Tůma, J. Kelvinův harmonický analyzátor a predátor přílivu ze zlatého věku mechaniky. In: Lacko, B. (Editor) Šedesát let kybernetiky. Brno: Akademické nakladatelství CERM, 2009. pp. 272-282.

KELVINŮV HARMONICKÝ ANALYZÁTOR A PREDIKTOR PŘÍLIVU ZE ZLATÉHO VĚKU MECHANIKY Jiří Tůma, VŠB – Technická univerzita Ostrava

Frekvenční analýza se stala účinným nástrojem pro hodnocení signálů v mnoha

odvětvích vědy a techniky. Rozvoj aplikací frekvenční analýzy byl umožněn nástupem digitalizace záznamu signálů analogo-číslicovými (AD) převodníky a dále rozvojem číslicové výpočetní techniky. Posloupnost vzorků signálu poskytuje více možností vyhodnotit signál než jeho záznam na papír nebo na magnetofonovou pásku. Před obdobím digitalizace se frekvenční analýza signálů opírala o sady pásmových filtrů nebo korelátory se zpožďovacími linkami. Selektivita frekvenčních pásmových filtrů je dána relativní šířkou propustného pásma (poměr šířky propustného pásma ke střední frekvenci). Pomocí pásmových filtrů téměř nelze jednoduše získat frekvenční spektrum s lineární stupnicí pro frekvence jeho složek.

1 Historie harmonické analýzy Bod obratu v aplikacích frekvenční analýzy umožnil objev algoritmu rychlé Fourierovy

transformace (Fast Fourier Transform – FFT). Teoretický základ Fourierovy transformace je ve Fourierových řadách, které použil francouzský matematik Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) k řešení vedení tepla. V roce 1807 objevil způsob, jak se vyrovnat při řešení rovnice vedení tepla s nespojitostí funkce. Nahradil nespojitou funkci součtem spojitých funkcí, v daném případě trigonometrických funkcí, což Fourierovi současníci Lagrange a Laplace považovali za absurdní. Spektrální analýza byla však objevena o šedesát let později Bunsenem a Kirchhoffem v souvislosti s vynálezem spektroskopu a proto by mohla být označena také jako Bunsen-Kirchhoffova analýza. Na objevu FFT lze nalézt stopy Carla Friedricha Gausse (1805), Danielsona a Lanczose (1942), avšak převrat v numerickém výpočtu znamenala práce, kterou publikovali James W. Cooley a John W. Tukey v roce 1965 [1]. Algoritmus FFT byl určen pro záznamy o délce rovné mocnině dvou. Uvádí se také, že objev Cooleye a Tukeye je jen opakovaným objevem Carla Friedricha Gausse (1805), který se zabýval astronomickými výpočty a všimnul si možností jejich urychlení rekurzí.

První číslicový signálový FFT analyzátor s označením Time/Data 100 se objevil na trhu v říjnu roku 1967 [8]. Doba výpočtu FFT ze záznamu časových dat o 1024 vzorcích byla asi jedna sekunda. Vývojáři analyzátoru byli Ed Sloan a Bruce McKeever z americké firmy Time/Data Corporation. Firmu založil Sloan s přispěním soukromých investorů, když byl jeho nápad vyvinut fourierovský analyzátor odmítnut společností Ampex. Prvních 30 zákazníků pocházelo z lékařského výzkumu, avšak v důsledku Vietnamské války se prodeje neuskutečnily. Štěstím pro vývojáře byly nehody stíhaček F111 s měnitelnou geometrií křídla. Výrobce stíhaček General Dynamics dostal ultimatum k rychlému odstranění závad křídel. Mladý absolvent MIT Jim Green si vzpomenul na vyprávění svého dědečka, jak testoval kolejnice při stavbě železničních tratí. Úderem kladiva je rozezněněl. Našel výrobce signálového analyzátoru a rychle společně vyvinuli metodu diagnostiky trhlin otočných čepů na křídlech. Po úspěchu prvního analyzátoru následovaly modely Time/Data 90 a pak Time/Data 1923 s počítačem PDP11. Když chtěli investoři zpět své peníze, Sloanova firma byla prodána firmě General Radio. Noví vlastníci však nepochopili, co vlastně koupili.

Kolem roku 1970 byl vyroben firmou Hewlet Packard také komerční číslicový signálový analyzátor využívající FFT. Nejprve to byl model 5450 a pak 5451A, který

2

obsahoval 10bitový převodník elektrického napětí. Výpočty probíhaly s plovoucí řádovou čárkou a slovo bylo 16bitové. Délka záznamu pro výpočet FFT byla od 64 do 4096. V jednokanálovém provedení byla mezní frekvence 25 kHz a ve dvoukanálovém provedení 10 kHz. V bývalém Československu byly nejvíce rozšířeny přístroje firmy Brüel & Kjær, typu BK 2034 a 2032 a nyní typ LabShop PULSE od stejné firmy. Tvrdí se, že v České republice se prodalo nejvíce analyzátorů Pulse na hlavu ve světě. První algoritmus FFT transformoval blok vzorků o délce mocniny dvou. Později byly vyvinuty algoritmy s rozkladem délky záznamu na prvočinitele, mezi kterými bylo také číslo 5. Autory posledního podstatného objevu v algoritmizaci výpočtu diskrétní Fourierovy transformace jsou Matteo Frigo a Steven G. Johnson. Jejich algoritmus počítá transformaci bloku vzorků o libovolné délce. Svůj algoritmus nazvali The Fastest Fourier Transform in the West (FFTW). S komponentou pro výpočet se lze seznámit na stránkách www.fftw.org, odkud lze tuto komponentu volně stáhnout. Uvádí se, že algoritmus výpočtu Fourierovy transformace je jedním z deseti počítačových algoritmů, které změnily svět. Cooleyho a Tukeyho algoritmus je označován za jeden z deseti nejlepších algoritmů objevených ve 20. století [7].

Tento článek si všímá jednoho historického úseku rozvoje signálových analyzátorů a to Kelvinova harmonického analyzátoru z roku 1878, který umožnil sestrojit stroj na předvídání (predátor) výšky přílivu a odlivu moře. Analyzátor byl mechanický a jeho vzhled dokumentuje vysokou úroveň technického myšlení, znalostí strojů a výrobních technologií v poslední čtvrtině předminulém století ve Spojeném království (UK). Na předpověď přílivu byla tehdy společenská objednávka. Námořní lodě zvyšovaly tonáž a bylo potřeba předvídat pohyby mořské hladiny. Například příliv a odliv znamenal v případě přístavu Bristol na západě Anglie pohyb hladiny v rozmezí asi 9 m. Její kolísání se měří pravidelně od roku 1837.

2 Analýza kolísání hladiny moře vlivem přílivu a odlivu Jak již bylo zmíněno v úvodu, v období před startem rozvoje elektroniky a výpočetní

techniky nebylo mnoho příležitostí použít spektrální analýzu. Výjimkou byly záznamy kolísání výšky hladiny moře. V záznamech nebyla nahodilá složka a skládaly se z několika periodicit. Hladina moře je výsledkem souhry několika faktorů. Působí zde přitažlivá síla Slunce a Měsíce, rotace Země a určitou roli hrají také odchylky tvaru Země od ideální koule a tvar povrchu dna pobřežního šelfu. Záznamy jsou na první pohled hladké křivky, které jsou složen z několika harmonických složek. Na obrázku 1 je ukázka kolísání hladiny moře v Bombaji [2]. Záznam byl pořízen na papír, který byl připevněn na válci, přičemž tento válec se otočil jednou za 24 hodin. Křivky se proto překrývají a jejich návaznost lze je rozeznat podle data vpravo.

Záznamy hladiny moře jsou ideální výchozí matriál pro aproximaci několika členy Fourierovy řady. Tento typ nekonečné řady nahrazuje periodickou funkci Ttxtx času t

s periodou T součtem trigonometrických funkcí s periodou ,...3,2,1, kkTTk

11

0 2sin

2cos

2 kk

kk tk

TBtk

TA

Atx

,

kde koeficienty řady jsou definovány následujícím způsobem

...,2,1,0,2

sin1

,2

cos1

00

kdk

Tx

TBdk

Tx

TA

T

k

T

k

3

Jestliže absolutní hodnota několika koeficientů obou řad je podstatně větší než ostatní koeficienty, pak predikce časového vývoje změn výšky hladiny moře je uskutečnitelná součtem několika členů trigonometrické řady. Nejdříve však bude popsán princip výpočtu koeficientů trigonometrické řady.

Obr. 1: Příliv a odliv během dvou týdnů (1. až 14. leden roku 1884) v Bombaji [2]

3 Weltiho mechanický integrátor Mechanický integrátor vynalezen v Zurychu v roce 1849 Weltim, který nahradil kužel

planimetru diskem, přičemž vzniklo uspořádání typu „disc-and-weel“ [3]. Planimetr je mechanické zařízení pro výpočet nepravidelných ploch. Planimetr byl objeven nezávisle třemi autory postupně v létech 1814, 1824 a pak 1851. Prvním vynálezcem byl bavorský inženýr Hermann. Planimetr měl svůj hospodářský význam k určení plochy pozemků. Na rozdíl od mechanického integrátoru s diskem a kolem neumožňoval kužel planimetru integrovat zápornou funkci.

Konstrukční provedeni Weltiho integrátoru obsahuje dva disky s navzájem kolmými a vzájemně se pod pravým úhlem protínajícími osami, které se dotýkají a bez smyku odvalují. Jeden z disků je pohyblivý ve směru své osy rotace. Úhel otočení prvního disku je úměrný proměnné, podle které se integruje. Na obrázku 2 je to proměnná x. Dráha odvalení druhého disku je rovna délce elementárního kruhového oblouku příslušného úhlu x a poloměru y, přičemž veličina y představuje integrovanou funkci. Jiným způsobem lze délku oblouku určit jako součin

zr . Z rovnosti délek oblouků vyplývá vzorec, Obr. 2: Mechanický integrátor

y

r Δz

Δz

y Δx

r

Δx

Δx

y

4

podle kterého lze vypočítat elementární úhel otočení druhého disku

r

xyz

.

Integrováním předchozího vzorce lze dostat následující integrál, ve kterém se integruje vzdálenost y podle otočení x

x

xdyr

z0

1.

4 Kelvinův mechanický harmonický analyzátor Autorem dokonalejší konstrukce mechanického integrátoru pro výpočet koeficientů

Fourierovy řady je irský fyzik a inženýr Sir William Thomson (1824-1907), který byl později poctěn titulem barona a dostal jméno Kelvin of Largs, pod kterým je nyní všeobecně znám. Jeho řešení integruje součin dvou funkcí tf a tg . Svůj vynález popsal baron Kelvin poprvé v roce 1878 [4]. Základní stavební součástí je mechanický integrátor s uspořádáním „disk-sphere-cylinder“ (disk-koule-válec) integrátor, které je znázorněno na obrázku 3.

Přenos pohybu mezi diskem a válcem je prostřednictvím adheze koule, která je gravitační silou přitlačována jak k válci, tak k disku v důsledku náklonu jeho osy. Koule je přesouvána ve směru osy válce vidlicí spojenou s táhlem, jehož funkce bude popsána dále. Vzdálenost bodu dotyku koule na disku od jeho středu představuje ve výpočtu koeficientů Fourierovy řady transformovanou funkci f . Jestliže se koule dotýká disku ve středu jeho

rotace, pak se žádný pohyb na válec nepřenáší. Úhel natočení disku je označen g a je

funkcí času τ. Elementární úhel natočení disku lze vypočítat podle vzorce dggd .

Obr. 3: Mechanický integrátor systému disk-koule-válec Koule plní stejnou funkci jako vložené kolo v převodovém soukolí. Podobně jako na

obrázku 2 lze z rovnosti délek kruhových oblouků na kouli, disku a válci vypočítat úhel otočení válce podle vzorce

tg

dgfr

gdfr

tz00

11

Velikost integrálu určuje poloměr válce r stejně jako v případě integrátoru na obrázku 2. Vzhledem ke tvaru vzorců pro výpočet koeficientů Fourierovy řady je funkce tg volena

buď tsin nebo tcos , pak se obecný integrál změní na tvar

f(t)

g(t)

z(t)

r

5

tt

dkT

fdkT

f00

2sina

2cos

Sekce analyzátorů, která vypočítává

amplitudy příslušející k-násobku základní frekvence Tf 10 kosinové a sinové složky,

je znázorněna na obrázku 5 [3]. Otáčením válce, který posouvá

záznamový pruh papíru, se simuluje uběhlý čas t, přičemž hrotem snímacího zařízení je třeba sledovat křivku záznamu, která představuje analyzovanou vstupní funkci ty . Posun papíru se záznamem je ruční a to symbolickou klikou vpravo dole na obrázku 5. Posun hrotu snímacího zařízení ve směru kolmém ke směru posunu papíru se přenese táhlem a vidlicemi na posun obou koulí po dotykové přímce,

Obr. 4: Provedení mechanického integrátoru se systémem disk-koule-válec

která prochází středem každého disku a je rovnoběžná s osou válců. Natočení válců, kterých se dotýkají zmíněné koule, určuje koeficienty pro trigonometrické řady sinus a kosinus funkcí. Pro výpočet koeficientu 0A stačí pouze polovina popsané sekce, která vypočítává

amplitudu kosinové složky. Kelvinův harmonický analyzátor obsahuje kromě sekce s jedním diskem čtyři další sekce po dvou discích. Výsledkem analýzy jsou amplitudy sinové a kosinové složky čtyř harmonických frekvence Tf 10 , tj. amplituda a fáze každé

harmonické složky.

Obr. 5: Uspořádání mechanického integrátoru se systémem disk-koule-válec

cos(ωt) sin(ωt)

t

amplituda sinové složky

amplituda kosinové složky

y(t)

t

6

Bloky s označením tsin a

tcos ve schématu na obrázku 5 představují kulisový mechanismus (resolver) pro transformaci polárních souřadnic na souřadnice kartézské. Kinematické schéma resolveru pro funkci sinus je znázorněno na obrázku 6. Na části obvodu prvního disku na obrázku 4 je vidět ozubení zapadající do hřebene, který svým harmonickým podélným posunem vyvolává také harmonické natáčení disku podle funkce sinus a kosinus. Pohyb hřebene určuje zmíněný kulisový mechanismus.

Obr. 6: Resolver pro transformaci polárních souřadnic

na kartézské

Obr. 7: Kelvinův harmonický analyzátor (http://www.sciencemuseum.org.uk/images/I032/10302637.aspx)

Obr. 8: Kelvinův harmonický analyzátor (exponát Science Museum Londýn) Kelvinův harmonický analyzátor byl od svého vzniku používán v Meteorological

Office. Nyní je vystaven jako exponát v Science Museum v Londýně v oddělení Matematka - analogové počítače jak ukazuje obrázek 7 a 8.

r r sin(θ) θ

7

5 Henriciho mechanický harmonický analyzátor Ukázku Kelvinova analyzátoru signálů doplňuje na obrázku 9 další harmonický

analyzátor z roku 1894, který byl navržen O. Henricim a vyroben G. Coradim. V pravé části obrázku 9 je naznačen způsob použití analyzátoru pro záznam signálů. Shodně jako v případě Kelvinova analyzátoru, také u Henriciho analyzátoru je třeba objíždět hrotem záznam vlny.

Henriciho analyzátor rozkládal záznam časového průběhu akustického tlaku na harmonické složky k vybrané základní frekvence [5]. Tento analyzátor obsahuje tři skleněné koule, které otáčejí číselníky, a určují deset harmonických složek záznamu signálů. Stejně jako u Kelvinova harmonického analyzátoru bylo třeba ručně hrotem sledovat zaznamenanou křivku. Záznam časového průběhu akustického tlaku se pořizoval zařízením, které se nazývalo phonodeik, což byl trychtýř s membránou, jejíž pohyby se převáděly na otáčení zrcátka měnícího směr světelného paprsku, který vytvářel stopu na filmu citlivém na světlo.

Obr. 9: Henriciho harmonický analyzátor No 3, 1894 (http://www.sciencemuseum.org.uk/images/I003/10210432.aspx)

6 Předpovídání přílivu a odlivu moře Amplitudy a fáze harmonických složek nejsou samy o sobě užitečné. Jestliže však

poslouží k předpovědi (predikci) změny hladiny moře, pak mají důležitý hospodářský význam pro provoz přístavu, zejména tam, kde hladina značně kolísá. Ve Science Museum lze vidět také mechanický prediktor neboli syntetizátor kmitání, který využíval zjištěnou velikost fází a amplitud složek časového průběhu přílivu.

Konstrukce prediktoru je znázorněna na obrázku 8 a byla převzata z knihy [6]. Jedná se o soustavu otáčivých a posuvných kladek 1 až 6, které jsou opásány ohebnou strunou, která je upevněna na jednom konci v bodě Q a na druhém pohyblivém konci v bodě W je opatřena pisátkem pro záznam předpovědi časového průběhu přílivu. Kladky jsou pohyblivé ve svislém směru, přičemž pohyb každého táhla usměrňuje vedení R a S. Polohu kladek ve svislém směru určuje kulisový mechanismus s kolem, jehož otočení je spřaženo s posunem záznamového papíru P. Převodové poměry mezi otáčkami kola a posunem válce jsou různé a závisí na frekvenci složky, jejíž příspěvek k výslednému posunu pisátka reprezentuje. Táhlo je spojeno s tělesem, ve kterém je vodorovná štěrbina E-F, ve které se volně s prokluzem pohybuje čep D. Tento čep je pevně připevněn k rameni, které se společně s kolem otáčí, přičemž vzdálenost čepu od středu kola C je nastavena na amplitudu složky signálu, jejíž

8

velikost je výsledkem analýzy na harmonickém analyzátoru. Počáteční natočení ramene s čepem D určuje počáteční fáze harmonické složky.

Obr. 8: Princip mechanického prediktoru přílivu (obrázek převzat z [6])

Obr. 9: Provedení mechanického prediktoru přílivu (exponát Science Museum Londýn)

9

První stroj pro předpověď přílivu zkonstruoval také Kelvin. Provedení prediktoru, který je vystaven v Science Museum v Londýně, je znázorněno na obrázku 9. Mechanické predátory byly používány až do 60. let minulého století. Stroj na předvídání přílivu zkonstruovaný R.A. Harrisem a E.G. Fisherem v roce 1910 byl používán v USA ke generování přílivových tabulek od roku 1912 až do 1965. Pro predikci bylo možné zadat 37 složek

Obr. 10: Mechanický prediktor přílivu přístavů USA, který se používal až do roku 1965 (instalován v MOAA lobby v Silver Spring)

7 Závěr Novodobé analyzátory signálů mají svůj historický původ v Kelvinově mechanickém

harmonickém analyzátoru přílivu. Princip konstrukce se opírá o Fourierovou transformaci s integrálem součinu dvou funkcí. Mechanická integrace je založena na soustavě dvou disků, z nichž jeden se ve směru osy otáčení přestavuje. Tento integrátor zdokonalil Kelvin pro použití v harmonickém analyzátoru. Nový integrátor obsahoval disk, kouli a válec. Disk vykonává periodické kývání synchronně s posunem papíru, na němž je zakreslen analyzovaný signál, jehož okamžitá velikost se přenáší na posun koulí, které zajišťují proměnlivý převod mezi natočením dvojic disků a válců. Výsledkem výpočtu je úhel natočení válců, který se odečítá na stupnici.

Amplituda a fáze složek záznamu kolísání hladiny moře byly použity pro stroj na předvídání přílivu, rovněž na mechanickém principu. Prediktor přílivu pracuje s řadou kladek, jejichž poloha osciluje s navolenou amplitudou a fází.

19. století lze označit za zlatý věk mechaniky. Konstruovaly se nádherné mechanické přístroje a stroje. Jejich konstruktéři měli smysl pro romantiku a strohé rysy strojů zdobili ornamenty. Věk mechaniky už dávno vystřídal věk elektroniky, zprvu analogový a nyní digitální ze samých nul a jedniček, bez kompromisu.

10

Abstrakt The paper deals with Kelvin's harmonic analyzer, which was designed to produce data

for tide predicting machine. The paper introductory part reviews the history of trigonometric series that were discovered by Fourier at the beginning of the 19th century for approximation of periodic functions. The tide time history is a good example of a noise-free periodic function and a challenge to break down it into a sum of the harmonic components including frequency, amplitude and initial phase. The Fourier transform requires computation of an integral with respect to time; therefore the principle of mechanical integrator, which is based on a pair of rotating discs, is described. Coefficients of trigonometric series are evaluated as an integral of a product of two time functions. The first one is a time function to be analyzed while the second one is a sine or cosine function. The mechanical system, which is suited for computation of the mentioned integrals, is based on the disk-sphere-cylinder arrangement and was invented by William Thomson (Kelvin), Irish physics and mathematician. The sphere is transmitting rotational movement of the disc to the cylinder rotation, measured by a scale, which is proportional to the amplitude of the sine or cosine function. Harmonic analysis of the time function results in amplitudes and phases of the periodic components. These parameters are as an input for a tide predicting machine, which was used as useful equipment in British harbors.

[1] Cooley J.W. , Tukey J.W. An algorithm for the machine calculation of complex Fourier series, Math. Comput. 19, 297–301 (1965)

[2] http://www.math.sunysb.edu/~tony/whatsnew/column/tidesII-0501/tidesII1.html

[3] William A. Computing Before Computers. 1990 Iowa State University Press, Ames, Iowa 50010. ISBN 0-8138-0047-1.

[4] Thomson W. Proceedings of the Royal Society of London, Vol. 27, 1878, pp. 371-373

[5] http://www.phys.cwru.edu/ccpi/Harmonic_analyzer.html

[6] Cartwright D.E. The Tides: A Scientific History, Cambridge University Press, 1999.

[7] Cipra B.A. The Best of the 20th Century: Editors Name Top 10 Algorithms, SIAM News, Volume 33, Number 4.

[8] Welaratna S., "30 years of FFT Analyzers", Sound and Vibration, January 1997, (30th anniversary issue).