STAVEBNICKY CASO'PIS SAY XII, 1 - BRATISLAVA 1964

luz. ZDENtK P. BAZANT, C. SC.

Dopravoprojckt, Praha

PR1CINKOyt CARY p'C'nORYSNE ZAKRIYENYCH MOST'C'

Pro moderni llrojektovalli tiilnie je charaktcristieke, zc mostni ohjckty :;e Iital(1 vice pod.fizuji pozadavku plynulCho vcdeni trasy. Zdilrazllovani tol1oto pozadavku si vy­nutJlo naprcd stavbu sikmych mostu a v poslcdni dobc i stavbu mostu pudorysnc za­krivcnych, slcdujicich smcrovy ohlouk trasy. Zakrivcne mosty casto hyvaji jak us.por­nyIn. tak smClym a architcktonicky tez ucclovc vclmi estctickym resenim, pU50llicim prostorovym ztvarncnlm kfivyeh nosniku (obI'. 1): Reseni, kdy trasa v oblouku je umlsiovana na prltua mostni pole malCho rClzpeti, je dnes mnohdy 0polIstcno, a to

18

"

' ..

. :~ r" :-' , .. J" .,

. f ;II~' ....:

. ~ - .. , " ..... " .. '" '; ~' . ~ .~7'" ~: ..

.. " • I '" 4 ,-: •• ,~

~ .. . ~ " , - .... " , .' .

' :~l . " C. ' _ .~;,, __ L~; :",,-,-.~ ..;j

01r. 1. Pcrspcktivni pohlcd mostu v Korenove pres Jizeru padlc obr. 13. Pac. 1. l1epcneHTlIsa MOI!Tn '!apea tbcpy B Hopnmnollc corJIaClIO puc. 13.

Fig. 1. Perspective view of the hridge over the Jizera River at Korenov, see Fig. 13.

i V l)ripadech, kdy hy provedtlJli nu,zilchlycb podpor bylo moznc. Pro projcktanta vbk prina~llji zakfivene mosty zl~aclle ohtize, nebo': jejich T)re6ny vYpocct byva hlorclicky kOllll'likovany n pracllY II aui tak jIm casto pri nlltnydl zjcdnodus(llIich ndze prctiue vyjadrit skutecne slaticke pilsob~lli. l

Pfimy vypocet vuitruich sil od daneho za­dzelll u zakfivcnych luoslu s klollbovymi podporami usporadallymi v normalc oblollku byl jiz podan v cctnyeh pradell, z nichZ z 1)0-slcllni <toby jmenujmc aspon praci J. COllr­bona [1].

Prcc/mct zkornncini. Y toto prad se blldeme zahyvat pudorysllc zakrh'cllYllli mosty tnl. movymi a ramo\"ymi, Jllisohicimi jako kOll­strukcc prutova. PatH scm takove mosty, jcjichZ priHczove r01.mcry jsou vlici deIce prutu <1ostalcl.'ne maM (sifku max. nai 1/·1, d61-ky), taHe plosne pil!whclli dt!skove, rostove a oLcuove j(: zallcdhatdlle.

Zjetlnotluslljici pfcdpoMady. Resllni zalozi. me na tcchto .hlavnich zjednodllslljicich prcdpokladech: 1. Dokonala lincarIli l'rllznost matcrialu, homogcllita a izotropie. - 2. Na­vicrova hypoteza 0 ohybu. - 3. Saint-Ve­nnntovn teorie kroueeni, tj. vohul torze s volnym zhorcenim pl·llrC1.li, Podl,? Lohoto prcdpokladu se zavadi l)lczi krouticim lUO­mentem K a pO\ncrnym lihlcm zkroucclli {) vztah K = G:Ji), kdc GJk jc tullOst v kroucenl. Ye skl1tccnosti plati slozitt:jsi vztah Ie = GJl) - ErO", klle Er jc jisla

QI·

Ii'

C)

Obr. 2. a) PrilVOdll! trujhrull Hrrcdnicove kHvky, I,) ~Iozky PUMlIllIl! a sioiky pootoccn!, c) blozky vnitruidl oil u mo-

mcutil y prlH'czlI,

Pm:. 2. n)' l'IICl'C~m DUI\TOPUB J\pnlloii cpuJUlcii mrllllll, 6) 1l0;Ulllirmali 1Il1PCAlC­mUlllUl II yl'JJIoI 1I0llopuTa, u) mamo­IICIITJ.J Ill/y1' pUll II II X (~11.:1 11 llOMCIITOB

Il ce'J('I\lIll.

Fig. 2. a) Vedor sy;;t,~m of lIu:i1ian line curve, b) disl)lacCUlcollt and dcllcclion

• cODl[lllllellls, (:) ClIlII[lUllcllts of illtl'rllal

forccs lIud 1lI01ll1'uLs ill the .('cLi"n.

konstanta (tuhost). Druhy cien, ktery vyjadflljc vIiv I)orticich si1, 11.!l zllllctlhat u prn­rczu plnych a u tenkostcllnych uzavrcnych prilrczii mulo, odlisne sn:J"y lid vvtikv. ni­koliv vsak u otevrell)'ch }lrMczn. - ,t. Zancdhulli prJI'Iulu6hn IJlo.;nt!11O dc-:;ko~' ~I\O, rostoveho ncbo stcnoveho plisobcni, vyplyvnjici ze zjl:dll,O!luscni llo~lIikll lla prut.

U znkrivcnych uosniku nepirsobi svisie stille ani Ilahodile zatfz~lli v tczistich l,ri'tfczil. ale v tezistich vysccovych delkovych (:lmnclltu pruti'l Ilcl.u pi'ipadllc :zntczoVIlc1 plodl)', ktcra jsou mirne posunuta Slllcrcm od stredll krivO!>ti, u to lim vicc, elm vetsl jl~ j.rivost. U obvykl),rch llolomeril jsou exc~lltricity zntlzcnf male Il'!!zc jc z;tll(!dlJat.

Ceomctrickj tvar. S hlcdiska gcomclrickcho tvaru konstruk()c jc ulIlno uvcst, zc ohybove momenty se vztahuji k tczi~tim pnifczir, kddto kruutiei Illlllllcnly Ii. jcjich smyl~oVYDl strcdirm, ktcre v ohvyklCm pfipadc pll'lfczu soumcrnych JCIl llOdlc svi81e osy JSou plidorysnc totozne s tczisti, vyskovc vsak nikoliv • .l\'nozinu teiis': llm:yvume stfcdnicoyou kfivkou ki'iveho prutu n budcmc ji uvaztlval jt ko vodorovllon ro,iulloll Hivku. Vedinoll se jcdna 0 kruhovy oblouk •

.Ccomctric1~c vcl~cin)'. Za paramctr tilrcdnicove kTivky jll nlljlepl~ volit iilt!!!,~ 1Iormaly, tj. u kruhoveho oblouku stredovy uhcl. Smer V1.rUstll ]>lIrmnct.m llcl",ji kladllY smt-r obChu kHvky zvoHmc tak, ahy pH obihani kfivky lczel slrtld Hivosti VIll'lIvu. l'rllvodni trojhran 'stfednicove kfivky je tvorcn jcdnotkovjmi vektory t, n, b [ohr.2u)] oricntova-

. nymi tak, ahy t~cny vektor t souWasil se smerem vzrustu pnl"ametrll IX, normiilovy

19

(Jllr, 3. Seh~1Il11 Jlndpory II) I'C"lIIi klollhl/ve, II) IHI,;m'l\c klollhove, c) tornl/"': klouhllVC, tI) kY\"lIii klllllllo\'c, c) 1I",lovti )lIWI\C, f) )JlJdovc

1'0811VIIC, g) bodovc kyvnc,

/'11(:, 3, CXeMJ.l oIlOP: a) II!'II0;1II1mmnll map-1111 pHall, 6) 1I0illJlUl(1H1I1 mapllll)lllllll, I{) np"­IItl1lmnalll'lI 1\1 a plln plI an, ~) ilJlYXCT(' pmll()IlIlR IIIHllIIlIl"llln, 0) 'rO'!C'IIII1R IICIIOIUUf)I\uIIR, (p)TO­'1("1111111 II(1)lJlllltCllIlJl, r) TO'!C'IIWII CTCPlIWl·III1H.

Fig, 3. Schemc of ~nJll'ort with n) fixell hinge hl'nritl~, h) ~lidin~ Iling" heuring, e) turuplutc hilll~e bcaring. d) pendululIl hinge beuring. t') n,(rll point heuring, f) sliding point br.nrillg.

g) pendulum point heuring,

vektor n smcroval do streclll kfivosti a vektor binormiily b dolii, takzll system (t, n, b) je I'O~ith'lli. U slozeneho }lroti. sIDcrncho ohloukn je nutllo v protisIDer. no ciisti povazovat sIDysl obehu za zn. porny.

DcJormace. Dcfllrmuce i vnilrni sily je nniuo uvnzovat vektorove. Slozky posu. nuti yc smyslll yektoru t, n, b [ohr.2h)] oZlluciIDe postul'lle II, V,tll (til je pnihyh). Pootocelli kolem vektorii t, n, b v urcitcIll hode kfivky o?naCiml! }IOf'tllpnc qJ, V', X' Jsou klndnii, otaccji.li kollllll prislu§llych vcktort'l v klndnclll smyslu, tj. tnk, l.e pri l'0hle<lu s kOIlee IIHslusllcho osoveho vektoru se pootoceni deje proti smyslu pobyhn hodinovyeh IIlcicek.

Vnirrlli sill'. Cast oddelenou rezem " urCitCDl hode prutu nuhradime tremi silovyrni a Hemi IDomentovyrni slozka. mi. SHovc slozky po rade ve srnyslu vekton"x b, n, t jsou svisla 'Posou\'ajid sHa T, \"ollorovmi posouvajici slla Q u normaln{, sila N [ohr. 2e)]. JOad·

IlC j:;oll teluly, },usohl.li IIU Ciiilt od rezu zpet. tj. l,roti smyslu "helm, ve srnyl!'lu "ektorii b, n, t u ua CURL 011 rl~Zll vpred "uk oyselll opacne. Momentove 510zky j50U svi:;\y ohyblJ"Y lllllml!Tlt ill, vOlIlJrovuy ohyhO\')' moment D a kroutici mODlent K, ktf'I'n III MI'ji po illlic kollllll V(,ktlln'l n. b, t rollr. 2c)]. Na cast od re?u zpct aod re?ll "'pr",1 W \'7.iijelllll(' oplll-llyeh HIlIYlill~t:h. Kladnc jSO\l tclllly, jC5tlizc cast 'od rezu zpet ot{:i:l'ji kulclI\ pH~IIl:;lIych oRIJ\'yelt vektoril n. b, t klatlllt!. Osovc vektory DlOIllentu hll i ll~1I1(l lUI nhrii:r.dclt krel!'lil Il\'ojitou sil'kou.

f'ot/I'prr.lIi. StUPlll-l lltatick,} llCllrcitoKti k01l5trnkell vyplyva ze zptl:3ohu jejiho po­,hlJlhmi It n,aj(,llln~ho I'pojl:J\l jt·jidl casti. IIlavJ\i llruhy putlpor neho vazcb dvon east! jsou Yelknnti, pcvlU1 kloubllva podpora, !'Oi;UynU kloubovu podpora a pripadlle tocuova kI()ubo\'a JlOllpora n P05U\'IU1 ))(lIlpnra, jll~ po rade rll);i 6, 5, 3, 4 a 2 stupnii yoln05ti (0))\'. 3). Pulipora }){Hlov:l )levua, bollova )losuvIH1 a bodova kyvuu aj., jcz po radii rU~l 3, 2. 1 fllnl'iii'l voinosti, se pro yelke sOllstIedelle tlaky vctsinou neuzivaji.

Ob(JCIlY vypocce priCinkol,ycll lar

PH,~inkovc cary ro?liSuj(:me Ilvojiho druhu, a 1.0 jcllnak carf pro zati~cni pohyhlh'ym <:elll ril'kfm s\o;tilym jellJlolkovym hrfllJlenCm, jCIIJl:tk cary pro zutizeni l)ohyhIiv}'1I\ j,·,lnutkllvYm l)fjrnym 1llomcllll~lI\, z nichz be ureovut ucillky cxeelltriek),'ch ?alizIlJli. Piit:inkovc clhy hlll\l'me nvuzo\,lIt. jako cary ohyJlove, Plnli, ze pifcinkova cum staliek6 yelil~il\y X( 11a n·krat stnticky llellrcitlJ soustavc je nhyhovoll caron pro deformaei "\'c1iko;;t.i -1 "C 5111plu velieiny Xi nil souatave (u - 1) krat staticky nCllTcitc, vznikI6 z II111n6 SOIlS!.:!VY uvo\ncnllll vm .. hy Xi' Tato ohyhova cara je umcrllll ohybovc care tczll (11 - 1) krat stntieky neurcite soustllvy pro 7.utizeni Xi = -1. Vypoeet se provede '\' lochto krocleh:

'10

Y' soustavu 0 " staticky neureitych vazha, 1. Zvolime zakladni staticky. urcltou

Xl' , .. , XII' , • , '1' ~{ D Ii. a pfipadllc tez 'j 2 P nod vy'minek rOVJlovahy urehne vmtIlU 51)i It i' i' ~ '1

. OJ YV , pripady A - 1 ,= , .", -Q, N, ziikladni staticky ureite soustavy pro zatezo;rael i - ,

" , '} . azovat vektorove. Vyminky rovnova ly )e 11l1tno. uv Y t' konstrukee ~.. vyjf.dfujicl deform,

3. Odtud vypoctemc koeficlenty pruznos I .v , .~1' - _ 1 J' 1a zakladn{ souatavy ve smyslu veHeiny Xi pro zatezo .... aCI prtpad Xi - • sou (

vztahem

~

, , , ., , h '1 hez ujmv na obcenosti llevypislljeme. 'J kde vliv llormalnych a 11050u" a}lc~e ,sd

t odusl'nt-· nell\'azujeme vIiv kIiv05ti pru

t, ,1 • ..ledniho ClCllU, v llcmz ZJC n .' y' I uOullOt} po, , V _ (1) Y' E G moduly pruznostl, ], re~p. momeJ hyvaji casto zalledbatelne. ro". 'lz?aCl, '. tQcYne resp ve vodorovJlc rovine. ] k :

• . • Y • pro oh,,"b ve SViS e rOVine ,. , . k setrvacnostl prurezll. 1 k ,. tegrace pres vsechny pruty kOll5tru -ee hradni moment !;ctrvRcllOStl v roucem, C In

delku prutu. 4, f{esellim s}'f;lfOlU n - 1 lillciirnich rovnic

/I , l' I 1 2 ()J;X~!) = c5i1

, j, k = 1, .,., ,- ,'''' , .,., 11 1:=1

. Y' < 1 - r -' Xli) na (11 - 1) knIt stat icky neur, nal~znell\e hodnot'y statlcky Jleurc~t~c 1. ,,'e,lClIl, { _ X , pro zatczovaci pfipad X soustavc, vznikle ze soustayy clalle, Z~USeJlII~v ~ ~» X," Pro kruhovc spojitc DOSIJ - X\;I = -1. cProvede sc to }lostupne pro "sec ua I' k 1 1'1 J Courhon -- , ..' I " ormale ohlou -u 01 VOl I • 5 kloubov,'mi' po£1poraml usponu anynll v n ;, Y' , h 'k'

• "., bdobne k rc"cm prlInyc noslU u. rcScni tHmomcntovym, rOYlllCCllU 0 , • , 1 'I ~f,i1 K,i) D,j) (n - 1) krat stati

Z hodnot X~!) plynou ho£1noty vmt[lUC 1 1;1. , , , , t'· , X - -1 poclle \'ztahu neurclte sonstayy pro za Izelll i - 0

- "-:;-1 "IiI k = 1, ... , i-I, i + 1, .,., n. JUI;) = j\1; + L i" 1' .... ,,' .,.

k

5. PocHe hodnot AI,ii, K';', D';) hy hylo rnuzJl~ ji~ urcit ohybovou earn pu(lorYl!'lle zakriycncho J~O"llI~U, kdyhychom znali }Jrii.hyh a .}looto~eJl~ ~ \l!\~tc~(,Tl~ ~ hode. Ty vsak jsou znamy predem )edmc u kOl~Zol)

,,, ll.-lUt'l a JI1u4 se proto po:o;tupovat okllkou. v JCJlm YO 1U ~ , , ,

Zakrivenv prut budeme uaprell pokiatiat za kon. zolu yetkllutoll v urcitcm zyolcncm L()d(~ a vypo. Cle\llll pro ni ohyhovoll Car\!. Poutllcenim a yosu. nut:m luktll vypo~tl'IH'; ohybovc cary kOl~~u~y Je !,ak

Y v "t 11a o)l .... bo\'ou "aru '\'",ho'\'u' c c1anemu mozno pre)1 J • .' J

l){)depreni uo:miku. _, .. _.' '_ Pro jedlloduchost \l\'azuJmeJlz \' dal:;lm po,:z~ nos

nik v kruhovem oblouku p()~ornE-.l:u R, Stredo:y u~lellX se meri od Lodu, kde jsUlc doeasJic 'prcdpokJa(lah ve·

Ubr. l~. {7rccni defurmuce kru zaki'ivcllc kOllzoly.

Puc. 4, UII pe;J.c:ll'llI11! ,!~('(PO UIUl )Wllco;m lUll'lollIeU 11 II .

q)OPMY ;1)'1")[ O"PYifHlOCT

Fig. 4. Strain dc~e~minatiOl n circular cUlluhver bClilO

1:~llut~ (IX = 0). SvisIe p:uhyhy konzoly odpovidajici vlliti'uim silam M(j), K(I),DWozllacmc

1(1i It pr:cua pooto~cnl'I'i' Dclkovy prvck <1s = R <Ix: zaldiVCllcho prutu v m'stli llanelli lihlem IX' pretvoH se tak, Zoe se jeho kra]lli prurezy pootoei ve svisIe teC11e rovine 0 lihcl y,n K& El R dx' a v pficne normalove rovine 0 lihel Gl

k R dx'; Integraci pfispevkii

pootocenl' vsech prvkii R d \:' od :x' = 0 do IX' = "" plyne odtud eelkovj priihyh 1~i( ,.) a pHcnc pootoceui ~;(.'X) nosniku, vetknuteho v bode ",,"= O.

'" - f {' ]}[.i) K"l ) Wj(c'~) = RZ - ET sin (x - IX') + -c.i;: [I' - cos (IX - ~.')] j d /, (4a)

2' a=: 0

(4b)

Vzoree pro ~i(~) a 1fi( v.) V ponckud jincm tvar~ odvodil jiz Bressc [I]. Ohdohnym zpiisohem Ize ziskat vyraz pro pootoccnl ~~(IX) v hode c'X zakrivencho

nosniku vetknuteho v hode x = 0 ve svisle rovine odklonene od normaly v bode 'x = 0 o lihel fJ a pro pootoceni xl;.;) ve vodorovne rovine

(4e)

(4d)

6. Ahycholll z ohyhovc cary ';/ll\\), re,",p. ;Pi(~) ziskali I1Ncillkovou caru, lllusime ji jednak znasobit jistym koefieientem k, urclmym tak, ally dcformace ve smyslu Etatieky neurcitc veliciny Xi. mela velikost -I, jednak ji pootocit v bode ,\, = 0, y nelllz bylo doeasnc preclpokladano vetklluti konzoIy, 0 lihly cpo kolemllOrmaly n a lJ10 kolem teeny t a pHpadnc ji tez svisle posunout 0 hodnotu 1(10' lHatematickym vyjadrellim dostallcme:

71xlx) = -cpoR sin ,x + 1JIoR(I - cos "I'.) + Wo + k~l\:), ~.r,( Y) = cpoR sin ,,\: + "1'0 cos .\: + h';Pj( ,,),

(Sa)

(5h)

kc1e f}x,( \') znaei pi'icinkoyou caru veliciny X j pro zatizclli pohyblivym syislym eentl'ie­kylll jcdllotkovym hfelllcnclll a ex .( ,.) pro zatizcni pi'icllylll jcdnotkoVYlll momclltem.

Zhyva urcit hodnoty cpo, 1JIo, 1(10 a k. Ziskaji se z okrajovyeh pocllllinek pi'icinkovc cary, tj. z podmlnek podepreni llosniku, a z podmlllky deformaee vclikost -I vc slllyslu veliciny Xi' Pro jejieh urceni je zar.otrehi systcmu llejvyse ctyr rovnic, vctsinou vsak jednc ucLo dvou, plynou-li nektere hodllOty llrIlllO. Zhyvajid okrajoyc podmillky ohybove cary lze pouzit ke kontrole. .

7. PrIcinkove cary ostatnleh vnitfnleh sil v poli he vyjadrit ve tvaru

11 '1/

,] .uh) = 17.1/(-"<) + 2: Mil}x,( ".), . ;=1

C.u(IX) = e.u(x) + 2: MiCx .( '\:). £-1

. . -, (6)

22

_ -' ,) - (~) •.. jtlOU hoduOly vuitrnich sil llro .~.::= 'T' jejiehz kde Mi' ...• resp. 11 .lI(~· ,11K 'k'l 1 ' .taticky urcite t;oustavc pl"ll 1.Iltizelli Xi = 1.

.,v· k e cary bledame na za' Il( III I; • '\

pnem. ~: I vicinko;c C~1'" ktere se urc! z podmiJwk rOV/lllva 1Y· reap. JeJle 1 pr . J',"-

Resellt Tllznj'cll I),P'l kOllslrukci krul/Ol1e zaki'il'elljc1,

, T .'k abc nl'l'hi ma lIve f;(IUIllCrllll pulu slcjlleho A. Spojitj /loslIik 0 dt'()u pol'~". N?lSIIll (b "5a) Str(~ilni klouhova pOllpllrll b j"

, I 'I" 'I -t' ,clovenlll u 1 u · ... ·0 0 r. . , ,., rozpctl, Ot POVII aJlcl 10 s rc I' 'kl b vc l)o<1I)01'Y a c jSllU pOSU\'lW a IIVUIIJl

, ,. aly oblouku ;:rlljJ1l ou 0 , ttl pevna a ma smcr norm. : I R R 1)·' a.l I'olmych puilpor a, (; )y nilS II tie strcdni klouhovou podporou b nhe ,J a -". rip. • . '

• v R ;'\'0' .1' • ROil kulme Ie lei ivi\ pole, jHOU Ill')-

fJ = ~ . Sikmc llOclpory VI~ Kllleru " = <) t JCz J pro . ,0 - k ., 1 ' '1.' '1"1 ," Ill'''znikaji pa . zal IU~ SI }. VhOallCj'~i s hlcdi:.;ka dillitovaui nosniku, ncho[ ( I ato~ mum '" ~ . )

11 1 podllOru napr. z vrl!t\Cllt. gUIIl). (N(~vztahuje se lla kyvnou ~ ou )t)VOU . k' .,·ty' llro sviHlti zatizm1i "sak JCIl

, 'k' . -t ove 5-krat stallc -y ucurCI , .• , 'kl I ' Dany Ilosm JC IltOS or 'l ., 1 face YC vo"orovllc l·OVlIle. Za . al III

3-krat, llchoi Ila zaklalllli soustave llevz~l ;:aJl ~ e orll~ 'k 1 ve strcllnl pod pore b. 1'i11110 . k" t 'U v},tvofime prClllutll1l UOKIll \ d 1

statIC -y urCltoll SOliS a" •. , I'.' -"I' 'ly' ohvhoyy' momlm~ Xl nn POI-, . I· t,t" ky neurClte Vl~ ,emy S l:i J 5b) rllzclll vystOUpl Ja.o s a lC db k t" mOJllcnt X Vllravo OIl b (ohr. •

b k ' , t X vleyo 0 a rou lei a. IlOrou , -routlCl momen 2. . .., • 'k b dCllrellY v bode b (\: = 0) l)evJlou

Prvkem zakladni soustavy Je krlVY nOl:i1ll e, po d b Ie• e (,' - ~- ) POSUV1l0U bodovou po porou a v 01, ,. -. 0 " Q b -.:

kloubovoll podporou (obr. 5b).' Z 1Il0lllcntovych .1.. r:-- ,-

vjmillek rovuovahy pol~ o~~ podpory c PlYll~" hod: . fl, <161 ~ noty vnitrnieh sil Kfi~ Kp T; v hode -.: rt; zakladlll a ii\,' y"

I 'v 'eX I ~ :i R < soustave o{ zaUzem i = "$-., ~ It. ,)~ ~, , ,,-,' .j>q

.- {'" . ·,(/.o~,;; / ~ <j" 1\11( .... ) = COS u; + T1(O) R sill ", \ '~I') (r~~ \ :s /" Kl(X) = sin IX + '1\(0) R(I - cos \:). (7) "-6!~' _ ~{J ~~

T,(,) ~ - -~~.;n ~,.~-tp-:;f ./- :';H~L <

• a ~,&1:,/J 'Yc "Ala(.X) ~ [It Ta(O) - I] sill \" ;0( .'

Ka( v) = cos IX -I- Ta(O) R(I - cos :\,),

sin fi '. ""0 (R ('(0) 2R sm ... -- cos ,.. - -.,-

2 -

Ohyhovc cary t~i(u;h .,p,(~) prutii abo be ~ech~ byly vr­poctimy za preclpokladn yctklluti ve stredm po~por~ b (' = 0). Pootoceni ({Jo, 1JIo zllaci pootoceni ve stredm po~pore b, a to cpo., 1JIo. pro l'~ut ab a

v ({Jo,. 1/Jo, .1?rI:

prut be. V poli ab je "" zaIlorlle. Podpore a otlp~"lda IX = -,XO'

Ohrf5. Spojily llUKllik II lh'uu pllikh -, HOIlIlli"rny (t~p A)!. u) stlltick),' 8y~tcm. Ii) ~a~la'h~' SCI,,!;t""" U ~tl\til'ky II I! II ri\ILfl veh-

i-iny.

PIIC.. 5. l\lIYX II pO:W"I' II lUI , 1~~JlII:l­Jlu:lllun, rl!~I:.ill1·PII'IIII1H U,lJIua ('1'1111 A). II) L'I'a'I'II'WeHiIIlI',ncT('~ta. 6) 0(,1I081111n ,'u,:n'Mii II C'I'lI'rIt­'ICCHlIlIlJOlIl'e;le;lII~ll>I(J !le:IIPI1I11I.J.

1-'ig. 5. Symm,!tril: tWO-~pUII cO~lti­III1UII" heulIl (TYI'I' A). a) ~ta'II'al !ly~tflm. h) primary hy:iten~ allll Htntiflul\y inted.!nnilliltc tllrill'S •

23

o piicinkove carc '1.\-,(1\:) u C-,",(IX) vcliciny XI je mo7.JlO vzhlc!dclll k symetrii JlUlmiku i ataticky llcureite Xl IlfCllcm rici, ZC JUusi hyt symctricka pocllc strcdni podpory b.

Z I,odntinky defonnaee vclikoati -1 ve amyalu Xl pak primo plync mo = -mo =~. T cT. 2'

l'otlcl,fcllr v hode b ditll, urliujo 1J1o. = 1J1o. = 0 (1110 = 0). Z podminky nuloveho pruhyhl1 I -

v krajni l'odl'orc C podlc roy. (511) plyne: - 2" R sin "'0 -I- kllll(lXo) = 0, coz flkytn

(8)

ZII kontrolu muzo slou7.it I'0dminkn nuloycho pootocen( ve svislC rovine prolo7.en6 OSOIl

klouhovc I'0rlpory c: ~ sill P -I- k';l (lXo) = o. 2 'r ,'I

Pro I'W\inko\"ou carll 11.r.(,x), Cx.(tX) ycliciny X" k niz jc tez soumcrna pficinkova carn vcliciny X 2 , plati zrcjme fJ.o. = f{Jo. = 'Po, 'po. = 0, V'o. = 1. Z podl'0rovjch vj~ minck '1.1'.( - \:0) = 0 v bode a, 'lx.(lYo) = 0 v hode e vyplyva po(lIe rovnice (Sa) aou~ stllVIl (lvou wYllie pro k It ",0 (It/o = 0):

-'PoR sin (-eXo) +k1~"(-eXo) = 0,

-(poR sill ~o + R(I - cos /Xo) + k;;',(lXo) = 0,

jt:j:lmi fe~ell£rn dostnneJJ1c:

- 1X0 W3( -,xo) t~ T

'Po = -N'" ,;-- ,

tIl3(~0) -I- 11:,(0,"0) ,

k = _ R(i - cos IXo)

r;'3(~) + ;;" (- 1Yo)

Kc kontrolc lzc uZlt nnlovycll l'ooloccni v hodcch c, a:

cos {1 -I- fIlo sin p + k~3 (LXo) = 0, i/

(9)

l( urctmi pficillkov)'('h illlr vnitrnidll1il v poli jc zapotrchi znat jdte jcjich pflcillkove cary 1111 6tali(:ky urcitc zitkhului 6011st.IlVe, tj, nn prostcm nosniku be, podcpfenclll v bode {'(. ,== 0 P()YIlC ltUtlovc n y holle ,y = ,:1:0 posunlOU klollhovou podporou ve smeru p (01ll'.5c). Z 1ll0lllcnt.ovc vymillky rovnovaby pole k 05C kloubo"c podpory c lze odvodit I'rlcillkove cary vnitfnlch sH v hode ,~ = lX, pro pohyhlive zatizeni S\illIym jednotkovjm himnenem " bodc Oi.

pro ,x S C\.,.

pro IX ~ IX,. pro IX :::;; ~,.

pro IX ~. IX,.

pro (X < oX"

(lOa)

, v'v y'm Dlomenteln 'v "edllOtkovym prien v,v1'nk'lVC cary pro zallzelll l a IlrlC ' pro

B.R sin IX

ClII(lX) = <B~R sin (X + sin (!X' - eX,)

B'R(l - cos ;x) pro (X < IX"

pro IX > IXr'

,(lOb)

~,.(.Y) = <B~R(l _ cos ,y) - cos( IX - !lI:,) ,

;].l'(.'\:) = B,/. [J1 Zdc znaci

QJ

IXo - 0; I eXo + IX - (3) sin --r cos \ 2

B,/= , IXo os I ~ - (3)

SIll"Z-C \ 2,

sin (IXo - (X) ___ •

~ ,lXo _. __ B,=-- (1Xo) 2R sill T cos 2, f3 hI

, , R' m abscd rna "patkach a, d s!:.. (jtl c B. Dvoukloubovy TClm. a, ." s normalou ve stre- bJ. AJP~) %:s T .

Pevne kloubove podpory sv~:aJlkCl _ 0 mereni stie- ' 1.',1. Jp r pocate IX - D • sx~ (::t~~'

(\u S'lPol~'llkde. zu;hlo

ylm±e y (ohr. 6a) 1 .. Stiedovy u~e~ c) ./'Jl:x // 'f'. tlovc 10 U 1 U oX, 'h d or' a d nastava ,,'( I.,', J J ,

Pole jc ~O' PHpad kolmyc po P , • v • . • (l

h h rurezu Ohr 6 DYllllklouhovy ra~ ,'Yo N~snik nccht je i v tu ostcc P • B) 'a) 'staticky' ~y,;tcln, I)~ zukla:

pro y = -2 . v·' t' ky neurl b d S soustavn, c) s,!a, Ie 'I "e' rovinV' Y 0 e • 1 . v ' die norma o. J, ve lcmy. soumerny po v 4-krat statlcky neur-

U den ' rtun J' e pros to rove l' ne Pile f! iI B" Xl1la ll11u pmul p;' Vll y' v' ustayU zvo Jl • u. f.J, J II cnc'l'(" v' , Za zakladni staticky mCltou so bou (TIm B), a) C'l'aTIl'ICCW\ ) 'T'I city. ,v,v ~ pOSUVllOU bodovou vaz 6) OCllOBllall c.nr.TC)\U, n; c • trojklollhovy ralllS 11rlc11C . v ~m ctyr staticky neur· '10 'rn llconpP;J,cJUnll,\e se;ln'llL

Iv k -:. vZIlikne UVO_11en. , l'h C \ " lin v hOI c 5, ter) v dole .a to SVlS e 0 'F'(1 6 Symmetric t"O- 1 •

b • v zu S Ullrostrc P , . 10 " , B) n) _tal city' ch vaze "prure ' X a X kroutl- rilYid Craine ~TYl1e , . , 1 b 'ho Inomclltu -' 1 3' '" . y system ' a,vodoroVIle~o o;.y a o;:dorovIle posoll"ajici sn~lx" 6)':::~~alt~ i~~~:r:nillnte {Orel clho momen u ~ v d'ie prenasi norIl1-a nou ~

V'V mz vsak prurez 5 11a a prIce " i '1 ~ d t' sHu a svislou posouvaJlc SI u. 'k 'kladni soustavy v bode 'Xr 0 za 1;

, • , h '1" k1iveneho nosm u za 1 dpor Hodnoty V111trruC Sl za 'k . 'a'hy k ose klou lU po , ch vjmlIle' ro" no" .

X. = 1 vypl)'vajici z momentovy

a POdpOl:y d:

_ cos IX

IIt(.x) = - sin xO' N1(0;) = ~ ,

K.(.x.) = cos IX -\- R 1'.(0) (1 - cos 0;)

- sin I' T2(IX) == --.-IX-o ~-:-( --IXo) ,

2RstnTcOS Y-T

M3(IX~ = K3(~) =r T3(IX) <= Q3(IX) = Na(IX) == 0, D3(IX) = I, (11)

M,(IX) = R '1\(0) sin IX, K.(lX) = R T4(O)(1 - cos lX),

D.(,,,,) = -R sin lX.

Po d09azem IX = ± ~o lze o(ltud tei snadno urcit hodnoty vnitrllich sil ve stojkach rumu.

Po uTceni hod not 1\1(;), K·i), ••• se vypoctou eary ;Vi(IX), VJi(.-v.) IlrO zakrivenj" prut se I.a piedpokladu vetknllti v bode 5 (£X = 0); Pro stanoveni piieinkoyych car je zapotrebi ,llcit hodnoty 'Po. 1jJo, 111o, v bode 5.

Kloubove podepreni v bode (I skyta 5 podporovjch vymillek. Jsou to: a) Nulove pootoceni ye svisle rovine prolozene oaou podporoveho kloubu d. b) Nulove vodorovne jlootoceni v bode d. c) Nulovy svisly pruhyb v bode d. d) Nulovy vodorovny posun v bode il ve smeru spojnice pOilpor ad a e) kolmo na ni (prip. v lihovolncm jincm smeru).

lelikoz uvazovany ram je symetricky podle normalove roviny ve stredu pole s a st'ljniS i staticky neurcite veliciny Xl a X 3 , budou podle teto royiny 9ymetricke i jejich pricinkove cury. PHcinkove cary staticky neurcitych velicin Xu X~ musi hyt anti­rnetricke podle bodu 5, ponevacU samy veliciny X 2 , X, jsou pocHe hodu s alltimetricke.

Oznacme deform3.ce v pate d rumu odpovidajici vnilinim siJam JUdI, K'il, ... , zpl"tsobene pretvorenim zakiiveneho nosniku 5e vctknuteho v bode s takto: ~i. =

= ~i! ( ~o ) , reap. Xi. = Xi,' (-1~) ... pootoeeni v pate tl stojky ramu ve svisIe ravine

prolozene osou podporoveho klouhu, resp. pootoct'ni v pate d ve vodoroYlle rovine, ;;iOd' resp. ;i •• ... vodorovny pOBun v pate d stojky ve smeru spojnice ad, resp. kolmo na ni - a deform:tce zpusohene pretvorenim prime s}lojky cd, vetknut6 v bode d,

takto: ~; •• resp. ;C; • ••• pootoeeni v pate d stojky ve svisIe rovine, prolozene osou podporoveho kloubu, resp. pootoceni v pate d ve voclorovnerovine, ;;';d' resp. ;;., POSUll paty tl ve >:ilUCrU spojnice ad, r(~sp. kolmo nn ni. Snadno lze odvodit:

26

r;i .. = -2R= j12_~~~ sin (~o _ f) sin (-~o. + ;) dlX + 0(=0

anI:? 'j. (l\1'ilh KWh') + R • EJ cos IX + GJ1: sin lX dlX,

",=U

;f •• = 2R2 J2 ~; sin (~o - ;) cos C~u IX-O

,,\: ) +- (h+ 2

(12)

kde " = "(IX) znaei vysku tezisi prtirezti kiiveho nosnikll atlnail patou II 6tojky a h' = = h'(£x) vysku smykovjch strcdti prtirczti kfivcho llos11iku sc Dud putou J slojky. U nosnikii sta16ho prtirczu jsou " a I,' konstantni. ,

Pficinkova cara '1x,(lX), c't".(£x) svisIeho ohyboveho Dlomcntu Xl \nusi mit potlle

podminky deformace velikosti -1 ve smyslu Xl vzhlcdclU k symetrii nosmku tpo = ~ . .Dale je Xo = O. Z podminek (I), a), c) po fade plyne:

(13)

Za kontrolu muze slouzit podminka b). jez zDi:

Xl. + i;. = o. Pro piicinkovou cam '1X.(lX), C,t".(lX) krouticiho lllomentu Xa vzhl/ldcm k alltilUctrii

1 ·plati 1jJo ="2' 100 = O. Podminky c), a) davaji po fade rovnice

R · lXo + 1 R (1 /Xo ) k ( 010 ) 0 -tpo sm--· - - C09- +. IVa _ .. - = 2 2 2 2' (14)

. 1 --, tpo sm i' + 2" cos I' .+ k( tpa, + tp2d) = 0,

~

jcjicM fcsenim se z1s:fca tpo a k. Ke kODtrole Ize uzit pOthnlllck d), e), jez po dosazeni z podminky b) zm: . •

[- -, - -, ( 010)] tpoh + k uz •• + u2., + (Xa. + X2.) It 1 - cos -2- = 0,

- I;' + k [;1 .• + ;; .• - (i2. + i;.) R sin ~~] = o. . " • o piieinkove care '7.r.(,x). C,r.(:x) vodorovncho ohyhoveho momelltu XI vzhltld"lll

k symetrii plati tpo = 0, Xo = ! . Z podminck b). a}. c) po ralle plyne: - I-

k - -1jJo = - cos i (tpa. + tp;,).

(15)

P k · I '. . 1 ( lXo) / - • , ro ontrolu ze z podmmky d) vypOClI:it k ="2 R 1 - cos"2- I ("ao, + ":1 •• ).

o piicinkove care '7.r.(lX}. Cr.(lX) vodorovne posouvajicf sny X 4 podle antimetrie . . 1

.wo = O. 1jJo = 0, 110 = 2". Podminky c). e) skytajl po rade rovnice:

27

~ (.xo) IU. T

1'0 = k ------ J

R sin !Xo. 2

k=---. __ _ -1

2/. ;;4d + ;;~. - (X •• + i~.) R sin ~~ ]

. j

(16)

Kontrol .. jc mozno prOVtlst I'odlc l'0dminek a) a d), jez po dOSRT-CDi z potlminky h) 7.ru:

1'0 sin y + k(tP •• + ~;.) = 0,

7'nh + k [U •.• -I- ~~ •• + CX-I. + i~.) R (1 - (lOS ~~)] = o.

I)"' ... · k ~ "', . " , I . , r~~lJI o\"e cllry ':l\Il.rn~c 1. Ad v Lode IX = !Xr na ziikIatlnl statieky urcite tiOliSlaVC so

T-lska~1 ~ J~:m~enl?vych vYll~lIl(lk rovllovaby k osam kloubovych podpor. Pro poltybliv6

zatlzelU 8'lslym Jcdllot.kovym bfcmenem v hode \: je:

- <1', R sin", pro !X:S;; IXr

•

1}.lf("') = • 7',il sin '" - R sin (,x - !Xr ) pro eX 2 o'

r•

- <7\R(1 - cos ;x) pro 0' :s;; o'r

•

'In(O') = •

_ 1'il(1 - cos !X) - R[I - cos (0' - 0',)] pro '" ~ IXr

•

1}o('x) = N'IR(l - ~os 0')

- () /1"1 pro IX < .O'r'

fIT·x =" 1"1 - 1 I,ro . 0' > IX,.

1]Q(.\:) = -N,/ sin !X. '1.\(LY) = N" cos "', I

I.de znael

(1.7)

1\ = sill ( ~~ - ;) cos (~_=-J- - -f ) 2 sin -7-' COR (Y - ,t)

N = _ R SiJ~..f~ - T) cos (Y - ~~- - ;) '/ ,h cos (Y _ .~o )---. __ .

1\ Ilro Jlohyblive zati~cllf l'iicln.~111 J'cdnotkovy'm kroutl'cl'nl h JIlomentem v ode L\: je:

28

•

~ /T;R(l - cos (x) pro IX < Xr '

~K(~':) = "-7';R(1 - cos 0') - R cos (.x - ",,) pro ('( > iX"

~Q(lX) = -Nt Rin (,(,

(18)

.kde znael

; /J("') = N.:R(1 - cos c.:). t7·(r.:) = T ~,

(v(c.:) = N~ cos ('(,

T. = _ __ sin (y - .'\)

• 4R . c.:o ( "'0) Sill T cos y - 4""

sin (y - c.:) lV. = .-.. ----..... -'.' 2h cos Y

y ohecJlcjsim pripaclc ramu. jell~ jl~ gcometricky

pOlll'prlmhll nello v tuhostech nesoumirmj, je vhod­

nejsi zavcst zaklal1111 soustayu, jcz vznikne z dancho

systemu uvolncnlm jednoho podporoycho klouhu

na hodovou kyvnou podporu, cimz jako sa:aticky

m:urcitc v t6to Jllldpore vystoupi yodorovllll sila nl­

lIlU, prlcIlY momcnt klouhu, YOIloroyuy momenL a

votlol'ovnii sila kolmii na 8Jlojnici podpor. Po ureenl

ohyhovych car za prcdpokladu yctknuti ye druh6

podpoie slael k urecnl k, q'o pouzc dye l'0dporove

I)('flmlnky, z nichz jcdlla je nulovy pruhyh v prve

potlpoi'e II I1ruhli je dcformacc veliklll'ti -.1 ve smys­

lu pfi"lu~lle statickyc ncureitc. C. Nosn(/c 0 jedlwm poli klollbO/'e podepfell'y. Nos­

nik lib ° strl:do\'(,m ublu 1'011: "0 Ilccht rna v hode

a, resp. b kloubovoll podporl1 pcvnOIl, resp. }l08UV-

Q

L _'to.

Q)

II X, 1 ••

OLr.7. Nosnik 0 jednom poli kloubovc podcpreny (typ C),a) ~ta­tieky sy~tem, b) zlikladni soustllva

a staticky neurritc veliciuy.

Pn(~. 7. O;\1I0UPO;ICTUUlI uu,mta c mapmrpnr.um ';:!IOpa.\JI[ ('rnn (:), a) CTH'I'Il I ICCNIlH rIlCTe~la, G) Oe­

lIOBuaH CJfCTCl!<1 II rTn'fll'll:'rliJI

lIen" PO;IC;lIllIlolf' De;lll'lIlIIJ.l. Fig. 7. One span beam with hinlted support ri (Type C), a) statical system, b) primary system and • statically indeterminate for('('s.

nOli, orlklonlmoll od t.eeny ° "hel 8", rC~Jl' e,. (uhr. 7a). OS)' podpor Jlccht: nc:!plyvaji.

Strcdovy lihel {\; se IncH oll plldpory fl.

Dany ~l():mlk jc prostorovc 2-kraL Htaticky ncureity, avsak pro 5vi8](: zatizcni, pro

nejz zrejmc nevznikajl zadnc voc1orovne sily, jc l'0uzc 1-k~at statieky nCllrcity. Za­

kladui soustavu vytvofimc uvolncnim pmlpory b na hodov011 kyvllou, k eemu~ stael

pro svisIe zatlzelli uvolnit prieuy moment Xl teto podpory L obr. 7b)J.

: Z momentove vymillky rovnov[thy k OtiC l'0dpory a lze ureit vnitini Hily .MIt Kl , T1

V b~dc .x na zakladlll soustavc od zatlzenl Xl = t: ~

1iTl-x) = - T:("xo) R sin (,\:o - a) - cos (e/, + ::,:),

KI(c.:) = Tl'l:o) R[1 - cos ("0 - 0')] + sill (8[. + !X).

sin ( '~'o -L. 8, - 8 ) \J!, I , _,:;.:, __

~(iX) = 2R ' IXo • ( .Xo )

810 2 510 8" +2

(19)

Ohybove cary 1~1('~)' ~l(.X) nechi hyly vypoetellY za predpokladu vfltknuti v pod-

29

pore a (lX = 0). prrcinkova cara '7.1",(0.:), C.l",(,x) musi ·v bode a spl!iovat podmfnku nu­loveho pootoccni naprrc kloubove podpory a, tj. -cpo cos sa + 'Po sin 8

4 .- 0. odkud

plyne 'Po = cpo cotg 84 • Podmlnka pootoccni vclikosti -1 ve smyslu Xl V bod~ b (0.: = IXo) a podminka nuloveho pruhybu V hodc b tluvaji rovnice:

cpoR [(1 - cos IXo) cotg 8 4 - sin IXo] + k ;;'l(lXO) = 0,

cpo[sin (0.:0 + c,J cotg 8" - cos (:Xo + 8b)] + k~l (iXn) = -1, II

(20)

Z nichz se vypocte cpo a k. Piicinkove cary vnitrnich sil v hode 0.: = IX, staticky urcite zakladni 80ustavy pro

pohyhlive zatizeni svislym jednotkovym hremenem V bode IX jsou:

- <--;j,,(,,¥} R sin (0.:0 - 0.:) '7M(IX) = _

-1JAx) R sin (/Xo - IX) - R sin (IX, - IX) pro IX:::;;: IX,.

pro IX ~ lX,.

- ~'(L\') R [1 - cos (0.:0 - IX)] pro IX ~ 0.:,. '7K(o.:) = ( _

'171 (o.:) R (1 - cos (0.:0 - o.:)] + R [1 - cos (IX, - IX)]

pro IX :::;;: IX,. (21) . a . ( IX) Sill-Sin 8 --2 II 2

pro 0.: ;;;::: 0.:"

- / '71'(0.:) = \

. 0.:0 . (. /Xo ) SIn -- SIn e --2 II 2

. IX . ( 0.:) sIn - SIll e --2 ,. 2 +1

. ao . ( 0.:0 ) SIn - - SIn 8 --2 II 2

a pro zatiZelli jednotkovym pficnfm momentem v bode 0.: jsou

pro 0.: ~ 0.:,.

pro 0.: :::;;: IX,. (22)

D. ObollstrUll1le vetkllllly 11O:m(/~. Strccl"ovy uhcl pole nosniku ab'je IXo, Vhel 0.: se mcri clII podporya [ohr. 8a);. Jeho prost oro va staticka ncurcitost je 6 nasoblla, avsak pro svisIe zatizenf, ktere nevyvozuje , 'oclorovlle deformace, pouze 3 nasobna. Zaklaclllf soustavu uVaZujeme jako llosnfk s pevnou kIouhovou podporou v bode a, koimou na tctivu ab, s hodov'ou kyvnou podporou v hode b. Soustavu je pak nutno doplnit sta­ticky neurcitymi momenty Xl1 X 2 a X3 [obr. 8b}].

30

----....-- . . .. --..... -.-~~,----------.~-- .. ----.-.........::........--

t'V i X-I lze ziskat pOllIe llredesltlho pii .. Vnitrni sily zakladni soustavy pro za lzen , -

, _ IXo +!:. do rovnic (19) a obdobne lez llficillkove cary JOBaze-kladu dosazenun en - T 2

nim do rovnic (21), (22). 1 . , h J:t • I b 'x' H ( ) .7. ( ) byly vypo(\teny za predpokladu vetkllutl v 0 c a Necht 0 iy ove "ary w. 0.: , Ti 0.:

'1° 6f

oj

{)

.r.,

J'G 6jJ~ AJ~ I lJ X~

Q - ---_ .• -. -- - ---

.i$t • Obr, S .. Nosnik vetknllty (1:YP D)!

a) statieky system, II) ~a~ladl~' 80llstava a staticky nCllrClle vell-

cillY· PIIC. 8, 3a)lCJII\\Il1ll11 6amm (1'1111 D). a) CTa1'II'ICCIWfI Clrt'TCM II , 6) ornODllll1I CUC1'CMIl II ('TIITII'ICC­mr lIconpcilCJI\UlhlC nCnll '11111 hi .

Fig. 8. l'ixcd-clld beam (Ty~c D). , a) statical s)'Stcm, h). primary systcm and statically mdeterml-

nate forcl:8.

'\0 /J -r'.,-

oj

X, 6 X, Qt r·· b)~~,.~

Ohr.9. Nosnik j(~lllIo~t\'nlllle ye­lklluty (typ E). i\) ~lnlicky sys~l.'llI, ") z;',klutiu; ~~H~~ la":I~. II st:.lll:ky

neUl'clte vel willy.

Pm:. O. DIlJllw :In:II':1 111111 1111 O!UlUM HOllllOM ('l'I1II E), n) (:TIITIlIII!CIWn cnCTCMlI, 6) Ol!1I01l1laH (' JI('"c~la Ii CTIl 'rJI'ICClm IWOII pO;le;IIIMldO

BCJIIl'Il/ 11M.

Fig. 9. n(!11111 with fixc~ 1.'1\(1 on 011l!

side (Type E). n) stalH'al sy~teJ\l. b) pt;,imary 8y~lem allli stnlwnlly

indeterminate furces.

(x = 0). Pro pHcinkovou caru '1:1"',(0.:), C.'f',(IX) veliciuy Xl vyplyva z podminky poot()ccni

, . (\'0 = ~ 100 = O. POlhllinka l1ulo. vclikosti -1 ve smyslu Xl: tpo = - cos 2 ,'Po 2'

vello pruhybll v hode b primo skyta:

(:!3)

Kontroloujsou podminky nulovcho pootoceni v'hodc b vt SlllY!']U XI a ve smy:;hl X 3 ,.

jez po rade zni:

IX H ) 0 -cos _0_ + kepI (~ +.:!..) (IXa = ,

2 2 \I

-sin~!. + k~l(~) (:xo) = o. 2 :l

Pro prlcinkovou caru '1x.(,x), C:r,(IX) plad ohdohne vztahy. Jc-li nosnik i co do tuhosll

v ' di 'I ve' roviny v hode 0.: = (\'0 • je tato cara soulllermi k care '7 ,y,( 't), s~umcrny po e norma 0 2 .

,. • <.N.) podle teto roviny. , d ' k otocVeni ':> I. .• ) ,. () veliciny Xa vypljva z po mm 'y po . Pro pHcinkovou caru '1:r.(L"<. , ':>.r. IX

31

' ... .. ~ "" ., ,,,,.~. " ___ ' .. -!.-.... . ..a..:..:._. __ , .... .. . '._ ... ' _. _ '" : ;1 .. ' •. '- ... -~~ ••

velikosti -1 ve smyslu XI (!po = V'o = t"o = 0):

k= _-=-_1 __

~3(~.) (IXo)

(24)

KOlltrolu pOf.lkytuji podmillky uuloveho I'ootoccru v bode b ve smyalu XI a llulovch.,

I)ri'tllybu b: ~a( ~n, + .:!.) (':\0) = 0, ;;'a(IXo) = O. Il '.

E. No.mil. jllli'I/),~;ra'mJ t'e/krall/j. NO!!Jlik (Ii, nUl sti'c(lovy "Iwl pole IXci. Strcdory

-.1helLX so mHi or! podpory II [obr. 9a)1. Nmmik jc v bodc a velklluty, v hodc " I'0dcpicny

))(,1;\lVIlO\l klo\lbo\'ou podl'ol'Ou, jcjlZ 058 jc odklollcna od teeny v bode b 0 -.1hel eb'

DailY nmmik je proHtorovii 3-krut l'llitieky llcureity a pro toJiko svis16 zatizelll pouze

2-krat. Ziikhullli soustavu uVllzujome jllko nosnlk s bodovou kyvnou podporou v bode b

II. s klouhovo\l pevnou podl'orotl 0 OSI) kolme nn tctivu ab v bode a. Staticky neurcitymi

pllk jsou momellty Xl a XI luhr. 9h)J. _,

Vzhlcdom ke shodllOSti zuklndni soustavy jsou joji vnitrul sHy pro zut.izcni Xi = 1

.tllillY rovniccmi (19) a priclnkovc cary rovniccmi (21), (22). Ohybovc Cilry l~i("')' ~i(o;) llcchi hyly vYl'octcny za p£CltJloklu(lu vetklluti v bode" (ex = 0). Pro I'i'fcinkovou caru

'1.r.(IX), c'r,(IX) vcliciny Xl plati ohdohne jako v p.redcslClll pi'l-

1 n m

DI

/:. t. \ ~E"" ~ n"\f n.I ... .

" <, /.' v ~;~" ~/ ,

~2 Kln .2 .t: J' K'n .!In.2 b", ••

, ~ K~2~n~" _______ '\rH(~h~n~.'~h~M~j , ~ A ~~ I

n./ .r1n

11) l.K.!.n ,;z ~ n. " n'2~i!m •• «..X, .(1";1 I,' . ' "'n., m.f L.¥~ "\ n" .. !., /-r1~'~:-'1,~ \" ~ nil\r..//' ,.m

'- " n~! . ~, ,.' X . . , I " ~m".1

' ....... 1«-'\ !/ ,·m.'_ ~ :s ~ /'

'\.$ SV

Ohr. 10. Sl'ojilv Ilol'nik 0 vicll poUch (typ F), u) ~t:lti"ky

eYAlclJI, h) zJklndni M"u~IIl"1l 1\ ~tllticky IIllurrih~ velieiu)'.

PIlC. I U. I [opII:lpeanun Mlloro"I'O.' ICTlllln ulI:ma (nUl }').

1I) CTIIT'l'U'I'HIUI rJI<:TC)llI, G) OCIlODllnn CJlC'l'OMII

II CTaTll'ICCHII IICOIlJ!l';ll':IIUIIoIO Dc, m'mnt. ••

Fig. 10. JIIulti-Mpnn coniinUII118 hellll1 (Type J.i'), II) staticnl ~ystem, b) l,rimnry system and 8tatically

indeterminate forces.

kl Iv ('(0 •

a( u rpo = -cot; - '-, "Po = sIn 2

~,1"0 = 0, k podlc rovllice (23). 2

Kontrolou jc podmfnka nuloveho pootoccni ve smyslu Xu jcz zni:

• ~o ' ( + ) + + sm -'2' Sill e" "'0

Pro j1ricinkovoll caru '1x.(tX), C r (IX) vdiciny Xa l'lati ",0 = '11'0 =

. • tvo = O. Z I'0dminky pootoceni

vclikosti -1 vc smyslu X, plyne

1 k = - -';.,'-------'--.

IJ1I(f. + cr. - i) «~o) (25)

KOlltrolo\l je llulovy priihyL v bo­

de b: ,";,2('\'0) = o. F . Spojilj 1Iosnik 0 vice 1'01£.;".

Spojity nosnik ma obecI1o sile. rno l'0lozene IJodpory 1, ••• ,

B-1, n, B + 1, .•. , m, odklollclle od teceu ohlouku 0 ubly, 81> ••• , BII_1t 8",

8,,+1 ••• , 8 m [obr.IOa)]. Stredovy uhell'0le (n, n + 1) necht je ".xo. Jsou-Ii aZ na jednu

vsechny podpory posuvne, jc pH m podporach nosnik prostorove (3m - 4 )krat staticky

ucurcity. Za svislCho zatizcni, kdy uevzuikaji vodorovne deformace, j~ jen (2m - 3)krat

staticky neurcity. Zakladui soustavu vytvofime rozdelenim spojitcho nosniku na sou­

stavu staticky Ul'citych nosuikli zatizenych staticky neurcitymi ohybovjmi momenty

Xl' ... , X!II' ... , X2/1l-t v osach podporovjch kloubli 2, •.• , m - 1 a krouticimi

momenty Xu ... , X,,,_l' .. " X'm-t pusobiclmi napfie podporovych kloubli tesne

pred podporami [obr. lOb)]. , V jednotlivjch poHch (n, n + 1) jsou vzhledem ke shodnosti z:iklaclui 80ustavy

vnitrni sHy od zatizeni Xi = 1 dany rovniccmi (19) a pi'lcinkove 'cary rovnicemi (21),

(22),kdc Mel "IX scJUei'i vzdy zvLst otI podpory 11. Pro ka1.c1I~ pole (11,11 + 1) se vypoctou

ohybove cary ;oi(l¥), ~i(lX) za pfcdpokladu vetknuti v bode n a pro kazdou podporu B

je nutno zvlast urcit hodnotu "Po pro pole (n, n + 1), l)ficemz jc ""Po = "!po cotg B,,"

Hodnota k je pro danou pfieinkovou earu spolecna pro vsechlla pole.

Pfi urceni piicinkove cary '1,r.Jtx), c'l·.Jtx) momentu XI" je nutno vyjit z dvojice

poll (n, n + 1), (n + 1, n + 2). Deformace vclikosti -1 YO smyslu XiII VYZadujc, aby .

.p

" [. (" + ) + e05("0:0 + 8 11+1)J _ 'l+Jq.'O + rpo sin "'0 8,,+1. .

sm 8,,+1 ' sm 8 n+l

+ k~llI( + ") (1Il¥0) = -1. (26) £,.+1 2"

Z podminky nuloveho pruhybu v bodech n + 1, rcsp. n + 2 pro pole (n, n + 1), re6p.

(n + 1, n + 2) pilmo plyne: - ,

., tVS"(",,,O) k "!po = -(-i~ cos ""'0 ) '(27)

R ' . ' - Sill""'o sIn ell '

11+l!pO = ___ ~211("+11Xo) k •

R( I - cos 'lao '"+1) ' . -SIn "'0 sIn e,,+1

Dosazenim tcchto vztailli do rovuice (26) ply­

nc primo hodnota k a podle (27) ttz IIrpO' IItl!po.

Pilcinkova cara v ostatllich polich se urci po­

dIe vzorce (27) pro "Po, kde index n zameuime

za index pi'iSluSllcho polc.

Pii urceni pHcinkove carY'1K'~_I«'X)' CX •• _,(IX) krouticiho momcntu X 2 /1_1 jc nutno vyjit

,z pole (n, n + 1). Deformacc volikosti -1 ve

smyslu X Sll- 1 vyzaduje, ahy

" [sin ("('(0 +.811+1) /I' ]

!p,o • - cos ( ~"o T e,,+I) + sm8"

+ k912"-1(£It+u(",,,0) = -1. (28)

Z podmfnky nulovcho pnihyhu y bode n + + 1 dostancme vztah tvaru (27) pro' "ffo,

Q b c d

Obr. 11. Sdruzcuy ram ij vlozcllym

kioubclll, a) stnticky 8y~tem, b) zakladni sOlls tava a staticky Ilcurcite yeliciny.

Pne, 11. :.\11101'011 PO: IOTll an PUllU C C.OIl,'{IJ­

HIITO.1IbIlLIM runpllnpo~1 II} CTU1'n'JCCKIIII

CnCTel\1a, G) OCHOIlIlUIi cnCTOlHl JI

CTUTH'lOCiiTI IICOII pC,'I;c:IJl,\I/,1O DO;UJ1I11HLI.

Fig: ' II. l\Iulti-:<pan continuous beam with inserted hinge (Type G).

a) statical system, b) primary sy!;tell1

and statically ind~terminllt(' forces.

..

kde 10S11 je zam1incno za 1C2,._1' a jeho dosazenim do (28) ziskame k. Pilcinkova cara v y~staytn~ch polich se urei opct poelle vzorce (27) pro ncpo, k<1e index n zamenime za index pJ:lilhlS!lCho pole a w2u za W;/l-l' Za kontrolu slouzi zbyvajiel podmillky stejnych po- , otoceru kolem osy kloubu pred a za podporou a Ilodminky nulovych pootoeenl napele , podpororych kloubti, ktere jiz vypisovat nebudemc.

G. Jine prtpacly. Vetknuty zakiiveny ram, ktery je 6-krat statieky neureity resime­pomoel zakladni soustavy ziskane protnutim nosniku uprostred pole. Obdobn~ sc res, sdru~en~ ram, jenz je pii Il polIch 6n:krat staticky nellreitY. Konzolory vctknuty ram s vlozenym posuvnym kloubem v poll, ktery je 3-krat staticky ncurcity, se resi pomocl ' zaklaydni, so~stavy ziskan~ uvolncnim sil T, K, Q v kloubu a oh<1obnc i sdruzeuy ram s v!o~enyml klouhy v polich (obr. 11), ktcry pri n polich, z nicM krajni pole konei na ope~ach posuvnym kloubem anebo jsou pripojemi na vetknutou konzolu, je Hn-krat st,atlcky, ne~~citY., U vvs~ch y~~?hto ~~lllti)S~U ol1ybove cary, vypoetene za predpokladu vet~nutl, prImo umerne prIcmkovym caram podle koeficientu k (CPo = 'Po = Wo = 0)_ TroJklouhovy ram s pevnymi klouhy je 3-krat staticky neureity. .

Pi'iblizne resen!

Pro predbczuy llIivrh kOJlstrukce navrlmcme tez priblizne rebeni. 1. .?h~~ovve .mom?n~y, svislC ~,os~uvajici ~ily a nornullnc sily a jejich llifcinkove cary

Ize prtbhzne stanovlt ]ako 11a prlmem nosmku neho ramu, vznildcm rozvinuthn zakii­veneho nosniku do prlmky. Znamena to, ze rozpeti poll je nutno uvazovat po ohlouku_ Ta~to ziskane ohyhove momenty se uprostred pole a ve vetknutl vztahuji k teene rOYlne, nad kloubovymi podporami vSak vzdy kolmo k ose kloubu, tzn. obcene u sikme . p~dpory vMy k sikmemu iezu. Normalne sily ramti ptisobi ve smeru spojnice podpor ra~lU. ~.no~m~l~e sHy lz~ u ramu sta~ovit prlm? ~odorovne obybove momenty. Chyba vysIedku hyva Jcn nekohk pro cent [VIZ porovnam na obr. 14a), b)] a roste se sikmostl podpor vtiei normale ohlouku. '

2. Kroutidmomenty IZ,e pfibliznym vy~octem postihnout jen "elmi hruM. Postup Je tento: Pro pole ab mUSl byt spInena mo­mentova vyminka rovnovahy pole k tetive

Obr. 12. Pole nosuiku obecne spojiteho nebo vetknuteho.

PHe. 12. II POJlCT lie paa pe3110ii 11JIII 3U~C­JIallHOII oamm.

Fig. 12. One span of a continuous and fixed end beam in general.

ab, ktera znl (obr. 12): I

(K lXO + M . /Xo ) /JcosT asmT +

+ (-Kb cos ~o + Mb sin ~o) + + Po = 0, (29)

kde znael e cxcentricitu hremcne P vuei te­tive ab pole, /xo stredovyuhel pole aKa' Ma. resp. K b , M b vllitrnl sily v podporovych priifezech. Podminky staticke ekvivalcnce davaji v kloubove podpore

.l\!la sin 8a - Ka cos 8a = .l\lgm, (30)

Mb sin 8b + Kb cos 8b = M&m

a vc vet:knlltl 1\la = j\1~In, 1\-lb = AIcm, kde Mf,1II resp. AIC'II znacl podporovy moment na rozvinutem prlmem nosniku a sa' resp. 8 b Uhel osy podpory od tecny.

a) Pfihlizny vypocet Ka

, Kb v poli zutlzcllem llrcmcllcm P zalozlme na odhad staticky nenrciteho pomeru ohou ziivorek v rovnici (29), tj. kronticil'h moment k tetive abo Budcme piiblizlle uvazovat, ze prvii ziivorku se rOVnil/'a Plj u ilmhll ~dv(Jrl. PbPe, kde Pn' resp. Pb ZllUCI pricinkovou poradnici, }lHp. lei jell OI~lndllutou, krollticil, momentu Ka. resp. Kb ua prhnem nosniku lib (Pu -I'b = 1). I olom pro kloubov"

podporu plyne:

P . .l\.r· /Xo Ii B sin 8 - ~Pnl Sln-ra a a 2

K .. ..:... • ( /X

o ) sm B"-T

L'\: l\lpll' cos _0 - Il PB cos S a 2 ra a

• ( /xo ) sm Ba-T

K · b= . ( + "'0) sm Bb T

"'0 ' P Mgm COS '"2 - Pb e cos 8b

Mb ..:...-----,,..------. ( + "'0) Sl~ Bb T

(31)

a pro vetknuti

+200 i +200 I -:.---.. ,.,----1>, 1 \c ~I I

~~~~~~ I __ ---I~----.-

..-'

Obr. 13. Nnvrh ki'iveho 'Jnostll v Klli't'lillve } .. Jizerll :or; Ilretipjutt1ho betullu, stntiek{-ho ~yst~ ,

podle ohr. 5 «()opravoproj"kt, l'raha). Pne. 13. lIpoeHT JiyrooGpa311 ... oro MOCTIl 113 III~e!1l pUTCJlbliO lIanplI)I\ellJlOI'O O()TOJlIl 'Ie pea Ih, B KOP;I(CIlODO, mlCKHllCfO CTaTlI'ICCliYIO ClICTl' eornacllo puc. 5 (l(onpanonpoeliT, II para). Fig. 13. Curvilinear hritlgo! design. Prestressell hri. over the Jizerll Uivcr at Kort'llov. Statical Dy,l

a"coruillg to F'ig. 5. (Design office llopravoprnjckt, Prllglle).

K PaPe M m "'0 .. ..:... - - C tg-2 t K..!.. p"PB + jUr.'lI tg ~ b- 010 • 2 .

(:

cos--2

"'0 COST

b) V nezatizenem poli spojiteho nosniku je nutno tlosu'dit Po == 0, takie prleinkoy~. 1

poradnicPa ,Pb tam nelze vyuz(t. Plall Kb":'" -Ka ..:... 2" 7'R(I- cos/Xo) ••• (33), kd

je posouvajic1 sila pole. ., c) Kroutici momenty v poli se urc! podlc momentti v podppre z vyminck royno,,{, d) Nejsou-li kloubove podpory rOVJlobezne, nebo json-Ii to yctknuti, Ize v I

z!ltlzenem i nezatizencm podporovy kroutici momcnt norrie klouhoye podpory eli novat z momcntove vYUlinky rovllovahy pole k olle kIo\lhu v druhc podpofe n, v pripade vetknuti k normaIe oblouku v drnhe pod pore. Kroutici moment se t.: vyjadH pomoei 1\1PII'. l'\-IC IR, Ten!, TC III , Vzhleelem k vclikosti chyby je "sak toto i,"

I pouiitelne, jen kd;z kloubove podpory, resp. nprmaly oblouku s'iraji .~hel ~ctsi .. !lsi 15° a i tak dava hodllOty velmi nepicsne, protoze v llClll vystupuJI male roz ,

velkych eisel jUf."'. • •• jen priblizne znamych. Proto tento zptisob jo vetiiiu~u vho.

jen jako kontrolni.

p. 0" ,. .... * 'tnti'h tE ell H,_

, ..

Cbylm VC VYlJOclU krotllicil'il momcntll jc vclka, az koillIll 100% (viz porovnani tla obr. H) a rostc se slfetlovYIll uhllllll }1011l. Nastcsti vsak kroutici lllomcnty maji pri dilllllm:ovalli JCIl p()(II"U:7.IlY vii\', I.nkic k vol be rOl'-lllcrii stae! i Lcnto hruby obraz.

Pfiklml priCinl'Of.jch car

Pfildllli I'fifinkovyllil 1'\111' Yo niivrllll silni~niho mOl:;l.ll V Kortmovt: prcs J il'-cru jtl JUl ohr. 14. JllIlnii HIl 0 Rpfljily nm;uik I) dVllu I'flHdl (I.yp A) v Il(Ilolll~ru R = 80 m, (I tlvou )JOlich rllzpcti 42 m po ohlollkll «(~o = 30,1 ") 11 sirco mczi ziibrndlim 13,2 m (viz obr. 13 II ohr. 1). Most. jc z I'rtllll'jlttcho llillollu n ·1.00, l'rcdl'jaly kabcly v horni a dolna dcsce It ve lilcniich. Svym pOlllcrmn mky 1l0SIle kfln~tirky 9,20 m ku rozl'cti 4,2 m (1/,1,,6) jc

o.s

a

-as rf.5 :·W(m}

. -'

Ohr, lot, I'i'icinkm": '~Iir\' IIII1~Lu v Ktlre­lluvil pudic "hr. 1:1 I'm ~\"Mc j(~dll"l koyc bi'elllcllo, II) ohyhllvydl nUlJllcnlil, b) 110-!.'''U~lIjidcl~ ~il" c) vkrOl~1 i"~':h ml)m~utli. Pine - rl'~elJl pre5111l, l'lIrkovano -

res''1li prihlizllli IlOule teto praee. PUt', 11 .• 'IUHIIII D,'IIIH111I11 ;1:111 MOCl'a II ],'opml'1I0llll COI'.'TnellO PH(', 13 ]{JJJl

('J!.JlIIH'lIlOii lIl'pTJlWlm.lloii lIHrIlY:Iln1, ,11) lI:III1UaJllllll'I'O ~I()MClll'n, G) l'I)(':II,I­nnllllltl'ii ('11.1101. il) I\pYl'lIIltl'\'() ~IO,IIClll'a, ClI:IOHIIIIIII :JJ11111J1 --: 1'Il'IHOt' jll'lIll'lIl1l', 'IIYIII\'I'IIII1II1I1 ,'111111111 -. II PJlO:llIiIH'1III()(! ),I.'II\('III1C ('nl',I:I\'1I1l ]IHI1Uoii paOO1'IoI.

Fig, 1 t Inllutm"I' lilies tlf tho hridge lit' Kurt'uov (arr.nnliug to Fig. 13) for ~'('rlit!1I1 uuit Iliad, a) IJclllling mOlllenLs, b) ~llI'lIriug fl)rct~s, d, torsiulIlIllllulIlcnts. • Full lines - '~xaet RnlnliulI, Dnshml liues - lIppruximnte ~ullltiull complltml

1IC1:ording to this [IAllcr,

:p

tllllto most JUt mczi, ktly jcstc jej IJribMnc IZIl zjl:IJnodll~it na prot. Chyha pribJizJlliho rescni M a 1', jez v ohr. 14 ncn! zakrcslcllo, . I I' _ U l' 'u y 10/ JI: Zl e zv ast" ma a - lnclle ncz /0 max. hodnoty - poncvadz krajna podpory jllou kolmc na tetivu poll.

Pozmimky k mlt.rlm a tlimenzol16ni

Z hletliska dinlllllzoviini pnirczil sc lisi mostyzakrivcllc od primychhlavllc mllohem \'ct~i ,'elikosti krouticich momcllln a II

ramil vyskytclIl vodorovnych ohybovj~ch momentil, pro 11CZ je tudiz nutJlO llrcovat pflciJlkovc ciiry.Naproti tOlllU svisIe ohyho. vo momcnty a Ilosouvujici sHy a vOdOrOYllC sHy rami" mivaji hoclnoty hlizkc hodnotam pro mosty primc.

U mosti( z prt!dpjatoho hctonu jHoU staticky ncurcitc svislC obybovc moment)" a posouvajici sily a u ranlll vodorovllc elly vclsinou stcjncho znamcnkll a miilo odliilnc veliko!lti jako u mostii primYch. Navic pri­sluJlllji slaticky nCllrvitc );:rollt.ici mOlJlt'Jlty od precJpcli a 11 raJllii vodorovnc ohyboyc JllOIl1Cllty. Jcjich znamcnka llyvaji opai;na k hotlnolam 011 svislcho vllcjiiiho zati:7.I'1l1 a vl,likost mivllji zhrllha polovicnl i vice, takzc se 5 nillli z valuc casti n:lvzajem ruSi. Tato "dmi v)"hotlnii vlastnost predpcti jl' Zpil­sohl,na tim, zc pfedpeti ptisohi prtlli sLalcmu zaLizllni. U zakfivenyeh spojityeh nosnlk.! l'redpcti kahdy soumcrnymi podlc 5yislC osy !;()ulll~rlltlsli pru.rczii llI:vyvozuje ziidne vorlorovnc ohyhoye momcntya vodorov. no rcakcc a tlakova liila ot! predpcti !Ie vlivmn radialnich 8il kl"nhovc vymisi.

Prirrczy zakfivcnych Jllostu je nut.no vzhlcdem k vclikosti ·krouticich momcntu

llavrhtlyat uostatevnc tuhe nil krrmc(mi, ccmuz llejIepe vyhovuji IIza"rcnc komurkove prftfezy, .Jcjich t"ho:=;t jc nW7.110 jdile zv)"sovat pricnymi 8tcnami, nimy a vyztnbami, coz v~ak jc pro vyrtJhu neyvhotlnc. Choultlslivc hyva zaji~tvlli b(lZPl'CIlOSI i proli nad­l.dvihtlyanl z lozisek vliven; kruulicidl lllOlll€'Ut.il.. Tak napr. na uhr. 13 maji Lcndenci nadzdyihovanl luziska IU! kOllci llmmiku na vnit.rni stranc. Ni\kdy lzc tomu zabranit hez kOLYlmi a )ozi:;ka st.cjnomi'rncji v)'uzit, uS}I(li'iicillji-li 8C lozil'ka llCSOllllllornt; k ose mostu lak, Zl: ~e natlal-i ven z ohlollku. V priifezcch 0 malych krouticich momelllech, COZ byva U]H'ostred pole, he J~ckdy pro zjedJloJuscni vyroby vyncchat doInl dcsku, cim na uri'iitcm u.s(lku vZlliknc otcvr~ny prftfez 0 znacnc mcnsa tuhost.i v krouccni. .Presny

, • , Y 1 k l'k V'V' k Y k -, t t' k' • b ' VYPOl:C\' .II.: vsak POtolll nnw U'JIl 'Olll!, I -ovan!'JHl, ta 'zc S -utcllue s a Ie ·c puso CIll jc Jlulnc jasllc.

U 1l0l-Hlikt"1 Z l'rcdl'jaieho be\.11U1I je llUlno kabcly pH vnitrni stranc ohlouku ,;polehliv~ • • vkk' -, Oh -- . I • b' • v vt "' t 't zakolvll do prilrezll oVlllulou JII!' - -on VYZtuZI. tlZC II JUc 1 puso I Zllacne V(' 51 Z ra a

trcnim vlivem ]ludorysneho zak.i'iYlmi kahelii, jd pri vetsich kfivostcch ncdovolujc }l0uIHt tlcHlich pruhcznyeh kalwhl, Pres\.o to "sak casto llevedc k vetsa sJlot.rehc oceli, je-li me:;: unosllosti " ohybu ostrcjsim kritericm ncz dovolemi namahiiru.

Zakfivcnc mosty jsou staticky u.spornym systcmem, llcbo': vice vyuzivaji pevnosti matcrialu tim, :7.C vyuzivaji smykovych napcti. Prurczy bcznych mostil pfimych jsou totiz vctsillOU 8chopny prClle!;t ureite kroucenf "zadarmo", tj. hcz podstatneho zvetsenf rozmern vYztuzc, takie teprve u, mostu zakriveneho dostiivaji pIne VYllziti. Proto take llevychaz! nijak vetsi spotreLa materiiilll.

LITEHATGRA

1. Courbon J., Theorie des ponts courbe~. Annules ues {,onts et chuuEses, 1961, No. II, PuNz. {istav teorcticke ~ caplikovnne meehaniky (SA V, Praha ' Odevzdlino 22. 1. 1963.

Diskusni pi'fspct.ky k tomuto eianku (v rozsahu nejvfce 2 stran) posletB trojmo rl!(/akci ea"opisu. do :~O. 4. 1964, aby bylo mo:no je uvei'ejnil v i'ijnOl)em eEsle, .

:1ACIICH II. 13 a m a II l'

JIll 11 II II ILTrHHIIIIH l~,llH MOCT.on I\PIIB;IIt.IIEilUbIX I3 llJIAlIE

B C1'<lTbC ylta3un ellocou ollpcj\cmlllJlll ~lIIlIIriI B:mlIllIIlI ;~;H1 MOCTOll UMlJIOnl/lX B H.:IUn9 ~()PlIY 1()'I'II, lWTOpl.1C ~lmlmo ynporrWlllio pnC~~lUl'pllllal'I' 1{,m,Cl'Cpii\llCllblC CIlCTe~IiJ II y NO­TOPIoIX 1I1Oil>1I0 npCnIIO,IUl'aTI" '11'0 HpY1'Il11UIH ~1O~lt.'IIT npOlltlpI(nOlla:lclI .. 01'1I0l'U1'C.:I"IlO~~y )TJly HP:V'HlIITUI. ~lI1l1m[ lJ;UUlIlllH: /] ;1iI1I C;IY'IUlI IInrppmJllll1l C;(lfIllI'IIIOII, IICp'I'lIJm:lbllOlI, I(CIlTIJll'WClmii t'lIJJOii II C j..(RlI CJrY'lillI HnrpyawllIHr e;\lJllll'JIII.o[~I, nOllcpe'IlII',~~r MO~ICll1'Olr OIlPl';(":llIlUTCII 1"11, mflllIIr 1l3rnuu lIpll lJ.C(l>oplraI~lm n IlHllpnsat'l\lIJ[ rrCW)MOII Cl'llTI1'ICt:IHI nconpCAo;uulOii IIC;llI'IlIliI,I X t paBlloii -1. U003HU'IClllIH ym13UU\,1 Il I'IH'. 2, OGuUlii ~.lIocuG I'cllICmrH e;ICi\YIOIIJRii: BI>TGupaoTcH CTaTIl'Wt:lm onpe;tC;1Hllan OCIlOBII<llI CIlCTCMH II t'l'UTII­'lC!~lm nCOIlpCHC;IIDlhll;' Bc:'IIl'IIIUI.oI Xl' ... Xn J[ I13 YC,;'lOBJrii PUDIIOIlCCIIIl OUPC;:r.C:IHlOTCII

Bnyl'pClIIllIO CU;II.ol Xi" if" ,., OClIOBllOii Cl'Ul'J['{('Ch:lI Oil pe;(e.l1DIOIl CIlCTC~II.1 ;t;m cnY'JaOB

lIarpymcll1rH X, = 1. I10'fO~1 t:OI',ItlCHO (1) onpC;lc:rHIOTCfl 1,;o3(I)(pm~1l(Jll'l'f.r I'I1UHOCTil (jo. PClJIl'IUICM CUCTe~lr.r n - 1 mmciiuhlx ypilDnCIIIlii (2) 1I1lXOJl,IITCli 31Ja'WHlUI -CTUTII'ICCHII llconpc;w:mm.IX Xr' ;l:m c;rY'JaII nal'pymclJIUI X, = X:" = -1 (Ii - 1) paJ Cl'UTII'[cCHII IlCOllpc,L\enIIMOii ClfCl'O~IbI, NOTopan n0311llHUeT 113 AUHIIoii: CIICTeMIoI YCTpnnemrC;\( cnnan X t •

anR'IClIlIlI DHyTpcIIlmx CIW JII'), 1\(') ••• COOTBCTCl'BpOnlllC nelIlJ:llIIlla:o.1 Xl,') ,Il,Ulll.ol ypuBIICnllC~(

C:1)' ,!(.Ifl JlIIX onrC;reJIH(,T("II' eOOTnClTCTBYJOlmur JII'IIIIT<{ l'lm6a ;;,.(t\:). ';;.(.:\:) nyroo6,Dil3110!:

(}aJlJm (pue. 2,3), IIpll 'W~I Uptl/IIlO:r:U'IlCTCIl, 'ITO olla aallOmuHt D Dr.Iopmllloii. To'mo /lC = 0 ·(n CJIY'J:10 Ill'OOXO)IIlMOCTll n CO 3 IW'!ClI 1111 Mil i,«(\:) - pIIC. 2, ~,~(e<) - Yl'O!1 01'WIOlIHlIIII

B DCpTlllmm.1l0ll ":IO,~IWCTII eocTanmllOllltlii C 1I0Pl\W:U.IO n TO'IIW (~ = 0 ),I'OJI P II llPYl'lUlU). l{JUl 61l:llm l!~cJl)rnclI q)OpMy JI~T~1 OIq>ymllol:T!1 (pnc. 3) JlI'iicTnlf'I'CJIMII.I ypal11Wllllll (40, b). ,I.{nH 1'01 0, 'ITOlllol 1I0,lY'IIf'l'h II;! 31'011 ;mllllllllal'lfOli nlllllf/O nmflllllHI1/x ,(e<), I;' .. ,,('.'I:} 00/111'11111101 X., UY'KllO 1I0MIl{))~m'1'I, ':0 1111 Ho:)(N)\Il~lWllT k 11 1l01l0PIIY'fI. n '1'mlliO ~ = () IIU YlJlr.1 'PO, V'O II CiIDIl­nYTh 110 100 (pUC, 20), '1'1'0 nr.lpllmClIO ypallllClIlwM (58, b). IIollaDocTlIlolC 31l1l"101lUH k, P, '1'0' 100 OllPO;W;UIlO'fCll Tcm, 'ITOUI,! Gl,lJIIf YJlO!lCTllOP()IIr,[ yeJIOnUli CJTlIOl',ll'fOlIl.110 OIlOP oaJIJ\~( If '11'061,[ ;II'IIlfIp~lIl/lllH n m\llI~~lD:101ll1ll X. lIA!eJJa UCJIII'IllIlY -1. 81'0 I(OCTIIl'aCTC·1l pCUlClJllC~t ('OOTDC'1'e1'npOlIlIIX YPIIUlIOllllll Will OTi(C)l/,lIIdX CIIY'HIOD (oGr.llflIO 31'0 CIICTo~ra MUI\ell~r:1JI"1I0 ;nuyx JlUlWlllIblX ypllllllCllnii C i(DPIIl IICII3neC'1'lIhum). l'pallUQllblO YC;Ionllfl 110 IICIIOJIL30-uallllUO 1\o"IH onpO;.(C'XOllIlIl If(manCeTII'''X CJIYiKaT JlJlli UpOllllplm. Jlmlllll )J~1iI111l1I1l j(JHI

OC'I'U:ILllIolX I~lIYTplHIlIllX crr;1 IlO:I)""IIlIO'J'(;fl II:! ypamwlllrH (6), U .ua:U.IIl·I!llIClI '18CTU YWI3UII0 PCllICIUIe paa;Ul'lIII.1X TIIIlOD A ... , F ImnC'l'pYI\I\I1ii (;0-

rnncllo pill'. ,J ... Hl, JDH'llIlI\I1X II,opMy ilyru l\pyl':1 (ooo:mnl/c1Il1ll I\nll.,l U )lJH:y II I,ll x), 1(:111

~aifqOrO TUlia OHPCI\C:WIIJ.I UUY1'P(HlIlUO cu:n.I M,(e<). ff.(IX) ••• II ;unum U:1l1ll1l1l1l ?h1(1\:),

1]K(IX) u' • '. DII)"qJl' 1/11 II X Clm O(:IIUDIIOii C::'l(;'l'OMld, IW:Hpt!im\lWll'l'Id k. Po. V'o, Wo AJlll 1I0l:1'PO[,1I1111 nUlIllll U,lJIIIIIIIH COI';mClIO ypaullCmfl1 (5a, b) II )l/lIIhI lWIl1·pom.lIhlO ypanllollllil (7)-(26), il{JIIl pcmcIIIIH paMbl II nDOJlH'l'CH I(pO~lC '1'01'0 OOO:JIW'llllllIll ~'d' 1.,., ~'a., Via. Il ~;., 1.;., ;;; •• , v: •• COOTD, A'-III Yl'non muwouu It ncpO~WI1\OHHII n OIlOPO d c'l'oiimr 0'1' BII)'TpClIIlIrX cn:1 JIll,. npll .'Ie~1 IIP{';lIlO".~I'aOTCH 3U;ll':nm n 1'0'11\0 I'( = () 0'1' IIJlIlllllIIH J(O(IJOp~1UI\IUI JIPyrooupaalloii 6aJ!hlf sc 11.'111 CTOllJm cd eOO'1'Il,)

l{pmw Tom J{1li~ npIIO:IIUJwum.lii CHOCOO PlllIIOlIllH J(JW npC1\J111pIITCIIMIOI'O IIjlOOl\'1'1I ROlll.'·'l'P)"IH\lII1, lIarUU<IJOIllIIC ~1O~WllT('(, UOp'l'Ima:I.,1I1ol0 cpcaloIlIlllUlHllC cum,lll l'OPIl301l'1·a,'IMll.W

·l',Illll.1 n paM;' ~IOil\II0 npnomlilWlll1O OIlPCJ\O:IIITh ;VIJl 6amm PIl:IDIlTOii U IIpmlYIO, Oil/HOlm I~O­·CTUU,UWT OOhl"Il/O IIlleh:O:II.IW lIPOHOIl'I'OIl, II 1?,I1U,lIfilWII II 00 ouponC:WIJUO 1\)Jy1'llllurx ~IOMClI'I'Oli )(IICT O'J(H1h IW'l'I)lIJ((.Il' :I11Il"ICJIIIIl C OIiUlumlll JIll 100 %, 11 Pl[ :JTO~t 111'.\:0;\111'1'11 n:l \'1,:wlInii )lIIDIIODC(:lfH n PO.-rcTi! db (pnc, 12) - ypallJll'lIl1c (2(1) II n:! ),C;IODlfii (30) (,1'i!1'lI'1l!1:I\OJl :mDII­Ba'-WIlTUlll'.TlI lJIIY'I'PClIIIIlX ClI:1 lJ llOl»lallhlll.IX II w}(,wx CO'l(lilllllX (Ill;"', illl'" ooo:lIIa'IUIO'1' BU;nl'llfllhl n:IH On.'lIUI pliaDIITllii n II[JlmylO). Hp)"I'HlIlllii MmWII'f n ollope OI1PCIIC'-lJIC'I'CIT JIll O,~­HODi!UIUl 01(['111\1{ C'1'a1'II'Wl'Im JI('OIlPC;II';UDlOl'O 01'II0llIOlllfII I'PYTHll(ItX MO~WII'fOD n OIlOPIIX 1\ XOP;IO nb, 'l'fO :lCJlIIC'J'CH ;1:',!1 lIarpyml'lIl1ol'o UpOJW'1'l\ IIpll I10~1OIlUI JIIIIlIIU DJIIJHIIIIII I'u, I'. 1\PYT~~~I\IIX ~lmll\IlTOn npmlOlI (jam", - ypaulICllUlO (31) ;VIH llIapuuplloii OIiOPbl II YIH\UIII.'-1~I!e ( ... 2) il:TH aa;ICl;lIm, II IPS! 1((IIlIlI'JlYilwlllloro UpO,'Ill'l'a 110 cpc:u.lIIaIOIl[cii cmrc - ypamwlIlw (33). llPllo:lII;t;llIlimn IIponclma IIpOn:lnO;(u1'(:1I 110 .\IO~JeIlTn~! J\ flPyruM OCIlM ';eu I\ XOp;~(l db, 118npmlCp 11: oem! OIlOp. J(;m IWIIl\peTIIIlI'O IlpOCI\'ra (pIIC, 1 Ii 13) HilUM :nUlIfII DJllIlllllfJI (pII(;, 14) n IIpOIl3UOJ~1!1I0 IiX (:PIIUIlt'1I110 C'. I1J1I1GmliIWnIlIJ~( pCmCIllf(l~I. II IW/IJ~e IlMCIO'I'CII

p83J/UQUloIe lIpIf~IC'mUl'U! II: npOCl\T)' J( pac'w1'Y,

SIl.ItC'Ialllm II Om<1blllbll;amoii Cmamlu! uaoo TlOC,WIIII. (J mpp.;c h'Ol/lIlll: (He 6o;lbllle 2 rmpallil/{) .peaa~:lI·wl :»r!l[Jlln:tn iJII 30, 4, 1!J(j.J :1" "IIlO!)/.1 .I/OJIC111l ,)bl,W olly6.Hwollalllb IIX II OIo'lIlJI{iPLCI:O.If­

.'Ho.llepi' 1[}6 t ~.

Zdenck P. Bazant

INFLl"ENCE LINES OF HOl{IZONTALI.Y CURVED BHIDGES

Th .. Authur of the paper prcsents a uwthod of cOJnlllltation of influence lines of bridorcs lI'ith .cnrvili,~H'ar axis in pIau whieh are snppo~('d, with eertaill simplifil'atioll, to hehuyc as u b.lr"syst,nn, for wllwh til" tor.ulIIul lJlorn~nt cun be regarded as IJrOportional to the ullit augl(' of twist. The in{Jllenc(' lill"s '} fur u ('cntrully upplit,d nllit li"e luad ancl C for a lmit tr:llIsvcr~e mOlllent are cyuIllall·t! IlH ,I .. fl,'xion IiIWH fur slruill~ of valne -- 1 in tl .. , s"lI~e of the statically illdeterlflitHlte quuntity X,. Tht'l notation is shown in Fig. 2. Thl' procedlln, ill general is as fj)lIow~:

A stnticully determinate primary systcm i8 cho~cll lluvin/,( ~tuticlilly illdetcrminate quantities Xl' ... X" alit! on the husis of conditions of equilibriulll tI~t' internnl forces jJ,i., K" ... of the primary stati.;ally determinatc system for louding ca~e;; X, = 1 are found wherc from the elastidt.y factor~ «~'J ure found according to eq!llltion (1). By the .;olutiun of a system of n - 1 lincur eCJllutlOns the valucs of statically indeterminate '1uantities X~) are found for loading cuse

38

x = XU) = -1 in an (n _ I) timcs statically indeterminute ay.;teln derived frlllU the ginll b)' • • f' I ~ '1'" K(" I' t t't' ilisregardillg the constraint X ,. The ,,"lues () IlIterlla wrees". corrc~I'f)1I1 lug () 'IUIlII

I \C~ X~) are given by clillation (3), The ,leflexiolllia!~ ;;,«(e<). ~.(/lC) o~ the curvilinear bellln,corre~llll,n"il\g to these valucs is further computed, the eurvllmcar bcam hClIlg SUllposcd to, be Inuit - III III the chosen lloint /lC = 0 (occasiollully ulso with values X,«(¥) - Fig. 2. ,p,t(lX) -. n rutnlion ill I!.\'er­ticnlllllllle deviatcd from the normal in J1uin~ 0: = ~ hy angl~ IJ cLe,). I' or II t:lr~ulnr hlll!1ll (~' Ig. 3) it is ~iven by equatiolls (-la, b), In order to uhtalll the lIlnuencc hne I/.'\',«~),C.",(.x)o( a '1unlllJty ,,\ (' the linc ;;,,«('(), v,,(rx) should be multiplied by Imeflicient k lind should hy l'ota~ed II)' IIllgl~~ '1'0 '/'o ill the point /lC = 0 lIud be displaced by 11'0 (Fig. 2b). which is expressed by e~!'.'"tloll (Sa. 11). I he uuknown valnes 1., Po. 'Po. 11'0 arc foulld in such a way ns to sllti~f)' the ellllllulIlIIS IIf SUPIIO!t of tl~c he'lIll and to mllke the deformation in the sense of X, to assume the Vlllue -I, wlueh 19 ohtalllll,d hy tile 50hltiol1 of corre~pondillg equations for individual eases (usn ally 1\ sYbtelll IIf two hnear equutions with two unknowns lit the maximum). The conditions of support, whil'h had not been used to lind the unknowns ar" convenient as a check. The influence Iincs of till: 01 her internnl forces nrc to hc found IIccordillg to CljlJlllioll (6),

In thc following part of the llapcr the solution of different types A to J~ of ClIr\'ili~lt,ar structures shown in Fig. 5 to 10 is giVllI1 (the llotation is showlI ill thc figures), l'or cach o( the tYJll!.i thc internal forces .11'1 (IX) K ( ,~) "nd the influence lines ~-II(!'\:)' ~,,(x) of the internnl forces of the principal system.' th~ e~eflieients k. 'Po' '/'0' 11'0 nece.s lry fur eVIIIUl~lion of the influence !ines according to cquations (5a, b) lIud the checking formulns. sec clll1nlUms (7) t!? (28J ar~ gl\';-u. (For the purpose of the rigid frame anlilysis further symbol .. nrtl Iidollted - tp ... x,., Il, ••• v ••• or;;" -::" ;" ;, for dcfleetions nnd di~pInceJllentti of the "uluum, hn~e II 8tressel.1 by iJlternal

'rid' , .. ,If. ,ud't ,nil • .. • • •. 1 I d foree .. !lI"1 for dellexions ami dispIllcements under u8sumptUIl) of ellllstl'mnt III !\: == 0 , lie to tle e-formation of a curvilinear beam sc or column cd,)

Furthl!r an aJlproximlltc ·solution for IJrelimiuury dllS!gU IIf the structn~c is given, Bending momeuts, vertil:ul sIulIlring fort~es nUll horizontal forells of tnlllles 11111): ~'Jlprnxlmatc!y be evulll~ted by adopting a rectilincllr hl'ulIl til'riv"d by dc\'dupping the cnT\'lllI\,'ar ,heam 111111 n ~tl'alght beam. The error amOUUId to a few per ceut. Cnutl'a~)' to Ihul, the tor~lOn n!l~nl(:"ts IIlIlY. be evaluated only very roughly, the possihle crror amoulltlllg to Ilhont. HIll per cent. I hl'll' r:"!Il.1nt~nll is based on the equilibriulIl conditiou of spah ClIl (Fig, 12) - el!ualiou (29) lIud ou 1:IIIl(hll(lll~ (,iO) of static III equi\'aICl1fe of internal for"es ilt llerpelHlicnlar IIllIl iuclhlllil tlccliolls .pn", MJ,"" denote vlllues applying to a straight developed helll)\), Thc torsiunnl mOllll'nt at the slIl'port i. fouud by estimating the stuticlilly indeterminate ratio of tl}r~iullal "lom~!Ills the I'I!ord /Jb to at the support. This is to he done iu the loaded spau acconirng to the IIIl1uelice IlIIe iJ., I'. of torsiouul moments of a I!trllight heum - equlltion (31) fnr rcstr'lint,,1 support 111111 iu the 1I0n­

loaded span according to a sheuring force - elJuntion (33), Aij lin IIJlproximlite dLCCk tl~e JIllllucnt conclitions of equilibriulll of the span with respect to other axe!; dUlII the ellllrd lib e, g. With n,slJect to the axis cOIlllecting the llUiut5 uf support, may be used. . ,

'1'he form of inlluenee Iillt';; (Fig. H) are exemplified hy one }IurticnInr eXllln"h! oj "e~lgn (Fig. 13. Fig. 1) Ilud eompart!tl wilh the approximate solution, TIw paper is ':llllch .. II,,1 by De­veral rcmarks concerning the design Il1lll chllicC'of dimensillllH of the :;cctiull.

Disclusion of Ihis paper should be selll in Iri1llicllle (one copy 110; IlxcO!elling 2 plIl:e~) 10 Ihe E«liror by 30. 'J. 196,~, 10 be published in l1Ie OClober issue of tllis JuuTIlal. . .,

39

Korenov - Bridge Over Jizera RiverBazant 1961