Homogenní elektrostatické poleJakou rychlost získá elektron urychlený napětím U = 1 MV ?

W =Eelst= QU=eU 2

2

1mvEW k

kg312 10.11,9;2

2

1 emmm

eUvmveU

m/sm/s 831

619

10.93,510.11,9

10.10.602,1.2

v

Nesprávný výsledek v důsledku použití nerelativistického vzorce pro kinetickou energii, rychlost nemůže být větší než rychlost světla ve vakuu c = 3.108 m/s !

Relativistický pohyb tělesaKlasická fyzika

v = 0..m = konst.

m

p

mvEk

2

2

1

2

2

Relativistická fyzika, částice s nenulovou klidovou hmotností

v < c; c = 3.108 m/s

m = m0..

celková energie E = mc2

klidová energie E0 = m0c2

kinetická energie Ek =E -E0 =

2

2

0

1cv

mm

m0 … klidová hmotnost

1

1

1

2

2

20

cv

cm

Relativistický pohyb tělesaZávislost hmotnosti na rychlosti částice

klasická předpověď

Relativistický pohyb tělesaJaká je kinetická energie protonu letícího rychlostí 107 m/s? Použijte klasický i relativistický vzorec. mp=1,6726.10-27 kg

J1427272 10.363,810.10.6726,1.5,02

1 vmE pk

Klasický vzorec

J14

2

8

7

2827

2

2

20

10.370,8

1

10.3

101

110.3.10.6726,11

1

1

c

vcmEk

Relativistický vzorec

Relativistický pohyb tělesaJaká je kinetická energie protonu letícího rychlostí 108 m/s? Použijte klasický i relativistický vzorec. mp=1,6726.10-27 kg

J1228272 10.363,810.10.6726,1.5,02

1 vmE pk

Klasický vzorec

J12

2

8

8

2827

2

2

20

10.13,9

1

10.3

101

110.3.10.6726,11

1

1

c

vcmEk

Relativistický vzorec

Relativistický pohyb tělesaKlasický vzorec – limitní případ relativistického vzorce pro malé rychlosti

...16

5

8

3

21

1

1 32

xxx

xTaylorův rozvoj

Aproximace pro malá x2

11

1 x

x

01.01

1005037815,1

002,01

10010015,1

Relativistický pohyb tělesaKlasický vzorec – limitní případ relativistického vzorce pro malé rychlosti

21

211

1

1 20

2

22

0

2

2

20

vm

c

vcm

cv

cmEk

Použití na vzorec pro relativistickou kinetickou energii,

Aproximace pro malá x 21

1

1 x

x

2

2

c

vx

1

1

1

2

2

20

cv

cmEk

Pohyb relativistické částiceKolikrát je vyšší hmotnost relativistické částice letící rychlostí 0,5 c než její klidová hmotnost?Vztah mezi hmotností a klidovou hmotností

2

20

2

2

0

1

1

1cvm

m

cv

mm

15,1

41

1

1

.5,01

1

2

2

cc

Hmotnost se zvětší 1,15 krát

Pohyb relativistické částicePři jaké rychlosti je hmotnost částice dvojnásobkem její klidové hmotnosti?Vztah mezi hmotností a klidovou hmotností

2

1

1

1 2

20

2

2

0

cvm

m

cv

mm

4

3

4

114

1

12

2

2

2

2

2 c

v

c

v

cv

m/s810.6,287,04

3 ccv

Relativistický pohyb tělesaZávislost hmotnosti na rychlosti částice

klasická předpověď

Relativistický pohyb tělesaHybnost relativistické částice s nenulovou klidovou hmotností

2

2

0

2

2

0

1

1

cv

vmmvp

cv

mm

celková energie E = mc2

klidová energie E0 = m0c2

2

2

2

20

2

2

420

2

2

22222

022

0

2

2

22022

1111

cv

cm

cv

cm

cv

vcvcmcm

cv

vmcE

220

222 cmpcE

0

20

220

220

EcmE

cmcEp

Relativistický pohyb tělesaRelativistická částice s nulovou klidovou hmotností

Částice s nulovou klidovou hmotností buď neexistuje, nebo se pohybuje rychlostí světla c

klidová energie E0 = m0c2 = 0 pozbývá smyslu

celková energie E = mc2 definuje hmotnost pohybující se částice

220

222 cmpcE cpEpcEm 2220 0

c

p

c

cp

c

Em

22

Foton - částice elektromagnetického vlnění

c

fh

c

hf

c

Ep

hchfE ;

Šíření elektromagnetického vlnění v hmotném prostředí

Rychlost šíření elektromagnetického vlnění (rychlost světla) v hmotném prostředí je v vždy nižší než rychlost světla ve vakuu c

Index lomu n = c/v , kde v je rychlost šíření světla v hmotném prostředí, n ≥ 1 (nsklo ≈ 1,5)

Foton se pohybují vždy pouze rychlostí světla ve vakuu c ! - ROZPOR?

Nikoliv – v hmotném prostředí se pohybují fotony rychlostí světla ve vakuu c, ale fotony jsou pohlcovány a znova vysílány (absorbovány a emitovány) zpomalení rychlosti šíření

Šíření elektromagnetického vlnění v hmotném prostředí

t t

Částicově vlnový dualismusČástice s nulovou klidovou hmotností vykazuje vlastnosti “obyčejné” částice s nenulovou klidovou hmotností

Zákon zachování energie = zákon zachování hmotnosti

Zákon zachování hybnostiSrážka fotonu s elektronem

c

Ep

c

Em ,

2

De Broglie - částice s nenulovou klidovou hmotností vykazuje vlnové vlastnosti, do té doby pozorované pouze u částic s nulovou klidovou hmotností

p

hh

c

hf

c

Ep

klasický výsledekvlnový výsledek

Difrakce vlnění na dvojštěrbiněVýsledný obraz závisí na fázovém posuvu dopadajících vln

De Broglie – interference elektronu ‘se sebou samým’

Částicově vlnový dualismusJaká je vlnová délka elektronu letícího rychlostí 105 m/s?

p

hh

c

hf

c

Ep

kg3110.11,9; ee mvmp

nmmm 27,710.27,710.10.11,9

10.626,6 9531

34

Vlnová délka světla: 390-790 nm vyšší rozlišovací schopnost elektronových skopů

Klidové energie částicKlidová energie elektronu

Klidová energie protonu

kg310

200 10.11,9; emmcmE

MeV

eVJJ

51,0

10.602,1

10.2810.2810.3.10.11,9

19

14142831

0

,

,E

kg270

200 10.6726,1; pmmcmE

MeV

eVJJ

940

10.602,1

10.5110.5110.3.10.6726,1

19

10102827

0

,

,E

Lineární urychlovač nabitých částicVan de Graaffův urychlovač (elektrostatický)

zdroj vysokého stejnosměrného napětí (MV)

+ -

-

U=5 MV

-

-

+

E=0E=5 MeVE=10 MeV

Tandemový van de Graafův urychlovačpři nárazu na elektrodu dochází k vyražení částice opačného náboje a opětovnému urychlování v poli s opačnou polaritou získání dvojnásobné energie

E=0 MeV

-

Lineární urychlovač nabitých částicVan de Graaffův urychlovač (elektrostatický)

Kinetické energie až 30 MeV

Rozptyl energií urychlených částic (stabilita urychlovače) E/E = 0,01 až 0,1 %

Lineární vysokofrekvenční urychlovač částic

Zdroj vysokého střídavého napětí (MV)

-

K urychlování dochází pouze v prostoru mezi segmenty

Konstantní frekvence urychlovacího napětí čas průletu segmenty musí být roven konstantě, půlperiodě frekvence

Urychlování částice délky segmentů se musejí zvětšovat

~U

-+ +

+

-

-

-- -

-

+

+

+

Lineární vysokofrekvenční urychlovač částic

Urychlovací trubice tvořena vlnovodem

Elektromagnetická vlna s nenulovou podélnou složkou elektrického pole

Energie > 20 GeV

Hustota toku ~ 1014 elektronů/s

Délka trubice ~ 3 km

Skalární součinUrčení skalárního součinu

Udává průmět vektoru na druhý vektor, násobený velikostí druhého vektoru. Výsledkem je číslo (skalár)

Nezávisí na souřadné soustavě

V kartézských souřadnicích platí

a

b

cosa

222kde

,cos.

zyx aaaaa

abba

zzyyxx babababa .

cos 0 = cos 90=cos 180=

+10

-1

Skalární součinPříklady použití

Práce konaná silou svírající se směrem pohybu obecný úhel

Interakční energie dipólu v elektrickém a magnetickém poli

vWPsFW.;.

dipól tickýelektrosta

pole tickéhoelektrosta intezita

kde

...

...

,.

p

E

E

pEE

elst

elst

... interakční energie

Vektorový součinUrčení vektorového součinu

Výsledkem je vektor kolmý na oba zadané vektory

Velikost vektorového součinu je rovna

Nezávisí na souřadné soustavě

a

b

bac

ba,

sinabcc

c

Orientace vektorového součinu vůči rovině je taková, že z vrcholu vektoru vidíme otočení vektoru do směru vektoru pod úhlem menším než 180

c

ba,

c

b

a

Vektorový součinUrčení vektorového součinu

V kartézských souřadnicích platí

= (ax, ay, az)

= (bx, by, bz)

= (cx, cy, cz)

cx = ay bz - az by

cy = az bx - ax bz

cz = ax by - ay bx

a

b

c

c

ba

abc

bac

Složka x vektorového součinu závisí na ostatních složkách (y,z) vektorů a,b

Pořadí členu s kladným znaménkem je dán cyklickým pořadím vektorů c,a,b

Vektorový součinPříklady použití

Moment síly

Obvodová rychlost

Lorentzova síla (magnetická síla)

FrM

rv

BvQF

Skalární součinJaký je skalární součin vektorů

4,3,0

5,4,1

b

a

zzyyxx babababa .

a

b

cosa

Jaký úhel svírají tyto dva vektory?

32)4.(53.40.1. ba

222

,cos.

zyx aaaaa

abba

42541 222

5)4(30 222 bb

17199.0arccos

99,0425

32.cos

ab

ba

Vektorový součinJaký je vektorový součin vektorů

4,3,0

5,4,1

b

a

3,4,1

0).4(3.1),4.(10.5,3.5)4).(4(

c

cx = ay bz - az by

cy = az bx - ax bz

cz = ax by - ay bx

Jaký je skalární součin ac.

05.3)4.(41.1. ac

0)4.(33.40.1. bc

bcacbac

,

Vektorový součin je kolmý na oba vektory

Skalární součinJaký úhel svírají stěnové úhlopříčky krychle vycházející z jednoho vrcholu?

b

a

x

z

y

1,1,0

0,1,1

b

a

2ba

ab

ba.

cos

11.01.10.1. ba

605,0arccos2

1

22

1.cos

ab

ba