ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI FAKULTA PEDAGOGICKÁ
KATEDRA MATEMATIKY , FYZIKY A TECHNICKÉ VÝCHOVY
ÚLOHY VEDOUCÍ NA SOUSTAVY POLYNOMIÁLNÍCH ROVNIC A METODY JEJICH ŘEŠENÍ V DĚJINÁCH EVROPSKÉ
MATEMATIKY
DIPLOMOVÁ PRÁCE
Bc. Veronika Uhrová
Učitelství pro 2. stupeň ZŠ, obor Ma -Te
Vedoucí práce: Mgr. Martina Kašparová, Ph.D.
Plzeň, 2013
Prohlašuji, že jsem diplomovou práci vypracovala samostatně
s použitím uvedené literatury a zdrojů informací.
Plzeň, 15. března 2013
..................................................................
vlastnoruční podpis
Děkuji mé vedoucí diplomové práce Mgr. Martině Kašparové, Ph.D., za její cenné rady, připomínky a metodické vedení práce.
1
Obsah
1. ÚVOD................................................................................................................................................. 2
1.1. MATEMATIKA VE STAROVĚKÉ EVROPĚ...................................................................................................... 3
1.2. MATEMATIKA V PODMÍNKÁCH STŘEDOVĚKÉ EVROPY .................................................................................. 5
2. ÚLOHY EVROPSKÝCH AUTORŮ OD 5. STOL DO 13. STOL. ................................................................. 10
2.1. BOËTHIUS, SAVASORDA, GERBERT ........................................................................................................ 10
Anicius Severinus Boëthius (cca 480 – 524) ........................................................................................... 10
Gerbert (cca. 945 – 1003) ...................................................................................................................... 12
Avraham bar Chija (Abraham Bar Ḥiyya, Savasorda) (cca 1065 – 1145) ............................................... 16
2.2. LEONARDO PISÁNSKÝ, NEMORE ........................................................................................................... 17
Leonardo Pisánský (1170 – 1250) .......................................................................................................... 17
Jordanus Nemore (1225 – 1260) ............................................................................................................ 34
3. ÚLOHY ITALSKÝCH AUTORŮ OD 14. STOL. DO 16. STOL.................................................................. 39
3.1. JACOBO DE FLORENTI, DARDI, MAZZINGHI ............................................................................................. 40
Jacobo de Florentia (cca. 13. – 14. stol.) ................................................................................................ 40
Dardi (cca. 14. stol.) ............................................................................................................................... 41
Antonio Mazzinghi (cca 1353 – 1383) .................................................................................................... 43
3.2. FRANCESCA, CANACCI, PACIOLI, TARTAGLIA, CARDANO ............................................................................ 47
Piero della Francesca (cca. 1420 – 1492) ............................................................................................... 47
Raffaello Canacci (1456 – 1496/1532) ................................................................................................... 49
Luca Pacioli (1445 – 1517) ..................................................................................................................... 50
Niccolo Fontana Tartaglia (1499 – 1557) ............................................................................................... 52
Gerolamo Cardano (1501 – 1576) .......................................................................................................... 56
4. ÚLOHY FRANCOUZSKÝCH A NĚMECKÝCH AUTORŮ OD 14. STOL. DO 15. STOL. ............................ 58
Nicolas Chuquet ( cca 1430 – 1487) ....................................................................................................... 58
Regiomontanus (1436 – 1476) ............................................................................................................... 62
5. ZÁVĚR .............................................................................................................................................. 67
5.1. METODY ELIMINACE NEZNÁMÝCH ......................................................................................................... 68
5.2. UŽITÍ POLYNOMIÁLNÍCH ROVNIC NA ZŠ A SŠ ........................................................................................... 70
RESUMÉ .................................................................................................................................................... 71
SEZNAM POUŽITÉ LITERATURY ................................................................................................................. 72
SEZNAM TABULEK ..................................................................................................................................... 75
SEZNAM OBRÁZKŮ ................................................................................................................................... 76
2
1. Úvod
V této práci se věnuji úlohám vedoucím na soustavy polynomiálních rovnic a metodám
jejich řešení. Vybrané úlohy pochází z doby od 5. do 16. století, tedy přibližně z období
středověku. Středověk neboli doba temna, jak jej chápali renesanční myslitelé na konci
patnáctého století, lze dle Christophera Kellera (1638 – 1707), německého filologa
a historika, vymezit roky 324 a 1453.
Text je uspořádán chronologicky podle roku vzniku práce, z níž jsou úlohy převzaty,
případně dle dat jejího autora do čtyř kapitol. Druhá kapitola se zabývá úlohami, které
řešili matematikové do první poloviny 13. století. Ostatní kapitoly jsou rozděleny podle
původu autorů a zahrnují období 14. až 16. století.
Můžeme říct, že již obyvatelé nejstarších civilizací řešili takové úlohy, které vedly
ze současného hlediska na algebraické rovnice. Neměli bychom si je ale představovat jako
rovnice, které řešíme dnes. Absence matematických symbolů vedla k slovním postupům
a pouze slovnímu označení pro neznámou věc. Častým opakováním slovních postupů
řešení úloh se utvářely jakési algoritmy. Některé byly postupem času zobecněny, daly se
tedy použít na všechny úlohy stejného typu. Problémem algoritmů bylo, že lidé, kteří
s nimi chtěli pracovat, museli z důvodu nepoužívání záporných čísel (pouze přirozená,
resp. racionální), místo jediného algoritmu používat algoritmů několik.
Dnes můžeme rovnice rozdělit na algebraické a transcendentní (goniometrické,
exponenciální, logaritmické rovnice). Mezi polynomiální rovnice řadíme např. lineární,
kvadratické, kubické rovnice a rovnice vyšších řádů. Polynomiální rovnicí � − �éℎ�
stupně o jedné neznámé rozumíme rovnici �� + �� � +⋯+ � � + � = 0, kde ��, ��, … . , ��� ≥ 1�a�� ≠ 0 nazýváme koeficienty. Stupněm polynomu rozumíme
nejvyšší exponent proměnné s nenulovým koeficientem.
U jednoduchých rovnic existuje jednotný postup řešení, který nám poskytne všechny
kořeny rovnice. S takovýmto postupem se setkáme u lineárních a kvadratických rovnic.
Složitějšími vzorci lze naleznout kořeny kubických a bikvadratických rovnic. V první
polovině 19. z prací Abela a Galoise vyplývá, že pro obecné rovnice vyšších řádů jednotné
3
vzorce neexistují. To, že existují vzorce pro výpočet kořenů, ovšem neznamená, že některé
rovnice nemůžeme vypočítat logickým úsudkem nebo experimentem.
Systémem polynomiálních rovnic rozumíme ����,……… , � = 0⋮����, ……… , � = 0, kde ��,…… , �� jsou polynomy více neurčitých, kde � ≥ 1 je počet neurčitých a ≥ 1 počet polynomů.
Uvedené vybrané úlohy vedou na soustavu polynomiálních rovnic buď přímo, nebo
po jednoduchých úpravách. Např. uvažujeme i úlohy vyjádřitelné soustavou √ + "# = � − # = $.
Nelinearita se nejčastěji objevuje ve tvaru součinu neznámých, součtu nebo rozdílu
druhých mocnin neznámých, součtu nebo rozdílu vyšších mocnin neznámých, součtu nebo
součinu mocniny neznámé a algebraického výrazu apod.
1.1. Matematika ve starověké Evropě
Na vývoj matematiky v Evropě mělo největší vliv Řecko. V 6. stol. př. n. l. zde žil slavný
filosof a matematik Pythagoras. O tři století později, tedy ve 3. stol. př. n. l. působil
v Alexandrii, centru řecké vzdělanosti, Euklides. Jeho spis Základy (Stoicheia) se díky
logickému uspořádání stal vzorem pro vědecké práce v matematice, svým obsahem
inspiroval učebnice matematiky a geometrie po více než dva tisíce let. Z dalších
představitelů alexandrijské školy zmiňme aspoň Archiméda, největšího matematika
starověku, který např. položil základy integrálního počtu, a Apollónia, autora knihy
o kuželosečkách. Na základě uvedeného bychom mohli říci, že matematika ve starověké
Evropě představované starší řeckou matematikou je především geometrická. Rozvoj
aritmeticko-algebraického směru zastoupeného Herónem a Diofantem spadá až
do římského období řecké matematiky.
Ve starověké Evropě se úlohami vedoucími na soustavy polynomiálních rovnic zabývali
výše zmínění autoři, Herón a Diofantos. Nyní se stručně seznámíme s jejich pracemi.
Geometrické úlohy, řešené algebraicky, vedoucí na soustavy polynomiálních rovnic
najdeme v pracích Metrica a Geometrica, které sepsal Heron Alexandrijský. Dílo
4
Geometrica je rozděleno na 24 částí, zabývá se v něm výpočty obsahu čtverce, výpočty
v rovnoramenném, rovnostranném i pravoúhlém trojúhelníku, pythagorejskými trojicemi
apod.. Jako příklad můžeme uvést úlohu, kterou později řešil například Gerbert
(viz př. 2. 1. 4), ale i indičtí matematikové jako Brahmagupta a pro jiné číselné hodnoty
Boëthius.
Příklad 1. 1. 1
Je dán různostranný ostroúhlý trojúhelník, jehož menší strana je 13 schoinos1, základna 14
schoinos, přepona 15 schoinos; najít jeho odvěsnu. (Přeloženo podle [Hei12], str. 235)
Úloha vede na soustavu rovnic #% + &% = 13% + # = 14% + &% = 15%,
kde # a jsou úseky základny rozdělené výškou v. Hledanou odvěsnou rozumíme výšku v.
Podobně se v textu hovoří o přeponě, přestože nejde o pravoúhlý trojúhelník. Přeponou se
myslí nejdelší strana trojúhelníku. Heronův postup řešení odpovídá výpočtu většího úseku a menšího úseku # základny podle vzorců
= �% + *% − $%2* ,# = $% + *% − �%2* ,
kde �, $, * jsou strany trojúhelníka. Z nalezeného úseku a#následně vypočítáme
hledanou výšku pomocí Pythagorovy věty. Podle Herona je pojmenován heronský
trojúhelník, jehož strany a obsah jsou vyjádřeny celými čísly. S podobným typem úlohy se
setkáme ještě u Boëthia a Gerberta.
Úlohy, které můžeme interpretovat jako úlohy vedoucí na soustavy polynomiálních rovnic,
najdeme také v Diofantově Aritmetice. Z třinácti knih, z nichž se práce původně skládala,
jich máme k dispozici pouze deset. Diofantos nejspíše roztřídil úlohy do jednotlivých knih
podle stupně rovnice, na kterou vedou. V jednotlivých úlohách se objevuje až dvanáct
neznámých. Většinou jsou vyššího stupně, až devátého, a jsou svázány několika
podmínkami. Zajímavostí je, že Diofantos ve svých úlohách, které vedly na soustavy se
1 Schoinos je původní perská míra.
5
stejným počtem neznámých a rovnic, hledal jen jedno řešení. Nejvíce úloh vedoucí
na soustavy polynomiálních rovnic se stejným počtem rovnic a neznámých nalezneme
v knize I. a to 13. Zatímco v ostatních knihách jsou úlohy s menším počtem rovnic, než je
neznámých. Jako příklad můžeme uvést soustavy:
,-./-,./ = � = $#, , resp.
% = �� + #� = $#,
vedoucí na rovnici %�$% + 1� = �$�$ + 1�, resp. $% = ��$ + 1�. V řadě úloh v I. knize je dán poměr mezi dvěma hledanými čísly, což vyjadřují druhé
rovnice uvedených soustav. Soustavy v I. knize Aritmetiky lze rozdělit na dvě skupiny.
V první je dán poměr mezi hledanými čísly = �#, kde� = 3, ve druhé skupině jejich
součet nebo rozdíl, tj. + # = �, − # = �. Řešení úloh první skupiny je následující. Za neznámou je zvoleno menší číslo, větší číslo
je jeho trojnásobkem, takto vyjádřené neznámé se dosadí do druhé rovnice soustavy
obsahující čtverec aspoň jedné z neznámých nebo jejich součin. Ze vzniklé kvadratické
rovnice bez absolutního členu se vydělením neznámou dostane výsledek.
1.2. Matematika v podmínkách středověké Evropy
Po rozpadu římského impéria v 5. století vznikla na velké části Evropy nová feudální
společnost. Morální a kulturní normy vymezovala církev, která zde hrála hlavní roli, neboť
společným prvkem se v Evropě stalo křesťanské náboženství. S šířením křesťanství souvisí
rozšiřování znalosti latinského jazyka, v němž byla psána nejen církevní pojednání, ale
také vědecké práce.
Matematika vyrůstala za zdmi klášterů ze skromných zbytků antické matematiky, které
do latiny přeložil Boëthius. Trvalo několik staletí, než se objevily v evropské matematice
první pokroky. Impulsem k nim byl především kontakt s muslimským světem, který
obohatil a hlavně zachoval to nejcennější z řecké matematiky. Již v šestém století se
v evropské kultuře a vzdělanosti objevují prvky arabské kultury. Díky výbojům, jež
Arabové směřovali na staré vyspělé civilizace, se arabští učenci měli možnost seznámit
s mnohými díly nejen řeckých matematiků. V devátém století ovládli Sicílii, Korsiku
a dokonce i Řím.
6
Přestože se kultura ve středověké Evropě rozvíjela pomalu, život Evropanů obohacovaly
nové technické postupy a vynálezy (např. kolový pluh, vodní a větrné mlýny), které sebou
přinesli barbaři. S ulehčením fyzické práce se objevily přebytky potravin. A to vedlo
k rozvoji obchodu a měst, ve kterých byly budovány univerzity.
Irsko a franská říše byly první oblasti v Evropě, kde byla podporována výstavba klášterů,
z nichž se stala centra učenosti. Někdy se hovoří o irské a karolínské renesanci podle Karla
Velikého (768 – 814), franského krále a římského císaře. Karel Veliký si plně uvědomoval
význam vzdělání, a proto podporoval zřizování klášterních škol. Je známo, že v této době
nebyly vhodné podmínky pro rozvoj matematiky a ostatních přírodních věd a to především
zásluhou neomezené církevní moci. V běžném životě si lidé vystačili se základními
aritmetickými a geometrickými vědomostmi, například s počítáním s přirozenými čísly,
kladnými zlomky a s měřením nejjednodušších geometrických útvarů. Na školách se
vyučovalo tzv. sedmero svobodných umění, které se dělilo na trivium (gramatika, rétorika,
dialektika) a kvadrivium (aritmetika, geometrie, astronomie, muzika). Aritmetika v sobě
zahrnovala výklad jednoduchých vlastností čísel kombinovaných s číselnou mystikou.
Geometrie pojednávala o základních geometrických útvarech, jednotkách míry
a o geografii.
Z doby byzantské říše, tedy ze 7. až 9. století, se zachovalo jen málo informací o rozvoji
matematiky. Matematikové z byzantské říše čerpali své znalosti a vědomosti ze staré řecké
a latinské kultury. Dále se seznamovali také s díly arabských a perských myslitelů.
V Byzanci od 11. století se díky tomu rozšířily arabské číslice a poziční systém.
Jmenujme aspoň některé středověké učence, kteří významně přispěli k rozšíření
vzdělanosti ve středověké Evropě. Byli to: Isidor ze Sevilly (asi 565 – 636), španělský
učenec, Beda Venerabilis (asi 673 – 735), irský mnich, Alkuin (asi 735 – 804), anglosaský
učenec, Gerbert z Aurillacu (asi 945 – 1003), francouzský učenec a později papež Silvestr
II., a bez pochyby největší matematik středověké Evropy, Leonardo Pisánský
(asi 1170 – 1250).
Přibližně v druhé polovině 15. století začíná období renesance, období, kdy vzkvétalo
nejen umění, ale i věda. Zdokonalovaly se dosud používané matematické metody
a objevovaly se nové. O rozvoj vědy se nepochybně zasloužil i nově vynalezený knihtisk.
7
Díky knihtisku se objevují nová vydání matematických knih po celé Evropě, převážně
v Itálii, Německu a Francii. Největší rozkvět v této době zaznamenala odvětví matematiky
jako je trigonometrie a algebra.
Tato doba je charakteristická svými prvními pokusy o řešení rovnic vyššího stupně
odmocninami tzv. v radikálech, tj. pomocí sčítání, odčítání, násobení, dělení
a odmocňování. V 16. století byl nalezen postup k řešení kubických rovnic a následně
rovnic čtvrtého stupně. V dnešní symbolice můžeme návod k řešení kubických rovnic
ve tvaru 3 + 4 + 5 = 0 popsat tzv. Cardanovým vzorcem.
= 6−52 + 75%4 + 43279 + 6−52 − 75%4 + 43279 . Je třeba poznamenat, že přestože tento vzorec nebyl vymyšlen Cardanem, jmenuje se po
něm.
Tento vzorec mohli využít i pro obecnou kubickou rovnici, kterou dokázali převést na
řešení kubické rovnice bez kvadratického členu a to jednoduchou substitucí. Dosazením # − :3 za x v rovnici 3 + �% + $ + * = 0
se získá rovnice #3 + 4 + 5 = 0 bez kvadratického členu, kde koeficienty 4, 5 jsou vyjádřeny pomocí koeficientů �, $, *:
4 = $ − 13�3,5 = * − 13�$ + 227�3 V 16. století pracovali evropští matematici s kladnými čísly, a proto musely být koeficienty
i výsledky kubických rovnic kladná čísla. Z toho důvodu rozlišovali tři základní typy
kubických rovnic bez kvadratického členu, 3 + � = 0, 3 = � + $, 3 + $ = �,
pro které byl Cardanův vzorec modifikován tak, aby pracovali výhradně s kladnými čísly.
Jak se ukázalo, Cardanův vzorec nebyl řešením pro všechny typy rovnic. Problém nastal
tehdy, jestliže bylo potřeba odmocnit záporné číslo.
8
Situaci, kdy rovnice měla tři reálné kořeny, vycházela ve vzorci druhá odmocnina
ze záporného čísla, reálné kořeny byly vyjádřeny jako součet komplexně sdružených čísel,
nazývali „casus irreducibilis“. Tato situace vedla k postupnému uznání záporných čísel
a studiu komplexních čísel.
Vzorec pro výpočet kořenů algebraických rovnic čtvrtého stupně objevil Cardanův žák
Lodovico Ferrari (1522 – 1565). Substitucí lze od obecné rovnice čtvrtého stupně přejít
k rovnici čtvrtého stupně bez kubického členu. Postačí proto uvažovat pouze případ: ; + �% + $ + * = 0. Doplněním prvních dvou členů rovnice na čtverec, můžeme psát:
�% + �2�% = −$ − * + �%4 , odtud
�% + �2 + ��% = �% + �2�% + �% + 2�% + �� = 2�% − $ + <�% + �� + �%4 − *=. Výraz vpravo, bude čtvercem za podmínky
4 ∙ 2� ?�% + �� + �4% − *@ − $% = 0. Nyní dostáváme kubickou rovnici s neznámou t, která má alespoň jeden reálný kořen ��. Jestliže � = �� je pravá strana výše uvedeného vztahu čtvercem. Upravíme-li odmocněním,
dostaneme kvadratickou rovnici, kterou již snadno vyřešíme.
% + �2 + �� = ±"2�� ? − $4��@. Rovnicemi čtvrtého stupně se dále zabýval například Leonhard Euler (1707 – 1783) nebo
René Descartes (1596 – 1650), který využíval tzv. znaménkové pravidlo.
Nejvýznamnější učenci, kteří přispěli k rozvoji vzdělanosti té doby, byli mimo jiné Niccolo
Fontana Tartaglia (1499 – 1557), Girolamo Cardano (1501 – 1576), Regiomontanus
(1436 – 1476), Leonardo da Vinci, Luca Pacioli (1445 – 1517), Nicolas Chuquet
(1430- 1487).
V době středověku zaostávala evropská matematika za matematikou indickou, arabskou
a čínskou. V Indii vytvořili desítkovou poziční soustavu, kterou později převzali Arabové.
9
Nutno poznamenat, že neexistoval spolehlivý a rychlý vzájemný přenos informací. To
vedlo k tomu, že na mnoha místech vznikaly stejné objevy nezávisle na sobě.
V Číně byly vypracovány postupy pro řešení soustav polynomiálních rovnic až o čtyřech
neznámých. V Indii a Blízkém východě patrně pod vlivem Diofantovy Aritmetiky
dominovaly neurčité úlohy, tj. takové, ve kterých je počet neznámých větší než počet
podmínek (rovnic) na ně.
10
2. Úlohy vedoucí na soustavy v pracích evropských autorů
od 5. stol. do 13. stol.
Jak již je výše zmíněno, začátek středověku je často spojován s 5. stoletím a jeho konec
s 15. stoletím našeho letopočtu. V této kapitole se pokusíme postihnout největší část tohoto
období, od počátku 5. století do konce 13. století z hlediska postupů, jimiž byly řešeny
úlohy, které bychom dnes mohli zapsat soustavou nelineárních algebraických rovnic.
Následující úlohy pocházejí od vybraných učenců, kteří svým dílem významně přispěli
k rozšíření vzdělanosti ve středověké Evropě. V první části této kapitoly se věnuji úlohám,
které řešili Boëthius, Savasorda a Gerbert a postupům řešení polynomiálních soustav,
na které dané úlohy vedou. Druhá část kapitoly pojednává převážně o Leonardu
Pisánském, který ve svém díle Liber abaci, věnuje úlohám vedoucím na soustavy
polynomiálních rovnic velký prostor.
2.1. Boëthius, Savasorda, Gerbert
Nacházíme se v období 5. století až první polovina 12. století našeho letopočtu. Tato
podkapitola popisuje Böethiovy, Gerbertovy a Savasordovy postupy pro řešení
polynomiálních soustav.
Anicius Severinus Boëthius (cca 480 – 524)
Poslední postavou období matematiky v helenistických zemích a zároveň prvním
scholastickým učencem bývá označován Anicius Severinus Boëthius.
Práce nazvaná De institutione arithmetica libri duo se stala základem pro výuku kvadria
(aritmetiky, geometrie, astronomie a teorie hudby) ve středověkých školách a univerzitách
po dobu delší než tisíc let. Boëthiova práce je považována za překlad Nikomachova Úvodu
do aritmetiky. Jiné zdroje uvádějí, že Nikomachovo dílo bylo Boëthiovi pouze vzorem
při sepisování. V každém případě lze v práci najít úlohy vedoucí na soustavy jednoduchých
polynomiálních rovnic.
11
Příklad 2.1.1.
Předpokládejme různostranný trojúhelník, který se
nazývá klín, jehož menší skloněná strana má 15,
delší prodloužená strana zaujímá 20, ale základna
je 25. Kolik je vskutku odvěsna tohoto
trojúhelníku a obsah, to se hledá. (Přeloženo podle
[God67], str. 407.)
Pro výpočet je důležité poznamenat, že Boëthius odvěsnou
myslel výšku na základnu trojúhelníka. Podobnou úlohu,
v níž je třeba ze známých délek stran trojúhelníka určit délku výšky na jednu z nich, řešil
např. Heron (viz př. 1. 1. 1.) nebo Gerbert (viz př. 2. 1. 4).
Úlohu bychom mohli zapsat soustavou: % + #% = 15%�25 − �% + #% = 20%
kde je úsek na základně a # je výška na základnu, kterou je třeba určit.
Boëthiovo řešení obsahuje nejprve výpočet druhých mocnin délek všech stran, tj. 15% = 225;25% = 625;20% = 400
Následně odečte čtverec větší skloněné strany od součtu čtverců menší skloněné strany
a základny. To odpovídá levé straně rovnice 450 = 50,�∗� kterou lze získat odečtením první rovnice od druhé v soustavě uvedené výše
a jednoduchými úpravami. Obě strany rovnice (*) nejprve půlí, 225 = 25, pak krátí 25, čímž nalezne délku úseku na základně. 9 = . Výšku zadaného trojúhelníka určil pomocí Pythagorovy věty, která je zapsaná první
rovnicí soustavy, a obsah vypočetl jako polovinu součinu základny a výšky. Odpověď
na Boëthiovo otázku by byla: Výška (v zadání odvěsna) trojúhelníka je 12 a obsah 150.
Dnes bychom nejspíš využili poznatku, že daný trojúhelník je pravoúhlý. Jeho obsah se
proto velmi snadno získá už ze zadaných hodnot stejně jako výška na základnu, kterou lze
vypočítat jako podíl obsahu a základny.
Obrázek 1, převzato z [GOd67], str. 408
12
Poznamenejme, že stejným způsobem řeší Boëthius uvedenou úlohu ještě pro tupoúhlý
trojúhelník o stranách 10, 9, 18 a pro ostroúhlý trojúhelník se stranami 13, 14, 15.
V případě tupoúhlého trojúhelníku nevychází výška na základnu, tj. na největší stranu,
celočíselná, ale �F-√17 ∙ 19 ∙ 37. Nejedná se proto na rozdíl od zbývajících dvou případů
o heronský trojúhelník.
Gerbert (cca. 945 – 1003)
Francouzský mnich Gerbert, známý také pod jménem Silvestr II. Studoval
v benediktýnském klášteře Saint-Gerald v Aurillac. Sám v letech 972 – 982 přednášel
ve škole v Remeši, kde se kromě matematiky, logiky a filozofie zabýval také astronomií.
Gerbert nebyl pouze učitelem, ale také poradcem arcibiskupa Adalbera. Po Adalberově
smrti se stal arcibiskupem potomek Karla Velikého, Arnulf. Ten byl později francouzským
králem sesazen a na jeho místo byl jmenován Gerbert, který byl ovšem po čtyřech letech
odvolán. Dne 9. dubna 999 byl Gerbert vysvěcen a jmenován papežem.
Gerbert napsal několik matematických děl. Není ovšem jisté, zda je opravdu autorem všech
knih, které se mu přisuzují. Napsal například „Knihu o dělení čísel“ (Libellus
de numerorum divisione) nebo knihu „Pravidla počítání na abaku“ (Regule de abaco
computi). Třetí kniha, která je mu přisuzována, a kde se zrcadlí převážně římský vliv, je
dílo o geometrii, z kterého si ukážeme úlohu vedoucí na soustavu polynomiálních rovnic.
Geometria má 94 článků. Prezentuje zde také jednoduché geometrické poznatky
o rovinných útvarech, hlavně o trojúhelnících, které zřejmě čerpal z Eukleida nebo
Boëthia. Gerbert s největší pravděpodobností pracoval jako první Evropan s indicko-
arabskými číslicemi.
V dalším textu předvedeme některé úlohy z Gerbertovy Geometrie, které dnes připouštějí
matematizaci pomocí soustavy polynomiálních rovnic.
Příklad 2. 1. 2.
Hlava XLII. Jak se v pravoúhlém trojúhelníku získá odvěsna a základna
V pravoúhlém trojúhelníku, jehož přepona je 25 stop, obsah 150, se hledá odvěsna
a základna. (Přeloženo podle [Bub99], str. 339, resp. [Beč03], str. 219.)
13
Označíme-li odvěsny , #, úloha vede na soustavu
rovnic
% � #% � 25%
1
2# � 150.
Gerbert postupoval tak, že druhou rovnici vynásobil
4, tj. 2# � 600. Tuto rovnici přičetl a odečetl od první rovnice
% � #% � 25%% � #% � 25%
�2# � 600 � 2# � 600
� � #�% � 25� � #�% � 1225.
Odmocněním dostaneme soustavu dvou lineárních rovnic. Jednu pro součet a druhou
pro rozdíl hledaných odvěsen
� # � 35
� # � 5.
Jejich sečtením získal dvojnásobek delší odvěsny (základny) a dosazením do rovnice
pro součet odvěsen snadno určil druhou odvěsnu, tj. � 20, # � 15.
Daný trojúhelník je podobný základnímu pythagorejskému trojúhelníku se stranami
o délkách (3, 4, 5). Gerbertův postup je zajímavý, neboť s využitím identit
� A #�% � % A 2# � #%
vtipně převedl soustavu polynomiálních rovnic na soustavu lineárních rovnic, kterou již
snadno vypočítal.
Jednou z variant řešení této úlohy v dnešní době je takový postup, kdy z druhé rovnice
�
%# � 150 vyjádříme % �
3��-
/-. Dosazením za % v rovnici % � #% � 25% získáme
po několika krocích rovnici #; � 625#% � 300% � 0. Tu vyřešíme substitucí #% � G, což
vede na kvadratickou rovnici G% � 625G � 300% � 0. Pomocí vzorce vypočítáme
G� � 400, G% � 225. Resubstitucí dopočítáme #� � 20, #% � 15. Řešením soustavy rovnic
jsou tedy uspořádané dvojice čísel H20, 15IaH15, 20I a to se shoduje s Gerbertovým
řešením.
Obrázek 2, převzato z [Bub99], Tab. III
14
Podobný příklad se objevil v článku XLIII. O nalezení základny a odvěsny odděleně
v trojúhelníku (Ad inveniendam basis et catheti disjunctionem in trigono).
Příklad 2. 1. 3.
Hlava XLIII. O nalezení základny a odvěsny odděleně v trojúhelníku.
Jestliže byl dán trojúhelník, jehož odvěsna a základna společně spojené jsou 23, obsah 60,
přepona 17, hledá se základna a odvěsna odděleně. (Přeloženo podle [Bub99], str. 339,
zadání úlohy viz též [Beč03, str. 204.])
Je zadána délka přepony 17, obsah pravoúhlého trojúhelníka 60 a součet odvěsen 23, které
máme zjistit. Úloha vede na soustavu tří rovnic o dvou neznámých % + #% = 17%�%# = 60 + # = 23 ,
je tedy „přeurčená“ – obsahuje menší počet neznámých než je počet podmínek, které mají
splňovat.
Gerbert postupoval podobně jako v předchozí úloze; čtyřnásobek druhé rovnice 2# = 240 odečetl od první rovnice. Po úpravách nám vyjde rozdíl odvěsen − # = 7. Vzhledem k tomu, že součet odvěsen, + # = 23, je zadán, nemusí ho zjišťovat. Soustavu
dvou lineárních rovnic + # = 23 − # = 7 již snadno vyřešíme = 15, # = 8. Tato úloha byla pravděpodobně konstruována od výsledku, tzv. „aby to vyšlo“. Jím
zvolený postup není univerzální, ale funguje jen pro vhodně zvolené hodnoty přepony,
obsahu a odvěsen. Vyplývá to z toho, že neověřil, zda z první a druhé rovnice plyne třetí,
tedy neudělal zkoušku.
Gerbert neověřuje, zda přičtením čtyřnásobku druhé rovnice k první dostane na pravé
straně skutečně druhou mocninu 23. Pokud by místo 17 byla přepona 15 a místo 60, obsah
44 a navíc by postupoval stejně, pak by též došel k výsledku = 15, # = 8, ale ten by
15
řešením soustavy nebyl, neboť z první a druhé rovnice by vyplynulo � + #�% = 401, což
není druhá mocnina 23.
Dnes bychom úlohu mohli řešit dosazovací metodou, kdy z rovnice + # = 23 vyjádříme a dosadíme za něj do druhé rovnice. Tato metoda vede na kvadratickou rovnici �% �23 − #�# = 60.
Řešením soustavy tvořené třetí a druhou rovnicí soustavy z předchozí strany jsou
uspořádané dvojice čísel {[8,15], [15,8]}. Hodnoty x = 8, y = 15, resp. x = 15, y = 8
vyhovují i první rovnici této soustavy, proto jsou obě dvojice řešením zadané úlohy.
Třetí příklad, který si zde uvedeme, byl zadán v článku XLIV. V ostroúhlém trojúhelníku,
jehož délky stran jsou vyjádřeny různými čísly, najít výšku atd. (In trigono oxygonio, cujus
in lateribus numeri quantitate dissimiles sint, invenire perpendicularen etc.).
Příklad 2. 1. 4.
Nalezněte výšku na „základnu“ trojúhelníka, znáte-li
velikost jeho „menší přepony“ 13, „základny“ 14 a „větší
přepony“15.
Z našeho pohledu může tato úloha vést na soustavu dvou
rovnic o dvou neznámých % + &% = 13%�14 − �% + &% = 15%, kde a & jsou odvěsnami pravoúhlého trojúhelníku.
Z Gerbertova postupu, který popisuje vytváření číselných výrazů
13% + 14% = 365,15% = 225,365 − 225 = 140140 ∶ 2 = 70,70 ∶ 14 = 5,13% − 5% = 144,√144 = 12,
můžeme předpokládat, že vyšel ze stejných vztahů, které jsme uvedli výše, tj. dvakrát
použil Pythagorovu větu pro pravoúhlé trojúhelníky s odvěsnou &. Odečteme-li od sebe
rovnice &% = 13% − %, &% = 15% − �14 − �% dostaneme rovnice
13
14 −
15 &
Obrázek 3 - Grafické znázornění př. 2. 1. 4.
16
14% + % − 28 + &% − % − &% = 15% − 13%, a po malé úpravě 28 = 13% − 15% + 14%, z níž je patrné, že Gerbert provedl prvních pět výpočtů, aby našel úsek x na základně
trojúhelníku, který na ní vytíná výška. Poté teprve určil výšku dosazením za = 5
do první rovnice, tj. 5% + &% = 13%.Hledaná výška je & = 12. (Podle [Beč03, str. 204 – 205].)
Tato úloha je identická s Heronovou úlohou (viz př. 1.1.1.) a velmi podobná Böethiově
úloze (viz př. 2.1.1.). V Böethiově úloze se setkáváme pouze s jinými délkami stran,
a kromě výšky trojúhelníka se počítá ještě obsah. Všichni tři autoři postupovali podobně.
Nejdříve našli , neboli kratší úsek základny, a pomocí Pythagorovy věty určili hledanou
výšku.
Avraham bar Chija (Abraham Bar Ḥiyya, Savasorda) (cca 1065 – 1145)
Na polynomiální soustavy vedou některé geometrické úlohy židovského matematika
známého pod jménem Savasorda, který se narodil v Barceloně a velkou část života strávil
v Narbonne v jižní Francii. V práci Ḥibbūr ha-meshīah we-ha-tishbore (Pojednání
o měřeních a výpočtech2) přeložené z hebrejštiny do latiny Platem z Tivoli (12. stol.)
pod názvem Liber embadorum (Kniha obsahů ploch, 1145) se hledají strany
pravoúhelníku, je-li znám obsah pravoúhelníku a součet, resp. rozdíl jeho stran nebo obsah
pravoúhelníku a délka úhlopříčky. Takové úlohy lze zapsat soustavami: # = L ± # = * # = L% + #% = *%. Uveďme na ukázku alespoň jednu úlohu.
Příklad 2. 1. 5.
Kolik loktů je obsaženo v délce a šířce pravoúhelníku, jehož obsah je 48 a součet délky
a šířky je 14? (Přeloženo podle [Cur02], str. 47)
Úloha vede na soustavu + # = 14# = 48
2 Savasordova práce se stala vzorem pro Fibonacciho Praxi geometrie.
#
48
Obrázek 4 - Grafické znázornění př. 2. 1. 5.
17
kde je neznámý počet loktů obsažených v délce a # je neznámý počet loktů obsažený
v šířce pravoúhelníku.
V popisu řešení Savasorda umocní polovinu součtu délek a od tohoto čtverce odečte obsah,
tj.
? + #2 @% − # = %4 − #2 + #%4 . Odtud platí
M − #2 N% = 1. Dále máme přičíst odmocninu ze získaného rozdílu k 7, tím se dostane délka. Odečtením
odmocniny od 7 se získá šířka. Zdůvodnění je patrné ze zápisu
7M − #2 N% + + #2 = 1 + 7 + #2 − 7M − #2 N% = 7 − 1
Řešení se tedy opírá o identitu
M − #2 N% = ? + #2 @% − #, pomocí níž je daná soustava linearizována. Savasorda ještě popisuje případ, kdy čtverec
poloviny součtu rozměrů pravoúhelníku je menší než jeho obsah. V takovém případě
uvádí, že úloha nemá řešení.
2.2. Leonardo Pisánský, Nemore
Dostáváme se do první poloviny 12. století až do 13. století. Za nejvýznamnějšího autora té
doby můžeme označit Leonarda Pisánského. Další významní autoři, kteří jsou zde zmíněni,
jsou Leonardovo současníci Nemore a Jacobo de Florenti.
Leonardo Pisánský (1170 – 1250)
Leonarda Pisánského známe spíše pod jménem Fibonacci. Žil na přelomu 12. a 13. století
v Itálii. Považujeme ho za jednoho z nejvýznamnějších matematiků Evropy. Studoval
v severní Africe, kde trávil čas se svým otcem, diplomatem a obchodníkem. Právě
zkušenosti s obchodem a také rozvoj řemesel a podnikání jej přivedl k počtářství.
18
Leonardo Pisánský je autorem mnoha rukopisů. Do dnes se jich dochoval pouze zlomek.
Mezi jeho nejznámější díla patří Liber abaci (Kniha o abaku 1. vyd. 1202, přepracováno
1228), spis, kterému zasvětil téměř čtvrt století. Věnuje se zde aritmetice, algebře, teorii
čísel a vše demonstruje na příkladech. Inspirací pro tuto knihu byly Fibonaccimu převážně
arabsky psané matematické práce. V budoucnu se stala námětem pro mnohé autory (např.
Euler). Anglický překlad této knihy byl zdrojem níže uvedených příkladů. Další
významnou knihou je Practica Geometriae (Praxe geometrie, cca 1220) zabývající se
planimetrií či stereometrií. Od Leonarda Pisánského si dále můžeme přečíst Flos (Květ,
1225) nebo Liber quadratorum (Kniha čtverců, 1225). Zajímavostí je, že knihu Flos sepsal
pro císaře Fridricha II., na jehož dvoře se Fibonacci účastnil matematického turnaje.
Pro přiblížení tehdejšího způsobu zápisu uvádíme tabulku označení přirozených mocnin
neznámé.
neznámá (věc, kořen) x res, radix
dvojmoc neznámé (čtverec) x2 census, quadratus
absolutní člen numerus simples, numerus, denarius, dragma
třetí mocnina neznámé 3 cubus
čtvrtá mocnina neznámé ; census census, censuum census
šestá mocnina neznámé F cubus cubi
osmá mocnina neznámé O census census census census
Tabulka 1 - Označení přirozených mocnin neznámé dle Fibonacciho
K tomu, abychom mohli vyřešit soustavu polynomiálních rovnic, je nutné umět najít
kořeny lineární a kvadratické rovnice, případně i rovnice vyššího stupně. Lineární rovnice
řešil Leonardo Pisánský metodou chybného předpokladu – regula versa, kterou znali již
staří Egypťané. Po vzoru arabského matematika al-Chwárizmího rozdělil Fibonacci
kvadratické rovnice na tři typy jednoduchých rovnic:
census je roven počtu kořenů: �% = $
census je roven numerus simples :�% = * kořen je roven numerus simples :$ = *,
19
a tři typy složených rovnic: census a kořeny jsou rovny číslu:�% + $ = * kořeny a číslo jsou rovny censu:�% = $ + *
census a číslo jsou rovny kořenům:�% + * = $,
kde a, b, c jsou kladná čísla, a u každého typu uvedl algoritmus jejího řešení. Všech šest
předchozích typů bychom dnes zapsali jedinou rovnicí �% + $ + * = 0, kde a, b, c jsou
reálná čísla. Metodou „doplnění na čtverec“ nebo pomocí diskriminantu bychom našli
hledané kořeny.
V případě složených typů rovnic Fibonacci pracoval podobně jako al-Chwárizmí,
ke každému typu rovnice přiřadil slovní popis jak postupovat pro výpočet kořenů.
Poznamenejme, že Fibonacci provádí takové úpravy, aby byl vedoucí koeficient roven 1,
tj. a = 1 ve výše uvedených typech rovnic.
Postupy, jimiž Fibonacci vypočetl kořeny rovnic
(1) % + $ = *, (2) % = $ + *, (3) % + * = $,
bychom dnes postupně zapsali vzorci
= Q* + MR%N% − R%, = Q* + MR%N% + R%, = R% ±QMR%N% − *.
Vzhledem k tomu, že jako řešení uznává většinou pouze kladná čísla, mají rovnice (1) a (2)
pouze jeden kořen. V případě rovnic třetího typu vypočte kořeny dva, pokud jsou reálné.
Pro převod rovnice o jedné neznámé na některý z šesti uvedených typů rovnic používali
mistři abaku tři různá pravidla.
I. Pravidlo obnovení
II. Pravidlo kombinování členů obsahujících neznámou
III. Pravidlo přesunutí
20
První pravidlo odpovídá přičtení těch členů k oběma stranám rovnice, které jsou
od nějakého jiného členu odečítány. Např. u rovnice 3 + 8 = −6 + % přičteme
k oběma stranám rovnice 6, tj. 9 + 8 = %. Pomocí druhého pravidla lze sečíst členy
„stejného druhu“. Třetí pravidlo nám říká, že mezi jednotlivými členy rovnice platí zákon
komutativnosti a asociativnosti sčítání.
Tato pravidla umožňovala transformovat libovolnou rovnici ve tvaru ±�% ± $ ± * = ±�′% ± $′ ± *′, kde a, b, c, a′, b′, c′ jsou nezáporná čísla, na některou z již uvedených šesti typů základních
kvadratických rovnic. Při úpravách rovnice je nutné si uvědomit, že algebraické výrazy,
ve kterých se vyskytovalo odečítání, bereme jako nekompletní. Odečítaná část se uvádí
jako poslední a při řešení se upravuje jako první, tzn., že se vrací do rovnice chybějící
části.
Úlohy, které bychom dnes mohli zapsat soustavou polynomiálních rovnic, se objevují
v každém ze tří oddílů 15. kapitoly Liber abaci. První z nich se týká poměrů mezi třemi
a čtyřmi čísly, z nichž jedno nebo dvě čísla jsou daná. Ve druhém oddílu najdeme úlohy
vedoucí na geometrické problémy a poslední část je věnována algebře a almukabale;
obsahuje vzorové postupy pro řešení uvedených šesti typů rovnic a mnoho úloh o rozdělení
čísla 10 na dvě části.
Ukážeme si několik příkladů, které jsou vypočítány jak nám dnes dostupnými metodami,
tak dle Fibonacciho. Uvedené příklady jsou přeloženy z anglického překladu [Sig02].
Vybrané úlohy vedoucí na soustavy polynomiálních rovnic, které zde uvádíme, vedou
na řešení pomocí kvadratických rovnic. Najdeme zde ovšem i úlohy, které vedou
na neurčité rovnice a postup řešení je od předchozího typu úloh odlišný. Při řešení pomocí
kvadratických rovnic užívá Fibonacci doplnění na čtverec. Jak již bylo řečeno, Fibonacci
člení rovnice na několik typů. V této práci vybíráme úlohy vedoucí dle Fibonacciho
klasifikace na složené typy. U každé úlohy se provede přiřazení kvadratické rovnice
k Fibonacciho typu, které nalezneme na str. 19. Následující úloha vede na první typ
rovnice, % + $ = *.
21
T
U # V
W $ X * T
Příklad 2. 2. 1.
Nejprve nechť čísla3 .ab., .bc., .cd. jsou v souvislém poměru, tj. .ab. je k .bc. jako je .bc.
k .cd., a nechť je součet čísel .ab. a .bc. 10 a číslo .cd. je 9 a rozdíl čísel .ab. a .bc. se
hledá. (Přeloženo podle [Sig02], str. 531, viz též [Beč01], str. 293. Úloha z 1. oddílu 15.
kapitoly Knihy o abaku.)
Čísla .ab., .bc. a .cd. označme dle našich zvyklostí x, y, z. V dnešní symbolice bychom
danou úlohu mohli zapsat v následujícím tvaru.
# = #V + # = 10 V = 9
Úlohu můžeme graficky znázornit.
V následujících odstavcích uvedeme překlad Fibonacciho řešení.
Pro lepší srozumitelnost ho doplníme matematickým zápisem na samostatném řádku.
Protože .ab. je k . $*. stejně jako .bc. k . *X., # = #V. je součet dvou předchozích čísel k jednomu z nich jako součet zbývajících
k následujícímu; tj. první .ac. je k druhému .bc. jako třetí .bd. ke čtvrtému .cd. a první
a poslední známe. + ## = # + VV , 3 Pro zápis čísel používal Fibonacci písmena, která byla z důvodu odlišení od textu oddělena tečkami, např. .a. Číslo také zapisoval dvěma písmeny, např. .ab., když si ho představil jako úsečku.
Obrázek 5 - Grafické znázornění př. 2. 2. 1.
22
A protože, když jsou čtyři čísla v souvislém poměru, součin prvního a posledního je roven
součinu druhého a třetího. � + #�V = #�# + V� Skutečně první .ac. je 10 a čtvrté .cd. je 9;
+ # = 10aV = 9,
součin, který je 90, je roven součinu druhého .bc. a třetího .bd.; 90 = #�# + 9�. Proto číslo .cd. je rozděleno na dvě stejné části bodem .e. každá z nich bude 4 �%. T = V2 = 412 A protože je číslo .cd. rozděleno na dvě stejné části bodem .e., k nim je přičteno číslo .bc.,
přičtené vynásobeným celým .bd. plus čtverec čísla .ce. je rovno čtverci čísla .be.; #�# + 2T� + T% = �# + T�% Skutečně součin .bc. a .bd. je 90 a čtverec čísla .ce. je
�;20; #�# + 2T� = 90,T% = 1420 Tyto podobně sečteny tvoří
�; 100pro čtverec čísla .be.; 14 100 = �# + T�% Kořen toho, tedy
�% 10, je číslo .be., 12 10 = # + T
ze kterého je odečteno číslo .ce., tedy �%4; .bc. bude číslo 6;
# + T − T = 1210 − 124 = 6 to je odečteno od .ac., tj. od 10; . �$. bude číslo 4. + # − # = 10 − 6 = 4. (Přeloženo podle [Sig02], str. 531–532.)
Normovaná kvadratická rovnice 90 = #�# + 9�, na níž úloha vede, je prvního typu
a postup jejího řešení odpovídá doplnění na čtverec nebo výpočtu podle vzorce uvedeného
na str. 15. Ze zřejmých důvodů uvádí Leonardo pouze kořen y = 6 jako číslo .bc., a .ab.
jako číslo x = 4. V zadání úlohy je požadován rozdíl čísel .bc. a .ab., ten však autor
neuvádí.
23
�
U � X
V
#
Y $ * y
2 z
Kdybychom danou úlohu řešili dnes, patrně bychom použili dosazovací metodu
následujícím způsobem. Ze zadání již známe neznámou V = 9 a z druhé rovnice bychom
si vyjádřili neznámou = 10 − #. Dosadíme do první rovnice: 10 − ## = #9. Vznikla rovnice s neznámou ve jmenovateli. Celou rovnici vynásobíme společným
jmenovatelem 9#. Vidíme, že příklad vede na kvadratickou rovnici 0 = #% + 9# − 90, kterou již snadno vyřešíme. Rovnice má dvě řešení, # = 6, y = –15, ale nesmíme
zapomenout, že Fibonacci nepočítal se zápornými čísly, záporný kořen tedy zanedbáme.
Hledané číslo vypočítáme tak, že # dosadíme do druhé rovnice = 10 − 6. Řešením je = 4.
Příklad 2. 2. 2.
Znovu je .a. k .bg. jako je .bg. k .ed. A nechť 2 je číslo .bc., o které .bg. přesahuje číslo .a..
Číslo .ed. je rovno 9. (Přeloženo podle [Sig02], str. 532. Úloha z 1. oddílu 15. kapitoly
Knihy o abaku.)
Poměry čísel .a., .bg. a .ed. si opět jako v předešlém příkladě můžeme pro lepší názornost
označit x, y, z. V dnešní symbolice bychom danou slovní úlohu mohli zapsat ve tvaru: # = #V # = + 2 V = 9
Úlohu si můžeme graficky znázornit.
Obrázek 6 - Grafické znázornění př. 2. 2. 2.
24
Pro lepší názornost jsme zavedli označení , #,z,4 kde platí, že .a. značíme jako , .bg.
značíme jako # a .ed. značíme jako V.
Následuje překlad Fibonacciova řešení podle [Sig02], str. 532 – 533, který opět
doprovodíme dnešním zápisem.
Číslo .ef. je sčítanec čísla .ed., který je roven číslu, o které .ed. přesahuje číslo .bg.. Proto je
první číslo .ed. k druhému číslu .bg. jako je třetí .ef. ke čtvrtému .bc.; V# = V − ## −
proto vynásobíš číslo .ed. číslem .bc., která jsou známa; #�V − #� = V�# − � to bude 18, což je rovno součinu .bg. krát .ef; #�V − #� = 18
skutečně, .fd. je rovno číslu .bg.; proto je výsledkem součinu .ef. krát .fd. 18, což je
odečteno od čtverce poloviny čísla .ed. a polovina je .ez.;
MV2N% − #�V − #� = ?92@% − 18 zůstane 2 �;, M# − V2N% = 214 z čehož odmocnina je 1 �% a to je množství .fz.;
# − V2 = 1 12
to je odečteno od .ze.; V2 − M# − V2N = 92 − 112 zbude 3 pro .fe.; V − # = 3 těchto 3 je odečteno od .ed.; zůstane 6 pro .fd., to je pro .bg.; V − �V − #� = 6
4 Označení z je zde ve dvou rolích – jednou jako bod, jednou jako délka úsečky .ed..
25
Od toho je odečteno .bc.; zbude .cg., to je .a., tedy 4. # − 2 = = 4 Úloha vede dle Fibonacciho rozdělení na třetí typ rovnice.
Dnes bychom soustavu převedli na kvadratickou rovnici. Dosazovací metodou budeme
úlohu řešit tak, že si do první rovnice # = #V, dosadíme + 2 za # a 9 za V. + 2 = + 29 . Úprava vede na kvadratickou rovnici 0 = % − 5 + 4, jejíž kořeny jsou � = 4 a % = 1. Dosazením do druhé rovnice dopočítáme #� = 6 a #% = 3. Kromě trojice 4, 6, 9 nalezené
Fibonaccim je řešením také trojice čísel 1, 3, 9. Můžeme se pouze domnívat, proč se
Fibonacci spokojil pouze s jedním výsledkem.
Příklad 2. 2. 3.
Znovu je .ab. k .bc. jako .bc. k .cd.; nechť .bc. je 6; proto součet čísel .ab. a .cd. je 13.
(Přeloženo podle [Sig02], str. 532. Úloha z 1. oddílu 15. kapitoly Knihy o abaku.)
Při stejném označení jako v příkladu 2. 2. 1 vede úloha na soustavu rovnic
# = #V# = 6 + V = 13.
Úlohu si můžeme opět graficky znázornit.
T
U V
T
#
� $ * � X
Obrázek 7 - Grafické znázornění př. 2. 2. 3.
26
Fibonacciovo řešení:
Protože součin prvního se třetím je roven součinu druhého se sebou samým, když jsou tři
čísla v souvislém poměru, vynásobíš druhé číslo samo se sebou; to bude 36, což je stejné
jako součin .ab. krát .cd.. V = 36 Proto vezmeš číslo .de. stejně velké jako .ab.; celé .ce. je tudíž 13. Toto je rozděleno
na dvě stejně velké části bodem .f.. každá z částí bude 6 �% + V2 = T = 6 12 a protože je číslo .ce. rozděleno na dvě stejné části bodem .f. a na dvě nestejné části bodem
.d. , plochy obdélníků budou ve stejných proporcích, tj. .ed. vynásobené .dc. plus čtverec
čísla .df. bude roven čtverci čísla .ef. V + �V − T�% = T%. Proto .ef., a to
�% 6, je vynásobeno samo se sebou.To bude �; 42, z čehož je odečten součin
.ab., tedy .ed., krát .dc. a součin (V� je 36;
T% − V = 42 14 − 36 zůstane
�; 6 pro čtverec čísla .fd.;
�V − T�% = 614 odmocnina z toho, jmenovitě
�% 2, je číslo .fd.;
V − T = 212 to přidáno k .cf. dá 9 pro celé .cd.
�V − T� + T = 212 + 612 V = 9. To je odečteno od .ce., tj. od 13; zůstane 4 pro číslo .de., což je pro číslo .ab. � + V� − V = 13 − 9 = 4
(Přeloženo podle [Sig02], str. 533.)
27
V dalším textu za touto úlohou Fibonacci postupy zobecňuje pro další typy úloh. Píše, že
vše by zůstalo stejné, kdyby v jeho úlohách pro tři čísla v souvislém poměru vystupovaly
místo rozdílů jejich druhé nebo třetí mocniny. Jsou-li totiž čísla v souvislém poměru, jsou
v souvislém poměru také jejich druhé nebo třetí mocniny, a proto např. platí
� + #�%#% = �# + V�%V% resp. V%#% = �V − #�%�# − �% ,
Soustavu rovnic odpovídající úloze 2. 2. 3 můžeme vyřešit pomocí Viètových vzorců
pro kořeny a koeficienty algebraických rovnic, kde pro rovnici % + 4 + 5 = 0 platí, � ∙ % = 5azárověň� + % = −4. Známe součin i součet neznámých, # = 36; + # = 13, můžeme tedy sestavit kvadratickou rovnici #% − 13# + 36 = 0, kterou pomocí diskriminantu jednoduše vyřešíme. #� = 9�#% = 4 ⟹ � = 4�% = 9
Úloha vede podle Fibonacciho klasifikace úloh (viz str. 19) na třetí typ rovnice. Takové
úlohy připouštějí i druhé řešení. Druhou trojici x = 9, y = 6, z = 4 Fibonacci neuvedl.
Nejspíše předpokládal, že , #, V jsou seřazené podle velikosti od nejmenšího.
V Liber abaci se v třetím oddílu 15. kapitoly objevuje mnoho příkladů, kdy se má nějaké
číslo rozdělit na dvě části. Jako příklad můžeme uvést následující úlohy.
Příklad 2. 2. 4
V dnešní symbolice lze např. úlohu ([Beč01] str. 294) zapsat jako soustavu rovnic
24 = #10 = # + .
Ze zápisu vidíme, že hledané číslo je takové číslo, které když odečteme od 10, tak součin
rozdílu a hledaného čísla dává 24. Budeme předpokládat, že řešení je kladné celé číslo.
V takovém případě můžeme využít metodu experimentu. Řešení metodou experimentu:
28
Nejdříve si vyjádříme z rovnice 10 = # + , # = 10 − . Dosadíme do první rovnice
a dostaneme jednoduchou rovnici 24 = �10 − �. Utvoříme tabulku, z které je jasně patrné, že = 4 nebo = 6. d e f g h i j k l m en − d 9 8 7 6 5 4 3 2 1 d�en − d� 9 16 21 24 25 24 21 16 9 Tabulka 2 - Tabulka př. 2. 2. 4.
Neznámé číslo lze samozřejmě zjistit řešením kvadratické rovnice.
24 = �10 − � ⟹ % − 10 + 24 = 0 ⟹ � = 4, % = 6
Leonardo řeší úlohu doplněním rovnice typu �% + $ = 0 na čtverec.
1 = 25 − 24 = 25 − �10 − � = �5 − �%;5
Protože Fibonacci dal podmínku, že za výsledek považuje menší z obou částí, na které
je 10 rozděleno, proto je řešením úlohy = 4. Úloha vede na třetí typ rovnice.
Poznamenejme, že předchozí úloha i příklad 2. 2. 3 vedou až na číselné hodnoty na stejnou
soustavu rovnic. Na straně 541 překladu Knihy o abaku věnované čtyřem číslům
a poměrům mezi nimi uvedl úlohu, v níž je potřeba najít čtyři čísla, jestliže první je 6,
čtvrté 9, poměr mezi prvním a druhým je stejný jako poměr mezi třetím a čtvrtým a součet
třetího a čtvrtého je roven 21. Označíme-li postupně první, druhé, třetí a čtvrté číslo , #, V, T, pak úloha vede na soustavu #V = 54,# + V = 21,
tj. stejnou soustavu jako v předchozích úlohách. Tentokrát však v řešení píše: „…6 je ke 3
jako 18 k 9, nebo 6 je k 18 jako 3 k 9.“ Uvedl tedy obě řešení.
5 o�V�. :�10 − � = 10 − % = −�5 − �% + 25
29
Ukážeme ještě další příklad úlohy vedoucí na soustavu dvou rovnic o dvou neznámých,
která vede na 1. typ Fibbonacciho klasifikace rovnic (viz str. 19).
Příklad 2. 2. 5.
Znovu jsem rozdělil 10 na dvě části a vydělil jsem první část druhou a druhou část první
a to, co bylo výsledkem dělení, jsem přidal k 10 a vynásobil jsem tento součet první částí
a 114 vyšlo. (Přeloženo podle [Sig02], str. 567 - 568. Úloha ze třetího oddílu 15. kapitoly
Knihy o abaku.)
Úlohu můžeme zapsat jako soustavu rovnic:
+ # = 10 a M10 + ,/ + /,N = 114
Úlohu se pokusíme vyřešit dosazovací metodou. Z první rovnice vyjádříme = 10 − #,
které dosadíme do druhé rovnice.
�10 − #� ?10 − ## + #10 − # + 10@ = 114 Zlomky na levé straně rovnice dáme na společného jmenovatele a celou rovnici vydělíme 10 − #.
�10 − #�% + #%#�10 − #� + 10 = 11410 − #
Nově vzniklý tvar rovnice jednoduchými úpravami vedeme na kvadratickou rovnici,
kterou již snadno vyřešíme −8#% − 34# + 100 = 0 ⟹ #� = 2, � = 8.
Tato úloha by po vydělení koeficientem kvadratického členu vedla na rovnici prvního typu
(viz str. 19).
Fibonaci řešil úlohu následujícím způsobem.
Proto nechť .a. je první částí z výše uvedených částí, kterou položíš za věc a nechť .bg. je
10, ke kterému jsou přidány čísla .gd. a .de., kterou jsou výsledky dělení jedné části druhou
a protože .a. krát .be. dává 114,
30
?10 + # + #@ = 114
ze [součinu] .a. krát .bg. plus .a. krát. .gd. plus .a. krát .de. podobně plyne 114;
. 10 + . # + . # = 114
proto, když .a. krát .bg. je odečteno, tj. 10 věcí, potom zůstane 114 minus 10 věcí
pro součin čísla .a. krát .ge. ; ?# + #@ = 114 − 10. jestliže odečteš od tohoto součin .a. krát .gd., tj. to, co je výsledkem dělení jedné části
[číslem] .a., jmenovitě deset minus věc (10 − ),
?# + #@ − . # = . ?# + #@− # = . ?# + #@ − �10 − � potom zůstane 104 minus 9 věcí pro součin .a. krát .de., ?#@ = 104 − 9, ale .de. je to, co je výsledkem rozdělení .a. druhou částí a je zřejmé, že když je jedno číslo
vyděleno jiným a to, co vyjde je vynásobeno dělencem, potom je rovno tomu, co je
výsledkem, když je čtverec dělence vydělen dělitelem; proto součin .a. děleno .de. krát .a.
je roven čtverci .a. děleno druhá část, tj. děleno 10 minus věc.
?#@ = %# = %10 −
Proto je .a. vynásobeno samo se sebou, což dává čtverec, který když je vydělen 10 minus
věc dává 104 minus 9 věcí; %10 − = 104 − 9
proto, když vynásobím 10 minus věc [výrazem] 104 minus 9 věcí, potom je výsledek 1040
plus čtverec6 minus 194 věcí rovno čtverec. % = 1040 + 9% − 194
Proto vrátíš minus věci a odečteš jeden čtverec od obou členů. 194 = 1040 + 8% 6 Je zajímavé, že přestože Fibonacci píše „čtverec“, vychází devět čtverců.
31
Zůstane 8 čtverců plus 1040 denari rovno 194 věcí. Vydělíš proto všechno počtem čtverců
a výsledek bude čtverec plus 130 denari rovno �;24 věcí. 14 24 = 130 + %
Postupuješ proto podle příslušného pravidla a najdeš části 2 a 8.
(Přeloženo podle [Sig02], str. 567 – 568.)
Kořeny této rovnice jsou 8 a �; 16. Protože druhý kořen netvoří část čísla 10, v úvahu
připadá pouze kořen s hodnotou 8. Na druhý typ složené kvadratické rovnice vede následující úloha.
Příklad 2. 2. 6.
Jako je .a. k .bg., tak je .bc. k .ef. a .a. je 4 a .ef. je 3. (Podle [Sig02], str. 533, Kniha
o abaku.)
Pro lepší přehlednost opět zavedeme označení pro .a., # pro .bg. a V pro .ed.. Označení
.ef. interpretujeme jako V − #, neboť jej Fibonacci definuje jako sčítanec čísla .ed., který je
roven číslu, o které .ed. přesahuje číslo .bg..
Dnes bychom mohli úlohu zapsat následující soustavou rovnic
# = # − V − # = 4V − # = 3.
Proto vynásobíš známé první číslo čtvrtým; �V − #� = 12
to bude 12, což je rovno součinu druhého .bg. a třetího .bc. 12 = #�# − � a .cg. je známé, neboť je rovno známému .a.; proto polovina .cg., tedy 2, vynásobíš samo
se sebou; to bude 4, které přidáš ke 12, výsledku násobení .bc. krát .bg.;
#�# − � + M2N% = 12 + 4
to dá 16;
32
�# − 2�% = 16
od kořene toho odeber 2, tj. polovinu .cg., zbude dva pro číslo .cb., M# − 2N − 2 = 2
které se přidá k .cg.; bude 6 pro čísla .bg., tedy pro číslo .fd.; �# − � + = 6 když se to přidá k .ef., potom 9 je pro .ed.. = 4, # = 6, V = 9 (Přeloženo podle [Sig02], str. 533, Kniha o abaku.)
Z dnešního pohledu bychom úlohu vedli na kvadratickou rovnici 0 = #% − 4# − 12,
kterou vyřešíme. Získáme dva kořeny #� = 6, #% = −2. Záporný kořen můžeme zanedbat.
Neznámou V snadno získáme dosazením do třetí rovnice V − # = 3. Výsledkem je
uspořádaná trojice H, #, VI = H4, 6, 9I.
Na neurčitou rovnici vede úloha o dvou ptáčcích letících ze dvou věží, která se nachází
v druhém oddíle 15. kapitoly Liber Abaci. Druhý oddíl se zabývá geometrickými
problémy.
Příklad 2. 2. 7.
Na určitém území jsou dvě věže; a předpokládejme, že dva ptáčkové současně sestupují
do středu fontány a že dvojice doletí k fontáně [každý] po své dráze letu z vrcholů věží
v jeden a týž okamžik a přeješ si vědět, jak vysoké jsou obě věže; nechť je výše uvedený
střed 32 stop od menší věže a 18 stop od větší věže. (Podle [Sig02], str. 544, Kniha
o abaku.)
Úloha vede na soustavu, kterou můžeme vyjádřit % = #% + 32%% = V% + 18%.
Fibonacci napsal podle ([Sig02], str. 544):
uděláš následující: odečteš čtverec menší vzdálenosti od čtverce vzdálenosti, tj. 324
od 1024. V% − #% = 32% − 18%
V #
18
32
Obrázek 8 - Grafické znázornění př. 2. 2. 7.
33
W $ X * # V
19
zůstane 700, které si zapamatuješ a zvolíš libovolně výšku menší věže; třeba 307; přičteš
čtverec tohoto k zapamatovanému číslu 700; to bude 1600. V% = 30% + 700
odmocnina z toho, tj. 40 bude výška věže.
Dnes bychom úlohu řešili nejspíš stejným způsobem, což ovšem vede stejně jako
u Fibonacciho na diofantovskou rovnici druhého stupně
o dvou neznámých Va#.
Speciálním případem a jednou z možností řešení této úlohy
je využití shodnosti trojúhelníků. Víme, že u vrcholů A a D
jsou pravé úhly a strany CB a EB jsou stejně dlouhé.
Otočíme-li trojúhelník BDE o 90° doprava zjistíme, že
jednou z možností je, že trojúhelníky ABC a DEB jsou
shodné. Tzn., že řešením by bylo # = 18 a V = 32. Odtud
bychom již jednoduše dopočítali pomocí Pythagorovy věty = 2√337.
Následující úloha vede také na neurčitou rovnici.
Příklad 2. 2. 8.
Nejprve nechť .ab., .bc., .cd. jsou tři čísla v souvislé proporci, tj. .ab. je k .bc. jako je .bc.
k .cd., a nechť součet čísel .ab., .bc. a .cd. je 19. Jaké jsou jednotlivé kvantity?
(Podle [Sig02], str. 532. Úloha prvního oddílu, kapitola 15, Kniha o abaku.)
Úlohu si můžeme vyjádřit graficky, ale i
jako soustavu rovnic.
,/ = /p + # + V = 19
7 Fibonacci volil výšku menší věže 30, vzal ji z 1. úlohy o dvou ptáčcích letících ze dvou věží, kde je tento údaj uveden v zadání.
32
B D
E
C
A
18
#
V
Obrázek 9 - Grafické znázornění př. 2. 2. 7.
Obrázek 10 - Grafické znázornění př. 2. 2. 8.
34
Fibonacci vycházel z předpokladu, že poměry mezi , #, a#, Vjsou stejné. Za , #, V zvolil
čísla tak, aby byl poměr mezi nimi zachován, vzal = 1, # = 2aV = 4. Číslo 19 vydělené
součtem 1 + 2 + 4 dává číslo, kterým je třeba zvětšit 1, 2, 4, aby byla splněna i druhá
podmínka úlohy. „Fibonacci poznamenává, že tato úloha má nekonečně mnoho řešení
(hocpotest fieri indinitis modis). ([Beč01] str. 293)
Řešení:
= 197 , # = 387 , V = 767 .
Dalším možným řešením, které vyhovuje zadané soustavě rovnic, je = 4, # = 6aV = 9. Je zajímavé, že Fibonacci neuvedl tento výsledek, neboť trojice čísel 4, 6, 9 se objevuje
jako výsledek v řadě jiných úloh. Jednou z možností je, že Fibonacci chtěl předvést
obecnější postup. Úloha tedy nejspíš nebyla konstruována od výsledku, neboť kdyby byla,
uvedl by pravděpodobně výše uvedené celočíselné řešení.
Řada dalších úloh vedoucích na soustavy algebraických rovnic s větším počtem
neznámých než rovnic je v práci Kniha čtverců.
Jordanus Nemore (1225 – 1260)
Fibonacciho současníkem byl Jordanus Nemore8, který sepsal řadu matematických prací
a celkově přispěl k rozvoji přírodních věd. Jeho dílo, Tractatus De numeris datis
(O daných číslech, 1225), představuje od dob Diofanta první práci s pokročilou algebrou
sepsanou v Evropě.
Práce je uspořádána podobně jako Eukleidovy Základy. V úvodu první knihy jsou tři
definice, jimiž vysvětluje, co bude rozumět daným číslem a daným poměrem a kdy je dán
vztah mezi čísly. Text pokračuje 115 větami rozdělenými do čtyř knih. Tvrzení vět první
knihy lze zjednodušeně popsat slovy: Jestliže dvě neznámá čísla splňují dva dané vztahy
vyjádřitelné rovnicemi nejvýše druhého stupně, jsou tato čísla daná. Druhá kniha obsahuje
úlohy vedoucí jen na lineární rovnice. Problémy s více neznámými řešené pomocí poměrů
a druhé odmocniny jsou ve třetí knize. Poslední kniha je věnována kvadratickým rovnicím
o jedné nebo dvou neznámých.
8 Známý též jako Jordanus de Syxonia, Jordan of Namur, Jordanus Nemorarius.
35
Úlohy vedoucí na soustavy polynomiálních rovnic najdeme především v první a čtvrté
knize. Nejčastěji se hledají části daného čísla, které má být určitým způsobem rozděleno.
Z příkladů bude patrná jednotná struktura zápisu problémů: (1) tvrzení věty, (2) důkaz
věty, (3) příklad demonstrující důkaz.
Příklad 2. 2. 9.
Jestliže je dané číslo rozděleno na dvě [části], jestliže je výsledek násobení jedné části
druhou daný, je nutně každá z těchto částí daná. (Třetí věta první knihy, přeloženo podle
[Edw74], str. 112.)
Nechť je dané číslo abc rozděleno na čísla �$ a *, která když se vynásobí, tvoří X, dané
číslo;9 + # = q# = 5
Nechť dále abc, když je vynásobeno se sebou dá číslo U. � + #�% = U Nechť se také vezme čtyřnásobek čísla X a nechť je to číslo �, 4# = �
které odečteno od U ponechá Y. � + #�% − 4# = Y
To bude čtverec rozdílu mezi �$ a *. � − #�% = Y
Vezme se druhá odmocnina z Y a nechť je to ℎ. − # = ℎ
Pak ℎ je rozdíl mezi �$ a *; a tedy kdykoli je dáno h, c a ab budou daná.
(Přeloženo podle [Edw74], str. 113.)
Nemore v důkazu dále nepokračuje, neboť podle první věty první knihy platí, že je-li dán
součet a rozdíl neznámých, jsou dány i neznámé. Následuje poslední část, která obsahuje
demonstraci postupu na konkrétním příkladu. Postup lze snadno ukázat na další úloze.
9 Číslo ab označíme jako x, číslo c označíme písmenem y a jako d napíšeme q.
36
Příklad 2. 2. 10.
Nechť 10 je rozděleno na dvě čísla a z násobení jednoho z nich druhým nechť je dán
výsledek 21, který když je zčtyřnásoben, je 84 a zanechá 16 po odečtení od čtverce 10, tj.
od 100. Odmocnina z 16 je 4 a to je rozdíl, a když je odečten od 10, 6 zůstane a polovina
toho budou 3, což je menší část a větší část je 7. (Přeloženo podle [Edw74], str. 113.)
Tzv. důkazové úlohy vznikají z určovacích úloh, je-li už úplně nebo částečně dána
soustava řešení. Je-li tomu tak, neprovádí se již úplné řešení příkladu, ale pouze
se zkouškou ověřuje, jestli dané řešení je opravdu řešením úlohy.
Jako příklad můžeme uvést úlohu, která je uvedena v Knize I. De numeris datis.
Příklad 2. 2. 11.
Jsou daná dvě čísla, jejichž součet je 10. Jestliže je jedno vyděleno 4 a druhé 2, je součin
podílů 2. Jaká jsou tato čísla. (Přeloženo z [Coo97])
Úloha vede na soustavu rovnic + # = 104 ∙ #2 = 2.
Podle výše uvedeného návodu upravíme soustavu rovnic na požadovaný tvar tak, že
druhou rovnici vynásobíme společným jmenovatelem, dostáváme soustavu + # = 10# = 16.
Nyní víme, že rozdíl � + #�% = 10%a 4# = 64 na čtverec rozdílu a # � − #�% = 36. Odmocníme a získáme rovnici − # = 6.Teď máme dvě lineární rovnice, z kterých
sestavíme soustavu + # = 10 − # = 6. Odtud již snadno vypočítáme, že = 8 a # = 2,což také odpovídá Nemoreho řešení.
Příklad 2. 2. 12.
Jestliže je dané číslo rozděleno na dvě [části] a součin celku s jednou [z částí] je roven
čtverci druhé [části], každá [z částí] bude dána přibližně (29. věta první knihy, přeloženo
podle [Edw74], str. 113.)
37
Úlohu lze zapsat soustavou + # = q� + #�# = % Nemore pokračuje důkazem tvrzení a ilustračním příkladem:
Nechť je součin ab s b stejný jako [součin] a se sebou; � + #�# = %
a protože ab se sebou je rovno [součtu součinů] ab s a a [ab] s b, � + #�% = � + #� + � + #�#
bude se také rovnat [součtu součinů] a se sebou a s ab.10 � + #�% = � + #� + % Příklad 2. 2. 12.
Např. nechť 10 je rozděleno na dvě části tak, že 10 vynásobeno s jednou ze dvou částí je
rovno součinu zbývající části se sebou.11 10 = + #10# = %
Nyní 10 vynásobeno se sebou je 100 a nechť se vezme dvojnásobek jeho dvojnásobku a to
bude 400. K tomu nechť se přidá čtverec 10 a budeme mít 500, 10% = 100,2 ∙ �2 ∙ 100� = 400, r = 400 + 10% = 500, z čehož se vezme přibližná odmocnina, ta bude 22 �3, √500 =s 22 13 od ní je 10 odečteno a polovina zbytku bude 6 �F, větší část, která musí být vynásobena se
sebou.
2213 − 10 = 1213 ; 12 13 ∶ 2 = 616 (Přeloženo podle [Edw74], str. 114.)
10 Nemore dále nepokračuje v důkazu, že x je dané. Patrně v tvrzeních předcházejících 29. větě první knihy dokázal, že je-li dáno k a platí-li, že % + q = q%, pak je dáno také x, nebo dokázal obecnější tvrzení pro k, m a% + q = . V 29. větě stačí vzít + # = q a = q% = � + #�%. 11 Na základě provedené důkazu víme, že soustava vede na řešení kvadratické rovnice 10% = 10 + %. Další postup řešení odpovídá řešení kvadratické rovnice pomocí diskriminantu.
38
Výše uvedené výpočty odpovídají číslům, která bychom dosazovali ve vzorci pro výpočet
kořenů kvadratické rovnice pomocí diskriminantu, tj.
= −10 ± Q22 132 → = 6 16.
Předchozí problém bývá interpretován jako úloha rozdělit danou úsečku v poměru zlatého
řezu, tj. tak, aby celá úsečka k větší části dávala stejný poměr jako větší část k menší části,
tj. + # = #
Snadno zjistíme, že tento vztah odpovídá druhé rovnici soustavy.
Závěr
V první části kapitoly autoři Gerbert, Böethius a Savasorda postupují při řešení úloh
vedoucích na soustavy algebraických rovnic tak, že nejprve pomocí ekvivalentních úprav
vedou úlohu na soustavu lineárních rovnic, kterou již dokázali vyřešit. V druhé části
kapitoly se setkáváme s úlohami, které pomocí úprav převedli jejich autoři na výslednou
kvadratickou rovnici. Doplněním kvadratické rovnice na čtverec dostali základní tvar
rovnice, který vypočítali pomocí předem daného postupu.
39
3. Úlohy vedoucí na soustavy polynomiálních rovnic italských autorů
od 14. stol. do 16. stol.
Jak již bylo zmíněno, první polovina 15. století je označována jako počátek renesance.
V této době nastal rozvoj veškerého umění, vzdělávání a vědy. Z této doby také pochází
téměř dvě desítky italských rukopisů obsahujících text věnovaný algebře. Většinou je to
jen kapitola, která je součástí rozsáhlejšího textu nazvaného obvykle trattato d’abaco.
Italští historici matematiky (např. R. Franci, L. T. Rigatelli) zkoumají, které práce byly
zdrojem pro italské rukopisy 14. a 15. století. Podle [Fra10], str. 177, jím nebyla ani
Fibonacciho Kniha o abaku ani latinský překlad al-Chwárizmího algebry, který byl díky
Gerardu z Cremony k dispozici středověkým učencům od 12. století.
V tabulce nalezneme pojmenování pro jednotlivé členy, které používali italští učenci.
neznámá (věc, kořen) X cosa
dvojmoc neznámé (čtverec) x2 quadrato censo
absolutní člen numero
třetí mocnina neznámé 3 conso cubo
čtvrtá mocnina neznámé ; censo di censo,
pátá mocnina neznámé u censo di cubo
Tabulka 3 - Označení přirozených mocnin neznámé dle italských autorů
Setkáváme se, také s prvními pokusy řešení nejen kvadratických, ale i rovnic vyšších řádů
pomocí odmocnin. Neznámý autor v 16. stol. publikoval svůj postup řešení kubických
rovnic 3 + 4% + 5 = vpodle pravidla
= 7<?54@3 + v= − 54 .9
Později se ukázalo, že tento vzorec neplatí obecně, ale pouze pro 4% = 35.
40
Jako významné osobnosti té doby můžeme uvést matematiky jako je Antonio Mazzinghi,
nebo Dardi jejichž vybrané úlohy vedoucí na soustavy polynomiálních rovnic uvádím
v první části této kapitoly. V druhé části se seznámíme s díly italských autorů jako jsou
Piero della Francesca, Luca Pacioli, Raffaelo Canacci, Nicollo Fontana a Gerolamo
Cardano.
Pravděpodobně nejstarší italsky psanou prací o algebře je Jacopův Tractatus algorismi.
3.1. Jacobo de Florenti, Dardi, Mazzinghi
Jacobo de Florentia (cca. 13. – 14. stol.)
Úlohy, které vedou na soustavy jednoduchých nelineárních algebraických rovnic lze najít
v dalších dílech méně známých autorů. Např. Jacobo de Florentia (Jacopo z Florencie)
v rukopise Tractatus algorismi (Traktát o algoritmech, 1307) řeší úlohy, které vedou
na soustavy: # = 23 # = 49#% − % = 20 # = + # 14 = 4�# − 14� + # = 10√ + # = 30 # = 20# = 12# + � + �# + �� = 54 + # = 10 15# = #V = V60# + �# − � = 22
První dvě soustavy řeší zavedením nové neznámé p tak, aby byla splněna podmínka daná
první rovnicí. Volí x = 2p¸ y = 3p, resp. x = 4p¸ y = 9p, druhá rovnice je pak velmi
jednoduchá – ryze kvadratická rovnice, resp. kvadratická rovnice bez absolutního členu.
V úloze odpovídající třetí soustavě zavádí novou neznámou tak, aby se zbavil odmocniny,
tj. x = p2. Kvadratickou rovnici o jedné neznámé získá stejně jako u zbývajících soustav
dosazením výrazu za y. Postup jejího řešení připomíná metodu doplnění na čtverec.
Jako ukázku předvedeme úlohu odpovídající poslední z uvedených soustav.
Příklad 3. 1. 1.
Někdo pracuje ve skladišti zboží 4 roky a v prvním roce dostane 15 zlatých; ve čtvrtém
dostane 60 zlatých. Chci vědět, kolik dostane ve druhém a ve třetím roce ve stejném
poměru. (Přeloženo podle [Høy98], str. 33.)
41
Označme y, resp. z počet zlatých, které získá ve třetím, resp. čtvrtém roce. Úlohu lze
potom zapsat soustavou. 15# = #V = V60
Jacopo píše, že je potřeba vydělit to, co dostal ve čtvrtém roce tím, co dostal v prvním
roce, čímž se dostane třetí mocnina, tj. 6015 = 43. Vzhledem k tomu, že se sobě rovnají podíly
�u/ , /p , pF� rovnají se i jejich převrácené hodnoty,
tj. #15 = V# = 60V . Nechť 4 je hodnota těchto podílů, pak # = 154,V = #4,60 = V4
a dosazením za # a V je vysvětlen uvedený vztah pro třetí mocninu. Pro známou hodnotu 4získal Jacopo počet zlatých ve druhém a třetím roce jako třetí odmocniny:
# = √153.;9 = "13500,9 V = Q13500. 49 = Q54000.9
Z dnešního pohledu bychom si úlohu mohli rozdělit na dvě rovnice druhého stupně 15V = #%a60# = V%. Úlohu můžeme řešit dosazovací metodou. Z druhé rovnice si vyjádříme # = p-F�. Dosadíme
do první rovnice a dostaneme V3 = 15 × 60% → V = √54000.9 Zpětně dosadíme do # = p-F� a dopočítáme.
Dardi (cca. 14. stol.)
Významným italským autorem do 15. století byl Maestro Dardi z Pisy. Přibližně roku 1344
napsal dílo nazvané Aliabraa argibra, které lze považovat za první práci věnovanou
výhradně algebře a napsanou v národním jazyce. Obsahovalo smíšené kubické
a bikvadratické rovnice. V první části práce se nacházelo 6 typů kvadratických rovnic
a geometrické důkazy postupu jejich řešení. V druhé části práce můžeme najít 198 pravidel
demonstrovaných na příkladech. Dardi také řešil úlohy vedoucí na nelineární algebraické
42
soustavy rovnic, kde rozděloval číslo 10 na dvě části. Jako ukázku můžeme uvést
následující úlohu.
Příklad 3. 1. 2.
Rozděl 10 na dvě části tak, že jejich součin vydělený rozdílem je√x. 12 (Převzato
z [Wae85], str. 48)
Úlohu můžeme zapsat soustavou + # = 10 # − # = √x. Dardi nazval jednu část z deseti , druhou část označil jako 10 − . Potom dostaneme rovnici o jedné neznámé �10 − � − �10 − � = √x. Příklad vede na kvadratickou rovnici % + �2√x − 10� = 10√x,
jejímž kladným kořenem je = 5 − √x + √25 + x.
Jestliže známe , snadno dopočítáme # = 5 + √x − √25 + x.
Dardi převedl úlohu na řešení rovnice čtvrtého stupně. Vztah mezi částmi čísla 10 upravil
tak, aby neobsahoval odmocniny: ��10 − ��%�2 − 10�% = x
Odtud je
; + 40x = 203 + �4x − 100�% + 100x. (�)
Mezi 182. a 183. pravidlem uvádí Dardi pravidla pro výpočet kořenů rovnic čtvrtého
stupně. Píše, že rovnice �; + *% + X = $3 + U, resp. �; + X = $3 + *% + U, na něž vede daná úloha při N < 25, resp. pro N > 25, mají řešení (psáno dnes
srozumitelným způsobem):
12 N je přirozené číslo.
43
= 7M *4�N% + U�y + $4� − 6 X�2$�
Toto pravidlo však nefunguje pro uvedené dva typy obecných rovnic čtvrtého stupně, ale
jen pro rovnice typu (�), tj. pro rovnice, které lze převést na řešení kvadratické rovnice.
Antonio Mazzinghi (cca 1353 – 1383)
Antonio Mazzinghi se odlišuje od ostatních řešitelů úloh vedoucí na soustavy
polynomiálních rovnic. V jeho díle Trattato di Fioretti nalezneme, poměrně komplikované
úlohy, které vedou na soustavy tří rovnic o třech neznámých. 55 problémů z díla Trattato
di Fioretti se dochovalo v jiném díle Practica d´arismetica, které je přisuzováno mistru
Benediktovi z Florencie. Mazzinghi řešil následující úlohy.
Příklad 3. 1. 3.
Najdi dvě čísla taková, že vynásobeno jednoho druhým dá 8 a jejich čtverce dohromady
27.
(Přeloženo podle [wwwHee].)
Označíme-li první číslo a a druhé b, odpovídá úloze soustava �$ = 8�% + $% = 27, tj. soustava stejného typu jako řešil Gerbert, viz příklad 2. 1. 2. Na rozdíl od Gerberta
předpokládal Mazzinghi čísla v poněkud komplikovaném tvaru: � = + "#,$ = − "#. % − # = 82% + 2# = 27.
Úlohu můžeme vyřešit dosazením # = % − 8 do druhé rovnice. Tato úprava vede
na kvadratickou rovnici
% = 434 , z níž plyne = √;3% . Druhou neznámou získáme dosazením do první rovnice, tj. # = ��; . Nyní již jednoduše úlohu vyřešíme dosazením za , # do výrazů � = + "#, $ = −"#. Vyjde nám, že � = √;3.√��% a $ = √;3 √��% . Další úloha, která se již týká dělení čísla na tři části v souvislém poměru, vede na soustavu
tří rovnic o třech neznámých.
44
Příklad 3. 1. 4.
Utvoř tři části čísla 10 v souvislém poměru tak, že jejich čtverce jsou dohromady 40.
(Přeloženo podle [wwwHee].)
Označíme-li si první číslo , druhé # a třetí čísloV, můžeme danou úlohu zapsat
následující soustavou rovnic
+ # + V = 10# = #V% + #% + V% = 40.
Úlohu lze řešit tak, že odečteme třetí rovnici % + #% + V% = 40 od umocněné první
rovnice � + # + V�% = 10%. Druhá rovnice je vynásobena členem #V. To vede
na soustavu 2# + 2V + 2#V = 60V = #%. Stejnou úvahu provedl i Mazzinghi. V rovnici 2# + 2V + 2#V = 60 se nahradí člen V členem #% a vytknutím 2# upravíme na součinný tvar 2#� + # + V� = 60. Součet neznámých čísel � + # + V� nahradíme číslem 10 a určíme # 20# = 60# = 3. Zbývající neznámá čísla určil Mazzinghi ze soustavy + V = 7% + V% = 31, která vznikne z původní dosazením již známé hodnoty #.
Dnes bychom nově vzniklou soustavu s proměnnými , V, mohli vést na kvadratickou
rovnici. Z rovnice + V = 7 si vyjádříme V = 7 − a dosadíme do druhé rovnice % + �7 − �% = 31. Z kvadratické rovnice % − 7 + 9 = 0 vypočítáme kořeny � = �% �7 + √13� a % = �% �7 − √13�. Hodnotu neznámé V� = �% �7 − √13�a V% = �% �7 + √13� dopočítámé z rovnice V = 7 − .
45
Příklad 3. 1. 5.
Najdi dvě čísla taková, že součet jejich čtverců je 100 a vynásobeno jedno druhým dělá
čtverec rozdílu dvou čísel minus 5. (Přeloženo podle [Fra88], str. 246).
Dnes bychom úlohu zapsali soustavou: % + #% = 100# = � − #�% − 5 Následující překlad Mazzinghiova řešení opět doplníme symbolickým přepisem.
Nechť je první číslo jedna cosa plus odmocnina z několika quantità a druhé jedna cosa
minus odmocnina ze stejného quantità = 4 + "5,# = 4 − "5
a vynásob každé číslo se sebou a sečti [tyto] čtverce, dělá to 2 censi a nějaké neznámé
quantità. �4 + "5�% + �4 − "5�% = 24% + 25
A tyto čtverce musejí tvořit 100, kde neznámá quantità je rozdílem 100 a 2 censi, tj. 100
minus 2 censi. �4 + "5�% + �4 − "5�% = 100 → 25 = 100 − 24%
Proto první násobení, tj. quantità je 50 minus 1 censo.
5 = 50 − 4%
První číslo je jedna cosa plus odmocnina z 50 minus 1 censo a druhé je jedna cosa minus
kořen z 50 minus 1 censo.
= 4 + "50 − 4%, # = 4 − "50 − 4%.
(Přeloženo podle [Fra88], str. 247)
46
Dále postupoval tak, že vypočetl součin a rozdíl takto vyjádřeného prvního a druhého čísla,
tj. # = 24% − 50 − # = 2"50 − 4%. Z podmínky na rovnost součinu neznámých čísel a čtverce jejich rozdílu zmenšeného
o pět, # = � − #�% − 5,dostal ryze kvadratickou rovnici
64% = 2454 = ±72456
pro pomocnou neznámou p. Vzhledem k tomu, že 5 = 50 − 4%, se snadno dopočtou
hledaná čísla:
= 740 56 + 7916; # = 74056 − 7916. Přibližné hodnoty pro , # jsou = 9,41775 a # = 3,36245.
Dnes bychom příklad mohli řešit tak, že bychom využili rovnice
% + #% = 100% + #% = 3# + 5.
Jednu rovnici odečteme od druhé, tím se nám vyruší druhé mocniny neznámých. Vyjádřili
bychom si # = zu3, a dosadili do první rovnice% + #% = 100. Dostaneme rovnici čtvrtého
stupně 9; − 900% + 9025 = 0, která má řešení
� = −750 − 35√113 ; % = 750 − 35√113 ;3 = −750 + 35√113 ; ; = 750 + 35√113 .
Tedy přibližně, � = −3,36245, % = 3, 36245, 3 = −9,41775, ; = 9,41775.
47
Odtud již snadno zpětným dosazením dostaneme
#� = − 119750 − 35√113 �30 + 7√11�; #% = 119750 − 35√113 �30 + 7√11�;#3 = 119 �7√11 − 30�750 + 35√113 ; #; = 119 �30 − 7√11�750 + 35√113 ,
což je v přibližných hodnotách
#� = −9,41775, #% = 9,41775, #3 = −3,36245, #; = 3, 36245.
Porovnáme-li Mazzinghiho postup řešení dané úlohy s naším, zjistíme, že Mazzinghiho
postup, kdy si zvolil dvě pomocné neznámé 4a5, vede k elegantnějšímu vyjádření řešení
než náš postup, který směřujeme na bikvadratickou rovnici. Nám vyšly surdické výrazy,
tedy odmocniny z odmocnin. Přestože je náš postup poněkud početně pracnější a získali
jsme čtyři výsledky oproti jeho jednomu, Mazzinghiho řešení = 9,41775odpovídá
našemu ; = 9,41775. Totéž platí i pro Mazzinghiho řešení pro # = 3,36245, které je
totožné s naším řešením #; = 3, 36245. Je zajímavé, že přestože nám vyšla dvě kladná
řešení, Mazzinghi uvádí pouze jedno.
Mezi další matematiky, kteří řešili úlohy vedoucí na soustavy polynomiálních rovnic,
můžeme zařadit již zmíněného matematika Raffaella Canacciho nebo Piera
della Francesku, které nalezneme v následující podkapitole.
3.2. Francesca, Canacci, Pacioli, Tartaglia, Cardano
Piero della Francesca (cca. 1420 – 1492)
Francesca je uznáván jako jeden z nejvýznamnějších renesančních malířů své doby. Mimo
malování se také věnoval matematice. Napsal několik prací zabývající se matematickými
problémy. K šesti typům kvadratických rovnic uvedeným Fibonaccim přidal dalších 55,
které odpovídají kubickým, bikvadratickým rovnicím a rovnicím pátého stupně. Úlohy
vedoucí na soustavy rovnic bychom dnes nalezli v práci známé pod názvem Trattato
d´Abaco. Podobně jako u mnoha jiných autorů zde řeší problém rozdělení čísla deset
48
+ # = 10# = � − #�% + # = 10 # − # = 12 + # = 10% + #% + � − #� = 54
� # � 10# = 21 + # = 10% + #% = 58
� # � 10# + # = 4 14 + # = 1010 � 10# � 10
� # � 10# = 5 14 � � #�
na dvě části. Několik jeho úloh je obsaženo i v Paciolliho Summa de arithmetica. Uveďme
soustavy vybraných úloh na rozdělení čísla deset na dvě části.
Všechny úlohy začíná řešit stejně – jednu z částí volí jako věc, tj. neznámou, druhá je
potom 10 minus věc.
V následujícím příkladu o rozdělení čísla 10 na tři části v souvislém poměru volil
Francesca stejný postup, tj. jako první část označil neznámou a zbytek rozdělil mezi
druhou a třetí část. Jeho postup však není obecně použitelný pro tento typ úloh. Francesca
používá pro neznámou věc označení I,| její čtverec, censo, označuje jako }~.
Příklad 3. 2. 1.
Úloha vede na soustavu polynomiálních rovnic � # � V � 10V = #%. Francesca uvádí následující řešení. (Podle [Rad95], str. 17.)
Nechť je první část věc, druhá část 5 minus věcí a třetí 5.
� 4,# = 5 � ,V = 5. Vynásob I ̅věcí pěti, dostaneš 5|
V = 54 a 5 minus }̅[výrazem] 5 minus I,̅ [to] dělá I~ a 25 minus 10||||věcí #% = �5– 4��5– 4� = 4% + 25– 104
Obnov části tím, že ke každé přidáš 10||||
154 � 4% � 25
A druhá [z hledaných částí] je 5 minus to, co zbude po [odečtení] minus Q31 �; a třetí část
je 5.
49
Uvedený příklad je hezkou ukázkou, jak lze ve speciálním případě použít pro tři neznámé
postup užívaný pro dvě neznámé. Francesca si patrně nebyl vědom toho, že úloha má
v množině kladných reálných čísel nekonečně mnoho řešení a že jeho postup využívající
pouze jednu neznámou je omezující. Se zavedením dalších neznámých došlo k radikálním
změnám v postupech řešení. Podobnou úlohu řešil i Fibonacci (viz výše příklad 2.2 8.)
Raffaello Canacci (1456 – 1496/1532)
Úlohy, které řešil Raffaello Canacci najdeme v díle Ragionamenti d’algebra (Algebraické
úvahy, 1490). Canacci řešil úlohu, kterou můžeme přeložit takto.
Příklad 3. 2. 2.
Najdi mně tři čísla tak, že první je k druhému, jako 2 je ke 3. A taková, že druhé je
ke třetímu, jako je 3 ke 4. A taková, že součin prvního a druhého vynásobený třetím je
roven druhé odmocnině z 12. (Přeloženo podle [Rad95], str. 13.).
Úlohu můžeme z dnešního pohledu zapsat jako soustavu tří rovnic o třech neznámých
následujícím způsobem # = 23#V = 34#V = √12.
Předpokládej, že první [číslo] jsou 2 věci, druhé jsou 3 věci a třetí jsou 4 věci. = 2T, # = 3TaV = 4T
Vynásob 2 věci třemi věcmi a dostaneš 6 čtverců 2T ∙ 3T = 6T%. Nyní řekneš 6 čtverců krát 4 věci se rovná 24 krychlím [třetím mocninám] 6T% ∙ 4T = 24T3 a že to musí tvořit odmocninu z 12. 24T3 = √12 Tak konej podle pravidla, vyděl čísla krychlemi a najdi třetí odmocninu a tím dostaneš
hodnotu věci.
T = 7√12249
(Přeloženo podle [Rad95], str. 13.).
50
Dnes bychom danou úlohu mohli řešit dosazovací metodou. Třetí rovnici bychom
si upravili na tvar ,/ = √�%/-p. Poměr : #je daný, proto
√12#%V = 23#V = 34 . Následně bychom si z druhé rovnice vyjádřili # = 3; V a dosadili do první rovnice.
Po úpravách nám vyjde
716√339 = V. Zbylé dvě neznámé již snadno dopočítáme dosazením za z, tj.
# = √3u�√49 a = √49√39 . Správnost řešení jednoduše ověříme zkouškou.
Luca Pacioli (1445 – 1517)
V Benátkách roku 1494 vyšlo encyklopedistické dílo, první tištěná kniha sepsaná
v národním jazyce věnovaná mimo jiné algebře a zároveň první tištěná algebra v Evropě,
ve kterém Luca Pacioli shrnul veškeré obecné znalosti matematiky tehdejší doby.
Nazývalo se Summa de Arithmetica Geometrie Proportioni e Proportionalita (Souhrn
poznatků o aritmetice, geometrii, poměrech a úměrnosti). Nenalezneme zde mnoho nových
myšlenek, spíše využívá znalosti z Eukleida, Ptolemaia, Fibonacciho, Böethia a mnoha
dalších. Jeho život, značně ovlivnil Piero della Francesca, v jehož malířské dílně získal
Luca aspoň část vzdělání a jehož některé práce přeložil do italštiny. Protože pocházel
z obchodního městečka, zabývalo se jeho dílo obchodní aritmetikou, ale také geometrií
a trigonometrií. Následující generaci, která se proslavila objevem správného postupu
pro řešení kubické rovnice, kniha sloužila jako učebnice. Podle Pacioliho algebra spočívá
v „doplňování“ a „kladení proti sobě“. Vyšetřoval některé druhy bikvadratických rovnic,
které lze převést na základní typy lineárních a kvadratických rovnic. Např. pro � = $,�% = $%platí, žekdyž� = $, potom jsou rovnice neurčité. Jestliže � ≠ $, potom jsou
rovnice nesplnitelné.Pro = 0 rovnici nechává bez komentáře.
51
Uveďme některé rovnice čtvrtého stupně, které mohou být převedeny na kvadratickou
rovnici nebo na rovnici, v níž se řešení najde pouhým odmocněním: �; = U �; = X �; = *%�; + U = *% �; + *% = U �; = *% + U. Pacioli píše, že pro rovnice �; + *% = Xa�; + X = *% zatím neexistují žádná obecná pravidla řešení, mají nemožné (impossibile) řešení. Zároveň
říká, že na kvadratické rovnice lze převést i některé rovnice řádu vyššího než čtyři.
V Summa de Arithmetica Geometrie Proportioni e Proportionalita nalezneme úlohu,
ve které se mají najít čtyři veličiny v souvislém poměru, jejichž součet je 15 a součet jejich
čtverců je 85. Úloha vede na soustavu rovnic # = #V = VT + # + V + T = 15% + #% + V% + T% = 85. Veličiny , #, V, T jsou v souvislém poměru. Pacioli využil při řešení úlohy geometrické
posloupnosti, neznámé , #, V, T vyjádřil pomocí �, $, kde � je první člen posloupnosti a $
je kvocient. = �, # = �$, V = �$%, T = �$3. Pro takto vyjádřené neznámé platí, že jsou v souvislém poměru. Pacioli udělal při výpočtu
řešení chybu, ale dospěl k závěru, že součet čtverců je představován výrazem 64 + 16 ++4 + 1, odkud lze správné řešení 8, 4, 2, 1 snadno vyvodit. Postup, kterým by bylo možné
dospět k řešení, ukážeme na následující straně na úloze stejného typu (příklad 3. 2. 3).
Třebaže je Summa nejznámější Pacioliho prací z matematiky, z hlediska algebry
si zasluhuje pozornost i jeho nepublikovaná kniha o aritmetice a algebře. Podle [Hee10]
byl rukopis knihy dokončen nejpozději v roce 1480. Kniha nemá žádný název, v poslední
době bývá označována jako Tractatus mathematicus ad discipulos perusinos, Trattato
d’arithmetica, resp. Opera di mathematica. Např. v části nazvané Divisioni e partimenti
de numeri najdeme asi 70 úloh požadujících nalezení dvou nebo tří částí daného čísla, což
je typický problém nejen italské algebry. Na ukázku uveďme přepis několika úloh
do dnešní symboliky.
52
+ # = 1 + # = 10# + # = 5 % − #% = 49 + # = 10 + # + V = 10# − # = 22 V = #%
+ # = 12"% + 13 + "#% − 11 = 12 + # = 10� − #�% = 20 14
Niccolo Fontana Tartaglia (1499 – 1557)
Niccolo Fontana, známý spíše pod jménem Tartaglia, pocházel z chudé rodiny. Ke své
přezdívce Tartaglia přišel tak, že mu obličej znetvořil francouzský voják šavlí a on pak
nosil celý život plnovous, aby zakryl nevzhlednou jizvu. Jeho jméno je neodlučně spjaté
s řešením kubických rovnic. Některé úlohy, které řešil, lze matematizovat jako soustavu
polynomiálních rovnic. Řešil je postupnou eliminací neznámých a tím je vedl na rovnice
třetího stupně. Napsal několik knih. V červenci roku 1546 vydal Quesiti et Inventioni
Diverse (Všeliké úkoly a vynálezy). Inspiroval se antikou a tuto knihu napsal formou
rozhovorů, koncipovaných jako dopisy. Knihu můžeme rozdělit do devíti „knih“
a nalezneme v ní na 171 úloh. Z našeho pohledu je nejzajímavější poslední kniha
obsahující úlohy z aritmetiky, geometrie a algebry.
Příklad 3. 2. 3.
Vytvoř mi z 10 čtyři veličiny v souvislém poměru tak, že čtverce dávají dohromady 60.
(Přeloženo podle [Kat01]) # = #V = VT + # + V + T = 10% + #% + V% + T% = 60
Niccolo popsal postup řešení následovně: „Nyní k odpovědi na Vaši první otázku, která
zní, že se z 10 mají vytvořit čtyři veličiny ve spojité proporci tak, že jejich čtverce dají
dohromady 60, odpovídám, že uvedené části jsou uvedeny níže, totiž: První bude 6 �% minus
R.7 �; minus R.universale13 49 �% minus R.1225 �; minus zlomek, totiž R.41876 plus R.9396
minus 288 vyděleno R.116 plus 4.“
13 R. universale znamená, že se má vzít odmocnina, resp. kořen ze všeho.
53
Dnes bychom zapsali následovně:
= 612 − 7714 − 64912 − 71225 14 − √41876 + √9396 − 288√116 + 4
(Přeloženo dle [Kat01])
Při řešení úlohy využil stejně jako Pacioli geometrickou posloupnost, kde neznámé , #, V, T v souvislém poměru vyjádřil pomocí �, $, kde � je první člen posloupnosti a $ je
kvocient. = �, # = �$, V = �$%, T = �$3. Je tedy + # + V + T = 10% + #% + V% + T% = 60. Z předchozí soustavy po dosazení dostaneme � + �$ + �$% + �$3 = 10�% + �%$% + �%$; + �%$F = 60, což lze upravit na následující tvar ��1 + $��1 + $%� = 10�%�1 + $%��1 + $;� = 60.
Vydělíme-li druhou rovnici �%�1 + $%��1 + $;� = 60 první ��1 + $��1 + $%� = 10,
dostaneme vztah pro � v závislosti na $ � = 6 R.�Ry.�. (�)
Dosadíme-li za � = 6 R.�Ry.�. v první rovnici ��1 + $��1 + $%� = 10 a upravíme,
dostaneme reciprokou rovnici $; − 3$3 − 3$% − 3$ + 1 = 0.
Tato rovnice má dva reálné kořeny
$� = 34 + √294 − 127112 + 3√292 ;$% = 34 + √294 + 127112 + 3√292 .
54
g d
e
a
c b
13
14
15
f
q
p
V úloze, kde se předpokládá < # < V < T, je řešením takové b, které je větší než 1, tj.
$ = 34 + √294 + 127112 + 3√292
Dosazením této hodnoty za b v (�) dostaneme � = = �% �13 − √29 − "22 + 6√29.
Čtyřmi hledanými veličinami , #, VaT jsou
= �% �13 − √29 − "22 + 6√29
# = − 3%+ √%z% + u;"22 + 6√29 − �;Q29�22 + 6√29� V = − 3% + √%z% + �%Q%z% �11 + 3√29� − u;"22 + 6√29 T = �3% − √%z% + �%"22 + 6√29.
Další příklad jsem do práce zařadila i přesto, že náš postup nevede na žádnou soustavu
polynomiálních rovnic, a to z důvodu podobnosti úlohy řešené výše Gerbertem (viz příklad
2.1.4.). Úloha má odlišné zadání. V Gerbertově úloze hledáme výšku na základnu
trojúhelníku, kdežto v následující úloze hledáme velikost dvou úseků na nejdelší straně
trojúhelníka. K vyřešení této úlohy jsme využili znalostí z již zmíněné Gerbertovy úlohy.
Příklad 3. 2. 4.
Je trojúhelník abc, jehož strana ab 13, ac 15, bc 14 a jeho výška je ad. Z vrcholu b vedu
čáru bfe, která čáru ad rozděluje na fd, která je 3. Otázkou je velikost dvou dílů ae a ec.
(Přeloženo podle [Kat01], úloha XXVII.)
Tartaglia určil že, ec je 7 �%z a ae je 7 %%%z .
Z Gerbertovy úlohy víme, že S je 84, výška 12 a bd je 5 a
dc 9. K výpočtu řešení můžeme využít podobnost
trojúhelníků.
Obrázek 11 - Grafické znázornění př. 3. 2. 4.
55
∆$X�~∆$YU, proto 3u = ��u.��, kde 5 je vzdálenost bd
∆UY*~∆�X*, proto ��z �� = �%z .
Ze soustavy rovnic nás zajímá řešení pro p, které vyjde �FO%z .
Nyní znovu využijeme podobnost trojúhelníka ∆�X*~∆UY*: 1215 = 4|U*|
Odtud dostaneme |U*| = %��%z , tj. 7 %%%z. Délku úsečky ae dopočítáme jako doplněk k ec,
tj. 15 − 7 %%%z = 7 �%z, je tedy �U = 7 �%z.
Příklad 3. 2. 5.
Jsou tři [muži], kteří [dohromady] koupili 20 liber masa. Jeden z nich nakoupil tolik liber,
že tento počet liber sám se sebou vynásobený je roven součinu liber, který zbývající dva
koupili, tedy ten jeden krát druhý, obě menší množství, první krát druhé, dávají právě 8.
Ptáme se na množství liber masa, které každý z nich koupil. (Přeloženo podle [Kat01],
úloha XX z 12. 9. 1535)
Úloha vede na soustavu rovnic + # + V = 20#% = V# = 8.
Tato úloha vede na rovnici čtvrtého stupně. Vynásobíme-li druhou rovnici #% = V proměnnou #, dostaneme #3 = #V, resp. #3 = 8V. Odtud získáme vyjádření V = /9O .
Z třetí rovnice si vyjádříme dělením , tj. = O/. Vše dosadíme do rovnice
+ # + V = 20. Celou rovnici O/ + # + /9O = 20 vynásobíme 8#a dostaneme rovnici
čtvrtého stupně #; + 8#% − 160# + 64 = 0. Úlohu lze řešit i jinak. Tartaglia si všiml, že množství masa jsou v souvislém poměru, tj.
tvoří geometrickou posloupnost {�, �$, �$%}, kde � = a $ je kvocient. V takovém
případě je splněna druhá rovnice soustavy a první a třetí rovnice má tvar: � + �$ + �$% = 20�%$ = 8
56
Ze znalosti součinu menších množství masa lze odvodit $ = O:-. První rovnice má po
jednoduchých úpravách tvar: �; + 8�% + 64 = 20�3 Řešením úlohy je trojice kladných reálných čísel vyjádřená komplikovaně pomocí
surdických výrazů. Uveďme proto pouze jejich aproximace: = 1,667669, # = 4,768522aV = 13,553809.
Gerolamo Cardano (1501 – 1576)
Gerolamo Cardano se narodil v roce 1501 v Pavii. Známý byl též pod jménem Jerome
Cardan. Byl velice nadané dítě, již ve dvanácti letech studoval Eukledia. Cardano pracoval,
stejně jako jeho otec, jako praktický lékař. Působil také jako učitel matematiky v Miláně.
Za svůj život napsal několik knih mezi nimi i Ars Magna (Veliké umění). Cardano se zde
věnuje algebraickým rovnicím prvního až čtvrtého stupně. Více jak dvacet kapitol
ze čtyřiceti pojednává o kubických rovnicích. Podle historických pramenů Cardana
na metodu řešení kubických rovnic zřejmě navedl Tartaglia, který Cardanovi poslal návod
formou básně. Ten však zprvu postup řešení nepochopil, a proto Tartaglia požádal
o podrobnější vysvětlení. Cardano začal toto řešení podrobněji zkoumat a Tartaglia si
po výměně korespondence uvědomil, že Cardano zná více než on sám a přerušil s ním
kontakt. Později, roku 1543, ukázal A. M. Fiore Cardanovi rukopis práce Scipiona dal
Ferro, ve kterém byla popsána tato metoda řešení kubických rovnic. Můžeme se tedy
domnívat, že objevitelem metody pro řešení kubických rovnic nebyl Tartaglia. S metodou
se nejspíše seznámil z již zmíněného rukopisu Scipiona dal Ferro. Následující příklad
nalezneme v 37. kapitole Ars Magna nazvané Pravidlo uvedení nepravdivého (De regula
Falsum ponendi).
Příklad 3. 2. 6.
Nechť ab je úsečka, řekněme [délky] 10, [úkolem je] rozdělit ji na dvě části, aby obdélník
[z nich sestavený] byl 40. (Přeloženo z [Car45], str. 287.)
+ # = 10# = 40
Cardano si byl vědom toho, že úloha nemá řešení. Pokusil se ovšem použít obvyklý
postup. Umocnil součet� + #�% = 100 a odečetl od něho čtyřnásobek druhé rovnice
57
(4# = 160�. Poté řeší soustavu lineárních rovnic. Můžeme si všimnout, že
pod odmocninou se nachází záporné číslo. + # = 10 − # = 2√−15
Řešením jsou čísla = 5—15 a # = 5 − √−15
vyjádřená pomocí odmocniny ze záporného čísla. Taková čísla nazýval Cardano quantitas
sophistica.
Cardanova práce obsahuje v jednotlivých kapitolách ilustrační příklady k prezentovaným
pravidlům. Hledají se v nich dvě, tři i čtyři neznámá čísla, která mají být v souvislém
poměru, jejich součet či rozdíl má být dané číslo apod. Mnoho z nich vede na soustavy
polynomiálních rovnic. Na tomto místě uveďme aspoň soustavy
+ # = 83 − #% = 10 + # + V = 10# = #V# = 6,
jimiž lze postupně zapsat 4. úlohu 38. kapitoly, 5. úlohu 39. kapitoly.
Při řešení první z nich Cardano šikovně rozdělil 8 na �3 a 7
%3. Pro splnění druhého vztahu
předpokládal = �3+ 4, # = 7 %3− 4, kde p je pomocná neznámá. Touto substitucí získal
kubickou rovnici v p, která už neobsahuje kvadratický člen.
Závěr
S nejkomplikovanějšími úlohami, té doby, vedoucími na soustavy algebraických rovnic se
setkáváme u Mazzinghiho. Dnes bychom řekli, že řešil úlohy pomocí substituce, kdy za
neznámé zvolil pomocné neznámé v podobě dvojčlenu, ve tvaru 4 ± "5. Poté soustavu
vedl na tvar odpovídající soustavám obsahujícím jednu rovnici druhého stupně a jednu
lineární rovnici, které známe již z dob Mezopotámie. Naopak Canacci i Dardi řešili úlohy
podobně jako Fibonacci a vedli je pomocí ekvivalentních úprav na rovnici druhého,
popřípadě třetího stupně. U Tartaglii se setkáváme dokonce s úlohami, které vedly
na rovnice čtvrtého stupně.
58
4. Úlohy vedoucí na soustavy polynomiálních rovnic francouzských
a německých autorů od 14. stol. do 15. stol.
Období renesance, které začalo v Itálii, se do Francie dostalo až na přelomu 15. a 16. stol.
Ovšem již ve 14. století se ve Francii objevuje výrazná osobnost matematiky Nicole
Oresme. Patří mezi průkopníky vědecké literatury ve francouzštině. Svým překladem
Aristotelových děl významně obohatil francouzskou terminologii. Důležitým počinem byla
jeho díla o proporcích. Na jeho knihy a algoritmy poměrů navázalo několik dalších autorů
např. Hieronimo de Angest (†1538) nebo jeho současník Nicolas Chuquet, jehož úlohami
se budeme zabývat v úvodu kapitoly.
V Německu, Francii a Itálii se paralelně vytvářela algebraická symbolika. V Německu
se v 15. stol. setkáváme s označením druhé odmocniny tečkou před číslem, třetí odmocnina
se značila třemi tečkami a čtvrtá odmocnina dvěma tečkami. Tečky se postupem času,
nejspíše rychlým psaním, změnily na čárky.
V této kapitole se dále seznámíme s významným matematikem a astronomem 15. století,
jehož práce pojednávají o základech matematiky, matematikovi, který stanovil
trigonometrii jako nezávislé odvětví matematiky spíše než astronomie, jmenuje se
Regiomontanus.
Nicolas Chuquet ( cca 1430 – 1487)
Nicolas Chuquet byl francouzský lékař, který v roce 1484 napsal první francouzskou knihu
věnovanou algebře Le triparty en la science des nombres (Věda o číslech ve třech dílech).
Jeho kniha ovšem vývoj matematiky 16. stol. výrazně neovlivnila, protože se ztratila a byla
vytištěna až roku 1880. Jeho originální myšlenky inspirovaly matematiky pouze
prostřednictvím jiných autorů, např. Estienna de La Roche (cca 1470 – cca 1530). První díl
je věnován racionálním číslům, posloupnostem a proporcím. Druhá část je věnována
iracionálním číslům a třetí rovnicím. U Nicolase Chuqueta se poprvé objevují záporná čísla
jako koeficienty, exponenty a řešení rovnic. V některých úlohách záporný výsledek
vysvětluje jako dluh. Za jeho vlastní objev můžeme považovat „pravidlo průměrných
čísel“. Tvrdí, že řešení �:�.:-��R�.R-� se nachází mezi
:�R� a :-R-. Tuto průměrnou veličinu využívá
59
k řešení úloh metodou dvou chybných předpokladů. Výpočet kořene je však poměrně
pracný. Chuquet zkoumal rovnice a rozdělil je na čtyři „kánony“¨ �� = $�. �� + $�. = *�.%�� = $�. + *�.% �� + *�.% = $�..
Chuquet podobně jako Pacioli neuvažuje o kořenu = 0. Ve srovnáním s Paciolim je
Chuquetovo dílo méně rozsáhlé než Pacioliho „Summa“, ale je zde více nových myšlenek.
Jeho kniha ovšem vývoj matematiky 16. stol. výrazně neovlivnila. Jeho rukopis nejspíše
mnoho matematiků nečetlo a vytištěna byla až roku 1880. Nicolas Chuquet se také
významně podílel na rozvoji symboliky. V již zmíněné knize popisuje indicko-arabský
způsob zapisování čísel a aritmetické operace. Setkáváme se zde se slovy jako je plus
a mois, které zapisoval symboly 4,� �. V následující tabulce jsou uvedeny pojmy, které
využíval.
neznámá x premier, nombre linear
druhá mocnina x2 champs
třetí mocnina neznámé 3 cubics
čtvrtá ocnina neznámé ; champs de champs
záporné číslo Ung moins [ � ]
Tabulka 4 - Označení přirozených mocnin neznámé dle Chuqueta
Chuquet používal úsporný zápis mocnin neznámé, poprvé se objevily záporné exponenty.
Úsporné značení používal i pro odmocniny. Příklad můžeme uvést v následující tabulce.
zápis podle Chuqueta zápis pomocí moderní symboliky . m.n 9 . en.g 103 . m.f.�. 9 % �×f . eh.�� .�×f . ef. 14 Q13 − √12 Tabulka 5 - Zápis mocnin neznámé dle Chuqueta
Součástí rukopisu Chuquetova rukopisu Le triparty en la science des nombres je rozsáhlá
sbírka úloh; v pouhém extraktu publikovaném jako [Chuq81] jich je 166. V úvodních
14 Podtržení výrazu je v dnešní symbolice závorka.
60
příkladech se požaduje rozdělit dané číslo na dvě či tři části tak, aby byly splněny další
podmínky. Řada úloh se týká osob, jejichž obnosy se hledají ze známého součtu obnosů
a známých vztahů mezi nimi. Většina úloh však vede pouze na řešení soustav lineárních
rovnic (o dvou až pěti neznámých). Soustavami
+ # = 20resp. 23 � 34 #% � #% � 50 # = + #
lze zapsat úlohu X, resp. XV, v níž se dělí číslo 20 na dvě části se známým rozdílem jejich
čtverců, resp. ve které se hledají čísla, jejichž dané násobky se rovnají a jejichž součin
a součet je stejný.
Sbírka obsahuje klasickou úlohu o nalezení dvou čísel, známe-li jejich součet a součin.
Chuquet rozděluje √729 na dvě části, které mají součin√60, a uvádí řešení
(Obrázek 12, převzato z [Chuq81], str. 444.)
tj.
Q9 � "81 � √60�9, Q9 � "81 � √60�9
.
Z Chuquetova postupu plyne, že jako neznámou volil jednu z částí, druhá byla doplňkem
neznámé do √729 . Takto získal z podmínky na součin čísel kvadratickou rovnici. Úloha
snad mohla sloužit k procvičení úprav výrazů s odmocninami.
Příklad 4. 0. 1.
Tři obchodníci mají dohromady 10 escus, první měl dvojnásobek druhého a 1, třetí měl
jako svůj díl druhou odmocninu z dílů dvou ostatních. Kolik měl každý. (Přeloženo podle
[Chuq81], str. 444, úloha CXI.)
Označíme-li postupně, #, V částku prvního, druhého a třetího obchodníka, vede úloha
na soustavu: � # � V � 10 � 2# � 1V � " � #
Chuquetův postup není v [Chuq81] uveden, předvedeme proto náš způsob řešení úlohy.
61
Dosazením V% za součet + #v první rovnici dostaneme kvadratickou rovnici V% + V − 10 = 0, jejíž kořen
V = Q10 �;− �% představuje částku třetího obchodníka. Druhá a třetí nebo druhá a první rovnice tvoří
soustavu lineárních rovnic, jejímž řešením jsou obnosy prvního a druhého obchodníka:
= 7 �3−Q4 uz, # = 3 �F−Q1 u3F
Některé úlohy vedou na neurčité soustavy. Např. se hledají tři čtvercová čísla, jejichž
součet je 13, nebo tři čísla, která mají daný součet a která lze zapsat jako třetí mocninu
nějakého (racionálního) čísla. (Viz [Chuq81], str. 455.)
Příklad 4. 0. 2.
Ve sbírce úloh patřící k dílu Le triparty en la science des nombres řeší úlohu, kterou lze
matematizovat jako soustavu dvou polynomiálních rovnic o dvou neznámých # = 57%# = 40. Tu z dnešního pohledu jednoduše vyřešíme například tak, že z druhé rovnice si vyjádříme % = ;�/ . První rovnici upravíme na tvar = u/� a umocníme na druhou, což vede
na rovnici
% = 25#%49 . Nyní můžeme za % dosadit
;�/ a vznikne nám rovnice o jedné neznámé, po úpravách 3925 = #3, po odmocnění # = Q3z%u9 . Druhou neznámou dopočítáme dosazením = % √%u9√�9 . U Chuqueta se setkáváme s polynomiálními rovnicemi zřídka. Jeho úlohy vedly častěji
na soustavy lineárních rovnic.
62
Regiomontanus (1436 – 1476)
Johannes Müller je nám známý pod jménem Regimontanus. Přestože čerpal převážnou část
trigonometrie z arabské literatury a z latinských překladů textů prací al-Battáního nebo
např. al-Fargháního, zasloužil se i o vlastní originální důkazy. Regiomontanus je známý
svými výsledky z oblasti sférické trigonometrie, které nalezneme v jeho díle De Triangulis
Omnimodis (O trojúhelnících všelikých knih patero). Sestavil také tabulku pro výpočet
odvěsny pravoúhlého sférického trojúhelníku podle vzorce � = G��*. G���, kde � je
odvěsna, � je protilehlý úhel a * je přepona trojúhelníku.
Na polynomiální soustavy vedou algebraicky řešené geometrické úlohy v rovině, které jsou
součástí prvních dvou knih práce De triangulis. Jako příklad můžeme uvést úlohu, kde zná
jednu stranu trojúhelníka, výšku na danou stranu a poměr dvou zbývajících stran.
Předpokládá, že neznámé jsou � a $ = v�, kde v je poměr stran. Dále předpokládá, že zná
stranu *. Ta je rozdělena na dvě části výškou ℎ. Obecné řešení této úlohy je dáno
soustavou rovnic �% − % = ℎ%$% − #% = ℎ%v� − $ = 0 + # = *,
která vede na bikvadratickou rovnici pro �: �1 − v%�%4*% �; − <1 + v%2 =�% + 14 *% + ℎ% = 0. Regiomontanus řešil rovnice podobně jako Al-Chwárizmí. Následujícím příkladem
navážeme na výše uvedený postup.
Příklad 4. 0. 3.
Řeš problém s trojúhelníkem s daty ℎ = 125, * = 250, v = .8165. (Přeloženo podle [Coo97], cvičení 14.1, str. 319)
Dle předpisu úloha vede na soustavu rovnic �% − % = 125%$% − #% = 125%0,8165� − $ = 0 + # = 250.
To vede na rovnici
b �
#
ℎ
Obrázek 13 - Grafické znázornění př. 4. 0. 3.
63
44,442955568025 × 10 O�; − 0,833336125�% + 31,250 = 0. Provedeme-li substituci T = :��� dostaneme 44,442955568025T; − 8333,36125T% + 31,250 = 0, po zkrácení T; − 187,5T% + 703,149 = 0. Kvadratická rovnice G% − 187,5G + 703,149 = 0,kde T% = G dává přibližnou hodnotu
kořene G = 3,83. Z toho plyne, že T = √3,83, tj. T = 1,95. Provedeme resubstituci a zjistíme, že přibližná
hodnota je � = 195, $ dopočítáme z rovnice 0,8165� − $ = 0, tj. přibližně $ = 159,218. Hodnoty pro neznámé , # můžeme dopočítat pomocí Pythagorovy věty. 195% = 125% + % Z výše uvedené rovnice dostaneme hodnotu pro = 40√14. Nyní již jednoduše z rovnice + # = 250 dopočítáme přibližnou hodnotu pro # = 100,334. Pravdivost ověříme
zkouškou.
Příklad 4. 0. 4.
Je dán trojúhelník ABG, jehož rozdíl stran AB a AG se označí HG, kolmice AD rozdělí
stranu na dvě části BD a DG, nechť je jejich rozdíl EG: Jsou dány rozdíly a samotná
kolmice je dána. Požaduje se určit všechny strany trojúhelníka.
Skrze umění věci a censu (čtverec věci) je úloha vyřešena. Buď dán rozdíl stran 3, rozdíl
úseků 12 a kolmice 10. (Přeloženo podle [Bal60], str. 168, jde o 23. větu druhé knihy
De triangulis.)
Situace popsaná zadáním je znázorněna na obrázku na následují straně.
64
Obrázek 14 - Grafické znázornění př. 4. 0. 4.
Hledané délky stran trojúhelníka označíme x = |BG|, y = |AG|, z = |AB|. Rozdíl délek stran
AB a AG je |HG| = 3, tj. y – z = 3, |DG| – |BD| = |EG| = 12, je tedy |DE| = |BD| a |BG| lze
vyjádřit jako součet 2∙|BD| + 12, tj. x = 2u + 12, jestliže označíme u = |BD|. Strany
trojúhelníka vyhovují soustavě # − V = 3 = 2T + 12V% = T% + 10%�12 + T�% + 10% = #% Uveďme Regiomontanovo řešení doplněné o symbolický přepis.
Položím pro celou základnu rem a pro součet stran [AG a AB] 4 res,
x = |BG|, |AG| + |AB| = 4x,
protože poměr základny k sečteným stranám je jako HG ke GE, tj. jako je 1 ke 4. # − V2T − = 14 Proto je BD ½ rei minus 6, ale AB je 2 res bez 3/2.
T = 2 − 6,V = 2 − 32Vynásobí se AB se sebou, výsledkem je 4 census a 2 ¼ bez 6 rebus
?2 − 32@% = 4% + 112 − 6Také BD dělá se sebou ¼ census a 36 minus 6 rebus
M2 − 6N% = 14 % + 36 − 6Toto přidám ke čtverci 10, což je 100.
[Výraz] sečtený dohromady, ¼ census a 136 minus 6 rebus, je zřejmě roven 4 census a 2 ¼
bez 6 rebus. �; % + 136 − 6 = 4% + 1 �%− 6
65
Obnoví se tedy to, co chybí, a odebere se na obou stranách stejné, kterýmžto způsobem
máme několik census rovno číslu
3 34 % = 13324 odkud budeme znát rei
� 71073
a odtud známe tři strany trojúhelníka.
= 71073 , # � 16 �9 + 4√321�, V � 16 �4√321 − 9�. (Přeloženo podle [Bal60], str. 268.)
Dnes bychom soustavu # � V � 3 = 2T + 12V% = T% + 10%�12 + T�% + 10% = #% mohli řešit tak, že bychom si nejprve vyjádřili V = √T% + 100 a # � √T% � 24T + 244.
Takto vyjádřené neznámé dosadíme do rovnice # − V = 3, tj. "T% � 24T + 244 − "T% + 100 = 3.
Umocněním na druhou dostaneme rovnici −2"�T% + 100��T% + 24T + 244� = −335 − 24T − 2T%, kterou opět umocníme dvěma 4�T% + 100��T% + 24T + 244� =(−335 − 24T − 2T%�%, tj. 4T; + 96T3 + 1376T% + 9600T + 97600= 4T; + 96T3 + 1916T% + 16080T + 112225. Dostaneme kvadratickou rovnici 540T% + 6480T + 14625 = 0, kterou vyřešíme pomocí diskriminantu, T = Q���9% − 6. Nyní můžeme jednoduše dopočítat
neznámé , #, V.
66
Regiomontanus zvolil stranu BG jako neznámou (res) a šikovně vyjádřil stranu AB a úsek
BD v závislosti na ní, úloha pak vedla pouze na řešení jedné (ryze kvadratické) rovnice
o jedné neznámé. V úvodní Regiomontanově úvaze není ihned zřejmé, proč je součet dvou
menších stran čtyřnásobkem základny. Stanovení součtu menších stran v závislosti
na zvolené neznámé možná předcházela následující myšlenka. Dvěma způsoby vyjádříme
délku výšky na základnu BG. |��|% − |r�|% = |��|% − |r�|% Přičtením r�% − ��% dostaneme rovnost rozdílů čtverců |��|% − |��|% = |r�|% − |r�|%, které lze upravit na rovnost součinů známých rozdílů a neznámých součtů �|��| − |��|��|��| + |��|� = �|r�| − |r�|��|r�| + |r�|� 3�|��| + |��|� = 12�|r�| + |r�|�. Odtud je |��| + |��| = 4|��|. Vztah mezi základnou a součtem zbývajících stran použil pro vyjádření délky strany AB
v závislosti na zvolené neznámé. Také |BD| zapsal jako výraz ve zvolené neznámé.
V pravoúhlém trojúhelníku ABD je známá odvěsna AD, což je zároveň výška daného
trojúhelníka ABG, zbývající strany jsou závislé na neznámé. Z Pythagorovy věty se proto
snadno vypočte její hodnota, tj. délka základny a následně také délky zbývajících stran.
Jak již jsem zmiňovala výše, matematika se vyvíjela současně v Německu, Itálii a Francii.
Všechny typy úloh vedly nakonec k podobnému postupu, kdy autor řešil úlohy pomocí
substituce. Pomocnou soustavu následně vedl na rovnice druhého, třetího i čtvrtého stupně,
které poté vyřešil pomocí již ustálených postupů.
67
5. Závěr
Úlohy, které bychom dnes zapsali soustavou polynomiálních rovnic, nalezneme na území
Evropy již začátkem 1. století. Zprvu se jedná o soustavy dvou rovnic o dvou neznámých,
kde alespoň jedna rovnice je druhého stupně. Na počátku 14. stol. se u Mazzinghiho
setkáváme již s úlohami vedoucími na soustavy tří rovnic o třech neznámých, kde je opět
alespoň jedna rovnice druhého stupně. Úlohami vedoucími na soustavy rovnic s větším
počtem neznámých, se zabýval až Tartaglia v 16. století. Se složitějšími úlohami se
setkáváme tedy až u renesančních matematiků nejen v Itálii, ale i v Německu a Francii.
Je třeba zmínit, že většina úloh řešených ve středověké Evropě byla převzata od arabských
matematiků. Jako příklad můžeme uvést Fibonacciho práci Liber abaci. Právě v této knize
řeší Leonardo úlohy, kterými se dříve zabýval například Abu Kamil.
Pro úlohy, které vedou na soustavy polynomiálních rovnic, byly motivem geometrické
útvary. Nejen v Gerbertově Geometrii se setkáváme s úlohami, které můžeme graficky
znázornit. Jedná se například o výpočet výšky v heronském trojúhelníku, nebo výpočtů
odvěsen v pythagorejském trojúhelníku. Např. Savasorda řešil úlohy, které můžeme
graficky znázornit pomocí obdélníku. Dalším typem úloh je rozdělení nějakého celku
na části. Většinou se jedná o rozdělení čísla 10 na dvě a více části.
Způsoby řešení výše uvedených úloh nejsou jednoznačně dané, ale opakují se zde určité
postupy, které lze považovat za jednoduché algoritmy. Takovým postupem je například
pomocí ekvivalentních úprav vést soustavu rovnic na kvadratickou rovnici, kterou již
dokážeme vypočítat. Podobný postup je i u soustav, kde se nachází tři rovnice a tři
neznámé. Takovéto úlohy ovšem mohly vést na kubické rovnice. S řešením kubických
rovnic se setkáváme až v 16. století u Gerolama Cardana. Další možností řešení bylo, že se
neznámé vyjádří v závislosti na pomocné neznámé či pomocných neznámých např.
v podobě dvojčlenu 4 ± "5. Substitucí vedl řešitel úlohu na jednodušší tvar soustavy,
který dokázal vyřešit. Tento postup nalezneme např. u Mazzinghiho.
68
Přestože úlohy, které dnes můžeme zapsat jako soustavu algebraických rovnic, najdeme již
ve starých civilizacích jako Egypt nebo Mezopotámie, ustálené postupy eliminace
neznámých v Evropě nalezneme až v 2. polovině 17. století.
Významným zlomem v dějinách matematiky bylo období novověku. Již počátek 16. století
můžeme nazývat obdobím moderní algebry. François Viète (1540 – 1603) jako první užívá
označení konstanty a proměnných pomocí písmen. Dále se setkáváme s velikány jako
Pierre de Fermat (1601 – 1665) nebo René Descartes (1596 – 1650), kteří položili základy
analytické geometrii.
5.1. Metody eliminace neznámých
První známou metodu eliminace neznámé ze dvou rovnic vyššího stupně rozpracoval
někdy před rokem 1638 Pierre de Fermat v práci Novus secundarum et ulterioris radicum
in analyticis usus. Na rovnice o dvou, resp. n neznámých nahlížel jako na rovnice o jedné
neznámé, např. y: ��#� + ��#� � +⋯+ �� �# + �� = 0,$�# + $�# � +⋯+ $ �# + $ = 0.
Odečtením separoval absolutní členy, které následně vydělil druhou stranou rovnice
obsahující polynom aspoň prvního stupně. Vzniklé podíly jsou pro obě rovnice rovny 1,
proto jsou si rovny i podíly: −����#� + ��#� � +⋯+ �� �# = −$$�# + $�# � +⋯+ $ �#
Tím se dostane rovnice, která má v neznámé y stupeň o jedna menší, než je větší ze stupňů
výchozích dvou rovnic. V dalším kroku se pro snížení stupně použije získaná rovnice a ta
z daných rovnic, která má nižší stupeň. Opakováním postupu lze dojít k rovnici, která už
neznámou y neobsahuje, je tedy rovnicí pouze o jedné neznámé, resp. o n – 1 neznámých.
Rovnice, ve které je neznámá y eliminována, udává podmínku na koeficienty výchozích
rovnic, při jejímž splnění může mít daná soustava řešení. Tato podmínka se později
nazývala rezultant.
Podobný postup aplikovaný ovšem na nejvyšší mocniny neznámé použil v druhé části
prvního dílu Obecné aritmetiky (Arithmetica univeralis) Isaac Newton (1643 – 1727).
Stejnou metodu publikoval ve druhém vydání Descartesovy Geometrie Johann Hudde
(cca 1640 – 1704) a v roce 1748 Euler v Introduction in analysin infinitorum.
69
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716) byl dalším z matematiků, kteří přispěli
k problematice eliminace. Jeho postup, který odpovídá Sylvesterem roku 1840 uveřejněné
tzv. dialytické metodě, nebyl publikován, zůstal v rukopisné podobě pod názvem
De tollendis incognitis. Uvažuje rovnice � + $ + *% + X3 + U;… = 0,� + + �% + 43 + 5;… = 0. Bez dalšího vysvětlení píše, že „stačí násobit x a bude“ 0 = � + $ + *% + X3 + U;+� + $% + *3 + X; + Uu +�% + $3 + *; + Xu + UF+�3 + $; + *u + XF + U�� + + �% + 43 + 5;+� + % + �3 + 4; + 5u +�% + 3 + �; + Xu + 5F+�3 + ; + �u + 4F + 5�
Dnes víme, že rezultant, tj. podmínka pro existenci společných kořenů daných rovnic
čtvrtého stupně je dána vztahem
�� � $0 � * X$ *0 00 0 � $0 �
U 0X U 0 00 0* X$ * U 0X U� 0 � � 4 �0 00 0 � 0 �5 04 5 0 00 0� 4 � 5 04 5�
� = 0.
Postup se snadno zobecní pro rovnice jiných stupňů.
Dle [Kno74] používal Leibniz ještě metodu eliminace neznámé násobením pomocným
polynomem 1 + + % + 3 +⋯. Tento postup je předchůdcem v roce 1764 publikované
metody v pojednání E. Bézouta Recherches sur le degré des équations résultantes
de l’évanouissement des inconnues. Další vývoj směřoval k rezultantům více než dvou
rovnic.
70
5.2. Užití polynomiálních rovnic na ZŠ a SŠ
Na závěr práce bych chtěla zmínit možnosti využití úloh vedoucích na soustavy
polynomiálních rovnic ve výuce na ZŠ a SŠ. Podle Rámcově vzdělávacího programu
pro základní vzdělávání nalezneme ve vzdělávací oblasti Matematika a její aplikace na 2.
stupni pouze lineární rovnice a soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých.
Rovnice druhého nebo dokonce vyššího stupně bychom mohli do výuky zařadit pouze
výjimečně jako rozšířené učivo pro nadané žáky. Žáci na SŠ podle RVP pro SŠ analyzují
a řeší problémy, v nichž se aplikuje řešení lineárních a kvadratických rovnic a jejich
soustav. Vybrané úlohy z této diplomové práce by bylo tedy možné využít k rozvoji
logického myšlení a procvičení soustav dvou rovnic o dvou neznámých, kde alespoň jedna
rovnice je rovnicí druhého řádu. Myslím si, že tyto úlohy nelze zařadit do základního
učiva. Se soustavami n rovnic vyšších řádů o n neznámých se můžeme setkat
na matematických středních školách nebo na gymnáziích či jako s rozšířeným učivem na
SŠ bez matematického zaměření. Řešení takovýchto úloh se plně věnuje až na vybraných
vysokých školách spíše technického směru.
71
Resumé
This thesis is devoted to problems solved in Europe from the 5th century
to the 16th century, which we could write today as a system of polynomial equations.
The methods of elimination of unknown quantities and their marking are described.
The thesis is divided into four parts in chronological sequence according to years when
works, which contain these problems, were created. There is general summary
of mediaeval mathematics in the first chapter. The second chapter deals with problems
which were solved by mathematicians from the first half of 13th century (e.g. Fibonacci,
Gerbert, Nemore). The remaining chapters are divided according to origin of authors
and include period from 14th to 16th century (e.g. Italy - Dardi, Tartaglia, Germany -
Regiomontanus, France - Chuquet).
72
Seznam použité literatury
[Bal60] Ball, W. W., The Mathematics of the Renaissance. In: A Short Account of the History of Mathematics. New York : Dober Publishions, 1960, s. 165 – 200. ISBN 0-486-20630-0.
[Beč01] Bečvář, J. Leonardo Pisánský – Fibonacci. In: Matematika ve středověké Evropě. Praha : Prometheus, 2001, s. 264–339. ISBN 80-7196-232-5. Dějiny matematiky, sv. 19. [Beč02] Bečvář, J., Algebra v 16 – 17 stol. In: Matematika v 16. a 17. století., Praha: Prometheus, 1999, s. 161 – 235. ISBN 80-7196-150-7. Dějiny matematiky, sv. 12. [Beč03] Bečvář, J., Gerbert z Aurillacu – Silvestr II. In: Matematika ve středověké Evropě. Praha : Prometheus, 2001, s. 184 - 229. ISBN 80-7196-232-5. [Bub99] Bubnov, N., Gerberti, postea Silvestri II, papae, Opera mathematica (972– 1003). Berolini : R. Friedländer & Son, 1899. Dostupné z: http://voluwww.archive.org/stream/abv8574.0001.001.umich.edu [Car45] Cardano, H., Ars magna. Norimberk, 1545. Dostupné z:
<http://www.filosofia.unimi.it/cardano/testi/operaomnia/vol_4_s_4.pdf> [Chuq81] Problèmes numériques faisant suite et servant d'application au Triparty en la
science des nombres. Bulletino di biblografia e storia delle scienze mathematiche e fisiche di Boncompagni, 1881, 14, s. 417 – 460.
[Cur02] Curtze, M., Urkunden zur Geschichte der Mathematik im Mittelalter und der Renaissance. Leipzig : B. G. Teubner, 1902. [Coo97] Cooke, R., The history of Mathematics: A Brief Course, Wiley–Interscience, New York, 1997. ISBN 0-471-18082-3. [Edw74] Edward, G., Algebraic Propositions from the Treatise On Given Numbers. In: A Source Book in Medieval Science, Cambridge : Harvard University Press, 1974, s. 111 – 114. [Ern05] Ernestová, M. Soustavy algebraických rovnic a jejich řešení ve starověku a
středověku : disertační práce. Praha : Univerzita Karlova, Fakulta
Matematicko-fyzikální, 2005.
73
[Fra10] Franci, R., The History of Algebra in Italy in the 14th and 15th Centuries. Some Remarks on Recent Historiography. Actes d’historia de la ciencia i de la tecnica. 2010, 3(2), 175 – 194. [Fra88] Franci, R., Antonio de´Mazzinghi: An Algebraist of the 14th Century, Historia
mathematica 15 (1988), ISSN 0315-0860. [God67] Godofredus, F., Anicii Manlii Torquati Severini Boetii De institutione arithmetica libri duo, De institutione musica libri quinque. Lipsiae : B. G. Teubner, 1867. [Høy98] Høyrup, J., Jacopo de Florentia, Tractatus algorismi (1307), the chapter on algebra. Filosofi og videnskabsteoripå Roskilde universitetscenter. 3. Række : Preprints og repritns 1998, Nr. 1. [Høy96] Høyrup, J., The Four Sides and the Area. Oblique Light on the Prehistory of Algebra. In: Vita mathematica. Historical Research and Integration with Teaching. Washington: Mathematical Association of America, 1996, s. 45 –65. Dostupné z:<http:// akira.ruc.dk/~jensh/Publications/4sides_manuscript.pdf > [Hee10] Heeffer, A., Algebraic partitioning problems from Luca Paccioli’s Perugia manuscript (Vat. Lat. 3129). In: Sources and Commentaries in Exact Sciences. (2010), 11, 3–52. Dostupné z: <http://logica.ugent.be/albrecht/thesis/Pacioli.pdf> [Hei12] Heiberg, J.L., Heronis Alexandrini opera quae supersunt omnia, vol. IV. Heronis definitiones cum variis collectionibus Heronis quae feruntur Geometrica, B. G. Teubneri, Lipsko, 1912. Dostupné z <http://gallica.bnf.fr/> [Juš78] Juškevič, A. P., Dějiny matematiky ve středověku, vyd. 1, Praha: Academia, 1978. [Kat01] Katscher, F., Die kubischen Gleichungen bei Nicolo Tartaglia. Die relevanten Textstellen aus seinen „Quesiti et inventioni diverse“ auf deutsch übersetzt und kommentiert. Wien : Verlag der Österreichischen Akademie der Wissenschaften, 2001. [Kat98] Katz, V. J., A History of Mathematics. Amsterdam : Addison Wesley Higher,
1998
[Kno74] Knobloch, E., Unbekannte Studien von Leibniz zur Eliminations- und Expli- kationstheorie, Archive for History of Exact Sciences, 1974, 12, s. 142 – 173.
[Rad95] Radford, L., Before the Ohter Unknowns Were Invented: Didactic Inquiries on the Methods ond Problems od Mediaeval Italian Algebra, For the Learning of Mathematics 15 (1995), ISSN 0228-0671.
Dostupné z <http://www.luisradford.ca/pub/109_FLM95final_version.pdf >.
74
[RVP1] Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání. [online]. Praha: Výzkumný ústav pedagogický v Praze, 2007. 126 s. [cit. 28. 3. 2013].Dostupné z: <http://www.vuppraha.cz/wpcontent/uploads/2009/12/RVPZV_2007-07.pdf>
[RVP2] Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání. [online]. Praha:
Výzkumný ústav pedagogický v Praze, 2007. [cit. 28. 3. 2013]. Dostupné z: <http://www.vuppraha.cz/wp-content/uploads/2009/12/RVPG-
2007-07_final.pdf > [Sig02] Sigler, L. E. Fibonacci's Liber Abaci: A Translation into Modern English of
Leonardo Pisano's Book of Calculation. New York : Springer, 2002. 636 s. Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences. ISBN 978-0-387-40737-1
[Vyš62] Vyšín, J.,Metodika řešení matematických úlohy. vyd.1., Matematická
knižnice, sv. 1. Státní pedagogické nakladatelství, Praha 1962; [Wae85] Waerden, B., A History of Algebra. Berlin : Springer Verlag, 1985.
[wwwIt] Algebra ed equazioni algebriche nel Rinascimento [online]. [cit. 31. 7. 2002]
Dostupné z: <http://webscuola.tin.it/risorse/divinaprop/opera/algebra.shtml> [wwwMac] The History of Mathematics archive [online], [cit. 3. 1. 2013]., Dostupné z :<http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/> [wwwHee] Heeffer, A., Sources in the history of algebra: arithmetical and recreational
problems [online]. 2004. [cit. 17. 2. 2013]. Dostupné z: <http://logica.ugent.be/albrecht/problems.php?code=ATF>
[wwwHM] John J. O’Conor, Edmund F. Robertson. The MacTutor History of Mathematics archive [on line]. St Andrews : Mathematical Institute. Poslední změna červenec 2012 [cit. 7. 2. 2013 ] Dostupné z : <http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/>
[wiki] The Free Encyclopedia, [online],[cit. 3.1. 2013]., Dostupné z :<http://en.wikipedia.org/wiki/Boethius>
75
Seznam tabulek
Tabulka 1 - Označení přirozených mocnin neznámé dle Fibonacciho ................................ 18 Tabulka 2 - Tabulka př. 2. 2. 4. ........................................................................................... 28
Tabulka 3 - Označení přirozených mocnin neznámé dle italských autorů .......................... 39
Tabulka 4 - Označení přirozených mocnin neznámé dle Chuqueta .................................... 59 Tabulka 5 - Zápis mocnin neznámé dle Chuqueta .............................................................. 59
76
Seznam obrázků
Obrázek 1, převzato z [GOd67], str. 408 ............................................................................. 11
Obrázek 2, převzato z [Bub99], Tab. III.............................................................................. 13
Obrázek 3 - Grafické znázornění př. 2. 1. 4. ....................................................................... 15
Obrázek 4 - Grafické znázornění př. 2. 1. 5. ....................................................................... 16
Obrázek 5 - Grafické znázornění př. 2. 2. 1. ....................................................................... 21
Obrázek 6 - Grafické znázornění př. 2. 2. 2. ....................................................................... 23
Obrázek 7 - Grafické znázornění př. 2. 2. 3. ....................................................................... 25
Obrázek 8 - Grafické znázornění př. 2. 2. 7. ....................................................................... 32
Obrázek 9 - Grafické znázornění př. 2. 2. 7. ....................................................................... 33
Obrázek 10 - Grafické znázornění př. 2. 2. 8. ..................................................................... 33
Obrázek 11- Grafické znázornění př. 3. 2. 4. ...................................................................... 54
(Obrázek 12, převzato z [Chuq81], str. 444.) ...................................................................... 60
Obrázek 13 - Grafické znázornění př. 4. 0. 3. ..................................................................... 62
Obrázek 14 - Grafické znázornění př. 4. 0. 4. ..................................................................... 64
