LINEÁRNÍ ROVNICE, NEROVNICE, JEJICH SOUSTAVY A SLOVNÍ ÚLOHY
LINEÁRNÍ ROVNICE, NEROVNICE, JEJICH SOUSTAVY A SLOVNÍ ÚLOHY.
Lineární rovnice s jednou neznámou
Základní pojmy
· Řešit rovnici o neznámé x znamená najít množinu všech x, která
rovnici vyhovují.
· Množina všech řešení (kořenů)....označujeme P
· Kořen rovnice...je každé x, které vyhovuje rovnici.
Ekvivalentní úpravy
1. Přičtení stejného čísla nebo výrazu k oběma stranám
rovnice
2. Násobení obou stran rovnice stejným nenulovým číslem nebo
výrazem.
Postup řešení rovnice:
1. Stanovíme definiční obor rovnice..D
2. Řešíme používáním ekvivalentních úprav.
3. Provedeme zkoušku (dosazením do původní rovnice a spočtením
levé strany zvlášť a pravé strany zvlášť)
4. Stanovíme obor pravdivosti, tedy množinu všech kořenů...P
LINEÁRNÍ ROVNICE
je každá rovnice tvaru
ax + b = 0, kde
Pokud stanovíme definiční obor a používáme pouze ekvivalentní
úpravy, není zkouška nutná. Je však vhodná pro ověření správnosti
výsledku. (Tedy vyloučení numerické chyby)
Příklady: zelená sbírka str. 55/1 a)-d)
Řešení:
EMBED Equation.DSMT4
defini
ční obor...D=R
5291
)2
.16 (násobíme spole
čným jmenovatelem vše
ch zlomk
ů
4162
4529832
39
1
3
:
1153.2992
5.29
11123
3333
:
4161216121612
vv
cv
vvv
v
v
Zkouška
L
+
-=-
--=-
=
=
+
+
-=-=-=-
2211
12126
1111211
:.2
2366
1
:
3
P
LP
Záv
ěrP
--
==
--
-==
=
ìü
=
íý
îþ
22
22
(32)52
)2 .6
623
912415412
60
rovnice nemá
řešení, tedy:
xx
dx
xxxx
P
-
-=-
-+-=-
-=
=Æ
Rovnice s neznámou ve jmenovateli
Tady je nutné určit definiční obor.
Abychom odstranili zlomky, rovnici násobíme společným
jmenovatelem všech zlomků.
Příklady: Zelená sb. 55/1 e)-h)
{
}
2
375253
e) .30 0,5
55
375253
.30 .(5)...díky p
ředchozímu určení
podmínek
5(5)
už je tento výraz nenu
l
xxx
DR
xxxx
xxx
axx
xxxx
++-
--==-
--
++-
--=-
--
22
ový, a proto je to ekvivalentní
(37).(5).(5).3(253)0
373752530
10500
úprava
xxxxx
xxxx
x
+-+---=
+-+-+=
+=
{
}
5
Protože jsme používali p
ři řešení jen ek
vivalentní úpravy,
zkoušku lze vynechat. Pro ov
ěření správn
osti výpo
čtu je ale vhodná.
Záv
ěr: 5.
x
P
=-
=-
f)
{
}
2
62(43)
111
1
686
1(1)(1)1
.(1)(1)
(6)(1)(86)(1)
00
Poslední rovnost platí vždy, což znamená
, že rovnice má nekone
čně mnoho
zzz
zzz
DR
zzz
zzzz
zz
zzzzz
--
-=
+--
=-±
---
-=
+-+-
-+
----=-+
=
řešení.
Záv
ěr: .
PR
=
Lineární funkce s absolutní hodnotou
Postup řešení je částečně shodný s postupem u lineárních
funkcí s absolutní hodnotou.
Nejprve vyřešme jednoduché rovnice s jednou abs.
hodnotou.
Příklad 1
{
}
1,2
5
Hledáme
číslo x, jehož absolutní hodnota
je rovna 5.
Taková existují dv
ě čísla: 5.
Tedy: 5.
x
x
P
=
=±
=±
Příklad 2
{
}
12
43
Ná základ
ě řešení předchozího příkladu j
e z
řejmé, že mohou nastat dvě možnosti:
43 nebo 43, proto
7 nebo 1.
1;7.
x
xx
xx
P
-=
-=-=-
==
=
Příklad 3
23
Absolutní hodnota dává vždy nezáporné ho
dnoty, prot se nem
ůže
nikdy rovnat -3.
Záv
ěr:
x
P
-=-
=Æ
Příklad 4
23283
Řešíme tzv. metodou nulových bodů.
1. Stanovíme nulové body: 2, 3, 4
2. Sestavíme tabulku pro jednotlivé inte
rvaly, do které zaznamenáme
znaménka jednotlivých výraz
ů na dílč
ích interval
xxx
-+-+-=
ech.
x
(
)
,2
-¥
2,3)
3,4)
4,)
¥
x-2
-
+
+
+
x-3
-
-
+
+
2x-8
-
-
-
+
Dále řešíme v jednotlivých intervalech rovnice po
odstranění absolutních hodnot.
(
)
1
11
2
22
3
:,2
23823
2
,5
:2,3)
23823
3
:3,4)
23823
I
xxx
xIP
I
xxx
xIP
I
xxx
-¥
-++-+-=
=ÏÞ=Æ
-+-+-=
=ÏÞ=Æ
-+-+-=
{
}
3
4
44
1234
33nekone
čně mnoho řešen
í z daného intervalu: 3,4)
:4,)
23283
44
Záv
ěr tvoří sjednocení všech výsledků:
P
I
xxx
xIP
PPPPPP
=Þ=
¥
-+-+-=
=ÎÞ=
=ÈÈÈÞ=
3;4
Další příklady: Zelená sbírka str.77
Soustavy rovnic
Pro řešení soustavy rovnic používáme nejčastěji následující
metody řešení:
Metoda dosazovací:
Z jedné rovnice vyjádříme jednu neznámou a dosadíme do
druhé rovnice. Tím se nám redukuje počet rovnic.
Metoda sčítací:
Rovnice násobíme vhodnými čísly tak, abychom se při sečtení
(odečtení) dvou rovnic zbavili jedné neznámé. Redukuje se počet
neznámých.
Další metody jsou:
Metoda srovnávací (komparační):
Z každé rovnice vyjádříme stejnou neznámou a ty pak mezi
sebou porovnáme. ˇ5ešíme tedy vlastně rovnici o jedné neznámé.
Užívá se zejména tam, kde se vyskytuje násobení dvou neznámých:
např
7
1
xxyy
xxyy
++=
ì
í
-+=
î
Metoda substituční (nahrazovací)
Zkoušku pro soustavu provádíme dosazením neznámých do všech
rovnic soustavy.
Závěr řešení zapisujeme uspořádanou dvojicí (trojicí):
[
]
{
}
;
Pxy
=
Metody lze kombinovat.
Příklad 1
1. řešení pomocí dosazovací metody
[
]
{
}
328
53
Z druhé rovnice vyjád
říme :
53 a dosadíme do rovnice první:
3(53)28 a vy
řešíme:
159281.
Vypo
čtenou neznámou dosadíme do rovnice
pro
5.132
Záv
ěr:
2;1
xy
xy
x
xy
yy
yyy
x
xx
P
ì
+=
ï
í
-=-
ï
î
=-
-+=
-+=Þ=
=-Þ=
=
2. řešení pomocí metody sčítací
328
53.(3)
Druhou rovnici násobíme
číslem -3:
328
3159
rovnice se
čteme:
17171.
Vypo
čtenou neznámou dosadíme do jedné ze
zadaných rovnic. Je jedno, do které.
(nap
říklad do prvn
xy
xy
xy
xy
yy
ì
+=
ï
í
-=--
ï
î
+=
ì
í
-+=
î
=Þ=
[
]
{
}
í):
328
362
Zkoušku bychom provedli dosazením obou n
eznámých do obou rovnic.
Zkouška musí vyjít pro ob
ě rovnice zvlá
š
ť.
Záv
ěr: 2;1
x
xx
P
+=
=Þ=
=
Příklad 2 (Řešení metodou srovnávací)
Vhodné u úloh se smíšeným členem xy.
7
1
Ob
ě rovnice upravíme vytknutím :
(1)7
(1)1
Z obou rovnic vyjád
říme a porovnáme:
7
1
71
1
11
1
Tedy:
7
13. Dosazením do výrau pro pak do
1
xxyy
xxyy
x
xyy
xyy
x
y
x
y
yy
y
yy
x
y
y
yx
y
++=
ì
í
-+=
î
++=
ì
í
-+=
î
-
ü
=
ï
+
--
ï
Þ=
ý
-
+-
ï
=
ï
-
þ
-
=Þ=
+
[
]
{
}
staneme 1.
Záv
ěr: 1;3.
x
P
=
=
Další příklady: Zelená sbírka str.57 cvičení 3, 4
Slovní úlohy
Obecný postup:
1. Dokonale přečíst úlohu.
2. Matematizace úlohy (= překlad textu do mat. jazyka)
a) volba neznámé (většinou podle otázky úlohy)
b) rozbor úlohy = poznat vztahy mezi známými a neznámými
c) sestavení rovnice, nerovnice, soustavy, stanovení oboru, ve
kterém řešíme.
d) řešení rovnice, nerovnice...
e) ověření – dosazení do slovní úlohy
3. Závěr = odpověď.
Při řešení používáme vztahy:
. pro pohybové úlohy
pro úlohy o spole
čné práci
svt
W
P
t
=
=
Příklady: (z červené sbírky)
I) Obecné úlohy na vytvoření správného vzorce
155/23
Otci je 42 let. Jeho třem dcerám je 16, 13 a 5 let. Za kolik let
se bude věk otce rovnat součtu let jeho dcer?
Řešení:
nyní:otec....42 let
za x let:otec...(42+x)let
dcery.....16, 13, 5 let
dcery..16+x, 13+x, 5+x
sestavení rovnice – podle otázky z úlohy:
42(16)(13)(5)
82
4
xxxx
x
x
+=+++++
=
=
Nyní je potřeba provést zkoušku dosazením do slovní úlohy:
Za 4 roky bude otci 46. Dcerám 20, 17, 9.
20+17+6 = 46.
Odpověď: Za 4 roky se bude věk otce rovnat součtu let jeho
dcer.
156/26
Petr se ptá Martina: „Kolik štěňat měla vaše fenka?“ Martin
odpověděl: „Tři čtvrtiny jejich celkového počtu a ještě tři
čtvrtiny jednoho štěněte.“ Dělal si Martin z Petra legraci?
Zkuste to rozluštit.
Řešení:
volba neznámé....x...počet štěňat
sestavení a řešení rovnice
33
44
334
3
xx
xx
x
+=
+=
=
Zkouška: tři čtvrtiny z celkového počtu jsou
39
3.
44
=
. Tři čtvrtiny jednoho štěněte jsou
3
4
.
9312
3.
444
+==
Odpověď: Fenka měla tři štěňata, Martin si legraci nedělal.
156/28
Babička očekávala vnuky. Napekla koláče, spočítala je a myslela
si: „Po kolika koláčích mám dát každému vnukovi? Když dám každému
čtyři koláče, budou mi chybět tři koláče. Když dám každému tři
koláče, dva koláče mi zbudou.“ Kolik vnuků měla babička?
Řešení:
počet vnuků...x
počet koláčů...4x – 3
3x + 2
sestavení rovnice:
4332
5
xx
x
-=+
=
Zkouška: Dá – li každému čtyři koláče, znamená to, že upekla 20
– 3 (chybějící) koláčů.
Dá – li každému tři koláče, znamená to, že upekla 15 + 2
(přebývající) koláče. V obou případech jde o 17 koláčů.
Odpověď: Babička měla 5 vnuků.
156/32
Zmenší – li délka strany čtvercové podložky o 6 cm, zmenší se
její obsah o 2,76 dm2. Určete délku strany původní i zmenšené
podložky.
Řešení:
x....původní délka čtvercové podložky
rozbor pomocí tabulky:
strana
obsah
původně
x
2
x
zmenšená
x-0,6
(
)
2
0,6
x
-
Zmenšený obsah.....
2
2,76
x
-
Sestavení rovnice:
(
)
2
2
22
0,62,76
1,20,362,76
3,121,2
2,6 dm
xx
xxx
x
x
-=-
-+=-
=
=
Odpověď: Původní podložka měla stranu délky 2,6 dm. Zmenšená
podložka měla stranu délky 2 dm.
156/33
V podniku spotřebovali v prvním čtvrtletí třetinu
předpokládané spotřeby motorové nafty na kalendářní rok, ve druhém
a třetím čtvrtletí spotřebovali 70% zbytku a na čtvrté čtvrtletí
zůstalo 8 568 l.
a) Kolik litrů motorové nafty činila předpokládaná spotřeba na
celý rok?
b) Kolik % předpokládané spotřeby na kalendářní rok zůstalo na
čtvrté čtvrtletí?
Řešení:
x...počet litrů předpokládané spotřeby na celý rok
1.čtvrtletí
2. a 3. čtvrtletí
4. čtvrtletí
Spotřeba
1
3
x
1
0,7
3
xx
æö
-
ç÷
èø
8 568
Sestavení rovnice:
12
0,7.8568 .3
33
1,4257043
42840 l
42840.....100%
8568.......%
20%
xxx
xxx
x
x
x
++=
++=
=
=
Odpověď: a) Předpokládaná spotřeba nafty na celý rok byla 42840
l.
b) Na čtvrté čtvrtletí zůstalo 20% předpokládané spotřeby.
Příklady za DCV: 155/20, 156/29
II) Pohybové úlohy
157/34
První hlídka orientačního běhu žáků vyrazila v 8 hod.
průměrnou rychlostí 5 km/hod. V 8.36 vyjel za nimi na kole
vedoucí orientačního běhu rychlostí 20 km/hod. Kdy a jak daleko od
startu je dostihne?
Řešení:
neznámá..t...čas hlídky do setkání
rychlost v(km/hod)
čas t (hod)
hlídka
5
t
kolo
20
t – 36min
= t – 0,6
Sestavení rovnice vychází z toho, že v čase setkání t
hlídka i kolo urazili B stejnou dráhu.
12
520(0,6)
1215
0,848min
Uražená dráha...s = 5.0,8 = 4 km
ss
tt
t
thod
=
=-
=
==
Zkouška dosazením do slovní úlohy:
Při setkání urazila hlídka 5.0,8 = 4 km. Vedoucí na kole 20.0,2
= 4 km.
Odpověď: Hlídka orientačního běhu se s vedoucím setkala
v 8 hod a 48 min ve vzdálenosti 4 km od startu.
157/35
Ze dvou míst A a B vyšli proti sobě dva turisté. První vyšel
z místa A v 9hod průměrnou rychlostí 4,5 km/hod. Druhý
z místa B v 9.24 průměrnou rychlostí 5 km/hod. Kdy a jak
daleko od místa A se turisté setkají, je –li vzdálenost míst A, B
17 km?.
Řešení:
neznámá..t...čas turisty A do setkání
v (km/hod)
t (hod)
s (km)
turista A
4,5
t
1
s
turista B
5
t – 24 min =
t – 0,4
2
s
Sestavení rovnice:
12
17
4,55(0,4)14
9,519
2 hod
4,5.29 km
ss
tt
t
t
s
+=
+-=
=
=
==
Odpověď: Setkají se v 11hod ve vzdálenosti 9 km od místa
A.
Další příklady za DCV: 157/36
III) Úlohy na společnou práci
157/37
Skupina pracovníků lesního závodu by vysadila stanovený počet
stromků za 10hod, skupina brigádníků tentýž počet za 18hod. Za
kolik hodin by stanovený počet stromků vysadily obě skupiny, kdyby
pracovaly současně?
Řešení:
neznámá...x...počet hodin společné práce
počet stromků
doba práce (hod)
vysazené stromky za 1 hod
vysazené stromky za x hodin
pracovníci
n
10
10
n
10
x
n
brigádníci
n
18
18
n
18
x
n
Sestavení rovnice:
1018
1
1018
1810180
28180
6,426 hod 25 min
xx
nnn
xx
xx
x
x
+=
+=
+=
=
==
Obě skupiny dohromady by stromky vysadily za 6 hodin a 25
minut.
157/38
Jedním čerpadlem se naplní nádrž za 1,5 hod, druhým za 2 hod a
třetím za 3 hod a 20 minut. Za kolik minut se nádrž naplní třemi
čerpadly, budou – li pracovat současně?
Řešení:
neznámá...x...počet hodin společné práce
doba naplnění nádrže samotným čerpadlem (hod)
práce za 1 hod
práce za x hod
1.čerpadlo
1,5
1
1,5
1,5
x
2.čerpadlo
2
1
2
2
x
3.čerpadlo
110
3
33
=
13
10
10
3
=
3
10
x
Sestavení rovnice:
EMBED Equation.DSMT4
3
1 .30
1,5210
2015930
0,68 hod = 41 minut
xxx
xxx
x
++=
++=
=
Všechna čerpadla dohromady by nádrž naplnila za 41 minut.
IV) Směsi
157/39
Kolik g vody musíme přilít do 240g 84% roztoku CuSO4, aby vznikl
roztok 60%?
Řešení:
Úlohy na směsi řešíme tak, že vyjádříme hmotnosti toho, co se
nemění v obou roztocích. V tomto případě zůstává stejné
množství CuSO4. Přilíváme totiž jen vodu.
neznámá..x.. počet gramů přilité vody
koncentrace
hmotnost roztoku
přilitá voda
hmotnost CuSO4 v roztoku
původní
84%
240
84% z 240 = 201,6 g
nový
60%
240+x
x
60% z (240+x) =
240
.60
100
x
+
6(240)
201,6
10
201614406
5766
96 g
x
x
x
x
+
=
=+
=
=
Do roztoku je potřeba přilít 96 g vody, aby vznikl roztok
60%.
157/40
Kolikaprocentní roztok vznikne smícháním 120g 28% roztoku NaCl a
0,2 kg 42% roztoku NaCl?
Řešení:
neznámá...x..počet procent NaCl v novém roztoku
Úlohu vyřešíme tak, že v obou roztocích vyjádříme hmotnost
NaCl. Sečtením těchto hmotností pak dostaneme hmotnost NaCl ve
výsledném roztoku. Odtud pak vypočteme x, tedy výslednou
koncetraci.
hmotnost roztoku (g)
koncentrace
hmotnost NaCl (g)
roztok 1
120
28%
120 g.....100%
y.......28%
y = 33,6 g
roztok 2
200
42%
200....100%
y.....42%
y = 84 g
výsledný
roztok
320
x%
33,6 + 84 = 117,6
Sestavení rovnice:
320....100%
117,6....%
117,6
.10036,75%
320
g
gx
x
==
Smícháním vznikne 36,75% roztok NaCl.
158/41
Kolik g kyseliny o koncentraci 55% je třeba smíchat se 150 g
kyseliny o koncentraci 40%, aby vznikl roztok kyseliny o
koncentraci 50%?
Řešení:
neznámá...x...počet g přidané kyseliny
V obou roztocích se nemění hmotnost čisté vody. Přidáváme
totiž jen kyselinu.
koncentrace
hmotnost roztoku
hmotnost vody v roztoku
roztok 1
55%
x
45% = 0,45.x
roztok 2
40%
150
60% = 0,6.150
směs
50%
150 + x
50% = (150 + x).0,5
Vytvoření rovnice:
Hmotnost vody ve směsi se musí rovnat součtu hmotností vody
v původních roztocích.
0,5(150)0,450,6.150
750,50,4590
0,0515
300
xx
xx
x
xg
+=+
+=+
=
=
Prvního roztoku musí být 300 g.
158/42
Smícháme – li 15l vody teplé 68°C a 10 l vody teplé 13°C, jakou
výslednou teplotu bude mít vzniklá směs? (Vyjádřete výměnu tepla
užitím kalorimetrické rovnice)
Řešení:
neznámá...t..výsledná teplota
teplota
litry
68°C
15
13°C
10
t
25
1122
Kalorimetrická rovnice: .
Tedy: 68.1510.1325.
102013025
46
mtmtmt
x
x
xC
+=
+=
+=
=°
Slovní úlohy na soustavy rovnic
231/16
Do 26 lahví, z nichž některé jsou půllitrové a některé mají
objem 0,7 l, máme uskladnit 15 l malinového sirupu. Kolik musíme
mít lahví půllitrových a kolik o objemu 0,7 l?
Řešení:
neznámé....x,y..počet lahví jednoho a druhého typu.
počet lahví
počet litrů sirupu
půllitrové láhve
x
0,5.x
„sedmičkové“ láhve
y
0,7.y
26
15
Sestavení soustavy rovnic:
26
0,50,715
Řešením této soustavy dostaneme
16
10
xy
xy
x
y
+=
ì
í
+=
î
=
=
Na uskladnění sirupu bude potřeba 16 půllitrových láhví a deset
„sedmičkových“.
213/17
Soustružník a jeho učeň měli za směnu opracovat 70 součástek.
Soustružník překročil svoji normu o 20% a učeň o 10%. Opracovali
tak za směnu 81 součástek. Jakou normu měl soustružník a jakou
učeň?
Řešení:
neznámé...x,y...normy soustružníka a učně
norma
opracovaný počet součástek
soustružník
x
x + 0,2x
učeň
y
y + 0,1y
společně
70
81
Soustava:
70
1,21,181
Jejím
řešením dostaneme:
40,30
xy
xy
xy
+=
ì
í
+=
î
==
Norma soustružníka byla 40 součástek za směnu, nroma učně 30
součástek za směnu.
213/18
Pokladní hotovost 1750 Kč se skládá z 23 padesátikorunových
a stokorunových bankovek. Kolik je kterých?
Řešení:
neznámé...x..počet padesátikorunových bankovek
y...počet stokorunových bankovek
počet bankovek
Kč
padesátikoruny
x
50.x
stokoruny
y
100.y
celkem
23
1750
Sestavení soustavy:
23
501001750
xy
xy
+=
ì
í
+=
î
Řešení soustavy:
11,12
xy
==
V pokladní hotovosti bylo 11 padesátikorun a 12 stokorun.
231/20
Zlomek bude mít hodnotu 3, zvětšíme – li čitatele o 1 a současně
zmenšíme jmenovatele o 2. Jestliže však čitatele i jmenovatele
zmenšíme současně o 1, bude mít zlomek hodnotu
1
2
. Který je to zlomek?
Řešení:
neznámé...x..čitatel zlomku,
y...jmenovatel zlomku
původní zlomek
zlomek s hodnotou 3
zlomek s hodnotou
1
2
čitatel
x
x+1
x – 1
jmenovatel
y
y – 2
y - 1
Soustava:
1
3
136
2
11221
12
x
xy
y
xxy
y
+
ì
=
ï
+=-
-
ì
ï
Þ
íí
--=-
î
ï
=
ï
-
î
Řešení:
2,3
xy
==
Hledaný zlomek je
2
3
.
213/22
Dva chlapci o hmotnostech 30 kg a 40 kg si chtějí z klády
2,8 m dlouhé udělat houpačku. Jak daleko od obou konců ji musí
podepřít, aby byli v rovnováze?
Řešení:
Jedná se o úlohu „rovnováha na páce“. Pro rovnováhu na páce
platí tato rovnice
EMBED Equation.DSMT4
1122
12
12
, jsou síly p
ůsobící na koncích páky.
, jsou vzdálenosti p
ůsobišť sil od střed
u.
FaFa
FF
aa
=
Tedy v naší úloze:
hmotnost
vzdálenost od středu
síly
1. chlapec
30kg
x
300 N
2. chlapec
40 kg
y
400 N
Soustava:
2,8
1,6
300400
xy
xm
xy
+=
ì
Þ=
í
=
î
Houpačku je třeba podepřít 1,6 m od konce, kde sedí chlapec
vážící 30 kg.
Další příklady za DCV: 213/19, 23,24
NEROVNICE
Lineární nerovnice
je každá nerovnice ve tvaru: ax + b >0. Místo znaku > může
být <,
,
£³
. Znaky se nazývají znaky nerovnosti.
Při řešení lineární nerovnice postupujeme stejně jako při řešení
lineární rovnice s jednou výjimkou:
Při násobení a dělení nerovnice záporným číslem nebo výrazem se
mění znak nerovnosti na opačný.
Příklady:
a)
(
)
2(1)3(1)25
223325
28
06
Poslední
řádek je pravdivý pro všechna ,
proto jsou
řešením
všechna reálná
čísla.
,
xxxx
xxxx
x
P
-->---
-->---
->-
>-
=-¥¥
b)
23321
.6
326
46961
1313
1
1;)
xx
xx
x
x
P
--
+³
-+-³
³
³
=¥
Další příklady: Zelená sbírka str. 56/2
Soustava lineárních nerovnic
Postup řešení: Nerovnice upravujeme současně, oborem pravdivosti
(= řešením) je průnik řešení daných nerovnic.
Příklady:
a)
113
327
Vy
řešíme každou nerovnici zvlášť
113 327
42 35
15
23
Pr
ůnikem těchto dvou nerovnos
xx
x
xxx
xx
xx
-³-
ì
í
+£
î
-³-Ù+£
³Ù£
³Ù£
15
tí je interval:;
23
15
;
23
P
=
b)
1213
176
34
48391
117 1
1
1x
17
1
;1
17
xx
xx
xxx
xx
x
P
-+
<Ù-³-
-<+Ù³
<Ù³
<Ù³
=
Další příklady: Zelená sbírka 57/5
Nerovnice v součinovém a podílovém tvaru
Postup řešení:
1. Stanovíme definiční obor
2. Rovnici nenásobíme, ale nejprve anulujeme. (tzn. vše
převedeme na jednu stranu, na druhé je nula)
3. Řešíme metodou nulových bodů.
Příklad:
23
1 defini
ční obor
232
Rovnici anulujeme:
2
10 nenásobíme, ale p
řevedeme na sp
ole
čného jmenovatele
23
223
0
23
1
0 nyní použijeme metodu nulových bod
ů
23
x
DR
x
x
x
xx
x
x
x
-+
ìü
<-=-
íý
-
îþ
-+
+<
-
-++-
<
-
-
<
-
nulovými body jsou: 1 a
3
2
Sestavíme tabulku a budeme zkoumat znaménka výrazů
z čitatele a jmenovatele na jednotlivých intervalech. Následně
pak určíme znaménko celého zlomku na daném intervalu. V našem
příkladě chceme, aby hodnota zlomku byla menší než nula.
Intervaly jsou:
33
(;1),1;,;
22
æöæö
-¥¥
ç÷ç÷
èøèø
Číslo 1 jsme vyloučili proto, že zlomek se nemá rovnat nule, což
by se stalo v případě dosazení jedničky do čitatele. Číslo
3
2
je vyloučeno z podmínek rovnice – definiční obor.
Tabulka se znaménky:
(;1)
-¥
3
1;
2
æö
ç÷
èø
3
;
2
æö
¥
ç÷
èø
x – 1
-
+
+
2x – 3
-
-
+
celý zlomek
+
-
+
Z posledního řádku je zřejmé, že řešením dané nerovnice je
interval prostřední. Tedy:
3
1;
2
P
æö
=
ç÷
èø
Další příklady: Zelená sbírka 68/příklady 21-24.
Lineární nerovnice s absolutní hodnotou
Postup řešení:
1.Najdeme nulové body a sestavíme tabulku s intervaly a
znaménky.
2. Na každém intervalu řešíme nerovnici zvlášť. (Stejně jako to
bylo u lin. rovnic s abs. hodnotou)
3. Výsledná množina všech řešení je sjednocením intervalů všech
řešení.
Jednoduché základní nerovnice
·
5
x
>
Hledáme x, která mají od nulového bodu 0 vzdálenost větší než 5.
Tzn.
(
)
(
)
;55;
P
=-¥-È¥
·
25
x
-£
Hledáme x, která mají od nulového bodu 2 vzdálenost menší nebo
rovnu pěti.
3;7
P
=-
Příklad:
342
xx
+<-
nulovými body jsou -3; 2
Tabulka se znaménky výrazů na jednotlivých intervalech:
(
)
;3
-¥-
3;2)
-
2;)
¥
x + 3
-
+
+
4 – 2x
+
+
-
Řešíme v jednotlivých intervalech:
(
)
(
)
(
)
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
1
2
2
3
3
123
;3
342
7(;7);3;3
3;2)
342
31
111
;3;23;
333
2;
342
77;2;2;
1
;7;
3
I
xx
xP
I
xx
x
xP
I
xx
xP
PPPP
=-¥-
--<-
<Þ=-¥Ç-¥-=-¥-
=-
+<-
<
æöö
<Þ=-¥Ç-=-
ç÷÷
èøø
=¥
+<-+
<Þ=¥È¥=¥
æ
ö
=ÈÈ=-¥È¥
÷
ç
ø
è
Další příklady: Zelená sbírka 76/33-37
Rovnice s parametrem
Úvod
Řešte následující rovnice:
1) 350
35
5
3
x
x
x
-=
=
=
1
2) 50
2
1
5
2
10
x
x
x
-=
=
=
3)750
75
5
7
x
x
x
--=
-=
-
=
4)050
05
nemá
řešení
x
-=
=
Všechny rovnice jsou si podobné. Liší se jen koeficientem před
x. Proto je lze napsat jedním zápisem:
ax – 5 = 0,a
R
Î
a nazývá se parametr.
Neboli parametr v rovnici je reálné číslo, které zastupuje
(lze je nahradit) všechna reálná čísla.
Vyřešme tedy všechny čtyři rovnice, které byly zadány najednou
pomocí rovnice s parametrem:
50 5
5 : POZOR! D
ělíme výrazem, kt
erý nesmí být nula! Proto situaci rozd
ěl
íme.
ax
axa
-=+
=
5
L: .50
P = 0
L = P
5
a
a
P
a
-=
ìü
=
íý
îþ
Závěry z řešení parametrické rovnice se nejpřehledněji
zapíší do tabulky:
parametr a
množina řešení P
{
}
0
aR
=-
5
P
a
ìü
=
íý
îþ
a = 0
P
=Æ
Nyní si můžete vyzkoušet, že nalezená řešení
5
x
a
=
fungují pro úvodní rovnice, kde a bylo po řadě: 3,
1
2
, -7 a řešení rovnic bylo po řadě
55
,10,
37
-
.
· Rovnice s parametrem je zápis nekonečně mnoha rovnic
(množiny rovnic).
· Rovnici s parametrem řešíme tak, že ji třídíme na
podmnožiny rovnic, které se řeší stejně.
· Závěry z řešení sepisujeme do tabulky pro jednotlivé
význačné hodnoty parametru.
Další příklady:
+5
-5
7
-3
2
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
{
}
0,
aRbR
Î-Î
5 :
axa
=
0 m
ůžeme dělit
5
Provedeme zkoušku:
a
x
a
¹
=
0 nelze d
ělit, proto dosadíme za
do zadání rovnice
05 nemá
řešení
aa
x
P
=
=
=Æ
_1358360736.unknown
_1358443539.unknown
_1358448238.unknown
_1358449995.unknown
_1358500109.unknown
_1358502952.unknown
_1359307777.unknown
_1359307778.unknown
_1358503084.unknown
_1358503138.unknown
_1358503178.unknown
_1358503014.unknown
_1358501398.unknown
_1358502926.unknown
_1358502711.unknown
_1358500580.unknown
_1358501366.unknown
_1358500243.unknown
_1358499928.unknown
_1358499966.unknown
_1358499760.unknown
_1358499832.unknown
_1358450091.unknown
_1358448888.unknown
_1358449944.unknown
_1358449970.unknown
_1358449803.unknown
_1358448676.unknown
_1358448732.unknown
_1358448581.unknown
_1358447324.unknown
_1358447901.unknown
_1358448067.unknown
_1358448091.unknown
_1358448025.unknown
_1358447701.unknown
_1358447822.unknown
_1358447647.unknown
_1358445325.unknown
_1358446112.unknown
_1358446715.unknown
_1358445693.unknown
_1358443933.unknown
_1358445164.unknown
_1358443544.unknown
_1358366107.unknown
_1358442236.unknown
_1358443002.unknown
_1358443299.unknown
_1358443325.unknown
_1358443172.unknown
_1358442621.unknown
_1358442796.unknown
_1358442572.unknown
_1358439316.unknown
_1358440709.unknown
_1358441758.unknown
_1358440092.unknown
_1358366343.unknown
_1358366672.unknown
_1358366281.unknown
_1358364254.unknown
_1358365519.unknown
_1358365554.unknown
_1358365612.unknown
_1358365538.unknown
_1358365396.unknown
_1358365418.unknown
_1358365436.unknown
_1358364355.unknown
_1358365364.unknown
_1358363518.unknown
_1358363701.unknown
_1358364238.unknown
_1358363619.unknown
_1358360882.unknown
_1358361822.unknown
_1358360756.unknown
_1358277459.unknown
_1358357413.unknown
_1358359836.unknown
_1358360092.unknown
_1358360124.unknown
_1358359879.unknown
_1358358034.unknown
_1358358069.unknown
_1358357464.unknown
_1358354861.unknown
_1358356897.unknown
_1358357256.unknown
_1358356005.unknown
_1358277864.unknown
_1358278979.unknown
_1358277790.unknown
_1358274052.unknown
_1358274476.unknown
_1358274654.unknown
_1358275912.unknown
_1358274495.unknown
_1358274422.unknown
_1358274451.unknown
_1358274180.unknown
_1358271975.unknown
_1358273576.unknown
_1358273749.unknown
_1358273245.unknown
_1358018061.unknown
_1358271377.unknown
_1358014100.unknown
_1358017630.unknown
