rumu logika matematika.docx

8/16/2019 rumu logika matematika.docx

1/42

RUMUS LOGIKA MATEMATIKA DAN TABEL KEBENARAN

Logika Matematika Dalam logika matematika, pernyataan-pernyataan

kemudian disajikan dalam bentuk simbol. Berikut ini pernyataan-pernyataan

yang terdapat dalam logika matematika :

Negasi atau ingkaran adalah suatu pernyataan yang isinya mengingkari suatu

nilai pernyataan. Negasi biasa disimbolkan dengan lambang " ~ " yang berarti

tidak atau bukan.

ika suatu pernyataan menyatakan bumi adalah bulat maka negasinya adalah

bumi tidak bulat.

!onjungsi merupakan pernyataan majemuk yang dihubungkan dengan kata

hubung "dan" atau disimbolkan dengan "∧". ernyataan konjungsi hanya akan

bernilai benar jika kedua pernyataan yang terdapat di dalamnya bernilai benar.

ika salah satu pernyataan bernilai salah, maka pernyataan konjungsi juga

bernilai salah.

Disjungsi merupakan pernyataan majemuk yang dihubungkan dengan kata

hubung "atau" yang disimbolkan dengan "∨". Disjungsi merupakan kebalikan

dari konjungsi. ernyataan disjungsi hanya akan bernilai salah jika kedua

pernyataan yang terdapat di dalamnya bernilai salah.

ika salah satu pernyataan bernilai benar, maka pernyataan disjungsi juga

bernilai benar.

#mplikasi adalah pernyataan majemuk yang dia$ali dengan kata jika dan

dihubungkan dengan kata hubung "maka" yang disimbolkan dengan "%". Misal

p % & diba'a jika p maka &.

Biimplikasi merupakan bentuk kompleks dari implikasi yang berarti "jika danhanya jika" dan disimbolkan dengan "(". Misal p ( & diba'a p jika dan hanya

jika &.

!on)ers adalah kebalikan dari implikasi ditandai dengan pertukaran letak.

Misal implikasi p % &, maka kon)ersnya adalah & % p.

#n)ers merupakan la$an dari implikasi. ada in)ers, pernyataan yang terdapat

dalam pernyataan majemuk merupakan negasi dari pernyataan pada implikasi.

Misal implikasi p % &, maka in)ersnya adalah ~p % ~&.


2/42

!ontraposisi merupakan kebalikan dari in)ers sama halnya dengan kon)ers

hanya saja pernyataannya merupakan negasi atau ingkaran. Misal in)ers ~p %

~&, maka kontraposisinya adalah ~& % ~p.

*abel !ebenaran

!eterangan : B + benar + salah

!esetaraan merupakan pernyataan-pernyataan yang bernilai sama atau

bermakna sama. !esetaraan dilambangkan dengan " ". ~p ∧ &/ ~p ∨ ~&

~p ∨ &/ ~p ∧ ~& p % & ~& % ~p ~p % &/ p ∧ ~&/ ~p ( &/ p ∧ ~&/

∨ & ∧ ~p/

enarikan !esimpulan

Modus onens p % & p 000 ∴ & 1ontoh : Diketahui pernyataan sebagi

berikut : 2. ika hari libur tiba, maka 3ani akan berlibur ke aris 4. 5ari libur

tiba

*entukan kesimpulan yang sah dari dua pernyataan tersebut.

embahasan

Misalkan : p + 5ari libur tiba & + 3ani berlibur ke aris Berdasarkan modus

onens, diperoleh : p % & p 000 ∴ & adi kesimpulan yang sah adalah 3ani

berlibur ke aris

Modus *ollens p % & ~& 000 ∴ ~p

1ontoh : Diketahui pernyataan sebagi berikut : 2. ika hari ini hujan, maka Lia

tidak pergi ke kota 4. Lia pergi ke kota *entukan kesimpulan yang sah dari dua

pernyataan tersebut. embahasan Misalkan : p + 5ari ini hujan & + Lia tidak

pergi ke kota ~& + Lia pergi ke kota Berdasarkan Modus *ollens diperoleh : p

% & ~& 000 ∴ ~p adi kesimpulan yang sah adalah 5ari ini tidak hujan.

ilogisme p % & & % r 0000 ∴ p % r

1ontoh :

Diketahui pernyataan sebagi berikut : 2. ika *io menjadi juara kelas, maka #bu

akan membelikannya sepeda 4. ika ibu membelikannya sepeda, maka *io akansenang *entukan kesimpulan yang sah dari dua pernyataan tersebut.


3/42

embahasan Misalkan : p + *io menjadi juara kelas & + #bu membelikannya

sepeda r + *io senang Berdasarkan konsep silogisme diperoleh : p % & & % r

0000 ∴ p % r adi kesimpulan yang sah adalah ika *io menjadi juara

kelas, maka *io akan senang.

LOGIKA MATEMATIKA

A. Pernyataan

6ang dimaksud dengan kalimat atau pernyataan adalah kalimat yang

mempunyai nilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar dan salah.

7da dua jenis kalimat matematika, yaitu :

!alimat tertutup, merupakan pernyataan yang nilai kebenarannya sudah pasti.

1ontoh :a/ 8 9 + 24 pernyataan tertutup yang benar/

b/ 8 ; + 24 pernyataan tertutup yang salah/

!alimat terbuka, merupakan pernyataan yang kebenarannya belum pasti.

1ontoh :

a : 7da daun yang ber$arna hijau

b : di depan pernyataan yang diingkar. #ngkaran

pernyataan adalah ~ p.

1ontoh :

Misalkan pernyataan p : *embakau yang mengandung nikotin.

#ngkaran penyataan p adalah ~ p. *idak benar bah$a tembakau mengandung

nikotin.

*abel kebenaran dari ingkaran


4/42

C. Pernyataan Majemuk

i/ !onjungsi

ernyataan p dengan & dapat digabung dengan kata hubung logika =dan>

sehingga membentuk pernyataan majemuk =p dan &> yang disebut konjungsi.

!onjungsi =p dan &> dilambangkan dengan

ii/ Disjungsi

ernyataan p dengan & dapat digabung dengan kata hubung logika =atau>

sehingga membentuk pernyataan majemuk =p atau &> yang disebut disjungsi.

Disjungsi p atau & dilambangkan dengan .

iii/ #mplikasi

#mplikasi =jika p maka &> dilambangkan dengan .


5/42

(!" Bm#$ka%

Biimplikasi =p jika dan hanya jika &> dilambangkan dengan .

D. Eku!a$en% Pernyataan & Pernyataan Majemuk

E. K'n!er% In!er% )an K'ntra#'%%

Dari sebuah implikasi dapat diturunkan pernyataan yang disebut kon)ers,

in)ers dan kontraposisi dari implikasi tersebut.


6/42

Logika Matematika : engertian dan enjelasan !onsep di Dalamnya

3umus Matematika - Logika matematika adalah sebuah 'abang matematika

yang merupakan gabungan dari ilmu logika dan ilmu matematika. Logika

matematika akan memberikan landasan tentang bagaimana 'ara mengambil

kesimpulan. 5al paling penting yang akan kalian dapatkan dengan mempelajari

logika matematika adalah kemampuan dalam mengambil dan menentukankesimpulan mana yang benar atau salah. Materi logika matematika yang akan

http://rumusmatematika27.blogspot.com/http://rumusmatematika27.blogspot.com/2014/09/logika-matematika.htmlhttp://rumusmatematika27.blogspot.com/2014/09/logika-matematika.htmlhttp://rumusmatematika27.blogspot.com/


7/42

dibahas kali ini adalah mengenai pernyataan, negasi , disjungsi , konjungsi ,

implikasi , biimplikasi, tautologi , kontradiksi , dua pernyataan yang ekui)alen,

kalimat berkuantor, serta penarikan kesimpulan.

etelah mengetahui apa itu logika matematika, kini kita mulai pembahasan

materi mengenai hal-hal yang termasuk ke dalam logika matematika seperti

yang ada di ba$ah ini:

L'gka matematka

Pernyataan

ernyataan di dalam logika matematika adalah sebuah kalimat yang di

dalamnya terkandung nilai-nilai yang dapat dinyatakan ?benar? atau ?salah?namun kalimat tersebut tidak bisa memiliki kedua-duanya salah dan benar/.

ebuah kalimat tidak bisa kita nyatakan sebagai sebuah pernyataan apabila kita

tidak bisa menentukan apakah kalimat tersebut benar atau salah dan bersi@at

relati@. Di dalam logika matematika di kenal dua jenis pernyataan yaitu

pernyataan tertuutp dan terbuka.

ernyataan tertututp adalah kalimat pernyataan yang sudah bisa dipastikan nilai

benar-salahnya.

ernyataan terbuka adalah kalimat pernyataan yang belum bisa dipastikan nilai benar salahnya.

7gar lebih mudah memahaminya, perhatikan 'ontoh berikut ini:

• 8A ; + 8 sudah pasti benarCpernyataan tertutup/

• 8A 9 + 4AA sudah pasti salahCpernyataan tertutup/

• Buah maja rasanya pahit harus dibuktikan dahuluC pernyataan terbuka/

• arak antara anyer dan jakarta adalah jauh pernyataan relati@/

Negasi / pernyataan ingkaran

Negasi atau biasa disebut dengan ingkaran adalah kalimat berisi sanggahan,

sangkalan, negasi biasanya dibentuk dengan 'ara menuliskan kata-kata ?tidak

benar bah$a...? di depan pernyataan yang disangkalCsanggah,. eperti pada

'ontoh yang ada di ba$ah ini:

ernyataan 7 :

Be*ak mem$k r')a tga +ua,


8/42

Negasi dari pernyataan 7 :

T)ak +enar +a,-a +e*ak mem$k r')a tga +ua,

Pernyataan Majemuk

ernyataan majemuk di dalam logika matematika terdiri dari disjungsi ,

konjungsi , implikasi , dan biimplikasi berikut masing-masing penjelasannya:

Konjungsi Di dalam logika matematika, dua buah pernyataan dapat digabungkan dengan

menggunakan simbol (" yang dapat diartikan sebagai /)an0 . *abel berikut ini

menunjukan logika yang berlaku dama sistem konjungsi:

# 1

P

1 L'gka matematka

B B B

ika p benar dan & benar maka p dan &

adalah benar

B

ika p benar dan & salah maka p dan &

adalah salah

B

ika p salah dan & benar maka p dan &

adalah salah

ika p salah dan & salah maka p dan &

adalah salah

Dari table di atas dapat diambil kesimpulan bah$a di dalam konsep konjungnsi,

kedua pernyataan haruslah benar agar dapat dianggap benar selain itu

pernyataan akan dianggap salah.


9/42

Disjungsi

elain menggunakan ?dan?, dua buah pernyataan di dalam logika matematika

dapat dihubungkan dengan simbol (!" yang diartikan sebagai 2atau2. ntuk

memahaminya, perhatikan tabel di ba$ah ini:

# 1P !1 L'gka matematka

B B B

ika p benar dan & benar maka p atau &

adalah benar

B B

ika p benar dan & salah maka p atau &

adalah benar

B B

ika p salah dan & benar maka p atau &

adalah benar

ika p salah dan & salah maka p atau &

adalah salah

!arena di dalam disjungsi menggunakan konsep EatauF artinya apabila salah

satu atau kedua pernyataan memiliki nilai benar maka logika matematikanya

akan dianggap benar. ernyataan akan dianggap salah bila keduanya memiliki

nilai salah.

Implikasi

#mplikasi merupakan logika matematika dengan konsep kesesuaian. !edua

pernyataan akan dihubungkan dengan menggunakan simbol ( 34 " dengan

makna 2jka # ... Maka 1 ...2. ntuk lebih jelasnya akan dijelaskan dalam tabel

berikut:


10/42

# 1

# 34

1 L'gka matematka

B B Bika a$alnya BGN73 lalu akhirnya BGN73 makadianggap BGN73

B

ika a$alnya BGN73 lalu akhirnya 7L75 maka

dianggap 7L75

B B

ika a$alnya 7L75 lalu akhirnya BGN73 maka

dianggap BGN73

B

ika a$alnya 7L75 lalu akhirnya 7L75 maka

dianggap BGN73

Biimplikasi

Di dalam biimplikasi, pernyataan akan dianggap benar bila keduanya memilki

nilai sama-sama benar atau sama-sama salah. elain itu maka pernyataan akan

dianggap salah. Biimplikasi ditunjukan dengan symbol (5" dengan makna / #

6.. 7ka )an ,anya jka 1 6..2

# 1

# 5

1 L'gka matematka

B B B

adalah BGN73 jika dan hanya jika & adalah

BGN73 dianggap benar/

B

adalah BGN73 jika dan hanya jika & adalah

7L75 dianggap salah/

B

adalah 7L75 jika dan hanya jika & adalah

BGN73 dianggap salah/

B

adalah 7L75 jika dan hanya jika & adalah

7L75 dianggap benar/

Ekuivalensi pernyataan majemuk


11/42

Gkui)alensi pernyataan majemuk artinya persesuaian yang bisa diterapkan

dalam konsep-taan majemuk yang telah di jelaskan di atas. dengan begitu kita

dapat mengetahui negasi dari konjungsi, disjungsi, implikasi dan juga

biimplikasi. konsep ekui)alensi dinyatakan dalam rumus-rumus tertentu seperti

yang ada pada gambar di ba$ah ini:

Konvers, Invers dan Kontraposisi

!onsep ini dapat diterapkan dalam sebuah pernyataan implikasi. etiap

pernyataan implikasi memiliki si@at !on)ers, #n)ers dan !ontraposisi seperti

yang ada pada gambar ba$ah ini:

!uantor pernyataan

ernyataan berkuantor adalah bentuk pernyataan di mana di dalamnya terdapat

konsep kuantitas. 7da dua jenis kuantor yaitu kuanor uni)ersal dan kuantor

eksistensial.

Kuant'r un!er%a$ digunakan dalam pernyataan yang menggunakan konsep

setiap atau semua.


12/42

Kuant'r ek%%ten%a$ digunakan dalam pernyataan yang mengandung konsep

ada, sebagian, beberapa, atau terdapat.

Ingkaran dari pernyataan berkuantor

ernyataan berkuantor juga memiliki negasi atau ingkaran. Negasi dari kuantor

uni)ersal adalah kuantor eksistensial begitu jugas sebaliknya. eperti pada

'ontoh di ba$ah ini:

Penarikan Kesimpulan

!esimpulan dapat dilakukan dengan menelaah premis atau pernyataan-

pernyataan yang kebenarannya telah dketahui. erhatikan beberapa konsep

penarikan kesimpulan di dalam logika matematika berikut ini:


13/42

Demikianlah pembahasan sederhana dari saya mengenai L'gka

Matematkadan beragam konsep yang ada di dalamnya. semoga kalian dapat

memahaminya dengan baik.


14/42

89 SMA S'a$ Pem+a,a%an L'gka Matematka

1ontoh soal dan pembahasan logika matematika M7 materi kelas 2A

ter'akup di dalamnya negasi atau ingkaran suatu pernyataan,

penggabungan pernyataan majemuk dengan konjungsi, disjungsi,implikasi, biimplikasi dan penarikan kesimpulan dari beberapa premis

dan pernyataan yang setara.

S'a$ N'. 8

*entukan negasi dari pernyataan-pernyataan berikut:

a/ 5ari ini akarta banjir.

b/ !ambing bisa terbang.

'/ Didi anak bodoh

d/ is$a-sis$i M7N7 memakai baju batik pada hari 3abu.

Pem+a,a%an

a/ *idak benar bah$a hari ini akarta banjir.

b/ *idak benar bah$a kambing bisa terbang.'/ *idak benar bah$a Didi anak bodoh

d/ *idak benar bah$a sis$a-sis$i M7N7 memakai baju batik pada

hari 3abu.

7tau boleh juga dengan @ormat berikut:

a/ 5ari ini akarta tidak banjir.

b/ !ambing tidak bisa terbang.

'/ Didi bukan anak bodoh

d/ is$a-sis$i M7N7 tidak memakai baju batik pada hari 3abu.

S'a$ N'. :

*entukan negasi ingkaran/ dari pernyataan-pernyataan berikut:

a/ p : emua dokter memakai baju putih saat bekerja.

b/ p : emua jenis burung bisa terbang

'/ p : emua anak mengikuti ujian @isika hari ini.

Pem+a,a%an

ernyataan yang memuat kata "emua" atau "etiap" negasinya memuatkata "Beberapa" atau "7da" seperti berikut:


15/42

a/ ~p : 7da dokter tidak memakai baju putih saat bekerja.

b/ ~p : Beberapa jenis burung tidak bisa terbang

'/ ~p : Beberapa anak tidak mengikuti ujian @isika hari ini.

S'a$ N'. ;#ngkaran dari pernyataan =Beberapa bilangan prima adalah bilangan

genap> adalah....

7. emua bilangan prima adalah bilangan genap.

B. emua bilangan prima bukan bilangan genap.

1. Beberapa bilangan prima bukan bilangan genap.

D. Beberpa bilangan genap bukan bilangan prima.

G. Beberapa bilangan genap adalah bilangan prima.

(Soal UN Matematika Tahun 2008 P12

Pem+a,a%an

p : Beberapa bilangan prima adalah bilangan genap

~p : emua bilangan prima bukan bilangan genap

S'a$ N'. <

*entukan pernyataan majemuk hasil penggabungan pasangan-pasangan

pernyataan berikut dengan menggunakan operasi konjungsi D7N/:

a/ p : 5ari ini akarta hujan

& : 5ari ini akarta banjir

b/ p : #$an memakai topi

& : #$an memakai dasi

'/ p : Mahesa anak jenius.

& : Mahesa anak pemalas.

Pem+a,a%an

a/ p : 5ari ini akarta hujan

& : 5ari ini akarta banjir

p ∧ & : 5ari ini akarta hujan dan banjir

b/ p : #$an memakai topi

& : #$an memakai dasi

p ∧ & : #$an memakai topi dan dasi

'/ p : Mahesa anak jenius. & : Mahesa anak pemalas.


16/42


17/42

B

*erlihat bah$a konjungsi bernilai benar jika kedua pernyataan bernilai

benar.

!ita terapkan pada soal salah satunya dengan 'ara tabel:

p & ~p ~& p ∧ & p ∧ ~& ~p ∧ & ~p ∧ ~&

B B B

Dari tabel di atas

a/ p ∧ & bernilai salah b/ p ∧ ~& bernilai salah'/ ~p ∧ & bernilai benar d/ ~p ∧ ~& bernilai salah

S'a$ N'. ?


18/42

p ∨ & : #bu memasak ayam goreng atau membeli soto babat di pasar.

b/ p : ak Bambang mengajar matematika

& : ak Bambang mengajar bahasa inggris

p ∨ & : ak Bambang mengajar matematika atau bahasa inggris

S'a$ N'. @

Diberikan nilai dari pernyataan p dan & sebagai berikut:

p &

B

*entukan nilai kebenaran dari disjungsi berikut:

a/ p ∨ & b/ p ∨ ~&'/ ~p ∨ &

Pem+a,a%an

*abel lengkap dari disjungsi sebagai berikut:

. p & p ∨ &

2 B B B

4 B B

8 B B

Dari data soal dapat diperoleh nilai dari negasi p maupun negasi &,

tinggal dibalikkan saja B jadi , jadi B

http://matematikastudycenter.com/http://matematikastudycenter.com/


19/42

p & ~p ~&

B B

a/ p ∨ & p bernilai B, & bernilai

asangan B menghasilkan nilai B lihat tabel kebenaran nomor 4/

b/ p ∨ ~& p bernilai B, ~& bernilai B kebalikan dari nilai &/

asangan B B menghasilkan nilai B lihat tabel kebenaran nomor 2/

'/ ~p ∨ &~p bernilai kebalikan dari nilai p/, & bernilai

asangan menghasilkan nilai lihat tabel kebenaran nomor /

S'a$ N'.

Negasi dari pernyataan " Matematika tidak mengasyikkan atau

membosankan" adalah...

7. Matematika mengasyikkan atau membosankan

B. Matematika mengasyikkan atau tidak membosankan1. Matematika mengasyikkan dan tidak membosankan

D. Matematika tidak mengasyikkan dan tidak membosankan

G. Matematika tidak mengasyikkan dan membosankan

(Soal UN Matematika 2008

Pem+a,a%an

ntuk menentukan negasi dari suatu konjungsi atau disjungsi perhatikan

dalil de Morgan berikut:

~p ∧ & / ~p ∨ ~&~p ∨ &/ ~p ∧ ~ &

p : Matematika tidak mengasyikkan

& : Matematika membosankan

Negasi untuk p dan & masing-masing adalah:

~p : Matematika mengasyikkan

~& : Matematika tidak membosankan


20/42


21/42

'/ p % ~& : ika tahun ini kemarau panjang maka hasil padi tidak

meningkat.

S'a$ N'. 8:

*entukan ingkaran dari pernyataan:"ika 'ua'a 'erah maka maka 7mir bermain sepakbola"

Pem+a,a%an

#ngkaran dari sebuah implikasi p % & adalah p dan ~&

~p % &/ p ∧ ~ &

sehingga ingkaran dari pernyataan di atas adalah "1ua'a 'erah dan 7mir

tidak bermain sepakbola"

S'a$ N'. 8;

#ngkaran dari pernyataan =emua pasien mengharapkan sehat dan dapat

berakti@itas kembali> adalahH

7. Beberapa pasien mengharapkan sehat dan dapat berakti@itas kembali.

B. Beberapa pasien mengharapkan tidak sehat atau tidak dapat

berakti@itas kembali.

1. Beberapa pasien mengharapkan sehat tetapi tidak dapat berakti@itas

kembali.

D. Beberapa pasien mengharapkan sehat tetapi dapat berakti@itaskembali.

G. emua pasien mengharapkan sehat juga dapat berakti@itas kembali.

Pem+a,a%an

Negasi dari sebuah pernyataan.

Bentuk yang sering mun'ul adalah:

=emua pasien mengharapkan sehat dan dapat berakti@itas kembali>

ernyataannya dalam bentuk p ∧ &/ jadi ingkarannya adalah ~p ∨ ~&.*erjemahannya dalam kalimat menjadi

=Beberapa pasien mengharap tidak sehat atau tidak dapat berakti@itas

kembali>. 1ari kalimat yang sama di pilihannya.


22/42

S'a$ N'. 8<

erhatikan pernyataan berikut:

"ika 'ua'a mendung maka 1harli memba$a payung"

*entukan kon)ers, in)ers dan kontraposisi dari pernyataan di atasI

Pem+a,a%an

Dari implikasi p % &

p : 1ua'a mendung

& : 1harli memba$a payung

!on)ersnya adalah & % p

yaitu "ika 1harli memba$a payung maka 'ua'a mendung"

#n)ersnya adalah ~p % ~&

yaitu "ika 'ua'a tidak mendung maka 1harli tidak memba$a payung"

!ontraposisinya adalah ~& % ~p

yaitu "ika 1harli tidak memba$a payung maka 'ua'a tidak mendung"

S'a$ N'. 8=

!ontraposisi dari "ika semua $arga negara membayar pajak maka

pembangunan berjalan lan'ar" adalah....

7. jika pembangunan tidak berjalan lan'ar maka ada $arga negara yang

tidak membayar pajak

B. jika tidak semua $arga negara membayar pajak maka pembangunan

tidak berjalan lan'ar

1. jika semua $arga negara membayar pajak maka pembangunan tidak

berjalan lan'ar

D. jika pembangunan berjalan lan'ar maka tidak semua $arga negara

membayar pajak

G. jika pembangunan tidak berjalan lan'ar maka semua $arga negaratidak membayar pajak

(Soal Ebtanas 1995)

Pem+a,a%an

p : semua $arga negara membayar pajak

& : pembangunan berjalan lan'ar

!on)ersnya adalah ~& % ~p yaitu "ika pembangunan tidak berjalan

lan'ar maka ada $arga negara yang tidak membayar pajak"


23/42

S'a$ N'. 8>

remis 2 : ika Budi rajin berolahraga maka badannya sehat.

remis 4 : Budi rajin berolahraga.

Pem+a,a%anModus onens

p % &

p

JJJJJJJJ

∴ &

ika Budi rajin berolahraga maka badannya sehat.

p &

Budi rajin berolahraga

p

!esimpulan adalah & : Badan Budi sehat

S'a$ N'. 8?

*entukan kesimpulan dari :

remis 2 : ika hari 'erah maka Budi bermain bola.

remis 4 : Budi tidak bermain bola.

Pem+a,a%an

p : 5ari 'erah

& : Budi bermain bola

enarikan kesimpulan dengan prinsip Modus *ollens

p % &

~&

JJJJJJJ

∴ ~p

ehingga kesimpulannya adalah " 5ari tidak 'erah "

S'a$ N'. 8@

*entukan kesimpulan dari :

remis 2 : ika Budi rajin belajar maka ia disayang ayah.

remis 4 : ika Budi disayang ayah maka ia disayang ibu.

Pem+a,a%anenarikan kesimpulan dengan prinsip silogisme


24/42

p % &

& % r

JJJJJJJJJ

∴ p % r

ehingga kesimpulannya adalah " ika Budi rajin belajar maka ia

disayang ibu"

S'a$ N'. 8

Diketahui pernyataan :

2. ika hari panas, maka 7ni memakai topi.

4. 7ni tidak memakai topi atau ia memakai payung.

8. 7ni tidak memakai payung.

!esimpulan yang sah adalah...

7. 5ari panas.

B. 5ari tidak panas.

1. 7ni memakai topi.

D. 5ari panas dan 7ni memakai topi.

G. 5ari tidak panas dan 7ni memakai topi.

Pem+a,a%an

remis 2/ ika hari panas, maka 7ni memakai topi.

remis 4/ 7ni tidak memakai topi atau ia memakai payung.

remis 8/ 7ni tidak memakai payung.

p : 5ari panas

& : 7ni memakai topi

r : 7ni memakai payung

elesaikan terlebih dahulu premis 2/ dan 4/ kemudian digabungkan

dengan premis 8/

Dari premis 2/ dan 4/

remis 2/ ika hari panas, maka 7ni memakai topi.

remis 4/ 7ni tidak memakai topi atau ia memakai payung.

p % &

~& ∨ r

#ngat bentuk berikut:

~& ∨ r eki)alen dengan & % r


25/42

sehingga bentuk di atas menjadi :

p % &

& % r

JJJJJ

∴ p % r ilogisme/

Dari sini gabungkan dengan premis ketiga:

p% r

~r

JJJJJ

∴ ~p Modus *ollens/

!esimpulan akhirnya adalah ~p yaitu "5ari tidak panas"

S'a$ N'. :9

Diketahui premis-premis berikut:

remis 2 : ika masyarakat membuang sampah pada tempatnya maka

lingkungan bersih.

remis 4: ika lingkungan bersih maka hidup akan nyaman.

!esimpulan yang sah dari kedua premis tersebut adalahH

7. ika masyarakat membuang sampah pada tempatnya maka hidup akan

nyaman.

B. Masyarakat membuang sampah pada tempatnya maka hidup akannyaman.

1. ika masyarakat membuang sampah tidak pada tempatnya maka

lingkungan tidak akan bersih.

D. ika masyarakat membuang sampah pada tempatnya maka

lingkungan tidak bersih.

G. Masyarakat membuang sampah pada tempatnya tetapi lingkungan

tidak bersih.

Pem+a,a%anenarikan kesimpulan. remisnya berpola silogisme:

ehingga kesimpulannya adalah =ika masyarakat membuang sampah

pada tempatnya maka hidup akan nyaman.>


26/42

S'a$ N'. :8

Diberikan pernyataan:

"ika pemimpin jujur maka rakyat tentram "

Buatlah dua buah pernyataan yang setara dengan pernyataan di atasI

Pem+a,a%an

3umus:

ernyataan yang setara dengan sebuah implikasi p % &

i/ dengan menggunakan @ormat rumus p % & setara dengan ~p ∨ &"ika pemimpin jujur maka rakyat tentram "setara dengan

"emimpin tidak jujur atau rakyat tentram "

ii/ dengan memakai @ormat rumus p % & setara dengan ~& % ~p

"ika pemimpin jujur maka rakyat tentram "

setara dengan

"ika rakyat tidak tentram maka pemimpin tidak jujur "

S'a$ N'. ::

ernyataan yang setara dengan =jika harga BBM naik maka harga

kebutuhan pokok akan naik> adalahH

7. 5arga BBM naik dan harga kebutuhan pokok naik.

B. arga BBM t)ak nak atau ,arga ke+utu,an #'k'k akan nak.

1. ika harga BBM tidak naik maka harga kebutuhan pokok akan naik.

D. ika harga BBM tidak naik maka harga kebutuhan pokok tidak naik.

G. ika harga BBM tidak naik maka harga kebutuhan pokok akan turun.

(Logika - UN SMA IPS 2013)

Pem+a,a%an

eperti 'ontoh di atas, dengan penggunaan @ormat yang i/:

=ika harga BBM naik maka harga kebutuhan pokok akan naik>

setara dengan

"arga BBM t)ak nak atau ,arga ke+utu,an #'k'k akan nak "

Jawaban !


27/42

L'gka Matematka adalah salah satu materi pokok yang diajarkan di sekolah

dan uni)ersitas. ada pembahasan kali ini, saya akan men'oba membahas

materi Logika matematika ini dengan 'ara semudah-mudahnya. ntuk

mempermudah 7nda, saya sudah menyertakan 'ontoh-'ontohnya.

aya pribadi mendapat materi Logika Matematika pada saat kelas K dan di

kampus pada semester 2. *api ketika saya memba'a buku matematika

kurikulum 4A28, kelihatannya materi ini sudah dihapus dan tidak akan diajarkan

lagi di sekolah. Gntah itu saya yang belum 'ermat memba'a atau memang tidak

ada. aya juga tidak tahu alasan mengapa materi ini dihapus. adahal menurut

dosen saya, mata kuliah pada semester a$al adalah pondasi untuk belajar di

semester selanjutnya, sedangkan materi ini diajarkan di semester 2. Dari sana

saja bisa dilihat betapa pentingnya peran Logika Matematika untuk memahami

materi selanjutnya. *api kok dihapus 7pa mungkin karena materi ini terlalu

mudah I "on#t know.

engertian Logika

e'ara etimologi, istilah Logika berasal dari bahasa 6unani, yaitu logos yang

berarti kata, u'apan, pikiran se'ara utuh, atau bisa juga ilmu pengetahuan.Dalam arti luas, Logika adalah sebuah metode dan prinsip-prinsip yang dapat

memisahkan se'ara tegas antara penalaran yang tepat dengan penalaran yang

tidak tepat.

ika kita membahas logika, kita akan berkenalan dengan penalaran. enalaran

merupakan penjelasan dalam upaya memperlihatkan hubungan antara dua hal

atau lebih berdasarkan si@at-si@at atau hukum-hukum tertentu yang sudah diakui

kebenarannya dengan langkah-langkah tertentu yang berakhir dengan sebuah

kesimpulan. Dengan kata lain, penalaran dapat diartikan sebagai penarikan

kesimpulan dalam sebuah argumen.

Dalam Logika, kita mempelajari dan meneliti apakah sebuah penalaran yang

telah kita lakukan itu tepat atau tidak. ntuk dapat berpikir dengan tepat,

Logika mena$arkan sejumlah aturan atau kaidah-kaidah yang harus

diperhatikan agar kesimpulan yang kita peroleh hasilnya tepat.

http://www.ahmadkurniadi.com/2014/01/logika-matematika.htmlhttp://www.ahmadkurniadi.com/2014/01/logika-matematika.html


28/42

rang yang pertama kali merintis dan mempelopori Logika adalah Ar%t'te$e%,

seorang @ilsa@at 6unani yang hidup pada 8-844 M. #a mengobser)asi dan

men'atat hukum-hukum dari logika @ormal, yaitu logika yang kesahihan dari

langkah-langkahnya dipandang hanya berdasarkan bentuk dari rangakaian

langkah-langkah itu dan tidak bergantung pada materi persoalan sehingga

berlaku baik di ilmu alam, ilmu kimia, maupun ilmu-ilmu lain serta dalam

kehidupan sehari-hari.

Se+aga *'nt',

remis 2 : emua a adalah b

remis 4 : emua b adalah '

!esimpulan : emua a adalah '

Langkah di atas menghasilkan sebuah kesimpulan yang tidak tergantung pada

isi a, b dan '.

Dengan mempelajari Logika ini diharapkan kita mempunyai pola berpikir yang

tepat, akurat, rasional, kritis dan obyekti@. elain itu, dengan mempelajari

prinsip-prinsip Logika, ini juga akan membantu kita untuk menjadi lebih e@ekti@

dalam mengenal dan menghindari kesalahan dalam penalaran, baik penalaran

yang dilakukan orang lain, maupun yang dilakukan oleh diri sendiri. eseorang

yang dapat mengenal dan menghindari kesalahan logika dalam penalaran akan

dapat berpikir yang jelas dan tepat, lebih baik dan lebih yakin, apapun yang

mungkin merupakan pokok persoalan yang akan dihadapi.

5impunan emesta embi'araan

!ok ada himpunan semesta pembi'araan sih Bukannya kita sekarang sedang

belajar Logika Matematika Mungkin ada diantara kalian bertanya seperti itu.

Mungkin pada materi di sekolah, hal ini kurang mendapat perhatian. !arena

ketika kita sedang membi'arakan matematika, maka kita harus menentukan

terlebih dahulu himpunan semestanya, apalagi untuk Logika Matematika. ebab

http://id.wikipedia.org/wiki/Aristoteleshttp://www.ahmadkurniadi.com/2014/01/logika-matematika.htmlhttp://id.wikipedia.org/wiki/Aristoteleshttp://www.ahmadkurniadi.com/2014/01/logika-matematika.html


29/42

benar atau salahnya suatu pernyataaan memang dapat tergantung pada

semestanya yang telah disepakati.

Se+aga *'nt',

"Berapa 9 sehingga 9 ; 4 + 24"

asti kebanyakan kita akan menja$ab 9 + 2A.

6ap, benar. 7nda tidak salah. !arena pikiran kita sudah terbentuk bah$a

semesta pembi'araannya adalah semua anggota himpunan bilangan kompleks.

*api lain ja$aban jika saya bertanya seperti ini,

"Berapa 9 sehingga 9 ; 2 + 24, dengan 9 adalah anggota bilangan asli kurang

dari "

ika 7nda tahu, silahkan isi ja$aban dan alasannya di kolom komentar.

!alimat + ernyataan

aya ada memba'a tulisan di blog lain yang menulis bah$a kalimat itu sama

seperti pernyataan. aya ingin menekankan di sini bah$a itu adalah 7L75.

*idak semua kalimat merupakan pernyataan, tetapi semua pernyataan

merupakan sebuah kalimat. uatu kalimat yang mengandung nilai benar

ataupun salah, tetapi tidak kedua-duanya pada saat yang sama disebut kalimat

deklarati@ pernyataan/. !alimat yang tidak dapat dinyatakan sebagai

pernyataan dapat berupa kalimat perintah, pertanyaan, kalimat yang tidak jelas,

atau kalimat yang mempunyai arti ganda ambigu/.

ebagai 'ontoh:

Bilangan O adalah bilangan prima.

ro)insi D!# akarta berpenduduk 2 juta ji$a.

7mbilkan 5 di ruang guruI

7stagaI


30/42

49 ; 8 P 9 -2

Dari 'ontoh di atas, kalimat pertama dan kedua adalah 'ontoh pernyataan, dan

kalimat lainnya merupakan kalimat biasa. ntuk kalimat kelima tidak disebut

sebagai sebuah pernyataan karena belum dapat ditentukan nilai kebenarannya.

!alimat yang masih mengandung )ariabel bisa disebut sebagai kalimat terbuka

bisa dimasukkan apa saja/. !alimat tersebut akan menjadi sebuah pernyataan

jika kita telah mengganti nilai 9 dengan suatu bilangan tertentu. aya kira

sampai disini 7nda sudah paham perbedaan kalimat dan pernyataan.

perasi pada Logika Matematika

e'ara umum, operasi pada materi Logika matematika ada dua, yaitu operasi

uner dan operasi biner. esuai namanya, operasi uner Monari/ adalah operasi

yang hanya berhubungan dengan satu unsur, sedangkan operasi biner Binari/

adalah operasi yang berhubungan dengan dua unsur. perasi uner dalam Logika

Matematika hanya ada satu ma'am, yaitu operasi negasi, dan operasi biner ada

empat ma'am, yaitu operasi konjungsi, disjungsi, implikasi, biimplikasi.

!perasi Negasi

Negasi biasa juga disebut dengan ingkaran. Nilai kebenaran negasi sebuah

pernyataan adalah kebalikan dari nilai kebenaran yang dimiliki oleh sebuah

pernyataan. ika sebuah pernyataan itu bernilai benar, maka negasinya adalah

salah, dan begitu pula sebaliknya. ntuk menyatakan negasi, kita bisamenggunakan kata "tidak".

*abel Nilai !ebanaran perasi Negasi


31/42

Se+aga *'nt',

"ohon ini tinggi"

ohon ini tinggi bisa disimbolkan dengan p, negasinya bisa disimbolkan

dengan atau sehingga pernyataan negasinya menjadi,

"ohon ini tidak tinggi" atau bisa juga, "*idak benar bah$a pohon ini tinggi"

perasi !onjungsi

Dalam Logika Matematika, jika dua pernyataan digabungkan dengan kata

penghubung "dan", maka ini disebut sebagai operasi konjungsi. imbol yang

umum digunakan untuk operasi ini adalah " "

*abel Nilai !ebenaran perasi !onjungsi

!esimpulan : perasi konjungsi bernilai benar apabila kedua pernyataan

tersebut bernilai benar.

Se+aga *'nt',

4 adalah bilangan prima genap dan adalah bilangan prima ganjil,

bernilai benar

4 adalah bilangan prima genap dan adalah bukan bilangan prima ganjil,

bernilai salah 4 adalah bukan bilangan prima genap dan adalah bilangan prima ganjil,

bernilai salah

4 adalah bukan bilangan prima genap dan adalah bukan bilangan prima

ganjil, bernilai salah

!perasi "isjungsi


32/42

ika dua pernyataan digabungkan dengan kata penghubung "atau", maka ini

disebut sebagai operasi disjungsi. imbol yang umum digunakan untuk operasi

ini adalah " "

!ata "atau" bisa mempunyai dua arti yang berbeda. ika pernyataan p ) &

mempunyai arti p atau &, tetapi tidak kedua-duanya, seperti ini disebut disjungsi

ekslusi@. edangkan jika pernyataan p ) & mempunyai arti p atau &, atau kedua-

duanya, ini disebut disjungsi inklusi@ !alau saya untuk mempermudah

menghapal ini saya ingat saja kata ekslusi@ yang sama artinya dengan spesial C

tak ada duanya/.

Se+aga *'nt',

7nto dilahirkan di kota akarta atau 7nto dilahirkan di kota 6ogyakarta.

disjungsi ekslusi@/

7nto dilahirkan di kota akarta atau 7nto dilahirkan di sebuah rumah

sakit s$asta. disjungsi inklusi@/

*abel Nilai !ebenaran perasi Disjungsi Gkslusi@

!esimpulan : perasi disjungsi ekslusi@ bernilai benar apabila salah satu

pernyataan bernilai benar, tapi tidak kedua-duanya.

*abel Nilai !ebenaran perasi Disjungsi #nklusi@

!esimpulan : perasi disjungsi inklusi@ bernilai benar apabila salah satu

pernyataan tersebut bernilai benar.


33/42

1atatan : perasi disjungsi yang sering digunakan dalam pelajaran Logika

Matematika di sekolah adalah operasi disjungsi inklusi@.

Se+aga *'nt',

4 adalah bilangan genap atau 4 adalah bilangan prima, bernilai benar

4 adalah bilangan genap atau 4 adalah bukan bilangan prima, tetap

bernilai benar

4 adalah bukan bilangan genap atau 4 adalah bilangan prima, tetap

bernilai benar

4 adalah bukan bilangan genap atau 4 adalah bilangan prima, baru

bernilai salah

!perasi Implikasi

ika dua pernyataan mengandung bentuk "jika ... maka ...", maka ini disebut

sebagai operasi implikasi. imbol yang umum digunakan untuk menyatakan

operasi ini adalah " ".

*abel Nilai !ebenaran perasi #mplikasi

!esimpulan : perasi implikasi bernilai benar apabila pernyataan kedua bernilai

benar, atau kedua pernyataan tersebut bernilai sama.

Se+aga *'nt',

ika air habis, maka manusia akan mati, bernilai benar

ika air habis, maka manusia tidak akan mati, bernilai salah

ika air tidak habis, maka manusia akan mati, bernilai benar

ika air tidak habis, maka manusia tidak akan mati, bernilai benar

1ontoh di atas saya rasa sudah 'ukup untuk menja$ab pertanyaan "!enapa jika

B maka hasilnya , sedangkan jika maka B hasilnya B" !arena belum

tentu penyebab manusia mati hanya karena air habis, kan


34/42

!perasi #iimplikasi

ika dua pernyataan mengandung bentuk " ... jika dan hanya jika ...", maka ini

disebut sebagai operasi biimplikasi. aya lebih suka menyebut hubungan ini

"persyaratan". imbol yang umum digunakan untuk operasi ini adalah " ".

*abel Nilai !ebenaran perasi Biimplikasi

!esimpulan : perasi biimplikasi bernilai benar apabila kedua pernyataan

tersebut bernilai sama.

Se+aga *'nt',

antung berdetak jika dan hanya jika manusia hidup, bernilai benar

antung berdetak jika dan hanya jika manusia tidak hidup, ya salah kan

antung tidak berdetak jika dan hanya jika manusia hidup, salah juga kan

antung tidak berdetak jika dan hanya jika manusia tidak hidup, baru

benar

yarat manusia hidup adalah jantung berdetak, dan syarat jantung berdetak

adalah manusia hidup. !edua hal tersebut tidak dapat dipisahkan satu sama lain.

#nilah yang saya maksud dengan hubungan "persyaratan".

Pernyataan Berkuant'r

eperti yang sudah dibahas, 49 ; 8 P 9 -2 adalah kalimat terbuka yang

mengandung )ariabel/ dan bukan sebuah pernyataan. ntuk mengganti kalimat

terbuka tersebut menjadi sebuah pernyataan, kita harus mengganti )ariabel 9/

yang ada dengan suatu nilai. 1ara lainnya untuk mengganti kalimat terbuka

menjadi sebuah pernyataan adalah dengan menggunakan kuantor. !uantor


35/42

sendiri dibagi menjadi dua, yaitu kuantor umum kuantor uni)ersal/ dan kuantor

khusus kuantor eksistensial/.

Kuantor $mum %Kuantor $niversal&

ntuk menyatakan kuantor uni)ersal, kita bisa menggunakan ungkapan "ntuk

setiap" atau "ntuk semua". imbol yang umum digunakan untuk menyatakan

kuantor umum adalah 7 terbalik, " ".

Se+aga *'nt',

9 P A merupakan kalimat terbuka.

ika saya ganti menjadi "ntuk setiap 9 bilangan asli, berlaku 9 positi@ 9 PA/",

apakah bisa kita menyatakan salah atau benar Bisa, bukan a$abannya adalah

benar karena 2, 4, 8 dst itu selalu lebih besar dari A. Dan jika bisa ada nilai

kebenarannya, maka ini disebut sebagai pernyataan. imbol matematikanya

adalah

ntuk 'ontoh pernyataan berkuantor uni)ersal yang bernilai salah dapat dilihat

apabila saya ganti pernyataannya dengan, "ntuk setiap 9 bilangan asli, 9 P 4".

!enapa salah !arena 2 adalah bilangan asli, sedangkan 2 tidak lebih besar

daripada 4. adi, tidak semua bilangan asli lebih dari 4 dan dapat disimpulkan

bah$a pernyataan tersebut bernilai salah.

Kuantor K'usus %Kuantor Eksistensial&

ntuk menyatakan kuantor khusus, kita bisa menggunakan ungkapan "7da",

"*erdapat", "aling sedikit satu", atau "Beberapa". imbol yang umum

digunakan untuk menyatakan kuantor khusus adalah G terbalik, " "

Se+aga *'nt',

9 P 2 merupakan kalimat terbuka


36/42

ika saya ganti menjadi "*erdapat 9 bilangan asli sedemikian sehingga 9 P 2",

apakah bisa kita menyatakan salah atau benar ekali lagi bisa. Dan ja$abannya

benar karena 4 P 2 sedangkan 4 adalah anggota bilangan asli. adi ini bisa

disebut sebagai suatu pernyataan. imbol matematikanya adalah

ntuk 'ontoh pernyataan berkuantor eksistensial yang bernilai salah dapat

dilihat apabila saya ganti pernyataannya dengan, "*erdapat 9 bilangan asli

sedemikian rupa sehingga 9 Q 2". !enapa salah !arena tidak ada lagi bilangan

asli yang lebih ke'il dari 2. adi, tidak terdapat bilangan asli yang kurang dari 2

dan dapat disimpulkan bah$a pernyataan tersebut bernilai salah.

Negasi ernyataan Berkuantor

1oba kita melihat pernyataan ini, "emua manusia pasti mati". ernyataaan ini

bernilai benar.

Negasi dari pernyataan ini adalah "*idak semua manusia pasti mati", ini samaartinya dengan "*erdapat manusia yang tidak pasti mati". Dan pernyataan ini

bernilai salah. adi, kita dapat menyimpulkan bah$a negasi yang telah kita buat

sudah benar.

imbol Matematis Negasi !uantor ni)ersal

ekarang 'oba lihat pernyataan ini, "*erdapat tinggi badan manusia yang

kurang dari 24A 'm". ernyataan ini bernilai benar.

Negasi dari pernyataan ini adalah "*idak terdapat tinggi badan manusia yangkurang dari 24A 'm", ini sama artinya dengan "emua tinggi badan manusia


37/42

lebih dari 24A 'm". Dan pernyataan ini bernilai salah. adi, kita dapat

menyimpulkan bah$a negasi yang telah kita buat sudah benar.

imbol Matematis Negasi !uantor Gksistensial

!esimpulan: 2/ Negasi uni)ersal + eksistensialR dan 4/ Negasi eksistensial +

uni)ersal

aya sudah men'oba membahas materi L'gka Matematka ini dengan

semudah-mudahnya. ika ada yang masih bingung, silahkan ajukan pertanyaan

melalui kotak komentar di ba$ah. emoga artikel ini berman@aat.

Logika Matematika M7/ Dan perasinya

*hursday, une 4Ath 4A28. S rumus matematika

L'gka Matematka (SMA" )an O#era%nya

Buat sobat hitung yang duduk di ekolah menengah 7tas, berikut

ini rumushitung buatkan rangkuman singkat mengenai materi logika

matematika. 3angkuman ini terdiri dari pokok-pokok yang dipelajari serta

rumus logika matematika. emoga berman@aat.

A#a tu L'gka Matematka

engertian logika matematika ialah 'abang ilmu matematika yang mengandung

kajian matematis tentaang logika dan apa penerapan dari logika matematika ini

di bidang lain selain matematika sendiri.

http://www.ahmadkurniadi.com/2014/01/logika-matematika.htmlhttp://rumushitung.com/category/rumus-matematika/http://rumushitung.com/http://rumushitung.com/category/rumus-matematika/http://www.ahmadkurniadi.com/2014/01/logika-matematika.htmlhttp://rumushitung.com/category/rumus-matematika/http://rumushitung.com/http://rumushitung.com/category/rumus-matematika/


38/42

(Ka$mat" Pernyataan

Dalam logika matematika dikenal dua jenis kalimat, yaitu kalimat

terbuka dan kalimat tertutup. !alimat tertutup merupakan suatu pernyataan dan

kalimat terbuka belum bisa dikatakan sebagai suatu pernyataan. 1ara

membedakannya keduanya sangat mudah. 6ang dinamakan pernyataan hanya

mengandung nilai benar atau salah saja, tidak bisa kedua-duanya. ika tidak

memenuhi hal itu dinamakan kalimat terbuka. Masih bingung Mari imak

'ontoh berikut

$Man%sia &%n'a s&asang ata*

!alimat tersebut merupakan suatu pernyataan karena hanyapunya satu nilai,

yaitu nilai benar.

$Jika + bilangan +2-,+, . 0/

Bukan merupakan suatu pernyataan jika kita ambil 9 + 4 atau 9 +-4 maka

pernyataan akan benar dan jika kita ambil nilai 9 selain itu makan nilainya

salah.

Pernyataan Berkuant'r

Dalam logika matematika ada pernyataan yang melibatkan banyak objek yangterlibat dalam pernyataan tersebut. ernyataan ini disebut pernyataan

berkuantor. *erdapat 4 jenis pernyataan berkuantor

• !uantor uni)ersal yaitu yang menggunakan kata semuat atau untuk

setiap. !uantor uni)ersal dilambangkan dengan simbol =(>

• !uantor eksistensial, yaitu kuantor yang menggunakan kata ada atau

berapa dan dilambangkan dengan simbol =)>

O#era% Pa)a L'gka Matematkaada beberapa operasi dalam logika matematika sebagai berikut

Negasi atau #ngkaran

Negasi dari suatu pernyataan dide@inisikan, negasi dari pernyataan =p> ditulis

=ya>, mempunyai arti =tidak p> atau =bukan p>

*abel !ebenaran dari Negasi Logika matematika

p * p


39/42

B B

si@at --p/ +p

Negasi untuk penyataan berkuantor

∼∀F #(F"H 3 ∃ F∼#(F"

∼∃F #(F"H 3 ∀ F∼#(F"

D%jung% (Atau"

Dari pernyataan =p> dengan =&> dapat dibetuk pernyataan majemuk =p> =&>

ditulis =p ) &>/. Dalam disjungsi jika salah satu bernilai salah makan hasilnyaakan bernilai salah. *abel kebenarannya sebagai berikut

p & p ) &

B B B

B B

B B

K'njung% (Dan"

Bentuk pernyataan =p> dan =&> yang bisa ditulis =p ∧ &> akan bernilai salah jika

salah satu komponennya bernilai salah dan bernilai benar jika semua

komponennya bernilai benar

*abel !ebenaran !onjungsi Logika Matematika

p & p ∧ &

B B B

B

B


40/42

Im#$ka% (7ka.. maka.."

Dari pernhyataan =p> dan =&> dapat dibentuk suatu pernyataan majemuk yang

berbunyi =jika p maka &> bisa ditulis =p + &>. !omponen p disebut hipotesa

antensenden/ sedangakan komponen =&> disebut konklusi atau konsekuensi.

#mplikasi akan salah jika hipotesa benar dan konklusi bernilai salah

*abel kebenaran #mplikasi

p & p + &

B B B

B

B B

B

Bm#$ka% atau Ek!a$en% (7ka )an anya 7ka"

ika sobat punya pernyataan =p> dan =&> maka dapat dibuat pernyataan

majemuk yang berbunya =p jika dan hanya jika &> bisa ditulis =p &>

Biimplikasi akan bernilai benar jika kebenaran dari komponennya sama. Bisa

sama-sama bernilai benar atau sama-sama bernilai salaha. Berikut tabel

kebenaran eki)alensi dalam logika matematika

p & p &

B B B

B

B B

B


41/42

ebuah eki)alensi atau biimplikasi juga disebut pernyataan dua arah, yang

berarti p bertinda sebagai hipotesa, & merpakan konklusinya. Dan berlaku pula

sebaliknya, jika & adalah hipotesa maka p merupakan konklusinya.

Nega% )ar Penyataan Majemuk

*abel negasi pernyataan majemuk logika matematika

p &*

p

*&

p∨&

p∧&

*p∨&/

*p∧&/

* p∧*&

* p∨*&

B B B B

B B B B B

BB B B B

B B B B B B

dari tabel kebenaran logika matematika di atas terlihat bah$an

*p∨&/ + * p∧*& + B

*p∧&/ + * p∨*& + BBB

dengan demikian dari tabel kebenaran di atas di dapat dalil morgan

∼(#∨1" 3 ∼#∧∼1

∼(#∧1" 3 ∼#∨∼1

elain di dapat dalil morgan, di dapat juga rumus

*p+&/ + p -*&

K'n!er% In!e% )an K'ntra#'%% )a$am L'gka Matematka

dari pernyataan =p maka &> p+&/ dapat dibentyuk pernyataan sebagai berikut

=∼ p+∼& > disebut sebagai in)ers dari implikasi

=& + p> disebut kon)ers dari implikasi

∼& + ∼ p> disebut kotraposisi

Taut'$'g )an K'ntra)k%


42/42

6ang dimaksud istilah tautologi dalam logika matematika adalah pernyataan

mejemuk yang selalu bnar, tanpa harus melihat kegbenaran dari komponen-

komponennya. 1ontoh =ika 9 bilangan genap, maka kuadrat 9 adalah bilangan

genap>. edangkan yang dimaksud dengan kotradiksi adalah pernyataan

mejemuk yang selalu salahh tampa melihat kebenaran komponen-

komponennya.

Pengam+$an Ke#utu%an

Berikut beberapa 'ara dalam pengambilan keputusan pada $'gka matematka

2. rinsip #n)erensi

- #n@erensi Modus honen

Misal diberi pernyataan p + & HHHH..B/ p HHHHHH../

0000000000

& HHHHHHHB/

- #n@erensi Modus *olenC*alen

Misal diberikan pernyataan

p + &HHHHH.B/∼

1 HHHHHH./ 0000000000

∼# HHHHHHB/

4. rinsip ilogisme

p + & HHHH..B/& + r HHHH..B/

0000000000-

p + r HHHH..B/

#tulah tadi sobat rangkuman tentang logika matematika dan operasinya. emoga

berman@aat buat belajarnya.

Date post:	05-Jul-2018
Category:	Documents
Upload:	genadan-huga-maxidianto-sihaloho
View:	238 times
Download:	0 times

rumu logika matematika.docx

Documents