Logika a matematika pro ekonomy - WordPress.com · Matematika a logika je oceán a toho, kdo se na...

Logika a matematika pro ekonomy

Jan CoufalVítězslav Línek


VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMIE A MANAGEMENTUPraha 2010

Předmluva

Vážené čtenářky a vážení čtenáři,

učební text s názvem Logika a matematika pro ekonomy, který právě pročítáte, je určen jako základní literatura pro předměty Logika a matematické metody a Matematika pro ekonomy.

Pro předmět Logika a matematické metody jsou určeny kapitoly 1., 2., 3., 6. a 7., pro předmět Matematika pro ekonomy jsou určeny kapitoly 1., 4., 5., 6., 7., 8. a 9.

Vycházeli jsme ze svých zkušeností i současných trendů při výuce matematiky a logiky.

Úvodní kapitola je jakýmsi vstupem do problematiky. Druhá kapitola je věnována logice a zacházení s jazykem. Třetí kapitola je malý výlet do krajiny, která se nazývá teorie grafů. Čtvrtá kapitola je věnována lineární algebře, speciálně aritmetickým vektorům, maticím a jejich užití pro řešení soustav lineárních rovnic. V páté kapitole se studuje maticová algebra a determinanty. Šestá kapitola je nejprve opakování množinových operací a funkcí, jsou připomenuty základní elementární funkce a kapitolu uzavírá studium limity a spojitosti funkce. Sedmá kapitola se zabývá derivací funkce jedné proměnné a jejími aplikacemi. V osmé kapitole jsou studovány neurčitý a určitý integrál, poslední devátá kapitola se věnuje funkcím dvou proměnných a jejich diferenciálnímu počtu, zvláště vyšetřování lokálních extrémů funkcí dvou proměnných. V závěru učebnice je přehled standardních vzorců pro každý z předmětů a vzorové zkouškové testy.

Při vytváření textu jsme se opírali nejen o osvědčenou literaturu, ale také o názory matematiků i ekonomů z velkého spektra institucí vědeckých, vysokoškolských i praktických.

Ač jsme text vytvářeli z osvědčených komponent, jsou v literatuře popsány případy, kdy dílo utvořené z osvědčených komponent nesplnilo očekávání (Josef Čapek: Jak si pejsek s kočičkou dělali k svátku dort v knize Povídání o pejskovi a kočičce, Albatros, Praha, 1972). Věříme, že tato situace nenastala.

Přejeme Vám úspěšné studium a děkujeme všem, kteří upozorní na nedostatky. Zároveň děkujeme jazy-kovým i grafi ckým odborníkům za péči, kterou věnovali vydání tohoto učebního textu.

V Praze, červenec 2010

Jan Coufal a Vítězslav Línek


Jan Coufal

Vítězslav Línek

Copyright © Vysoká škola ekonomie a managementu 2010.

Vydání první. Všechna práva vyhrazena.

ISBN 978-80-86730-58-5

Vysoká škola ekonomie a managementu

www.vsem.cz

Žádná část této publikace nesmí být ani publikována, ani šířena žádným způsobem a v žádné podobě bez výslovného svolení vydavatele.

Obsah

Obsah

1. Úvod 5

1.1 O matematice a logice 6

1.2 Množiny 10

2. Logika 17

2.1 Logika jako nauka o správném myšlení 18

2.2 Matematická logika 21

2.3 Výrokový počet 23

2.4 Predikátový počet 38

2.5 Neřešené příklady s výsledky 42

2.6 Dodatek 47

3. Grafy 53

3.1 Trochu historie 54

3.2 Grafy 56

3.3 Stromy 59

3.4 Dodatek 62

4. Matice a soustavy lineárních rovnic 67

4.1 Aritmetické vektory 68

4.2 Matice 74

4.3 Transponovaná matice 80

4.4 Soustavy lineárních rovnic 82


5. Maticová algebra a determinanty 101

5.1 Reálný násobek matice, součet a součin matic 102

5.2 Regulární, singulární a inverzní matice 107

5.3 Determinant matice 116


Edice učebních textů Logika a matematika pro ekonomy

6. Množinové operace a funkce jedné proměnné 137

6.1 Množinové operace 138

6.2 Číselné množiny 142

6.3 Funkce jedné proměnné 144

6.4 Základní elementární funkce 147

6.5 Elementární funkce 155

6.6 Limita funkce 163

6.7 Spojitost funkce 175


7. Diferenciální počet 185

7.1 Derivace funkce 186

7.2 Derivace operací 191

7.3 Užití derivace funkce 204

7.4 Druhá derivace funkce 208

7.5 Význam první a druhé derivace pro průběh funkce 209

7.6 Extrémy spojité funkce v uzavřeném intervalu 243

7.7 Některé ekonomické aplikace 245


8. Integrály 257

8.1 Primitivní funkce 258

8.2 Neurčitý integrál 261

8.3 Určitý integrál 280


9. Funkce dvou proměnných 295

9.1 Funkce dvou proměnných a její graf 296

9.2 Derivace a parciální derivace funkcí dvou proměnných 300


Závěr 317

Předmět Logika a matematické metody 318

Předmět Matematika pro ekonomy 327

Edice učebních textů Logika a matematika pro ekonomy

Jak používat tuto učebnici

Tuto knihu můžete jednoduše přečíst od začátku do konce, ale mnohem užitečnější vám bude s perem a papírem. Nejefektivnější formou učení je aktivní učení, a proto jsme naplnili text příklady, abyste se přesvědčili, jak učivo zvládáte. Každá kapitola také obsahuje cíle, souhrn ka-pitoly a rychlý kviz. Následující body vám objasní, jak s knihou pracovat co nejefektivněji:

a) Vyberte si kapitolu, kterou budete studovat, přečtěte si úvod a cíle na začátku kapitoly.

b) Potom si přečtěte souhrn kapitoly na jejím konci (před rychlým kvizem a úkoly). Neočekávejte, že tento krátký závěr znamená v této fázi příliš mnoho, ale zkuste, zda můžete spojit některý z probraných bodů s některým z cílů.

c) Poté si přečtěte samotnou kapitolu. Zamyslete se nad jednotlivými úkoly tak, jak jdou za sebou. Největší prospěch z těchto úkolů získáte, pokud si své odpovědi napíšete předem a poté je zkontrolujete se správným řešením.

d) Při čtení používejte poznámkový sloupec a přidávejte vlastní komentáře, odkazy na další materiál atd. Pokuste se formulovat své vlastní názory. V psychologii i sociologii je mnoho věcí otázkou výkladu a často je zde prostor pro alternativní názory. Čím hlubší dialog s knihou povedete, tím více ze svého studia získáte.

e) Až dočtete kapitolu, znovu si přečtěte souhrn kapitoly. Poté se vraťte k cílům na začátku kapitoly a položte si otázku, zda jste jich dosáhli.

f) Nakonec upevněte své znalosti tím, že písemně vyřešíte úkoly v závěru kapitoly. Své odpovědi si můžete zkontrolovat tak, že se podíváte zpět do textu. Návrat k textu a hledání významných detailů dále zlepší pochopení předmětu.

Pokyny pro práci s učebnicí

Značky a symboly v učebním textu

Struktura distančních učebních textů je rozdílná již na první pohled, a to např. v zařazování grafi ckých symbolů – značek.

Specifi cké grafi cké značky umístěné na okraji stránky upozorňují na defi nice, cvičení, příklady s postupem řešení, klíčová slova a shrnutí kapitol. Značky by měly studenta intuitivně vést tak, aby se již po krátkém seznámení s distanční učebnicí dokázal v textu rychle a snadno orientovat.

Defi nice

Upozorňuje na defi nici nebo poučku pro dané téma.

Kvíz

Označuje rychlý kvíz na konci kapitoly.

Klíčová slova

Shrnutí důležitých výrazů či odborných termínů nezbytných pro orientaci v tématu.

Shrnutí kapitoly

Shrnutí kapitoly se zařazuje na konec dané kapitoly. Přehledně, ve strukturovaných bodech shrnuje to nejpodstatnější z předchozího textu.

Příklad

Označuje příklad praktické aplikace učiva.

1Úvod

kapitola

Úvod Kapitola 1

5

1. kapitolaÚvod

Milý čtenáři, pokud si myslíš, že na tebe čeká milostný příběh, nebyl jsi nikdy na větším omylu. Očeká-váš city, poezii, fantazii? Naději, vášeň, dráždivost a melodrama? Raději své naděje pokorně zkroť. Očekává tě cosi skutečného, chladného a solidního, něco tak neromantického jako pondělní ráno, kdy

všichni, kdo musí pracovat, se probouzejí s vědomím, že je třeba vstát, a pak také vstanou.

(Charlotte Brontëová – Předehra k Shirley)

Úvod každé publikace by měl být jako správná minisukně, tj. krátký, plný příslibů, a přece cudně zdrženlivý. Naše situace je složitější, proto bude úvod trochu delší (a snad ne nezajímavý). Podivné místo je svět, ve kterém žijeme. Spojením neznámých činitelů přírody byl vytvořen myslící tvor, člověk, který je schopen se tázat, co znamenají věci kolem něj a jaký je jejich smysl. Jeho tělesné i duševní vlastnosti se neustále mění, stejně jako jeho okolí. Od růžového jitra, ozářeného paprsky vycházejícího slunce, až do pozdního večera, kdy na temnícím se nebi vytryskávají světla dalekých hvězd, neslyšitelný tok času se nezastaví a nedá se ničím zabrzdit. Někdy líně klestí svou cestu mezi břehy života, jindy zase zrychlí svůj tok a šíleným chvatem strhává vše do závratných hlubin. Je to náš vlastní, osobní čas, kterým žijeme, jenž zabarvuje svérázně každé dění, který se ale nehodí pro nezaujatý pohled na svět.

Úvod

V této kapitole uvedeme zdroje vzniku logiky a zvláště matematiky, jejich postavení mezi jednotlivými naukami. Rovněž se budeme krátce zabývat stěžejním pojmem matematiky, kterým je množina. Dále se budeme věnovat základním symbolům, které vyjadřují vztah mezi prvkem a množinou.

Edice učebních textů Logika a matematika pro ekonomyKapitola 1

6

1.1O matematice a logiceZmíníme některé aspekty historie myšlení, které podle našeho názoru nejvíce ovlivnily současnou tvář matematiky a logiky. Marně hledáme kolem sebe neměnící se absolutno. V odlesku této věčnosti budovali lidé svá náboženství a domnívali se, že v jejich strnulosti vidí věčnost, po které toužili. Tok času tím nezastavili. Pro něj neplatil žádný lidský zákon a předpis. Zatímco plynul, měnily se nejpevnější lidské výtvory v prach a rozplynuly se vniveč. Nejen výtvory myšlenek lidského ducha jsou tak rychle a snadno pomíjející, nýbrž i celé naše okolí, roviny i hory, lesy, řeky a oblaka, vše se mění, střídá a na velkém jevišti života není nic stálého. Vody dešťů unikají do moře, vypařují se v oblaka, ze kterých se déšť znovu vrací k zemi. Hory se zmenšují, vodní přívaly nesou písek a balvany, kterými zaplňují mořské dno, a koloběh se opakuje. Nejméně třicettisíckrát během minulých geologických dob se přelily oceány v nebe a zase zpět. Bylo rozpuštěno téměř vše, co nyní dělá mořskou vodu slanou a hořkou. Souběžně probíhal vývoj tvorstva na zemi. Ale jak podivně! Nemluvíme ani o dobách nejprimitivnějšího života, kdy moře bylo jeho kolébkou, v níž se děly věci, které asi nikdy nepochopíme. Zdá se nám, že příroda je velkým a marnotratným experimentátorem, který má neskonale mnoho prostředků k dispozici a hýří různými pokusy, neboť jak jinak bychom si mohli vysvětlit velkou změnu v různých tvorech, která se odehrávala od okamžiku, kdy se na zemi objevil život? Přepodivné pokusy činila příroda během tří set milionů let, než konečně stvořila gigantickou rasu dinosaurů, kterou však nechala náhle zahynout během krátké doby. Dalších sto milionů let tvořila druh savce, mamuta, před kterým by vyhlížel velký slon jako trpaslík. Ani s tímto tvorem se nespokojila, nemluvě ani o velkém množství různých jiných, kteří všichni zmizeli a učinili místo poslednímu pokusu – člověku. Jak se přírodě tento poslední pokus podařil či jak je s ním spokojena, nemůžeme dobře říci. Někdy se však zdá, že s ním začíná ztrácet trpělivost, a víme, že její moc je tak značná, že až příliš snadno by ho mohla odkázat do minulosti, jako svá ostatní dřívější díla. Pozorujeme-li totiž člověka, zjišťujeme, že téměř vše je v něm paradoxní. Zajistí-li se někomu blahobyt k tomu, aby se mohl věnovat tvůrčí práci, tento člověk zleniví. Dosáhne-li dobyvatel vítězství, zpohodlní. Zbohatne-li štědrý člověk, stane se skrblíkem. Nezáleží na politických doktrínách, které chtějí přispět k rozvoji člověka, nevíme-li, jaký typ člověka se zrodí? Jediný slaboučký Bernard Bolzano má větší váhu než kdovíkolik úspěšných bezejmenných.

Je zajímavé sledovat myšlenkový vývoj lidstva a jeho měnící se názory na různé zajímavé problémy. Někteří hovoří o tom, že matematika a logika jsou jako past na myši. Lze to vyjá-dřit i jinak. Matematika a logika je oceán a toho, kdo se na něj jednou odváží, buď postihne mořská nemoc a s hrůzou pomyslí na jeho hloubku a šíři, nebo jednou provždy se zasnoubí s jeho nekonečnými vodami. Právě proto je matematika velkým dobrodružstvím myšlení. Matematika, odvozená z řeckých slov μαθηματικός (čti mathématikós), které znamená mi-lující poznání, a μάθημα (čti máthéma), které vyjadřuje vědu, příp. vědění, příp. poznání, je věda zabývající se z formálního hlediska kvantitou, strukturou, prostorem a změnou. Mezi jinými vědami se vyznačuje nejvyšší mírou abstrakce a přesnosti. Díky těmto vlastnostem je matematika často označována za „královnu věd“. V její historii se zrcadlí mnohé z nejhlubších myšlenek bezpočtu generací lidstva. Matematika byla ovlivněna zemědělstvím, obchodem i výrobou zboží, technikou a fi losofi í, podobně jako fyzikou a astronomií. Vliv hydrodynamiky na teorii funkcí, Kantova učení a zeměměřičství na geometrii, elektromagnetismu na teorii diferenciálních rovnic, karteziánství na mechaniku a scholastiky na infi nitezimální počet (jde o společné označení pro diferenciální a integrální počet) je nejen nepopiratelný, ale i určující. Kdo chce proniknout do matematiky hlouběji, musí putovat za velkými mistry a z jejich spisů poznat postup při bádání v matematice. Kdo se chce dostat až sem, potřebuje, aby měl určitý přehled, který získá v učebnicích a přehledech.

Každá doba nazírá na minulost svým způsobem a hledá v ní především odpověď na vlastní současné otázky. Vlastně lze říci, že nejen historia magistra vitae (tj. historie učitelka života), ale také vita magistra historiae (tj. život učitel historie).

Úvod Kapitola 1

7

Faktografi e může být sice zajímavá při popisu geologických vrstev ve středních Čechách či toku Orlice nebo takových rostlinných druhů, jež trvají nebo poklidně tečou, ale nepoví nic o tématu tak proměnlivém a neklidném, jako je matematika. Soupis dat nestačí a mezi mnoha řekami se může náhle vyskytnout jedna, která (třeba nepoměrně kratší) vykoná více svými vlivy, o něž tu především jde. A proto je nutné vracet se k pramenům, zkoumat složení vody a její specifi cké vlastnosti, proto je nutné odvážit se pod hladinu, která jako všechny hladiny obráží skutečnost, ale která – a proto je nutné sestoupit do hlubiny – obráží tuto skutečnost jinak, zajímavěji a barevněji a především tak, že tento odraz je daleko věrnější. Samozřejmě každá metafora je pomůckou, každé přirovnání má své meze a jednu nohu kratší. Přirovnávat se má věc méně známá k známější. Vycházeje ze slov Bertranda Russella, že historie světa je souhrn událostí, kterým bylo možno se vyhnout, uvedeme velice stručný nástin vývoje matematiky, ponoříme se do hlavního proudu (dlužno říci, že autoři těchto řádků nevědí o řekách skoro nic, jen občas sestoupí do jejich proudu, aby si zaplavali) a poněkud tendenčně pohlédneme pod hladinu. Abychom se vrátili k obrazu řeky, budeme hledat proudy rychlé a čisté vody, které podemílají oči modrookým holkám a které jsou plné obrazů. Budeme se vyhýbat těm částem toku, které poznaly zdánlivé dobrodiní regulace, protože regulace je nuda. Raději nás budou zajímat ty části toku, které rozkolísávají krajiny, lidi i hvězdnou oblohu.

Historie matematiky sahá až do pravěku, velký rozvoj prodělala v antickém Řecku, kdy vý-razných úspěchů dosáhla zejména geometrie. V předmluvě ke svému dílu o architektuře vypráví Vitruvius tuto příznačnou anekdotu: „Aristippus philosophus Socraticus, naufragio cum eiectus ad Rhodiensium litus animadvertisset geometrica schemata descripta, exclamavisse ad comites ita dicitur: Bene speremus, hominum enim vestigia video.“ Přeložme toto místo volně do češtiny, abychom patřičně vytkli jeho symbolický obsah. Aristippus, Sokratův žák nebo stoupenec, byl při ztroskotání lodi vyvržen na břeh ostrova Rhodos. Tam zpozoroval v písku nakreslené geometrické obrazce, a proto zvolal radostně ke svým druhům: „Buďme dobré naděje, protože vidím stopy lidí.“

Další etapou prudkého rozvoje matematiky byla renesance, v níž byly ustaveny základy ma-tematické analýzy. Vůbec posledním významným obdobím dějin matematiky byl přelom 19. a 20. století, kdy vznikla teorie množin a matematická logika.

Co tedy musí ekonom na vysoké profesionální úrovni znát, aby mohl obstát před skutečně obtížnými problémy? Matematiku? Určitě mnoho věcí z tohoto oboru. Mnohdy směřova-la výuka pouze k umění ovládat mechanické znalosti, aniž došlo k jakémukoli pochopení matematiky. Abychom viděli toto nebezpečí plastičtěji, představme si, že se seznamujeme s chemií tak, že se nejprve seznámíme s Bunsenovým hořákem, pak postupně v laboratoři objevíme řadu zajímavých přístrojů a začneme dělat pokusy. Zvládnout aparatury moderní chemie v laboratoři vyžaduje zručnost i otevřenou hlavu, prováděné pokusy jsou poutavé a často i vzrušující. Tak se vždy těšíme do laboratoře a odcházíme z ní někdy očouzeni, vždy však spokojeni. Z toho, co víme o chemii, je nám jasné, že naše seznamování s chemií se minulo cílem, protože celá laboratoř a pokusy v ní jsou jenom nástrojem ke zkoumání vlast-ností, složení, vnitřní stavby a přeměny látek. Tzn. cílem toho všeho je dojít k chemickým rovnicím, vzorcům atd. a k umění jich využívat. Jinak bychom měli k chemii vztah ztělesněný nezapomenutelným strýcem Františkem z Jirotkova Saturnina:

Byl to podivuhodný človíček. Vystřídal překvapující množství povolání z toho důvodu, že považoval za nedůstojné, aby někoho poslouchal. Teta tomu říkala vrozená hrdost…

Názor tety, že strýc byl vědeckým pracovníkem, také není možné vyvrátit. V určitém smyslu slova byl člověkem, který objevil celou řadu chemických pouček a pravidel nejrůznějšího druhu. Všechna tato pra-vidla už před ním objevili jiní, ale strýc o tom nic nevěděl, a nelze proto jeho zásluhy přehlížet.

Protože chemii vůbec nerozuměl, byly cesty jeho objevů posety trny a zkropeny potem, ale tím větší byla jeho radost ze získání zkušeností. Nebylo mu lze upřít sportovního ducha. Podobal se člověku, který po zvládnutí malé násobilky prohlásil svým učitelům: „Dál už mi nic neříkejte. Nechci nic slyšet o tom, že pan Pythagoras, Eudoxus, Euklides, Archimédes a tak dále, vymyslili to a to. Nepotřebuji týt z toho, co objevili jiní. Dejte mi papír, tužku a kružítko a nechte mne na pokoji. Však já na to přijdu sám.“

A strýček opravdu na leccos přišel. Tak například zjistil při pokusu, který měl vzrušující průběh, že lít vodu do kyseliny je blbost, a vůbec mu nevadilo, že tento poznatek, korektněji vyjádřený, mohl získat z učebnice chemie pro nižší třídy škol středních, aniž by si přitom popálil prsty a zánovní vestu.


8

Chemie mu byla panenskou pevninou, roztočeným větrným zámkem plným dveří, které se otvíraly ta-jemnými formulemi. Neznal názvosloví, ignoroval valenční koncovky a žasl, když mu ve zkumavkách a křivulích šuměly prudké chemické reakce.

Podoben středověkému alchymistovi pachtil se za přeludem, padal a zase se zvedal, jenže na konci jeho cesty nezářil kámen mudrců, nýbrž…

Chemických strýců Františků není mnoho, neboť není tak jednoduché opatřit si chemickou laboratoř. Matematickým a logickým strýcem Františkem se člověk stane snadněji, protože je čím dál tím jednodušší opatřit si vlastní tužku a papír nebo zkoumat různé matematické softwarové produkty, a tak předvádět své umění v neumění.

Zvíře nemůže obměňovat svou činnost. Nevnímá minulost ani budoucnost, žije v přítom-nosti, žije právě teď. Jeho instinktivní chování je geneticky naplánováno. Člověk žije v čase. S minulostí ho spojují vzpomínky, k budoucnosti zaměřuje své plány a touhy. Člověk má paměť, schopnost uchovat ve svém vědomí to, co prožil. Dokáže proměnit včerejší zážitky z lovu ve zkušenosti, které zdokonalí lov zítřejší. To je základní mechanismus vývoje lidstva, jehož podstata se nezměnila ani po tisíciletích. Paměť má také i svou negativní stránku. Uchovává nejen poučení, ale také bolest a utrpení. Z nich vytváří děsivé představy a strach, kterými se blokuje a demobilizuje činnost. Vydává člověka do rukou osudu jako žábu, která je hypnotizována hadem.

Uveďme básničku Praktika polského básníka Adama Mickiewicze v překladu českého novináře a publicisty Karla Havlíčka Borovského:

„Nač budu potřebovat,“ ptalo se pachole,

„třírohy1), čtverouhle2), kola3), parabole?“ –

„Že potřebné,“ dí mudřec, „musíš nyní věřit,

nač jsou potřebné, poznáš, až svět začneš měřit.“

Autor jedné z nejoriginálnějších fi losofi ckých koncepcí 20. století A. N. Whitehead napsal: „První člověk, který si všiml analogie mezi skupinou sedmi ryb a skupinou sedmi dní, udělal pozoruhodný krok v dějinách myšlení. Byl prvním člověkem, který uvažoval o pojmu patřícím do čisté matematiky.“ Rovněž nikdy nikdo nenakreslil kružnici či bod. Všechny geometrické pojmy jsou idealizovány, jsou absolutně dokonalé, proto nereálné. Matematika by bez abstrakce, idealizace a fantazie nikdy neexistovala. Domnívat se, že fantazii potřebuje pouze umělec, je hluboký omyl.

Patří k vlastnostem člověka, že vše podrobuje úvahám a vynakládá trvalé úsilí, aby všemu přišel na kloub. Bylo tomu tak zřejmě odjakživa. Není předmětu, který by ušel lidské pozornosti a zvídavosti. K určitým otázkám se však ještě připojuje citový přízvuk, a to hlavně k těm, jež se jakýmkoli způsobem vztahují k lidské cestě hlubinami věků.

První zřetelné a jasné přirovnání matematiky k jazyku vědy vyslovil, jak se zdá, Galileo Gali-lei: „Filosofi e světa je obsažena v grandiózní knize stále otevřené všem a každému – myslím tím knihu přírody. Porozumět jí však může jen ten, kdo se naučí jejímu jazyku a písmu, jímž je napsána. Napsána je jazykem matematiky a jejím písmem jsou matematické vzorce.“ Smysl tohoto Galileiho přirovnání je samozřejmě hlubší. Bez matematiky by mnohé technické i naučné objevy nebyly možné.

Galileův básnický příměr platí svým způsobem stále (i přes odstup čtyř století). Jeden z nej-větších fyziků 20. stol. Werner Heisenberg charakterizoval postavení matematiky v současné fyzice velmi podobně: „Původním, prvotním jazykem, který vzniká v procesu vědeckého osvojování faktů, je obvykle pro fyziku jazyk matematiky, zvláště pak matematické schéma, které fyzikům dovoluje předvídat výsledky budoucích experimentů.“

Pro vyjádření a sdělení myšlenek si lidstvo vytvořilo geniální prostředek – živou řeč a její pí-semnou podobu. Řeč se však mění. Přizpůsobuje se podmínkám života, obohacuje svou slovní

1) Tj. trojúhelníky.

2) Tj. čtyřúhelníky.

3) Tj. kružnice či kruhy.

Úvod Kapitola 1

9

zásobu, vytváří nové prostředky pro vyjádření nejjemnějších odstínů myšlenek. Ale zároveň se ukazuje i jako nedostatečná. V různých oblastech lidské činnosti tak vznikají vlastní jazyky, účelně přizpůsobené přesnému, výstižnému a krátkému vyjádření myšlenek, specifi ckých pro příslušný obor lidské činnosti. Při práci na zhotovení nového výrobku se už nespokojujeme se slovním popisem, ale pro zpřesnění rozměrů, tvaru a dalších detailů užíváme i výkresu – tedy informace sdělené jakýmsi jazykem konstrukčním. Takový jazyk nesmí připustit nejednotné čtení, musí názorně předat celý komplex informací nezbytných k úspěšnému vykonání práce. Zmíněná forma sdělení je samozřejmě nesrovnatelně vhodnější než obyčejný slovní popis, vždyť slovní vyjádření jen trochu složitější konstrukce by bylo natolik těžkopádné a neohra-bané, že by ztratilo přehlednost i pro samotného autora. Grafi cké zadání přečte kterýkoli specialista, i když třeba nebude rozumět jazyku slovního komentáře. Vždyť nejen současná matematika, ale také vznik a vývoj počítačů by nebyly myslitelné bez určité kultury myšlení. Tato kultura se vyvíjela a pěstovala dlouho před vznikem prvního počítače. Ve vědě je jasnost a přesnost formulací bytostně důležitá. Jazyk vědy nesmí obsahovat žádné nepřesnosti nebo dovolit dvojí výklad. Jinak by nemohla věda existovat jako systém poznatků, nemohla by být budována na jistotě přesných a jednoduchých tvrzení, předpokladů a úvah. Stejně tak je nutné předem rozmýšlet všechny možné závěry a neztratit ze zřetele ty, kterým se výzkum dosud nevěnoval. Vědecký výklad musí být krátký a věcný, naprosto konkrétní. Právě proto je nauka nucena si vypracovat vlastní jazyk, schopný maximálně respektovat tuto specifi ku. Poznamenejme, že matematické symboly nejen nenechávají prostor nepřesným vyjádřením nebo mlhavým výkladům, ale často dovolují i takové zjednodušení logických postupů a úvah, které vede mnohem rychleji a příměji k výsledku. Navíc spolehlivost matematických vět je především důsledkem metody, kterou se matematické věty dokazují.

Ukážeme to na jednoduchém příkladu – na úloze, která formálně vede k řešení soustavy lineárních rovnic. Pomocí algebraické symboliky se taková soustava řeší velmi snadno, není třeba žádných speciálních úvah. Ty jsou jednou provždy pro všechny takové soustavy rovnic hotové. Aplikace standardních pravidel tak dovoluje bez jakýchkoli principiálních obtíží dovést řešení každé takové úlohy do konce. A teď si představme, že k řešení nebudeme smět používat jazyk matematických symbolů. V takové situaci jsou např. ti, kdo umějí řešit algebraické úlohy pouze prostředky tzv. elementární matematiky. To samozřejmě vede ke značným a zcela zbytečným komplikacím. Každá úloha se v takovém případě stává zvlášt-ním problémem a je pro ni nutno vypracovat zvláštní systém rozhodování. I nejjednodušší výpočet si najednou vyžaduje značné intelektuální vypětí. Srovnáme-li potom, jak jednoduše umožňuje řešit složité aritmetické úkoly i ta nejprostší algebraická symbolika, vyvstane před námi přínos matematiky ve zcela novém světle – jako přínos nauce, ekonomii i nejrůznějším technickým a přírodovědným oborům.

Lze říci, že pro matematiku je charakteristická její systematičnost, ale také je velmi důležitá hospodárnost i obsažnost jejího vyjadřování. Navíc spolehlivost matematických vět je především důsledkem metody, kterou se matematické věty dokazují.

Matematická symbolika umožňuje zjednodušit zápis informací, zpřehlednit jej a vhodně při-způsobit dalšímu zpracování. V rozvoji takových formalizovaných zápisů se před nedávnem objevil nový směr – je spjat s výpočetní technikou a jejím využitím v nejrůznějších oblastech lidské činnosti. Se strojem je nutno „hovořit“, komunikovat, stroji je třeba předem určit způsoby rozhodování ve všech v úvahu přicházejících situacích tak, aby mohl určit v daných podmínkách nejsprávnější postup. Stroj běžné řeči nerozumí. Je třeba s ním „rozmlouvat“ jazykem jemu sro-zumitelným – tj. jazykem přesným, jednoznačným, neobsahujícím žádnou nedostatečnou nebo nadbytečnou informaci. Dnes se užívá celé řady jazykových systémů, jejichž prostřednictvím stroje sdělované informace přijímají, jednoznačně a spolehlivě s nimi pracují. To je také jedno z tajemství rychlosti počítačů, schopnosti snadno zvládnout i nejnáročnější numerické a logické operace. Za tisíciletí své existence prošla matematika velkou a složitou cestou, během níž se ne-jednou změnil její charakter, obsah a styl výkladu. Z primitivního obratného počítání s kamínky na počitadle a od jednoduchých záznamů na vrubovkách vyrostla matematika dnes v rozsáhlou vědní disciplínu s vlastním předmětem zkoumání a se specifi ckou metodikou. Vypracovala si vlastní jazyk, velmi přesný a ekonomický, neobyčejně efektivní nejen pro matematiku samu, ale i pro četné oblasti matematických aplikací. Uveďme ještě vyjádření ruského matematika Pafnutije Lvoviče Čebyševa: Matematika vznikla a rozvíjela se vlivem všeobecného základního úkolu veškeré lidské činnosti – používat existujících prostředků k dosažení největšího užitku.


10

1.2MnožinyMatematické objekty mají vesměs abstraktní charakter (ať již jde o čísla, zobrazení, funkce, operace, relace, plochy, struktury, příp. něco jiného) a základním požadavkem je tedy správně rozumět jazyku, jímž matematika o těchto objektech hovoří. Jazyk matematiky v sobě sdružuje prostředky potřebné pro zavádění a popis vlastností matematických objektů a je výsledkem dlouhodobého vývoje. Dnes je možné o jazyce matematiky říci, že jde o množinově logický jazyk matematiky. Jak tato věta napovídá, základním matematickým pojmem je množina. Jde o prvotní či primární pojem, tudíž jej nemůžeme defi novat. Může jej vymezit fi losofi e matematiky.

FILOSOFICKÁ DEFINICE

Množina

Souhrn objektů určitých vlastností, které chápeme jako celek, nazýváme množinou.

Uvedený popis pojmu množina není možné pokládat za její defi nici. Poznamenejme, že množinu také nelze defi novat v nějakém běžném smyslu v elementární logice. Dále si všim-něme, že v této fi losofi cké defi nici slovo souhrn nahrazuje slovo množina. Objekty množiny se nazývají prvky množiny. Charakterizující vlastnost množiny je, že je jednoznačně určena svými prvky (ale nevšímá si jejich pořadí ani žádné další struktury). Zakladatel teorie množin Georg Cantor se vyjádřil: Množina je souhrn objektů, které jsou přesně určené a rozlišitelné a tvoří součást světa našich představ a myšlenek; tyto objekty nazýváme prvky množiny.

V našich úvahách se omezíme na množiny, které obsahují různé typy čísel, příp. s nimi sou-visí. Postavíme se na pozici tzv. naivní teorie množin. I přes použité slůvko naivní, které má v případě matematické teorie trochu hanlivý nádech, je Cantorova teorie naprosto dostačující jako množinový základ pro většinu ostatních matematických disciplín a bylo v ní dosaženo mnoha vynikajících výsledků v oblasti zkoumání vlastností nekonečných množin, což byla ostatně hlavní Cantorova motivace pro její vytvoření. Problémy nastávají teprve ve chvíli, kdy se naivní teorie množin pokouší pracovat s „příliš velkými“ množinami. Pro nás bude stačit si uvědomovat, že ve vytváření množin jsou jisté meze.

Uveďme některá základní značení:

a) Množiny budeme označovat velkými písmeny latinské abecedy A, B, C, . . ., Z, případně s indexy. Pro některé množiny (speciálně číselné) vyhradíme speciální pís-mena.

b) Prvky množin budeme označovat malými písmeny latinské abecedy a, b, c, . . ., z, případně s indexy.

c) Připouštíme množinu, která neobsahuje žádné prvky, nazývá se prázdná množina a značí se symbolem4.

d) Symbolem a A označíme tvrzení: a je prvek množiny A.

e) Symbolem a A označíme tvrzení: a není prvek množiny A.

f) Jestliže A je konečná množina obsahující právě prvky a1, a2, . . ., an , potom tuto sku-tečnost zapisujeme A = {a1, a2, . . ., an}, tzn. množinu A zapíšeme výčtem prvků.

g) Jsou-li A a B množiny, potom množina A je rovna množině B (a označíme A = B) právě tehdy, jestliže množiny A a B mají stejné prvky. V opačném případě jde o různé množiny, tuto skutečnost budeme zapisovat A B.

Úvod Kapitola 1

11

Tvrzení A je neprázdná množina nebo zápis A 4, znamená, že množina A obsahuje alespoň jeden prvek.

Jsou-li a a b prvky, potom {a, b} = {b, a}, tj. nezáleží na pořadí zápisu prvků a a b v množině. Množina {a, b} je neuspořádaná dvojice prvků a a b . Např. pro přirozená čísla 1 a 3 určitě platí {1, 3} = {3, 1} = {1, 1, 3, 3}.


12

Shrnutí kapitoly

• V této kapitole jsme se věnovali historickým aspektům vzniku i rozvoje matematiky a logiky.

• Dále jsme se věnovali množinám, značení množin, jejich prvků a elementárním sym-bolům pro množiny a prvky množin.

Klíčová slova

matematika logika

množina prázdná množina

neprázdná množina konečná množina

prvek množiny rovnost množin

neuspořádaná dvojice prvků

2Logika

kapitola

Logika Kapitola 2

17

2. kapitolaLogika

Logika je plebejský způsob myšlení. Vznešení a mocní se bez ní obešli.

(Gabriel Laub)

Úvod

Logiku je obvyklé charakterizovat jako analýzu metod lidského myšlení nebo uvažování, což odpovídá i etymologii slova logika. Slovo logika je odvozeno z řeckého λογος (čti logos, což v řečtině znamená slovo či „smysluplná“ řeč, nebo také pojem) a má více významů – v češtině se běžně používá ve smyslu myšlenková cesta, která vedla k daným závěrům.

V této kapitole vymezíme naučnou disciplínu, která se nazývá logika. Budeme se věnovat základům matematické logiky, speciálně výrokovému a predikátovému počtu.

Edice učebních textů Logika a metematika pro ekonomyKapitola 2

18

2.1Logika jako nauka o správném myšleníLogika je formální věda, zkoumající právě onen způsob vyvozování závěrů. S logikou jsou potíže. Topíme se v problémech a tušíme, že mnohé z nich by byly řešitelné lepším uplatněním logiky. Kvalita myšlení určuje úspěšnost každého jednotlivce i společnosti. Vadné myšlení, ať je to nesprávný výběr argumentů nebo logické chyby, nás stojí obrovské prostředky a vede k frustraci. Logika není empirickou vědou o myšlení; studuje objektivní podmínky správnosti, jinak řečeno je to disciplína studující relaci „vyplývání“. Logika také nezkoumá úplně obecně poznání – to je předmětem fi losofi cké disciplíny epistemologie. Defi nice logiky – nauka o správ-ném myšlení – je asi správná, ale dělá nám potíže logiku popsat tak, aby byla srozumitelná. Často se slovo logika objevuje s různými přívlastky, hovoří se o matematické logice, formální logice, symbolické logice, ale také o intuicionistické logice, konstruktivní logice, modálních logikách, vícehodnotových logikách, pravděpodobnostní logice, deontické logice a mnoha dalších. Termín logika se často vyskytuje i v běžné řeči v rozmanitých slovních spojeních, jako to nemá žádnou logiku, neúprosná logika vývoje, ženská logika, logika věci vyžaduje, aby… apod.

Možná to bude tím, že při defi nici logiky používáme termín myšlení, aniž bychom si roz-mysleli, co myšlení je. Zkusme tedy začít tam. Začněme příkladem.

PŘÍKLAD 2.1

Mějme svah hory v horské krajině.

a) Kámen na svahu hory se vždy stejným způsobem skoulí do údolí (pokud není po-depřen tak, aby se to nestalo).

Řekneme, že kámen nemyslí.

b) Kamzík na tomtéž svahu se rozhlédne a vydá se tam, kde je nejméně překážek, kde hrozí nejmenší nebezpečí a kde je nejvíce trávy.

Řekneme, že kamzík myslí jednoduše.

c) Člověk, podle svých znalostí, je schopen se vydat kterýmkoli směrem tak, aby i za cenu velkých překážek dosáhl svého cíle. K tomu často používá pomůcky – například kompas, mapu, mobil, internet nebo GPS. Umí používat i formální postupy a spolu-pracovat s dalšími lidmi, aby z informací vyvodil co nejlepší plán svého putování.

Řekneme, že člověk myslí složitě.

Tento jednoduchý příklad nás vede k názoru, že myšlení je takový proces zpracování in-formace, aby bylo dosaženo nějakého cíle. Logika je tedy věda o správném vedení tohoto procesu.

Uvedli jsme, odkud termín logika pochází. Evangelista sv. Jan v prvním verši první kapitoly svého Evangelia praví, že na počátku bylo Slovo (tj. λογος), tedy jazyk, myšlení, uvažování, ale také řád věcí. Logik si v této souvislosti klade otázku, jak tento řád uchopit, co je pravda, co je z pravdivých tvrzení odvoditelné, také jak obtížné je důsledky odvodit. Logické odvozování se odehrává v jazyce. Každá vědní disciplína si vytváří svůj jazyk, má své pojmy, tedy svou logiku. Některé pojmy jsou transdisciplinární, tj. jsou společné všem vědním disciplínám, dokonce i každodennímu uvažování. Aristotelés nás naučil, že jedny výroky souvisejí s jiný-mi, jsou důsledky jiných, dokonce, že celé množiny výroků souvisejí s jinými množinami výroků. Jsou dva způsoby, jak se dozvědět něco o pravdivosti výroků a korektnosti tvrzení – rozum a evidence. Máme dát přednost evidenci, nebo rozumu? Logika straní rozumu, ale jen do určité míry. Zdá se, že logické důkazy jsou redukovány na posloupnosti evidencí. Petr

Logika Kapitola 2

19

Vopěnka v Rozpravách o geometrii uvádí: „Čím více zákonů logiky známe, tím více můžeme rozum vytlačit z přímého rozhodování o správnosti úvah, které jsme v myšlení vykonali. Stačí se podívat, zda se taková úvaha zákony logiky řídí. Správnost takové úvahy již jen evidujeme, a ověříme-li takto její správnost, není potřebné zkoumat ji rozumem.“ Pro člověka to však má opět své meze. Vždy jsme schopni jen nepatrného počtu evidencí. Např. iterované (tj. opakované) aplikace pravidel odvozování jsou ústupkem, který sice činíme ve prospěch rozumu (dlouhé důkazy určitě nejsou evidentní), ale vždy se ochotně vracíme k evidencím. V této souvislosti se naskýtá otázka, zda stejné meze má i stroj. Ať tak či onak, jako hledači důvodů a důsledků narážíme nejen na svá vlastní omezení, ale i na skutečnost, že svět se neustále mění. Logika, odkázaná nám Aristotelem a v tomto a minulém století rozvíjená v prostředí matematiky a zahleděná do základů matematiky, vyzdvihnuvší statickou stránku vztahu odvoditelnosti, se v současné době snaží postihnout i dynamiku usuzování, tj. nalézt racionální prostředky charakterizující změny epistémických vztahů.

Zkoumáme-li nějakou strukturu, postupujeme často tak, že formulujeme tvrzení o této struk-tuře, která jsou evidentní a která tuto strukturu pokud možno co nejlépe vystihují. Potom se na základě jistých pravidel usuzování snažíme odvodit další netriviální tvrzení o zkoumané struktuře. Vytváříme kalkul.5) Tato struktura může také být „modelem“ nějaké reálné struktury. Formální kalkul používáme vždy, když chceme „vypočítat“ to, co není ve struktuře evidentní. Mezi klasické, nejlépe prozkoumané a stále nejdůležitější kalkuly v logice patří výrokový počet (odstavec 2.3) a predikátový počet (odstavec 2.4).

Logika se vyvinula v samostatnou disciplínu velice dávno, dokonce dříve než aritmetika a geo-metrie. Jako mnoho dalších věd vznikla logika coby součást fi losofi e a částečně takové zařazení stále platí. Logika byla spojována s matematickým náhledem už od dob, kdy sama matematika (hlavně geometrie) začala být chápána jako samostatná vědecká disciplína. Thales Milétský byl už v 6. století před naším letopočtem nejen skvělým geometrem, ale uvědomoval si, že dobré poznatky je třeba zdůvodňovat. Ne každý důvod je dobrý. Logicky uvažovat znamená mj. hledat argumenty.

Aristoteles je všeobecně považován za zakladatele logiky a bez nadsázky můžeme říci, že logiky matematické. Aristoteles přinesl logice pojem sylogismus a podrobně jej prozkoumal. Příčinou vzniku logiky byla potřeba čelit hlubokému morálnímu rozkladu, který Řeckem šířili sofi sté – „učitelé moudrosti“. Učili, jak vychytralostí porazit v diskusi protivníka, i když je pravda na jeho straně. Moudrost a vzdělání dávali do služeb prospěchářství. Uveďme tři ukázky jejich umění:

a) Sokrates je člověk, Korikós je jiný než Sokrates; tedy Korikós je cosi jiného než člověk.

b) Sokrates je bílý, bílá je barva; tedy Sokrates je barva.

c) 5 = 2 + 3, číslo 2 je sudé, číslo 3 liché; tedy 5 je číslo sudo-liché.

Sofi stika urychlila devalvaci tradičních morálních hodnot řecké společnosti.

Na obranu těchto hodnot dává Aristoteles zbraň vědce, tou je poznání. Odhaluje, že sofi sté „pěstují moudrost pro zdání, nikoli pro skutečnou moudrost“. Hlubokou analýzou nalézá zákony správného usuzování a argumentace. Jim je věnována řada Aristotelových spisů, tradičně od středověku latinsky označovaných jako Organon čili nástroj, rozumí se právě myšlení. Jednotlivá tvrzení spojujeme v soudy, z předpokladů (premis) vyvozujeme závěry. Organon znamená začátek nové vědecké disciplíny – logiky. Základní formou soudu je sylogismus: ze dvou tvrzení se společným členem plyne třetí. Obě výchozí tvrzení mohou být buď obecná (každý, všichni), nebo jednotlivá (je, existuje), a kromě toho mohou být také záporná (žádný a jen některý); podle toho pak některé závěry platí a jiné ne. Formalizováním aristotelské logi-ky vznikla predikátová logika včetně kvantifi kátorů. Aristotelova „analytika“ či logika jakožto nauka o pravidlech myšlení a řeči také z jazyka a z jeho forem vychází: podstata, případek (akcidens), atribut a podobně jsou zároveň kategorie myšlení i jazyka. Sylogistika se pak stala hlavním tématem logických zkoumání až do konce středověku. Dnešní logika je formalizována, axiomatizována. Aristotelova logika je „lidská“. Je velmi úzce spjata s psychikou člověka, jeho představami, způsoby myšlení a především s komunikací. Zastavme se u těch Aristotelových myšlenek, které hluboko pronikly do struktury Eukleidových Základů.

5) Česky slovu kalkul odpovídá slovo počet.


20

Základním stavebním kamenem myšlení a komunikace je pojem. Pojem postihuje podstatu věci, ale nesplývá s ní. Vědomí člověka si vytváří pojmy činností, kterou nazýváme abstrakce. Začíná od smyslových zkušeností a tam, kde některý smyslový orgán chybí, tam chybí i jistá znalost. Zde se Aristoteles liší od Platona. Lidé se domlouvají pomocí pojmů. Mnohdy ten, kdo se ptá, a ten, kdo odpovídá, nemají na mysli totéž. Proto je třeba věnovat velkou péči přesnému vymezení pojmů, tj. defi nicím. Je třeba dbát, abychom

a) používali pouze slova známá a dobře vymezená,

b) začínali zařazením vymezovaného pojmu do nejbližšího rodu,

c) nevynechali žádnou z podstatných podmínek,

d) neuváděli žádnou z nepodstatných či dokonce rušivých podmínek.

K tomu doplňuje Aristoteles ilustrační příklady, např.: vymezení „člověk je to, co umí počítat“ nebo „těleso je to, co má tři rozměry“ nesplňují požadavek b). Vymezení „gramatika je umění napsat, co bylo řečeno“ nesplňuje požadavek c), protože neuvádí, že je to i umění přečíst to, co bylo napsáno. Vymezení „lékařství je učení o způsobování zdraví a nemocí“ nesplňuje požadavek d), protože cílem lékařství koneckonců nemůže být způsobování nemocí. Pozna-menejme ještě, že tato vymezení neuvádějí nic o existenci pojmů, které jsou vymezovány. Hovoří pouze „co a jak je a ne že je“. Eukleidés při vytváření základních pilířů geometrie nás naučil axiomatické metodě, která sehrála významnou úlohu o dva tisíce let později při hledání axiomů teorie množin, která se stala důležitým prizmatem, kterým nahlížíme moderní matematiku.

Dalším obdobím, jehož počátek je obvykle přesně datován rokem 1662, kdy Nicole Arnauld vydal dílo La logic ou l’art de penser (Logika, aneb umění myslet) a které se někdy nazývá Logika z Port-Royal. V této době převládají otázky epistemologické a psychologické, které omezovaly jak logický výzkum v užším smyslu, tak i vyjasnění základních pojmů. Lze vytušit, že to bylo pro rozvoj logiky období nejméně plodné, v některých aspektech občas dokonce zavádějící. Vliv tohoto období se silně projevil ve fi losofi ckých systémech (Kant, Hegel).

Počátek období vývoje moderní logiky (symbolické, matematické) je spjat se jménem G. W. Leibnize (1646–1716), právě on formuloval koncepci nové logiky ve formě následují-cích požadavků:

a) vytvoření univerzálního znakového systému, který by obsahoval základní znaky cha-rakterizující základní pojmy a jejich kombinace vymezující všechny ostatní pojmy,

b) vytvoření logického kalkulu (kalkul – systém znaků a pravidel pro operace se zna-ky), který má umožnit kalkulovou formulaci všech výrazů vyjádřených prostředky výchozího znakového systému,

c) zavedení rozhodovací procedury, která má umožnit rozhodnutí o pravdivosti či nepravdivosti daného výroku.

Leibniz stanovil zásadu sporu a zásadu dostatečného důvodu, výslovně formuloval zásadu totožnosti, kterou implicitně znal již Aristoteles.

Na straně druhé teprve „nedávno“ – po dlouhém období stagnace – se znovu začal tento obor rozvíjet. Mohutný impuls dostala logika v 19. století rozvojem algebraických metod v logice. Tedy opět návrat k matematickému zázemí logiky, který je spojen se jmény George Boolea, Johna Venna a dalších, dává podnět ke vzniku toho, co dnes nazýváme klasickým výroko-vým počtem. Třetí (pro logiku velmi významné období) je zrod predikátového počtu. Jeho základem je dílo člověka, který se narodil před sto šedesáti lety, tj. v roce 1848, kdy v Praze zemřel jiný velikán, který významně ovlivnil náš pohled na logiku a matematiku – Bernard Bolzano. Jde o Gottloba Fregeho, kterému vděčíme za predikátový počet, který se stal jed-ním z nejvýznamnějších nástrojů studia racionální argumentace. Je to náš hlavní nástroj pro formulování teorií i pro analýzu jejich logické struktury.

Dvacáté století přineslo nebývalý rozvoj logiky, zejména při zkoumání základů matematiky. Byly to paradoxy (Russelův, Bourali-Fortiho a dalších), které se objevily na přelomu deva-tenáctého a dvacátého století při budování teorie množin, jejíž intuitivní základy položili

Logika Kapitola 2

21

Bernard Bolzano a Georg Cantor. Bertrand Russel obohatil logiku o teorii typů, David Hilbert vytvořil program formalizace, jímž chtěl zabezpečit v té době paradoxy poněkud zpochybněné základy matematiky samotné. Brněnský rodák Kurt Gödel ve třicátých letech dvacátého století zřetelně ukázal na vnitřní meze programu formalizace. Druhá polovina dvacátého století je ve znamení digitalizace, což pro logiku mj. znamená obrat k algoritmizaci, k vyčíslitelnosti a posléze k otázkám složitosti výpočtových procesů. Allan Turing podal rigorózní (tj. formální) charakteristiku výpočtového zařízení, které je dnes po něm nazváno Turingův stroj, a položil otázku možnosti umělé inteligence.

Vývoj logiky byl v posledních dvou miléniích nejen bohatý, ale často i dramatický.

Dnes se logika skládá ze tří hlavních součástí: formální (či matematické nebo symbolické) logiky, která je obecnou teorií objektů (a rovněž ontologií), obecné metodologie věd a sémi-otiky, tj. logické teorie řeči. Velmi často se setkáte s pověrou, že existují jiné, údajně hlubší logiky – logika pocitů, transcendentální logika, dialektická logika či logika zjevení – je-li zje-vení dáno lidem od boha a má-li božský obsah, musí být zprostředkován v jim srozumitelné podobě, a tedy v lidském jazyce. Ale lidský jazyk se řídí zákony logické sémiotiky a formální logiky. Jazyk porušující tyto zákony není lidskou řečí, ale nesrozumitelným blábolením. Nikdy nejsme osvobozeni od logiky (ani v případě vícehodnotové logiky). Jednou z velkých pověr je názor, který formuloval Pascal slovy: Srdce má své důvody, jež rozum nezná; tedy snaha zbavit se okovů logiky. Tudy cesta nevede.

2.2Matematická logikaLogika se výrazně rozvinula i v matematice, a tak je také řazena i do matematiky, a zpravidla se nazývá matematická logika.

Termín matematická logika je možno chápat ve dvou různých smyslech:

a) jde o takovou část logiky, která používá matematické prostředky a metody,6)

b) jde o logiku, která se používá v matematice (tzn. matematika a její jazyk je nejen nástrojem, ale i předmětem teoretických úvah).7)

Obě pojetí matematické logiky se od sebe trochu liší, ale pro naše účely je potřebné pouze první pojetí. Budeme se samozřejmě zabývat spíše těmi aspekty logiky, které nejsou tak striktně svázány s matematikou samotnou a které mají obecnější metodologický dosah. Brzy ale bude zřejmé, že je velmi obtížné rozlišit, co je primární, zda matematika či logika. To je dáno tím, že z historického pohledu to byla právě matematika, která přinášela a stále přináší podněty pro rozvoj logických zkoumání, a také tím, že snaha vybudovat pro matematiku pevné základy si vyžádala precizovat logické pojmy. Z tohoto pohledu se nám může zdát vztah matematiky a logiky jako uzavřený kruh, v každém případě značné metodologické hodnoty.

6) Někdy se v tomto případě hovoří také o symbolické nebo formální logice.

7) V takovém případě spíše než o matematické logice hovoříme o metamatematice, tj. o disciplíně, která se věnuje jazyku matematiky.


22

Jestliže začínáme hovořit o formálních vlastnostech myšlení nebo v užším smyslu usuzování, je třeba hned na počátku říci, že označení matematická logika neznamená, že jde o nějaké po-stupy, které jsou jen pro zasvěcené. Logika není formální proto, že pracuje se symboly, které by měly nějaký tajemný význam, je formální proto, že ji nezajímá obsah našich sdělení, ale že na základě formy úsudků odvozujeme jejich korektnost. Formální zkoumání jakéhokoli skuteč-ného objektu a jeho vztahu k jiným objektům spočívá v odpovídající abstraktní a idealizované charakterizaci tohoto objektu a vztahů k jiným objektům či strukturám. Můžeme tedy říci, že v logice místo samotného procesu myšlení zkoumáme jazyk nebo formalizovanou a zjedno-dušenou verzi každodenního jazyka nebo posloupnost výpovědí o vnějším světě. Předmětem zkoumání není vztah vnějšího světa a naší případné informace.

Logika (a také matematická logika) se musí budovat velice opatrně, abychom nedospěli ke sporům, které se také označují jako paradoxy8) nebo antinomie. Nejznámější je paradox lháře, nazývaný také paradox Kréťana či Epimenidův paradox. Jde o jeden z nejstarších známých logických paradoxů. Patří mezi tzv. autoreferenční paradoxy, tj. paradoxy vycházející z vlast-nosti jazyka umožňující hovořit jím o jazyce – tedy o sobě samém. Byl vysloven krétským fi losofem Epimenidem z Knósu někdy okolo roku 600 př. n. l.

Paradox lháře bývá uváděn v mnoha různých formulacích, ačkoli jeho podstata je ve všech zněních stejná.

Původní znění paradoxu vyslovené Epimenidem je následující: „Všichni Kréťané jsou lháři.“ Podstatné je, že autorem tohoto výroku je Epimenidés, který je sám Kréťan. Způsob, kterým z tohoto faktu vyplývá logický spor, je shodný pro všechny formulace.

Formulace paradoxu Kréťana se od formulace Epimenidova paradoxu liší jen nepodstatně, a to tím, že autorem výroku nemusí být sám Epimenidés, ale kdokoli jiný. Paradox Kréťana zní následovně: „Epimenidés říká: ‚Všichni Kréťané jsou lháři.‘ Epimenidés je Kréťan.“

Paradox lháře je zřejmě nejmodernější reformulací popisovaného paradoxu. Zní takto: „Teď lžu.“ či „Tato věta je nepravdivá.“

Podstata paradoxu – v původní Epimenidově formulaci i ve formulaci paradoxu Kréťana si je nutné nejprve uvědomit, že sousloví „být lhářem“ se zde používá ve smyslu „lhát vždy“. Pak lze již postupovat k odvození sporu stejným způsobem jako u formulace paradoxu lháře, kterou jedinou zde rozebereme. Ze dvou uvedených variant paradoxu lháře opět rozebereme jen jednu, druhá je zcela obdobná.

Mějme tedy větu: „Tato věta je nepravdivá.“ Jistě je tato věta buďto pravdivá, nebo nepravdivá (protože je to nějaké smysluplné tvrzení). Pokud je tato věta pravdivá, znamená to, že je pravda to, co tvrdí, tedy je pravda, že tato věta je nepravdivá, tedy tato věta je nepravdivá. To je ovšem spor s předpokladem, že je tato věta pravdivá. Tedy jistě je tato věta nepravdivá. Pak to ale znamená, že není pravda to, co tvrdí, tedy není pravda, že tato věta je nepravdivá, tedy tato věta je pravdivá, což je opět spor s předpokladem. Tedy v obou možných případech („věta je pravdivá“ i „věta je nepravdivá“), z nichž alespoň jeden vždy nastává, jsme došli ke sporu.

Řešení paradoxu – v současné době se paradox lháře řeší tak, že se (obecný) jazyk rozčlení do několika úrovní (jazyk, metajazyk, metametajazyk…) a stanoví se, že na každé z těchto úrovní lze hovořit jen o úrovních (ostře) nižších. Pak věta „Tato věta je nepravdivá.“ je větou nějaké úrovně jazyka, která hovoří sama o sobě, tedy o své vlastní úrovni, což bylo zakázáno. Proto věta „Tato věta je nepravdivá.“ není smysluplným tvrzením a ptát se na to, jestli je pravdivá či ne, tedy nemá vůbec smysl.

Uveďme ještě jednu antinomii. Jde o paradox holiče. V malém městě je jediný holič, který holí právě ty muže ve městě, kteří se neholí sami. Takové město ovšem nemůže existovat, neboť zde opět dochází ke sporu: Holí holič sám sebe? Sám sebe má holit právě tehdy, když sám sebe holit nebude.

Základem každé teorie je systém vět, které přijímáme předem jako pravdivé a které nazýváme axiomy (nebo postuláty). V matematice další tvrzení vyplývají jedno z druhého a z axiomů v určitém pořadí podle jistých principů a jsou zpravidla provázeny úvahami, které mají za-

8) Paradox je jazykový výraz překvapivého významu nebo úsudek s neočekávaným mnohdy protiintuitivním závěrem. Z řeckého para (zvrácený), doxa (myšlenka). Ve starověké fi losofi i nazývaný též antinomie nebo aporie.

Logika Kapitola 2

23

jistit jejich platnost. O úvahách tohoto druhu hovoříme jako o důkazech, a tvrzení, jejichž platnost zajišťují, nazýváme věty (nebo teorémy9) ). Mezi termíny a symboly vyskytujícími se ve větách a důkazech rozlišujeme konstanty a proměnné. V aritmetice se např. setkáváme s konstantami typu „číslo“, „nula“ („0“),} „jednička“ („1“), „součet“ („+“) a mnoha jinými. Kaž-dý z těchto termínů má přesně vymezený význam, který v průběhu úvah zůstává neměnný. Jako proměnné používáme zpravidla jednotlivá písmena, např. v aritmetice malá písmena a, b, c, . . ., x, y, z. Na rozdíl od konstant nemají proměnné samy o sobě nějaký význam. Na otázku „má jednička takovou a takovou vlastnost?“ (např. „je jednička celé číslo?“) lze odpovědět kladně nebo záporně; odpověď může být pravdivá či nepravdivá, ale v každém případě bude mít smysl. Ale na otázku týkající se x, např. na otázku „je x celé číslo?“, nelze dát odpověď, která by měla smysl.

Na straně druhé existují termíny daleko obecnějšího charakteru, které se vyskytují ve většině aritmetických tvrzení, termíny, s nimiž se setkáváme jak v úvahách běžného života, tak i ve všech možných odborných disciplínách, které představují nezbytný prostředek sdělování lid-ských myšlenek a usuzování v jakékoli oblasti; sem náleží slova „a“, „ne“, „nebo“, „je“, „kaž-dý“, „některý“ a mnoho jiných. Úkolem logiky je stanovit přesný význam takových termínů a formulovat nejobecnější zákony, jimiž se tyto termíny řídí. Jde vlastně o nauku o jazyku zabývající se jak jeho strukturou (syntax), tak i jeho významovou stránkou a vztahem jazyka k realitě (sémantika).

2.3Výrokový počet 10)

Výrok je elementární pojem matematické logiky a výrokového počtu zvláště, tudíž jej můžeme vymezit pouze fi losofi ckou defi nicí

FILOSOFICKÁ DEFINICE

Výrok

Tvrzení, pro které má smysl otázka o jeho pravdivosti či nepravdi-vosti, nazýváme výrokem.

Pravdivostní hodnotu výroku ale nemusíme znát. Jde o jednoduché a základní stavební kameny výrokového počtu. Z hlediska gramatického výrok musí být oznamovací věta.

Výroky zachycují existenci objektů, zachycují stavy a popisují děje. Výrokový počet se zabývá těmi formami usuzování, u nichž platnost závěrů nezávisí ani na smyslu, ani na vnitřní struk-tuře výroku, ale výhradně na pravdivosti nebo nepravdivosti výroků. Z hlediska gramatického výrok představuje oznamovací větu. Není to s nimi jednoduché. Uveďme některé příklady jak z reálného světa, tak i z matematiky.

9) Také je nazýváme poučky.

10) Místo termínu výrokový počet se používají ekvivalentní termíny výrokový kalkul nebo výroková logika.


24

PŘÍKLAD 2.2

a) Tvrzení „50 metrů na jih stojí skála“ je výrok.

b) Tvrzení „Jehličí píchá“ není výrok, protože např. smrkové ano, modřínové ne, tudíž nelze odpovědět, zda je tvrzení pravdivé nebo nepravdivé.

c) Věta „Gen je biologická struktura“ je výrok (pravdivý).

d) Věta „Gen není biologická struktura“ je výrok (nepravdivý).

e) Tvrzení „Skála na jihu je 20 metrů vysoká“ je určitě výrok.

f) Věta „Led taje při 0° C“ je výrok.

g) Tvrzení „8 je číslo sudé“ je výrok (pravdivý).

h) Věta „2 je číslo liché“ je výrok (nepravdivý).

i) Věta „x je číslo liché“ není výrok, protože nevíme, co znamená x.

j) Tvrzení „Zlato je chemický prvek“ je výrok (pravdivý).

k) Tvrzení „Zlato je fi alové“ je výrok (nepravdivý).

l) Věty „Na Marsu je život“ a „Ve vesmíru je život“ jsou výroky, i když jejich pravdivost nebo nepravdivost nejsme schopni posoudit s jistotou, ale můžeme konstatovat fakt, že naše míra přesvědčení u prvního tvrzení klesá, zatímco u druhého tvrzení roste díky kosmickým výzkumům.

m) Tvrzení „Bezbarvé zelené myšlenky zuřivě spí“ není výrok. Jde sice o gramaticky správnou větu, která je „nesmyslná“.

n) Věta „Život je když“ není dobře sestavená, její skladba neodpovídá pravidlům skladby českého jazyka, nemá tudíž smysl se jakkoli vyjadřovat o její pravdivosti či neprav-divosti, tedy nejde o výrok. Někdy uvádíme, že tato věta odporuje syntaxi českého jazyka.

o) Věta „Život je ostroúhlý“ je sice gramaticky správná, avšak zjevně nesmyslná vzhledem k vadnému použití predikátu ostroúhlý, nemá tudíž smysl uvažovat o její pravdivosti či nepravdivosti, tedy nejde o výrok. Někdy uvádíme, že tato věta odporuje sémantice českého jazyka.11) Někdy se latinsky označuje contradictio in adjecto.12)

p) Tvrzení „Bude zítra pršet?“ není výrok, protože jde o tázací větu, u které nemá smysl klást otázku o její pravdivosti nebo nepravdivosti.

q) U tvrzení „Zelená barva je nejkrásnější“ zase neurčíme, jestli je pravdivé nebo neprav-divé, tudíž nejde o výrok. Takové tvrzení se pak nazývá hypotéza (domněnka).

r) U tvrzení „Zítra bude námořní bitva“ pro změnu rozhodne o jeho pravdivosti až čas, který je v něm uveden, proto je můžeme považovat za výrok.

s) Věta „Existuje nekonečně mnoho prvočísel“ je zcela jistě pravdivý výrok.

Mezi termíny logické povahy existuje malá vybraná skupina slov jako „ne…“, „… a…“, „… nebo…“, „jestliže…, potom…“, „… právě tehdy, jestliže…“. Všechna tato slova jsou nám velmi dobře známa z běžného jazyka a jsou prostředkem vytváření složených výroků z jednodušších výroků. V gramatice jsou (s výjimkou slova „ne“) řazena k tzv. větným spojkám. Již jen z tohoto důvodu není přítomnost těchto slov specifi ckou vlastností nějaké zvláštní vědy.

11) Je nutné uvést, že v běžné komunikaci používáme často jen neúplné části vět přirozeného jazyka, rozhovor jen zřídka probíhá v celých větách, přitom si většinou rozumíme, ale to je jiná otázka. Zde budeme uvažovat o jazykových výrazech, které je možno považovat za věty jazyka.

12) Česky rozpor v přívlastku, jde o sémanticky vadné spojení, například: bezbarvá duha, kulatý čtverec, zdravý nemocný apod.

Logika Kapitola 2

25

PŘÍKLAD 2.3

Souvětí „Gen je biologická struktura nebo na Marsu je život“ jsme vytvořili z výroků v předchá-zejícím příkladu užitím spojky nebo. V tomto jednoduchém případu je zřejmé, že vzhledem k tomu, že první výrok pravdivý, je i výsledný složený výrok pravdivý. To je vlastnost spojky nebo (je samozřejmě jedno, je-li pravdivý první nebo druhý výrok).

Stanovit význam a způsob používání těchto slov je úkolem základní části matematické logiky, která se nazývá výrokový počet.

V dalším budeme výroky označovat zpravidla malými písmeny řecké abecedy , , , …

Z jednotlivých výroků budeme vytvářet složitější výroky, které lze nazvat logická souvětí, užitím logických operací pomocí logických spojek (mnohdy ztotožňujeme logické operace s logickými spojkami). Probereme nejdůležitější spojky výrokové logiky.

Předpokládejme, že a jsou výroky. Uvedeme pět logických operací (negaci, disjunkci, konjunkci, implikaci a ekvivalenci) reprezentovaných logickými spojkami , , , a .V tabulce 2.1 uvádíme jednotlivé logické spojky, jejich užití v logických operacích při vytváření logických souvětí a také čtení spojek. Upozorňujeme, že pro vybudování výrokového počtu bychom vystačili se dvěma spojkami, zbývající spojky bychom mohli odvodit. Takové vyjádření je sice přehlednější, ale je méně srozumitelné.

Negace je jednomístná spojka, spojky konjunkce, disjunkce, implikace a ekvivalence jsou dvoumístné.

TABULKA 2.1

logická spojka zapíšeme čteme česky

negace non není pravda, že

konjunkce et a (současně)

disjunkce vel nebo13)

implikace implikuje jestliže , potom ,

je postačující podmínka pro ,je nutná podmínka pro

ekvivalence je ekvivalentní právě tehdy, jestliže

DEFINICE

Formule výrokového počtu a) Každý výrok je formule výrokového počtu.

b) Jsou-li a formule výrokového počtu, potom ,,,, jsou rovněž formule výrokového počtu.

c) Všechny formule výrokového počtu vznikají konečným počtem aplikací pravidel a) a b).

13) Spojku nebo v českém jazyce je možno chápat jako spojku vylučovací (složený výrok je pravdivý, je-li pravdivý alespoň jeden z obou výroků) i nevylučovací (složený výrok je pravdivý, je-li pravdivý právě jeden z obou základních výroků), v latině spojka vel vyjadřuje nebo v nevylučovacím smyslu, proto v matematické logice (a tudíž i v matematice) ji budeme vždy chápat v nevylučovacím smyslu. Latina pro spojku nebo ve vylučovacím smyslu výraz aut … aut …, česky obvykle spojku nebo ve vylučovacím smyslu vyjadřujeme buď…, nebo….


26

Formule otevírají obrovský prostor kombinací symbolů. Abychom se v něm vyznali, je třeba si ujasnit jeho nejjednodušší části:

a) jak vypadají formule obsahující pouze jeden výrok,

b) jak vypadají formule obsahující pouze dva výroky.

Pravdivé a nepravdivé výroky mají hezký vztah, realizovaný spojkou negace:

a) Z každého pravdivého výroku umíme udělat nepravdivý – např. k výroku „stříbro je žluté“ mechanicky odvodíme nepravdu „není pravda, že stříbro je žluté“, což lze ekvi-valentně vyjádřit „stříbro není žluté“.

b) Z každého nepravdivého výroku umíme udělat pravdivý – např. k výroku „zlato je fi alové“ mechanicky odvodíme pravdu „není pravda, že zlato je fi alové“, což lze ekvi-valentně vyjádřit „zlato není fi alové“.

Z daných faktů vyvozujeme důsledky tak dlouho, dokud to dokážeme nebo dokud nedojdeme k něčemu, co nám připadá tak dobré, že to chceme zrealizovat. Vyvozování důsledků prová-díme úsudkem (o něm podrobněji níže), většinou s použitím pravidel nazývaných implikace. Každá implikace má formu dvojice „příčinadůsledek“. Příklady implikací:

a) Když zapálíme papír, zůstane černý popel.

b) Když v lese potkáme srnku, uteče.

Jednoduchými úsudky můžeme budovat rozsáhlé usuzovací řetězce, různě propojené dalšími logickými funkcemi. Tím získáváme obrazy reálných dějů – drahocennosti našeho pokladu znalostí.

Tak, jak čas plyne, poznáváme objekty a výroky o nich. Pozorujeme dění kolem a sbíráme implikace. Protože tyto znalosti používáme při myšlení, schraňujeme je po celý život a bu-dujeme si z nich svůj vnitřní svět.

a) Zvláštní pozornost přitom věnujeme lidským tvářím a jednání s lidmi, abychom byli schopni s každým a za každé situace jednat tím nejlepším způsobem. Svoje znalosti o lidech a správném chování si hojně doplňujeme čtením novin a sledováním tele-vize.

b) Při pozorování světa používáme princip „podobné věci mívají podobné vlastnosti i účin-ky“ – jde o princip abstrakce. Takto budujeme objektové hierarchie. Přitom pečlivě sledujeme odchylky od tohoto pravidla. Svůj systém znalostí zdokonalujeme studiem knih a internetu.

c) Důležitou roli hraje naše vzdělávání ve škole.

d) K logice se vztahuje spousta, možná všechny anekdoty – i jejich české pojmenování vtip napovídá, že jde o chytré myšlenky.

e) Se správným myšlením se pojí citáty a úsloví – ty většinou podávají všeobecná vodítka správného a chytrého jednání.

Většina chyb v myšlení jsou chyby úsudku:

a) Nesplněný předpoklad.

b) Neplatné pravidlo.

K tomu stačí přimíchat špatně vytvořené negace a neuvěřitelný propletenec je hotov.

V praxi se často musíme rozhodovat i přesto, že nemáme dostatek informace pro splnění podmínek úsudku – např.:

a) Rybář jde na ryby, i když neví, jestli některou chytí.

b) Zemědělec zaseje přesto, že nezná dopředu ani průběh počasí, ani aktivitu škůdců, ani vývoj cen.

c) Soudce musí rozhodovat přesto, že nemá všechny informace pro jednoznačný úsudek.

Logika Kapitola 2

27

Neúmyslné chyby jsou námětem diskuse, úmyslné chyby jsou základem taktiky politiků a právníků. Pak se jim říká překrucování faktů, dezinterpretace, zavádějící argumentace atd.

Nejde o to, jak jednotlivé spojky čteme či jaký mají význam v běžném jazyce, ale o to, jaký význam jim dáme v našem zkoumání běžného jazyka i jazyka matematiky (i když se budeme snažit neodchylovat se od přirozeného významu spojek v češtině). Každé formuli výrokového počtu přiřadíme hodnotu 0, půjde-li o formuli nepravdivou, a hodnotu 1, půjde-li o for-muli pravdivou.14) Podle ohodnocení formulí defi nujeme, zda souvětí je pravdivé či nepravdivé. Tak bude defi nováno pravdivostní ohodnocení pro jakoukoli formuli výrokového počtu. V tabulce 2.2 je uveden význam logické spojky negace a v ta-bulce 2.3 význam zbývajících logických spojek v logických operacích v závislosti na pravdivosti (a nepravdivosti) vstupních formulí a .

TABULKA 2.2

0 1

1 0

TABULKA 2.3

0 0 0 0 1 1

0 1 0 1 1 0

1 0 0 1 0 0

1 1 1 1 1 1

Pohledem do tabulky se nám spojka implikace jeví dosti nenápadně, přesto právě ona je základem logiky myšlení. Výrok nazýváme předpoklad15) a výrok závěr16) implikace . Pro implikaci platí:

a) implikace poskytuje jistotu – platí-li , vždy platí (proto je postačující podmínka pro a je nutná podmínka pro ),

b) tedy neplatí-li , nemůže platit ,

c) implikace je nepravdivá, jestliže předpoklad implikace je pravdivý a závěr impli-kace je nepravdivý, ve všech ostatních případech je pravdivá, mj. to ukazuje, že implikace je jediná z dvoumístných spojek, u které záleží na pořadí výroků a, tj. implikace vyjadřuje obecně něco jiného než implikace ,

d) implikace neklade žádné další požadavky, neplatí-li , může platit i neplatit (im-plikace je vždy pravdivá, když je nepravdivé), tzn. nepravdivý výrok implikuje libovolný výrok, je to jeden z paradoxů implikace,

e) implikace je pravdivá, je-li pravdivé a jakékoli, tzn. pravdivý výrok je implikován libovolným výrokem, jde o druhý z paradoxů implikace.

14) To, že jsme k označení pravdivostních hodnot pravda a nepravda použili číslice a pro označení spojek pro někoho možná nezvyklé symboly, nemá žádný skrytý (natož snad i tajemný) význam. Jde jenom o zkratky, které nám pomáhají učinit zápisy formulí přehledné.

15) Předpoklad implikace nazýváme také premisa implikace nebo antecedent implikace.

16) Závěr implikace nazýváme také konsekvent implikace.


28

Uveďme ještě jednu poznámku o vztahu přirozeného jazyka a formálního jazyka výrokového počtu, přesněji o tom, jak výrazy přirozeného jazyka formalizovat. Není to úplně jednoznač-né. Logickou spojku konjunkce vyjadřujeme českou spojkou a, ale ne každé české a vyjadřuje konjunkci, o které víme, že v ní nezáleží na pořadí výroků, tj. a mají stejné pravdivostní ohodnocení. O tom, že ne každé české a nebo anglické and musí vyjadřovat konjunkci, se přesvědčíme na příkladech. Vyslovíme-li české věty Upadl a vstal a Vstal a upadl, tak je ihned zřejmé, že spojka a zde neznamená konjunkci (každé a v přirozeném jazyce není konjunkce), ale nejspíše časovou následnost dvou událostí. Zřejmě není třeba zvlášť argumen-tovat, že časová následnost závisí na pořadí výroků. Tudíž bychom mohli trochu paradoxně konstatovat, že logika začíná tam, kde už logickou strukturu věty známe.

Vedle toho, že logika mluví o věci tak notoricky známé, jako je myšlení, má ještě jednu nemilou vlastnost: Vůbec ji totiž nezajímá svět kolem. Nepátrá po obloze jako astronomie, nezkoumá jevy jako třeba optika, ani si nestaví nové světy jako matematika. Vystačí si s tím, co už v hlavě máme. Logika pouze tvoří nové výroky z výroků, které jsou dány. Z tohoto pohledu je činnost logiky následující:

a) informace se v logickém kroku logiky plně zachovává – to je tzv. tautologie,

b) informace se v logickém kroku částečně ztrácí – to je tzv. dedukce,

c) informace v logickém kroku se změní tak, že něco nového přibude – jde o logickou chybu, např. chybná indukce.

Pro nás jsou důležité tautologie.

DEFINICE

Tautologie

Tautologie (výrokového počtu) je každá formule výrokového počtu, která je vždy pravdivá (tj. bez ohledu na pravdivost či nepravdivost vstupujících výroků).

PŘÍKLAD 2.4

Dokážeme, že formule je tautologie.

Řešení

0 1

1 1

Tedy formule je tautologie a nazývá se zákon totožnosti.

PŘÍKLAD 2.5


Řešení

0 1 1

1 0 1

Tedy formule je tautologie. Byla známa již ve starověku a nazývá se zákon vyloučené třetí možnosti (v latině se uvádí tertium non datur, tj. třetí možnost není dána), neboli věci jsou buď tak, nebo naopak, třetí možnost není.

Logika Kapitola 2

29

Poznamenejme, že negace je velmi náchylná k chybám. Je to proto, že přirozený jazyk zná několik způsobů vytváření opaku. Opakem „černé barvy“ je pro někoho „bílá“, pro jiného „bílá nebo barevná“, pro logika je to pouze barva „nečerná“. Tím se pro výrok „barva je černá“ dosáhne žádoucí stav, kdy spolu se svou negací tvoří dvojici výroků, které pokrývají všechny možné barvy.

PŘÍKLAD 2.6

Dokážeme, že formule () je tautologie.

Řešení

()

0 1 0 1

1 0 0 1

Tedy formule () je tautologie. Nazývá se někdy zákon sporu.

PŘÍKLAD 2.7


Řešení

0 1 0 1

1 0 1 1

Tedy formule je rovněž tautologie. Jde o zákon dvojné negace, tj. výrok i jeho dvojná negace vyjadřují totéž.

PŘÍKLAD 2.8

Dokážeme, že formule () () je tautologie.

Řešení

() ()

0 1 0 1 1

1 0 0 1 1

Tedy formule () () je tautologie.


30

PŘÍKLAD 2.9


Řešení

() ()

0 0 1 1 1 1 1

0 1 0 1 1 1 1

1 0 1 0 0 0 1

1 1 0 0 1 1 1

Tedy i tato formule () () je tautologie. Jde o pravidlo kontrapozice, tj. implikace a vyjadřují totéž.

PŘÍKLAD 2.10

Dokážeme, že formule () () a () () jsou tautologie.

Řešení

() () ()

0 0 1 1 0 1 1 1

0 1 1 0 1 0 0 1

1 0 0 1 1 0 0 1

1 1 0 0 1 0 0 1

() () ()

0 0 1 1 0 1 1 1

0 1 1 0 0 1 1 1

1 0 0 1 0 1 1 1

1 1 0 0 1 0 0 1

Tedy i formule () () a () () jsou tautologie.

Souhrnně se nazývají de Morganova pravidla, tj. negace disjunkce je konjunkce negací a ne-gace konjunkce je disjunkce negací.

PŘÍKLAD 2.11


Řešení

() ) ( ()

00 00 11 11 11 11

00 11 11 11 11 11

11 00 00 00 00 11

11 11 00 11 11 11

Rovněž formule () () tautologie. Ukazuje vyjádření implikace disjunkcí a negací.

Logika Kapitola 2

31

PŘÍKLAD 2.12

Dokážeme, že formule () je tautologie.

Řešení

()

0 0 1 0 1

0 1 1 0 1

1 0 0 0 1

1 1 0 0 1

Rovněž formule () tautologie. Nazývá se Duns Scotův17) zákon a vyjadřuje, že ze sporu vyplývá cokoli.

PŘÍKLAD 2.13


Řešení

() ()

0 0 1 1 1

0 1 1 0 1

1 0 0 1 1

1 1 1 1 1

Tedy i tato formule () () je tautologie.

Uvedeme přehled některých tautologií:18)

( ) a ( ) (zákony idempotence),

( ) (zákon simplifi kace),

(( ) ) (Peirceův zákon),

( ) ( ) (negace implikace),

( ) ( ),

( ) (( ) ( )) (negace ekvivalence),

( ) (( ) ( )) (zákon ekvivalence, ekvivalence je konjunkce implikací zleva doprava a zprava doleva).

Tyto tautologie ukazují, že při budování výrokového počtu vystačíme se dvěma spojkami negace a implikace, příp. negace a disjunkce, příp. negace a konjunkce.

To je vše, vše co je nutné vědět a čeho se držet – všechno ostatní je odvozeno od tohoto základního schématu.

17) Jan (Johannes) Duns Scotus (Skotský), byl též nazýván doctor marianus („učitel mariánský“) nebo doctor subtilis („učitel přesný, důsledný“), *pravděpodobně 1266, Duns, Skotsko – + 8. listopadu 1308, Kolín nad Rýnem, jeden z nejproslulej-ších teologů a myslitelů nejen své doby. Byl rozený Skot (proto jeho příjmení), Duns je pravděpodobně upřesnění dle jeho rodiště. Zákon, po něm nazvaný, formuloval takto: Ze dvou odporujících si tvrzení plyne cokoliv. Lze jej také vyjádřit, že kontradikce je explozivní nebo kontradikce implikuje libovolný výrok.

18) Důkaz, že jde o tautologie, je obsažen v neřešených příkladech s výsledky v této kapitole, tedy pečlivý čtenář si to dokáže sám.


32

PŘÍKLAD 2.14

Dokážeme, že formule = ( ) (( ) ( )) je tautologie.

Řešení

( ) ( )

0 0 0 1 1 1 1 1

0 0 1 1 1 1 1 1

0 1 0 0 1 1 1 1

0 1 1 1 1 1 1 1

1 0 0 1 0 0 0 1

1 0 1 1 1 0 1 1

1 1 0 0 0 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

Tedy formule = ( ) (( ) ( )) je tautologie.

PŘÍKLAD 2.15

Dokážeme, že formule = ( ( )) (( ) ( )) je tautologie.

Řešení

Opět standardně vyplníme tabulku.

( ) ( ) ( )

0 0 0 1 1 1 1 1 1

0 0 1 1 1 1 1 1 1

0 1 0 0 1 1 1 1 1

0 1 1 1 1 1 1 1 1

1 0 0 1 0 0 1 1 1

1 0 1 1 0 1 1 1 1

1 1 0 0 1 0 0 0 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1

Tedy formule = ( ( )) (( ) ( ) je také tautologie.

Uveďme ještě některá odvozovací pravidla (nazývaná také dedukční pravidla), která umožňují přechod od pravdivých tvrzení k pravdivým tvrzením.

Pravidlo substituce – tautologie zůstane tautologií, i když v ní nahradíme každý výskyt určitého výroku jednou a toutéž formulí.

Pravidlo ekvivalentního nahrazení – je-li formule, která obsahuje alespoň na jednom místě podformuli , jestliže platí, že je ekvivalentní s , a jestliže formule vznikne nahrazením libovolného počtu výskytů formule formulí ve formuli , pak je ekvivalentní s .

Pravidlo odloučení (latinsky modus ponens nebo modus ponendo ponens) – platí-li a platí-li im-plikace , potom také platí , tj. formule ( ( )) je tautologie.

Logika Kapitola 2

33

Modus tollens nebo modus tollendo tollens – jde o odvozovací pravidlo, které praví: neplatí-li a platí-li implikace , potom neplatí , tj. formule ( ( )) je tauto-logie.

Modus tollendo ponens – jde o odvozovací pravidlo (první ze dvou pravidel disjunktivního sylogismu), které říká: neplatí-li a platí-li disjunkce , potom platí , tj. formule ( ( )) je tautologie. 19)

Pravidlo řezu – jde o odvozovací pravidlo, které praví: platí-li disjunkce a , potom platí disjunkce , tj. formule (( ) ( )) ( ) je tautologie.

PŘÍKLAD 2.16

Uveďme příklad modu ponendo ponens.

Hujer byl v práci. ()

Jestliže byl Hujer v práci, pak se viděl s Hliníkem. ( )

Tedy: Hujer se viděl s Hliníkem. ()

PŘÍKLAD 2.17

Uveďme příklad modu tollendo tollens.

Jestliže Hujer je vinen, pak byl na místě zločinu ve chvíli jeho spáchání. ( )

Hujer nebyl na místě zločinu ve chvíli jeho spáchání. ()

Tedy: Hujer není vinen. ()

PŘÍKLAD 2.18

Uveďme příklad modu tollendo ponens.

Hujer nemá pravdu. ()

Pravdu má Hliník nebo pravdu má Hujer. ( )

Tedy: Pravdu má Hliník. ()

Pro úplnost zaveďme ještě termín kontradikce.

DEFINICE

Kontradikce

Každou formuli výrokového počtu, která je vždy nepravdivá (tj. bez ohledu na pravdivost či nepravdivost vstupujících výroků), nazveme kontradikcí výrokového počtu.

19) Podmínkou úspěšné argumentace v modu tollendo ponens je úplnost disjunkce – nesmí existovat další, v disjunkci neuvedená alternativa. Usuzování z neúplné disjunkce je velmi častou chybou!


34

PŘÍKLAD 2.19

Dokážeme, že formule je kontradikce.

Řešení

0 1 0

1 0 0

Tedy formule je kontradikce.

VĚTA

(o vztahu mezi tautologií a kontradikcí)Negace tautologie je kontradikce.

Negace kontradikce je tautologie.

PŘÍKLAD 2.20

Víme, že formule je tautologie, tudíž formule ( ) je kontradikce.

Víme, že formule je kontradikce, tudíž formule ( )je tautologie.

PŘÍKLAD 2.21

Dokážeme, že formule ( ) ( ) je kontradikce.

Řešení

( ) ( )

0 1 1 0 0

1 0 1 0 0

Tedy formule ( ) ( ) je kontradikce a formule (( ) ( )) je tautologie.

PŘÍKLAD 2.22

Dokážeme, že formule ( ) je kontradikce.

Řešení

( )

0 1 0

1 1 0

Tedy formule ( ) je kontradikce a formule ( ) je tautologie.

Logika Kapitola 2

35

PŘÍKLAD 2.23


Řešení

( ) ( )

0 0 1 1 0 0

0 1 0 1 0 0

1 0 1 0 1 0

1 1 0 1 0 0

Rovněž formule ( ) ( ) kontradikce a formule (( ) ( )) je tautologie.

PŘÍKLAD 2.24


Řešení

( ) ( )

0 0 1 1 0 1 0

0 1 1 0 0 1 0

1 0 0 1 0 1 0

1 1 0 0 1 0 0

Tedy i formule ( ) ( ) je kontradikce a formule (( ) ( )) je tautologie.

DEFINICE

Splnitelná formule

Formule výrokového počtu se nazývá splnitelná, jestliže není kontradikce.

Tj. formule je splnitelná, když pro ni existuje alespoň jedno pravdivé ohodnocení.

Určitě platí: Každá tautologie je také splnitelná formule.

Také platí: Formule výrokového počtu není splnitelná právě tehdy, jestliže je kontradikce.

PŘÍKLAD 2.25

Dokážeme, že formule a jsou splnitelné.

Řešení

0 1 1 0

1 0 0 1

Formule a nejsou kontradikce, proto jde o splnitelné formule, které nejsou tautologie.


36

PŘÍKLAD 2.26

Dokážeme, že formule ( ) ( ) je splnitelná.

Řešení

( ) ( )

0 0 1 1 1

0 1 1 0 0

1 0 0 1 0

1 1 1 1 1

Tedy i formule ( ) ( ) je splnitelná a není tautologie.

PŘÍKLAD 2.27

Dokážeme, že formule = (( ) ) ( ( )) je splnitelná.

Řešení

( ) ( )

0 0 0 1 1 0 1 0

0 0 1 1 1 1 1 1

0 1 0 1 0 0 1 0

0 1 1 1 1 1 1 1

1 0 0 0 1 1 1 1

1 0 1 0 1 1 1 1

1 1 0 1 0 0 0 1

1 1 1 1 1 1 1 1

Tedy formule = (( ) ) ( ( )) je splnitelná, ale není tautologie.

Zavádějí se i další spojky, my uvedeme tři dvoumístné.

0 0 0 1 1

0 1 1 1 0

1 0 1 1 0

1 1 0 0 0

Logická operace se nazývá exkluzivní disjunkce (příp. alternativa, příp. nonekvivalen-ce, příp. vylučovací nebo, příp. XOR20)). Formuli čteme česky: buď , nebo . Logická operace se nazývá Shefferův operátor (příp. NAND21)). Shefferův operátor vyjadřuje neslučitelnost výroků a formuli také česky lze číst: nikoli a současně. Logická operace se nazývá Pierceova šipka (nebo také Nicodův operátor nebo NOR22)). Pierceova šipka vlastně představuje oboustranný zápor, proto formuli česky čteme: ani , ani . Spojky XOR, NAND a NOR se používají mj. při programování.

20) Termín XOR je odvozen z anglického exclusive or, tj. vylučovací nebo.

21) Termín NAND je odvozen z anglického not and (ne a), protože jde o negaci konjunkce.

22) Termín NOR je odvozen z anglického not or (ne nebo), protože jde o negaci disjunkce.

Logika Kapitola 2

37

Uvedeme některé tautologie, které ukazují, že novými spojkami nezískáme nic nového:

( ) ( ),

( ) ( ),

( ) (( ) ( )),

( ) (( ) ( )),

( ) (( ) ( )),

( ) (( ) ( )),

( ),

( ),

( ) ( ),

( ) ( ),

( ) ( ),

( ) ( ),

( ) ( ),

( ) ( ),

( ) ,

(( ) ( )) ( ),

(( ) ( )) ( ),

( ) ( ),

( ) ( ),

( ) ( ),

( ) ,

(( ) ( )) ( ),

(( ) ( )) ( ).

Doplníme ještě odvozovací pravidla o jedno.

Modus ponendo tollens – jde o odvozovací pravidlo (druhé ze dvou pravidel disjunktivní-ho sylogismu) pro exkluzivní disjunkci, které říká: z a lze korektně odvodit , tj. formule (( ) ) je tautologie.23)

PŘÍKLAD 2.28

Uvedeme příklad modu ponendo tollens.

Hliník má pravdu. ()

Buď Hliník má pravdu, nebo Hujer má pravdu. ( )

Tedy: Hujer nemá pravdu. ()

23) Podmínkou úspěšné argumentace v modu ponendo tollens je, aby se členy disjunkce vzájemně vylučovaly, aby nemohly platit

oba zároveň. Pokud by mohly platit obě alternativy současně, pak by samozřejmě platnost ještě nevylučovala platnost .


38

2.4Predikátový počet24)

Nejen v matematice, ale i v jiných disciplínách je velice důležité používání proměnných a vyjád-ření toho, že je nějaká vlastnost splněna „pro všechny“ nebo „pro některé“ prvky určité množiny. Zacházení s proměnnými i se splněním nějaké vlastnosti pro všechny nebo některé prvky množiny je úkolem predikátového počtu. Pro snazší popis těchto charakteristik zavádíme predikáty s volnou proměnnou, které popisují vlastnosti prvků v množině a jsou vázány na elementární pojem výrokového počtu, kterým je výrok. Další pojmy predikátového počtu jsou spjaty s elementárním pojmem predikát, např. predikáty s volnou proměnnou jsou nej-jednodušší formule predikátového počtu.

DEFINICE

Predikát s volnou proměnnou

Je-li M množina, potom (x ) je predikát s volnou proměnnou25) x na množině M, jest-liže platí:

dosadíme-li za x v (x ) libovolný prvek c množiny M, potom (c ) je výrok (ať již prav-divý, nebo nepravdivý).

PŘÍKLAD 2.29

Tvrzení „jehličí píchá“ není výrok, protože někdy platí (smrk), někdy ne (modřín). Abychom z něj udělali výrok, musíme je doplnit, např.:

a) „každé jehličí píchá“ – výrok nepravdivý,

b) „některé jehličí píchá“ – výrok pravdivý,

c) „smrkové jehličí píchá“ – výrok pravdivý,

d) „modřínové jehličí píchá“ – výrok nepravdivý.

Uděláme-li logickou analýzu, tak množina M obsahuje např. čtyři prvky: smrkové jehličí, borové jehličí, jedlové jehličí a modřínové jehličí, proměnná je jehličí a predikát s volnou proměnnou jehličí je (jehličí) = jehličí píchá. Dosadíme-li za jehličí prvky množiny M, dostáváme výrok.

PŘÍKLAD 2.30

Jako množinu M uvažujme množinu všech kladných přirozených čísel a symbolem (x) označíme tvrzení x je sudé číslo. Je zřejmé, že (x) je predikát s volnou proměnnou x na množině všech kladných přirozených čísel, protože dosadíme-li za x v (x) libovolné kladné přirozené číslo, dostáváme výrok.

24) Místo termínu predikátový počet se používají ekvivalentní termíny predikátový kalkul nebo predikátová logika.

25) Někdy se místo termínu predikát s volnou proměnnou používá termín výroková forma nebo podmínka s volnou proměnnou. Termín predikát také zdůvodňuje, proč se tato část logiky nazývá predikátový počet.

Logika Kapitola 2

39

Značení Je-li (x) predikát s volnou proměnnou x na množině M, symbolem {x ; (x)} označíme množinu všech prvků x z množiny M, pro které je (x) pravdivé.

Pro studium je používání proměnných otázkou významné důležitosti, protože představuje základ symboliky. Uvažujeme-li množinu {x; (x)}, zajímá nás, kdy je tato množina prázdná, kdy je neprázdná, kdy je totožná s množinou M. Tyto skutečnosti lze vyjádřit kvantifi kátory.

Značení Jestliže {x ; (x)} = M, potom tuto skutečnost zapíšeme ( ( ))x

x M6 d

a čteme pro všechna

(nebo pro každé nebo pro libovolné) x z množiny M je (x) (pravdivé).

Symbol se nazývá obecný (nebo univerzální nebo velký) kvantifi kátor.26)

Jestliže {x ; (x)} =4 (tzn. množina obsahuje alespoň jeden prvek), potom tuto sku-tečnost zapíšeme ( ( ))x

x M7 d

a čteme existuje (alespoň jedno) x z množiny M takové,

že (x) (je pravdivé) nebo pro některé x z množiny M je (x) (pravdivé).

Symbol se nazývá existenční (nebo malý) kvantifi kátor.27)

PŘÍKLAD 2.31

Jako množinu M uvažujme množinu všech kladných přirozených čísel a symbolem (x) ozna-číme tvrzení x je sudé číslo. Označme P množinu {x; (x)}. Množina P je neprázdná (např. 2 P), proto je pravdivé tvrzení existuje alespoň jedno x z množiny M takové, že (x), což můžeme zapsat ( ( ))x

x M7 d

. Protože P M (např. 1 P M), neplatí ( ( ))xx M6 d

, takže je

pravdivé tvrzení ( ( ))xx M

J 6 d

(tzn. ne pro všechna x z množiny M je (x) pravdivé).

PŘÍKLAD 2.32

Označme symbolem Z množinu všech celých čísel a symbolem (n) označíme tvrzení n2 = 25. Označme A množinu {n; (n)}, tj. A = {n; (n)} = {n; n2 = 25}. Množina A obsahuje právě dva různé prvky –5 a 5, tedy A = {n; (n)} = {n; n2 = 25} = {–5; 5} 4, proto je pravdivé tvrzení existuje alespoň jedno n z množiny Z takové, že (n) je pravdivé, což můžeme zapsat

( ( ))nn Z7 d

. Protože A Z (např. 2 A Z), neplatí ( ( ))nn Z6 d

, takže je pravdivé tvrzení

( ( ))nn Z

J 6 d

(tzn. není pravda, že pro všechna n z množiny Z je (n) pravdivé).

Samozřejmě mohli bychom uvést mnohá další tvrzení takového typu.

DEFINICE

Formule predikátového počtu

a) Každý predikát je formule predikátového počtu.

b) Jsou-li a formule predikátového počtu, potom , , , a jsou rovněž formule predikátového počtu.

c) Je-li formule predikátového počtu a M množina, potom x M6 d

a x M7 d

jsou formule predikátového počtu.

d) Všechny formule predikátového počtu vznikají konečným počtem aplikací pravidel a), b) a c).

26) Znak pro univerzální kvantifi kátor vznikl převrácením písmena A z anglického All – všechno, každý.

27) Znak pro existenční kvantifi kátor vznikl převrácením písmena E z anglického Exists – existuje.


40

DEFINICE

Tautologie predikátového počtu

Tautologie (predikátového počtu) je každá formule predikátového počtu, která je vždy pravdivá.

Poznamenejme, je-li nějaká formule tautologie výrokového počtu, potom je i tautologií pre-dikátového počtu.

Uvedeme dvě tautologie predikátového počtu.

VĚTA

(de Morganova pravidla pro predikátový počet)Formule

a) ( ( )) ( ( ))x xx M x M

+J 6 7 J d d

,

b) ( ( )) ( ( ))x xx M x M

+J 7 6 J d d

jsou tautologie predikátového počtu.

Slovně lze tyto tautologie formulovat takto:

a) neplatí pro všechna x z množiny M (x) právě tehdy, jestliže existuje x z množiny M takové, že neplatí (x),

b) neexistuje x z množiny M takové, že (x) právě tehdy, jestliže pro všechna x z mno-žiny M neplatí (x) .

PŘÍKLAD 2.33

Uvažujme formuli ( 3)xx M6 2=d

. Určíme její negaci a užitím de Morganových pravidel pro

predikátový počet ji maximálně zjednodušíme.

Řešení

( 3) ( 3) ( 3)x x xx M x M x M

+ +J J 6 7 J 72 2 #=d d d

.

PŘÍKLAD 2.34

Uvažujme formuli ( 7)xx M7 $=d

. Určíme její negaci a užitím de Morganových pravidel pro

predikátový počet ji maximálně zjednodušíme.

Řešení

( 7) ( 7) ( 7)x x xx M x M x M

+ +J J 7 6 J 6 1$ $=d d d

.

Logika Kapitola 2

41

PŘÍKLAD 2.35

Uvažujme formuli ( 3)x yx M y N6 7= = +d d

. Určíme její negaci a užitím de Morganových pravidel

pro predikátový počet ji maximálně zjednodušíme.

Řešení

( 3) ( 3) ( 3) ( 3)x y x y x y x yx M y N x M y N x M y N x M y N

+ + +J J 6 7 7 J 7 7 6 J 7 6 != = + = + = + +d d d d d d d d

.

Poznamenejme, že obsahuje-li formule predikátového počtu na svém začátku dva různé kvan-tifi kátory, potom záleží na pořadí kvantifi kátorů.

De Morganova pravidla pro predikátový počet lze ekvivalentně formulovat takto:

Formule

a) ( ( )) ( ( ))x xx M x M

+6 J 7 J d d

,

b) ( ( )) ( ( ))x xx M x M

+7 J 6 J d d

jsou tautologie predikátového počtu.

PŘÍKLAD 2.36

Uvažujme tvrzení: Každý člověk je smrtelný. Vytvoříme-li predikát s volnou proměnnou člověk,tj. (člověk) = člověk je smrtelný. Užijeme-li ekvivalenci a), potom původní tvrzení je ekvi-valentní formulaci Neexistuje člověk takový, že není smrtelný, což lze ekvivalentně formulo-vat takto: Žádný člověk není nesmrtelný. Shrneme-li, platí – věty Každý člověk je smrtelný a Žádný člověk není nesmrtelný jsou ekvivalentní.


42

2.5Neřešené příklady s výsledkyPříklad 1:

Rozhodněte, zda formule jsou splnitelné, nebo tautologie, nebo kontradikce, jestliže:

a) ( )

b)

c) ( )

d) ( )

e) ( ) ( )

f) ( ),

g) ( ),

h) ( ),

i) ( ) ,

j) ( ) ( ),

k) ( ),

l) ( ) ( ),

m) ( ),

n) ( ) ( ),

o) ( ) ,

p) ( ) ,

q) ( ) ( ),

r) ( ) ( ),

s) ( ) ( ),

t) ( ) ( ),

u) ( ) ,

v) ( ) ,

w) ( ) ( ),

x) ( ) ( ),

y) ( ),

z) ( ).

Výsledky

Jde vesměs o tautologie, které nejsou kontradikce, tudíž jde i o splnitelné formule.

Logika Kapitola 2

43

Příklad 2:


a) ( ) ( ),

b) ( ),

c) ( ),

d) ( ),

e) ,

f) ( ) ( ),

g) ( ) ( ),

h) ( ),

i) ( ) ( ),

j) ( ) (( ) ( )),

k) ( ) ( ),

l) ( ) ( ),

m) ( ) ( ),

n) ( ) ( ),

o) ( ) ( ),

p) ( ),

q) ( ),

r) ( ( )),

s) ( ( )),

t) ( ) ,

u) ( ) ( ),

v) ( ) ( ),

w) ( ) ( ),

x) ( ) (( ) ( )),

y) ( ) (( ) ( )),

z) ( ) (( ) ( )).

Výsledky


Příklad 3:


a) ( ) (( ) ( )),

b) ( ) ( ),

c) ( ) ( ),

d) ( ) ( ),

e) ( ) ( ),

f) ( ) ( ),


44

g) ( ) ( ),

h) ( ) ( ),

i) ( ),

j) (),

k) ( ) ( ),

l) ( ) (( ) ( )),

m) ( ) ( ),

n) ( ) ,

o) ( ( )) ,

p) ( ( )) ,

q) ( ) (( ) ( )),

r) ( ) (( ) ( )),

s) ( ) (( ) ),

t) ( ) (( ) ),

u) ( ( )) ,

v) ( ( )) ,

w) ( ( )) ,

x) ( ( )),

y) (( ) ) ( ( )),

z) ( ) .

Výsledky


Příklad 4:


a) ( ),

b) ( ) ( ),

c) ( ) (( ) ( ),

d) ( ) ( ),

e) ( ) ( ),

f) (( ) ),

g) ( ) (( ) ),

h) ( ) (( ) ),

i) ( ( )),

j) (( ) ),

k) ( ( )) (( ) ( )),

l) ( ( )) (( ) ( )),

m) ( ( )) (( ) ( )),

n) ( ) (( ) ( )),

Logika Kapitola 2

45

o) ( ) (( ) ( )),

p) ( ) (( ) (( ) )),

q) ( ) (( ) ( )),

r) (( ) ) ( ( )),

s) (( ) ) ( ( )),

t) (( ) ) ( ( )),

u) (( ) ) ( ( )),

v) (( ) ) ( ( )),

w) (( ) ) ( ( )),

x) ( ( )) (( ) ( )),

y) (( ) ) ( ( )),

z) ( ( )) (( ) ( )).

Výsledky


Příklad 5:


a) ( ) (( ( )) ( )),

b) ( ( )) ( ( )),

c) (( ) ) ( ( )),

d) (( ) ) (( ) ( )),

e) (( ) ) (( ) ( )),

f) (( ) ) ( ( )),

g) (( ) ( )) ( ).

Výsledky


Příklad 6:


a) ( ) ( ),

b) ( ) (( ) ( )),

c) ( ) (( ) ( )),

d) ( ) (( ) ( )),

e) ( ) (( ) ( )),

f) ( ),

g) ( ),

h) ( ) ( ),

i) ( ) ( ),


46

j) ( ) ( ),

k) ( ) ( ),

l) ( ) ( ),

m) ( ) ,

n) (( ) ( )) ( ),

o) (( ) ( )) ( ),

p) ( ) ( ),

q) ( ) ( ),

r) ( ) ( ),

s) ( ) ( ),

t) ( ) ( ),

u) ( ) ,

v) (( ) ( )) ( ),

w) (( ) ( )) ( ),

z) (( ) ) .

Výsledky


Příklad 7:

Negujte následující formule predikátového počtu a užitím de Morganových pravidel pro predikátový počet je maximálně zjednodušte:

a) ( 4)xx M6 #=d

,

b) ( 5)xx M6 != -d

,

c) ( 4)xx M7= =d

,

d) ( 5)xx M7 $=d

,

e) ( )x Cx A

d6=d

,

f) ( )x Lx A7 z=d

,

Výsledky

a) ( 4)xx M

+J 7 2d

,

b) ( 5)xx M

+J 7 = -d

,

c) ( 4)xx M

+J 6 !d

,

d) ( 5)xx M

+J 6 1d

,

e) ( )x Cx A

+J 7 zd

,

f) ( )x Lx A

+ dJ 6d

,

g) ( )x Bx A6 z=d

,

h) ( )x Kx A

d7=d

,

i) ( (0,5))x1,2x

d6=d -

,

j) ( 5)x yx M y N6 7 #= +d d

,

k) ( 5 2)x yx M y N7 6= = + -d d

.

g) ( )x Bx A

+ dJ 7d

,

h) ( )x Kx A

+J 6 zd

,

i) ( (0,5))x,x 1 2

+J 7 zd -

,

j) ( 5)x yx M y N

+J 7 6 2+d d

,

k) ( 5 2)x yx M y N

+J 6 7 ! + -d d

.

Logika Kapitola 2

47

2.6DodatekČasto se zdá, že spravedlnost odchází, zatímco přichází, jindy ji zase lidské oko vidí přicházet, ale ona odchází, aby se po čase navrátila.

Vrcholí středověk. Cestovatel, který se při svých cestách dostal do Persie, se při svém vstupu do sídelního města setkal s kočárem, ve kterém jel velký šáh do paláce. Neznal tamní zvyky, proto nepadl okamžitě před šáhem do prachu silnice. Byl ihned šáhinšáhovými strážci zajat a odveden před vládce, který jej bez mrknutí oka odsoudil k trestu smrti. Šlo o cizince, tudíž dostal možnost ovlivnit způsob popravy, proto veliký šáh prohlásil: „Jestliže bude zítra ráno tvůj první výrok pravdivý, potom budeš sťat. Jestliže bude zítra ráno tvůj první výrok nepravdivý, potom budeš pověšen.“ Teď byla každá rada drahá.

Udělejme nejprve logickou analýzu tohoto tvrzení. Symbolem označme výrok zítra ráno bude tvůj první výrok pravdivý, symbolem výrok budeš sťat a symbolem výrok budeš pověšen. Šáhinšáhův rozsudek lze tedy symbolicky zapsat:

( )( ).

Prozkoumejme tuto výrokovou formuli:

( )( )

0 0 0 1 1 0 1

0 0 1 1 1 1 1

0 1 0 1 1 0 1

0 1 1 1 1 1 1

1 0 0 0 0 1 1

1 0 1 0 0 1 1

1 1 0 0 1 1 1

1 1 1 0 1 1 1

tedy formule ( )( ) je tautologie, tj. ať si zvolí cestovatel cokoli, vždy zemře. Jenže všechno je jinak (jak praví prastará anekdota). Samotné zadání je sporné. Právě tohoto rozporu využil cestovatel a jeho první výrok ráno zněl: „Budu pověšen.“ Tímto výrokem se zachránil. Proč? Šáhinšáh shledal, splní-li výrok, potom byl výrok pravdivý a cestovatel musí být sťat, a zároveň nesplní-li tento výrok a dá jej setnout, potom cestovatel řekl výrok ne-pravdivý a měl být pověšen.

A protože příběh má končit happyendem, šáhinšáh cestovatele propustil a za jeho moudrost jej štědře odměnil. Potom žili všichni šťastni, spokojeni, ale věčné štěstí nikde není.

Poznamenejme, že vždy to tak nedopadne. Jsou mudrci a vědění jim nepomůže, a jsou hlu-páci a nezajdou na svou hloupost. Někdy uštkne had kejklíře, který po celý život cvičí hady, a někdy chytí hada někdo, kdo ani neví jak. Což lze shrnout: Má-li člověk špatné údaje, ale dokonalou logiku, pak jsou jeho závěry jistě mylné. Dopřeje-li si sem tam nějakou trhlinu v logickém uvažování, může díky náhodě dospět ke správnému výsledku.

Pro úplnost dodejme, že jde o další verzi paradoxu lháře.


48

Shrnutí kapitoly

• V této kapitole jsme se věnovali historickým aspektům vzniku i rozvoje logiky jako nauky o tom, jak z pravdivých tvrzení odvodit pravdivá tvrzení.

• Dále jsme se zabývali matematickou logikou jako takovou částí logiky, která používá matematické metody.

• Ve výrokovém počtu jsme zavedli pojem výrok, logické spojky negaci, konjunkci, disjunkci, implikaci a ekvivalenci, vytvořili jsme formule výrokového počtu, podle kterých umíme rozhodnout, zda jsou tautologie, kontradikce nebo splnitelné formule. Doplňkově jsme si uvedli spojky exkluzivní disjunkce, Shefferův operátor a Pierceovu šipku.

• V predikátovém počtu jsme studovali predikát s volnou proměnnou, věnovali jsme se kvantifi kátorům a vytvořili jsme formule predikátového počtu. Použitím de Morgano-vých pravidel pro predikátový počet jsme zjednodušovali negace formulí predikátového počtu.

Klíčová slova

logika paradox lháře (Kréťana)

matematická logika výrokový počet

predikátový počet výrok, negace

konjunkce disjunkce

implikace ekvivalence

formule výrokového počtu tautologie, kontradikce

splnitelná formule exkluzivní disjunkce

Shefferův operátor Pierceova šipka (Nicodův operátor)

predikát s volnou proměnnou obecný kvantifi kátor

existenční kvantifi kátor formule predikátového počtu

de Morganova pravidla pro predikátový počet

tautologie predikátového počtu

3Grafy

kapitola

Grafy Kapitola 3

53

3. kapitolaGrafy

Úvod

V této kapitole se budeme věnovat některým základním pojmům teorie grafů. Zavedeme po-jem graf, orientovaný graf, cesta v grafu, cyklus v grafu. Dále se budeme věnovat speciálním grafům, které se nazývají stromy, jimiž budeme reprezentovat aritmetické výrazy i formule výrokového počtu.


54

3.1Trochu historieNejprve trochu historie. Tradičně se za zakladatele teorie grafů považuje Leonhard Euler, který roku 1736 řešil úlohu, jak projít přes sedm mostů přes řeku Pregel v Königsbergu28)

(každý z nich právě jednou) a vrátit se do výchozího místa. To v moderní teorii odpovídá pojmu eulerovský graf.

OBRÁZEK 3.1 Mosty v Königsbergu

Sedm mostů města Königsbergu je slavný, již vyřešený matematický problém, založený na sku-tečném místě a skutečné situaci. Pruské město Königsberg leží na řece Pregel, která vytváří dva ostrovy, které byly s ostatním městem spojeny sedmi mosty (viz obr. 3.1 (a) – dnes tomu tak není, protože dva z mostů byly zničeny za britského náletu v roce 1944, další dva byly později zničeny Sověty při stavbě dálnice a jeden ze zbývajících tří mostů byl zničen ještě před druhou světovou válkou a znovu vybudován Němci v roce 1935). Otázka zněla, zda je možné je všechny přejít tak, aby ten, kdo se o to pokouší, vyšel z jednoho místa, vstoupil na každý most pouze jednou (aniž by přeplaval řeku) a vrátil se zpět na výchozí místo (viz obr. 3.1 (a)). Úlohou se zabývali a bavili obyvatelé Königsbergu v 18. stol. Teprve Leonhard Euler v r. 1736 dokázal, že taková procházka není možná. Ke svému důkazu použil následující zjednodušení. Oba břehy a každý ostrov označil jako A, B, C a D (viz obr. 3.1 (b)) a vytvořil z nich body, mosty označil jako spojnice mezi odpovídajícími body (viz obr. 3.2). Má-li exis-tovat požadovaná procházka mosty, museli bychom být schopni projít všemi spojnicemi právě jednou a vrátit se do výchozího bodu. Ale to není možné, protože kdyby taková procházka byla možná, musíme každým bodem (ostrovem nebo břehem) projít sudý počet krát, jinými slovy – z každého bodu musí vycházet sudý počet spojnic. Kdybychom chtěli mosty jenom projít a netrvali bychom na tom, že se chceme zase vrátit do místa, ze kterého jsme vyšli, směli bychom mít dva body, ze kterých vychází lichý počet spojnic (to by byly první a poslední bod naší procházky). Na obr. 3.2 ze všech čtyř bodů vychází lichý počet spojnic.

Největší význam Eulerovy úvahy je v tom, že poprvé použil body spojené spojnicemi ke zjednodušení problému, který studoval. Teorie grafů se právě zabývá řešením úloh, které se „dají převést na obrázky bodů spojených spojnicemi“.

(a) (b)

28) Česky Královec (jméno vzniklo podle toho, že město založil český král Přemysl Otakar II.), v latině se nazývá Regiomontum, dnes je město na území Ruska a nazývá se Kaliningrad.

Grafy Kapitola 3

55

OBRÁZEK 3.2 Eulerovo řešení

OBRÁZEK 3.3 Neorientovaný graf

V roce 1845 publikoval Gustav Kirchhoff zákony, které platí v elektrických obvodech a slouží k výpočtu napětí a proudu v jednotlivých větvích obvodu. V teorii grafů našly své uplatnění při studiu tzv. toků v sítích.

V roce 1852 předložil Francis Guthrie takzvaný problém čtyř barev — tedy otázku, zda je možné obarvit libovolnou mapu pomocí nejvýše čtyř barev tak, aby každé dvě sousední země (které mají společnou hranici delší než jediný bod) měly odlišnou barvu. Byl vyřešen až o více než sto let později, přičemž pro jeho řešení bylo zavedeno mnoho zásadních konceptů teorie grafů.

A

B

C

D

4

3

1

8


56

3.2GrafyGraf je základním objektem a pojmem teorie grafů.

DEFINICE

Graf, vrchol grafu, hrana grafu, smyčka, triviální graf

Graf (nebo neorientovaný graf) G je defi nován dvěma množinami V a E, kde V je ně-jaká neprázdná konečná množina a E konečná množina některých dvojic prvků z V.

Prvky množiny V se nazývají vrcholy grafu (někdy se pro vrcholy používá též pojem uzly) a prvky množiny E se nazývají hrany grafu a mohou to být buď uspořádané, nebo neuspořádané dvojice. Každé hraně jsou přiřazeny dva vrcholy (tzn. víme, které dva vrcholy spojuje).

Hraně, jejíž oba krajní vrcholy jsou stejné, říkáme smyčka.

Jestliže graf má právě jeden vrchol a žádnou hranu, nazývá se triviálním.

PŘÍKLAD 3.1

Pro graf z obr. 3.2 platí: množina vrcholů V = {A, B, C, D}, množina E se skládá ze sedmi hran a z obrázku je patrné, mezi kterými vrcholy hrany vedou.

Pomocí grafů i pro jejich lze reprezentovat struktury a úlohy z nejrůznějších oborů. Taktéž mnoho problémů praktického života může být formulováno jako úloha teorie grafů – např. struktura vzájemného propojení článků v nějakém časopise. Jednotlivé články jsou vrcholy grafu a odkaz z článku A na článek B je orientovanou hranou mezi vrcholy A a B. Pokud graf není příliš velký, můžeme jej nakreslit. Také řada pojmů této teorie je velice názorná. Uveďme několik příkladů grafů.

PŘÍKLAD 3.2

a) Silniční síť. Vrcholy grafu tvoří města, každá silnice mezi dvěma městy představuje hranu.

b) Městská silniční síť. Vrcholy grafu jsou křižovatky, každá ulice mezi dvěma křižovat-kami určuje hranu.

c) Přiřazovací úloha. Vrcholy tvoří pracovníci podniku a úkoly, které pracovníci vyko-návají; pracovník A může vykonávat úkol B.

Jsou ovšem případy, kdy záleží na směru hrany. Např. v příkladu městské silniční sítě se často vyskytují jednosměrné ulice – jednosměrnou ulicí se lze pohybovat pouze jedním směrem. Uvažují se proto také tzv. orientované hrany.

Struktura grafu může být rozšířena o ohodnocení hran (také označováno jako váha; může reprezentovat délku, náklady na přesun, průchodnost apod.) nebo vrcholu. Výsledkem je model reálné sítě. Takové modely se používají pro analýzu dopravy nebo počítačových sítí (např. internetu).

Grafy Kapitola 3

57

DEFINICE

Orientovaný graf

Graf G nazveme orientovaným grafem, jestliže se skládá z neprázdné konečné množiny Vvrcholů (také uzlů), konečné množiny E hran a pro každou hranu víme, z kterého do kte-rého vrcholu vede, tj. každé hraně jsou přiřazeny dva vrcholy – její počáteční a koncový vrchol.

Hraně, která má stejný počáteční i koncový vrchol, říkáme orientovaná smyčka.

Jestliže graf má právě jeden vrchol a žádnou hranu, nazýváme jej opět triviálním grafem.

Na obr. 3.4 je zakreslen orientovaný graf.

PŘÍKLAD 3.3

Uveďme některé příklady orientovaných grafů.

a) Rodokmen. Vrcholy jsou lidé, z vrcholu i vede hrana do vrcholu j, jestliže osoba i je otcem osoby j.

b) Program pro počítač. Vrcholy jsou podprogramy, z podprogramu i vede hrana do podprogramu j, jestliže podprogram j může být aktivován podprogramem i.

c) Učebnice. Vrcholy jsou kapitoly této knihy, hrana vede z kapitoly i do kapitoly j, jestliže se při studiu kapitoly j předpokládá prostudování kapitoly i.

d) Úřad. Vrcholy jsou úředníci, hrana vede od úředníka i k úředníku j, jestliže úřed-ník i je nadřízeným úředníka j.

DEFINICE

Symetrizace orientovaného grafu a stupeň vrcholu

Symetrizace orientovaného grafu je taková operace, při níž se odstraní orien-tace hran (převod orientovaného grafu na neorientovaný).

Stupeň vrcholu neorientovaného grafu je počet hran spojených s tímto vrcholem s tím, že každou smyčku počítáme dvakrát.

Stupeň vrcholu orientovaného grafu je stupeň vrcholu v symetrizaci grafu.

PŘÍKLAD 3.4

Stupeň vrcholu v označíme st(v).

a) Uvažujme neorientovaný graf z obr. 3.3. Potom st(1) = st(3) = 2 a st(4) = st(8) = 1.

b) Uvažujme orientovaný graf z obr. 3.4. Potom např. st(7) = st(6) = 3, st(9) = 2 a st(11) = 1.

DEFINICE

Cesta a cyklus v grafu, souvislý graf

Cesta v neorientovaném grafu je posloupnost vrcholů, která začíná vrcholem vl , končí v koncovém vrcholu vk s tím, že dva po sobě následující vrcholy v posloupnosti spojuje hrana.


58

Cesta v orientovaném grafu je cesta v jeho symetrizaci.

Graf (orientovaný nebo neorientovaný) je souvislý, pokud se z každého vrcholu existuje cesta do libovolného jiného vrcholu.

Cyklus v grafu (v orientovaném i neorientovaném) je o cesta začínající a končící ve stejném vrcholu.

Speciální případy cyklů:

Hamiltonův cyklus projde všechny vrcholy právě jednou.

Eulerův cyklus obsahuje všechny hrany právě jednou.

OBRÁZEK 3.4 Orientovaný graf (principiálně nevadí ohodnocení vrcholů stejně)

2

57

2 9

4

6

115

Grafy Kapitola 3

59

3.3Stromy

DEFINICE

Strom

Souvislý graf (orientovaný nebo neorientovaný), který neobsahuje cykly a smyčky, nazve-me stromem.

Na obr. 3.3 je neorientovaný strom a na obr. 3.4 je orientovaný strom.

Uveďme některé vlastnosti stromů:

1. V každém stromu o alespoň dvou vrcholech existuje vrchol, který má stupeň 1.

2. Každý strom, který má n vrcholů, má přesně n – 1 hran.

DEFINICE

Kořen stromu, kořenový strom, binární strom

Vrchol r orientovaného stromu nazýváme kořenem stromu, jestliže pro každý vrchol x stromu existuje cesta29) z vrcholu r do vrcholu x.

Kořenový strom je orientovaný strom, který má kořen.

Binární strom je kořenový strom, ve kterém v libovolného vrcholu začínají maximálně dvě hrany.

Na obr. 3.4 je kořenový strom, který je i binární strom.

Binárními stromy lze reprezentovat aritmetické výrazy.

OBRÁZEK 3.5

+

32

–

45

(a) (b)

29) U této cesty dbáme na orientaci hran.


60

PŘÍKLAD 3.5

Binárním stromem budeme reprezentovat aritmetické výrazy 2 + 3, 5 – 4, 4 . 7 a 9 : 2.

Řešení

V tomto případě je situace jednoduchá, jako kořen stromu uvedeme symbol operace. Výraz 2 + 3 je reprezentován stromem na obr. 3.5 (a), výraz 5 – 4 na obr. 3.5 (b), výraz 4 . 7 na obr. 3.6 (a) a výraz 9 : 2 na obr. 3.6 (b).

PŘÍKLAD 3.6

Binárním stromem budeme reprezentovat aritmetický výraz (5 + 7) . (12 – (2 . 3)).

Řešení

Binární strom je na obr. 3.7. Postupujeme postupně. Nejprve vezmeme (5 + 7), pak (2 . 3), dále (12 – (2 . 3)), následně tyto dva stromy sloučíme v jeden.

OBRÁZEK 3.6

OBRÁZEK 3.7

.

74

:

29

(a) (b)

.

+

5 7

–

12 .

2 3

Grafy Kapitola 3

61

PŘÍKLAD 3.7

Binárním stromem budeme reprezentovat výrokovou formuli ( ) ( ( )).

Řešení

Formuli ( ) ( ( )) reprezentuje binární strom na obr. 3.8.

OBRÁZEK 3.8


62

3.4DodatekNedílnou součástí matematiky je teorie informace. Pro člověka začínajícího v této oblasti uvádíme příklad ztráty informace v řídicím systému podniku v posloupnosti instrukcí, které směřují od ředitele k řadovému pracovníku.

Instrukce ředitele náměstkovi: Zítra v 9.00 hod. bude zatmění Slunce, tedy něco, co se každý den nevidí. Ať pracovníci nastoupí v pracovních oděvech na nádvoří. Při pozorování tohoto vzácného jevu podám sám příslušný výklad. Bude-li pršet, nebude nic vidět, v tom případě půjdeme do jídelny – sám podám výklad tohoto přírodního jevu.

Instrukce náměstka vedoucím odborů: Na pokyn ředitele bude zítra v 9.00 hod. zatmění Slunce. Bude-li pršet, nebude to možná zítra na nádvoří v pracovním oděvu vidět. V tom případě se zatmění slunce provede v jídelně, tedy něco, co se každý den nevidí.

Vedoucí odboru sděluje vedoucím oddělení: Na pokyn ředitele dojde zítra v 9.00 hod. v pracovním oděvu ke zmizení Slunce. Ředitel dá v jídelně pokyn k tomu, má-li pršet, což se nevidí každý den.

Vedoucí oddělení nařizuje skupinářům: Bude-li zítra v jídelně pršet, tedy něco, co se každý den nevidí, zmizí v 9.00 hod. náš ředitel v pracovním oděvu.

Skupinář instruuje pracovníky: Zítra v 9.00 hod. zmizí náš ředitel. Škoda, že se to nedá vidět každý den.

Grafy Kapitola 3

63

Shrnutí kapitoly

• V této kapitole jsme se věnovali historickým aspektům vzniku i rozvoje teorie grafů.

• Uvedli jsme pojem graf, vrcholy grafu, hrany grafu, orientovaný graf, symetrizace orientovaného grafu, cesta v grafu, cyklus v grafu. Věnovali jsme se speciálním grafům strom, kořenový strom a binární strom. Zabývali jsme se reprezentací aritmetického výrazu i formule výrokového počtu binárním stromem.

Klíčová slova

graf vrchol grafu

hrana grafu cesta v grafu

cyklus v grafu orientovaný graf

symetrizace orientovaného grafu strom

kořenový strom binární strom

4Matice a soustavy lineárních rovnic

kapitola

Matice a soustavy lineárních rovnic Kapitola 4

67

4. kapitolaMatice a soustavy lineárních rovnic

Úvod

V této kapitole uvedeme aritmetické vektory a operace s nimi, lineární závislost i nezávislost vektorů. Tyto pojmy a souvislosti použijeme u matic, pro které uvedeme jejich hodnost i určení hodnosti matice převodem na matici v Gaussově tvaru. Vrcholem našeho snažení v této části učebního textu bude řešení soustav lineárních rovnic Gaussovou eliminační metodou (u soustav lineárních rovnic, které mají právě jedno řešení uvedeme i Jordanovu eliminační metodu).


68

4.1Aritmetické vektory

DEFINICE

Aritmetický vektor a aritmetický vektorový prostor

a) Je-li r kladné reálné číslo, potom r-rozměrný aritmetický vektor je uspořádaná r-tice reálných čísel a = (a1, a2, a3, . . ., ar ), přičemž pro i = 1, 2, 3, . . ., r reálné číslo ai

je i-tá souřadnice aritmetického vektoru a.

b) Množina všech r-rozměrných aritmetických vektorů je r-rozměrný aritmetický vek-torový prostor a značí se Vr.

Aritmetické vektory slouží nejen k záznamu fyzikálních jevů, ale také k záznamu informací např. o podniku, lze zaznamenat jako první souřadnici příjem podniku za určitý měsíc, druhá souřadnice výdaje za příslušný měsíc, třetí souřadnice počet odpracovaných hodin v tomtéž měsíci, čtvrtá souřadnice může představovat spotřebu energie v tomto časovém období atd.

Protože aritmetické vektory z Vr jsou uspořádané r-tice reálných čísel, musí pro tyto vektory platit: Jestliže a = (a1, a2, a3, . . ., ar ) a b = (b1, b2, b3, . . ., br ) jsou vektory z Vr , potom a = b prá-vě tehdy, jestliže pro všechna i = 1, 2, . . ., r je ai = bi , tj. dva vektory se rovnají právě tehdy, jestliže mají stejné odpovídající souřadnice.

DEFINICE

Součet vektorů a reálný násobek vektoru

Jestliže a = (a1, a2, a3, . . ., ar ) a b = (b1, b2, b3, . . ., br ) jsou vektory z Vr a k je reálné číslo, potom:

a) součet vektorů a a b je vektor a + b = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3, . . ., ar + br ) a

b) k – násobek vektoru a je vektor k . a = (k . a1, k . a2, k . a3, . . ., k . ar ).

Lze sčítat pouze vektory, které mají stejný počet souřadnic, tj. patří do stejného vektorového prostoru Vr. Vektory tedy sčítáme tak, že sečteme odpovídající souřadnice vektorů. Protože souřadnice jsou reálná čísla, platí pro ně komutativní zákon, tudíž i součet aritmetických vektorů je komutativní, tj. a + b = b + a. Reálným číslem násobíme vektor tak, že tímto číslem vynásobíme všechny souřadnice vektoru.


69

PŘÍKLAD 4.1

Mějme vektory a = (1, –2, 3, 5, 0) a b = (2, 2, –3, –1, 5). Určíme vektory a + b, 3 . a, 2 . b a (–2) . a + 3 . b.

Řešení

Vektory a = (1, –2, 3, 5, 0) a b = (2, 2, –3, –1, 5) jsou vektory z V5 , protože mají 5 souřadnic. Operace a + b i operace (–2) . a + 3 . b jsou defi novány, neboť jde o vektory z téhož vekto-rového prostoru. Platí:

a + b = (1, –2, 3, 5, 0) + (2, 2, –3, –1, 5) = (1 + 2, –2 + 2, 3 – 3, 5 – 1, 0 – 5) = (3, 0, 0, 4, –5),

3 . a = 3 . (1, –2, 3, 5, 0) = (3 . 1, 3 . (–2), 3 . 3, 3 . 5, 3 . 0) = (3, –6, 9, 15, 0),

2 . b = 2 . (2, 2, –3, –1, 5) = (2 . 2, 2 . 2, 2 . (–3), 2 . (–1), 2 . 5) = (4, 4, –6, –2, 10) a

(–2) . a + 3 . b = (–2) . (1, –2, 3, 5, 0) + 3 . (2, 2, –3, –1, 5) = = (–2 . 1 + 3 . 2, –2 . (–2) + 3 . 2, –2 . 3 + 3 . (–3), –2 . 5 + 3 . (–1), –2 . 0 + 3 . (–5)) = = (4, 10, –15, –13, –15).

PŘÍKLAD 4.2

Mějme vektor a = (3, –1, 2, 3). Určíme vektory 0 . a, 1 . a a (–1) . a.

Řešení

Vektor a = (3, –1, 2, 3) je aritmetický vektor z V4, platí:

0 . a = (0 . 3, 0 . (–1), 0 . 2, 0 . 3) = (0, 0, 0, 0),

1 . a = (1 . 3, 1 . (–1), 1 . 2, 1 . 3) = (3, –1, 2, 3) = a,

(–1) . a = (–1 . 3, –1 . (–1), –1 . 2, –1 . 3) = (–3, 1, –2, –3).

Poznamenejme, že z příkladu 4.2 mj. vyplývá: pro libovolný vektor a z Vr platí 1 . a = a a 0 . a je rovno vektoru, který má všechny souřadnice nulové.

DEFINICE

Nulový a opačný vektor

a) Nulový vektor ve Vr je vektor o = (0, 0, 0, . . ., 0).

b) Jestliže a = (a1, a2, a3, . . ., ar ) je vektor z Vr , potom opačný vektor k vektoru a je vektor –a = (–a1, –a2, –a3, . . ., –ar ).

Např. vektor o = (0, 0) je nulový vektor ve V2, vektor o = (0, 0, 0, 0) je nulový vektor veV4, o = (0, 0, 0, 0, 0, 0) je nulový vektor ve V6.


70

PŘÍKLAD 4.3

Uvažujme vektor a = (–2, –3, 1, 7), určíme opačný vektor k vektoru a, tj. vektor –a, součty a + (–a ), (–a ) + a, 0 . a, a + o a o + a.

Řešení

Zcela jistě –a = (2, 3, –1, –7) V4 ,

a + (–a ) = (–2 + 2, –3 + 3, 1 – 1, 7 – 7) = (0, 0, 0, 0) = o V4 ,

(–a ) + a = (2 – 2, 3 – 3, 1 + 1, –7 + 7) = (0, 0, 0, 0) = o V4 ,

0 . a = (0 . (–2), 0 . (–3), 0 . 1, 0 . 7) = (0, 0, 0, 0) = o V4

a + o = (–2 + 0, –3 + 0, 1 + 0, 7 + 0) = (–2, –3, 1, 7) = a,

o + a = (0 – 2, 0 – 3, 0 + 1, 0 + 7) = (–2, –3, 1, 7) = a .

VĚTA

(o vlastnostech nulového a opačného vektoru)

Jestliže a je vektor z Vr , potom:

a) a + o = o + a = a ,

b) a + (–a ) = (–a ) + a = o ,

c) 0 . a = o ,

d) (–1) . a = –a ,

e) –(–a ) = a .

Vlastnost a) uvádí, že nulový vektor ve Vr hraje stejnou roli vzhledem ke sčítání vektorů ve Vr jako 0 vzhledem ke sčítání reálných čísel. Vlastnost c) praví, že nulový vektor ve Vr je nulo-vým násobkem jakéhokoli vektoru z Vr . Vlastnost d) ukazuje, že opačný vektor k vektoru a je (–1)násobek vektoru a . Ve vlastnosti e) je uvedeno, je-li –a opačný vektor k vektoru a , potom vektor a je opačný vektor k vektoru –a , tzn. vektory a a –a jsou navzájem opačné vektory.

DEFINICE

Lineární kombinace vektorů

Jestliže a , a1, a

2, a

3, . . ., a

n, jsou vektory z Vr ,

potom vektor a je lineární kombinací vektorů a1, a

2, a

3, . . ., a

n, jestliže existují reálná čísla

k1, k2, k3, . . ., kn taková, že:

a a a a ak k k k. . .n n1 1 2 2 3 3

$ $ $ $= + + + + ,

čísla k1, k2, k3, . . ., kn jsou koefi cienty této lineární kombinace.


71

PŘÍKLAD 4.4

Mějme vektory a = (3, 1, 1, 2), a1 = (5, 4, 3, 2), a

2 = (3, 1, 1, 2), a a

3 = (1, –2, 3, 4). Rozhodneme,

zda vektor a je lineární kombinací vektorů a1, a

2, a

3.

Řešení

I ti, kteří mají špatný postřeh, přijdou na to, že a = a2, tudíž a = 0 . a

1 + 1 . a

2 + 0 . a

3, proto

vektor a je lineární kombinací vektorů a1, a

2, a

3.

PŘÍKLAD 4.5

Mějme vektory a = (0, 0, 0, 0), a1 = (5, 4, 3, 2), a

2 = (3, 1, –1, 2), a a

3 = (1, 2, 3, 4). Rozhodneme,

zda vektor a je lineární kombinací vektorů a1, a

2, a

3.

Řešení

Vektor a je nulový vektor ve V4, tudíž a = 0 . a1 + 0 . a

2 + 0 . a

3, proto vektor a je lineární

kombinací vektorů a1, a

2, a

3.

PŘÍKLAD 4.6

Mějme vektory a = (5, 2, 3, 1), a1 = (0, 0, 3, 2) a a

2 = (0, 0, 0, 5). Rozhodneme, zda vektor a

je lineární kombinací vektorů a1, a

2.

Řešení

Je-li vektor a je lineární kombinací vektorů a1, a

2, potom musí existovat reálná čísla k1 a k2

taková, že a = k1 . a1 + k2 . a2, tj. (5, 2, 3, 1) = k1 . (0, 0, 3, 2) + k2 . (0, 0, 0, 5). Musí platit (5, 2, 3, 1) = (k1 . 0 + k2 . 0, k1 . 0 + k2 . 0, k1 . 3 + k2 . 0, k1 . 2 + k2 . 5) = (0, 0, 3k1, 2k1 + 5k2). Jenže dva vektory se rovnají, jestliže mají stejné odpovídající si souřadnice, to není splněno ani pro první, ani pro druhé souřadnice. Z tohoto důvodu vektor a není lineární kombinací vektorů a

1, a

2.

Příklad 4.4 ukazuje, obsahuje-li skupina vektorů vektor a, potom vektor a je lineární kombinací této skupiny vektorů. Příklad 4.5 uvádí, že nulový vektor ve Vr je lineární kombinací jakékoli neprázdné skupiny vektorů z Vr.

DEFINICE

Lineární závislost a nezávislost vektorů

Jestliže a1, a

2, a

3, . . ., a

n, jsou vektory z Vr , potom:

a) vektory a1, a

2, a

3, . . ., a

n, jsou lineárně závislé, jestliže:

buď n = 1 a a1 = o ,

nebo n > 1 a některý z vektorů a1, a

2, a

3, . . ., a

n lze vyjádřit jako lineární kombi-

naci vektorů zbývajících,

b) vektory a1, a

2, a

3, . . ., a

n jsou lineárně nezávislé, jestliže:

buď n = 1 a a1 ≠ o (tj. alespoň jedna souřadnice vektoru a

1 je různá od 0),

nebo n > 1 a žádný z vektorů a1, a

2, a

3, . . ., a

n nelze vyjádřit jako lineární kom-

binaci vektorů zbývajících.


72

Poznamenejme, že každá neprázdná skupina vektorů z Vr je buď lineárně závislá, nebo line-árně nezávislá. Tedy platí:

a) jsou-li vektory a1, a

2, a

3, . . ., a

n lineárně závislé, potom vektory a

1, a

2, a

3, . . ., a

n nejsou

lineárně nezávislé,

b) jsou-li vektory a1, a

2, a

3, . . ., a

n lineárně nezávislé, potom vektory a

1, a

2, a

3, . . ., a

n

nejsou lineárně závislé.

PŘÍKLAD 4.7

Mějme vektory a1 = (3, 1, –1, 2), a

2 = (5, 4, 3, 2), a

3 = (3, 1, –1, 2) a a

4 = (1, 2, 3, 4). Rozhod-

neme, zda vektory a1, a

2, a

3 a a

4 jsou lineárně závislé nebo nezávislé.

Řešení

Platí a1 = a

3, tudíž podle příkladu 4.4 víme, že a

1 = 0 . a

2 + 1 . a

3 + 0 . a

4. Vektor a

1 je lineární

kombinací vektorů a2, a

3 a a

4, jeden z vektorů je lineární kombinací vektorů zbývajících, proto

vektory a1, a

2, a

3 a a

4 jsou lineárně závislé.

PŘÍKLAD 4.8

Mějme vektory a1 = (3, 1, –1, 2), a

2 = (5, 4, 3, 2), a

3 = (0, 0, 0, 0) a a

4 = (1, 2, 3, 4). Rozhod-

neme, zda vektory a1, a

2, a

3 a a


Řešení

Vektor a3 je nulový vektor ve V4, proto a

3 = 0 . a

1 + 0 . a

2 + 0 . a

4. Vektor a

3 je lineární kom-

binací vektorů a2, a

3 a a

4, jeden z vektorů je lineární kombinací vektorů zbývajících, proto

vektory a1, a

2, a

3 a a

4 jsou lineárně závislé.

PŘÍKLAD 4.9

Mějme vektory a1 = (5, 2, 3, 1), a

2 = (0, 0, 3, 2) a a

3 = (0, 0, 0, 5). Rozhodneme, zda vektory

a1, a

2 a a


Řešení

Z příkladu 4.6 víme, že vektor a1 není lineární kombinací vektorů a

2, a

3.

Vektor a2 není lineární kombinací vektorů a

1 a a

3, protože vektor a

1 bychom nuseli vynásobit 0

(vzhledem k prvním souřadnicím), ale potom dostáváme spor u třetích souřadnic.

Vektor a3 není lineární kombinací vektorů a

1 a a

2, protože vektor a

1 bychom museli vynásobit

0 (vzhledem k prvním souřadnicím) a rovněž vektor a2 bychom museli vynásobit 0 (vzhledem

ke třetím souřadnicím).

Žádný z vektorů a1, a

2 a a

3 není lineární kombinací vektorů zbývajících, tudíž vektory a

1, a

2

a a3 jsou lineárně nezávislé.

Příklad 4.7 ukazuje – obsahuje-li skupina vektorů z Vr dva stejné vektory, potom je lineárně závislá. Z příkladu 4.8 vyplývá – obsahuje-li skupina vektorů z Vr nulový vektor, potom je lineárně závislá.


73

DEFINICE

Skalární součin vektorů

Jestliže a = (a1, a2, a3, . . ., ar ) a b = (b1, b2, b3, . . ., br ) jsou vektory z Vr , potom ska-lární součin vektorů a a b je reálné číslo

a b a b a b a b a b a b. . .r r i i

i

r

1 1 2 2 3 31

$ $ $ $ $ $= + + + + ==

/ .

Skalární součin dvou vektorů z Vr určíme tak, že vynásobíme odpovídající souřadnice a sou-činy sečteme. Výsledkem musí být reálné číslo.

PŘÍKLAD 4.10

Mějme vektory a = (1, –2, 3, 5, 0) a b = (2, 2, -3, -1, 5). Určíme skalární součiny a . b a b . a.

Řešení

Podle defi nice skalárního součinu dostáváme:

a . b = (1, –2, 3, 5, 0) . (2, 2, –3, –1, 5) = 1 . 2 + (–2) . 2 + 3 . (–3) + 5 . (–1) + 0 . 5 = = 2 – 4 – 9 – 5 = –16,

b . a = (2, 2, –3, –1, 5) . (1, –2, 3, 5, 0) = 2 . 1 + 2 . (–2) + (–3) . 3 + (–1) . 5 + 5 . 0 = = 2 – 4 – 9 – 5 = –16.

Určitě platí a . b = b . a.

PŘÍKLAD 4.11

V divadle se na představení prodalo 120 vstupenek za 100 Kč, 60 vstupenek za 200 Kč, 30 vstupenek za 300 Kč a 10 vstupenek za 500 Kč. Určíme celkovou tržbu.

Řešení

Tuto úlohu lze řešit různými způsoby, zvolíme řešení užitím skalárního součinu, vektora = (120, 60, 30, 10) reprezentuje počet prodaných vstupenek v jednotlivých cenových kate-goriích, vektor b = (100, 200, 300, 500) uvádí ceny jednotlivých vstupenek, celková tržba je skalární součin vektorů a a b, tj. a . b = (120, 60, 30, 10) . (100, 200, 300, 500) = 120 . 100 + + 60 . 200 + 30 . 300 + 10 . 500 = 38 000, tedy celková tržba je 38 000 Kč.


74

4.2Matice

DEFINICE

Matice

A je matice typu r s, jestliže A je r . s reálných čísel aij pro i = 1, 2, . . ., r a j = 1, 2, . . ., s zapsaných ve schématu:

aaa

a

aaa

a

aaa

a

aaa

a

A

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,r r r

s

s

s

rs

11

21

31

1

12

22

32

2

13

23

33

3

1

2

3

h h h

g

g

g

j

g

h

=

R

T

SSSSSSS

V

X

WWWWWWW

,

přičemž pro prvek aij matice A je i řádkový index a j sloupcový index.

Je-li A je matice typu r s, potom r určuje počet řádků a s počet sloupců matice A.

Je-li aij prvek matice A, potom i určuje, ve kterém řádku matice A je aij (proto jde o řádkový index), a j určuje, ve kterém sloupci matice A je aij (proto jde o sloupcový index), tzn. i a j určují umístění prvku v matici.

PŘÍKLAD 4.12

Mějme matici A ,

,

,

,

,

,

1

2

0

5

4

3

12

15= = G . Jde o matici typu 2 4. První řádek je aritmetický vektor

(1, 0, 4, 12) a druhý řádek je aritmetický vektor (2, 5, 3, 15), tzn. jde o vektory z V4, tj. počet sloupců určuje počet souřadnic. První sloupec je vektor (1, 2), druhý sloupec (0, 5), třetí sloupec (4, 3) a čtvrtý sloupec (12, 15), jde o vektory z V2, tj. počet řádků určuje počet souřadnic.

Je-li A je matice typu r s, potom řádky matice A jsou aritmetické vektory z Vs a sloupce A jsou aritmetické vektory z Vr .

DEFINICE

Hodnost matice

Jestliže A je matice, potom hodnost matice A, kterou označíme h (A ), je maximální počet lineárně nezávislých řádků matice A.

Je-li A je matice typu r × s, potom 0 ≤ h(A) ≤ min {r, s}, přičemž h(A) = 0 právě tehdy, jestliže matice A je nulová (tj. všechny prvky matice A jsou 0). Z toho mj. vyplývá, jestliže alespoň jeden prvek matice A je různý od 0, potom h(A) ≥ 1.


75

PŘÍKLAD 4.13

Určíme hodnost matice A,

,

,

,

,

,

,

,

,

5

0

0

2

0

0

3

3

0

1

2

5

=

R

T

SSSS

V

X

WWWW .

Řešení

Podle příkladu 4.9 jsou řádky matice A, tj. vektory a1 = (5, 2, 3, 1), a

2 = (0, 0, 3, 2) a a

3 = (0, 0, 0, 5)

lineárně nezávislé, tudíž h (A ) = 3.

Půjde nám o to, abychom matici A převedli na matici, která má stejnou hodnost a pro kterou snadno určíme její hodnost. Takovou maticí pro nás bude matice v Gaussově tvaru.

DEFINICE

Matice v Gaussově tvaru

Matice A je v Gaussově tvaru, jestliže:

a) matice A je nenulová (tj. alespoň jeden její prvek je různý od 0),

b) matice A neobsahuje nulový řádek (tj. v každém řádku je alespoň jeden prvek je různý od 0),

c) první nenulové číslo v libovolném řádku matice A je zároveň poslední nenulové číslo v příslušném sloupci.

PŘÍKLAD 4.14

Rozhodneme, zda matice A,

,

,

,

,

,

,

,

,

1

0

0

2

0

0

3

5

0

4

6

7

=

R

T

SSSS

V

X

WWWW je v Gaussově tvaru.

Řešení

Matice A je nenulová, protože obsahuje alespoň jedno nenulové číslo (je splněna vlastnost a)). Matice neobsahuje nulový řádek, protože každý řádek obsahuje alespoň jedno nenulové číslo (je splněna vlastnost b)). Ověření prvních dvou vlastností je jednoduché. Přejděme k ověření části c). První nenulové číslo v prvním řádku je 1, ale v prvním sloupci (ve kterém prvek leží) jde o poslední nenulové číslo. První nenulové číslo ve druhém řádku je 5, ve třetím sloupci (ve kterém prvek leží) jde o poslední nenulové číslo. První nenulové číslo ve třetím řádku je 7, ve čtvrtém sloupci (ve kterém prvek leží) jde o poslední nenulové číslo. Matice A je tedy v Gaussově tvaru.

PŘÍKLAD 4.15

Rozhodneme, zda matice A,

,

,

,

,

,

,

,

,

9

0

0

8

0

0

7

5

3

6

4

2

=

R

T

SSSS

V

X

WWWW je v Gaussově tvaru.

Řešení

Matice A je nenulová, protože obsahuje alespoň jedno nenulové číslo (je splněna vlastnost a)). Matice neobsahuje nulový řádek, protože každý řádek obsahuje alespoň jedno nenulové číslo (je splněna vlastnost b)). Přejděme k ověření části c). První nenulové číslo v prvním řádku je 9, v prvním sloupci (ve kterém prvek leží) jde o poslední nenulové číslo. První nenulové číslo ve druhém řádku je 5, ale ve třetím sloupci (ve kterém prvek leží) nejde o poslední nenulové číslo, protože po ním je ještě číslo 3. Tzn. matice A není v Gaussově tvaru.


76

VĚTA

(o hodnosti matice v Gaussově tvaru)

Jestliže matice A je v Gaussově tvaru, potom hodnost matice A je rovna počtu všech řádků matice A.

Půjde nám o to, jak matici A převést na matici v Gaussově tvaru a neztratit důležité informace. K tomu potřebujeme pojem ekvivalentní matice.

DEFINICE

Ekvivalentní matice

Jestliže A je matice typu r s a B je matice typu t s, potom matice A a B jsou ekviva-lentní a označíme A B, jestliže jak libovolný řádek matice A lze vyjádřit jako lineární kombinací řádků matice B, tak i libovolný řádek matice B lze vyjádřit jako lineární kom-binací řádků matice A.

Poznamenejme, že dvě ekvivalentní matice musí mít stejný počet sloupců.

VĚTA

(o hodnosti ekvivalentních matic)

Jestliže A a B jsou matice takové, že A B, potom h(A) = h(B).

Jaké úpravy použít, aby dvě matice byly ekvivalentní? Na tuto otázku nám odpoví následující věta.

VĚTA

(o elementárních úpravách matice)

Jestliže matice B vznikla z matice A některou z následujících úprav:

a) záměnou pořadí řádků,

b) vynásobením řádků nenulovými reálnými čísly,

c) přičtením násobku některého řádku k jinému řádku,

d) vynecháním řádku, který je násobkem jiného řádku.

Potom A B (tudíž i h(A) = h(B)).


77

PŘÍKLAD 4.16


,

,

,

,

,

,

,

,

1

1

2

3

1

3

1

1

0

2

0

1

= -

R

T

SSSS

V

X

WWWW .

Řešení

Matici A převedeme na ekvivalentní matici v Gaussově tvaru, u které snadno určíme hod-nost.

A B,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

1,

1

1

2

3

1

3

1

1

0

2

0

1

1

2

1

1

3

3

1

0

1

0

1

2

1

0

0

1

1

2

1

2

2

0

1

2

1

0

0

1

1

1

1

2

1

0

1

1

1

0

0

1

1

0

1

2

0

1

0

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4

+ + + += =-

- - - -

-

R

T

SSSS

R

T

SSSS

R

T

SSSS

R

T

SSSS

R

T

SSSS

V

X

WWWW

V

X

WWWW

V

X

WWWW

V

X

WWWW

V

X

WWWW

.

Při úpravách matice A jsme použili:

(1) záměnu pořadí řádků – druhý řádek je první, třetí řádek druhý a první řádek třetí (je výhodné, aby v prvním řádku na prvním místě bylo číslo 1 nebo (–1),

(2) první sloupec jsme upravili tak, aby odpovídal matici v Gaussově tvaru, tj. první řá-dek jsme opsali, první řádek jsme vynásobili číslem (–2) a přičetli k řádku druhému, první řádek jsme vynásobili (–1) a přičetli k řádku třetímu,

(3) první a druhý řádek jsme opsali, třetí řádek jsme vynásobili 21 ,

(4) první a druhý řádek jsme opsali, druhý řádek jsme vynásobili (–1) a přičetli ke třetímu řádku.

Výsledná matice B je v Gaussově tvaru (tj. je nenulová, neobsahuje nulový řádek a první ne-nulové číslo v jakémkoli řádku je poslední nenulové číslo v příslušném sloupci), tudíž je její hodnost rovna počtu řádků, tj. h(B) = 3. Matice A je ekvivalentní matici B, proto má i stejnou hodnost, tj. A B a z toho vyplývá h(A) = h(B) = 3.

PŘÍKLAD 4.17


,

,

,

,

,

3

2

4

1

3

5

1

2

0

=

-

-

-

-

R

T

SSSS

V

X

WWWW .

Řešení

Matici A převedeme na ekvivalentní matici v Gaussově tvaru.

A B,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

3

2

4

1

3

5

1

2

0

1

2

4

4

3

5

1

2

0

1

0

0

4

11

11

1

4

4

1

0

4

11

1

4

( ) ( ) ( )1 2 3

+ + += =

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

R

T

SSSS

R

T

SSSS

R

T

SSSS

>

V

X

WWWW

V

X

WWWW

V

X

WWWW

H .

Při úpravách matice A jsme použili:

(1) druhý a třetí řádek jsme opsali, druhý řádek jsme vynásobili (–1) a přičetli k prvnímu řádku (abychom na prvním místě v prvním řádku měli 1),

(2) první řádek jsme opsali, první řádek jsme vynásobili (–2) a přičetli k řádku druhému, první řádek jsme násobili (–4) a přičetli k třetímu řádku,

(3) třetí řádek jsme vynechali, protože je shodný s řádkem druhým (můžeme vynechat řádek, který je lineární kombinací řádků zbývajících).

Výsledná matice B je v Gaussově tvaru, proto h(A) = h(B) = 2.


78

Máme-li rozhodnout, zda vektory a1, a

2, a

3, . . ., a

n z Vr jsou lineárně závislé nebo nezávislé,

lze zjišťovat, je-li některý z nich lineární kombinací vektorů zbývajících. Tato cesta je pracná i zdlouhavá. Daleko jednodušší je zapsat vektory pod sebe do matice A a určit její hodnost. Jestliže hodnost matice A je menší než počet vektorů, potom vektory jsou lineárně závislé; jestliže hodnost matice A je rovna počtu vektorů, potom vektory jsou lineárně nezávislé.

PŘÍKLAD 4.18

Rozhodneme, zda vektory a1 = (6, 5, 4), a

2 = (2, 1, –1) a a

3 = (2, 3, 6) lineárně závislé nebo

nezávislé.

Řešení

Vektory a1, a

2, a

3 zapíšeme pod sebe do matice (volíme vhodné pořadí řádků vzhledem k úpra-

vám v prvním sloupci):

A B,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

2

6

2

1

5

3

1

4

6

2

0

0

1

2

2

1

7

7

2

0

1

2

1

7

( ) ( )1 2

+ += =

- --

R

T

SSSS

R

T

SSSS

=

V

X

WWWW

V

X

WWWW

G .

Použili jsme:

(1) první řádek jsme vynásobili (–3) a přičetli ke druhému řádku, první řádek jsme ná-sobili (–1) a přičetli k řádku třetímu,

(2) třetí řádek jsme vynechali, protože je shodný s řádkem druhým.

Hodnost matice B je 2 (matice B je v Gaussově tvaru), tudíž i hodnost matice A je 2. Protože hodnost matice A je menší než počet vektorů, jsou vektory a

1, a

2, a

3 lineárně závislé.

PŘÍKLAD 4.19

Určíme hodnost matice A

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

1

1

1

1

2

0

4

3

1

1

2

1

1

1

3

2

=

- -

-

-

-

-

R

T

SSSSSS

V

X

WWWWWW

.

Řešení

Opět upravíme matici A na matici v Gaussově tvaru.

A

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

1

1

1

1

2

0

4

3

1

1

2

1

1

1

3

2

1

0

0

0

2

2

2

1

1

2

1

0

1

2

2

1

1

0

0

0

2

1

2

1

1

1

1

0

1

1

2

1

1

0

0

0

2

1

0

0

1

1

1

1

1

1

0

0

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4

+ + + +=

- -

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

R

T

SSSSSS

R

T

SSSSSS

R

T

SSSSSS

R

T

SSSSSS

V

X

WWWWWW

V

X

WWWWWW

V

X

WWWWWW

V

X

WWWWWW

B,

,

,

,

,

,

,

,

,

1

0

0

2

1

0

1

1

1

1

1

0

( )4

+ =-

-

-

R

T

SSSS

V

X

WWWW

Při úpravě matice A postupovali takto:

(1) první řádek jsme opsali, k druhému řádku přičetli (–1)násobek prvního řádku, ke tře-tímu řádku přičetli (–1)násobek prvního řádku a ke čtvrtému řádku přičteme první,

(2) druhý řádek jsme vynásobili 21 ,

.


79

(3) ke třetímu řádku přičteme 2násobek druhého a k čtvrtému řádku (–1)násobek dru-hého,

(4) čtvrtý řádek je (–1)násobek třetího, tudíž jej můžeme vynechat.

Výsledná matice B je v Gaussově tvaru, proto h(A) = h(B) = 3.

PŘÍKLAD 4.20

V závislosti na reálném parametru k určíme hodnost matice A,

,

,

,

,

, k

1

0

1

3

1

5

1

2=

R

T

SSSS

V

X

WWWW .

Řešení

Opět upravíme matici A na matici v Gaussově tvaru.

A B,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,k k k

1

0

1

3

1

5

1

2

1

0

0

3

1

2

1

2

1

1

0

0

3

1

0

1

2

5

( ) ( )1 2

+ += =

- -

R

T

SSSS

R

T

SSSS

R

T

SSSS

V

X

WWWW

V

X

WWWW

V

X

WWWW

.

Úpravy:

(1) ke třetímu řádku jsme přičetli (–1)násobek prvního,

(2) ke třetímu řádku jsme přičetli (–1)násobek druhého.

Je-li k –5 = 0 (tj. k = 5), je poslední řádek v matici B nulový vektor, který můžeme vynechat (je nulovým násobkem kteréhokoli řádku), tudíž h(B) = 2.

Jestliže k –5 ≠ 0 (tj. k ≠ 5), je matice B v Gaussově tvaru, tudíž h(B) = 3.

Shrneme-li, potom platí:

jestliže k = 5, potom h(A) = h(B) = 2,

jestliže k ≠ 5, potom h(A) = h(B) = 3.

PŘÍKLAD 4.21

V závislosti na reálném parametru k rozhodneme o lineární závislosti a nezávislosti vektorů a1 = (2, 1, –1, 3), a

2 = (4, –6, –1, 1), a

3 = (6, –5, 1, 0), a

4 = (8, –4, –3, k).

Řešení

Vektory a1, a

2, a

3, a

4 zapíšeme pod sebe do matice, kterou upravíme na matici v Gaussově

tvaru. Dostáváme:

A B

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,k k k

2

4

6

8

1

6

5

4

1

1

1

3

3

1

0

2

0

0

0

1

8

8

8

1

1

4

1

3

5

9

12

2

0

0

0

1

8

0

0

1

1

3

0

1

1

4

7

( ) ( )1 2

+ += =-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

R

T

SSSSSS

R

T

SSSSSS

R

T

SSSSSS

V

X

WWWWWW

V

X

WWWWWW

V

X

WWWWWW

.

Úpravy:

(1) k druhému řádku jsme přičetli (–2)násobek prvního řádku, ke třetímu (–3)násobek prvního a ke čtvrtému (–4)násobek prvního,

(2) ke třetímu i ke čtvrtému řádku jsme přičetli (–1)násobek druhého.


80

Podobně jako v předcházejícím příkladu dostáváme:

jestliže k = 7, potom h(A) = h(B) = 3,

jestliže k ≠ 7, potom h(A) = h(B) = 4.

Pro vektory a1, a

2, a

3, a

4 tedy platí:

jestliže k = 7, potom vektory a1, a

2, a

3, a

4 jsou lineárně závislé,

jestliže k ≠ 7, potom vektory a1, a

2, a

3, a

4 jsou lineárně nezávislé.

4.3Transponovaná matice

DEFINICE

Transponovaná matice

Jestliže matice

aaa

a

aaa

a

aaa

a

aaa

a

A

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,r r r

s

s

s

rs

11

21

31

1

12

22

32

2

13

23

33

3

1

2

3

h h h

g

g

g

j

g

h

=

R

T

SSSSSSS

V

X

WWWWWWW

, potom transponovaná matice

k matici A je matice

aaa

a

aaa

a

aaa

a

aaa

a

A

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

T

s s s

r

r

r

rs

11

12

13

1

21

22

23

2

31

32

33

3

1

2

3

h h h

g

g

g

j

g

h

=

R

T

SSSSSSS

V

X

WWWWWWW

.

PŘÍKLAD 4.22

K matici A ,

,

,

,

,

,

1

2

0

5

5

3

9

7= = G určíme matici transponovanou.

Řešení

Transponovaná matice k matici A je matice A

,

,

,

,

1

0

5

9

2

5

3

7

T=

R

T

SSSSSS

V

X

WWWWWW

. Matice A je typu 2 4, matice

transponovaná AT je typu 4 2.


81

PŘÍKLAD 4.23

Mějme matici A,

,

,

,

,

,

,

,

,

1

2

1

0

1

2

1

3

4

2

5

3

=

-

R

T

SSSS

V

X

WWWW , určíme její hodnost, matici transponovanou a hodnost matice

transponované.

Řešení

Nejprve určíme hodnost matice A, tj. A B,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

1

2

1

0

1

2

1

3

4

2

5

3

1

0

0

0

1

2

1

1

5

2

1

5

1

0

0

0

1

0

1

1

3

2

1

3

( ) ( )1 2

+ += =

-

R

T

SSSS

R

T

SSSS

R

T

SSSS

V

X

WWWW

V

X

WWWW

V

X

WWWW

,

Jednotlivé úpravy , které jsme použili, jsou:

(1) první řádek jsme násobili číslem (–2) a přičetli k řádku druhému, první řádek jsme přičetli k řádku třetímu,

(2) druhý řádek jsme násobili číslem (–2) a přičetli k řádku třetímu.

Výsledná matice B je v Gaussově tvaru, tudíž h(A) = h(B) = 3.

Transponovaná matice k matici A je matice A

,

,

,

,

,

,

,

,

1

0

1

2

2

1

3

5

1

2

4

3

T=

-R

T

SSSSSS

V

X

WWWWWW

.

Určíme hodnost matice AT, tj.:

A C

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

1

0

1

2

2

1

3

5

1

2

4

3

1

0

0

0

2

1

1

1

1

2

6

5

1

0

0

0

2

1

0

0

1

2

4

3

1

0

0

0

2

1

0

0

1

2

1

1

1

0

0

2

1

0

1

2

1

( ) ( ) ( ) ( )T

1 2 3 4

+ + + += =

- - - --

R

T

SSSSSS

R

T

SSSSSS

R

T

SSSSSS

R

T

SSSSSS

R

T

SSSS

V

X

WWWWWW

V

X

WWWWWW

V

X

WWWWWW

V

X

WWWWWW

V

X

WWWW

, při převodu matice AT na

matici C v Gaussově tvaru jsme použili úpravy:

(1) první řádek jsme násobili číslem (–1) a přičetli k řádku třetímu, první řádek jsme násobili číslem (–2) přičetli k řádku čtvrtému,

(2) druhý řádek jsme násobili číslem (–1) a přičetli k řádkům třetímu a čtvrtému,

(3) třetí řádek jsme vynásobili číslem 41 a čtvrtý řádek číslem

31 ,

(4) třetí a čtvrtý řádek jsou stejné, proto lze jeden z nich vynechat.

Dostáváme h(AT ) = h(C ) = 3, tedy h(A) = h(AT ) = 3.

VĚTA

(o vlastnostech transponované matice)

Jestliže A je matice typu r s, potom:

a) AT je matice typu s r,

b) (AT )T = A,

c) h(AT ) = h(A ).


82

Vzhledem k vlastnosti a) je matice A transponovaná k matici AT, tzn. matice A a matice AT jsou matice navzájem transponované.

Někdy je při výpočtu hodnosti matice A výhodnější počítat hodnost transponované matice AT, která má podle vlastnosti c) stejnou hodnost.

4.4Soustavy lineárních rovnic

DEFINICE

Soustava lineárních rovnic a její řešení

Soustava r lineárních rovnic o s neznámých x1, x2, x3, . . ., xs je soustava rovnic:

aaa

a

aaa

a

aaa

a

aaa

a

bbb

b

xx

x

xxx

x

xxx

x

xxx

x

,

,

,

,

x1

r r r

s s

s s

s s

rs s r

11 1

21 1

31 1

1 1

12 2

22 2

32 2

2 2

13 3

23 3

33 3

3 3

2

3

1

2

3

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

h h h

g

g

g

j

g

h h

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

=

=

=

=

kde pro i = 1, 2, . . ., r a j = 1, 2, . . ., s jsou aij a bi reálná čísla.

Řešení této soustavy je každý vektor c = (c1, c2, c3, . . ., cs ) Vs , který vyhovuje všem rovnicím této soustavy.

Matice této soustavy je matice

aaa

a

aaa

a

aaa

a

aaa

a

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,r r r

s

s

s

rs

11

21

31

1

12

22

32

2

13

23

33

3

1

2

3

h h h

g

g

g

j

g

h

R

T

SSSSSSS

V

X

WWWWWWW

, rozšířená matice této

soustavy je matice

aaa

a

aaa

a

aaa

a

aaa

a

bbb

b

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,r r r

s

s

s

rs r

11

21

31

1

12

22

32

2

13

23

33

3

1

2

3

1

2

3

h h h

g

g

g

j

g

h h

R

T

SSSSSSS

V

X

WWWWWWW

.

Pro ilustraci uvedeme příklady, ve kterých určíme matici soustavy lineárních rovnic i rozšířenou matici. Dále uvedeme vzájemně jednoznačnou korespondenci mezi maticemi a soustavami lineárních rovnic.


83

PŘÍKLAD 4.24

Určíme matici soustavy a rozšířenou matici soustavy pro soustavu lineárních rovnic:

2x1 + x2 + 2x3 + 2x4 = 1,

3x1 + 2x2 – 4x3 + 3x4 = 2,

–x1 + 4x2 + 5x4 = 3.

Řešení

Matice této soustavy je matice ,

,

,

,

,

,

,

,

,

2

3

1

1

2

4

2

4

0

2

3

5-

-

R

T

SSSS

V

X

WWWW

a rozšířená matice této soustavy je matice ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

2

3

1

1

2

4

2

4

0

2

3

5

1

2

3-

-

R

T

SSSS

V

X

WWWW .

PŘÍKLAD 4.25

Mějme matici A,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

1

5

2

3

4

3

1

3

0

2

0

1

2

2

3

= -

R

T

SSSS

V

X

WWWW . Určíme soustavu lineárních rovnic tak, aby matice A byla

rozšířenou maticí této soustavy.

Řešení

Použijeme-li defi nici rozšířené matice soustavy, potom matici A odpovídá soustava tří lineárních rovnic o čtyřech neznámých:

x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = 2,

5x1 + 4x2 – 3x3 = 2,

2x1 + 3x2 + x4 = 3.

Příklady ukazují, že každé soustavě r lineárních rovnic o s neznámých odpovídá právě jedna rozšířená matice soustavy typu r (s + 1) a každé matici typu r (s + 1) odpovídá právě jedna soustava r lineárních rovnic o s neznámých.

Budeme upravovat matici soustavy i rozšířenou matici soustavy na matici v Gaussově tvaru a obě matice se od sebe liší pouze tím, že rozšířená matice soustavy obsahuje navíc sloupec pravých stran, proto zapisujeme obě matice dohromady:

aaa

a

aaa

a

aaa

a

aaa

a

bbb

b

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,r r r

s

s

s

rs r

11

21

31

1

12

22

32

2

13

23

33

3

1

2

3

1

2

3

h h h

g

g

g

j

g

h h

R

T

SSSSSSS

V

X

WWWWWWW

.


84

DEFINICE

Ekvivalentní soustavy lineárních rovnic

Dvě soustavy lineárních rovnic o s neznámých jsou ekvivalentní, jestliže mají stejnou množinu všech řešení.

Při řešení soustav lineárních rovnic nám půjde o to převést soustavu lineárních rovnic na soustavu ekvivalentní, která bude snadněji řešitelná.

VĚTA

(o ekvivalentních soustavách lineárních rovnic)

Dvě soustavy lineárních rovnic o s neznámých s rozšířenými maticemi soustavy A a B jsou ekvivalentní právě tehdy, jestliže A B.

Při řešení soustavy lineárních rovnic zapíšeme rozšířenou matici soustavy a převedeme ji na matici v Gaussově tvaru. Tento postup se nazývá Gaussova eliminační metoda.

Značení. Při řešení soustavy lineárních rovnic budeme značit symbolem h hodnost matice soustavy lineárních rovnic, symbolem hr hodnost rozšířené matice této soustavy a symbolem s počet neznámých.

Jestliže h je hodnost matice soustavy lineárních rovnic a hr hodnost rozšířené matice této soustavy, potom buď h = hr , nebo h + 1 = hr , protože rozšířená matice soustavy se odlišuje od matice soustavy pouze přidáním jediného sloupce.

PŘÍKLAD 4.26

Určíme všechna řešení soustavy rovnic:

xxxx

x

xx

xxxx

,

,

,

.

2

3

3

2

5

3

4

5

8

4

1

1

1

1

1

2

2

2

3

3

3

3

- +

+

+

+

=

=

=

=

-

-

-

-

Řešení

Jde o soustavu čtyř lineárních rovnic o třech neznámých x1, x2 a x3. Zapíšeme rozšířenou matici soustavy, kterou upravíme na matici v Gaussově tvaru.

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

2

3

1

1

3

0

1

2

1

5

3

4

5

8

4

1

1

2

3

1

1

3

0

2

3

1

5

4

4

5

8

1

1

0

0

0

1

1

3

3

3

5

14

1

4

3

20

5

( ) ( ) ( )1 2 3

+ + +-

-

-

-

- -

-

-

-

-

-

-

-

-

-

R

T

SSSSSS

R

T

SSSSSS

R

T

SSSSSS

V

X

WWWWWW

V

X

WWWWWW

V

X

WWWWWW

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

1

0

0

0

1

1

0

0

3

5

29

14

4

3

29

14

1

0

0

0

1

1

0

0

3

5

1

1

4

3

1

1

1

0

0

1

1

0

3

5

1

4

3

1

( ) ( ) ( )3 4 5

+ + +

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

R

T

SSSSSS

R

T

SSSSSS

R

T

SSSS

V

X

WWWWWW

V

X

WWWWWW

V

X

WWWW .


85

Použité úpravy:

(1) záměna pořadí řádků – na první místo jsme dali třetí řádek, na druhé první řádek, na třetí druhý řádek a čtvrtý řádek zůstal na svém místě,

(2) k druhému řádku jsme přičetli 2násobek prvního řádku, ke třetímu řádku jsme přičetli 3násobek prvního řádku a ke čtvrtému řádku jsme přičetli první řádek,

(3) druhý řádek jsme vynásobili číslem 3 a postupně přičetli ke třetímu a čtvrtému řádku,

(4) třetí řádek jsme vynásobili číslem 291 a čtvrtý řádek číslem

141 ,

(5) vynechali jsme čtvrtý řádek, protože je shodný s třetím řádkem.

Matice ekvivalentní matici soustavy je ,

,

,

,

,

, 1

1

0

0

1

1

0

3

5

-

-

-

-

-

R

T

SSSS

V

X

WWWW , tudíž h = 3, rozšířená matice soustavy je

ekvivalentní matici ,

,

,

,

1,

,

,

,

1,

1

0

0

1

0

3

5

4

3

1

-

-

-

-

-

R

T

SSSS

V

X

WWWW , tudíž hr = 3, dále s = 3.

Soustava ekvivalentní původní soustavě a odpovídající rozšířené matici 1,

,

,

,

1,

,

,

,

1,

0

0

1

0

3

5

4

3

1

-

-

-

-

-

R

T

SSSS

V

X

WWWW má tvar

x x xx x

x

,

,

.

3 4

5 3

1

1 2 3

2 3

3

+ =

=

=

- -

- -

-

V této soustavě ihned určíme x3 = –1, dosadíme do rovnice druhé, ze které

spočteme x2 = 2. Dosadíme-li do rovnice první, máme x1 = 1. Tato soustava lineárních rovnic má jediné řešení x = (x1, x2, x3) = (1, 2, –1). Má-li soustava lineárních rovnic jediné řešení, používá se také Jordanova eliminační metoda. Rozšířenou matici soustavy upravíme tak, aby v matici soustavy v první rovnici byl koefi cient u x1 byl 1, v druhé rovnici byl koefi cient u x2 byl 1, ve třetí rovnici byl koefi cient u x3 byl 1, všechny zbývající koefi cienty 0, tzn.:

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

1

0

0

1

1

0

3

5

1

4

3

1

1

0

0

1

1

0

0

0

1

1

2

1

1

0

0

0

1

0

0

0

1

1

2

1

1

0

0

0

1

0

0

0

1

1

2

1

( ) ( ) ( )6 7 8

+ + +

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

R

T

SSSS

R

T

SSSS

R

T

SSSS

R

T

SSSS

V

X

WWWW

V

X

WWWW

V

X

WWWW

V

X

WWWW

použili jsme úpravy:

(6) ke druhému řádku jsme přičetli (–5)násobek třetího řádku a ke druhému řádku (–3)násobek třetího řádku,

(7) k prvnímu řádku jsme přičetli druhý řádek,

(8) všechny tři řádky jsme vynásobili číslem (–1).

Maticí ekvivalentní rozšířené matici soustavy odpovídá soustava rovnic:

xx

x

,

,

.

1

2

1

1

2

3

=

=

=-

která ihned dává řešení. Výhoda této metody je v tom, že v ekvivalentní rozšířené matici soustavy sloupec pravých stran je řešením.


86

PŘÍKLAD 4.27

Určíme všechna řešení soustavy rovnic

xxx

xxx

xxx

xxx

2

2

4

3

17 5

,

,

.

4 2

7

5

3

10

1

1

1

2

2

2

3

3

3

4

4

4

+ =

-

-

+

+

-

-

-

+

+

=

=

-

-

Řešení

Jde o soustavu tří lineárních rovnic o čtyřech neznámých x1, x2, x3 a x4. Zapíšeme rozšířenou matici soustavy. Opět budeme rozšířenou matici této soustavy upravovat pro použití Gaus-sovy eliminační metody.

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

4

2

2

2

1

7

4

3

17

1

1

5

5

3

10

2

4

2

1

2

7

3

4

17

1

1

5

3

5

10

2

0

0

1

4

8

3

10

20

1

3

6

3

11

13

2

0

0

1

4

0

3

10

0

1

3

0

3

11

9

( ) ( ) ( )1 2 3

+ + +

-

-

-

-

-

-

- -

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-R

T

SSSS

R

T

SSSS

R

T

SSSS

R

T

SSSS

V

X

WWWW

V

X

WWWW

V

X

WWWW

V

X

WWWW .

Úpravy:

(1) záměna pořadí řádků,

(2) ke druhému řádku přičteme (–5)násobek prvního a ke třetímu řádku přičteme první,

(3) ke třetímu řádku přičteme 2násobek druhého.

V matici ekvivalentní matici soustavy je poslední řádek nulový, tudíž h = 2, matice ekvivalentní rozšířené matici soustavy je v Gaussově tvaru, tedy hr = 3, dále s = 4.

Je-li nějaký vektor řešením soustavy lineárních rovnic, musí vyhovovat všem rovnicím sou-stavy. Rovnice, která odpovídá třetímu řádku matice ekvivalentní rozšířené matici soustavy je 0 . x1 + 0 . x2 + 0 . x3 + 0 . x4 = 9. Dosadíme-li za neznámé neznámých x1, x2, x3 a x4 jakákoli reálná čísla, vždy bude levá strana 0 a pravá strana 9, tj. rovnice nemá řešení, nemá-li řečení jedna rovnice v soustavě, nemá řešení celá soustava. Původní soustava lineárních rovnic je ekvivalentní této soustavě, tudíž původní soustava nemá řešení.

PŘÍKLAD 4.28


x

x

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

2

2

2

,

,

,

.

3

3

2

6

4

2

3

4

2

2

6

0

0

0

0

1

1

2

2

2

2

3

3

3

3

4

4

4

4

5

5

5

5

-

-

-

-

+

+

+

+

-

+

+

+

-

+

+

+

=

=

=

=

Řešení

Jde o soustavu čtyř lineárních rovnic o pěti neznámých x1, x2, x3, x4 a x5. Tato soustava na rozdíl od předcházejícího příkladu má určitě řešení, protože všechny pravé strany jsou 0, tedy nulový vektor je řešením. Nám jde o to, nalézt všechna řešení. Zapíšeme rozšířenou matici soustavy, kterou upravíme na matici v Gaussově tvaru.

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

3

0

2

0

1

1

2

3

2

2

6

4

2

1

1

3

4

2

2

6

0

0

0

0

3

0

2

0

0

1

0

0

0

2

0

0

3

1

2

1

6

2

4

2

0

0

0

0

3

0

2

0

0

1

0

0

0

2

0

0

0

0

0

1

0

0

0

2

0

0

0

0

( ) ( ) ( )1 2 3

+ + +

-

-

-

-

- -

-

-

-

-

-

-

R

T

SSSSSS

R

T

SSSSSS

R

T

SSSSSS

V

X

WWWWWW

V

X

WWWWWW

V

X

WWWWWW

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

1

0

1

0

0

1

0

0

0

2

0

0

0

0

0

1

0

0

0

2

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

2

0

0

0

1

0

0

2

0

0

0

( ) ( )3 4

+ +-

-

R

T

SSSSSS

R

T

SSSS

V

X

WWWWWW

V

X

WWWW .


87

Úpravy:

(1) k prvnímu řádku přičteme (–1)násobek druhého, ke třetímu (–3)násobek druhého a ke čtvrtému (–2)násobek druhého,

(2) k prvnímu řádku přičteme 3násobek čtvrtého, ke druhému (–1)násobek čtvrtého a ke třetímu 2násobek čtvrtého,

(3) první řádek vynásobíme číslem 31 a třetí

21 ,

(4) vynecháme třetí řádek (je shodný s prvním).

Zcela evidentně je h = hr = 3 a s = 5. Soustava ekvivalentní původní má tvar:

xx x

x x

,

,

,

0

2 0

2 0

1

2 3

4 5

=

+ =

+ =

-

V této soustavě je neznámá x1 určena jednoznačně. Pro neznámé x2 a x3 platí: zvolíme-li za jednu z nich jakékoli reálné číslo, je druhá neznámá určena jednoznačně. Analogický vztah je mezi neznámými x4 a x5. Z toho vyplývá, že tato soustava má nekonečně mnoho řešení. Vezmeme parametry t1 a t2 tak, že x3 = t, x5 = t2 a t1 i t2 probíhají všechna reálná čísla. Dostáváme x1 = 0, x2 = 2t1, x3 = t1, x4 = –2t2 a x5 = t2, kde t1 R a t2 R. Řešení vyjádříme vektorově – řešením jsou všechny vektory x = (x1, x2, x3, x4, x5) = (0, 2 . t1, t1, –2 . t2, t2), kde t1 a t2 jsou libovolná reálná čísla.

Tyto příklady charakterizují jediné tři situace, které při řešení soustavy mohou nastat. Buď soustava nemá řešení (příklad 4.27), nebo má právě jedno řešení (příklad 4.26), nebo má nekonečně mnoho řešení (příklad 4.28).

Řešitelnost a neřešitelnost soustavy lineárních rovnic souvisí s hodností matice soustavy a s hod-ností rozšířené matice soustavy. Prvním základním tvrzením je Frobeniova věta o řešitelnosti soustavy.

VĚTA

(Frobeniova)

Jestliže h hodnost matice soustavy lineárních rovnic a hr hodnost rozšířené matice této soustavy, potom tato soustava lineárních rovnic je řešitelná právě tehdy, jestliže h = hr.

Vrátíme-li se k příkladům 4.26, 4.27 a 4.28, tak v příkladech 4.26 a 4.28 byly hodnosti mati-ce soustavy i rozšířené matice soustavy stejné a soustava měla řešení, v příkladu 4.27 platilo h + 1 = hr (tj. h ≠ hr) a soustava neměla řešení.

Další otázka se týká počtu řešení soustavy lineárních rovnic.


88

VĚTA

(o počtu řešení soustavy lineárních rovnic)

Jestliže h hodnost matice soustavy lineárních rovnic o s neznámých a hr hodnost rozšířené matice této soustavy,

a) jestliže h ≠ hr (tj. h + 1 = hr ), potom soustava není řešitelná,

b) jestliže h = hr = s , potom soustava má právě jedno řešení,

c) jestliže h = hr < s , potom soustava má nekonečně mnoho řešení, přičemž platí: zvolíme-li za s – h vhodně zvolených neznámých reálná čísla, jsou zbývající neznámé jednoznačně určeny (číslo s – h je počet volitelných neznámých).

Tvrzení a) předcházející věty odpovídá příklad 4.27, tvrzení b) příklad 4.26 a tvrzení c) příklad 4.28. Proč je uvedeno ve tvrzení c) vhodně zvolených neznámých? V příkladu 4.28 platilo h = hr = 3 a s = 5, proto počet volitelných neznámých s – h = 5 – 3 = 2, ale x1 nemohlo být volitelnou neznámou, protože x1 je jednoznačně určenou. Dále x2 a x3 nemohou být současně volitelnými neznámými, buď x2 , nebo x3. Podobný vztah je mezi neznámými x4 a x5. Pro výběr volitelných neznámých jsme měli čtyři možnosti: buď x2 a x4 , nebo x2 a x5, nebo x3 a x4, nebo x3 a x5. Pro řešení úlohy je jedno, kterou z těchto čtyř možností vybereme.

PŘÍKLAD 4.29


xxxx

xxx

xxx

4 2

4

,

,

,

.

2

3 2

2

4

9

8

1

1

1

1

2

2

2

3

3

3

- +

+

+

-

+

-

=

=

=

=

-

Řešení

Jde o soustavu čtyř lineárních rovnic o třech neznámých x1, x2 a x3. Zapíšeme rozšířenou matici soustavy, kterou upravíme. I když nevíme, zda soustava má právě jedno řešení, budeme matici upravovat pro Jordanovu eliminační metodu.

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

, 1

,

,

,

,

,

,

1

2

1

4

0

1

3

2

1

4

2

0

2

4

9

8

1

0

0

0

0

1

3

2

1

2

1

4

2

0

7

0

1

0

0

0

1

3

1

2

1

2

0

7

1

0

0

0

1

0

1

2

7

2

0

7

1

0

0

0

1

0

1

2

1

2

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

1

2

1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 5

+ + + + +-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

- -

R

T

SSSSSS

R

T

SSSSSS

R

T

SSSS

R

T

SSSS

R

T

SSSS

R

T

SSSS

V

X

WWWWWW

V

X

WWWWWW

V

X

WWWW

V

X

WWWW

V

X

WWWW

V

X

WWWW .

Úpravy:

(1) ke druhému řádku přičteme 2násobek prvního, ke třetímu (–1)násobek prvního a ke čtvrtému (–4)násobek prvního,

(2) vynecháme čtvrtý řádek (je 2násobek druhého),

(3) ke třetímu řádku přičteme (–3)násobek druhého,

(4) třetí řádek vynásobíme 71- ,

(5) k prvnímu řádku přičteme třetí a ke druhému (–2)násobek třetího.

Zcela jistě h = hr = s = 3, soustava má právě jedno řešení x1 = 1, x2 = 2 a x3 = –1, tj. řešením je vektor x = (x1, x2, x3) = (1, 2, –1).


89

PŘÍKLAD 4.30


xxx

xxx

xxx

3

7

,

,

.

2

5 3

1

0

1

1

1

1

2

2

2

3

3

3

+

+

+

=

=

=

- -

-

-

Řešení

Zapíšeme rozšířenou matici soustavy a upravíme ji na matici v Gaussově tvaru.

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

, 4

,

,

,

,

1

2

5

1

1

3

1

3

7

1

0

1

1

0

0

1

1

2

1

1

2

1

21

0

1

1

1

1

1

2

( ) ( )1 2

+ +- -

-

- -

-

- -

-

R

T

SSSS

R

T

SSSS

=

V

X

WWWW

V

X

WWWW

G .

Úpravy:

(1) k druhému řádku jsme přičetli 2násobek prvního řádku a ke třetímu řádku (–5)násobek prvního řádku,

(2) třetí řádek jsme vynechali (jde o (–2)násobek druhého řádku).

Protože h = hr = 2 a s = 3, soustava má nekonečně mnoho řešení, počet volitelných neznámých je s – h = 3 – 2 = 1. Soustava má tedy 1 volitelnou neznámou. V tomto příkladu je jedno, kterou neznámou vybereme jako volitelnou neznámou. Uveďme všechny tři možnosti:

a) jako volitelnou neznámou vybereme x3, kterou položíme rovnu parametru t R. Dostáváme x1 = 2t – 1, x2 = 2 – t, x3 = t, tj. řešením je

vektor x = (x1, x2, x3) = (2t – 1, 2 – t, t), kde t R,

b) jako volitelnou neznámou vybereme x2, kterou položíme rovnu parametru t R. Dostáváme x1 = 3 – 2t, x2 = t, x3 = 2 – t, tj. řešením je vektor

x = (x1, x2, x3) = (3 – 2t, t, 2 – t), kde t R,

c) jako volitelnou neznámou vybereme x1, kterou položíme rovnu parametru t R.

Dostáváme x1 = t, x2 = 23

21- . t, x3 =

21

21- . t, tj. řešením je vektor

x = (x1, x2, x3) = (t, 23 21- . t,

21

21- . t ), kde t R.

Je jedno, kterou možnost vybereme, všechna tři řešení jsou správná.

PŘÍKLAD 4.31


xxx

xxx

xxx

2

3

,

,

.

3

2 2

1

5

4

1

1

1

2

2

2

3

3

3

+

+

+

=

=

=

-

-

-

Řešení

Jde o soustavu tří lineárních rovnic o třech neznámých x1, x2 a x3. Zapíšeme rozšířenou matici soustavy, kterou upravíme na matici v Gaussově tvaru. Dostáváme:

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

4,

,

,

,

,

,

1

3

2

1

1

2

1

2

3

1

5

4

1

0

0

1

4

1

5

5

1

2

2

1

0

1

4

1

5

1

2

( ) ( )1 2

+ +-

-

-

-

-

-

-

-

R

T

SSSS

R

T

SSSS

>

V

X

WWWW

V

X

WWWW

H .


90

Úpravy:

(1) k druhému řádku jsme přičetli (–3)násobek prvního řádku a ke třetímu řádku (–2)násobek prvního řádku,

(2) třetí řádek jsme vynechali (je shodný s druhým řádkem).

Protože h = hr = 2 a s = 3, soustava má nekonečně mnoho řešení, počet volitelných neznámých je s – h = 3 – 2 = 1. Soustava má tedy 1 volitelnou neznámou. V tomto příkladu je jedno, kterou neznámou vybereme jako volitelnou neznámou. Vybereme např. x3, kterou položíme

rovnu parametru t R. Dostáváme x1 = 23

41- . t, x2 =

21

45+- . t, x3 = t, tj. řešením je každý

vektor x = (x1, x2, x3) = ( 23 41- . t,

21

45+- . t , t) pro libovolné t R.

PŘÍKLAD 4.32

Určíme všechna řešení soustavy rovnic xx

xx

xx

xx

xx

2 3 4 5 ,

.

6

21

1

2

2

3

3

4

4

5

5

+

+

+

+

+

+

+

+

=

=

Řešení

Zapíšeme rozšířenou matici soustavy:

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

1

1

2

1

3

1

4

1

5

1

6

2

1

1

1

2

1

3

1

4

1

5

2

6

1

0

1

1

1

2

1

3

1

4

2

4

1

0

0

1

1

2

2

3

3

4

2

4

( ) ( ) ( )1 2 1

+ + +- - - -

= = = =G G G G .

Úpravy:

(1) záměna řádků,

(2) ke druhému řádku přičteme (–1)násobek prvního (v tomto okamžiku víme, že h = hr = 2, přesto matici ještě zjednodušíme),

(3) k prvnímu řádku přičteme (–1)násobek druhého.

Protože h = hr = 2 a s = 5, soustava má nekonečně mnoho řešení, počet volitelných ne-známých je s – h = 5 – 2 = 3. Jako volitelné neznámé vybereme x3, x4 a x5, které po řadě vyjádříme parametry t1, t2 a t3 probíhajícími všechna reálná čísla. Řešením jsou všechny vektory x = (x1, x2, x3, x4, x5) = (–2 + t1 + t2 + t3, 4 – 2t1 – 2t2 – 2t3, t1, t2, t3), kde t1 R, t2 R a t3 R.


91


Určete hodnost matice A, jestliže:

a) A,

,

,

,

,

,

2

1

7

3

5

1

1

0

2

=

R

T

SSSS

V

X

WWWW ,

b) A,

,

,

,

,

,

,

,

,

2

3

2

4

5

3

0

2

2

6

7

4

=

R

T

SSSS

V

X

WWWW ,

c) A

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

1

4

2

1

3

0

3

2

0

2

1

3

5

7

4

0

=

R

T

SSSSSS

V

X

WWWWWW

,

d) A

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

1

2

1

1

2

3

1

3

3

7

4

2

3

5

2

4

2

4

2

2

=

R

T

SSSSSS

V

X

WWWWWW

,

e) A

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

0

4

2

0

2

1

3

0

2

5

2

2

1

1

0

5

1

4

1

1

=

R

T

SSSSSSS

V

X

WWWWWWW

,

f) A

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

1

0

2

3

1

4

3

2

1

5

1

2

0

1

0

2

0

1

2

0

3

0

2

1

7

=

R

T

SSSSSSS

V

X

WWWWWWW

,

g) A

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

3

1

0

0

3

3

2

1

0

3

2

3

1

2

0

1

2

1

1

0

9

4

1

0

9

=

R

T

SSSSSSS

V

X

WWWWWWW

,

h) A

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

1

2

2

1

0

1

0

1

2

0

1

1

3

5

7

1

=

R

T

SSSSSS

V

X

WWWWWW

,

i) A,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

2

1

4

1

0

7

2

1

1

3

0

3

5

1

0=

R

T

SSSS

V

X

WWWW ,

j) A

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

1

2

2

3

3

5

2

1

7

1

2

0

2

5

0

0

=

R

T

SSSSSS

V

X

WWWWWW

,

k) A

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

0

3

2

5

1

1

4

1

1

4

6

6

4

0

8

1

=

R

T

SSSSSS

V

X

WWWWWW

,

l) A

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

2

0

3

6

0

1

2

0

3

1

7

1

3

0

1

1

=

R

T

SSSSSS

V

X

WWWWWW

,

m) A

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

1

2

2

3

6

5

2

1

3

1

2

0

5

5

0

0

=

R

T

SSSSSS

V

X

WWWWWW

,

n) A

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

2

0

8

4

1

1

4

1

1

7

8

5

4

0

8

1

=

R

T

SSSSSS

V

X

WWWWWW

,

o) A

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

3

0

3

3

1

0

0

1

9

1

7

2

5

0

2

5

=

R

T

SSSSSS

V

X

WWWWWW

,

p) A ,

,

3

1

4

2=

- -> H ,


92

q) A ,

,

,

,

2

3

2

5

2

2= = G ,

r) A,

,

,

,

,

,

,

,

,

3

1

2

6

2

4

3

1

2

6

2

4

= -

-

-

-

- -R

T

SSSS

V

X

WWWW ,

Výsledky

a) h(A) = 3 , f) h(A) = 5 , k) h(A) = 3 , p) h(A) = 2 ,

b) h(A) = 2 , g) h(A) = 3 , l) h(A) = 4 , q) h(A) = 2 ,

c) h(A) = 4 , h) h(A) = 3 , m) h(A) = 3 , r) h(A) = 1 ,

d) h(A) = 2 , i) h(A) = 3 , n) h(A) = 4 , s) h(A) = 4 ,

e) h(A) = 4 , j) h(A) = 4 , o) h(A) = 3 , t) h(A) = 3 .

Příklad 2:

Rozhodněte o lineární závislosti či nezávislosti vektorů:

a) (2, –1, 1, 8, 2), (2, –1, 3, –2, 4), (6, –3, 8, –1, 11),

b) (2, –3, 5), (1, 0, –2), (1, –7, 9), (–1, 3, 7), (1, 2, –3), (2, –1, 0),

c) (2, 4, 9, 9), (1, 4, 7, 6), (2, 3, 7, 1),

d) (–1, –2, –1, –4), (1, 5, 4, 3), (–1, –3, –2, –1), (–2, –1, –3, –2),

e) (–1, –1, 0, 1), (–2, 0, –1, –2), (–1, 2, 2, 1), (–3, –1, –1, –3),

f) (–2, –5, –7, –3), (1, –1, 0, 0), (–1, 0, –2, –3),

g) (1, 1, 0, –1), (2, 0, 1, 2), (–1, 2, 2, 1), (5, 1, 2, 5),

h) (1, 5, 4, 3), (1, 2, 1, 4), (1, 3, 2, 1), (3, 3, 4, 6),

i) (2, 3, –1), (–4, 1, 2), (3, –2, 4),

j) (1, 2, –1), (0, 1, 4), (3, 8, 5),

k) (1, 2, 3), (–1, 0, 21 ), (–1, 2, 4),

l) (3, 0, 1, 2), (–2, 1, 5, 0), (–2, 4, 4, 4), (2, 0, 3, 0).

Výsledky

Vektory jsou:

a) lineárně závislé, g) lineárně nezávislé,

b) lineárně závislé, h) lineárně nezávislé,

c) lineárně nezávislé, i) lineárně nezávislé,

d) lineárně nezávislé, j) lineárně závislé,

e) lineárně nezávislé, k) lineárně závislé,

f) lineárně nezávislé, l) lineárně nezávislé.

s) A

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

0

1

2

3

1

2

3

0

4

5

1

1

1

0

2

1

=

R

T

SSSSSS

V

X

WWWWWW

,

t) A

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

1

2

2

1

3

5

6

4

2

2

9

8

0

4

7

4

5

5

12

20

=- -

R

T

SSSSSS

V

X

WWWWWW

.


93

Příklad 3:

V závislosti na reálném parametru k určete hodnost matice A, jestliže:

a) A,

,

,

,

,

, k

3

1

5

2

0

1

4

3= - -

R

T

SSSS

V

X

WWWW ,

b) A,

,

,

,

,

, k

3

1

5

2

1

1

4

3= - -

R

T

SSSS

V

X

WWWW ,

c) A,

,

,

,

,

, k

1

3

4

1

4

11

2

1=

-

-

R

T

SSSS

V

X

WWWW ,

d) A,

,

,

2,

,

,

,

,

, k

1

1

1

1

4

1

3

3

1

0=

-

-

-

R

T

SSSS

V

X

WWWW ,

e) A

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

, k

1

2

2

1

1

1

2

2

1

2

4

1

1

2

6=

-

-

-

-

-

R

T

SSSSSS

V

X

WWWWWW

,

f) A

,

,

,

,

,

,

,

,

,

1,

1,

, k

1

1

2

2

1

2

4

3

3

3

5

3

5=

- -

-

-

-

-R

T

SSSSSS

V

X

WWWWWW

,

g) A

,

,

,

,

,

1,

,

1,

,

,

,

1, k

1

2

1

0

1

1

3

6

5

2

4

4=

-

-

- -

-

R

T

SSSSSS

V

X

WWWWWW

,

Výsledky

a) je-li k = 225 , je h(A) = 2, je-li k ≠

225 , je h(A) = 3,

b) je-li k = 9, je h(A) = 2, je-li k ≠ 9, je h(A) = 3,

c) je-li k = –7, je h(A) = 2, je-li k ≠ –7, je h(A) = 3,

d) je-li k = 3, je h(A) = 2, je-li k ≠ 3, je h(A) = 3,

e) je-li k = 1121- , je h(A) = 3, je-li k ≠

1121- , je h(A) = 4,

f) je-li k = 7, je h(A) = 3, je-li k ≠ 7, je h(A) = 4,

g) je-li k = 3, je h(A) = 3, je-li k ≠ 3, je h(A) = 4,

h) A,

,

,

,

,

,

k

0

1

1

3

4

1

4

5

=

R

T

SSSS

V

X

WWWW ,

i) A

,

,

,

,

,

,

, k

4

1

0

2

3

2

1

1

0

1

2

=

-

R

T

SSSSSS

V

X

WWWWWW

,

j) A

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

, k

1

1

2

1

1

1

0

3

1

1

1

3

4

2

3=

- - -

R

T

SSSSSS

V

X

WWWWWW

,

k) A

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

, k

1

1

2

1

2

3

1

5

1

2

3

4

4

1

2=

R

T

SSSSSS

V

X

WWWWWW

,

l) A

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

, k

1

2

3

2

1

3

1

3

1

0

1

2

1

2

1=

-

-

R

T

SSSSSS

V

X

WWWWWW

,

m) A

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

, k

1

2

1

0

6

2

2

2

1

6

5

1

8

4

4=

-

-

- -

-

R

T

SSSSSS

V

X

WWWWWW

.


94

h) je-li k = 1, je h(A) = 2, je-li k ≠ 1, je h(A) = 3,

i) h(A) = 3 pro libovolné k R,

j) je-li k = 10, je h(A) = 3, je-li k ≠ 10, je h(A) = 4,

k) je-li k = –5, je h(A) = 3, je-li k ≠ –5, je h(A) = 4,

l) je-li k = 0, je h(A) = 3, je-li k ≠ 0, je h(A) = 4,

m) je-li k = 3, je h(A) = 3, je-li k ≠ 3, je h(A) = 4.

Příklad 4:

V závislosti na reálném parametru k rozhodněte o lineární závislosti a nezávislosti vektorů:

a) (1, –2, 1, 4), (0, 1, 3, 2), (–1, 4, –2, 0), (2, –4, 9, k),

b) (1, 3, –1, 2), (3, 9, –2, 6), (1, 4, 0, –1), (0, –1, –1, k),

c) (–1, –1, 3, –5), (2, 1, –1, 3), (4, 2, –1, 5), (3, 2, –3, k),

d) (1, 2, 1, 0), (–1, –1, 1, –1), (3, 6, 5, –1), (2, 4, –4, k),

e) (–1, 1, 2, 2), (–1, 2, 4, 3), (3, –1, –1, –3), (–5, 3, 5, k),

f) (2, 4, 6, 8), (1, –6, –5, –4), (–1, –1, 1, –3), (3, 1, 0, k).

Výsledky

a) je-li k = 8, jsou vektory lineárně závislé, je-li k ≠ 8, jsou vektory lineárně nezávislé,

b) je-li k = 3, jsou vektory lineárně závislé, je-li k ≠ 3, jsou vektory lineárně nezávislé,

c) je-li k = 7, jsou vektory lineárně závislé, je-li k ≠ 7, jsou vektory lineárně nezávislé,

d) je-li k = 3, jsou vektory lineárně závislé, je-li k ≠ 3, jsou vektory lineárně nezávislé,

e) je-li k = 7, jsou vektory lineárně závislé, je-li k ≠ 7, jsou vektory lineárně nezávislé,

f) je-li k = 7, jsou vektory lineárně závislé, je-li k ≠ 7, jsou vektory lineárně nezávislé.

Příklad 5:

Určete všechna řešení soustavy lineárních rovnic:

a)

xxxx

xxxx

xx

x

,

,

,

.

2

2

3

4

3

2

2

2

2

1

6

7

1

1

1

1

2

2

2

2

3

3

3-

+

+

+

+

+

+

=

=

=

=-

-

-

Z

[

\

]]]

]]]

b)

xxx

xxx

xxx5

,

,

,

3

2

2

2 7

0

21

1

1

1

2

2

2

3

3

3

+

+

+

+

+

+

=

=

=-

Z

[

\

]]

]]

c)

xxx

xxx

xx

,

,

,

2 3 5

2

3

1

1

1

2

2

2

3

3

+

+

+

=

=

=

-

-Z

[

\

]]

]]

d)

xxx

xxx

xx3

,

,

,

3

2

4 5

2

0

1

2

1

1

1

2

2

2

3

3

=

=

=

-

+

-

-

- -

Z

[

\

]]

]]

e)

xxx

xxx

xxx

,

,

,

3

3

0

0

0

1

1

1

2

2

2

3

3

3

=

=

=-

+

-

+

-

+

+

Z

[

\

]]

]]

f) xxx

xxx

xxx6

,

,

,

6

2

2

5

3

4 3

2

1

1

1

1

2

2

2

3

3

3

+

+ +

=

=

=

+

+

- -

Z

[

\

]]

]]


95

g)

xxx

xxx

xxx

2

,

,

,

2

3

4

2

3 2

8

4

1

1

1

2

2

2

3

3

3

+

+

+

+

+

+

=

=

=

Z

[

\

]]

]]

h)

xxx

xxx

xxx

3

3

2

,

,

,

2

2

3 1

0

2

1

1

1

2

2

2

3

3

3

+

+

+

+

+

+

=

=

=

Z

[

\

]]

]]

i) xxx

x

x

xx

xxx

2

2

3

3

,

,

,

2

7

2

1

5

1

1

1

2

2

3

3

4

4

4

-

+

+

-

+

+

-

-

=

=

=

Z

[

\

]]

]]

j) xxx

xxx

x

x

xxx

,

,

2,

3

3 2

4

21

1

1

2

2

2

3

3

4

4

4

+

+

+

+

+

+

=

=

=

-

-

- -

-

Z

[

\

]]

]]

k)

xxx

xx

xxx

xx

2

2

,

2,

,

2

3

4

2

4

1

1

1

2

2

3

3

3

4

4

+

+

+

+

=

=

=

-

-

-

+

-

-

-

Z

[

\

]]

]]

l) xxx

xxx

xxx

xxx2

2

,

,

,

2

2

2

5

4

9

0

0

0

1

1

1

2

2

2

3

3

3

4

4

4

+

+

+

+

+

=

=

=

-

-

-

+Z

[

\

]]

]]

m)

xxx

xxx

xxx

xxx

,

,

,

5

5

4

2

2

10

2

4 0

0

0

1

1

1

2

2

2

3

3

3

4

4

4

+ +

+

+

+

=

=

=

-

-

-

-

-

-

Z

[

\

]]

]]

Výsledky

a) x = (x1, x2, x3) = (–5 – 4t, 4 + 2t, t), kde t R,

b) x = (x1, x2, x3) = ( 79- ,

71- , 4),

c) x = (x1, x2, x3) = (1, 2, 3),

d) nemá řešení,

e) x = (x1, x2, x3) = (0, 0, 0),

f) nemá řešení,

g) x = (x1, x2, x3) = (0, 2, 0),

h) x = (x1, x2, x3) = (–1, 41 ,

45 ),

i) nemá řešení,

n)

xxx

xxx

xxx

xxx

4

,

,

,

6

4

7

2

3

14

6

0

0

0

1

1

1

2

2

2

3

3

3

4

4

4

+ +

+

+

+

=

=

=-

+

+

+

+

Z

[

\

]]

]]

o)

xxxx

xx

x

xx

xxxx

2

3

,

,

3,

,

3

7

3

3

2

3

10

17

1

1

1

1

2

2

2

3

3

4

4

4

4

-

-

+

-

+

+

-

+

-

-

=

=

=

=

-

-

-

Z

[

\

]]]

]]]

p)

xxx

xxx

xxx

xxx2 2

,

,

,

2 3

2

6

2 3

3

0

0

0

1

1

1

2

2

2

3

3

3

4

4

4

+

+

+

+

+

=

=

=

-

- -

-

-

Z

[

\

]]

]]

q)

xxxx

xx

x

xx

x

xxxx

,

,

,

,

2

3 3

4

2

3

10

1

1

1

1

2

2

2

3

3

3

4

4

4

4

=

=

=

=

+

-

+

+

-

+

+

-

+

+

Z

[

\

]]]

]]]

r)

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

,

,

,

,

2

2

2

3

3

2

2

2

5

5

3

4

12

1

3

0

2

1

1

1

1

2

2

2

2

3

3

3

3

4

4

4

4

+

+

+

+

+

+

+

=

=

=

=

-

-

-

-

-

-

-Z

[

\

]]]

]]]

s)

xxxx

xxxx

xxxx

xx3

,

,

,

,

2

2

2

3

4

3

2

6

1

7

1

1

1

1

2

2

2

2

3

3

3

3

4

4

+

+

=

=

=

=

-

+

-

+

+

-

-

-

-

-

Z

[

\

]]]

]]]

t)

xxxx

xxx

xxxx

xxxx3

,

,

,

.

2

2

2

2

2

2

3

2

4

1

0

13

14

1

1

1

1

2

2

2

3

3

3

3

4

4

4

4

+

+

=

=

=

=

-

+

+

-

+

+

-

+

-

+

Z

[

\

]]]

]]]


96

j) x = (x1, x2, x3, x4) = (1 – t1 – 21 t2, –1 –

21 t2, t2, t1), kde t1 R a t2 R,

k) x = (x1, x2, x3, x4) = (2 + 3t2, 3 + 21 t1 +

27 t2, t2, t1), kde t1 R a t2 R,

l) x = (x1, x2, x3, x4) = (–2t, 0, –t, t), kde t R,

m) x = (x1, x2, x3, x4) = (–2t1 –t2, t2, t1, t2), kde t1 R a t2 R,

n) x = (x1, x2, x3, x4) = (–t1 – 2t2, –t1 – 2t2, t1, t2), kde t1 R a t2 R,

o) x = (x1, x2, x3, x4) = (–2, 1 – t, 3 + t, t), kde t R,

p) x = (x1, x2, x3, x4) = (–7t, –9t, 7t, t), kde t R,

q) x = (x1, x2, x3, x4) = (1, 2 – t, t, 1), kde t R,

r) x = (x1, x2, x3, x4) = (3 + t, 2, 2t, t), kde t R,

s) x = (x1, x2, x3, x4) = (1 – 2t, 2 + t, 3, t), kde t R,

t) x = (x1, x2, x3, x4) = (3, 1 – 2t, 2 + t, t), kde t R.


97

Shrnutí kapitoly

• V této kapitole jsme se věnovali nejprve aritmetickým vektorům, jejich reálnému ná-sobku a součtu (obě operace realizujeme po souřadnicích). Dále jsme zavedli lineární kombinaci aritmetických vektorů a zjišťovali lineární závislost a nezávislost skupiny aritmetických vektorů. V závěru této části jsme studovali skalární součin vektorů (jak název napovídá, výsledkem musí být reálné číslo).

• Důležitý je pojem matice, která je schématem reálných čísel zapsaných do řádků a sloupců. Matici jsme přiřadili její hodnost, kterou určujeme převodem matice užitím elementárních úprav na matici v Gaussově tvaru, pro kterou je triviální určit hodnost jako počet řádků. Navíc jsme k matici sestrojili matici transponovanou.

• Poslední část jsme věnovali řešení soustav lineárních rovnic Gaussovou eliminační metodou, která spočívá v převodu rozšířené matice soustavy elementárními úpravami na matici v Gaussově tvaru. Zdůrazňujeme, že soustava lineárních rovnic buď nemá řešení, nebo má právě jedno řešení, nebo má nekonečně mnoho řešení, žádná další možnost neexistuje.

Klíčová slova

aritmetický vektor reálný násobek aritmetického vektoru

součet aritmetických vektorů lineární kombinace vektorů

lineární závislost vektorů lineární nezávislost vektorů

skalární součin vektorů, matice hodnost matice

matice v Gaussově tvaru elementární úpravy matice

ekvivalentní matice transponovaná matice

soustava lineárních rovnic Gaussova eliminační metoda

Jordanova eliminační metoda Frobeniova věta

matice soustavy (lineárních rovnic) ekvivalentní soustavy lineárních rovnic

rozšířená matice soustavy(lineárních rovnic)

věta o počtu řešení soustavy lineárníchrovnic

řešení soustavy lineárních rovnic

5Maticová algebra a determinanty

kapitola

Maticová algebra a determinanty Kapitola 5

101

5. kapitolaMaticová algebra a determinanty

Úvod

V této části učebního textu uvedeme reálný násobek matice, součet a součin matic. Dále se budeme věnovat čtvercovým maticím, které rozdělíme na dva typy (matice regulární a sin-gulární). K regulárním maticím existuje inverzní matice, kterou vypočteme Jordanovým al-goritmem. Budeme řešit maticové rovnice (tj. rovnice, kde neznámou je matice) i soustavy rovnic inverzní maticí.

Dále zavedeme determinanty čtvercových matic, jejich výpočet a užití pro klasifi kaci čtverco-vých matic i řešení soustav rovnic užitím determinantů (Cramerovo pravidlo).


102

5.1Reálný násobek matice, součet a součin matic

Značení. Místo zápisu

aaa

a

aaa

a

aaa

a

aaa

a

A

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,r r r

s

s

s

rs

11

21

31

1

12

22

32

2

13

23

33

3

1

2

3

h h h

g

g

g

j

g

h

=

R

T

SSSSSSS

V

X

WWWWWWW

budeme používat vyjádření: A = [aij] je matice

typu r × s.

DEFINICE

Rovnost matic

Jestliže A = [aij] je matice typu r s a B = [bij] je matice typu t u, potom A = B, jest-liže r = t, s = u a pro všechna i = 1, 2, . . ., r a j = 1, 2, . . ., s je aij = bij .

Dvě matice si jsou rovny právě tehdy, jestliže jsou stejného typu a mají stejné prvky na stej-nolehlých místech.

DEFINICE

Součet matic a reálný násobek matice

Jestliže A = [aij] a B = [bij] jsou matice typu r s a k je reálné číslo, potom

a) součet matic A a B je matice A + B = [aij + bij],

b) k násobek matice A je matice k . A = [k . aij].

Lze sečíst pouze matice stejného typu a sčítáme je tak, že sečteme stejnolehlé prvky. Reálným číslem násobíme matici tak, že tímto číslem vynásobíme všechny prvky matice.

PŘÍKLAD 5.1

Mějme matice A ,

,

,

,

1

4

2

1

2

2=

-= G a B ,

,

,

,

1

4

3

1

2

2=

-

-

-

-= G . Určíme matice A + B, 3 . A a (–2) . B.

Řešení

Použijeme defi nice součtu matic a reálného násobku matice. Dostáváme:

A B ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

1

4

2

1

2

2

1

3

3

1

2

4

1 1

4 3

2 3

1 1

2 2

2 4

0

1

5

0

0

2+ = + = =

-

-

-

-

-

-

-

+

- +

-

- -= = = =G G G G ,

A3,

,

,

,

,

3 ,

3 ,

3 ( 1),

3

3

,

,

,

,3

1

4

2

1

2

2

3 1

4

2 2

2

3

12

6

3

6

6$ $

$

$

$

$

$

$= = =

- - -= = =G G G a

B( ) ( ),

,

,

,

( ) ( ),

( 2) ( ),

( 2) ,

( 2) ,

( 2) ( )

( 2) ( )

,

,

,

,2 2

1

3

3

1

2

4

2 1

3

3

1

2

4

2

6

6

2

4

8$ $

$

$

$

$

$

$= = =- -

-

-

-

-

- -

- -

-

-

- -

- -

-

-= = =G G G .


103

PŘÍKLAD 5.2

Mějme matice A,

,

,

,

,

,

,

,

,

1

2

3

1

3

2

2

2

2

3

2

4

=

-

-

-

R

T

SSSS

V

X

WWWW a B

2,

,

,

,

,

,

,

,

,

2

1

3

2

4

2

1

3

5

1

5

=

- -R

T

SSSS

V

X

WWWW . Určíme matice A + B a 2 . A – 3 . B.

Řešení

Použijeme defi nice součtu matic a reálného násobku matice. Dostáváme:

A B,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

1

2

3

1

3

2

2

2

2

3

2

4

2

1

3

2

4

2

1

3

5

2

1

5

1 2

2 1

3 3

1 2

3 4

2 2

2 1

2 3

2 5

3 2

2 1

4 4

1

3

6

1

7

4

3

5

7

1

1

1

+ = + = =

-

-

-

- - -

+

+

- +

+

+

+

+

+

-

- +

- +

-

-

R

T

SSSS

R

T

SSSS

R

T

SSSS

R

T

SSSS

V

X

WWWW

V

X

WWWW

V

X

WWWW

V

X

WWWW a

A B2 3 2

,

,

,

,

,

,

,

,

,

3

,

,

,

,

,

,

,

,

,

1

2

3

1

3

2

2

2

2

3

2

4

2

1

3

2

4

2

1

3

5

2

1

5

$ $ $ $= =-

-

-

-

-

- -R

T

SSSS

R

T

SSSS

V

X

WWWW

V

X

WWWW

( ),

,

,

( ) ,

,

,

2 2 3 ,

2 2 3 ,

2 2 3 ,

2 3 ( 2)

2 ( ) 3

2 ( ) 3

,

,

,

,

,

,

,

,

,

2 1 3 2

2 2 3 1

2 3 3 3

2 1 3 2

2 3 3 4

2 2 3 2

1

3

5

3

2 1

4 6

4

1

3

8

6

2

1

5

11

12

7

26

$ $

$ $

$ $

$ $

$ $

$ $

$ $

$ $

$ $

$ $

$ $

$ $

=

- -

-

-

- -

-

-

-

-

-

- -

- -

- -

=

-

-

-

-

-

-

-

-

-

R

T

SSSS

R

T

SSSS

V

X

WWWW

V

X

WWWW .

DEFINICE

Součin matic

Jestliže A = [aij] je matice typu r × s a B = [bij] je matice typu s × t, potom součin matic A a B je matice C = [cij] typu r × t taková, že pro všechna i = 1, 2, . . ., r a j = 1, 2, . . ., t je cij skalární součin i-tého řádku matice A a j-tého sloupce matice B.

Je důležité uvědomit si, že počet sloupců první matice v součinu musí být roven počtu řádků druhé matice v součinu, výsledná matice má stejný počet řádků jako první matice v součinu a stejný počet sloupců jako druhá matice v součinu. Součin matic A a B značíme standardně A . B.

PŘÍKLAD 5.3

Mějme matice A ,

,

2

3

1

3=

-= G a B ,

,

,

,

2

1

0

3

1

2= = G . Určíme součiny A . B a B . A.

Řešení

Pro výpočet obou součinů použijeme defi nici součinu matic.

Nejprve se věnujme součinu A . B. Počet sloupců matice A je 2, tudíž je stejný jako počet řádků matice B, proto je tento součin defi nován. Platí:

A ,

,

,

,

,

,

( ) ,

,

( ) ,

,

( ) ,

,

,

,B

2

3

1

3

2

1

0

3

1

2

2 2 1 1

3 2 3 1

2 0 1 3

3 0 3 3

2 1 1 2

3 1 3 2

3

9

3

9

0

9$

$ $

$ $

$ $

$ $

$ $

$ $$ = =

+

+

+

+

+

+=

- - - - -= = > =G G H G .

Vezmeme-li součin B . A, potom počet sloupců matice B je 3 a počet řádků matice A je 2, tzn. počet sloupců první matice v součinu je různý od počtu řádků druhé matice v součinu, proto součin B . A není defi nován.


104

PŘÍKLAD 5.4

Pro matice A ,

,

3

1

2

0= = G a B ,

,

2

3

2

1=

-= G opět určíme součiny A . B a B . A.

Řešení

Pro výpočet součinů použijeme defi nici součinu matic. Oba součiny jsou defi novány, protože počet řádků i sloupců obou matic je 2. Platí:

A B ,

,

,

,

3

1

2

0

2

3

2

1$ $= =

-= =G G

,

,

12

2

4

2

-

-= G a B A ,

,

,

,

,

,

2

3

2

1

3

1

2

0

4

10

4

6$ $= =

-= = =G G G .

Všimněme si, že A . B ≠ B . A, tj. součin matic obecně není komutativní, tedy záleží na pořadí matic při součinu.

PŘÍKLAD 5.5

Mějme matici A ,

,

1

2

3

4= = G . Hledáme všechny matice X, pro které platí A . X = X . A.

Řešení

Protože matice A je typu 2 × 2, musí být hledaná matice X také typu 2 2, aby byly oba

součiny defi novány. Matice X má tvar X,

,

x

x

x

x11

21

12

22

= > H . Neznámé prvky x11, x12, x21 a x22 matice

X určíme z rovnice A . X = X . A, tj. ,

,

,

,

,

,,

,

x

x

x

x

x

x

x

x1

2

3

4

1

2

3

411

21

12

22

11

21

12

22

$ $== > > =G H H G . Vynásobíme-li matice

na obou stranách rovnice, dostáváme:

3 ,

,

3 ,

,

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x2 4 2 4

2

2

3 4

3 411 21

11 21

12 22

12 22

11 12

21 22

11 12

21 22

+

+

+

+=

+

+

+

+> >H H .

Dvě matice se rovnají, jestliže mají stejné prvky na stejnolehlých místech. Tak dostáváme soustavu čtyř rovnic o čtyřech neznámých x11, x12, x21 a x22:

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

2

2

2 ,

,

2 ,

.

3

3

4

4

3

3

4

4

11

12

11

12

21

22

21

22

11

11

21

21

12

12

22

22

+

+

+

+

=

=

=

=

+

+

+

+

Tato soustava ještě není soustava lineárních rovnic, ale můžeme ji na soustavu rovnic převést s tím, že pořadí neznámých bude x11, x12, x21 a x22. Dostáváme soustavu lineárních rovnic:

xx

xx

x

x

xx

xx

3

2

2

3

3

3

3

,

,

,

.

2

3

2

0

0

0

0

11

11

12

12

12

21

21

21

22

22

-

-

-

+

+

-

+

-

=

=

=

=


105

Soustavu vyřešíme Gaussovou eliminační metodou. Platí:

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

0

3

2

0

2

3

0

2

3

0

3

3

0

3

2

0

0

0

0

0

1

0

2

1

2

0

0

3

3

1

0

2

0

0

0

1

0

0

1

2

2

0

3

3

1

0

0

0

0

0

1

0

1

2

0

3

1

0

0

0

( ) ( ) ( )1 2 3

+ + +-

-

-

-

--

-

-

-

-

-

-

-

R

T

SSSSSS

R

T

SSSS

R

T

SSSS

>

V

X

WWWWWW

V

X

WWWW

V

X

WWWW

H .

Úpravy:

(1) čtvrtý řádek jsme vynechali (jde o (–1)násobek prvního řádku), druhý řádek jsme

vynásobili číslem ( 31- ) a zaměnili s řádkem prvním,

(2) k třetímu řádku jsme přičetli (–1)násobek prvního řádku,

(3) třetí řádek jsme vynechali (je shodný s druhým řádkem).

Protože h = hr = 2 a s = 4, soustava má nekonečně mnoho řešení, počet volitelných neznámých je s – h = 4 – 2 = 2. Jako volitelné neznámé vybereme x12 a x22 , které po řadě vyjádříme para-

metry t1 a t2 probíhajícími všechna reálná čísla. Dostáváme x11 = –t1 + t2, x12 = t1, x21 = 32 . t1

a x22 = t2, kde t1 R a t2 R. Tzn. všechny matice X, které řeší rovnici A . X = X . A musí

mít tvar X,

,

t t

t

t

t1 2

32

1

1

2

=+-

> H , kde t1 R a t2 R.

Je důležité si uvědomit, že součin matic obecně není komutativní, tedy záleží na pořadí matic při součinu. Musíme si dávat pozor na to, z které strany se matice násobí.

DEFINICE

Jednotková matice

Jednotková matice je matice J

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

rh h

g

g

j

g

g

h h=

R

T

SSSSSSS

V

X

WWWWWWW

typu r r.


106

PŘÍKLAD 5.6

Mějme matici A ,

,

,

,

1

4

2

1

2

2=

-= G . Vypočteme součiny J2 . A a A . J3.

Řešení

Podle defi nice součinu matic je:

J A A,

,

,

,

,

,

,

,

( ),

( ),

,

,

,

,

1

0

0

1

1

4

2

1

2

2

1 1 0 4

0 1 1 4

1 2 0 1

0 2 1 1

1 2 0 2

0 2 1 2

1

4

2

1

2

22$ $

$ $

$ $

$ $

$ $

$ $

$ $= =

+

+

+

+

+

+= =

-

-

- -= > > >G H H H a

A J ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

1

4

2

1

2

2

1

0

0

0

1

0

0

0

1

1 1 2 0 2 0

4 1 1 0 2 0

1 0 2 1 2 0

4 0 1 1 2 0

1 0 2 0 2 1

4 0 1 0 2 13$ $

$ $ $

$ $ $

$ $ $

$ $ $

$ $ $

$ $ $= =

+ +

+

+ +

+

+ +

+=

- - - -

R

T

SSSS

> >

V

X

WWWW

H H

A,

,

,

,

1

4

2

1

2

2= =

-> H ,

tedy A . J3 = J2 . A = A.

VĚTA

(o vlastnostech jednotkové matice)

a) Jestliže A je matice typu r s , potom A . Js = Jr . A = A,

b) Jr . Jr = Jr ,

c) h( Jr ) = r.

Podle části a) předcházející věty je zřejmé, že jednotková matice vzhledem k součinu matic hraje podobnou roli jako reálné číslo 1 vzhledem k součinu reálných čísel (jen je třeba vybrat vhodnou jednotkovou matici, aby součin byl defi nován).


107

5.2Regulární, singulární a inverzní maticePro naše další úvahy budou důležité čtvercové matice (tj. matice, které mají stejný počet řádků a sloupců). Řešíme-li v množině všech reálných čísel rovnici a . x = b s neznámou x, potom tato rovnice má právě jedno řešení pouze v případě, když je a ≠ 0. Půjde nám o to, aby ma-ticová rovnice A . X = B, kde A je čtvercová matice, s neznámou maticí X také měla právě jedno řešení. Bude-li matice A nenulová (tzn. alespoň jeden její prvek bude nenulový), potom taková rovnice mj. nemusí mít řešení, nebo může mít nekonečně mnoho řešení. Abychom zaručili jednoznačnost řešení této rovnice, rozdělíme čtvercové matice na dva typy.

DEFINICE

Regulární a singulární matice

Jestliže A je matice typu r r, potom:

a) matice A je regulární, jestliže h(A) = r,

b) matice A je singulární, jestliže h(A) < r.

Každá jednotková matice je regulární, protože je čtvercová a její hodnost je rovna počtu řádků.

PŘÍKLAD 5.7

O matici A,

,

,

,

,

,

1

0

0

2

4

0

3

5

6

=

R

T

SSSS

V

X

WWWW rozhodneme, je-li regulární nebo singulární.

Řešení

Matice A je čtvercová a je v Gaussově tvaru, tudíž h(A) = 3 (tedy hodnost matice je rovna počtu řádků), proto matice A je regulární.

PŘÍKLAD 5.8

O matici A,

,

,

,

,

,

1

0

2

2

4

4

3

5

6

=

R

T

SSSS

V

X


Řešení

Matice A je čtvercová, její hodnost je 2, protože třetí řádek je 2násobek prvního řádku. Hod-nost matice A je menší než počet řádků, proto matice A je singulární.


108

PŘÍKLAD 5.9

O matici A,

,

,

,

,

,

,

,

,

1

0

0

2

4

0

2

7

0

3

5

6

= -

R

T

SSSS

V

X


Řešení

Matice A není ani regulární, ani singulární, protože není čtvercová.

DEFINICE

Inverzní matice

Jestliže A je matice typu r r, potom inverzní matice k matici A je matice A–1 taková, že A . A–1 = Jr .

Potřebujeme odpověď na dvě otázky:

a) Existuje inverzní matice ke každé čtvercové matici?

b) Jak sestrojíme inverzní matici?

Odpověď na otázku a) nám dává následující věta.

VĚTA

(o existenci inverzní matice)


a) matice A je regulární právě tehdy, jestliže k matici A existuje právě jedna inverzní matice,

b) matice A je singulární právě tehdy, jestliže k matici A neexistuje žádná inverzní matice.

Existence inverzní matice je také důvodem rozdělení čtvercových matic na regulární a sin-gulární matice.

Jestliže A je regulární matice typu r r, jak k ní určíme inverzní matici. Používáme Jorda-nův algoritmus pro výpočet inverzní matice. Za matici A zapíšeme jednotkovou matici Jr (tj. jednotkovou matici stejného typu, jako je matice A), použijeme standardní elementární úpravy, až dospějeme k tomu, že vlevo je jednotková matice a vpravo bude inverzní matice A–1. Schematicky to můžeme zapsat:

[A| Jr] … [ Jr | A–1] .

PŘÍKLAD 5.10

Určíme inverzní matici k matici A ,

,

1

2

4

3= = G a provedeme zkoušku.

Řešení

Použijeme Jordanův algoritmus, tj.:

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

1

2

4

3

1

0

0

1

1

0

4

5

1

2

0

1

1

0

4

1

1 0 1

0

0

1

( ) ( ) ( )1 2

52

51

353

52

54

51+ + +

- - -

-

-= > > >G H H H .


109

Použili jsme tyto úpravy:

(1) ke druhému řádku jsme přičetli (–2)násobek řádku prvního,

(2) druhý řádek jsme vynásobili číslem ( 51- ) ,

(3) k prvnímu řádku jsme přičetli (–4)násobek řádku druhého.

Podle Jordanova algoritmu je inverzní matice k matici A matice A,

,1 5

3

52

54

51=

-

--

> H . Máme-li

ověřit, že A–1 je inverzní matice k matici A, stačí:

A A J,

,

,

,

,

,

1

2

4

3

1

0

0

11 5

3

52

54

51 2

$ $= = =-

--

= > =G H G .

PŘÍKLAD 5.11

Určíme inverzní matici k matici A,

,

,

,

,

,

2

3

1

1

3

2

1

1

1

= -

-

-

-

R

T

SSSS

V

X

WWWW .

Řešení

Opět použijeme Jordanův algoritmus, tj.:

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

2,

,

, 1

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

2

3

1

1

3

2

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

1

1

2

3

1

3

1

1

0

1

0

0

0

1

1

0

0

1

0

0

2

5

3

1

3

2

0

1

0

0

0

1

1

2

3

1

0

0

2

1

3

1

1

2

0

1

0

0

2

1

1

4

3

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4

+ + + +-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

- -

-

-

-

R

T

SSSS

R

T

SSSS

R

T

SSSS

R

T

SSSS

V

X

WWWW

V

X

WWWW

V

X

WWWW

V

X

WWWW

,

,

,

,

,

, 1

2,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

5

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

1

0

0

0

1

0

1

1 1

3

4

2

5

7

4

9

1

0

0

0

1

0

0

0

1

1

2

3

1

3

5

2

9

1

0

0

0

1

0

0

0

1

1

2

3

1

3

5

2

5

9

( ) ( ) ( )4 5 6

+ + +-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

R

T

SSSS

R

T

SSSS

R

T

SSSS

V

X

WWWW

V

X

WWWW

V

X

WWWW .

Použité úpravy:


(2) k druhému řádku přičteme (–2)násobek řádku prvního a ke třetímu řádku 3násobek řádku prvního,

(3) k druhému řádku přičteme 2násobek řádku třetího,

(4) k prvnímu řádku přičteme (–2)násobek druhého řádku a ke třetímu řádku (–3)násobek řádku druhého,

(5) k prvnímu řádku přičteme (–1)násobek řádku třetího a ke druhému řádku řádek druhý,

(6) druhý a třetí řádek vynásobíme číslem (–1).

Inverzní matice k matici A je tedy matice A,

,

,

,

,

,

1

2

3

1

3

5

2

5

9

1=-

R

T

SSSS

V

X

WWWW .


110

PŘÍKLAD 5.12

Určíme inverzní matici k matici A,

,

,

,

,

,

1

5

1

2

4

1

3

3

1

=

R

T

SSSS

V

X

WWWW .

Řešení

Opět použijeme Jordanův algoritmus, tj.:

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

1

5

1

2

4

1

3

3

1

1

0

0

0

1

0

0

0

1

1

0

0

2

6

1

3

12

2

1

5

1

0

1

0

0

0

1

1

0

0

2

1

6

3

2

12

1

1

5

0

0

1

0

1

0

1

0

0

2

1

0

3

2

0

1

1

1

0

0

1

0

1

6

( ) ( ) ( )1 2 3

+ + +-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

- - -

-

R

T

SSSS

R

T

SSSS

R

T

SSSS

R

T

SSSS

V

X

WWWW

V

X

WWWW

V

X

WWWW

V

X

WWWW

Použité úpravy:

(1) k druhému řádku přičteme (–5)násobek řádku prvního a ke třetímu řádku (–1)násobek řádku prvního,

(2) záměna druhého a třetího řádku,

(3) ke třetímu řádku přičteme (–6)násobek řádku druhého.

Po úpravě (3) naše cesta končí, protože zjišťujeme, že h(A) = 2, tzn. hodnost matice A je menší než počet řádků. Matice A je singulární, proto inverzní matice k matici A neexistuje.

PŘÍKLAD 5.13

Mějme matice A ,

,

,

,

1

2

0

1

3

0= = G a B

,

,

,

1

0

1

0

2

1

=

R

T

SSSS

V

X

WWWW . Určíme inverzní matici k matici A . B, tj. matici

(A . B)–1.

Řešení

Nejprve určíme součin A B ,

,

,

,

,

,

,

,

,

1

2

0

1

3

0

1

0

1

0

2

1

4

2

3

2$$ = =

R

T

SSSS

= =

V

X

WWWW

G G .

Dále použijeme Jordanův algoritmus pro výpočet inverzní matice k matici A . B, tj.:

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

4

2

3

2

1

0

0

1

2

4

2

3

0

1

1

0

2

0

2

1

0

1

1

2

2

0

0

1

2

1

3

2

1

0

0

1

1

1 2

( ) ( ) ( ) ( ) 31 2 3 42+ + + +

- - -

-

- -

-= = > > >G G H H H .

Úpravy:


(2) k druhému řádku přičteme (–2)násobek řádku prvního,

(3) k prvnímu řádku přičteme 2násobek řádku druhého,

(4) první řádek vynásobíme číslem 21 a druhý řádek číslem (–1).

Dostáváme A B ,

,

1

1 2( ) 1 2

3

$ =-

--> H .


111

VĚTA

(o vlastnostech regulární matice)

Jestliže A je regulární matice typu r r,

a) potom matice A–1 je regulární matice typu r r a platí (A–1)–1 = A, tj. A–1 . A = Jr ,

b) jestliže B je regulární matice typu r r, potom A . B je regulární matice typu r r a platí (A . B)–1 = B–1 . A–1,

c) jestliže B je matice typu r s, potom maticová rovnice A . X = B s neznámou maticí X má právě jedno řešení X = A–1 . B,

d) jestliže C je matice typu s r, potom maticová rovnice X . A = C s neznámou maticí X má právě jedno řešení X = C . A–1.

Podle části a) předcházející věty pro regulární matici A je inverzní maticí matice A–1 a pro matici A–1 je inverzní maticí matice A, tzn. matice A a A–1 jsou matice navzájem inverzní.

Část b) umožňuje pro dvě regulární matice A a B stejného typu vypočítat inverzní matici k matici A . B dvěma způsoby:

1. nejprve určíme součin A . B a Jordanovým algoritmem spočteme inverzní matici,

2. k maticím A a B Jordanovým algoritmem spočteme inverzní matici a matici (A . B)–1 určíme jako součin B–1 . A–1 (tento postup lze použít pouze pro regulární matice).

PŘÍKLAD 5.14

Mějme matice A ,

,

1

3

2

7= = G a B ,

,

2

3

5

8=

-

-> H . Určíme inverzní matici k matici A . B, tj. matici

(A . B)–1.

Řešení

Pro výpočet matice (A . B)–1 použijeme obě cesty.

1. Spočteme A B ,

,

,

,

,

,

1

3

2

7

2

3

5

8

4

15

11

41$ $=

-

-=

-

-= > >G H H . Pro výpočet inverzní matice opět po-

užijeme Jordanův algoritmus, tj.:

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

4

15

11

41

1

0

0

1

4

1

11

3

1

4

0

1

1

4

3

11

4

1

1

0

1

0

3

1

4

15

1

4+ + + +

-

- -

-

-

-

-

- - -

-> > > >H H H H

,

,

,

,

,

,

,

,

1

0

0

1

41

15

11

4

1

0

0

1

41

15

11

4+ +

-

-

- -

-> >H H . Tj. A B(

,

,

41

15

11

4) 1$ =

-

--

> H .


112

2. Užitím Jordanova algoritmu spočteme inverzní matice k maticím A a B, tj.:

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

1

3

2

7

1

0

0

1

1

0

2

1

1

3

0

1

1

0

2

1

7

3

2

1+ +

- -

-= > >G H H , tj. A ,

,3

2

1

71=

-

--> H ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

2

3

5

8

1

0

0

1

2

1

5

3

1

1

0

1

1

2

3

5

1

1

0

1+ + +

-

-

-

- -

-> > >H H H

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

1

0

3

1

1

3

1

2

1

0

0

1

8

3

5

2

1

0

0

1

8

3

5

2+ + +

-

- -

- - -

-

-

-> > >H H H , tj. B ,

,

8

3

5

21=

-

-

-

--

> H .

Nyní vypočteme (A . B)–1, platí A B B A( ),

,

,

,

,

,

8

3

5

2

7

3

2

1

41

15

11

41 1 1$ $ $= = =

-

-

-

- -

- -

-- - -

> > >H H H .

Oba výsledky jsou pochopitelně stejné.

Části c) a d) věty o vlastnostech regulární matice používáme pro řešení maticových rovnic. Vzhledem k tomu, že násobení matic není obecně komutativní, musíme rozlišovat, zda ná-sobíme neznámou matici X zleva nebo zprava.

PŘÍKLAD 5.15

Vyřešíme maticovou rovnici 3 . X – 2 . A = B . X – A, kde A ,

,

5

7

4

9= = G a B ,

,

4

1

2

0=

-= G .

Řešení

Při řešení rovnice budeme v první fázi postupovat analogicky jako u rovnic s reálnými čísly, tj. všechny členy rovnice, ve kterých se vyskytuje neznámá matice X přesuneme na levou stranu rovnice, zbývající členy na pravou stranu rovnice. Dostáváme 3 . X – B . X = A. Pokud matici X chceme vytknout, musíme ji vytknout vpravo. Objevuje se problém, v závorce by zůstalo 3 – B, čísla nelze sčítat s maticemi. Musíme rovnici upravit s použitím jednotkové matice, tj. 3 . X = 3 . J2 . X nebo 3 . X = X . 3 . J2. Vzhledem k tomu, že maticí B násobíme matici X zleva, použijeme první vyjádření, tzn. 3 . J2 . X – B . X = A. Teď lze vytknout matici X, dostáváme (3 . J2 – B) . X = A. Celou maticovou rovnici vynásobíme zleva maticí (3 . J2 – B)–1, tzn.:

J B J B A(3 ) (3 ) (3 )J B XJ

21

2 21

2

$ $ $ $ $ $=- - -- -

1 2 3444444 444444, tedy J2 . X = (3 . J2 – B)–1 . A .

Z vlastností jednotkové matice dostáváme řešení X = (3 . J2 – B)–1 . A.


113

Abychom vypočetli neznámou matici X, musíme nejdříve určit matici 3 . J2 – B, dále uži-tím Jordanova algoritmu inverzní matici (3 . J2 – B)–1 a samotnou matici X jako součin (3 . J2 – B)–1 . A. Tedy:

J B3 3,

,

,

,

,

,

1

0

0

1

4

1

2

0

1

1

2

32$ $= =- -

- -

-= = >G G H ,

,

1,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

2 2

3

1

0

0

1

1

0

2

1

1

1

0

1

1

0

0

1

3

1

2

1

1

0

0

1

3

1

2

1+ + +

-

-

-

-

-

-

- -

-> > > >H H H H , tj. J B(3 )

,

,

3

1

2

11$ =-

-

--

2> H ,

tj., tzn. řešení rovnice je X J B A(3 ),

,

,

,

,

,

3

1

2

1

5

7

4

9

1

2

6

52

1$ $ $= = =--

-

--> = =H G G .

PŘÍKLAD 5.16

Vyřešíme maticovou rovnici 4 . X – B = X . A + B, kde A ,

,

6

1

7

8=

-

-= G a B ,

,

1

1

1

0=

-= G .

Řešení

Při řešení této rovnice budeme postupovat analogicky, tj. 4 . X – X . A = 2 . B. Vzhledem k tomu, že maticí A násobíme matici X zprava, použijeme vyjádření 4 . X = X . 4 . J2.

X . 4 . J2 – X . A = 2 . B, vytkneme X . (4 . J2 – A) = 2 . B,

X J A J A B J A( ) ( ) 2 (4 )4 4

J

2

1 1

2

$ $ $ $ $ $ $=- - -- -

221 2 3444444 444444, tj. X . J2 = 2 . B . (4 . J2 – A)–1 .

Řešení je X = 2 . B . (4 . J2 – A)–1.

Určíme:

B J A2 2,

,

,

,, 4 4

,

,

,

,

,

,

1

1

1

0

2

2

2

0

1

0

0

1

6

1

7

8

2

1

7

42$ $ $ $ $ $= = =

- --

-

- -

-= = = > >G G G H H ,

použijeme Jordanův algoritmus, tzn.:

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

2

1

7

4

1

0

0

1

1

2

4

7

0

1

1

0

1

0

4

1

0

1

1

2

1

0

0

1

4

1

7

2

1

0

0

1

4

1

7

2+ + + +

-

- -

- -

- -

- - -

-

-

-> > > > >H H H H H ,

tedy J A( ),

,4

4

1

7

22

1$ =--

-

-

--

> H .

Řešení je X B J A2 (4 ),

,

,

,

,

,

2

2

2

0

4

1

7

2

6

8

10

142

1$ $ $ $= =- =- -

-

-

- - --

= > >G H H .


114

Maticové rovnice používáme i pro řešení soustavy lineárních rovnic, jde o řešení soustavy lineárních rovnic užitím inverzní matice:

Jestliže:

aaa

a

aaa

a

aaa

a

aaa

a

bbb

b

xxx

x

xxx

x

xxx

x

xxx

x

,

,

,

,r r r

r r

r r

r r

rr r r

11 1

21 1

31 1

1 1

12 2

22 2

32 2

2 2

13 3

23 3

33 3

3 3

1

2

3

1

2

3

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

h h h

g

g

g

j

g

h h

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

=

=

=

=

je soustava r lineárních rovnic o r neznámých taková, že matice A této soustavy je regulární (v tomto případě hodnost matice soustavy, hodnost rozšířené matice soustavy i počet nezná-mých je r, tzn. soustava má právě jedno řešení), potom tuto soustavu lze zapsat maticovou rovnicí:

A

xxx

x

bbb

br r

1

2

3

1

2

3

h h

=$

R

T

SSSSSSS

R

T

SSSSSSS

V

X

WWWWWWW

V

X

WWWWWWW

, tuto rovnici zleva vynásobíme inverzní maticí k matici soustavy,

dostáváme A A

xxx

x

A

bbb

bJ

r r

1

1

2

3

1

1

2

3

r

$ $ $

h h

=- -

R

T

SSSSSSS

R

T

SSSSSSS

V

X

WWWWWWW

V

X

WWWWWWW

S , tj.

xxx

x

A

bbb

br r

1

2

3

1

1

2

3$

h h

= -

R

T

SSSSSSS

R

T

SSSSSSS

V

X

WWWWWWW

V

X

WWWWWWW

.

Z této maticové rovnice snadno přečteme řešení celé soustavy.

Je-li matice soustavy singulární, potom tuto metodu použít nemůžeme a musíme soustavu lineárních rovnic řešit Gaussovou eliminační metodou.

PŘÍKLAD 5.17

Užitím inverzní matice vyřešíme soustavu xx

xx

,

.3

2

5

3

71

1

2

2

+

+

=

=

Řešení

Označíme-li matici této soustavy A ,

,

1

3

2

5= = G , potom soustavu lze zapsat A

x

x3

71

2

$ => =H G . Vyná-

sobíme-li tuto maticovou rovnici zleva maticí A–1, dostáváme:

A A Ax

x3

7J

1 1

2

1

r

$ $ $=- -> =H G

S , tj. A

x

x3

71

2

1 $= -> =H G . Jordanovým algoritmem spočteme A–1, tzn.:

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

1

3

2

5

1

0

0

1

1

0

2

1

1

3

0

1

1

0

0

1

5

3

2

1

1

0

0

1

5

3

2

1+ + +

- - -

-

-

-

-= > > >G H H H , tj. A ,

,

5

3

2

11=

-

--

> H .

Vrátíme-li se k řešení soustavy, máme A ,

,

x

x3

7

5

3

2

1

3

7

1

21

2

1 $ $= = =-

-

--> = > = =H G H G G , tj. řešením soustavy

je vektor x = (x1, x2) = (–1, 2).


115

PŘÍKLAD 5.18

Užitím inverzní matice vyřešíme soustavu

xxx

xxx

xx

,

,

.

2 3 4

1

2

1

1

1

2

2

2

3

3

+

+

+

=

=

=

-

-

Řešení

Je-li A matice této soustavy, potom řešení lze maticově vyjádřit xx A

4

x

1

2

1

2

3

1 $= -

R

T

SSSS

R

T

SSSS

V

X

WWWW

V

X

WWWW.

Inverzní matici k matici soustavy určíme opět Jordanovým algoritmem:

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

, 1

,

,

,

,

,

,

2

1

1

3

1

1

1

1

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

1

2

1

1

3

1

0

1

1

0

1

0

0

0

1

1

0

0

1

0

0

1

1

2

0

1

1

0

1

0

0

0

1

1

2

1

1

0

0

0

1

0

0

1

1

1

2

0

0

1

3

2

5

+ + + +-

-

-

-

-

- -

-

-

-

-

-

-

R

T

SSSS

R

T

SSSS

R

T

SSSS

R

T

SSSS

V

X

WWWW

V

X

WWWW

V

X

WWWW

V

X

WWWW

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

1,

,

21

0

0

0

1

0

1

0

1

1

1

2

1

1

1

2

3

5

1

0

0

0

1

0

1

0

1

1

1

2

1

1

3

5

+ +

-

- -

-

-

-

-

-

-

-R

T

SSSS

R

T

SSSS

V

X

WWWW

V

X

WWWW , tedy A

,

,

,

,

,

,

1

1

2

1

1

1

2

3

5

1= -

-

-

-

--

R

T

SSSS

V

X

WWWW .

Řešení užitím inverzní matice je xx A

4 ,

,

,

,

,

,

4 1

x

1

2

1

1

8

1

1

1

2

3

5

1

2

1

1

1

2

3

1 $ $= = =-

-

-

-

--

R

T

SSSS

R

T

SSSS

R

T

SSSS

R

T

SSSS

R

T

SSSS

V

X

WWWW

V

X

WWWW

V

X

WWWW

V

X

WWWW

V

X

WWWW , tj. řešením soustavy

je vektor x = (x1, x2, x3) = (1, 1, 1).

Je-li matice soustavy lineárních rovnic regulární, potom soustava má právě jedno řešení. Ta-kovou soustavu lze řešit třemi způsoby:

a) Gaussovou eliminační metodou,

b) Jordanovou eliminační metodou a

c) užitím inverzní matice.

Každá z těchto metod má své výhody a nevýhody. Užití inverzní matice je daleko pracnější, ale na straně druhé použijeme-li matematický software, tak určitě bude mít program pro výpočet inverzní matice. Jestliže máme několik soustav lineárních rovnic se stejnými levými stranami, potom stačí spočítat inverzní matici pouze jednou a pracnost se výrazně sníží.


116

PŘÍKLAD 5.19

Užitím inverzní matice vyřešíme soustavu

xxx

xxx

xx

,

,

.

2 3 4

1

2

1

1

1

2

2

2

3

3

+

+

+

=

=

=

-

-

Řešení

Tato soustava má se soustavou z příkladu 5.18 stejnou matici soustavy, tudíž její řešení užitím inverzní matice je:

xx A

5 ,

,

,

,

,

,

5 1

x

2

3

1

1

2

1

1

1

2

3

5

2

3

2

3

1

2

3

1 $ $= = =-

-

-

-

--

R

T

SSSS

R

T

SSSS

R

T

SSSS

R

T

SSSS

R

T

SSSS

V

X

WWWW

V

X

WWWW

V

X

WWWW

V

X

WWWW

V

X

WWWW ,

tj. řešením soustavy je vektor x = (x1, x2, x3) = (1, 2, 3).

5.3Determinant maticeBudeme se věnovat determinantům matic. Determinanty počítáme ze čtvercových matic a determinant čtvercové matice je vždy reálné číslo.

Značení. Jestliže

aaa

a

aaa

a

aaa

a

aaa

a

A

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,r r r

r

r

r

rr

11

21

31

1

12

22

32

2

13

23

33

3

1

2

3

h h h

g

g

g

j

g

h

=

R

T

SSSSSSS

V

X

WWWWWWW

je matice, potom determinant matice A značíme

buď det(A), nebo det

aaa

a

aaa

a

aaa

a

aaa

a

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,r r r

r

r

r

rr

11

21

31

1

12

22

32

2

13

23

33

3

1

2

3

h h h

g

g

g

j

g

h

J

L

KKKKKK

N

P

OOOOOO

, nebo

aaa

a

aaa

a

aaa

a

aaa

a

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,r r r

r

r

r

rr

11

21

31

1

12

22

32

2

13

23

33

3

1

2

3

h h h

g

g

g

j

g

h

. První dvě značení bu-

deme používat při popisu vlastností determinantů matic, třetí značení při řešení příkladů (kromě jedné výjimky determinantů matic typu 1 1, kde by došlo k záměně s absolutní hodnotou).


117

DEFINICE

Determinant matice

Jestliže A = [aij] je matice typu r × r, potom determinant matice A je reálné číslo takové, že:

a) buď r = 1 a det(A) = det(a11) = a11,

b) nebo r > 1 a pro i = 1, 2, . . ., r je

det(A) = ai1 . (–1)i + 1 . det(Ai1) + ai2 . (–1)i + 2 . det(Ai2) + . . . + air . (–1)i + r . det(Air),

kde pro j = 1, 2, . . ., r matice Aij vznikne vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce v ma-tici A.

Uvedeme nejprve determinanty nejjednodušších matic, tj. matic typů 1 × 1, 2 × 2 a 3 × 3. Determinant matice typu 1 1 je přímo v defi nici, tedy je roven prvku matice.

Determinant matice typu 2 2 odvodíme z části b) defi nice s tím že zvolíme i = 1, tzn.:

aa

aa

,

,11

21

12

22

= a11 . (–1)1 + 1 . det(a22) + a12 . (–1)1 + 2 . det(a21) = a11 . a22 – a12 . a21. Tento výsledek

lze zapsat: vytvoříme součin ze schématu a

a

a

a

,

,

11

21

12

22

j , od kterého odečteme součin ze sché-

matu a

a

a

a

,

,

11

21

12

22

i . Vytvoříme součin prvků na hlavní diagonále, od kterých odečteme součin

prvků na diagonále vedlejší.

Determinant matice typu 3 × 3 také odvodíme z části b) defi nice s tím že zvolíme i = 1,

tzn. aaa

aaa

aaa

,

,

,

,

,

,

11

21

31

12

22

32

13

23

33

= a11 . (–1)1 + 1 . aa

aa

,

,22

32

23

33

+ a12 . (–1)1 + 2 . aa

aa

,

,21

31

23

33

a13 . (–1)1 + 3 . aa

aa

,

,21

31

22

32

=

= a11 . (a22 . a33 – a23 . a32) – a12 . (a21 . a33 – a23 . a31) – a13 . (a21 . a32 – a22 . a31) =

= a11 . a22 . a33 + a12 . a23 . a31 + a13 . a21 . a32 – (a11 . a23 . a32 + a12 . a21 . a33 + a13 . a22 . a31).

Tento výsledek lze zapsat: při výpočtu determinantu matice 3 × 3 zapíšeme za determinant

první dva sloupce, tj. aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

,

,

,

,

,

,

,

,

,

11

21

31

12

22

32

13

23

33

11

21

31

12

22

32

,

vytvoříme součiny ze schématu

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

,

,

,

,

,

,

,

,

,

11

21

31

12

22

32

13

23

33

11

21

31

12

22

32

j j

j

j

j j

a sečteme je,


118

potom odečteme součiny ze schématu

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

,

,

,

,

,

,

,

,

,

11

21

31

12

22

32

13

23

33

11

21

31

12

22

32

i

i

i

i

i

i

.

Vytvoříme tři součiny na hlavních diagonálách, od kterých odečteme tři součiny na diago-nálách vedlejších.

PŘÍKLAD 5.20

Spočteme determinanty

a) det(–11) ,

b) ,

, 4

1

3

2- - ,

c) ,

,

5

7

2

3-

-

- ,

d) ,

,

,

2,

4,

1,

3

3

1

1

5

1

.

Řešení

a) det(–11) = –11 ,

b) ,

, 4

1

3

2- - = (–1) . 4 – (–2) . 3 = 2 ,

c) ,

,

5

7

2

3-

-

- = 5 . (–3) – (–2) . (–7) = –29 ,

d) ,

,

,

2,

4,

1,

3

3

1

1

5

1

= ,

,

,

2,

4,

1,

3

3

1

,

,

,

1

5

1

1

5

1

2

4

1

= 1 . 4 . 1 + 2 . 3 . 1 + 3 . 5 . 1 – (3 . 4 . 1 + 1 . 3 . 1 + 2 . 5 . 1) = 0.

Pro výpočet determinantů matic typů 1 1, 2 2 a 3 3 platí relativně jednoduchá pravidla. Počítáme-li determinanty matic typu r r, kde r ≥ 4, tak zde žádná taková pravidla nemáme. Musíme vystačit s vlastnostmi determinantů matic.


119

VĚTA

(o vlastnostech determinantu matice)

Jestliže A je matice typu r r,

a) potom det(A) = det(AT),

b) jestliže matice B vznikla z matice A záměnou dvou řádků (příp. dvou sloupců), potom det(B) = –det(A),

c) jestliže matice A obsahuje dva stejné řádky (příp. dva stejné sloupce), potom det(A) = 0,

d) jestliže matice B vznikla z matice A vynásobením jednoho řádku (příp. jednoho sloupce) reálným číslem k, potom det(B) = k . det(A),

e) jestliže matice B vznikla z matice A přičtením násobku jednoho řádku k jinému řádku (příp. násobku jednoho sloupce k jinému sloupci), potom det(B) = det(A),

f) jestliže

a aa

aaa

aaa

aaa

a

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

0

0

0

0

0 0 0

r

r

r

r

r

r

rr

11 12

22

13

23

33

1 1

2 1

3 1

1

2

3

h h h

g

g

g

j

g

h h

-

-

-

R

T

SSSSSSS

V

X

WWWWWWW

, potom det(A) = a11 . a22 . a33 . . ., ar – 1r – 1 . arr.

Budeme-li počítat determinanty matic typu r r, kde r ≥ 4, budeme upravovat matici tak, abychom mohli použít část f) předcházející věty (tj. chceme, aby pod hlavní diagonálou byly 0). Použijeme analogické úpravy, které jsme používaly při zjištění hodnosti matice s tím, že můžeme (vzhledem k části a)) použít kromě řádkových úprav i úpravy sloupcové.

PŘÍKLAD 5.21

Spočteme determinant

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

3

1

5

8

1

2

3

1

1

2

3

1

4

5

17

19

- .

Řešení

Prohlédneme-li si podrobně matici, ze které počítáme determinant, zjistíme, že druhý a třetí

sloupec jsou shodné, podle části c) předcházející věty platí

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

3

1

5

8

1

2

3

1

1

2

3

1

4

5

17

19

- = 0.


120

PŘÍKLAD 5.22


,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

3

1

2

8

5

3

6

2

8

2

4

3

4

5

10

9-

-

-

-

.

Řešení

Prohlédneme-li si podrobněji matici, ze které počítáme determinant, zjistíme, že třetí řádek je 2násobek druhého řádku, podle části d) předcházející věty lze číslo 2 vytknout z druhého

řádku před determinant, tzn.

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

2

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

0

3

1

2

8

5

3

6

2

8

2

4

3

4

5

10

9

3

1

1

8

5

3

3

2

8

2

2

3

4

5

5

9

$= =

-

-

-

- -

-

-

-

, protože matice obsa-

huje dva stejné řádky.

PŘÍKLAD 5.23


,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

3

1

1

2

1

0

0

1

0

2

3

1

2

3

4

3

- .

Řešení

U této matice i po velice podrobném prozkoumání není ani žádný řádek násobkem jiného řádku, ani žádný sloupec násobkem jiného sloupce. Matici upravíme na diagonální tvar při aplikacích předcházející věty. Dostáváme:

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

3

1

1

2

1

0

0

1

0

2

3

1

2

3

4

3

1

0

0

1

3

1

1

2

0

2

3

1

2

3

4

3

1

0

0

0

3

1

1

1

0

2

3

1

2

3

4

1

1

0

0

0

3

1

0

0

0

2

5

3

2

3

4

4

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4

= = = =-

--

--

-

-

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

( 1) 1 1 ( 1) 1 1

3

0

0

0

3

1

0

0

0

2

1

3

2

3

1

4

1

0

0

0

3

1

0

0

0

2

1

0

2

3

1

1

( ) ( ) ( )4 5 6

$ $ $ $= = = =-- -

-- -

- - .

Použité úpravy:

(1) záměna prvního a druhého sloupce, determinant mění znamení,

(2) ke čtvrtému řádku přičítáme (–1)násobek prvního řádku,

(3) ke třetímu a čtvrtému řádku jsme přičetli řádek druhý,

(4) ke třetímu řádku přičítáme (–1)násobek čtvrtého řádku,

(5) ke čtvrtému řádku jsme přičetli 3násobek třetího řádku,

(6) v matici jsou pod diagonálou nuly, tudíž determinant je roven součinu prvků na hlavní diagonále.

Determinanty počítáme pouze ze čtvercových matic. Čtvercové matice dělíme na regulární a singulární. Souvisí druh čtvercové matice s jejím determinantem? Ano, odpověď nám dá následující věta.


121

VĚTA

(o determinantu regulární a singulární matice)


a) matice A je regulární právě tehdy, jestliže det(A) ≠ 0,

b) matice A je singulární právě tehdy, jestliže det(A) = 0.

PŘÍKLAD 5.24

Užitím determinantu matice

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

3

0

1

3

5

0

2

1

2

3

2

0

0

1

1

3-

-

-

rozhodneme, je-li matice A regulární nebo sin-

gulární.

Řešení

Použijeme předcházející větu. Musíme vypočítat determinant matice A, tzn.

A( )

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

det

3

0

1

3

5

0

2

1

2

3

2

0

0

1

1

3

3

1

0

3

5

2

0

1

2

2

3

0

0

1

1

3

1

3

0

3

2

5

0

1

2

2

3

0

1

0

1

3

1

0

0

0

2

1

0

7

2

4

3

6

1

3

1

6

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4

= = = = =

-

-

- -

-

- -

-

-

-

-

-

-

-

-

-

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

( 1) 1 ( 1) 1 67 1 67 0

1

0

0

0

2

1

0

0

2

4

3

22

1

3

1

15

1

0

0

0

2

1

0

0

5

13

0

67

1

3

1

15

1

0

0

0

2

1

0

0

5

13

67

0

1

3

15

1

( ) ( ) ( ) ( )4 5 6 7

$ $ $ $ $ != = = = =- -

-

- - - --

- - -- - .

Úpravy:

(1) záměna druhého a třetího řádku, změna znamení determinantu,

(2) záměna prvního a druhého řádku, opět změna znamení determinantu,

(3) ke druhému a čtvrtému řádku přičteme (–3)násobek prvního řádku,

(4) ke čtvrtému řádku přičteme 7násobek druhého řádku,

(5) ke třetímu sloupci přičteme 3násobek čtvrtého sloupce,

(6) záměna třetího a čtvrtého řádku, další změna znamení determinantu,

(7) v matici jsou pod diagonálou nuly, tudíž determinant je roven součinu prvků na hlavní diagonále.

Závěr: det(A) ≠ 0, proto je matice A je regulární.

Pro řešení soustav lineárních rovnic, které mají právě jedno řešení, lze také použít determi-nanty.


122

VĚTA

(Cramerovo pravidlo)

Jestliže

aaa

a

aaa

a

aaa

a

aaa

a

bbb

b

xxx

x

xxx

x

xxx

x

xxx

x

,

,

,

,r r r

r r

r r

r r

rr r r

11 1

21 1

31 1

1 1

12 2

22 2

32 2

2 2

13 3

23 3

33 3

3 3

1

2

3

1

2

3

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

h h h

g

g

g

j

g

h h

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

=

=

=

=

je soustava r lineárních rovnic o r neznámých taková, že matice A této soustavy je regulární,30) potom

pro i = 1, 2, ..., r je x AA( )

( )

det

det ii= , kde matice Ai vznikne z matice A nahrazením i-tého sloupce sloupcem

pravých stran.

Je-li matice soustavy singulární, nelze Cramerovo pravidlo použít, lze použít pouze Gaussovu eliminační metodu.

PŘÍKLAD 5.25

Cramerovým pravidlem vyřešíme soustavu rovnic xx

xx

,

.

4

3

2

7

10

181

1

2

2+

=

=

-

-

Řešení

Pro použití Cramerova pravidla musí být matice soustavy regulární. Vzhledem k tomu, že pro výpočet obou neznámých potřebujeme determinant matice soustavy, ověříme tento předpo-

klad výpočtem determinantu matice soustavy, tj. ,

, 7

4

3

2- = 4 . 7 – (–2) . 3 = 34 ≠ 0 . Matice

soustavy je regulární.

Přistoupíme k výpočtu neznámých.

Neznámá x1 je rovna zlomku, ve kterém jmenovatel je determinant matice soustavy a čitatel je determinant matice vzniklé z matice soustavy nahrazením prvního sloupce sloupcem pravých

stran. Dostáváme x

,

, ( ) ( )1

34

10

18

2

7

3410 7 2 18

3434

1

$ $= = = =

-

-

- - - .

Neznámá x2 je rovna zlomku, ve kterém jmenovatel je determinant matice soustavy a čitatel je determinant matice vzniklé z matice soustavy nahrazením druhého sloupce sloupcem pravých

stran. Dostáváme x

,

, ( )34

4

3

10

18

344 18 10 3

34102 3

2

$ $= = = =

- - - - - .

Řešením soustavy je vektor x = (x1, x2) = (1, –3).

30) V tomto případě hodnost matice soustavy, hodnost rozšířené matice soustavy i počet neznámých je r, tzn. soustava má právě jedno řešení.


123

PŘÍKLAD 5.26

Cramerovým pravidlem vyřešíme soustavu rovnic

xxx

xxx

xxx

2 3

2

,

,

.3

4

2

2

1

3

1

1

1

2

2

2

3

3

3

+

+ =

=

=

+

+

+

+

Řešení

Vypočteme determinant matice soustavy:

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

2 4 1 1 2 3 3 1 2 (3 4 3 2 2 2 1 1 )

2

1

3

1

4

2

3

2

1

2

1

3

1

4

2

3

2

1

2

1

3

1

4

2

1 25 0$ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ != = + + + +- =- ,

matice soustavy je regulární.

Určíme jednotlivé neznámé:

x

,

,

,

,

,

,1

25

2

1

3

1

4

2

3

2

1

2525

1= = =- -

- , protože v čitateli je determinant stejné matice jako matice soustavy,

x

,

,

,

,

,

,0

25

2

1

3

2

1

3

3

2

1

250

2= = =- -

, protože matice v čitateli má dva stejné sloupce,

x

,

,

,

,

,

,0

25

2

1

3

1

4

2

2

1

3

250

3= = =- -

, protože matice v čitateli má dva stejné sloupce.

Řešením soustavy je vektor x = (x1, x2, x3) = (1, 0, 0).

K řešení soustavy lineárních rovnic, které mají regulární matici soustavy, máme čtyři metody: Gaussovu a Jordanovu eliminační metody, použití inverzní matice a Cramerovo pravidlo. Z hlediska pracnosti je nejpracnější Cramerovo pravidlo. Výhodou Cramerova pravidla je (na rozdíl od zbývajících metod) možnost spočítat izolovaně jednu neznámou, aniž bychom znali zbývající neznámé.


124

PŘÍKLAD 5.27

Cramerovým pravidlem vypočtěme neznámou x3 v soustavě rovnic

xxx

xxx

xx

,

,

.

2

3 2

3

0

1

1

1

1

2

2

2

3

3+

+ =

=

=

-

-

-

-

Řešení

Vypočteme determinant matice soustavy ,

,

,

,

,

,

0 3 4 3 2 0 6 0

1

2

3

1

1

2

1

1

0

!= + =

-

-

- - - - - - , matice

soustavy je regulární, můžeme použít Cramerovo pravidlo.

Neznámá x

,

,

,

,

,

,

6

1

2

3

1

1

2

3

0

1

61 0 12 9 0 2

624 4

3= = = =-

-

- -

-- + - - - -

-- .


125


Vypočtěte součiny A . B a B . A, jestliže:

a) A

,

,

,

,

,

,

,

,

1

2

1

2

0

2

1

3

2

1

2

1

=

R

T

SSSSSS

V

X

WWWWWW

a B,

,

,

,

,

,

,

,

,

0

2

0

2

1

1

0

1

0

1

0

1=

R

T

SSSS

V

X

WWWW ,

b) A,

,

,

,

,

,

2

0

1

1

1

2

3

2

1

=

R

T

SSSS

V

X

WWWW a B

,

,

,

,

,

,

,

,

1

2

3

0

2

1

1

1

1

0

2

1

=

R

T

SSSSSS

V

X

WWWWWW

,

c) A,

,

,

,

,

,

2

0

1

1

3

4

1

4

2

= -

R

T

SSSS

V

X

WWWW a B

,

,

,

,

,

,

,

,

,

2

1

1

1

0

4

1

3

3

2

2

2

=

-

-

-

R

T

SSSS

V

X

WWWW ,

d) A ,

,

,

,

,

,

5

1

2

2

1

3

1

1=

-

-

-> H a B

,

,

,

,

,

,

,

,

2

1

1

0

1

0

3

7

2

3

2

2

=

-

-

-

-

R

T

SSSSSS

V

X

WWWWWW

,

Výsledky

a) A

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

B

5

4

5

4

2

5

4

7

3

3

3

3

0

2

1

3

$ =

R

T

SSSSSS

V

X

WWWWWW

a B,

,

,

,

,

,

A

2

6

5

1

7

3

4

3

7

$ =

R

T

SSSS

V

X

WWWW ,

b) součin A . B není defi nován a A

,

,

,

,

,

,

,

,

B

3

4

8

1

5

3

8

3

8

8

13

3

$ =

R

T

SSSSSS

V

X

WWWWWW

,

c) A B,

,

,

,

,

,

,

,

,

6

1

8

2

16

7

2

21

5

4

14

6

$ =

-

-

R

T

SSSS

V

X

WWWW a součin B . A není defi nován,

d) A B ,

,

,

,

13

1

12

17

4

4$ =

-

-> H a součin B . A není defi nován.


126

Příklad 2:

Vypočtěte součiny (A + B) . C a (A . B) . C,

Jestliže:

a) A ,

,

5

1

1

3= = G , B ,

,

1

5

7

2= = G a C ,

,

0

1

3

0= = G ,

b) A ,

,

5

0

1

2= = G , B ,

,

1

2

1

1= = G a C ,

,

1

0

3

1= = G .

Výsledky

a) A B C),

,

4

5

18

18( $+ = = G , A B C( )

,

,

37

13

30

48$ $ = = G ,

b) A B C( ),

,

6

2

20

9$+ = = G , A B C( )

,

,

7

4

27

14$ $ = = G .

Příklad 3:

Rozhodněte, je-li matice A regulární nebo singulární, jestliže:

a) A,

,

,

,

,

,

4

1

2

2

3

4

1

5

1

=

R

T

SSSS

V

X

WWWW ,

b) A,

,

,

,

,

,

,

,

,

1

0

2

0

2

1

1

0

1

0

1

0

=

R

T

SSSS

V

X

WWWW ,

c) A

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

2

1

3

0

1

2

4

1

1

1

4

2

0

3

4

1

=

R

T

SSSSSS

V

X

WWWWWW

,

d) A,

,

,

,

,

,

2

0

1

1

3

4

1

4

2

= -

R

T

SSSS

V

X

WWWW ,

e) A

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

3

1

1

3

3

2

0

1

2

1

3

4

3

1

4

2

=-

-

-

R

T

SSSSSS

V

X

WWWWWW

.

Výsledky

a) A je regulární,

b) A není ani regulární, ani singulární (protože není čtvercová),

c) A je singulární,

d) A je regulární,

e) A je singulární.


127

Příklad 4:

Vypočtěte inverzní matici A–1 k matici A, jestliže:

a) A ,

,

1

3

3

2=

-= G ,

b) A ,

,

3

1

5

2=

- -= G ,

c) A ,

,

5

3

3

2=

-

-= G ,

d) A,

,

,

,

,

,

4

0

3

0

1

0

5

6

4

= -

R

T

SSSS

V

X

WWWW ,

e) A,

1,

,

,

,

,

1

0

2

0

6

0

2

0

=

-

-

R

T

SSSS

V

X

WWWW ,

f) A,

,

,

,

,

,

1

5

3

0

4

5

0

1

1

= - - -

R

T

SSSS

V

X

WWWW ,

g) A,

,

,

,

,

,

1

2

5

2

1

4

4

0

4

=

R

T

SSSS

V

X

WWWW ,

h) A,

,

,

,

,

,

1

5

4

1

4

3

2

1

0

=

R

T

SSSS

V

X

WWWW ,

i) A,

,

,

,

,

,

1

0

2

0

1

1

1

2

0

=

R

T

SSSS

V

X

WWWW ,

j) A,

,

,

,

,

,

0

1

0

1

1

0

1

1

1

= - -

R

T

SSSS

V

X

WWWW ,

k) A

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

3

1

1

3

2

2

0

1

2

1

3

4

3

1

4

2

=-

-

-

-

R

T

SSSSSS

V

X

WWWWWW

,

l) A

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

1

1

1

2

0

0

1

1

1

1

1

1

0

1

1

1

=

-

-

- -

- -

R

T

SSSSSS

V

X

WWWWWW

,

m) A,

,

,

,

,

,

1

1

2

1

2

3

1

3

5

=

R

T

SSSS

V

X

WWWW ,

n) A,

,

,

,

,

,

1

1

2

1

2

4

1

3

7

=

R

T

SSSS

V

X

WWWW ,

o) A,

,

1,

,

,

,

1

1

2

3

1

1

2

1

=

-

-

-

-

R

T

SSSS

V

X

WWWW ,

p) A,

,

,

,

,

,

2

1

0

3

5

2

1

2

1

= -

-

-

-

R

T

SSSS

V

X

WWWW ,

q) A,

,

,

,

,

,

1

2

3

1

1

3

2

1

1

= -

-

-

-

R

T

SSSS

V

X

WWWW ,

r) A,

,

,

,

,

,

1

1

2

2

3

5

3

5

9

=

R

T

SSSS

V

X

WWWW ,

s) A,

,

,

,

,

,

1

2

3

1

3

5

2

5

9

=

R

T

SSSS

V

X

WWWW .


128

Výsledky

a) A,

,1 11

2

113

113

111=

--> H ,

b) A ,

,

2

1

5

31=

- --

= G ,

c) A ,

,

2

3

3

51=

-

--

= G ,

d) A,

,

,

,

,

,

4

18

3

0

1

0

5

24

4

1= -

-

--

R

T

SSSS

V

X

WWWW ,

e) A,

,

,

,

,

,

1

0

0

01

21

21

31

61

61

=

-

-

-

R

T

SSSS

V

X

WWWW

,

f) A,

,

,

,

,

,

1

3

13

0

1

5

0

1

4

1=

- - -

-

R

T

SSSS

V

X

WWWW ,

g) A–1 neexistuje (matice A je singulární),

h) A,

,

,

,

,

,

3

4

1

6

8

1

7

9

1

1= -

-

-

--

R

T

SSSS

V

X

WWWW ,

i) A,

,

,

,

,

,

1

1

12

21

41

21

41

41

21

41

= -

-

-

-

R

T

SSSS

V

X

WWWW

,

j) A,

,

,

,

,

,

1

1

0

1

0

0

0

1

1

1= --

R

T

SSSS

V

X

WWWW ,

k) A

,

,

1,

,

,

,

1,

,

,

,

,

,

1

0

2

1

1

1

2

0

3

6

4

1

6

10

1=

- -

-

-

-

-

-

-

R

T

SSSSSS

V

X

WWWWWW

,

l) A

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

0

0

1

1

0

1

0

1

1

1

1

0

1

0

1

0

1=

-

--

R

T

SSSSSS

V

X

WWWWWW

,

m) A,

,

,

,

,

,

1

1

1

2

3

1

1

2

1

1=

-

-

-

--

R

T

SSSS

V

X

WWWW ,

n) A,

,

,

,

,

,

2

1

1

3

3

1

1

2

1

1=

-

-

-

--

R

T

SSSS

V

X

WWWW ,

o) A,

,

,

,

,

,

1

1

2

1

2

3

1

3

5

1=-

R

T

SSSS

V

X

WWWW ,

p) A,

,

,

,

,

,

1

1

2

1

2

4

1

3

7

1=-

R

T

SSSS

V

X

WWWW ,

q) A,

,

,

,

,

,

1

2

3

1

3

5

2

5

9

1=-

R

T

SSSS

V

X

WWWW ,

r) A,

,

,

,

,

,

2

1

0

3

5

2

1

2

1

1= -

-

-

--

R

T

SSSS

V

X

WWWW ,

s) A,

,

,

,

,

,

2

3

1

1

3

2

1

1

1

1= -

-

-

--

R

T

SSSS

V

X

WWWW .


129

Příklad 5:

Vypočtěte neznámou matici X v maticové rovnici A . X = X . A, jestliže:

a) A ,

,

0

2

1

3= = G ,

b) A ,

,

1

1

1

0=

-= G ,

Výsledky

a) X,

,

t t

t

t

t1 2

32

2

21

2

1

=-

> H , kde t1 R a t2 R ,

b) X,

,

t t

t

t

t1 2

2

2

1

=+ -

> H , kde t1 R a t2 R ,

c) X,

,

t t

t

t

t

21 2

2

2

1

=+

> H , kde t1 R a t2 R ,

d) maticové rovnici vyhovuje každá matice X typu 2 × 2 (matice A je jednotková).

Příklad 6:

Vypočtěte neznámou matici X v maticové rovnici:

a) X . B = 3 . X + 2 . A, kde A ,

,

1

0

2

1= = G a B ,

,

5

1

7

6= = G ,

b) 3 . X – B = B – X . A, kde A ,

,

1

1

9

2=

-= G a B ,

,

1

1

2

0=

-

-

-= G ,

c) X . A + 3 . B = 2 . X + 5 . B, kde A ,

,

1

2

2

1=

-= G a B ,

,

1

3

2

3=

-

-= G ,

d) X + 2 . B = A . X + 3 . B, kde A ,

,

1

1

5

2=

-

-= G a B ,

,

4

1

3

2=

- -= G ,

e) 2 . B + X . A = 4 . X + 3 . B, kde A ,

,

2

1

7

1= = G a B ,

,

2

1

4

5=

-

-= G ,

f) B . X + A = 2 . X + 2 . A, kde A ,

,

2

1

3

4=

- -= G a B ,

,

1

1

7

6=

-= G ,

g) 2 . X + A = 2 . A + X . B, kde A ,

,

1

1

6

2=

- -= G a B ,

,

1

1

7

6=

-

-

-= G ,

h) 3 . X – 2 . A = B . X – A, kde A ,

,

5

7

4

9= = G a B ,

,

4

1

2

0=

-= G .

c) A ,

,

0

1

1

2=

-= G ,

d) A ,

,

1

0

0

1= = G .


130

Výsledky

a) X = 2 . A . (B – 3 . J2 )–1 = ,

,

2

2

6

4

-

-= G ,

b) X = 2 . B . (3 . J2 + A)–1 = ,

,

6

10

10

18

-

-= G ,

c) X = 2 . B . (A – 2 . J2 )–1 = ,

, 6

2

6

0

- -= G ,

d) X = ( J2 – A)–1 . B = ,

,

7

2

1

1

-

-= G ,

e) X = B . (A – 4 . J2 )–1 = ,

,

2

2

6

3

- -= G ,

f) X = (B – 2 . J2 )–1 . A = ,

,

9

1

4

1

-

-= G ,

g) X = A . (2 . J2 – B)–1 = ,

,

2

6

1

5-

-= G ,

h) X = (3 . J2 – B)–1 . A = ,

,

1

2

6

5

-= G .

Příklad 7:

Vypočtěte determinanty:

a) ,

, 3

5 12

21 -

- ,

b) ,

, 3

15

2

1

--

- ,

c) ,

, 8

7

6

5 ,

d) ,

, 1

3

1

1- ,

e) ,

,

,

,

,

,

1

1

0

2

5

7

3

2

1

- - ,

f) ,

,

,

,

,

,

1

1

2

4

1

2

2

3

1

-

-

-

-

,

g) ,

,

,

,

,

,

5

4

1

4

3

1

1

5

5

,

h) ,

,

,

,

,

,

4

1

2

2

3

4

1

5

1

,

i) ,

,

,

,

,

,

3

4

6

1

9

1

6

7

4

,

j) ,

,

,

,

,

,

2

1

3

1

2

4

1

1

4

,


131

k) ,

,

,

,

,

,

1

2

3

5

1

1

0

2

1

,

l) ,

,

,

,

,

,

3

5

7

2

3

3

1

2

4

,

m) ,

,

,

,

,

,

3

2

0

9

9

9

6

8

3

,

n) ,

,

,

,

,

,

5

4

1

4

3

1

1

0

5

,

o) ,

,

,

,

,

,

1

2

1

1

2

1

1

1

2

,

p) ,

,

,

,

,

,

9

1

3

2

0

0

7

0

4

,

q)

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

0

0

1

3

0

1

3

5

1

3

5

0

3

5

0

0

-

- ,

r)

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

1

2

2

3

3

5

2

1

7

1

2

0

2

5

0

0

,

Výsledky

a) –9 , h) –52 , o) 0 , v) 0 ,

b) –47 , i) –187 , p) –8 , w) –509 ,

c) 26 , j) 5 , q) –29 , x) –89 ,

d) 4 , k) 19 , r) –104 , y) 241 ,

e) 0 , l) 0 , s) 189 , z) –11 .

f) –21 , m) –81 , t) –10 ,

g) –9 , n) –4 , u) –48 ,

s)

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

0

3

2

5

1

1

4

1

1

7

1

4

4

0

8

1

,

t)

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

3

0

4

7

0

1

3

0

1

1

5

1

2

0

2

1

,

u)

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

2

0

3

6

0

1

3

0

3

1

7

1

3

0

1

1

,

v)

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

1

2

4

5

6

5

7

6

3

1

3

1

5

5

5

5

,

w)

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

0

0

3

5

0

3

5

7

3

5

7

0

5

7

0

0

,

x)

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

3

2

0

0

5

3

2

0

0

5

3

2

0

0

5

3

-

-

-

- ,

y)

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

3

1

0

0

5

3

1

0

0

5

3

1

0

0

5

3

- -

-

,

z)

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

2

1

0

0

3

2

1

0

0

3

2

1

0

0

3

2

.


132

Příklad 7:

Určete užitím jak Gaussovy eliminační metody, tak i Jordanovy eliminační metody, tak i in-verzní matice k matici soustavy, tak i Cramerova pravidla všechna řešení soustavy lineárních rovnic:

a) xx

xx

,

,

2

3

3

4

6

01

1

2

2+

=

=

-*

b) xx

xx

,

2,4

3

5

21

1

2

2+

=

=

+ -

-*

c) xx

xx

,

,

2

4

8

5

5

11

1

2

2

=

=

+

- -*

d) xx

xx

,

,4

4

6

9

81

1

2

2

-

+

=

=

+*

e)

xx

x

xxx

,

,

,

5

2

0

2

0

1

1

2

2

3

3+

=

=

=

-

-

-

Z

[

\

]]

]]

f) xxx

xxx

xxx

3

3

2

,

,

,

2

2

3 1

0

2

1

1

1

2

2

2

3

3

3

+

+

+

+

+

+

=

=

=

Z

[

\

]]

]]

Výsledky

a) x = (x1, x2) = ( 1724 , –1718 ) ,

b) x = (x1, x2) = ( 74 , 76- ) ,

c) x = (x1, x2) = ( 4217 , 2111 ) ,

d) x = (x1, x2) = (–1, 2) , e) x = (x1, x2, x3) = ( 32 ,

32 ,

34 ) ,

f) x = (x1, x2, x3) = (–1, 41 ,

45 ) ,

g)

xxx

xxx

xxx

2

2

,

,

,

2

2

0

1

1

1

1

2

2

2

3

3

3+

+

+

=

=

=

-

-

-

Z

[

\

]]

]]

h)

xxx

xxx

xxx

2

,

,

,

4 2

3

0

3

0

1

1

1

2

2

2

3

3

3+

+

+

=

=

=-

+

+

+

Z

[

\

]]

]]

i) xxx

xxx

xxx

5

,

,

,

3

7

6

3

8

7

2

4

0

1

0

1

1

1

2

2

2

3

3

3

=

=

=

-

-

-

-

-

-

-

Z

[

\

]]

]]

j) xxx

xxx

xxx

,

,

,

3

2

2

2

5

7

0

21

1

1

1

2

2

2

3

3

3

=

=

=-

-

+

+

+

+

+

Z

[

\

]]

]]

k)

xxx

xxx

xxx2

,

,

,

3

4

2

3

1

6

1

1

1

2

2

2

3

3

3+

+

+

=

=

=

+

- -

Z

[

\

]]

]]

l) xxx

xxx

xxx

,

,

.

2

3

5

3

4

4

5

2

3

5

1

9

1

1

1

2

2

2

3

3

3

+

+

+

=

=

=

-

-

-

-

Z

[

\

]]

]]

g) x = (x1, x2, x3) = (– 61 , –

611 , –

23 ) ,

h) x = (x1, x2, x3) = (– 223 , –

2215 ,

1121 ) ,

i) x = (x1, x2, x3) = (3, –1, 6) , j) x = (x1, x2, x3) = (– 7

9 , –71 , 4) ,

k) x = (x1, x2, x3) = (1, 0, 2) , l) x = (x1, x2, x3) = (1, 1, 0) .


133

Shrnutí kapitoly

• V této kapitole jsme zavedli maticové operace reálný násobek matice, součet matic a součin matic (operace součin na rozdíl od reálných čísel není obecně komutativní). Dále jsme zavedli jednotkovou matici, která vzhledem k součinu matic hraje podobnou roli jako číslo 1 vůči součinu reálných čísel.

• Čtvercové matice jsme rozdělili na matice regulární a singulární. K regulárním mati-cím existuje (na rozdíl od singulárních matic) matice inverzní, kterou používáme pro řešení maticových rovnic i soustav lineárních rovnic, které mají právě jedno řešení.

• Dále jsme zavedli determinant čtvercové matice, který je reálné číslo a slouží k tomu, abychom zjistili z jeho nenulovosti nebo nulovosti, zda matice je regulární nebo singulární. Dále se užitím determinantů dá řešit soustava lineárních rovnic, která má právě jedno řešení (Cramerovo pravidlo).

Klíčová slova

reálný násobek matice součet matic

součin matic jednotková matice

regulární matice singulární matice

inverzní matice Cramerovo pravidlo

maticová rovnice determinant matice

determinant regulární matice determinant singulární matice

Jordanův algoritmus pro výpočet inverzní matice

6Množinové operacea funkce jedné proměnné

kapitola

Množinové operace a funkce jedné proměnné Kapitola 6

137

6. kapitolaMnožinové operace a funkce jedné proměnné

Úvod

Nejprve se budeme zabývat množinovými operacemi a číselnými množinami.

Dále zavedeme funkci jedné proměnné, její defi niční obor, obor hodnot, graf a monotónii. Budeme se věnovat základním elementárním funkcím, jejich defi ničním oborům, oborům hodnot, grafům i intervalům, kde jsou tyto funkce rostoucí i klesající. Pro elementární funkce budeme určovat jejich defi niční obor.

Závěr kapitoly je věnován limitě a spojitosti funkcí jedné proměnné.


138

6.1Množinové operace

DEFINICE

Podmnožina

Množina A je podmnožina množiny B (a označíme A B nebo B A ), jestliže pro každé x A platí x B.

Tzn. množina A je podmnožina množiny B právě tehdy, jestliže množina B obsahuje všechny prvky množiny A.

Uveďme dvě evidentní pravdy:

a) pro každou množinu A je4 A ,

b) jsou-li A a B množiny, potom A = B právě tehdy, jestliže A B a současně B A .

Na obr. 6.1 (a) množina A je podmnožina množiny B a množina B není podmnožina mno-žiny A. Na obr. 6.1 (b) ani množina A není podmnožina množiny B, ani množina B není podmnožina množiny A.

OBRÁZEK 6.1

DEFINICE

Sjednocení, průnik a rozdíl množin

Jsou-li A a B množiny, potom

a) sjednocení množin A a B je množina A B = {x; x A x B},

b) průnik množin A a B je množina A B = {x; x A x B},

c) rozdíl množin A a B je množina A – B = {x; x A x B},

d) množiny A a B jsou disjunktní, jestliže A B =4.

Množiny A a B jsou disjunktní, jestliže nemají žádný společný prvek (viz obr. 6.2 (a)).

A B

(b)

A B

A B(a)


139

OBRÁZEK 6.2

Mějme množiny A a B (viz obr. 6.2 (b)). Na obr. 6.3 (a) je A B, na obr. 6.3 (b) je A B, na obr. 6.4 (a) je A – B a na obr. 6.4 (b) je B – A.

OBRÁZEK 6.3

Do sjednocení množin A a B patří všechny prvky, které patří do množiny A nebo do množiny B, určitě A B = B A (viz obr. 6.3 (a)).

Do průniku množin A a B patří všechny prvky, které patří současně do množiny A a do množiny B, určitě A B = B A (viz obr. 6.3 (b)).

OBRÁZEK 6.4

Do rozdílu množin A a B patří všechny prvky, které patří do množiny A a současně nepatří do množiny B. Tato operace závisí na pořadí množin A a B, tzn. obecně neplatí A – B = B – A.

Poznamenejme, zapíšeme-li x A – {a}, potom tento zápis znamená x A a současně x ≠ a.

Množiny A a B

A B

(b)

A B

Disjunktní množiny A a B(a)

A B

A B

(b)A B

A B

(a)

B – A

A B

(b)A – B

A B

(a)


140

PŘÍKLAD 6.1

Pro množiny A = (–3, 5) a B = 0, 6) určíme A B, A B, A – B a B – A.

Řešení

A B = (–3, 6), A B = 0, 5), A – B = (–3, 0) a B – A = 5, 6).

PŘÍKLAD 6.2

Pro množiny A = –1, 5 a B = 5, 7 určíme A B, A B, A – B a B – A.

Řešení

A B = –1, 7, A B = {5}, A – B = –1, 5) a B – A = (5, 7.

PŘÍKLAD 6.3

Pro množiny A = (–5, –3) a B = (–1, 3) určíme A B, A B, A – B a B – A.

Řešení

A B = (–5, –3) (–1, 3), A B =4, A – B = (–5, –3) a B – A = (–1, 3).

PŘÍKLAD 6.4

Pro množiny A = (–, ) a B = {–2, 4} určíme A B, A B, A – B a B – A.

Řešení

A B = (–, ), A B = {–2, 4}, A – B = (–, –2) (–2, 4) (4, ) a B – A =4.

V úvodní kapitole jsme množinu {a, b} nazvali neuspořádanou dvojicí prvků a a b. V mnoha úvahách potřebujeme zapsat prvky a a b tak, aby bylo důležité jejich pořadí.

Uspořádaná dvojice prvků a a b, kterou zapisujeme buď [a, b], nebo (a, b), je seznam prvků a a b. Tzn. pro libovolné prvky a, b, c a d, platí [a, b] = [c, d ] právě tehdy, jestliže a = c a současně b = d. Který zápis pro uspořádanou dvojici prvků použijeme, závisí na interpre-taci. Jsou-li a a b reálná čísla, potom [a, b] je bod v rovině a (a, b) představuje dvojrozměrný vektor.

DEFINICE

Kartézský součinu množin

Jsou-li A a B množiny, potom kartézský31) součin množin A a B je množina

A B = {[x, y]; x A y B}.

Kartézský součin množin A a B je množina všech uspořádaných dvojic prvků takových, že první prvek v uspořádané dvojici patří do množiny A a druhý prvek do množiny B.

31) Termín kartézský součin byl vytvořen na počest francouzského matematika a fi losofa René Descarta (1596-1650), který latinsky podepisoval své práce Renatus Cartesius. V dodatku ke své práci Discours de la méthode (Rozprava o metodě, 1637) věnovanému geometrii poprvé naznačil použití uspořádaných dvojic reálných čísel k popisu bodů v rovině.


141

PŘÍKLAD 6.5

Pro konečné množiny A = {1, 2, 3} a B = {4, 5} určíme A B a B A.

Řešení

Kartézský součin množin A a B je množina A B = {[1, 4], [2, 4], [3, 4], [1, 5], [2, 5], [3, 5]} a kartézský součin množin B a A je množina B A = {[4, 1], [5, 1], [4, 2], [4, 3], [5, 3]}, zcela evidentně A B B A.

PŘÍKLAD 6.6

Pro množiny A = 2, 3 a B = 1, 3 grafi cky znázorníme v rovině A B a B A.

Řešení

Na obr. 6.5 (a) je kartézský součin A B a na obr. 6.5 (b) je kartézský součin B A. Opět zcela evidentně A B B A.

PŘÍKLAD 6.7

Pro množiny A = 2, 6 a B = 1, 7 grafi cky znázorníme v rovině A B a B A.

Řešení

Na obr. 6.6 (a) je kartézský součin A B a na obr. 6.6 (b) je kartézský součin B A. Opět zcela evidentně A B B A.

OBRÁZEK 6.5

A2 3

1

3

B

B1 3

2

3

A

B A = 1, 3 2, 3(b)A B = 2, 3 1, 3(a)


142

OBRÁZEK 6.6

Operace kartézský součin množin A a B je závislá na pořadí množin. Z příkladů 6.5, 6.6 a 6.7 vyplývá, že obecně neplatí A B = B A.

Máme-li zavedenu uspořádanou dvojici prvků a a b, lze analogicky pro kladné přirozené číslo n zavést uspořádanou n-tici prvků a1, a2, . . ., an, kterou budeme zapisovat [a1, a2, . . ., an] nebo (a1, a2, . . ., an). Označení vybereme podle interpretace.

6.2Číselné množinyBudeme se věnovat pojmu číslo, různým druhům čísel (přirozeným, celým a reálným) a zá-konům, které platí při rozmanitých operacích s čísly.

V každodenním životě se člověk setkával s jistými skupinami předmětů, mezi kterými existovaly kvantitativní vztahy. Jejich odraz se projevil v lidské mysli formováním pojmu číslo. Pojem číslo podléhal vývoji a v bohatství tohoto pojmu se odrážela složitost společenského života. Tuto skutečnost potvrzuje i studium života primitivních kmenů, u kterých je pojem číslo slabě vyvinut. Existují primitivní kmeny, kterým jsou známy jen pojmy čísel „jeden“ a „dva“. Číslo vyjadřuje vlastnost společnou rozličným skupinám předmětů, totiž počet předmětů ve skupině (pět stromů, pět jablek atd.). V první fázi svého vývoje však není pojem číslo plně odtržený od konkrétních objektů. To dosvědčují i názvy čísel (tj. číslovky) u starých národů, u kterých např. název čísla „pět“ byl totožný s názvem ruky (pět prstů na ruce), číslo „dvacet“ s názvem celého člověka (celkem dvacet prstů) atd. Vytvoření samostatného pojmu číslo bez úzké a bezprostřední představy jisté skupiny předmětů byl již další kvalitativní stupeň v jeho vývoji. V důsledku tohoto procesu se vytvořily pojmy přirozené, celé, racionální, reálné a komplexní číslo, vybudoval se systém operací s těmito čísly.

A2 6

1

7

B

B1 7

2

6

A

B A = 1, 7 2, 6(b)A B = 2, 6 1, 7(a)


143

V současnosti se vychází z pojmu množina – základního matematického pojmu – při budování pojmu číslo, rozličných druhů čísel a operací s nimi v plné souvislosti s rozvojem a potřebami matematických disciplín i jejich aplikací.

Matematické metody ekonomických věd vycházejí z operací s čísly a veličinami, jako jsou např. cena, poptávka, nabídka. Čísla tvoří také základ matematické analýzy i jiných matematických disciplín. Není naší úlohou vysvětlovat způsoby vytvoření číselných pojmů.

Množinu všech přirozených čísel značíme symbolem N0, symbolem N označíme všech kladných přirozených čísel; musí platit N = N0 – {0}. Zapíšeme-li obě množiny jejich prvky, dostáváme N0 = {0, 1, 2, 3, . . .} a N = {1, 2, 3, 4, . . .}.

Množinu všech celých čísel značíme Z, tj. Z = {. . ., –2, –1, 0, 1, 2, . . .}, a množinu všech re-álných čísel R. Množinu všech reálných čísel také zapisujeme jako interval, tj. R = (–, ). V našich úvahách budeme příležitostně používat geometrické názvosloví, které je všem čtená-řům známé ze střední školy, např. místo „množina všech reálných čísel“ použijeme termín „reálná osa“ nebo „číselná osa“, místo „reálné číslo x“ termín „bod x“, místo „číslo x je větší (resp. menší) než číslo y“ uvedeme „bod x leží vpravo (resp. vlevo) od bodu y“ atd. Poznamenejme, že zrakový názor na přímku nelze použít jako důkazový prostředek, protože používáme-li geometrickou terminologii jako „číselná osa“, „bod na číselné ose“, není to nic jiného než pojmenování pro „množinu všech reálných čísel“, „reálné číslo“. Často je však geometrické názvosloví užitečné – mnohdy má heuristickou cenu, tj. napovídá nám, jakou cestou se máme dát při řešení matematických problémů.

Je účelné rozšířit množinu všech reálných čísel R o další prvky tak, abychom zjednodušili ně-které budoucí úvahy. Snad každý někdy v životě narazí na pojem nekonečno a přemýšlí o něm, třebaže na leckoho to působí i trochu hrůzostrašně. Tím spíše se pak snaží vyrovnat se s tímto pojmem. Ale většinou bývá pojem nekonečno lidem nejasný. Při studiu je nejdůležitější věcí ujasnit si především pojmy, se kterými pracujeme. V matematice to platí dvojnásob. A pojem nekonečno je čistě matematický.

DEFINICE

Rozšířená číselná osa

Rozšířená číselná osa je množina R* = R {–, }, kde pro všechna reálná čísla a platí –< a < .

Místo symbolu používáme také symbol +, prvky a – souhrnně značíme ±. Prvky množiny R* nazýváme zobecněná reálná čísla, prvky a – nevlastní reálná čísla.

Na rozšířenou číselnou osu R* lze rozšířit některé operace defi nované na množině všech reálných čísel R.

Pro libovolné reálné číslo a (tj. a R) platí:

a + = + a = + = ,

a – = – + a = – – = –,

a a a 0!3 3 3

= = =-

,

je-li a > 0, potom a . = . a = . = a a . (–) = (–) . a = . (–) = –,

je-li a < 0, potom a . = . a = (–) . = – a a . (–) = (–) . a = (–) . (–) = , –(–) = a |–| = || = |±| = ,

je-li a > 0, potom a = ,

je-li a < 0, potom a = 0,

je-li a > 1, potom a = a a– = 0,

je-li 0 < a < 1, potom a = 0 a a– = .


144

Toto rozšíření operací je účelné zejména pro výpočet limit. Poznamenejme, že některé ope-

race nejsou defi novány – např. – , . , . (–, !!33 ,

00 ,

0A (kde A 0), , 1±, …

V takových případech hovoříme o neurčitých limitních typech nebo neurčitých výrazech,

které budeme při výpočtech limit funkcí odstraňovat.

6.3Funkce jedné proměnnéSamotné slovo funkce je odvozeno z latinského slova functio, které znamená působení či výkon. Pojem funkce první zavedl německý matematik a fi losof Gottfried Wilhelm Leibniz v 17. století, i když první úvahy o závislosti se objevují již u scholastických křesťanských myslitelů ve 14. století.

DEFINICE

Funkce jedné proměnné

Je-li množina M R, potom f (x) je funkce jedné proměnné (nebo zkráceně funk-ce), jestliže f je přesný předpis, který každému reálnému číslu x z množiny M přiřazuje právě jedno reálné číslo y = f (x), které nazýváme funkční hodnotou funkce f v bodě x.

Množina M je defi niční obor funkce f (x), který značíme D( f ).

Obor hodnot funkce f (x) je množina { f (x); x D( f )}, kterou značíme H( f ), tj. H( f ) = { f (x); x D( f )}.

U funkcí jedné proměnné se zpravidla uvádí jejich graf (jak každý ví ze střední školy). Co rozumíme grafem funkce jedné proměnné?

DEFINICE

Graf funkce

Je-li f (x) funkce jedné proměnné, potom graf funkce f (x) je množina všech bodů [x, f (x)] v rovině pro x D( f ), tj. jde o množinu {[x, f (x)]; x D( f )}.


145

PŘÍKLAD 6.8

Uvažujme funkci f takovou, že libovolnému reálnému číslu x přiřazuje funkční hodnotu f (x) = x2 – 2x. Určíme její defi niční obor, obor hodnot i graf.

Řešení

Určitě D( f ) = (– ), H( f ) = –1, ) a graf je na obr. 6.7 (a).

OBRÁZEK 6.7

PŘÍKLAD 6.9

Uvažujme funkci g takovou, že libovolnému reálnému číslu x přiřazuje funkční hodnotu g(x) = |x|. Opět určíme její defi niční obor, obor hodnot i graf.

Řešení

Zcela jistě D( g) = (– ), H( g) = 0, ) a graf je na obr. 6.7 (b).

DEFINICE

Rostoucí, klesající a ryze monotónní funkce

Jsou-li f (x) funkce a I interval takové, že I D( f ), potom:

a) funkce f (x) je rostoucí v intervalu I, jestliže pro libovolná x1 a x2 z inter-valu I taková, že x1 < x2, platí f (x1) < f (x2),

b) funkce f (x) je klesající v intervalu I, jestliže pro libovolná x1 a x2 z inter-valu I taková, že x1 < x2, platí f (x1) > f (x2),

c) funkce f (x) je ryze monotónní v intervalu I, jestliže f (x) je rostoucí v in-tervalu I nebo f (x) je klesající v intervalu I.

(b) Graf funkce g(x) = |x|

–2

1

2 4–4

2

3

4

Graf funkce f (x) = x2 – 2x(a)

–12 3–1

1

2

3

1


146

PŘÍKLAD 6.10

Mějme funkci h defi novanou předpisem, který každému reálnému číslu x přiřazuje funkční hodnotu h(x) = x2 + 2x. Uvedeme maximální intervaly, ve kterých je funkce h rostoucí, kle-sající a ryze monotónní.

Řešení

Funkce h je klesající v intervalu (––1 a je rostoucí v intervalu –1 ) (viz obr. 6.8 (a)), tudíž je ryze monotónní v intervalu (––1 a je ryze monotónní v intervalu –1 ). Nelze uvést, že funkce h je ryze monotónní v intervalu (– ), protože v celém tomto intervalu není ani rostoucí, ani klesající. Graf funkce h je na obr. 6.8 (a).

PŘÍKLAD 6.11

Uvažujme funkci signum32), která se značí sgn(x) a je defi nována předpisem: je-li x (–), potom sgn(x) = –1, je-li x = 0, potom sgn(x) = 0, je-li x (0, ), potom sgn(x) = 1. Určíme její defi niční obor, obor hodnot, graf i maximální intervaly, kde je funkce sgn(x) rostoucí, klesající i ryze monotónní.

Řešení

Zcela jistě D(sgn) = (– ), H(sgn) = {–1, 0, 1} a graf je na obr. 6.8 (b). Funkce sgn(x) není ani rostoucí, ani klesající, ani ryze monotónní v žádném intervalu.

OBRÁZEK 6.8

Graf funkce h(x) = x2 + 2x(a)

–1

–2–3 –1

1

2

3

1

(b) Graf funkce sgn(x)

32) Slovo signum znamená v latině znamení. Tato funkce vyjadřuje znamení reálného čísla.


147

6.4Základní elementární funkceNejvíce používanými funkcemi jedné proměnné jsou tzv. elementární funkce. Uvedeme ně-které základní elementární funkce.

Konstantní funkce je funkce f , která každému reálnému číslu x přiřazuje funkční hodnotu f (x) = a, kde a je reálné číslo.

Pro konstantní funkci platí: D( f ) = (– ), H( f ) = {a} a na obr. 6.9 (a) je graf funkce f (x) = 4.

OBRÁZEK 6.9

Identická funkce je funkce g , která každému reálnému číslu x přiřazuje funkční hodnotu g(x) = x.

Pro identickou funkci platí: D( g ) = (– ), H( g ) = (– ) a funkce g je rostoucí v intervalu (– ), graf je na obr. 6.9 (b).

Funkce n-tá mocnina je funkce h, která každému reálnému číslu x přiřazuje funkční hodnotu h(x) = xn, kde n je kladné přirozené číslo.

Zcela jistě D(h) = (– ). Pro další vlastnosti funkce h musíme rozlišit dva případy.

a) Je-li n liché, potom H(h) = (– ), h je rostoucí v intervalu (– ), na obr. 6.10 (a) je graf funkce h(x) = x3.

b) Je-li n sudé, potom H(h) = 0 ), h je klesající v intervalu (– a je rostoucí v in-tervalu 0 ), na obr. 6.10 (b) je graf funkce h(x) = x2.

(b) Graf identické funkceg (x) = x

–4 –2 2 4

3

2

1

–1

–2

–3

Graf konstantní funkce f (x) = 4

(a)

–4 –2 2 4

8

6

2

4


148

OBRÁZEK 6.10

Polynom n-tého stupně (kde n je přirozené číslo) je funkce f, která každému reálnému číslu x přiřazuje funkční hodnotu f (x) = a0 + a1x + a2x

2 + . . . + anxn, kde a0, a1, a2 . . ., an jsou reálná

čísla taková, že an 0. Pro tuto funkci platí D( f ) = (– ). Obor hodnot i intervaly mono-tónie lze pro každý polynom pouze určit individuálně (viz funkce f (x) = x2 – 2x z příkladu 6.8 a funkce h(x) = x2 + 2x z příkladu 6.10).

Poznamenejme, že konstantní funkce je polynom stupně nultého a identická funkce je po-lynom stupně prvního.

Polynom stupně prvního se zpravidla nazývá lineární funkce, polynom stupně druhého se nazývá také kvadratická funkce, polynom stupně třetího kubická funkce, ….

Racionální funkce je funkce defi novaná jako podíl dvou polynomů. Zde nemůžeme uvést ani defi niční obor, ani obor hodnot, ani intervaly monotónie, protože je lze určit pouze individuálně pro jednotlivé funkce.

Exponenciální funkce1. Základní exponenciální funkce je funkce f, která každému reálnému číslu x přiřazuje

funkční hodnotu f (x) = e x,

kde e 2,718281828459045235360287471352662497757... je iracionální číslo a nazývá se Eulerovo číslo33).

Pro základní exponenciální funkci platí: D( f ) = (– ), H( f ) = (0 ), f je rostoucí v intervalu (– ), graf je na obr. 6.11 (a).

Protože H( f ) = (0 ), platí: pro všechna reálná čísla x je e x > 0, tj. exponenciální funkce nabývá pouze kladné hodnoty. Tuto skutečnost budeme využívat při řešení nerovnic a rovnic.

(b) Graf funkce h(x) = x2

–1

2

1 3–2

4

8

6

–3 2

Graf funkce h(x) = x3(a)

–1

4

1–22

8

4

2

6

2

6

8

33) Eulerovo číslo vzniklo tak, že se hledal základ exponenciální funkce, tak aby tečnou této exponenciály v bodě [0, 1] byla přímka s rovnicí y = x + 1. Byl nalezen základ, který byl označen e a nazván Eulerovo číslo (podle Leonharda Eulera, který se podílel na objevu tohoto čísla).


149

OBRÁZEK 6.11

Exponenciální funkce je důležitá pro modelování přírodních jevů, protože vyjadřuje zákon přirozeného růstu, tedy něco (v organické či neorganické přírodě) se samo sebou rozmnožuje, tj. další rozmnožení vzniká ze starého základu i nového přírůstku. Sem patří organický růst (např. množství dřeva v lese, počet obyvatelstva), vyrovnávání rozdílů (např. ochlazování, rozpouštění, vybíjení kondensátoru), chemické reakce (např. inverze cukru) apod. Typickým příkladem přirozeného růstu je tzv. nepřetržité či spojité úrokování.

2. Obecná exponenciální funkce je funkce g , která každému reálnému číslu x přiřazuje funkční hodnotu g(x) = ax, kde a je kladné reálné číslo.

Určitě D( g ) = (– ).

Pro vlastnosti funkce g musíme rozlišit tři případy.

a) Jestliže a (0, 1), potom H( g ) = (0, ), g je klesající v intervalu (– ) (na obr.

6.11 (b) je graf funkce g(x) = ( 21 )x),

b) jestliže a = 1, potom H( g ) = {1}, g je konstantní funkce v intervalu (– ) (na obr. 6.12 (a) je graf funkce g(x) = 1x),

c) jestliže a (1, ), potom H( g ) = (0, ), g je rostoucí v intervalu (– ) (na obr. 6.12 (b) je graf funkce g(x) = 2x).

Z exponenciálních funkcí je pro nás nejdůležitější základní exponenciální funkce ex.

(b) Graf funkce g (x) = (21 )x

–1

1

1 3–2

2

4

3

–3 2

Graf funkce f (x) = ex(a)

–1

2

1 3–2

3

7

6

–3 2

4

5

1


150

OBRÁZEK 6.12

Funkce n-tá odmocnina je funkce h, která každému reálnému číslu x přiřazuje funkční hod-notu h(x) = xn , kde n je kladné přirozené číslo.

Pro vlastnosti funkce h musíme rozlišit dva případy.

a) Je-li n liché, potom D(h) = (– ), H(h) = (– ), h je rostoucí v intervalu (– ), na obr. 6.13 (a) je graf funkce h(x) = x3 .

b) Je-li n sudé, potom D(h) = 0 ), H(h) = 0 ), h je rostoucí v intervalu 0 ), na obr. 6.13 (b) je graf funkce h(x) = x (pro úplnost je na obr. 6.14 (a) také graf funkce g(x) = x- ).

OBRÁZEK 6.13

–4–5 –2

1

3

4

21–1–3

2

(b) Graf funkce g (x) = 2x

–2 –1 1 2

2

1,5

0,5

1

Graf funkce g (x) = 1x(a)

–7,5 –2,5 2,5 7,5

2

1

–1

Graf funkce h(x) = x3(a)

–2

–5 5

1 2

0,5

1,5

2

43

1

(b) Graf funkce h(x) = x


151

OBRÁZEK 6.14

Logaritmické funkce1. Přirozený logaritmus34) je funkce f taková, že každému kladnému reálnému číslu x

přiřazuje funkční hodnotu f (x) = ln x.

Platí: D( f ) = (0 ), H( f ) = (– ), f je rostoucí v intervalu (0 ), graf je na obr. 6.14 (b).

Dále pro libovolné reálné číslo x platí ln(ex) = x a pro libovolné kladné reálné číslo x je e lnx = x.

PŘÍKLAD 6.12

Užitím předcházejícího vztahu určíme některé funkční hodnoty funkce přirozený logarit-mus:

e 2ln 2=` j , e 7ln 7

=` j , e

e 3ln ln13

3= =--

e ò j , e

e 5ln ln15

5= =--

e ò j , e eln ln21

2

1

= =` `j j ,

e eln ln515

5

1

= =` `j j , e eln ln7337

7

3

= =` `j j , e e

eln ln ln1 175

577

57

5

= = =--

e e ò o j .

PŘÍKLAD 6.13

Vyřešíme rovnici ln(x) = 2.

Řešení

Vyjdeme opět ze vztahu mezi přirozeným logaritmem a základní exponenciální funkcí, tj.:

ln(x) = 2 = ln(e2), „odlogaritmujeme“ a dostáváme x = e2.

PŘÍKLAD 6.14

Vyřešíme rovnici ln(x) = –3.

Řešení

Analogicky je ln(x) = –3 = ln(e–3), „odlogaritmujeme“ a dostáváme x ee13

3= =- .

(b) Graf funkce f (x) = ln x

1 2 3

1

0,5

–0,5

–1

0,5 2,51,5

Graf funkce g (x) = x-(a)

1 2

–2

–1

–0,543

–1,5

34) Logaritmus o základu e se označuje jako přirozený logaritmus (latinsky logaritmus naturalis, někdy se také nazývá Na-pierův logaritmus podle Johna Napiera).


152

PŘÍKLAD 6.15

Vyřešíme rovnici ln(x) = 21 .

Řešení

Analogicky je x e( )ln ln21 2

1

= = ` j, „odlogaritmujeme“ a dostáváme x e e2

1

= = .

PŘÍKLAD 6.16

Vyřešíme rovnici ln(x) = 31- .

Řešení

Analogicky je x e( )ln ln31

3

1

= =- -` j, „odlogaritmujeme“ a dostáváme x e

e1

33

1

= =- .

PŘÍKLAD 6.17

Vyřešíme rovnici ln(x) = 43 .

Řešení

Analogicky je x e( )ln ln43

4

3

= = ` j, „odlogaritmujeme“ a dostáváme x e e344

3

= = .

Funkce přirozený logaritmus také umožňuje převést obecnou exponenciální na zá-kladní exponenciální funkci.

Jestliže a je kladné reálné číslo, potom pro libovolné reálné číslo x platí ax = ex . lna.

2. Logaritmus o základu a je funkce g taková, že každému kladnému reálnému číslu x přiřazuje funkční hodnotu g(x) = loga x, kde a (0, 1) (1, ).

Určitě platí: D( g ) = (0 ) a H( g ) = (– ).

Pro monotónii funkce g musíme rozlišit dva případy.

a) Jestliže a (0, 1), potom g je klesající v intervalu (0 ) (na obr. 6.15 (a) je graf funkce g(x) = log

2

1 (x)),

b) jestliže a (1, ), potom g je rostoucí v intervalu (0 ) (na obr. 6.15 (b) je graf funkce g(x) = log2(x)).

Poznamenejme, že pro všechna kladná reálná čísla x platí: ln x = loge x (tj. funkce přirozený logaritmus je o logaritmus o základu e) a log x = log10 x (tj. použijeme-li označení log x, jde o logaritmus o základu 10, tedy dekadický35) logaritmus).

35) Nazývá se také desítkový logaritmus, příp. Briggsův podle Henryho Briggse.


153

OBRÁZEK 6.15

Goniometrické funkce je skupina čtyři funkcí velikosti úhlu používaných například při zkou-mání trojúhelníků a periodických jevů. Goniometrické funkce jsou základem goniometrie. Obvykle se defi nují jako poměr dvou stran pravoúhlého trojúhelníka nebo délky určitých částí úseček v jednotkové kružnici. Jde o funkce sinus, kosinus, tangens a kotangens. U těchto funkcí uvedeme jejich defi niční obory, obory hodnot, grafy a některé vzorce. Defi niční obory

jsou D(sin) = D(cos) = (– ), D(tg) = R – { 2r + k . ; k Z} a D(cotg) = R – {k . ; k Z},

obory hodnot H(sin) = H(cos) = –1 1 a H(tg) = H(cotg) = (– ).

Graf funkce sin(x) je na obr. 6.16, graf funkce cos(x) je na obr. 6.17, graf funkce tg(x) je na obr. 6.18 (a) a graf funkce cotg(x) je na obr. 6.18 (b).

OBRÁZEK 6.16

Uveďme některé vzorce, které budeme potřebovat:

a) pro všechna reálná čísla x platí sin2(x) + cos2(x) = 1,

b) pro všechna reálná čísla x ≠ 2r + k . , kde k Z, je tg(x) =

( )( )xcos

sin x ,

c) pro všechna reálná čísla x ≠ k . , kde k Z, je cotg(x) = sincos x

( )( )x

.

Graf funkce g (x) = log2

1 (x)(a)

2

–4

12

–3

–2

–1

1

2

3

4 6 8 10

(b) Graf funkce g (x) = log2(x)

–4

–3

–2

1

2

3

4

2 124 6 8 10

1

–1

0

0

/2 3/2 2

Graf funkce sin(x)


154

OBRÁZEK 6.17

Mezi základní elementární funkce ještě patří funkce cyklometrické (inverzní funkce k funkcím goniometrickým), které při našich úvahách nebudeme potřebovat, proto je neuvádíme.

OBRÁZEK 6.18

1

–1

0

0

/2 3/2 2

Graf funkce cos(x)

y

x

–r

2r

2-

r 0 r

y

x

–r

2r

2-

r 0 r

Graf funkce tg(x)(a) (b) Graf funkce cotg(x)


155

6.5Elementární funkce

DEFINICE

Elementární funkce

Elementární funkce jsou funkce, které vzniknou ze základních elementárních funkcí užitím operací sčítání, odčítání, násobení, dělení a skládání funkcí.

Předpis pro elementární funkci je sestaven ze základních elementárních funkcí a funkčních operací.

PŘÍKLAD 6.18

Uváděli jsme funkci g takovou, že libovolnému reálnému číslu x přiřazuje funkční hodnotu g(x) = |x|. Tato funkce je elementární, protože pro všechna reálná čísla x platí:

g(x) = |x| = x2 .

Dále uvedeme některé funkce používané v ekonomii.

PŘÍKLAD 6.19

Funkce S(q), která modeluje cenu zboží v závislosti na jeho množství q, které je na trh dodává-no výrobci a je nabízeno spotřebiteli, se nazývá nabídková funkce nebo také funkce nabídky. Pro modelování nabídkové funkce lze použít nejrůznější druhy funkcí jedné proměnné s tím, že jde zpravidla o funkce rostoucí. Nejčastěji se uvažují funkce defi nované tak, že pro kladné reálné číslo q je:

S(q) = aq + b ,

S(q) = aq2 + bq + c ,

kde a, b a c jsou reálná čísla taková, že funkce S(q) je rostoucí a kladná v intervalu (0, ).

Poznamenejme, že od doby Alfreda Marshalla36) se při grafi ckém znázornění vynáší množství zboží (označované q) na první („x-ovou“) osu a cena (označovaná p) na druhou („y-ovou“) osu.

36) Alfred MARSHALL (26. 7. 1842–18. 7. 1927) – anglický ekonom; profesor univerzit v Bristolu, Oxfordu a Cambridgi. Zakladatel cambridgeské národohospodářské školy a nejvlivnější osobnost neoklasické ekonomické školy. Spojil teorii mez-ního užitku s nákladovou teorií, kde se zaměřil převážně na problém tvorby tržních cen na dílčích, vzájemně izolovaných trzích a na teorii dokonalé konkurence. Při výkladu tvorby cen vycházel z nabídkové a poptávkové funkce, kde tržní cena je dána průsečíkem grafů těchto funkcí, přičemž nabídkovou a poptávkovou funkci objevil francouzský matematik, ekonom a fi losof Antoine Augustin COURNOT (28. 8. 1801–31. 3. 1877), který byl zakladatelem matematické školy v politické ekonomii (vysvětloval cenu jako funkci nabídky a poptávky).


156

PŘÍKLAD 6.20

Dalším příkladem je nákladová funkce C(q), která vyjadřuje náklady v závislosti na velikosti produkce q. V teoretické ekonomické literatuře se předpokládá, že nákladová funkce vyjadřuje náklady v závislosti na objemu produkce. Pro nákladovou funkci C(q) (někdy se používá pro tuto funkci označení TC(q)) jsou vyhovujícími modely např. funkce typů:

C(q) = a . q + b ,

C(q) = a . q2 + b . q + c ,

C(q) = q b ca $ + + ,

C(q) = a . q3 + b . q2 + c . q + d ,

C(q) = a . q q cq b+

+

+ d ,

C(q) = a . q2 . (q + qb + c) + d ,

C(q) = a . ebq ,

C(q) = qa . ebq + c + d ,

přičemž pro reálné parametry a, b, c a d požadujeme, aby pro kladná q bylo C(q) také kladné.

V praxi se nejčastěji používá vyjádření C(q) = a . q3 + b . q2 + c . q + d, neboť vyhovuje průběhu nákladů při zvyšování produkce. Dále se velmi často setkáváme s funkcí AC(q) vyjadřující

průměrné náklady, která je defi nována předpisem q qC q

( )( )AC = . Nákladová funkce C(q) se

zpravidla vyjadřuje jako součet funkcí FC(q) a VC(q), kde FC(q) je funkce fi xních nákladů (jde vždy o konstantní funkci) a VC(q) funkce variabilních nákladů.

Např. ve funkci C(q) = a . q + b, je VC(q) = aq a FC(q) = b, nebo ve funkci C(q) = a . q2 + b . q + c

je VC(q) = a . q2 + b . q a FC(q) = c.

Samozřejmě je AC q qC q

qVC q

qFC q AVC q AFC q( )

( ) ( ) ( )( ) ( )= = = ++ , kde AFC q q

FC q( )

( )= je

funkce průměrných fi xních nákladů a AVC q qVC q

( )( )

= je funkce průměrných variabilních

nákladů. Např. FC(q) = 72 a VC(q) = 2 . q + 16 . q,

tudíž funkce C(q) = VC(q) + FC(q) = 2 . q2 + 16 . q + 72. Z toho AFC q q( ) 72= a

AVC(q) = 2 . q + 16, tedy AC q q q( ) 2 16 72$= + + .


157

PŘÍKLAD 6.21

Dalším příkladem užití funkcí jedné proměnné v ekonomii je poptávková funkce nebo funkce poptávky. Jde o funkci jedné proměnné D(q), kde D(q) vyjadřuje cenu zboží na trhu a q je množství zboží, o které projevují spotřebitelé zájem (tj. jde o spotřebitelskou poptávku). Po-ptávková funkce D(q) je zpravidla funkce klesající (roste-li cena, kupní zájem o zboží zpravidla klesá). Pro modelování poptávkové funkce se zpravidla používá těchto typů funkcí:

D(q) = a – bq ,

D(q) = q ba+

– c ,

D(q) = a qb- ,

D(q) = (a – bq)2 ,

D(q) = a – bq2 ,

přičemž charakter reálných parametrů a a b je dán požadavkem, aby pro kladná q bylo D(q) také kladné. Také se používá funkce celkových výnosů TR(q) defi novaná předpisem TR(q) = q . D(q), která vyjadřuje celkový výnos z prodeje zboží. Uvažujeme-li průměrný výnos, což je funkce

AR(q) defi novaná předpisem AR q qTR q

( )( )

= , potom podle defi nice funkce TR(q) dostává-

me AR(q) = D(q), funkce průměrného výnosu a poptávková funkce jsou totožné. Jestliže D(q) = a – bq, což je nejjednodušší aproximace poptávkové funkce, potom jejím grafem je přímka, která protíná cenovou osu v bodě [0, a] a má směrnici (–b). Mění-li se v tomto vyjád-ření parametry a a b, pak poptávková funkce vyjadřuje změny v poptávce. V tomto případě je funkce TR(q) defi nována předpisem TR(q) = q . D(q) = a . q – b . q2, jejímž grafem je parabola

s vrcholem v bodě ab b,

2 4a 2

= G, tzn. maximum funkce TR(q) vzhledem k jejímu defi ničnímu

oboru je ab42

. Je-li C(q) nákladová funkce, potom funkce g (q) = TR(q) – C(q), vyjadřuje zisk.

Na obr. 6.19 je poptávková funkce defi novaná předpisem D(q) = 100 – 4q a funkce cel-kových výnosů TR(q) = 100q – 4q2. Vrchol grafu takto defi nované funkce TR(q) je v bodě

,4

( )2,

2 4100

4100 25 625

2

$ $== :G D , tj. maximum této funkce TR(q) vzhledem k jejímu defi ničnímu oboru

je 625.

OBRÁZEK 6.19

p

q1

600

500

400

300

200

100

10 15 20 25

Grafy funkcí D(q) = 100 – 4q a TR(q) = 100q – 4q2


158

Pokud se podíváme na funkce uvedené v předcházejících třech příkladech, jde vždy o ele-mentární funkce.

Dále se budeme věnovat defi ničním oborům elementárních funkcí:

Je-li f (x) elementární funkce, potom její defi niční obor D( f ) zpravidla ztotožňujeme s maxi-mální množinou existence jejího početního předpisu. Při našich úvahách budeme potřebovat zejména následující podmínky:

a) podíl BA existuje právě tehdy, jestliže B ≠ 0,

b) je-li n sudé kladné přirozené číslo, potom An existuje právě tehdy, jestliže A ≥ 0,

c) ln(A) existuje právě tehdy, jestliže A > 0,

d) pro a (0, 1)(1, ) logaA existuje právě tehdy, jestliže A > 0,

e) tg(A) existuje právě tehdy, jestliže A ≠ 2r + k . r, kde k Z,

f) cotg(A) existuje právě tehdy, jestliže A ≠ k . r, kde k Z.

PŘÍKLAD 6.22

Určíme defi niční obor funkce f (x) = x3 + 5x2 – 6x + 3.

Řešení

Zde nelze použít žádnou z uvedených podmínek, tudíž D( f ) = (–, ).

PŘÍKLAD 6.23

Stanovíme defi niční obor funkce f (x) = e 2x+ .

Řešení

V předpisu pro funkci f je sudá odmocnina, proto musí být splněno ex + 2 ≥ 0. Z vlastností základní exponenciální funkce víme, že vždy platí ex > 0, tzn. vždy platí ex + 2 > 2 > 0, tedy D( f ) = (–, ).

PŘÍKLAD 6.24

Určíme defi niční obor funkce f (x) = 7 . x5 + x1 – 9.

Řešení

Tato funkce obsahuje podíl, musí být splněno x ≠ 0, tedy D( f ) = (–, ) (0, ).

PŘÍKLAD 6.25

Určíme defi niční obor funkce f (x) = xx

51

2

3

+- .

Řešení

V předpisu pro funkci f je podíl, požadujeme x2 + 5 0. Protože pro libovolné reálné číslo x je vždy x2 ≥ 0, tj. x2 + 5 ≥ 5 > 0. Výraz x2 + 5 je vždy kladný, tím je zaručeno, že je také vždy platí x2 + 5 0, proto D( f ) = (–, ).


159

PŘÍKLAD 6.26

Určíme defi niční obor funkce f (x) = x

x 55+ .

Řešení

Tato funkce obsahuje podíl, musí být splněno x5 0 x 0, tedy:

D( f ) = (–, ) (0, ) .

PŘÍKLAD 6.27


73

+- .

Řešení

Tato funkce obsahuje podíl, musí být splněno x + 7 0 x –7, tedy:

D( f ) = (–, –7) (–7, ) .

PŘÍKLAD 6.28


42 7

2-+ .

Řešení

Tato funkce obsahuje podíl, musí být splněno x2 – 4 0 x2 4 x ±2, tedy:

D( f ) = (–, –2) (–2, 2) (2, ) .

PŘÍKLAD 6.29

Určíme defi niční obor funkce f (x) = ln(x + 2).

Řešení

Tato funkce obsahuje funkci přirozený logaritmus, tudíž musí platit:

x + 2 > 0 x > –2, tzn. D( f ) = (–, ) .

PŘÍKLAD 6.30

Určíme defi niční obor funkce f (x) = xxln4-

.

Řešení

Tato funkce obsahuje podíl a funkci přirozený logaritmus, musí být splněno:

(x – 4 0 x > 0) (x 4 x > 0) ( x (0, 4) (4, )), tj. D( f ) = (0, 4) (4, ) .


160

PŘÍKLAD 6.31

Určíme defi niční obor funkce f (x) = xxln

5+ .

Řešení

Tato funkce obsahuje podíl a funkci přirozený logaritmus, musí být splněno:

(ln x 0 x > 0) (x 1 x > 0) (x (0, 1) (1, )), tj. D( f ) = (0, 1) (1, ) .

PŘÍKLAD 6.32

Určíme defi niční obor funkce f (x) = 1

x.

Řešení

Tato funkce obsahuje podíl a sudou odmocninu, musí být splněno:

( x 0 x ≥ 0) x > 0, tj. D( f ) = (0, ) .

PŘÍKLAD 6.33

Určíme defi niční obor funkce f (x) = ex3

x .

Řešení

Tato funkce obsahuje podíl, musí být splněno ex 0, ale z vlastností základní exponenciální funkce víme, že vždy platí ex > 0, tzn. D( f ) = (–, ).

PŘÍKLAD 6.34

Určíme defi niční obor funkce f (x) = e

x x3 51x

3+

-- .

Řešení

Tato funkce obsahuje podíl, musí být splněno ex – 1 0, tj. ex 1 = e0, proto x 0, tedy:

D( f ) = (–, 0) (0, ) .

PŘÍKLAD 6.35

Určíme defi niční obor funkce f (x) = e

x1

3x2

+

-.

Řešení

Tato funkce obsahuje podíl, musí být splněno 1 – ex2 0, tj. ex2 1 = e0, tzn. x2 0, proto x 0, tedy:

D( f ) = (–, 0) (0, ) .


161

PŘÍKLAD 6.36


1 ln2 7+-

.

Řešení

Tato funkce obsahuje funkci přirozený logaritmus a podíl, tj. musí být splněno x > 0 a sou-časně 1 – lnx 0. První podmínka je evidentní, vyřešíme druhou. Dostáváme:

1 – lnx 0 lnx 1 = ln(e1) = lne x e, tedy D( f ) = (0, e) (e, ) .

PŘÍKLAD 6.37

Určíme defi niční obor funkce f (x) = x 34x

+- .

Řešení

Tato funkce obsahuje podíl a sudou odmocninu, musí být splněno xx

34 0$

+- a x + 3 ≠ 0

(tj. x –3). Určíme nulový bod čitatele, tj. x – 4 =0 x = 4. Body (–3) a 4 dělí reálnou osu

na tři intervaly (–, –3), (–3, 4) a (4, ), v každém z těchto intervalů je zlomek xx

34

+- stále

kladný nebo stále záporný. Stačí v každém z těchto intervalů vybrat jedno reálné číslo (vybí-ráme takové, aby se hodnota zlomku snadno určila), zjistit pro něj znamení zlomku, potom takové znamení má celý zlomek:

–4 (–, –3), potom 4 34 4

18 8 02

+-- - =

-- = , tudíž zlomek je kladný v intervalu (–, –3),

0 (–3, 4), potom 00 30 4

34 1

+=- - , tudíž zlomek je záporný v intervalu (–3, 4),

5 (4, ), potom 05 35 4

81 2

+=- , tudíž zlomek je kladný v intervalu (4, ).

Z těchto výsledků vyplývá, že do defi ničního oboru funkce f patří intervaly (–, –3), (4, ) a nulový bod čitatele 4, tj. D( f ) = (––3) 4, ).

PŘÍKLAD 6.38

Určíme defi niční obor funkce f (x) = xxln

22 1-+

b l.

Řešení

Tato funkce obsahuje podíl a funkci přirozený logaritmus, musí být splněno xx 0

22 12-+

a x – 2 ≠ 0 (tj. x 2). Určíme nulový bod čitatele, tj. 2x + 1 =0 x = 21- . Body ( 2

1- ) a 2 dělí reálnou osu na tři intervaly (–,

21- ), ( 2

1- , 2) a (2, ), v každém z těchto intervalů

je zlomek xx

22 1-+ stále kladný nebo stále záporný. Stačí v každém z těchto intervalů vybrat

jedno reálné číslo, zjistit pro něj znamení zlomku, potom takové znamení má v celém intervalu:

–1 (–, 21- ), potom ( )

01 2

2 1 131$2+

=- -- , tudíž zlomek je kladný v intervalu (–,

21- ),

0 ( 21- , 2), potom 0

0 22 0 1

21$ 1+ =

-- , tudíž zlomek je záporný v intervalu ( 2

1- , 2),3 (2, ), potom 7 0

3 22 3 1

17$ 2+ = =

-, tudíž zlomek je kladný v intervalu (2, ).


162

Požadavkům na defi niční obor vyhovují intervaly (–, 21- ) a (2, ). V tomto případě vyšet-

řujeme ostrou nerovnici, tudíž žádný nulový bod nemůže být zařazen do defi ničního oboru,

tzn. D( f ) = (–, 21- ) (2, ).

PŘÍKLAD 6.39

Určíme defi niční obor funkce f (x) = x 424- .

Řešení

Tato funkce obsahuje sudou odmocninu, proto x2 – 4 ≥ 0. Řešíme rovnici x2 – 4 = 0, nulové body jsou čísla (–2) a 2. Tyto body dělí reálnou osu na tři intervaly (–, –2), (–2, 2) a (2, ), v každém z těchto intervalů je výraz x2 – 4 stále kladný nebo stále záporný. Stačí v každém z těchto intervalů vybrat jedno reálné číslo, zjistit pro něj znamení výrazu, potom takové znamení má celý výraz:

–3 (–, –2), potom (–3)2 – 4 = 5 > 0, tudíž výraz je kladný v intervalu (–, –2),

0 (–2, 2), potom 02 – 4 = –4 < 0, tudíž výraz je záporný v intervalu (–2, 2),

3 (2, ), potom 32 – 4 = 5 > 0, tudíž výraz je kladný v intervalu (2, ).

Požadavkům na defi niční obor vyhovují intervaly (–, –2) a (2, ), vzhledem k neostré nerov-nici do defi ničního oboru patří nulové body (–2) a 2. Dostáváme D( f ) = (–, –2 2, ).

PŘÍKLAD 6.39

Určíme defi niční obor funkce f (x) = ln(ln x).

Řešení

Tato funkce obsahuje funkci přirozený logaritmus, proto x > 0 a současně ln x > 0. První podmínka je triviální, řešme druhou podmínku, tj. ln x > 0 = ln 1 x > 1. Průnikem obou podmínek je D( f ) = (1, ).


163

6.6Limita funkceBudeme se věnovat dvěma fundamentální pojmům matematické analýzy, kterými jsou limita a spojitost funkce.

Termín limita funkce nám pomáhá pochopit chování funkce v určitých neobvyklých situ-

acích. Uvažujeme-li funkci f (x) = x( )sin x , potom tato funkce není defi nována v bodě x = 0.

Tento bod má jakési výjimečné postavení. Můžeme se zajímat, jaké funkční hodnoty nabývá funkce f (x) v „blízkém“ okolí bodu x = 0. Pokud vypočteme (např. na kalkulačce) několik funkčních hodnot v bodech „blízkých“ bodu x = 0, zjistíme (nepřesně řečeno): čím více se blížíme k bodu 0, tím více se funkční hodnoty funkce f (x) blíží k číslu 1. Tato formulace je příliš neurčitá pro přesné matematické úvahy, proto musíme přesně specifi kovat nepřesná tvrzení „blízké okolí bodu“ a „blíží se“.

Podobně termín spojitost funkce lze nepřesně charakterizovat tím, že graf funkce je tvořen „nepřerušovanou čarou“, tj. jde o to, aby funkce zobrazovala „blízké“ body v defi ničním oboru na „blízké“ body v oboru hodnot. I zde jde o příliš neurčitá tvrzení.

Dříve než přistoupíme k defi nici limity funkce, vyjdeme z metody krok stranou použité legendárním Járou Cimrmanem ve fi losofi i a budeme se věnovat pojmu okolí bodu v R*. Abychom mohli zkoumat chování nekonečně malých a nekonečně velkých veličin, je vhodný pojem okolí bodu pro prvky rozšířené číselné osy. Ukazuje, jaká musí být struktura množiny R*, abychom mohli hovořit o „přibližování“ k nějaké hodnotě či o „blízkosti“ prvků v této množině.

DEFINICE

Okolí bodu v R*

a) Je-li a reálné číslo a kladné reálné číslo, potom -okolí bodu a je množina U(a) = (a – ,a + ),

b) je-li reálné číslo, potom - okolí bodu je množina U() = (, ),

c) je-li reálné číslo, potom - okolí bodu (–) je množina U(–) = (–,).

Pro reálné číslo a je okolím libovolný otevřený interval, pro který platí, že krajní body jsou reálná čísla a bod a je středem tohoto intervalu.

Okolí nevlastních reálných čísel a –, jsou všechny otevřené intervaly, jejichž jedním kraj-ním bodem je reálné číslo a druhým krajním bodem nevlastní reálné číslo, jehož je to okolí. Samotná defi nice napovídá, že libovolný prvek má nekonečně mnoho okolí. Následující příklady uvedou některá okolí.


164

PŘÍKLAD 6.41

Pro reálné číslo 3 určíme –okolí, jestliže =, =21 , =

1001 a =

1017.

Řešení

Je-li =, potom U1(3) = (2, 4), je-li =21 , potom (3)

2,527U

2

1 = b l, je-li =1001 , potom

U (3) ,100299

100301

100

1 = b l, je-li =1017, potom U (3) ,

1029999999

1030000001

7 710

1

7

= e o.

PŘÍKLAD 6.42

Pro zobecněné reálné číslo určíme –okolí, jestliže =–5, =23, =97 a =107.

Řešení

Je-li =–5, potom U–5() = (–5, ), je-li =23, potom U23() = (23, ), je-li =97, potom U97() = (97, ), je-li =107, potom U107() = (107, ).

Jak jsme již uvedli a příklady nám ukázaly, kaž prvek rozšířené číselné osy má nekonečně mnoho okolí, která mohou být „veliká“ a také „neuvěřitelně malá“, velmi nepřesně řečeno. Samozřejmě z hlediska limity funkce nás budou zajímat „menší a ještě menší okolí“.

Nyní přistoupíme k samotné limitě funkce.

DEFINICE

Limita funkce v bodě

Jestliže f (x) je funkce, A R* a a R* takové, že existuje okolí U bodu a, pro kte-ré platí U – {a} D( f ), potom funkce f (x) má v bodě a limitu A a označíme

mliax" f (x) = A, jestliže ke každému – okolí bodu A U (A) existuje alespoň jedno

– okolí bodu a U (a) tak, že pro všechna reálná čísla x U (a) taková, že x a, platí f (x) U (A).

Ve starších českých učebnicích se limita A funkce f (x) v bodě a charakterizovala slovy: jestliže se x neomezeně blíží k a, potom se f (x) neomezeně blíží k A. Abychom použili slov význam-ného českého matematika akademika Vojtěcha Jarníka, který pravil: „Když nám nepřítel zadá jakkoli malé okolí bodu A, my umíme nalézt okolí bodu a takové, že pro všechny body z tohoto okolí kromě bodu a patří funkční hodnoty do nepřítelem zadaného okolí bodu A, potom má funkce f (x) v bodě a limitu A.“

Na obr. 6.20 je jedna taková situace zakreslena.


165

OBRÁZEK 6.20

Jestliže mliax" f (x) = A, potom:

a) tato limita je nevlastní, jestliže A = – nebo A = ,

b) tato limita je vlastní, jestliže A R,

c) tato limita je v nevlastním bodě, jestliže a = – nebo a = ,

d) tato limita je ve vlastním bodě, jestliže a R.

Nejprve vypočteme limity některých základních elementárních funkcí v krajních bodech intervalů, ve kterých jsou defi novány. Využijeme aritmetické operace, které jsou defi novány na rozšířené číselné ose. Ve vnitřních bodech těchto intervalů nemá smysl určovat limity, protože jsou rovny funkčním hodnotám.

PŘÍKLAD 6.43

Vypočteme limity v krajních bodech defi ničního oboru konstantní funkce f (x) = a, kde a je reálné číslo.

Řešení

Krajní body defi ničního oboru funkce f (x) jsou zobecněná reálná čísla – a , proto lim

x" 3- f (x) = lim

x" 3-a = a a lim

x"3 f (x) = lim

x"3a = a, což můžeme zapsat dohromady vyjádřením

limx"!3

f (x) = limx"!3

a = a, tudíž jde o vlastní limitu v nevlastních bodech. Např. limx"!3

2 = 2,

limx"!3

(–3) = –3, limx"!3

r = r.

PŘÍKLAD 6.44

Vypočteme limity v krajních bodech defi ničního oboru identické funkce g (x) = x.

Řešení

Krajní body defi ničního oboru funkce g (x) jsou zobecněná reálná čísla – a , protolim

x" 3- g (x) = lim

x" 3-x = – a lim

x"3 g (x) = lim

x"3x = , jde tedy o nevlastní limity v nevlastním bodě.

y

x

A

limax "

f (x) = A

a

y = f (x)


166

PŘÍKLAD 6.45

Vypočteme limity v krajních bodech defi ničního oboru funkce h(x) = xn, kde n je kladné přirozené číslo.

Řešení

Krajní body defi ničního oboru funkce h(x) jsou zobecněná reálná čísla – a , ve kterých bu-deme určovat limity. V bodě je situace jednoduchá, zde dostáváme lim

x"3h(x) = lim

x"3xn = n = .

Pro limitu v bodě – musíme rozlišit dva případy:

a) jestliže n je sudé, potom limx" 3-

h(x) = limx" 3-

xn = (–)n = ,

b) jestliže n je liché, potom limx" 3-

h(x) = limx" 3-

xn = (–)n = –.

Např. limx"!3

x4 = , limx"3

x7 = a limx" 3-

x7 = –.

PŘÍKLAD 6.46

Vypočteme limity v krajních bodech defi ničního oboru základní exponenciální funkce f (x) = ex.

Řešení

Krajní body defi ničního oboru funkce f (x) jsou zobecněná reálná čísla – a , proto dostá-váme lim

x"3 f (x) = lim

x"3ex = e = a lim

x" 3- f (x) = lim

x" 3-ex = e– = .

PŘÍKLAD 6.47

Vypočteme limity v krajních bodech defi ničního oboru obecné exponenciální funkce g (x) = ax, kde a je kladné reálné číslo.

Řešení

Krajní body defi ničního oboru funkce g (x) jsou zobecněná reálná čísla – a , zde rozlišíme tři případy v závislosti na a:

a) jestliže a (0, 1), potom limx"3

g (x) = limx"3

ax = a = a limx" 3-

g (x) = limx" 3-

ax = a– = ,

b) jestliže a = 1, potom limx"!3

g (x) = limx"!3

1x = limx"!3

1 = 1,

c) jestliže a (1, ), potom limx"3

g (x) = limx"3

ax = a = a limx" 3-

g (x) = limx" 3-

ax = a– = .

Např. lim21 0

x

x=

"3b l a lim

21

x

x3=

" 3-b l , lim

x"32x = a lim

x" 3-2x = 0.

PŘÍKLAD 6.48

Vypočteme limity v krajních bodech defi ničního oboru funkce h(x) = xn , kde n je liché přirozené číslo.

Řešení

Krajní body defi ničního oboru funkce h(x) jsou zobecněná reálná čísla – a , dostáváme

lim limx x( )h n nx x

3 3= = =- -" "3 3- -

a lim limh x x( ) n nx x

3 3= = =" "3 3

.


167

PŘÍKLAD 6.49

Rozhodneme o limitách v krajních bodech defi ničního oboru goniometrické funkce f (x) = sin(x).

Řešení

Krajní body defi ničního oboru funkce f (x) jsou zobecněná reálná čísla – a . Vezmeme-li libovolné okolí bodu – (příp. ), pak v tomto okolí funkce sinus nabývá všech hodnot z –1, 1, proto lim

x" 3- f (x) = lim

x" 3-sin(x) (příp. lim

x"3 f (x) = lim

x"3sin(x)) neexistuje.

Analogicky neexistují limity v nevlastních bodech pro funkce kosinus, tangens a kotangens.

Vezmeme-li předcházející příklady a prohlédneme-li si grafy těchto základních elementárních funkcí, potom na grafech jsou tyto limity zřejmé. Situace může být složitější, protože v ně-kterých případech ve vlastním reálném čísle a se funkce jinak chová vpravo od bodu a než vlevo od tohoto bodu.

DEFINICE

Jednostranné limity funkce v bodě

Jestliže f (x) je funkce, A R* a a R takové, že existuje interval (c, a) (příp. (a, c)), pro který platí (c, a) D( f ) (příp. (a, c) D( f )), potom funkce f (x) má v bodě a limitu A zleva (příp. zprava) a označíme lim

ax"-

f (x) = A (příp. limax"+

f (x) = A),

jestliže ke každému – okolí bodu A U (A) existuje alespoň jeden interval (a – , a)

(příp. (a, a + )), kde je kladné reálné číslo, tak, že pro všechna reálná čísla x (a – , a) (příp. x (a, a + )) platí f (x) U (A).

Limity v bodě zleva a zprava dohromady nazýváme jednostrannými limitami a limitu ve vlastním bodě nazýváme oboustrannou limitou.

Nejprve uvedeme další limity základních elementárních funkcí.

PŘÍKLAD 6.50

Vypočteme limity v krajních bodech defi ničního oboru funkce h(x) = xn , kde n je sudé kladné přirozené číslo.

Řešení

Krajní body defi ničního oboru funkce h(x) jsou body 0 a , v tomto případě dostáváme

lim limh x x( ) 0 0n nx x0 0

= = =" "

++

a lim limh x x( ) n nx x

3 3= = =" "3 3

, lim limh x x( ) nx x0 0

=" "

- -

neexistuje, protože

funkce h(x) není vlevo od bodu 0 defi nována.

PŘÍKLAD 6.51

Vypočteme limity v krajních bodech defi ničního oboru funkce f (x) = lnx.

Řešení

Krajní body defi ničního oboru funkce f (x) jsou body 0 a , v tomto případě dostáváme lim lim lnf x x( )

x x0 03= =-

" "+ +

a lim lim lnf x x( )x x

3= =" "3 3

, lim lim lnf x x( )x x0 0

3= =" "

- -

neexistuje, protože fun-

kce f (x) není vlevo od bodu 0 defi nována.


168

PŘÍKLAD 6.52

Vypočteme limity v krajních bodech defi ničního oboru funkce g (x) = logax, kde platí a (0, 1) (1, ).

Řešení

Krajní body defi ničního oboru funkce g (x) jsou body 0 a , při výpočtu limit rozlišíme dva případy v závislosti na a:

a) jestliže a (0, 1), potom lim lim logg x x( )x x0 0 a

3= =" "

+ +

a lim lim logg x x( )x x a

3= =-" "3 3

, dále

lim lim logg x x( )x x0 0 a=" "

- -

neexistuje, protože funkce g (x) není vlevo od bodu 0 defi nována,

b) jestliže a (1, ), potom lim lim logg x x( )x x0 0 a

3= =-" "

+ +

a lim lim logg x x( )x x a

3= =" "3 3

, dále

lim lim logg x x( )x x0 0 a=" "

- -

neexistuje, protože funkce g (x) není vlevo od bodu 0 defi nována.

Např. lim log xx 2

1 3=-"3

a lim log xx 2

1 3=-"3

, lim log xx 0 3

3=-"

+

a lim log xx 3

3="3

.

Jaký je vztah mezi jednostrannými limitami a limitou oboustrannou?

VĚTA

(o vztahu mezi jednostrannými limitami a limitou oboustrannou)

Jestliže f (x) je funkce a a R*, potom existuje lim ( )f x Ax a

="

právě tehdy, jestliže existují jak f xlim ( )ax"-

,

tak i f xlim ( )ax"+

a platí f x f x Alim ( ) lim ( )a ax x

= =" "

+-

.

PŘÍKLAD 6.53

Vypočteme limity limx 0"

-

sgn(x) a limx 0"

+

sgn(x).

Řešení

Začneme s výpočtem limx 0"

-

sgn(x). Vlevo od bodu 0 je funkce sgn(x) konstantní funkce (–1),

proto limx 0"

-

sgn(x) = –1. Podobně vpravo od bodu 0 je funkce sgn(x) konstantní funkce 1,

proto limx 0" +

sgn(x) = 1. Jednostranné limity v bodě 0 existují, ale jsou různé, proto limx 0"

sgn(x)

neexistuje.


169

VĚTA

(o limitě operací)Jsou-li f (x) a g(x) funkce. Potom:

lim lim limf x g x f x g x( ) ( ) ( ) ( )a a ax x x

+ = +" " "` j ,


=- -" " "` j ,


$ $=" " "` j ,

lim limlim

g xf x

g xf x

( )

( )

( )

( )

aa

ax

x

x="

"

" ,

pokud existují pravé strany.

Shrneme-li, tak limita součtu, rozdílu, součinu a podílu funkcí je rovna součtu, rozdílu, sou-činu a podílu funkcí, pokud existují limity na pravé straně a je defi nována příslušná operace se zobecněnými reálnými čísly.

Obdobná věta platí i pro jednostranné limity.

PŘÍKLAD 6.54

Vypočteme limity limx1

x 3"3

, limx1

x 3" 3-

, lim45

ex x$"3 a lim x x

x3 5

x2

4+ -"3

e o.

Řešení

Postupně limx

01 1 1x 3 33 3

= = ="3

, limx ( )

01 1 1x 3 33 3

= = =- -" 3-

, lime45

45 5 0

x x$ $3 3= = =

"3

a lim x xx

3 03 5 5x

2

4

2

4$3 3

33 3 3+ + = + =- = - -

"3e o .

PŘÍKLAD 6.55

Vypočteme limity limx"3

(4x3 – 5x + 10) a limx" 3-

(4x3 – 5x + 10).

Řešení

Pokud bychom použili větu o limitě operací, dostaneme neurčitý výraz – . Tudy cesta nevede. Co provedeme s limitou? Vytkneme nejvyšší mocninu x a tím odstraníme neurčitý limitní typ. Dostáváme:

lim limx x x(4 5 10) (4 0 0)x x

4 5 10 4 5 10x x

3 3

2 3

3

2 3$ $ $3

3 33 3+ + = + = + =- = - - -

" "3 3e eo o ,

lim limx x x(4 5 10) ( )( ) ( )

(4 0 0)x x

4 5 10 4 5 10x x

3 3

2 3

3

2 3$ $ $3

3 33 3+ = + = + = + =- - - -

- -- - -

" "3 3- -e eo o .


170

Uvedeme univerzální postup odstraňování neurčitých limitních typů při výpočtech limit racionálních funkcí v nevlastních i vlastních bodech.

1. Limita racionální funkce v nevlastním bodě (tj. pro x ±) vede na neurčitý limitní

typ !!33 . V tomto případě vytkneme nejvyšší mocninu x v čitateli i ve jmenovateli

a zkrátíme.

PŘÍKLAD 6.56

Spočteme limity limx xx x

2 3 43 5 7

x 3

2

++-

-"3

a limx xx x

2 3 43 5 7

x 3

2

++-

-" 3-

.

Řešení

Postupujeme podle návodu, tj.:

lim lim limx

x x

x x x

xx x

x x( )

0x xx x

2 3 43 5 7

2 3 4

3 5 7

2 3 4

3 5 7

2 0 03 0 0 3

x x x3

2

3

2 3

2

2

2 3

2

$3 3++ =

+

+

=

+

+=

++ = =

--

-

-

-

-

--

" " "3 3 3

e

e

eo

o

o

a

lim lim limx

x x

x x x

xx x

x x( )

0x xx x

2 3 43 5 7

2 3 4

3 5 7

2 3 4

3 5 7

2 0 03 0 0 3

x x x3

2

3

2 3

2

2

2 3

2

$3 3++ =

+

+

=

+

+=

++ = =

--

-

-

-

-

- --

-" " "3 3 3- - -

e

e

eo

o

o

.

PŘÍKLAD 6.57

Spočteme limity limx x

x x2 3 95 7 2

x 2

2

+ ++

--

"3 a lim

x xx x2 3 95 7 2

x 2

2

+ ++

--

" 3-.

Řešení

Postupujeme analogicky, tj.:

lim lim limx x x

x x x

x x

x xx xx x2 3 95 7 2

2 3 9

5 7 2

2 3 9

5 7 2

2 0 05 0 0

25

x x x2

2

2

2

2

2

2

2

+ ++ =

+ +

+

=+ +

+=

+ ++ =

--

-

-

-

-

-- -

" " "3 3 3

e

e

o

o

a

lim lim limx x x

x x x

x x

x xx xx x2 3 95 7 2

2 3 9

5 7 2

2 3 9

5 7 2

2 0 05 0 0

25

x x x2

2

2

2

2

2

2

2

+ ++ =

+ +

+

=+ +

+=

+ ++ =

--

-

-

-

-

-- -

" " "3 3 3- - -

e

e

o

o

.


171

PŘÍKLAD 6.58

Určíme limity limx x

x x7 23 5 1

3x 2

3 2

++

- --

"3 a lim

x xx x3 5 1

7 2 3x 2

3 2

++

- --

" 3-.

Řešení

Opět použijeme stejný postup, tzn.:

lim lim limx x x

x x x

x x

x x x ( )

x xx x3 5 1

7 2 3

3 5 1

7 2 3

3 5 1

7 2 3

3 0 07 0 0

3x x x2

3 2

2

2

3

3

2

3 $3 3 3+

+ =

+

+

=+

+

=+

+= =

- --

- -

-

- -

-

- --

--

" " "3 3 3

e

e e

o

o o

a

lim lim limx x x

x x x

x x

x x x ( )

x xx x3 5 1

7 2 3

3 5 1

7 2 3

3 5 1

7 2 3

3 0 07 0 0

3x x x2

3 2

2

2

3

3

2

3 $3 3 3+

+ =

+

+

=+

+

=+

+= =

- --

- -

-

- -

-

- -- -

--

" " "3 3 3- - -

e

e e

o

o o

.

Shrneme-li, dostáváme pravidlo pro limitu racionální funkce v nevlastních bodech:

jestliže je stupeň čitatele menší než stupeň jmenovatele, potom limita je vždy 0,

jestliže je stupeň čitatele roven stupni jmenovatele, potom limita je rovna podílu koefi cientů u nejvyšších mocnin x v čitateli a ve jmenovateli,

jestliže je stupeň čitatele větší než stupeň jmenovatele, potom limita je buď –, nebo .

2. Limita racionální funkce ve vlastním bodě (tj. pro x a R)

a) vede na neurčitý limitní typ00 . V tomto případě zkrátíme výrazem (x – a).

PŘÍKLAD 6.59

Spočteme limitu limx xx x

5 66

x 3 2

2

- +- -

"

.

Řešení

Ověříme předpoklady a budeme postupovat podle návodu, tj.:

lim lim limx xx x

x xx x

xx

( 3)( )( 3)( )

5 66

22

22

3 23 2 5

x x x3 3 32

2 0

0

+= + =

-- - =

- -- +

- -+ =

" " "

.

PŘÍKLAD 6.60

Určíme limitu limx x

x x6 82

x 2 2

2

+++

"-.

Řešení

Analogicky:

lim lim limx x

x xx x

x xx

x( )( )

( 2)

6 82

2 4 4 2 42 1

x x x2 2

2

2 2

0

0

+ ++ =

+= = =

+ + + - +- -

" " "- - - .


172

b) vede na neurčitý limitní typ A0

, kde A 0. V tomto případě určíme jednostran-

né limity, které jsou buď –, nebo podle znamení funkce v příslušné části okolí.

PŘÍKLAD 6.61

Vypočteme limitu limx1

x 0"

.

Řešení

Ověříme předpoklady, pokud za x dosadíme číslo 0, dostáváme neurčitý limitní typ01 , podle

návodu určíme jednostranné limity. Platí:

limx1

x 03=-

"-

, protože čitatel je kladný, ve jmenovateli za x dosazujeme záporná čísla, tzn.

zlomek je vlevo od nuly záporný,

limx1

x 03=

"+

, protože čitatel je kladný, ve jmenovateli za x dosazujeme kladná čísla, tzn. zlomek

je vpravo od nuly kladný,

tudíž limx1

x 0"

neexistuje, protože jednostranné limity jsou různé.

PŘÍKLAD 6.62

Spočteme limitu lim 1xx 0 2

"

.

Řešení

Ověříme předpoklady, pokud za x dosadíme číslo 0, opět dostáváme neurčitý limitní typ01 ,

podle návodu určíme jednostranné limity. Platí:

limx1

x 0 23=

"-

, protože čitatel je kladný, ve jmenovateli za x dosazujeme záporná čísla, ale x2 je

kladné, podíl kladných čísel je číslo kladné, tzn. zlomek vlevo od nuly je kladný,

limx1

x 0 23=

"+

, protože čitatel je kladný, ve jmenovateli za x dosazujeme kladná čísla, tzn. zlomek

je vpravo od nuly kladný,

tudíž limx1

x 0 23=

"

, protože jednostranné limity existují a jsou si rovny.

U elementárních funkcí nemá smysl počítat limity ve vnitřních bodech defi ničního oboru, protože v těchto bodech je limita rovna funkční hodnotě v příslušném bodě. Úlohy jsou formulovány tak, abychom určili limity v krajních bodech defi ničního oboru, jde o to, určit limity v krajních bodech jednotlivých intervalů, ze kterých se skládá defi niční obor.


173

PŘÍKLAD 6.63

Vypočteme limity v krajních bodech defi ničního oboru funkce f (x) = –x4 + 3x2 + 12.

Řešení

Nejprve určíme defi niční obor funkce f (x). U této funkce nejsou žádné omezující podmín-ky, proto D( f ) = (–, ), tzn. budeme určovat pouze limity v nevlastních bodech – a . Postupujeme standardně, tj.:

lim lim( 3 12) ( 1 0 0)x x xx x

1 3 12x x

4 2 4

2 4

4$ $3 3+ + = + + = + + =- - - -" "3 3

e o a

lim lim( 3 12) ( ) ( 1 0 0)x x xx x

1 3 12x x

4 2 4

2 4

4$ $3 3+ + = + + = + + =- - - - -" "3 3- -

e o .

Na obr. 6.20 (a) je pro ilustraci graf funkce f (x).

OBRÁZEK 6.20

PŘÍKLAD 6.64

Vypočteme limity v krajních bodech defi ničního oboru funkce f (x) = x12

x+-

.

Řešení

Nejprve určíme defi niční obor funkce f (x). Tato funkce obsahuje podíl, proto musí být

x – 1 x , tzn. D( f ) = (–, 1) (1, ). Vypočteme čtyři limity lim xx

12

x+-" 3-

, lim xx

12

x 1

+-"

-

,

lim xx

12

x 1

+-"

+

a lim xx

12

x+-"3

.

Limity v bodech – a budeme počítat dohromady. Jde o limity racionální funkce se stup-

něm čitatele rovným stupni jmenovatele, tj. lim lim limxx

x x

x x

x

x 112

1 1

1 2

1 1

1 2

x x x$

$+ =

+

=+

=-

- -" " "! ! !3 3 3

d

d

n

n

.

(b) Graf funkce f (x) = xx

12

-+

–10 –5 5 10–2,5

–7,5

–5

2,5

5

7,5

10

–3 –1 1 3

5

–10

Graf funkce f (x) = –x4 + 3x2 + 12

(a)

–2 2–5

15

10

–15

–20


174

Jednostranné limity v bodě 1 budeme určovat podle znamení zlomku x12

x+-

, protože jde

o neurčitý limitní typ03 . Začneme s lim x

x12

x 1

+-"

-

. Vlevo od bodu 1 je nulový bod čitatele (–2),

v intervalu (–2, ) je zlomek x12

x+-

stále kladný nebo stále záporný, stačí vybrat jeden bod

v tomto intervalu, abychom zjistili znamení zlomku. Určitě 0 (–2, ), dosadíme a dostáváme

02 10 2 21+ =-

- , tedy zlomek x12

x+-

je záporný v intervalu (–2, ), proto musí být lim xx

12

x 13+

-=-

"-

.

Vpravo od bodu 1 není žádný nulový bod čitatele i jmenovatele, v intervalu (1, ) je zlomek

x12

x+-

stále kladný nebo stále záporný, stačí vybrat jeden bod v tomto intervalu, abychom

zjistili znamení zlomku. Určitě 2 (1, ), dosadíme a dostáváme 2 12 2 4 02+-

= , tedy zlomek

x12

x+-

je kladný v intervalu (1, ), proto je lim xx

12

x 13+

-=

"+

. Pro ilustraci je na obr. 6.20 (b) graf

funkce f (x).

V diferenciálním počtu uvedeme účinnou metodu (l’Hospitalovo pravidlo), která slouží k vý-

počtům limit neurčitých limitních typů00 a

!!33 .


175

6.7Spojitost funkcePro řešení některých úloh je vhodné, aby funkce zobrazovala „blízké“ body v defi ničním oboru na „blízké“ body v oboru hodnot. Tj. jde o to, aby grafem funkce byla „nepřerušovaná“ čára. Formalizujme tyto intuitivní představy.

DEFINICE

Spojitost funkce

Jestliže f (x) je funkce, bod c D( f ) a I D( f ) je interval s krajními body a a b, po-tom:

a) funkce f (x) je spojitá v bodě c, jestliže limx c"

f (x) = f (c),

b) funkce f (x) je spojitá v bodě c zleva, jestliže limx c"

-

f (x) = f (c),

c) funkce f (x) je spojitá v bodě c zprava, jestliže limx c"

+

f (x) = f (c),

d) funkce f (x) je spojitá v intervalu I, jestliže je spojitá v každém vnitřním bodu intervalu I,

platí-li pro levý krajní bod a I, potom funkce f (x) je spojitá v bodě a zprava,

platí-li pro pravý krajní bod b I, potom funkce f (x) je spojitá v bodě b zleva.

Spojitosti v bodě zleva a zprava dohromady nazýváme jednostrannými spojitostmi a spojitost v bodě nazýváme oboustrannou spojitostí.

Zcela evidentně platí: funkce f (x) je spojitá v bodě c právě tehdy, jestliže f (x) je spojitá v bodě c současně zprava i zleva.

Uvedeme dva ilustrační příklady.

PŘÍKLAD 6.65

Ukážeme, že funkce f (x) = 4x – 3 je spojitá v bodě c = 2.

Řešení

Určíme limx 2"

f (x) = limx 2"

f (4x – 3) = 4 . 2 – 3 = f (2) , tedy funkce f (x) je podle defi nice spojitá

v bodě c = 2.

PŘÍKLAD 6.66

Ukážeme, že funkce sgn(x) není ani spojitá, ani spojitá zleva, ani spojitá zprava v bodě c = 0.

Řešení

Začneme jednostrannými spojitostmi. Určíme limx 0"

-

sgn(x) = –1 0 = sgn(0), tzn. funkce sgn(x)

není spojitá v bodě 0 zleva. Dále limx 0"

+

sgn(x) = 1 0 = sgn(0), tzn. funkce sgn(x) není spojitá

v bodě 0 zprava. Funkce sgn(x) není spojitá v bodě 0, protože v tomto bodě není spojitá ani

zleva, ani zprava.


176

VĚTA

(o spojitosti operací)1. Jsou-li funkce f (x) a g(x) spojité v bodě c,

a) potom funkce f (x) + g(x), f (x) – g(x) a f (x) . g(x) jsou spojité v bodě c,

b) je-li navíc g(c) 0, potom funkce g xf x

( )( )

je spojitá v bodě c.

2. Je-li funkce f (y) spojitá v bodě g(c) a g(x) spojitá v bodě c, potom funkce f (g(x)) je spojitá v bodě c.

Spojitost se zachovává při aritmetických operacích funkcí i při skládání funkcí.

Budeme pracovat s elementárními funkcemi. Jak to vypadá s jejich spojitostí?

VĚTA

(o spojitosti elementárních funkcí)Každá elementární funkce je spojitá v libovolném intervalu, ve kterém je defi nována.

Z této věty vyplývají mj. dvě skutečnosti:

a) funkce sgn(x) není elementární, kdyby byla elementární, musela by být spojitá v bodě 0, ale to podle příkladu 6.66 není,

b) napíšeme-li „funkce f (x) je elementární a interval I D( f )“, automaticky z toho vyplývá „funkce f (x) je spojitá v intervalu I “.

V ekonomických úvahách je důležitá role extrémů (tj. maxima i minima) pro optimalizace, neboť v takových úvahách jde např. o minimalizaci nákladů, maximalizaci zisku apod.

DEFINICE

Extrémy funkce vzhledem k intervalu

Jestliže f (x) je funkce, interval I D( f ) a bod c I, potom:

a) funkce f (x) nabývá v bodě c minimum (příp. maximum) vzhledem k intervalu I, jestliže pro všechna x I je f (x) ≥ f (c) (příp. f (x) ≤ f (c)),

b) funkce f (x) nabývá v bodě c extrém vzhledem k intervalu I, jestliže funkce f (x) nabývá v bodě c maximum nebo minimum vzhledem k intervalu I.

Pro některé funkce máme zaručenu existenci extrémů vzhledem k uzavřenému intervalu.

VĚTA

(Weierstrassova)

Jestliže funkce f (x) je spojitá v uzavřeném intervalu a, b, potom funkce f (x) nabývá v tomto intervalu jak svého maxima, tak i svého minima vzhledem k tomuto intervalu.


177

Weierstrassova věta zaručuje existenci maxima i minima spojité funkce v uzavřeném intervalu, ale nedává žádný návod, jak takové maximum nebo minimum určit. V diferenciálním počtu funkcí jedné proměnné uvedeme metodu, jak určujeme extrémy elementární funkce vzhledem k uzavřenému intervalu.

Uvedeme ilustrační příklad.

PŘÍKLAD 6.67

Dokážeme, že funkce f (x) = x2 + 2x nabývá jak v intervalu –2, 1, tak i v intervalu –3, 0 svého maxima i svého minima vzhledem k těmto intervalům a naznačíme tyto extrémy.

Řešení

Zcela evidentně D( f ) = (–, ) a funkce f (x) je elementární.

a) –2, 1D( f ) = (–, ), podle věty o spojitosti elementárních funkcí funkce f (x) je spojitá v –2, 1, jsou splněny předpoklady Weierstrassovy věty, proto funkce f (x) nabývá v –2, 1 svého maxima i svého minima vzhledem k intervalu –2, 1. Jak jsme již uvedli Weierstrassova věta zaručuje existenci extrémů, ale neuvádí, jak máme tyto extrémy určit. Podle obr. 6.21 (a) lze odhadnout, že funkce f (x) nabývá v bodě (–1) minima a v bodě 1 maxima vzhledem k intervalu –2, 1.

b) –3, 0D( f ) = (–, ), podle věty o spojitosti elementárních funkcí funkce f (x) je spojitá v–3, 0, jsou splněny předpoklady Weierstrassovy věty, proto funkce f (x) nabývá v –3, 0 svého maxima i svého minima vzhledem k intervalu –3, 0. Podle obr. 6.21 (b) lze odhadnout, že funkce f (x) nabývá v bodě (–1) minima a v bodě (–3) maxima vzhledem k intervalu –3, 0.

OBRÁZEK 6.21

Jak je vidět na předcházejícím příkladu, tak při vyšetřování extrému spojité funkce vzhle-dem k uzavřenému intervalu velmi záleží na tom, vzhledem k jakému intervalu se extrémy určují.

f (x) = x2 + 2x v intervalu –2, 1

(a)

–1

1

2

3

1

(b) f (x) = x2 + 2x v intervalu –3, 0

0,5–0,5–1–1,5–2

–1

1

2

3

–3 –1,5–2,5 –2 –1 –0,5


178


Určete defi niční obor funkce f (x), jestliže:

a) f (x) = x5 – 3x3 + 2x – 1 ,

b) f (x) = –2x4 + 5x3 – 11 ,

c) f (x) = x5 113- + 3x ,

d) f (x) = x2 524+ ,

e) f (x) = ex2

39

x

2

+- ,

f) f (x) = x

x x3

3 92 2

4

+- ,

g) f (x) = 2 7ex+ ,

h) f (x) = xx

2 33 9

+- ,

i) f (x) = xx3 12 52

-- ,

j) f (x) = x

x 257- ,

k) f (x) = x

x1 24

- ,

l) f (x) = x

x1

5 32-

- ,

Výsledky

a) D( f ) = (–, ) ,

b) D( f ) = (–, ) ,

c) D( f ) = (–, ) ,

d) D( f ) = (–, ) ,

e) D( f ) = (–, ) ,

f) D( f ) = (–, ) ,

g) D( f ) = (–, ) ,

h) D( f ) = (–,23- ) ( 2

3- , ) ,

m) f (x) = x

x47 1

2-+ ,

n) f (x) = ln(3x – 1) ,

o) f (x) = ln(3 – 2x) ,

p) f (x) = x

x(1 )ln2

- ,

q) f (x) = xx

1

4 14 +

- ,

r) f (x) = e

x x315

x2 1

2

-- +

- ,

s) f (x) = x

x3

4+-

,

t) f (x) = xxln

53 1+-

d n ,

u) f (x) = x9 2- + ln(–x) ,

v) f (x) = e x1

+ 3 ,

w) f (x) = 3 + ln(4 – x2) ,

i) D( f ) = (–,31 ) ( 31 , ) ,

j) D( f ) = (–, ) (, ) ,

k) D( f ) = (–, ) (, ) ,

l) D( f ) = (–, –1) (–1, ) (1, ) ,

m) D( f ) = (–, –2) (–2, ) (2, ) ,

n) D( f ) = ( 31 , ) , o) D( f ) = (–,

23 ) ,

p) D( f ) = (–, ) (, ) ,


179

q) D( f ) = (–, ) ,

r) D( f ) = (–,21 ) ( 21 , ) ,

s) D( f ) = (–, –4 (, )

t) D( f ) = (– 31- ) (, ) ,

Příklad 2:

Vypočtěte limity funkce f (x) v krajních bodech jejího defi ničního oboru, jestliže:

a) f (x) = –3x4 + 5x2 – 11 ,

b) f (x) = 2x3 – 2x2 + 5x ,

c) f (x) = 1x4

+ 2 ,

d) f (x) =x15 – 3 ,

e) f (x) = xx 1

1+- ,

f) f (x) = xx

35

-+ ,

Výsledky

a) D( f ) = (–, ) , limx"!3

(–3x4 + 5x2 – 11) = –,

b) D( f ) = (–, ) , limx"3

(2x3 – 2x2 + 5x) = , limx" 3-

(2x3 – 2x2 + 5x) = –,

c) D( f ) = (–, 0) (0, ) , limx

21 2x 4 + ="!3

e o , limx1 2

x 0 43+ =

"e o ,

d) D( f ) = (–, 0) (0, ) , limx1 3 3

x 5 =- -"!3

e o , limx1 3

x 0 53=- -

"-

e o , limx1 3

x 0 53=-

"+

e o ,

e) D( f ) = (–, –1) (–1, ) , lim xx 1

11

x +- =

"!3, lim x

x11

x 13

+=-

"- -

, lim xx

11

x 13

+=- -

"- +

,

f) D( f ) = (–, 3) (3, ) , lim xx 1

35

x=

-+

"!3, lim x

x35

x 33=

-+ -

"-

, lim xx

35

x 33=

-+

"+

.

u) D( f ) = –, ) ,

v) D( f ) = (–, ) (, ) ,

w) D( f ) = (–2, 2) ,


180

Shrnutí kapitoly

• V této kapitole jsme se věnovali opakování pojmu podmnožina a množinových operací (sjednocení, průnik, rozdíl a kartézský součin množin). Uvedli jsme číselné množiny a rozšířili jsme číselnou osu o nevlastní body nekonečno a minus nekonečno.

• Defi novali jsme funkci jedné proměnné, její defi niční obor, obor hodnot a také její graf. Věnovali jsme se intervalům monotónie, zavedli jsme základní elementární funkce včetně jejich charakteristik. U elementárních funkcí jsme uvedli i některé funkce pou-žívané v ekonomii. Určovali jsme defi niční obory elementárních funkcí. Formalizovali jsme představu o přibližování se pojmy limita a spojitost. Pro nás je důležité, že každá elementární funkce je spojitá v libovolném intervalu, ve kterém je defi nována. Defi -novali jsme extrémy funkce na intervalu a uvedli Weierstrassovu větu, která zajišťuje existenci extrémů spojité funkce vzhledem k uzavřenému intervalu.

Klíčová slova

podmnožina sjednocení množin

průnik množin rozdíl množin

uspořádaná dvojice prvků kartézský součin množin

funkce jedné proměnné (funkce) defi niční obor funkce

graf funkce funkce rostoucí v intervalu

funkce klesající v intervalu funkce ryze monotónní v intervalu

elementární funkce poptávková funkce

nabídková funkce nákladová funkce

defi niční obor elementární funkce okolí bodu na rozšířené číselné ose

limita funkce v bodě limita funkce v bodě zprava

limita funkce v bodě zleva spojitost funkce v bodě

spojitost funkce v bodě zprava spojitost funkce v bodě zleva

spojitost funkce v intervalu extrém funkce vzhledem k intervalu

maximum funkce vzhledem k intervalu minimum funkce vzhledem k intervalu

Weierstrassova věta obor hodnot funkce

7Diferenciální počet

kapitola

Diferenciální počet Kapitola 7

185

7. kapitolaDiferenciální početPři zkoumání reálného světa se zpravidla snažíme o dvojí hledisko – chceme jevy obsáhnout v jejich celku (tj. jde o jakýsi pohled na makrosvět) a naopak sledujeme-li průběh úkazu, chceme proniknout do jeho nejnepatrnějších částeček (tj. jde o jakýsi pohled na mikrosvět). Obojí, tj. celkový průběh a okamžitý stav jevu, je navzájem spjato toutéž zákonitostí. Někdy se podaří souvislost veličin určujících příslušný jev přímo zapsat (např. rovnicí platnou pro tyto veličiny). Mnohdy nás zajímá i vyjádření okamžitého stavu. Mnohem častěji umíme matematickými prostředky vyjádřit pouze okamžitý stav jevu, z něj se pokoušíme nalézt celkový obraz jevu. Vyskytují se, jak vidíme, v různých naučných oblastech dvě skupiny otázek:

a) z celkového průběhu jevů se snažíme určit okamžitý stav a

b) z okamžitého stavu určit celkový obraz.

Obě uvedené skupiny úloh se řeší v matematice metodami infi nitezimálního počtu – odpo-věď na první ze dvou uvedených otázek lze nalézt v diferenciálním počtu, na otázku druhou odpovídají metody integrálního počtu. Infi nitezimální počet se věnuje – řečeno co nejstruč-něji – proměnným veličinám, jejichž velikost se bez omezení („do nekonečna“) zmenšuje. V diferenciálním počtu určujeme ze známé závislosti vyjádřené funkcí na závislost „nekonečně malé“ změny funkčních hodnot na „nekonečně malé“ změně proměnné. V integrálním po-čtu hledáme zákonitost, která ze závislosti „nekonečně malé“ změny funkčních hodnot na „nekonečně malé“ změně proměnné odvodí obecnou funkční závislost. Základní myšlenka takového počtu je v souhlase s naší představou malých intervalů v jevech, u kterých se domní-váme, že jejich průběh je „rovnoměrný“, ale infi nitezimální počet tuto myšlenku předstihuje tím, že zmenšování intervalů (a zvětšování jejich množství) lze provést neomezeně. V mnoha ekonomických teoriích (např. v pojmech mezní užitek, mezní náklady, mezní cena) hraje podstatnou roli pojem derivace.

Úvod

V této kapitole zavedeme pojem derivace funkce, uvedeme derivace základních elementár-ních funkcí, derivace operací i derivaci složené funkce, tudíž budeme mít k dispozici aparát umožňující určit derivaci každé elementární funkce.

Protože z geometrického hlediska derivace funkce v bodě představuje směrnici tečny ke grafu funkce, použijeme derivaci k výpočtu rovnice tečny ke grafu funkce a také k výpočtům limit

neurčitých limitních typů00 a

!!33 .

Dále použijeme první (příp. druhou) derivaci k určení maximálních intervalů monotónie (příp. konvexnosti a konkávnosti) a lokálních extrémů (příp. infl exních bodů) funkce jedné proměnné.

Dále s použitím první derivace budeme hledat extrémy funkce vzhledem k uzavřenému in-tervalu.

V závěru kapitoly uvedeme některé ekonomické aplikace derivace funkce.

Edice učebních textů Logika a ekonomika pro ekonomyKapitola 7

186

7.1Derivace funkce

DEFINICE

Derivace funkce

Jestliže funkce f (x) je defi nována v nějakém okolí bodu c a existuje-li vlastní

lim hf c h f c( ) ( )

h 0

+ -"

, potom tato limita je derivace funkce f (x) v bodě c a značí se f '(c)

(tj. limf c hf c h f c

'( )( ) ( )

h 0=

+ -"

).

Mějme funkci f (x) a na jejím grafu vyznačme bod [c, f (c)] (viz obr. 7.1 (a)). Na grafu této funkce vyznačme bod [c + h, f (c + h)] a zakresleme přímku určenou body [c, f (c)] a [c + h, f (c + h)] (viz obr. 7.1 (b)), jde o sečnu grafu funkce f (x). Směrnice této přímky je

c h cf c h f c

hf c h f c( ) ( ) ( ) ( )

+

+=

+

-

- -.

OBRÁZEK 7.1

Jestliže se h postupně přibližuje k číslu 0, bod [c + h, f (c + h)] se postupně přibližuje k bodu

[c, f (c)] (viz obr. 7.2 (a)). Pokud určíme lim hf c h f c( ) ( )

h 0

+ -"

, ze sečny grafu funkce f (x) se stane

tečna ke grafu funkce f (x) v bodě [c, f (c)] (viz obr. 7.2 (b)), tzn. derivace funkce f (x) v bodě c z geometrického hlediska představuje směrnici tečny ke grafu funkce f (x) v bodě [c, f (c)]. V ekonomické literatuře se místo termínu směrnice tečny ke grafu funkce f (x) používá termín sklon křivky y = f (x) v bodě [c, f (c)].

(b)Graf funkce f (x)(a)


187

OBRÁZEK 7.2

PŘÍKLAD 7.1

Pro funkci f (x) = x2 + 3 určíme f '(2).

Řešení

Podle defi nice derivace funkce musí být limf hf h f

'(2)(2 ) (2)

h 0=

+ -"

. Nejprve určíme funkční

hodnoty, tj. f (2) = 22 + 3 a f (2 + h) = (2 + h)2 + 3 = 22 + 2 . 2h + h2 + 3 = 22 + 4h + h2 + 3.

Dosadíme a dostáváme:

lim lim lim limf hf h f

hh h

hh h h'(2)

( ) ( ) ( )(4 )

2 2 2 4 3 2 3 4 4h h h h0 0

2 2 2

0

2

0=

+=

+ + + += + = +

- -=

" " " "

,

tedy f '(2) je reálné číslo 4.

Vidíme, že i u jednoduché funkce v předcházejícím příkladu je dosti pracné vypočítat derivaci v jednom bodě.

Jestliže f (x) je funkce, interval I D( f ) a v každém bodě x I existuje f '(x), potom podle defi nice funkce jedné proměnné je také f '(x) funkce. V dalším budeme uvažovat derivaci funkce f (x) jako funkci f '(x).

Uvedeme přehled derivací některých základních elementárních funkcí:

Je-li a reálné číslo, potom (a)' = 0 (tj. derivace funkce je konstatnta 0) ,

pro x (–, ) je (x)' = 1 (tj. derivace identické funkce je konstanta 1) ,

(xn)' = n . xn – 1 buď pro n N x (–, ), nebo n R – {0} x (0, ) ,

pro x (–, ) je (ex)' = ex ,

pro x (–, ) je (ax)' = ax . ln a, kde a je kladné reálné číslo ,

pro x (0, ) je (ln x)' = 1x ,

pro x (0, ) je (loga x)' = x ln1a$

, kde a (0, 1) (1, ) ,

pro x (0, ) je xx2

1'$

=` j ,

pro x (–, ) je (sin(x))' = cos(x) ,

pro x (–, ) je (cos(x))' = –sin(x) ,

(a) (b)


188

pro x ≠2r + k . , kde k Z, je (tg(x))' =

cos x( )12

,

pro x ≠ k . , kde k Z, je (cotg(x))‘ = sin x( )

12- .

PŘÍKLAD 7.2

Určíme derivaci funkce f (x) = –7.

Řešení

Použijeme vzorec pro derivaci konstantní funkce, tudíž f '(x) = (7)' = 0.

PŘÍKLAD 7.3

Spočteme derivaci funkce f (x) = ln 2.

Řešení

Použijeme vzorec pro derivaci konstantní funkce (ln 2 je reálné číslo, tudíž jde o konstantní funkci), tudíž f (x) = (ln 2)' = 0.

PŘÍKLAD 7.4

Spočteme derivaci funkce f (x) = e3.

Řešení

Použijeme vzorec pro derivaci konstantní funkce (e3 je reálné číslo, tedy jde o konstantní funkci), tudíž f '(x) = (e3)' = 0.

PŘÍKLAD 7.5

Spočteme derivaci funkce f (x) = 53 .

Řešení

Použijeme vzorec pro derivaci konstantní funkce ( 53 je reálné číslo, tedy jde o konstantní funkci), tudíž f '(x) = ( 53 )' = 0.

PŘÍKLAD 7.6

Určíme derivaci funkce f (x) = x3.

Řešení

Použijeme vzorec pro derivaci xn (v našem případě n = 3) a dostáváme; f '(x) = (x3)' = 3 . x3 – 1 = 3 . x2.


189

PŘÍKLAD 7.7

Určíme derivaci funkce f (x) = 1x4

.

Řešení

Protože 1x4

=x–4, použijeme opět vzorec pro derivaci xn (v našem případě n = –4), dostáváme:

f x x x xx

'( ) ( )' 4 4x1 44

4 4 1 5

5$ $= = = = =- - -- - - -

e o .

PŘÍKLAD 7.8

Určíme derivaci funkce f (x) = x5 .

Řešení

Protože x x5 5

1

= , použijeme vzorec pro derivaci xn (v našem případě n =51 ), tudíž:

f x x x xx

'( ) 51

51

5

1' '5 145

5

15

1

5

4

$ $$

= = = = =- -x` `j j .

PŘÍKLAD 7.9

Určíme derivaci funkce f (x) = x23 .

Řešení

Protože x x23 3

2

= , použijeme vzorec pro derivaci xn (v našem případě n =32 ), tudíž:

f x x x x x'( ) 32

32

3

2' '23 13

3

23

2

3

1

$ $$

= = = = =- -x` `j j .

PŘÍKLAD 7.10

Určíme derivaci funkce f (x) = 1

x.

Řešení

Protože x

x121

= - , použijeme opět vzorec pro derivaci xn (v našem případě n =21- ), tedy:

f x x x xx

'( )1

21

21

2

1'' 1

32

12

1

2

3

$ $$

= = =- =- = -- - - -xe ò j .


190

PŘÍKLAD 7.11

Určíme derivaci funkce f (x) = x x3$ .

Řešení

Protože x x x x x x331

2

1

3

1

2

1

6

5

$ $= = =+ , použijeme opět vzorec pro derivaci xn (v našem případě

n =65 ), tedy:

1f x x x x x x'( ) 65

65

6

5' '36

6

56

5

6

1

$ $$

= = = = =- -x$` `j j .

PŘÍKLAD 7.12

Určíme derivaci funkce f (x) = x

x x3

$ .

Řešení

Protože x

x xx

x x x x3 3

1 32

1

2

1

2

3$ $= = =+ - - , použijeme opět vzorec pro derivaci xn (v našem případě

n =23- ), dostáváme:

1f x xx x x x

x x x'( ) 23

23

2

3

2

3''

3 5 22

32

3

2

5$$ $

$ $= = = = = =- -- - - -x - -e ò j .

PŘÍKLAD 7.13


x x3$ .

Řešení

Protože x

x xx

x x x x13

2

1

3

1

3

1

2

16

5$ $= = =+ - , použijeme opět vzorec pro derivaci xn (v našem případě

n =65 ), dostáváme:

1f x xx x x x x'( ) 6

565

6

5' '3

66

56

5

6

1$$ $

$= = = = =- -xf ap k .

PŘÍKLAD 7.14

Určíme derivaci funkce f (x) = 2x.

Řešení

Použijeme vzorec pro derivaci ax (v našem případě a = 2) a dostáváme:

f '(x) = (2x)' = 2x . ln 2 .


191

PŘÍKLAD 7.15

Určíme derivaci funkce f (x) = 41 x

b l .

Řešení

Použijeme vzorec pro derivaci ax (v našem případě a =41 ) a dostáváme:

x

f x'( ) ln41

41

41

x

$= ='

cf c cm p m m .

PŘÍKLAD 7.16

Určíme derivaci funkce f (x) = log2(x).

Řešení

Použijeme vzorec pro derivaci logax (v našem případě a = 2) a dostáváme:

f '(x) = (log2(x)) =2ln

1x $

7.2Derivace operacíProtože elementární funkce vznikají ze základních funkcí užitím operací sčítání, odčítání, násobení a dělení, postupně uvedeme, jak lze určit derivace funkcí, které vzniknou užitím těchto operací.

VĚTA

(o derivaci součtu a rozdílu funkce a konstanty)

Je-li f (x) funkce a k reálné číslo, potom

( f (x) + k)' = f '(x) a

( f (x) – k)' = f ‘(x) ,



192

PŘÍKLAD 7.17

Určíme derivaci funkce f (x) = ex + 7.

Řešení

Použijeme předchozí tvrzení a vzorec pro derivaci ex, tedy:

f '(x) = (ex + 7)' = (ex)' = ex .

PŘÍKLAD 7.18

Určíme derivaci funkce f (x) = x – 1.

Řešení

Použijeme vzorec pro derivaci identické funkce a předchozí tvrzení, tj.:

f '(x) = (x – 1)' = (x)' = 1 .

PŘÍKLAD 7.19

Určíme derivaci funkce f (x) = x7 + 5.

Řešení

Použijeme předchozí tvrzení a vzorec pro derivaci xn, tedy:

f '(x) = (x7 + 5)' = (x7)' = 7x6 .

PŘÍKLAD 7.20

Určíme derivaci funkce f (x) = x 3+ .

Řešení

Použijeme předchozí tvrzení ( 3 je konstanta) a vzorec pro derivaci x , tedy:

' 'f x x x'( )x

32

1

$= = =+` `j j .

PŘÍKLAD 7.21

Určíme derivaci funkce f (x) = ln x – 11.

Řešení

Použijeme předchozí tvrzení a vzorec pro derivaci ln x, tedy:

x x x( 11)' ( )'ln ln 1f x'( ) = == - .


193

PŘÍKLAD 7.22

Určíme derivaci funkce f (x) = ex + e3.

Řešení

Použijeme předchozí tvrzení a vzorec pro derivaci ex (e3 je konstanta), tedy:

f '(x) = (ex + e3)' = (ex)' = ex .

PŘÍKLAD 7.23

Určíme derivaci funkce f (x) = ln x + ln 4.

Řešení

Použijeme předchozí tvrzení a vzorec pro derivaci ln x (ln 4 je konstanta), tedy:

f '(x) = (ln x + ln 4)' = (ln x)' = 1x .

PŘÍKLAD 7.24

Vypočteme derivaci funkce f (x) = sin(x) + 5.

Řešení

Použijeme předchozí tvrzení a vzorec pro derivaci sin(x), tedy:

f '(x) = (sin(x) + 5)' = (sin(x))' = cos(x) .

VĚTA

(o derivaci součtu a rozdílu funkcí)Jsou-li f (x) a g (x) funkce, potom:

( f (x) + g (x))' = f '(x) + g '(x) a

( f (x) – g (x))' = f '(x) – g '(x),


PŘÍKLAD 7.25

Určíme derivaci funkce f (x) = x2 + ln x.

Řešení

Použijeme vzorce pro derivaci ln x, xn a derivaci součtu funkcí, tedy:

f '(x) = (x2 + ln x)' = (x2)' + (ln x)' = 2x + 1x = xx2 12+ .


194

PŘÍKLAD 7.26

Určíme derivaci funkce f (x) = x5 – x2.

Řešení

Použijeme vzorce pro derivaci xn a derivaci rozdílu funkcí, tedy:

f '(x) = (x5 – x2)' = (x5)' – (x2)' = 5x4 – 2x = x . (5x3 – 2) .

PŘÍKLAD 7.27

Určíme derivaci funkce f (x) = x6 + x4 – x2 + 5.

Řešení

Analogicky

f '(x) = (x6 + x4 – x2 + 5)' = (x6 + x4 – x2)' = (x6)' + (x4)' – (x2)' =

= 6x5 + 4x3 – 2x = 2x . (3x4 + 2x2 – 1) .

VĚTA

(o derivaci reálného násobku a reálného podílu funkce)

Je-li f (x) funkce a k reálné číslo, potom

(k . f (x))' = k . f '(x) a

'

kx

kf x( ) '( )f

=e o ,


PŘÍKLAD 7.28

Určíme derivaci funkce f (x) = –7x8.

Řešení

Použijeme vzorec pro derivaci funkce xn a předchozí tvrzení, tj.:

f '(x) = (–7x8)' = –7(x8)' = –7 . 8 . x7 = –56 . x7 .

PŘÍKLAD 7.29

Určíme derivaci funkce f (x) = x5

5

.

Řešení


'f x x x x'( )

5( )'5 5

5x5 5 44$= = = =e o .


195

PŘÍKLAD 7.30

Určíme derivaci funkce f (x) = 2 7x$ + .

Řešení

Použijeme vzorec pro derivaci funkce x a předchozí tvrzení, tj.:

' ' 'f x x x xx x

'( ) 22 7 22

2 1$ $ $$

= = = = =+` ` `j j j .

PŘÍKLAD 7.31

Určíme derivaci funkce f (x) = 3x2 + 5.

Řešení


f '(x) = (3x2 + 5)' = (3x2)' = 3 . (x2)' = 3 . 2 . x = 6 . x .

PŘÍKLAD 7.32

Určíme derivaci funkce f (x) = x3 – 2x2 + 3x – 1.

Řešení


f '(x) = (x3 – 2x2 + 3x – 1)' = (x3 – 2x2 + 3x)' = (x3)' –2 . (x2)' + 3 . (x)' =

= 3 . x2 – 2 . 2 . x + 3 . 1 = 3x2 – 4x + 3 .

VĚTA

(o derivaci součinu a podílu funkcí)Jsou-li f (x) a g (x) funkce, potom:

( f (x) . g (x))' = f '(x) . g (x) + f (x) . g '(x) a

'

g xf x

g xf x g x f x g x

( )

( )

( )

'( ) ( ) ( ) '( )2

$ $-=e o ,



196

PŘÍKLAD 7.33

Určíme derivaci funkce f (x) = x3 . ln x.

Řešení

Použijeme vzorce pro derivaci funkcí xn a ln x i součinu funkcí, tj.:

f '(x) = (x3)' ln x + x3(ln x)' = 3x2ln x + x3 . 1x = 3x2ln x + x2 = x2 . (3 . ln x + 1) .

PŘÍKLAD 7.34

Určíme derivaci funkce f (x) = x5 . ex.

Řešení

Použijeme vzorce pro derivaci funkcí x5 a ex i součinu funkcí, tzn.:

f '(x) = (x5 . ex)' = (x5)' . ex + x5 . (ex)' = 5x4 . ex + x5 . ex = (5x4 + x5) . ex = (x + 5) . x4 ex.

PŘÍKLAD 7.35

Určíme derivaci funkce f (x) = x . (2x2 + 3x + 5).

Řešení

Použijeme vzorec pro derivaci součinu funkcí, tzn.:

' 'f x x x x x x x'( ) (2 3 5) (2 3 5)2 2$ $= + + + + + =_ _i i

xx x x x

xx x(2 3 5) (4 3) 5

2

1

2

10 922

$$ $

$= + + + + = + +_ i .

PŘÍKLAD 7.36

Určíme derivaci funkce f (x) = xx

11

+- .

Řešení

Použijeme vzorec pro derivaci podílu funkcí, dostáváme:

' ' 'f x xx

xx x x x

xx x

x'( )

( )

( ) ( ) ( )( )

( )

( ) ( )

( )11

1

1 1 1 1

1

1 1 1 1

12

2 2 2

$ $=

+=

+

+ +=

+

+=

+- - - - - -

e o .


197

PŘÍKLAD 7.37


3 12 1

-+ .

Řešení


' ' 'f x xx

xx x x x

xx x

x'( )

( )

( ) ( ) ( )( )

(3 1)

( ) ( )

(3 1)3 12 1

3 1

2 1 3 1 2 1 3 1 2 3 1 2 1 3 52 2 2

$ $= + =

+ +=

+=

- -

- - -

-

- -

--

c m .

PŘÍKLAD 7.38


11

2

2

+- .

Řešení


' ' 'f xxx

xx x x x

xx x x x

'( )( )

( ) ( ) ( )( )

( 1)

2 ( 1) ( 1) 2

11

1

1 1 1 12

2

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2$ $=

+=

+

+ +=

+

+=- - - - - -

e o

xx x x x

xx

( )2 2 2 2

( )1 14

2 2

3 3

2 2=+

+ + =+

- .

PŘÍKLAD 7.39

Určíme derivaci funkce f (x) = xx5

3

+.

Řešení


'f x xx

xx x x

xx x

xx x

'( )( )

( )

( ) ( )

( )5 5

3 5 1

52 15

5

2 153

2

2 3

2

3 2

2

2$ $ $=

+=

+

+=

++ =

+

+-e o .

PŘÍKLAD 7.40

Určíme derivaci funkce f (x) = x2 . (x + 1)–1.

Řešení

Nejprve upravíme funkci f (x) = x2 . (x + 1)–1 = xx1

2

+, potom použijeme vzorec pro derivaci

podílu funkcí, dostáváme:

'f x xx

xx x x

xx x

xx x

'( )( )

( )

( ) ( )

( )1 1

2 1 1

12

1

22

2

2

2

2

2

$ $ $=

+=

+

+=

++ =

+

+-e o .


198

PŘÍKLAD 7.41

Určíme derivaci funkce f (x) = xxln .

Řešení

Použijeme vzorce pro derivaci identické funkce, funkce ln x a podílu funkcí, tj.:

'f x xx

xx x x x

xx x x

xx'( )

( )' ( )'ln ln lnln

ln1 1

12 2 2

$$ $

$= = = =

--

-c m .

PŘÍKLAD 7.42

Určíme derivaci funkce f (x) = ex3

x .

Řešení

Použijeme vzorce pro derivaci funkcí xn a ex i podílu funkcí, tzn.:

'f xex

ex e x e

ex e x e

ex x e

ex x

ex

'( )( )

( )' ( )'

( ) ( )

( ) ( )x3 3 3 3x x

x x

x

x x

x

x

x x

3

2

3 3

2

2 3

2

2 3 2 3 2$ $ $ $ $ $= = = = = =

- - - - -e o .

PŘÍKLAD 7.43

Určíme derivaci funkce f (x) = e–x.

Řešení

Použijeme vzorce pro derivaci základní exponenciální funkce ex, vlastností základní exponen-ciální a derivace podílu funkcí, tzn.:

'f x ee e

e ee

e ee

ee

e'( ) ( )'( )

( )' ( )'

( ) ( )1 1 1 0 1 1

x x

x x

x

x x

x

x

xx x

2 2 2

$ $ $ $= = = = = = =- - - - -- -

e o .

PŘÍKLAD 7.44

Určíme derivaci funkce f (x) = (x + 2) . e–x.

Řešení

Použijeme vlastnosti základní exponenciální funkce a vzorec pro derivaci podílu funkcí, tzn.:

' 'f x x ee e

xe

x e x e'( ) (( 2) )'

( )

( )' ( ) ( )'1 2 2 2x x x

x xx

2$

$ $= + = = + =

+ +=

-- x( )2 $+e eo o

ee x e

ex e

ex x e

( )

( )

( )

( )( 1)

1 2 1 1x

x x

x

x

xx

2 2

$ $ $$=

+= = =

- - - - - - - - .


199

PŘÍKLAD 7.45


x

1

1

+

- .

Řešení


'f x

xx

xx x x x'( )

1

1 2

1

2

1

2

$$ $

$=+

= =--

1

1 1

+

+ -e

`

` `

o

j

j j

xx x

xx

x x21

2

121

2

1 1

12 2 2

$ $

$=

+ +

= =

-

1 1 1+ + +` ` `j j j

.

PŘÍKLAD 7.46

Určíme derivaci funkce f (x) = x17.

Řešení

Derivaci funkce f (x) lze určit dvěma způsoby.

1. způsob – použijeme vzorec pro derivaci xn a dostáváme:

'f xx

x xx

'( ) 1 ( )' 7 77

7 8

8$= = =- = -- -

e o .

2. způsob – použijeme vzorce pro derivaci xn a podílu, dostáváme:

'f xx x

x xx

x xx

xx

'( ) 1( )

( )' ( )' 01 1 7 7 77 7 2

7 7

14

7 6

14

6

8

$ $ $ $ $= = = = =- - - -

e o .

PŘÍKLAD 7.47


x 64+ .

Řešení

Zde lze použít dokonce tři způsoby.

1. způsob – použijeme vzorce pro derivaci xn a podílu, dostáváme:

'f xx

xx

x x x xx

x x x'( ) 6

( )

( 6)' ( 6) ( )' 1 ( 6) 44 4 2

4 4

8

4 3$ $ $ $ $= =

+ +=

+=+ - -

e o

xx x

xx x

xx( 3 24)3 24 3 24

8

4 3

8

3

5

$ $ $ $ $= =- - - -= - - .


200

2. způsob – použijeme vzorce pro derivaci xn a součtu, dostáváme:

' 'f xx

xxx

xx x x x

x x xx'( ) 6 6 ( )' 6 ( )' 3 6 ( 4) 3 24 3 24

4 4 4

3 4 4 5

4 5 5$ $ $ $ $= + = = + = + = =- - - - - -- - - -+e eo o .

3. způsob – použijeme vzorce pro derivaci xn a součinu, dostáváme:

'f xx

x x x x x x x'( ) 6 (( 6) )' ( 6)' ( 6) ( )'4 4

4

4$ $ $= + = + = + + + =- - -e o

x x xx x

xxx1 ( 6) ( 4)

4 ( 6) 3 2414 5

4 5 5$ $ $

$ $= + + =+

=- - - -- - .

VĚTA

(o derivaci složené funkce)

Jestliže h( y) a g (x) jsou funkce, potom:

(h(g (x)))' = h'( y) . g'(x) = h'(g (x)) . g'(x) ,

pokud existuje pravá strana.

Použití této věty budeme v první fázi zapisovat:

y g xh y

g xh y h y g x h g x g x( ( ( )))'

( )

( )

'( )

'( )'( ) '( ) '( ( )) '( )h g x $ $

f

f

f

f=

=

=

=

== =

= .

PŘÍKLAD 7.48

Vypočteme derivaci funkce f (x) = e3x – 1.

Řešení

Použijeme větu o derivaci složené funkce, tj.:

f x ey g x x

h y eg xh y e e e e'( ) ( )'

( )

( )

'( )

'( )3 3 3

3 1 3y y

y yx x3 1 3 1$ $ $= == =

=

=

== = =

-- - .

PŘÍKLAD 7.49

Vypočteme derivaci funkce f (x) = cos3(x).

Řešení

Opět použijeme větu o derivaci složené funkce, tzn.:

f x xy g x x

h y yg x xh y y'( ) ( ( ))'

( ) ( )

( )

'( ) ( )

'( )cos

cos sin

33

3 2$= =

= =

=

=

==

-

y x x x x x3 ( ( )) 3 ( ) ( ( )) 3 ( ) ( )sin cos sin sin cos2 2 2$ $ $ $ $ $= == - - - .


201

PŘÍKLAD 7.50

Vypočteme derivaci funkce f (x) = cos(x3).

Řešení


f x x y g x xh y y

g x xh y y y x x x'( ) ( ( ))'

( )

( ) ( )

'( ) 3

'( ) ( )( ) 3 3 ( )cos

cos sinsin sin3

3 22 2 3$

$ $ $ $= == =

=

=

== =

-- - .

PŘÍKLAD 7.51

Určíme derivaci funkce f (x) = e–x.

Řešení

Tuto derivaci jsme již počítali v příkladu 7.43. Teď pro změnu použijeme větu o derivaci složené funkce, tj.:

f xy g x x

h yg xh y e e e'( ) ( )'

( )

( )

'( )

'( )( 1)

1e e y

y xxy $= =

= =

=

=

== =

- -- -- - .

PŘÍKLAD 7.52

Vypočteme derivaci funkce f (x) = ex4

4

- .

Řešení


'f x y g xh y e

g x xh y e e x x'( )

( )

( )

'( )

'( )( )e ey y

yx4

33 3x x

4

4

4

4 4

$ $= == =

=

=

== =

- -- -- -` j .

PŘÍKLAD 7.53

Vypočteme derivaci funkce f (x) = x 12+ .

Řešení

Opět použijeme větu o derivace složené funkce, tzn.:

'f x xy g x x

h y yg x x

h y yx

xx'( )

( )

( )

'( )

'( )21

1 2

2

1

1y

2

2

2

1 2$$= + =

= = +

=

=

== =

+$

` j .


202

DŮSLEDEK

(věty o derivaci složené funkce)

a) Jestliže f (x) je funkce, a a b jsou reálná čísla, potom ( f (ax + b))' = a . f '(ax + b), pokud existuje pravá strana.

b) Jestliže f (x) je funkce taková, že f (x) > 0, potom (ln( f (x)))' = f xx( )

'( )f, pokud existuje pravá

strana.

PŘÍKLAD 7.54

Vypočteme derivaci funkce f (x) = e7x – 2.

Řešení

Použijeme předcházející důsledek a) a dostáváme:

f '(x) = (e7x – 2)' = 7 . e7x – 2 .

PŘÍKLAD 7.55

Vypočteme derivaci funkce f (x) = sin(3x).

Řešení


f '(x) = (sin(3x))' = 3 . cos(3x) .

PŘÍKLAD 7.56

Vypočteme derivaci funkce f (x) = sin(1 + 5x).

Řešení


f '(x) = (sin(1 + 5x))' = 5 . cos(1 + 5x) .

PŘÍKLAD 7.57

Vypočteme derivaci funkce f (x) = cos(3 – 4x).

Řešení


f '(x) = (cos(3 – 4x))' = 4 . sin(3 – 4x) .


203

PŘÍKLAD 7.58

Vypočteme derivaci funkce f (x) = ln(3x).

Řešení

Použijeme předcházející důsledek b) a dostáváme:

f x xx

x x'( ) ( (3 ))'( )'

ln33

33 1x= = = = .

PŘÍKLAD 7.59

Vypočteme derivaci funkce f (x) = ln(x2 + 4).

Řešení


f x xxx

xx'( ) ( ( ))'

4

( 4)'

4ln 4 22

2

2

2= =+

+=

++ .

PŘÍKLAD 7.60

Vypočteme derivaci funkce f (x) = ln(sin(x)).

Řešení


f x x xx

xx x'( ) ( ( ( )))'

( )( ( ))'

( )( )

( )ln sinsinsin

sincos

cotg= = = = .

PŘÍKLAD 7.61

Vypočteme derivaci funkce f (x) = lnxx

11

+-

c m.

Řešení


'

'

f x xx

xxxx

xx

xx x

x xx

x x x'( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

ln11

11

11

111

1 1 1 1

1 1

2 11 12

12

2

2 2

$ $

$

$$

=+

=

+

=

+

+

+

=+

+=

+=-

-

+-

-

- -

- - -df

d

np

n

.

VĚTA

(o vztahu mezi derivací a spojitostí funkce)

Jestliže f (x) je funkce taková, že existuje f '(c ) , potom funkce f (x) je spojitá v bodě c.

Předcházející věta má tvar implikace, nikoli ekvivalence, tzn. existují funkce f (x) takové, že f (x) je spojitá v bodě c a neexistuje f '(c ). Např. f (x) = x23 je spojitá v bodě 0 (jde o elementární funkci defi novanou v tomto bodě), ale f ‘(0) neexistuje.


204

7.3Užití derivace funkceNa začátku této kapitoly jsme uvedli, že z geometrického hlediska představuje derivace funkce jedné proměnné v bodě směrnici tečny ke grafu této funkce, proto derivaci lze použít k určení rovnice tečny ke grafu funkce.

VĚTA

(o tečně ke grafu funkce)

Jestliže f (x) je funkce taková, že existuje f '(c ), potom rovnice tečny ke grafu funkce f (x) v bodě [c, f (c )] má tvar y – f (c ) = f '(c ) . (x – c ).

PŘÍKLAD 7.62

Určíme rovnici tečny ke grafu funkce f (x) = x2 . ln x v bodě [1, f (1)].

Řešení

Rovnice tečny v bodě [1, f (1)] má tvar y – f (1) = f '(1) . (x – 1).

Jestliže f (x) = x2 . ln x, potom f (1) = 12 . ln10S

= 0.

Určitě f '(x) = 2x . ln x + x2 x1 = x + 2x . ln x, tj. f '(1) = 1 + 2 . 1 . ln 1 = 1.

Rovnice tečny je y – 0 = 1 . (x – 1), tedy x – y = 1.

PŘÍKLAD 7.63

Určíme rovnici tečny ke grafu funkce f (x) = 3x2 – 2x3 v bodě [1, f (1)].

Řešení

Rovnice tečny v bodě [1, f (1)] má tvar y – f (1) = f '(1) . (x – 1).

Protože f (x) = 3x2 – 2x3, je f (1) = 3 . 12 – 2 . 13 = 1.

Zcela jistě f '(x) = 6x – 6x2, proto f '(1) = 6 . 1 – 6 . 12 = 0.

Rovnice tečny je y – 1 = 0 . (x – 1), tedy y = 1.


205

PŘÍKLAD 7.64

Určíme rovnici tečny ke grafu funkce f (x) = xx

11

+- v bodě [–3, f (–3)].

Řešení

Rovnice tečny v bodě [–3, f (–3)] má tvar y – f (–3) = f '(–3) . (x + 3).

Jestliže f (x) = xx

11

+- , potom f (–3) =

3 13 1+-

- - = 24

-- = 2.

Určitě f '(x) = x x( 1)

1 ( 1)

x 2+

+ - - = x( )12

2+

, tudíž f '(–3) = ( 3 1)

22

+- =

42 =

21 .

Proto dostáváme y – 2 = 21 (x + 3), tj. rovnice tečny má tvar x – 2y = –7.

Jak jsme uvedli v předcházející kapitole, lze použít derivaci funkce pro výpočet limit funkcí.

VĚTA

(l’Hospitalovo pravidlo)

Jestliže f (x) a g(x) jsou funkce, pro které je buď mliax"

f (x) = mliax"g(x) = 0, nebo mli

ax"| f (x)| = mli

ax"| g(x)| = ,

jestliže existuje lim g xf x'( )

'( )

ax", potom také existuje lim g x

f x( )

( )

ax" a platí lim limg x

f xg xf x

( )

( )

'( )

'( )

a ax x=

" "

.

Tato věta platí pro a R* i pro jednostranné limity a výsledek limity může být jakýkoli prvek množiny R*. První předpoklad l’Hospitalova pravidla uvádí, že tuto větu lze použít pouze

pro neurčité limitní typy 00 nebo

!!33 .

PŘÍKLAD 7.65

Vypočteme lim xx( )sin

0x".

Řešení

Dosadíme-li za x reálné číslo 0, dostáváme neurčitý limitní typ 00 , proto můžeme použít

l’Hospitalovo pravidlo, tj.:

lim sin lim sin lim 1cos lim cos cos 0x

xx

x x x( )( )'

( ( ))' ( )( ) ( ) 1

0 0 0 0x x x x

0

0

= = = = =" " " "

? .


206

PŘÍKLAD 7.66

Vypočteme lim lnx

xx 2"3

.

Řešení

V tomto příkladu jde o neurčitý limitní typ 33 , proto lze použít l’Hospitalovo pravidlo, tj.:

lim ln lim limx

x xx

0

1

21

21 1

x x x2 2 2$ $3 3= = = = =

" " "3 3 3

33

x2?

.

PŘÍKLAD 7.67

Vypočteme limx

e1x

x

3+"3

.

Řešení

V tomto příkladu jde o neurčitý limitní typ 33 , proto použijeme l’Hospitalovo pravidlo, ale

budeme je aplikovat několikrát za sebou, tj.:

lim lim lim limx

ex

e e e1 3x

x

x

x

x

x

x

x

3 2$3 3

+= = = = =

" " " "3 3 3 3

33

33

33

x6 6 6$

? ? ? .

PŘÍKLAD 7.68

Vypočteme lim sin xe( )2

1x

x

0

5-

"

.

Řešení

V tomto příkladu jde o neurčitý limitní typ 00 , proto použijeme l’Hospitalovo pravidlo,

tudíž:

lim sin lim cos cosxe

xe e

( ) ( ) (0)21

2 25

25

25

x

x

x

x 0

0

5

0

50

0

$$

$$= = =-

" "

? .

Pro použití l’Hospitalova pravidla lze upravit i jiné neurčité limitní typy. Uvedeme pouze převod neurčitého limitního typu 0 . (±). Aplikaci takového převodu uvedeme na příkladech.


207

PŘÍKLAD 7.69

Vypočteme lim lnx xx 0

$"

+

.

Řešení

V tomto případě jde o neurčitý limitní typ 0 . (–). Máme dvě možnosti pro úpravu na ne-

určité limitní typy, ve kterých lze použít l’Hospitalovo pravidlo. Tzn. lnln

x x

x

xln x

x

1

1

$ =

Z

[

\

]]

]]

.

V prvním případě jde o neurčitý limitní typ 00 , ale museli bychom derivovat funkci x

1ln ,

v druhém případě jde o neurčitý limitní typ 33- a funkce x

1 se derivuje výrazně snadněji

než x1

ln , proto použijeme druhou možnost, tzn.:

lim ln lim ln lim lim limx x

x

x

x

xxx x( ) 0

1 1

1

x x x x x

( )

0

0

0 0

2

0

2

0$ = = = = =

-

- -" " " " "

$ 3- 33

+ + + + +

-

? ? .

PŘÍKLAD 7.70

Vypočteme lim lnx xx 0

9 $"

+

.

Řešení

I v tomto případě jde o neurčitý limitní typ 0 . (–). Postupujeme analogicky:

lim ln lim ln lim lim limx x

x

x

x

xx

x x 01 9

1

9 9x x x x x

( )

0

9

0

0

9

0

10

0

10

0

9

$$

= = = = =-

- -" " " " "

$ 3- 33

+ + + + +

-

? ? .


208

7.4Druhá derivace funkceDerivace funkce f (x) je sama o sobě také funkcí a můžeme určit její derivaci.

DEFINICE

Druhá derivace funkce

Jestliže f (x) je funkce, potom druhá derivace funkce f (x) v bodě x je f ''(x) = ( f '(x))'.

Abychom odlišili více derivaci funkce a druhou derivaci funkce, zpravidla nazýváme funkci f '(x) první derivací funkce f (x).

PŘÍKLAD 7.71

Vypočteme druhou derivaci funkce f (x) = xx

53

+- .

Řešení

Pro výpočet druhé derivace je nutné určit první derivaci, tj.:

'f x xx

xx x x x

xx x

x'( )

( )

( )' ( ) ( ) ( )'

( )

1 ( ) ( )

( )53

5

3 5 3 5

5

5 3 1

58

2 2 2

$ $ $=

+=

+

+ +=

+

+=

+- - - - - -

d n .

Druhá derivace funkce je derivace první derivace funkce, proto:

'f xx

x x xx

x x''( )

( ) ( )

( )' ( ) ( )'

( )

0 ( ) 8 ( )

x58

5

8 5 8 10 25

5

5 2 102 2 2

2 2

4

2$ $ $ $=

+=

+

+ + +=

+

+ +=

- -d

_n

i

xx

x( )

( )

( )5

16 5

516

4 3

$=

+

+=

+

- - .

PŘÍKLAD 7.72

Spočteme druhou derivaci funkce f (x) = x3 – 2x2 + 3x – 1.

Řešení

Poněkud rychleji určíme druhou derivaci, tzn.:

f ''(x) = ((x3 – 2x2 + 3x – 1)')' = (3x2 – 4x + 3)' = 6x – 4 .


209

PŘÍKLAD 7.73

Spočteme druhou derivaci funkce f (x) = x23 .

Řešení

Podobně jako v předcházejícím příkladu:

f x x x x xx x x''( ) 3

232

31

9

2

9

2'' ' ' ' ' '23 23

43 33

23

1

3

4

$ $$ $ $

= = = = = = =-- -x - -` `b `b b bj jl jl l l .

Podobně jako druhou derivaci bychom mohli defi novat třetí, čtvrtou, … derivaci, ale deri-vace vyšších řádů než druhého nebudeme při našich úvahách potřebovat, proto není nutné je zavádět.

7.5Význam první a druhé derivace pro průběh funkcePrvní a druhá derivace slouží ke zkoumání chování funkce. Nejprve uvedeme tvrzení o vý-znamu první derivace pro průběh funkce.

VĚTA

(o významu první derivace pro průběh funkce)

Jestliže f (x) je elementární funkce, interval I D( f ) a

a) ve všech vnitřních bodech intervalu I je první derivace funkce f (x) kladná, potom je funkce f (x) v intervalu I rostoucí,

b) ve všech vnitřních bodech intervalu I je první derivace funkce f (x) záporná, potom je funkce f (x) v intervalu I klesající,

c) ve všech vnitřních bodech intervalu I je první derivace funkce f (x) nulová, potom je funkce f (x) v intervalu I konstantní.


210

PŘÍKLAD 7.74

Určíme maximální intervaly monotónie pro funkci f (x) = xx

32

+- .

Řešení

Nejprve určíme defi niční obor funkce f (x), určitě musí být x + 3 0, tj. x –3; tudíž D( f ) = (–, –3) (–3, ).

Pro stanovení maximálních intervalů monotónie určíme první derivaci funkce f (x), tj.:

'f x xx

xx x

x'( )

( )

1 ( ) ( )

( )32

3

3 2 1

35

2 2

$ $=

+=

+

+=

+- - -

d n .

Derivace je kladná jak v intervalu (–, –3), tak i v intervalu (–3, ), tudíž funkce f (x) = xx

32

+-

je rostoucí jak v intervalu (–, –3), tak i v intervalu (–3, ).

PŘÍKLAD 7.75

Určíme maximální intervaly monotónie pro funkci f (x) = x3 – 3x + 2.

Řešení

Nejprve určíme defi niční obor, u této funkce nejsou žádné omezující podmínky pro defi niční obor; proto D( f ) = (–, ).


f '(x) = (x3 – 3x + 1)' = 3x2 – 3 .

Nejprve určíme nulové body první derivace funkce, tj. řešíme rovnici f '(x) = 0, tzn.:

3x2 – 3 = 0 ,

x2 = 1 ,

x = ±1 .

Tyto nulové body dělí D( f ) na tři intervaly (–, 1), (–, 1) a (, ). V každém z těchto in-tervalů je první derivace funkce f stále kladná nebo stále záporná, proto stačí vybrat jeden bod z příslušného intervalu a podle znamení hodnoty první derivace v tomto bodě určíme znamení první derivace v celém intervalu.

V intervalu (–, –) vezmeme reálné číslo (–), dostáváme f '(–2) = (–2)2 – 3 = 9 > 0, proto f '(x) je kladná v intervalu (–, –). Z toho vyplývá: funkce f je rostoucí v intervalu (–, –.

V intervalu (–, 1) vezmeme reálné číslo 0, dostáváme f '(0) = 3 . 02 – 3 = –3 < 0, proto f '(x) je záporná v intervalu (–, 1). Z toho vyplývá: funkce f je klesající v intervalu –, 1.

V intervalu (, ) vezmeme reálné číslo 2, dostáváme f '(2) = 3 . 22 – 3 = 9 > 0, proto f '(x) je kladná v intervalu (, ). Z toho vyplývá: funkce f je rostoucí v intervalu , ).

Jak jsme již uvedli, pro ekonomické aplikace jsou důležité extrémy funkce, tj. body, ve kterých funkce nabývá maximální nebo minimální funkční hodnoty.


211

DEFINICE

Lokální extrém funkce

Jestliže f (x) je elementární funkce a c D( f ), potom:

a) funkce f (x) nabývá v bodě c lokální minimum (příp. lokální maximum), existuje otevřený interval (a, b) takový, že c (a, b) D( f ) a funkce f (x) nabývá v bodě c minimum (příp. maximum) vzhledem k intervalu (a, b),

b) funkce f (x) nabývá v bodě c lokální extrém, jestliže v bodě c nabývá lokální mi-nimum nebo lokální maximum.

VĚTA

(nutná a postačující podmínka pro lokální extrém)

Jestliže f (x) je elementární funkce, interval (a, b) D( f ) a bod c (a, b), potom:

a) funkce f (x) nabývá v bodě c lokální maximum právě tehdy, jestliže je funkce f (x) rostoucí v intervalu (a, c a klesající v intervalu c, b),

b) funkce f (x) nabývá v bodě c lokální minimum právě tehdy, jestliže je funkce f (x) klesající v intervalu (a, c a rostoucí v intervalu c, b).

Funkce na obr. 7.9 nabývá v bodech x2 a x5 lokální maximum a v bodě x3 lokální minimum, tj. funkce nabývá v bodech x2, x3 a x5 lokální extrémy.

PŘÍKLAD 7.76

Určíme maximální intervaly monotónie a lokální extrémy pro funkci f (x) = x3 – 3x.

Řešení



f '(x) = (x3 – 3x)' = 3x2 – 3 .

První derivace existuje v celém defi ničním oboru funkce f (x). Nejprve určíme nulové body první derivace funkce f (x), tj. řešíme rovnici f '(x) = 0, tzn. 3x2 – 3 = 0 x2 = 1 x = ±1. Nulové body (–) a 1 dělí D( f ) na tři intervaly (–, –), (–, ) a (, ). V každém z těchto intervalů je první derivace funkce f (x) stále kladná nebo stále záporná, proto stačí vybrat jeden bod z příslušného intervalu a podle znamení hodnoty první derivace v tomto bodě určíme znamení první derivace v celém intervalu.

V intervalu (–, –) vezmeme reálné číslo (–), dostáváme f '(–2) = 3 . (–2)2 – 3 = 9 > 0, pro-to f '(x) je kladná v intervalu (–, –). Z toho vyplývá, že funkce f (x) je rostoucí v intervalu (–, –.

V intervalu (–, ) vybereme reálné číslo 0, potom f '(0) = 3 . 02 – 3 = –3 < 0, proto f '(x) je záporná v intervalu (–, ). Dostáváme, že funkce f (x) je klesající v intervalu –, .

V intervalu (, ) použijeme reálné číslo 2, určitě platí f '(2) = 3 . 22 – 3 = 9 > 0, proto f '(x) je kladná v intervalu (, ). Tedy funkce f (x) je rostoucí v intervalu , ).

Na obr. 7.3 (a) je graf první derivace funkce f (x) a na obr. 7.3 (b) jsou grafy funkce f (x) a její derivace f '(x) s vyznačením nulových bodů první derivace. Souvislost je zřejmá.


212

OBRÁZEK 7.3

V bodě (–) přechází funkce rostoucí ve funkci klesající, tudíž funkce f (x) nabývá v bodě 0 lokální maximum, v bodě 1 přechází funkce klesající ve funkci rostoucí, proto funkce f (x) nabývá v bodě 1 lokální minimum. Na obr. 7.4 (a) je pro ilustraci graf funkce f (x).

OBRÁZEK 7.4

PŘÍKLAD 7.76

Určíme maximální intervaly monotonie a lokální extrémy pro funkci f (x) = x4 – 8x2 + 1.

Řešení


Pro stanovení maximálních intervalů monotonie určíme první derivaci funkce f (x), tj.:

f '(x) = (x4 – 8x2 + 1)' = 4x3 – 16x .

První derivace existuje v celém defi ničním oboru funkce f (x).

Graf f '(x) = 3x2 – 3(a)

–2 2

2

1

–1

–2

–1 1

–3

3

(b) Grafy f (x) a f '(x)

–2 2

2

1

–1

–2

–1

–3

3

1

Graf funkce f (x) = x3 – 3x

(a) (b) Graf funkce f (x) = x4 – 8x2 + 1

–3 3

5

–5

–10

–2

–15

10

–2 2

2

1

–1

–2

–1

–3

3

1–1 21


213

Nejprve určíme nulové body první derivace funkce f (x), tj. řešíme rovnici f '(x) = 0, tzn.:

4x3 – 16x = 0 ,

4x(x2 – 4) = 0 ,

x = 0 a x2 = 4,

tj. nulové body jsou x = 0 a x = ±2.

Tyto nulové body dělí D( f ) na čtyři intervaly (–, –), (–, ), (0, ) a (2, ). V každém z těchto intervalů je první derivace funkce f (x) stále kladná nebo stále záporná, proto stačí vybrat jeden bod z příslušného intervalu a podle znamení hodnoty první derivace v tomto bodě určíme znamení první derivace v celém intervalu.

V intervalu (–, –) vezmeme reálné číslo (–), dostáváme f '(–3) = 4 . (–3)3 – 16 . (–3) = –60 < 0, proto f '(x) je záporná v intervalu (–, –). Z toho vyplývá, že funkce f (x) je klesající v intervalu (–, –.

V intervalu (–, ) vezmeme reálné číslo (–), dostáváme f '(–1) = 4 . (–1)3 – 16 . (–1) = 12 > 0, proto f '(x) je kladná v intervalu (–, ). Z toho vyplývá: funkce f (x) je rostoucí v intervalu –, .

V intervalu (0, ) vezmeme reálné číslo 1, dostáváme f '(1) = 4 . 13 – 16 . 1 = –12 < 0, proto f '(x) je záporná v intervalu (0, ). Z toho vyplývá: funkce f (x) je klesající v intervalu 0, .

V intervalu (2, ) vezmeme reálné číslo 3, dostáváme f '(3) = 4 . 33 – 16 . 3 = 60 > 0, proto f '(x) je kladná v intervalu (2, ). Z toho vyplývá: funkce f (x) je rostoucí v intervalu 2, ).

V bodech (–) a 2 přechází funkce klesající ve funkci rostoucí, proto v těchto bodech funkce f (x) v bodech (–) a 2 nabývá lokální minima; v bodě 0 přechází funkce rostoucí ve funkci klesající, tudíž funkce f (x) nabývá v bodě 0 lokální maximum.

Na obr. 7.4 (b) je pro ilustraci graf funkce f (x).

PŘÍKLAD 7.78

Určíme opět maximální intervaly monotónie a lokální extrémy pro funkci f (x) = (1 – x) . ex.

Řešení

Nejprve určíme defi niční obor, zde není žádné omezení, tudíž D( f ) = (–, ).

Použijeme tvrzení o významu první derivace, proto spočteme první derivaci funkce f , tj.:

f '(x) = ((1 – x) . ex)' = (1 – x)' . ex + (1 – x) . (ex)' = –1 . ex + (1 – x) . ex =

= (–1 + 1 – x) . ex = –x . ex .

První derivace funkce f existuje v celém defi ničním oboru. Určíme nulové body první deri-vace, tj. řešíme rovnici f '(x) = 0. Platí: –x . ex = 0 –x = 0 x = 0 (z vlastností základní exponenciální funkce víme, že ex je vždy kladné, proto je také nenulové). Bod 0 dělí D( f ) na dva intervaly (–, ) a (0, ). V každém z těchto intervalů je první derivace funkce f stále kladná nebo stále záporná, tedy v každém intervalu vybereme jeden bod a zjistíme znamení první derivace, potom první derivace v celém intervalu má stejné znamení.

V intervalu (–, ) vybereme bod (–), platí f '(–1) = –(–1) . e–1 = e–1 > 0, první derivace funkce f je kladná v intervalu (–, ), tedy funkce f je rostoucí v intervalu (–, .

V intervalu (0, ) vybereme bod 1, platí f '(1) = –1 . e1 = –e < 0, první derivace funkce f je záporná v intervalu (0, ), tudíž funkce f je klesající v intervalu 0, ).

V bodě 0 je funkce f defi nována a přechází v něm rostoucí funkce v klesající, proto funkce f nabývá v bodě 0 lokální maximum.


214

PŘÍKLAD 7.79

Určíme maximální intervaly monotónie a lokální extrémy pro funkci f (x) = x . x35 .

Řešení


Použijeme tvrzení o významu první derivace, proto spočteme první derivaci funkce f , tj.:

'' 'f x x x x x x'( )58

5835 85

355

8

5

3

$ $= = = = =x $` ` `j j j .

První derivace funkce f existuje v celém defi ničním oboru funkce f . Určíme nulové body první

derivace, tj. řešíme rovnici f '(x) = 0. Platí: x x x0 05

8 035

35+ +

$ = = = . Bod 0 dělí D( f )

na dva intervaly (–, ) a (0, ). V každém z těchto intervalů je první derivace funkce f stále kladná nebo stále záporná, tedy v každém intervalu vybereme jeden bod a zjistíme znamení první derivace, potom první derivace v celém intervalu má stejné znamení.

V intervalu (–, ) vybereme bod (–1), platí f '( 1) ( ) 8 ( 1)5

8 15

035$ $

1= =- - - , první derivace

funkce f je záporná v intervalu (–, ), tedy funkce f je klesající v intervalu (–, .

V intervalu (0, ) vybereme bod 1, platí f '(1) 05

8 158 135$ $ 2= = , první derivace funkce f je

kladná v intervalu (0, ), tudíž funkce f je rostoucí v intervalu 0, ).

V bodě 0 je funkce f defi nována a přechází v něm klesající funkce v rostoucí, proto funkce f nabývá v bodě 0 lokální minimum.

Na obr. 7.5 (a) je pro ilustraci uvádíme graf funkce f .

OBRÁZEK 7.5

Graf funkce f (x) = x . x35(a)

–1 –0,5 0,5 1

0,4

0,2

0,6

0,8

1

(b) Graf funkce f (x) = x25

–1 –0,5 0,5 1

0,2

0,6

0,8

1


215

PŘÍKLAD 7.80

Určíme maximální intervaly monotónie a lokální extrémy pro funkci f (x) = x25 .

Řešení

Nejprve určíme defi niční obor, u této funkce nejsou žádné omezující podmínky pro defi niční obor; proto D( f ) = (–, ). Použijeme tvrzení o významu první derivace, proto spočteme první derivaci funkce f , tj.:

''f x x x xx

'( )52

5

225

355

2

5

3

$$

= = = =-` `j j .

První derivace neexistuje v bodě 0, první derivace nemá nulové body (proměnná není v čitateli zlomku). Bod 0 dělí D( f ) na dva intervaly (–0) a (0, ). V každém z těchto intervalů je první derivace funkce f stále kladná nebo stále záporná, tedy v každém intervalu vybereme jeden bod a zjistíme znamení první derivace, potom první derivace v celém intervalu má stejné znamení.

V intervalu (–0) vybereme bod (–1), platí f '( 1)5 ( ) 5 ( 1)

01

2 235$ $

1= =-- -

, první derivace

funkce f je záporná v intervalu (–0), tedy funkce f je klesající v intervalu (–0.

V intervalu (0, ) vybereme bod 1, platí f '(1)5 5 1

01

2 235$ $

2= = , první derivace funkce f je

kladná v intervalu (0, ), tudíž funkce f je rostoucí v intervalu 0, ).

V bodě 0 je funkce f defi nována a přechází v něm klesající funkce v rostoucí, proto funkce f nabývá v bodě 0 lokální minimum.

Na obr. 7.5 (b) uvádíme pro ilustraci graf funkce f .

PŘÍKLAD 7.81

Určíme maximální intervaly monotónie a lokální extrémy pro funkci f (x) = 3x4 – 8x3 – 48x2.

Řešení



f '(x) = (3x4 – 8x3 – 48x2)' = 3 . 4x3 – 8 . 3x2 – 48 . 2x = 12x3 – 24x2 – 96x = 12x . (x2 – 2x – 8) .

První derivace funkce f (x) existuje v celém defi ničním oboru funkce f (x). Nejprve určíme nulové body první derivace funkce, tj. řešíme rovnici f '(x) = 0, tzn.:

12x . (x2 – 2x – 8) = 0 ,

12x . (x – 4) . (x + 2) = 0 ,

tj. nulové body jsou x = 0, x = –2 a x = 4.

Tyto nulové body dělí D( f ) na čtyři intervaly (–, –), (–, ), (0, ) a (4, ). V každém z těchto intervalů je první derivace funkce f stále kladná nebo stále záporná, proto stačí vybrat jeden bod z příslušného intervalu a podle znamení hodnoty první derivace v tomto bodě určíme znamení první derivace v celém intervalu.


216

V intervalu (–, –) vezmeme reálné číslo (–), dostáváme:

f '(–3) = 12 . (–3)(–3 – 4)(–3 + 2) = 12 . (–3) . (–7) . (–1) < 0 ,

proto f ‘(x) je záporná v intervalu (–, –). Z toho vyplývá: funkce f je klesající v intervalu (–, –.

V intervalu (–, ) vezmeme reálné číslo (–), dostáváme:

f '(–1) = 12 . (–1) . (–1 – 4) . (–1 + 2) = 12 . (–1) . (–5) . 1 > 0 ,

proto f '(x) je kladná v intervalu(–, ). Z toho vyplývá: funkce f je rostoucí v intervalu –2, .

V intervalu (0, ) vezmeme reálné číslo 1, dostáváme:

f '(1) = 12 . 1 . (1 – 4) . (1 + 2) = 12 . 1 . (–3) . 3 < 0 ,

proto f '(x) je záporná v intervalu (0, ). Z toho vyplývá: funkce f je klesající v intervalu 0, .

V intervalu (4, ) vezmeme reálné číslo 5, dostáváme:

f '(5) = 12 . 5 . (5 – 4) . (5 + 2) = 12 . 5 . 1 . 7 > 0 ,

proto f '(x) je kladná v intervalu (4, ). Z toho vyplývá: funkce f je rostoucí v intervalu 4, ).

V bodech (–) a 4 přechází funkce klesající ve funkci rostoucí, proto v těchto bodech funkce f (x) v bodech (–) a 4 nabývá lokální minimum; v bodě 0 přechází funkce rostoucí ve funkci klesající, tudíž funkce f (x) nabývá v bodě 0 lokální maximum.

Další důležitou charakterizací funkcí jedné proměnné je konvexnost a konkávnost funkce.

DEFINICE

Konvexní a konkávní funkce

Jestliže f (x) je elementární funkce, interval I D( f ), potom:

a) funkce f (x) je konvexní v intervalu I, jestliže platí: sestrojíme-li v každém vnitřním bodě intervalu I tečnu ke grafu funkce f (x), potom graf funkce f (x) leží nad touto tečnou (na obr. 7.6 (a) je graf funkce konvexní v intervalu 0, ),

b) funkce f (x) je konkávní v intervalu I, jestliže platí: sestrojíme-li v každém vnitřním bodě intervalu I tečnu ke grafu funkce f (x), potom graf funkce f (x) leží pod touto tečnou (na obr. 7.6 (b) je graf funkce konkávní v intervalu 0, ).


217

OBRÁZEK 7.6

Konvexnost a konkávnost je označení pro změny rychlosti růstu funkce, tzn. zakřivení jejího grafu:

je-li funkce v intervalu současně rostoucí a konvexní, potom se její růst v intervalu zvětšuje (na obr. 7.7 (a) je graf funkce rostoucí a konvexní v intervalu (–, )),

je-li funkce v intervalu současně rostoucí a konkávní, potom se její růst v intervalu zmenšuje (na obr. 7.7 (b) je graf funkce rostoucí a konkávní v intervalu (0, )),

OBRÁZEK 7.7

je-li funkce v intervalu současně klesající a konkávní, potom se její pokles v intervalu zvětšuje (na obr. 7.8 (b) je graf funkce klesající a konkávní v intervalu (–, )),

je-li funkce v intervalu současně klesající a konvexní, potom se její pokles v intervalu zmenšuje (na obr. 7.8 (a) je graf funkce klesající a konvexní v intervalu 0, )).

Graf funkce konvexní v intervalu 0, 2

(a)

–0,4

2–0,2

0,2

0,4

0,6

0,5 1 1,5

(b) Graf funkce konkávní v intervalu 0, 2

–0,4

2–0,2

0,2

0,4

0,6

0,5 1 1,5

–2 –1 1 2

7

4

2

Funkce rostoucí a konvexní v (–, )

(a)

3

1

5

6

(b) Funkce rostoucí a konkávní v (0, )

1 2 3

1

0,5

–0,5

–1

0,5 2,51,5


218

OBRÁZEK 7.8

Tj. pokud funkce na některém intervalu svůj růst zrychluje (případně zpomaluje svůj pokles), tzn. graf je zakřivený směrem nahoru, označuje se zde funkce jako konvexní, naopak, pokud je graf zakřiven směrem dolů (a funkce zpomaluje růst nebo zvyšuje pokles), je zde funkce konkávní.

Abychom určili maximální intervaly konvexnosti a konkávnosti funkce, používáme druhou derivaci funkce analogicky jako první derivaci funkce při stanovení maximálních intervalů monotónie funkce. Platí tvrzení o významu druhé derivace pro průběh funkce.

VĚTA

(o významu druhé derivace pro průběh funkce)

Jestliže f (x) je elementární funkce, interval I D( f ) a

a) ve všech vnitřních bodech intervalu I je druhá derivace funkce f (x) kladná, potom je funkce f (x) v intervalu I konvexní,

b) ve všech vnitřních bodech intervalu I je druhá derivace funkce f (x) záporná, potom je funkce f (x) v intervalu I konkávní,

c) ve všech vnitřních bodech intervalu I je druhá derivace funkce f (x) nulová, potom je funkce f (x) v intervalu I buď konstantní, nebo polynom prvního stupně.

OBRÁZEK 7.9

1 2

–2

–1

–0,543

–1,5

–4

–2

–121

–3

–3–4–5

Funkce klesající a konvexní v 0, )

(a) (b) Funkce klesající a konkávní v (–, )

y

xx3 x4 x5 Bx2x1A


219

PŘÍKLAD 7.82

Určíme maximální intervaly konvexnosti a konkávnosti pro funkci f (x) = x4 – 6x2.

Řešení


Použijeme tvrzení o významu druhé derivace, proto nejprve spočteme druhou derivaci funkce f (x), tj.:

f ''(x) = (x4 – 6x2)'' = ((x4 – 6x2)')' = (4x3 – 12x)' = 12x2 – 12 .

Druhá derivace funkce f (x) existuje v celém defi ničním oboru. Nejprve určíme nulové body druhé derivace funkce f (x), tj. řešíme rovnici f ''(x) = 0, tzn.:

12x2 – 12 = 0 ,

x2 = 1 ,

tj. nulové body jsou x = ±1.

Tyto nulové body dělí D( f ) na tři intervaly (–, –), (–1, 1) a (1, ). V každém z těchto in-tervalů je druhá derivace funkce f (x) stále kladná nebo stále záporná, proto stačí vybrat jeden bod z příslušného intervalu a podle znamení hodnoty druhé derivace v tomto bodě určíme znamení druhé derivace v celém intervalu.

V intervalu (–, –) vezmeme reálné číslo (–2), dostáváme f ''(–2) = 12(–2)2 – 12 = 36 > 0, proto f ''(x) je kladná v intervalu (–, –). Z toho vyplývá – funkce f (x) je konvexní v intervalu (–, –.

V intervalu (–1, 1) vezmeme reálné číslo 0, dostáváme f ''(0) = 12 . 02 – 12 = –12 < 0, proto f ''(x) je záporná v intervalu (–1, 1). Z toho vyplývá – funkce f (x) je konkávní v intervalu –1, 1.

V intervalu (1, ) vezmeme reálné číslo 2, dostáváme f ''(2) = 12 . 22 – 12 = 36 > 0, proto f ''(x) je kladná v intervalu (1, ). Z toho vyplývá – funkce f (x) je konvexní v intervalu 1, ).

Přechod mezi konvexní a konkávní částí grafu se označuje jako infl exní bod. V infl exním bodě se mění zakřivení grafu funkce a tečna ke grafu funkce v tomto bodě graf protíná. Na obr. 7.9 je funkce konkávní např. v intervalu x1, x2, infl exním bodem je např. x4.

Uveďme přesněji pojem infl exní bod.

DEFINICE

Infl exní bod funkce

Jestliže f (x) je elementární funkce, interval (a, b) D( f ) a bod c (a, b), potom:

c je bod infl exe (nebo infl exní bod) funkce f (x), jestliže existuje f '(c), buď funkce f (x) je konvexní v intervalu (a, c a konkávní v intervalu c, b), nebo funkce f (x) je konkávní v intervalu (a, c a konvexní v intervalu c, b).


220

PŘÍKLAD 7.83

Určíme maximální intervaly konvexnosti a konkávnosti i body infl exe pro funkci f (x) = x3 – 3x2.

Řešení


Použijeme tvrzení o významu druhé derivace, proto nejprve spočteme druhou derivaci funkce f (x), tj.:

f ''(x) = (x3 – 3x2)'' = ((x3 – 3x2)')' = (3x3 – 6x)' = 6x – 6.

Nejprve určíme nulové body druhé derivace funkce, tj. řešíme rovnici f ''(x) = 0, tzn.:

6x – 6 = 0 , tj. x = 1 .

Nulový bod dělí D( f ) na dva intervaly (–, 1) a (1, ). V každém z těchto intervalů je druhá derivace funkce f (x) stále kladná nebo stále záporná, proto stačí vybrat jeden bod z příslušné-ho intervalu a podle znamení hodnoty druhé derivace v tomto bodě určíme znamení druhé derivace v celém intervalu.

V intervalu (–, 1) vezmeme reálné číslo 0, dostáváme f ''(0) = 6 . 0 – 6 = –6 < 0, proto f ''(x) je záporná v intervalu (–, 1). Z toho vyplývá – funkce f (x) je konkávní v intervalu (–, 1.

V intervalu (1, ) vezmeme reálné číslo 2, dostáváme f ''(2) = 6 . 2 – 6 = 6 > 0, proto f ''(x) je kladná v intervalu (1, ). Z toho vyplývá – funkce f (x) je konvexní v intervalu 1, ).

V bodě 1 je funkce f (x) defi nována, existuje v něm první derivace, přechází zde konkávní funkce ve funkci konvexní, tudíž 1 je bod infl exe funkce f (x).

PŘÍKLAD 7.84

Určíme maximální intervaly konvexnosti a konkávnosti i body infl exe pro funkci f (x) = x2 . x23 .

Řešení


Použijeme tvrzení o významu druhé derivace. Nejprve spočteme první derivaci funkce f (x), tj.:

'' 'f x x x x x x'( )38

382 23 83

533

8

3

5 $= = = = =x $` ` `j j j .

První derivace funkce f (x) existuje v celém defi ničním oboru této funkce. Dále určíme druhou

derivaci funkce f (x), tj. ' 'f x x x x x''( )38

38

38

35

940 23

3

5

3

5

3

2

$ $ $= = = =c `m j . Druhá derivace funkce

f (x) existuje v celém defi ničním oboru této funkce. Určíme nulové body druhé derivace, tj.

řešíme rovnici f ''(x) = 0. Platí: x x x0 09

40 023

23+ +

$ = = = . Bod 0 dělí D( f ) na dva intervaly

(–, 0) a (0, ). V každém z těchto intervalů je druhá derivace funkce f (x) stále kladná nebo stále záporná, tedy v každém intervalu vybereme jeden bod a zjistíme znamení druhé derivace, potom druhá derivace v celém intervalu má stejné znamení.


221

V intervalu (–, 0) vybereme bod (–1), platí f ''( 1) ( )9

40 19

40 1 023$ $ 2- = - = , druhá derivace

funkce f (x) je kladná v intervalu (–, 0), tedy funkce f (x) je konvexní v intervalu (–, 0.

V intervalu (0, ) vybereme bod 1, platí f ''(1) 1 09

409

40 123$ $ 2= = , druhá derivace funkce

f (x) je kladná v intervalu (0, ), tudíž funkce f (x) je konvexní v intervalu 0, ).

Body infl exe funkce f (x) nemá.

PŘÍKLAD 7.85

Určíme maximální intervaly konvexnosti a konkávnosti i body infl exe pro funkci f (x) = x27 .

Řešení


Spočteme první derivaci funkce f (x), tj.:

''f x x x xx

'( )72

7

227

577

2

7

5

$= = = =-` `j j .

První derivace funkce f (x) neexistuje v bodě 0.

Použijeme tvrzení o významu druhé derivace a vypočteme druhou derivaci funkce f (x), tj.:

' '''f x x x xx

''( )72

72

75

49

1027

1277

5

7

12

$$

= = = =- -- -` c cj m m .

Druhá derivace funkce f (x) neexistuje v bodě 0, druhá derivace nemá nulové body (proměnná není v čitateli zlomku). Bod 0 dělí D( f ) na dva intervaly (–, 0) a (0, ). V každém z těchto intervalů je druhá derivace funkce f (x) stále kladná nebo stále záporná, tedy v každém inter-valu vybereme jeden bod a zjistíme znamení druhá derivace, potom druhá derivace v celém intervalu má stejné znamení.

V intervalu (–, 0) vybereme bod (–1), platí f ''( 1)( 1)

049

1049 110

127$ $1- =

-=- - , druhá derivace

funkce f (x) je záporná v intervalu (–, 0), tedy funkce f (x) je konkávní v intervalu (–, 0.

V intervalu (0, ) vybereme bod 1, platí f ''(1)4 1 4 1

09

10910

127$ $1= =- - , druhá derivace funkce

f (x) je záporná v intervalu (0, ), tudíž funkce f (x) je konkávní v intervalu 0, ).


Vidíme, že hledání maximálních intervalů konvexnosti i konkávnosti a bodů infl exe je velice podobné vyšetření maximálních intervalů monotónie a lokálních extrémů, jen se mění pou-žití derivací, v prvním případu používáme druhou derivaci funkce, v druhém případu první derivaci funkce. Abychom mohli použít druhou derivaci, musíme vypočítat první derivaci. Z těchto důvodů budou další řešené příklady věnovány jak určení maximálních intervalů monotónie a lokálních extrémů funkce, tak i stanovení maximálních intervalů konvexnosti a konkávnosti i bodů infl exe funkce.


222

PŘÍKLAD 7.86

Určíme jak maximální intervaly monotónie a lokální extrémy, tak také maximální intervaly

konvexnosti a konkávnosti i body infl exe funkce f (x) = 31 . x3 – 2x2 + 3x.

Řešení

Nejprve určíme defi niční obor, pro tuto funkci nemáme žádné omezující podmínky pro defi niční obor; proto D( f ) = (–, ). Určíme první derivaci funkce f , tj.:

f '(x) = ( 31 x3 – 2x2 + 3x)' = x2 – 4x + 3 .

První derivace existuje v celém defi ničním oboru. Její nulové body jsou 1 a 3, které dělí D( f ) na tři intervaly (–1), (1, 3) a (3, ). Opět v každém intervalu vezmeme jeden bod, abychom zjistili znamení první derivace v celém intervalu, tzn.:

0 (–1), potom f '(0) = 02 – 4 . 0 + 3 = 3 > 0, tudížf '(x) je kladná v intervalu (–1), proto funkce f (x) je rostoucí v intervalu (–1,

2 (1, 3), potom f '(2) = 22 – 4 . 2 + 3 = –1 < 0, protof '(x) je záporná v intervalu (1, 3), tedy funkce f (x) je klesající v intervalu 1, 3,

4 (3, ), potom f '(4) = 42 – 4 . 4 + 3 = 3 > 0, tedyf '(x) je kladná v intervalu (3, ), proto funkce f (x) je rostoucí v intervalu 3, ).

Na obr. 7.10 (a) je graf první derivace funkce f (x).

OBRÁZEK 7.10

V bodě 0 nabývá funkce f (x) lokální maximum (je zde defi nována a přechází v něm funkce rostoucí ve funkci klesající) a v bodě 3 nabývá funkce f (x) lokální minimum (je zde defi nována a přechází v něm funkce klesající ve funkci rostoucí).

Určíme druhou derivaci funkce f , tj. f ''(x) = (x2 – 4x + 3)' = 2x – 4. Druhá derivace exis-tuje v celém defi ničním oboru, má jediný nulový bod 2, který dělí D( f ) na dva intervaly (–2) a (2, ). Opět v každém intervalu vezmeme jeden bod, abychom zjistili znamení druhé derivace v celém intervalu, tzn.:

0 (–2), potom f ''(0) = 2 . 0 – 4 = –4 < 0, tj. f ''(x) je záporná v intervalu (–2), tzn. funkce f (x) je konkávní v intervalu (–2,

3 (2), potom f ''(3) = 2 . 3 – 4 = 2 > 0, tj. f ''(x) je kladná v intervalu (2, ), tzn. funkce f (x) je konvexní v intervalu 2, ).

Na obr. 7.10 (b) je graf druhé derivace funkce f (x).

–1,5

4

–1

0,51

1,5

1 2–1 3–0,5

22,5

–1,5

4

–1

0,51

1,5

1 2–1 3–0,5

22,5

Graf f '(x) = x2– 4x + 3(a) (b) Graf f ''(x) = 2x – 4


223

V bodě 2 má funkce f (x) první derivaci, přechází v něm funkce konkávní ve funkci konvexní, tudíž bod 2 je infl exní bod funkce f (x).

Pro ilustraci je na obr. 7.11 (a) graf funkce f (x) a na obr. 7.11 (b) jsou dohromady grafy f (x), f '(x) a f ''(x), které ilustrují věty o významu první i druhé derivace pro průběh funkce.

OBRÁZEK 7.11

PŘÍKLAD 7.87

Určíme jak maximální intervaly monotónie a lokální extrémy, tak také maximální intervaly

konvexnosti a konkávnosti i body infl exe funkce f (x) = 41 . (x3 – 3x2 – 9x + 27).

Řešení

Nejprve určíme defi niční obor, u této funkce nejsou žádné omezující podmínky pro defi niční obor; proto D( f ) = (–, ). Určíme první derivaci funkce f , tj.:

f '(x) = (41 . (x3 – 3x2 – 9x + 27))' = 41 . (3x2 – 6x – 9) =

43 . (x2 – 2x – 3) =

43 . (x – 3) . (x + 1) .

První derivace existuje v celém defi ničním oboru. Její nulové body jsou (–1) a 3, které dělí D( f ) na tři intervaly (–, –1), (–1, 3) a (3, ). Opět v každém intervalu vezmeme jeden bod, abychom zjistili znamení první derivace v celém intervalu, tzn.:

–2 (–, –1), potom f '(–2) = 43 . (–2 – 3) . (–2 + 1) > 0, funkce f (x) je rostoucí v intervalu

(–, –1,

0 (–1, 3), potom f '(0) = 43 . (0 – 3) . (0 + 1) < 0, funkce f (x) je klesající v intervalu –1, 3,

4 (3, ), potom f '(4) = 43 . (4 – 3) . (4 + 1) > 0, funkce f (x) je rostoucí v intervalu 3, ).

V bodě 0 nabývá funkce f (x) lokální maximum (je zde defi nována a přechází v něm funkce rostoucí ve funkci klesající) a v bodě 3 nabývá funkce f (x) lokální minimum (je zde defi nována a přechází v něm funkce klesající ve funkci rostoucí).

–1,5

4

0,51

1,5

1 2–1 3–0,5

22,5

–1,5

4

0,51

1,5

1 2–1 3–0,5

22,5

Graf f (x) =

31 . x3 – 2x2 + 3x

(a) (b) Grafy f (x), f '(x) a f ''(x),


224

Určíme druhou derivaci funkce f , tj. f ''(x) = ( 43 . (x2 – 2x – 3))' = 43 . (2x – 2) =

23 . (x – 1).

Druhá derivace existuje v celém defi ničním oboru, má jediný nulový bod 1, který dělí D( f ) na dva intervaly (–, 1) a (1, ). Opět v každém intervalu vezmeme jeden bod, abychom zjistili znamení druhé derivace v celém intervalu, tzn.:

0 (–, 1), potom f ''(0) = 23 . (0 – 1) < 0, tzn. funkce f (x) je konkávní v intervalu (–, 1,

2 (1, ), potom f ''(0) = 23 . (2 – 1) > 0, tzn. funkce f (x) je konvexní v intervalu 1, ).

V bodě 1 má funkce f (x) první derivaci, přechází v něm funkce konkávní ve funkci konvexní, tudíž bod 1 je infl exní bod funkce f (x).

Pro ilustraci je na obr. 7.12 (a) graf funkce f (x).

OBRÁZEK 7.12

PŘÍKLAD 7.88

Určíme opět jak maximální intervaly monotónie a lokální extrémy, tak i maximální intervaly konvexnosti a konkávnosti i body infl exe pro funkci f (x) = x3 – 27x + 2.

Řešení

Nejprve určíme defi niční obor, zde není žádné omezení, tudíž D( f ) = (–, ). Použijeme tvrzení o významu první derivace, proto spočteme první derivaci funkce f (x), tj.:

f '(x) = (x3 – 27x + 2)' = 3 . x2 – 27 .

První derivace funkce f existuje v celém defi ničním oboru funkce f .

Určíme nulové body první derivace, tj. řešíme rovnici f '(x) = 0. Platí:

3x2 – 27 = 0 x2 – 9 = 0 x2 = 9 x = ±3. Tyto nulové body dělí D( f ) na tři intervaly (–, –3), (–3, 3) a (3, ). V každém z těchto intervalů je první derivace funkce f (x) stále kladná nebo stále záporná, proto stačí vybrat jeden bod z příslušného intervalu a podle znamení hodnoty první derivace v tomto bodě určíme znamení první derivace v celém intervalu.

V intervalu (–, –3) vezmeme reálné číslo (–4), dostáváme f '(–4) = 3 . (–4)2 – 27 = 21 > 0, proto f '(x) je kladná v intervalu (–, –3). Z toho vyplývá – funkce f (x) je rostoucí v intervalu (–, –3.

V intervalu (–3, 3) vezmeme reálné číslo 0, dostáváme f '(0) = 3 . 02 – 27 = –27 < 0, proto f '(x) je záporná v intervalu (–3, 3). Z toho vyplývá – funkce f (x) je klesající v intervalu –3, 3.

–4 4

–6

–2

–8

2

–4–2

4

2

6

Graf

f (x) = 31 . (x3 – 3x2 – 9x + 27)

(a)

–4 4–2

–60

2

–40

–20

40

60

(b) Graf

f (x) = x3 – 27x + 2


225

V intervalu (3, ) vezmeme reálné číslo 4, dostáváme f '(4) = 3 . 42 – 27 = 21 > 0, proto f '(x) je kladná v intervalu (3, ). Z toho vyplývá – funkce f (x) je rostoucí v intervalu 3, ).

V bodě (–3) je funkce f (x) defi nována a přechází v něm funkce rostoucí ve funkci klesající, tudíž funkce f (x) nabývá v bodě (–3) lokální maximum. V bodě 3 je funkce f (x) defi nována a přechází v něm funkce klesající ve funkci rostoucí, tudíž funkce f (x) nabývá v bodě (–3) lokální minimum.

Použijeme tvrzení o významu druhé derivace, proto vypočteme druhou derivaci funkce f (x), tj. f ''(x) = (3x2 – 27)' = 6x. Druhá derivace funkce f existuje v celém defi ničním oboru funkce f .

Nejprve určíme nulové body druhé derivace funkce f , tj. řešíme rovnici f ''(x) = 0, tzn.

6x = 0, tj. x = 0. Nulový bod dělí D( f ) na dva intervaly (–, 0) a (0, ). V každém z těchto intervalů je druhá derivace funkce f (x) stále kladná nebo stále záporná, proto stačí vybrat jeden bod z příslušného intervalu a podle znamení hodnoty druhé derivace v tomto bodě určíme znamení druhé derivace v celém intervalu.

V intervalu (–, 0) vezmeme reálné číslo (–1), dostáváme f ''(–1) = 6 . (–1)' = –6 < 0, proto f ''(x) je záporná v intervalu (–, 0). Z toho vyplývá – funkce f (x) je konkávní v intervalu (–, 0.

V intervalu (0, ) vezmeme reálné číslo 1, dostáváme f ''(1) = 6 . 1 = 6 > 0, proto f ''(x) je kladná v intervalu (0, ). Z toho vyplývá – funkce f (x) je konvexní v intervalu 0, ).

V bodě 0 je funkce f (x) defi nována, existuje v něm první derivace, přechází zde konkávní funkce ve funkci konvexní, tudíž 0 je bod infl exe funkce f (x).

Pro ilustraci je na obr. 7.12 (b) graf funkce f (x).

PŘÍKLAD 7.89

Určíme nejen maximální intervaly monotónie a lokální extrémy, ale i maximální intervaly

konvexnosti a konkávnosti i body infl exe pro funkci f (x) = 1x .

Řešení

Nejprve určíme defi niční obor, určitě musí být x 0, tudíž D( f ) = (–, ) (0, ).

Pro určení maximálních intervalů monotonie vypočteme:

f '(x) = ( 1x )' = (x–1)' = (–1) . x–2 = x12- .

První derivace funkce f existuje v celém defi ničním oboru funkce f . První derivace funkce f nemá nulové body. První derivace je záporná jak v intervalu (–, 0), tak i v intervalu

(0, ), tudíž funkce f (x) = 1x je klesající jak v intervalu (–, 0), tak i v intervalu (0, ). Lokální

extrémy funkce f nenabývá.

Pro stanovení maximálních intervalů konvexnosti a konkávnosti určíme:

f ''(x) = ( x12- )' = ((–1) . x–2)' = (–1) . (–2)x–3 =

x23 .

Druhá derivace funkce f existuje v celém defi ničním oboru funkce f . Druhá derivace nemá

nulové body. Druhá derivace je záporná v intervalu (–, 0), tudíž funkce f (x) = 1x je konkávní

v intervalu (–, 0), druhá derivace je kladná v intervalu (0, ), tedy funkce f (x) je konvexní v intervalu (0, ). Body infl exe funkce f (x) nemá. Na obr. 7.13 (a) je graf této funkce.


226

OBRÁZEK 7.13

PŘÍKLAD 7.90

Určíme opět jak maximální intervaly monotónie a lokální extrémy, tak i maximální intervaly

konvexnosti a konkávnosti i body infl exe pro funkci f (x) = x12.

Řešení

Nejprve určíme defi niční obor, určitě musí být x 0, tudíž D( f ) = (–, ) (0, ).

Pro určení maximálních intervalů monotónie spočteme:

f '(x) = ( x12 )' = (x–2)' = (–2) . x–3 =

x23- .

První derivace funkce f existuje v celém defi ničním oboru funkce f . První derivace nemá nulové body. První derivace je kladná v intervalu (–, 0) a záporná v intervalu (0, ), tudíž

funkce f (x) = x12 je rostoucí v intervalu (–, 0) a je klesající v intervalu (0, ). Lokální extrémy

funkce f nenabývá.

Pro určení maximálních intervalů konvexnosti a konkávnosti vypočteme:

f ''(x) = ( x23- )' = ((–2) . x–3)' = (–2) . (–3) . x–4 =

x64 .

Druhá derivace funkce f existuje v celém defi ničním oboru funkce f . Druhá derivace nemá nulové body. Druhá derivace je kladná jak v intervalu (–, 0), tak i v intervalu (0, ), tudíž

funkce f (x) = x12 je konvexní jak v intervalu (–, 0), tak i v intervalu (0, ). Body infl exe

funkce f (x) nemá. Na obr. 7.13 (b) je graf této funkce.

–44

–2

–3

2

–2

–1

1

2

3

–4 –2 2 4

2

1

3

4

5

6

Graf funkce f (x) = x1(a) (b) Graf funkce f (x) =

x12


227

PŘÍKLAD 7.91


konvexnosti a konkávnosti i body infl exe pro funkci f (x) = xx

54

-+ .

Řešení

Nejprve určíme defi niční obor, určitě musí platit x – 5 0, tj. x 5, tedy D( f ) = (–, 5) (5, ). Použijeme tvrzení o významu první derivace, proto spočteme první derivaci funkce f (x), tj.:

'f x xx x x

'( )( )

( ) ( )

( )x x54

5

1 5 4 1

59

2 2

$ $= + =

+=

- -

- -

--

b l .

První derivace funkce f existuje v celém defi ničním oboru funkce f . První derivace nemá nulové body (proměnná není v čitateli zlomku), je záporná jak v intervalu (–, 5), tak i v intervalu (5, ), tudíž funkce f (x) je klesající jak v intervalu (–, 5), tak i v intervalu (5, ). Lokální extrémy funkce f (x) nemá.

Použijeme tvrzení o významu druhé derivace, proto vypočteme druhou derivaci funkce f (x), tj.:

'f xx

x x x x x''( )

( ) ( )

( 9)' ( 5) 9 ( 10 25)'

( )

( ) ( )

x x59

5 5

0 5 9 2 102 2 2

2 2

4

$ $ $ $= =

+ +=

+=

--

-

- - -

-

- -e

ò

j

( )

18 ( 5)

( )x

x

x5 518

4 3

$==

-

-

- .

Druhá derivace funkce f existuje v celém defi ničním oboru funkce f . Druhá derivace nemá nulové body (proměnná není v čitateli zlomku), defi niční obor funkce f je rozdělen na dva intervaly (–, 5) a (5, ). V každém z těchto intervalů je druhá derivace funkce f (x) stále kladná nebo stále záporná, tedy v každém intervalu vybereme jeden bod a zjistíme znamení druhá derivace, potom druhá derivace v celém intervalu má stejné znamení.

V intervalu (–, 5) vybereme bod 0, platí f '( )( )

00518

31=

-, druhá derivace funkce f je záporná

v intervalu (–, 5), tedy funkce f (x) je konkávní v intervalu (–, 5).

V intervalu (5, ) vybereme bod 6, platí f ''( )( )

066 518

32=

-, druhá derivace funkce f (x) je

kladná v intervalu (5, ), tedy funkce f (x) je konvexní v intervalu (5, ). Body infl exe funkce f (x) nemá.

PŘÍKLAD 7.92

Určíme opět jak maximální intervaly monotónie a lokální extrémy, tak i maximální intervaly konvexnosti a konkávnosti i body infl exe pro funkci f (x) = x . e x + e2.

Řešení


f '(x) = (x . e x + e2)' = (x)' . e x + x . (ex)' = 1 . e x + x . e x = (1 + x) . e x .



228


(1 + x) . ex = 0 1 + x = 0 x = –1 (z vlastností základní exponenciální funkce víme, že e x je vždy kladné, proto je také nenulové). Bod (–1) dělí D( f ) na dva intervaly (–, –1) a (–1, ). V každém z těchto intervalů je první derivace funkce f (x) stále kladná nebo stále záporná, tedy v každém intervalu vybereme jeden bod a zjistíme znamení první derivace, potom první derivace v celém intervalu má stejné znamení.

V intervalu (–, –1) vybereme bod (–2), platí f '(–2) = (1 – 2) . e–2 = –e–2 < 0, první derivace funkce f (x) je záporná v intervalu (–, –1), tedy funkce f (x) je klesající v intervalu (–, –1.

V intervalu (–1, ) vybereme bod 0, platí f '(0) = 1 . e0 = 1 > 0, první derivace funkce f (x) je kladná v intervalu (–1, ), tudíž funkce f (x) je rostoucí v intervalu –1, ).

V bodě (–1) je funkce f defi nována a přechází v něm klesající funkce v rostoucí, proto funkce f nabývá v bodě 0 lokální minimum.

Dále použijeme tvrzení o významu druhé derivace pro průběh funkce, proto vypočteme:

f ''(x) = ((1 + x) . e x)' = (1 + x)' . e x + (1 + x) . (ex)' = 1 . e x + (1 + x) . e x = (2 + x) . e x .

Druhá derivace funkce f existuje v celém defi ničním oboru funkce f . Určíme nulové body druhé derivace, tj. řešíme rovnici f ''(x) = 0. Platí:

(2 + x) . ex = 0 2 + x = 0 x = –2 (z vlastností základní exponenciální funkce víme, že ex je vždy kladné, proto je také nenulové). Bod (–2) dělí D( f ) na dva intervaly (–, –2) a (–2, ). V každém z těchto intervalů je druhá derivace funkce f stále kladná nebo stále zápor-ná, tedy v každém intervalu vybereme jeden bod a zjistíme znamení druhé derivace, potom druhá derivace v celém intervalu má stejné znamení.

V intervalu (–, –2) vybereme bod (–3), platí f ''(–3) = (2 – 3) . e–3 = –e–3 < 0, druhá derivace funkce f (x) je záporná v intervalu (–, –2), tedy funkce f (x) je konkávní v intervalu (–, –2.

V intervalu (–2, ) vybereme bod 0, platí f ''(0) = 2 . e0 = 2 > 0, druhá derivace funkce f je kladná v intervalu (–2, ), tudíž funkce f (x) je konvexní v intervalu –2, ).

V bodě (–2) existuje první derivace funkce f (x) a přechází v něm konkávní funkce v funkci konvexní, proto bod (–2) je infl exní bod funkce f (x).

PŘÍKLAD 7.93

Znovu určíme jak maximální intervaly monotónie a lokální extrémy, tak i maximální intervaly konvexnosti a konkávnosti i body infl exe pro funkci f (x) = (x2 + 1) . e x.

Řešení


f '(x) = ((x2 + 1) . e x)' = (x2 + 1)' . e x + (x2 + 1) . (ex)' = 2x . e x + (x2 + 1) . e x = (x2 + 2x + 1) . e x .



(x2 + 2x + 1) . e x = 0 (x + 1)2 . e x = 0 (x + 1)2 = 0 x + 1 = 0 x = –1 (víme, že vyplývá z vlastností základní exponenciální funkce, ex je vždy kladná, proto je také nenulová). Bod (–1) dělí D( f ) na dva intervaly (–, –1) a (–1, ). V každém z těchto intervalů je první de-rivace funkce f (x) stále kladná nebo stále záporná, tedy v každém intervalu vybereme jeden bod a zjistíme znamení první derivace, potom první derivace v celém intervalu má stejné znamení.


229

V intervalu (–, –1) vybereme bod (–2), platí f '(–2) = ((–2)2 + 2 . (–2) + 1) . e–2 = 1 . e–2 > 0, první derivace funkce f (x) je kladná v intervalu (–, –1), tedy funkce f (x) je rostoucí v intervalu (–, –1.

V intervalu (–, –1) vybereme bod 0, platí f '(0) = 1 . e0 = 1 > 0, první derivace funkce f (x) je kladná v intervalu (–, –1), tudíž funkce f (x) je rostoucí v intervalu –1, ).

Lokální extrémy funkce f (x) nemá.

Dále použijeme tvrzení o významu druhé derivace pro průběh funkce, proto vypočteme:

f ''(x) = ((x 2 + 2x + 1) . e x)' = (x 2 + 2x + 1)' . e x + (x 2 + 2x + 1) . (ex)' =

= (2x + 2) . e x + (x 2 + 2x + 1) . e x = (x 2 + 4x + 3) . e x .

Druhá derivace funkce f existuje v celém defi ničním oboru funkce f .

Určíme nulové body druhé derivace, tj. řešíme rovnici f ''(x) = 0. Platí:

(x 2 + 4x + 3) . e x = 0 x 2 + 4x + 3 = 0 (z vlastností základní exponenciální funkce víme, že ex je vždy kladné, proto je také nenulové). Kořeny kvadratické rovnice x 2 + 4x + 3 = 0 jsou reálná čísla (–3) a (–1). Body (–3) a (–1) dělí D( f ) na tři intervaly (–, –3), (–3, –1) a (–1, ). V každém z těchto intervalů je druhá derivace funkce f (x) stále kladná nebo stále záporná, tedy v každém intervalu vybereme jeden bod a zjistíme znamení druhé derivace, potom druhá derivace v celém intervalu má stejné znamení.

V intervalu (–, –3) pro bod (–4) platí f ''(–4) = ((–4)2 + 4 . (–4) + 3) . e –4 = 3 . e –4 > 0, druhá derivace funkce f (x) je kladná v intervalu (–, –3), tedy funkce f (x) je konvexní v intervalu (–, –3.

V intervalu (–3, –1) vybereme bod (–2), platí f ''(–2) = ((–2)2 + 4 . (–2) + 3) . e –2 = –e –2 < 0, druhá derivace funkce f (x) je záporná v intervalu (–3, –1), tedy funkce f (x) je konkávní v in-tervalu –3, –1.

V intervalu (–1, ) vybereme bod 0, platí f ''(0) = 3 . e0 = 3 > 0, druhá derivace funkce f je kladná v intervalu (–1, ), tudíž funkce f (x) je konvexní v intervalu –1, ).

V bodě (–3) existuje první derivace a přechází v něm funkce konvexní ve funkci konkávní, proto bod (–3) je bod infl exe funkce f (x), v bodě (–1) existuje první derivace a přechází v něm funkce konkávní ve funkci konvexní, proto bod (–1) je také bod infl exe funkce f .

PŘÍKLAD 7.94


konvexnosti a konkávnosti i body infl exe pro funkci f (x) = xx2

2

+.

Řešení

Nejprve určíme defi niční obor, určitě musí platit x + 2 0, tj. x –2, tedy dostáváme D( f ) = (–, –2) (–2, ). Použijeme tvrzení o významu první derivace, proto spočteme první derivaci funkce f (x), tj.:

'f x xx

xx x x x

xx x x

xx x'( )

( )

( )' ( ) ( )'

( )

( )

( )2 2

2 2

2

2 2 1

242

2

2 2

2

2

2

2$=

+=

+

+ +=

+

+=

+

- - +e o ,

první derivace funkce f existuje v celém defi ničním oboru funkce f .


230

Určíme nulové body f '(x). Určitě platí f xxx x x x x x'( ) 0( )

0 4 0 ( 4) 024

2

22

+ + + $=+

= = =- + - ,

tj. nulové body první derivace jsou (–4) a 0. Defi niční obor se rozpadá na čtyři intervaly (–, –4), (–4, –2), (–2, 0) a (0, ). V každém intervalu vybereme jeden bod, abychom v příslušném intervalu zjistili znamení první derivace:

–5 (–, –4), potom f '( )( )

( ) ( ) 25 055 2

5 4 5920

95

2

2 $2=

+= =-

-

- + - - , tj. f '(x) je kladná v intervalu

(–, –4), proto funkce f je rostoucí v intervalu (–, –4;

–3 (–4, –2), potom f '( )( )

( ) ( ) 9 033 2

3 4 3112 3

2

2 $1=

+= + =-

-

- + -- , tj. f '(x) je záporná v intervalu

(–4, –2), proto funkce f je klesající v intervalu –4, –2);

–1 (–2, 0), potom f '( 1)( )

( ) ( ) 1 3 01 2

1 4 114

2

2 $1- =

+

+= =

-

- - - - , tj. f '(x) je záporná v intervalu

(–2, 0), proto funkce f je klesající v intervalu (–2, 0;

1 (0, ), potom f '(1)( )

1 01 21 4 1

94

95

2

2 $ 2=+

= =+ + , tj. f '(x) je kladná v intervalu (4, ), proto

funkce f je rostoucí v intervalu 0, );

funkce f nabývá v bodě (–4) lokální maximum a v bodě 0 lokální minimum.

Určíme druhou derivaci, tj.:

' 'f x

xx x x x x x x

''( )( ) ( )

( )' ( ) ( ) ( )

x

x

24

2

4 2 4 22

2

2 2

2 2 2 2

=++ =

+

+ + +=

- +e

`

`

oj

j

x x x x x x x x x x x( )

( )( ) ( )( )'

( )

( )( ) ( ) ( )

x x2

2 4 2 4 4 4

2

2 4 2 4 2 44

2 2 2

4

2 2 $=

+

+ + +=

+

+ +=

+ - + + - +

x x x x x x( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )x

x x x x

x x2

2 2 4 2 4 2

22 4 4 8 2 8

28

4

2

3

2 2

3

$=

+

+ + +=

++ + + =

+

- + - -` j .

Druhá derivace existuje v celém defi ničním oboru funkce f . Určíme nulové body f ''(x). Urči-tě platí, že druhá derivace nemá nulové body, proto defi niční obor se rozpadá na dva intervaly (–, –2) a (–2, ). V každém intervalu vybereme jeden bod, abychom v příslušném intervalu zjistili znamení druhé derivace:

–3 (–, –2), potom f ''( 3)( ) ( )

03 28

18 8

3 31- =

+= =

- -- , tj. f ''(x) je záporná v intervalu

(–, –2), proto funkce f je konkávní v intervalu (–, –2);

0 (–2, ), potom f ''(0)( )

00 28

88 1

32=

+= = , tj. f ''(x) je kladná v intervalu (–2, ), proto

funkce f je konvexní v intervalu (–2, ); body infl exe funkce f nemá.


231

PŘÍKLAD 7.95


konvexnosti a konkávnosti i body infl exe pro funkci f (x) = xe1

x

+.

Řešení

Nejprve určíme defi niční obor, určitě musí platit x + 1 0, tj. x –1, tedy dostáváme D( f ) = (–, –1) (–1, ). Použijeme tvrzení o významu první derivace, proto spočteme první derivaci funkce f (x), tj.:

'f x xe

xe x e

xx e'( )

( )

( )

( )1 1

1 1

1

x x x x

2 2

$ $ $=+

=+

+=

+

-e o .

První derivace funkce f (x) existuje v celém defi ničním oboru. Určíme nulové body první de-

rivace, tzn. xx x e x

( )0 0 0

1ex x

2+ +

$ $+

= = = (protože zlomek se rovná nule právě tehdy, když

čitatel je nula, dále základní exponenciální funkce je vždy kladná, tudíž se nemůže rovnat nule). Body (–1) a 0 dělí defi niční obor funkce f (x) na tři intervaly (–, –1), (–1, 0) a (0, ). V každém z těchto intervalů je první derivace funkce f (x) stále kladná nebo stále záporná, tedy v každém intervalu vybereme jeden bod a zjistíme znamení první derivace, potom první derivace v celém intervalu má stejné znamení. Platí:

–2 (–, –1), potom f ee

'( 2)( 2 )

( 2)

12 0

1 2

2

2

$

$1- =

- +

-= -

-

, tzn. funkce f (x) je klesající v intervalu

(–, –1),

21- (–1, 0) potom f

e'

21 0

21 1

21

2

3

1

$1=

+-

-

- -

b

b

b

l

l

l

, tzn. funkce f (x) je klesající v intervalu (–1, 0,

1 (0, ), potom f e'(1)(1 )1 0

1 2

2$ 2=+

-

, tzn. funkce f (x) je rostoucí v intervalu 0, ),

v bodě 0 nabývá funkce f (x) lokální minimum.

Dále určíme druhou derivaci, tj.:

' 'f x

xx e x e x x e

''( )( ) ( )

( )' ( ) ( )

x

x

1 1

1 1xx x

2 4

2 2

$ $ $ $ $=

+=

+

+ +=

-e

`

oj

e x e x x e e x e x e x( )

(1 ) ( 1) 2 ( 1)

( )

( 1) 2

( )

( )

x

x

x x1 1 1

1x x x x x x

4

2

3

2

3

2$ $ $ $ $ $ $ $ $ $=

+

+ + +=

+

+=

+

+- - .

Druhá derivace existuje v celém defi ničním oboru funkce f (x). Určíme nulové body druhé

derivace, tzn. x

e x e x( )

( 1)0 ( 1) 0

1

xx

3

22

+$

$+

+= + = , ale jak ex, tak i (x2 + 1) jsou vždy kladné, tudíž

rovnice nemá řešení. Reálná osa se dělí na dva intervaly (–, –1) a (–1, ), určíme opět podle jednoho bodu z intervalu znamení druhé derivace. Platí:

–2 (–, –1), potom fe

''( 2)( 2 )

( 2) 10

1

2

3

2 $1- =

- +

+--` j

, tzn. funkce f (x) je konkávní v intervalu

(–, –1),


232

0 (–1, ), potom f e''(0)

(0 )

( )0

1

0 13

0 2$2=

+

+ , tzn. funkce f (x) je konvexní v intervalu (–1, ),

body infl exe funkce f (x) nemá.

PŘÍKLAD 7.96


konvexnosti a konkávnosti i body infl exe pro funkci f (x) = e

x 3x+ .

Řešení

Nejprve určíme defi niční obor, funkce obsahuje podíl, ale základní exponenciální funkce je vždy kladná, tudíž i nenulová, proto D( f ) = (–, ). Použijeme tvrzení o významu první derivace, proto spočteme první derivaci funkce f (x), tj.:

'f xe

xe

x e x ee

e x ee

x ee

x'( )( )

( )' ( ) ( )'

( )

( )

( )

( )3 3 3 1 3 2 2x x

x x

x

x x

x

x

x2 2 2

$ $ $ $= + =

+ +=

+= =

- - - - - -e o

První derivace existuje v celém defi ničním oboru funkce f . Určíme nulové body první derivace,

tj. řešíme rovnici f '(x) = 0, tzn. e

x x x0 2 02 2x

+ += =- - - - =- . Bod (–2) dělí D( f ) na dva

intervaly (–, –2) a (–2, ). V každém z těchto intervalů je první derivace funkce f (x) stále kladná nebo stále záporná, tedy v každém intervalu vybereme jeden bod a zjistíme znamení první derivace, potom první derivace v celém intervalu má stejné znamení:

–3 (–, –2), potom fe e

'( 3)( 3) 2 1 0

3 32- =

- -=

-- -

, proto funkce f je rostoucí v intervalu

(–, –2,

0 (–2, ), potom fe

'(0) 0 0212 2

01= - =- - =- , proto funkce f je klesající v intervalu –2, ).

V bodě (–2) je funkce f (x) defi nována a přechází v něm funkce rostoucí ve funkci klesající, proto funkce f (x) nabývá v bodě (–2) lokální maximum.

Vypočteme druhou derivaci funkce f (x), tj.:

'f xe

xe

x e x ee

e x ee

x ee

x''( )( )

( )' ( ) ( )'

( )

( ) ( )

( )

( )2 2 2 1 2 1 1x x

x x

x

x x

x

x

x2 2 2

$ $ $ $= = =

+ +=

+= +- - - - - - - -

e o .

Druhá derivace existuje v celém defi ničním oboru funkce f . Určíme nulové body druhé deri-

vace, tj. řešíme rovnici f ''(x) = 0, tzn. e

x x x0 01 1 1x

+ += = =+ + - . Bod (–1) dělí D( f ) na dva

intervaly (–, –1) a (–1, ). V každém z těchto intervalů je druhá derivace funkce f (x) stále kladná nebo stále záporná, tedy v každém intervalu vybereme jeden bod a zjistíme znamení druhá derivace, potom druhá derivace v celém intervalu má stejné znamení:

–2 (–, –1) fe e

''( 2) 2 01 12 2

1- = - + = -- -

, proto funkce f (x) je konkávní v intervalu (–, –1,

0 (–1, ) fe

''(0) 0 01 10

2= + = , tudíž funkce f (x) je konvexní v intervalu –1, ).

V bodě (–1) existuje první derivace funkce f (x) a přechází v něm funkce konkávní ve funkci konvexní, tudíž (–1) je bod infl exe funkce f (x).


233

PŘÍKLAD 7.97

Určíme opět jak maximální intervaly monotónie a lokální extrémy, tak i maximální intervaly

konvexnosti a konkávnosti i body infl exe pro funkci f (x) = x . x25 .

Řešení

Nejprve určíme defi niční obor, u této funkce nejsou žádné omezující podmínky pro defi niční obor; proto D( f ) = (–, ). Použijeme tvrzení o významu první derivace, proto spočteme první derivaci funkce f , tj.:

' ''f x x x x x x'( )57

5725 1

255

2

5

7

5

2

$ $= = = = =+x $` ` `j j j .


Určíme nulové body první derivace, tj. řešíme rovnici f '(x) = 0, tzn. x x0 05

7 25

+$ = = . Bod 0

dělí D( f ) na dva intervaly (–, 0) a (0, ). V každém z těchto intervalů je první derivace funkce f (x) stále kladná nebo stále záporná, tedy v každém intervalu vybereme jeden bod a zjistíme znamení první derivace, potom první derivace v celém intervalu má stejné znamení.

V intervalu (–, 0) vybereme bod (–1), platí f '( ) ( 1) 015

757 125$ $ 2= =- - , první derivace

funkce f (x) je kladná v intervalu (–, 0), tedy funkce f (x) je rostoucí v intervalu (–, 0.

V intervalu (0, ) vybereme bod 1, platí f '(1) 05

7 157 125$ $ 2= = , první derivace funkce f (x)

je kladná v intervalu (0, ), tudíž funkce f (x) je rostoucí v intervalu 0, ). Lokální extrémy funkce f (x) nemá.

Použijeme tvrzení o významu druhé derivace, proto vypočteme druhou derivaci funkce f , tj.:

'''f x x x xx

''( )57

57

52

25

1425

355

2

5

3

$ $$

= = = =-x $` bj l .


V intervalu (–, 0) vybereme bod (–1), platí f ''( 1)( ) ( )

025 1

1425 1

1435$ $

1- =-

=-

, druhá derivace



1425 114

35$ $2= = , druhá derivace funkce

f (x) je kladná v intervalu (0, ), tudíž funkce f (x) je konvexní v intervalu 0, ). V bodě 0 existuje první derivace funkce f (x) a přechází v něm funkce konkávní ve funkci konvexní, tudíž 0 je bod infl exe funkce f (x).


234

PŘÍKLAD 7.98

Určíme opět jak maximální intervaly monotónie a lokální extrémy, tak i maximální intervaly konvexnosti a konkávnosti i body infl exe pro funkci f (x) = x45 .

Řešení

Nejprve určíme defi niční obor, u této funkce nejsou žádné omezující podmínky pro defi niční obor; proto D( f ) = (–, ). Použijeme tvrzení o významu první derivace, proto spočteme první derivaci funkce f (x), tj.:

''f x x x xx

'( )54

5

445

55

4

5

1

$$

= = = =-` `j j .

První derivace neexistuje v bodě 0, první derivace nemá nulové body (proměnná není v čitateli zlomku). Bod 0 dělí D( f ) na dva intervaly (–, 0) a (0, ). V každém z těchto intervalů je první derivace funkce f (x) stále kladná nebo stále záporná, tedy v každém intervalu vybereme jeden bod a zjistíme znamení první derivace, potom první derivace v celém intervalu má stejné znamení.

V intervalu (–, 0) vybereme bod (–1), platí f '( 1)( )

05 1

45 1

45$ $

1- =-

=-

, první derivace

funkce f (x) je záporná v intervalu (–, 0), tedy funkce f (x) je klesající v intervalu (–, 0.

V intervalu (0, ) vybereme bod 1, platí f '(1) 05 1

45 14

5$ $2= = , první derivace funkce f (x)

je kladná v intervalu (0, ), tudíž funkce f (x) je rostoucí v intervalu 0, ).

V bodě 0 je funkce f (x) defi nována a přechází v něm klesající funkce v rostoucí, proto funkce f (x) nabývá v bodě 0 lokální minimum.

Použijeme tvrzení o významu druhé derivace, nejprve vypočteme druhou derivaci funkce f (x), tj.:

'''f x x x xx

''( )55

454 1

25

445

655

1

5

6

$$

= = = =- -- -` b bj l l .


V intervalu (–, 0) vybereme bod (–1), platí f ''( 1)( 1)

025

425 1

465$ $

1- =-

=- - , druhá derivace



425 1

465$ $

1= =- - , druhá derivace funkce

f (x) je záporná v intervalu (0, ), tudíž funkce f (x) je konkávní v intervalu 0, ).



235

PŘÍKLAD 7.99


konvexnosti a konkávnosti i body infl exe pro funkci f (x) = x2 1x4- .

Řešení

Opět nejprve určíme defi niční obor, funkce f (x) obsahuje podíl, proto x4 0 x 0, tzn. D( f ) = (–, 0) (0, ). Vypočteme první derivaci, tj.:

'f xx

xx

x x xx

x x xxx'( )

( )

2 (2 1) (2 4 (2 ))2 1 4 1 6 44 4 2

4 3

8

3

5

$ $ $ $= = = =- - - - - - +e o ,

první derivace existuje v celém defi ničním oboru. Určíme nulové body první derivace,

tzn. xx x x0 6 4 06 4

32

5+ += + = =- + - . Bod

32 dělí defi niční obor na tři intervaly (–, 0),

(0, 32 ) a ( 32 , ). Znamení první derivace v jednotlivých intervalech určíme analogicky jako

v předcházejících příkladech:

–1 (–, 0) f '( 1)( 1)

( )0

6 1 41

10 105

$1- =

-

- +=

--

=- , tudíž funkce f (x) je klesající v intervalu

(–, 0),

31 (0,

32 ) f ' 0

31

31

631 4

312

5 5

$2=

- +=c

c c

m

m m

, proto funkce f (x) je rostoucí v intervalu (0, 32 ,

1 (32 , ) f '(1)1

2 06 1 45

$ 1= - + =- , proto funkce f (x) je klesající v intervalu 32 , ).

V bodě 32 je funkce f (x) defi nována a přechází v něm funkce rostoucí ve funkci klesající,

proto funkce f (x) nabývá v bodě 32 lokální maximum.

Dále vypočteme druhou derivaci funkce f (x), tj.:

'f xxx

xx x x

xx x x

xx''( )

( )

( ) ( ( ))6 4 6 6 4 5 6 5 6 4 24 205 5 2

5 4

10

4

6

$ $ $ $= + =

+=

+=- - - - - - - -

e o ,

druhá derivace existuje v celém defi ničním oboru. Určíme nulové body druhé derivace,

tj. x

x x x0 24 20 024 2065

6+ += = =- - . Bod

65 dělí defi niční obor na tři intervaly (–, 0),

(0, 65 ) a ( 65 , ). Znamení druhé derivace v jednotlivých intervalech určíme analogicky jako

v předcházejících příkladech:

–1 (–, 0) f ''( 1)( 1)

( )0

24 1 20144 44

6

$1- =

-= =

- - - - , tedy funkce f (x) je konkávní v inter-

valu (–, 0),

32 (0,

65 ) f '' 0

32

32

2432 20

324

6 6

$1= =

--

c

c c

m

m m

, tedy funkce f (x) je konkávní v intervalu (0, 65 ,


236

1 ( 65 , ) f ''(1)1

4 024 1 206

$ 2= =- , tedy funkce f (x) je konvexní v intervalu 65 , ).

V bodě 65 existuje první derivace funkce f (x) a přechází v něm funkce konkávní ve funkci

konvexní, tudíž bod 65 je infl exní bod funkce f (x).

PŘÍKLAD 7.100


konvexnosti a konkávnosti i body infl exe pro funkci f (x) = xx

31

2

2

+- .

Řešení

Nejprve určíme defi niční obor. V předpisu pro funkci f (x) je podíl, požadujeme x2 + 3 0. Protože pro libovolné reálné číslo x je x2 ≥ 3, tj. x2 + 3 ≥ 3 > 0. Výraz x2 + 3 je vždy kladný, tím je zaručeno, že je také platí x2 + 3 0, proto D( f ) = (–, ).

Určíme první derivaci, tzn.:

'f xxx

xx x x x

xx x x x

xx''( )

( )

( ) ( )

( ) ( 3)8

31

3

2 3 1 2

32 6 2 2

2

2

2 2

2 2

2 2

3 3

2 2

$ $= =

+

+=

+=

++- - - + - +

e o ,


Nejprve určíme nulové body první derivace funkce, tj. řešíme rovnici f '(x) = 0, tzn. x

x( )3

8 02 2+

= ,

zlomek se rovná 0 právě tehdy, jestliže se 0 rovná čitatel, tj. 8x = 0. Bod 0 je nulový bod první derivace funkce f (x) a dělí D( f ) na dva intervaly (–, 0) a (0, ). V každém z těchto intervalů je první derivace funkce f (x) stále kladná nebo stále záporná, proto stačí vybrat jeden bod z příslušného intervalu a podle znamení hodnoty první derivace v tomto bodě určíme znamení první derivace v celém intervalu.

V intervalu (–, 0) vezmeme reálné číslo (–1), dostáváme f '( 1)( 1) 3

( )0

8 12 2

$1- =

+-

-

_ i, proto f (x)

je záporná v intervalu (–, 0). Z toho vyplývá: funkce f (x) je klesající v intervalu (–, 0.

V intervalu (0, ) vezmeme reálné číslo 1, dostáváme f '(1)( )

01 38 12 3

$ 2=+

, proto f '(x) je kladná

v intervalu (0, ). Z toho vyplývá: funkce f (x) je rostoucí v intervalu 0, ).

V bodě 0 přechází funkce klesající ve funkci rostoucí, proto funkce f (x) nabývá v bodě 0 lokální minimum.

Dále spočteme druhou derivaci, tj.:

' 'f x

xx x

''( )( ) ( )

8 3 8 ( )

x

x x

38

3

32

2 2 2 2 2

2 2 2$ $=

+=

+

+ +=

-d

_

_ _n

i

i i

'x x x x3

8 3 8 6 9 8 8 (4 12 )

x

x x x

x

x

3

3

2

2 4 2

4

2

2 4

2 2 3$ $ $ $=

+

+ + +=

+

+ +=

- -

_

_ _

_

_

i

i i

i

i

x x x x x( ) ( )

x

x

x x3

8 3 32 3

3

8 3 32

3

24 242 4

2 2 2 2

2 3

2 2

2 3

2$ $ $=

+

+ +=

+

+=

+

- - -

_

_

_ _i

i

i i .


237

Druhá derivace funkce f existuje v celém defi ničním oboru funkce f . Dále určíme nulové

body druhé derivace funkce f , tj. řešíme rovnici f ''(x) = 0, tzn. x

x( )

03

24 242 3

2

+=- , zlomek se rov-

ná 0 právě tehdy, jestliže se 0 rovná čitatel, tj.: 24 – 24x2 = 0 x2 = 1 x = ±1. Body (–1) a 1 jsou nulové body druhé derivace funkce f (x) a dělí D( f ) na tři intervaly (–, –1), (–1, 1) a (1, ). V každém z těchto intervalů je druhá derivace funkce f (x) stále kladná nebo stále záporná, proto stačí vybrat jeden bod z příslušného intervalu a podle znamení hodnoty druhé derivace v tomto bodě určíme znamení druhé derivace v celém intervalu.

V intervalu (–, –1) vezmeme reálné číslo (–2), dostáváme f ''( 2)(( 2) 3)

24 24 ( 2)0

2 3

2$1- =

- +

-- , pro-

to f ''(x) je záporná v intervalu (–, –1). Z toho vyplývá: funkce f (x) je konkávní v intervalu (–, –1.

V intervalu (–1, 1) vezmeme reálné číslo 0, dostáváme f ''(0)(0 )

03

24 24 02 3

2$ 2=+

- , proto f ''(x) je

kladná v intervalu (–1, 1). Z toho vyplývá: funkce f (x) je konvexní v intervalu –1, 1.

V intervalu (1, ) vezmeme reálné číslo 2, dostáváme f ''(2)(2 )

03

24 24 22 3

2$ 1=+

- , proto f ''(x) je

záporná v intervalu (1, ). Z toho vyplývá: funkce f (x) je konkávní v intervalu 1, ).

V bodě (–1) existuje první derivace a přechází v něm funkce konkávní ve funkci konvexní, proto bod (–1) je bod infl exe funkce f (x), v bodě 1 existuje první derivace a přechází v něm funkce konvexní ve funkci konkávní, proto bod 1 je také bod infl exe funkce f (x).

PŘÍKLAD 7.101

Určíme opět nejen maximální intervaly monotónie a lokální extrémy, ale i maximální intervaly

konvexnosti a konkávnosti i body infl exe pro funkci f (x) = x

x42

2

-.

Řešení

Nejprve určíme defi niční obor, určitě musí být x2 4, tj. x ±2, tudíž dostáváme D( f ) = (–, –2) (–2, 2) (–2, ).

Nejprve vypočteme první derivaci, tj.:

'f xx

xx

x x x xx

x x xx

x''( )( )

2 ( 4) 2

( )2 8 2

( )4 4 4 48

2

2

2 2

2 2

2 2

3 3

2 2

$ $= = = + =

- -

- -

--

--

e o .


Nejprve určíme nulové body první derivace funkce, tj. řešíme rovnici f '(x) = 0, tzn. x

x( )

04

82 2 =-- ,

zlomek se rovná 0 právě tehdy, jestliže se 0 rovná čitatel, tj. –8x = 0. Bod 0 je nulový bod první derivace funkce f (x) a dělí D( f ) na čtyři intervaly (–, –2), (–2, 0), (0, 2) a (2, ). V každém z těchto intervalů je první derivace funkce f (x) stále kladná nebo stále záporná, proto stačí vybrat jeden bod z příslušného intervalu a podle znamení hodnoty první derivace v tomto bodě určíme znamení první derivace v celém intervalu.

V intervalu (–, –2) vezmeme reálné číslo (–3), dostáváme f '( )( )

( )03

3 4

8 32 2

$2- =

- -

- -

_ i, proto f '(x)

je kladná v intervalu (–, –2). Z toho vyplývá: funkce f (x) je rostoucí v intervalu (–, –2).


238

V intervalu (–2, 0) vezmeme reálné číslo (–1), dostáváme f '( 1)( )

( )0

1 4

8 12 2

$2- =

- -

- -

_ i, proto f '(x)

je kladná v intervalu (–2, 0). Z toho vyplývá: funkce f (x) je rostoucí v intervalu (–2, 0.

V intervalu (0, 2) vezmeme reálné číslo 1, dostáváme f '(1) 01 4

8 12 2

$ 1=-

-

_ i, proto f '(x) je záporná

v intervalu (0, 2). Z toho vyplývá: funkce f (x) je klesající v intervalu 0, 2).

V intervalu (2, ) vezmeme reálné číslo 3, dostáváme f '( ) 033 4

8 32 2

$ 1=-

-

_ i, proto f '(x) je zá-

porná v intervalu (2, ). Z toho vyplývá: funkce f (x) je klesající v intervalu (2, ).

V bodě 0 přechází funkce rostoucí ve funkci klesající, proto funkce f (x) nabývá v bodě 0 lokální maximum.

Dále spočteme druhou derivaci, tj.:

' 'f x

xx x x

''( )( ) ( )

8 ( 4) 8 ( 4)

x

x

48

4

2 2

2 2 2 2 2

2 2$ $= = =

--

-

- - + -d

_

_n

i

i

'x x x x x x x x( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

x x4

8 4 8 8 16

4

8 4 8 4 162 4

2 2 4 2

2 4

2 2 3$ $ $ $=

+ +=

+=

-

- - -

-

- - -

x x x x xx

x( )

( ) ( )

( )

( )

( )x x4

8 4 32 4

4

8 4 32

424 32

2 4

2 2 2 2

2 3

2 2

2 3

2$ $ $=

+=

+= +

-

- - -

-

- -

- .

Druhá derivace funkce f (x) existuje v celém defi ničním oboru funkce f . Dále určíme nulové

body druhé derivace funkce, tj. řešíme rovnici f ''(x) = 0, tzn. x

x( )

04

24 322 3

2

=-+ , zlomek se rovná

0 právě tehdy, jestliže se 0 rovná čitatel, tj. 24x2 + 32 = 0, ale tato rovnice nemá řešení pro-tože vždy platí 24x2 + 32 > 0. Tudíž D( f ) se dělí na tři intervaly (–, –2), (–2, 2) a (2, ). V každém z těchto intervalů je druhá derivace funkce f (x) stále kladná nebo stále záporná, proto stačí vybrat jeden bod z příslušného intervalu a podle znamení hodnoty druhé derivace v tomto bodě určíme znamení druhé derivace v celém intervalu.

V intervalu (–, –2) vezmeme reálné číslo (–3), dostáváme f ''( 3)( 3) 4

( )0

24 3 322 3

2$2- =

+

- -

-

_ i, proto

f ''(x) je kladná v intervalu (–, –2). Z toho vyplývá: funkce f (x) je konvexní v intervalu (–, –2).

V intervalu (–2, 2) vezmeme reálné číslo 0, dostáváme f ''( ) 000 4

24 0 32

4

322 3

2

3

$ 1= + =- -_ _i i

, proto

f ''(x) je záporná v intervalu (–2, 2). Z toho vyplývá: funkce f (x) je konkávní v intervalu (–2, 2).

V intervalu (2, ) vezmeme reálné číslo 3, dostáváme f ''(3) 03 4

24 3 322 2

2$ 2= +

-_ i, proto f ''(x) je

kladná v intervalu (2, ). Z toho vyplývá: funkce f (x) je konvexní v intervalu (2, ).



239

PŘÍKLAD 7.102

Najdeme nejen maximální intervaly monotónie a lokální extrémy, ale i maximální intervaly

konvexnosti a konkávnosti i body infl exe pro funkci f (x) = e

e1x

x

+.

Řešení

Nejprve určíme defi niční obor. Tato funkce obsahuje podíl, proto ex + 1 0. Z vlastností zá-kladní exponenciální funkce víme, že ex je vždy kladná, tudíž musí vždy platit také ex + 1 > 0, tedy D( f ) = (–, ).

Určíme první derivaci, tzn.:

'f xe

ee

e e e ee

e'( )( 1)

( 1)

( 1)1x

x

x

x x x x

x

x

2 2

$ $=

+=

+

+=

+

-e o .


Nejprve určíme nulové body první derivace funkce f , tj. řešíme rovnici f '(x) = 0, tzn. e

e( )

01x

x

2+

= ,

zlomek se rovná 0 právě tehdy, jestliže se 0 rovná čitatel, tj. ex = 0, ale tato rovnice nemá řešení. Tzn. f '(x) nemá nulové body a v intervalu (–, ) je stále kladná nebo stále záporná. Z vlastností základní exponenciální funkce víme, že f '(x) > 0 v celém intervalu (–, ), proto funkce f je rostoucí v intervalu (–, ).

Vypočteme druhou derivaci, tj.:

'f xe

ee

e e e e ee

e e''( )

( ) ( )

( 1) 2 ( 1)

( )

(1 )

1 1 1x

x

x

x x x x x

x

x x

4

2

3

$ $ $ $ $=

+=

+

+ +=

+

- -e o .

Druhá derivace funkce f existuje v celém defi ničním oboru funkce f .

Nejprve určíme nulové body druhé derivace funkce f , tj. řešíme rovnici f ''(x) = 0, tzn.

ee e( )

( )0

1

1x

x x

3

$

+=

- , zlomek se rovná 0 právě tehdy, jestliže se 0 rovná čitatel, tj. (s použitím vlast-

ností základní exponenciální funkce) ex . (1 – ex) = 0 1 – ex = 0 ex = 1 = e0. Tedy nulový bod druhé derivace je bod 0, který dělí defi niční obor funkce f na dva intervaly (–, 0) a (0, ). V každém z těchto intervalů je druhá derivace funkce f (x) stále kladná nebo stále záporná, proto stačí vybrat jeden bod z příslušného intervalu a podle znamení hodnoty druhé derivace v tomto bodě určíme znamení druhé derivace v celém intervalu. Tedy dostáváme:

–1 (–, 0), potom fe

e e e''( 1)

( 1)

(1 )1 1

e

e1 1

1

01 3

1 1$$

2=+

=--

+

-

-

- -

b

b

l

l

, proto funkce f je konvexní v in-

tervalu (–, 0,

1 (0, ), potom fe

e ee

e e''(1)

( )

( )

( 1)

(1 )0

1

11 3

1 1

3

$ $1=

+=

-

+

- , proto funkce f je konkávní v intervalu

0, ).

V bodě 0 existuje první derivace a přechází v něm funkce konvexní ve funkci konkávní, proto 0 je infl exní bod funkce f . Na obr. 7.14 (a) je graf funkce f .


240

OBRÁZEK 7.14

Ve statistice, demografi i, ekonomii, biologii, chemii a dalších empirických vědách (pro mo-delování růstu populací, koncentrací apod.) se používají logistické funkce (a jejich grafy se nazývají logistickými křivkami). Jde o funkce nabývající kladné hodnoty takové, že v počáteční fázi je růst přibližně exponenciální (tj. jsou rostoucí podobně jako základní exponenciální funkce), později s rostoucím nasycením se jejich růst velmi výrazně zpomaluje. Speciální

případ je funkce f (x) = e11

x+ -

, jejíž graf se nazývá sigmoida. Podívejme se na tuto funkci

podrobněji:

f xe

e ee e

e( )1

1

1

1 11 1 1x

x x

x x

x=

+=

+=

+=

+-, tzn. jde o funkci z předcházejícího příkladu a sigmoi-

da je na obr. 7.14 (a). Poznamenejme, že u logistických funkcí se zpravidla proměnná označuje t místo x, protože jde většinou o vyjádření v závislosti na čase.

PŘÍKLAD 7.103

Najdeme nejen maximální intervaly monotónie a lokální extrémy, ale i maximální intervaly konvexnosti a konkávnosti i body infl exe pro funkci f (x) = x . ln x.

Nejprve určíme defi niční obor. Tato funkce obsahuje funkci přirozený logaritmus, proto musí být x > 0, tedy D( f ) = (0, ).

Určíme první derivaci funkce f , tj.:

f '(x) = (x . ln x)' = x . x1 + 1 . ln x = 1 + ln x .

První derivace existuje v celém defi ničním oboru funkce f . Určíme nulové body první derivace,

tj. řešíme rovnici f '(x) = 0 1 + ln x = 0 x ln x = –1 = ln (e–1) x = e–1 = e1 . Nulový bod

e1 dělí defi niční obor na dva intervaly (0, e

1 ) a ( e1 , ). Postupujeme standardně:

–4 –2 2 4

0,4

0,2

0,6

0,8

1

Graf funkce

f (x) = e

e1x

x

+ (sigmoida)

(a)

–3 –2 2 3

0,4

0,2

0,6

0,8

1

–1 1

(b) Graf funkce

f (x) = e x

2

2

-


241

e12 (0, e

1 ) f '( e12 ) = f '(e–2) = 1 + ln (e–2) = 1 – 2 = –1 < 0, proto nutně musí být funkce f

klesající v intervalu (0, e1 ,

1 ( e1 , ) f '(1) = 1 + ln (1) = 1 – 0 = 1 > 0, tudíž funkce f je rostoucí v intervalu e

1 , ).

V bodě e1 přechází funkce klesající ve funkci rostoucí, proto v bodě e

1 nabývá funkce f lokální

minimum.

Dále vypočteme druhou derivaci funkce f , tj. f ''(x) = (1 + ln x)' = x1 . Druhá derivace existuje

v celém defi ničním oboru funkce f . Druhá derivace funkce f nemá nulové body (zlomek se rovná nule právě tehdy, jestliže se nule rovná čitatel zlomku), tzn. v celém intervalu (0, ) je druhá derivace stále kladná nebo stále záporná.

1 (0, ) f ''(1) = 11 = 1 > 0, tudíž funkce f je konvexní v intervalu (0, ).

Infl exní body funkce f nemá.

PŘÍKLAD 7.104

Najdeme nejen maximální intervaly monotónie a lokální extrémy, ale i maximální intervaly

konvexnosti a konkávnosti i body infl exe pro funkci f (x) = ex

2

2

- .

Řešení

Nejprve určíme defi niční obor. Zde nejsou žádné omezující podmínky pro defi niční obor, proto D( f ) = (–, ).

Nejprve určíme první derivaci, tj.:

'f x e e x x e'( )22x x x

2 2 2

2 2 2

$ $= = =- -- - -` bj l .

První derivace existuje v celém defi niční oboru funkce f . Vypočteme nulové body první derivace

funkce f , tzn. f '(x) = 0 –x . ex

2

2

- = 0 –x = 0 x = 0. Tedy nulový bod první derivace je bod 0, který dělí defi niční obor funkce f na dva intervaly (–, 0) a (0, ). V každém z těchto intervalů je první derivace funkce f (x) stále kladná nebo stále záporná, proto stačí vybrat jeden bod z příslušného intervalu a podle znamení hodnoty první derivace v tomto bodě určíme znamení první derivace v celém intervalu. Dostáváme:

–1 (–, 0), potom f e ee

'( 1) ( 1) 01( )

2

1

2

12

$ 2= = =- - - - --

, tudíž funkce f (x) je rostoucí v in-

tervalu (–, 0,

1 (0, ), potom f e ee

'(1) 1 012

1

2

12

$ 1= = =- - -- - , proto funkce f (x) je klesající v intervalu

0, ).

V bodě 0 je funkce f (x) defi nována a přechází v něm funkce rostoucí ve funkci klesající, tedy funkce f (x) nabývá v bodě 0 lokální maximum.


242

Určíme druhou derivaci, tj.:

'f x x e e x x e x e''( ) ( 1) ( ) ( 1 )2x x x x

2 2 2 2

2 2 2 2

$ $ $ $ $= = = +- - - - -- - - -a k .

Druhá derivace existuje v celém defi ničním oboru funkce f . Vypočteme nulové body druhé

derivace, tzn. f ''(x) = 0 (–1 + x2) . ex

2

2

- = 0 –1 + x2 = 0 x2 = 1 x = ±1. Body (–1) a 1 jsou nulové body druhé derivace funkce f (x) a dělí D( f ) na tři intervaly (–, –1), (–1, 1) a (1, ). V každém z těchto intervalů je druhá derivace funkce f (x) stále kladná nebo stále záporná, proto stačí vybrat jeden bod z příslušného intervalu a podle znamení hodnoty druhé derivace v tomto bodě určíme znamení druhé derivace v celém intervalu:

–2 (–, –1) f e ee

''( 2) ( ) 3 01 2 32 2

22

( )2 2

$ $ 2= + = =- - - - --

_ i , proto f (x) je konvexní v intervalu

(–, –1,

0 (–1, 1) f e e''(0) ( 1 0 ) ( 1) 1 02 02

02

$ $ 1= + = =- - -- , proto funkce f (x) je konkávní v intervalu

–1, 1,

2 (1, ) f e ee

''( ) ( 1 ) 02 2 3 32 2

22

22

$ $ 2= + = =- - - , proto f (x) je konvexní v intervalu 1, ).

V bodě (–1) existuje první derivace a přechází v něm funkce konvexní ve funkci konkávní, proto bod (–1) je bod infl exe funkce f (x), v bodě 1 existuje první derivace a přechází v něm funkce konkávní ve funkci konvexní, proto bod 1 je také bod infl exe funkce f (x).

Na obr. 7.14 (b) je graf funkce f (x).

Ve statistice se setkáte s funkcí g e( )2

1x 2

2x

$=r

- , což je funkce, která se od předcházející liší

pouze o vynásobení konstantou 2

1

r. Funkce g (x) je hustota normovaného normálního

rozdělení a její graf se nazývá Gaussova křivka. Na obr. 7.14 (b) je téměř Gaussova křivka.


243

7.6Extrémy spojité funkce v uzavřeném intervaluPro vyšetřování extrémů potřebuje ještě jednu větu.

VĚTA

(nutná podmínka pro lokální extrém)

Jestliže funkce f (x) nabývá v bodě c lokální extrém, potom f '(c ) = 0, pokud derivace existuje.

Standardní postup při vyšetřování extrémů spojité funkce f (x) v uzavřeném intervalu a, b:

a) ověříme předpoklady Weierstrassovy věty,

b) mezi body, ve kterých může nastat extrém, zahrneme krajní body intervalu a, b, tj. body a a b,

c) mezi body, ve kterých může nastat extrém, zahrneme vnitřní body intervalu a, b (tj. body intervalu (a, b)), ve kterých buď derivace je 0, nebo derivace neexistuje,

d) spočteme funkční hodnoty funkce f (x) v bodech získaných v částech b) a c), v bodě, ve kterém je funkční hodnota největší (příp. nejmenší), nastává maximum (příp. minimum) funkce f (x) vzhledem k intervalu a, b.

PŘÍKLAD 7.105

Vyšetříme extrémy funkce f (x) = x 2 + 2x vzhledem k intervalu –2, 1.

Řešení

a) D( f ) = (–, ), funkce f (x) je elementární a –2, 1 D( f ), podle věty o spojitosti elementárních funkcí je funkce f (x) spojitá v –2, 1, tzn. jsou splněny předpoklady Weierstrassovy věty.

b) Mezi body, ve kterých může nastat extrém zahrneme body (–2) a 1.

c) Spočteme f '(x) = 2x + 2. První derivace existuje ve všech vnitřních bodech in-tervalu –2, 1, tudíž extrém může nastat v nulových bodech první derivace, tj. f '(x) = 0 2x + 2 = 0 x = –1 (–2, 1), tudíž mezi body, ve kterých může nastat extrém, zahrneme bod (–1).

d) V bodech (–2), 1 a (–1) spočteme funkční hodnoty funkce f (x), tzn.: f (–2) = (–2)2 + 2 . (–2) = 0, f (1) = 12 + 2 . 1 = 3 a f (–1) = (–1)2 + 2 . (–1) = –1. Číslo

3 je největší a číslo (–1) je nejmenší, proto funkce f (x) nabývá v bodě 1 maxima a v bodě (–1) minima vzhledem k –2, 1.

Pro ilustraci je na obr. 7.15 (a) graf funkce f (x) v –2, 1.


244

PŘÍKLAD 7.106

Vyšetříme extrémy funkce f (x) = x 3 – 3x vzhledem k intervalu –2, 0.

Řešení


b) Mezi body, ve kterých může nastat extrém zahrneme body (–2) a 0.

c) Spočteme f '(x) = 3x2 – 3. První derivace existuje ve všech vnitřních bodech in-tervalu –2, 0, tudíž extrém může nastat v nulových bodech první derivace, tj. f '(x) = 0 3x2 – 3 = 0 x2 = 1, tato rovnice má dva kořeny x = 1 (–2, 0) a x = –1 (–2, 0), tudíž mezi body, ve kterých může nastat extrém, zahrneme pouze bod (–1).

d) V bodech (–2), 0 a (–1) spočteme funkční hodnoty funkce f (x), tzn.: f (–2) = (–2)3 – 3 . (–2) = –2, f (0) = 03 – 3 . 0 = 0 a f (–1) = (–1)3 – 3 . (–1) = 2. Z funkč-

ních hodnot je největší číslo 2 a nejmenší číslo (–2), proto funkce f (x) nabývá v bodě (–2) minima a v bodě (–1) maxima vzhledem k –2, 0.

Na obr. 7.15 (b) je graf funkce f (x) v –2, 0.

OBRÁZEK 7.15

PŘÍKLAD 7.107

Vypočteme extrémy funkce f (x) = x23 vzhledem k intervalu –1, 8.

Řešení


b) Mezi body, ve kterých může nastat extrém, zahrneme body (–1) a 8.

f (x) = x2 + 2x v intervalu –2, 1

(a)

–1

1

2

3

1

(b) f (x) = x3 + 3x v intervalu –2, 0

0,5–0,5–1–1,5–2

–2

1

1

2

–2 –1,5 –0,5–1


245

c) Spočteme ' 'f x x xx

'( )32

3

223

233

23

1

$$

= = = =-x` `j j , první derivace neexistuje v bodě

0 (–1, 8), tzn. bod 0 zahrneme mezi body, ve kterých může nastat extrém. Rovnice f '(x) = 0 nemá řešení (čitatel se nemůže rovnat 0).

d) Vypočteme funkční hodnoty funkce f (x) v bodech (–1), 8 a 0, tj.:

f ( 1) ( ) 11 123 3= = =- - , f (8) 8 46423 3

= = = a f ( ) 00 0 023 3= = = . Z těchto

funkčních hodnot je největší číslo 4 a nejmenší číslo 0. Funkce f (x) nabývá v bodě 8 maxima a v bodě 0 minima vzhledem k –1, 8.

7.7Některé ekonomické aplikaceV příkladu 6.20 jsme uvedli nákladovou funkci C(q) (někdy se používá pro tuto funkci ozna-čení TC(q)). Mezní náklady je funkce MC(q) defi novaná předpisem MC(q) = C '(q), tedy jde o použití derivace funkce.

V příkladu 6.21 jsme hovořili o funkci celkových výnosů TR(q), mezní výnosy je funkce MR(q), která je defi nována analogicky předpisem MR(q) = TR'(q).

Podobně bychom mohli pokračovat s dalšími funkcemi v ekonomických modelech.

PŘÍKLAD 7.108

Nákladová funkce je dána předpisem C(q) = q100

2

+ 40q + 500, určíme mezní náklady MC(q).

Řešení

Protože MC(q) = C '(q), dostáváme '

q q q q q( )

10040

5040MC

10040 500

22

= + + = + = +e o .

DEFINICE

Elasticita funkce

Jestliže funkce f (x) je defi novaná, kladná v (a, b) (0, ) a existuje f '(c ), kde c (a, b),

potom elasticita funkce f (x) v bodě c jeE c f cf c

( )( )

'( )cf

$= .


246

PŘÍKLAD 7.109

Vypočteme elasticitu poptávkové funkce q q( )D 100= pro q (0, ).

Řešení

Určíme derivaci funkce D(q), tj. 'q q q

'( )D 100 1002= =-e o . Elasticita funkce D(q) pro libovolné

q (0, ) je q q qq q

q

q( )

( )

'( )1E

D

D

100

100

D

2

$ $= = =

-

- .

PŘÍKLAD 7.110

Vypočteme elasticitu poptávkové funkce D(q) = 800 – q pro q (0,800).

Řešení

Určitě D'(q) = (800 – q)' = –1, tzn. elasticita funkce D(q) pro q (0,800) je

q q qq q q q

q( )

( )

'( )E

D

D

8001

800D$ $= = =

--

-

-.

Elasticita funkce f (x) se zpravidla používá v případě, že f '(x) < 0 v intervalu (a, b) (0, ), tj. funkce f (x) je klesající v intervalu (a, b) a Ef (x) < 0 pro x (a, b).

Je-li Ef (x) = –1, potom funkce f (x) je v bodě x jednotkově elastická,

je-li Ef (x) < –1, potom funkce f (x) je v bodě x elastická,

je-li Ef (x) > –1, potom funkce f (x) je v bodě x neelastická.

Funkce D(q) z příkladu 7.109 je jednotkově elastická pro všechna q (0, ).


247


Spočtěte derivaci funkce f (x), jestliže:

a) f (x) = 3 ,

b) f (x) = –11 ,

c) f (x) = x6 ,

d) f (x) = x11 ,

e) f (x) = x15 ,

f) f (x) = x18 ,

g) f (x) = x3 ,

h) f (x) = x7 ,

i) f (x) = x 334 25+ ,

j) f (x) = x1

5

33

+ ,

k) f (x) = xx

3 ,

l) f (x) = 2x ,

m) f (x) = 5x3 ,

Výsledky

a) f '(x) = 0 ,

b) f '(x) = 0 ,

c) f '(x) = 6 . x5 ,

d) f '(x) = 11 . x10 ,

e) f '(x) = x56

- ,

f) f '(x) = x89

- ,

n) f (x) = –12x7 ,

o) f (x) = x3 + 2x2 – 5x + 7 ,

p) f (x) = xx

23

+- ,

q) f (x) = x

x1 2

2

- ,

r) f (x) = xx4

3

- ,

s) f (x) = xx2

3

- ,

t) f (x) = x

x43

3

- ,

u) f (x) = x

x1 3

2

- ,

v) f (x) = x

xln ln23 + ,

w) f (x) = xx xln

2+ ,

x) f (x) = x4 . ex + e5 ,

y) f (x) = (x3 + 4x2 + 2x) . ln x ,

z) f (x) = x x x2ex

3 2+ + .

g) f '(x) = 3

1

x23$ ,

h) f '(x) = x7

167$

,

i) f '(x) = x4

34$

,

j) f '(x) = x x x33

1 143 3$ $=- - ,

k) f '(x) = x6

156$

,

l) f '(x) = 2 . 1 = 2 ,


248

m) f '(x) = 15x2 ,

n) f '(x) = –84x6 ,

o) f '(x) = 3x2 + 2x – 5 ,

p) f '(x) = x( )25

2+

,

q) f '(x) = xx

( )12

2 2-

,

r) f '(x) = x

x x( )2 12

4 2

3 2

-- ,

s) f '(x) = xx x( )2

26

2

3 2

-- ,

t) f '(x) = x

x( )4

123 2

2

-- ,

u) f '(x) = x

x x( )

21 3 2

4+-

,

v) f '(x) = x

xln1 34

$- ,

w) f '(x) = x

x x x(2 1)

ln

ln 12

$+ - - ,

x) f '(x) = (4x3 + x4) . ex ,

y) f '(x) = (3x2 + 8x + 2) . ln x + x2 + 4x + 2 ,

z) f '(x) = e

x x x3 1x

3 2+ +- + .

Příklad 2:

Vypočtěte první a druhou derivaci funkce f (x), jestliže:

a) f (x) = x3 + ln x ,

b) f (x) = xx2

2

- ,

c) f (x) = xx1

2

- ,

d) f (x) = xx

1

2

- ,

Výsledky

a) f '(x) = xx3 13+ , f ''(x) =

xx6 1

2

3- ,

b) f '(x) = xx x( )

42 2

2

-- , f ''(x) =

x( )28

2-

,

e) f (x) = xxln

,

f) f (x) = xx 13- ,

g) f (x) = x

x 53+ ,

h) f (x) = x

x23

- .


249

c) f '(x) = x

x x( )

21 2

2

-- , f ''(x) =

x( )12

3-

,

d) f '(x) = x

x x( )12

2

2

-- , f ''(x) =

x( )12

3-

,

e) f '(x) = x

x 1ln

ln2- , f ''(x) =

x xx

lnln23

- ,

f) f '(x) = x

x2 12

3+ , f ''(x) =

xx2 2

3

3- ,

g) f '(x) = x

x2 154

- - , f ''(x) = x

x6 605

+ ,

h) f '(x) = x

x2 64- , f ''(x) =

xx6 24

5- + .

Příklad 3:

Určete maximální intervaly monotónie, lokální extrémy, maximální intervaly konvexnosti a konkávnosti i body infl exe pro funkci f (x), jestliže:

a) f (x) = x23 ,

b) f (x) = x34 ,

c) f (x) = x3 – 12x ,

d) f (x) = 2x3 – 3x2 – 12x + 5 ,

e) f (x) = x4 – 18x2 ,

f) f (x) = xx

32

++ ,

Výsledky

a) D( f ) = (–, 0) (0, ), funkce f (x) je klesající jak v intervalu (–, 0), tak i v inter-valu (0, ), lokální extrémy funkce f (x) nenabývá, je konkávní v intervalu (–, 0), je konvexní v intervalu (0, ), body infl exe funkce f (x) nemá,

b) D( f ) = (–, 0) (0, ), funkce f (x) je rostoucí v intervalu (–, 0) a je klesající v intervalu (0, ), lokální extrémy funkce f (x) nenabývá, je konvexní jak v intervalu (–, 0), tak i v intervalu (0, ), body infl exe funkce f (x) nemá,

c) D( f ) = (–, ), funkce f (x) je rostoucí v intervalech (–, –2 a 2, ), je klesající v intervalu –2, 2, v bodě (–2) nabývá lokální maximum, v bodě 2 lokální minimum, je konkávní v intervalu (–, 0 a je konvexní v intervalu 0, ), 0 je infl exní bod,

d) D( f ) = (–, ), funkce f (x) je rostoucí v intervalech (–, –1 a 2, ), je klesající v intervalu –1, 2, v bodě (–1) nabývá lokální maximum, v bodě 2 lokální minimum,

je konkávní v intervalu (–, 21 a je konvexní v intervalu 21 , –), 21 je infl exní

bod,

e) D( f ) = (–, ), funkce f (x) je klesající v intervalu (–, –3, je rostoucí v intervalu –3, 0, je klesající v intervalu 0, 3, je rostoucí v intervalu 3, ), v bodech (–3) a 3 nabývá lokální minimum, v bodě 0 lokální maximum, je konvexní v intervalu

g) f (x) = x

x 25+ ,

h) f (x) = 3x4 – 8x3 – 48x2 ,

i) f (x) = xx1

2

- ,

j) f (x) = ex

x ,

k) f (x) = x

x12

+ .


250

( 3, 2 3- - , je konkávní v intervalu 2 , 23 3- a je konvexní v intervalu 2 ,3 3), ( 2 3- ) a 2 3 jsou infl exní body,

f) D( f ) = (–, 0) (0, ), funkce f (x) je rostoucí v intervalu (–, –3), je rostoucí v intervalu (–3, ), lokální extrémy nenabývá, je konvexní v intervalu (–, –3), je konkávní v intervalu (–3, ), infl exní body nemá,

g) D( f ) = (–, 0) (0, ), funkce f (x) je rostoucí v intervalu (–, 25- , je klesající

v intervalu 25- , 0) a je klesající v intervalu (0, ), v bodě ( 2

5- ) nabývá lokální ma-

ximum, je konvexní v intervalu (–, –3, je konkávní v intervalu –3, 0), je konkávní v intervalu (0, ), (–3) je infl exní bod,

h) D( f ) = (–, ), funkce f (x) je klesající v intervalu (–, –2, je rostoucí v intervalu –2, 0, je klesající v intervalu 0, 4, je rostoucí v intervalu 4, ), v bodech (–2) a 4 nabývá lokální minimum, v bodě 0 lokální maximum, je konvexní v intervalu

(–, 3

2 2 7$- , je konkávní v intervalu 32 2 7$- ,

32 2 7$+ , a je konvexní v in-

tervalu 32 2 7$+ , ), 3

2 2 7$- a 3

2 2 7$+ jsou infl exní body,

i) D( f ) = (–, 1) (1, ), funkce f (x) je rostoucí v intervalu (–, 0, je klesající v in-tervalu 0, 1)a je klesající v intervalu (1, 2, je rostoucí v intervalu 2, ), v bodě 0 nabývá lokální maximum, v bodě 2 lokální minimum, je konkávní v intervalu(–, 1) a je konvexní v intervalu (1, ), infl exní body funkce f (x) nemá,

j) D( f ) = (–, ), funkce f (x) je rostoucí v intervalech (–, 1, je klesající v intervalu 1, ), v bodě 1 nabývá lokální maximum, je konkávní v intervalu (–, 2 a je kon-vexní v intervalu 2, ), 2 je infl exní bod,

k) D( f ) = (–, ), funkce f (x) je klesající v intervalu (–, –1, je rostoucí v inter-valu –1, 1, je klesající v intervalu 1, ), v bodu (–1) nabývá lokální minimum, v bodu 1 lokální maximum, je konkávní v intervalu (–, –3, je konvexní v intervalu –3, 0, je konkávní v intervalu 0, 3 a je konvexní v intervalu 3, ), (–3), 0 a 3 jsou infl exní body.

Příklad 4:

Určete rovnici tečny ke grafu funkce:

a) f (x) = x2 v bodech [2, f (2)] a [–1, f (–1)] ,

b) f (x) = xx

142

+-

v bodě [2, f (2)] ,

c) f (x) = ln x v bodě [1, f (1)] ,

d) f (x) = x . ln x v bodě [1, f (1)] ,

e) f (x) = ln (x + 1) v bodě [0, f (0)] ,

f) f (x) = xx

3 52 1

-- v bodě [2, f (2)] ,

g) f (x) = 2 . cos(x) + 3 v bodě [0, f (0)] .


251

Výsledky

a) 4x – y = 4 a 2x + y = –1,

b) 4x + y = 16,

c) x – y = 1,

d) x – y = 1,

Příklad 5:

Vyšetřete extrémy funkce f (x) vzhledem k intervalu I, jestliže:

a) f (x) = x3 + 3x2 a I = –3, 1 ,

b) f (x) = x3 – 6x2 a I = 1, 5 ,

c) f (x) = x3 – 6x2 a I = –1, 1 ,

d) f (x) = x3 – 6x2 a I = –1, 5 ,

e) f (x) = x2 – 1 a I = –1, 3 ,

f) f (x) = 2x3 – 12x2 a I = –1, 2 ,

Výsledky

a) f (x) nabývá v bodech (–2) a 1 maxima a v bodech (–3) a 0 minima vzhledem k in-tervalu I = –3, 1,

b) f (x) nabývá v bodě 1 maxima a v bodě 4 minima vzhledem k intervalu I = 1, 5.

c) f (x) nabývá v bodě 0 maxima a v bodě (–1) minima vzhledem k intervalu I = –1, 1,

d) f (x) nabývá v bodě 0 maxima a v bodě 4 minima vzhledem k intervalu I = –1, 5,

e) f (x) nabývá v bodě 3 maxima a v bodě 0 minima vzhledem k intervalu I = –1, 3,

f) f (x) nabývá v bodě 0 maxima a v bodě 2 minima vzhledem k intervalu I = –1, 2,

g) f (x) nabývá v bodě (–3) maxima a v bodě 1 minima vzhledem k intervalu I = –3, 1,

h) f (x) nabývá v bodě 0 maxima a v bodě 2 minima vzhledem k intervalu I = 0, 3,

i) f (x) nabývá v bodě (–8) maxima a v bodě 0 minima vzhledem k intervalu I = –8, 1,

j) f (x) nabývá v bodech (–1) a 1 maxima a v bodě 0 minima vzhledem k intervalu I = –1, 1,

k) f (x) nabývá v bodě 0 maxima a v bodě 2 minima vzhledem k intervalu I = –1, 2.

e) x – y = 0,

f) 7x + y = 17,

g) 2x – y = –3.

g) f (x) = x2 – 4x a I = –3, 1 ,

h) f (x) = x2 – 4x a I = 0, 3 ,

i) f (x) = x23 a I = –8, 1 ,

j) f (x) = x25 a I = –1, 1 ,

k) f (x) = e1 – x2 a I = –1, 2 .


252

Shrnutí kapitoly

• V této kapitole jsme se věnovali derivacím funkcí jedné proměnné. Při derivování je nutné dobře analyzovat předpis, abychom vhodně použili věty o derivování operací, zvláště větu o derivaci funkce složené.

• Derivací funkce v bodě známe směrnici tečny ke grafu funkce a můžeme určit rovnici tečny.

• Derivaci lze použít pro výpočet limit užitím l’Hospitalova pravidla.

• Z kladnosti nebo zápornosti první (příp. druhé) derivace funkce v intervalu určíme intervaly, ve kterých je funkce rostoucí nebo klesající (příp. konvexní nebo konkávní), rovněž stanovíme lokální extrémy (příp. infl exní body).

• Derivace nám umožňuje nalézt extrémy spojité funkce na uzavřeném intervalu.

Klíčová slova

derivace funkce směrnice tečny

sklon křivky l’Hospitalovo pravidlo

lokální extrémy funkce konvexnost funkce

konkávnost funkce infl exní bod funkce

elasticita funkce lokální maximum funkce

lokální minimum funkce význam 1. derivace pro průběh funkce

nutná a postačující podmínka pro lokální extrém funkce

nutná podmínka pro lokální extrém funkce

extrémy spojité funkce vzhledem k uzavřenému intervalu

význam 2. derivace pro průběh funkce

8Integrály

kapitola

Integrály Kapitola 8

257

8. kapitolaIntegrályJak jsme již uvedli, v integrálním počtu hledáme zákonitost, která ze závislosti „nekonečně malé“ změny funkčních hodnot na „nekonečně malé“ změně proměnné odvodí obecnou funkční závislost.

Operace integrování je opačná operace vzhledem k operaci derivování. U derivace funkce máme k dispozici derivace všech základních elementárních funkcí, umíme derivovat operace sčítání, odčítání, násobení i dělení funkcí, jakož i derivovat funkci složenou. Není žádný problém určit derivaci jakékoli elementární funkce. U integrace elementárních funkcí budeme mít integrály jenom některých základních elementárních funkcí a uvedeme pouze dvě operace pro výpočet integrálů, přičemž výpočet integrálů spočívá v rafi novaném střídání těchto dvou metod.

Úvod

Zavedeme pojem primitivní funkce, kterým defi nujeme neurčitý integrál. Pro neurčitý integrál zavedeme integrály některých základních elementárních funkcí a uvedeme dvě metody pro výpočet (integrace per partes a integrace substitucí). Závěr této kapitoly věnujeme určitému integrálu, který z geometrického hlediska představuje plochu, jejíž velikost může být i záporná, což je závislé na to, zda graf funkce je nad osou x nebo pod ní.


258

8.1Primitivní funkceAbychom mohli pracovat s integrály, je pro nás podstatný pojem primitivní funkce, protože užitím tohoto termínu defi nujeme jak neurčitý, tak i určitý integrál.

DEFINICE

Primitivní funkce

Funkce F(x) je primitivní funkce k funkci f (x) v intervalu I, jestliže pro všechna x z intervalu I platí F '(x) = f (x).

PŘÍKLAD 8.1

Rozhodneme, zda funkce F1(x) = x2

sin2

, F2(x) = x2

cos2- a F3(x) = x2

sin 102

6+ jsou primitivní

funkce k funkci f (x) = sin x . cos x v intervalu (–, ).

Řešení

Nejprve určíme defi niční obor funkce f (x). Zde není žádná omezující podmínka, tudíž D( f ) = (–, ).

Pro libovolné x z intervalu (–, ) platí:

'F x x x x x x f x'( ) ( )sin sin cos sin cos

2 22

1

2 $ $ $= = = =e o ,

tudíž funkce F1(x) je primitivní funkce k funkci f (x) v intervalu (–, ).

Analogicky pro libovolné x z intervalu (–, ) platí:

'F x x x x x x f x'( )

( )( )cos cos sin

sin cos2 2

22

2 $ $$= = = =- -

-e o ,

tudíž funkce F2(x) je rovněž primitivní funkce k funkci f (x) v intervalu (–, ).

Podobně pro libovolné x z intervalu (–, ) platí:

' 'F x x x x x x x f x'( ) ( )sin sin sin cos sin cos

210

2 22

3

26

2 $ $ $= + = = = =e eo o ,

tudíž funkce F3(x) je také primitivní funkce k funkci f (x) v intervalu (–, ).

Shrneme-li, potom funkce F1(x), F2(x) a F3(x) jsou primitivní funkce k funkci f (x) v intervalu (–, ).

Funkce F1(x) a F3(x) ukazují, najdeme-li jednu primitivní funkci F(x) k funkci f (x) v intervalu I, potom máme ihned nekonečně mnoho primitivních funkcí k funkci f (x) v intervalu I, protože stačí k funkci F(x) přičítat libovolné reálné konstanty.


259

VĚTA

(o vlastnostech primitivní funkce) a) Je-li funkce f (x) spojitá v intervalu I, potom v intervalu I existuje primitivní funkce k funkci

f (x).

b) Jestliže F(x) je primitivní funkce k funkci f (x) v intervalu I a C je reálné číslo, potom funkce G(x), defi novaná předpisem G(x) = F(x) + C, je rovněž primitivní funkce k funkci f (x) v in-tervalu I.

c) Jsou-li F(x) a G(x) primitivní funkce k funkci f (x) v intervalu I, potom existuje reálné číslo C takové, že pro všechna x z intervalu I platí G(x) = F(x) + C.

V této větě je zrádná část a), protože zaručuje existenci primitivní funkce ke každé spojité funkci v intervalu, ale nedává návod na vypočítání primitivní funkce. Lze nalézt mnoho elementárních funkcí, ke kterým musí existovat primitivní funkce, ale primitivní funkce není elementární, tudíž jednoduchou cestou se k ní nedostaneme.

PŘÍKLAD 8.2

Rozhodneme, že funkce F(x) = –2 . e–x –1 je primitivní funkce k funkci f (x) = 2 . e–x v intervalu (–, ), dále určíme všechny primitivní funkce k funkci f (x) = 2 . e–x v intervalu (–, ).

Řešení

Pro x (–, ) určitě platí F '(x) = (–2 . e–x –1)' = (–2) . e–x . (–1) = 2 . e–x = f (x), proto funkce F(x) je primitivní funkce k funkci f (x) v intervalu (–, ).

Podle věty o vlastnostech primitivní funkce všechny primitivní funkce k funkci f (x) = 2 . e–x v intervalu (–, ) jsou všechny funkce G(x) = F(x) + C = –2 . e–x –1 + C, kde C probíhá všechna reálná čísla.

Na obr. 8.1 jsou grafy některých primitivních funkcí k funkci f (x) = 2 . e–x v intervalu (–, ) a graf funkce F(x) je vyznačen tučnější čarou.

OBRÁZEK 8.1

Grafy některých primitivních funkcí k funkci f (x) = 2 . e–x

–0,5–1,5–2 –1 0,5 1

–7,5

–10

–12,5

–15

–5

–2,5


260

PŘÍKLAD 8.3

Rozhodneme, že funkce F(x) = sin (x) je primitivní funkce k funkci f (x) = cos (x) v intervalu (–, ), určíme všechny primitivní funkce k funkci f (x) = cos (x) v intervalu (–, ).

Řešení

Pro x z intervalu (–, ) určitě platí F '(x) = (sin (x))' = cos (x) = f (x), proto funkce F(x) je primitivní funkce k funkci f (x) v intervalu (–, ).

Podle předcházející věty všechny primitivní funkce k funkci f (x) = cos (x) v intervalu (–, ) jsou všechny funkce G(x) = F(x) + C = sin (x) + C, kde C probíhá všechna reálná čísla. Na obr. 8.2 jsou grafy některých primitivních funkcí k funkci f (x) = cos (x) v intervalu (–, ).

OBRÁZEK 8.2

Grafy některých primitivních funkcí k funkci f (x) = cos (x)

2–4 –2 4–1

–2

–3

–1

–2

–3


261

8.2Neurčitý integrál

DEFINICE

Neurčitý integrál funkce

Neurčitý integrál funkce f (x) v intervalu I je f ( )xy dx = F(x) + C, kde F(x) je jedna

z primitivních funkcí k funkci f (x) v intervalu I a C je reálná konstanta procházející všech-

na reálná čísla.

Neurčitý integrál funkce f (x) je vlastně množina všech primitivních funkcí k funkci f (x), což vyjadřuje konstanta C, která probíhá všechna reálná čísla a kterou nazýváme integrační konstantou.

Integrál se značí stylizovaným protaženým písmenem S (z latinského summa), tedy symbolem y se značí integrování a nazývá se integrační znak. Toto značení vytvořil Gottfried Wilhelm Leibniz. Symbol dx označuje proměnnou, podle které se integruje (původně označovalo infi nitezimální hodnotu37), dnes však slouží jen jako ryze symbolické označení bez dalšího významu).

Uvedeme přehled základních integrálů:

je-li a reálné číslo, potom da ax x C$= +y v každém intervalu I (–, ),

dx x nx C

1

1n

n

=+

++

y buď n N a v každém intervalu I (–, ), nebo n R – {–1} a v každém

intervalu I (0, ),

dx x x Cln1 = +y v každém intervalu I (–, ) (0, ),

de x e Cx x= +y v každém intervalu I (–, ),

je-li a (0, ) (1, ), potom da aax Cln

xx

= +y v každém intervalu I (–, ),

dx x x C( ) ( )sin cos= +y v každém intervalu I (–, ),

dx x x C( ) ( )cos sin= +y v každém intervalu I (–, ),

dx

x x C( )

cotg( )sin

12 = +y v každém intervalu, který neobsahuje reálná čísla tvaru k . , kde

k Z,

dx

x x C( )

tg( )cos

12 = +y v každém intervalu, který neobsahuje reálná čísla tvaru

2 + k . , kde

k Z,

37) Infi nitezimální nebo nekonečně malé číslo je číslo, jehož absolutní hodnota je menší, než jakékoliv kladné reálné číslo.


262

dx

x x C21 $= +y v každém intervalu I (0, ),

dx x x C3

2 3$= +y v každém intervalu I 0, ),

df xf x x f x C( )

'( )( )ln= +y v každém intervalu, ve kterém je f (x) 0.

Poslední integrál se většinou mezi základními vzorci neuvádí, považujeme jej za velmi dů-ležitý pro aplikace. Budeme-li mít za integrálem zlomek, v první fázi testujeme, zda čitatel není derivací jmenovatele.

Porovnáme-li tento přehled s derivacemi základních elementárních funkcí, vidíme, že chybí integrály funkcí tangens, kotangens, přirozený logaritmus i logaritmus o základu a.

I když si jsou některé funkce za integrálem grafi cky hodně podobné, mnohdy se takové inte-grály počítají velice rozdílnými způsoby.

PŘÍKLAD 8.4

Vypočteme dx2y .

Řešení

Jde o konstantní funkci, proto dx x C22 $= +y .

PŘÍKLAD 8.5

Vypočteme dx53y .

Řešení

Opět jde o konstantní funkci, proto dx x C5 53 3 $= +y .

PŘÍKLAD 8.6

Vypočteme dx x3y .

Řešení

Použijeme vzorec pro integrál xn (v našem případě n = 3), tj.:

dx x x C x C3 1 4

33 41

=+

+ = ++

y .


263

PŘÍKLAD 8.7

Vypočteme dx

x14y .

Řešení

Použijeme vzorec pro integrál xn, tj.:

d dx

x x x x C x Cx

C14 1 3 3

14

44 1 3

3$= =

++ = + = +

- --

+-

- -

y y .

PŘÍKLAD 8.8

Vypočteme dx x5y .

Řešení

Opět použijeme vzorec pro integrál xn, tj.:

d dx x x x x C x C x C51 1 6

56

551 65

5

1 5

1

5

6

$ $= =+

+ = + = ++

y y .

PŘÍKLAD 8.9

Vypočteme dx x x3$y .

Řešení


d d dx x x x x x x x C x C x C65 1 11

611

631 116

2

1

3

1

6

5 6

5

6

11

$ $ $= = =+

+ = + = +++

y y y .

PŘÍKLAD 8.10

Vypočteme dx

x x x3$y .

Řešení


d d dx

x x x x x x x x C x C x C65 1 11

611

631

1 1163

1

2

1

6

5 6

5

6

11

$ $ $= = =+

+ = + = +++

-y y y .


264

PŘÍKLAD 8.11

Vypočteme de

e x1x

x

+y .

Řešení

Za integrálem je zlomek, určitě (ex + 1)' = ex, čitatel je derivací jmenovatele. Lze použít poslední

vzorec d de

e xee x e C e C( )'

( 1)ln ln1 1

11x

x

x

xx x

+=

+

+= + + = + +y y , protože základní exponenciál-

ní funkce nabývá pouze kladných hodnot, proto vždy platí ex + 1 > 0.

PŘÍKLAD 8.12

Vypočteme dx xcotg( )y .

Řešení

Integrál funkce cotg (x) není mezi základními vzorci, využijeme defi nici této funkce, derivaci (sin(x))' = cos(x) a poslední vzorec pro výpočet neurčitých integrálů, tj.:

d d dx x xx x x

x x xcotg( )( )( )

( )( ( ))'

( )sincos

sinsin

ln sin C= = = +y y y .

VĚTA

(o linearitě neurčitého integrálu)Jsou-li f (x) a g (x) funkce a k reálné číslo, potom při vhodné volbě integračních konstant platí v intervalu I:

d d dx x x x= +f x( ) ( )f x g x g( ) ( )+_ iy yy ,

d d dx x x x=- -f x( ) ( )f x g x g( ) ( )_ iy yy ,

d dx x= f x( )k $f x( )k $_ iy y ,


PŘÍKLAD 8.13

Vypočteme dx xtg( )y .

Řešení

Tento integrál budeme zřejmě počítat analogicky jako integrál funkce kotangens s tím, že zde je drobný problém v derivaci funkce kosinus, pro kterou platí (cos(x))' = –sin(x). Zlomek za integrálem rozšíříme číslem (–1) a číslo (–1) ze jmenovatele vytkneme před integrál, tj.:

d d d d dx x xx x x

x x xx x x

x x x Ctg( )( )( )

( ) ( )( ) ( )

( )( )

( )( ( ))'

( )cossin

cossin

cossin

coscos

ln cos11$$

= = = = = +--

--

- -y y y y y .


265

PŘÍKLAD 8.14

Vypočteme dx xtg ( )2y .

Řešení

V tomto případě čitatel není derivací jmenovatele, použijeme vztah mezi druhými mocninami funkcí sinus a kosinus, tzn. sin2(x) + cos2(x) = 1. Dostáváme:

d d d d dx xxx x

xx x

xx

xx x x x Ctg ( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )tg( )

cos

sin

cos

cos

cos cos

cos1 12

2

2

2

2

2 2

1

2

= = = = +-

- -

S

y y y y y .

PŘÍKLAD 8.15

Vypočteme dx xcotg ( )2y .

Řešení

Budeme postupovat analogicky jako v předcházejícím příkladu, tj.:

d d d d dx xxx x

xx x

xx

xx x x x Ccotg ( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )cotg( )

sin

cos

sin

sin

sin sin

sin1 12

2

2

2

2

2 2

1

2

= = = = +-

- - -

S

y y y y y .

PŘÍKLAD 8.16

Vypočteme dxx x

1 ( )( )

cossin

+y .

Řešení

Protože je (1 + cos(x))' = –sin(x), je čitatel až na znamení derivací jmenovatele. Zlomek za integrálem rozšíříme číslem (–1) a číslo (–1) ze jmenovatele vytkneme před integrál, tj.:

d d dxx x x

x x xx x x

( )( )

( )( ) ( )

( )(1 ( ))'

1 ( )cos

sincossin

coscos

ln cos1 1

11

C$+

=+

=++

= + +--

- -y y y .

PŘÍKLAD 8.17

Vypočteme de

x1

1x

+ -y .

Řešení

Při výpočtu využijeme vztahu ee1x

x=- a výsledku příkladu 8.11. Tj.:

d d d de

x

e

x

ee

xe

e x e C( 1)ln1

1

1 11

11

1x

x x

x x

xx

+=

+=

+=

+= + +

-y y y y .


266

PŘÍKLAD 8.18

Určíme dx x x34 5xx5 7$ + + +b ly .

Řešení

Použijeme větu o linearitě neurčitého integrálu a rozdělíme na několik integrálů:

d d d d dx x x x x x x x5 33 1x x4 5 4 5

1

$ $= + + + =x x x75 7$ + + +b ly y y y y

x x C x x x C3 3ln

lnln

lnx55 7

7

56 7

76

5x5 x5

655

6

$ $ $ $= + + + + = + + + + .

PŘÍKLAD 8.19

Vypočteme dx

x x123

-y .

Řešení

Integrál podle čitatele roztrhneme na dva integrály, dostáváme:

d d d d dx

x xx

x xx

x x x x x x x C x x C31 1

34

31 4

323 23 23

143

33

2

3

2 3

4

3

1

3

1

$ $= = = + = +- - - - -- -

x

Sy y y y y .

PŘÍKLAD 8.20

Vypočteme dx( )3 5x x 2+y .

Řešení

Použijeme vzorec pro druhou mocninu, vlastnosti obecných exponenciálních funkcí a větu o linearitě neurčitého integrálu, tj.:

d d d dx x x x( ) ( ) 2 ( )3 5 3 3 5 5x x x x x x2 2 2$ $+ = + + =y y y y

d d dx x x2 2ln ln ln

9 15 259

915

1525

25 Cx x xx x x

$ $= + + = + + +y y y .


267

PŘÍKLAD 8.21

Vypočteme dx x2 11+

y .

Řešení

Protože (2x + 1)' = 2, rozšíříme celý zlomek číslem 2 a 2 ze jmenovatele jako konstantu vytkneme před integrál, tj.:

d d dx x x x xx x x

2 2 2(2 1)'

2 1ln1

121

12

21

1 21 C$ $ $

+=

+=

++

= + +y y y .

PŘÍKLAD 8.22

Vypočteme dx

xx42

+y .

Řešení

Protože (x2 + 4)' = 2 . x, rozšíříme celý zlomek číslem 2 a 2 ze jmenovatele jako konstantu vytkneme před integrál, tj.:

d d dx

xx

x xxx x x C x C( )'

( 4)ln lnx4 2

14

221

4

421 4

21

2 2 2

22 2$ $ $ $ $

+=

+=

+

+= + + = + +y y y ,

absolutní hodnotu lze vynechat, protože pro všechna reálná čísla x platí x2 + 4 > 0.

PŘÍKLAD 8.23

Vypočteme dx x

x x4 32

2++

-y .

Řešení

Protože (x2 + 4x – 3)' = 2 . x + 4 = 2 . (x + 2), rozšíříme celý zlomek číslem 2 a 2 ze jmeno-vatele jako konstantu vytkneme před integrál, tj.:

d d dx x

x xx x

x xx xx x x x x C

4 3

( ) ( 4 3)'4 3ln

4 32

21 2 2

21

4 3 21

2 2 2

22$

$$ $

++ =

+=

+

+= + +

- -

+

-

--y y y .

PŘÍKLAD 8.24

Vypočteme de

e x4x

x

3 5

3 5

++

+

y .

Řešení

Za integrálem je zlomek, určitě (e3x + 5 + 4)' = e3x + 5 . 3 = 3 . e3x + 5, rozšíříme celý zlomek číslem 3 a 3 ze jmenovatele jako konstantu vytkneme před integrál, tj.:

d d de

e xe

e xee x e C e C

4 43

4

( 4)'4 ( 4)ln ln

31

31

31

31

x

x

x

x

x

xx x

3 5

3 5

3 5

3 5

3 5

3 53 5 3 5$ $ $ $ $

+=

+=

+

+= + + = + +

+

+

+

+

+

++ +y y y ,

absolutní hodnotu lze vynechat, protože základní exponenciální funkce nabývá pouze klad-ných hodnot, tudíž vždy platí e3x + 5 + 4 > 0.


268

VĚTA

(o integraci per partes)Jsou-li f (x) a g (x) funkce, potom při vhodné volbě integračních konstant platí v intervalu I:

d dx x' '$ $ $= - f x( )f x g x f x g x g x( ) ( ) ( ) ( ) ( )y y ,


Název této metody je z latinského jazyka a slova per partes znamenají v jazyce českém po částech.

Použijeme-li integraci per partes, budeme její aplikaci zapisovat:

d dx x''

''$ $ $

f

f

f

f=

=

=

=

== - f x( )f x g x

fg

fg f x g x g x( ) ( ) ( ) ( ) ( )y y .

Používáme-li větu o integraci per partes, jde o to, abychom v součinu dvou funkcí jednu z funkcí uměli derivovat a druhou integrovat a aby nově vzniklý integrál byl výrazně jednodušší.

PŘÍKLAD 8.25

Vypočteme dx e xx$y .

Řešení

Abychom zjednodušili funkci za integrálem budeme integrovat exponenciální funkci ex, tj.:

d d dx e x ex

e x e e x x e e x x e e x e C'

'1 ( 1)

1Cx

x xx x x x x x x$ $ $ $ $ $=

=

=

=

== = = + = +- - - -

fg

fgy y y .

PŘÍKLAD 8.26

Spočteme dx x x(2 3) ( )sin$+y .

Řešení

Abychom zjednodušili funkci za integrálem budeme integrovat funkci sin(x). Dostáváme:

d dx x xx

xx

x x x x( ) ( )' ( ) ( )

'(2 3) ( ) 2 ( )sin

sin coscos cos2 3

2 3 2$ $ $+ =

=

= +

=

== + + =

--

fg

fgy y

x x x(2 3) ( ) 2 ( )cos sin C$ $= + + +- .

Příklady naznačují, že větu o integraci per partes standardně používáme v případech integrálů

dx x( )P e1

x$y , dP x x x( ) ( )sin1

$y a dP x x x( ) ( )cos1

$y , kde P1(x) je polynom prvního stupně. Základní

exponenciální funkci, funkce sinus a kosinus integrujeme, funkci P1(x) derivujeme.

Integraci per partes můžeme použít několikrát za sebou.


269

PŘÍKLAD 8.27

Vypočteme dx x x( )cos3 $y .

Řešení

I v tomto případě budeme funkci kosinus integrovat a funkci x3 derivovat. Dostáváme:

d dx x xx

xx

x x x x x x( )' ( ) ( )

'( ) 3 ( )cos

cos sinsin sin

33

3 23 2$

$$ $ $=

=

=

=

== =-

fg

fgy y

dx

xx

x x x x x x x x' ( ) ( )

'( ) 3 ( ) 2 ( )

sin cossin cos cos

223 2

$$ $ $ $ $=

=

=

=

== + =

-- -

fg

fg a ky

dx

xx

x x x x x x x x' ( ) ( )

'( ) 3 ( ) 6 ( ) ( )

cos sinsin cos sin sin

13 2$ $ $ $ $=

=

=

=

== + =- -

fg

fg a ky

x x x x x x x( ) 3 ( ) 6 ( ) 6 ( )sin cos sin cos C3 2$ $ $ $ $ $= + +- - .

PŘÍKLAD 8.28

Vypočteme dx x x(2 3 1) ex2 $+ -y .

Řešení

I v tomto případě budeme základní exponenciální funkci integrovat a polynom druhého stupně derivovat. Dostáváme:

d dx x e x ex x

ex x x e x e x( )

'

'(2 3 1) ( )2 3 1

2 3 1 4 34 3x

x xx x2

22$ $ $+ =

=

= +

=

= += + + =-

-- -

fg

fgy y

de

xe x x e x e e x'

'(2 3 1) (4 3) 4

4 3 4

x xx x x2 $ $ $=

=

= +

=

== + + =- - -

fg

fg a ky

x x e C x x e C(2 3 1) (2 )x x x x2 2$ $= + + = +- - -x e e( )4 3 4$ $+ -_ i .

Standardní použití integrace per partes je pro integrály dP x e x( )n

x$y , dP x x x( ) ( )sinn

$y a

dP x x x( ) ( )cosn

$y , kde Pn(x) je polynom n–tého stupně. Základní exponenciální funkci, funk-

ce sinus a kosinus integrujeme, funkci Pn(x) derivujeme s tím, že větu o integraci per partes musíme použít n–krát za sebou.

První nestandardní použití integrace per partes je pro integrály dP x x x( ) lnn

$y , kde Pn(x) je

polynom n–tého stupně. Zde funkci Pn(x) integrujeme a funkci ln x derivujeme.


270

PŘÍKLAD 8.29

Vypočteme dx x xln$y .

Řešení

Půjde o první nestandardní použití integrace per partes, tj.:

d dx x xx

x

x

x

x x x x x'

'

1lnln

ln2

1 2 21 2

2

2

x

$ $ $ $=

=

=

=

== =-

f

g

f

g S

y y

x x x x x x Cln ln2 2

12 2 4

C2 2 2 2

$ $ $= + = +- - .

PŘÍKLAD 8.30

Vypočteme dx xlny .

Řešení

Pro integraci per partes by měl být za integrálem součin dvou funkcí, ale to je jednoduché, protože ln x = 1 . ln x. Z toho vyplývá, že jde o první nestandardní použití integrace per partes. Dostáváme:

x' 1= =f fd d dx x x x

x xx x x x x x x x C

'ln ln

lnln ln1 1

1

1

$ $ $ $= == =

= = +- -g g S

y y y .

PŘÍKLAD 8.31

Vyřešíme dx x x x( ) ln9 8 32 $+-y .

Řešení

Půjde o první nestandardní použití integrace per partes, tj.:

'

'

= =

=

f f

gdx x x x

x x

x

x x x

x( ) ln

ln9 8 3

9 8 3 3 4 3

12

2 3 2

$+ =+

=

+=-

- -

gy

dx x x x x x x x x(3 4 3 ) (3 4 3 )ln 1

x x

3 2 3 2

3 4 32

=$ $= + +- - -

+-1 2 34444 4444y

x x x x x x x C x x x x x x x C(3 4 3 ) ( 2 3 ) (3 4 3 ) 2 3ln ln3 2 3 2 3 2 3 2$ $= + + + = + +- - - - - + - .


271

PŘÍKLAD 8.32

Vypočteme dx

x xln3y .

Řešení

I v tomto případě jde o první nestandardní použití integrace per partes, i když funkce za

integrálem neobsahuje polynom, ale funkci x13. Dostáváme:

xln=gd d

xx x x

x xx

xx

xx x x

'

'

ln ln

12 2

1

1 21

21 1 1

3

3

32

2

2 2

x

13

$

$$ $ $=

= = = =

=

= + =-

-

-

--

f f

g S

y y

xx

xC

xx

xCln ln

21

21

21

21

41

2 2 2 2$$ $

$ $$

$= + + +- =- --e o .

PŘÍKLAD 8.33

Vypočteme dx x xln3 $y .

Řešení

I zde půjde o první nestandardní použití integrace per partes, i když funkce za integrálem neobsahuje polynom, ale funkci x3 . Získáváme:

xln=g

d dx x xx x x x x

x

x x x x x x x'

'

ln ln34 4

3

14

343 1

x

3

33

33

3

1 3

4

3

$

$ $

$ $ $ $ $ $=

= = = =

=

= =-

f f

g1 2 344 44

y y

x x x x x C x x x x x Cln ln4

343

43

43

1693 3 3 3$ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $= + = +- - .

Druhé nestandardní použití integrace per partes je převod výpočtu integrálu na rovnici, ve které je neznámou počítaný integrál.


272

PŘÍKLAD 8.34

Vypočteme dx xsin ( )2y .

Řešení

Protože sin2(x) = sin(x) . sin(x) budeme funkci sin(x) jak integrovat, tak i derivovat. Tedy:

d dx xxx

xx x x x xsin ( )

' ( )

( )

( )

' ( )( ) ( ) ( )

sin

sin

cos

cossin cos cos

x( )sin

2 2

1 2

$==

=

=

== + =

--

-

fg

fg S

y y

1d dx x x x x( ) ( ) sin ( )sin cos 2$= +- -y y .

Podíváme-li se na celkové vyjádření d 1d dx x x x x x xsin ( ) ( ) ( ) sin ( )sin cos2 2$= +- -y y y , je možné

na ně pohlédnout jako na rovnici, ve které je neznámou dx xsin ( )2y . Tento integrál z pravé

strany převedeme na levou a dostáváme:

d 1dx x x x x2 sin ( ) ( ) ( )sin cos2$ $=- +y y ,

celou rovnici vydělíme číslem 2 a výsledek je:

dx x x x x Csin ( ) ( ) ( )sin cos21

22 $ $= + +-y ,

PŘÍKLAD 8.35

Určíme dx xsin( ) ex$y .

Řešení

I tento integrál vypočteme druhým nestandardním použitím integrace per partes. Obě funkce jdou snadno derivovat i integrovat, je jedno, kterou budeme integrovat a kterou derivovat. Větu o integraci per partes použijeme dvakrát za sebou. Dostáváme:

d dx e x ex

ex x e x e xsin( )

'

( ) ' ( )sin( ) cos( )

sin cosx

x xx x$ $ $=

=

=

=

== - =

fg

fgy y

de

xe

x x e x e x e x'

( ) ' ( )sin( ) ( ) sin( )

cos sincos

x xx x x$ $ $=

=

=

=

==

-- -

fg

fg y .

Máme rovnici d dx e x x e x e x e xsin( ) ( ) ( ) sin( )sin cosx x x x$ $ $ $= - -y y , ve které je neznámou

dx xsin( ) ex$y , převedeme jej na levou stranu a dořešíme rovnici, tj.:

dx e x x e x e2 sin( ) sin( ) ( )cosx x x$ $ $ $= -y , tedy:

dx e x x e x e e x x Csin( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ))sin cos sin cos21

21

2Cx x x

x$ $ $ $ $ $= + = +- -y .


273

Při prvním použití integrace per partes jsme integrovali základní exponenciální funkci a při druhé aplikaci taktéž, pokud bychom derivovali tuto funkci, museli bychom ji derivovat při obou užitích.

Integrál z příkladu 8.34 lze určit i jinými způsoby, ale integrál z příkladu 8.35 nelze vypočítat jiným způsobem.

Je zřejmé, že obdobným způsobem jako integrál z příkladu 8.35 bychom vypočítali i dx e xcos( ) x$y .

VĚTA

(o integraci substitucí)Jsou-li f (x) a g (x) funkce takové, že f ( y) je spojitá ve všech bodech y = g (x) pro všechna x z intervalu I a v intervalu I existuje g '(x), potom při vhodné volbě integračních konstant platí v intervalu I:

d df g x g x x f y( ( )) '( ) ( )$ = yy y ,

kde do primitivní funkce na pravé straně za y dosadíme g (x).

Použijeme-li větu o integraci substitucí, ve formuli pro substituci g (x) nahradíme y a mís-

to g '(x) dx zapíšeme dy, tj. d df g x g x x f y( ( )) '( ) ( )

dy y

$ = ySSy y . Z tohoto důvodu při aplikaci věty

o integraci substitucí zapisujeme obě substituční formule při výpočtu integrálu takto

y g x( )=d d d df g x g x x g x x f y( ( )) '( )

'( )( )$ =

==y yy y .

Jak vidíme ve znění věty o integraci substitucí, musíme dobře vybrat funkci g (x), aby ve vyjádření funkce za integrálem byla derivace funkce g (x).

PŘÍKLAD 8.36

Vypočteme dx x2 sin(2 )1$ +y .

Řešení

Protože (2x + 1)' = 2, nabízí se nám substituce y = 2x + 1. Použijeme ji a dostáváme:

dd d

dx x y xx

y y C2 sin( )2 1

2sin( ) ( ) (2 1)cos cos x2 1 C

g x

( )

'( )

g x

$ + == +

== = + = + +- -

yy

?

S

y y ,

na závěr jsme za y dosadili g (x) = 2x + 1.


274

PŘÍKLAD 8.37

Určíme dx xcos( )e x( )sin $y .

Řešení

Protože (sin(x))' = cos(x), použijeme substituci y = sin(x), tedy:

d d d de x xy x

x x e e C e Ccos( )sin( )

cos( )x y y x( ) ( )sin sin$ =

=

== = + = +y yy y .

PŘÍKLAD 8.38

Určíme dxx xln3

y .

Řešení

Protože (ln x)' = x1 , použijeme substituci y = ln x, tedy:

dd d

dxx x

y x

x xy y C x Cln

lnln

1 4 4

33

4 4

=

=

== = + = +y

yy y .

PŘÍKLAD 8.39

Vypočteme dx

x x( )

( )

cos

tg2

2

y .

Řešení

Protože xx

(tg( ))'( )cos

12= , použijeme substituci y = tg (x), tedy:

d d d dx

x xy x

xx y y C x C

( )

tg ( )tg( )

tg ( )

coscos1 3 3

3

2

2

2

23

=

=

== = + = +y yy y .

PŘÍKLAD 8.40

Vypočteme dxx x

( )

cotg ( )

sin2

2

y .

Řešení

Určitě platí xx

( tg( ))'( )sin

1co2=- , ale za integrálem máme pouze

x( )sin12

. Druhou substituční

rovnici vynásobíme číslem (–1), dostáváme:

d d d

d d

d dxx x

xx

xx

y y y C x C( )

cotg ( )

( )

( 1)cotg ( )

sin sin

sin

1

1 1

3 32

2

2

2

2 23 3

$= =

=

= = = + = +-

-

- - - -y

y

y y

y xcotg( )=

y y y .


275

PŘÍKLAD 8.41

Vypočteme dx x x(3 7)25 $-y .

Řešení

Určitě platí (3x – 7)' = 3. Za integrálem nemáme číslo 3, ale pouze x, proto druhou substituční

rovnici vynásobíme číslem 31 . Tedy dostáváme:

d d

d

d dx x xy x

x

x

y y( )

1

3 7

3 7

3

3

31

3125 25 25$ $ $=

=

= = =-

-

y yd =y

d =y

y y y

y C y C x C( )31

26 78 783 7

26 26 26

$= + = + = +- .

PŘÍKLAD 8.42

Vypočteme dx x x( )2 32 30 $+y .

Řešení

Určitě platí (2x2 + 3)' = 4 . x . Za integrálem nemáme 4 . x , ale pouze x, proto druhou sub-

stituční rovnici vynásobíme číslem 41 . Tedy dostáváme:

d d

d

d dx x xy x

x x y y( )

1

2 3

2 3

4

4

41

412 30

2

30 30$ $ $ $+ =

= +

=

= = =

y

y yd

dx x

=yy y y

y C y C x C( )41

31 124 1242 3

31 31 2 31

$= + = + = ++ .


276

PŘÍKLAD 8.43

Určíme dx

x( )

12 3 4

-y .

Řešení

Určitě platí (2x – 3)' = 2. Za integrálem nemáme číslo 2, proto druhou substituční rovnici

vynásobíme číslem 21 . Tedy dostáváme:

d d

d

d dx

xy x

x

yy

y( )

1

12 3

2 3

2

2

121

21

4 4

4$ $=

=

=

= = =-

--y yd

dx

=yy y y

y Cy

Cx

C( )

1( )2

13 6 6 2 3

13

3 3$

$ $= + = + = +

-- -

-

-

.

PŘÍKLAD 8.44

Určíme dx

x( )

34 5 6

+y .

Řešení

Určitě platí (4x + 5)' = 4. Za integrálem nemáme číslo 4, proto druhou substituční rovnici

vynásobíme číslem 41 . Tedy dostáváme:

d d

d

d dx

xy x

x

yy

y( )

3

14 5

4 5

4

4

341

43

6 6

6$ $+

=

=

=

= = =

+-y yd

dx

=yy y y

y Cy

Cx

C( )

3( )4

35 20 20 4 5

35

5 5$

$ $= + = + = +

-- -

+

-

.


277

PŘÍKLAD 8.45

Vypočteme dx x5 34 -y .

Řešení

Určitě je (5x – 3)' = 5, zvolíme substituci y = 5x – 3, dostáváme:

d d d dx xy x

x y y1

5 3

5 3

5

5

51

514 4 4

1

$ $=

=

= = =-

-

y yd

d dy x

=

=

yy y y

y C y C x C( )51

45 25

4

254 5 3

54 544

5

$$ $

= + = + = +- .

PŘÍKLAD 8.46

Určíme dxx x( )

cos( )

sin3y .

Řešení

Uvedeme dvě možnosti výpočtu tohoto integrálu.

a) Protože (sin(x))' = cos(x), použijeme substituci y = sin(x), tj.:

y x( )sin=d

dd d

xx x x x y

y( )

cos( )

cos( )sin1

3 3

3= = = =-y yd =yy y y

y Cy

Cx

C( )sin2 2

12

12

2 2$ $= + = + = +

-- -

-

.

b) Využijeme defi nici funkce kotangens a dostáváme:

d d d d d

d d

xx x x

xx

x xx

xx

x

xx

( )

cos( )( )

cos( )

( )cotg( )

( )

( )

sin sin sin sin sin

sin

1 1 1

1 1

3 2 2 2

2

$ $= = = =

=

=-

-

y

y

y xcotg( )=

y yy

d dy y y C x C( )cotg ( )

12 2

2 2

$= = = + = +- - - -y yy y .

Obě cesty výpočtu je možné použít (obě primitivní funkce se liší o konstantu), vždy jsme museli aplikovat větu o integraci substitucí.


278

PŘÍKLAD 8.47

Vypočteme dx

x x x( )

( ) cos( )

cos

sin5

$y .

Řešení

Protože platí (cos(x))' = –sin(x), volíme substituci y = cos(x). Dostáváme:

s xco ( )

d dd

d dx

x x xx

x xy

y( )

( ) cos( )

( )

sin( )

( )cos

sin

cos1

15 4 4

4$= =

=

= = =

-

- - -

yy yd d

yx x( )sin

=

=-

dy

x x( )sin

y y y y

y Cy

Cx

C( )

1cos3 3

13

3

3 3$ $= + = + = +-

-

-

.

PŘÍKLAD 8.48

Vypočteme dx

x x( ( ))

( )

cos

sin

1 3-

y .

Řešení

Protože platí (1 – cos(x))' = sin(x), volíme substituci y = 1 – cos(x). Dostáváme:

y=d

dd d

xx x

xx x y

y( ( ))

( ) 1 ( )

sin( )cos

sin cos

11

3 3

3= = = =

-

--y y

d =yy y y

y Cy

Cx

C( ( ))cos2 2

12 1

12

2 2$ $= + = + = +

-- -

-

-

.

PŘÍKLAD 8.49

Určíme dx

xe xy .

Řešení

Protože 'xx

1

2 $=` j , použijeme substituci y = x , tedy:

d d d d dx

e x ex

x

y x

xx

x

e e C e C2 2 21

2

1

1

xx y y x$

$$ $ $= =

=

= = + = +=y y

2 d dx$ =y

y y y .


279

PŘÍKLAD 8.50

Vypočteme dx

xx

sin3

23` j

y .

Řešení

Určitě platí ' 'x xx3

2

3

223

33

2

3

1

$$

= = =-x` `j j , proto použijeme substituci y = x23 , tj.:

d d d d dx

xx x

xx

y x

xx

x

y( )sin

sin sin1

3

2

23 1

23

3

23

23

3

23

3

3

$$

$= =

=

= = =y y

d dx$ =y

``

jjy y y

y C x C( )cos cos23

23 23$ $= + = +- - ` j .

PŘÍKLAD 8.51

Vypočteme dx x x x6 ( 3)523 $+ +-y .

Řešení

Určitě je (x2 + 6x – 5)' = 2x + 6 = 2 . (x + 3), proto zvolíme substituci y = x2 + 6x – 5, tzn.:

d d

d

d dx x x xy x x

x x

y

y y( ) ( )

1

6 5 3

6 5

2 6

2

21

2123

2

3 3

1

$ $ $+ + =

= +

+

=

= = =-

-

y yd

dx x( )3

=

+

yy y y

y C y C x x C( 6 5)21

34 8

3

83

43 2 433

4

$$ $

= + = + =+

+- .


280

PŘÍKLAD 8.52

Vypočteme dx x x6 ( 3)sin 2$ +y .

Řešení

Určitě (x2 + 3)' = 2x, proto volíme substituci y = x2 + 3, tj.:

d d

d

d dx x xy x

x x

y x

y y( )

1

( ) 3 ( )sin sin sin6 3

3

2

2

262

2

$ $ $+ =

= +

=

= = =y yd

dx

=yy y y

y C x C3 ( ) 3 ( 3)cos cos 2$ $= + = + +- - .

8.3Určitý integrál

DEFINICE

Určitý integrál

Jestliže funkce f (x) je defi nována v uzavřeném intervalu a, b, potom určitý integrál

funkce f (x) od a do b je reálné číslo d af x x F b F( ) ( ) ( )a

b

= -y , kde F(x) je jedna z pri-

mitivních funkcí k funkci f (x) v intervalu a, b. Reálné číslo a je dolní mez a reálné číslo b je horní mez tohoto určitého integrálu.

Abychom mohli určit určitý integrál, je nutné nalézt primitivní funkci, tzn. vypočítat neurčitý integrál. Výpočet určitého integrálu budeme zapisovat:

d af x x F b F( ) ( ) ( )a

a

bb

= = -F x( )6 @y ,

kde F(x) je jedna z primitivních funkcí k funkci f (x) v intervalu a, b (po výpočtu neurčitého integrálu zpravidla volíme primitivní funkci tak, že položíme C = 0).

Derivace funkce f (x) v bodě c představuje z geometrického hlediska směrnici tečny ke grafu funkce f (x) v bodě [c, f (c)]. Určitý integrál funkce f (x) od a do b roven ploše obrazce ome-zeného přímkami x = a, x = b, osou x a grafem funkce f (x) s tím, že plocha nad osou x je se znamením + a plocha pod osou x je se znamením –. Na obr. 8.3 (a) představuje grafi cky plocha S hodnotu určitého integrálu z nezáporné funkce f (x) od a do b.


281

OBRÁZEK 8.3

PŘÍKLAD 8.53

Vypočteme dx x1e

1

2

y .

Řešení

Neurčitý integrál dx x1y je základní vzorec, tj. dx x xln1 C= +y . Neurčitý integrál představuje

množinu všech primitivních funkcí, budeme vždy vybírat primitivní funkci pro konstantu C = 0. Nyní dopočítáme určitý integrál, tj.:

edx x e( ) 1 2 0 2ln ln1e

1

2

2

2

= = = =- -1

xln6 @y .

Při závěrečném výpočtu jsme použili vlastnosti funkce přirozený logaritmus (přesněji její vztah se základní exponenciální funkcí), tj. ln (e2) = 2 a ln 1 = 0. Pro ilustraci na obr. 8.3 (b) uvádíme plochu, jejíž velikost je rovna tomuto integrálu.

PŘÍKLAD 8.54

Vypočteme dxx xln4

1

e

y .

Řešení

Nejprve vypočteme dxx xln4

y . Protože (ln x)' = x1 , použijeme podobně jako v příkladu 8.38

substituci y = ln x, tedy:

yy y=

d dxx x

x

x x C x Clnln

ln1

5 5

44

5 5

= = = + = +d d=y yy y .

Geometrický význam df x x( )a

b

y(a) (b) Geometrický význam dx x1

a

e2

y

0,8

1

76321

0,6

0,4

0,2

4 5ba x

y

f (x)

S


282

Nyní dopočítáme určitý integrál podle defi nice, tj.:

e

dxx x x eln ln ln ln

5 5 51

51

50

51

e4

1

5

1

5 5 5 5

= = = =- -= Gy ,

užili jsme opět vlastnosti přirozeného logaritmu, tzn. ln e = 1 a ln 1 = 0. Pro ilustraci na obr. 8.4 (a) uvádíme plochu, jejíž velikost je rovna tomuto integrálu.

PŘÍKLAD 8.55

Vypočteme x x( 3 12)dx4 2

1

2

+ +--

y .

Řešení

Nejprve vypočteme neurčitý integrál, tzn.:

d d d dx x x x x x x( ) 3x3 12 124 2 4 2$+ + = + + =- -y y y y

x x x x x x C3 12 125 3 5

C5 3 5

3$ $ $= + + + = + + +- - .

Podle defi nice určitého integrálu dostáváme:

dx x x x x( ) x3 125

124 2

1

25

3

1

2

$+ + = + +- - =- -

= Gy

12( )

( 1) 12 ( 1)52 2 2

51

51925

35

3$ $= + + + +- - --

- - =e o .

Na obr. 8.4 (b) je grafi cky znázorněna plocha odpovídající tomuto určitému integrálu.

OBRÁZEK 8.4

dxx x( )ln

e 4

1

y(a) (b) x x( 3 12)dx4 2

1

2

+ +--

y

0,25

1,510,5

0,2

0,15

0,05

2 2,5

0,1

0,3

0,35

10

10,5–0,5

8

6

2

2

4

12

14

–1 1,5


283

PŘÍKLAD 8.56

Vypočteme x2

0

1

dxx -_ iy .

Řešení

Nejprve vypočteme neurčitý integrál, tzn.:

d d dx x x x x x x x C3 3

22 23 3$= = +- -x -_ iy y y .

Podle defi nice určitého integrálu je:

x 131

32

30

32 0

31

32

312

0

13 3 3 3$ $-dx = - - = - =-x -_ di ny .

Pro ilustraci na obr. 8.5 (a) uvádíme plochu, jejíž velikost je rovna tomuto integrálu. Pro úplnost uveďme, že celá plocha je pod osou x, proto je určitý integrál záporný.

OBRÁZEK 8.5

PŘÍKLAD 8.57

Vypočteme dx x( )sin

2

2

-r

r

y .

Řešení

Nejprve vypočteme neurčitý integrál (v tomto případě jde o základní vzorec), tzn.:

dx x x( ) ( )sin cos C= +y , proto dx x x( ) ( ) 0 0 0sin cos cos cos2 2

0 02

2

2

2

= = = = - - -

-r

r

r

r

-b bl l8 B

1 2 344 44S

y .

Na obr. 8.5 (b) je plocha, jejíž velikost představuje tento určitý integrál. Vidíme, že velikosti plochy nad osou x a plochy pod osou x jsou stejné, proto je určitý integrál 0.

dx x2

0

1

x -_ iy(a) (b) dx x( )sin

2

2

- r

r

y

–0,10,60,40,2

–0,2

–0,3

0,8 1

0,5

0,5–0,5–1–0,5

–1

1,5

1

–1,5 1

–0,4


284


Určete integrály:

a) dx

x15y ,

b) dx

x1

2 $y ,

c) dx x x$ x1 1+ +-_ _i iy ,

d) dx

x x e x xx

3

3 2$ +-y ,

e) dxx x1 2-

b ly ,

f) dxx x(1 )3

2-y ,

g) dx

x x23

-y ,

h) dx x

x1 123 3-e oy ,

i) dx

x x123

-y ,

Výsledky

a) x1

4C

4$+- ,

b) Cx + ,

c) x x C25

5$ + + ,

d) x

x C3

2 lnex3$

+- - + ,

e) x x x Cln2 1$ +- - ,

f) x

x x C3

2 12 62

$+- - ,

j) dx

x x1+y ,

k) dx2 2x1+^ hy ,

l) dx

x x x x2

3+ +y ,

m) dx x x1+b ly ,

n) dxx

x13 -e oy ,

o) dxx x

2

1-_ iy ,

p) dx x

x1 134

-e oy ,

q) dx

x3

2 2x 1-^ hy .

g) xx

C2 4$ ++ ,

h) xx

C3 23$ + + ,

i) x x C3 34

33$ $ +- ,

j) x x C2 ( 3)3

$ $++ ,

k) x x x C3

25

3 5$+ + + ,

l) xx x

C3ln 2

2 23$+- - ,


285

m) x x Cln3

2 3$ ++ ,

n) x x C4

3 243$ $ +- ,

o) x x x C4 ln$ +- + ,

Příklad 2:

Vypočtěte integrály:

a) dx x15+

y ,

b) dx

x x x( )

sin( ) ( )

cos

cos2

$y ,

c) de x5 e x

x

- -

-

y ,

d) de

e x3 2 x

x

$-y ,

e) dx x3 4

1-

y ,

f) dx x

x x4

3 113

2

- --y ,

g) dx x

x x5

2 12- +-y ,

h) dx

x x272

-y ,

i) dx x2 4

1-y ,

j) dx x2 7

1+

y ,

k) dx

x x7 33

3

2

-y ,

Výsledky

a) x Cln 5 ++ ,

b) x C( )ln cos +- ,

c) Cln e3 2 x$ +- - ,

p) x x C2 4 4$ $ +- ,

q) x xx

C2 ln2 2

12

2$

$+- - .

l) dx

x x32

2-y ,

m) dx

x x3 152+

y

n) de

e x5 3 x

x

2

2

$+y ,

o) dx x

x x2 4

3 23

2

- +-y ,

p) dxx x( )

sin( )cos1- +

y ,

q) dxx x( )

cos( )sin1-

y ,

r) dx

x x x( )

sin( ) ( )

sin

cos

1 2

$

+y ,

s) dx

x x x( )

sin( ) ( )

cos

cos

1 2

$

+y ,

t) dx x( )2tgy ,

u) dx xtg( )3coy ,

d) e Cln21 3 2 x$ $ +- - ,

e) C3 4ln31 x$ +- ,

f) x x C4ln 13+- - ,


286

g) x x Cln 52+- + ,

h) x Cln 72+- ,

i) x Cln41 2 4$ +- - ,

j) x C2ln21 7$ ++ ,

k) x Cln31 7 3 3$ +- - ,

l) x Cln 3 2+- - ,

m) x C3 1ln65 2$ + +^ h ,

n) e C5 3ln61 x2$ $+ +^ h ,

Příklad 3:

Spočtěte integrály:

a) dx x x( )cos$y ,

b) dx x x( ) ( )cos5 3 $-y ,

c) dx x x( )sin2 $y ,

d) dx xex2 $y ,

e) dx x x( )sin3 $y ,

f) dx e xx3 $y ,

g) dx x x( )cos2 $y ,

h) dx x e x( ) x3 2 $+y ,

i) dx x e x( )2 x2 $+y ,

o) x x C2ln 43+- + ,

p) x C( )ln cos1+ +- - ,

q) x C( )ln sin1 +- - ,

r) C1 ( )ln sin x21 2$ + +_ i ,

s) C1 ( )ln cos x21 2$ + +- _ i ,

t) x C( )ln cos21 2$ +- ,

u) x C( )ln sin31 3$ + .

j) dx x xln3 $y ,

k) dx x x x( 2) ln2 $+ -y ,

l) dx x x( ) ln6 52 $+y ,

m) dx x xln7 $y ,

n) dx

x xln7y ,

o) dxx xlny ,

p) dx x(1 )ln+y ,

q) dx x( )cos ex$y ,

r) dx x( )cos2y .


287

Výsledky

a) x x x C( ) ( )sin cos$ + + ,

b) x x x C( ) ( ) ( )sin cos5 3 5$ $+ +- ,

c) x x x x x C( ) 2 ( ) ( )cos sin cos22 $ $ $ $+ + +- ,

d) x e x e e C2 2 ( )x x e C2 22x x x x2 $ $ $ $ $+ +- = - + + ,

e) x x x x x x x C( ) 3 ( ) 6 ( ) 6 ( )cos sin cos sin3 2$ $ $ $ $ $+ + +- - ,

f) x e x e x e e C3 6 6 ( )x x x e C3 6 63 2x x x x x3 2$ $ $ $ $ $ $+ +- - = - + - + ,

g) x x x x x C( ) ( ) ( )sin cos sin2 22 $ $ $ $+ +- ,

h) x e x e x e e C2 4 4 ( )= x x x e C2 4 43 2x x x x x3 2$ $ $ $ $ $ $+ +- - - + - + ,

i) x e C2 x$ + ,

j) x x x Cln4 16

4 4

$ +- ,

k) x x x x x x x C2ln3 2

29 4

3 2 3 2

$+ + +- - -e o ,

l) x x x x x C(2 5 ) 2 5ln3

33

$ +- - - ,

m) x x x Cln8 64

8 8

$ +- ,

n) x

xx

C1ln61

366 6$$

$+- - ,

o) x x x Cln2 4$ $ $ +- ,

p) x x Cln$ + ,

q) x x C( ( ) ( ))sin cos2ex $ + + ,

r) x x x C( ) ( )sin cos21

2$ $ + + .


288

Příklad 4:

Určete integrály:

a) dx5

2 7cos x+b ly ,

b) dx x(1 2 )cos -y ,

c) dx

x( )2

13

-y ,

d) dx

x(2 )5

13

-y ,

e) de x3 5x+y ,

f) dx

x x(1 ( ))

( )

cos

sin2

-y ,

g) dx x x( ) 1 ( )sin cos$ -y ,

h) dx x(1 )5-y ,

i) dx x x x( )2 3 32$- -y ,

j) de xx1 3-y ,

Výsledky

a) C2 7sin25

5x$ + +b l ,

b) x C(1 2 )sin21 $ +- - ,

c) x

C2 ( )2

13$+-

- ,

d) x

C( )4 2 5

12$+-

- ,

e) e C31 x3 5$ ++ ,

f) x C( )cos1

1 +--

,

g) x C( ( ))cos3

2 1 3$+

- ,

h) x C(1 )6

6

+-- ,

k) dx e xx2$y ,

l) de e x( )sinx x$y ,

m) dx x( )sin 2 7-y ,

n) dx

x x( )

( )

cos

tg2

3

y ,

o) dxx x

( )

tg ( )

sin

co2

5

y ,

p) dx x x( ) ( )sin cos3 $y ,

q) dx x x( ) ( )sin cos4$y ,

r) dxx xlny ,

s) dx x( 1) ( 1)ln x

1$+ +

y .

i) x x C( 3 )3

2 2 3$+

- ,

j) e C31 1 3x$ +- - ,

k) e C21 x2$ + ,

l) C( )cos ex +- ,

m) x C(2 7)cos21 $ +- - ,

n) x C( )4

tg4+ ,

o) x Ccotg ( )6

6

+- ,

p) x Csin ( )4

4

+ ,


289

q) x Ccos ( )5

5

+- ,

r) x Cln3

2 3$ + ,

Příklad 5:

Vypočtěte integrály:

a) dx xex0

1

$y ,

b) dxx xln6

1

e

y ,

c) dx x x(1 )2

1

3

$ -y ,

d) dx x( )sin20

$r

y ,

e) dx x( )cos30

$r

y ,

f) dx4 ex0

1

$y ,

g) dx e x(3 )42 x

0

1

$-y ,

h) dx x3e

1

2-b ly ,

i) dx xlne

1

y ,

Výsledky

a) 1 ,

b) 71 ,

c) 320 ,

d) 4 ,

e) 0 ,

f) 4 ( 1)e$ - ,

s) x C( )ln ln 1 ++ .

j) dx x xlne

3

1

$y ,

k) dx x x x(4 2 5)3 2

3

3

+- --

y ,

l) dx x x( )52

1

2

- +-

y ,

m) dx x x( )3 4 12

1

2

+--

y ,

n) dx

x x( )12 2

0

1

+y ,

o) dx1

x43

1

8

y ,

p) dx xx x x

6

3

8

27

$

$y ,

q) dx x x(6 2 )2

0

3

-y .

g) e5 4- ,

h) e2 5- ,

i) 1 ,

j) 316

1e4+ ,

k) –48 ,

l) 233 ,


290

m) 34 ,

n) 41 ,

o) 23 ,

p) 215 ,

q) 9 .


291

Shrnutí kapitoly

• V této kapitole jsme zavedli pojem primitivní funkce, který ukazuje, že operace inte-grování je opačná vůči operaci derivování.

• Primitivní funkcí jsme defi novali neurčitý integrál. Při používání integrace per partes i integrace substitucí je nutné odhadnout, která metoda povede k výpočtu výrazně jednoduššího integrálu.

• Defi novali jsme určitý integrál také primitivní funkcí, proto pro výpočet určitého integrálu musíme nejdříve vypočítat integrál neurčitý. Je-li celý graf funkce pod osou x, potom určitý integrál musí být záporné číslo.

Klíčová slova

primitivní funkce integrace substitucí

neurčitý integrál určitý integrál

integrace per partes

9Funkce dvou proměnných

kapitola

Funkce dvou proměnných Kapitola 9

295

9. kapitolaFunkce dvou proměnných

Úvod

Funkce dvou proměnných jsou zobecněním funkcí jedné proměnné. Při používání mate-matických modelů v ekonomii je potřebná závislost na více měřených hodnotách, aby byl model věrnější. K vyjádření této závislosti se používají funkce dvou nebo více než dvou proměnných. Zavedeme pojem funkce dvou proměnných, defi nujeme derivaci a parciální derivace funkce dvou proměnných podle obou proměnných, jakož i druhou derivaci a par-ciální derivace druhého řádu (zde uvedeme i záměnu parciálních derivací druhého řádu). V závěru kapitoly budeme určovat lokální extrémy (tj. lokální maximum i lokální minimum) funkcí dvou proměnných.


296

9.1Funkce dvou proměnných a její graf

DEFINICE

Funkce dvou proměnných

Řekneme, že f (x, y) je funkce dvou proměnných, jestliže f (x, y) je přesný před-pis, který každému bodu [x, y] M R R přiřazuje právě jednu funkční hodnotu z = f (x, y).

Množina M je defi niční obor funkce f (x, y), který značíme D( f ).

Obor hodnot funkce f (x, y) je množina { f (x, y); [x, y] D( f )}, kterou značíme H( f ), tj. H( f ) = { f (x, y); [x, y] D( f )}.

Mohli bychom analogicky zavést funkce více než dvou proměnných. Při ekonomických apli-kacích se pro ekonomickou analýzu zpravidla omezujeme na nejvýznačnější vstupy. Příkladem takové funkce je produkční funkce, která popisuje technický vztah mezi vstupy a výstupy při výrobě. Obecně jde o přiřazení více výstupů více vstupům. Pro ekonomickou analýzu je dů-ležité omezit se na nejvýznamnější vstupy (jejichž efekt je nejvýznamnější) za předpokladu, že ostatní vstupy jsou konstantní. Uvažujeme funkci q, které vyjadřuje celkový objem produkce v určitém výrobním procesu pouze v závislosti na výrobních faktorech x a y spotřebovaných při této produkci (např. x je kapitál a y je práce). Potom q (x, y) je taková funkce, pro kterou je D(q) R R a H(q) R. Je zřejmé, že při absenci dalších vstupů jde o přibližné vyjádření. Jednou z nejčastěji popisovaných aproximací této produkční funkce je Cobbova-Douglasova produkční funkce38) defi novaná předpisem q(x, y) = A . x . y, kde A, a jsou reálné kon-stanty takové, že A > 0, 0 < <a 0 < < (nejčastější případ je + ).39)

DEFINICE

Graf funkce dvou proměnných

Jestliže f (x, y) je funkce dvou proměnných, potom graf funkce f (x, y) je množina všech bodů [x, y, f (x, y)] R R R pro všechny body [x, y] D( f ), tj. graf f (x, y) je množina {[x, y, f (x, y)]; [x, y] D( f )}.

Graf funkce jedné proměnné (speciálně pro elementární funkce) je křivka v rovině, tj. křivka ve dvojrozměrném prostoru. Graf funkce dvou proměnných (opět hlavně pro elementární funkce dvou proměnných) je plocha v trojrozměrném prostoru. Konstrukce grafu funkce dvou proměnných je poměrně náročná, uvádí se konstrukce grafu taková, že v rovině jsou uvedeny křivky spojující body, ve kterých je funkční hodnota stejná, vlastně konstruujeme „vrstevnice“ grafu, které se nazývají isočáry.

38) Jde o nejznámější produkční funkci neoklasického typu sestavenou matematikem Ch. W. Cobbem a ekonomem P. H. Douglasem.

39) Jestliže + = 1, nezávisí efektivnost výrobního procesu na rozsahu výroby, jestliže + < 1, pak průměrné náklady na jednotku produkce při zvětšení rozsahu výroby rostou, pro + > 1 průměrné náklady na jednotku produkce při zvětšení rozsahu výroby klesají.


297

PŘÍKLAD 9.1

Pro funkci f (x, y) = x2 + y2 pro ilustraci uvedeme oba typy jejích grafů.

Řešení

Na obr. 9.1 (a) je uveden graf této funkce jako plocha v trojrozměrném prostoru, na obr. 9.1 (b) je graf vytvořený „vrstevnicemi“.

Limita a spojitost pro funkce dvou proměnných se defi nují analogicky jako pro funkce jedné proměnné.

Elementární funkce dvou proměnných jsou opět zobecněním elementárních funkcí jedné proměnné. I zde platí:

a) defi niční obor elementární funkce dvou proměnných je maximální množina existen-ce jejího početního předpisu (tzn. pro funkce dvou proměnných používáme stejné omezující podmínky pro defi niční obor),

b) každá elementární funkce dvou proměnných je spojitá v celém svém defi ničním oboru.

OBRÁZEK 9.1

PŘÍKLAD 9.2

Pro funkci f (x, y) = x . exy – 5 stanovíme její defi niční obor a spočteme funkční hodnotu f (–5, –1).

Řešení

U této funkce nemáme žádnou omezující podmínku pro defi niční obor,

tudíž D( f ) R R.

Funkční hodnota f (–5, –1) = (–5) . e (–5) . (–1) – 5 = (–5) . e0 = –5.

Trojrozměrný graf funkce f (x, y)

(a) (b) „Vrstevnicový“ graf funkce f (x, y)

0–1–2–3 1 2 3–3

–2

–1

0

1

2

3


298

PŘÍKLAD 9.3

Pro funkci x x y( , ) 9f y 2 2= - - určíme její defi niční obor, vypočteme funkční hodnoty f (–2, –1)

a f (0, 3).

Řešení

Abychom stanovili defi niční obor funkce f (x, y), použijeme stejné podmínky jako pro ele-mentárních funkcí jedné proměnné, tj. v předpisu funkce je sudá odmocnina, výraz v sudé odmocnině musí být nezáporný. Dostáváme D( f ) = {[x, y]; 9 – x2 – y2 ≥ 0}. Na obr. 9.2 (a) je pro ilustraci znázorněn defi niční obor funkce f (x, y) v R R.

Dále f ( 2, 1) ( ) ( )9 2 1 4 22 2=- - - - - - = = a f (0, 3) 9 0 3 0 02 2

= - - = = .

OBRÁZEK 9.2

PŘÍKLAD 9.4

Pro funkci f (x, y) = x . ln 2

1y

x+-

e o stanovíme její defi niční obor a vypočteme funkční hodnotu f (2, –3).

Řešení

Analogicky jako v předcházejícím příkladu v předpisu funkce je funkce přirozený logarit-mus. Tato logaritmická funkce je defi nována pouze pro kladná reálná čísla. Dále v před-pisu funkce je podíl, proto ve jmenovateli musí být nenulové reálné číslo. Musí být

D( f ) = {[x, y]; y

x2

1+- > 0 y + 2 ≠ 0}. Na obr. 9.2 (b) je pro ilustraci znázorněn defi niční

obor funkce f (x, y) v R R.

Funkční hodnota f (2, 3) 2 2 0ln ln3 21 2 1

0

$ $=+

= =---

e o S.

Defi niční obor f x y x y( , ) 9 2 2

= - -

(a) (b) Defi niční obor

f x y x yx( , ) ln2

1$=+-

e o

2

–3

1

–2

–13–2–3 –1

1

2

3

2

–3

1

–2

–13–2–3 –1

1

2

3


299

PŘÍKLAD 9.5

Pro funkci f (x, y) = ln(3 + x) + 2 y4 - určíme její defi niční obor, vypočteme funkční hodnoty f (–2, 1) a f (–2, –14).

Řešení

Použijeme podmínky pro defi novanost přirozeného logaritmu a sudé odmocniny, tj.:

D( f ) = {[x, y]; 3 + x > 0 2 – y ≥ 0} = {[x, y]; x > –3 2 ≥ y} = (–3, ) (–,

Dále f (–2, 1) = ln(3 – 2) + 1ln2 1 1 14

0

4- = + =S

a f (–2, –14) = ln(3 – 2) + ( ) ln2 14 1 16 24

0

4= + =- -S

.

PŘÍKLAD 9.6

Pro funkci g x y x y( , )21 $ $= určíme její defi niční obor a pro ilustraci uvedeme oba typy

jejích grafů.

Řešení

Použijeme podmínky pro defi novanost sudé odmocniny, tj. x ≥ 0 a y ≥ 0, proto musí být D(g) = 0, ) 0, ). Trojrozměrný graf funkce g(x, y) je na obr. 9.3 (a) a „vrstevnicový“ graf je na obr. 9.3 (b).

OBRÁZEK 9.3

Funkce g(x, y) z předcházejícího příkladu je Cobbova-Douglasova funkce, protože nutně je

g x y x y x y( , )21

21

2

1

2

1

$ $ $ $= = , jde o předpis Cobbovy-Douglasovy funkce, ve které platí

A = = =21 .

Trojrozměrný graf funkce g(x, y)

(a) (b) „Vrstevnicový“ graf funkce g(x, y)

1,510,50 2 2,5 30

0,5

1

1,5

2

2,5

3


300

9.2Derivace a parciální derivace funkcí dvou proměnných

DEFINICE

Parciální derivace a derivace funkce dvou proměnných

Jestliže f (x, y) je funkce dvou proměnných, potom:

a) parciální derivace funkce f (x, y) podle proměnné x v bodě [x, y], kte-

rou označíme xf x y( , )2

2, je obyčejná derivace40) této funkce, při které na proměnnou y

pohlížíme jako na konstantu a na proměnnou x pohlížíme jako na proměnnou,

b) parciální derivace funkce f (x, y) podle proměnné y v bodě [x, y], kte-

rou označíme yf x y( , )2

2, je obyčejná derivace40) této funkce, při které na proměnnou x

pohlížíme jako na konstantu a na proměnnou y pohlížíme jako na proměnnou,

c) derivace funkce f (x, y) v bodě [x, y] je vektor f x y xf

yf

'( , ) ,2

2

2

2= x y x y( , ) ( , )e o.

Derivaci funkce dvou proměnných f (x, y) se také nazývá gradient funkce f (x, y).

OBRÁZEK 9.4

40) Obyčejnou derivací míníme derivaci funkce jedné proměnné.

Geometrická interpretace parciálních derivací funkce f (x, y) v bodě [x0, y0]

y

z

x

z0

x = x0

y = y0

t1

t2

z = f (x, y)

[x0, y0, z0]

[x0, y0]


301

Geometrický význam parciálních derivací lze demonstrovat na funkci dvou proměnných z = f (x, y). Graf je plocha ve trojrozměrném prostoru. Parciální derivace v bodě [x0, y0], v němž má funkce hodnotu z0 = f (x0, y0), odpovídají směrnicím tečen ve směru jednotlivých souřad-nicových os. Směrnici tečny t1 tedy získáme jako parciální derivaci podle x v bodě [x0, y0],

tzn. xf x ytg ( , )

0 02

2 a podobně pro směrnici tečny t2 dostaneme jako parciální derivaci podle

y v bodě [x0, y0], tj. yf x ytg( ) ( , )

0 02

2 = (viz obr. 9.4).

PŘÍKLAD 9.7

Vypočteme parciální derivace i derivaci funkce f (x, y) = x2 . y – 3 . x + 2 . x . y + 5.

Řešení

Abychom určili xf x y( , )2

2, tak podle defi nice parciální derivace podle proměnné x pohlížíme na

první člen v předpisu jako na součin konstanty a x2, druhý člen je součin konstanty a x, třetí člen

je součin konstanty a x, poslední člen je konstanta. Dostáváme xf x y x y y( , ) 2 3 2$ $ $2

2+= - .

Podobně yf x y x x( , ) 22 $2

2+= .

Tudíž platí f '(x, y) = (2 . x . y – 3 + 2 . y, x2 + 2 . x).

PŘÍKLAD 9.8

Určíme parciální derivace i derivaci funkce f (x, y) = x . exy + y.

Řešení

Podobně jako v předcházejícím příkladu dostáváme:

xf x y x x e x x e x y e x e y x y e( , ) ( ) ( ) ( ) 1 (1 )xy xy xy xy xy

0

$ $ $ $ $ $ $2

2

22

22

22= + + = + = +S

,

yf x y x y e x e x x e( , ) ( ) 1 1 1xy xy xy2$ $ $ $2

2

22= + = + = + a

f '(x, y) = ((1 + x . y) . exy, x2 . exy + 1).


302

PŘÍKLAD 9.9

Vypočteme parciální derivace i derivaci funkce f x yy

x( , ) 22

$= .

Řešení

Analogicky xf x y x x

y y y( , ) ( ) 12 2 2

2 2 2$ $

2

2

22= = = ,

yf x y x y x y

yx( , ) 2 1 2 ( 2) 4

y23

3

y 2

$ $ $ $ $ $2

2

22= = - =--

-

e o

S

a

f x yy y

x'( , ) ,2 42 3

$= -e o.

Je-li f (x, y) funkce dvou proměnných, potom xf x y( , )2

2 i y

f x y( , )2

2 jsou rovněž funkce dvou

proměnných, proto lze určit jejich parciální derivace, které nazveme parciálními derivacemi druhého řádu.

DEFINICE

Druhá derivace a parciální derivace druhého řádu funkce dvou proměnných

Jestliže f (x, y) je funkce dvou proměnných, potom:

a) parciální derivace druhého řádu funkce f (x, y) podle proměnné

x a opět podle proměnné x v bodě [x, y], kterou označíme xf x y( , )2

2

2

2,

je x xf

22

2

2x y( , )e o, tj.

xf x y x x

f( , )

2

2

2

2

22

2

2= x y( , )e o,

b) parciální derivace druhého řádu funkce f (x, y) podle proměn-

né x a podle proměnné y v bodě [x, y], kterou označíme x yf x y( , )

2

2 2

2,

je y xf

22

2

2x y( , )e o, tj. x y

f x y y xf

( , )2

2 2

2

22

2

2= x y( , )e o,

c) parciální derivace druhého řádu funkce f (x, y) podle proměn-

né y a podle proměnné x v bodě [x, y], kterou označíme y xf x y( , )

2

2 2

2,

je x yf

22

2

2x y( , )e o, tj. y x

f x y x yf

( , )2

2 2

2

22

2

2= x y( , )e o,

d) parciální derivace druhého řádu funkce f (x, y) podle proměnné

y a opět podle proměnné y v bodě [x, y], kterou označíme yf x y( , )2

2

2

2,

je y yf

22

2

2x y( , )e o, tj.

yf x y y y

f( , )

2

2

2

2

22

2

2= x y( , )e o,


303

e) druhá derivace funkce f (x, y) v bodě [x, y] je matice

f x yxf

y xf

x yf

yf

''( , )

,

,

2

2

2

2

2

2

2

2

2 2

2

2 2

2

2

2=

x y

x y

x y

x y

( , )

( , )

( , )

( , )

R

T

SSSSSS

V

X

WWWWWW

.

Druhá derivace funkce f ''(x, y) se v ekonomických aplikacích nazývá také Hessova matice funkce f (x, y) v bodě [x, y]. Pro výpočet lokálních extrémů funkce dvou proměnných f (x, y) potřebujeme determinant druhé derivace41), který označujeme det( f ''(x, y)).

PŘÍKLAD 9.10

Vypočteme druhou derivaci i parciální derivace druhého řádu funkce f (x, y) = x2 . y3 – 3 . y + 2 . x.

Řešení

Abychom určili parciální derivace druhého řádu, musíme vypočítat parciální derivace, tj.:

xf x y x y( , ) 2 23$ $2

2= + a y

f x y x y( , ) 3 32 2$ $2

2= - .

Nyní přistoupíme k výpočtu parciálních derivací druhého řádu, tzn.:

xf x y x x y y( , ) (2 2) 22

23 3$ $ $

2

2

22= + = ,

x yf x y y x y x y x y( , ) (2 2) 2 3 6

23 2 2$ $ $ $ $ $ $

2 2

2

22= + = = ,

y xf x y x x y x y x y( , ) (3 3) 3 2 6

22 2 2 2$ $ $ $ $ $ $

2 2

2

22= = =- ,

yf x y y x y x y x y( , ) (3 3) 3 2 62

22 2 2 2$ $ $ $ $ $ $

2

2

22= = =- ;

tudíž f x yxf

y xf

x yf

yf

yx y

x yx y

''( , )

,

,

2 ,

6 ,

6

6

2

2

2

2

2

2

3

2

2

2

$

$ $

$ $

$ $

2

2

2 2

2

2 2

2

2

2= =

x y

x y

x y

x y

( , )

( , )

( , )

( , )

R

T

SSSSSS

>

V

X

WWWWWW

H .

41) Determinant druhé derivace funkce f(x, y) se také v ekonomických aplikacích nazývá Hessův determinant (nebo zkráceně hessián) funkce f(x, y) v bodě [x, y].


304

PŘÍKLAD 9.11

Určíme druhou derivaci i parciální derivace druhého řádu funkcef (x, y) = x . y – ln(x . y) + 2x.

Řešení

Pro výpočet parciálních derivací druhého řádu musíme určit parciální derivace, tj.:

xf x y y x( , ) 212

2= - + a y

f x y x y( , ) 12

2= - .

Nyní vypočteme parciální derivace druhého řádu, tzn.:

xf x y x x x

x( , ) ( 1) ( 1)1 1

2

22

2$ $

2

2

22= = =- - -y 2+-b l ,

x yf x y y x( , ) 1 1

2

2 2

2

22= =y 2+-b l ,

y xf x y x y( , ) 11

2

2 2

2

22= =x -d n a

yf x y y y y

y( , ) ( 1) ( 1)1 1

2

22

2$ $

2

2

22= = =- - -x -d n .

Tedy f x yxf

y xf

x yf

yf

x

y

''( , )

,

,

,

,

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2 2

2

2 2

2

2

2= =

x y

x y

x y

x y

( , )

( , )

( , )

( , )

R

T

SSSSSS

R

T

SSSSSS

V

X

WWWWWW

V

X

WWWWWW

.

V předcházejících příkladech vyšlo x yf x y y x

f x y( , ) ( , )2 2

2 2

2

2 2

2= , tzn. nezáleželo, zda dříve derivuje-

me podle proměnné x, pak podle proměnné y nebo opačně. Jde o náhodu? Ukazuje se, že

nejde.

VĚTA

(o záměně parciálních derivací druhého řádu)

Jestliže f (x, y) je elementární funkce, potom x yf x y y x

f x y( , ) ( , )2 2

2 2

2

2 2

2= , pokud existuje jedna strana rov-

nosti.


305

PŘÍKLAD 9.12

Vypočteme druhou derivaci funkce i parciální derivace druhého řádu funkcef (x, y) = 2 . x2 – 3 . x . y2 + 2.

Řešení

Určíme nejdříve parciální derivace, tj.:

xf x y x y( , ) 2 3 2$ $2

2= - a y

f x y x y( , ) 6 $ $2

2=- .

Pro výpočet parciálních derivací druhého řádu použijeme i předcházející větu, tj.:

xf x y x x y( , ) (2 3 ) 22

2

2

$ $2

2

22= =- ,

x yf x y y x y y y x

f x y( , ) (2 3 ) 6 ( , )22 2

$ $ $2 2

2

22

2 2

2= = =- - a

yf x y x x y x( , ) ( 6 ) 62

2

$ $ $2

2

22= =- - .

Druhá derivace je f x yxf

y xf

x yf

yf y

yx''( , )

,

,

,

,

6

6

2

6

2

2

2

2

2

2 $

$

$

2

2

2 2

2

2 2

2

2

2= =

-

-

-

x y

x y

x y

x y

( , )

( , )

( , )

( , )

R

T

SSSSSS

>

V

X

WWWWWW

H.

DEFINICE

Lokální extrém funkce dvou proměnných

Jestliže f (x, y) je funkce dvou proměnných a bod [a, b] D( f ), potom:

a) funkce f (x, y) nabývá v bodě [a, b] lokální minimum, jestliže existují otevřené intervaly (x1, x2) a ( y1, y2) takové, že [a, b] (x1, x2) (x1, x2) D( f ) a pro všechny body [x, y] (x1, x2) (x1, x2) platí f (x, y) ≥ f (a, b),

b) funkce f (x, y) nabývá v bodě [a, b] lokální maximum, jestliže existují otevřené intervaly (x1, x2) a ( y1, y2) takové, že [a, b] (x1, x2) ( y1, y2) D( f ) a pro všechny body [x, y] (x1, x2) ( y1, y2) platí f (x, y) ≤ f (a, b),

c) funkce f (x, y) nabývá v bodě [a, b] lokální extrém, jestliže funkce f (x, y) nabývá v bodě [a, b] buď lokální minimum, nebo lokální maximum.

VĚTA

(nutná podmínka pro lokální extrém)Jestliže elementární funkce f (x, y) nabývá v bodě [a, b] lokální extrém (tj. lokální maximum nebo lokální

minimum), potom xf b( , ) 0a2

2= a ay

f b( , ) 02

2= , pokud tyto parciální derivace existují.


306

Předcházející věta má tvar implikace, nikoli ekvivalence, tzn. existují funkce dvou proměn-

ných f (x, y) takové, že xf b( , ) 0a2

2= a ay

f b( , ) 02

2= , přičemž funkce f (x, y) nenabývá v bodě [a, b]

žádný lokální extrém (viz příklad 9.13).

VĚTA

(postačující podmínka pro lokální extrém)

Jestliže f (x, y) je elementární funkce taková, že a axf b y

f b( , ) ( , ) 02

2

2

2= = a v okolí bodu [a, b] existují

parciální derivace druhého řádu,

a) jestliže det( f ''(x, y)) < 0, potom funkce f (x, y) nenabývá v bodě [a, b] žádný lokální ex-trém,

b) jestliže det( f ''(x, y)) > 0 a současně axf b( , ) 022

22 , potom funkce f (x, y) nabývá v bodě

[a, b] lokální minimum,

c) jestliže det( f ''(x, y)) > 0 a současně axf b( , ) 022

21 , potom funkce f (x, y) nabývá v bodě

[a, b] lokální maximum.

Jak budeme standardně postupovat při hledání lokálních extrémů elementární funkce f (x, y)?

(i) Určíme D( f ), protože lokální extrém může nastat jen ve vnitřních bodech D( f ) (tj. v bodech, ve kterých platí ostré nerovnice).

(ii) Použijeme nutnou podmínku pro lokální extrém, tj. lokální extrém může nastat v bodech, ve kterých buď jsou parciální derivace rovny nule, nebo neexistují, nebo jedna parciální derivace je nula a druhá neexistuje.

(iii) Použijeme postačující podmínku pro lokální extrém, tzn. spočteme parciální derivace v bodech získaných v části (ii) a ověříme, zda nastává jedna z možností v postačující podmínce, pokud nastane, tak rozhodneme o extrému.

PŘÍKLAD 9.13

Určíme lokální extrémy funkce f (x, y) = exy + 1.

Řešení

(i) Defi niční obor funkce f (x, y) je množina D( f ) = R R, protože pro defi niční obor této funkce nejsou žádné omezující podmínky.

(ii) Určíme parciální derivace, tj. xf x y y y e( , ) e 1xy xy 1$ $2

2= =+ + , y

f x y e x x e( , ) xy xy1 1$ $2

2= =+ + .

Obě parciální derivace existují v množině R R, tzn. jedině v bodech, ve kterých jsou par-

ciální derivace nulové, může nastat lokální extrém. Dostáváme xf x y y e y( , ) 0 0xy 1

+$2

2= = =+

a podobně yf x y x e x( , ) 0 0xy 1

+$2

2= = =+ , protože z vlastností základní exponenciální

funkce víme, že vždy platí exy + 1 > 0. Jediný bod, ve kterém může nastat lokální ex-trém, je bod [0, 0].


307

(iii) Určíme parciální derivace druhého řádu, tzn.:

xf x y y e( , ) xy

2

22 1$

2

2= + a

xf e( , )0 0 0 02

22 0 0 1$

2

2= =

$ +

x yf x y e x y e e x y e y x

f x y( , ) 1 ( , )xy xy xy xy2

1 1 1 12

$ $ $ $ $2 2

2

2 2

2= + = + =+ + + + a

x yf

y xf e e e(0, 0) (0, 0) 0 0

2 20 0 1 0 0 1$ $

2 2

2

2 2

2= = + =

$ $+ + ,

yf x y e( , ) x xy

2

22 1$

2

2= + a

yf e(0, 0) 0 02

22 0 0 1$

2

2= =

$ + ,

tedy f e''(0, 0),

,

0

0

e= > H, proto

e e e e,

,0 0det

0

00e

2$ $ 1= = =- -f ''(0, 0)` j . Podle části a)

postačující podmínky pro lokální extrém dostáváme, že funkce f (x, y) nenabývá v bodě [0, 0] žádný lokální extrém. Funkce f (x, y) nenabývá žádné lokální extrémy.

PŘÍKLAD 9.14

Určíme lokální extrémy funkce f (x, y) = ex2 + y2 + 3.

Řešení


(ii) Určíme parciální derivace, tj. xf x y e x x e( , ) 2 2x y x y3 32 2 2 2

$ $2

2= =+ + + + ,

yf x y e y y e( , ) 2 2x y x y3 32 2 2 2

$ $2

2= =+ + + + . Obě parciální derivace existují v množině

R R, tzn. jedině v bodech, ve kterých jsou parciální derivace nulové, může nastat

lokální extrém. Dostáváme xf x y x e x x( , ) 2 0 2 0 0x y 32 2

+ +$2

2= = = =+ + a podobně

yf x y y e y y( , ) 2 0 2 0 0x y 32 2

+ +$2

2= = = =+ + , protože z vlastností základní exponen-

ciální funkce víme, že vždy platí ex2 + y2 + 3 > 0. Jediný bod, ve kterém může nastat lokální extrém, je bod [0, 0].


xf x y e x e( , ) 2 (2 )x y x y

2

23 2 32 2 2 2

$ $2

2= ++ + + + a

xf e e e(0, 0) 2 (2 0) 22

20 0 3 2 0 0 3 32 2 2 2

$ $ $ $2

2= + =+ + + + ,

x yf x y x y e y x

f x y( , ) 2 2 ( , )x y2

32

2 2

$ $2 2

2

2 2

2= =+ + a

x yf

y xf e(0, 0) (0, 0) 2 0 2 0 0

2 20 0 32 2

$ $ $ $2 2

2

2 2

2= = =+ + ,


308

xf x y e y e( , ) 2 (2 )x y x y

2

23 32 2 2 2

$ $2

2= ++ + + + a

yf e e e(0, 0) 2 (2 0) 22

20 0 3 2 0 0 3 32 2 2 2

$ $ $ $2

2= + =+ + + + ,

tedy f ee

''(0, 0)2 ,

, 20

03

3

$

$= > H.

Protože ee

e e e,

,2 2 0 0 4 0det

2

0

0

2

3

3

3 3 6$

$$ $ $ $ $ 2= = =-f ''( , )0 0` j a

xf e(0, 0) 2 02

23$

2

22= ,

podle části b) postačující podmínky pro lokální extrém funkce f (x, y) nabývá v bodě [0, 0] lokální minimum.

PŘÍKLAD 9.15

Určíme lokální extrémy funkce f (x, y) = ex2 + 2x + y.

Řešení


(ii) Určíme parciální derivace, tj. xf x y e x x e( , ) (2 2) (2 2)x x y x x y2 22 2

$ $2

2= + = ++ + + + ,

yf x y e e( , ) 1x x y x x y2 22 2

$2

2= =+ + + + . Obě parciální derivace existují v množině R R,

tzn. jedině v bodech, ve kterých jsou parciální derivace nulové, může nastat lokální

extrém. Ale yf x y e( , ) 0x x y22

2

22= + + vždy, proto neexistuje žádný bod v R R, ve kte-

rém by byly obě parciální derivace nulové. Funkce f (x, y) nenabývá žádné lokální

extrémy.

PŘÍKLAD 9.16

Určíme lokální extrémy funkce f (x, y) = x3 + y3 – 6xy.

Řešení


(ii) Určíme parciální derivace, tj. xf x y x y( , ) 3 62

2

2= - , y

f x y y x( , ) 3 62

2

2= - . Obě parciální derivace

existují v množině R R, tzn. jedině v bodech, ve kterých jsou parciální derivace nulové,

může nastat lokální extrém. Dostáváme xf x y x y( , ) 3 6 02

2

2= - = a y

f x y y x( , ) 3 6 02

2

2= - = .

Z první rovnice dostáváme y = x2

2

, dosadíme do druhé rovnice x4

4

– 2x = 0, tj. x . (x3 – 8) = 0.

Řešení jsou x = 0 a x = 2. Dostáváme dva body [0, 0] a [2, 2], ve kterých může nastat

lokální extrém.


309


xf x y x( , ) 62

2

2

2= ,

xf( , ) 60 0 0 0

2

2

$2

2= = a

xf( , ) 62 2 2 12

2

2

$2

2= = ,

x yf x y y x

f x y( , ) 6 ( , )2 2

2 2

2

2 2

2= =- , x y

fy x

f(0, 0) (0, 0) 6

2 2

2 2

2

2 2

2= =- a

x yf

y xf

(2, 2) (2, 2) 62 2

2 2

2

2 2

2= =- ,

yf x y y( , ) 62

2

2

2= ,

yf(0, 0) 6 0 0

2

2

$2

2= = a

yf(2, 2) 6 2 12

2

2

$2

2= = ,

tedy f ''(0, 0) ,

6,

0 6

0=

-

-> H a f ''( , )

,

,2 2

12

6

6

12=

-

-> H.

Protože ,

,

6( 6) ( 6) 0det

0

6 036$ 1= = =

-

-- - - -f ''( , )0 0` j , podle části a) postačující pod-

mínky pro lokální extrém dostáváme, že funkce f (x, y) nenabývá v bodě [0, 0] žádný lokální extrém.

Dále ,

,12 12 ( 6) ( 6) 108 0det

12

6

6

12$ $ 2= = =

-

-- - -f ''( , )2 2` j a

xf(2, ) 02 12

2

2

2

22= , podle

části b) postačující podmínky pro lokální extrém funkce f (x, y) nabývá v bodě [2, 2] lokální minimum.

PŘÍKLAD 9.17

Určíme lokální extrémy funkce f (x, y) = x3 – 3x + y3 – 27y + 3.

Řešení


(ii) Určíme parciální derivace, tj. xf x y x( , ) 3 32

2

2= - , y

f x y y( , ) 3 272

2

2= - . Obě parciální

derivace existují v množině R R, tzn. jedině v bodech, ve kterých jsou parciální

derivace nulové. Dostáváme xf x y x( , ) 3 3 02

2

2= =- a y

f x y y( , ) 3 27 02

2

2= =- . Z první

rovnice dostáváme x = ±1 a dosazením z druhé rovnice je y = ±3. Dostáváme čtyři

body [1, 3], [1, –3], [–1, 3] a[–1, –3], ve kterých může nastat lokální extrém.


xf x y x( , ) 62

2

2

2= , tj.

xf( , ) 61 3 1 6

2

2

$2

2= = ,

xf( , ) 61 3 1 6

2

2

$2

2= =- ,

xf( 1, 3) 6 ( 1) 6

2

2

$2

2= =- - -

a xf( 1, ) 6 ( )3 1 6

2

2

$2

2- =- - =- ,


310

x yf x y y x

f x y( , ) ( , )02 2

2 2

2

2 2

2= = , tj. x y

fy x

fx y

fy x

f(1, 3) (1, 3) (1, 3) (1, 3)

2 2 2 2

2 2

2

2 2

2

2 2

2

2 2

2= = = =- -

x yf

y xf

x yf

y xf

( 1, 3) ( 1, 3) ( 1, 3) ( 1, 3) 02 2 2 2

2 2

2

2 2

2

2 2

2

2 2

2= = = =- - - - - - = ,

yf x y y( , ) 62

2

2

2= , tj.

yf(1, 3) 6 3 18

2

2

$2

2= = ,

yf(1, 3) 6 ( 3) 18

2

2

$2

2= =- - - ,

yf( 1, 3) 6 3 18

2

2

$2

2= =- a

yf( 1, 3) 6 ( 3) 18

2

2

$2

2= =- - - - ,

tedy: f ''(1, 3) ,

,

6

0

0

18= = G, f ''(1, 3)

,

, 18

6

0

0=-

-= G, f ''( 1, 3)

,

,

6

0

0

18=-

-= G,

f ''( 1, 3),

, 18

6

0

0=- -

-

-= G.

Platí ,

,1 0det

6

0

0

186 18 26$ 2= = =f ''( )1 3,` j a

xf(1, 3) 6 0

2

2

2

22= . podle části b) posta-

čující podmínky pro lokální extrém funkce f (x, y) nabývá v bodě [1, 3] lokální mi-nimum.

Protože ,

,6 ( 18) 126 0det

6

0

0

18$ 1= = =

-- -f ''( )1 3-,` j , podle části a) postačující pod-

mínky pro lokální extrém dostáváme, že funkce f (x, y) nenabývá v bodě [1, –3] žádný lokální extrém.

Protože ,

,( 6) 18 126 0det

6

0

0

18$ 1= = =

-- -f ''( )1 3- ,` j , podle části a) postačující pod-

mínky pro lokální extrém dostáváme, že funkce f (x, y) nenabývá v bodě [–1, 3] žádný lokální extrém.

Platí ,

,( 6) ( 18) 126 0det

6

0

0

18$ 2= = =

-

-- -f ''( 1 3)- -,` j a

xf( 1, 3) 6 0

2

2

2

21=- - - . pod-

le části c) postačující podmínky pro lokální extrém funkce f (x, y) nabývá v bodě [–1, –3] lokální maximum.


311


Spočtěte parciální derivace a derivaci funkce f (x, y), jestliže:

a) f (x, y) = x2 – y3,

b) f (x, y) = 3x2y + y2,

c) f (x, y) = x4 + y2 . ln x,

d) f (x, y) = x y2- ,

e) f (x, y) = ln(x – y),

f) f (x, y) = ln(3x + 2y),

g) f (x, y) = ln(x2 + y2 + 5),

Výsledky

a) xf x y x( , ) 22

2= , y

f x y y( , ) 3 2

2

2=- , f '(x, y) = (2x, –3y2),

b) xf x y xy( , ) 62

2= , y

f x y x y( , ) 3 22

2

2= + , f '(x, y) = (6xy, 3x2 + 2y),

c) xf x y x x

y( , ) 4 3

2

2

2= + , y

f x y y x( , ) 2 ln$2

2= , x y x x

y y x'( , ) 4 , 2 lnf 32

$= +e o,

d) xf x y

x y( , )

2

12$2

2=

-, y

f x yx y

y( , )

22

2=

-

-, f x y

x y x yy

'( , ) ,2

12 2$

=- -

-e o,

e) xf x y x y( , ) 12

2=

-, y

f x y x y y x( , ) 1 12

2= =

--

-, f x y x y y x'( , ) ,1 1=

- -e o,

f) xf x y x y( , )

3 23

2

2=

+, y

f x y x y( , )3 2

22

2=

+, f x y x y x y'( , ) ,

3 23

3 22=

- -e o,

g) xf x y

x yx( , )

52

2 22

2=

+ +, y

f x yx y

y( , )

2

52 22

2=

+ +, f x y

x yx

x yy

'( , ) ,2

52

52 2 2 2=+ + + +

f p,

h) xf x y x y( , ) 1 ( )ln $2

2= + , y

f x y yx( , )

2

2= , f x y x y y

x'( , ) ( ),ln1 $= +c m,

i) xf x y x y

x yx( , ) ( )ln 2

22

2=

++ + , y

f x yx y

xy( , )

222

2=

+,

f x y x yx y

xx y

xy'( , ) ( ) ,ln

22

2 2= + ++ +

f p,

h) f (x, y) = x . ln(x . y),

i) f (x, y) = x . ln(x + y2),

j) f (x, y) = ex2 – 4x,

k) f (x, y) = x . ex2 . y,

l) f (x, y) = sin(x) . cos(y),

m) f (x, y) = x . sin(x2).


312

j) xf x y x e( , ) 2 x y42

$2

2= - , y

f x y e( , ) 4 x y42

$2

2=- - , f x y'( , ) x y x y4 42 2

= - -x e e2 , 4$ $-` j,

k) xf x y x y( , ) (1 2 ) ex y2 2

$2

2= +

$ , yf x y x e( , ) x y3 2

$2

2=

$ , f x y'( , ) x y x y2 32 2

=$ $x y e x e(1 2 ) $ $+ ,` j,

l) xf x y x y( , ) ( ) ( )cos cos$2

2= , y

f x y x y( , ) ( ) ( )sin sin$2

2=- ,

f x y'( , )= x y x y( ) ( ), ( ) ( )cos cos sin sin$ $-` j,

m) xf x y x x x( , ) ( ) 2 ( )sin cos2 2 2

2

2= + , y

f x y( , ) 02

2= , f x y'( , ) 2 2 2

= x x x( ) 2 ( ), 0sin cos+` j.

Příklad 2:

Vypočtěte f ''(x, y), jestliže:

a) f (x, y) = x2 – y3,

b) f (x, y) = x4 + 12xy + 2y2,

c) f (x, y) = x3 – 3x2 + y2 + 4y + 2,

d) f (x, y) = x2 + 13y2 + 12x – 2y + 5,

e) f (x, y) = x7 . y3,

Výsledky

a) f ''(x, y) = y,

,

02

0 6

-

-> H ,

b) f ''(x, y) = 12 ,

, 412

12x2

> H ,

c) f ''(x, y) = x ,

, 2

6 6

0

0-= G ,

d) f ''(x, y) = ,

, 26

2

0

0= G ,

e) f ''(x, y) = x yx y

x y,

,

42

21

215 3

6 2

6 2

7x y6> H ,

f) f (x, y) = ln(x – y),

g) f (x, y) = x . ln(x . y),

h) f (x, y) = cos(x – y),

i) f (x, y) = ex2 + y.

f) f ''(x, y) = x y

x y

x y

x y

( ),

( ),

( )

( )

1

1

1

1

2

2

2

2

--

-

-

--

R

T

SSSSS

V

X

WWWWW

,

g) f ''(x, y) = x

y

y

yx

,

,

1

1

1

2-

R

T

SSSSS

V

X

WWWWW

,

h) f ''(x, y) = x yx y

x yx y

( ),

( ),

( )

( )

cos

cos

cos

cos

- -

-

-

- -> H ,

i) f ''(x, y) = x

xx( ) ,

,

e

e

e

e

2 4

2

2x y

x y

x y

x y

2 2

2

2

2

$

$

$+ +

+

+

+> H .


313

Příklad 3:

Určete lokální extrémy funkce f (x, y), jestliže:

a) f (x, y) = –x2 + xy – y2 + 6y,

b) f (x, y) = x3 – 3x + y2,

c) f (x, y) = ln(x2 + y2 + 1),

d) f (x, y) = x2 – y2 + 2xy – 3y,

e) f (x, y) = e–x2 – y2,

f) f (x, y) = x3 – 3x + y3 + 3y2,

g) f (x, y) = –x3 – 3y2 + 6xy,

Výsledky

a) lokální maximum v bodě [4, –2],

b) lokální minimum v bodě [1, 0],

c) lokální minimum v bodě [0, 0],

d) f (x, y) lokální extrémy nemá,

e) lokální maximum v bodě [0, 0],

f) lokální maximum v bodě [–1, –2] a lokální minimum v bodě [1, 0],

g) lokální maximum v bodě [2, 2],

h) f (x, y) lokální extrémy nemá,

i) lokální maximum v bodě ,35 0-: D a lokální minimum v bodě [0, 0],

j) lokální minimum v bodech ,41

321-: D a ,

41

321-: D,

k) lokální maximum v bodě [–1, –1] a lokální minimum v bodě [1, 1],

l) lokální maximum v bodě [–3, –1] a lokální minimum v bodě [3, 1],

m) lokální maximum v bodě [–1, –2] a lokální minimum v bodě [1, 2],

n) lokální maximum v bodě [–1, 1] a lokální minimum v bodě [1, –1].

h) f (x, y) = 2x2 – 2x – 3x2y + y3 – 1,

i) f (x, y) = 2x3 + xy2 + 5x2 + y2,

j) f (x, y) = x4 + 8y2 + 2xy,

k) f (x, y) = x3 – 3x + y3 – 3y + 5,

l) f (x, y) = x3 – 27x + y3 – 3y + 7,

m) f (x, y) = x3 – 3x + y3 – 12y – 7,

n) f (x, y) = x3 – 3x – y3 + 3y – 5.


314

Shrnutí kapitoly

• V této kapitole jsme zavedli funkci dvou proměnných jako zobecnění funkcí jedné proměnné. Pro tyto funkce je výrazně náročnější znázornit jejich graf i v rovině za-kreslit jejich defi niční obor. Parciální derivace podle jedné proměnné funkce dvou proměnných je vlastně obyčejná derivace této funkce, kdy se na tuto proměnnou díváme jako na proměnnou a na druhou proměnnou se díváme jako na konstantu. Podobně s parciálními derivacemi druhého řádu, které potřebujeme spolu s parciálními derivacemi pro vyšetřování lokálních extrémů.

Klíčová slova

funkce dvou proměnných graf funkce dvou proměnných

lokální extrém funkce dvou proměnných derivace funkce dvou proměnných

parciální derivace druhého řádu funkce dvou proměnných

druhá derivace funkce dvou proměnných

parciální derivace funkce dvou proměnných

lokální maximum funkce dvou proměnných

lokální minimum funkce dvou proměnných

Hessova matice funkce dvou proměnných

Hessův determinant funkce dvou proměnných

nutná podmínka pro lokální extrém funkce dvou proměnných

postačující podmínka pro lokální extrém funkcí dvou proměnných

Závěr

Edice učebních textů Logika a ekonomika pro ekonomy

318

Předmět Logika a matematické metody

Přehled základních vzorců

0 1

1 0

0 0 0 0 1 1

0 1 0 1 1 0

1 0 0 1 0 0

1 1 1 1 1 1

0 0 0 1 1

0 1 1 1 0

1 0 1 1 0

1 1 0 0 0

x( ( )) ( ( ))xx Mx M

+J J7 6! !

x x( ( )) ( ( ))x M x M

+J J7 6 ! !

Je-li a reálné číslo, potom (a)' = 0 (tj. derivace konstantní funkce je konstanta 0);

pro x (–, ) je (x)' = 1 (tj. derivace identické funkce je konstanta 1);

(xn)' = n . xn – 1 buď pro n N x (–, ), nebo n R – {0} x (0, );

pro x (–, ) je (ex)' = ex;

pro x (–, ) je (ax)' = ax . ln a, kde a je kladné reálné číslo;

pro x (0, ) je (ln x)' = 1x ;


, kde a (0, ) (1, );

pro x (0, ) je 'x x2

1

$=_ i ;

pro x (–, ) je (sin(x))' = cos(x);


319

pro x (–, ) je (cos(x))' = –sin(x);

pro x2

k $! + rr , kde k Z, je (tg(x))' = ( )cos

1x2

;

pro x k . r, kde k Z, je (cotg(x))' = x( )sin

12- .

Jsou-li f (x) a g (x) funkce a k reálné číslo, potom

( f (x) + g (x))' = f '(x) + g '(x),

( f (x) – g (x))' = f '(x) – g '(x),

( f (x) + k)' = f '(x),

( f (x) – k)' = f '(x),

( f (x) . g (x))' = f ‘(x) . g (x) + f (x) . g '(x),

(k . f (x))' = k . f '(x),

'

g xf x

g xf x g x f x g x

( )

( )

( )

'( ) ( ) ( ) '( )2

$ $=

-f p ,

'

kf x

kf x( ) '( )

=e o ,



320

Šest vzorových zkouškových testů pro prezenční i kombinované studiumKaždý test obsahuje pět příkladů. Každý příklad je hodnocen 0 bodů v případě nesprávné odpovědi a 20 bodů v případě uvedení všech správných odpovědí

Test A

1. Formule výrokového počtu ( ) ( )& + &J J

a) je tautologie,

b) je splnitelná formule,

c) je kontradikce,

d) není tautologie,

e) není kontradikce.

2. Formule výrokového počtu ( ) ( ( ))& & & &J J

a) je tautologie,


c) je kontradikce,


e) není splnitelná formule.

3. Formuli predikátového počtu ( )x y2 3 2x C y D6 7 1 = -! !

negujte, potom maximální zjed-

nodušení negace formule je

a) (2 3 2)x yx C y D

+J 7 6 $ -! !

,

b) (2 3 2)x yx C y D

+J 7 6 2 -! !

,

c) (2 3 2)x yy D x C

+J 6 7 $ -! !

,

d) (2 3 2)x yy D x C

+J 6 7 2 -! !

,

e) (2 3 2)x yy C x D

+J 7 6 $ -! !

.

4. Jestliže funkce f (x) je defi nována předpisem ( )xxx2 3 2f

6= ++ , potom derivace fun-kce f (x) je

a) f '( )3

xx x62 1

5 5$ $= = ,

b) f '( )xxx10 187= - - ,

c) f '( )3

xx x62

2 2

1 1

2 2

15 5$ $ $ $

= + = + ,

d) f '( )2

xxx10 18

2

17 $

= +- - ,

e) žádná z uvedených možností není správná.

5. Maximální intervaly monotonie a lokální extrémy pro funkci f ( )xex2 1

x= - jsou

a) f (x) je rostoucí v (–, 2, je klesající v 2, ), nabývá v bodě 2 lokální maximum,

b) f (x) je rostoucí v (–, 2), je klesající v (2, ), nabývá v bodě 2 lokální maximum,

c) f (x) je klesající v (–, 2), je rostoucí v (2, ), nabývá v bodě 2 lokální minimum,


321

d) f (x) je klesající v (–, 2, je rostoucí v 2, ), nabývá v bodě 2 lokální minimum,

e) f (x) žádná z uvedených možností není správná.

Test B

1. Formule výrokového počtu ( )& &J

a) je tautologie,


c) není splnitelná formule,


e) je kontradikce.

2. Formule výrokového počtu ( ) ( ( ))& &/ 0J J

a) je tautologie,


c) je kontradikce,



3. Formuli predikátového počtu (2 3 2)x yy D x C7 6 #= -! !

negujte, potom maximální

zjednodušení negace formule je

a) (2 3 2)x yx C y D

+J 7 6 $ -! !

,

b) (2 3 2)x yx C y D

+J 7 6 2 -! !

,

c) (2 3 2)x yy D x C

+J 6 7 $ -! !

,

d) (2 3 2)x yy D x C

+J 6 7 2 -! !

,

e) (2 3 2)x yy C x D

+J 7 6 2 -! !

.

4. Jestliže funkce f (x) je defi nována předpisem ( ) 7ln lnxxxf5= + , potom derivace funkce

f (x) je

a) '( ) lnxx

x1 5f6= - ,

b) f '( ) lnxx

x1 571

6= - + ,

c) f '( )xx51

5$= ,

d) f '( )xx51

71

5$= + ,


5. Funkce f ( )x x x48 53=- + - ve svém defi ničním oboru

a) nenabývá žádný lokální extrém,

b) nabývá právě ve dvou různých bodech lokální minimum a právě v jednom bodě lokální maximum,

c) nabývá právě v jednom bodě lokální minimum a právě v jednom bodě lokální maximum,


322

d) nabývá právě v jednom bodě lokální minimum a právě ve dvou různých bodech lokální maximum,


Test C

1. Formule výrokového počtu ( )& &J J (uveďte všechny pravdivé možnosti)

a) je tautologie,


c) je kontradikce,



2. Formule výrokového počtu (( ) ) ( ( ))& + & &/J J J J

a) je tautologie,

b) není kontradikce,

c) je kontradikce,



3. Formuli predikátového počtu (5 11 4 )x xzx U z V7 6 $= -! !



a) ( )x xz5 11 4x U z V

+J 6 7 1 -! !

,

b) (5 11 4 )x xzx U z V

+J 6 7 # -! !

,

c) (5 11 4 )x xzz V x U

+J 7 6 1 -! !

,

d) (5 11 4 )x xzz V x U

+J 7 6 # -! !

,

e) (5 11 4 )x xzz U x V

+J 6 7 1 -! !

,

4. Jestliže derivace funkce f (x) je defi nována předpisem f '( )x x e ex x$= + , potom funkce f (x) je defi nována předpisem

a) f ( )x x e 5x$= + ,

b) f ( )x x e e2

32

x x$= + + ,

c) f ( )x x e e2

x x2

$= + ,

d) f ( ) ( )x x e2 4x$= ++ ,


5. Maximální intervaly konvexnosti a konkávnosti i body infl exe pro funkcif ( )x x x4 17 33

= + - jsou

a) f (x) je konkávní v (–, 0, je konvexní v 0, ), 0 je bod infl exe f (x),

b) f (x) je konvexní v (–, 0, je konkávní v 0, ), 0 je bod infl exe f (x),

c) f (x) je konkávní v (–, 0), je konvexní v (0, ), 0 je bod infl exe f (x),


323

d) f (x) je konvexní v (–, 0), je konkávní v (0, ), 0 je bod infl exe f (x),


Test D

1. Formule výrokového počtu ( ( )) ( )& & & &J J J

a) je tautologie,


c) je kontradikce,



2. Formule výrokového počtu ( ( )) (( ) ( ))& & + & & &J J

a) je tautologie,

b) není kontradikce,



e) je kontradikce.

3. Formuli predikátového počtu (5 11 4 )x xzx U z V7 6 2= -! !



a) (5 11 4 )x xzx U z V

+J 6 7 1 -! !

,

b) (5 11 4 )x xzx U z V

+J 6 7 # -! !

,

c) (5 11 4 )x xzz V x U

+J 7 6 1 -! !

,

d) (5 11 4 )x xzz V x U

+J 7 6 # -! !

,

e) (5 11 4 )x xzx V z U

+J 7 6 # -! !

.

4. Rovnice tečny ke grafu funkce f ( ) 1 lnx x x2 $= + v bodě 1, (1)f8 B má tvar

a) x – y = 2,

b) x + y = 2,

c) x – y = 0,

d) x + y = 0,

e) x – y = 1.

5. Funkce f ( ) 3 48 2x x x x4 3= + +-

a) nemá ve svém defi ničním oboru žádný infl exní bod,

b) má ve svém defi ničním oboru právě 1 infl exní bod,

c) má ve svém defi ničním oboru právě 2 různé infl exní body,

d) má ve svém defi ničním oboru právě 3 různé infl exní body,



324

Test E

1. Formule výrokového počtu ( )& &J

a) je tautologie,





2. Formule výrokového počtu ( ( )) (( ) ( ))& & + & & &J J

a) je tautologie,

b) je kontradikce,

c) je splnitelná formule,



3. Formuli predikátového počtu (5 1 )x xy7x U y W7 6 $= -! !



a) (5 1 )x xy7x U y W

+J 6 7 1 -! !

,

b) (5 1 7 )x xyx U y W

+J 6 7 # -! !

,

c) (5 1 7 )x xyy W x U

+J 7 6 1 -! !

,

d) (5 1 7 )x xyy W x U

+J 7 6 # -! !

,

e) (5 1 7 )x xyy U x W

+J 6 7 1 -! !

.

4. Jestliže funkce f (x) je defi nována předpisem f ( )( )

( )ln

lnxx

x4

6= + , potom derivace funkce f (x) je

a) f '( )( )ln

xx

x1 67

$=

- ,

b) f '( )( )ln

xx

x1 641

7

$= +

- ,

c) f '( )6

xx1

6$= ,

d) f '( )xx61

41

6$= + ,


5. Maximální intervaly monotonie a lokální extrémy pro funkci f ( )x x47=- jsou

a) f (x) je rostoucí v (–, 0 a je klesající v 0, ), nabývá v bodě 0 lokálnímaximum,

b) f (x) je rostoucí v (–, 0) a je klesající v (0, ), nabývá v bodě 0 lokálnímaximum,

c) f (x) je klesající v (–, 0) a je rostoucí v (0, ), lokální extrémy nenabývá,

d) f (x) je klesající v (–, 0 a je rostoucí v 0, ), nabývá v bodě 0 lokálníminimum,



325

Test F

1. Formule výrokového počtu ( )& &J J

a) je tautologie,


c) je kontradikce,



2. Formule výrokového počtu (( ) ) ( ( ))& + &0 /J J J

a) je tautologie,


c) je kontradikce,



3. Formuli predikátového počtu (3 2 )x xy A By B x A

,6 7 != -! !



a) ( )x xy A B3 2y B x A

+ ,J 7 6 g -! !

,

b) (3 2 )x xy A Bx A y B

+ ,J 6 7 g -! !

,

c) (3 2 )x xy A By B x A

+ +J 7 6 g -! !

,

d) (3 2 )x xy A Bx A y B

+ +J 6 7 g -! !

,

e) (3 2 )x xy A Bx B y A

+ ,J 7 6 g -! !

.

4. Rovnice tečny ke grafu funkce f ( ) 2x x x4 3$= + v bodě 1, (1)f8 B má tvar

a) 6x + y = 2,

b) x + 6y = 2,

c) 6x – y = 2,

d) x – 6y = 2,

e) 6x + y = –2.

5. Funkce f ( )x x x8 154 2=- + - ve svém defi ničním oboru







326

Výsledky

Test A – 11. c) a d); 2. a) a b); 3. a); 4. b); 5. a).

Test B – 11. a) a b); 2. b) a d); 3. d); 4. a); 5. c).

Test C – 11. b) a d); 2. a) a b); 3. a); 4. a); 5. a).

Test D – 11. b) a d); 2. a) a b); 3. b); 4 c); 5. c).

Test E – 11. b), d) a e); 2. a), c) a e); 3. a); 4 a); 5. a).

Test F – 11. a), b) a e); 2. a), b) a e); 3. a); 4. c); 5. d).


327

Předmět Matematika pro ekonomy


Je-li a reálné číslo, potom (a)' = 0 (tj. derivace konstantní funkce je konstanta 0);

pro x (–, ) je (x)' = 1 (tj. derivace identické funkce je konstanta 1);

(xn)' = n . xn – 1 buď pro n N x (–, ), nebo n R – {0} x (0, );

pro x (–, ) je (ex)' = ex;

pro x (–, ) je (ax)' = ax . ln a, kde a je kladné reálné číslo;

pro x (0, ) je (ln x)' = 1x ;


, kde a (0, ) (1, );

pro x (0, ) je 'x x2

1

$=_ i ;

pro x (–, ) je (sin(x))' = cos(x);

pro x (–, ) je (cos(x))' = –sin(x);

pro x2

k $! + rr , kde k Z, je (tg(x))' = ( )cos

1x2

;

pro x k . r, kde k Z, je (cotg(x))' = x( )sin

12- .

Jsou-li f (x) a g (x) funkce a k reálné číslo, potom

( f (x) + g (x))' = f '(x) + g '(x),

( f (x) – g (x))' = f '(x) – g '(x),

( f (x) + k)' = f '(x),

( f (x) – k)' = f '(x),

( f (x) . g (x))' = f '(x) . g (x) + f (x) . g '(x),

(k . f (x))' = k . f '(x),


328

'

g xf x

g xf x g x f x g x

( )

( )

( )

'( ) ( ) ( ) '( )2

$ $=

-f p ,

'

kf x

kf x( ) '( )

=e o ,


Jestliže h( y) a g (x) jsou funkce, potom (h( g (x)))' = h'( y) . g '(x) = h'( g (x)) . g '(x), pokud existuje pravá strana.

Je-li a reálné číslo, potom d ax xa C$= +y v každém intervalu I (–, ),

dx x nx C

1

1n

n=

++

+

y buď n N a v každém intervalu I (–, ), nebo n R – {–1} a v každém

intervalu I (0, ),

dx x x Cln1 = +y v každém intervalu I (–, ) (0, ),

dx e Cex x= +y v každém intervalu I (–, ),

je-li a (0, ) (1, ), potom da aax Cln

nx

= +y v každém intervalu I (–, ),

dx x x C( ) ( )sin cos= +-y v každém intervalu I (–, ),

dx x x C( ) ( )cos sin= +y v každém intervalu I (–, ),

dx

x x C( )

( )sin

1 cotg2 = +-y v každém intervalu, který neobsahuje reálná čísla tvaru k . r, kde

k Z,

dx

x x C( )

tg( )cos

12 = +y v každém intervalu, který neobsahuje reálná čísla tvaru

2 + k . r, kde

k Z,

dx

x x C21 $= +y v každém intervalu I (0, ),

dx x x C23

3$= +y v každém intervalu I 0, ),

df xx x C( )

'( )ln

f= +f x( )y v každém intervalu, ve kterém je f (x) 0.

Integrace per partes d df x g x x f x g x f x g x x'( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '( )$ $ $= -y y .

Integrace substitucí d df x g x x f y( ( )) '( ) ( )g yy yd

$ =SSy y .


329

Šest vzorových zkouškových testů pro prezenční i kombinované studiumTest sestává z pěti příkladů. Každý příklad je hodnocen 0 bodů v případě nesprávné odpovědi a 20 bodů v případě uvedení všech správných odpovědí

Test A

1. Je dána matice A =

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

5

3

1

3

8

8

4

4

5

7

4

2

7

5

2

4

2

2

1

1

3

1

0

2

-

-

-

-

-

-

-

R

T

SSSSSS

V

X

WWWWWW

, určete její hodnost, potom

a) h( A) = 1,

b) h( A) = 2,

c) h( A) = 3,

d) h( A) = 4,


2. Vypočtěte neznámou matici X v maticové rovnici X . A + 3 . B = 2 . X + 4 . B, kde

A = 7,

3,

3

4= G a B =

,

,

1

2

3

2

-

-> H, potom

a) tato rovnice má právě jedno řešení X = ,

,

4

7

0

1- -> H,

b) tato rovnice má právě jedno řešení X = 1 ,

,

1

10

18

16

-

-> H,

c) tato rovnice má právě jedno řešení X = ,

,2

3

151-

-> H,

d) tato rovnice má právě jedno řešení X = ,

,

2

1

4

5- -> H,


3. Jestliže derivace funkce f (x) je defi nována předpisem f '(x) = 2 + lnx, potom funkce f (x) je defi nována předpisem

a) f (x) = x . lnx – x + 3,

b) f (x) = 2x + x . lnx + 1,

c) f (x) = 5 + (x – 1) . lnx,

d) f (x) = x . lnx + x + 4,


4. Maximální intervaly monotonie a lokální extrémy pro funkci f (x) = x3 – 3x3 + 5 jsou

a) f (x) je rostoucí v (–, 0, je klesající v 0, 2, je rostoucí v 2, ), f (x) nabývá v bodě 0 lokální maximum a v bodě 2 lokální minimum,

b) f (x) je rostoucí v (–, 0), je klesající v (0, 2), je rostoucí v (2, ), f (x) nabývá v bodě 0 lokální maximum a v bodě 2 lokální minimum,

c) f (x) je rostoucí v (–, 0 2, ), je klesající v 0, 2, f (x) nabývá v bodě 0 lokální maximum a v bodě 2 lokální minimum,

d) f (x) je rostoucí v (–, 0) (2, ), je klesající v (0, 2), f (x) nabývá v bodě 0 lokální maximum a v bodě 2 lokální minimum,



330

5. Vypočtěte dx e x( )2 5 x2 $+y . Potom

a) d2x x x( ) ( 5 )e e C5 x x x232 3

$ $+ = + +y ,

b) d2x x( ) (2 5)e x e C5 x x2 2$ $+ = + +y ,

c) d2x x( ) (2 4 5)e x x e C5 x x2 2$ $+ = + + +y ,

d) d2x x( ) (2 4 9)e x x e C5 x x2 2$ $+ = + +-y ,


Test B

1. Je dána matice A =

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

, k

1

1

3

2

1

2

6

3

6

2

4

6

2

1

4

0

5

3

10

- -

-

-

-

-R

T

SSSSSS

V

X

WWWWWW

, v závislosti na reálném parametru k určete její

hodnost. Potom všechny hodnoty reálného parametru k, pro které je h( A) = 4, jsou

a) k (–, 7) (7, ),

b) k (–, 3) (3, ),

c) k = 7,

d) k (–, 9) (9, ),


2. Vypočtěte neznámou matici X v maticové rovnici A . X + 3 . B = 2 . X + 4 . B, kde

A = 7,

3,

3

4= Ga B =

,

,

1

2

3

2

-

-> H, potom


,

4

7

0

1- -> H,

b) tato rovnice má právě jedno řešení X = 1 ,

,

1

10

18

16

-

-> H,


,2

3

151-

-> H,


,

2

1

4

5- -> H,


3. Jestliže funkce f (x) je defi nována předpisem f (x) = ex ex

47

+ , potom derivace funkce f (x) je

a) f '(x) = e

x x e4x

3 47

+- ,

b) f '(x) = ex4x

3

,

c) f '(x) = e

x x4x

3 4- ,

d) f '(x) = ex e4x 1

37

+-

,



331

4. Maximální intervaly konvexnosti a konkávnosti i body infl exe pro funkci f (x) = x29

jsou

a) f (x) je konkávní v (–, 0, je konkávní v 0, ), body infl exe funkce f (x) nemá,

b) f (x) je konkávní v (–, ), body infl exe funkce f (x) nemá,

c) f (x) je konkávní v (–, 0), je konkávní v (0, ), body infl exe funkce f (x) nemá,

d) f (x) je konkávní v (–, 0) (0, ), body infl exe funkce f (x) nemá,


5. Vypočtěte x3 45-

y . Potom

a) dxx x x

x C3 45

452

2

3= +

- -y ,

b) dx lnx

x C3 45 3 43

5 $= +-

-y ,

c) dx lnx

x C3 45 3 4= +-

-y ,

d) dx( )x x

C3 45

3 415

2= +- -

-y ,


Test C

1. Jsou dány vektory (–1, –2, 6, –5), (1, 4, –2, 3), (3, 12, –4, 8), (2, 6, –6, k), v závislosti na reálném parametru k rozhodněte o lineární závislosti a nezávislosti těchto vektorů. Potom všechny hodnoty reálného parametru k, pro které jsou tyto vektory lineárně nezávislé, jsou

a) k (–, 7) (7, ),

b) k (–, 8) (8, ),

c) k = 7,

d) k (–, –7) (–7, ),


2. Vypočtěte determinant

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

0

0

1

3

0

1

3

5

1

3

5

0

3

5

0

0

-

-

-

- -

, potom

a)

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

54

0

0

1

3

0

1

3

5

1

3

5

0

3

5

0

0

=-

-

-

- -

,

b)

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

45

0

0

1

3

0

1

3

5

1

3

5

0

3

5

0

0

=-

-

-

- -

,

c)

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

45

0

0

1

3

0

1

3

5

1

3

5

0

3

5

0

0

=-

-

-

- -

- ,


332

d)

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

54

0

0

1

3

0

1

3

5

1

3

5

0

3

5

0

0

=-

-

-

- -

- ,


3. Rovnice tečny ke grafu funkce f (x) = xx

42

+- v bodě 3, ( 3)f- -8 B má tvar

a) 6x – y – 13 = 0,

b) 6x – y = – 13,

c) x + 6y = – 13,

d) x – 6y = 13,

e) x – 6y = – 13.

4. Funkce f (x) = x4 – 4x3 + 7 ve svém defi ničním oboru






5. Vypočtěte dx xlnx4y . Potom

a) dx xln lnx x

xx

C31

91

4 3 3$$

$= +- -y ,

b) dx xlnx x

C41

4 4$= +y ,

c) dx xln lnx x

x C1 44 5

$= +-y ,

d) dx xlnx x

C41

4 3$= +-y ,


Test D

1. Řešte soustavu lineárních rovnic

,

,

,

,

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

2

2

6

4

2

3

7

2

2

1

5

1

1

1

1

1

2

2

2

3

3

3

4

4

4

4

+

+

+

+

+

+

=

=

=

=

-

-

-

-

-

-

-

-

-

Z

[

\

]]

]]

potom tato soustava

a) má právě jedno řešení x = (x1, x2, x3, x4) = (–2, 0, –1, 3),

b) má nekonečně mnoho řešení a právě jedna neznámá je volitelná,

c) má nekonečně mnoho řešení a právě dvě neznámé jsou volitelné,

d) nemá řešení,



333

2. Vypočtěte neznámou matici X v maticové rovnici B . X – 2 . A = 3 . X – A, kde

A = ,

,

1

1

3

2

- -= G a B =

,

,

0

4

4

2-> H, potom


,1

331

52-

- -> H,

b) tato rovnice má právě jedno řešení X = ,

,

19

12

17

11- -> H,


1,

1 7

6

-

-

-

-> H,


,

17

13

13

10

- -= G,


3. Vypočtěte limx x

e24x

x

+"3. Potom

a) limx x

e2x

x

43

+=

"3,

b) limx x

e2

0x

x

4+

="3

,

c) limx x

e2

1x

x

4+

="3

,

d) limx x

e2

2x

x

4+

="3

,


4. Funkce f (x) = x4 + 2x3 – 8x + 2

a) nemá ve svém defi ničním oboru žádný infl exní bod,

b) má ve svém defi ničním oboru právě 1 infl exní bod,

c) má ve svém defi ničním oboru právě 2 různé infl exní body,

d) má ve svém defi ničním oboru právě 3 různé infl exní body,


5. Vypočtěte dx xlnx

5

y . Potom

a) dx x xln lnx

C6

5 6

= +y ,

b) dx x x x5ln ln lnx x

C5

2

4 5$= +-y ,

c) dx x xln lnx

C65

= +y ,

d) dx x xln lnx

C5

6= +-y ,



334

Test E


,

,

,

,

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

2

2

2

6

4

7

2

3

8

3

2

9

4

1

1

1

1

1

2

2

2

2

3

3

3

3

4

4

4

4

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

=

=

=

=

-

Z

[

\

]]

]]

potom tato soustava

a) má právě jedno řešení , , , ,1, 0, 0x x x x x1 2 3 4 2

3= =` `j j,



d) nemá řešení,


2. Vypočtěte neznámou matici X v maticové rovnici X . B – 3 . A = 3 . X – 2 . A, kde

A = ,

,

1

1

3

2

- -= G a B =

,

,

0

4

4

2-> H, potom


,1

331

52-

- -> H,


,

19

12

17

11- -> H,


1,

1 7

6

-

-

-

-> H,


,

17

13

13

10

- -= G,


3. Vypočtěte ( )lim

sin

e

x

1

7x x0 4

-"

. Potom

a) ( )lim

sin

e

x

1

747

x x0 4-

="

,

b) ( )lim

sin

e

x

1

71

x x0 4-

="

,

c) ( )lim

sin

e

x

1

70

x x0 4-

="

,

d) ( )lim

sin

e

x

1

7x x0 4

3-

="

,


4. Vyšetřete extrémy funkce f (x) = x45 vzhledem k intervalu –1, 1. Potom

a) f (x) nabývá v bodech (–1) a 1 maxima a v bodě 0 minima vzhledem k –1, 1,

b) f (x) nabývá v bodě 1 maxima a v bodě (–1) minima vzhledem k –1, 1,

c) f (x) nabývá v bodě 0 maxima a v bodech (–1) a 1 minima vzhledem k –1, 1,

d) f (x) nabývá v bodě (–1) maxima a v bodě 1 minima vzhledem k –1, 1,



335

5. Vypočtěte dx( )x x4 2 13

1

1

+--

y . Potom

a) dx( ) 2x x C4 2 13

1

1

+ = +--

y ,

b) dx( ) 4x x4 2 13

1

1

+ =--

y ,

c) dx( ) 2x x4 2 13

1

1

+ =--

y ,

d) dx( ) 4x x C4 2 13

1

1

+ = +--

y ,


Test F


,

,

,

,

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

2

3

3

2

5

3

4

2

3

8

5

8

4

1

1

1

1

1

2

2

2

3

3

3

3

4

4

4

+

+

+

+ +

=

=

=

=

-

-

-

-

-

-

-Z

[

\

]]

]]

potom tato soustava

a) má právě jedno řešení ( , , , ) ( , , , 0)x x x x x 1 2 11 2 3 4= = - ,



d) nemá řešení,


2. Vypočtěte neznámou matici X v maticové rovnici 3 . X + B = X . A + 2 . B, kde

A = ,

1,

5 7

7-

-> H a B =

,

,

1

1

1

2

-

-> H, potom


,1

331

52-

- -> H,


,

19

12

17

11- -> H,


1,

1 7

6

-

-

-

-> H,


,

17

13

13

10

- -= G,


3. Jestliže funkce f (x) je defi nována předpisem f (x) = ( )( )

lnln

x

x5

5 + , potom derivace funkce f (x) je

a) f '(x) = ( )ln

x

x1 45

$- ,

b) f '(x) = ( )ln

x

x1 451

5

$-+ ,

c) f '(x) = 4 x1

4$,


336

d) f '(x) = 4 x1

51

4$+ ,


4. Maximální intervaly konvexnosti a konkávnosti i body infl exe pro funkci f (x) = x3 – 3x2 – 10x + 12 jsou

a) f (x) je konvexní v (–, 1, je konkávní v 1, ), bod 1 je bod infl exe funkce f (x),

b) f (x) je konkávní v (–, 1), je konvexní v (1, ), bod 1 je bod infl exe funkce f (x),

c) f (x) je konkávní v (–, 1, je konvexní v 1, ), bod 1 je bod infl exe funkce f (x),

d) f (x) je konvexní v (–, 1), je konkávní v (1, ), bod 1 je bod infl exe funkce f (x),


5. Vypočtěte dx

x x( )

tg ( )

cos2

4

y . Potom

a) dx

x x x( )

tg ( ) tg ( )

cosC

52

4 5

= +-y ,

b) dx

x x x( )

tg ( ) tg ( )

cosC

52

4 5

= +y ,

c) dx

x x x( )

tg ( )tg ( )

cosC

2

45

= +y ,

d) dx

x x x( )

tg ( )tg ( )

cosC

2

45

= +-y ,



337

Výsledky

Test A – 1. b); 2. b); 3. d); 4 a); 5. d).

Test B – 1. d); 2. a); 3. c); 4 a); 5. b).

Test C – 1. b); 2. e); 3. b); 4 c); 5. a).

Test D – 1. d); 2. c); 3. a); 4 c); 5. a).

Test E – 1. c); 2. d); 3. a); 4 c); 5. c).

Test F – 1. a); 2. b); 3. a); 4 c); 5. b).

Co říci závěrem. Použijeme slov Bernarda Fontenellea: Naši otcové tím, že se mýlili, ušetřili nás svých omylů.

Date post:	03-Aug-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	0 times
Download:	0 times

Logika a matematika pro ekonomy - WordPress.com · Matematika a logika je oceán a toho, kdo se na...

Documents