Integrály v kinematice

Autor: RNDr.Zdeňka Strouhalová

Fyzika, seminář z fyziky

Inovace výuky na Gymnáziu Otrokovice formou DUMůCZ.1.07/1.5.00/34.0488

2

Derivace funkce

• Definice derivace funkce• Funkce f je definována v určitém okolí bodu x0 . Derivací funkce nazýváme limitu

• Používané zápisy derivace

• Derivaci funkce můžeme považovat za funkci. Jestliže určíme její derivaci, je tato derivace druhou derivací původní funkce, označujeme ji f´´(x).

00

0,,lim yyyxxxkde

x

yx

dy

dy

x

yxf

x

0

0´ lim

Primitivní funkce – neurčitý integrál

Funkce F a f jsou definovány v otevřeném intervalu J. Jestliže pro každé x z tohoto intervalu platí, že F´(x) = f(x) ,

je funkce F primitivní funkcí k funkci f v intervalu J.

Je-li funkce F v intervalu J primitivní funkcí k funkci f, pak každá primitivní funkce k funkci f je tvaru F(x) + C, kde C je reálná konstanta .

Integrování je postup, při kterém určujeme primitivní funkci F(x) + C.

Užíváme zápis CxFdxxf )()(

Symbol se nazývá neurčitý integrál dxxf )(

Výsledky integrování funkcí ověřujeme derivováním.

Kinematika hmotného bodu

s = s(t) C = 0

v = s´(t) v = gt C = 0

a= v´(t) = s´´(t) a = g=konst.

Ctvdtta )()(

Budeme uvažovat přímočarý pohyb

Funkcí času jsou : dráha – př. s = 4t okamžitá rychlost - př. v = gt, zrychlení - př. a = 5t

Využijeme-li derivací a integrování můžeme vytvořit tabulku,jako příklad přímočarého pohybu je uveden volný pád

Ctsdttv )()(

Integrační konstantu určíme ze zvolených počátečních podmínek.Př. volný pád – po integrování v = gt + C, pro t = 0 je v = 0, proto C =0

2

2

1gts

5

Příklady

Kmitavý pohybJe dáno okamžité zrychlení a = - ω2 yOvěřte, že platí v = vm cosωt , je-li y = ym sinωt

Určete pomocí neurčitého integrálu vztah pro výpočet velikosti okamžité rychlosti a dráhy.Jaký fyzikální význam mají integrační konstanty ?

1. a = 5 ms-2

2. a = 3 + t3. a = 2t

6

Použité zdroje

• LEPIL Oldřich. Fyzika pro gymnázia: Mechanické kmitání a vlnění. Praha: Prometheus, 1994, 135 s. ISBN 80-901-6196-0.

• BEDNAŘÍK, Milan a Miroslava ŠIROKÁ. Fyzika pro gymnázia. 3. vyd. Praha: Prometheus, 2007, 288 s. ISBN 978-807-1961-765

• HRUBÝ, Dag a Josef KUBÁT. Matematika pro gymnázia: diferenciální a integrální počet. 2., upr. vyd. Praha: Prometheus, 2001, 210 s. Učebnice

pro střední školy (Prometheus). ISBN 80-719-6210-4.

20.března 2013