Úlohy k přednášce

Kvantová mechanika (UFY100)

Určeno pro 2. ročník učitelství fyziky pro SŠ

Poslední úpravy: 12. března 2014

Následující text obsahuje stručná zadání úloh k přednášce, z části řešená nacvičeních.

Jeho přečtení (včetně propočítání příkladů) ale jen těžko nahradí osobní účastna cvičeních!

Jednotlivé úlohy jsou vybírány z následujících materiálů:

Pišút J., Černý V., Prešnajder P.: Zbierka úloh z kvantovej mechaniky. ALFABratislava-SNTL Praha 1985Skála L.:Úvod do kvantové mechaniky, Academia, Praha 2005Bílek O., Kapsa V.: Kvantová mechanika pro učitele (předběžná verze)http://physics.mff.cuni.cz/kchfo/kapsa/skriptaKM/ Lim K.Y: Problems andSolutions on QuantumMechanics. World Scientific Publishing Co. Singapore,2000

Další úlohy včetně jejich podrobného řešení lze nalézt v elektronické sbírce,v kapitole Fyzika mikrosvěta, viz fyzikalniulohy.cz.

Budu vděčná za jakékoli připomínky směřující k vylepšení tohoto textu nebovýuky.

Zdeňka Koupilová (Zdenka.Koupilova @ mff.cuni.cz)

1

1. Podivuhodný svět malých rozměrů

1.1.) a. Nejprve odhadněte: Kolik atomů obsahuje 1 g železa (cca špendlík)?Pokud bychom ho rozřezali na krychličky, ve kterých by byl vždy jeden atom,a tyto krychličky narovnali za sebe do řady, dosáhne tato řada kolem třídy,Prahy, ČR, světa, k Měsíci, ke Slunci, kolem celé Galaxie. . . ?

b. Proveďte výpočet (MR = 55 g mol−1, ρ = 7,8 g cm−3).

1.2.) Doplňte tabulku (příslušné vztahy i číselné hodnoty):m v p T E λ

těleso 1 kg 100 km/helektron 1 eVproton 1 eVfoton 500 nm

1.3.) Pro fotoefekt a Comptonův jeva) vysvětlete stručně (1 větou) kvalitativně podstatu jevu (co se děje, copozorujeme)b) ukažte, kde přesně selhává klasické vysvětleníc) popište, jak vysvětluje daný jev kvantová mechanika.

1.4.) Fólie z draslíku je ve vzdálenosti r = 3,5m od bodového izotropníhozdroje světla, který má výkon P = 1,5W. Výstupní práce pro draslík je rovna2,2 eV. Předpokládejme, že energie je přenášena dopadajícím světelným svaz-kem spojitě a plynule (tj. klasicky). Jak dlouho potrvá, než fólie vstřebá dostenergie na to, aby emitovala elektron? Předpokládejme, že fólie absorbujevšechnu dopadající energii a že elektron bude emitován, jestliže potřebnouenergii absorbuje ploška o poloměru 5,0·10−11m (přibližně rozměr atomu).(Pozn. Ve skutečnosti stačí „čekatÿ na první elektrony méně než 10−9 s. Pročtomu tak je?)

1.5.) Z následujících hodnot naměřených při fotoelektrickém pokusu na lithiuurčete Planckovu konstantu a výstupní práci pro lithium. Nakreslete vhodnýgraf.

vlnová délka (nm) 433,9 404,7 365,0 312,5 253,5brzdný potenciál (V) 0,55 0,73 1,09 1,67 2,57

2

2. Matematika kvantové mechanikyMusíme si uvědomit, že zatímco chování nejmenších částic nelze jed-

noznačně popsat obvyklým jazykem, řeč matematiky je i nadále postaču-jící. . . (Werner Karl Heisenberg)

2.1 Komplexní čísla

Zopakujte si teorii:

• různé způsoby zápisu (algebraický, goniometrický, exponenciální) a pře-chody mezi nimi, výpočet velikosti a argumentu

• operace (sčítání, odčítání, násobení, dělení, mocnina, odmocnina) s kom-plexními čísly v různých tvarech, Moivrova věta

• grafické znázornení čísla a provádění operací graficky

• komplexní sdružení (značíme hvězdičkou!), sdružení součtu a sou-činu, součet, rozdíl a součin sdružených čísel

• komplexní funkce (rozdíl mezi komplexní funkcí reálné proměnné afunkcí komplexní proměnné)

2.1.) Převeďte do všech tvarů (v základním tvaru), určete velikost a argu-ment, číslo komplexně sdružené a zakreslete vše do Gaussovy rovinya) z = −2 + 2

√3i

b) z = 2√3− 2i

c) z = 2√3(cos(76π) + i sin(

76π)

)d) z = 4

(cos(574 π)− i sin(

574 π)

)e) z = 2 e

π2 i

2.2.) Určete hodnotu: i23, (−i)31, (−i)−17, eπi, e−πi, e2πi, eπ2 i, e

3π4 i

2.3.) Spočtěte, zjednoduštea) 1+i2+ib) z1 · z2, z1

z2, kde z1 = 2e

π6 i, z2 = 3e

π2 i,

2.4.) Mají nějaký speciální tvar či hodnotu následující výrazy?a) z + z∗, b) z − z∗, c) zz∗

2.5.) Napište co nejvíce způsobů, jak vyjádřit velikost, reálnou a imaginárnísložku komplexního čísla z.

3

2.2 Vztahy pro Kroneckerův a Levi-Civitův symbol

Definice: δij = 1⇔ i = j, jinak δij = 0Platí: δij = δji, δii = 3, δijδjk = δik

Definice: ϵ123 = ϵ231 = ϵ312 = 1, ϵ132 = ϵ321 = ϵ213 = −1,v ostatních případech ϵijk = 0

Platí: ϵijk = −ϵjik, ϵiik = 0, ϵijkϵijk = 6, ϵijkϵijl = 2δkl,ϵijkϵilm = δjlδkm − δjmδkl

2.3 Operátory, komutátor, hermitovské sdružení

Teorie: definice operátoru, rovnost operátorů (včetně definičních oborů),skládání operátorů, asociativita a komutativita operátorů, definice lineárníhooperátoru, komutátor, definice hermitovsky sdruženého operátoru a hermi-tovského operátoru

2.6.) Které z následujících operátorů jsou lineární:a)Af = cf , kde c ∈ C b) Bf = f 2 c) Cf = f ∗ (komplexnísdružení) d) Df = df

dxe) Ef = d2f

dx2f) F f = 1

f

2.7.) Vynásobte (A, B jsou lineární): (A− B)(A+ B)

2.8.) „Odvoďte vzorečkyÿ (z definice komutátoru):[A, A] = [B, A] = [A+ B, C] =[AB, C] =[A, BC] =

2.9.) Z definice komutátoru spočtěte:[x, d

dx] =

[x, p] = , kde x = x, p = −i~ ddx(tzv. kanonická komutační relace)

2.10.) Spočtěte: [AB, CD], [x, pn], [xn, p], [y, px].

2.11.) K = (x ddx)2, L = ( d

dxx)2. Platí K = L?

2.12.) Najděte hermitovsky sdružené operátory k operátorům x, A = ddx, p.

2.13.) Dokažte (A+ B)† = A† + B† a (AB)† = B†A†.

4

3. Základní postuláty kvantové mechaniky

3.1 Vlnová funkce

Teorie: vlastnosti vlnové funkce, vlastnosti a zápis skalárního součinu, ska-lární součin funkcí, normování, amplituda a hustota pravděpodobnosti

3.1.) Které z následujících funkcí mohou být vlnové funkce na intervalu(−∞,+∞) :a) ψ1 = Ax, b) ψ2 = Ax2, c) ψ3 = Ae−x, d) ψ4 = Ae−|x|, e) ψ5 = Ae−x2 ,f) ψ6 = A cos x, g) ψ7 = A sin |x|, h) ψ8 = A(a2 − x2) pro |x| < a a jinakψ8 = 0Pro vlnové funkce najděte normalizační konstantu A a hustotu pravděpodob-nosti.

3.2 Fyzikální veličiny

Operátor polohy a hybnosti

Teorie: zápis v 3D – polohový vektor r = (x, y, z) = (x1, x2, x3), vektorhybnosti p = (px, py, pz) = (p1, p2, p3), a podobně další vektory– vektorové operátory = trojice operátorů,např. −→r = (x, y, z) = (x, y, z),−→p = (px, py, pz) = (p1, p2, p3) = −i~( ∂

∂x, ∂∂y, ∂∂z) = −i~( ∂

∂x1, ∂∂x2, ∂∂x3).

3.2.) Spočtěte:[x, px] = , [y, px] = , [xi, pj] = , [xi, xj] = , [pi, pj] =, kdexi = xi, pi = −i~ ∂

∂xi, tzv. kanonické komutační relace

3.3.) Vypočtěte komutátory: [ypy, y], [x− px, x+ px], [x,△], [px,△],

Moment hybnosti, energie a jejich komutační relace

Definice:• moment hybnosti: −→L = −→x × −→p Li = ϵijkxj pk• kinetická energie: T = 1

2m pipi = − ~22m△

• potenciální energie: V (−→x )

3.4.) Napište Lx pomocí operátoru polohy a hybnosti.

5

3.5.) Spočtěte následující komutační relace (využívejte komutátory, které jstejiž spočetli!!!)a) [xi, Lj] = [pi, Lj] =b) [L1, L2] a obecněji: [Li, Lj] =c) [L1, L2] a obecněji: [Li, L

2] =

3.6.) Spočtěte: [−→x , T ], [−→x , V (−→x )], [−→p , T ], [−→p , V (−→x )][x, L1], [y, L2], [px, L1], [py, L1], [L1, L2]

3.3 Vlastní funkce a vlastní čísla

3.7.) Nalezněte vlastní funkce operátoru p a T .

3.8.) Dokažte:a)Vlastní hodnoty hermitovského operátoru jsou reálné.b)Vlastní funkce příslušející různým vlastním hodnotám téhož operátoru jsouortogonální.

Teorie – Degenerované a degenerované stavy. Postup, jak najít orto-normální systém vlnových funkcí.

3.9.) Dokažte:a) Jestliže mají dva komutátory společný systém vlastních funkcí, pak ko-mutují.b) Jestliže dva operátory komutují, pak mají společný systém vlastních funkcí(předpokládejte pro jednoduchost nedegenerovaná vlastní čísla).

3.4 Princip superpozice

3.10.) Jak spolu souvisí princip superpozice a vlastnosti Hilbertova prostoru?

3.11.) φ, ψ jsou normované vlnové funkce, jaké vlastnosti musí splňovat ko-eficienty c1, c2 ∈ C, aby c1φ + c2ψ byla normovaná vlnová funkce. Jaký jejejich význam?

3.5 Střední hodnota operátoru

3.12.) Najděte střední hodnoty operátorů x, x2, p, p2 a ověřte relace neurči-tosti ve stavech popsaných vlnovými funkcemi (A je normalizační konstanta,

6

a, L jsou pevně daná reálná čísla):a) ψ = Ae−x2

b) ψ = Ax(L− x) pro 0 < x < L a jinak ψ = 0

Řešení:

a) |A| = 14√πa2, < x >= 0, < x2 >= a2

2 , < p >= 0, < p2 >= ~2(2a2)

relace neurčitosti: (< x2 > − < x >2)(< p2 > − < p >2) = ~24 ≥ (~2 )

2

je splněna dokonce s rovností

b) |A| =√30L5 , < x >= L

2 , < x2 >= 2L2

7 , < p >= 0, < p2 >= 10~2L2

(< x2 > − < x >2)(< p2 > − < p >2) = 1028~

2 ≥ (~2 )2 je splněna

3.6 Vývoj stavu

3.13.) Napište základní rovnici popisující vývoj stavu, vyřešte ji pro případhamiltoniánu nezávislého na čase. Jaký je rozdíl mezi stacionárním a ne-stacionárním stavem. Napište časový vývoj stacionárního a nestacionárníhostavu.

3.7 Axiom o měření

3.14.) Předpokládejme, že máme dva systémy, které se nacházejí ve stavupopsaném stejnou vlnovou funkcí. Na každém systému jednou změříme veli-činu A a získáme různé hodnoty. Je to možné? Co můžeme říci o stavu obousystémů před a po měření?

3.15.) Máme systém v neznámém stavu. Změříme veličinu A a dostanemehodnotu A1. Ihned poté toto měření zopakujeme. Jakou hodnotu naměříme?

3.16.) Máme k dispozici jediný systém nacházející se v neznámém stavu po-psaném vlnovou funkcí ψ. Jak je možné tuto funkci určit?

3.8 Rozšiřující úlohy

3.17.) (*) Odvoďte vztah: [ ∂∂x, f(B)] = ∂f

∂x(B). Vypočtěte [∇, f(B)].

3.18.) Vypočtěte komutátory: [ypy, y], [x− p, x+ p], [x,△], [px,△],[−→x , T ], [−→x , V (−→x )], [−→p , T ], [−→p , V (−→x )][x, L1], [y, L2], [px, L1], [py, L1], [L1, L2]

7

3.19.) Dokažte, zda operátory násobení reálnou a komplexní funkcí f jsou/nejsouhermitovské.

3.20.) Najděte operátor hermitovsky sdružený k operátoru dn

dxn ,−→L ,△ a T .

3.21.) (*) Dokažte: exp(−ia~ px)f(x) = f(x− a),

kde exp(A) chápeme „v rozvoji do řadyÿ jako: exp A =∑∞

n=01n!(A)

n

3.22.) (*) Jaké vlastnosti musí splňovat vlnové funkce φ, ψ, aby operátorp = i~ d

dxsplňoval podmínku hermitovosti i na konečném intervalu (a, b)?

Řešení některých komutátorů:

[ypy, y] = −i~y, [x− p, x+ p] = 2i~, [x,△] = −2 ddx , [px,△] = 0,

[−→x , T ] = i~m−→p , [−→x , V (−→x )] = 0, [−→p , T ] = 0, [−→p , V (−→x )] = −i~∇V (−→x )

[x, L1] = 0, [y, L2] = 0, [px, L1] = 0, [py, L1] = −i~p3, [L1, L2] = i~L3[L1, L2] = 0, [Li, L

2] = 0

8

4. Relace neurčitosti

4.1.) Ukažte, že Brownův pohyb lze popisovat klasicky (tj. lze zanedbat dů-sledky relací neurčitosti). Parametry pohybující se částice m = 10−13 kg,průměr d ≈ 1µm, polohu lze určit s přesností asi ∆x = d/100, v = 10−6

m/s.

4.2.) Ukažte, že pokud změříme polohu elektronu v základním stavu atomuvodíku, tak téměř jistě tím změníme jeho stav. Tj. je nemožné měřit trajek-torii tohoto elektronu. Do popisu atomu vodíku je nutné zahrnout kvantovéjevy.

4.3.) Porovnejte neurčitost určení rychlosti elektronu a protonu, pokud oběčástice uzavřeme do objemu o velikosti atomu (cca 10−10m). Co to znamenápro trajektorii elektronů? [7,3·105ms−1, 4,0·102ms−1]

4.4.) Určete minimální energii elektronu a protonu, pokud obě částice uza-vřeme do objemu o velikosti atomového jádra (cca 10−14m). Porovnejte seskutečnými energiemi.

4.5.) Elektron, který se pohybuje rychlostí 106ms−1, dopadne na fosforesku-jící stínítko. Polohu záblesku můžeme určit s přesností 10−4m. Určete mi-nimální nepřesnost v určení rychlosti elektronu. Je lepší se v tomto případědívat na elektron jako na částici nebo ako na vlnu? [1m s−1]

4.6.) Dalo by se použít principu neurčitosti k vysvětlení, proč při teplotě0K musejí mít atomy v krystalu nějakou nenulovou energii, ale pro atomyideálního plynu nic takového neplatí (tj. při 0K mohou mít nulovou energii)?

5. Jednoduché systémy

5.1 Nekonečná potenciálová jáma

Zadání: Máme potenciál, který je nulový v intervalu (0, L) a nekonečný(V → ∞) mimo něj (uvažujeme jednorozněrnou úlohu).

5.1.) a) Nakreslete si obrázek celé situace. Kde se částice může pohybovat?b) Napište hamiltonián částice v jámě. Napište a vyřešte stacionární Schrö-dingerovu rovnici pro tuto částicic) Jak zní okrajové podmínky a jak se promítnou do možných hodnot energietéto částice? Jaké hodnoty může nabývat kvantové číslo n?

9

d) Napište hodnotu energie a stacionární vlnovou funkci pro obecné n a prohodnoty n = 1, 2, 3, 10. Pro uvedené hodnoty nakreslete amplituty a hus-toty pravděpodobnosti. Nezapomeňte vlnové funkce normovat! Co na základětěchto obrázků lze říci o výskytu částice? Vyjmenujte vlastnosti energetickýchhladin a stacionárních vlnových funkcí. Které vlastnosti řešení stacionárníchstavů platí obecně a které budou specifické pro tento problém?e) Pro „klasickéÿ tělísko je n velmi velké. Jak odpovídají předchozí výsledkyklasickému pohledu?

5.2.) Dokažte, že výše spočtené stacionární vlnové funkce jsou navzájem or-togonální. Proč by měly být na sebe kolmé?

5.3.) Na základě obrázků nejprve odhadněte a potom spočítejte střední hod-noty x, x2, p, p2 ve stacionárních stavech.

5.4.) Napište obecné řešení nestacionární Schrödingerovy rovnice. Vysvětletevýznam koeficientů a spočtěte střední hodnotu energie v obecném stavu.

5.5.) Napište vlnovou funkci částice v této jámě, která je v takovém stavu,že pravděpodobnost naměření energie E1 je rovna 50%, E2 20% a E3 30%.

5.6.) Mějme obecný stav popsaný v čase t=0 vlnovou funkcí ψ = Ax(L− x).Jaká je pravděpodobnost, že v tomto stavu naměříme energii E1, E2, E3?Rozložte tento obecný stav na součet stacionárních stavů. Jaká je středníhodnota energie v tomto stavu?

5.7.) Napište stav, který je v t = 0 superpozicí (součtem) základního a prv-ního excitovaného stavu. Jakou vlnovou funkcí bude systém popsán v obec-ném čase t? Zůstává vlnová funkce normovaná? Jaká je pravděpodobnost na-měření E1 v časech t = 0 s, 1 s, 2 s, . . . Určete časový průběh střední hodnotysouřadnice x v tomto stavu. Jak se výsledek liší od výsledku, který bychomzískali ze stacionárního počátečního stavu. Své tvrzení podpořte výpočtem.

5.8.) Diskutujte, jak by se změnily výsledky předchozí úloh pro případ ne-konečně hluboké jámy symetrické kolem počátku (tj. V = 0 pro |x| < l/2,jinak V → ∞). Co se děje při l → ∞?

5.9.) Uvažujme částici v „2D a 3D krabiciÿ - tj. dvoj- resp. trojrozměrnépravoúhlé nekonečně hluboké jámě. Proveďte separaci proměnných ve sta-cionární Schrödingerově rovnici. Napište stacionární stavy a energie. Kdymohou být energetické hladiny degenerované?

5.10.) Uvažujme čtvercovou 2D jámu (resp. kryhlovou 3D jámu). Určete stu-peň degenerace několika nejnižších hladin.

10

5.11.) Mějme 2D potenciálovou jámu, ukažte, že při a = b/2 = L dojdek náhodné degeneraci energie stavů n1 = 1, n2 = 4 a n1 = 2, n2 = 2.pozn.: E = ~2

8m (n21a2 +

n22b2 ).

5.2 Potenciálový skok

Zadání:Mějme (jednorozměrný) potenciál ve V = 0 pro x < 0 a V = V0 > 0pro x > 0.

5.12.) a) Nakreslete obrázek. Najděte řešení stacionární Schrödingerovy rov-nice pro E > V0.b) Uvažujte pouze částice nalétávající z jedné strany. Určete koeficienty prů-chodu a odrazu pro E < V0 i E > V0. Porovnejte jejich hodnoty s klasickýmihodnotami.c) Vytvořte graf závislosti koeficientu průchodu a odrazu na energii (resp.poměru energie částice a výšky schodu).

5.13.) a) Na tento potenciálový skok nalétávají ve směru kladné osy x částices energii E a hmotností m. Jaká relativní část častic se od potenciálovéhoschodu odrazí, a jaká projde, jestliže E = 4/3V .)b) Odrazí se nějaké částice, pokud by s touto energii na schod nalétávalyz opačné strany? (Využijte předchozí výpočty.)

5.14.) Svazek elektronů letí s kinetickou energii 80 eV v uzemněné kovovétrubici. Elektrony potom vletí do druhé trubice s potenciálem 50V. Situacimůžeme modelovat pomocí potenciálního skoku. Jaká část elektronů se odrazízpět? Kolik by se jich odrazilo, pokud potenciál druhé trubice by byl -50V?[asi 5%, asi 1% ]

5.3 Potenciálová bariéra, tunelový jev

5.15.) a) Nalezněte vlnové funkce v pravoúhlou potenciálovou bariérou (V =V0 > 0 pro 0 ≤ x ≤ a, jinak V = 0). Řešte pro Ecastice > V0 i 0 < Ecastice <V0.b) Určete koeficienty odrazu R a průchodu T částice pravoúhlou potenciálo-vou bariérou (V = V0 > 0 pro 0 ≤ x ≤ a, jinak V = 0).c) Nakreslete grafy závislosti R a Ta) na energii α částice, která zdolává potenciálovou bariéru vysokou 15MeVa širokou 1 fm.b) na šířce potenciálové bariéry výšky 15MeV, jestliže je energie α částice

11

10MeV, resp. 20MeV.Jsou na křivkách nějaká zajímavá místa? Vysvětlete chování částice v tako-vém případě.

5.16.) Spočítejte pravděpodobnost α rozpadu, pokud by částice α s kinetickouenergii E = 5MeV musela pro opuštění jádra překonat potenciálovou bariéruo výšce 15MeV a šířce 0,5 fm. (pozn. ~ .

= 200MeV fm) [cca 60%]

5.17.) Spočítejte pravděpodobnost, že míč o hmotnosti 1 kg a rychlosti 1m/sprojde milimetrovou (metrovou) zdí, na jejíž „proraženíÿ by potřeboval ener-gii 1 J.

Potenciálová bariéra, tunelový jev – výsledky

k =√2mE~2 , κ =

√2m|E−V |

~2

Pro Ecastice > V0:

C =k + κ

2κEei(k−κ)a D =

k − κ

2κEei(k+κ)a

A =14kκ[4kκ cos(κa)−2i(k2+κ2) sin(κa)]Eeika B =

14kκ[−2i(k2+κ2) sin(κa)]Eeika

R =(k2 − κ2)2 sin2 κa

4k2κ2 + (k2 − κ2)2 sin2 κa=

V 2 sin2 κa

4E(E − V ) + V 2 sin2 κa

T =4k2κ2

4k2κ2 + (k2 − κ2)2 sin2 κa=

4E(E − V )

4E(E − V ) + V 2 sin2 κa

————–

Pro 0 < Ecastice < V0:

C =ik + κ

2κEeika−κa D =

−ik + κ

2κEeika+κa

A = Eeika

4ikκ[(κ+ ik)2e−κa − (κ− ik)2eκa] = E

eika

2kκ[(κ2 − k2) sinhκa+ 2ik coshκa]

B = Eeika

4ikκ[−(κ2 + k2)e−κa + (κ2 + k2)eκa] = E

eika

2kκ(κ2 + k2) sinhκ

R =(k2 + κ2)2 sinh2 κa

4k2κ2 + (k2 + κ2)2 sinh2 κa

T =4k2κ2

4k2κ2 + (k2 + κ2)2 sinh2 κa, při κa ≫ 1 T ≈ 16k

2κ2

k2 + κ2e−2κa

12

5.4 Konečná jáma

Potenciál je definován: V (x) = −V0 < 0 pro 0 < x < L, jinak V (x) = 0.Nakreslete obrázek, jakých hodnot může nabývat energie částice, která sepohybuje v tomto potenciálu?

5.18.) Použijte výsledky získané pro potenciální bariéru pro řešení konečněhluboké potenciálové jámy pro E > 0. Nakreslete závislost R a T na E.

5.19.) Napište okrajové podmínky pro případ E < 0. Vysvětlete, z jakéhodůvodu jsou v jámě povolené jen některé hladiny (diskrétní spektrum).

5.5 Lineární harmonický oscilátor (LHO)

5.20.) Určete amplitudu nulových kmitů „závažíčka na pružinceÿ (m = 1g,ω = 1 s−1, g

.= 10m s−2). Určete vzdálenost energetických hladin a „stupeň

excitaceÿ tohoto oscilátoru při výchylce 1 cm.

5.21.) Pro LHO v základním stavu – napište vlnovou funkci, nakreslete hus-totu pravděpodobnosti, vypočtěte pravděpodobnost nalezení částice mimoklasickou oblast.

5.22.) Nakreslete vlnové funkce a hustoty pravděpodobnosti pro základnístav a několik prvních excitovaných stavů. Napište vlastnosti těchto funkcí(všímejte si symetrií, počtu nulových bodů, asymptot, . . .).

5.23.) Dvě částice na sebe navzájem působí pružnou silou a pohybují se volněpodél osy x (uvažujeme jen jednorozměrný pohyb). Napište hamiltonián sou-stavy ve „vhodnéÿ souřadné soustavě. Jak budou vypadat stacionární řešenía energie?

5.24.) Z relací neurčitosti určete spodní mez k energii LHO. (nápověda: Z(√a−

√b)2 ≥ 0 plyne a+ b ≥ 2

√ab.)

5.25.) Spočtěte hustotu pravděpodobnosti nalezení částice v klasickém LHO.Ukažte, že se jedná o limitu „kvantové hustoty pravděpodobnostiÿ při n →∞. (Návod: hustota pravděpodobnosti je úměrná době, po kterou se v danémkousku oscilátoru částice vyskytuje).

13

applety:kvantová jáma http://www.aldebaran.cz/applets/kv_jama/start.htmlkvantový oscilátor http://www.aldebaran.cz/applets/kv_osc/start.html

5.26.) V appletu se pokuste „vytvořitÿ takový nestacionární stav, který byse co nejlépe podobal „vlnovému klubkuÿ, který nemá maximum uprostředjámy. Sledujte a popište časový vývoj tohoto stavu.

5.27.) a) V appletu si vytvořte postupně několik nestacionárních stavů, kterébudou tvořeny vždy superpozicí dvou stacionárních stavů. Sledujte časovévývoje jejich hustoty pravděpodobnosti. Vytvořte hypotézu, na čem závisíperioda vývoje. (Pozor, v appletu lze měnit rychlost animace, její rychlostbude ovlivněna i zvoleným časovým krokem a možná i rychlostí počitače.)b) Řešte stejnou úlohu pro částici v nekonečně hluboké jámě.c) Zkuste vytvořit společnou hypotézu, na čem závisí perioda takového ne-stacionárního stavu. Její formulace by měla být univerzální na jakékoli dvastacionární stavy částice v libovolném potenciálu.d) Ověřte hypotézu výpočtem.

5.6 Volná částice

5.28.) Mějte vlnovou funkci ve tvaru vlnového klubka ψ(x, t) = (2d2

π)1/4e(−

(x−a)2

2d2).

Ověřte normovanost této vlnové funkce. Spočítejte < x >, < x2 >, < p > a< p2 > v tomto stavu.

5.29.) Dokažte, že funkce ψ(x, t) = (2a2

π)1/4( 1

a2+ibt)1/2 exp(− x2

a2+ibt) je řeše-ním Schrödingerovy rovnice pro volnou částici (v jednorozměrném případě).Spočtěte a nakreslete vlnovou funkci, hustotu prsti a hustotu toku pravdě-podobnosti v čase t = 0 s a v nějakém libovolném t > 0. Popište, jak se budehustota pravděpodobnosti a hustota toku pravděpodobnosti vyvíjet v čase.

14

6. Základní postuláty QM – souhrn

6.1.) Doplňte nebo upravte následující text tak, aby byl co nejpřesnější:

Stav částice v okamžiku t je v kvantové mechanice . . . . . popsán . . . . . (s pro-měnnými . . . . .), která musí být . . . . . . a mít všechny . . . . . .

Z principu superpozice plyne, že prostor stavů je z matematického hlediska. . . . . . Vlnové funkce, které se liší pouze . . . . . konstantou popisují . . . . . stav(y)částice. Ortonormální funkce jsou . . . . . a na sebe navzájem . . . . . .

Hermitovské operátory mají pouze . . . . . vlastní čísla. Dvě vlastní funkce,kterým přísluší . . . . . vlastní čísla, jsou navzájem ortogonální.

Každé fyzikální veličině je přiřazen . . . . . a . . . . . operátor. Množina vlastníchhodnot tohoto operátoru odpovídá množině . . . . . v experimentu. Skalárnísoučin (ψ, Fψ) odpovídá . . . . . veličiny F ve . . . . . určenou z dostatečnéhomnožství opakování daného experimentu (za předpokladu, že ψ je . . . . . ).Množina všech vlastních funkcí ψn tvoří . . . . . stavového prostoru. Pokud jesystém popsán vlastní funkcí operátoru F , potom má v tomto stavu . . . . .hodnotu rovnou . . . . ., což znamená, že . . . . . .

Ke komutujícím operátorům je možné nalézt jejich . . . . . systém vlastníchfunkcí. Pokud dva operátory nekomutují, potom . . . . možné obě veličiny . . . . .změřit.

Vývoj systému je popsán . . . . . Pokud hamiltonián systému nezávisí na časejsou jediné možné hodnoty energie rovny . . . . . číslům . . . . . (tzv. . . . . . Schrö-dingerova rovnice). Ve stacionárních stavech jsou . . . . . nezávislé na čase. Ne-stacionární stavy získáme . . . . . .

6.2.) Rozhodněte o pravdivosti a případně opravte:

a) Fyzikálně je vlnová funkce rovna hustotě pravděpodobnosti nalezení čás-tice v daném místě a čase.

b) Stav částice, který je dán superpozicí dvou jiných stavů, získáme sečtenímobou hustot pravděpodobností s příslušnými koeficienty.

c) K jednomu vlastnímu číslu existuje vždy právě jedna vlastní funkce.

d) Není možné současně naměřit všechny složky hybnosti částice.

e) Řešení stacionární Schrödingerovi rovnice nezávisí na čase.

15

7. Moment hybnosti

7.1.) Jakým způsobem se odvodí vyjádření operátoru momentu hybnosti(jeho složek), operátoru L2 a T ve sférických souřadnicích?

7.2.) Pro jaké potenciály je moment hybnosti, resp. průmět momentu hyb-nosti do daného směru integrálem pohybu?

7.3.) Najděte vlastní stavy operátoru Lz ve sférických souřadnicích.

8. Atom vodíku

8.1.) Na kterých kvantových číslech závisí energie a jednotlivé části vlnovéfunkce? Jaké hodnoty mohou nabývat kvantová čísla l,m při pevně zvolenémn? Rozepište detailně všechny možnosti pro n = 3. Určete stupeň degeneraceenergetické hladiny n.

8.2.) V tabulce jsou kvantová čísla pro různé stavy atomu vodíku. Určete,které stavy jsou možné a které jsou nemožné?n 3 2 4 5 5 10l 2 3 3 5 3 0m 0 1 -4 0 -2 0

8.3.) a) Kolik hodnot může nabývat l při pevně zvoleném n?b) Kolik hodnot může nabývat m při pevně zvoleném l?c) Kolik hodnot může nabývat m při pevně zvoleném n?d) Jaký je stupeň degenerace každé energetické hladiny?

8.4.) Jaká energie je třeba k utržení elektronu z atomu vodíku? Jaká je vl-nová délka fotonu, který může excitovat vodík v základním stavu do prvníhoexcitovaného stavu? Jakému přechodu odpovídá světlo vodíkové výbojky ovlnové délce 656 nm?

8.5.) Ověřte vlnové délky a barvy viditelných čar Balmerovy série ve spektruatomu vodíku.

8.6.) Jakým napětím je třeba urychlit elektron, aby měl dostatečnou energiia) k excitaci atomu vodíku ze základního stavu do první excitovaného stavu?b) k ionizaci atomu vodíku?

8.7.) Elektron v atomu vodíku vybudíme do 3. excitovaného stavu. Určeteenergii, která k tomu byla nutná. Vypočtěte a graficky znázorněte různé

16

možné energie (a vlnové délky) fotonů, které atom vodíku může vyzářit bě-hem návratu do základního stavu. Do kterých spektrálních sérii patří.

8.8.) Pro základní stav atomu vodíku spočítejte: ⟨r⟩, ⟨r2⟩ a nejpravděpodob-nější vzdálenost elektronu od jádra. Jaká je pravděpodobnost nalezení částiceve vzdálenosti větší než 3a? Jaká je pravděpodobnost nalezení elektronu v já-dře (rjadro ≈ 10−15 m)? (pozn. ψ100 = Ne−r/a, nezapomeňte normovat)

8.9.) Neutron o rychlosti 34 km/s se srazí s vodíkovým atomem v základnímstavu v klidu. Ukažte, že tato srážka musí být pružná, tj. zachová se kinetickáenergie. (Návod: Ukažte, že atom se při této srážce nemůže excitovat.)

8.10.) Celková energie elektronu v základním stavu je -13,6 eV. Považujme hoza klasickou částici, která obíhá proton po kruhové dráze o Bohrově poloměru.Určete jeho potenciální energii, kinetickou energii a rychlost.

8.11.) V roce 1996 se fyzikům podařilo vytvořit atom antivodíku. Ten seskládá z pozitronu, který se pohybuje kolem antiprotonu. Pozitron je anti-částice elektronu a antielektron je antičástice protonu. Částice a antičásticemají stejnou hmotnost, ale opačný náboj. Jak se bude lišit spektrum antivo-díku od spektra vodíku?

9. Spin

9.1 Částice v elmag. poli

Hamiltonián bezespinové částice v elmag. poli je: H = 12m(

−→p − q−→A )2 + qϕ

9.1.) Dokažte, že pro homogenní elektrické a magnetické pole lze potenciályvyjádřit jako: ϕ = −−→r · −→E a −→A = −1/2−→r ×−→

B .

9.2.) Ukažte, že ve slabém homogenním magnetickém poli lze hamiltonián

bezspinové nabité částice psát jako H = 12m

−→p2− q2m

−→B · −→L . Jaký je význam

jednotlivých členů? Jak interakce s magnetickým polem přispívá k energii?

9.3.) Ukažte, že klasické kanonické Hamiltonovy pohybové rovnice odvozenéz výše uvedeného hamiltoniánu odpovídají Newtonovým pohybovým rovni-cím, v kterých vystupuje Lorentzova síla. (Pozn. −→p je kanonicky sdruženáhybnost k polohovému vektoru −→r , je různá od −→p mech = m

−→v .)

9.4.) Najděte operátor rychlosti −→v = (v1, v2, v3) bezspinové částice v elektro-

17

magnetickom poli. Vypočtěte komutátor [vi, vj].

9.5.) Jak lze napsat vlnovou funkci volné částice ve sférických souřadnicích(pomocí vlastních funkcí T, L2, Lz? Jak se projeví zapnutí slabého homogen-ního magnetického pole na energii této částice v daném stacionárním stavu?Jak by se předchozí úvahy lišily pro částici ve sféricky symetrickém potenci-álu?

•Uvažujete nabitou částici v homogenním magnetickém poli (A = (−By, 0, 0)).Najděte přesné řešení pro energie - tzv. Landauovy hladiny. (Hint: Vlnovoufunkci předpokládejte ve tvaru ψ(−→x ) = χ(y)e i

~ (pxx+pzz)).

9.2 Maticová reprezentace momentu hybnosti

9.6.) Jaké jsou vlastní čísla a vlastní stavy operátoru momentu hybnosti?Jakými kvantovými čísly je označujeme?

Budeme pracovat se systémem s konstantním celkovým momentemhybnosti l = 1. (Lze si to představit také tak, že máme elektron v atomuvodíku a známe jeho n a l, která se nebudou měnit. Měnit se tedy můžepouze m.)

9.7.) Jaká je dimenze našeho Hilbertova prostoru?

Zavedeme si následující značení pro jednotlivé stavy:

m = 1 ψ1 = (−12√32π ) sin θ e

iφ ≡

100

≡ |1, 1⟩

m = 0 ψ0 = (−12√3π) sin θ ≡

010

≡ |1, 0⟩

m = −1 ψ−1 = (12

√32π ) sin θ e

−iφ ≡

001

≡ |1,−1⟩

9.8.) Ověřte kolmost uvedených stavů v souřadnicové reprezentaci i v „ma-ticovéÿ reprezentaci.

9.9.) V našem značení je stav „reprezentovánÿ vektorem se třemi složkami.Jak budou „reprezentoványÿ operátory? (Pozn.: Operátor působí na stav avyrábí z něj jiný stav.)

18

9.10.) Jak lze vypočítat jednotlivé složky operátorů Lx, Ly, Lz a L2? Pokustese spočítat složky Lz.

Výsledek předchozího příkladu aneb operátory:

Lx = ~√2

0 1 01 0 10 1 0

Ly = ~√2

0 −i 0i 0 −i0 i 0

Lz = ~

1 0 00 0 00 0 −1

L2 = 2~2 1 0 00 1 00 0 1

9.11.) Proč jsou Lz a L2 diagonální? Dalo se to odhadnout již před výpočtem?Jaký je význam čísel na diagonále?

9.12.) Ověřte, že i v „maticovéÿ reprezentaci zůstaly v platnosti vztahy:L2x + L

2y + L

2z = L

2, [Lx, Ly] = i~Lz, [Lx, L2] = 0 atd.,

Lz|l,m⟩ = m~||l,m⟩, L2|l,m⟩ = ~2l(l + 1)|l,m⟩

9.13.) Jak by vypadala maticová reprezentace, pokud bychom pracovali přil = 3, resp. při obecně zvoleném pevném l?

9.3 Spin

9.14.) Na základě zkušeností z předchozí kapitoly odhadněte, jaké hodnotě lby odpovídala maticová reprezentace s maticemi 2x2.

Maticová reprezentace spinu:

−→S = ~

2

((0 11 0

),

(0 −ii 0

),

(1 00 −1

))= ~2−→σ ,

kde −→σ jsou tzv. Pauliho matice

9.15.) Vlastnosti Pauliho matic – přímým výpočtem ukažte:a) σiσj = δij1+ iϵijkσk,b) [σi, σj] = 2iϵijkσk,c) {σi, σj} ≡ σiσj + σjσi = 2δij1.

9.16.) Ověřte, že složky spinu splňují stejné komutační relace jako složkymomentu hybnosti.

9.17.) Vypočtěte S2.

9.18.) Spočtěte [S2x, Sz] pro spin 1/2.

19

9.19.) Kolik prvků bude mít báze tohoto prostoru? Zvolte pro ně nějakéoznačení. Jaký je jejich fyzikální význam? (Všimněte si diagonálnosti matic!)

9.20.) Určete vlastní stavy a vlastní čísla Sx, Sy, Sz, S2.

9.21.) Pro částici ve spinovém stavu

(cos(θ/2)sin(θ/2)

)určete možné naměřitelné

hodnoty pro průmět spinu Sz, příslušné pravděpodobnosti a střední hodnotuSz v tomto stavu.

9.22.) Spočtěte operátor S−→n průmětu spinu do směru−→n = (nx, ny, nz) =

( cos(φ) sin(θ), sin(φ) sin(θ), cos(θ) ). Určete jeho vlastní čísla. Je výsledekpřekvapující?

9.23.) Nechť částice je ve spinovém stavu popsaném vektorem

(ab

), kde

a, b jsou reálná. Spočítejte pravděpodobnost naměření jednotlivých hodnot astřední hodnotu průmětu spinu do směru x, resp. y, resp. z.

9.24.) a) Napište operátor průmětu spinu elektronu do směru (1,0,1) (pozorna normalizaci a jednotkovost). Najděte jeho vlastní hodnoty a funkce. Pra-cujte v reprezentaci Sz.b) Pomocí nehomogenního magnetického pole (jako v S-G experimentu) vy-tvoříme svazek elektronů s průmětem spinu do kladného směru osy z. Tentosvazek necháme procházet dalším magnetem natočeným ve výše popsanémsměru. Popište, co se stane (včetně číselných hodnot).

9.25.) Spočtěte pravděpodobnost naměření obou průmětů spinu do směru,který je odchýlen o úhel θ od osy z (φ = 0) ve stavu |z+⟩, tj. ve stavu, kterýodpovídá vlastnímu stavu s vlastní hodnotou +1/2~ průmětu spinu do osy z.

9.26.) Pomocí Stern-Gerlachova zařízení natočeného ve směru z vybereme způvodně nepolarizovaného svazku pouze elektrony, které mají průmět spinudo osy z roven +~/2. Tento svazek necháme projít dalším Stern-Gerlachovýmpřístrojem natočeným ve směru x, pokud dojde k rozštěpení svazku vybe-reme opět svazek s kladným průmetem spinu. Ten necháme projít Stern-Gerlachovým přístrojem natočeným opět ve směru z. Spočtěte poměry, vjakých se štěpí svazky ve všech přístrojích, a vysvětlete rozdíl, oproti klasic-kému chování.

20

9.4 Pauliho rovnice

Pauliho hamiltonián (I jednotková matice 2x2, µB = e~2meBohrův magneton):

HP =(12m(

−→p − q−→A )2 + qϕ+ V

)I+ µB

−→σ · −→B +HSO, kde HSO ∼ −→L · −→S .

9.27.) Vysledujte matematickou strukturu Pauliho rovnice (co je matice, covektor, co skalár). Rozepište HP do matic.

9.28.) Který člen odpovídá a) náboji ve vnějším elektrickém poli, b) nábojive vnějším magnetickém poli, c) „orbitálnímuÿ magnetickému momentu vevnějším poli, d) spinovému magnetickému momentu ve vnějším poli, e) vazběmezi spinem elektronu a jeho orbitálním magnetickým polem.

9.29.) V jakém případě bude člen odpovídající interakci spinu a vnějšíhomagnetického pole diagonální? V čem je to zajímavé/důležité?

10. Přibližné metody řešení úlov v QM

10.1 Variační počet

10.1.) Uvažujme částici v nekonečné potenciální jámě. Pomocí variačníhopočtu nalezněte vlnovou funkci základního stavu ve tvaru ψ = aλ − |x|λ.Určete o kolik se liší energie tohoto základního stavu od přesného řešení.

10.2.) Pomocí variační metody odhadněte energii základního stavu pro po-tenciál V (x) = Cx4, kde C > 0. Minimalizaci proveďte na třídě funkcí ve

tvaru ψ = 4

√1

a2πexp(− x2

2a2 ), kde a je parametr.

Hint:∫∞0 x2ke−ax2dx = 1·3·5·...·(2k−1)

√π

2k+1a(2k+1)/2

10.3.) Pomocí variační metody odhadněte energii základního stavu pro po-tenciál V (x) = C|x|, kde C > 0. Minimalizaci proveďte na třídě funkcí ve

tvaru ψ = 4

√1

a2πexp(− x2

2a2 ), kde a je parametr.

21

10.2 Stacionární poruchový počet – nedegenerovanépřípady

10.4.) Elektron je vázaný na úsečku −L/2 ≤ x ≤ L/2. Najděte korekcek energii dané malou poruchou V (x) = αx (resp. V (x) = βx2). Jak se změníenergie fotonu emitovaného při přechodu z prvního excitovaného stavu dozákladního?

10.5.) Jednorozměrný harmonický oscilátor s nábojem e vložíme do slabéhoelektrostatického pole s intenzitou

−→E . Určete změnu energie základního stavu

danou touto poruchou v prvním a druhém řádu poruchové teorie. Spočítejtei přesnou hodnotu energie a porovnejte ji s výsledkem poruchového výpočtu.

10.6.) Uvažujme elektron se spinem 1/2 v silném magnetickém poli B vesměru osy z. Toto pole složíme se slabým polem b ve směru osy x. Najdětevlastní hodnoty energie a spinory přesně a pomocí poruchové metody. (Řeštepouze spinovou část Pauliho rovnice)

10.7.) Uvažujme neporušený hamiltonián H0 a poruchu V dané maticemi:

H0 =

5 0 00 2 00 0 −1

V =

0 c 0c 0 00 0 2c

Určete:- Korekci k energii v prvním řádu poruchového počtu.- Korekci k energii v druhém řádu poruchového počtu.- Korekci k vlastním stavům v prvním řádu poruchového počtu.- Korekci k vlastním stavům řádu poruchového počtu.- Rozviňte přesné energie v mocninách c a porovnejte s předchozími výsledky.

10.8.) Spočítejte opravu (v prvním řádu poruchové teorie) energie základníhostavu harmonického oscilátoru, pokud k hamiltoniánu přidáme první relati-vistickou opravu, tj. člen −18

p4

m3c2.

Hint: d4

dx4e−x2 = (16x4 − 48x2 + 12)e−x2

10.9.) Zeemanův jev – atom ve slabém homogenním magnetickém poli.a) Pro bezspinový elektron ukažte, že dojde k úplnému sejmutí degeneracevůči m.b) Uvažujte reálný elektron se spinem 1/2, H = H0 +HLS +HB, kde HB =− e~B2mc(Lz + 2Sz).

b1) Uvažujme velmi slabé mag. pole, které přidáme jako poruchu.b2) Uvažujme silnější magnetické pole, takže LS-vazbu přidáme jako poruchu.

22

10.3 Stacionární poruchový počet – degenerované pří-pady

10.10.) Ilustrujte použití poruchového počtu v degenerovaném případě nadvojhladinovém systému s energií E, kde porucha je popsána jako V =(0 VV ⋆ 0

).

10.11.) Starkův efekt – Jak se změní energie atomu vodíku v základním a prv-ním excitovaném stavu, pokud je vložen do homogenního elektrického pole?Počítejte v prvním řádu poruchové teorie a určete vlastní stavy přizpůsobenéporuše.

10.4 Nestacionární poruchový počet

10.12.) LHO je umístěn v kondenzátoru a v čase t → −∞ je v základnímstavu. Zapneme a vypneme pole uvnitř kondenzátoru ϵ = ϵ0 exp(−t2/τ 2).Určete pravděpodobnost, že v čase t → ∞ bude oscilátor v excitovanémstavu. Diskutujte vztah mezi pravděpodobností a velikosti parametru τ .

10.13.) Porucha konstantní v čase – v čase t = 0 je systém ve stacionárnímstavu, v tomto čase zapneme konstantní poruchu. Spočtěte pravděpodobnostpřechodu do jiného stacionárního stavu v daném čase t > 0.

10.14.) Porucha periodická v čase – v čase t = 0 začne působit poruchave tvaru V = V exp(iωt) + V † exp(−iω), určete pravděpodobnost přechoduz počátečního stacionárního stavu |i⟩ do koncového stacionárního stavu |f⟩v čase t > 0.

11. Vícečásticové systémy

11.1.) Typicky potenciální energie vzájmené interakce mezi dvěma částicemizávisí pouze na jejich relativní poloze r = r1− r2 (a ještě častěji jen na jejichrelativní vzdálenosti r). Označme R = (m1r1 +m2r2)/(m1 +m2).a) Rozmyslete si, že R udává polohu hmotného středu soustavy dvou částic.b) Odvoďte následující vztahy:

r1 = R +µ

m1r, r2 = R− µ

m2r,

23

∇1 =µ

m2∇R +∇r, ∇2 =

µ

m1∇R −∇r,

kde µ = m1m2/(m1 +m2) je tzv. redukovaná hmotnost.c) Napište tvar stacionární Schrödingerovy rovnice. Co můžeme říci o řešenítéto rovnice, vzhledem k separovanosti souřadnic?

11.2.) Na základě předchozí úlohy opravte vztah pro energie elektronu vatomu vodíku náhradou hmotnosti elektronu redukovanou hmotností.a) Určete, jaké chyby (v procentech) jsme se dopustili při výpočtu vazbovéenergie elektronu v atomu vodíku.b) Najděte, jaký bude rozdíl ve vlnových délkách Balmerovy čáry (přechodz n = 3 na n = 2) pro vodík a deuterium.c) Určete vazbovou energii pozitronia (elektron obíhá kolem pozitronu).d) Určete, ve které části spektra bude ležet první čára Lymanovy série (pře-chod z n = 2 na n = 1) pro „mionový vodíkÿ – kolem protonu obíhá mion(částice, která má stejné vlastnosti jako elektron, ale je 207x těžší).

11.3.) Ukažte, že vlnová funkce pro dvě (resp. tři) nerozlišitelné částice musíbýt buď symetrická nebo antisymetrická. Vycházejte z toho, že vícečásticovávlnová funkce musí být vlastní funkcí operátoru permutace.

11.4.) Uvažujte dvě vzájemně neinteragující částice v nekonečně hlubokéjámě. Napište energii a příslušnou vlnovou funkci (funkce) základního a prv-ního exitovaného stavu, jestliže částice jsou a) různé, ale stejně těžké, b)identické bosony, c) identické ferminony. Diskutujte degeneraci obou stavů.

11.5.) Ve stavu s S = 1 a L = 0 je potenciální energie neutronu a protonu(v těžišťovém systému) popsána funkcí V (r) = −V0 exp(−r/a), kde a =2, 2 · 10−15m a V0 = 32MeV. Variační metodou odhadněte vazbovou energiideuteronu. (Volte zkušební funkci ve tvaru ϕ(r) = A exp(−αr), kde α je volnýparametr a A je dáno normováním.) Porovnejte s experimentální hodnotou-2,225MeV.

11.6.) Zahrňte vzájemnou interakci obou elektronů v atomu helia do energiezákladního stavua) poruchovou metodoub) variační metodou (tvar funkce volte jako bez zahrnutí vzájemné interakce,parametrem je v ní uvedený „nábojÿ jádra Z - stínění jádra druhým elektro-nem)c) jak by byla zahrnuta symetrie/antisymetrie prostorové části vlnové funkcepři zahrnutí možných spinových stavů, jak se to projeví na spektru helia.

24