Příklady k přednášce 14 Moderní frekvenční metody · Automatické řízení - Kybernetika a...

Příklady k přednášce 14 - Moderní frekvenční metody

Michael Šebek Automatické řízení 2018

4-4-18

Automatické řízení - Kybernetika a robotika

• Přenosy ve ZV systému

• Např. vliv poruchy bude malý pro malé S , vliv šumu pro malé T • Současně malé S i T bohužel nelze, neboť

Důkaz

• To je vážné omezení pro návrh regulátoru, platí i po dosazení s=jω, a to pro každé jednotlivé ω (pozor – jsou to komplexní čísla)

• Proto je návrh kompromisem: musíme zvolit priority pro jednotlivé frekvenční rozsahy

• Tomu se říká tvarování frekvenční charakteristiky (loop shaping)

Opakování: Přenosy v uzavřené smyčce

Michael Šebek 2 ARI-14-2013

u( )K s ( )G s

( ) ( ) 1S s T s+ =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

y s T s r s S s d s T s n su s K s S s r s K s S s d s K s S s n se s r s y s S s r s S s d s T s n s

= + −= − −= − = − +

1 ( ) 1 ( )( ) ( ) 11 ( ) 1 ( ) 1 ( )

L s L sS s T sL s L s L s

++ = + = =

+ + +

( ) ( ) 1S j T jω ω+ =


• V klasické verzi loop shaping je tvarování OL frekvenční charakteristiky, přesto že cílem je tvar CL frekvenční charakteristiky (navrhujeme ZV systém)

• v některých frekvenčních pásmech totiž stačí tvarovat |L(jω)|, protože z tvaru |L(jω)| tam jednoznačně (a jednoduše) plyne tvar |S(jω)| a |T(jω)|,

• přesné vztahy

• přibližné vztahy • obvykle pro

nízké frekvence: • obvykle pro

vysoké frekvence • v okolí přechodové frekvence ωc (tam kde L není ani velké ani malé)

ze tvaru |L(jω)| jednoduše tvar |S(jω)| , |T(jω)| neplyne, • protože záleží také na fázi • Např. |S(jω)| , |T(jω)| mohou mít velké špičky když je L(jω) ~ -1

Opakování - Loop Shaping - klasická verze

Michael Šebek 3

( )( )1 ( )

L jT jL jωωω

=+

1( )1 ( )

S jL j

ωω

=+

1( )L jω >>

1( )L jω <<

( ) 1T jω =1( )

( )S j

L jω

ω≈

( ) ( )T j L jω ω=( ) 1S jω =

ARI-14-2013


Bode Gain-Phase Relation


Pro stabilní minimálně-fázový systém (= nemá nestabilní póly a nuly) s přenosem je mezi zesílením a fází jednoznačný vztah Přibližně, v log-log Bodeho grafu: Má-li po celou dekádu frekvencí konstantní sklon n , pak tam je Tedy pokud má v přechodovém pásmu (kde ) amplituda lokálně charakter: žádný přechod není! Jednoduché pravidlo: Navrhni regulátor tak, aby v přechodové oblasti měla sklon I = -1, tj. -20dB/dek

( )G s ( )G jω ( )G jω

( )G jω

( ) 90G j nω ≈ ×

( ) 1L jω ≈

0

1

2

01 ( ) 90 902 ( ) 180 0

s ns n G j PMs n G j PM

ω

ω

−

−

⇒ =

⇒ = − ⇒ ≈ − ⇒ ≈

⇒ = − ⇒ ≈ − ⇒ ≈

( )L jω


Bode Gain-Phase Relation


Kdyby to někoho zajímalo, tak přesně je Bodeho vztah mezi zesílením a fází

0

0

ln ( )1( ) ln cotgh2

ln

d L jeG j d

d

ν νω ν

π νωνω

∞

−∞=

=

∫


1 12arcsin [rad]2 S S

PMM M

≥ ≥

[ ]radPM

SM TM

1 12arcsin [rad]2 T T

PMM M

≥ ≥

Např. nebo Je tedy jednodušší používat ve specifikacích MS nebo MT Třeba graficky

Vztahy mezi PM , MS a MT

Michael Šebek 6

2SM = 2, 29GM PM≥ ≥

2TM = 1.5, 29GM PM≥ ≥

1S

S

MGMM

≥−

SM

GM11

T

GMM

≥ +

TM

GM

ARI-14-2015


• jednotková ZV má mít odchylku menší než 0.005 pro všechny sinusovky s amplitudou 1 o frekvenci pod 100 Hz

• pomocí váhové frekvenční funkce chování formulujeme tyto požadavky takto:

• spektrum referenčních signálů je = 1 pro

• protože eb = 0.005, tak je hledanou funkcí obdélník o výšce 1/0.005 = 200 na daným frekvenčním rozsahem

• výsledný graf

Příklad – váha vstupního signálu

Michael Šebek 7

1

10

100

1000

0.1

110 210 310 410 510200π

2000 200ω π≤ ≤

ARI-14-2013


• Ustálená odchylka na skok je

• Klasický požadavek pro ustálenou odchylku na skok

• můžeme tedy napsat jako

• tento požadavek jsme teď rozšířili na frekvenční pásmo jako

• protože je W1 mimo tento frekvenční rozsah nulové, platí tento vztah vlastně pro všechny frekvence

Příklad: porovnání s klasickým požadavkem

Michael Šebek 8

step,ss step,ss1 1bb

e eee

≤ ⇒ ≤

step,ss 00

1 lim ( ) (0)1 lim ( ) s

s

e S s SL s →

→

= = =+

step,ss 11 1 1(0) (0)b b

e WS Se e

= = ≤

1 1S W ≤[ ] 11 : ( ) ( ) 10, S j Wω ω ωω∀ ∈ ≤

[ ]10,ω ω∈

[ ] 1: ( ) ( ) 10, S j Wω ω ω∀ ∈ ≤∞

ARI-14-2013


• vztah formulující požadavky na řízení

• můžeme také přibližně vyjádřit pomocí přenosu otevřené smyčky • protože ve frekvenčním rozsahu (malé frekvence), kde požadujeme malou

odchylku, je velké zesílení, tak tam přibližně platí

• potom přibližně

• nebo podrobněji

Požadavek na chování jako funkce L

Michael Šebek 9

1 11 : ( ) ( ) 1S W S j Wω ω ω≤ ⇔∀ ≤

1 1( )

1 ( ) ( )S j

L j L jω

ω ω= ≈

+

[ ]0 10, : ( ) ( )L j Wω ω ω ω∀ ∈ ≥

1 1S W ≤ 1 1WL≤ 1L W≥

Hran

ice

us

tále

né o

dchy

lky 1

cω

( )L jω

ARI-14-2013


Příklad: Nyquistův graf neurčité soustavy

Michael Šebek 10

g0=2.5/((s+1)^3);

k=rdf(1);w=rdf(.5);

omega=0:.01:2;

ball(0,k,w,1,j*omega);

g0=2.5/(2.5*s+1); w=(4*s+.2)/(10*s+1);a=2*pi; for m=0:1/10:1,for alfa=0:a/10:a, delta=m*exp(-j*alfa); bode(tf(g0)*(1+tf(w)*delta),'b'), hold on, end,end bode(tf(g0),'r') bode(tf(w),'g')

[ ]

0 2

0 2

2.5( )

( ) ( ) 1 ( ) ( )

2.4 0.2

( )10 1

1,( )

5

,

1,

G j G j W

jW

jG

s

j j

sω

ω

ω ω

ω

ω ω ω= + ≤

+==

∆

+ +

∆

dB

abs

ARI-14-2012


• systém s multiplikativní neurčitostí

• nominální frekvenční charakteristika • celková frekvenční charakteristika

Příklad: Nyquistův a Bodeho graf neurčitého systému

Michael Šebek 11

[ ]0 2( ) ( ) 1 ( ) ( ) , ( ) 1G j G j W j jω ω ω ω ω= + ∆ ∆ ≤

0 23

2.5( ) , ( ) 0.5( 1)

G s W ss

= =+

g0=2.5/((s+1)^3);

k=rdf(1);w=rdf(.5);

omega=0:.01:2;

ball(g0,k,w,1,j*omega);

( ) ( )G jj Gω ω=0 ( )G jω

ARI-14-2013


• Uvažme soustavu s přenosem

• kde G0(s) je pevně dáno a budeme s ním počítat jako s nominálním, • ale f (s) chceme zanedbat a nahradit multiplikativní neurčitostí.

• Velikost relativní neurčitosti způsobené zanedbáním f (s) je zřejmě

• Probereme podrobněji 2 případy: • zanedbání členu s dopravním zpožděním

• zanedbání členu prvního řádu

Neurčitost způsobená zanedbáním dynamiky

Michael Šebek 12

0( ) ( ) ( )G s G s f s=

0

( ) ( )0

( ) ( )( ) max max ( ) 1( )I G s f s

G j G jl f jG jω ωω ω

ω−

= = −

ARI-14-2015

max( ) 1 ( 1) ,0p pf s sτ τ τ= + ≤ ≤

max( ) ,0sf s e θ θ θ−= ≤ ≤


• uvažme , kde

• pro maximální zpoždění je odchylka nakreslena na obrázku (pro )

• dosahuje 1 pro • maxima (=2) pro • pak osciluje mezi 0 a 2 • pro jiná θ je to podobné • je tedy

• náhrada racionální funkcí řádu 1 a 3

Zanedbané dopravní zpoždění

Michael Šebek 13

omega=.01:.01:100;plot(omega,abs(1-exp(-2*j.*omega))), hold on w1=(2*j.*omega)./(j*omega+1);plot(omega,abs(w1),'r--') w3=((2/2.363)^2.*omega.^2+2*0.838*2/2.363*j.*omega+1)./... ((2/2.363)^2.*omega.^2+2*0.4*2/2.363*j.*omega+1); w2=w1.*w3;plot(omega,abs(w2),'g--')

2

max1 θ maxπ θ

0( ) ( ) ( )G s G s f s=max( ) ,0sf s e θ θ θ−= ≤ ≤

max1ω θ=

max( ) | 1|jIl e ωθω −= −

maxω π θ=

max 2θ =

maxmax

max

| 1|,( )

2

j

Ie

lωθ ω π θ

ωω π θ

− − <= ≥

ARI-14-2013


Zanedbané dopravní zpoždění

Michael Šebek 14

0

1 1( )

, , {2,2.5,3}

sk esG s

k

θ

τ

τ θ

−

+ −

∈

2,14 0.2( )10 1 s j

sW js ω

ω=

+=+

2

2,2 2,1 2

2.1 1( ) ( )1.4 1 s j

s sW j W js s ω

ω ω=

+ +=+ +

ARI-14-2013


Uvažme , kde • Odchylka

• nakreslena na obrázku • pro červeně • a pro menší τ modře

• reprezentujeme ji

racionální váhovou funkcí

Zanedbané zpoždění 1.řádu

Michael Šebek 15

omega=.01:.01:100;taumax=2; for tau=.01:.01:taumax,plot(omega,abs(1-

1./(1+tau.*j.*omega))) hold on,end plot(omega,abs(1-1./(1+taumax.*j.*omega)),'r--')

0( ) ( ) ( )G s G s f s= max( ) 1 ( 1) ,0p pf s sτ τ τ= + ≤ ≤

max( ) |1 1 ( 1) |Il sω τ= − +

max 2τ =

| ( ) | ( )I Iw j lω ω=

max

max max

1( ) 11 1I

sw js s

τω

τ τ= − =

+ +

ARI-14-2013


• Předpokládejme, že je nominální návrh hotov a CL je nominálně stabilní, Nyquistův graf L0(s)=D(s)G0(s) tedy splňuje Nyquistovo kritérium stability

• Dále speciálně nominální CL nemá pól na mezi stability nemá nulu na mezi stability • Aby byla CL stabilní i robustně, nesmí mít ani nulu na mezi stability,

a to pro žádné ω a žádné ∆

nominální stabilita

Podmínka robustní stability - důkaz

Michael Šebek 16

1 ( )L s+

( )( )

( )

0

0

0 0 2

0 0 2

0 0 2

0 2

0 2

0

1 ( )1 ( )

1 ( ) 0 , ( ) 1

1 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , ( ) 1

1 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , ( ) 1

1 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 0 , ( ) 1

1 ( ) ( ) ( ) 0 , ( ) 1

( ) (

L jL j

L j j

L j L j W j j

L j L j W j j

L j T j W j j

T j W j j

T j W

ω

ωω

ω ω ω

ω ω ω ω ω ω

ω ω ω ω ω ω

ω ω ω ω ω ω

ω ω ω ω ω

ω

∀≠

+

+

+ ≠ ∀ ∀ ∆ ≤

+ + ∆ ≠ ∀ ∀ ∆ ≤

+ + ∆ ≠ ∀ ∀ ∆ ≤

+ + ∆ ≠ ∀ ∀ ∆ ≤

+ ∆ ≠ ∀ ∀ ∆ ≤

0 2

) ( ) 1 , ( ) 1

( ) ( ) 1

j j

T j W

ω ω ω ω

ω ω ω

∆ ≠ ∀ ∀ ∆ ≤

< ∀

01 ( )L s+ 01 ( ) 0,L jω ω+ ≠ ∀

ARI-14-2013


• European Southern Observatory: čtyři 8 m teleskopy (~16 m), Atacama v Chile

• přesné nasměrování a potlačení poruchy (vliv větru) metodami robustního řízení

• projekt katedry, Z. Hurák: popularizační článek AUTOMA 1/05 • video

Příklad: VLT ESO



Příklad: VLT ESO

Michael Šebek 18

model řádu 60 (metodou

konečných prvků)

poryvy větru

první málo tlumené módy konstrukce

redukce řádu modelu

redukovaný model řádu 24

ARI-14-2013


Aktivní a adaptivní optika • plán 2015: • OWL Teleskop, zrcadlo 100m, • deformovatelné segmenty • 500.000 akčních členů • návrh ? • numerické metody ? • VIDEO OWL.mpeg

Sci Fi



• Pro s jedním nestabilním pólem

• je S stabilní

• ale

• z Bodeho diagramu vidíme, že dokonce

• to je celkem pochopitelné, protože za stabilizaci musíme něco zaplatit

Příklad: Efekt vodní postele I

Michael Šebek 20

0ln ( )S j dω ω π

∞=∫

4( )( 2)( 1)

ω =+ −

L js s

2

2

2( )2

s sS js s

ω − + +=

+ +2

2

2( )2

s sS js s

ω − + +=

+ +

( ) 1S jω ω> ∀

ARI-14-2013


• Podmínku na relativní řád lze vypustit. • Pak platí obecnější vztah

Efekt vodní postele I - obecněji

Michael Šebek 21

unstable,00ln ( ) Re lim ( )

2pn

is

S j d p sL sπω ω π∞

→∞= −∑∫

ARI-14-2016


• Porovnejme neminimálně fázový přenos

• s jeho minimálně fázovým „protějškem“

• vidíme, že další fázové zpoždění způsobené nestabilní nulou vytlačí graf do červeného kruhu

Příklad: Efekt vodní postele II.

Michael Šebek 22

1 1( )1 1

sL js s

ω −=

+ +

1( )1mL j

sω =

+

L=(1-s)/(1+s)^2;Lm=1/(1+s); t=0:2*pi/100:2*pi;fill(sin(t)-1,cos(t),'r') nyquist(ss(L),'b',ss(Lm),'g')

L

mL

1S >

ARI-14-2013


• Uvažme neminimálně fázovou soustavu a regulátor tj.

• Nakreslíme Bodeho diagram citlivosti S pro k = 0.1, 0.5, 1.0 a 2.0

• vidíme, že s rostoucím zesílením roste vliv nestabilní nuly a tím i špička citlivosti

• až pro k = 2 do nekonečna protože ZV systém přestává být stabilní

Příklad: Efekt vodní postele II.

Michael Šebek 23

G=(2-s)/(2+s);L01=(0.1/s)*G;L05=(0.5/s)*G; L10=(1.0/s)*G;L20=(2.0/s)*G; S01=1/(1+L01);S05=1/(1+L05);S10=1/(1+L10);S20=1/(1+L20); bode(ss(S01),ss(S05),ss(S10),ss(S20),.01:.01:15)

2( )2

sG ss

−=

+ks

2( )2

k sL ss s

−=

+

ARI-14-2013

Date post:	04-Mar-2021
Category:	Documents
Upload:	others
View:	0 times
Download:	0 times

Příklady k přednášce 14 Moderní frekvenční metody · Automatické řízení - Kybernetika a...

Documents