), tj. hodnost matice soustavy je rovna hodnosti soustavy je rovna hodnosti rozrozšíšířřee--


�� nnéé matice soustavy.matice soustavy.�� JestliJestližže e hh(A) = h((A) = h(AA||bbTT) = ) = kk, potom v p, potom v přříípadpaděě kk

< n < n mmáá soustava nekonesoustava nekoneččnněě mnoho mnoho řřeeššeneníí, kter, kteráámohou být zapsmohou být zapsáána pomocna pomocíí nn--kk parapara--metrmetrůů a v a v ppřříípadpaděě kk = = nn mmáá soustava prsoustava práávvěě jedno jedno řřeeššeneníí..

�� V pV přříípadpaděě mm = = nn (tj. po(tj. poččet rovnic je roven poet rovnic je roven poččtu tu neznneznáámých), mých), řřííkkááme, me, žže soustava je e soustava je ččtvercovtvercováá. . Mohou zMohou zřřejmejměě nastat dvnastat dvěě momožž--


�� nostinosti: : hh((AA) = ) = nn a a hh((AA) ) << nn. . V prvnV prvníím m ppřříípapa--dděě je je automaticky splnautomaticky splněěn vztah n vztah

�� hh(A) = h((A) = h(AA||bbTT) a ) a shodnshodněě s s FrobeniovouFrobeniovou vvěětou mtou máá tato tato soussous--tavatavaprpráávvěě jedno jedno řřeeššeneníí. V tomto p. V tomto přříípadpaděě je je detdet AA ≠≠≠≠≠≠≠≠00, , tj. matice tj. matice AA je regulje reguláárnrníí. Ve dru. Ve dru--hhéémm ppřříípadpaděěje je detdet AA = = 0, tj. matice A je singul0, tj. matice A je singuláárnrníí a shodna shodněě s s FrobeniovouFrobeniovou vvěětou soustava butou soustava buďďto nemto nemáá žžáádndnééřřeeššeneníí nebo mnebo máá nekonenekoneččnněě mnoho mnoho řřeeššeneníí. .


�� 6.3 HOMOGENN6.3 HOMOGENNÍÍ SOUSTAVY. JestliSOUSTAVY. Jestližže e vektor vektor bb pravých stran v soustavpravých stran v soustavěě linelineáárnrníích ch rovnic je nulový, tj. rovnic je nulový, tj. AxAxTT==ooTT, potom o n, potom o níí řříí--kkáámeme, , žže je homogenne je homogenníí. V tomto p. V tomto přříípadpaděě je je automaticky splnautomaticky splněěna podmna podmíínka nka

�� hh(A) = h((A) = h(AA||bbTT) = ) = k k a a soustava msoustava máá shodnshodněě s s FrobeniovouFrobeniovou vvěětou, tou, bubuďďto jedno to jedno řřeeššeneníí (v p(v přříípadpaděě kk = = nn) nebo ) nebo nekonenekoneččnněě mnoho mnoho řřeeššeneníí (v p(v přříípadpaděě kk << nn))..


�� V V prvnprvníím pm přříípadpaděě je to pouze nulovje to pouze nulovéé řřeeššeneníí. Ve . Ve druhdruhéém pm přříípadpaděě mmáá soustava kromsoustava kroměě nunu--lovlovééhoho i i nenulovnenulovéé řřeeššeneníí. Lze uk. Lze ukáázat, zat, žže mezi ve mezi vššemi emi řřeeššeneníími homogennmi homogenníí soustavy existuje soustavy existuje nn--kklinelineáárnrněě neznezáávislých vislých řřeeššeneníí a ne va ne vííce.ce.

�� Pro praktickPro praktickéé výpovýpoččty se uty se užžíívváá v praxi v praxi GaussovaGaussovaeliminaeliminaččnníí metoda. Pmetoda. Přři jeji jejíím m poupou--žžititíí nemusnemusííme me ppřředem vedem věědděět, zda soustava mt, zda soustava máá řřeeššeneníí..


�� PPřřííklad. Rozhodnklad. Rozhodněěte, zda nte, zda náásledujsledujííccíí soussous--tavatavammáá řřeeššeneníí. Pokud ano, v. Pokud ano, vššechna nalezechna nalez--nněětete..

�� Vyjdeme z rozVyjdeme z rozšíšířřenenéé matice soustavy, matice soustavy, ktekte--

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

12 43 7 2 12 5 1

x x xx x xx x xx x x

+ − = −− + =− − = −

− + + =


�� rourou po po gaussovskýchgaussovských úúpravpraváách pch přřevedeme na evedeme na tvar:tvar:

�� Tedy Tedy hh((A)A) = 3 a = 3 a hh((AA||bbTT) = 4. Soustava ne) = 4. Soustava ne--mmáářřeeššeneníí..

1 1 1 10 1 1 20 0 9 180 0 0 1

− − − − − −


�� 6.4 VÝPO6.4 VÝPOČČET INVERZNET INVERZNÍÍ MATICE. Pojem MATICE. Pojem inverzninverzníí matice byl jimatice byl jižž zaveden. Vzaveden. Víí--meme, , žže pokud e pokud k dank danéé matici matici AA, typu (, typu (nn, , nn) existuje inverzn) existuje inverzníí AA--1 1

potom platpotom platíí�� A.AA.A--11=A=A--11.A = E.A = Enn..�� Odtud lze dokOdtud lze dokáázat, zat, žže pomoce pomocíí gaussovskýchgaussovských

úúprav sloprav složženenéé matice matice [[AA|E|E] ] z matice z matice AA a a E E aplikovaných takaplikovaných tak, , žže matice e matice AA ppřřejde na ejde na E, E, v v ččáástisti matice matice EE obdrobdržžííme matici me matici AA--11..


�� PPřřííkladklad. . GaussovouGaussovou metodou vypometodou vypoččíítejte k tejte k matici matici AA inverzninverzníí..

�� UpravUpravííme na tvar me na tvar [[AA|E|E] a ] a pomocpomocíí dovoledovole--nýchnýchúúprav pprav přřevedeme na tvar evedeme na tvar [[EE||AA] ]

1 2 12 0 11 2 0

= − −

A


�� dostaneme:dostaneme:1 2 1 1 0 0 1 2 1 1 0 02 0 1 0 1 0 0 4 1 2 1 01 2 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1

− − ≈ − −

� �

1 2 1 1 0 0 0 0 11 2 01 1 1 1 1 10 1 0 0 1 04 2 4 4 4 4

0 0 10 0 1 1 0 1 1 0 1

≈ ≈ − −

� �


�� Druhý Druhý řřáádek ndek náásobsobííme me ččííslem slem ––2 a p2 a přřiiččteme k teme k prvnprvníímu. Dostaneme:mu. Dostaneme:

1 0 0 1 2 1 2 1 20 1 0 1 4 1 4 1 40 0 1 1 0 1

− − ≈ ⇒ −

�

1

2 2 21 . 1 1 14

4 0 4

−

− − = −

A


�� 6.5 CHARAKTERISTICK6.5 CHARAKTERISTICKÁÁ ROVNICE ROVNICE MATICE. Ve 4.15 jsme zavedli pojmy vlasMATICE. Ve 4.15 jsme zavedli pojmy vlas--tntnííččíísla a vlastnsla a vlastníí vektory vektory ččtvercovtvercovéé matice A matice A řřáádu du nn. . VlastnVlastníí ččíísla jsou takovsla jsou takováá ččíísla sla λλ pro kterpro kteráá mmááhomogennhomogenníí soustava rovnic soustava rovnic

�� ((AA-- λλEEnn))xxTT = = ooTT nenulovnenulovééřřeeššeneníí xx. To je v. To je vššak moak možžnnéé pouze tehdy, kdy pouze tehdy, kdy determinant soustavy je roven nule. Odtud determinant soustavy je roven nule. Odtud dospdospíívvááme k definici:me k definici:


�� NechNechťť A je matice typu (n,n). Potom rovnice A je matice typu (n,n). Potom rovnice �� detdet(A(A-- λλEEnn))xxTT = 0 ,= 0 ,�� Tj. rovniceTj. rovnice

11 12 1

21 22 2

1 2

. . .. . .

0. . . . . . . . .

. . .

n

n

n n nn

a a aa a a

a a a

λλ

λ

−−

=

−


�� Se nazývSe nazýváá charakteristickcharakteristickáá rovnice matice rovnice matice AA�� PPřřííklad.klad.NaleznNalezněěte vlastnte vlastníí ččíísla a vlastnsla a vlastníí vektory vektory

maticematice

�� ŘŘeeššeneníí::

1 42 3

=

A

1 40

2 3λ

λ−

=−


�� ttj. j. (1 (1 -- λλ)(3 )(3 -- λλ) ) –– 8 = 0 , 8 = 0 , ččiliili�� λλ2 2 -- 4 4 λλ -- 5 = 05 = 0�� VlastnVlastníí ččíísla matice A jsou sla matice A jsou ––1 a 5 (ko1 a 5 (kořřeny eny

charakteristickcharakteristickéé rovnice). Vlastnrovnice). Vlastníí vektory vektory odpovodpovíídajdajííccíí vlastnvlastníím m ččííslslůům jsou nenulovm jsou nenulováářřeeššeneníí soustavsoustav

�� 22xx1 1 + 4+ 4xx2 2 = 0 = 0 --44xx1 1 + 4+ 4xx2 2 = 0= 0�� 22xx11 + 4+ 4xx2 2 = 0 2= 0 2xx11 –– 22xx22 = 0= 0


to znamento znamenáá vektory vektory {{--22qq, , qq} a {} a {pp, , pp} } kdekde pp, , q q libovolnlibovolnáá nenulovnenulováá ččíísla.sla.

OTOTÁÁZKY a ZKY a ÚÚLOHYLOHY1.1. UveUveďďte te FrobeniovuFrobeniovu vvěětu a zdtu a zdůůvodnvodněěte te

jejjejíí platnost.platnost.2.2. UveUveďďte a zdte a zdůůvodnvodněěte postup pro te postup pro řřeeššeneníí

soustav linesoustav lineáárnrníích rovnic.ch rovnic.


�� 3.Uve3.Uveďďte a zdte a zdůůvodnvodněěte postup pro výpote postup pro výpoččet et inverzninverzníí maticematice

�� 4.Co je charakteristick4.Co je charakteristickáá matice a jak vznikmatice a jak vznikáá..

POLYNOMYPOLYNOMY

�� 7.1 POLYNOM a JEHO KO7.1 POLYNOM a JEHO KOŘŘENY. NechENY. Nechťť αα00, , αα11, . . . , , . . . , ααn n jsou rejsou reáálnlnáá ččíísla sla ααn n ≠≠ 0. Pravidlo, 0. Pravidlo, kterkteréé kakažžddéému komplexnmu komplexníímu mu ččííslu slu xx ppřřiiřřazuje azuje ččííslo slo PP((xx), kde ), kde

�� PP((xx)= )= αα00+ + αα11xx + + αα2 2 xx22+ . . . + + . . . + ααn n xxnn

�� nazývnazývááme reme reáálným polynomem stupnlným polynomem stupněě nn o o promproměěnnnnéé xx s koeficienty s koeficienty ααi i , i = , i = 1, 2, . . . ,1, 2, . . . ,n.n.

�� KaKažžddéé komplexnkomplexníí ččííslo slo ξξ takovtakovéé, , žže e PP((ξξ)= 0)= 0

POLYNOMYPOLYNOMY

�� tj. tj. �� αα00+ + αα1 1 ξξ + + αα2 2 ξξ 22+ . . . + + . . . + ααn n ξξn n = = 00�� se nazývse nazýváá kokořřenem polynomu enem polynomu PP((xx). Ka). Kažždý kodý kořřen en

je tedy je tedy řřeeššeneníím rovnicem rovnice�� αα00+ + αα11xx + + αα2 2 xx22+ . . . + + . . . + ααn n xxnn = 0.= 0.�� Tato rovnice se nazývTato rovnice se nazýváá algebraickou rovnicalgebraickou rovnicíí nn--

ttééhoho stupnstupněě..�� PPřřííkladklad. Výraz . Výraz PP((xx) = 3 + 5) = 3 + 5xx –– xx2 2 je je polypoly--

POLYNOMYPOLYNOMY

�� nomemnomem druhdruhéého stupnho stupněě (kvadratický (kvadratický polypoly--nomnom). ). Rovnice Rovnice 3 + 53 + 5xx –– xx2 2 = 0 je algebraick= 0 je algebraickáá rovnice rovnice druhdruhéého stupnho stupněě, , řřííkkááme jme jíí kvadratickvadratic--kkáá rovnice.rovnice.

�� 7.2 B7.2 BÉÉZOUTOVA VZOUTOVA VĚĚTA. NechTA. Nechťť n je libon je libo--volnvolnéé ppřřirozenirozenéé ččííslo a nechslo a nechťť

�� PP((xx)= )= αα00+ + αα11xx + + αα2 2 xx22+ . . . + + . . . + ααn n xxnn

�� je libovolný polynom je libovolný polynom nn--ttééhoho stupnstupněě. Potom . Potom ččííslo slo ξξ je je řřeeššeneníím algebraickm algebraickéé rovnice rovnice

POLYNOMYPOLYNOMY

�� PP((xx) = 0 tehdy a jen tehdy, kdy) = 0 tehdy a jen tehdy, kdyžž pro kapro kažžddéékomplexnkomplexníí ččííslo x platslo x platíí

�� PP(x) = ((x) = (xx -- ξξ))QQ((xx),),�� kdekde�� QQ((xx) = ) = ββ0 0 + + ββ11xx + + ββ22xx2 2 + . . . + + . . . + ββnn--11xxnn--11

�� Je polynom Je polynom nn--1 stupn1 stupněě takový, takový, žže e ββnn--1 1 = = ααn n ..�� 7.3 Z7.3 ZÁÁKLADNKLADNÍÍ VVĚĚTA ALGEBRY. (Gauss TA ALGEBRY. (Gauss 1799) Ka1799) Kažžddáá algebraickalgebraickáá rovnicerovnice

�� PP((xx) = 0 ) = 0 nn--ttééhoho stupnstupněě, kde , kde n n je libovolnje libovolnéé

POLYNOMYPOLYNOMY

�� PPřřirozenirozenéé ččííslo mslo máá v oboru komplexnv oboru komplexníích ch ččíí--sel sel alespoalespoňň jedno jedno řřeeššeneníí. .

�� 7.4 D7.4 D’’ALEMBERTOVA VALEMBERTOVA VĚĚTATA . Nech. Nechťť jsou jsou splnsplněěny pny přředpoklady pedpoklady přředchozedchozíí vvěěty. Pak ty. Pak existuje prexistuje práávvěě n komplexnn komplexníích ch ččíísel sel ξξ1 1 , , ξξ22, . . . , , . . . , ξξnn (nemus(nemusíí být navzbýt navzáájem rjem růůznznáá) takových, ) takových, žže e pro kapro kažžddéé komplexnkomplexníí ččííslo slo xx platplatíí::

�� PP((xx) = ) = ααn n ((xx -- ξξ1 1 )()(xx -- ξξ22). . . (). . . (xx -- ξξnn))

POLYNOMYPOLYNOMY

�� 7.5 D7.5 DĚĚLENLENÍÍ POLYNOMU POLYNOMEMPOLYNOMU POLYNOMEM�� PPřředpokledpoklááddáám, m, žže je ve je vššeobecneobecněě znznáám ze stm ze střřednedníí

šškoly. Pro osvkoly. Pro osvěžěženeníí si uvedeme jeden psi uvedeme jeden přřííklad:klad:�� PPřřííkladklad. D. Děělme polynomlme polynom�� PP((xx) = ) = xx44 + 2+ 2xx22 + 2+ 2xx –– 1 polynomem1 polynomem�� QQ((xx) = ) = xx22 –– 22xx + 3 + 3 �� Dostaneme:Dostaneme:

POLYNOMYPOLYNOMY

�� ((33xx44 + 2+ 2xx22 + 2+ 2xx ––1):(1):(xx22 –– 22xx + 3) =+ 3) =�� = 3x= 3x22 + 6x + 5+ 6x + 54 3 23 6 9x x x± ±∓__________

233 2

6 7 2

6 12 18

x x xx x x− +

± ±∓__________2

2

5 16 15 10 15x xx x− −

± ±∓__________( )6 16x z x− − =

POLYNOMYPOLYNOMY

�� PlatPlatíí tedtedyy

�� Konec Konec ččáásti algebrasti algebra

4 22

2 2

3 2 2 1 6 163 6 52 3 2 3

x x x xx xx x x x+ + − − −= + + +− + − +

Date post:	15-Jan-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	1 times
Download:	0 times

GEOMETRIE ALGEBRA Asvobodaz/BMA1/Matematika_1.pdf · 2009-09-29 · Z á kladn í pojmy teorie mno...

Documents