Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Lineární rovnice

Druhy řešení

Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Všechny možnosti řešení si představíme a především prakticky ukážeme na konkrétních příkladech.

)3()2(5)1(23 xxxx

32

2)1(231

33)4(2 xxxx

)x(x)(x)(x 12325

213

Pokusíme se tedy vyřešit následující lineární rovnice a rozebereme výsledky, ke kterým dospějeme:

Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Příklad č. 1:

38

1231

3342 )(xx)(xx

Řešte, a jen pokud si nebudete vědět rady, klikněte. Pomohu vám.

32

2)1(231

33)4(2 xxxx

39

123342 )(xx)(xx

3223342 xxxx

157 xx

715 xx

84 x

3123342 )(xx)(xx

)(:x 48

2x

Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Máme na světě první typ možného řešení.

x = -2Jinými slovy: x = „reálné číslo“

Takový výsledek znamená, že rovnice má právě jedno řešení.

x = 5 x = 20y = 1

y = -54 = a-2,7 =

x y = - __52

y =__34

Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Zkouška příkladu č. 1:

342)2(2 )(

Ověříme správnost řešení dosazením čísla -2.

32

2)1(231

33)4(2 xxxx

32

212231

)2(3 )(

38

)3(231

6324

39

669

3129

99

Po dosazení čísla -2 za neznámou nastává rovnost. Číslo -2 je tedy řešením dané rovnice!

PL

Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

34222 )(

Zkusíme dosadit něco jiného, např. číslo 2.

32

2)1(231

33)4(2 xxxx

32

212231

23 )(

38

1231

6364

39

265

385

115

Levá strana se nerovná pravé. -5 se 11 nerovná! Po dosazení čísla 2 za neznámou rovnost neplatí. Číslo 2 tedy nemůže být řešením dané rovnice!

PL

Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Příklad č. 2:Řešte, a jen pokud si nebudete vědět rady, klikněte.

Pomohu vám.

)x(x)(x)(x 12325

213

)x(x)(x)(x 12325

213

12325

2233 xxxx

1235233 xxxx

1525 xx

2155 xx

10 x

10

0 se -1 nerovná! Nerovnají se tedy ani levá a pravá strana rovnice. Co to znamená?

Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Máme na světě druhý typ možného řešení.

0.x = -1

Jinými slovy: nepravda, nepravdivý výrok, nerovnost

Takový výsledek znamená, že rovnice nemá řešení.

-5 ≠ 52 ≠ 20

14 ≠ 1-0,5 ≠ -

54 ≠ 0,4

-2,7 ≠ 91 ≠ - __52

0 ≠__34

0 = -1

Neexistuje žádné číslo, po jehož dosazení za neznámou do dané rovnice by nastala rovnost levé

a pravé strany.

Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Příklad č. 3:

3105183 xxxx

Řešte, a jen pokud si nebudete vědět rady, klikněte. Pomohu vám.

)(x)(xx)(x 325183

7474 xx

7744 xx

00 x

00

0 se rovná 0!

Co to z hlediska řešení rovnice znamená?

Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Máme na světě třetí typ možného řešení.

0.x = 0

Jinými slovy: pravda, pravdivý výrok, rovnost

Takový výsledek znamená, že rovnice má nekonečně mnoho řešení.

5 = 520 = 20

1 = 1 -0,5

= -

0,50,4 = 0,4

-2,7 = -2,7

0 = 0

Rovnost levé a pravé strany rovnice nastane, dosadíme-li do rovnice za neznámou jakékoliv

číslo.

= __52__52

45 = 45

Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Ověření příkladu č. 3:

)()()( 3121511813

Do rovnice můžeme dosadit jakékoliv číslo. Zkusme třeba

číslo 1.

Dosazením jsme ověřili, že číslo 1 je řešením dané rovnice.(Po dosazení za neznámou do zadané rovnice, nastává rovnost levé a pravé strany – rovnost platí.)

)(x)(xx)(x 325183

435083

41511

1111

PL

Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Ověření příkladu č. 3:

)]([)( 11813

Zkusíme dosadit například ještě číslo -1.

Dosazením jsme ověřili, že i číslo -1 je řešením dané rovnice.(Po dosazení za neznámou do zadané rovnice, nastává rovnost levé a pravé strany – rovnost platí.)

)(x)(xx)(x 325183

PL

)()( 31215

215)11(83

25283

33

Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Shrnutí:

například: x = 2

1. Rovnice má právě jedno řešení (jeden kořen).

Existují tři druhy možných řešení lineárních

rovnic. Jaké a jak je poznáme?

Existuje jediné číslo, po jehož dosazení za neznámou do dané rovnice nastane rovnost levé a pravé strany.

například: 0 = 2

2. Rovnice nemá žádné řešení.Neexistuje žádné číslo, po jehož dosazení za neznámou do dané rovnice by nastala rovnost levé a pravé strany.

například: 2 = 2

3. Rovnice má nekonečně mnoho řešení.Existuje nekonečně mnoho čísel (všechna čísla), po jejichž dosazení za neznámou do dané rovnice nastane rovnost levé a pravé strany.

Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

A teď si to zkuste sami.

Rovnice nemá řešení.

35624 x)](x[xx

Řešte, a jen pokud si nebudete vědět rady, klikněte. Pomohu vám.

351224 x]x[xx

35124 x)x(x

35484 xxx

35485 xx

348

Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

A ještě jednou.

Rovnice má právě jedno řešení.

5232352 )(xx)]()(x[

Řešte, a jen pokud si nebudete vědět rady, klikněte. Pomohu vám.

5232352 )(xx)]()(x[

5632155(2 xx)x

113176(2 x)x

1133412 xx

3411312 xx

459 x

9:45x

5x

Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Zkouškou ověříme správnost našich výpočtů.

Zkouškou jsme ověřili, že řešením je skutečně číslo

5.

5232352 )(xx)]()(x[

Řešte, a jen pokud si nebudete vědět rady, klikněte. Pomohu vám.

5253523552 )()]()([

5733252 )]([

5213102 )(

26132

2626

PL

Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

A naposled.

Rovnice má nekonečně mnoho

řešení.

xxx

53

11267

223

Řešte, a jen pokud si nebudete vědět rady, klikněte. Pomohu vám.

xxx

53

11267

223

xxx

53

11267

223

6563

1126

67

6223

xxx

65)112(27)23(3 xxx

xxx 30224769

xx 3030

03030 xx

00 x

00