Lety Velasco

1UNIVERSIDAD AUTONOMA METROPOLITANA

UNIDAD IZTAPALAPA

DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

EL TEOREMA DE RIEMANN-ROCH

LETICIA VELASCO GARCIA

ASESORA: DRA. LAURA HIDALGO SOLIS

Marzo de 2010

RESUMEN

El objetivo principal de este trabajo es demostrar el Teorema de Riemann-Roch en el contexto de superficies de Riemann compactas, para lo cual seutilizaran resultados de cohomologa de gavillas y divisores.

Este teorema es una herramienta importante en la geometra algebraicay el analisis complejo, este teorema permite calcular la dimension del espa-cio de funciones meromorfas definidas en una superficie de Riemann, conciertas restricciones en sus polos. Ademas este teorema solo es el punto departida de una serie de resultados que en un futuro nos permitiran intro-ducirnos al analisis de las superficies de Riemann compactas. Este trabajo sedesarrolla a lo largo de cuatro captulos; Superficies de Riemann, Gavillas,Cohomologa, Divisores y Haces Lineales. A continuacion se da una breveresena del contenido de estos captulos.

En el primer captulo se estudia el concepto de superficie de Riemann,as como los conceptos de funciones holomorfas en una superficie de Riemanny aplicaciones holomorfas entre superficies de Riemann, donde obtenemosun resultado importante que nos permite decir que; las unicas funcionesholomorfas en una superficie de Riemann compacta son las constantes.

En el segundo captulo se introducen los conceptos de pregavilla en unasuperficie de Riemann, morfismo entre pregavillas, gavilla en una superfi-cie de Riemann, gavilla de R-modulos, espacios etale y sucesion excata degavillas, ademas se proporciona un teorema que nos garantiza que a cadapregavilla se le puede asociar, en forma canonica, una gavilla.

En el tercer captulo se definen los q-esimos grupos de cohomologa a-sociados a una gavilla, ademas se identifican los 0-esimos grupos de coho-mologa con las secciones globales de la gavilla dada. De hecho, al considerarel lmite directo de los grupos de cohomologa sobre todas las cubiertas abier-tas del espacio topologico se da la definicion de grupo de cohomologa deCech con coeficientes en la gavilla dada. Avanzando en el captulo, se estu-dian las sucesiones exactas de grupos de cohomologa, resoluciones finas ycubiertas de Leray, donde encontramos un resultado que nos permite identi-ficar explcitamente el q-esimo grupo de cohomologa de Cech de un espacioHausdorff paracompacto con coeficientes en la gavilla dada. Esto es

Resumen 3

Si0 S S0 d0 S1 d1 S2 d2 ...

es una resolucion fina de la gavilla S sobre un espacio Hausdorff paracom-pacto M , entonces

Hq(M,S) = ker dq/Imdq1para cada q > 0.

En el cuarto captulo se presentan los conceptos de divisores y haceslineales, y se desarrollan algunos resultados importantes acerca de ellos.Uno de los teoremas que se presenta en este captulo y que nos conduce ala demostracion del Teorema de Riemann-Roch es el Teorema de Finitud,el cual nos muestra la existencia de funciones meromorfas no constantes enuna superficie de Riemann compacta. Concluimos el captulo presentandola demostracion el Teorema de Riemann-Roch.

INDICE GENERAL

1.. Superficies de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1. Definiciones Fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Ejemplos de Superficies de Riemann . . . . . . . . . . . . . . 71.3. Aplicaciones Holomorfas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.. Gavillas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.1. Pregavillas y Gavillas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3. La Gavilla Asociada a una Pregavilla . . . . . . . . . . . . . . 25

3.. Cohomologa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.1. Cohomologa de Cech . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2. Sucesiones exactas de grupos de cohomologa . . . . . . . . . 373.3. Resoluciones finas y cubiertas de Leray . . . . . . . . . . . . . 40

4.. Divisores y haces lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.1. Divisores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.2. Teorema de finitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.3. Teorema de Riemann-Roch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.4. Teorema de dualidad de Serre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

1. SUPERFICIES DE RIEMANN

1.1. Definiciones Fundamentales

Definicion 1. Una variedad topologica de dimension n, o n-variedad es unespacio topologico Hausdorff M con una base numerable de su topologa talque todo punto p M tiene una vecindad abierta homeomorfa a un abiertoen Rn

Fig. 1.1: Variedad topologica

Sea M una variedad topologica de dimension n, una cubierta coordenada{(U, z)} de M consiste de una cubierta {U} de M junto con una familiade homeomorfismos

z : U Vdel subconjunto U M en el abierto V Rn. El conjunto U se denominavecindad coordenada y la aplicacion z es llamada aplicacion coordenada.Por definicion cualquier variedad topologica admite una cubierta coordena-da. En cada interseccion no vacia UU, dos homeomorfismos distintos enRn determinan la composicion;

f = z z1 : z(U U) z(U U),

1. Superficies de Riemann 6

esta composicion es llamada la funcion de transicion de la cubierta coorde-nada. As para un punto p U U, dos aplicaciones cooordenadas z, zestan relacionadas por; z(p) = f(z(p)). El siguiente diagrama ilustraeste concepto:

Fig. 1.2: Funciones de transicion

Definicion 2. Una cubierta coordenada {(U, z)} de una 2-variedad M esllamada una cubierta analtica compleja si todas las funciones de transicionson holomorfas.

Dos cubiertas analticas complejas son equivalentes si su union es tam-bien una cubierta analtica compleja. Esta es una relacion de equivalen-cia, ya que las propiedades de ser reflexiva y simetrica se satisfacen clara-mente y la transitividad se verifica de la siguiente forma: consideremos{(U, z)} equivalente a {(U , z)} y, {(U , z)} equivalente a {(U , z)}y tenemos dos funciones de transicion, la primera f = z z1 definidaen U U y, la segunda, f = z z1 definida en U U . Entoncesf = ff = zz1 en UU U , y esta ultima es la funcion detransicion holomorfa que nos permite asegurar la propiedad de transitividad.

Definicion 3. Una clase de equivalencia de cubiertas analticas complejasde M sera llamada una estructura analtica compleja en M . Decimos queuna superficie conexa M con una estructura compleja fija es una superficiede Riemann.


1.2. Ejemplos de Superficies de Riemann

Ejemplo 1. El plano complejo

El ejemplo mas simple de una superficie de Riemann es el plano complejoC dotado de la estructura analtica determinada por la cubierta abierta(C, id), donde id es la funcion identidad.

Ademas, cualquier subconjunto abierto conexo de una superficie de Rie-mann es tambien una superficie de Riemann, en particular, subconjuntosabiertos conexos del plano complejo seran superficies de Riemann bajo lascorrespondientes restricciones.

Ejemplo 2. La esfera de Riemann

La 2-esfera considerada como una variedad topologica M , tiene una cu-bierta dada como sigue: Sean n, s M dos puntos distitos de M vistos comoel polo norte y polo sur de la 2-esfera. Los conjuntos abiertos U0 = M {s},U1 = M {n} cubren a M y el homeomorfismo z1 es tal que asocia al con-junto U0 con el plano complejo por medio de la proyeccion estereografica,mientras que el homeomorfismo z0 es la proyeccion estereografica seguida dela reflexion en el eje x.

Fig. 1.3: Proyeccion estereografica

Esto describe una cubierta {(U0, z0), (U1, z1)} de M . Sin perdida de gen-eralidad podemos suponer que z0(n) = 0 C y z1(s) = 0 C; as la funcionde transicion f01 es un homeomorfismo

f01 : (C {0}) (C {0}),

donde f01 = z1 z10 y para w C {0} se tiene que:

f01(w) = z1(z0(w)) = 1/z0(z10 (w)) = 1/w


que manda el interior de un disco alrededor del 0 C al exterior de esedisco.

Veamos como son z0 y z1:Sean M = {(x1, x2, x3) R3;x21 + x22 + x23 = 1}, C = {(x1, x2, 0) R3},

n = (0, 0, 1) y, s = (0, 0,1). Consideremos U0 = M {s} y U1 = M {n},entonces M = U1 U0.

Seaz1 : U1 C

la proyeccion estereografica desde n; donde z1(p) = pn{x3 = 0}, parametrizan-do pn, el segmento que une los puntos p y n

tp+ (1 t)n = l(t) , l(0) = n y l(1) = p

entoncestp+ (1 t)n = t(x1, x2, x3) + (1 t)(0, 0, 1)

= (tx1, tx2, tx3 + (1 t))= (tx1, tx2, t(x3 1) + 1).

ast(x3 1) + 1 = 0 t(1 x3) = 1 t = 1/1 x3.

Por lo tanto

z1(x1, x2, x3) = (x1/(1 x3), x2/(1 x3), 0).

Seaz0 : U0 C.

la proyeccion estereografica desde s; consideremos p M ,

z0 = ps {x3 = 0}.

Parametrizando ps: tp+ (1 t)s = l(t), l(0) = s y l(1) = p. Entonces

tp+ (1 t)s = t(x1, x2, x3) + (1 t)(0, 0,1)

= (tx1, tx2, tx3 + (t 1))= (tx1, tx2, t(x3 + 1) 1).

ast(x3 + 1) 1 = 0 t(1 + x3) = 1 t = 1/1 + x3.


Por lo tanto z0(x1, x2, x3) = (x1/(1 + x3(, x2/(1 + x3), 0). Aunque estaparametrizacion no sera util, ya que z1 z10 no es holomorfa.

Por otra parte, si q = (, , 0) R3, z11 esta dada como; z11 = (nq)S2,donde nq: tq + (1 t)n = l(t), parametriza el segmeto de recta que une a ncon q, entonces;

t(, , 0) + (1 t)(0, 0, 1) = (t, t, 1 t) S2 t22 + t22 + (1 t)2 = 1 t22 + t22 + t2 2t = 0 t2(2 + 2 + 1) 2t = 0 t[t(2 + 2 + 1) 2] = 0 t = 0 t = 2/(2 + 2 + 1)

pero t = 0 da el punto n, as t = 2/(2 + 2 + 1).Por lo tanto

z11 (, , 0) = (2/(2 + 2 + 1), 2/(2 + 2 + 1), (2 + 2 1)/(2 + 2 + 1)).

Notemos que

z0z11 (, , 0) = z0(2/(2+2+1), 2/(2+2+1), (2+21)/(2+2+1))as

z0 z11 (, , 0) = (/(2 + 2), /(2 + 2), 0).Identificando C (, , 0) va z = x+ iy 7 (x, y, 0), esto nos da:

f01 = 1/z

la cual no es holomorfa, por lo que, modificaremos z0 para tener una estruc-tura analtica, y no solo diferenciable.

Modificando z0(x1, x2, x3) := (x1/(x3 + 1),x2/(x3 + 1), 0), tenemosf01 = z0z11 (, , 0) = z0(2/(2+2+1), 2/(2+2+1), (2+21)/(2+2+1))as

f01 = z0 z11 (, , 0) = (/(2 + 2),/(2 + 2), 0)Identificando nuevamente C con {(x1, x2, x3);x3 = 0} va la aplicacion

z = x+ iy 7 (x, y, 0), tenemos que:f01(x+ iy) = x iy/x2 + y2

esto esf01(z) = 1/z.

Para f10 es analogo.


Ejemplo 3. El toro y el grupo cociente C/

Otro ejemplo de una superficie de Riemann es el toro S1 S1, dondeS1 = {z C; z = 1}. Esta es una superficie de genero uno, por tantodescribiremos su estructura analtico compleja identificandola con C/.

Primero veremos que si es isomorfo a Z2 entonces C/ tiene estrucurade superficie de Riemann, posteriormente identificaremos C/ con S1 S1.Cabe notar que, en general si 6= la estructura de C/ es distinta dela de C/ aunque, ambas son homeomorfas al toro S1 S1. Por lo que, eneste caso, tenemos diversos ejemplos de superficies de Riemann.

Consideremos w1, w2 C linealmente independientes sobre los reales, deesta manera no son cero y w1/w2 no es un numero real. Los numeros w1, w2generan el subgrupo C, de la siguiente manera:

= {n1w1 + n2w2 : n1, n2 Z} ' Z2,

donde Z denota el grupo aditivo de los numeros enteros. El grupo cocienteC/ es un espacio topologico bien definido por la topologa cociente con lafuncion suprayectiva pi definida de la siguiente forma; pi : C C/, conpi(z) = z + .

Si R := {n1w1 + n2w2 : n1, n2 [0, 1]} es el paralelogramo fundamen-tal, es claro que C/ = pi(R), y como este rectangulo es compacto y pi escontinua, entonces C/ es compacto.

Fig. 1.4: El toro complejo

Ademas pi es una funcion abierta. Si V C es abierto, queremos mostrarque pi(V ) es abierto, es decir V = pi1(pi(V )) C es abierto. Veamos que


V = pi1(pi(V ))= {w C;w + pi(V )}= {w C;w + = v + para algun v V }= {w C;w v con v V }= {w C;w v = u con u }=

u

(u+ V ) C

Como V es abierto, cada u+ V es abierto, por lo que V es abierto.Para ver que C/ es topologicamente equivalente a S1 S1, vamos a

considerar la aplicacion f : C/ S1 S1 dada como

f(rw1 + sw2 + ) = (exp(2piir), exp(2piis))

donde r, s R. Es claro que f no depende del representante. Y como| exp(2piir)| = 1 = | exp(2piis)|, entonces f(rw1 + sw2 + ) S1 S1. Clara-mente f es continua y abierta, por lo que, f es un homeomorfismo.

Para dar una estructura analtico compleja en C/, vamos a considerarsubconjuntos abiertos U C que cubran C y que no contengan puntos con-gruentes modulo el subgrupo , como pi es una funcion abierta, entonces losconjuntos W = pi(U) C/ son abiertos y cubren al toro C/. Mas aunpi |U : U CW C/ es biyectiva pues por definicion de W es suprayec-tiva, y es inyectiva por que W no contiene puntos congruentes modulo .Ahora, como pi es continua y abierta la restriccion a U es un homeomorfis-mo. Consideremos : W C/ U C la inversa de pi |U la estructuraanaltica del toro esta dada por {(W,);W = pi(U), U como antes}.

Si (W, ) y (W, ) son dos cartas coordenadas con W W 6= entonces = 1 : (W W) (W W) esta dada comosigue; si p (W W) como 1 = pi|U y = (pi|U )1, entonces

pi((p)) = pi( 1 (p)) = pi((pi(p)) = pi(p).

De donde (p) p y como es discreto (p) p es constanteen cada componente conexa del abierto (W W) C, esto es,

(p) = p+ constante

en cada componente conexa, por lo tanto es holomorfa.


1.3. Aplicaciones Holomorfas

Definicion 4. Sea M una superficie de Riemann y {(U, z)} una cubiertaanaltica correspondiente a la estructura analtica en M . Sea U M unsubconjunto abierto, diremos que una aplicacion f : U C es una funcionholomorfa en U si para cada carta coordenada (U, z) con U U 6= lafuncion

h = f z1 : z(U U) Ces una funcion holomorfa en el sentido usual.

Ademas la funcion holomorfa es independiente de la eleccion de la cu-bierta analtica correspondiente a la estructura compleja. Denotaremos porOU al conjunto de funciones holomorfas en U . Ahora, dado U M abiertoy conexo, como la suma y producto de funciones holomorfas en U es unafuncion holomorfa en U , entonces el conjunto de funciones holomorfas en U ,es un anillo bajo la suma y producto de funciones y contiene las funcionesconstantes como un anillo isomorfo a C. Mas aun OU es una C-algebra.

En terminos de la estructura diferenciable asociada a la estructura ana-ltica de M , una funcion diferenciable (funcion complejo-valuada de claseC) esta definida correspondientemente como una aplicacion f : U Ctal que en cada conjunto z(U U) 6= , f z1 es de clase C el anillode funciones diferenciables en U se denota por CU y el anillo de todas lasfunciones complejo-valuadas continuas en U se denota por CU . Notemos queestos anillos estan relacionados como sigue: C OU CU CU .Definicion 5. Si M y N son dos superficies de Riemann, diremos que unaaplicacion continua f : M N es holomorfa, si para cada par de cartascoordenadas z1 : U1 V1 sobre M y z2 : U2 V2 sobre N con f(U1) U2,la funcion

z2 f z11 : V1 V2es una funcion holomorfa en el sentido usual.

Diremos que una funcion f : M N es biolomorfa si es biyectiva,holomorfa, y su inversa tambien es holomorfa. Se dice que dos superficies deRiemann M y N son isomorfas si existe un biolomorfismo f : M N.

Una aplicacion holomorfa es necesariamente continua; es mas debe seruna aplicacion diferenciable (mejor dicho C) en terminos de la estructuradiferenciable en superficies. Una funcion holomorfa es un caso especial deuna aplicacion holomorfa de M a la superficie de Riemann C.

Las aplicaciones holomorfas pueden ser caracterizadas por sus efectos enfunciones holomorfas. Sea f : M M cualquier aplicacion continua entre


Fig. 1.5: Aplicacion holomorfa

dos superficies de Riemann M y M y sea U M cualquier suconjunto deM . La aplicacion f induce un homomorfismo de la siguiente manera:

f : CU CUdonde U = f1(U ) M por definicion f(hU ) = hU f en particularf(OU ) CU es un subanillo bien definido.Lema 1. Una aplicacion continua f : M M entre dos superficies deRiemann es una aplicacion holomorfa si, y solo si, f(OU ) OU para cadasubconjunto abierto U M donde U = f1(U )Demostracion. Sean (U, z) y (U , z) vecindades coordenas de p y f(p)respectivamente. Si f satisface las condiciones del lema en particular la fun-cion holomorfa z OU y se sigue que f(z) = zf es holomorfa entoncesz f z1 es holomorfo, as f es una aplicacion holomorfa. Inversamentesi la aplicacion f es holomorfa y si h es una aplicacion holomorfa en unavecindad abierta U U de f(p) entonces

f(h) z1 = h f z1 = (h (z)1) (z f z1 )es una funcion holomorfa en una vecindad de z(p), esta es la composicionde las funciones holomorfas h (z)1 y z f z1 y as f satisface lascondiciones del lema.


Definicion 6. Sea M una superficie de Riemann, y U un subconjuntoabierto de M . Una funcion meromorfa en U es una funcion holomorfaf : U U , donde U U y satisface las siguientes propiedades:

U \ U consta solo de puntos aislados.para cada p U \ U se tiene que lmxp f(x) =.

Los puntos de U \U se denominan los polos de f . Denotaremos por M(U)al conjunto de funciones meromorfas en U .

Ademas la suma de funciones meromorfas es una funcion meromorfa y elproducto de funciones meromorfas esta definido y es una funcion meromorfa,entonces M(U) es un C-algebra.Definicion 7. Sea f OU de un conjunto abierto U M , y considere unpunto p U , el orden de la funcion f en el punto p esta definido como elorden de la funcion holomorfa f z1 en el punto z(p) C, para algunavecindad U que contenga a p y este orden se denota p(f).

El orden de una funcion holomorfa de una variable compleja z en unpunto z = a es el orden del primer coeficiente no cero en la expansion deTaylor de la funcion en terminos de la variable (z a); ademas el ordenes independiente de la cubierta analtica correspondiente a la estructuraanaltica de M , p(f) 0 en todo punto p U .Lema 2 (Principio del Maximo). Si M es una superficie de Riemann yf : M C es una funcion holomorfa no constante, entonces la funcionmodulo de f no alcanza su valor maximo.

Demostracion. Supongamos que existe un punto p0 M tal que

R = f(p0) = sup{f(p); p M}.

Entonces f(M) K := {z C : z R}, K es compacto y por elteorema de la funcion abierta f(M) es un subconjunto abierto. As f(M)esta contenido en el interior de K, lo cual contradice el hecho de que f(p0) K.

Como consecuencia del principio del maximo tenemos:

Teorema 1. Si M y N son dos superficies de Riemann, M es compactay f : M N es una aplicacion holomorfa no constante, entonces N escompacta y f es suprayectiva.


Demostracion. Como consecuencia del principio del maximo f(M) es unabierto, y como M es compacto, f(M) es compacto y por ende cerrado.Pero los unicos conjuntos cerrados y abiertos al mismo tiempo en un espaciotopologico conexo son el conjunto vaco y el total, entonces tenemos quef(M) = N , donde f es suprayectiva y N compacto.

Corolario 1. Toda funcion holomorfa definida sobre una superficie de Rie-mann compacta conexa M es constante, es decir OM = C.

2. GAVILLAS

2.1. Pregavillas y Gavillas

Definicion 8. Si X es un espacio topologico, una pregavilla (de gruposabelianos, espacios vectoriales, anillos, etc.) sobre X es una pareja (F, r)que consta de

a) Una familia F = {F(U);U es abierto en X} (de grupos abelianos, espa-cios vectoriales, anillos, etc).

b) Una familia

r = {rUV : F(U) F(V );U, V son abiertos de X, con V U}con las siguientes propiedades:

1 rUU = 1U .

2 rUW = rVW rUV si U, V,W son abiertos tales que W V U .

Se suele escribir F en vez de (F, r), los homomorfismos rUV se llaman homo-morfismos de restriccion.

Definicion 9. Si F y G son pregavillas sobre X, entonces un morfismo depregavillas

h : F Ges una coleccion de aplicaciones

{hU : F(U) G(U);U es un abierto en X}tal que el siguiente diagrama conmuta:

F(U) hU G(U) rUV rUVF(V ) hV G(V )

2. Gavillas 17

siV U X.

Definicion 10. Si F,G son pregavillas de grupos en X, diremos que F esuna subpregavilla de G, lo denotaremos F G, si:

Para cada abierto U X,F(U) G(U) es un subgrupo.Si U V son abiertos, entonces el morfismo F(U) F(V ) es larestriccion del morfismo G(U) G(V ).

Definicion 11. Si F,G son pregavillas y F es una subpregavilla de G, lapregavilla cociente, que denotaremos G/F, esta dada por:

Para cada abierto U X, definimos (G/F)(U) := G(U)/F(U).Si V U son abiertos, los morfismos G(U) G(V ) y F(U) F(V )inducen, por paso al cociente, morfismos (G/F)(U) (G/F)(V ).

Notemos que si f : F G es un morfismo de pregavillas, entonces1 ker f F es una subpregavilla.2 Imf G es una subpregavilla.3 Cokerf = G/Imf es una pregavilla cociente.

Ejemplo 4.

Si X es una superficie de Riemann y U X es abierto, definimos:

CX(U) = {f : U C; f es continua}

Si i : V U es la inclusion entre los abiertos de X, sea

rUV = f i = f |V .

Claramente

1 rUU (f) = 1U (f).

2 Si U, V,W son abiertos tales que Wi2 V i1 U se tiene

rVW rUV = rVW (f i1) = (f i1) i2 = f(i1 i2) = rUW .

2. Gavillas 18

As podemos hablar de la pregavilla de funciones continuas denotada porCX . De la misma forma se tienen las pregavillas; de funciones diferenciables(CX ),de funciones holomorfas (OX) y la pregavilla de funciones holomorfasque nunca se anulan (OX).

Ahora entonces consideremos las pregavillas CX , CX ,OX ,OX en X, y laspregavillas constantes con valores en C y Z en X, que denotamos por CX yZX respectivamente.

Como toda funcion holomorfa nunca nula es, en particular, holomorfaentonces O O es una subpregavilla. Como toda funcion holomorfa esdiferenciable entonces O C es una subpregavilla. Como toda funciondiferenciable es continua entonces C C es una subpregavilla. Y tenemosla cadena de subpregavillas

O O C C.Como las pregavillas constantes con coeficientes en Z y C, pueden con-

siderarse como pregavillas de funciones constantes, y por tanto, holomorfas,entonces

ZX CX OX .Definicion 12. Una pregavilla F sobre un espacio topologico X es llamadauna gavilla si para cualquier conjunto abierto U X y cualquier familia desubconjuntos abiertos Ui U con i I tal que U = iIUi, se satisfacenlos siguientes axiomas:

1. Si s, t F(U) y rUUi(s) = rUUi(t) para toda i I, entonces s = t2. Si si F(Ui) para i I y si para cada i, j I tales que Ui Uj 6= se

tiene querUiUiUj (si) = r

UjUiUj (sj),

entonces existe s F(U) tal que rUUi(s) = si para toda i.Observaciones.La seccion global s F(U), tal que rUUi(s) = si para toda i, dada en el

axioma 2, como consecuencia del axioma 1 es unica.Si = iIUi, como consecuencia de los axiomas de gavilla se tiene que

F() el grupo trivial consta de un elemento, ya que, si F() tiene elementos,para cualesquier i, j todas las secciones si F(Ui) satisfacen

rUiUiUj (si) = rUjUiUj (sj),

as existe s F() tal que rUi(s) = si, y este elemento es unico.

2. Gavillas 19

2.2. Ejemplos

Ejemplo 5.

Sean X y Y espacios topologicos y para U X abierto definimos:(a) CX,Y (U) := {f : U Y : f es continua}. Y para U, V Xabiertos con V U , definimos:(b) f CX,Y (U), rUV (f) := f |V , la restriccion natural.

entonces F es una pregavilla de grupos.

Ejemplo 6.

Sea X un espacio topologico y sean K = R o K = C y CX = CX,Kcomo el ejemplo de arriba. CX(U) es una gavilla de K-algebras bajo lasoperaciones de suma y multiplicacion de funciones escalares.

Ejemplo 7.

Sean X un espacio topologico y G un grupo abeliano. Si e G es elelemento neutro definimos:

G() = {e}G(U) = G

para cada abierto U X. Los morfismos resticcion son:Si V 6= y V U

rUV : G Ges la funcion identidad en G.

Si V = se tiene el homomorfismo cero

rU (g) = e.

Entonces G es una pregavilla, pero no es gavilla si G contiene al menos doselementos distintos y X dos abiertos no vacos disjuntos. Pues veamos quesi U1, U2 son dos abiertos no vacos disjuntos de X y U = U1 U2 6= . Seang1, g2 elementos de G, entonces, como U1U2 = , se tiene que gi|U1U2 = e.Pero no existe g G tal que g|U1 = g1 y g|U2 = g2 porque rUiU = idG yas g|Ui = g y si g = g|Ui = gi entonces g1 = g2, y esto es una contradiccion.Ejemplo 8. La gavilla de funciones localmente constantes.

2. Gavillas 20

Sean X un espacio topologico y G un grupo abeliano. Para cada abiertoU X definimos:

G(U) := {g : U G : g es localmente constante}.Si U 6= es abierto conexo, G(U) = G. Para V U sea

rUV : G(U) G(V )la restricicon usual rUV (g) = g|V . Entonces G es una gavilla, la gavilla defunciones localmente constantes con valores en G y suele denotarse como lagavilla G.

Ejemplo 9. La gavilla de funciones holomorfas.

Sea X una superficie de Riemann. Para cada abierto U X definimos:OX(U) := {f : U C : f es holomorfa}.

Ademas con las operaciones de C, OX(U) es un anillo conmutativo con uno.Si V U es al inclusion entre dos abiertos de X, consideremos

rUV : OX(U) OX(V )la restriccion de funciones. Entonces OX es una gavilla de anillos y se ledenomina la gavilla de funciones holomorfas.

Ejemplo 10.

Sea X una variedad diferenciable. Para cada abierto U X el conjuntoCX (U) := {f : U C : f es diferenciable}

es un anillo y tomando las aplicaciones restriccion como las funciones res-triccion usual, tenemos que CX es una gavilla de anillos y es llamada lagavilla de funciones diferenciables.

Ejemplo 11.

Sea X una superficie de Riemann. Para cada abierto U X, seaMX(U) := {f : U C : f es meromorfa}.

Con las restricciones usualesMX es una gavilla de campos, y es llamadala gavilla de funciones meromorfas.

Morfismos de gavillas son simplemente morfismos de las pregavillas.Cuando una subpregavilla de una gavilla F es tambien una gavilla, entoncesla llamamos subgavilla de F.

2. Gavillas 21

Proposicion 1. Si f : F G es un morfismo de gavillas, entonces lapregavilla kerf F es una gavilla.Demostracion. (i) Sean U X abierto {U} una cubierta de U . Supon-gamos que se tiene una seccion s (kerf)(U) tal que s|U = 0 para todaU.

Ahora, como el (kerf)(U) F(U), se tiene que s F(U) y como lasrestricciones de kerf son las de F entonces s|U = 0 en F(U) para toda y por lo tanto s = 0 en F(U) ya que F es gavilla. Entonces s = 0 en(kerf)(U) F(U).

(ii) Supongamos ahora que se tienen secciones s (kerf)(U) F(U)tales que s|UU = s|UU para todos los , .

Entonces, como las restricciones de kerf son las mismas que las de F(U)tal que s|U = s en F(U) para toda .

Mostraremos que s (kerf)(U). Pues, como s F(U) entonces f(s) G(U) y f(s|U) = f(s) = 0 G(U) ya que s (kerf)(U).

Ahora, como el siguiente diagrama comuta

F(U) f G(U)rVU VUF(U) f G(U)

se tiene que f(s)|U = f(s|U) = 0 y como G es gavilla se sigue que la seccionf(s) = 0 en G(U), esto es, s (kerf)(U).Definicion 13. Sea R una pregavilla de anillos conmutativos y M unapregavilla de grupos abelianos, ambos sobre un espacio topologico X. Supon-gamos que para cualquier conjunto abierto U X, M(U) tiene estructurade un R(U)-modulo tal que si R(U) y f M(U), entonces

rUV (f) = UV ()r

UV (f)

para V U donde rUV es el homomorfismo M-restriccion y UV es el homo-morfismo R-restriccion. M es llamada una pregavilla de R-modulos. Aunmas, si M es una gavilla decimos que R es una gavilla de R-modulos.

Definicion 14. Una S-estructura, SM en una K-variedad M es una familiade funciones continuas K-valuadas (Si K = R, las funciones diferencables devariable real y funciones real analiticas. Si K = C, las funciones holomorfas)definidas en los conjuntos abiertos de M tal que

2. Gavillas 22

a) Para cada p M , existe una vecindad abierta U de p y un homeomor-fismo h : U U , donde U es abierto en Kn, tal que para cualquierabierto V U

f : V K SM si y solo si f h1 S(h(V )).

b) Si f : U K, donde U = iUi y Ui es abierto en M , entonces f SMsi y solo si f |Ui SM para cada i.

Definicion 15. a) Un S-morfismo F : (M,SM ) (N,SN ) es una apli-cacion continua, F : M N , tal que

f SN implica que f F SM .

b) Un S-isomorfismo es una S aplicacion F : (M,SM ) (N,SN ) tal queF : M N es un homeomorfismo, y

F1 : (M,SM ) (N,SN )

es un S-morfismo.Definicion 16. Una aplicacion continua pi : E X de un espacio Haus-dorff, E, sobre otro, X, es llamado un K-haz vectorial de rango r si sesatisfacen las siguientes condiciones:

a) Ep := pi1(p), para p X, es un espacio K-vectorial de dimension r (Epes llamado la fibra sobre p).

b) Para cada p X hay una vecindad U de p y un homeomorfismo

h : pi1(U) U Kr

tal que h(Ep) {p} Kr, y hp, lo definimos por la composicion

hp : Eph {p} Kr Kr

(donde es la proyeccion) es un isomorfismo de espacio K-vectorialel par (U, h) es llamadada la trivializacion local.

Definicion 17. Un K-haz vectorial de rango r , pi : E X, es llamado unS-haz si E y X son S- variedades , pi es un S-morfismo, y las trivializacioneslocales son S-isomorfas.

2. Gavillas 23

Ejemplo 12.

Sea E X unS-haz vectorial. Definimos una pregavillaS(E)(= SX(E))que consta de los conjuntos S(E)(U) = S(U,E), para U un abierto de X,junto con las restricciones naturales. S(E) es, en efecto, una subgavilla deCX,E y es llamada gavilla de S-secciones del haz vectorial E. Como casoespecial, tenemos las gavillas de formas diferenciables X en una variedaddiferenciable, o la gavilla de formas diferenciables del tipo (p, q), p,qX , enun variedad compleja X. Estas gavillas son ejemplos de X -modulos, y masgeneral S(E) es una gavilla de SX -modulos para un S-haz que va de E aX, pi : E X.Definicion 18. Sea X una variedad compleja. Entonces una gavilla demodulos sobre la gavilla estructural OX de X es llamada una gavilla analtica.

Definicion 19. Sea R una gavilla de anillos conmutativos sobre un espaciotopologico X.

a) Definimos Rp, para p 0 por la pregavilla

U Rp(U) := R(U) ...R(U)

con p terminos. Rp, por definicion es una gavilla de R-modulos y esllamada la suma directa de R.

b) Si M es una gavilla de R-modulos tal que M = Rp para algun p 0,entonces M es llamada una gavilla de modulos libre.

c) Si M es una gavilla de R-modulos tal que cada x X tiene una vecin-dad U con M|U libre, entonces M es llamada gavilla de R-moduloslocalmente libre.

Teorema 2. Sea X = (X,S) una S-variedad conexa. Entonces hay unacorrespondencia uno a uno entre S-haces sobre X y gavillas localmente libresde S-modulos sobre X.

Demostracion. Daremos la correspondencia siguiente; a un haz vectorial Ele asociamos S(E) la gavilla de S-secciones del haz vectorial E dada en elejemplo 1.

Por ser E X un S-haz tenemos la trivializacion libre de S-moduloslocal. Por esta trivializacion tenemos que para alguna vecindad del puntop X, E |U= UKr donde r denota el rango del haz vectorial E. Entonces

2. Gavillas 24

S(E) |U= S(U Kr). Ahora, de la definicion de seccion, tenemos quef S(U Kr)(V ) donde V es un abierto en U si, y solo si, f(x) = (x, g(x))donde g : V Kr es una S-aplicacion, ademas g = (g1, g2, ..., gr), gj S(V ), y la correspondencia de arriba esta dada por;

f g = (g1, g2, ..., gr) SU (V )SU (V ) ...SU (V )entonces

S(E)|U = S(U Kr) = SU (V )SU (V ) ...SU (V ).As S(E) es una gavilla de S-modulos localmente libre. Ahora consideremosL una gavilla localmente libre de S-modulos sobre X. Podemos encontraruna cubierta U de X tal que

g : LU Sr

para algun r > 0 y ademas r no depende de . Definimos

g : Sr |UU Sr |UUdonde g = gg1 . Como g es un morfismo de gavillas, cuando actua enel conjunto abierto U U, determina una aplicacion invertible de fucionesvector-valuadas (g)UU , que escribimos como:

g : S(U U)r S(U U)r

el cual corresponde a una matriz no singular rr de funciones enS(UU),es decir; g : U U GL(r, k) y as determina funciones de transicionpara un haz vectorial E, y se satisfacen las condiciones de compatibilidadg g = g . As un haz vectorial E se define de la siguiente manera;

E =U Kr

donde la union es disjunta. Y tenemos la identificacion

(x, ) = (x, g(x))

si x U U 6= .

2. Gavillas 25

2.3. La Gavilla Asociada a una Pregavilla

Definicion 20. Un espacio etale sobre un espacio topologico X es unespacio topologico Y junto con una aplicacion suprayectiva y continua

pi : Y X

tal que pi es un homeomorfismo local.

Una seccion de un espacio etalepi

Y X sobre un conjunto abiertoU X es una aplicacion continua f : U Y tal que pi f = 1U . Elconjunto de secciones sobre U es denotado por (U, Y ).

De la definicion anterior se tiene que las secciones de un espacio etaleforman una subgavilla de CX,Y Ademas a cada pregavilla F sobre X sele puede asociar un espacio etale F cuya gavilla de secciones es isomorfa aloriginal F, esto es, F tiene la misma informacion que F. La gavilla construidade esta forma se denomina la gavilla asociada (en forma canonica) a lapegavilla F. Esta construccion es util para la siguiente consideracion.

Sea F una pregavilla (de grupos abelianos) en un espacio topologico X.Sea x X un punto, y consideremos la familia

U(x) = {U X;U es abierto con x U}

de vecindades abiertas de x en X. Dados U, U U(x) la interseccionU = U U U(x) es tal que U U U, por lo cual, U(x) es unconjunto dirigido con el orden parcial: U V si y solo si U V .

Aplicando F a la familia U(x) y a las inclusiones i : U U, se tienenlos morfismos

rUU

(= F(i)) : F(U) F(U),que forman una familia dirigida (en la categora de grupos abelianos) quedenotaremos (F(U(x)),).Definicion 21. Al lmite directo de la familia (F(U(x)),) (en la categorade grupos abelianos) se le llama la fibra de la pregavilla F en el punto x X.Si existe se denotara

Fx = lmU3x

F(U).

2. Gavillas 26

Sea F una gavilla sobre X, y

Fx = lmU3x

F(U).

el lmite directo de los conjuntos F(U) con respecto a las aplicaciones restric-cion rUV de F. Si F tiene una estructura algebraica que es preservada bajoel lmite directo, entonces Fx es llamado la fibra de F en x, por ejemplo;si F es una pregavilla de grupos abelianos o anillos conmutativos. Hay unaaplicacion natural

rUx : F(U) Fx,x U dado por tomar un elemento en F(U) en esta clase de equivalenciadel lmite directo.

Definicion 22. Si s F(U), entonces sx = rUx (s) es llamado el germen des en x, y s es el representante del germen sx.

Ejemplo 13.

Si X es una superficie de Riemann con U U(x) descritos como arribay O es la gavilla de funciones holomorfas en X, sea x X un punto yconsideremos la fibra

Ox = lmU3x

O(U).

Un germen [s] =< (U, s) > Ox esta representado por una seccion s O(U), es decir, por una funcion s : U C. Eligiendo cartas coordenadas(V, z) alrededor de x U y s(x) C, la funcion s tiene una expansion enserie de Taylor

s(z) =n=0

cn(z z(x))n

con radio de convergencia positivo. Si [s] =< (U, s) >=< (U, s) >, existe

U U U tal que s|U = s |U y consecuentemente las series de Taylorde s y s

son iguales, as podemos definir la funcion

: Ox C{z z(x)}donde el contradominio es el anillo de series de Taylor convergentes alrededorde z(x) C, la cual es un isomorfismo de anillos.

Ahora si F es una pregavilla en un espacio topologico X, a esta pregavillale asociamos un espacio topologico F y una funcion continua suprayectivacomo sigue: sea

F =xX

Fx

2. Gavillas 27

y pi : F X la proyeccion natural que manda la fibra Fx en el punto x X.Queremos hacer de F un espacio etale y las restricciones le daran una

topologa.Para cada s F(U) definimos la funcion

s : U Fcomo

s(x) = sx

para cada x U .Note que pi s = 1U . El conjunto {s(U);U X abierto , s F(U)} es

una base para la topologa de F. Todas las funciones s son continuas , masaun pi es continuo y un homeomorfismo local (s provee una inversa local api en sx para un representante s de sx F).

As a cada pregavilla F de X tenemos asociado un espacio etale F. Si lapregavilla tiene propiedades algebraicas preservadas por lmites directos, elespacio etale asociado hereda estas propiedades. Por ejemplo, supongamosque F es una pregavilla de grupos abelianos, entonces F tiene las siguientespropiedades:

a) Cada tallo es un grupo abeliano.

b) Si F F := {(s, t) F F : pi(s) = pi(t)}, se tiene que la aplicacion : F F F dado por (sx, tx) sx tx es continua.

c) Para U abierto en X, el conjunto de secciones de F sobre U , (U, F) esun grupo abeliano bajo adicion, esto es, para s, t (U, F) se tieneque

(s t)(x) = s(x) t(x)para toda x U . Veamos que (s t) son continuas si se da la siguientecomposicion de aplicaciones continuas:

U U U F F F.

Definicion 23. Sea F una pregavilla sobre un espacio topologico X y sea Funa gavilla de secciones de un espacio etale F asociado a F. Entonces F esla gavilla generada por F.

Ahora veremos la relacion entre la pregavilla F y la gavilla de seccionesF. Usando que hay un morfismo de pregavillas, denotaremos a este comosigue:

: F F

2. Gavillas 28

esto es,U : F(U) F(U)[:= (U, F)]

dado por U (s) = s, donde s(x) = rUx (s) para toda x U .En el caso que F sea una gavilla se tiene el siguiente resultado.

Teorema 3. Si F es una gavilla, entonces

: F F

es un isomorfismo de gavillas.

Demostracion. Es suficiente mostrar que cada U es biyectiva para cada U .(a) (U) es inyectiva: Supongamos que s, s F(U) y U (s) = U (s),

entonces[U (s)](x) = [U (s)](x)

para toda x U ; esto es, rUx (s) = rUx (s) para toda x U . Pero cuandorUx (s

) = rUx (s) para alguna x U , la definicion de lmite directo implicaque hay una vecindad V de x tal que rUV (s

) = rUV (s). Esto es valido para

cada x U , ademas podemos cubrir U con conjuntos abiertos Ui tales que

rUUi(s) = rUUi(s

)

parar toda i. Por el primer axioma de la definicion de gavilla tenemos ques = s.

(b) U es suprayectiva: Supongamos que (U, F) , entonces paracada x U hay una vecindad V de x y s F(V ) tal que

(x) = sx = [V (s)](x).

Las secciones de un espacio etale son funciones inversas locales para pi, cua-lesquiera dos secciones que coinciden en un punto tambien lo hacen en unavecindad del punto. As, tenemos para alguna vecindad V de x que:

|V = V (s) |V = V (rVV (s))

Esto se cumple para cualquier x U , podemos cubrir U con vecindades Uitales que existe si F(Ui) y

Ui(si) = |Ui .

Mas aunUi(si) = Uj (sj)

2. Gavillas 29

en Ui Uj por la parte (a)rUiUiUj (si) = r

UjUiUj (sj)

Como F es una gavilla y U =Ui, existe s F(U) tal querUUi(s) = si

EntoncesU (s) |Ui= Ui(rUUi(s)) = Ui(si) = |Ui

y finalmente U (s) =

El contenido de este teorema es que a cada gavilla F se le puede asociarun espacio etale F cuya gavilla de secciones es isomorfo al original F. Dehecho un espacio etale es util para pasar de una pregavilla a una gavilla.

Definicion 24. Si S es una gavilla de grupos abelianos sobre un espaciotopologico M , y R S un subconjunto de S. Entonces R es llamada unasubgavilla de S si:

1. R es un subconjunto abierto de S

2. Para cada punto p M , Rp = R Sp es un subgrupo de S.R es en s una gavilla de grupos abelianos sobre M .Definiremos la gavilla cociente J = S/R como sigue. Para un punto

p M sea Jp = Sp/Rp el grupo cociente natural; y sea J =pM Jp con la

funcion proyeccion pi : JM dado por pi(Jp) = p. La aplicacion : S Jque asocia a cualquier elemento de Sp su cociente en Jp = Sp/Rp.

A J le asociamos la topologa cociente, esto es, un conjunto U J esabierto si, y solo si, 1(U) es abierto en S. Ademas se cumple que:

Podemos dar la siguiente asignacion: U S(U)/R(U)Si V U , rUV : S(U)/R(U) S(V )/R(V ), se cumple:a) rUU = id en U .b) Si W U V tenemos que;

rUW : S(U)/R(U) S(W )/R(W )rVW : S(V )/R(V ) S(W )/R(W )rUV : S(U)/R(U) S(V )/R(V )

as,rUW = r

VW r

UV

2. Gavillas 30

Entonces J es una pregavilla, y consideramos la gavilla asociada a esta pre-gavilla (la construimos como antes), y la llamamos J.

Veremos un ejemplo. Sea M una superficie de Riemman, y O la gavilla degermenes de funciones holomorfas en M . Sea P = {p1, p2, ..., pn} un numerofinito de puntos distintos en M y para cada subconjunto abierto U Mconsideremos el conjunto,

RU = {f OU |f(pi) = 0 cuando pi U, i = 1, ..., n}Notemos que cada subconjunto RU es un subgrupo de OU ; y que los

grupos RU para todos los subconjuntos abiertos de M , con la aplicacionrestriccion, forman una pregavilla sobre M .

La gavilla asociada es entonces una subgavilla R O y eso induce auna gavilla cociente, notemos que para un punto p que no pertenezca a P ,necesariamente Rp = Op y as Jp = 0.

Como para un punto pi P , Rpi Opi es el subgrupo que consiste delos germenes de funciones holomorfas que se anulan en pi. As que

Jpi = Opi/Rpi = Ces el isomofismo que asocia a cualquier serie de potencias en Opi su terminoconstante. Es decir, la gavilla J tiene tallo trivial en todos los puntos que noesten en P , y los puntos p P tienen tallo Jp = C. Una gavilla de este tipoes llamada gavilla rascacielos.

Posteriormente, esta gavilla sera muy util as que daremos su definicionahora.

Definicion 25. Si X es una superficie de Riemann, y x0 X es un punto,la gavilla rascacielos en X, denotada por Cx0, se define como sigue:

1 Si U X es un abierto, entonces

Cx0(U) ={C si x0 U0 si x0 / U

2 Si V U son abiertos, el morfismo Cx0(U) Cx0(V ) es el morfismoidentidad si x0 V , y el morfismo cero en otro caso.

Recordemos que, para un homomorfismo : S J sobre un espacioM , el nucleo de es el subconjunto de S que contiene elementos que bajo dan el elemento cero del grupo Jp; esto es, el nucleo es el subconjunto1(0) S donde 0 (M, J) es la seccion cero de J. Si la seccion cero esun subconjunto abierto de J, el nucleo es subgavilla de S. La imagen de es una subgavilla de J y ademas imagen() = S/kernel().

2. Gavillas 31

Definicion 26. Dado un homomorfismo de gavillas : R S y : S J,la sucesion

R S Jes llamada una sucesion exacta de gavillas si Im = ker.

Una sucesion de gavillas y morfismos

...i1 Fi1

i

Fi i+1

Fi+1 i+2

...es exacta en el nivel i, si keri = Imi1.

En particular si 0 es la gavilla trivial con tallo el grupo cero en cadapunto de M , una sucesion

0 R S J 0es exacta si, y solo si, es inyectiva , es suprayectiva y el nucleo de esla imagen de , as J = S/(R). Inversamente si R es una subgavilla deS la aplicacion inclusion i : R S es un homomorfsimo de gavillas y laaplicacion natural : S S/R es un homeomorfismo de gavillas tal que

0 R S S/R 0es una sucesion exacta de gavillas.

Por ejemplo, en una superficie de RiemannM el subconjunto de germenesde funciones holomorfas que toma solo valores enteros es una subgavilla de Oisomorfo a la gavilla constante; esto es el nucleo del siguiente homomorfismode gavillas:

e : O O.Por ejemplo, sea X una variedad conexa compleja. Sea O la gavilla de

funciones holomorfas en X y O la gavilla de funciones holomorfas distintasde cero en X, la cual es una gavilla de grupos abelianos bajo la multipli-cacion1. Entonces tenemos la siguiente sucesion:

0 Z O e O 0donde Z es la gavilla constante de enteros, es la aplicacion inclusion ye : O O esta definido por

e(f)(z) = exp(2piif(z))1 Esto es, si U X es abierto, entonces O sera el grupo multiplicativo de todas las

funciones holomorfas f : U C, con las aplicaciones restriccion usuales.

2. Gavillas 32

Veamos que e es un homomorfismo de grupos;

e(f + f ) = exp(2pii(f + f ))

= exp(2piif + 2piif )

= exp(2piif) exp(2piif )= e(f) e(f ).

Ademas el nucleo del homomorfismo exponencial esta dado como;

ker(e)(U) = {f O(U); exp(2piif) = 1}

y como exp(2piif) = 1 si y solo si f Z, entonces

ker(e) = ZX OX .

Mas aun, para alguna vecindad simplemente conexa U de x X ypara algun representante g O(U) de un germen gx en x escogemosfx = (1/2pii log g)x para alguna rama de la funcion logaritmo y tenemosque expx(fx) = gx. Tambien expx(fx) = 1, entonces exp 2piif(z) = 1, z U ,para algun f O(U) que es un representante del germen fx en una vecindadconexa U de x. As ker(expx) = Z, y la sucesion es exacta.

3. COHOMOLOGIA

3.1. Cohomologa de Cech

Definicion 27. Sea M un espacio topologico y U = {U} una cubiertaabierta de M . A esta cubierta M le asociamos un complejo simplicial; lla-mado nervio de la cubierta U y se define de la siguiente forma:

1 Los vertices de N(U) son los abiertos U U de la cubierta.2 Los q-simplejos de N(U) son las (q + 1)-adas de abiertos denotada por

= (U0, ..., Uq) si y solo si U0 U1 ... Uq 6= 0.El conjunto U0 U1 ...Uq = || es llamado el soporte del simplejo .

El conjunto de q-simplejos de N(U) lo denotamos por N q(U)

Sea S una gavilla de grupos abelianos sobre M .

Definicion 28. Una q-cocadena de U con coeficientes en la gavilla S, esuna funcion f que asocia a cada q-simplejo, = (U0 , ..., Uq) N(U) unaseccion f() (||,S).

El conjunto de q-cocadenas lo denotaremos por;

Cq(U,S) = {f : N(U)

N(U)S() : f() S()}

Cuando f, g Cq(U,S) su suma esta definida en Cq(U,S)ya que definimosla suma como;

(f + g)() = f() + g(),

as Cq(U,S) es un grupo abeliano.Tenemos tambien un operador : Cq(U,S) Cq+1(U,S) llamado el

operador cofrontera definido de la siguiente manera: Si f Cq(U,S) y = (U0, ..., Uq+1) N(U) es cualquier (q + 1)-simplejo, entonces;

(f)() = (f)(U0, ..., Uq+1) =

(1)i||f(U0, ..., Ui1, Ui+1, ..., Uq+1)

3. Cohomologa 34

donde || denota la restriccion de la seccion

f(U0, ..., Ui1, Ui+1, ..., Uq+1)

(U0 ... Ui1 Ui+1 ... Uq+1)

a || = U0 ... Uq+1.El morfismo es un homomorfismo de grupos, pues (f+g) = (f)+(g)

y tambien = 0.El subconjunto Zq(U,S) = {f Cq(U,S) : f = 0} es un subconjunto

de Cq(U,S) llamado el grupo de q-cociclos, esto es;

Zq(U,S) := ker(Cq(U,S) Cq+1(U,S)).La imagen Cq1(U,S) Cq(U,S) es llamado el grupo de q-cofronteras

y como = 0, se tiene que Cq1(U,S) es subgrupo del grupo de cociclos.El grupo cociente

Hq(U,S) ={Zq(U,S)/Cq1(U,S) si q > 0

Z0(U,S) si q = 0 / Ues llamado el q-esimo grupo de cohomologa de U con coeficientes en lagavilla S.

Lema 3. H0(U,S) = (M,S)Demostracion. De la definicion anterior tenemos que, H0(U,S) = Z0(U,S).

Una cero-cocadena f C0(U,S) es una funcion que asigna a cada con-junto U U una seccion f(U) (M,S) y su cofrontera f C1(U,S) esuna funcion que asigna a cada par de conjuntos intersectados U0 , U1 Uuna seccion

(f)(U0 , U1) = (U0U1f(U0) U0U1f(U1)) (U0 U1 ,S)Si f = 0, las secciones f(U) coinciden en cada interseccion no vaca

U0U1 . As por ser S gavilla se puede dar una seccion unica de S definidasobre el espacio total M ; esto es existe g (M,S) tal que, g|Ui = f(Ui),e inversamente la cero-cocadena define por restricciones en cada subconjuntoU, una seccion global de S sobre M ; y as f es un cero-cociclo, esto es;

f(U0)|U0U1 = f(U1)|U0U1para todo U0 , U1 U , entonces f(U0 , U1) = 0 y as

f Z0(U,S) = H0(U,S).

3. Cohomologa 35

Definicion 29. Una cubierta V = {V} es llamada un refinamiento de lacubierta U = {U} si hay una aplicacion : V U tal que V V paracada V V ; la aplicacion es llamada una aplicacion refinada.

La cubierta V pude ser considerada un refinamiento de U con diferen-tes aplicaciones refinadas. Ademas la aplicacion refinada induce la siguienteaplicacion:

: Cq(U,S) Cq(V,S),Si f Cq(U,S) y = (V0, ..., Vq) N(V ), entonces

(f)(V0, ..., Vq) = ||f(V0, ..., Vq)

y como 6= V0 ... Vq V0 ... Vq, entonces (V0, ..., Vq) es unq-simplejo de N(U), y la aplicacion anterior esta bien definida. Ademastenemos que;

(f + g) = (f) + (g)

y es un homomorfismo de grupos. Si f Cq(U,S) y para todo (V0, ..., Vq+1) N q+1(V ) se cumple;

()(f)(V0, ..., Vq+1) = f(V0, ..., Vq+1)

= q+1j=0(1)j||f(V0, ..., Vq+1)= q+1j=0(1)j||f(V0, ..., Vq+1)

= ()(f)(V0, ..., Vq+1)

Por lo tanto = . Tambien determina el homorfismo cociente

: Hq(U,S) Hq(V,S).

Lema 4. Si V es un refinamiento de U y : V U , : V U son dosaplicaciones refinadas, entonces = Demostracion. Cuando q = 0 las aplicaciones

: H0(U,S) H0(V,S)

y : H0(U,S) H0(V,S)

son ambos la aplicacion identidad por el lema anterior. As solo considera-remos el caso donde q > 0.

3. Cohomologa 36

En este caso construiremos la siguiente asociacion .

: Cq(U,S) Cq1(V,S)donde, si f Cq(U,S) y = (V0, ..., Vq1) N(V ), definimos

(f)(V0, ..., Vq1) =q1j=0

(1)j||f(V0, ..., Vj , Vj , ..., Vq1)

.Ahora, cuando = (V0, ..., Vq) N(V ) se tiene;

(f)(V0, ..., Vq) =j1j=0

(1)jf(V0, ..., Vi1, Vi+1, ..., Vj , Vj , ..., Vq)+

+q

i=j+1

(1)i+1f(V0, ..., Vj , Vj , ..., Vi1, Vi+1, ..., Vq)

+qj=0

(j + 1)jf(V0, ..., Vj , Vj , ..., Vq) + f() f().

Por lo tanto, si f Zq(U,S) esto es,f = 0 se sigue que; f f = f ,esto es; f y f determinan la misma clase de cohomologca en Hq(V,S),pues los cociclos f y f difieren por una co-frontera (f). Por lo tanto =

Ahora, para cualesquiera dos cubiertas , de M , escribimos < si es refinamiento de , el conjunto de las cubiertas esta parcialmente orde-nado bajo esta relacion y por el lema anterior hay un unico homomorfismoHq(U,S) Hq(V,S), cuando < . Ademas estos homomorfismos sontransitivos, as que es posible introducir el grupo lmite directo.

Definicion 30. Hq(M,S) = lmU

Hq(U,S) que es llamado el q-esimo grupo

de cohomologa del espacio M con coeficientes en la gavilla S, o tambienllamado grupo de cohomologa de Cech.

Para cada cubierta U hay un morfismo natural,

Hq(U,S) Hq(U,S)se sigue de los lemas anteriores.

H0(M,S) = (M,S).

3. Cohomologa 37

Consideremos una sucesion exacta de gavillas de la siguiente forma, sobreel espacio M ;

0 R S J 0Para cualquier subconjunto U M el homomorfismo de gavillas ,

induce homomorfismos , entre los grupos de secciones correspondientesy hay una sucesion exacta de grupos y homomorfismos de la forma;

0 (U,R) (U,S) (U, J) 0.

Recordemos que una cubierta abierta U = {U} de un espacio topologicoM es llamada localmente finita si para cada punto p M hay una vecindad vque intersecta a lo mas un numero finito de subconjuntos de U. Un espacioHausdorff M es llamado paracompacto si toda cubierta abierta U = {U}de X tiene un refinamiento localmente finito; esto es, existe un refinamientoV = {V} de U = {U} tal que cada punto x X tiene una vecindad abiertaw que intersecta a lo mas un numero finito de V.

3.2. Sucesiones exactas de grupos de cohomologa

Teorema 4. Si M es un espacio Hausdorff paracompacto y

0 R S J 0

es una sucesion exacta de gavillas de grupos abelianos sobre M , entonceshay una sucesion exacta de grupos de cohomologa de la forma:

0 H0(M,R) H0(M,S) H0(M, J) H1(M,R)

0 H0(M,R) H0(M,S) H0(M, J) H1(M,R) H1(M,S) H1(M, J) H2(M,R) ...

Demostracion. Sea U = {U} una cubierta abierta localmente finita deM . Para cada simplejo N(U) hay una sucesion exacta inducida de lasiguiente manera

0 (||,R) (||,S) (||, J);

3. Cohomologa 38

y como los grupos de cocadenas son sumas directas de los grupos (||, ),entonces tenemos ahora una sucesion exacta de grupos de cocadenas

0 Cq(U,R) Cq(U,S) Cq(U, J).Definimos Cq(U, J) := (Cq(U,S)) Cq(U, J), y las sucesiones pueden

ser extendidas a sucesiones exactas completas de la forma:

0 Cq(U,R) Cq(U,S) Cq(U, J) 0.Los homomorfismos , conmutan con las aplicaciones cofrontera, esto es;

= y = ,

por tanto resulta un diagrama conmutativo del siguiente tipo, donde las filasson sucesiones exactas de grupos

......

...

0 Cq1(U,R) Cq1(U,S) C(q1)(U, J) 0

0 Cq(U,R) Cq(U,S) Cq(U, J) 0

0 Cq+1(U,R) Cq+1(U,S) C(q+1)(U, J) 0 ...

......

Ahora del diagrama tenemos que para cada ndice q hay una sucesion exactade grupos de cohomologa

Hq(U,R) Hq(U,S) Hq(U, J),

donde por definicion

Hq(U, J) = Zq(U, J)/C(q1)(U, J)

y Zq(U, J) = {f Cq(U, J) : f = 0}.Ademas las aplicaciones

: Hq(U, J) Hq+1(U,R)

3. Cohomologa 39

son construidas de la siguiente manera:Si f Cq(U, J) es un elemento para el cual f = 0, seleccionamos un

elemento g Cq(U,S) tal que g = f ; entonces g = g = f = 0, ypor exactitud debe existir un elemento h Cq+1(U,R) tal que h = g.

Sea f Cq(U, J) tal que f = 0 y podemos seleccionar g Cq(U,S) talque g = f , entonces g = g = f = 0, as que, por exactitud de lasucesion existe h Cq(U,S) tal que h = g.

Definimos [f ] = [h], donde [f ] Hq(U, J) es la clase de cohomologa def y [h] Hq+1(U,R) es la clase de cohomologa de h. esta bien definida,pues si tomamos f1 + Cq [f ] y f2 + Cq [f ] tenemos que [f1] = [h1]y [f2] = [h2]. Ademas como

(h1) = g1 = (m1) = (m1)

y es inyectiva tenemos que m1 = h1. Entonces

h1 h2 = m1 m2 = (m1 m2),as h1, h2 difieren por una cofronera entonces ambas representan la mismaclase de cohomologa en Hq+1(M,R). Ademas si h Cq+1(M,R) tenemosque

(h) = g = (h) = ((h)) = 2g = 0

y como es inyectiva, h = 0.Ahora, la sucesion de grupos de cohomologa resultante es una sucesion

exacta

... Hq(U,R) Hq(U,S) Hq(U, J) Hq+1(U,R) Hq+1(U,S) ...

Consideremos un refinamiento : V U de la cubierta U . Hay unasucesion de cohomologa exacta similar de la cubierta V y el homomorfismo inducido conmuta con los homomorfismos , , de cada sucesion decohomologa. Si pasamos al lmite directo, se sigue una sucesion exacta degrupos de cohomologa para el espacio M .

... Hq(M,R) Hq(M,S) Hq(M, J) Hq+1(M,R)Lo siguiente es demostrar que para un espacio Hausdorff paracompacto

M , Hq(M, J) = Hq(M, J), esto es; dada una cocadena f Cq(U, J) existeun refinamiento : V U y una cocadena g Cq(V,S) tal que f = g.

3. Cohomologa 40

Sea M un espacio Hausdorff paracompacto, y de esta manera normal,entonces hay conjuntos abiertos W que cubren a M ; y la cubierta U puedeasumirse localmente finita. Para cada punto p M seleccionamos una vecin-dad abierta Vp de p suficientemente pequena tal que:

(a) Vp W para al menos un conjunto W.(b) Si Vp W 6= entonces Vp U.(c) Si = (U0, U1, ..., Uq) N(U) y p ||, entonces Vpf() es la imagen

de una seccion de S sobre Vp bajo .

Para cada conjunto Vp seleccionamos un conjunto (Vp) = Up U tal queVp Wp Up; esto es posible por (a) y entonces exhibimos V = {Vp} comoun refinamiento de U . Para cualquier q-simplejo = (Vp0 , ..., Vpq) N(V ),setiene

6= || = Vp0 ... Vpq Wp0 ... Wpqas Vp0 Wpi 6= y se sigue de (b) que Vp0 Upi , para cada i, as que|| Vp0 Up0 ... Upq = ||. Ademas

f() = ||f(Vp0 , ..., Vpq) = ||Vp0f(Up0 , ..., Upq).

Tambien de (c) se sigue que la restriccion a Vp0 de la seccion f() ya seposiciona en la imagen de .

3.3. Resoluciones finas y cubiertas de Leray

Definicion 31. Sea S una gavilla de grupos abelianos sobre un espaciotopologico M , y sea U = {U} una cubierta abierta localmente finita de M .Una particion de la unidad para la gavilla S, subordinada a la cubierta Ues una familia de homomorfismos de gavillas : S S tales que:

(a) (Sp) = 0 para toda p M U.(b)

(s) = s para cada s S.

Si U es localmente finita, se sigue de (a) que la suma en (b) es finita,as esta bien definida.

Definicion 32. Una gavilla S es llamada fina si tiene una particion de launidad subordinada a cualquier cubierta localmente finita de M .

3. Cohomologa 41

Teorema 5. Si U = {U} es una cubierta abierta localmente finita de unespacio topologico M y S es una gavilla fina de M entonces Hq(U,S) = 0para toda q > 0. As para cualquier gavilla fina S sobre un espacio Hausdorffparacompacto M , Hq(M,S) = 0 para toda q > 0

Demostracion. Sea una particion de la unidad para al gavilla S subordi-nada a la cubierta U y considere el q-cociclo arbitrario f Zq(U,S) para q >0. Para cualquier ndice y cualquier (q1)-simplejo = (U0, U1, ..., Uq1),el homorfismo inducido en secciones nos permite obtener la seccion

f(U, U0, U1, ..., Uq1) (U ||,S).Ahora f se anula sobre ||U||, as esta seccion puede extenderse

por cero para determinar una seccion

g() = E||f(U, U0, U1, ..., Uq1) (||,S).Estas secciones definen una (q1)-cocadena g Cq1(U,S). Ademas paraun q-simplejo = (U0, ..., Uq),

g() =qi=0

(1)i||g(i)

donde i = (U0, ..., Ui1, Ui+1, ..., Uq), entonces

g() =qi=0

(1)i||E|i |f(U, U0, ..., Ui1, Ui+1, ..., Uq)

por tantog() = f() E||f = f().

pues f es un cociclo. Esto es para todo ndice y g fuera del conjuntoU. La cocadena g =

g esta bien definida, si U es localmente finita.

Ademas g =

f = f por las propiedades de una particion de la unidad.

As todo q-cociclo es una frontera, es decir; cohomologico a cero, entoncesHq(U,S) = 0 para q > 0.

Aplicando este teorema, los grupos de cohomologa pueden ser descritosde la siguiente forma.

Definicion 33. Una resolucion fina de una gavilla S de grupos abelianossobre un espacio topologico M es una sucesion exacta de gavillas de la si-guiente forma

0 S S0 d0 S1 d1 S2 d2 ...

3. Cohomologa 42

donde las gavillas Si son gavillas finas. Para cada uno de los homomorfismosde gavillas di,

Podemos inducir un homomorfismo de grupos de secciones sobre un sub-conjunto U M ,

di : (U,Si) (U,Si+1)pero la sucesion de esos grupos y homomorfismos de grupos no es en generalexacta.

Teorema 6. Si 0 S S0 d0 S1 d1 S2 d2 ... es una resolucion fina dela gavilla S sobre un espacio Hausdorff paracompacto M , entonces

Hq(M,S) = ker dq/Imdq1para cada q > 0

Demostracion. Sea Ki Si el kernel del homorfismo de gavillas di; entoncesla sucesion exacta

0 S S0 d0 S1 d1 S2 d2 ...

puede reescribirse como la siguiente coleccion de sucesiones exactas

0 S S0 d0 K1 0 (3.1)

0 Ki Si di Ki+1 0 (3.2)(i 1)

Una porcion de la sucesion de cohomologa de Cech asociada a la sucesionexacta corta de gavillas (3.1) es como sigue:

... Hq1(M,S0) Hq1(M,K1) Hq(M,S) Hq(M,S0) ...

Si S0 es una gavilla fina y q > 0 del teorema anterior tenemos que

Hq(M,S0) = 0.

Ahora, si q = 1 la formula de este teorema se sigue de esta sucesionexacta de la siguiente manera: Hq1(M,K1) = H0(M,K1) = ker d1, si q > 1entonces

Hq1(M,S0) = 0

3. Cohomologa 43

yHq(M,S) = Hq1(M,K1)

y como H0(M,S0) = (M,S0), se tiene entonces para q = 1 la sucesionsiguiente

0 (M,S) (M,S0) d0 (M,K1) H1(M,S) 0

Proposicion 2. Sean M,N modulos y f : M N un homomorfismoentonces

0 kerf iM f N pi Cokerf 0es exacta, donde i es la inclusion, pi es el epimorfismo natural N N/Imf

Para una demostracion vease la referencia [2]Por definicion Coker = 0(M,K1)/imd0 y considerando la proposicion

anterior y que es suprayectivo se tiene;

H1(M,S) Cokerd0 = (M,K1)/imd0 (3.3)

ahora, tenemos que;

(M,K1) im((M,K1) (M,S1))

y por exactitud de la sucesion

(M,K1) kerd1entonces por (3.3) se tiene

H1(M,S) = kerd1/imd0

y se prueba el teorema para q = 1.Para q = 2. Consideremos la sucesion (3.1), de donde tenemos la si-

guiente sucesion exacta larga:

... Hq1(M,S0) Hq1(M,K1) Hq(M,S) Hq(M,S0) ...

ComoHq1(M,S0) = 0 = Hq(M,S0)

por ser S0 una gavilla fina y q 1 1, entonces se tiene

... 0 Hq1(M,K1) Hq(M,S) 0 ...

3. Cohomologa 44

y as

Hq1(M,K1) Hq(M,S)

entoncesH1(M,K1)

H2(M,S) (3.4)Ahora de la sucesion (3.2) para i = 1 es:

0 K1 S1 d1 K2 0

nos induce la sigiuente sucesion exacta:

... Hq2(M,K1) Hq2(M,S1) d1 Hq2(M,K2) Hq1(M,K1)

Hq1(M,S1) Hq1(M,K2) ...como S1 es una gavilla fina se tiene; Hq1(M,S1) = 0, con q 1 1. As,resulta la siguiente sucesion de gavillas

0 (M,K1) (M,S1) d1 (M,K2) (M,K1) 0

de donde Cokerd1 = (M,K2)/Imd1 y por la proposicion 2

H1(M,K1) cokerd1 = (M,K2)/Imd1 (3.5)

Ahora considerando (3.2) la sucesion para i = 2 se tiene:

0 K2 S2 2 K3 0

que induce

... Hq2(M,K2) Hq2(M,S2) d2 Hq2(M,K3) Hq1(M,K2)

Hq1(M,S2) Hq1(M,K3) ...como S2 es una gavilla fina se tiene; Hq1(M,S2) = 0, con q 1 1.Cuando q = 2, resulta la siguiente sucesion de gavillas

0 (M,K2) (M,S2) d2 (M,K3) H1(M,K2) 0

de donde(M,K2) Im((M,K2) (M,S2)

3. Cohomologa 45

y por exactitud de la sucesion

(M,K2) Im((M,K2) (M,S2) kerd2de (3.4) obtenemos que;

H2(M,S) kerd2/imd1.El teorema se sigue por recursion sobre q.

A continuacion veremos que se puede construir una resolucion fina paracualquier gavilla S.

Para cualquier gavilla S y cualquier subconjunto abierto U M , seaSU el conjunto de todas las aplicaciones f : U S tal que pif : U Ues la identidad en U , donde pi es la proyeccion, note que la aplicacion f norequiere ser continua. La coleccion de los grupos SU , junto con la restriccionnatural, forman una pregavilla sobre M , la gavilla S asociada es llamadala gavilla de secciones discontinuas de S. Veamos que S es una gavilla fina.

Para cualquier cubierta abierta localmente finita U = {U} de M dada,seleccionamos algun subconjunto K U tal que K K = para 6= y M = K; y definimos la aplicacion

: S S

por (s) = s si s K y (s) = 0 si s / K. Estas aplicaciones sonhomomorfismos de gavillas y ellos forman una particion de la unidad paraS. Ademas hay una aplicacion inyectiva natural S S. Para construirla resolucion fina, hacemos S0 = S y S1 = (S0/S) y as sucesivamente.

En seguida daremos un ejemplo que ilustra como el teorema anterior nosayuda a calcular los grupos de cohomologa.

Sea M un subconjunto abierto conexo de C. Consideramos el operadordiferencial parcial lineal de primer orden en el espacio CM

z=

12

(

x i

y

),

z=

12

(

x+ i

y

)Note que las ecuaciones de Cauchy-Riemann para una funcion complejo

valuada f las podemos escribir como fz = 0; que nos dice f OM fz = 0.La aplicacion f fz es un homomorfismo para el anillo CM en s mismo, yas esta aplicacion induce un homomorfismo de gavillas

: C C.

3. Cohomologa 46

La condicion de que se cumplan las ecuaciones de Cauchy Riemann nosdice que el nucleo de este homomorfismo es precisamente la gavilla O degermenes de funciones holomorfas en M , de esta manera se tiene la siguientesucesion exacta de gavillas

0 O C C.

Lema 5. Sea g CM , y sea D un subconjunto abierto conexo de C tal queD es es compacto y D M . Entonces existe una funcion f CM tal quef(z)z = g(z) cuando z D.

Demostracion. Seleccionamos una funcion r de clase C en C tal que r(z) =1 para z D, r(z) = 0 para z C \M , y r(z) 6= 0 solo en un subconjuntocompacto de C. La funcion h(z) definida como h(z) = r(z)g(z) para z M ,y h(z) = 0 para z C \ M , es entonces una funcion C en todo C, ycoincide con la funcion g en el conjunto D M , y cero fuera del subconjuntocompacto de C.

Ahora expresamos

f(z) =1

2pii

Ch(z + )

d d

; (3.6)

aqu se usa la notacion de forma diferencial compleja, escribiendo

d = d + id si = + i

de modo qued d = 2id d,

y as d d es 2i veces la medida del plano. Note que en terminos decoordenadas polares (r, ), si escribimos = rei, se deduce que

d d

=2irdr d

rei= 2ieidr d,

y as f(z) es una funcion que esta bien definida C en C. Diferenciandoparcialmente (3.6) con respecto a z se tiene

f

z=

12pii

C

h(z + )z

d d

=1

2pii

Ch(z + )

d d

=1

2pii

C

(h(z + )

)d d.

3. Cohomologa 47

Ahora fijamos el punto z C. Seleccionemos un disco 4 centrado en elorigen y lo suficientemente grande para que la funcion h(z + ) es identica-mente cero para C \ 4; y un disco 4 centrado en el origen y de radio tan pequeno para que 4 4. A la frontera de 4 le llamamos , y a lafrontera de 4 la denotamos por ; y son crculos alrededor del origen,con orientacion positiva. Entonces

2piif

z= lm

0

4\4

(h(z + )

)d d;

y aplicando el teorema de Stokes y recordando que en la porcion de de lafrontera de 4 \4 la integral es identicamente cero, se tiene que

2piif

z= lm

0

h(z + )

d.

Parametrizando el crculo por = ei, 0 2pi, as

2piif

z= lm

0

2pi=0

h(z + ei)id = 2pi=0

h(z)id = 2piih(z).

As f es la funcion deseada.

Como una consecuencia inmediata de este lema se tiene que, si f es elgermen de una funcion de clase Cen algun punto p C, existe un germenf de una funcion C en el punto p tal que fz = g. Consecuentemente lasiguiente es una sucesion exacta de gavillas de grupos abelianos:

0 O C C 0.

Considerando los grupos de secciones asociados, se sigue del teorema 6que {

H1(M,O) = (M,C)/ z(M,C), yHq(M,O) = 0 si q 2 (3.7)

Una extension del lema anterior nos lleva al siguiente resultado util.

Teorema 7. Sea M un subconjunto abierto conexo de C, y g CM . En-tonces existe una funcion f CM tal que f(z)z = g(z) para toda z M .Demostracion. Seleccionemos una sucesion de subconjuntos abiertos conex-os Dn M con las siguientes propiedades:1) Dn es compacto, y Dn Dn+1;

3. Cohomologa 48

2)n=1Dn = M ;

3) cualquier funcion holomorfa en Dn1 puede aproximarse uniformementeen Dn2 Dn1 por funciones holomorfas en Dn.

Seguimos por induccion sobre el ndice n, observemos que hay una sucesionde funciones fn con las siguientes propiedades:

4) fn es una funcion de clase C en Dn;5) fn(z)z = g para toda z Dn;6) |fn(z) fn1(z)| < 2n para toda z Dn2.Para ver esto, supongamos que dadas las funciones f1, ..., fn1, para algunndice n 0. Por el lema 5, existe una funcion hn CM tal que hn(z)z = g(z)cuando z Dn. En los casos n = 0, 1 no hay nada mas que mostrar. Enel caso n 2, las funciones hn y hn1 son ambas funciones de clase Cen Dn1, y

(hn(z)fn1(z))z = g(z) g(z) = 0 para z Dn1; esto es.

hn(z) fn1 es holomorfa en Dn1. Existe una funcion h(z) holomorfa enDn tal que |hn(z) fn1(z) h(z)| < 2n para toda z Dn2, como unaconsecuencia de la propiedad (3) de arriba. Entonces la funcion fn(z) =hn(z) h(z) satisface las condiciones deseadas.

Ahora para cualquier punto z M , la sucesion {fn(z)} converge a algunvalor lmite de f(z). Es mas, para todo los puntos z Dn,

f(z) = fn+2(z) +

m=n+2

(fm+1(z) fm(z)).

Ya que |fm+1(z)fm(z)| < 2m para z Dn Dm2,m n+2, por lapropiedad (6) la serie converge absolutamente de manera uniforme en Dn yya que el termino individual de la serie es holomorfo en Dn por la propiedad(5), la suma es tambien holomorfa. Por tanto f(z) es C en Dn, y

fn(z)z

=fn+2(z)

z= g(z)

en Dn por (5). Esto concluye la demostracion.

Corolario 2. Si M es un subconjunto abierto conexo de C, entonces

Hq(M,O) = 0para q 1.

3. Cohomologa 49

Los grupos de cohomologa de un espacio con coeficientes en una gavillase han definido como lmites directos de grupos de cohomologa de cubiertasde estos espacios. Es natural preguntarse cuando la cohomologa de estosespacios puede leerse directamente de la cohomologa de la cubierta, y larespuesta a esto nos la da el siguiente resultado.

Teorema 8. Sea S una gavilla de grupos abelianos sobre un espacio Haus-dorff paracompacto M y U = {U} una cubierta abierta de M tal que

Hq(||,S) = 0

para N(U) y q 1. Entonces

Hq(M,S) = Hq(U ,S)

para toda q 0.Demostracion. Seleccionamos una resolucion fina

0 S S0 0 S1 1 S2 2 ... (3.8)

de la gavilla S sobre M . Entonces para el homomorfismo inducido

di : (M,Si) (M,Si+1),se sigue del teorema (6) que

Hq(M,S) = ker dq/Imdq1para toda q 1. Para cualquier simplejo N(U), los grupos de coho-mologa Hq(||,S) se determinan en forma analoga que la resolucion (3.8)pero con la restriccion a ||, por hipotesis Hq(||,S) = 0, y as se tiene lasiguiente sucesion de secciones correspondiente a (3.8)

0 (||,S) (||,S0) 0 (||,S1) 0 ...ahora es una sucesion exacta. Como los grupos de cocadenas son sumasdirectas de grupos de secciones sobre los simplejos de N(U), se sigue lasiguiente sucesion exacta de grupos

0 Cq(U ,S) Cq(U ,S0) 0 Cq(U ,S1) 1 ... (3.9)

3. Cohomologa 50

Las aplicaciones cofrontera conmutan con los homomorfsimos de la suce-sion exacta (3.9), as podemos agrupar estas sucesiones en el siguiente dia-grama conmutativo.

0 0 0 0

0 (M,S) (M,S0) 0 (M,S1)

1 (M,S2)

0 C0(U ,S) C0(U ,S0)

0 C0(U ,S1)

1 C0(U ,S2)

0 C1(U ,S) C1(U ,S0)

0 C1(U ,S1)

1 C1(U ,S2)

0 C2(U ,S) C2(U ,S0)

0 C2(U ,S1)

1 C2(U ,S2)

(3.10)

Todas las filas excepto la primera son exactas, por la excatitud de (3.9).Como todas las gavillas Si son finas , todas las columnas son tambien

sucesiones excatas excepto la primera, por el teorema (5).Por el teorema (6) la medida de la inexactitud de la primer fila es la

cohomologa H(M,S).Por definicion la medida de la inexactitud de la primera columna es la

cohomologa H(U,S).El resultado del teorema se sigue despues de una cacera en el diagrama

(3.10).

Definicion 34. Una cubierta U del espacio M que satisface las condicionesdel teorema es llamada una cubierta de Leray de M para la gavilla S.

Corolario 3. Si U y V son cubiertas de Leray de un espacio Hausdorffparacompacto M de una gavilla S y : V U es un refinamiento, entoncesla aplicacion inducida

: Hq(U ,S) Hq(V,S)es un isomorfismo.

Demostracion. El homorfismo natural

u : Hq(U ,S) Hq(M,S)y

v : Hq(V,S) Hq(M,S)

3. Cohomologa 51

son isomorfismos, por el teorema (8) y como v = u, se tiene que esnecesariamente un isomorfismo.

4. DIVISORES Y HACES LINEALES

4.1. Divisores

Uno de los principales enfoques de la teora de funciones sobre superficiesde Riemann involucra el estudio de funciones a partir de sus ceros y sussingularidades. En una superficie de RiemannM , considere las gavillasO degermenes de funciones holomorfas no nulas y M de germenes de funcionesmeromorfas no identicamente nulas, en ambos casos el grupo estructural enla gavilla es multiplicativo y O M.2

Definicion 35. La gavilla cociente D = M/O es llamada la gavilla degermenes de divisores en la superficie de Riemann. Una seccion de la gavillasobre un subconjunto U M es llamado un divisor en el subconjunto U .

Note que el germen de un divisor es un punto p M , esto es, un elementodel tallo Dp. Dos funciones meromorfas son consideradas como equivalentescuando su cociente es holomorfo y no se anula; as una clase de equivalenciaconsiste de todos los germenes de funciones meromorfas que tienen el mismoorden (el mismo cero o polo) en el punto p.

En el caso de una sola variable compleja, la gavilla D tiene una alterna-tiva mucho mas simple de describir; y esta simplicidad es la diferencia entrela teora de funciones de una y varias variables complejas. Para un germenf Mp, la clase de equivalencia de f en Dp es descrita unicamente porel orden p(f) de la funcion f en el punto p; el tallo Dp = Mp/Op es portanto isomorfo al grupo aditivo de los enteros. Para describir la topologa deD =M/O, recordemos que una gavilla cociente siempre puede tener unaestructura topologica; por definicion la imagen de secciones de M sobreuna base de conjuntos abiertos de M , como una base para los conjuntosabiertos de D.Definicion 36. Para algun conjunto abierto U y alguna funcion meromorfaf (U,M), el conjunto imagen en D es el divisor de la funcion f

2 Esto es, para cada U X abierto, M(U) consta de todas las funciones meromorfasf M(U) que no son identicamente nulas sobre cada componente conexa de U .

4. Divisores y haces lineales 53

Es importante notar que el orden de la funcion meromorfa f es distintode cero solo en un conjunto discreto de puntos en U . Entonces la gavillaD puede ser descrita como sigue: a cualquier subconjunto abierto U M ,asociamos el grupo aditivo D de todas las aplicaciones : U Z tal que(p) 6= 0 solo en un subconjunto discreto de U; la estructura de grupo esla operacion adicion de las funciones. Si U U, la restriccion natural delas funciones de U a U es un homomorfismo de grupos : D D.Esto define una pregavilla completa sobre M (Ver definicion en la referencia[3]), y la gavilla asociada es justo la gavilla D de germenes de divisores. Estadescripcion se usara de ahora en adelante. Con esta descripcion D es unagavilla fina sobre M .

Para describir un divisor D (U,D) es suficiente dar los ordenes soloen los puntos del subconjunto discreto de U donde el orden no es cero, as losdivisores se escriben

D =i

ipi,

donde i Z, pi U yi pi U es discreto.

Para una funcion meromorfa f (U,M) el divisor de f es denotadopor D(f), as

D(f) =pU

p(f)p

donde la suma puede ser restringida a el subconjunto discreto U ya que esteconsite de puntos donde p(f) 6= 0.Definicion 37. Un divisor D (U,D) es llamado un divisor principal siexiste una funcion f (U,M) tal que D = D(f).

Note que D(fg) = D(f) +D(g) y D(f) no esta definido para la funcionf 0. En el conjunto de divisores sobre U se puede dar un orden parcial,por definicion

D =i

ipi 0

siempre que i 0.Entonces funciones holomorfas f sobre U estan caracterizacdas por la

condicion que D(f) 0, y mas general, D(f) D(g) si y solo si f/g es unholomorfismo.

Definicion 38. Un divisor D tal que D 0 se denomina divisor efectivo,o positivo.


La aplicacion que asocia a una funcion meromorfa f su divisor D(f), esjustamente el homomorfismo natural D : M D; de la gavilla M a sugavilla cociente, esta descrito por la siguiente sucesion exacta de gavillas

0 O iM D D 0, (4.1)donde i es la inclusion. A esta sucesion de gavillas sobre M le podemosasociar una sucesion exacta de grupos de cohomologa, en la que podemosencontrar el siguiente homomorfismo

D : (M,M) (M,D).Un elemento D (M,D) es un divisor definido sobre toda la superficie

de Riemann M , mientras que un elemento en la imagen de D es el divisorde una funcion meromorfa definida sobre todo M . Que existe un divisor notrivial definido sobre todo M o equivalentemente (M,D) 6= 0, es notablepero que hay funciones meromorfas no triviales definidas sobre todo M oequivalentemente (M,M) 6= C, lo cual no es algo simple, es de hecho unode los teoremas basicos de existencia en este tema. Como un caso especialel siguiente teorema.

Teorema 9 (Teorema de Weierstrass). Si M es un subconjunto abiertoconexo de C, la siguiente sucesion de grupos es exacta:

0 (M,O) i (M,M) D (M,D) 0.Demostracion. La sucesion exacta de cohomologa correspondiente a la suce-sion exacta de gavillas (4.1) comienza de la siguiente manera:

0 (M,O) (M,M) (M,D) H1(M,O) ...;por tanto para demostrar este teorema es suficiente mostrar queH1(M,O) =0. Recordemos la sucesion exacta de gavillas

0 Z O e O 0,donde e(f) = exp 2piif . Hay una sucesion de cohomologa asociada, queincluye el segmento

H1(M,O) H1(M,O) H2(M,Z) H2(M,O).Ahora por el corolario del teorema (7) H1(M,O) = H2(M,O) = 0; de

modo que H1(M,O) = H2(M,Z). Pero como M no es una variedad endos dimensiones no compacta, H2(M,Z) = 0, y as H1(M,O) = 0.(Paramayores detalles consultar el apendice de la referencia [3])


El teorema implica que un divisor arbitrario en M es el divisor de unafuncion meromorfa global en M . Para superficies compactas el teorema an-terior no se mantiene; veremos al final que H1(M,O) 6= 0.

Recordemos que la gavilla D de germenes de divisores en una superficiede Riemann es una gavilla fina, as por el teorema (5)H1(M,D) = 0. Ademasla sucesion exacta de cohomologa asociada a la sucesion exacta (4.1) tienela forma

0 (M,O) i (M,M) D (M,D) H1(M,O) i H1(M,M) 0.(4.2)

El grupo cociente A(M) = (M,D)/D((M,M)), es la medida de laextension que el teorema (9) no logra mantener, y en terminos de grupos lasucesion exacta (4.2) puede escribirse como

0 A(M) H1(M,O) H1(M,M) 0. (4.3)Definicion 39. El grupo (M,D) es llamado el grupo de divisores en M .Dos divisores D1, D2 (M,D) se llaman linealmente equivalentes, escribi-mos D1 D2, si su diferencia es el divisor de una funcion meromorfa enM , esto es, si D1 D2 = D(f), para alguna f (M,M)

Esta es una relacion de equivalencia, es de hecho la relacion de equi-valencia correspondiente a el homomorfismo D en (4.3); en particular, laimagen de D es el grupo de divisores linealmente equivalentes a cero. Elgrupo A(M) es llamado el grupo de clases de divisores en M , y es el grupode clases de divisores linealmente equivalentes en M . La sucesion exacta(4.3) nos permite una descripcion mas clara del grupo A(M), y as resolverla cuestion de la medida en que el teorema de Weierstrass se mantiene enuna superficie compacta.

Definicion 40. Sea X una superficie de Riemann compacta. Para cadadivisor D (M,D) hay solo una cantidad finita de elementos x X talque D(x) 6= 0. As se puede definir la siguiente aplicacion

deg : (M,D) Z

llamada el grado del divisor D, y esta aplicacion esta dada por;

degD :=xX

D(x)


La aplicacion deg es un homomorfismo de grupos. Notemos que paracualquier divisor principal D(f) en una superficie de Riemann, degD(f) = 0ya que una funcion meromorfa tiene tantos ceros como polos. As divisoresequivalentes tienen el mismo grado.

En otra discusion de estas cuestiones se deben estudiar una clase de gavi-llas especial. Para introducir esas gavillas consideremos el grupo H1(M,O)que actua notablemente en la discusion anterior.

Definicion 41. El grupo H1(M,O) es llamado el grupo de haces linealescomplejos sobre M ; y una clase de cohomologa H1(M,O) es llamadaun haz lineal complejo sobre M .

Para cualquier haz lineal complejo H1(M,O), seleccionamos unabase U = {U} de conjuntos abiertos de M y un cociclo () Z1(U,O),representando esa clase de cohomologa; dado que las bases son cofinal en lascubiertas abiertas de M , siempre existe una representacion. Los elementos son funciones holomorfas no nulas definidas en conjuntos abiertos UUy la condicion cociclo afirma que (p)(p) = (p) cuando p UUU . A cada conjunto abierto U U le asociamos el grupoS = (U,O) defunciones holomorfas en U. A cada relacion de inclusion U U asociadoal homomorfismo de grupos

: S Sque asocia a una funcion f S = (U,O) la funcion (f) S =(U,O) definido por

(f)(p) = (p) f(p)

para p U U.Notemos que cuando U U U y f S , se cumple que

(())(p) = (p) (p) f(p) = (p) f(p) = (f)(p)

para toda p U ; esto es, = . Ademas {U,S, } es unapregavilla sobre M , que se puede ver que es una pregavilla completa.

Definicion 42. La gavilla asociada a {U ,S, } es llamada la gavillade germenes de secciones transversales holomorfas del haz lineal , y lodenotaremos por O().


Ya que la gavilla anterior es completa , hay una identificacion natural(U,O()) = S = (U,O). Es entonces claro que un elemento f (M,O()) corresponde a una coleccion f, donde f (U,O) y

f(p) = (p) f(p) (4.4)

cuando p U U; estas secciones de O(), pueden llamarse tambiensecciones cruzadas holomorfas del haz lineal . Note que el conjunto de todaslas secciones tienen estructura de un espacio vectorial complejo, as comola de un grupo abeliano; y que O = O(1), donde 1 H1(M,O) es el haztrivial.

La construccion que se acaba de describir pudo haber sido desarrolla-da para los grupos S

= (U,M); los homomorfismos estan bien

definidos, como arriba, y la coleccion {U ,S, } es una pregavilla com-pleta.

La gavilla asociada a {U ,S, } es llamada la gavilla de germenes desecciones cruzadas meromorfas del haz lineal y se denota por M() .

Los elementos f (M,M()) corresponden a colecciones f, cuandolas funciones f son meromorfas que satisface la relacion (4.4); y talessecciones son llamadas secciones cruzadas meromorfas del haz lineal . Enla misma forma, usando los grupos S

= (U, C) y all surge una gavilla

C() que es llamada la gavilla de germenes de secciones cruzadas C delhaz lineal y se denota por C(). Esta gavilla es una gavilla fina.

Para una seccion cruzada f (M,M()), el orden de f en el punto pes un entero de la forma

p(f) = p(f)

cuando p U.Recordemos que las funciones meromorfas {f} satisfacen la ecuacion

(4.4), cuando son funciones holomorfas distintas de cero, as se tieneque

p(f) = p(f)

cuando p U U.Note que para cualquier seccion f distinta de cero, el orden sera distinto

de cero solo en un conjunto discreto de puntos; as la seccion f tiene asociadoun divisor que definimos de la siguiente manera:

D(f) =pM

p(f) p

y se le llama el divisor de la seccion cruzada f (M,M()).


Entonces (M,O()) (M,M()) aparece solo como el subgrupo desecciones cruzadas meromorfas del haz lineal y con divisor positivo, estoes;

(M,O()) = {f (M,M()) : D(f) 0}.Una observacion mas importante es que, para algun haz lineal

H1(M,O), se tiene que = 1 (el haz lineal trivial) si, y solo si, existeuna seccion cruzada f (M,O()) tal que D(f) = 0. Esto significa que{f} son holomorfas y distintas de cero en U, ademas por la ecuacion (4.4)se tiene que forman una cero-cocadena en C0(U,O) teniendo a como sucofrontera, de tal manera que = 1, entonces (M,O()) = (M,O), y estecontiene las funciones constantes distintas de cero. De manera similar, parauna clase de cohomologa H1(M,M), = 1 si, y solo si, existe unaseccion cruzada f (M,M()) distinta de cero.

Recordemos la sucesion exacta (4.3), cada elemento H1(M,M)puede ser representado por un elemento de H1(M,O), ademas se puedeafirmar que en cualquier superficie de Riemann H1(M,M) = 0 si, y solo si,para cada haz lineal H1(M,O), (M,M()) 6= 0. Tener H1(M,M) =0 es equivalente al teorema fundamental de existencia para superficies deRiemann; el cual nos dice; que cada haz lineal tiene una seccion cruzadameromorfa no trivial; y esto es tambien equivalente a la afirmacion que cadahaz lineal es el haz lineal de un divisor en la superficie.

Por la sucesion exacta (4.2), a cualquier divisor D (M,D) se aso-cia un haz lineal D H1(M,O), y esto mismo pasa para la gavilla degermenes de secciones cruzadas holomorfas O(D) del haz lineal, para sim-plificar la notacion escribiremos O(D) = O(D).

Ahora consideraremos otra interpretacion para la gavilla O(D).Al divisor D le asociamos una subgavilla OM(D) M definido como

sigue. Para un punto p M seaOM(D)p = {f Mp : o bien f 0 o D(f) D cerca de p};

y expresamos OM(D) =pM OM(D)p. Es claro que cada OM(D)p Mp

es un subgrupo, y que OM(D) M en un subconjunto abierto; as OM(D)es una subgavilla de M y esta bien definida.Lema 6. Las gavillas O(D) y OM(D) son canonicamente isomorfas.Demostracion. Es necesario examinar el homomorfismo de la sucesionexacta (4.2).

0 (M,O) i (M,M) D (M,D) H1(M,O) i H1(M,M) 0.


De la exactitud de la sucesion de gavillas se tiene que, para un divisordado D (M,D), existen conjuntos abiertos {U} que forman una cu-bierta U de M , y funciones meromorfas d definidas en los conjuntos U detal manera que D(d) = D|U . Entonces en cada interseccion U U lafuncion = d/d es holomorfa y no nula, y la coleccion () de todaslas funciones definen el haz lineal = D H1(M,O). A cada germen enOM(D)p Mp y a cada conjunto abierto U que contiene a p le asociamosel germen f = f/d Mp. Como D(f) = D(f)D(d) = D(f)D 0alrededor de p, el germen f sera necesariamente holomorfo en p ; y sip U U, entonces

f = f/d = f /d = f.

Ademas las funciones (f) definen el germen de un elemento en O()p =O(D)p. Esto define una aplicacion de OM(D) a O(D), la cual es un isomor-fismo.

Teorema 10. Supongamos que M es una superficie de Riemann compactay D (M,D) es un divisor con degD < 0. Entonces H0(M,O(D)) = 0Demostracion. Supogamos lo contrario, que existe una funcionf H0(M,O(D)) tal que f 6= 0. Entonces D(f) D y as

degD(f) D > 0

pero esto contradice el hecho que degD(f) = 0.

Para una superficie de Riemann compacta M el espacio Hq(M,O()) esun espacio vectorial sobre los complejos de dimension finita para toda q 0y cualquier haz vectorial H1(M,O); ademas Hq(M,O()) = 0 cuan-do q 2, pero este reultado es posterior al analisis que se esta realizandoas que por lo pronto solo probaremos que la dimension de estos espaciosvectoriales es finita para q = 0 y q = 1. En esta demostracion sera conve-niente topologizar el grupo de cocadenas y de cohomologa, as como aplicaralgunos resultados de la teora de espacios vectoriales topologicos.

4.2. Teorema de finitud

Nuestro objetivo es probar que si M es una superficie de Riemann com-pacta entonces dimCH1(M,O) es finita.


Sea U C un sunconjunto conexo, con z = x + yi como la funcioncoordenda compleja en U para que dxdy sea la medida estandar del planoEuclidiano. Definamos

0(U,O) ={f (U,O)|

U|f(z)|2dx dy


de aqu se tiene que r=0

f(z0)d = r=0

12pii

2pi=0

f(z0 + ei)dd

y r=0

f(z0)d =r2

2f(z0)

entonces

|f(z0)| = 1pir2

4(z0,r)

f(z)dx dy

as|f(z0)| 1

pir2

4(z0,r)

|f(z)|dx dy

1pir2

[ 4(z0,r)

1dx dy]1/2 [

4(z0,r)|f(z)|2dx dy

]1/2

1rpi f U

entonces se tiene lo deseado

|f(z0)| 1rpi f U .

Veamos que 0(U,O) es un espacio completo en la norma dada y as se tieneun espacio de Hilbert.

Consideremos cualquier sucesion de Cauchy de elementos f 0(U,O),para cualquier subconjunto compacto K U , y un numero r > 0 tal que4(z, r) U , por la observacion anterior se tiene que para cualquier puntoz k,

|fm(z) fn(z)| 1rpi fm(z) fn(z) U

as la sucesion es uniformemente de Cauchy en K por lo que la sucesionconverge uniformemente en K. La funcion f(z) = lm

n fn(z) es entoncesholomorfa en U y es el lmite de al sucesion fn en la norma dada

f = lmn fn


Aplicaremos estas consideraciones al problema que estamos tratando,entonces selecionemos un haz lineal H1(M,O) sobre la superficie deRiemann M . Sea U = {U} una cubierta de M en los terminos que el hazlineal es representado; esto es, sea U una cubierta abierta de M tal que:

1. Cada conjunto U esta contenido en una vecindad simple.

2. El haz lineal tiene una representacion de cociclo () Z1(U,O).(4.5)

Entonces para cualquier simplejo N(U), (||,O()) = (||,O).Seleccionemos cualquier aplicacion fija del conjunto ||, entonces podemosintroducir el subespacio 0(||,O()) (||,O()) de secciones cuadradointegrables de O()) sobre ||; y la suma directa de todos estos espaciossobre los simplejos N(U) de dimension q, es un subgrupo Cq0(U,O()) Cq(U,O()) el cual es llamado el grupo de cocadenas cuadrado integrablesde U con coeficientes en O().

Ya que el operador cofrontera incluye solo restricciones y sumas finitas,se puede ver que

: Cq0(U,O()) Cq+10 (U,O());

introduciendo el nucleo Zq0(U,O()) Cq0(U,O()) de la aplicacion cofron-tera, los correspondiente

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Lety Velasco

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