JAN FIXEL, RADOVAN MACHOTKA GEODETICKÁ ASTRONOMIE A ...fast.darmy.net/opory - IV...

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ

JAN FIXEL, RADOVAN MACHOTKA

GEODETICKÁ ASTRONOMIE A KOSMICKÁ GEODEZIE I

MODUL 01 SFÉRICKÁ ASTRONOMIE

STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

Geodetická astronomie a kosmická geodézieI, Modul 01

© Jan Fixel, Radovan Machotka, Brno 2007

- 2 (86) -

Obsah

OBSAH

1 Úvod 5 1.1 Cíle ........................................................................................................5 1.2 Požadované znalosti ..............................................................................5 1.3 Doba potřebná ke studiu .......................................................................5 1.4 Klíčová slova.........................................................................................5

2 Nebeská sféra a její souřadnicové soustavy ...............................................6 2.1 Základní roviny a směry .......................................................................6

3 Souřadnicové soustavy .................................................................................8 3.1 Sférická souřadnicová soustava ............................................................8 3.2 Pravoúhlá souřadnicová soustava .........................................................9

3.2.1 Transformace pomocí rotačních úhlů ...................................10 3.3 Astronomické souřadnicové soustavy.................................................13

3.3.1 Horizontální souřadnicová soustava (Sh) .............................13 3.3.2 Soustava rovníkových souřadnic (Sr) ...................................15 3.3.2.1 První rovníková souřadnicová soustava ( )1

rS .......................16

3.3.2.2 Druhá rovníková souřadnicová soustava ( )2rS ......................16

3.3.3 Soustava ekliptikálních souřadnic (Se ). ...............................17 3.4 Dráhové souřadnicové systémy ..........................................................18

4 Zdánlivý pohyb ...........................................................................................21 4.1 Zdánlivý denní pohyb hvězd...............................................................21 4.2 Zdánlivý roční pohyb Slunce po ekliptice ..........................................22

5 Čas a časové systémy ..................................................................................25 5.1 Juliánské datum a standardní epochy..................................................25 5.2 Rotační časy ........................................................................................27

5.2.1 Sluneční čas ..........................................................................27 5.2.2 Soustava světových časů.......................................................29 5.2.3 Místní, světový a pásmový čas. ............................................30 5.2.4 Hvězdný čas ..........................................................................31 5.2.5 Vztah mezi slunečním a hvězdným časem ...........................33 5.2.6 Definice roků ........................................................................33

5.3 Časy definované fyzikálně ..................................................................34 5.3.1 Atomový čas .........................................................................35 5.3.2 Koordinovaná časová soustava .............................................36 5.3.3 Terestrický dynamický čas ...................................................37 5.3.4 Barycentrický dynamický čas ...............................................37 5.3.5 Čas GPS ................................................................................38

6 Transformace souřadnic a jejich diferenciální změny............................40 6.1 Transformace horizontálních a rovníkových souřadnic......................40

6.1.1 Klasický způsob transformace ..............................................40 6.1.2 Transformace pomocí rotací .................................................42

6.2 Transformace ekliptikálních a rovníkových souřadnic .......................44

- 3 (86) -


6.2.1 Klasický způsob transformace ............................................. 44 6.2.2 Transformace pomocí rotace................................................ 45

6.3 Diferenciální změny souřadnic v závislosti na čase ........................... 45 7 Důsledky rotace Země ............................................................................... 48

7.1 Průchod hvězd místním poledníkem .................................................. 48 7.2 Průchod hvězd rovinou I. vertikálu .................................................... 49 7.3 Průchod elongací ................................................................................ 50 7.4 Východ a západ tělesa ........................................................................ 52 7.5 Soumrak.............................................................................................. 53

8 Změny souřadnic........................................................................................ 55 8.1 Paralaxa .............................................................................................. 55

8.1.1 Denní paralaxa...................................................................... 55 8.1.2 Roční paralaxa...................................................................... 57

8.2 Aberace............................................................................................... 58 8.3 Precese a nutace.................................................................................. 59

8.3.1 Precese.................................................................................. 59 8.3.2 Nutace................................................................................... 60

8.3.3 Vliv precese na rovníkové souřadnice ( )2rS ......................... 62

8.3.4 Vliv nutace na rovníkové souřadnice ................................... 63 8.4 Gravitační ohyb světla........................................................................ 66 8.5 Vlastní pohyb hvězdy......................................................................... 66 8.6 Astronomická refrakce ....................................................................... 66

8.6.1 Vliv refrakce na souřadnice.................................................. 70 8.7 Pohyb zemských pólů......................................................................... 70

8.7.1 Redukce astronomických zeměpisných souřadnic a azimutů na střední pól Země .............................................................. 71

9 Katalogy hvězd a astronomické ročenky ................................................. 75 9.1 Katalogy hvězd................................................................................... 75 9.2 Astronomické ročenky........................................................................ 76

9.2.1 Interpolace hodnot z astronomické ročenky......................... 77 9.2.1.1 Interpolace pomocí diferencí................................................ 78 9.2.1.2 Interpolace pomocí hodinových změn ................................. 78 9.2.2 Interpolace zdánlivých souřadnic hvězd .............................. 78 9.2.3 Výpočet zdánlivých poloh pomocí Besselových denních čísel79

10 Konvenční referenční souřadnicové systémy .......................................... 81 10.1 Realizace mezinárodního nebeského referenčního rámce ICRF........ 82 10.2 Mezinárodní terestrický referenční systém ITRS.............................. 83

10.2.1 ITRS ..................................................................................... 83 11 Závěr ........................................................................................................... 85

11.1 Shrnutí 85 11.2 Studijní prameny ................................................................................ 86

11.2.1 Seznam použité literatury..................................................... 86 11.2.2 Seznam doplňkové literatury................................................ 86

- 4 (86) -

Nebeská sféra a její souřadnicové soustavy

1 Úvod

1.1 Cíle

1.2

1.3

1.4

Modul 01 Sférická astronomie předmětu Geodetické astronomie a kosmické geodézie vytváří nutné předpoklady pro studium Země jako tělesa, které se nachází v kosmickém prostoru. Základy sférické astronomie jsou nezbytné pro pochopení principů určování astronomických zeměpisných souřadnic a astro-nomických azimutů z měření na hvězdy a tvoří odrazový můstek jak pro řešení úloh v družicové tak i kosmické geodézii.

Požadované znalosti

Předpokladem úspěšného absolvování předmětu Geodetická astronomie a kosmická geodézie Modul 01 Sférická astronomie je znalost matematiky a fy-ziky na středoškolské úrovni se zřetelem na řešení sférického trojúhelníka. Ne-zbytná je znalost parciálních derivací a řešení úloh pomocí rotací. Předpokládá se základní znalost problematiky geodetických měření a jejich zpracování.

Doba potřebná ke studiu

V prezenční formě studia je modul 01 přednášen v rozsahu 2 hodin přednášek a 2 hodin cvičení v zimním semestru v rozsahu 13 týdnů. Jde tedy orientačně o 52 hodin.Je třeba si uvědomit, že čas potřebný ke studiu může se u každého z Vás od odhadu značně lišit.

Klíčová slova

Sférická a pravoúhlá souřadnicová soustava, astronomické souřadnicové sou-stavy, dráhové elementy, zdánlivý denní a roční pohyb, tropický a siderický rok, Juliánské datum, sluneční čas, rovnice času, soustava světových časů, hvězdný čas, atomový čas, koordinovaná časová soustava, terestrický dyna-mický čas, barycentrický dynamický čas, čas GPS, průchod hvězd poledníkem, rovinou I.vertikálu a maximální digresí, východ a západ těles, precese a nutace, astronomická refrakce, ICRS, ITRS.

- 5 (86) -


2 Nebeská sféra a její souřadnicové soustavy Představa, že všechna kosmická tělesa jsou připevněna na vnitřním povrchu jednotkové koule sice není správná, ale umožňuje řešit problémy geodetické astronomie s využitím sférické trigonometrie. Pozorovatel určuje pouze směry ke kosmickému tělesu, popřípadě měří úhly mezi zvolenými kosmickými těle-sy.

Pro vytvoření souřadnicové soustavy je třeba si zvolit základní roviny a směry, které lze fyzikálně na jednotkové kouli realizovat a zvolit si sou-řadnicový systém s jehož využitím se určují polohy bodů.

2.1 Základní roviny a směry

Jednou ze základních rovin je rovina horizontu. Je to rovina kolmá na směr tečny k tížnici (astronomické normály) v místě pozorování. Tato rovina protí-ná nebeskou sféru v hlavní kružnici v bodě jižním S, v bodě západním W ,

v bodě severním N a v bodě východním E (Obr. 2.1). Průsečík roviny horizontu s nebeskou sfé-rou se nazývá horizont. Horizont rozděluje sféru na dvě poloviny, z nichž pouze horní je na stano-višti O pozorovatelná. Rovinu horizontu lze rea-lizovat na stanovišti kupř. klidnou hladinou rtuti. Směr tíže (tížnici) na sta-novišti zaujímá zavěšená olovnice. Přesně horizon-tovaný teodolit zaujímá hladinovou plochu v místě pozorování. Tečna k tížnici (tzv. astronomic-ká normála) protne sféru

v nejvyšším bodě, který se nazývá zenit Z, nejnižší bod se označuje nadir Na. Tyto body jsou póly horizontu. Jejich spojnice se nazývá vertikální přímka. Všechny roviny procházející touto přímkou jsou vertikální roviny, které protí-nají nebeskou sféru ve výškové nebo vertikální kružnici. Rovina rovnoběžná s rovinou horizontu protne sféru ve vedlejší kružnici, která se nazývá almu-kantarat.

Obr. 2.1 Základní roviny a směry

Druhou základní rovinou je rovina kolmá na osu rotace a procházející počát-kem O. Tato rovina protíná sféru v hlavní kružnici, která se nazývá světový rovník. Osa rotace Země protíná sféru ve dvou bodech. V severním světovém pólu P a jižním světovém pólu P´. Hlavní kružnice procházející póly se nazý-vají deklinační kružnice. Deklinační kružnice procházející současně zenitem

- 6 (86) -

Nebeská sféra a její souřadnicové soustavy

Z stanoviště je místní poledník (místní meridián). Tato protíná horizont ve dvou bodech: v severním bodě N a jižním bodě S. Rovník protne horizont ve východním bodě E a zápalním bodě W. Rovina kolmá na místní poledník pro-cházející zenitem vytne na sféře rovinu prvého vertikálu. Úhel, který svírá osa rotace Země s horizontem , nebo úhel svislice s rovníkem, je zeměpisná šířka ϕ stanoviště.

Třetí základní rovi-nou je rovina neru-šené dráhy Země kolem Slunce. Tato rovina protíná sféru v hlavní kružnici, která se nazývá ekli-ptika (Obr. 2.2) Póly této kružnice se nazývají severní pól ekliptiky Pe (je bližší severnímu pólu P) a jižní pól ekliptiky Pe´. Hlavní kružnice procházející póly ekliptiky se nazývají šířkové kružnice. Rovník s ekliptikou se protíná v rovno-dennostních bodech: v bodu jarním ϒ, ve

kterém Slunce na jaře vystupuje nad rovník, a v bodu podzimním G, kde na podzim sestupuje pod rovník. Deklinační kružnice procházející body rovno-dennosti se nazývá kolur rovnodennosti. Deklinační kružnice procházející póly ekliptiky protíná ekliptiku ve slunovratních bodech :v letním D kde Slunce vystoupí nejvýše nad rovník a zimním J kdy sestoupí nejníže. Příslušné ved-lejší kružnice, které jsou rovnoběžné s rovníkem a procházející slunovratními body se nazývají obratníky (obratník Raka a obratník Kozoroha). Rovník a ekliptika se protíná pod úhlem ε, který se nazývá sklon ekliptiky. Stejný úhel je také mezi pólem ekliptiky Pe a pólem P.

Obr. 2.2 Rovina rovníku a ekliptiky

- 7 (86) -


3 Souřadnicové soustavy

V metodách geodetické astronomie se měří ke kosmickým tělesům pouze smě-ry, nebo úhly mezi zvolenými tělesy a zvolenými základními rovinami. V některých případech se měří úhly mezi vybranými tělesy. Metody kosmické geodézie většinou určují buď úplný vektor k vybraným tělesům (směr a vzdá-lenost), nebo se měří pouze jejich vzdálenosti. V geodetické astronomii a kos-mické geodézii se pro vyjádření polohy tělesa v kosmickém prostoru využívá různých typů souřadnicových soustav.

Polohu tělesa v prostoru lze obecně vyjádřit

a) sférickou souřadnicovou soustavou

b) pravoúhlou souřadnicovou soustavou.

c) astronomickými souřadnicovými soustavami

d) dráhovými elementy

3.1 Sférická souřadnicová soustava

Obecně je sférická souřadnicová soustava realizována základní rovinou a základním směrem. Nebeskou sféru si nahradíme koulí o jednotkovém poloměru. Základní roviny a směry se volí tak, aby mohly být fyzikálně realizovány. Na stanovišti lze za základní rovinu zvolit: buď rovinu horizontu (rovina kolmá na místní tížnici), nebo rovinu rovníku (rovina kolmá na osu rotace Země), popřípadě rovinu ekliptiky (rovina dráhy Země kolem Slunce, z hlediska pozorovatele je to rovina ve které se zdánlivě pohybuje Slunce). Za základní směry se volí astronomická normála - svislice (tečna k tížnici v daném místě pozorování), nebo směr rotační osy Země, popřípadě směr k pólu ekliptiky.

Počátek sférické souřadnicové soustavy O leží v základní rovině, která je tvo-řena souřadnicovými osami x a y. Základní směr leží ve směru osy x. Polohu bodu D v prostoru určují tři sférické souřadnice bodu (Obr. 3.1) kde

r - délka průvodiče r,

Obr. 3.1 Sférická souřadnicová soustava

λ - úhel mezi osou x a průmětem průvodiče r do ro-viny x y ϕ - úhel mezi průvodi-čem r a rovinou x y . čem r a rovinou x y .

Mezi sférickými a polárními souřadnicemi platí známé vztahy

Mezi sférickými a polárními souřadnicemi platí známé vztahy

ϕ=λϕ=λϕ=

sinrzsincosrycoscosrx

(3.1)

- 8 (86) -

Souřadnicové soustavy

U některých souřadnicových soustav lze polohu středu koule, kterou na-hrazujeme nebeskou sféru, umístit do: pozorovacího stanoviště, do těžiště Země, do středu Slunce, nebo obecně do středu libovolného tělesa (např. do středu Měsíce). Hovoříme o soustavě

• topocentrické

• geocentrické

• heliocentrické

• barycentrické (počátek je v těžišti sluneční soustavy

• selenocentrické (počátek je v těžišti Měsíce)

3.2

e

át-

Pravoúhlá souřadnicová soustava

Polohu bodu v třírozměrném prostoru lze určit pomocí tří navzájem kolmých jednotkových vektorů e x , e y , e z , které vytváří. pravoúhlou (ortogonální) souřadnicovou soustavu. Přímky nesoucí jednotlivé vektory e se nazývají sou-řadnicové osy (Obr. 3.2).

Polohu libovolného bodu D, který snachází na konci vektoru, jehož po-čátek je umístěn ve zvoleném počku O, vyjádříme jako lineární kom-binaci vektoru báze

r = x ex+ y ey+ z ez. (3.2)

Koeficienty lineární kombinace x, y, z se označují jako souřadnice vek-toru r.

Obr. 3.2 Pravoúhlá souřadnicová soustava Vynásobíme-li postupně skalárně vektory e x , e y ,ez rovnici (3.2) dostaneme

x = r ex , y = r ey , z = r ez (3.3)

Geometrický význam skalárního součinu dvou vektorů představuje průmět vektoru r do jednotlivých souřadnicových os. Za předpokladu, že r je jednot-kový vektor platí

x = cos α, y = cos β, z = cos γ, (3.4)

kde α, β, γ jsou úhly, které svírá vektor r se souřadnicovými osami. Souřadni-ce jednotkového vektoru se označují jako směrové kosiny. Souřadnicová sou-stava může být pravotočivá nebo levotočivá.

- 9 (86) -


3.2.1 Transformace pomocí rotačních úhlů

Stejně jako v předcházejícím odstavci chceme transformovat souřadnice z jedné ortogonální soustavy S (x, y, z) do druhé ortogonální soustavy S´ (x´, y´, z´). Tři nezávislé prvky vzájemného stočení obou ortogonálních soustav lze vyjádřit pomocí úhlů Eulerova typu ω,ε,ψ, které jednoznačně definují tři po sobě následující rotace kolem tří souřadných os. Otáčení se realizuje postupně a to v pořadí : rotace kolem osy z, pak rotace kolem osy x a v závěru rotace kolem osy y .

Pootočení kolem jednotlivých os můžeme popsat pomocí tří rotačních matic. Zvolíme následující postup:

Ztotožníme počátky O obou soustav a jejich osy z a z´. Osa x´je pootočena vzhledem k ose x v rovině xy (obrázek 3.3). Otáčením soustavy kolem osy z v matematicky kladném smyslu o úhel ω dosáhneme toho, aby osa x ležela v rovině x´z´. První rotace, která se realizuje pomocí úhlu ω způsobí, že osy soustavy S zaujmou polohu x1, y1, z1 = z.

Obrázek 3.3 Rotace kolem osy z

Získáme soustavu S1. Pootočení o úhel ω lze vyjádřit pomocí rotační matice Z(ω).

(3.5)

ωω−ωω

=ω1000cossin0sincos

)(Z

Rotaci lze popsat

S . (3.6)

ωω−ωω

=

=

zyx

.1000cossin0sincos

zyx

1

1

1

1

V druhém kroku opět ztotožníme počátky O a budeme otáčet kolem osy x1 v matematicky kladném smyslu o úhel ε v rovině y1 z1 (obrázek 3.4) tak, aby došlo ke ztotožnění obou soustav S1 a S2.

- 10 (86) -


Obrázek 3.4 Rotace kolem osy x

Transformační matice X(ε) je

εε−εε=ε

cossin0sincos0001

)(X . (3.7)

Obrázek 3.5 Rotace kolem osy y

V třetím kroku ztotožníme počátky soustav S2 a S´ a budeme otáčet kolem osy y (obrázek 3.5)v matematicky kladném smyslu o úhel ψ v rovině x´z´. Rotační matice Y(ψ) je

Y

(3.8) .cos0sin

010sin0cos

)(

ψψ

ψ−ψ=ψ

Jak je známo lze dvě po sobě následující rotace vyjádřit maticovým součinem, v němž je vlevo matice popisující rotaci časově následující. To znamená, že transformaci ze systému S (x,y,z) do systému S´(x´,y´,z´) lze popsat

S SRSZXYˇ ψεω=ωεψ= )()()( (3.9)

kde Rψεω je maticový součin tří rotačních matic, který umožní transformaci z jedné soustavy do druhé.

Transformace je postupné otáčení transformované soustavy o známé Eu-lerovské úhly takovým postupem, aby se vždy ztotožnily osy původní a nové soustavy. Je třeba dodržet vždy matematicky kladný směr otáčení.

- 11 (86) -


Důležitou vlastností rotačních matic je že jsou ortonormální. Tedy platí

)()()()().( T1T ψ−=ψ=ψ⇒=ψψ − YYYEYY , (3.10)

kde E je jednotková matice. Této skutečnosti lze využít pro zpětnou transfor-maci z S´do S

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) .SYXZSZXYS ′⋅ψ⋅ε⋅ω=′⋅ω⋅ε⋅ψ= − TT1 (3.11)

Při transformaci geodetických systémů dosahují uhly ψ,ε,ω malých hodnot (většinou méně než 5″). V tomto případě lze položit v rovnicích (3.6), (3.7) a (3.8) za cos ω = 1 a sin ω = ω. Obdobně pro ε a ψ. Zanedbáme-li členy druhé-ho řádu (ε . ω = 0, atd.) bude matice rotace

(3.12) .1

11

ε−ψεω−ψ−ω

=ψεωR

- 12 (86) -


3.3 Astronomické souřadnicové soustavy

Astronomické souřadnicové soustavy využíváme pro určování poloh kosmic-kých těles .Pro jejich definici si zvolíme jednotkovou kouli.

Pro určování souřadnic se využívají základní roviny :

– rovina horizontu (obzorníku). Je to rovina kolmá na svislici v místě pozorování.

– rovina rovníku. Je to rovina kolmá na osu rotace Země.

– rovina ekliptiky. Je to rovina dráhy Země kolem Slunce, při čemž se předpokládá, že dráha Země není rušena žádným vlivem.

3.3.1 Horizontální souřadnicová soustava (Sh)

Základní směr horizontální souřadnicové soustavy je směr svislice (tečna k tížnici) v bodě pozorování. Do místa pozorování umístíme střed jednotkové koule O (Obr 3.6). Rovina kolmá na směr svislice protne jednotkovou kouli v horizontu. Horizont rozděluje nebeskou sféru na dvě poloviny, z nichž pou-ze horní je ze stanoviště pozorovatelná. Směr tíže se neustále mění se změnou stanoviště. Proto každému stanovišti přináleží zcela určitý horizont. Tečna k tížnici protne jednotkovou kouli v bodě Z, nazývá se zenit (nadhlavník) a v bodě Na s označením nadir (podnožník). Spojnice Z Na je vertikální přím-ka. Všechny hlavní roviny procházející touto přímkou se nazývají výškové (vertikální) kružnice.

Rovnoběžka s rotační osou Země, procházející pozorovacím stanovištěm, pro-tíná jednotkovou kouli v severním světovém P a jižním světovém P´ pólu.

Výšková kružnice procházející severním a jižním pólem se nazývá místní po-ledník (místní meridián). Rovina proložená touto kružnicí je rovina místního poledníku. Místní poledník protíná horizont: v bodě jižním S a v bodě sever-ním N. Přímka SON se nazývá polední čára.

Rovina kolmá na místní poledník je rovina prvního vertikálu. Průsečnice této roviny s jednotkovou koulí je první vertikál. Rovina prvního vertikálu protíná horizont ve dvou bodech : v západním bodě W a ve východním bodě E.

- 13 (86) -


Obr. 3.6 Horizontální souřadnicová soustava

Úhlová odlehlost vertikální roviny proložené hvězdou H od místního polední-ku, měřená po horizontu záporným směrem, je azimut A. Nabývá hodnot v intervalu od 0° do 360°. Azimut je závislý na čase a s časem roste.

Hlavní body horizontu bod jižní S, bod západní W, bod severní N a bod vý-chodní E mají azimuty 0°, 90°, 180° a 270°.

Druhá horizontální souřadnice se měří po výškové kružnici proložené zvolenou hvězdou H (Obr 3.6). Udává se buď zenitová vzdálenost z , což je úhel měře-ný po výškové kružnici od zenitu ke hvězdě (zenitová vzdálenost nabývá hod-not od 0° do 180°), nebo výška h (je to úhel, který svírá směr ke hvězdě s rovinou horizontu). Nad horizontem je výška kladná, pod horizontem je výš-ka záporná.

Mezi zenitovou vzdáleností z a výškou h platí jednoduchý vztah

h + z = 90 ° . (3.13)

Poloha kosmického tělesa na jednotkové kouli je v soustavě horizontál-ních souřadnic dána azimutem A a zenitovou vzdáleností z (nebo výškou h). Tyto souřadnice se důsledkem rotace Země (denním pohybem) neu-stále mění s časem. Mění se také se změnou stanoviště. Astronomická zeměpisná šířka ϕ je rovna výšce severního pólu P nad horizontem

hP = ϕ

- 14 (86) -


3.3.2 Soustava rovníkových souřadnic (Sr)

Základní směr rovníkových souřadnic je směr rotační osy Země. Rotační osa protne jednotkovou kouli v severním světovém pólu P a jižním světovém pólu P´(Obr. 3.7). Základní rovinou je rovina světového rovníku (rovina kolmá na osu rotace procházející středem jednotkové koule). Výška severního pólu nad horizontem je zeměpisná šířka ϕ stanoviště. Hlavní roviny procházející oběma světovými póly P P´ se nazývají deklinační kružnice.

Obr. 3.7 Soustava rovníková

Pouze jedna deklinační kružnice prochází zenitem pozorovacího stanoviště. Tato deklinační kružnice je současně také výšková kružnice a nazývá se místní poledník (místní meridián). Místní poledník protíná rovinu rovníku v bodě Am. Místní poledník je jeden ze základních směrů při určování polohy nebeského tělesa. Polohu tělesa vzhledem k rovině rovníku určuje deklinace δ. Je to úhlo-vá vzdálenost měřená po deklinační kružnici od rovníku až po směr ke kosmic-kému tělesu.

Deklinace nabývá hodnot-

– 90° ≤ δ ≤ 90°.

Zřejmě platí δP = 90°, δP´ = -90°.

Vedlejší roviny rovnoběžné s rovinou rovníku protínají jednotkovou kouli v kružnicích, které se označují jako deklinační rovnoběžky. Zdánlivý denní

pohyb hvězd (vyvolaný rotací Země) se děje po deklinačních rovnoběžkách. Polohu hvězdy vzhledem k severnímu pólu lze ještě vyjádřit pomocí pólové vzdálenosti p. Pólová vzdálenost je vždy kladná. Je to úhel měřený po dekli-nační kružnici od severního pólu a nabývá hodnot 0° ≤ p ≤ 180°.

- 15 (86) -


Zřejmě platí

δ + p = 90°. (3.14)

Druhou souřadnici rovníkového systému je možno volit dvojím způsobem.

a) za základní rovinu zvolíme místní poledník. Souřadnice je závislá na jeho poloze (a tudíž proměnná v závislosti na čase). Hovoříme o první rovníkové souřadnicové soustavě ( )1

rS ,

b) za základní rovinu zvolíme deklinační rovinu procházející jarním bodem ϒ. Tento fiktivní bod se účastní zdánlivého denního pohybu oblohy. V tomto případě hovoříme o druhé rovníkové souřadnicová soustavě ( )2

rS která do jisté míry není závislá na čase.

3.3.2.1 První rovníková souřadnicová soustava ( )1rS

Základní rovina je rovina místního poledníku, která se otáčí se Zemí (Obr. 3.7). Úhel, který svírá rovina místního poledníku s deklinační rovinou proloženou nebeským tělesem se nazývá hodinový úhel t (z latinského tempus = čas). Ho-dinový úhel se měří od bodu Am (průsečík jižní větve místního poledníku s rovinou rovníku) v matematicky záporném směru a souvisí se zdánlivým denním pohybem oblohy. Hodinový úhel t (stejně jako azimut A) s časem ros-te. Hodinový úhel udává dobu uplynulou od průchodu tělesa místním polední-kem. Proto se udává v časové stupnici.

Poloha kosmického tělesa v první rovníkové souřadnicové soustavě ( )1rS určuje

hodinový úhel t a deklinace δ. Zatímco deklinace nezávisí na rotaci Země a na poloze stanoviště, pak hodinový úhel t je závislý na rotaci Země a na poloze místního poledníku. Během jednoho dne se stále mění. Má proto zásadní vý-znam pro určování času z rotace Země. Proto se udává v hodinové míře.

3.3.2.2 Druhá rovníková souřadnicová soustava ( )2rS

Základní rovina je deklinační rovina procházející jarním bodem ϒ, který se zúčastňuje zdánlivého denního pohybu oblohy. Od této základní roviny se udá-vá rektascenze α (někdy se označuje AR z latinského „ascensio recta“ – pravá vzdálenost). Hodnota rektascenze se udává v časových jednotkách i když se jedná o úhel. K určení polohy kosmického tělesa se využívá již definované deklinace δ (Obr. 3.7)

Pro místní hvězdný čas s platí velmi důležitý vztah

s = α + t . (3.15)

Rektascenze jarního bodu je rovna nule (αϒ = 0h) platí

s = tϒ ,

Místní hvězdný čas s je roven hodinovému úhlu jarního bodu .

Rektascenze udává v matematicky kladném smyslu vzdálenost deklinační rovi-ny proložené zvoleným objektem od jarního bodu ϒ. Každé kosmické těleso má zcela určitou hodnotu rektascenze (v intervalu 0h až 24h).

- 16 (86) -


Rektascenze a deklinace nejsou závislé na poloze stanoviště ani na rotaci Ze-mě. Z těchto důvodů se využívají při sestavování katalogů hvězd, efemerid Slunce, Měsíce a planet. Při této příležitosti je třeba poznamenat, že nezávislost souřadnic druhého rovníkového systému α, δ na čase není úplná, protože dů-sledkem precese a nutace dochází ke změnám v poloze základních rovin (rov-níku a ekliptiky) a tedy i ke změně v poloze jarního bodu vzhledem ke stálicím.

3.3.3 Soustava ekliptikálních souřadnic (Se ).

Základní rovinou soustavy je rovina ekliptiky, která protíná jednotkovou kouli v hlavní kružnici, která se nazývá ekliptika (Obr. 3.8). Hlavní směr je kolmý k rovině ekliptiky a protíná jednotkovou kouli: v severním pólu ekliptiky Pe a v jižním pólu ekliptiky Pé. Hlavní kružnice procházející póly ekliptiky se nazývají šířkové kružnice a jsou kolmé k rovině ekliptiky.

Obr. 3.8 Ekliptikální souřadnice

V ekliptikální souřadnicové soustavě zvolíme šířkovou kružnici procházející jarním bodem za základní při určování polohy kosmického tělesa. Úhel, který svírá nulová šířková kružnice se šířkovou kružnicí proloženou určovaným ob-jektem se nazývá ekliptikální délka λ. Měří se v matematicky kladném směru v intervalu 0°až 360°. Druhá souřadnice je ekliptikální šířka β, což je úhel který svírá směr ke kosmickému tělesu s rovinou ekliptiky. Měří se po šířkové kružnici a nabývá hodnot –90° ≤ β ≤ 90°.

Ekliptikální souřadnice ekliptikální délka a ekliptikální šířka se podobně jako druhý rovníkový souřadnicový systém nemění s časem a nejsou zá-vislé na stanovišti pozorovatele.

Rovník a ekliptika se protínají v rovnodennostních (ekvinokciálních) bo-dech: v bodě jarním ϒ, ve kterém Slunce vystupuje na jaře nad rovník, a v bodě podzimním G, ve kterém Slunce sestupuje na podzim pod rovník. Rovník a ekliptika se protínají pod úhlem ε, který se nazývá sklon ekliptiky.

- 17 (86) -


Deklinační kružnice procházející rovno-dennostními body se nazývá kolur rovno-dennosti. Deklinační kružnice procházející póly ekliptiky protne ekliptiku ve sluno-vratných (solsticiálních) bodech: v bodě letním D, kde Slunce vystupuje nejvýše nad rovník, a v bodě zimním J, kdy sestu-puje nejníže (Obr. 3.9). Vedlejší roviny, které jsou rovnoběžné s rovníkem a prochá-zejí solsticiálními body, se nazývají obrat-níky (obratník Raka a obratník Kozoro-ha )

Obr. 3.9 Roční dráha Slunce

3.4 Dráhové souřadnicové systémy

Polohu tělesa v kosmickém prostoru lze určit pomocí dráhových elementů. Tyto jsou vztaženy k základní rovině která vždy prochází tělesem kolem které-ho zvolené těleso obíhá. To znamená, že dráhy umělých družic Země (UDZ) a Měsíce jsou vztaženy k rovině rovníku (Obr. 3.10).

Obr. 3.10 Elementy dráhy družice

Dráhy planet, komet a jiných těles obíhajících kolem Slunce jsou vztaženy k rovině ekliptiky (Obr. 3.11). Dráhové elementy určují tvar dráhy a polohu tělesa v kosmickém prostoru.. Dráha tělesa protíná základní rovinu ve dvou bodech : ve výstupním uzlu Ω (těleso vystupuje nad základní rovinu) a v sestupném uzlu (těleso sestupuje pod základní rovinu).

Spojnice výstupního a sestupného uzlu se nazývá uzlová přímka. Bod dráhy v kterém se těleso nachází nejblíže k centrálnímu tělesu je pericentrum.

- 18 (86) -


V případě, že centrální těleso je Země (Slunce) se nazývá perigeum (periheli-um) P. Nejvzdálenějším bodem k centrálnímu tělesu je apocentrum A. V případě, že centrálním tělesem je Země (Slunce) tak se tento bod nazývá

apogeum (afélium) A. Spojnice pericentra a apocentra se nazývá přímka apsid (je to vlastně hlavní osa dráhové elipsy). Úhel který svírá uzlová přímka s přímkou apsid se označuje jako vzdálenost perigea (argument perihelu) ω.

Vzdálenost perigea leží v rovině dráhy a měří se od výstupního uzlu Ω. Dosahuje v matematicky kladném smyslu hodnoty od 0° do 360°. Vzdálenost výstupního uzlu Ω od jarního bodu Υ se označuje jako rektascenze vý-stupního uzlu (v případě planet je to délka výstupního uzlu) Ω a udává se v matematicky kladném smyslu v rovině rovníku (eklipti-ky) v intervalu 0° až 360°. Úhel mezi rovinou dráhy tělesa a zá-

kladní rovinou rovníku (ekliptiky) je sklon roviny dráhy i. Měří se od základ-ní roviny v matematicky kladném směru v intervalu 0° až 180°.V případě, že 0°< i < 90° hovoříme o pohybu přímém (prográdním), při i = 90° se pohybu-je těleso po polární dráze a při 90° < i < 180° se jedná o zpětný pohyb (retro-grádní).

Obr. 3.11 Elementy dráhy planety

Pohyb vedlejšího tělesa kolem centrálního tělesa lze popsat dráhovými elemen-ty. Dráhové elementy odpovídají šesti integračním konstantám, které se získají řešením třech diferenciálních rovnic druhého stupně, které představují teorii nerušeného keplerovského pohybu.

V případě, že vedlejší těleso není rušeno žádnou rušivou silou hovoříme o Kep-lerovském pohybu. V tomto případě jsou dráhové elementy v závislosti na čase neproměnné a umožňují určit v libovolném obecném čase jeho prostorovou polohu, popřípadě složky postupné rychlosti.

Dráhové elementy se dělí na vnitřní a na vnější dráhové elementy.

Vnitřní dráhové elementy popisují pohyb tělesa v rovině dráhy. Jedná se o:

• velkou poloosu dráhy a,

• číselnou excentricitu (výstřednost) e,

• čas průchodu perigeem (pericentrem) P -τ0.

Vnější dráhové elementy určují orientaci dráhy v prostoru. Jsou to:

• rektascenze (délka) výstupního uzlu Ω,

• sklon roviny dráhy i,

• argument perigea (pericentra) ω.

- 19 (86) -


Kontrolní otázky

Jaké jsou základní roviny a směry?

Jaké jsou souřadnicové soustavy závislé na stanovišti a na čase?

Jaké jsou souřadnicové soustavy nezávislé na stanovišti a na čase?

Jaké znáte soustavy z hlediska polohy počátku?

Horizontální souřadnicová soustava

Rovníková souřadnicová soustava

Jaká základní rovina spojuje horizontální a 1. rovníkovou soustavu?

Jaké jsou elementy dráhy družice?

Jaké jsou elementy dráhy planety?

Co určují vnitřní a vnější dráhové elementy

Řešení

Pokud se Vám nepodaří odpovědět na kontrolní otázky vraťte se k textu třetí kapitoly.

- 20 (86) -

Zdánlivý pohyb

4 Zdánlivý pohyb

Pozorovatel se zúčastňuje několika pohybů, z nichž některé si uvědomuje jako zdánlivý pohyb kosmických těles. Mezi nejvíce znatelné pohyby patří otáčení Země kolem osy. Kromě rotace kolem osy ještě Země obíhá, v matematicky kladném směru, kolem Slunce.

4.1 Zdánlivý denní pohyb hvězd

Zdánlivý denní pohyb hvězd a všech těles v kosmickém prostoru vyvolává rotace Země, která se otáčí jednou za 24 hodin hvězdného času od západu k východu. Stálice, které z praktických důvodů sestavujeme do souhvězdí, mě-ní vzhledem k terénním předmětům svojí polohu. Vzájemná poloha hvězd se však znatelně nemění. Všechny stálice se v současné době zdánlivě otáčejí ko-lem Polárky (α UMi – Ursa Minor), neboť osa rotace Země v současné době směřuje k této hvězdě. Hvězdy se pohybují po vedlejších kružnicích, které jsou rovnoběžné s rovníkem. Nazývají se deklinační rovnoběžky (Obr. 4.1)

Obr. 4.1 Zdánlivý denní pohyb stálic

Na stanovišti na severní polokouli a přibližně v zeměpisných šířkách, které odpovídají střední Evropě bude hvězda při svém zdánlivém pohybu (Obr. 4.1) procházet místním poledníkem dvakrát za den (v bodech H1 a H2). Tyto oka-mžiky označujeme jako kulminace.

Pól rozděluje kulminace na dvě části. Na oblouku mezi bodem jižním S a pó-lem P nastává tzv. horní kulminace (H1). Těleso dosahuje své maximální vzdálenosti od horizontu. Na oblouku pól P a severní bod N dochází k tzv. dolní kulminaci (H2). V tomto případě má minimální vzdálenost od horizontu.

Jestliže deklinační rovnoběžka protíná horizont, bude kosmické těleso vycházet a zapadat. V našem případě tuto podmínku splňuje hvězda H1, která v bodě K1 vychází a v bodě K2 zapadá.

- 21 (86) -


Část deklinační rovnoběžky nad horizontem K2H1 K1 se nazývá denní oblouk. Druhá část ležící pod horizontem K2H2K1 je noční oblouk. Z obrázku je zřej-mé, že délka nočního a denního oblouku hvězdy je závislá na její vzdálenosti od roviny rovníku, tedy na deklinaci hvězdy a na zeměpisné šířce stanoviště. Jestliže se bude hvězda nacházet na rovníku, bude její denní a noční oblouk stejný. Hvězdy jejichž deklinace δ > (90° - ϕ) vůbec nezapadají – hvězda H3 (Obr. 4.1). Takové hvězdy se označují jako cirkumpolární (obtočnové).

Je zřejmé, že zeměpisná šířka ϕ ovlivňuje také východ a západ hvězdy. Pozo-

ůžeme během roku sledovat asi 4/5 všech

4.2 Zdánlivý roční pohyb Slunce po ekliptice

Země se pohybuje v rovině ekli-

odchýlena od

ekliptiky o úhel 66,5°. Na (Obr. 4.2) je na je

ítá během roku do růz-

ůžeme během roku sledovat asi 4/5 všech

4.2 Zdánlivý roční pohyb Slunce po ekliptice

Země se pohybuje v rovině ekli-

odchýlena od

ekliptiky o úhel 66,5°. Na (Obr. 4.2) je na je

ítá během roku do růz-

rovatel na rovníku (ϕ = 0°) uvidí během roku hvězdy celé oblohy. Zdánlivé dráhy hvězd budou kolmé k rovině horizontu. Všechny hvězdy budou vycházet a zapadat. Denní a noční oblouk bude stejný. Pro stanoviště na severním pólu (ϕ = 90°) bude jižní polovina nebeské sféry pod horizontem. Světový pól bude totožný se zenitem. Zdánlivé dráhy hvězd budou rovnoběžné s rovinou hori-zontu. To znamená, že všechny hvězdy severní nebeské sféry (mají kladnou deklinaci) budou cirkumpolární.

V našich zeměpisných šířkách m

žné s rovinou hori-zontu. To znamená, že všechny hvězdy severní nebeské sféry (mají kladnou deklinaci) budou cirkumpolární.

V našich zeměpisných šířkách mhvězd. Tedy hvězdy s kladnou, ale i zápornou deklinací. Proto je důležité vždy pečlivě zaznamenat znaménko deklinace. hvězd. Tedy hvězdy s kladnou, ale i zápornou deklinací. Proto je důležité vždy pečlivě zaznamenat znaménko deklinace.

ptiky po mírně výstřední elipse (numerická excentricita e = 0,01675) kolem Slunce v matematicky kladném směru. Vzdálenost Země od Slunce se mění od 147,1⋅109 m (průchod periheliem – začátkem ledna) do 152,1⋅109 m (průchod afeliem – koncem června). Střední vzdále-nost Země - Slunce se nazývá astronomická jednotka (AU = 149 597 850 km).

Rovina ekliptiky je

ptiky po mírně výstřední elipse (numerická excentricita e = 0,01675) kolem Slunce v matematicky kladném směru. Vzdálenost Země od Slunce se mění od 147,1⋅109 m (průchod periheliem – začátkem ledna) do 152,1⋅109 m (průchod afeliem – koncem června). Střední vzdále-nost Země - Slunce se nazývá astronomická jednotka (AU = 149 597 850 km).

Rovina ekliptiky jeroviny rovníku o úhel ε - sklon ekliptiky (23,5°). Osa rotace Ze-mě je tedy odkloněna od roviny dnotkové kouli dráha Země kolem

Slunce a průměty Slunce se Země do roviny ekliptiky. Polohy Země jsou zob-razeny ve dnech 21.3 (1), 21.6 (2), 23.9(3), 22.12 (4).

Slunce se důsledkem oběhu Země kolem Slunce prom

roviny rovníku o úhel ε - sklon ekliptiky (23,5°). Osa rotace Ze-mě je tedy odkloněna od roviny dnotkové kouli dráha Země kolem

Slunce a průměty Slunce se Země do roviny ekliptiky. Polohy Země jsou zob-razeny ve dnech 21.3 (1), 21.6 (2), 23.9(3), 22.12 (4).

Slunce se důsledkem oběhu Země kolem Slunce prom

Obr. 4.2 Oběh Země kolem Slunce

ných bodů ekliptiky. Pozorovateli na Zemi se oběh Země jeví jako zdánlivý oběh Slunce kolem Země. Římskými číslicemi I, II, III, IV jsou znázorněny průměty Slunce do roviny ekliptiky. V době jarní rovnodennosti se Slunce promítá do jarního bodu ϒ a jeho deklinace δ = 0°. Mezi jarní a podzimní rovnodenností je Slunce na sever od rovníku. Jakmile se začne deklinace Slun-

ných bodů ekliptiky. Pozorovateli na Zemi se oběh Země jeví jako zdánlivý oběh Slunce kolem Země. Římskými číslicemi I, II, III, IV jsou znázorněny průměty Slunce do roviny ekliptiky. V době jarní rovnodennosti se Slunce promítá do jarního bodu ϒ a jeho deklinace δ = 0°. Mezi jarní a podzimní rovnodenností je Slunce na sever od rovníku. Jakmile se začne deklinace Slun-

- 22 (86) -

Zdánlivý pohyb

ce zvětšovat, pak na severní polokouli se začne denní oblouk prodlužovat. Okolo 21.6 dosáhne Slunce největší deklinace δ = +23° 27´. Na severní polo-kouli je nejdelší den a nejkratší noc. Příslušný bod na ekliptice (II) se nazývá bod letního slunovratu (letní solsticium). Se změnou polohy Slunce vzhledem k rovníku se mění v jednotlivých ročních obdobích délka denního oblouku. Hlavní kružnice (šířkové) procházející póly ekliptiky a ekvinokciálními (sols-ticiálními) body se nazývá ekvinokciální nebo solsticiální kolúr.

Obr. 4.3 Heliocentrická a geocentrická délka

Obvodovou rychlost Země lze určit ze vztahu

v = R . ω, (4.1)

kde ω je úhlová rychlost oběhu Země a R je vzdálenost Země – Slunce (= ra-

st eliptické dráhy značně zkreslena. Ve skutečnosti se

á astronomická délka Země je

Z (4.2)

zatímco geocentrická délka Slunce je ve stejném okamžiku

λ = ω + v + 180 (4.3)

Zatímco se Země pohyb matematicky kladným směrem, je

m

diusvektor). Radiusvektor R není konstantní, proto se musí měnit obvodová rychlost Země. V perihelu P (Obr. 4.3) je rychlost největší (30,27⋅103m s-1), za-tímco v aféliu je minimální (29,27⋅103m s-1). Střední rychlost Země kolem Slunce je 29,6⋅103m s-1

.

Na (Obr. 4.3) je výstřednodráha Země mnoho neliší od kružnice. Velká poloosa elipsy, jak již víme, svírá se směrem na jarní bod ϒ úhel, který se nazývá argument perihelu ω. Úhel mezi velkou poloosou elipsy a průvodičem Slunce-Země se nazývá pravá anomálie v. Heliocentrick

λ = ω +v,

uje kolem Slunce zdánlivý pohyb Slunce od východu k západu. To znamená, že geocentrická délka Slunce s časem roste. Zdánlivý oběh Slunce po ekliptice (360° vzhledem k hvězdám) se ukončí za 365,2564 dnů. Tato doba se nazývá siderický rok.

Doba, která uplyne mezi dvěma po sobě následujícími průchody Slunce jarníbodem, se nazývá tropický rok. Jak se dovíme později (kapitola) jarní bod není stálým bodem, ale pohybuje se vstříc zdánlivému pohybu Slunce. Za rok se jarní bod posune záporným směrem asi o 53,26“. To znamená, že tropický

- 23 (86) -


rok je kratší než rok siderický a to o časový interval,

0142.02564.365˝26.50 = dne, který Slunce potřebuje k proběhnutí této

čátky ročních období udává tabulka (Tabulka 4.1) Tabulka 4.1

6060360 ⋅⋅vzdálenosti. Slunce je Zemi nejblíže přibližně 3.ledna. Polohu Slunce pro za-

Datum δ Začátek ročního období

jaro

22.6. 90° 6h 23 ´ ° 27 léto

23.9. 180° 12h 0° podzim

22,12, -2 ´ 270° 18h 3°27 zima

21.3. 0° 0h 0°

Následkem nerovnoměrného pohybu Země kolem Slunce nejsou roční období

ky

ký a tropický rok.

stejně dlouhá.

Kontrolní otáz

Definujte sideric

Pro které hvězdy je jejich denní oblouk delší než noční oblouk?

Které hvězdy nezapadají na stanovišti o zeměpisné šířce ϕ – jak se nazýva-jí? Jaké kulminace rozlišujeme?

šení Ře

d se Vám nepodaří odpovědět na kontrolní otázky vraťte se k textu ka-Pokupitoly čtyři.

- 24 (86) -

Čas a časové systémy

5 Čas a časové systémy

Čas je jednou ze základních fyzikálních veličin. Čas se využívá v astronomii a ve fyzice k určení časových údajů sledovaných jevů. Je to kupř. okamžik zací-lení na Polárku nebo Slunce při určování astronomického azimutu, určení času průchodu hvězdy místním poledníkem, či okamžik zakrytu hvězdy Měsícem. Závislost jednotlivých jevů na čase je různá. V důsledku rotace Země se zře-telně mění poloha nebeských těles vzhledem k horizontální souřadnicové sou-stavě (Sh), změna v poloze těchto těles vzhledem ke druhé rovníkové soustavě ( )2

rS již tak zřejmá není.

Časové jednotky byly v minulosti odvozeny z pohybů v přírodě, které se pravi-delně opakují. Bylo je možné spolehlivě určit a také měly nějaký vztah k našemu životu. Pro stanovení základního časového úseku - délky dne -se využívalo rotace Země. Až do r. 1965Z byla pro technické a fyzikální účely definována časová jednotka sekunda jako 86 400 díl dne. Tyto tzv. rotační časy byly odvozovány z pozorování hvězd a Slunce.

Pro určení jedné otočky se využívá přirozená rovina na Zemi - rovina místního poledníku. Všechna místa ležící na stejném poledníku budou mít stejný místní čas. Den na těchto místech bude začínat ve stejný okamžik. Rotační časy defi-nujeme pomocí hodinového úhlu zvoleného objektu. K určení doby rotace Ze-mě se v přírodě nabízejí dva přirozené směry. Podle toho zda odvozený čas je vázán na zdánlivý pohyb hvězd (definovaný jarním bodem) nebo směrem na Slunce.

Pro řešení mnohých úloh v družicové a raketové technice, jakož i v řadě jiných oborů, dosahovaná přesnost času odvozená z rotace Země nevyhovovala. Proto se zavedla časová jednotka – atomová sekunda, která je definována fyzikálně a je základem atomového času.

Časy dělíme do dvou skupin. Na:

• časy rotační (odvozené z nerovnoměrné rotace Země),

a) časy sluneční

b) časy hvězdné

• časy definované fyzikálně

Pro měření času je třeba zvolit si časovou stupnici –měřítko a definovat počátek časové stupnice (epochu). Časová stupnice je dána časovou jed-notkou, která odpovídá zvolenému časovému systému

5.1 Juliánské datum a standardní epochy

Základní časový systém v astronomii je realizován tzv. juliánským datem (JD) o juliánské periodě 7980 let. Juliánskou periodu vytvořil Francouz Jose-phus Justus Scalinger (1540 - 1609). Časová jednotka je jeden juliánský den, který se dělí na 24 hodin po 60 minutách. Minuta má 60 sekund. Počátek Juli-ánské periody je epochou JD. Je to 12 h dne 1. ledna 4713 před n.l. (to je 12h

- 25 (86) -


1. ledna r. –4712). Takto zvolený počátek je začátkem astronomického kalen-dáře. Vyšší jednotou než jeden juliánský den je juliánský rok, který obsahuje 365,25 juliánských dnů a juliánské století , které má 36525 juliánských dnů.

Juliánské datum JD pro 0h UT1 pro libovolné datum Gregoriánského kalendáře (d - den, m- měsíc, r - rok) je možné určit podle vzorce

kde pro m=1,2 platí 12,1 +=′−=′ mmrr , pro m = 3,4 .... 12 platí Hranatá závorka označuje celočíselnou část příslušného výrazu.

Juliánské datum je tabelováno v astronomických ročenkách, většinou v efeme-ridě Slunce, nebo v pomocných tabulkách, které umožňují stanovení juliánské-ho data. Juliánské datum se využívá jako argument při publikování různých údajů.

., mmrr =′=′

[ ] ( )[ ] 5.172099416001.30100400

225.365 +++′+

′

−

++′⋅= dmrrrJD

(5.1)

Při praktických výpočtech se často používá tzv.modifikované juliánské da-tum (MJD) , které se vztahuje k UT1= 0h

MJD0 = JD - 2 400 000,5 (5.2)

Soustava modifikovaného juliánského data (MJD) začíná v MJD0 = 0h UT1 dne 17.listopadu 1858, kdy JD = 2 400 000.5. Tento den je epochou MJD0 .

Epocha je přesně definovaný okamžik na zvolené časové stupnici, ke kterému se vztahují udávané elementy (kupř. sklon ekliptiky, precesní a nutační konstanty, délka tropického ruku, efemeridy planet nebo souřad-nice hvězd). V současné době je standardní juliánská epocha J 2000.0 .

Tabulka 5.1 Standardní juliánské epochy v JD, MJD a v datech občanského kalendáře

Rok 1900 1950 2000

JD 2 415 020. 0000 2 433 282.5000 2 451 545.0000

MJD 15 019.5 33 282.0000 51 544.5000

Občanský kalendář

12h

UT1 31.12.1899 0h

UT1 1.1.1950 12h

UT1 1.1.2000 Poznámka Juliánské datum lze využít pro určení dne v týdnu. Dělíme-li juliánské datum sedmi, pak podíl beze zbytku definuje pondělí, zbytek 1 úterý,……až zbytek 6 neděli.

- 26 (86) -


5.2 Rotační časy

Obr. 5.1Rozdíl mezi slunečním a hvězdným dnem

Rotační časy tvořily v minulosti základ časové soustavy. Za předpokladu že rotace Země je rovnoměrná byl odvozen slunečný čas vhodný pro občanskou časomíru a hvězdný čas využívaný v astronomii.

Pohybem Země po ekliptice se mění každý den v prostoru směr se Země ke Slunci. Za jeden den postoupí Země ve své dráze o úhel x < 1°, což činí v časové stupnici méně než 4 časové minuty.

Zenit pozorovacího stanoviště A (Obr. 5.1) určuje polohu místního poledníku. Tento použijeme ke stanovení délky jednoho hvězdného a slunečního dne. Horní kulminace je na obrázku 5.1 znázorněna symbolem |, zatímco dolní kul-minace symbolem ||.

Doba, která uplyne mezi dvěma po sobě následujícími horními kulminacemi jarního bodu definuje délku hvězdného dne. Za tuto dobu postoupí Země na své dráze kolem Slunce o úhel x. Zatímco se ukončil hvězdný den, musí se Země otočit ještě o úhel x, aby se ukončil také sluneční den. O tento rozdíl je sluneční den delší než hvězdný den.

5.2.1 Sluneční čas Základem slunečního času je jeden sluneční den, což je doba mezi dvěmi spodními kulminacemi Slunce. Rozlišujeme pravý a střední sluneční den, podle toho, jestli se použije pro definici slunečního dne skutečné (pravé) Slunce, kte-ré se pohybuje nerovnoměrně v rovině ekliptiky, nebo fiktivní těleso, které se pohybuje rovnoměrně v rovině rovníku. Rozlišujeme pravý a střední sluneční čas.

Pravý greenwichský (světový) sluneční čas Tgr je hodinový úhel tgrv pravé-

ho Slunce zvětšený o 12h

Tvgr = tgr

v + 12h . (5.3)

Jeden pravý sluneční den se dělí na 24 pravých slunečních hodin a dále na pra-vé sluneční minuty a sekundy.

- 27 (86) -


Pro místní pravý sluneční čas platí

Tv = t v + 12h . (5.4)

Platí, že Tv - Tgr

v = λ , (5.5)

kde λ označuje východní zeměpisnou délku.

Pro vytvoření časové stupnice se zavádí střední změna v ekliptikální délce Slunce. Pomocí této střední změny lze definovat fiktivní bod tzv. střední Slun-ce, které se pohybuje rovnoměrně po rovníku. Toto fiktivní těleso použijeme pro definici středního slunečního času. Základní jednotkou je střední slu-neční den, což je doba mezi dvěma po sobě následujícími dolními kulminace-mi středního Slunce. Také tato časová jednotka se dělí na hodiny, minuty a sekundy, ale v tomto případě jsou to jednotky střední sluneční. Střední green-wichský sluneční čas Tgr

m (= světový čas UT) je greenwichský hodinový úhel tgr

m, zvětšený o 12h

Tgrm = tgr

m+ 12h . (5.6)

Místní sluneční čas Tm je definován podobně

Tm = tm + 12h . (5.7)

Také v tomto případě platí

Tm – T = λ . grm (5.8)

Podle rezolucí XVII. a XVIII. Valného shromáždění IAU (1972 a 1982) byla zavedena nová precesní konstanta a opravy z převodu ekvinokcia katalogu FK4 na ekvinokcium katalogu FK5. Střední Slunce, které se pohybuje podle těchto pravidel, se nazývá střední dynamické Slunce. Odvozený čas je střední dy-namický sluneční čas. Rektascenzi středního dynamického Slunce lze vypočítat ze vztahu αm = 18h 41m 50.54841s +8 640 184.812866 Tu + 0.093104 T2

u –6.2 10-6 T3u,

(5.9)

kde Tu je časový interval, který uplynul od epochy J2000.0 do začátku nejbližší greenwichské půlnoci (UT1 = 0h) ve stupnicí času UT1 (du = MJD – 51544.5 ), vyjádřený v juliánském století, neboli Tu = du / 36525.

Rozdíl mezi pravým a středním slunečním časem se během roku neustále mění. Tento rozdíl se nazývá časová rovnice E

E = T .Tgrm

grv − (5.10)

Uvážíme-li ve vztahu (5.10) rovnice (5.4) a (5.6) dostaneme E = tgr

- tgrm = αm - α (5.11)

Rektascenze středního dynamického Slunce je dána vztahem (5.9)

Rovnice času je rovna rozdílu rektascenzí středního dynamického a pravého Slunce. Hodnoty časové rovnice jsou tabelovány v astronomických ročenkách. Časová rovnice E dosahuje čtyřikrát během roku nulové hodnoty a extrémních hodnot ± 16 minut(Obr. 5.2).

- 28 (86) -


Obr. 5.2Průběh časové rovnice během roku

5.2.2 Soustava světových časů

Čas odvozený pomocí rotace Země není rovnoměrný. Střední sluneční čas de-finovaný na středním greenwichském poledníku se označoval jako světový čas SČ – UT (Universal Time). Mezinárodní časová služba BIH (Bureau Internati-onal de l´Heure) zavedla v roce 1956 následující druhy světového času:

UTO (Universal Time) je nerovnoměrný světový čas (SČ) odvozený z astronomických měření, která jsou ovlivňována okamžitou rotací Země.

Současně byl zaveden čas UT1, který se získá převodem času UT0 na střední zemský pól uvážením redukce ∆λ na střední zemský pól

UT1 = UT0 - ∆λ (5.12)

Ve stupnici času UT1, rotuje Země rovnoměrně. Odpovídá skutečné úhlové rychlosti Země. Je proto vhodný pro řešení úloh, které jsou spjaty s okamžitou rotací Země. Vzhledem k rovnoměrné stupnici atomového času není čas UT1 rovnoměrný, protože reálná Země nerotuje rovnoměrně vzhledem ke stupnici rovnoměrného atomového času. Takto získaná časová stupnice byla ještě opravována o korekce modelující nepravidelnou rotaci Země. Takto získaný čas se označoval jako polorovnoměrný rotační čas UT2.

UT2 = UT1 + ∆Ts, (5.13)

kde ∆Ts jsou tzv. sezónní změny v rotaci Země, které jsou závislé na ročním období (rotace Země se na jaře zpomaluje, zatímco na podzim se zrychluje). Tato časová stupnice představovala nejdokonalejší čas, odvozený pomocí rotace Země. Čas UT2 se v současnosti již nepoužívá. Časová stupnice odvozená z rotace Země byla nahrazena v roce 1972 časy fyzikálními. V současnosti se někdy ještě využívá čas UT1R

UT1R = UT1 + opravy (5.14)

Opravy zahrnují korekce z vlivu slapů s periodou kratší než 35 dnů .

Čas odvozený z rotace Země (UT1) svou přesností nevyhovoval tehdejším po-žadavkům. Proto se v roce 1956 definovala délka sekundy z pohybu planet sluneční soustavy. Tato sekunda která byla 31 556 925,9747 (= 24 x 60 x 60 x τ) díl tropického roku, jehož délka se vypočítala k okamžiku 0.ledna 1900 12 hod ET, se označila jako efemeridová sekunda. V roce 1960 se zavedl efeme-ridový čas (ET), který se využíval pro výpočet efemerid Slunce, Měsíce a pla-net až do r.1984. Tento čas měl tu nevýhodu, že pro jeho přesné určení byla

- 29 (86) -


potřebná dosti dlouhá doba pozorování. Proto se hledal takový časový systém, jehož charakteristikou by byla vysoká stálost a pohotové rozšiřování. Takový čas představuje atomový čas (kap.5.3.1). Základní jednotkou atomového času je atomová sekunda, jejíž délka byla odvozena z efemeridové sekundy. Atomová sekunda se řadí mezi konstanty přírody. Definice SI sekundy je nezávislá na zrychlení hodin a na gravitačním potenciálu.

5.2.3 Místní, světový a pásmový čas. Připomeňme si, že všechna místa ležící na stejném poledníku mají stejný míst-ní čas a to jak sluneční (T) tak hvězdný (s). Čas na základním poledníku jsme si označili jako greenwichský světový sluneční čas (Tgr), nebo greenwichský hvězdný čas (S).

Poloha místního poledníku (A) (Obr. 5.3), který leží na východ od základního poledníku (G), je určena astronomickou zeměpisnou délkou λ. Rozdíl země-pisných délek je roven rozdílu místních časů. Je také zřejmé, že místní čas se zvětšuje se zeměpisnou délkou. Místní sluneční čas se využíval v dávné minu-losti, tedy v době kdy nebyly rychlé dopravní prostředky. Každé větší město mělo svůj místní sluneční čas.

Obr. 5.3Vztah mezi místním, světovým časem a astronomickou délkou

V roce 1884 byl zaveden tak zvaný pásmový (zonální) čas, který teoreticky platí ve sférických dvojúhelnících, které jsou omezeny poledníky s délkovými rozdíly 15° = 1h. Zeměkoule byla rozdělena na 24 časových pásem (Obr. 5.4).

Čas v každém pásu je určen místním středním slunečním časem poledníku, který prochází středem pásma. Jako střední poledníky byly zvoleny poledníky se zeměpisnou délkou λ = 0h, 1h,….12h na východ od základního poledníku a λ = -1,…-12h na západ od základního poledníku. Časové pásmo středního poled-níku se zeměpisnou délkou λ = 0h je vymezeno poledníky 7030´ východní a západní délky. V tomto pásmu platí světový čas SČ (UT – Universal Time), který je totožný se západoevropským časem (ZEČ). Pro prvé pásmo platí stře-doevropský čas SEČ, v druhém pásmu je čas východoevropský VEČ atd.

Pro i-té pásmo platí pásmový čas Zi

Zi = Tgrm + i h = Tm - λ + ih (5.15)

- 30 (86) -


Obr. 5.4 Hranice časových pásem

Hranice pásem jsou z praktických důvodů voleny tak, aby sledovaly státní hra-nice.

Ve 12. časovém pásmu směrem na východ od základního poledníku je pásmo-vý čas o 12h větší než světový čas. Jestliže se k tomuto pásmu přesuneme zá-padním směrem bude čas o 12h menší než světový čas. Při přechodu poledníku 180° je třeba příslušným způsobem datum upravit. Při přechodu východním směrem je třeba ponechat dva dny se stejným datem, při přechodu západním směrem je třeba jeden den vynechat.

Změna data se ve skutečnosti realizuje na tzv. datové čáře, která se na někte-rých místech vzdaluje od poledníku 180° (Obr. 5.4). V letních měsících se v mnoha státech zavádí tzv. letní čas.

Poznámka Letní čas byl zaveden v Anglii 1925, v Itálii a Francii 1966, 1967, v Německu a Dánsku 1980. V Německu byl dokonce zaváděn čas „vrcholného léta“ (SEČ + 2 hodiny).

V České republice se označuje SELČ a platí

SELČ = SEČ + 1h. (5.16)

Letní čas se zavádí ve 2h SEČ v poslední neděli v březnu (jsou 3h SELČ) a končí poslední nedělí v říjnu ve 3h SELČ (kdy jsou 2h SEČ).

5.2.4

νts =

Hvězdný čas Hvězdný čas je hodinový úhel jarního bodu

(5.17)

Podle polohy výchozího poledníku dělíme hvězdné časy na

• Greenwichský (světový) hvězdný čas a

• místní hvězdný čas.

Pravý greenwichský (světový) hvězdný čas S, je vztažen k základnímu green-wichskému poledníku a je definován polohou pravého jarního bodu. Obdobně

- 31 (86) -


střední greenwichský(světový) hvězdný čas Sm je definován polohou středního

jarního bodu.

Později poznáme, že jarní bod se důsledkem precese a nutace pohybuje. Rov-noměrný pohyb jarního bodu v matematicky záporném smyslu o 3,072s (50,3˝) za rok způsobuje precese. Vliv nutace je periodický.

Místní hvězdný čas s je vztažen k místnímu poledníku.

Současně platí vztah λ=− Ss (5.18)

kde λ označuje východní zeměpisnou délku.

Rozdíl mezi pravým a středním hvězdným časem dosahuje maximálně ±1.2s a nazývá se nutace v rektascenzi nebo rovnodennostní rovnice Æ. Tato se mění v periodě asi 14 dnů a je tabelována ve hvězdářských ročenkách. Její hodnota je

Æ = (∆Ψ + dΨ) cos ε, (5.19)

kde ∆Ψ je dlouhoperiodická část nutace v délce, dΨ je krátkoperiodická část nutace v délce, ε je sklon ekliptiky s rovníkem. Od 1.1.1997 se používá pro výpočet nutace v rektascenzi vztahu

Æ´ = Æ + 0.00264“ sin Ώ + 0.000063 sin 2 Ώ, (5.20)

kde Ω je střední ekliptikální délka výstupního uzlu Měsíce. Greenwichský hvězdný čas v okamžiku UT1 = 0h (pro greenwichskou půlnoc)

budeme nazývat greenwichský pravý (střední) hvězdný čas S0 (S0m). Střední greenwichský hvězdný čas S0m lze vypočítat ze vztahu

S0m=6h 41m 50.54841s + 236.555367 908 [ s/d ]⋅du +0.093104⋅ Tu2–6.2⋅10-6 Tu

3 (5.21)

kde du, Tu je časový interval ve stupnici UT1 vyjádřený buď ve dnech du, nebo v juliánských stoletích Tu, který uplynul od epochy J2000.0 do začátku nejbliž-ší greenwichské půlnoci (UT1=0h). V rovnici (5.21)je v druhém členu vyjádřena změna času S0m pomocí sekund za den [s/d]. Lze ji také napsat ve tvaru 8 640 184,811 286 6 Tu. Přejdeme-li k bezrozměrnému tvaru, kdy změnu vyjádříme ve stejných jednotkách, dostaneme vztah pro výpočet středního greenwichské-ho času v čase UT1

Sm = S0m + UT1(1 + µ) , (5.22)

kde µ = 0.00273 790935.

Pravý greenwichský hvězdný čas pro světovou půlnoc se získá uvážením nuta-ce v rektascenzi

S0 = S0m + Æ . (5.23)

Greenwichský hvězdný čas v okamžiku UT1 se získá z rovnice

S = S0 + UT1 .(1 + µ) + ∆Æ . (5.24)

Hodnota ∆Æ vyjadřuje vliv změny nutace v rektascenzi za interval UT1.

- 32 (86) -


Hodnotu koeficientu µ (236.555367908 / 86400), pro převod časového interva-lu ve středním slunečním čase na interval ve hvězdném čase, lze také odvodit pomocí délky tropického roku (5.29). Jak se dovíme později, má tropický rok τ = 365.2421 8729 středních dnů. Za tuto dobu se Země vzhledem ke směru na jarní bod otočí o jednu otočku více, tedy 366.2421 8729 krát. Hodnota koefici-entu je

( ) 79093500273.111 =+τ

=µ+τ

(5.25)

Rovnici (5.24) lze současně použít pro převod greenwichského hvězdného času S na UT1

UT1 = (S - S0 ) / (1- ν) – ∆Æ´/(1+µ), (5.26)

kde ν . 04336700273.01

=µ+

µ=

5.2.5

5.2.6

Obr. 5.5 Vztah mezi zeměpisnou

délkou, hodinovým úhlem a rekta-scenzi

Rozdíl místního hvězdného času (s) a green-wichského hvězdného času (S) určuje hodnotu astronomické zeměpisné délky

λ = s – S = sm – Sm , (5.27)

která je, na základě konvence od roku 1984, počítána na východ od základního poledníku kladně.

Vztah mezi slunečním a hvězdným časem Hvězdný čas je svázán s rektascenzí středního Slunce αm(5.9). Pro libovolný okamžik středního greenwichského času Tgr

m můžeme vypočítat greenwichský hvězdný čas S, jestliže dosadíme do rovnice (3.15) s = α + t za hodinový úhel ze vztahu (5.6)

tgrm= Tgr

m- 12h. (Tgrm ≡ UT1).

Dostaneme

S = αm +(UT1 – 12h) ⋅ (1+ µ) + Æ′ (5.28)

kde Æ´ je rozšířený vliv nutace v rektascenzi (5.18).

Definice roků Z astronomických pozorování lze odvodit vyšší jednotku než je jeden den. Tato jednotka se nazývá jeden rok.

Siderický (hvězdný) rok je doba , kterou potřebuje střední dynamické Slunce k opsání celého kruhu, tj. 360°. Siderický rok začíná ve stejnou dobu pro všechna místa na Zemi a obsahuje 365.25636068 středních slunečních dnů (v čase UT1 nebo ve stupnici terestrického dynamického času TDT (TT) (viz. kap.5.3.3)). Délka siderického roku se mění asi o 0.01s za století.

- 33 (86) -


V astronomických výpočtech se používá tzv. tropický rok (střední sluneční). Tropický rok je definován jako doba mezi dvěma sousedními průchody střed-ního (dynamického) Slunce středním jarním bodem ϒm. Délka tropického roku τ je podle Newcomba

τ = 365,24219 879 – 0,00000 614 T, (5.29)

kde T vyjadřuje časový interval od roku 1900 vyjádřený v juliánských stoletích (36525 dnů). Délku tropického roku lze vypočítat z rovnice pro výpočet rekta-scenze Slunce (5.9). Víme, že se rektascenze Slunce změní za jeden rok o 24 hodin. Platí

24h = ∆αm = 8640184.812866s [ (τ) /36525] +0.093104s [ (τ)/36525]2 (5.30)

kde (τ) značí hledanou délku tropického roku τ. V rotačním čase UT1 má tro-pický rok 365,24218 729 slunečních dnů. Délka tropického roku se mění asi o –0.22s za století. Tropický rok začíná ve stejnou dobu pro všechna místa na Zemi.

Rozdíl mezi siderickým a tropickým rokem vzniká jako důsledek pohybu jar-ního bodu proti zdánlivému pohybu Slunce. V důsledku precese se Slunce po-sune záporným směrem asi o 50.26“ za rok. Tropický rok je kratší o 0,0143 dne než siderický rok. Je to právě ten časový interval, který Slunce potřebuje k překonání pohybu jarního bodu vyvolaného precesí.

.dne0142.06060360

2564.365˝26.50 =⋅⋅

5.3

Století definované pomocí předchozích dvou uvedených roků nemá celý počet středních slunečních dnů. Pro potřeby občanského kalendáře se zavedl julián-ský rok, který má 365.25 slunečních dnů. Juliánské století má 36525 sluneč-ních dnů.

Časy definované fyzikálně

Dříve než byl zvolen fyzikální čas pro definici sekundy byl v roce 1960 zave-den tzv.efemeridový čas (ET). Byl odvozen z planetárního pohybu a odpovídal nezávislým časovým proměnným v teorii nebeské mechaniky.

Efemeridový čas se počítá od okamžiku blízko začátku kalendářního ro-ku 1900, kdy geometrická střední délka Slunce byla 279°41´48,˝04. V tomto okamžiku bylo přesně 0.ledna 12h r.1900.

Efemeridová sekunda jako základní neproměnná časová jednotka byla přijata Mezinárodní komisí pro míry a váhy v roce 1956. Délka efemeridové sekundy se vypočítala z délky tropického roku v epoše 1900.0 Vztah mezi efemerido-vým a polorovnoměrným rotačním časem UT2 se realizoval rovnicí

ET = UT2 + ∆T(a), (5.31)

kde korekce ∆T(a) se určovala z tzv. fluktuace v délce Měsíce (je to rozdíl me-zi pozorovanou a vypočítanou ekliptikální délkou Měsíce podle Brownovy teorie). Byl získán „rovnoměrnější“ čas než UT1. Přesný efemeridový čas bylo možné určit až po poměrné dlouhé době pozorování. Z těchto důvodů se hleda-

- 34 (86) -


la lepší definice sekundy. Efemeridový čas byl krátce využíván i v občanském životě, ale zavedením atomového času jeho význam poklesl. Až do r.1984 se využíval jako základní argument efemerid Slunce, planet a Měsíce.

5.3.1 Atomový čas Následníkem času efemeridového je atomový čas, který se řadí k tzv. časům fyzikálním. Takto odvozená časová škála je rovnoměrnější než časová škála odvozená z rotace Země. Délka atomové sekundy se zvolila tak, aby se rovnala efemeridové sekundě a tím vlastně také astronomické sekundě na začátku roku 1900. Astronomická sekunda je v současnosti důsledkem změn v rotaci Země delší, než atomová sekunda. Z toho plyne divergence atomového času vzhle-dem času odvozenému z rotace Země. Počáteční relativní přesnost škály ato-mového času byla 10-12.

V souladu s Mezinárodní soustavou měrových jednotek SI je atomová sekunda určena dobou 9 192 631 770 kmitů, které přísluší atomu cesia 133 při přechodu mezi hladinami F = 4, M = 0 a F = 3, M = 0 základního stavu atomu cesia bez vlivu vnějších magnetických polí (XIII. Konferen-ce Mezinárodního komitétu pro váhy a míry, Paříž 1967).

Na této definici je založena škála atomového času. Počet period pro definici sekundy byl zvolen tak,aby délka atomové sekundy byla totožná s délkou efe-meridové sekundy platné ve zvoleném okamžiku. Vyšší jednotkou atomového času je den o 24 hodinách. Hodina má 86400satomových sekund. Takto vy-tvořený atomový čas umožňuje velmi rychle časovou stupnici nejenom vytvá-řet, ale také rozšiřovat. Toto časové stupnice vytvořené astronomickými meto-dami neumožňovaly. Stupnice atomového času se realizuje sítí laboratoří, které jsou vybaveny atomovými etalony - hodinami. Pochopitelně i vývoj atomového času má svou historii. V současné době se používá soustava atomového času A3 (nový).

Soustava atomového času A 3 (nový) byla realizována od 1.ledna 1966 Ato-mová sekunda se vytvářela jako vážený aritmetický průměr z deseti atomových hodin zapojených v systému Mezinárodní časové služby BIH (Bureau Interna-tional de l´Heure). Jediná stanice Boulder v USA měla váhu 5, všechny další stanice měly váhu 1. Časová soustava začínala v 0h 1. ledna 1966, kdy

UT2 = A 3. Na základě rozhodnutí XIV. Mezinárodní konference pro míry a váhy byl v roce 1975 systém atomového času A 3 (nový) označen jako systém meziná-rodního atomového času TAI (International Atomic Time). Koncem 70-tých let bylo zapojeno v tomto mezinárodním programu 30 stanic (včetně Ústavu radiotechniky a elektroniky – ÚRE v Praze). Každá j-tá laboratoř vytváří ato-mový čas TA(j) a jemu odpovídající koordinovaný čas UTC(j). Rozdíly TAI – UTC jsou získávány elektronicky. Jsou řízeny tak, aby rozdíl TAI – UTC od-povídal celému počtu sekund. Jednotlivé časy jsou porovnávány pomocí tele-vizních signálů, geostacionárních družic, pomocí přenosných atomových hodin a v poslední době pomocí systému GPS. Elektronickou cestou jsou údaje pře-dávány do BIH v Paříži, která výsledky shromažďuje a zpracovává. Váženým aritmetickým průměrem se získává čas TAI. V roce 1997 bylo v mezinárodní spolupráci zapojeno 50 laboratoří s 282 různými hodinami (pracovaly na prin-

- 35 (86) -


cipu vodíkového maseru nebo cesiovém standardu). Relativní přesnost stability frekvence času TAI je asi 10-14. Lze proto TAI považovat ze rovnoměrný časo-vý normál. Čas TAI je základním časem pro astrometrii a kosmickou geodézii.

Poznámka: Od 1.ledna 1988 přešla Mezinárodní časová služba BIH do kompe-tence Mezinárodního úřadu pro váhy a míry BIMP (Bureau International des Poids et Mesures). Údaje o TAI jsou od 1.března 1988 vydávány v cirkulářích T1 BIMP.

5.3.2 Koordinovaná časová soustava Z teoretických a provozních důvodů je čas TAI nevhodný jak v občanském životě, tak při praktickém měření, které se realizuje na nerovnoměrně se otáče-jící Zemi. Z času TAI se odvozuje tzv. koordinovaný (řízený) světový čas UTC (Universal Time Coordinated). Tento čas se šíří pomocí časových radio-vých signálů a plní funkci občanského času. V občanském životě se zavádějí časová pásma koordinovaného času stejně, jako jsme použili ve slunečních časech. Veškeré dění na Zemi je vázáno na nepravidelnou rotaci, kterou repre-zentuje čas UT1. Je proto třeba vázat čas UTC na čas UT1. Vzájemné vazby časů jsou zřejmé z (Obr. 5.6). Při vytváření času UTC platí následující pod-mínky:

• sekunda UTC je rovna sekundě času TAI. To znamená, že chod UTC je vzhledem k času TAI nulový. Z toho plyne, že čas UTC je časem rovno-měrným.

• Rozdíl TAI – UTC = n, kde n je od 1.1.1972 rovno počtu celých kladných nebo záporných sekund. Změna hodnoty n závisí na podmínce, že rozdíl DUT1 = UT1 – UTC < 0.9s.

Změna času UTC se děje skokem o ± 1s podle potřeby v poslední sekundě 30. června nebo 31. prosince. V případě, že se DUT1 → +0.9s bude změna +1s, zatímco v případě DUT1 → -0.9s bude změna –1s. Změny v rotaci Země se nedají přesně předvídat. Nelze proto vložení (vypuštění) sekundy doposud přesně teoreticky modelovat. Hodnota DUT1 = UT1 - UTC se určuje astrono-micko geodetickým měřením metodami kosmické geodézie (do r. 1984 optic-kou astrometrií).

ěna –1s. Změny v rotaci Země se nedají přesně předvídat. Nelze proto vložení (vypuštění) sekundy doposud přesně teoreticky modelovat. Hodnota DUT1 = UT1 - UTC se určuje astrono-micko geodetickým měřením metodami kosmické geodézie (do r. 1984 optic-kou astrometrií).

Příklad rozdílů DUT1 = UT1 - UTC je uveden pro jednotlivá data v tabulce (Tabulka 5.2). Je zde také zřejmý skok v čase UTC o jednu sekundu. Příklad rozdílů DUT1 = UT1 - UTC je uveden pro jednotlivá data v tabulce (Tabulka 5.2). Je zde také zřejmý skok v čase UTC o jednu sekundu.

Tabulka 5.2 Rozdíly DUT1 a UT1 - TAI Tabulka 5.2 Rozdíly DUT1 a UT1 - TAI

- 36 (86) -

Platí že Platí že

1998 - 1999 1998 - 1999

0h UTC 0MJD MJD DUT1=UT1-UTC DUT1=UT1-UTC UT1 - TAI UT1 - TAI h UTC

17.12. 51164 - .268319 -31.268319

22.12. 51169 -. 273300 -31.273300

27.12. 51174 - .277992 -31.277992

1.1 51179 .717524 -31.282476

6.1. 51184 .713678 -31.286322


( ) ( ) =−=−−− UTCTAITAIUTUTCUT 11 33s pro rok 2006.

Stejným způsobem jsou elektronicky vytvářeny k času TA(j) časy UTC(j). Jsou řízeny tak, aby rozdíly byly rovny celému počtu sekund TAI - UTC.

Na základě doporučení Mezinárodní astronomické unie se zavedla dy-namická stupnice času jako argument pro výpočet efemerid Slunce, Mě-síce a planet sluneční soustavy.V roce 1976 a 1979 se definovaly dva dy-namické časy, které jsou vázány na atomový čas. Jsou to :

• terestrický dynamický čas,

• barycentrický dynamický čas.

5.3.3

D

5.3.4 5.3.4

Terestrický dynamický čas Terestrický dynamický čas TDT (Terrestrial Dynamical Time ) se používá od 1.ledna roku 1984 jako základní argument při výpočtu efemerid Slunce, planet sluneční soustavy a Měsíce. Terestrický dynamický čas nahradil čas efemeridový. Terestrický dynamický čas má délku sekundy shodnou s časem TAI. Což znamená, že nemá vzhledem k času TAI periodické variace. Obě časové stupnice jsou vzájemně posunuté. V době zavedení času TDT totiž platilo

TDT = TAI + 32,s184 . (5.32)

Čas TDT není závislý, na rozdíl od času UTC, na žádné teorii. Shoduje se prakticky s efemeridovým časem. Terestrický dynamický čas se určuje z času UT1 uvážením korekce ∆T(a)

TDT = UT1 + ∆T(a) = (UTC + DUT1) + ∆T(a), (5.33)

kde DUT1 je korekce koordinovaného času na rotační čas.

Rozdíly UT1 a ∆T(a) jsou ještě s dalšími veličinami publikovány Meziná-rodní službou rotace Země (IERS – International Earth Rotation Service) v Bulletinu A (týdeník) a v Bulletinu B (měsíčník). Od roku 1988 jsou tyto hodnoty publikovány také Mezinárodním úřadem pro míry a váhy BIMP (Bu-reua International des Poinds at Mesures). Zde je uváděna hodnota UT1R.

dalšími veličinami publikovány Meziná-rodní službou rotace Země (IERS – International Earth Rotation Service) v Bulletinu A (týdeník) a v Bulletinu B (měsíčník). Od roku 1988 jsou tyto hodnoty publikovány také Mezinárodním úřadem pro míry a váhy BIMP (Bu-reua International des Poinds at Mesures). Zde je uváděna hodnota UT1R.

Poznámky: Poznámky: 1) Od roku 1995 se pro označení terestrického dynamického času užívá zkratka TT (Terrestrial Time). 1) Od roku 1995 se pro označení terestrického dynamického času užívá zkratka TT (Terrestrial Time).

2) Terestrický čas se využívá i pro interpolaci zdánlivých poloh hvězd, protože polohy hvězd jsou v některých katalozích tabelovány v časové stupnici TDT(TT).

2) Terestrický čas se využívá i pro interpolaci zdánlivých poloh hvězd, protože polohy hvězd jsou v některých katalozích tabelovány v časové stupnici TDT(TT).

Barycentrický dynamický čas Barycentrický dynamický čas Časová stupnice používaná pro dynamické teorie vztažené k barycentru (těžiš-ti) sluneční soustavy se nazývá barycentrický dynamický čas TDBČasová stupnice používaná pro dynamické teorie vztažené k barycentru (těžiš-ti) sluneční soustavy se nazývá barycentrický dynamický čas TDB (Time Dynamical Barycentric). Barycentrický dynamický čas se liší od terestrického dynamického času pouze o geocentrické a topocentrické variace, které jsou vyvolávány relativistickými efekty. Barycentrický dynamický čas je čas, který

- 37 (86) -


je jednotný pro celou Zemi a je vytvářen z času TDT pomocí čtyřdimenzionální časoprostorové transformace.

Vzájemné srovnání atomového času TAI, koordinovaného času UTC , světo-vého času UT1, dynamického terestrického času TDT, barycenrického času TDB a času GPST (čas používaný v družicovém navigačním systému GPS je na (Obr. 5.6), kde index j značí j-tou časovou stanici [24]

Obr. 5.6 Vztah mezi TAI, UTC, UT1, TDT, TDB a GPST

Poznámka: Při řešení praktických úloh geodetické astronomie je rozdíl mezi TDB a TT zanedbatelný. V české literatuře jsou tyto časy nahrazovány jediným pojmem dynamický čas DČ = UT1 + ∆T(a).

5.3.5 Čas GPS V družicovém navigačním systému GPS se využívá družicový čas GPS (GPST), který je definován vztahem platným v době zpuštění systému

GPST= TAI - 19s (5.34)

Čas GPST byl v tzv. standardní epoše GPS roven času UTC. Standardní epocha je okamžik spuštění systému GPS (6.leden 1980).

Kontrolní otázky

Jak se dělí časy rotační?

Co je epocha?

Jaká je definice slunečního dne?

Na co se používá rovnice času?

Jaká je definice hvězdného dně?

Je sluneční den delší než hvězdný a proč?

Objasněte pojmy místní, světový a pásmový čas?

Jaký je vztah mezi hvězdným a slunečním časem?

Vysvětlete rozdíl mezi tropickým a siderickým rokem.

Jak je odvozena délka atomové sekundy?

- 38 (86) -


Uveďte vzorce pro výpočet místního hvězdného času, středního slunečního času a času UT1 z času UTC.

K čemu se používá čas TDT a jak se určí?

Co je čas GPST?

Řešení

Správné odpovědi na kontrolní otázky, pokud je nevíte, najdete při opětovném prostudování 5. kapitoly

- 39 (86) -


6 Transformace souřadnic a jejich diferenci-ální změny

Při řešení úloh geodetické astronomie lze používat různé druhy souřadnic. Čas-to se vyskytuje úloha převádět („transformovat“) souřadnice kosmického tělesa z jedné souřadnicové soustavy do druhé. Nejčastěji se řeší vzájemné převody mezi systémem pevně spojeným se Zemí (horizontální souřadnice Sh) a systé-mem, který je neměnný v prostoru (rovníkové souřadnice S ). Méně časté jsou již transformace mezi rovníkovými

časté jsou již transformace mezi rovníkovými

2r

( )2rS a ekliptikálními (Se) souřadnicemi.

Transformaci lze řešit dvěmi způsoby, buď

• klasickým způsobem, kdy se využívají věty platné ve sférickém trojúhelníku, který vznikne na jednotkové kouli spojením příslušných souřadnicových sys-témů, nebo

• natočením zvolené pravotočivé prostorové soustavy kolem příslušné osy tak, aby se tato ztotožnila s danou pravotočivou prostorovou soustavou.

Při klasickém řešení transformace dáme na levou stranu systému rovnic ne-známé – hledané hodnoty, zatímco na pravé straně rovnic jsou hodnoty dané.

Při druhém způsobu transformací budeme využívat souřadnice pravotočivé prostorové soustavy. Je třeba uvážit, že horizontální a 1. rovníkový systém je levotočivý. Při této transformaci se polohové vektory považují za jednotkové.

6.1

6.1.1

)

Transformace horizontálních a rovníkových sou-řadnic

Oba systémy souřadnic jsou vzájemně na sobě závislé.

Klasický způsob transformace

Vzájemné transformační vztahy lze odvodit pomocí nautického trojúhelníku, který vznikne na jednotkové kouli spojením horizontálního ( a 1. rovníko-vého sytému

hS( )1

rS (Obr . 6.1). Transformační vztahy mezi těmito systémy získá-me pomocí vět sférické trigonometrie. Jsou-li dány rovníkové souřadnice hvězdy H (α, δ), zeměpisná šířka stanoviště ϕ a místní hvězdný čas s, pro který hledáme její azimut A a zenitovou vzdálenost z použijeme pro řešení jako vý-chozí stranu ZH a přilehlý úhel t.

- 40 (86) -

Transformace souřadnic a jejich diferenciální změny

Obr . 6.1 Transformace mezi ( )hS a ( )1rS systémem

tcoscoscossinsinzcos)C(tcossincoscossinAcoszsin)SC(

tsincosAsinzsin)S(

ϕδ+ϕδ=ϕδ+ϕδ−=

δ=

(6.1)

Hodnotu azimutu získáme dělením (S) : (SC) věty z rovnic (6.1)

ϕδ−ϕ=

costgtcossintsinÁtg (6.2)

Azimut hvězdy může ležet v intervalu 0° ≤ A ≤ 360°. Kvadrant azimutu A´ určíme podle znamének čitatele a jmenovatele .

Zenitovou vzdálenost vypočítáme přímo pomocí kosinové věty vztahu (6.1). V případě, že zenitová vzdálenost dosahuje malé hodnoty, lze její hodnotu určit dělením (S):(C) rovnic (6.1). V tomto případě, musíme již znát hodnotu azimu-tu.

Asin)sintgtcos(costsinztg

ϕδ+ϕ= (6.3)

Také hodnotu paralaktického úhlu q získáme řešením nautického trojúhelníka

tcossincoscossinqcoszsin)SC(tsinsinqsinzsin)S(

δϕ−δϕ=ϕ=

.

Dělením (S):(SC) dostaneme

tcossincostgtsinqtg

δ−δϕ= (6.4)

Kvadrant paralaktického úhlu určíme stejným způsobem jako u azimutu.

Při řešení obrácené úlohy, kdy hledáme rovníkové souřadnice tělesa H (α, δ) a známe horizontální souřadnice kosmického tělesa H (A,z), zeměpisné souřad-nice stanoviště ϕ, λ a čas s určení horizontálních souřadnic, pak vyjdeme ze

- 41 (86) -


strany HP a úhlu t v nautickém trojúhelníku. Hodnotu hodinového úhlu opět získáme dělením

AcossincoszgcotAsinttg

ϕ+ϕ= (6.5)

Hodnotu deklinace δ získáme buď pomocí kosinové věty z rovnice (6.1), nebo dělením kosinové věty (C) větou sinovou (S)

Asintsin)Acoscossinzg(cottg ϕ−ϕ

=δ (6.6)

Hodnotu paralaktického úhlu můžeme vypočítat pomocí vztahů

AcoszcoszsintgAsinqtg

+ϕ= (6.7)

Kvadranty výsledných hodnot hodinového úhlu t a hodnoty paralaktického úhlu q určíme obdobným způsobem jako při určení kvadrantu azimutu.

6.1.2 Transformace pomocí rotací

Při tomto způsobu transformací je třeba nejdříve vypočítat z příslušných sféric-kých souřadnic souřadnice pravotočivé prostorové soustavy. Je třeba uvážit, že horizontální a 1. rovníkový systém je levotočivý. Při této transformaci se polo-hové vektory považují za jednotkové. Vzorce (6.8) umožňují transformaci polo-hy kosmického tělesa H z příslušné sférické souřadnicové soustavy do pravoto-čivé pravoúhlé souřadnicové soustavy.

Pro transformaci horizontálních souřadnic (Sh) do prostorové pravotočivé pra-voúhlé soustavy si orientujeme pravotočivou pravoúhlou soustavu tak, aby osa +X směřovala do jižního bodu S a osa +Z do zenitu Z a osa +Y do východního bodu.

Pro transformaci 1. rovníkového systému ( )1rS do pravotočivé pravoúhlé sou-

stavy orientujeme osu +X tak, aby procházela bodem Am (průsečík místního poledníku s rovníkem), osa +Z severním pólem P a osa +Y musí směřovat do východního bodu E. Vztah mezi sférickými souřadnicemi 1. rovníkového sys-tému a pravoúhlými souřadnicemi téhož systému je dán vztahy

( ) ( )

( ) .zarccoszzarcsinh,arctgA

,zcos

AsinzsinAcoszsin

hsinAsinhcos

Acoshcosz,y,x

zyx

hhhxy

A360,h

)A360(,h

h 0

0

==−=

−=

−==

=

−

−

S

(6.8)

Pro transformaci. 1. rovníkového systému ( )1rS do pravotočivé pravoúhlé sou-

stavy orientujeme osu +X tak, aby procházela bodem Am (průsečík místního poledníku s rovníkem), osa +Z severním pólem P a osa +Y musí směřovat do

- 42 (86) -


východního bodu E. Vztah mezi sférickými souřadnicemi 1. rovníkového sys-tému a pravoúhlými souřadnicemi téhož systému je

( )

( ) ( )

.zarcsin,xyarctgt

,sin

tsincostcoscos

z,y,xzyx

S

1r1

r

0

0

SS

Tt360,

t360,

1r

=δ

−=

δδ−

δ==

= −δ

−δ (6.9)

Transform ce pomocí rotací lze realizovat otáčením pravoúhlých souřadnic ,(6.8)

a)( hS ( )1

rS (6.9)a ( )2rS (6.10).

Obr. 6.2 Transformace mezi pravoúhlými souřadnicovými soustavami

. 2r

1rh S,S,S

Podle Obr. 6.2je zřejmé, že ze soustavy Sr1 přejdeme do soustavy Sr

2 pootoče-ním o úhel s kolem osy zr

1 = zr2 v matematicky záporném smyslu. Úhel s je

úhel mezi deklinačními rovinami procházejícími místním poledníkem a jarním bodem ϒ. Mezi rovníkovými systémy platí vztahy

1rS = Z (s) S , = Z (-s)S , 2

r2rS 1

r (6.10)

kde transformační matice Z (s) je definována výrazem

( )

−=

1000cossin0sincos

ssss

sZ . (6.11)

Ze soustavy S přejdeme do soustavy S1r h pootočením soustavy kolem osy yh =

yr1 (Obr. 6.2) o úhel Ψ = (90° - ϕ) v matematicky kladném smyslu. Transfor-

maci lze vyjádřit vztahem

Sh = Y (90° - ϕ ) .S , S = Y(ϕ - 90° ) S1r

1r h , (6.12)

kde transformační matice kolem osy Y je dána vztahem

( )

−=

ψψ

ψψψ

cos0sin010

sin0cosY (6.13)

- 43 (86) -


S využitím vztahů (6.11) a (6.13) snadno napíšeme transformační vztahy mezi 2. rovníkovým souřadnicovým systémem (S ) a horizontálním souřadnicovým systémem (S

2r

h)

Sh = Y (90° - ϕ ) Z (s) S = Z (-s) Y (ϕ - 90° ) S2r

2rS h , (6.14)

kde transformační matice Y a Z jsou opět dány vztahy ((6.11) a ((6.13).

6.2

6.2.1

2

6.2.1

Transformace ekliptikálních a rovníkových sou-řadnic Transformace ekliptikálních a rovníkových sou-řadnic

Klasický způsob transformace Klasický způsob transformace

Transformaci sférických rovníkových a ekliptikálních souřadnic realizujeme ře-šením sférického trojúhelníka, který vznikne, proložíme-li deklinační a šířko-vou rovinu zvoleným tělesem (Obr. 6.3). Úhlová vzdálenost mezi světovým pólem P a pólem ekliptiky Pe je sklon ekliptiky ε. Hlavní rovina procházející pólem ekli-ptiky Pe a pólem P je kolmá k hlavním rovinám, které procházejí pólem ekliptiky Pe a jarním bodem ϒ nebo světovým pó-lem P a jarním bodem ϒ.

Transformaci sférických rovníkových a ekliptikálních souřadnic realizujeme ře-šením sférického trojúhelníka, který vznikne, proložíme-li deklinační a šířko-vou rovinu zvoleným tělesem (Obr. 6.3). Úhlová vzdálenost mezi světovým pólem P a pólem ekliptiky Pe je sklon ekliptiky ε. Hlavní rovina procházející pólem ekli-ptiky Pe a pólem P je kolmá k hlavním rovinám, které procházejí pólem ekliptiky Pe a jarním bodem ϒ nebo světovým pó-lem P a jarním bodem ϒ.

Obr. 6.3 Transformace mezi a 2rS eS Transformaci sférických ekliptikálních

souřadnic na sférické souřadnice 2. rov-níkového systému lze realizovat pomocí vztahů

Transformaci sférických ekliptikálních souřadnic na sférické souřadnice 2. rov-níkového systému lze realizovat pomocí vztahů

λεβ+εβ=δλεβ+εβ−=αδ

λεβ+εβ=δλεβ+εβ−=αδ

λβ=αδ

sinsincoscossinsinsincoscossinsinsincos

coscoscoscos

(6.15)

nebo již známým postupem vypočítáme neznámé tg α (tg λ) (současně s určením kvadrantu) a δ (β).

αεδ−εδ=βαεδ+εδ=λβ

αδ=λβ

sinsincoscossinsinsincoscossinsinsincos

coscoscoscos

(6.16)

- 44 (86) -


6.2.2 Transformace pomocí rotace Také tuto transformaci lze realizo-vat otáčením pravoúhlých souřad-nicových soustav. Pro transforma-ci sférických ekliptikálních sou-řadnic do pravotočivé souřadnico-vé soustavy si orientujeme osu +x do jarního bodu ϒ, osa +z prochá-zí pólem ekliptiky a osa +y vytváří pravotočivý souřadný systém (Obr. 6.4)

Obr. 6.4 Transformace pomocí rotace

eS a 2rS

Se = (x, y, z)Tβ, λ = .zarcsin,)

xy(arctg,

sinsincoscoscos

ee =β=λ

βλβλβ

(6.17)

Máme tedy k dispozici dvě pravotočivé souřadnicové soustavy ( ) T,e z,y,x λβ=S a

, které vyjadřují polohu stejného kosmického tělesa na jednotkové sféře (Obr. 6.4).

( ) T,

2r z,y,xS αδ

Mezi pravoúhlými souřadnicemi obou systémů platí

Se =X(ε).S nebo S = X (-ε) S2r

2r e .. (6.18)

6.3 Diferenciální změny souřadnic v závislosti na čase

Změny horizontálních souřadnic v závislosti na čase lze odvodit pomocí totál-ního diferenciálu příslušných rovnic.

Závislost zenitové vzdálenosti na nezávislých veličinách δ, ϕ, t určíme pomo-cí totálního diferenciálu kosinové věty z nautického trojúhelníku

cos tz coscoscossinsin ϕδϕδ +=

( ) ( ).sincoscos

coscossinsincoscossincoscossinsindtt

dtdtdzzϕδ

δϕδϕδϕϕδϕδ−

−−+−=−

Po jednoduché substituci dostaneme

.sinsincoscossincossinsin dtAzdqzdAzdzz ϕδϕ −+−=−

dtAdqdAdz sincoscoscos ϕδϕ +−=

(6.19)

Jednotlivé parciální derivace vyjadřují změnu zenitové vzdálenosti na změně jednotlivých nezávisle proměnných

- 45 (86) -


,Asincos

dtdz

ϕ= (6.20)

,qcosddz

−=δ

(6.21)

.Acosddz

=ϕ

(6.22)

Z rovnice (6.20) vyplývá, že maximální změna zenitové vzdálenosti, v závislosti na čase, je v rovině I.vertikálu (A= 90°, 270°), minimální změna je v rovině místního poledníku (A= 0°, 180°). Tato změna může být kladná nebo záporná. Opačná závislost (6.22) platí pro změnu zenitové vzdálenosti se změnou země-pisné šířky. Změna deklinace (6.21) vyvolá maximální změnu zenitové vzdále-nosti v místním poledníku, zatímco minimální změna nastane v okamžiku ma-ximální digrese.

Závislost azimutu na nezávislých veličinách - δ, ϕ, t odvodíme derivací vztahu

.tsincos

cossintcossincosAgcotδ

ϕδ−ϕδ=

Jednotlivé derivace jsou:

• podle t :

.zsincosqcos

dtdA δ

=

(6.23)

Nahradíme-li čitatele ve vztahu (6.23) sinus kosinovou větou z nautického troj-úhelníka, obdržíme

.AcoszgcotcossindtdA

ϕ+ϕ=

(6.24)

Z rovnice (6.24) je zřejmé, že pohyb v azimutu v závislosti na čase bude kladný pouze tehdy, pokud bude paralaktický úhel q ležet v intervalu -90° ≤ q ≤ 90°. Maximální změna v azimutu nastává v rovině místního poledníku, minimální v okamžiku maximální digrese.

• podle ϕ :

.zgcotAsin

ddA

−=ϕ

(6.25)

Změna azimutu v závislosti na změně zeměpisné šířky je maximální v rovině prvého vertikálu (A= 900) a minimální v místním poledníku (A = 00)

• podle δ :

.zeccosqsinddA

=δ

(6.26)

Změna v azimutu v závislosti na změně deklinace je minimální v rovině míst-ního poledníku (q = 00) a maximální v okamžiku maximální digrese (q = 900).

- 46 (86) -


Je třeba připomenout, že hodnoty druhých derivací umožní posoudit, zda vypo-čítaná změna je extrémní. Kontrolní otázky

Jaké jsou možnosti transformace souřadnic?

Jaké jsou podmínky pro transformaci pomocí rotace?

Naznačte klasický způsob transformace mezi horizontálními a rovníkovými souřadnicemi.

Jak se určí kvadrant azimutu?

Odvoďte totální diferenciál kosinové věty z nautického trojúhelníka?

- 47 (86) -


7 Důsledky rotace Země

Rotace Země vyvolává zdánlivý pohyb hvězd a všech těles, která se nacházejí v kosmickém prostoru. Země se otáčí kolem osy rotace jednou za hvězdný den od západu k východu. Tento pohyb vyvolává v pozorovateli, který stojí na zemském povrchu, představu, že všechna tělesa obíhají kolem Země od výcho-du k západu. Důsledkem rotace se neustále mění horizontální souřadnice (A, z) a hodinový úhel t. Hvězdy při svém zdánlivém pohybu během hvězdného dne dosahují několika významných rovin: Všechna tělesa musí procházet rovinou místního poledníku. Podle polohy pozorovatele na Zemi mohou kosmická tělesa procházet rovinou I.vertikálu, nebo dosáhnou maximální digrese, po-případě budou vycházet či zapadat .

Pro zjednodušení dalšího výkladu budeme předpokládat, že se pozorovatel na-chází na severní polokouli přibližně ve střední Evropě (severní zeměpisná šířka ϕ = 50°). Průchod těmito významnými rovinami snadno odvodíme z nautického trojúhelníka, jestliže si uvědomíme, jakých horizontálních sou-řadnic musí kosmické těleso dosáhnout, aby nastal zvolený úkaz.

7.1 Průchod hvězd místním poledníkem Hvězda prochází místním poledníkem jestliže její hodinový úhel t nabývá hod-noty t = 0h (horní kulminace) nebo t = 12h (dolní kulminace).

Dosaďme do vět v nautickém trojúhelníku

(SC) sin z cos A = -sin δ cos ϕ + cos δ sin ϕ cos t

(C ) cos z = sin δ sin ϕ + cos δ cos ϕ cos t ,

podmínky pro kulminaci hvězdy dostaneme

(SC) sin z cos A = sin (ϕ−δ) (C ) cos z = cos (ϕ−δ).

A = 0° A = 180°

horní kulminace jižně zenitu horní kulminace severně zenitu

z = ϕ − δ, z = δ − ϕ. (7.1)

Místní hvězdný čas je v okamžiku horní kulminace

s = α. (7.2)

Při průchodu hvězdy dolní kulminací je azimut hvězdy A = 180°

(SC) sin z = sin (ϕ+δ) (C ) cos z = - cos (ϕ+δ)

Zenitová vzdálenost v okamžiku dolní kulminace je

z = 180° – (ϕ+δ) (7.3)

a místní hvězdný čas je roven

s = α ± 12 h. (7.4)

Vztahy platné pro průchod hvězd místním poledníkem lze také odvodit pomocí (Obr. 7.1), který představuje sféru v ortogonálním zobrazení v rovině poledníku.

- 48 (86) -

Důsledky rotace Země

Rovník a horizont se jeví jako průměry kružnice, která představuje místní po-ledník.

Obr. 7.1 Průchod hvězd místním poledníkem

Jak plyne z rovnice (6.20) je u tělesa procházejícího místním poledníkem pohyb v zenitové vzdálenosti v závislosti na čase nulový dz / dt = 0. Minimální hod-noty zenitové vzdálenosti dosahuje těleso v horní kulminaci (7.1), maximální hodnoty v dolní kulminaci (7.3).

Pohyb tělesa v azimutu v závislosti na čase určíme, dosadíme-li do vztahu (6.23) podmínku pro průchod poledníkem . Dostaneme

zgcotcossindtdA

ϕ±ϕ= (7.5)

Znaménko + platí pro kulminaci jižně zenitu, znaménko – pro kulminaci se-verně zenitu.

U tělesa, která kulminují severně od zenitu a jejichž zenitová vzdálenost je v intervalu 0° ≤ z ≤ 90° −ϕ je sin ϕ < cos ϕ cotg z, takže dA / dt < 0. Z toho vyplývá, že pohyb tělesa v azimutu je záporný.

Při kulminacích dosahuje změna azimutu v závislosti na čase extrémních hod-not.

7.2 Průchod hvězd rovinou I. vertikálu Rovinou I.vertikálu procházejí všechny hvězdy jejichž deklinace je v intervalu −ϕ ≤ δ ≤ ϕ. Jestliže chceme, aby hvězda byla při průchodu rovinou I. vertikálu viditelná, musí být nad rovníkem. Deklinace musí splňovat podmínku 0° ≤ δ ≤ ϕ.

Při průchodu hvězdy rovinou I.vertikálu je azimut AW = 90° (AE = 270°) jestliže těleso prochází západní (východní) větví roviny I.vertikálu. Východní a západ-ní průchod je souměrný vzhledem k místnímu poledníku.

Hodinový úhel tI.V. a zenitovou vzdálenost zI.V při průchodu hvězdy rovinou I.vertikálu vypočítáme řešením nautickém trojúhelníka dosadíme-li hodnoty azimutu AW

I.V.= 90° (AWI.V= 270°) do sinové (S), kosinové (C) a sinus kosinové

(SC) věty. Zenitovou vzdálenost získáme z

(C) sin δ = sin ϕ cos zI.V. + cos ϕ sin zI.V. cos 90°

- 49 (86) -


ϕδ

=sinsinzcos .V.I (7.6)

Protože cos z ≤ 1 musí také platit sin δ ≤ sin ϕ , neboli δ ≤ ϕ.

Hodinový úhel t. určíme z (SC) – sin z cos A = sin δ cos ϕ - cos δ sin ϕ cos t

ϕδ=ϕδϕδ

= gcottgsincoscossintcos (7.7)

Jako kontrolu správného výpočtu lze využít vztah pro výpočet zenitové vzdále-nosti získané řešením rovnic

(S) sin zI.V. = cos δ sin t.

(SC) cos ϕ cos zI.V. = cos δ cos t.

ttgcosztg .V.I ϕ= (7.8)

Místní hvězdný čas západního průchodu sw a východního průchodu sE rovinou I.vertikálu je

.t24ts,tts .V.IE

.V.IE

.V.IW

.V.IW −+α=+α=+α=+α= (7.9)

Změnu pohybu hvězdy v rovině I.vertikálu snadno odvodíme pomocí rovnic (6.20)popřípadě (6.23). Změna zenitové vzdálenosti na čase v rovině prvního vertikálu dosahuje dz / dt = ± cos ϕ. Změna zenitové vzdálenosti s časem do-sahuje maxima.

Změna azimutu v závislosti na čase je v rovině I.vertikálu dA / dt = sin ϕ. Ne-jedná se o extrémní hodnotu.

Je-li δ = ϕ projde hvězda rovinou I.vertikálu v zenitu. Tělesa jejichž deklinace δ > ϕ nebudou rovinou I.vertikálu procházet a na své denní dráze dosáhnou dvou poloh, kdy paralaktický úhel q bude roven 90° (270°). Tyto polohy se označují jako elongace (maximální digrese).

7.3 Průchod elongací Hvězdy, jejichž deklinace leží v intervalu ϕ ≤ δ ≤ 90° neprocházejí rovinou I.vertikálu a dosáhnou na své denní dráze dvou symetrických poloh vzhledem k místnímu poledníku. Tato poloha se označuje jako elongace (maximální digrese). V těchto přípa-dech dosahuje paralaktický úhel při západní elongaci hodnoty qw = 90° (při východní elongaci qE = 270° = 360° - qw). V těchto dvou symetric-kých polohách se hvězda dostává do největší vzdálenosti od místního po-ledníku (Obr. 7.2). Hodinový úhel elongace a odpovídající zenitovou vzdálenost získáme opět řešením

eWtze

W

Obr. 7.2 Průchod hvězdy maximální digresi

- 50 (86) -


nautického trojúhelníka s uvážením hodnoty .90q 0eW =

eEs −= α

90coszsin

.

360e =

.dq

Hodinový úhel získáme řešením

(SC) sin z cos 90° = 0 = sin ϕ cos δ - cos ϕ sin δ cos te

cos te = tg ϕ cotg δ. (7.10)

Čas průchodu hvězdy elongací určíme ze vztahu

., eeeW tts += α

( ) °

(7.11)

Výpočet zenitové vzdálenosti pomocí kosinové věty

sinzcos e ϕ=

δ+δ=ϕ coszcossinsinC

sin δ (7.12)

Azimut elongace lze určit s využitím sinové věty

(S) cos ϕ sin A = cos δ sin q) (7.13)

ϕcos (7.14)

δ=

cosAsin e

Azimut západní a východní elongace získáme z

(7.15)

.AA180A,A180A eW

eE

eeW −°+°=−°=

Změny azimutu hvězdy v závislosti na čase získáme diferencováním vztahu (7.13) za předpokladu, že deklinace δ a zeměpisná šířka ϕ je konstantní

cos ϕ (7.16)

qcoscosdAAcos δ=

Protože v případě elongace je paralaktický úhel q = 90° (270°) dostaneme z (6.17) dA = 0. Tedy v maximální digresi je pohyb hvězdy v azimutu nulový. Azimut dosahuje své maximální hodnoty na východě a minimální hodnoty na západě Skutečnosti, že se azimut hvězdy nemění se využívá při určování azimutu pozemního směru.

Změnu zenitové vzdálenosti v závislosti na čase odvodíme pomocí sinové věty sin z sin q = cos ϕ sin t. Diferencujme tento vztah podle času (hodinový úhel zde reprezentuje čas) za předpokladu konstaní hodnoty ϕ a q. Po drobných úpravách dostaneme

.tcoscosdz

qsinzcosdt (7.17)

ϕ=

Ve vztahu (7.17) musí být z ≠ 0 a q ≠ 0, což je v našem případě splněno.

V dalším zjistíme, jak se mění dtdz v závislosti na paralaktickém úhlu q.

Nutnou podmínkou pro zjištění extrémní hodnoty je nulová hodnota první derivace vztahu (7.17)

- 51 (86) -


.0

qsinqcos.

zcostcoscos

dqdtdzd

2 =−ϕ

= (7.18)

Tato podmínka je splněna právě v případě elongace. Dalším rozborem snadno zjistíme, že změna zenitové vzdálnosti na čase je v případě elongace největší. Jedná se o lokální maximum.

7.4 Východ a západ tělesa Hvězda jejíž deklinace je v intervalu (ϕ - 90°) < δ < (90° -ϕ) vychází a zapadá. Tato skutečnost je zřejmá z (Obr. 7.4) Jak již víme, je pro hvězdu, pro kterou platí 0° < δ < (90° - ϕ) , denní oblok větší, než její noční oblouk. Při δ = 0° je stejně dlouhý denní i noční oblouk. Hvězdy, jejichž deklinace splňuje podmínku δ ≥ (90° - ϕ) jsou tzv.

hvězdy obtočnové (cirkumpolární). Tyto hvězdy pro dané stanoviště nezapadají.

Obr.7.3 Východ a západ těles

Pro výpočet hodinového úhlu t východu a západu hvězdy opět použijeme nautický trojúhelník. Z kosinové věty pro z = 90° dostaneme

cos z = sin ϕ sin δ + cos ϕ cos δ cos t = 0 .

Hodnota hodinového úhlu je

.tgtg

coscossinsintcos δϕ−=

δϕδϕ

−= (7.19)

Poznámka Ve skutečnosti je zenitová vzdálenost hvězdy díky astronomické refrakci větší než 900. Astronomická refrakce urychluje východ a zpožďuje západ. V případě, že těleso má viditelný zdánlivý poloměr, pak se vliv refrakce ještě zesiluje. V okamžiku, kdy se okraj tělesa dotýká horizontu, je těžiště tělesa (pro které jsou tabelovány zdánlivé rovníkové souřadnice) ještě pod horizontem.

Místní hvězdný čas východu tělesa můžeme určit, za předpokladu, že známe jeho rektascenzi α, ze vztahu

sE = α + tE = α + 24h – t (7.20)

Místní hvězdný čas západu je

sw = α + tw = α + t .(7.21)

- 52 (86) -


Azimut získáme řešením kosinové věty v nautickém trojúhelníku za podmínky z = 0°.

( ) AcoszsincoszcossinsinC ϕ−ϕ=δ .

ϕδ

−=cossinAcos . (7.22)

Azimut západu je AW = 180°- A, zatímco azimut východu je AE = 180°+A.

7.5 Soumrak

Před východem Slunce a po západu Slunce nastává soumrak. Příčina soumraku je v rozptylování slunečních paprsků v atmosféře. Množství rozptýleného slunečního světla se snižuje se vzrůstající zenitovou vzdáleností Slunce. Doba, která uplyne mezi okamžikem západu (východu) Slunce (z = 90°) a okamžikem, kde zenitová vzdálenost Slunce dosáhne hodnoty 96° se nazývá občanský soumrak. V této době lze vykonávat běžné práce, které vyžadují denního světla. Nejsou vidět žádné hvězdy. Doba trvání občanského

soumraku kolísá v našich zeměpisných šířkách mezi 30 minutami (v době rovnodennosti) a 50 minutami (v době slunovratu). Po občanském soumraku nastává nautický soumrak. Je vidět obzor a jasnější hvězdy. Slunce je v zenitové vzdálenosti 96° < z < 102°. Nastává občanská noc. Astronomický soumrak, při kterém jsou vidět hvězdy a obzor , je při zenitové vzdálenosti Slunce 102° < z < 108°. Po skončení astronomického soumraku nastává astronomciká noc.

Obr. 7.5 Denní pohyb a výška Slunce nad horizontem

Poznámka Délka dne a noci, jakož i délka soumraku je závislá na zeměpisné šířce a na poloze Země na oběžné dráze kolem Slunce. Dvakrát v roce, při jarní (31.3.) a podzimní (2.9.) rovnodennosti, dopadají sluneční paprsky kolmo na rovník. Terminátor dělí povrch Země na dvě stejné části. Astronomické jaro a podzim na obou polokoulích začínají stejně dlouhým dnem a nocí. V době letního slu-novratu (21.6.) dopadají sluneční paprsky kolmo na obratník Raka (23,4° se-verní zeměpisné šířky). Na severní polokouli je nejdelší den v roce. V oblastech na sever od severního polárního kruhu (66,6° severní zeměpisné šířky) v den letního slunovratu Slunce nezapadá. Po letním slunovratu se na

- 53 (86) -


severní polokouli začínají dny zkracovat, aby v době zimního slunovratu (21.12) dosáhly nejkratší délky.

Na (Obr. 7.5) je znázorněn denní pohyb a výška Slunce nad horizontem v našich zeměpisných šířkách (a), na rovníku (b) a na pólu (c). Z obrázku je zřejmé, že nejrychlejší změna v zenitové vzdálenosti Slunce nastává pro stanoviště na rovníku.

Kontrolní otázky Jaké jsou podmínky pro průchod hvězdy místním poledníkem v horní a dolní kulminaci?

Uveďte podmínky pro průchod rovinou I. vertikálu.

Za jakých podmínek bude těleso vycházet a zapadat

Popište rozdíl mezi astronomickým a občanským soumrakem

- 54 (86) -

Změny souřadnic

8 Změny souřadnic

Doposud jsme předpokládali, že druhá rovníková soustava S (α,δ) a eklipti-kální soustava S

2r

e (λ,β) jsou v prostoru neměnné. Důsledkem rotace Země se měnil pouze hodinový úhel kosmického tělesa, tedy souřadnice první rovníko-vé soustavy (S ), která je, stejně jako horizontální souřadnicová soustava (S1

r h), závislá na stanovišti pozorovatele. Pozorování v dlouhém časovém období, jakož i teoretické studie prokázaly, že i souřadnice druhé rovníkové soustavy a ekliptikální soustavy podléhají malým změnám.

Změny souřadnic jsou vyvolány

• fyzikálními jevy jako je : paralaxa, aberace, gravitační ohyb světla a astronomická refrakce. Tyto jevy zapříčiňují zdánlivou změnou smě-ru k pozorovanému objektu.

• pohybem základních rovin vzhledem ke stálicím. Pohyb základních ro-vin je způsoben precesí, nutací a pohybem zemských pólů.

• pohybem hvězd v kosmickém prostoru.Tento pohyb se označuje jako vlastní pohyb hvězdy.

8.1 Paralaxa

Paralaxu lze definovat jako změnu směru ke kosmickému tělesu, která je vyvo-lána změnou pozorovacího stanoviště.

Pro paralaxu kosmického tělesa obecně platí

DPsin ρ

= (8.1)

kde ρ je posun pozorovacího stanoviště a D je vzdálenost kosmického tělesa.

Při astronomických pozorováních obecně rozlišujeme tři druhy paralax: 1) denní nebo geocentrickou paralaxu, která vzniká posunem fiktiv-

ního pozorovacího stanoviště ze středu Země na její povrch , nebo naopak. Její maximální hodnotu budeme označovat P0,

2) roční nebo hvězdnou paralaxu, která vzniká posunem fiktivního pozorovacího stanoviště ze středu Slunce do středu Země a naopak. Maximální hodnotu roční paralaxy budeme označovat π0,

3) sekulární paralaxu, která vzniká důsledkem relativního pohybu ba-rycentra sluneční soustavy vzhledem k systému hvězd. Hodnota sekulární para-laxy je velmi malá. Většinou je její vliv zahrnut ve vlastních pohybech hvězd a proto se jí nebudeme zabývat.

8.1.1 Denní paralaxa

Denní paralaxou nazýváme změnu směru na kosmické těleso, která je vyvolána

- 55 (86) -


posunem fiktivního pozorovacího stanoviště ze středu Země O (Obr. 8.1) do pozorovacího místa na zemském povrchu A. Posunutí ρ (OA) je, důsledkem různé nadmořské výšky stanoviště a zemského zploštění, proměnlivá veličina. Je to geocentrická vzdálenost pozorovacího stanoviště A od středu Země O. Posunutí se děje v rovině místního poledníku. Denní paralaxa kosmického tělesa je dána obecnou rovnicí (8.1)

Maximální hodnotu dosáhne denní para-laxa pro stanoviště, které leží na rovníku (ρ = ae). Tato hodnota denní paralaxy se nazývá rovníková horizontální parala-xa a označíme ji symbolem P0. Pro rov-níkovou horizontální paralaxu platí

Hodnoty denních rovníkových horizon-tálních paralax se udávají v astronomických ročenkách.

V případě, že hodnota paralaxy je dosta-tečně malá, lze hodnotu paralaxy vyjád-

řit

Obr. 8.1 Vliv denní paralaxy

Da

Psin e0 =

(8.2)

.P

aP 0

e

ρ= (8.3)

Z rovnice (8.3) vyplývá, že hodnota rovníkové horizontální paralaxy závisí především na vzdálenosti kosmického tělesa. Z přirozených kosmických těles má největší denní rovníkovou horizontální paralaxu Měsíc (54′ až 61´). Denní horizontální rovníková paralaxa Slunce je P0 =8.794″. Nejbližší hvězda α Proxima Centauri má P0 = 0.000 032″. Je proto zřejmé, že v případě hvězd lze hodnotu denní paralaxy zanedbat. Toto však neplatí pro umělé družice Země, kdy hodnota denní paralaxy dosahuje řádově desítky stupňů.

Obr. 8.2 Definice astronomické jednotky

Jednotka vzdálenosti – astronomická jednotka – (Obr. 8.2) je vlastně ekviva-lent rovníkové horizontální paralaxy Slunce P0. Je to úhel, pod kterým lze po-zorovat ze Slunce, ve střední vzdálenosti Země od Slunce, rovníkový poloměr Země.

- 56 (86) -

Změny souřadnic

8.1.2 Roční paralaxa

Paralaxa hvězd byla astronomy dosti dlouho hledána, protože by byla přesvěd-čivým důkazem oběhu Země kolem Slunce (tedy důkazem heliocentrické sou-stavy). Proto také se astronom Tycho Brahe přiklonil ke geocentrickému sys-tému, protože se mu nepodařilo paralaxu v době jeho měření prokázat. Příčina byla v přesnosti měření, která byla podstatně menší, než hodnoty největších paralax. Největší roční paralaxu má hvězda α Proxima Centauri (π0 =0.763″). Pouze asi 50 hvězd má větší paralaxu než 0.2″.

Poznámka Jak často ve vědě bývá, ani hledání paralaxy nebylo marné. Počátkem 17. sto letí se pokoušel zjistit parala-xu anglický astronom Bradley. Mís-to roční paralaxy objevil aberaci světla. První paralaxu změřil v r.1838 Bessel. Jednalo se o parala-xu hvězdy 61 Cygni. Určená hodno-ta roční paralaxy 0,35″ velmi dobře souhlasí s její dnešní hodnotou.

paralaxy nebylo marné. Počátkem 17. sto letí se pokoušel zjistit parala-xu anglický astronom Bradley. Mís-to roční paralaxy objevil aberaci světla. První paralaxu změřil v r.1838 Bessel. Jednalo se o parala-xu hvězdy 61 Cygni. Určená hodno-ta roční paralaxy 0,35″ velmi dobře souhlasí s její dnešní hodnotou.

Hodnoty paralax jsou malé. Přímým měřením se podařilo určit jen para-laxy několika desítek hvězd. Takto

určené paralaxy se označují jako trigonometrické paralaxy. Paralaxy se větši-nou určují astrofyzikálními metodami a to spektroskopicky nebo pomocí dy-namiky dvojhvězd. Významným přelom do určování paralax přinesla až astro-metrická družice Hipparcos, která byla projektována v roce 1980 pracovníky ESA (European Space Agency). Družice byla vypuštěna až r.1989. Během 37 měsíců zaměřila nejenom polohy asi 1 000 000 hvězd, ale také určila hodnoty paralax.

Hodnoty paralax jsou malé. Přímým měřením se podařilo určit jen para-laxy několika desítek hvězd. Takto

určené paralaxy se označují jako trigonometrické paralaxy. Paralaxy se větši-nou určují astrofyzikálními metodami a to spektroskopicky nebo pomocí dy-namiky dvojhvězd. Významným přelom do určování paralax přinesla až astro-metrická družice Hipparcos, která byla projektována v roce 1980 pracovníky ESA (European Space Agency). Družice byla vypuštěna až r.1989. Během 37 měsíců zaměřila nejenom polohy asi 1 000 000 hvězd, ale také určila hodnoty paralax.

Obr. 8.3 Roční paralaxa

Roční paralaxa vyjadřuje změnu směru na hvězdu H∗ způsobenou posunutím zdánlivého pozorovacího místa ze středu Slunce S do středu Země Z a naopak. Směr na kosmické těleso ze středu Slunce se nazývá heliocentrický směr a vy-tváří na sféře heliocentrickou polohu H (Obr. 8.3). Směr ze středu Země se označuje jako geocentrický a realizuje na sféře geocentrickou polohu H´. Po-sun obrazu heliocentrické polohy hvězdy H do geocentrické polohy H´ probíhá po hlavní kružnici, proložené kosmickým tělesem H∗ směrem k proticílovému bodu Có paralaktický úhel p Hodnotu paralaktického úhlu p získáme z obecného vztahu

Roční paralaxa vyjadřuje změnu směru na hvězdu H∗ způsobenou posunutím zdánlivého pozorovacího místa ze středu Slunce S do středu Země Z a naopak. Směr na kosmické těleso ze středu Slunce se nazývá heliocentrický směr a vy-tváří na sféře heliocentrickou polohu H (Obr. 8.3). Směr ze středu Země se označuje jako geocentrický a realizuje na sféře geocentrickou polohu H´. Po-sun obrazu heliocentrické polohy hvězdy H do geocentrické polohy H´ probíhá po hlavní kružnici, proložené kosmickým tělesem H∗ směrem k proticílovému bodu Có paralaktický úhel p Hodnotu paralaktického úhlu p získáme z obecného vztahu

,´sind

Rpsin s η= (8.4)

kde Rs je vzdálenost středu Země od středu Slunce a d je vzdálenost kosmické-ho tělesa od Slunce (d >> Rs). Okamžitá hodnota roční paralaxy π dosáhne největší hodnoty pro η´= 90°

.

dR

sin s=π (8.5)

- 57 (86) -


Roční paralaxa dosáhne maximální hodnoty v případě, že Rs je rovné velké poloose a dráhy Země kolem Slunce. Tato hodnota se označuje jako roční pa-ralaxa π0 . Platí

.

dasin 0 =π (8.6)

Paralaxa dosahuje malé hodnoty, je možné napsat

.

aR

0s π=π

(8.7)

Hodnotu paralaktického úhlu v libovolném okamžiku určíme z

p = π sin η. (8.8)

8.2 Aberace

Pod pojmem aberace světla, jako fyzikálního jevu, rozumíme změnu směru světelného paprsku, který přichází od pozorovaného objektu k pozorovateli. Tato změna je způsobena konečnou rychlostí světla, relativním pohybem pozo-rovatele a pohybem pozorovaného tělesa. Pro vyloučení vlivu aberace musíme dalekohledem otočit ve směru pohybu pozorovatele o úhel α který se nazývá aberační úhel. Obraz hvězdy H, nezatížený aberací, se posune na jednotkové kouli do zdánlivé polohy H1 po hlavní kružnici, která prochází hvězdou a smě-rem, kterým se pohybuje pozorovatel. Pohyb pozorovatele směřuje do cílového bod C, který se nazývá apex. Zdánlivá poloha je vždy posunuta ve směru po-hybu pozorovatele. Aberační úhel α je závislý pouze na poměru rychlostí a nikoliv na vzdálenosti. Aberační úhel α dosahuje malé hodnoty, takže lze s dostatečnou přesností napsat

.sinA´sinA´sincv"" ω=ω=ωρ=α (8.9)

Hodnota

cv"A ρ= (8.10)

se nazývá aberační konstanta . Ve vztahu (8.10) je v okamžitá rychlost pozo-rovatele a c rychlost světla.

Pozorovatel na stanovišti se zúčastňuje několika pohybů, které vyplývají z rotace Země, z oběhu Země kolem Slunce a konečně z pohybu celé sluneční soustavy vzhledem k hvězdnému systému. V případě sledování planet a umě-lých družic Země se musí uvažovat také jejich vlastní pohyb (v případě hvězd je to hodnota zanedbatelná.).

- 58 (86) -

Změny souřadnic

Aberace se dělí na několik typů:

• hvězdná aberace je vyvolána pohybem místa pozorování a konečnou rychlostí světla. Stanoviště se nachází na rotující Zemi, která obíhá ko-lem Slunce a celá sluneční soustava se pohybuje vzhledem ke hvězdné soustavě galaxie.. Hvězdná aberace se dále dělí na:

– denní aberaci, která je vyvolána rotací Země

– roční aberaci, která je důsledkem oběhu Země kolem Slunce a opět konečnou rychlostí světla

– sekulární aberaci, která vzniká pohybem sluneční soustavy vzhledem ke hvězdné soustavě galaxie

• planetární (družicová) aberace. Příčinou planetární aberace je vlastní pohyb sledovaného tělesa a konečná rychlost světla.

8.3 Precese a nutace

Doposud jsme předpokládali, že rovina rovníku a ekliptiky je neměnná. To znamená, že jejich póly (P, Pe) nemění svojí polohu v prostoru. Ve skutečnosti jsou tyto roviny v neustálém pohybu. To znamená, že se nepřetržitě mění zá-kladní směry a roviny rovníkového a ekliptikálního systému. Tím se mění vzhledem ke hvězdám i poloha jarního bodu. Pochopitelně každá změna zá-kladní roviny má za následek změnu rovníkových a ekliptikálních souřadnic. Pohyb základních rovin je způsoben gravitačním působením Slunce, Měsíce a planet na zploštělou Zemi.

Složitý pohyb světových pólů a rovin si rozdělíme na

1) sekulární (věkovou) složku zvanou precese

2) periodické složky, které se označují jako nutace

Podle sil, které způsobují jednotlivé složky, rozeznáváme

• lunisolární precesi a nutaci, která je vyvolávána gravitačním působe-ním Slunce a Měsíce na Zemi. Mění se poloha rovníku.

• planetární precesi a nutaci, která vzniká rušivým působením planet sluneční soustavy na polohu dráhy Země - ekliptiku.

Celkový vliv lunisolární a planetární precese na pohyb jarního bodu se nazývá generální (všeobecná) precese.

8.3.1 Precese

Vlivem lunisolární precese (Obr. 8.4) se zemská osa pohybuje po plášti kužele s vrcholovým úhlem, který je totožný se sklonem ekliptiky ε =23.50. Pohyb je v matematicky záporném smyslu.

- 59 (86) -


Obr. 8.4 Precesní pohyb zemského pólu

Doba oběhu trvá přibližně 25800 let a nazývá se platonský rok. Důsledkem pohybu světového pólu mění svou polohu i světový rovník a pochopitelně i jarní bod. Hodnota posunu je 50,3“ za rok.

Pohyb středního světového pólu není přesně kruhový,ale spirálový, protože se v důsledku planetární precese pohybuje i pól ekliptiky Pe (Obr. 8.5).

Planetární precese je vyvolána rušivým vlivem především Venuše a Jupitera. Výsledkem je pohyb pólu ekliptiky přibližně po kruhové dráze s poloměrem 90´. Jeden oběh, který opět není uzavřený, se uskuteční přibližně za 70 000 let. Pohybem pólu ekliptiky se opět mění poloha jarního bodu. Planetární precese

je, ve srovnání s lunisolární precesí, podstat-ně menší. Jarní bod se posune za rok o 0,12“ ve směru pohybu Země kolem Slunce. Na rozdíl od lunisolární precese se vlivem plane-tární precese mění sklon ekliptiky o –0,47“ za rok.

Světový pól se důsledkem precese pohybuje mezi stálicemi. V současné době se nachází v blízkosti hvězdy α Ursae Minoris , která je v současnosti naší polární hvězdou lidově nazývanou Polárkou (obrázek 8.5). Do roku 2100 se bude světový pól Polárce přibližovat (až na hodnotu 28´). Potom se bude vzdalo-vat. Kolem roku 4000 bude světový pól

v blízkosti hvězdy γ Cephei a kolem roku 14000 bude pro severní polokouli polární hvězdou α Lyrae.

Obr. 8 hopó-.5 Stopa průmětu světové

lu mezi stálicemi

8.3.2 Nutace

Gravitační působení Měsíce a Slunce na zemské těleso se periodicky mění. Tím se mění i moment sil vzájemného působení Země, Měsíce a Slunce. Vliv Měsíce je přibližně dvakrát větší než vliv Slunce. Důsledkem gravitačního pů-

- 60 (86) -

Změny souřadnic

sobení se periodicky mění poloha rotační osy vzhledem k pólu ekliptiky. Tato změna se projeví jako periodický, přibližně eliptický, pohyb pravého pólu P kolem jeho střední polohy Ps a nazývá se nutace. Pohyb se děje v matematicky záporném směru při pohledu z vnějšku (Obr. 8.6).

Obr. 8.6 Vliv nutace na pohyb pravého pólu

Základní perioda nutace je vyvolána pohybem uzlové čáry Měsíce. Uzlová čára je spojnice Země s bodem, ve kterém protíná dráha Měsíce ekliptiku. Pohyb uzlové čáry má periodu 6798 dnů (18.62 let) s amplitudou 9,21“. Za tuto dobu se uzlová čára důsledkem vlivu zploštění Země na dráhu Měsíce otočí o 3600 v retrográdním směru.

Důsledkem nutace se mění poloha středního jarního bodu ϒs Úhlová vzdálenost ϒ ϒs se nazývá nutace v ekliptikální délce (∆ψ). Nutací se změní i sklon ek-liptiky. Střední sklon ekliptiky εs se změní o hodnotu ∆ε.., která se označuje jako nutace ve sklonu ekliptiky. Tento pohyb lze modelovat pomocí harmo-nického rozkladu. Veličiny určující nutaci je v některých případech vhodné rozdělit na složku dlouhoperiodickou ∆ψ a ∆ε (obsahuje členy s periodami většími než 35 dnů) a na složku krátkoperiodickou d ψ a dε. Při redukci velmi přesných pozorování se ještě uvažuje planetární nutace vyvolaná planetami sluneční soustavy.

- 61 (86) -


8.3.3 Vliv precese na rovníkové souřadnice ( )2rS

Vliv generální precese způsobuje, že se neustále mění směr osy rotace Země a směr osy ekliptiky vzhledem k inerciální soustavě, která je spojena se stálice-mi. Pochopitelně mění se i polohy základních rovin a tudíž i poloha jarního bodu. Z těchto důvodů se mění i rovníkové a ekliptikální souřadnice. Nás zají-mají hlavně změny druhé rovníkové souřadnicové soustavy (Sr

2), protože tyto souřadnice jsou uváděny v katalozích. Vliv precese lze uvážit přibližným nebo přesným způsobem.

Obr. 8.7 Precesní parametry ξ, Θ a z,

Přesné vztahy pro uvážení vlivu precese mezi směrovými kosiny rovníkových souřadnic (α, δ) v epoše t0 a t se mohou realizovat pomocí tří, po sobě následu-jících rotací, které si vysvětlíme na (Obr. 8.7). Střední polohu rovníku, eklipti-ky a jarního bodu v epoše t0 označíme RS0, E0 a jejich průsečík bude střední jarní bod ϒS0. Důsledkem generální precese zaujmou tyto veličiny v epoše t1 polohu RS1, E1 a odpovídající střední jarní bod ϒS1. Roviny rovníku RS0 a RS1 se protnou v přímce AA1. Rovina kolmá k průsečnici AA1 a procházející stře-dem sféry O protne obě polohy rovníku v bodech M , M1. Newcomb zavedl úhly ζ, Θ, z, které jsou definovány následujícím způsobem:

ζ je úhlová vzdálenost ϒS0M měřená v rovině R0

Θ je úhlová vzdálenost bodů MM1. Tato je měřena v rovině kolmé na AA1 a procházející středem sféry,

z je úhlová vzdálenost M1ϒS1 měřená v rovině R1.

První rotaci realizujeme kolem osy Z0 o úhel ζ, v matematicky záporném smě-ru. Osa Z0 prochází v epoše t0 pólem P0 (osa X0 prochází jarním bodem ϒS0 a osa Y0 doplňuje soustavu na pravoúhlou). Druhá rotace se realizuje kolem osy Y, která leží v průsečnici AA1. Soustava se otáčí v kladném smyslu o úhel Θ. Třetí rotace je kolem os Z1 v záporném smyslu o úhel z. Touto operací jsme převedli střední souřadnice ze základní epochy t0 (J2000.0) na střední souřadni-ce v epoše t1.

Hodnoty precesních parametrů ζ, Θ , z a sklonu ekliptiky ε jsou definovány Mezinárodní astronomickou unií z roku 1976 takto:

ζ = (2306.2181“+1.396 56“ T – 0.000 139“ T2) t + (0.301 88“ – 0.000 344“ T) t2 +

- 62 (86) -

Změny souřadnic

+ 0.017 998 t3,

Θ = (2004.3109“ – 0.853 30“ T – 0.000 217“ T2) t – (0.426 65“ + 0.000 217 T) t2 –

– 0.041 833“ t3,

z = (2306.2181“ + 1.396 56“ T – 0.000 139“ T2) t + (1.094 68“ + 0.000 066“ T) t2 +

+ 0.018 203 t3,

(8.11)

kde ( )36525

24515451 −=

tJDt . V případě, že základní epocha T0 je epocha J2000,0

pak T = 0.

Převod středních souřadnic z epochy t0 (J2000.0) na střední souřadnice v epoše t1 se realizuje vztahem

( ) ( ) ( )

01 ttzyx

Zzzyx

−−=

ξθYZ (8.12)

kde P = Z(- z) Y(Θ) Z(- ξ) se nazývá precesní matice.

8.3.4 Vliv nutace na rovníkové souřadnice

Gravitační působení Měsíce na zemské těleso se periodicky mění podle polohy uzlové čáry měsíční dráhy. Tento jev, který se nazývá nutací, vyvolává perio-dický pohyb světového pólu P kolem jeho střední polohy Ps.

Nutací ovlivněný pól se označuje jako pravý pól (P). Precesí ovlivněný střední rovník RS1 se vlivem nutace posune do polohy R. Rovněž jarní bod přejde z polohy střední ϒs do polohy ϒ. Nutací se změní i sklon eklipti-ky. Z hodnoty εs se změní na hodnotu ε. Úhlová vzdálenost ϒ ϒs se nazývá nutace v ekliptikální délce (∆ψ), zatím-co nutace ve sklonu ekliptiky se značí ∆ε. Tento pohyb lze mode-lovat pomocí harmonického roz-kladu. Veličiny určující nutaci je

v některých případech vhodné rozdělit na složku dlouhoperiodickou ∆ψ a ∆ε (obsahuje členy s periodami většími než 35 dnů) a na složku krátkoperiodickou d ψ a dε (Obr. 8.8).

Obr. 8.8 Vliv nutace na pohyb pravého pólu

Vliv nutace na ekliptikální souřadnice je

λ´- λ = ∆ λ = ∆ψ ´+ dψ = ∆ψ ε´- ε = ∆ε = ∆ε´ + d ε = ∆ε

.(8.13)

- 63 (86) -


Nutační parametry podle nutační teorie IERS (International Earth Rotation Service) určíme

( ) ( ) ( )

( ) ( ) (ARGUMENTsin"BARGUMENTcost´BB

ARGUMENTcos"AARGUMENTsintÁA

i

263

1iii

i

263

1iii

++=ε∆

++=ψ∆

∑

∑

=

=

)(8.14)

kde ARGUMENT je lineární kombinací pěti základních argumentů Fj, které se nazývají Delaunayovy proměnné (Chyba! Nenalezen zdroj odkazů.). Delaunayovy proměnné jsou obdobou Keplerových elementů: Základní rovinou, ke které jsou vztaženy, je ekliptika nikoliv rovník jak je v případě Keplerových elemen-tů.

Obr. 8.9 Delaunayovy proměnné

F1 = l = střední anomálie Měsíce

F2 = l´= střední anomálie Slunce

F3 = F = L - Ω

F4 = D = střední elongace Měsíce od Slunce

F5 = Ω = střední délka výstupního uzlu Měsíce,

kde L je střední délka Měsíce.

Jednotlivé argumenty jsou dány :

l = 134.96340251° + 1717915923.2178“t + 31.8792“t2 +0.051635“t3 – + 0.00024470“t4

l´= 357.52910918° + 129596581.0481“t – 0.5532“t2 – 0.000136“t3 – 0.00001149“t4

F = 93.27209062° + 1739527262.8478“t – 12.7512“t2 – 0.001037“t3 + 0.00000417“t4

- 64 (86) -

Změny souřadnic

D = 297.85019547° + 1602961601.2090“t – 6.3706“t2 + 0.006593“t3 –0.00003169“t4

Ω = 125.04455501° - 6962890.2665“t + 7.4722“t2 – 0.007702“t3 – 0.00005939“t4

(8.15) kde t je udáváno v dynamickém čase v juliánských stoletích od epochy J2000.0

( )36525

24515451 −=

tJDt.

Hodnota argumentu se určí ze vztahu

jj FNARGUMENT ∑=5

1

kde N jsou násobné koeficienty. Největší koeficienty nutačního rozvoje jsou uvedeny v tabulce (Tabulka 8.1). Součet všech 263 členů (8.14) zahrnuje vliv „lunisolární“nutaci, která byla pro běžné redukce dostačující. Z (Tabulka 8.1) je zřejmé, že největší hodnotu obsahuje člen s argumentem Ω s periodou 18.62 let s amplitudami 17.2“ v ekliptikální délce a 9.2“ v ekliptikální šířce. Při zpraco-vání nejpřesnějších astrometrických pozorování při technologii interferometrie s velmi dlouhými základnami je tato nutace nedostačující a zavádí se dalších 118 členů vyvolaných „planetární“ nutací (mají amplitudu větší než 0.000001“). Po-čet Delaunayových proměnných se zvětšuje na 10. Delaunayovy proměnné jsou doplněny o střední anomálie Venuše, Marsu, Jupitera a Saturna (maximální amplituda dosahuje 0.0002“).

Tabulka 8.1 Nutační veličiny lunisolární nutace (hlavní členy)

Násobky N Perioda Eklip.délka Sklon ekliptiky l l´ F D Ω dny Ai Ai´ Bi Bi´ Ai“ Bi“

0 0 0 0 1 -6798.35

-17.206“ -0.02“ 9.205“ 0.001“ 0.004“ 0.002“

0 0 2 -2 2 182.62 1.317“ 0 0.573“ 0 -0.001 0

0 0 2 0 2 13.66 -.228 0 0.098“ 0 0 0

0 0 0 0 2 -3399.18 0.207“ 0 -0.09“ 0 0 0

0 1 0 0 0 -365.26 -0.148 0 0.007“ 0 0.001“ 0 Vliv nutace na střední polohy ovlivněné precesí uvážíme opět pomocí rotač-ních matic

( ) ( ) ( ) ( 1

jzyx

zyx

εεψεε NXXZX 1 =

∆−∆−−=

)

)

(8.16)

kde veličiny jsou souřadnice ovlivněné precesí. Sklon ekliptiky ( jzyx ,, 1ε je neovlivněný nutací. Matici se označuje jako nutační matice. Výsledné sou-řadnice se označují jako pravé souřadnice.

N

- 65 (86) -


Přibližný způsob zavedení vlivu precese a nutace je vysvětlen v kapitole 9.2.2.

8.4

8.5

Gravitační ohyb světla

Z obecné teorie relativity vyplývá, že světelný paprsek procházející gravitač-ním polem Slunce se ohýbá směrem ke Slunci. Ohyb se děje v rovině realizo-vané Zemí, Sluncem a hvězdou. Gravitační ohyb světla se musí uvažovat pou-ze při zpracování velmi přesných měření. esných měření.

Vlastní pohyb hvězdy Vlastní pohyb hvězdy

Do 18. století se hvězdy považovaly za stálice, protože v závislosti na čase znatelně neměnily svojí vzájemnou po-lohu. Vlastní pohyb hvězd je nepatrný a v důsledku jejich značných vzdáleností není v krátkém časovém období pozo-rovatelný.

Do 18. století se hvězdy považovaly za stálice, protože v závislosti na čase znatelně neměnily svojí vzájemnou po-lohu. Vlastní pohyb hvězd je nepatrný a v důsledku jejich značných vzdáleností není v krátkém časovém období pozo-rovatelný.

Relativní pohyb hvězd, vyvolaný jejich skutečným vzájem-ným pohybem v prostoru a pohybem našeho Slunce, se v prostoru rozkládá (vzhledem ke Slunci) na dvě složky (Obr. 8.10) na : radiální složku, která se určuje astrofyzikál-ními metodami na základě posunu spektrálních čar a tan-genciální složku, která způsobuje v časově vzdálených epo-chách změnu polohy hvězdy na sféře. Tangenciální složku

nazýváme vlastní pohyb hvězdy a určujeme ji astrometrickými metodami. Hodnoty vlastního pohybu hvězd za rok jsou u většiny hvězd velmi malé. Prů-měrný vlastní pohyb hvězd je asi 0.013“ za rok. Pouze asi třicet hvězd má větší vlastní pohyb než je 1˝.

Relativní pohyb hvězd, vyvolaný jejich skutečným vzájem-ným pohybem v prostoru a pohybem našeho Slunce, se v prostoru rozkládá (vzhledem ke Slunci) na dvě složky (Obr. 8.10) na : radiální složku, která se určuje astrofyzikál-ními metodami na základě posunu spektrálních čar a tan-genciální složku, která způsobuje v časově vzdálených epo-chách změnu polohy hvězdy na sféře. Tangenciální složku

nazýváme vlastní pohyb hvězdy a určujeme ji astrometrickými metodami. Hodnoty vlastního pohybu hvězd za rok jsou u většiny hvězd velmi malé. Prů-měrný vlastní pohyb hvězd je asi 0.013“ za rok. Pouze asi třicet hvězd má větší vlastní pohyb než je 1˝.

Za předpokladu, že µ je vlastní pohyb za jeden rok, pak µα = dα/d t a µδ

8.6

8.5

= d δ/d t je vlastní pohyb v rektascenzi, popřípadě v deklinaci, za jeden rok (je udáván v katalozích a ročenkách).

Za předpokladu, že µ je vlastní pohyb za jeden rok, pak µ = dα/d t a µδ

8.6

= d δ/d t je vlastní pohyb v rektascenzi, popřípadě v deklinaci, za jeden rok (je udáván v katalozích a ročenkách).

Obr. 8.10 Vlastní

pohyb hvězdy

α

Přibližné vztahy pro výpočet vlivu vlastního pohybu na rovníkové souřadnice hvězdy jsou Přibližné vztahy pro výpočet vlivu vlastního pohybu na rovníkové souřadnice hvězdy jsou

α´ = α + µα (t – t0) α´ = α + µδ´ = δ + µδ (t – t0) δ´ = δ + µδ (t – t0)

(8.17) (8.17) α (t – t0)

Vztahy (8.17) vyhovují pro výpočet redukce u hvězd, které mají malý vlastní pohyb. Vztahy (8.17) vyhovují pro výpočet redukce u hvězd, které mají malý vlastní pohyb.

Astronomická refrakce Astronomická refrakce

Při sledování kosmických objektů ze zemského povrchu procházejí paprsky vrstvami zemské atmosféry. Největší význam má troposféra, ozonosféra a stra-tosféra, kde dochází ke geometrické deformaci světelného paprsku. Astrono-mická refrakce je změna směru světelného paprsku vyvolaná jeho lomem v atmosféře. Z fyziky je známo, že se světelný paprsek šíří přímočaře pouze

Při sledování kosmických objektů ze zemského povrchu procházejí paprsky vrstvami zemské atmosféry. Největší význam má troposféra, ozonosféra a stra-tosféra, kde dochází ke geometrické deformaci světelného paprsku. Astrono-mická refrakce je změna směru světelného paprsku vyvolaná jeho lomem v atmosféře. Z fyziky je známo, že se světelný paprsek šíří přímočaře pouze

- 66 (86) -

Změny souřadnic

v homogenním prostředí. Při přechodu paprsku z jednoho prostředí do druhého se na jeho rozhraní světelný paprsek láme. Mezi úhlem dopadu α1 a úhlem lomu α2 platí Snelliův zákon

1

2

2

1

nn

sinsin

=αα ,

kde koeficienty n1, n2 vyjadřují optickou lámavost prostředí a nazývají se inde-xy lomu. Indexy lomu jsou pro určité prostředí a vlnovou délku světla kon-stantní a nezávisí na úhlu dopadu. Indexy lomu se nepatrně mění v závislosti na vlnové délce světla.

Vzhledem k tomu, že hustota zemské at-mosféry klesá se zvětšující se výškou (přibližně podle exponenciálního zákona) dochází k infinitezimálním lomům paprs-ků, které vyvolávají ohyb paprsku stále ke kolmici, takže pozorovatel na zemském povrchu vidí kosmické těleso v tzv. zdán-livé zenitové vzdálenosti z´(Obr. 8.11). V případě, že by byla atmosféra homo-genní, viděl by pozorovatel toto těleso v pravé –skutečné zenitové vzdálenosti z.

Obr. 8.11 Astronomická refrakce

Refrakce R je tedy rozdíl mezi pravou (z) a zdánlivou (z´) zenitovou vzdáleností

R = z – z´. (8.18)

Pro odvození refrakčního vzorce budeme předpokládat, stejně jako francouz-ský astronom Cassini, že atmosféru representuje homogenní vrstva vzduchu o výšce v a indexu lomu n0. Tento postup sice není zcela exaktní, ale vcelku dob-

ře reprezentuje skutečnost.

Obr. 8.12 Odvození vlivu astronomické

refrakce podle Cassiniho

Světelný paprsek přichází k pozorovateli na zemském povrchu v bodě A. Za předpokladu, že je atmosféra homogen-ní, s integrální střední hodnotou indexu lomu n0, bude dráha světelného paprsku v atmosféře přímočará. Světelný paprsek se bude lámat v bodě B, kde vstupuje do zemské atmosféry pod úhlem i (Obr. 8.12). Pravá zenitová vzdálenost kosmic-kého tělesa z se zmenší na zdánlivou zenitovou vzdálenost z´. Podle Snelliova zákona lomu platí

n sin (i + R) = n0 sin i (8.19)

kde n = 1 je index lomu ve vakuu a n0 je index lomu prostředí. Upravíme-li rovnici (8.19) dostaneme

sin i cos R + cos i sin R = n0 sin i

- 67 (86) -


sin i + R cos i = n0 sin i,

kdy jsme uvážili, že refrakce dosahuje malých hodnot, takže lze položit sin R = R, cos R = 1. Z poslední rovnice získáme vzorec pro určení refrakce

R = (n0 – 1) tg i. (8.20)

Neznámý úhel i nahradíme zdánlivou zenitovou vzdáleností z´, kterou vypočí-táme pomocí sinové věty z trojúhelníka CAB Obr. 8.12, kde C reprezentuje střed Země, r je poloměr Země, bod B je na rozhraní atmosféry a v je výška homo-genní vrstvy atmosféry.

(r + v) sin i = r sin z´

,´zsin1

1´zsinvr

risinε+

=+

= (8.21)

kde ε je malá veličina určená vztahem ε = v/r. Dosadíme-li (8.21) do (8.20) dostaneme

( )

( )

( ) .1n´zsin

111

´zsin1

1

icosisin1nR 0

22

0 −

ε+−

ε+=−= (8.22)

Vzhledem k tomu, že ε<< 1, můžeme na jeho mocniny aplikovat binomickou větu.

( )

( )( ) .´ztgB´ztgA´ztg1´ztg

11n

´ztg211

´ztg1nR 320

2

0 +=ε−ε+

−=

ε+ε+

−=

(8.23)

Koeficienty A a B jsou

.AB,1

1nA 0 ε−=

ε+−

=

Hodnoty koeficientů se určují na základě pozorování. Pokusme se určit výšku homogenní vrstvy v atmosféry. Víme, že hustota vzduchu σ násobená výškou atmosférického sloupce v musí být rovna výšce sloupce rtuti ve rtuťovém tla-koměru násobenému hustotou rtuti (σHg =13.595 g/cm3). Protože hustota vzdu-chu při teplotě 0° C, barometrickém tlaku 760 mm Hg a při normálním zrych-lení zemské tíže je σ = 0.001293 g/cm3, získáme

.001254.06371

vrvakm991.7

000760.0v Hg ===ε=

σ

σ=

Použijeme-li pro index lomu hodnotu n0 = 1.00029255, kterou odvodil Bessel pro střední atmosférické podmínky (t = 0° C, b = 1013.2 hPa) , dostaneme pro

hodnoty koeficientů

A = 60.27“ , B = -0.076“. (8.24)

- 68 (86) -

Změny souřadnic

Index lomu vzduchu n závisí na jeho hustotě σ, tudíž se změnou hustoty se bude měnit i refrakce. Odvoďme závislost refrakce na teplotě a tlaku vzduchu. Vyjdeme ze známé stavové rovnice

b V = K T,

kde b je tlak vzduchu, V jeho objem, K je konstanta a T = 273° + t (t je teplota vzduchu vyjádřená ve °C). Pro nějaké váhové množství vzduchu c2 platí pro jeho hustotu

Tb

Kc

Vc 22 ==σ .

Dále předpokládejme, že index lomu závisí na hustotě podle vztahu

n = 1 + c1 σ.

Pokud zanedbáme malou veličinu ε v refrakčním vzorci můžeme s využitím předcházející rovnice určit hodnotu koeficientu A

,t273

bcTb

Kccc1nA 0

211 +

==σ=−=

kde c je nová konstanta..

Zvolme si základní hodnoty teploty a tlaku vzduchu (t0, b0) a jejich obecné hodnoty (t, b). Pro výpočet refrakce pak platí následující rovnice

.´ztg

t273bcR´,ztg

t273bc

R 00

00

0 +=

+=

(8.25)

Refrakce, která odpovídá základním hodnotám (t0, b0) se nazývá normální refrakce. Z rovnice (8.25) lze vyloučit konstantu c. Získáme

( )( ) .

t273bt273b

RR 00

00

0 ++

= (8.26)

Ze vzorce (8.26) je zřejmé, že refrakce klesá s rostoucí teplotou a roste s barometrickým tlakem. Tento vzorec pro výpočet refrakce je vhodný do zeni-tové vzdálenosti menší než 75°.

Je třeba si uvědomit, že vliv astronomické refrakce urychluje východ a zpožďuje západ. Jestliže kosmické těleso má větší zdánlivý poloměr, pak se vliv refrakce většinou zesílí.

Při konkrétním měření je rozložení vzduchových vrstev narušeno vzdušným prouděním, popřípadě vlněním, které je vyvoláno jednak nerovnostmi terénu, jednak teplotními rozdíly způsobenými zářením Slunce. Z těchto důvodů dosa-huje skutečná refrakce jiných hodnot než se získá výpočtem. Rozdíl mezi sku-tečnou a vypočítanou hodnotou refrakce se nazývá refrakční anomálie. Úkolem měřiče je snížit vliv refrakčních anomálií na minimum. Toho lze dosáhnout jednak vhodným výběrem hvězd, volbou času pozorování a v neposlední řadě také vhodnou volbou stanoviště.

- 69 (86) -


Refrakce se většinou počítá pomocí tabulek, které autoři sestavili s využitím vzorce (8.23).Nejvíce se používají tabulky Besselovy, Radauovy a tabulky re-frakce Pulkovské observatoře.

8.6.1 Vliv refrakce na souřadnice

Vlivem refrakce se mění poloha hvězdy na sféře. Z horizontálních souřadnic se mění vlivem refrakce pouze zenitová vzdálenost nebo výška hvězdy (důsled-kem astronomické refrakce vidíme hvězdu výše, než je ve skutečnosti). Hodno-ta azimutu se nemění, protože lomený paprsek zůstává v rovině dopadu

∆zR = z´- z = - R ∆AR = AÁ = 0,

(8.27)

kde z´je pozorovaná zenitová vzdálenost hvězdy a z je skutečná zenitová vzdá-lenost.

Vliv refrakce na rovníkové souřadnice lze uvážit pomocí následujících vztahů

∆αR = α´ − α = R (cos ϕ sin t) / (sin zćos δ)

∆ tR = t´- t = - R (cos ϕ sin t) / (sin z´ cos δ)

∆δR = δ´− δ = R [(sin ϕ / (cos δ sin z´) - tg δ´ cotg z´]

(8.28)

V praxi se většinou vliv refrakce zavádí opravou zenitové vzdálenosti.

8.7 Pohyb zemských pólů

Souřadnicová soustava pevně spojená se Zemí umožňuje určit polohu pozoro-vacího místa na Zemi. Okamžitá osa rotace Země (okamžitý vektor rotace) však vykonává vzhledem k této souřadnicové soustavě pohyb, který se označu-je jako pohyb pólu. Z těchto důvodů se mění astronomická zeměpisné souřad-nice (ϕ, λ) a astronomický azimut. V dalším textu budeme proto rozlišovat:

a) střední astronomické souřadnice (šířku, délku a azimut) vztažené ke konven-cionální terestrické souřadnicové soustavě. Tyto souřadnice jsou vztaženy ke střední poloze konvencionální rotační osy (CIO) a konvencionálnímu základ-nímu poledníku,

b) okamžité souřadnice určené vzhledem okamžité poloze rotační osy a zá-kladnímu poledníku

Při aproximaci reálné Země modelem elastického rotujícího elipsoidu bude zemský pól vykonávat dva pohyby:

- pohyb po kružnici s periodou 430 dnů v matematicky kladném směru (tzv. chandlerova perioda) se středem v ose hlavního momentu setrvač-nosti Země o poloměru 6 m (= 0.2“),

- pohyb po kružnici o poloměru 60cm s denní periodou v matematicky záporném směru.

- 70 (86) -

Změny souřadnic

Vzhledem k současné přesnosti pozorování je třeba při studiu pohybu pólu uvažovat reálný geofyzikální model Země, který sestává z kůry, pláště, tekutého vnějšího jádra a pevného vnitřního jadérka a který je pokryt oceány a je ob-klopen atmosférou. Z těchto dů-vodů je obtížné modelovat pohyb pólu a variace v rotaci. Musí se určovat přímo z pozorování. Jako počátek odečtu souřadnic pólu se zavádí mezinárodní konvencio-nální počátek CIO (Conventio-nal International Origin). Byl zvolen jako průměrná poloha pólu z let 1900 - 1905. Pohyb pólu z let 1992 - 1995 je uveden na (Obr. 8.13). V pólu CIO leží osa Mezinárodního terestrického referenčního rámce ITRF (kap.10.2). Pohyb osy rotace ovlivňuje hlavně elastická de-

formace Země, změny hustoty atmosféry, změny hladiny oceánů, kolísání pod-zemní vody a atmosférické slapy. Současně se místo skutečného rotačního pólu zavádí konvenční efemeridový pól CEP, který leží v blízkosti střední polohy rotačního pólu. Souřadnice pólu CEP vztažené k pólu CIO se označují písmeny xP a yP.

Obr. 8.13 Pohyb pólu

Změna rychlosti rotace Země, která ovlivňuje změnu délky dne, je ovlivňována kromě periodických složek (jejich velikost je v řádu milisekund) také sekulár-ním (věkovým) členem, který je vyvoláván tzv. slapovým třením. Na základě pozorování byla určena sekulární změna úhlové rotace Země ω

( ) 222105.04.5 −− ⋅⋅±−= sradtd

dω (8.29)

8.7.1 zimu-Redukce astronomických zeměpisných souřadnic a atů na střední pól Země Vztahy pro převod astronomických zeměpisných souřadnic a azimutů na střed-ní pól odvodíme pomocí obrázku (Obr. 8.14) , kde B je stanoviště pozorovate-le. Pól P odpovídá poloze pólu v okamžiku měření. Polohu bodu P lze vyjád-řit vzhledem k střednímu pólu CIO buď pravoúhlými souřadnicemi xP, yP , nebo polárními souřadnicemi - průvodičem a a úhlem u.

- 71 (86) -


Průsečík základního poledníku se středním rovníkem (A) se považuje za fundamentální bod při určování astro-nomických zeměpisných délek. Tento bod se při přechodu od PCIO k P přene-se otáčením do bodu A´.

Obr. 8.14 Redukce na středni pól

Uvážíme-li, že xP , yP jsou veličiny, které dosahují malých hodnot, lze na-psat vztah

xP = a cos u , yP = a sin u. (8.30)

Pro odvození redukce astronomické zeměpisné šířky a astronomického azimutu na střední pól použijeme trojúhelník P PCIO B. Dosadíme-li do kosinové věty

sin ϕ = sin ϕS cos a + cos ϕS sin a cos (λS + u) za ϕ = ϕS + dϕ a současně se uváží vztahy (8.30)

dostaneme

sin (ϕS + dϕ) – sin ϕS = cos ϕS (xP cos λ - yP sin λ),

odkud

dϕ = xP cos λ - yP sin λ , (8.31)

takže

ϕS = ϕ - xP cos λ + yP sin λ . (8.32)

Tato rovnice se nazývá rovnicí Kostinského a využívala se (až do roku 1984, jak si ukážeme později) k určování pravoúhlých souřadnic okamži-tého pólu.

Pro výpočet redukce azimutu na střední pól použijeme sinovou větu v témže trojúhelníku

cos ϕ sin ∆A = sin a sin (λS + u), odkud za předpokladu, že ∆A, a a dosahují malých hodnot

∆A = a (sin λS cos u + cos λS sin u) / cos ϕ.

Po uvážení vztahů (8.30) dostaneme

AS = A – (xP sin λ + yP cos λ) /cos ϕ. (8.33)

Pro určení redukce astronomické zeměpisné délky na střední pól se využije trojúhelník PBBI, kdy se předpokládá, že B= BI.

Do sinové věty

cos ϕ sin ∆λ = sin ϕS sin ϑ

dosadíme za sin ϑ z trojúhelníku P PCIOBI

- 72 (86) -

Změny souřadnic

sin ϑ = sin a sin (λS + u ). Za předpokladu, že ∆λP a a dosahují malých hodnot, dostaneme

∆λP = a (sin λS cos u + cos λS sin u) tg ϕ . (8.34)

S uvážením vztahu (8.30) dostaneme

∆λP = 1/15 (xP sin λ + yP cos λ) tg ϕ . (8.35)

Předpokládejme, že jsme pomocí metod geodetické astronomie určili na stano-višti astronomické zeměpisné souřadnice ϕ , λ .Tyto souřadnice jsou vztaženy k okamžité poloze pólu P. Místní hvězdný čas s jsme určili v čase UTC.

Platí známý vztah

S = s - λ = s – (λS + ∆λP), (8.36)

kde greenwichský hv

ý vztah

S = s - λ = s – (λS + ∆λP), (8.36)

kde greenwichský hvězdný čas Sězdný čas S je vztažen k okamžité poloze pólu, λ ( s

S – S0 = UT1 (1 + µ) = (UTC + DUT1) (1 + µ). (8.37)

Spojíme-li

UT1 (1 + µ) + S0 = s - λS - ∆λP. (8.38)

Definujme

λ ) je hodnota okamžité (konvenční) astronomické zeměpisné délky.

Protože ale současně platí (4.9) dostaneme

rovnice (8.36) a (8.37) dostaneme

,1

0UT 00

µ+=

zdný čas, který byl určen v

Ss −λ−

kde s je místní hvě okamžiku UTC. Dosadíme-li

tento vztah do (8.38) získáme

.0UT1

0UT1UT Pλ∆−≈µ+

−=

UT0 zavedením korekce z přechodu m

λ∆

Čas UT1 získáme z ezi okamžitým a

čování korekce DUT1 mezi rotačním časem UT1 a

UT0 – UTC = UT1 – UTC + ∆λP = DUT1 + (xP sin λ + yP cos λ) tg ϕ. (8.39)

Zís h so -

zi střední a zdánlivou polohou hvězdy?

konvencionálním pólem.

Čas UT0 se používá k urkoordinovaným časem UTC, popřípadě k určování souřadnic pólu. V tomto případě musíme znát konvenciální souřadnice ϕS a λS. Platí

káme-li rozdíly UT0 – UTC z více stanic o různých zeměpisnýc uřadnicích je vlastně rovnice (8.39) zprostředkující rovnicí pro určení DUT1 (popří-padě xP , yP) pochopitelně s využitím metody nejmenších čtverců.

Kontrolní otázky

Jaký je rozdíl me

Jaké druhy paralax rozlišujeme?

Co je astronomická jednotka?

Co způsobuje aberace a čím je vyvolána?

- 73 (86) -


Uveďte příčiny precese a nutace?

Popište přesný způsob zavedení precese a nutace.

Astronomická refrakce, příčiny a důsledky

- 74 (86) -

Katalogy hvězd a astronomické ročenky

9 Katalogy hvězd a astronomické ročenky

Katalogy hvězd jsou soubory astronomických a astrofyzikálních údajů o hvěz-dách. Katalogy se vztahují k určité epoše a jsou uspořádány podle zvolených zásad.

ů o hvěz-dách. Katalogy se vztahují k určité epoše a jsou uspořádány podle zvolených zásad.

Z našeho hlediska jsou nejdůležitější takové katalogy, kde jsou uvedeny Z našeho hlediska jsou nejdůležitější takové katalogy, kde jsou uvedeny střední souřadnice hvězd, vlastní pohyby, paralaxy, radiální rychlosti a jejich zdánlivé magnitudy (jasnosti).

Astronomické ročenky se zpracovávají pro běžný kalendářní rok. Většinou jsou udávány souřadnice těles sluneční soustavy pro 0h TT, střední, zdánlivé sou-řadnice hvězd (v okamžiku horní kulminace na greenwichském poledníku), greenwichský hvězdný čas pro 0h UT1 a řada dalších údajů potřebných pro astronomická pozorování.

9.1 Katalogy hvězd

Katalogy se rozdělují podle jejich vzniku na katalogy absolutní, fundamentální a soupisy hvězd.

Absolutní katalogy obsahují hvězdy, jejichž polohy byly určeny absolutními metodami. Přesnost, která je odvislá od použitých metod určení absolutních souřadnic, dosahuje 0.005s v rektascenzi a 0.05“ v deklinaci rovníkových hvězd. Přesnost poloh hvězd ležících v blízkosti pólů je nižší.

Kombinací absolutních katalogů se sestavují fundamentální katalogy. Fun-damentální katalogy charakterizují přesnost astrometrie v tom kterém období. Každý katalog, obsahující střední polohy hvězd a jejich vlastní pohyby, vlastně vytyčuje pro základní epochu fundamentálního katalogu polohu počátku rekta-scenzí a deklinací a jejich změny.

Soupisy hvězd jsou shrnující (kompilační) katalogy obsahující polohy všech viditelných objektů. Souřadnice jsou většinou určovány fotografickou astrome-trickou metodou s přesností asi 0.1´.

Od roku 1986 jsou udávány souřadnice v systému Pátého fundamentálního katalogu FK5, který se skládá ze dvou částí. První část byla publikována v roce 1988 a zahrnuje střední místa a vlastní pohyby za století pro 1535 fun-damentálních hvězd, které byly uvedeny v katalozích FK3 a FK4. Druhá část katalogu obsahuje střední místa nově vybraných hvězd a jejich vlastních pohyb za století s magnitudem od 5.5 do 9.5. Celkem obsahuje katalog přes 5000 hvězd. Publikované údaje jsou vztaženy pro epochu B1950.0 a epochu J2000.0. Je třeba poznamenat, že transformace v této soustavě se provádějí pomocí pre-cesních konstant IAU 1976 a nutačních konstant IAU 1980.

Značný pokrok při tvorbě katalogů, představují astrometrická pozorování reali-zovaná v kosmickém prostoru. Tato pozorování mají oproti pozemnímu pozo-rování několik výhod:

• jedním přístrojem lze určit souřadnice na celé obloze

- 75 (86) -


• pozorování se realizují mimo atmosféru a nejsou zatížena refrakcí a turbulen-cí.

Princip astrometrické družice publikoval v r. 1967 Lacrout. V roce 1980 byla pracovníky ESA (European Space Agency) projektována družice s označením HIPPARCOS (Hight Precision PARalax Collecting Satellite). Družice byla vypuštěna v roce 1989 a její observace se uskutečnily v období 37 měsíců do března 1993. Cílem bylo určit přesné hodnoty rektascenzí, deklinací, vlastních pohybů a absolutních trigonometrických paralax. Výsledkem byl Katalog Hip-parcos obsahující 118 218 objektů jejichž souřadnice byly určeny s přesností 0.001“. V roce 1992 byla měření rozšířena na 1 000 000 objektů. Vznikl do jisté míry nezávislý katalog Tycho , který využíval „dvoubarevnou fotometrii“ na hvězdy jejichž magnituda je jasnější než 11.5. Přesnost určení souřadnic je 0.025“. Katalog Hipparcos je distribuován na CD ROOM obsahuje střední po-zice v barycentrické souřadnicové soustavě pro terestrický čas TT v systému ICRS pro epochu J1991.25. Katalog obsahuje chyby všech určovaných veličin a pro „jednoduché“ hvězdy jsou uvedeny prvky kovariačních matic, které vy-jadřují statistické závislosti mezi určovanými veličinami. Dvojhvězdy a více-násobné hvězdy byly rozděleny do tří kategorií. Je třeba poznamenat, že vlastní pohyby, které mají vysokou přesnost platnou v epoše J1991.25, mohou být v dlouhodobém pohledu značně nepřesné, protože vlastní pohyby byly určeny v poměrně krátkém období 37 měsíců. Katalog Tycho je určen jako observační katalog.

Zvláštní pozornost je třeba věnovat katalogu radiových hvězd, které definují nebeský referenční systém ICRS, který od roku 1997 nahrazuje souřadnicový systém realizovaný katalogem FK5.

9.2 Astronomické ročenky

Astronomické ročenky obsahují souřadnice těles sluneční soustavy a hvězd, popřípadě řadu dalších údajů, potřebných pro různé astronomické práce, pro příslušný kalendářní rok. Astronomické ročenky jsou vydávány v různých stá-tech a pochopitelně také s různým obsahem.

Pro amatérskou astronomii vydává Hvězdárna a planetárium hlavního města Prahy s Astronomickým ústavem AV ČR v Praze Hvězdářskou ročenku, kte-rá svojí přesností vyhovuje spíše pro vědecko populární práce. Pro práce v geodetické astronomii je její využití omezeno v důsledku údajů s menší přes-ností.

Pro přesné práce se u nás velmi využívala ročenka Astronomičeskij ježegod-nik, který vydává Institut teoretičeskoj astronomii v St.Petěrburku v Rusku. V ročence je uveden pravý a střední greenwichský hvězdný čas v 0h UT1 s hodnotami nutace v rektascenzi. Jednodenní efemerida Slunce obsahuje zdán-livé rovníkové souřadnice Slunce, jeho zdánlivý poloměr, časovou rovnici, ekliptikální délku a šířku a pravý sklon ekliptiky pro 0h terestrického času (TT). Pro stejný časový okamžik jsou tabelovány pravoúhlé souřadnice Slunce. Tyto se vztahují ke střednímu jarnímu bodu epochy J2000.0. Pravoúhlé barycentric-ké souřadnice Země a jejich časové změny jsou tabelovány pro každý den v 0h

barycentrického dynamického času (TDB). Opět se vztahují ke střednímu jar-

- 76 (86) -


nímu bodu a rovníku epochy J2000.0. V další části jsou tabelovány zdánlivé ekliptikální a rovníkové souřadnice Měsíce, jeho horizontální paralaxa a zdán-livý geocentrický poloměr pro 0h a 12h TT. Pro 0h TT jsou publikovány zdánli-vé rovníkové souřadnice, horizontální paralaxa a zdánlivý poloměr planet.

Pro každý den pro 0h TT a 0h hvězdného dynamického času jsou tabelována Besselova denní čísla a zlomek roku τ (Tabulka má označení „Redukční veli-činy“).

Ročenka zahrnuje 779 hvězd. Jsou uvedeny jednak střední polohy hvězd pro střed příslušného juliánského roku s ročními precesními změnami a ročními vlastními pohyby v obou souřadnicích. Kromě čísla hvězdy je uvedeno také číslo katalogu FK5 nebo jiného katalogu. Dále zde jsou střední polohy pro zá-kladní epochu J2000.0. Kromě toho jsou tabelovány zdánlivé souřadnice hvězd pro okamžik horní kulminace na Greenwichském poledníku. Okamžik horní kulminace je udáván s přesností 0.1 dne (desetinné číslo příslušného data). Z celkového počtu je 47 hvězd s deklinací 80°< δ < 90° tabelováno v jednodenní efemeridě (tzv.„blízkopólové hvězdy“ mají označení N před čís-lem hvězdy). Ostatní hvězdy jsou uváděny v desetidenní efemeridě. V tomto případě není započítána krátkoperiodická nutace. Při přesných metodách je třeba vliv krátkoperiodické nutace dopočítat pomocí hvězdných čísel, která jsou udávána ve spodní části desetidenní efemeridy. V případě potřeby ji uvá-žíme pomocí Besselových denních a hvězdných čísel (kap.9.2.2).V ročence je uváděna i juliánská perioda.

Ostatní údaje již nejsou z hlediska našeho zájmu tak důležité. V ročence jsou uvedeny údaje o zatmění Slunce a Měsíce, o východu a západu Slunce, tabulky pro fyzická pozorování členů sluneční soustavy a různé astronomické pomocné tabulky. Užitečné jsou pomocné tabulky výšek a azimutů Polárky. Ročenka je doplněna poměrně obsáhlou částí, kde jsou uvedeny jak použité vzorce a kon-stanty, tak číselné příklady.

Ročenka pparent Places of Fundamental Stars umožňuje výpočet zdánli-vých poloh pro 1535 hvězd z katalogu FK5 bez krátkoperiodické nutace. Tento vliv lze dopočítat pomocí hvězdných čísel a krátkoperiodické nutace v ekliptikální délce a sklonu, které jsou tabelovány v Tabulce I. Zdánlivé sou-řadnice jsou tabelovány v desetidenní efemeridě. I zde jsou tabelovány v jednodenní efemeridě blízkopolární hvězdy. Zdánlivé souřadnice již zahrnují i krátkoperiodické členy nutace. Také v této ročence jsou tabelovány pro juli-ánskou epochu středu příslušného roku (JXXXX.5) hodnoty Besselových den-ních čísel.

A

9.2.1

V závěru ročenky je v Tabulce II udáván greenwichský hvězdný čas pro 0h UT1. Zde jsou také uveden pomocné Tabulky pro různé převody.

Interpolace hodnot z astronomické ročenky

Při interpolaci v astronomické ročence lze využívat dvou způsobů interpolace :

• interpolaci pomocí diferencí

• interpolaci s využitím hodinových změn tabelovaných hodnot

- 77 (86) -


9.2.1.1 Interpolace pomocí diferencí

Při interpolaci pomocí diferencí využíváme kvadratickou interpolaci s využitím Besselova interpolačního vzorce. Pro čas t vyinterpolujeme příslušnou hodnotu podle

f(t) = f(t0) + n ∆1½ + B2 ∆2

½ + B3 ∆3½ + …

kde symbol ∆ diferenci. Diference ∆2 ½ se musí počítat jako průměrná hodnota

ze sudých diferencí ∆20, ∆2

1. Jeden z důležitých úkolů při interpolaci je výpočet interpolačního argumentu. Interpolační argument n získáme ze vztahu

n = (t – t0)/h (9.1)

kde h je tabulkový interval (krok). Dále je třeba si uvědomit, že souřadnice těles sluneční soustavy jsou tabelovány pro 0h TT, zatímco zdánlivé souřadnice hvězd platí pro horní kulminaci na greenwichském poledníku. Je třeba připo-menout, že pozorování registrujeme ve stupnici koordinovaného času, buď světového UTC, nebo pásmového SEČ (SELČ). Je proto nutné, zvláště při in-terpolaci souřadnic Slunce, Měsíce a planet, používat čas, v kterém jsou sou-řadnice těchto těles tabelovány(UT1 = UTC + DUT1, TT = UT1 + ∆T(a)).

9.2.1.2 Interpolace pomocí hodinových změn

Pro snadnější interpolaci jsou v ročence uváděny u některých veličin (deklinace Slunce, rovnice času) hodinové změny tabelovaných veličin. V tomto případě, je třeba časový interval (t – t0) vyjádřit v hodinách.Označíme-li v okamžiku t0 tabelovanou hodinovou změnu v0 a hodinovou změnu pro další tabelovanou hodnotu v1, pak interpolační vzorec pro kvadratickou interpolaci pomocí hodi-nových změn je

( ) ( ) ( ) ( ) .vv48

ttvtttftf 0

0000

−

−+−+= (9.2)

9.2.2 Interpolace zdánlivých souřadnic hvězd

Zdánlivé souřadnice hvězd získáme interpolací buď z jednodenní nebo deseti-denní efemeridy. Souřadnice jsou tabelovány v okamžiku horní kulminace na greenwichském poledníku. Proto musí být interpolační argument n vyjádřen greenwichským datem i časem pozorování.

Rozlišují se dva způsoby výpočtu interpolačního argumentu a to podle toho, zda v interpolačním argumentu je nebo není kritické datum. Vysvětlíme si ur-čení interpolačního argumentu v intervalu bez kritického data. Zvolíme násle-dující postup:

Nejdříve je třeba určit datum d na greenwichském poledníku. Toto se může lišit od data dm v místě pozorování o ± 1 den.V místech na východ od základ-ního poledníku bude d = d – 1 tehdy, jestliže

S0 < S < S0 + λ.

Ve všech ostatních případech platí d = dm .

- 78 (86) -


Ke greenwichskému datu d najdeme ve zdánlivých pozicích nejbližší nižší da-tum d0 a hodnoto α0. Vypočítáme greenwichský hodinový úhel tG. Hodinový úhel počítáme podle posloupnosti S0, S a α0.

tG = S - α0 platí pro posloupnost S0 → α0 → S (9.3)

V případě, že S < α0 je třeba zvětšit S o 24 hodin. V případě, že S < α0 je třeba zvětšit S o 24 hodin.

(tG = - (α0 – S) platí pro posloupnost S0 → S → α0 (t (9.4) (9.4) G = - (α0 – S) platí pro posloupnost S0 → S → α0

V případě, že α0 < S je třeba α0 zvětšit o 24 hodin. V případě, že α0 < S je třeba α0 zvětšit o 24 hodin.

Interpolační argument určíme ze vztahu Interpolační argument určíme ze vztahu

( )( )

.efemeridujednodennípro24t

n

efemeriduídesetidennpro10

tddn

G

dG0

=

+−=

(9.5)

Zdánlivé souřadnice vyinterpolované z jednodenní efemeridy zahrnují i vliv krátkoperiodické nutace.Vyinterpolované zdánlivé souřadnice z desetidenní efemeridy obsahují pouze vliv dlouhoperiodických členů nutačních, což pro řešení přibližných úloh zcela postačuje. Při přesných pracích je třeba ještě uvá-žit vliv krátkoperiodických členů nutačních

∆αk.n = Aá + B´ b, ∆δk.n = A´ a´+ B´ b´, (9.6)

kdy využijeme hodnoty hvězdných čísel a, a´, b, b´tabelovaných v dolní části desetidenní efemeridy. Besselova denní čísla jsou tabelována v „redukčních veličinách“.

9.2.3

dc1ba αα′

Výpočet zdánlivých poloh pomocí Besselových denních čísel

V tomto případě opravujeme střední polohy hvězd v počáteční epoše JP (v současnosti jsou vztažené ke středu juliánského roku). Rektascenzi a dekli-naci označíme α0P, δ0P. Připomeňme si, že toto střední místo, vztažené k těžišti Slunce, vzniklo uvážením vlivu precese a vlastního pohybu od základní epochy J2000.0 k počáteční epoše J0P. Zdánlivé geocentrické polohy α´, δ´ získáme

( ) ( )

,dd

xcc

yJtgJ

tg

dD

cC

0E

bBB

aAA

g

g00

P0

P0

′

−

′

π+

δ∆α∆

+

δδ+τ

µµ

+

+

′

+

′

+

+

′

′++

′

′++

δ

=

δ′

⊗⊗δ

α

δ

α

(9.7)

kde veličiny Jα, Jδ vyjadřují vliv veličin druhého řádu. Tento je třeba uvažovat pouze při přesných výpočtech. Hodnoty korekčních členů lze vypočítat ze vztahů [1] :

1sinP2

J1sinQP15

J ′′−=′′= δα11 2

- 79 (86) -


kde

( ) ( )

α−

α±+

αα

±=

sin

cosCB

cossin

DAQP

.

Horní (dolní) znaménko platí pro δ0 > 90° (δ0 < 90°).

precese a nutace : A + A’ = n τ + (∆Ψ + dΨ ) sin ε

B + B’ = -(∆ε + dε) ,

E = q1/ p1(∆Ψ + dΨ)

(q1 složka planetární precese, p1 složka lunisolární precese)

roční aberace : C = -A″ cos ε cos λ⊗

D = -A″sin λ⊗

roční paralaxa .xdd

ycc

′

−

′

π ⊗⊗

Vlastní pohyb hvězdy µα, µδ

Hvězdná čísla :

a =1/15 (m/n + tg δ sin α) a´= cos α

b =1/15 cos α tg δ b´= - sin α

c = 1/15 cos α sec δ c´= tg ε cos δ - sin α sin δ

d = 1/15 sin α sec δ d´= cos α sin δ

(9.8)

Besselova denní čísla se udávají pro každý den roku v astronomických ročen-kách. Většinou jsou počítána pro 0 TT a pro 0 hvězdného dynamického času. Veličiny µ µ vyjadřují vlastní pohyb hvězdy, symboly jsou pravo-úhlé souřadnice Slunce, které jsou rovněž tabelovány v ročenkách.

h h

α , δ ⊗⊗ y,x

Kontrolní otázky Co je fundamentální katalog?

Co je Astronomická ročenka?

Co jsou Besselova denní čísla?

Jak se určí interpolační argument v jednodenní a desetidenní efemeridě?

Popište výpočet zdánlivých poloh s využitím Besselových denních čísel.

- 80 (86) -

Konvenční referenční souřadnicové systémy

10 Konvenční referenční souřadnicové systémy

Newtonovy pohybové rovnice popisují pohyb v souřadnicovém inerciálním systému. Měly by být uváženy všechny pohyby Země kromě pohybu přímoča-rého. Zvolený inerciální systém se nesmí účastnit rotačního pohybu Země a to nejenom pokud jde o vlastní rotaci, ale i o pohyb precesně nutační a volně nu-tační (kolísání zemských pólů). Měl by se uvažovat i pohyb sluneční soustavy kolem středu Galaxie a nakonec i pohyb Galaxie vzhledem ke seskupení ga-laxií v souhvězdí Panny (o tomto dosud víme velmi málo).

K nejznámějším konvenčním nebeským referenčním systémům patří:

• systém katalogu FK5, který je definován metodami klasické astro-metrie je vztažen k epoše J 2000.0. Základní roviny a směry, jakož i pól a střední jarní bod FK5 jsou definovány implicitně pomocí publikovaných střed-ních rovníkových souřadnic. Polohy hvězd doposud byly určeny z pozorování ze zemského povrchu. Takto získané zdánlivé polohy se přepočítaly pomocí redukcí na střední souřadnice vztažené ke zvolené epoše katalogu. Vlastní po-hyby hvězd nebyly známy dostatečně přesně, takže katalogy hvězd jsou zatíže-ny chybou v určení vlastních pohybů hvězd. Katalog FK5 se řadí mezi nejpřes-nější katalogy získané klasickými metodami astrometrie.

• systém IERS J 2000.0 je založen na dynamickém pohybu Země. Rovníkové souřadnice objektů jsou vztaženy k dynamicky definovanému rov-níku a jarnímu bodu v referenční epoše J 2000.0.

V současné době máme možnost vytvořit inerciální systém pomocí de-tekce velmi vzdálených rádiových zdrojů (tzv. kvasarů), které je jsou v tako-vých vzdálenostech, že jejich vlastní pohyby, se při soudobé přesnosti měření topocentrických směrů (± 0.001“), prakticky neprojeví.Tyto kvasary mohou tedy vytvořit „pevné body ve Vesmíru“, které lze využít pro vytvoření opěrné sítě, ke které lze vztahovat polohy používaných hvězd. Opěrná síť vytyčí počá-tek odečtu rektascenze, který není zatížen vlastním pohybem hvězd. Realizace inerciálního systému je umožněna hvězdným katalogem, ve kterém jsou střední polohy hvězd vztaženy k síti vzdálených rádiových zdrojů. K vytvoření sítě opěrných bodů se používá radiointerferometrie z velmi dlouhých základen (VLBI).

Každý konvenční referenční systém se skládá z

• referenčního systému, který je tvořen souborem zvolených kon-stant, které byly použity při jeho realizaci (jako je kupř. rychlost světla, zploštění Země atd.) a algoritmů použitých při výpočtu (precese a nutace apod.). Pro vytvoření systému je třeba mezinárodní domluvy o použitých pozorovacích technikách

• referenčního rámce, který představuje soubor objektů, kterým byly měřením určeny souřadnice a jejich změny v závislosti na čase.

Jsou dva základní konvenční souřadnicové systémy, které se principiálně od sebe odlišují :

- 81 (86) -


Obr. 10.1Opěrná síť primárních extragalaktických zdrojů

- 82 (86) -

a) Konvenční inerciální referenční systém ICRS (International Celes-tial Reference Systém) - Mezinárodní nebeský referenční systém, je-hož praktickou realizací je mezinárodní nebeský referenční rámec ICRF (International Celestial Reference Frame).

b) Konvenční terestrický referenční systém (ITRS) (International Terrestrial Reference Systém) - Mezinárodní terestrický referenční systém, jehož praktickou realizací je mezinárodní terestrický refe-renční rámec ITRFxx, kde xx je dvojčíslí charakterizující rok souvi-sející s aktuální realizací.

10.1 Realizace mezinárodního nebeského referenčního rámce ICRF

Metodou VLBI bylo v období 1978 až 1985 směrově zaměřeno 106 extraga-laktických zdrojů (Sovers at al. sestavil v r.1988 katalog). Z těchto směrů bylo vybráno 23 tzv.primárních zdrojů(Obr. 10.1), které tvoří opěrnou síť.

Je základem Mezinárodní nebeského referenčního systému ICRS (International Celestial Reference Systém). Tento systém nahrazuje od roku 1997 dosavadní souřadnicový systém realizovaný katalogem FK5.

Počátek pravoúhlé souřadnicové soustavy X, Y, Z leží v barycentru sluneční soustavy. Základní rovina ICRS leží v blízkosti středního rovníku v epoše J2000.0, tak jak ji definovala Mezinárodní služba rotace Země (International Earth Roptation Service – IERS). Jako střední zemský pól se použil konvenční zemský pól tzv. referenční pól IERS CTP (IERS Reference Pole). Výsledky pozorování technologie VLBI prokázaly, že hodnoty souřadnic, určených po-mocí přijaté precesní a nutační teorie, se liší od hodnot získaných pozorová-ním. Rozdíly dosahují několik tisícin obloukové vteřina (mas – miliarcsecond). Zatím lze konstatovat, že při záměně středního nebeského pólu ICRS se střed-ním pólem IERS J2000.0 se dopustíme chyby 20 mas (0.02˝))

Na základě rezoluce IAU byl zvolen počátek odečtu rektascenzí v blízkosti dynamického středního jarního bodu ϒs epochy J2000.0. Počátek odečtu, tzv.dynamický střední jarní bod, byl určen implicitně s využitím rektascenzí 23 mimogalaktických zdrojů z katalogů, které byly nezávisle určeny třemi ame-rickými institucemi (Goddard Space Flight Center –GSFC, National Geodetic Survey –NGS a Jet Propulsion Laboratory – JPL). Všechny katalogy byly uvá-

Konvenční referenční souřadnicové systémy

zána na rektascenzi zdroje 3C273B, jehož rektascenze v katalogu FK5 byla α = 12h 29m 06.6997s. Realizace referenčního rámce ICRF byla uskutečněna pomo-cí technologie interferometrie z velmi dlouhých základen (VLBI).

10.2

10.2.1 ITRS

Mezinárodní terestrický referenční systém ITRS Konvenční terestrický referenční systém CTRS (Conventional Terrestrial Refe-rence System) je realizovaný referenčním rámcem, který je vytvořen souborem souřadnic bodů sítě a modely, které vyjadřují rychlost změn souřadnic. Sou-řadnice bodů sítě mohou být pravoúhlé rovníkové souřadnice x, y, z nebo sou-řadnice zeměpisné. Jako výpočetní plocha se v současnosti používá geodetický referenční elipsoid GRS 80 (a = 6 378 137.0 m, e2 = 0.006 694 380 03).

První konvenční terestrický referenční systém zavedla Mezinárodní časová služba BIH v roce 1984 pod názvem BIH terestrický systém (BIH Terrestrial System – BTS). Soubor byl tvořen souřadnicemi pozorovacích stanic, které systematicky určovaly polohu pólu a světový čas některou z metod kosmické geodézie (technologie interferometrie z velmi dlouhých základen– VLBI, lase-rová lokace Měsíce – LLR, laserová lokace družic – SLR). Základem se staly stanice, které určovaly svoje souřadnice nejméně dvěmi různými metodami.

Počátek systému je ve středu hmot celé Země. Orientace os je shodná s osami BIH systému 1984.0 (BTS) s přesností ± 0.03˝[18]. Referenční pól IERS a re-ferenční meridián IERS se shodují s odpovídajícími směry BTS s přesností ± 0.005“. Délkovou jednotkou je jeden metr soustavy SI.

Výsledkem je katalog souřadnic (X0, Y0,Z0) a jejich změny (dX0/dt, dY0/dt, dZ/dt). Hodnoty jsou vztažené k epoše 1988.0. Hodnoty souřadnic pro zvole-nou epochu získáme ze vztahů

( )

( )

( )0.1988Ttd

ZdZZ

0.1988Ttd

YdYY

0.1988Ttd

XdXX

00

00

00

−+=

−+=

−+=

(10.1)

Z uvedeného je zřejmé, že souřadnice v systému ITRF podléhají časovým změnám. Časové změny souřadnic jsou vyvolávány vlivem tektonických sil a geologickou stavbou Země. Zemskou kůru lze rozdělit na řadu bloků (11 až 14), které se vzájemně pohybují. Rychlost pohybu lze popsat matematicky z globálních horizontálních pohybů tektonických ker. Z hlediska teorie rotace reálné Země se definuje souřadnicový systém tak, aby integrální střední hodno-ta pohybu tektonických desek byla nulová (podmínka nulové rotace „no net rotation - NNR)

Body nacházející se na evroasijské desce se pohybují vzhledem k systému ITRF přibližně 25 cm za 10 let. Bylo proto doporučeno zavést

- 83 (86) -


pro evropský kontinent specielní systém – evropský terestrický refe-renční systém – ETRS (European Terretrial Reference Systém), který je vzhledem evropské kontinentální desce bez pohybu.

Vzájemná vazba mezi „nebeským“ (ICRF) a terestrickým (ITRF) rámcem je dána precesními a nutačními konstantami a pěti orientačními parametry EOP (Earth orientation parameters):

• korekce ekliptikální délky a sklonu ekliptiky vzhledem k rovníku. Tyto veli-činy je třeba určovat, protože použitá teorie nutace zatím neodpovídá naměře-ným hodnotám.

• souřadnice nebeského efemeridového pólu (CEP – Celstial Ephemeris Pole) xP, yP vzhledem k referenčnímu pólu IERS – IRP (IERS Reference Pole).

• rotační čas UT1 , který je vztažen ke střednímu greenwichskému hvězdnému času Sm. Udává se rozdíl mezi rotačním časem UT1 a atomovým časem TAI, nebo časem UTC, který je odvozen z TAI.

Kontrolní otázky Z jakých částí se skládá konvenční referenční systém?

Jaké znáte konvenční souřadnicové systémy?

Jak jsou konvenční souřadnicové systémy realizovány?

- 84 (86) -

Závěr

11

11.1 Shrnutí

Závěr

Dospěli jste na konec průvodce, který Vám má pomoci zvládnout poměrně rozsáhlou látku sférické astronomie, která vytváří nezbytné předpoklady pro studium řady předmětů v následujícím studiu.

Při opakování látky je třeba zvláštní pozornost věnovat souřadnicovým systé-mům, jejich závislosti na stanovišti a čase, jejich vzájemným transformacím a to jak klasickým způsobem tak pomocí rotací, což je výhodné při počítačovém zpracování. Přestože v současné době máme k dispozice pouze pět časových systémů, nelze opominout vzájemné vazby středního a hvězdného času, které jsou nezbytné při řešení úloh jak v geodetické astronomii tak kosmické geodé-zii.

- 85 (86) -


- 86 (86) -

11.2

11.2.1

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

11.2.2

[8]

[9] 356.

[10]

[11]

[12]

[13]

Studijní prameny

Seznam použité literatury

Astronomičeskij ježegodnik 200x. Institut teoretičeskoj astronomii v St.Petěburku, Rusko

Fixel,J.: Geodetická astronomie I. VAAZ Brno 1984

Fixel,J.: Geodetická astronomie a základy kosmické geodézie VUTIUM Brno 2001

Kabeláč,J., Kostelecký,J.: Geodetická astronomie 10. Vydavatelství ČVUT Praha 1998

Melicher, J., Fixel, J., Kabeláč, J.: Geodetická astronómia a základy kozmickej geodézie. Bratislava, Alfa 1993

Pešek,I.: Definice času v systému IAU 1976. Referáty VÚGTK, Zdiby 1989.

Švábenský, O., Fixel, J.:Astronomie a kosmická geodézie. Brno ES VUT 1985.

Seznam doplňkové literatury

MC Carthy,D.D.: IERS Conventions (1996). IERS Technical Note 21. Observatoire de Paris 199335

Seidelmann P.K.: 1980 IAU Nutation : The Final Report of the IAU Working Group on Nutation. Celst. Mech., 27, pp. 77-106.

Mueller,I.,I.: Spehrical and Practikal Astronomy as Applied to Geode-sy. New York, Frederick Ungar Publ.Co.1969.

Tomsa J.: Počítání času. Základy teorie kalendáře. Scripta astronomica, Koniasch Press 1995.

Vondrák J.:Určování rotace Země pomocí klasických a moderních kosmických metod. Geodetický .a kartografický. Obzor 42/84, č.9.s.177-187. 1996.

Date post:	03-Feb-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	4 times
Download:	0 times

JAN FIXEL, RADOVAN MACHOTKA GEODETICKÁ ASTRONOMIE A ...fast.darmy.net/opory - IV...

Documents