MATEMATICKÉ, FYZIKÁLNÍ A CHEMICKÉ...

MATEMATICKÉ,FYZIKÁLNÍ A CHEMICKÉ TABULKY

pro střední školy

SPN

1I A

P E R I O D I C K Á S O U S T A V A P R V K Ů

1 1,0079 Vodík

H 2,20

ls1

3 6,941 + Lithium

L i 0,97

2s1

11 22,990 Sodík

N a 1,01

2II A

4 9,0122 Beryllium

B e 1,47

2sa

12 24,305 Hořčík

1,23

Protonové číslo

Název prvku

Značka

— 8 15,999 —

— Kyslík

— 0 3,50 —

2s22p41

Relativní atomová hmotnost (interval spolehlivosti ± 1 a menSÍ na posledním desetinném mlstč nebo ± 3 , je-li uvedeno označení + ) j v závorce je uvedena hodnota Ar nej stálejšího izotopu.

Elektronegativita podle Allreda a Rochowa.

Konfigurace elektronů, které má atom prvku navíc proti atomu nejbližšlho předchozího vzácného plynu. U vodíku a helia je uvedena úplná elektronová, konfigurace.

3s1 3sJ3

III B4

IV B.•»

V B«

VI B7

VII BH

VIII9

VIII

19 39,098 20 40,08 21 44,956 22 47,88 + 23 50,942 24 51,996 25 54,938 26 55,847 + 27 58,933Draslík Vápník Skandium Titan Vanad Chrom Mangan Železo KobaltK 0,91 C a 1,04 S c 1,20 T i 132 V 1,45 C r 1,56 M n 1,60 F e 1,64 C o 1,704s1 4s2 S d ^ 2 3d24s2 3d84s2 SďHs1 3d64s2 3d‘4s2 3d74s2

37 85,468 38 87,62 39 88,906 40 91,22 41 92,906 42 95,94 43 (97,907) 44 101,07 + 45 102,91Rubidium Stroncium Yttrium Zirkonium Niob Molybden Technecium Ruthénium Rhodium

R b 0,89 S r 0,99 Y 1,11 Z r 1,22 N b 1,23 M o 1,30 T c 1^6 R u 1,42 R h 1,455s1 5s2 4d*5s2 4d25s2 4d45sJ 4d*5s1 4d*5s* 4d75s» 4d95s1

55 132,91 56 137,33 57 138,91 72 178,49 + 73 180,95 74 183,85 + 75 186,21 76 190,2 77 192,22 +Cesium Baryum Lanthan Hafnium Tantal Wolfram Rhenium Osmium Iridium

C s 0,86 Ba 0,97 La 1,08 H f 1,23 Ta 1,33 W 1,40 R e 1,46 O s 1,52 I r 1,55

6s1 6s2 5d!6s2 4 fl45d26s2 4f145d36s* 4f145d46ss 4f145d86s2 4fl45d, 6s* 4f145d76s2

87 (223,02) 8i! (226,03) 89 (227,03) 104 (261) 105 (262) 106 (263)Francium Radium Aktinium Unnilquadium Unnilpentium Unnilhexium

F r 0,86 R a 0,97 A c 1,00 U n q U n p U n h

7s» 7s> 6dl7s2 5fl46d27s2 5fH 6ď W 5f146d47s2

58 140,12 59 140,91 60 144,24 + 61 (144,91) 62 150,36 + 63 151,96| Cer Praseodym Neodym Promethium Samarium Europium

L an thano idyC e 1,06 P r 1,07 N d 1,07 Pm 1,07 S m 1,07 E u 1,014f25d°6sa 4 fa5d°6s2 4f45d»6s2 4 f85d°6s2 . 4f«5d»6s2 4 f75d°6s2

90 232,04 91 (231,04) 92 238,03 93 (237,05) 94 (244,06) 95 (243,06)

A ktinoidyThorium Protaktinium Uran Neptunium Plutonium AmericiumTh 1,11 Pa 1,14 U 1,22 N p 1,22 Pu 1,22 Am 1,25f°6d27s2 S f ^ d W 5f36d17s2 5f46di7s* 5f*6d°7s2 5f76d°7sa

18O

13 III A

14 IV A

15 V A

16 VI A

17 VII A

2 4,0026 Helium

H e

ls 2

5 10,81 6 12,011 7 14,007 8 15,999 9 18,998 10 20,179Bor Uhlík Dusík Kyslík Fluor Neon

B 2,01 C 2,50 N 3,07 O 3,50 F 4,10 N e

2s22p1 2s32pa 2sa2p3 2s*2p4 2s22p5 2s22p«

13 26,982 14 28,086 15 30,974 16 32,06 17 35,453 18 39,948Hliník Křemík Fosfor Síra Chlor Argon

10 11 12 A I 1,47 S i 1,74 P 2,06 S 2,44 C l 2,83 A

VIII I B II B 3sa3p1 3s23p2 3s33p8 3s23p4 3s23p6 3s23pe

28 58,69 29 63,546 + 30 65,38 31 69,72 32 72^9 + 33 74,922 34 78,96 + 35 79,904 36 83,80Nikl Méd Zinek Gallium Germanium Arsen Selen Brom Krypton

N i 1,75 Cu 1,75 Z n 1,66 G a 1,82 G e 2,02 A s 2,20 S e 2,48 B r 2,74 Kr3d84s2 3di<>4s1 3d104s2 3d104s24p1 3d104s24p2 3d104s24p3 3d104sa4p4 3d104s24ps 3d104s24p®

46 106,42 47 107,87 48 112,41 49 114,82 50 118,69 51 121,75 + 52 127,60 + 53 126,90 54 131,29 +Palladium Stříbro Kadmium Indium Cín Antimon Tellur Jod Xenon

Pd 1,35 A g 1,42 Cd 1,46 In 1,49 S n 1,72 Sb 1,82 T e 2,01 I 2,21 Xe4d105s° 4d105s1 4d105sa 4d105s25pl 4d105s25p2 4d105s25p3 4d105s25p4 4d105s25ps 4d105s25p‘

78 195,08 + 79 196,97 80 200,59 + 81 204,38 82 207.2 83 208,98 84 (208,98) 85 (209,99) 86 (222,02)Platina Zlato Rtuť Thallium Olovo Bismut Polonium Astat Radon

P t 1,44 Au 1,42 H g 1,44 T I 1,44 P b 1,55 B i 1,67 Po 1,76 A t 1,96 R n

4f145d96s1 4f145d106sl 4 f145d106s2 4 f145d106s26p1 4f145d106s26p2 4f145d106s26p3 4f145d106s26p< 4fl45d106s26p5 4f145d106s26p®

64 157,25 +

Gadolinium Gd l,ii 4f75dl6s2

65 158,93 Terbium

Tb 1,10

4f*5d°6s2

66 162,50 +

Dysprosium

Dy 1,10

4 f105d°6ss

67 164,93 Holmium

Ho 1,10

4 fl l5d°682

68 167,26 + Erbium

E r 1,11

4f135d°6s2

69 168,93 Thulium

Tm 1,11

4f135d°6s2

70 173,04 + Ytterbium

Yb 1,06

4f145d°6s2

71 174,97 Lutecium

Lu 1,14

4f145d16s2

96 (247,07) Curium

Cm5f76d17s2

97 (247,07) Berkelium

B k

5f"6d07s2

98 (251,08) Kalifornium

Cf5f106d°7s2

'

99 (252,08) Einsteinium

EsSfH ód^s2

100 (257,10) FermiumFm5f126d°7s2

101 (258,10) Mendelevium

Md5f136d°7s2

102 (259,10) Nobelium

No5f146d°7s2

103 (260,11) Lawrencium

Lr5f»46d‘7s2

S T Á T N Í

P E D A G O G I C K É

N A K L A D A T E L S T V Í

P R A H A

MATEMATICKÉ, FYZIKÁLNÍ A CHEMICKÉ TABULKYpro střední školy

S T Á T N Í P E D A G O G I C K É N A K L A D A T E L S T V Í P R A H A

Zpracovali RNDr. Jiři Mikulčák, CSc. (matematickou část),doc. RNDr. Ing. Bohdan Klimeš, CSc., RNDr. Jaromír Široký, CSc., RNDr. Václav Sůla, RNDr. František Zemánek (fyzikální a chemickou část)

Lektorovali RNDr. Vladimír Roskovec, CSc., doc. RNDr. Josef Pacák, CSc.,JUDr. Jaroslav Barták

D otisk 1. vydáníSchválilo ministerstvo školství ČSR dne 1. června 1987 č. j. 15 084/87-210 jako pomocnou knihu pro studijní obory středních škol.

© Jiří Mikulčák za kolektiv, 1988

O B S A H

P ře d m lu v a ............................................................................................ 9

M A T E M A T I C K É T A B U L K Y

1 M atematické z n a č k y .........................................................................131.1 Užití typů latinské abecedy ......................................................... 13

1.2 Řecká abeceda................................................................................ 131.3 Logika, množiny.............................................................................141.4 Aritmetika a a lgebra .....................................................................151.5 G eom etrie .................................................................................... 18

2 Přehled nejdůležitějších vzorců a vztahů školské m atematiky . 202.1 Úvod do matematické logiky a teorie m n o ž in ...........................20

2.2 Aritmetika a a lgeb ra .....................................................................211 Vlastnosti rovnosti č í s e l ......................................................... 212 Vlastnosti operací sčítání a násobení...................................... 223 Komplexní č í s l a ..................................................................... 224 Reálná č í s l a .............................................................................235 Mocniny a rozklad mnohočlenů..............................................266 Rovnice s jednou neznám ou..................................................277 Posloupnosti.............................................................................288 Kombinatorika.........................................................................309 Statistika a pravděpodobnost..................................................30

10 Goniometrické funkce............................................................. 322.3 Planimetrie a trigonometrie......................................................... 342.4 S tereom etrie................................................................................ 382.5 Vektorová a lgeb ra .........................................................................402.6 Analytická geometrie.....................................................................41

1 Lineární útvary v rovině a v p ro s to ru ...................................412 Kvadratické útvary v rovině a v prostoru...............................44

2.7 Diferenciální a integrální p o č e t ..................................................471 Derivace f u n k c e ..................................................................... 472 Primitivní funkce..................................................................... 483 Určitý in tegrál.........................................................................49

3 O tabulkách fu n k c í.............................................................................503.1 Tabelování hodnot funkce............................................................. 503.2 Lineární interpolace fu n k c í ......................................................... 513.3 Vyhledání hodnoty prom ěnné..................................................... 523.4 Aproximace čísel a výpočty s n im i ..............................................523.5 Grafy funkcí a jejich už ití............................................................. 54

3.6 Úprava ta b u le k .............................................................................54

4 Různá č í s l a ........................................................................................554.1 Rozklad čísel v součin p rvočísel..................................................574.2 Hodnoty a logaritmy hodnot některých konstan t....................... 614.3 F a k to riá ly .................................................................................... 614.4 Binomičtí součinitelé.....................................................................624.5 Mocniny čísla 2 ............................................................................ 62

5

4.6 Pravidelné m nohoúhelníky..........................................................634.7 Formáty p a p íru ............................................................................. 63

5 Funkce x2, x? .........................................................................................645.1 Druhá mocnina a odm ocnina......................................................665.2 Třetí mocnina a odmocnina..........................................................68

6 Převody jednotek velikostí ú h l ů ......................................................716.1 Převod stupňů na radiány..............................................................746.2 Převod stupňů na g r a d y ..............................................................756.3 Převod stupňů na d ílce ................................................................. 766.4 Převod minut a vteřin na desetinné zlomky s tu p n ě ................... 76

7 Goniometrické funkce.........................................................................777.1 sin a, cos a .................................................................................... 80

7.2 tg a, cotg a .................................................................................... 827.3 sin x ( i v radiánech)..................................................................... 867.4 cos x (x v radiánech)..................................................................... 877.5 tg x (xv rad iánech)..................................................................... 887.6 cotg x (jí v radiánech)................................................................. 88

8 Funkce e®, crx .....................................................................................90

9 L o g a r itm y ............................................................................................ 929.1 Přirozené logaritmy č í s e l ..............................................................94

9.2 Logaritmy dekadické..................................................................... 95

I

F Y Z I K Á L N Í A C H E M I C K É T A B U L K Y

Ú v o d ............................................................................................................101Některé státní normy (ČSN) důležité pro fyziku a chem ii....................... 1021 Základní jednotky.................................................................................1032 Zákonné měřicí jednotky..................................................................... 1043 Definice některých jednotek .............................................. ... 1044 Přehled veličin, značek a hlavních jedno tek ...................................... 1065 Násobky a díly jed n o tek ..................................................................... 1096 Vedlejší jed n o tk y .................................................................................1107 Jiné jednotky........................................................................................ 1108 Mezinárodní praktická teplotní stupnice (1968)...................................1129 Řady vyvolených č ís e l .........................................................................113

10 Acidobazické neutralizační indikátory.................................... . . . 1 1 411 Disociační konstanty kyselin a zásad ve vodných roztocích při 25 °C . 11512 Součiny rozpustnosti látek při teplotě 25 °C ve vodných roztocích . . 11713 Prvky a jejich v la s tn o s ti..................................................................... 11814 Obsazení elektronových podslupek v a tom ech...................................12115 Stabilní nuklidy a jejich v ý s k y t ..........................................................12416 Nejdůležitější elementární č á s t ic e ......................................................12717 Hmotnostní schodky jader některých p rv k ů ...................................... 12818 Radioaktivní přeměnové ř a d y ............................................................. 12919 Hustota, součinitel teplotní délkové roztažnosti a měrná tepelná ka

pacita některých prvků při teplotě 20 ° C .......................................... 131

6

20 Vlastnosti důležitých anorganických sloučenin...................................13221 Vlastnosti důležitých organických sloučenin...................................... 13422 Hustoty pevných lá te k .........................................................................13823 Mechanické vlastnosti pevných lá te k ..................................................13924 Tvrdost některých l á t e k .....................................................................14025 Tepelná vodivost některých pevných l á t e k ...................................... 14126 Složení některých s l i t i n .....................................................................14127 Rozpustnost pevných látek ve v o d ě ..................................................14228 Měrné spalné teplo a výhřevnost p a l iv .............................................. 14329 Termochemické ú d a je .........................................................................14430 Délky, úhly a disociační entalpie vazeb v některých jednoduchých

molekulách............................................................................................14731 Hustota, dynamická viskozita, tepelná vodivost, objemová roztažnost

a povrchové napětí kapalin při 20 °C .................................................. 14932 Závislost tlaku a hustoty sytých vodních par na tep lo tě ................... 15033 Závislost teploty varu vody na t l a k u ..................................................15134 Tepelné konstanty kapalin ................................................................. 15235 Molární hmotnosti, normální hustoty a měrné plynové konstanty

p ly n ů ................................................................................................... 15336 Tepelné konstanty p ly n ů .....................................................................15437 Rozpustnost plynů ve vodě za normálního t la k u ...............................15538 Střední volná dráha molekul a jiné konstanty p l y n ů .......................15539 Střední kvadratická rychlost pohybu molekul p l y n ů ....................... 15640 V z d u c h ................................................................................................15741 Rychlost šíření zvuku v různých lá tk á c h .......................................... 15942 Přehled hladin akustického tlaku......................................................... 16043 Temperované ladění............................................................................ 16044 Součinitelé smykového t ř e n í ............................................................. 16145 Ramena valivého odporu .....................................................................16146 Měrný elektrický odpor v o d ič ů ......................................................... 16247 Elektrické vlastnosti izo lan tů ............................................................. 16348 Termoelektromotorická napětí ......................................................... 16449 Polovodivé prvky a lá tk y .....................................................................16550 Elektrochemické ekvivalenty.................................................................16551 Standardní elektrodové potenciály při 25 °C vztahující se ke stan

dardní vodíkové e le k tro d ě .................................................................16652 Měrný elektrický odpor vodných roztoků při 18 ° C ....................... 16753 Závislost magnetické indukce a poměrné permeability na intenzitě

magnetického pole................................................................................ 16754 Magnetické permeability neferomagnetických lá tek ...........................16855 Přehled televizních pásem.....................................................................16856 Přehled elektromagnetického z á ř e n í ..................................................16957 Doporučená o svě tlen í.........................................................................17058 Vlnové délky některých intenzivních čar ve spektrech....................... 17159 Index lomu různých l á t e k ................................................................. 17260 Ionizační práce volných a to m ů ................... ^ ..................................17361 Výstupní práce elektronů z kovů; mezní vlnové aélky fotoelektrického

je v u ....................................................................................................... 17462 Závislost hmotnosti částice, hmotnosti a energie elektronu na rychlosti 17563 Energie a hmotnosti fo tonů ................................................................. 17664 Slunce, Země, Měsíc.............................................................................17765 Elementy trajektorií p la n e t ................................................................. 17866 Fyzikální charakteristiky p la n e t ..........................................................17867 Měsíce planet........................................................................................ 179

7

68697071727374757677787980

8

Údaje o některých významných planetkách...................................... 180Některé komety a meteorické r o j e ......................................................181Paralaxy a vzdálenosti blízkých hvězd..................................................181Spektrální klasifikace hvězd................................................................. 182Základní fyzikální charakteristiky h v ě z d .......................................... 182Galaxie (galaktická soustava)............................................................. 183Místní skupina galax ií.........................................................................183V e s m ír ................................................................................................184Některé důležité astronomické konstanty .......................................... 184Přehled důležitých fyzikálních konstant..............................................185Přehled důležitých fyzikálních vzorců .............................................. 186Přehled vzorců pro chemické výpočty..................................................197Značky pro elektrotechnická schém ata .............................................. 200Rejstřík .............................................................................................. 203

P Ř E D M L U V A

V technické praxi i ve všech védních oborech se při řešení problémů často vyskytují různé konstanty, údaje, hodnoty určitých funkcí apod. Není možné a ani nutné si všechny potřebné hodnoty pamatovat. Na pomoc řešitelům se takové hodnoty zpracovávají do tabulek, aby se uspíšilo řešení daného problému. I na středních školách se řeší řada úloh z matematiky, fyziky, z astronomie, z chemie i z jiných vědních oborů, jejichž řešení usnadňují předkládané tabulky.

Tabulky obsahují přehled nejdůležitějších matematických značek, se kterými se mohou studující setkat při studiu učebnic a doplňkové literatury. U každé značky je uvedeno její čtení a její význam je doložen vhodným příkladem.

Důležitou pomůckou studentů se dále stane přehled vzorců středoškolské matematiky. Radu vzorců si studující osvojí jejich častým užíváním; nahlédnutím do vzorců se mohou přesvědčit o správnosti zapamatování vzorce. Na druhé straně není třeba učit se zpaměti vzorcům, kterých se užije dvakrát nebo třikrát za studia. V takovém případě stačí vědět, kde se vzorce naleznou a umět jich správně použít. U vzorců je uvedeno i vysvětlení užitých symbolů, často však jen pomocí obrázku.

Před vlastními tabulkami jsou vysvětleny základní principy sestavování tabulek funkcí a jejich užívání. Prostudování těchto vysvětlivek usnadňuje uvědomělé užívání tabulek a porozumění stručnějším vysvětlivkám před jednotlivými tabulkami.

V první části matematických tabulek jsou uvedeny čtyřmístné hodnoty funkcí. Těchto tabulek se užívá při přímých výpočtech pomocí algoritmů písemného sčítání, odčítání, násobení a dělení a při výpočtech pomocí strojů. Protože většina údajů v úlohách z praxe má tři platné číslice, jsou čtyřmístné tabulky dostatečně přesné k výpočtu výsledků těchto úloh.

Tabulky logaritmů ve druhé části tabulek urychlují výpočty hodnot výrazů s násobením, dělením, umocňováním a odmocňováním, není-li po ruce počítačka.

Fyzikální a chemické tabulky nejsou navzájem odděleny, protože se v mnoha případech překrývají a doplňují. Členění tabulek do menších oddílů je dáno jejich obsahem.

K snazšímu hledání v tabulkách jsou na okrajích stránek postupně pod sebou otištěny výhmatky se stručným označením tabelované funkce nebo skupiny tabulek.

Přejeme všem uživatelům tabulek, aby je během studia poznali jako užitečnou a nepostradatelnou pomůcku, usnadňující řešení úloh nejen v matematice, ve fyzice, v chemii, ale i v dalších oborech, a to jak ve škole, tak i v praktické činnosti.

Autoři

9

Značky

m3

Míryúhlů

sin x tg x

ex

log x

/

1 M A T E M A T I C K É Z N A Č K Y

Nejdůležitější značky užívané v matematice jsou normovány normou ČSN 01 1001 Matematické značky. Terminologie, jíž se užívá zejména ve školním vyučování, je předepsána příručkou „Názvy a značky školské matematiky“. Tyto značky a termíny jsou uvedeny na prvním místě. Značky a starší termíny uvedené v tomto přehledu v závorce poněkud přesahují rámec učiva střední školy; přehled obsahuje i značky užívané v odborné literatuře a v populárně vědeckých časopisech, jsou uvedeny i značky obvyklé v zahraniční literatuře.V závorce za výkladem značky je stránka tabulek, na níž je další poučení o příslušném pojmu.

1.1 U žití typů latinské abecedy

A, a, B, b, C, c , ...

A,a, B, b, C, c, ...

A, o, B, fa, C, c, ... A,B,C,T, R, S, 0, H, ...

(stojaté písmo) jsou symboly pro konstanty, např. značky jednotek (m, g, kg ,...) a definované funkce (sin, cos, tg, log,...)(kurzíva, šikmé písmo) jsou symboly pro proměnné, body a přímky, výroky, prvky množin, funkce(gill polotučný kurzíva) jsou symboly pro vektory, orientované úsečky, matice(stojatý gill) jsou symboly pro množiny(kurzíva gill) jsou symboly pro geometrická zobrazení

1.2 Řecká abeceda

Křížkem označená písmena se neužívají, aby se nezaměňovala s písmeny latinské abecedy.

PísmoNázev

Číslo PísmoNázev Číslo

stojaté kurzíva stojaté kurzíva

+A a +A a alfa 1 +N v +ÍV v ný 50+B ß +B ß béta 2 S E 1 ksí 60r Y r y gamma 3 +o +o + 0 +0 omikron 70A 8 A ô delta 4 n Tt n 71 Pí 80

+E £ +E e epsilon 5 +p ? +p Q ró 100+Z Ç +Z n (d)zéta 7 2 a z a sigma 200+H r\ +H v éta 8 +T X +T X tau 3000 & 0 9 théta 9 +Y +0 + Y +v ypsilon 400+1 i +/ i (i)ióta 10 O 9 0 <p fí 500

+K X +K X kappa 20 +x X +-X X chí 600A X A l lambda 30 r + ip psí 700

+M V- +M mý 40 0 O) Q U) ómega 800

Chybějící čísla 6, 90, 900 se zapisovala zastaralými písmeny; od 1 do 999 se číslice označovaly písmeny s čárkou nahoře: a ' = 1; pro tisíce se užívala stejná písmena, ale s čárkou dole před písmenem: ,a = 1 000.

Na lince mají malá písmena normalizované řecké abecedy tuto polohu:

Značky

aß jtço r(p ipu

13

1.3 Logika, m nožiny

Značka Název nebo čtení Příklady, vysvětlivky, doplňky

p, q, A, B

~l P ÍP\ h

Np)p a q(p&q>p .q , Kpq)

p v q(P + q, Apq)

p=> q (p-+ q> p => q)

p o q

q>P = q> p ~ q >Epq)

(p y q)

Vx(£;(*))

3x(V; S.s (E*))

3!

výroky

negace výroku p non p

konjunkce p a zároveň i q P et q;

disjunkce p nebo q; p vel q(u některých autorů alternativa)implikace p implikuje q; z p plyne q',jestliže platí p, pak platí i q ekvivalence;p platí tehdy a jen tehdy, když platí q\ p platí právě tehdy, když platí qúplná disjunkce

kvantifikátor obecný, univerzální; pravšechna x platí...

kvantifikátor existenční; pro některá x; existuje aspoň jedno x, pro které platí...kvantifikátor existenční s jednoznačností; existuje právě jeden

p: Trojúhelník ABC je pravoúhlý.

~]p: Trojúhelník ABC není pravoúhlý.Není pravda, že ¿\ABC je pravoúhlý.

p: x < 1; q: x ^ 0 p a q: Pro číslo * platí:x < 1 a zároveň (současně, přitom) i x Sí 0; je tedy 0 £ x < 1.p: A ABC je pravoúhlý; q: A ABC je rovnoramenný;p v q: A ABC je pravoúhlý nebo rovnoramenný; to znamená: A ABC je jen pravoúhlý nebo jen rovnoramenný nebo pravoúhlý i rovnoramenný současně.Je-li číslo dělitelné devíti, pak je dělitelné i třemi. p předpoklad, q tvrzení p je postačující podmínkou pro q; q je nutnou podmínkou pro p.Číslo je dělitelné šesti, právě když je zároveň dělitelné dvěipa i třemi.p je nutnou i postačující podmínkou pro q (a obráceně).

Platí jen p nebo jen q, ale neplatí p i q současně (str. 20).

V x > 0 ; x + — ^>2 čteme:* 1Pro všechna x > 0 platí x -\-----> 2.

xV a e R, V b e R; (a + b) (a — b) = a2 — b2.

3x > 0; x + — = 2 čteme: Existuje aspoň jedno x > 0,x 1 pro které platí x -|---- = 2.

X

3! x; x + 2 = 5 čteme:Existuje právě jedno x takové, že x + 2 = 5.


A = {a, b, c} zápis množiny dané výčtem prvků

A = {a, b, c} je zápis množiny, která obsahuje prvky a, b, c a žádné jiné.

{xeR; V(x)} množina všech reálných čísel, která vyhovují V(x)

{xeR ; x2 — 4 = 0} = {2, —2}

e je prvkem; je elementem

2 e {2, 3, - 4 , 8}

i(i)

není prvkem; není elementem

- 3 ¿{2, 3 , - 4 , 8}

0 prázdná množina {x e R; x + 1 = x} = 0c inkluze;

je částí; je podmnožinouM c N: množina M je podmnožinou množiny N. {2, 4} <= {1, 2, 4}

U sjednocení M U N: sjednocení množiny M a množiny N. {2, 3} U {1, 3} = {1, 2, 3}

n průnik M n N: průnik množiny M s množinou N.{2, 3, 4} n {1, 2, 3} = {2, 3}

M -N rozdíl M a N M = {1,2,3,4}, N = {1, 3, 5} M - N = {2, 4}

A symetrický rozdíl množin A = {2, 3, 4}, B = {1, 2, 3},A A B = (A — B) U (B — A) = {1, 4}

U Aií-isjednocení systému množin Ai, A2, ..., A„

(JA< = Ax U A2 U ... U A„ ¿-i

HA,í-1

průnik systému množin Ai, A2, ..., An

('I Ai — Ai n A2 n ... n An •-i

A b doplněk množiny A v množině B

Je-li A c B , pak Ag = B — A.

1A | počet prvků množiny A A = {a, b, c}, | A | = 3A x B kartézský součin

množin A a Bmnožina všech uspořádaných dvojic [x,y] takových, že x e A a zároveň y e B

1.4 A ritm e tik a a a lgebra

množina všechN - přirozených čísel No = N U {0} = ZjfZ - celých čísel Zó = {x e Z ; í g O }Q - racionálních čísel Qjf = {x eQ ; x 2: 0}R - reálných čísel R~ = {x e R; x < 0}C - komplexních čísel (viz str. 22)

rovnítko; 3 .5 = 15rovná se; je rovno

Značky

15


Značky

<>

O

t ]

{} < > < > Oo

0,20,6430,328

3.145.6E + 04

není rovno; nerovná se; je různé odkongruenceje po zaokrouhlení rovnoje přibližně rovnoodpovídáje menší nežje větší nežje menší nebo rovno je nejvýše rovnoje větší nebo rovno je nejméně rovnoje mnohem (řádově) menší nežje mnohem (řádově) větší nežzávorky- okrouhlé

- hranaté

- složené- úhlové uzavřený interval otevřený interval polouzavřený interval zleva neomezený zprava neomezený periodická čísla0 celá, dvě periodické0 celá, 643 periodických0 celá, 3 desetiny,28 periodickýchv počítačích a počítačkách v počítačích a počítačkách zápis čísla v semilogarit- mickém tvaru

3 # 5

a = b (mod tri) a je kongruentní s b podle modulu m 637 = 6404 400 « 5 0001 cm ^ 1 km (např. na mapě)- 3 < 5x > 012 ^ 12, x ^ 100

1000

2 < 2 0 0

5 000 > 5 0 0

označení pořadí početních výkonů 5 . [ 3 a - (2a — b)](a»)“_i posloupnost členů a„ nebo (a«; n = 1, 2,...),

( n \°° 1 2 3~ n + í)n ,ie P°slouPnost i } , j ,

[3, 2] souřadnice bodu; uspořádaná dvojice, např. komplexní číslo{2, 3} množina, která má prvky 2 a 3

{a, by ... a ^ x ^ b (a, b) ... a < x < b<a, b) ... a x < b, zleva uzavřený, zprava otevřený (— oo, b) ... x < b <a, + oo)... x ^ a

0,2 = 0,222 2...0,643 = 0,643 643 ... 0,328 = 0,328 28...

čísla ryze periodická

číslo neryze periodické,3 předperioda

desetinná tečka místo desetinné čárky; 3.14 = 3,145.6 E + 04 = 5,6 . 104 = 56 0005.6 E - 02 = 5,6 . 10-2 = 0,056

16


+

X,

* *t

- > /

b | a b X a D(a, b, c)

«(a, b, c)

%

°L

ppm

an

r . v

n nr . v

(!)

absolutní (prostá) hodnota a plus

minus

krát; násobeno

krát, násobeno (v počítačích) umocněno (v počítačích)

dělenoku

děleno(v počítačích, počítačkách)

lomeno

b dělí a b nedělí anejvětší společný dělitel čísel a, b, cnejmenší společný násobek čísel a, b, c

značka procent

značka promile

«-tá mocnina čísla a; a umocněno na «-touodmocní tko; druhá odmocnina

n-tá odmocninabinomický koeficient (kombinační číslo) n nad k

| - 3 | - 3 j | i | = l (str.23)

znak sčítání: 3 + 2znak určitých kladných čísel: + 7 > 0znak odčítání: 2a — aznak určitých záporných čísel: —4 < 0znak opačného čísla:—a je číslo opačné k Sslu aznak násobení: a . b = a X b m . n skalární součin vektorů (str. 40) m x n vektorový součin vektorů (str. 41)2 * A = 2aA * * 2 = a2 A f 2 = a2znak dělení: a: b, b # 0 v poměrech a úměrách: a: b = c : dA -í-B = a : i 12 -j- 4 = 3

3zlomková čára: — v písmu, 3/5 v tisku;

v programovacích jazycích je ,,/eí znak pro dělení 5 | 15 5 je i2£>(18,24) = 6

«(18,24) = 72

3 % z j je

3 % o z / ' j e

100 100

1000

3 ppm z j je 1 000 000a3 = a .a .a (str.24)

v písmu: v tisku:

/4 = 2t(a + b )* = \a + b\

npro a ^ 0, b ^ 0 je ]/a = b o bn = a

© - O - o - 10«"-30»

Značky

17

ZnačkyZnačka Název nebo čtení Příklady, vysvětlivky, doplňky

ni

2 «1 ■-i

nn m

■•-in - y 0

n - y oo

n faktoriál

součet (suma) všech at, kde í jsou přirozená čísla od 1 do n

41 = 1. 2 . 3 . 4 = 24

2 (H — a\ + 02 + «3 + «4 + as i - 1

součin všech <n, kde i 1.jsou přirozená čísla od 1 do n ~~ a i ' °2 * az

n blížící se nule v limitách (str. 47)

n rostoucí nade všechny v limitách (str. 29) meze

1.5 G eom etrie

«-» AB přímka ABh> AB polopřímka AB

<-> ABC rovina ABCi—► pM polorovina pMi—► ABC polorovina ABCi-» qX poloprostor qX»-* ABCX poloprostor ABCXKL • úsečka KL| KL | délka úsečky KL

| Ap | vzdálenost bodu Aod přímky p

| pq | vzdálenost dvourovnoběžek p a q

| a/S | vzdálenost rovnoběžnýchrovin a, fi

<£ A VB konvexní úhel A VB0 : A VB nekonvexní úhel A VB

\<£AVB | velikost $ A VB| Pq | odchylka přímek/), qi •<£ pQ | odchylka přímky p

od roviny q| <£ a/3 | odchylka rovin a, /S

p = ABA počáteční bod polopřímky,B vnitřní bod polopřímkya = «-► ABCp hraniční přímka, M vnitřní bod poloroviny *-* AB hraniční přímka, C vnitřní bod poloroviny q hraniční rovina, X vnitřní bod poloprostoru <-* ABC hraniční rovina, X vnitřní bod poloprostoru K, L krajní body úsečky| KL | = 5 cm; | KL \ — 5 znamená, že úsečka KL má délku 5 jednotek, např. v analytické geometrii, kde jednotka délky je dána na osách souřadnic

<$AVB = VAB fl i-» VBAA VB je sjednocení polorovin opačných k polorovinám

A VB a BVA

VP, q; 0° ^ | Š p q |Ž 9 0 °0° g | < PQ | š 90°

0° ^ | <í a/? | ^ 90°

18


_•

je rovno A = B bod A je roven bodu Bje totožno body A a B splývají

bod A je totožný s bodem Bnení rovno A B bod A je různý od bodu Bje různé od body A a B nesplývají

6 leží na ( v ) A e p bod A leží na přímce pje prvkem bod A je prvkem přímky p

A e q bod A leží v rovině qbod A je prvkem (bodem) roviny q

C leží v p c a přímka p leží v rovině «je podmnožinou přímka p je podmnožinou roviny «

$ není podmnožinou neleží v

q (t /9 přímka q neleží v rovině /?

p n q p průnik q p Í1 q = {A} průnikem přímek p a q je bod Aprůsečíkem různoběžek p a q je bod A

a 11 ^ a průnik /3 ol H p — p průsečnid rovin a, f) je přímka p

II je rovnoběžná s a \ \b , a || a, a ||/31 je kolmá k a _L b, a_l_a, a_L/S

t t ( t l ) souhlasně(nesouhlasně)rovnoběžno

např. u orientovaných úseček

P« je podobný A ABC ~ A MNPje shodný A ABC Sž A TUV

/X AAVB orientovaný úhel AVB má počáteční rameno >-» V A

a koncové rameno i-* VBti h. pravý úhelR velikost pravého úhlu0 ' •• 5 > stupeň, minuta a vteřina | <£ A VB | = 15°30'45"

(ve stupňové míře)A trojúhelník A ABCKS; r) kružnice o středu S KM-, | Mt | ): kružnice k o středu M a s poloměrem,

a poloměru r který je roven vzdálenosti bodu M od tečny tAVB oblouk kružnice A, B krajní body, V vnitřní bod oblouku kružnice

Značky

2 P Ř E H L E D N E J D Ů L E Ž I T Ě J Š Í C H V Z O R C Ů A V Z T A H Ů Š K O L S K É M A T E M A T - I K Y

Vzorce2.1 Úvod do m atem atick é logiky a te o r ie m nožin

Výrok

Logické operátory

Negace výroku

Výrok je každé sdělení, u něhož nastane právě jedna ze dvou možností: bud je pravdivé, nebo je nepravdivé. (Pravdivost výroků označujeme číslem 1, nepravdivost číslem 0.)

Negací výroku a je výrok 1 a, který popírá to, co výrok a tvrdí. Je-li výrok a pravdivý, je výrok 1 a nepravdivý, a naopak; přehledně zapisujeme:

a 1 0

1 a 0 1

Negace výroků s kvantifikátoryvýrok------- negace výroku

každý ... je ... alespoň jeden ... není ...alespoň jeden ... je ... žádný ... není ...alespoň n ... je ... nejvýše(«— 1) . . . je ... ( « > 1)nejvýše n ... je ... alespoň {n + 1) .. . je ... («2 1 )

negace výroku •<----- — výrok

Složené výroky

Konjunkce

Disjunkce (alternativa)

Implikace

Ekvivalence

Úplná disjunkce

Symbol Pravdivost či nepravdivost výroků a složených výroků

a 1 1 0 0

b 1 0 1 0

a A b 1 0 0 0

a V b 1 1 1 0

a => b 1 0 1 1

a o b 1 0 0 1

a v b 0 1 1 0

20

Důkazy

Nepřímý důkaz Důkaz sporem

Důkaz matematickou indukcí

Místo a=> b dokazujeme ~]b=> ~]a (obměna implikace).1. Vyslovíme negaci výroku v, tj. výrok ~\v.2. Z ~\v odvodíme logický důsledek z, který neplatí.3. Uzavřeme, že neplatí výrok 1 v, tedy platí výrok v.Věta: Pro každé přirozené číslo n íg no platí v(n).Důkaz: 1. Dokážeme, že platí f(«o).

2. Pro každé k^triQ dokážeme:jestliže platí v(k), pak platí i v(k + 1).

MnožinyPočet prvků sjednocení dvou množin

Jsou-li A a B disjunktní množiny, pak |A U B | = | A | + | B |.Nejsou-li množiny A a B disjunktní, pak | A U B | = | A | + | B 1 — | A Í1 B |.

2.2 A ritm etik a a algebra

1 V la s tn o s ti r o v n o s t i S íse lDichotomie

Rovnost je- reflexívní- symetrická- tran s itivní

Monotonie sčítání a násobeni

Součin rovný nule

Pro každá dvě čísla a, b platí právě jeden z těchto dvou vztahů: a = b, a b. •

a — aJe-li a = by je také b = a.Je-li a = b a b = c, je také a = c.Pro všechna a, b, c, d platí:Je-li a = b, pak a + c = b + c.Je-li a = by pak a . c — b .c.Je-li a = b a c — d, pak a + c = b + d.Je-li a = by pak a2 = b2.Pro všechna « ^ O a ^ O platí:Je-li a = by pak ya — \ b .Pro všechna a, b platí:Je-li ab - 0, pak a = 0 nebo 6 = 0.

Vzorce

21

Vzorce

2 Vlastnosti operac í sčítání a násobení

sčítání násobení

U uzavřenost vzhledem Součet čísel a + b Součin čísel a . bk operaci je číslo je číslo

K komutativnost a + b = b + a a . b = b . aA asodativnost (a + b) + c — a + (b + c) (a . b) . c = a . {b . c)N existence neutrálního a + 0 = 0 + a = a a . 1 = 1 . a = a

prvku

Pro a ^ 0 a . — =I existence inverzního a + (— a) = 0prvku a

D distributivnost násobení (a + b) .c == ac + bcvzhledem ke sčítání

Existuje-li rozdíl (podíl) a — b — x 0 a = b + x Pro b 0

-7- = x 0 a = bx b3 K o m p l e x n í č í s l a

Definice komplexních čísel a = [ai, <22] (uspořádané dvojice reálných čísel, pro které jsou definovány rovnost, součet a součin tak, jak je uvedeno v dalším textu) ai reálná část komplexního čísla a2 imaginární část komplexního čísla

Rovnost komplexních čísel Imaginární jednotka Mocniny imaginární jednotky

Reálné číslo Imaginární číslo Ryze imaginární číslo

Absolutní hodnota Komplexní jednotka

Argument

Algebraický tvar Goniometrický tvar Exponenciální tvar

[ai, 02] = [¿>1, 62], právě když ai = ¿>1 a zároveň a2 = 62i = [0, 1]i2 = —1, i3 = —i, í4 = 1;i4i+m = im, k, m přirozená čísla, m < 4[ai, a2], když a2 = 0, tedy [ai, 0][ai, az], a2 # 0[ai, a2], když ai = 0, a2 ^ 0, tedy [0, a2] a = [ai, a2] => | a | = ]/a? + a\ = jfa. a Komplexní číslo a, pro které platí | a | = 1

Úhel a, pro který platí cos a = a zároveň sin oc = - ~ ~| a | | a |[ai, az] = ai + a2Í[au aŤ\ — | a | (cos a + i sin «)[au az] = | a | eťa, e základ přirozených logaritmů

22

Číslo komplexně sdružené Součet komplexních čísel

Součin komplexních 6'sel

Podíl komplexních čísel

Mocnina komplexního čísla

Moivreův vzorecOdmocniny komplexního čísla

Je-li a = [ai, a2], je a = [au —az] = ai — azi.a + b = [au 02] + [bu bž\ = [ai + bu az + ¿>2]

= (ai + azi) + (b\ + ¿21) = (ai + 61) + («2 + bz) ia .b — [«1, a2] . [¿i, 62] = [ť»i6i — azbz, aybz + a26i]

— (ai + azi ) . (¿>1 + 62 i) = (aiii — azbz) + (aibz + azbi) i = | a | (cos a + i sin a ) . | b | (cos -f- i sin /?) == | a j . | b | [cos (a + /3) + i sin (a + 0)]

aBJe-li

ai + a2iI b I2

(ai + azi) (¿1 62Í) (ai + <z2i) (bi — ¿2Í)+ ¿1b b\ + bzi (¿i + bz i) (bi — 62Í)

Pro n reálné a r(cos q -f i sin g) ^ 0[ r . (cos q + i sin g)]” = r ” . (cos ttQ + i sin ng)(cos <p + i sin <p)n — (cos rup + i sin n<p)Je-li a — | a | (cos a + i sin a), kde 0 g a < 2n, pak existuje právě n odmocnin z čísla a:

y — t/í— 7- ( a + 2 kn . . a + 2k u \]/a = ]/\a \ ^cos --------------\- ism — —-----J ,

kde k = 0, 1, 2, n — 1.

4 Reá lná č í s l a

NerovnostiTrichotomie Pro libovolná reálná čísla a, b nastane právě jeden ze tří případů: a < b%,

a = i a > b.Tranzitivnost nerovností Je-li a 0, pak platí ac < bc.Je-li a bc.

Sčítání nerovností Je-li a 0 , pak | a 1 = a.Je-li a < 0 , pak | a 1 = — a.Je-li k > 0 a |a | < k, pak —k < a < k.Je-li - k < a < k a k > 0, pak [ a | < k.Je-li k > 0 a \x— a | A, pakx e <a - k , a + ky, neboli a — k ^ x ^ a + k.

Aproximace číselZavedení

Přípustná hodnota čísla A

Neznáme-li číslo A přesně, pak hodnoty čísla A jsou z intervalu <ai, az>, kde au az jsou racionální čísla; ai dolní aproximace, az horní aproximaceKaždé reálné číslo x, pro které platí a\ í j x ^ az

23

Vzorce

Vzorce

Střední aproximace a čísla A a = ai °2

Absolutní chyba aproximace a = ai

Zápis čísla /I 4 = a ± apomocí střední aproximace a — cl ^ A ^ a + a absolutní chyby

Relativní chyba čísla A £\A — — , a ^ Oa

Součet a rozdíl čísel A + B = (a + b) ± (a + /9)A = a ± a A — B — (a — 6) ± (a + /?)

Součin čísel A . B A . B = ab ± . ab

p° díi£“ 4 4 - Ť ± f e + 4 ) TRelativní chyba součinu ¿\{A . B) = £±A + A B

a podílu A |-s*J = A A + A #(*)-přibližné vzorce

Mocniny a odmocniny reálných čišel

Definice mocniny

Součin mocnin Mocnina mocniny Mocnina součinu

Mocnina podílu

Podíl mocnin

Definice odmocniny

Pro každé reálné a a n přirozené

Pro každé reálné 0

Pro každé reálné a ^ O a n přirozenéPro každé reálné a > 0, r celé číslo a s přirozené čísloJe-li a > 1, pak an > 1.Pro všechna reálná a a b, pro která jsou definovány mocniny s exponenty r, s, r + i , r.Sy r— s

b ^ O

0

Pro a ^ 0, 6 ^ 0 a n přirozené

an = a . a ..

a =

a ‘ = ]/ar

ar .a? — ar+*(ar)‘ = a»--*(a . č»)' = ar . br

(i)'-* ar i a8 = ar~sn]/a = ¿i, právě když bn — a

Součin odmocnin ýa . ýé = ýa6

24

Podíl odmocnin

Odmocnina z odmocniny

Umocnění odmocniny

Rozšiřování odmocnitele

Krácení odmocnitele

Geometrický průměr čísel

LogaritmyDefinice logaritmuo základu zHodnoty logaritmu

Logaritmus součinu

Logaritmus podílu

Logaritmus mocniny Logaritmus dekadický

Logaritmus přirozený

b ^ O

Pro a ^ O, m, « přirozená

Pro a > O, j celé, n přirozené

Pro a ^ 0 a n, p přirozená

Pro a > 0, m celé a n, k přirozenáPro a a b kladná

Pro z > 0, z ^ 1 a n > 0Pro každé z > 0,

Pro a > 0, b > 0

Pro a > 0, b > 0

Pro a > 0, n reálné Pro n > 0 a z = 10

Pro n > 0 a z = e (e = 2,718 28...)

tnn

'a

Převod logaritmů s různými log» x = loga x . log«, a základyPřevod logaritmů dekadických ln a — log a . ln 10 = log a . 2,302 59 na přirozené a obráceně log a = ln a . log e = ln a . 0,434 29 (str. 92)

Racionální čísla a lomené výrazy

Zlomek

1íb v m

“\ I rt mt| / y j = y,

/ « \8 n

IVa) = V ?

n np

l/a = R

|/a*ro = l/a“

x — 1labtr

' f / ^ logi n — l, právě když z1 = n, tedy z [agzn — nlogz z = 1logz 1 = 0logz z° = alogz (ab) = logz a + log* b

logz-T" = logz a — logz bO

logz an — rt. logz alog n = logio n = l, tedy 10* = «,

IQlogi.» — n

ln n = lne n = /, tedy e* = n,

elnn = n

n n

Rovnost zlomků

Porovnávání zlomků

a— , a e Z , 6 e N (V literatuře, v níž je OeN , musí být b e N a zároveň b 6 # 0.)a c-r- = — právě tehdy* když ad = bco aa c--- < — , právě když ad < bco a

— > -r > P^vě když ad > bc b a

Vzorce

25

Vzorce

Zlomky i lomené výrazy

- součet a rozdíl

- součin

- dělení zlomkem nebo výrazem

Procenta

Zavedení

Označení údajů v úlohách

Výpočet

- procentové části

- počtu procent

- základu

a . c ad + bc n

a c ac7 * 7 " u ’ b * * a + °

b c aca : — = a . — = , b ^ 0, c ^ 0 c b ba

složený zlomek nebo výraz —a d ad

1 % z čísla a je

p % z čísla a je

100

100 ,Jz - základ ... 100 %p - počet procent ... např. 24 % ... p — 24i - procentová částpomocí výpočtu 1 % ze z _ z

1 ~ 100 ' P

p = j - m = ž : m

z = - .100P

Vzorce finanční aritmetiky na str. 29.

5 M o c n i n y a r o z k l a d m n o h o č l e n ů

(a ± b)2 = a2 ± 2ab + A2(a ± A)3 = a3 ± 3a2A + 3aA2 ± A3

(a + b y = a» + ( j ) a»-!6 + ( j ) a”~2A2 + ... + („ _ ! i ) abn-1 + 6»a2 — A2 = (a + b) (a — 6) a2 + ¿>2 = (a + iA) (a — iA) a3 + A3 = (A + b) (a2 - ab + A2) a3 — A3 = (a — A) (a2 + aA + A2)a" + A” = (a + A) (a“ -1 — an-2A + an_3A2 — ... + A"*1) pro » liché an — A" = (a — A) (a”*1 -f a"~2A + a” ' 3A2 + ... + An_1) pro n liché i sudé a" — An = (a + A) (an_1 — an_2A + a”~3A2 — ... + An_1) pro w sudé (a + A + c)2 = a2 + A2 + e2 + 2aA + 2ac + 2bc x2 + px + q = (x — r) (x — s); r a s jsou kořeny rovnice

x2 + px -f- q — 0; pro r a s platí: r + s = —p, rs — q

26

6 R o v n i c e s J ednou n e z n á m o u

Kořen rovnice l(x) — p(x) Každé číslo a z přípustného nebo daného číselného oboru, pro které platíl{d) = p{a).

Rovnice anulovaná l{x) — p{x) — 0, F{x) = 0

Algebraická rovnice n-tého stupně s reálným i koeficientyDefinice

Rovnice reciproké

Rovnice binomická — normovaná

-------kořeny

anxn + a»-!.*"-1 + ... + aix + ap = 0 ai(i = 0, 1, 2, n) koeficienty, x neznámá dn 0

a-n = <*>, Gn-i = ai, an-z = a%, ... nebo Clfl = = — í ^ n - 1 — — # 1 * f l » — 2 — — & 2y • • •

obecně an-k — nebo an-k = — a*Je-li a ^ O , b ^ 0, « přirozené ... axre -f- b — 0 Je-li m ^ O , n přirozené ... xn — m

0 x = ]/m ^

k = 0, 1, 2,

Pro m > i . 360° , . . , 360' cos k -------- h i sin kn

n — 1

60° \» / *

« í/i----í í /180° , , 360° \ , . . /180° , 360°\1Pro m < 0 x = VT»*I |cos — |- k ——j + 1 srn ^ — h * — ^ J

k = 0 ,1 , 2, ..., n — 1

Kvadratická rovnice s reálným i koeficientyDefiniceDiskriminantKořeny

Rozklad v kořenové činitele

Vztah mezi kořeny a koeficienty

Pro a # 0

Pro D > 0

dva reálné různé kořeny

Pro Z) = 0dvojnásobný reálný kořen

Pro D < 0dva imaginární komplexně sdružené kořeny

ax2 + bx + c — 0 D = b2— 4ac

—b + ]/D ------- 2a-------

*2 =- b - M Ď

2a

x =

Xl

*2 =

- b2a

- b + i ] / m2a

- b - i ] / \ Ď \2a

Jsou-li r a s kořeny rovnice ax2 + bx -f c = 0, pak ax2 + bx -f c = a(x — r) (x — s) = 0

b cr - f - i = ------ ; r . s = —a a

Vzorce

27

Vzorce

/

Rovnice ryze kvadratická

- kořeny

Rovnice kvadratická bez absolutního členu

- kořeny

J e -li------^ 0a

m > 0

Je -li------< 0a

m < 0

ax2 bx = 0

*1 = 0, xt = —

axz + c — 0

Xl

Xz

-R —V-Tca

Xl = i

X2 = — l 1/ |— —

x2 — m

xi = ]/m

X2 = — j/ffl

*i = i |/| m |

x2 = — i yrm

Rovnice normovaná - diskriminant

x3 + px + q = 0 (a = 1)D = pz — 4q Jsou-li r a 5 kořeny, D — (r — j)2.

- rozklad v kořenové činitele Jsou-li r, j kořeny, (x — r)(x — s) = 0.- vztahy kořenů a koeficientů r + s = —p, r . s = q

Rovnice kvadratická s komplexními koeficientyDefinice

Diskriminant

Kořeny

Lineární rovnice Definice

Kořen

Rozbor rovnice ax + b = 0

7 P o s l o u p n o s t i

Posloupnost aritm etickáDefinice rekurentní

a*2 + bx + c = 0a, b, c jsou komplexní čísla, z nichž,aspoň jedno je imaginárníD = b2 — 4ac D je komplexní číslo

- b + f Ď X se ----------------------í--------

2a

a* = 0 x — b

n-tý člen

Součet prvních « členů

Pro libovolné dva členy platí Jsou-li r, s přirozená,

28

Je-li s = 0 i í = 0, pak kořenem rovnice je každé x Je-li a = 0 a b ^ 0, pak rovnice nemá žádný kořen. Je-li a ^ 0 , je rovnice lineární.

Je-li d (diference) libovolné reálné číslo, an+i — a„ + d.On-l + tfn+ian = ai + (rt — l )d an =

ín = y (<n + an)

ar = a , + (r — j) á.

Posloupnost geometrickáDefinice rekurentní Je-li q (kvocient) libovolné reálné číslo, an+i = a» . q.

n-tý člen an — a i . q”-1 \ an | = ]/tfn+ i. an-1qn — 1 1 — qnSoučet prvních n členů Pro q ^ 1 s„ = a i -------— = ai —-------q — 1 1 — q

Pro <7 = 1 sn = n . a%Pro libovolné dva členy platí ar = a8 . qr

Vzorce finanční aritm etikyVzrůst hodnoty

Pokles hodnoty

Střádání

Umořování půjčky

Částka, hodnota se za určité období zvětší vždy op % z předchozí hodnoty. Je-li ao počáteční hodnota, pak hodnota an po n obdobích je

Pa n

Částka, hodnota se za určité období zmenší vždy o p % z předchozí hodnoty. Je-li ao počáteční hodnota, pak hodnota an po n obdobích je

Na počátku každého úrokovacího období se pravidelně ukládá částka a; na konci období se k úsporám připisuje úrok ve výši p % úspor. Po n obdobích vzroste vklad na částku an:

^ - » ( r T = r ) > k d c r - ( 1 + w ) -Má-li být půjčka K, úrokovaná p procenty, splacena pravidelnými splátkami za n let, pak splátky s jsou dány vzorcem

Nekonečná posloupnost a řady

Limita posloupnosti lim an = a, právě když ke každému kladnému reálnému číslu e existujeH-MX)

n e N tak, že všechny členy dané posloupnosti počínaje členem an+1 patří do intervalu (a — e, a + e). OO

Nekonečná řada Je-li (an) posloupnost, pak ai + az + <*3 + ... = 2 a« se nazývá nekonečná řada. "“ 1

Posloupnost částečných součtů íi = ai, s% = ai + <*2, *3 = ¿U + <*2 + «3, •••Součet nekonečné řady Je-li (sn) konvergentní, tj. je-li lim s„ = s, pak j se nazývá součet ne

konečné řady. ”~*'oc

Součet nekonečné Je-li | q \ < 1, s — ——— .geometrické řady ^

Číslo e l i m ( l - f - - ' | = e — 2,718 28n-oo \ n /

29

Vzorce

8 K o m b i n a t o r i k a

Vzorce

Počet ¿-členných variací bez opakování z n prvků

nl

Počet ¿-členných variací s opakováním z ti prvkůPočet permutací ti prvků bez opakování

Počet permutací n prvků s opakováním

Počet ¿-členných kombinací bez opakování z n prvků

Počet ¿-členných kombinací s opakováním z n prvků

Binomický koeficient (kombinační číslo)

důležité hodnoty

vlastnosti

Pascalův trojúhelník binomická věta

Pro ¿ n přirozená

n přirozené « = 0

Mezi n prvky je r prvků sobě rovných.

Pro ¿ ^ n

Pro ¿ n přirozená

V(k, ti) = n(n — 1) (n — 2)... (w — ¿ + 1)

w! = 1 . 2 . 3 ......... (n— 1). n0! = 1

V\k, n) = nk

P(„) = F (« , n) = n!

K(k, n) = n!P W (n — ¿)! ¿!

n(n — 1) (n — 2) ... (n — ¿ + 1)¿ T ~

K \ k , n ) = { ^ +kk ! )

n\ _ túji— 1)(n — 2) ... (» — ¿ + 1)¿1

( n - k ) i k l

©-»•O-- (;)-.© (!)-(.-») ©+(*:.)-(žíOViz str. 62, tabulka 4.4 (a -f- 6)", viz str. 26

= 1

9 S t a t i s t i k a a p r a v d ě p o d o b n o s t

Statistický soubor- rozsah souboru- absolutní četnost hodnot

znaku x

- relativní četnost hodnot znaku *

Modus

konečná neprázdná množina M n, počet všech prvků množiny Mtu, číslo, které udává, kolikrát se v souboru vyskytuje hodnota znaku *<

tli . tli — , v procentech — . 100 ti n

Mod (x), x , ... nejčastěji se vyskytující hodnota mezi xi, xz,..., x*, tj. hodnota s největší četností m

30

Medián

Průměrná hodnota znaku x x = (aritmetický průměr)- mají-li hodnoty xt

četnost m(vážený aritmetický průměr)

Med (x ), x , ... prostřední člen mezi hodnotami xi, jsou-li uspořádány podle velikosti

X1 + X 2 + ... +%n 1 v— = ~ Z x <

X =

n n i

x m i + x 2n2 + ... + Xkttt 2

nXitli

Směrodatná odchylka hodnot s — \ — 2 (*< — #)z znaku x ' n <=i

í 2 = - 2 (*» - * )2

maku x

Rozptyl hodnot znaku x

Koeficient korelace

n

hodnoty znaku x, yi,y*, —,y n hodnoty znaku y

r --------, kde51*2

k = ^ l i {xí — x ) { y i — 9 )

*1 = 1/ ; - 2 (*< - *)2 r n i« i

* 2 = 1 / ^ - 2 ( j y t - ý ) 2V n ,»i

PravděpodobnostDefinice pravděpodobnosti jevu A

Jestliže nějaká činnost nebo pokus vedou k n možným výsledkům (množina Q) a jestliže náhodný jev A je určen množinou, která obsahuje tn, m^Ln, těchto výsledků, potom pravděpodobností náhodného jevu A je číslo

P(A) = f .

Jev A- jistý- nemožný- náhodnýJev doplňkový A

v případě m — n P(A) = P(0) = 1v případě »2 = 0 P(A) = P(0) = 0v případě 0 < m < n 0 < P(A) < 1P(A') = 1 — P(A) neboli P(A) + P(A') = 1

Pravděpodobnost, že nastane P(A U B) = P(A) + P(B) aspoň jeden z náhodných jevů A, B, když A n B = íGeometrická pravděpodobnost Je-li m{A) míra (velikost) množiny A, /w(í2) míra množiny O a A <= Q,jevu A

Nezávislost jevů

Pravděpodobnost, že při «-násobném nezávislém opakování jev A (jehož pravděpodobnost je P(A)) nastane právě ¿-krát

pak P(A) = * ; m(A), m(íi) jsou vyjádřeny v týchž jednotkách obsahu m(Ll)nebo délky.Jevy A a B <= í i jsou nezávislé, jestliže platí P(A Í1 B) = P(A ). P(B).

Vzorce

31

10 G o n i o m e t r i c k é f u n k c e

Vzorce

Definice funkcí x velikost úhlu otočení Ol do i-> OL, L bod na jednotkové kružnici se středem O sin x = y L cos x = XL

srn xtg x = --------- ,cos x

cotg x =

sec x =

cos x sin x

1cos X

x =£ 90° + k . 180°

X kK, x ^ k . 180°

x ^ ^ + kn

x ^ 9 0 ° + k . 180°

k celé číslo

cosec x = srn x

Periodičnost funkcí

Hodnoty funkcí pro některé hodnoty x

Pro k celé

x ^ b z x ^ k . 180°

sin (x + 2kn) = sin x cos (x + 2kn) = cos x

Pro x, pro která jsou tg (x + krc) — tg x tg x a cotg x definovány cotg (x + kn) = cotg x

32

Hodnoty funkcí pomocí hodnot funkcí z intervalu

\ ° > T / ’ <0°’ 90°>

Znaménka hodnot funkcí

Hodnoty funkcí záporného argumentu

Vztahy mezi funkcemi téhož argumentu

Funkce součtu argumentů

Funkce dvojnásobného argumentu

Funkce polovičního argumentu

l / ( « ± * ) l - = l / ( 2* ± * ) l = l/(* )l 1/(180° ± 90 I — 1/(360° ± 9>) I = \f(<p),(S±,)-U£±,)= I cof(*)

/(90° ± ? ) l = |/(270° ±<p) | = | co% ) |, kde Vzorce

/ sin cos tg cotg

cof cos sin cotg tg

(0°, 90°)( ! - )

(90°, 180°)(* • ¥ )

(180°, 270°) (270°, 360°)

sin * + + _ _cos * + — +tg * + — + —cotg * + --- + ---

(viz též grafy funkcí v kapitole 7, str. 79 a 89)

Pro každé *, pro které je funkce definována

Pro každé x ■ Pro každé

k e Z

Pro každé x a y

Pro všechny hodnoty argumentů x, y , pro které jsou funkce tangens a zlomky definovány

Pro každé x

Pro každé x ^ k . ~4

Pro každé x

sin (—x) — —sin x cos (—*) = cos x tg (—*) = —tg x

cotg (—x) = —cotg X

sin2* + cos2* = 1tg * . cotg x = 1

sin (x -j-y) — sin * cosjy + cos xsin y sin (x — y) = sin * cos y — cos * sin y cos (* +j>) = cos * cos y — sin * sin y cos (* — y) = cos x cos y + sin x sin y

tg* + tg 3>1 — tg* tg y tg * — tg y

tg (* + .y ) =

. * ( * - ? ) = 1 + t g , tg3,

sin 2* = 2 sin * cos * cos 2* = cos2* — sin2*

2 tg*tg 2* =1 — tg2*

cos

il-Fi\ -f-

— cos *

4 * cos *

33

Vzorce

Součet a rozdíl funkcí

Pro každé x # k . n, k e Z

Pro každé x a y

tg— COS X

+ COS X

sin x + sin y = 2 sin

sin x — sin y = 2 cos

cos x cos y = 2 cos

cos x — cos y = —2 sin

x + > x — y —-— cos —

x + y . x —y —-^-sm —~

x + v x—y — ^ - c o s — ■—

x + v . x —v — ^— sm — —-

2.3 P lan im etrie a tr ig o n o m etrie

Úhly vedlejší

součet primy úhel

doplňkové

součet pravý úhel

vrcholové

shodné

přilehlé souhlasné střídavé

součet 180° shodné shodné

TrojúhelníkCyklická záměna Součet úhlů Vnější úhlyVěty o shodnosti trojúhelníků sss, usu, sus, Ssu

z . v

CZ

a + ß -f y = 180°

a ' = ß + 7) CZ

Obsah a . V a

■a

CZ; S — —ab sin y, CZ

34

- Heronův vzorec

Poloměr kružnice opsané

Poloměr kružnice vepsané

Věta sinová

- užitíVěta kosinová- užití

Věta tangentová

- užití

Úhly

- užití

Trojúhelník rovnostrannýStranyÚhly

Výška

Obsah

Poloměry kružnic

Trojúhelník pravoúhlýÚhly ostré

Obsah


S = y*(í — a) (s — b)(s— c) , s = U + 2

, CZabc 4Š 5

« " Ta : b : c — sin a : sin (i : sin y

a — b ° — 2 rsin a sin /3 sin yTrojúhelník určen podle vět usu, Ssua2 = b2 c2 — 2bc cos a, CZ Trojúhelník určen podle vět sss, sus, a — j8a — b ® 2 « + /?5 T T = ^ ^ + ? • ■ tgT ----- ---

'g

b f \

S 'a ' / aV

>4\ c

CZ

Trojúhelník určen podle věty sus

l = 7 ^ , c Z ; s i n f = y 5 E M E i r , c z

/j2 _1_ r% — /j2, CZ

tg

a 1 / s(s — a) __ cos — = y — bc 5 ’ cos a

Trojúhelník určen podle věty sss2 bc

a = b = c a = /? = y — 60°

. - f y *

r - ý V š , í - f v r

a + = 90°a bsm a = — , cos a = —c ca btg a = T , cotg a = —o a

S =

r =

ab B

Vzorce

35

Vzorce

Pythagorova větaEukleidova věta- pro výšku- pro odvěsny

ObdélníkObvodObsah

Úhlopříčka


c2 = a2 + b2

v 2c = ca . cba2 = c .c a, b2 — c .ci,

o — 2(a + b)S = a b

u = ]/a2 + b2u

ČtverecObvodObsahÚhlopříčka

Poloměry kružnic

o = Aa S = a2 u = a |/2

m ar = 2 ’ ^ = 2

RovnoběžníkObvodObsah

Lichoběžník

Obsah

Střední příčka

c a + c

a + cí = — =—

Pravidelný n-úhelník viz též str. 63 Obvod o = na

Obsah S = n2 ť 2

Počet úhlopříček — ^

Součet vnitřních úhlů (« — 2). 180°

36

Kružnice a kruhDélka kružnice

Obsah kruhu

Délka kruhového oblouku

Obsah kruhové úseče

Obsah kruhové výseče

Mocnost bodu ke kružnici Obvodový a středový úhel

ElipsaOznačení

Obsah

Obvod

o — 2tc r = nd <p

S = nr2 = 7c - 7- 42nr

a ~ 360° * *( r* í T A l í l r A o ť 11 V i l u 1T A c t i i n t ^ A T r Á

Vzorce

Konstrukce algebraických výrazůČtvrtá geometrická úměrná a: b — c

bcx =

37

Střední geometrická úměrná, a : x — x : b / / / / V. \geometrický průměr x2 = ab / / / / X ^ \

II & 1

0-1 V b

VzorceKonstrukce pomocí Pythagorovy věty

x = |la2 + b2x = ]/a2 — b2 a > b

2.4 S te re o m e tr ie

V objem, S povrch, Sp obsah podstavy, Spi obsah pláště, v výška tělesa, u tělesová úhlopříčka, r poloměr

F' E'

Hranol V = Sp . v S = 2SP *S"pi

Kvádr V — abcS = 2 (ab + ac + bc) u = | ta2 + b2 + c2

Krychle K = f l 8S = 6a2_ u = a |/3

Válec T / 2 ^V = 7crzo = —— v45 = 2nr(r + v)

Jehlan V = j S v . v

S — Sp + 5pi

38

Pravidelný jehlanVztahy mezi délkami na pravidelném čtyřbokém jehlanu

Komolý jehlan

Rotační kužel

Komolý rotační kužel

Koule a plocha kulová

F =

S = 4nr2

S — 2nrv

Vrchlík, kulová úseč

Kulový pás, kulová vrstva

■k vv = ^ ( 3 ^ + 3 ^ + tf2)

Vzorce

2.5 V ektorová algebra

Vzorce

Umístění vektoru. u = AB, u = B — A

Souřadnice počátečního bodu A koncového bodu BSouřadnice vektoru u, u = B — A (symbolická rovnice)

Jedno umístění vektoru u má počáteční bod A, koncový bod B

v rovině

A[ax, az] B[b1} b2]u = (lil, u2) ui — bi — aiu> = 62 — az

Rovnost vektorů u a v

Velikost vektoruSoučin vektoru a reálného čísla kOpačný vektor ~ u k vektoru uRovnoběžnost vektorů u II v

Součet vektorů w = u + vw = (zvi, Wz)

Lineární kombinace vektorůVi, vz, ... v„Skalární součin vektorů u . v

Úhel vektorů

Av prostoru

A\ai, az, 03] B[bi, ¿2, ¿>3]u = («1, u2> «3) Mi = ¿1 — a\ ui = ¿2 — az W3 = ¿3 — 33

a zároveň uz = 02

1 u 1 = y w + u fku — (ktil, kuz)

— o = (— Ml, — uz)

u || v O v = kuk e R , k 0

w = (mi + 01, uz + »2)H>1 = Kl + Ol «02 = M2 + 02

U = V O U\ = Ola zároveň uz — vz a zároveň U3 = 03

| o | = 1 u\ + u\ + «1 &U = (&Mi, fe/2, &W3)

—U = (—Ml, —«2, —MS)

u ]| v o v = ku k > O rovnoběžnost souhlasná £ < O rovnoběžnost nesouhlasná

w = (mi + 01, M2 + 02, M3 + »8) U>1 = «1 + »1 K>2 = Uz + 02 «>8 = MS + Os

aiVi + azYz + ■•■ + a nv n , ai e R.

U . V — U \V \ + U«V2

COS 99 =

U .V = MlOl + M2O2 + M3O3 U . V

M - M

COS (p — MlOl + UzVz" I * I v- I

COS (p — MlOl + «202 + M3O8\ u \ . \ y \

Kolmost vektorůO á <p š 180°

u j _ v o u . v = 0 l / l v o MlOl + UzVz = 0 | u l v o MlOl + M2O2 + M3O3 = O

40

Vektorový součin- souřadnice- velikost w- poloha w- směr w

w — u X vW = ( «2 0 8 — V 2U3 , U a V l — V s U ly U 1V 2 — V 1U2)| w | = | u | . | v | . sin <p, <p je úhel vektorů u, v v ř l u a zároveň w _L v pravidlo pravé ruky

Vzorce

2.6 A nalytická g eo m etrie

1 L i n e á r n í ú t v a r y v r o v i n ě a v p r o s t o r u

v rovině v prostoru

Souřadnice bodů A[ai, <12], S[íi, í2] A[ai, az, as]> Sfris sz, *3]Souřadnice bodu X X[x,y] X[x,y,z]Délka úsečky AB | AB | = ]/(éi - ai)2 + (bz - a2)2 | AB | ==

= |/( i l —fll)2 + (^2—a2)2+(^8 —fl3)2

Střed S úsečky AB

0 A B , .. - ,S = — -— symbolická rovnice

ai + ¿1 «i + biíl== 2 Sl~ 2

az + bz az + bzH - 2 - S2~ 2

Parametrické vyjádření přímky Směrový vektor opřímky AB «1 = 61 — ai

u z — bz — a2

u — (ui, «2)

s8 =as + b$

u = B — Aui — b i— a i Uz = bz — <32 us — bz — as u = («1, u%, us)

41

Vzorce

Přímka daná bodem A a směrovým vektorem u

X = A + tu ř e R

Přímka daná body A, B

Polopřímka AB Polopřímka opačná k >— Úsečka AB Úsečka na přímce AB

Odchylka co přímek se směrovými vektory u a v

Podmínka kolmosti přímek

Podmínka rovnoběžnosti přímek

x = a i + t(b i — a{) y = a2 + t(b2 — a2)

x = ai + t{bi — ai) y — a 2 + t(bz — 02) z — az + *(¿>3 — az)

ABX — A + tu , X ~ A -j- tu y X = A -}- t u ,X — A ~f" tU y

t ^ ot á o 0 á t ^ 1 m iS t ¿¿n

cos co = U l V l - f U2V 2 | COS co =

0 ^ co ^ 90"

I u\vi 4- U2V2 + U3V3

R + Mí + «3 . 1/»1 + »2 + »31/'«? + . |/t>? +

u . v = 0MlWl + « 2 » 2 = O | ttlWl + «2 0 2 + «3 0 3 = O

v — m . u , m ^ O d = m . « i j v i = m . u\V2 = ffJ . «2 V2 = tn .U2

i 1)3 — w . «3

42

Neparametrické rovnice přím kyKoeficienty v rovnici přímky, a, b, cpřímky p, přímky qÚseky přímky na osách souřadnicSměrnice přímky dané body A, B (*-> AB X y)Rovnice přímky- obecný tvar

- - směrnice

- - normálový vektor- směrový vektor

- úsekový tvar

- směrnicový tvar

Cípy b-py Cp aq, bq, Cqp na ose x, q na ose y

k — tg 90°, ¿2 — <*2 «2- ----- -- » aii k — ,¿»i — ai ui

ax + by -f c = 0, alespoň jeden z koeficientů a, b různý od nuly

k = —£ ~ , b ^ O

n = (a, b) u = (¿>, —a)

f + - = 1 p q

y = kx + q; k = tg<p= ^ - =

- dané bodem A a směrnicí k y — as = k(x — a{); y — k(x— a{) + a2- normálový tvar

Vzdálenost bodu M od přímky pPoloroviny s hraniční přímkou ax + by -f c = 0

Odchylka cd přímek p , q

ax + by + c± ]/az + A2

i i I " ”1 + *OT2 + c\M p \ = ---------

= 0 , znaménko jmenovatele opačné, než má c

l/a* + i 2

ax + A y + c S i O la x + b y + c ^ 0 ) Poiorovuly °Pačné

COS (O =

tg (O =

| QjAq bpbq |

1 -(-P _L í o apUq + bvbq — 0kpkq -- --1

pokud kp, kq existují a # — 1

Podmínka kolmosti přímek />, qPodmínka rovnoběžnosti přímekPosunutí soustavy souřadnic V původní soustavě souřadnic Oxy je

0'[tn,«]. V nové soustavě

aq — m .ap a zároveň bQ — m .b py m ^ O nebo — Ap

X'[x',jy'] a platí x — x — m, y = y — n .

Vzorce

Vzorce

Rovina v prostoruUrčení roviny

Parametrické vyjádření - roviny

- poloroviny pC

- poloprostoru QD

Rovnice roviny- normálový vektor

bodem A[ai, 02, as] a směrovými vektory u = («i, «2, u$) a v = (©1, V2, V3), z nichž žádný není násobkem druhého.

X = A -f tu + sv t, s e R

* = ai + tui + sv 1 y = az + tuz + sv2 z = 03 + tu3 + svs

p(A, u) X = y í + r u + í vC $ p , v = C — A t, s € R a zároveň j ^ 0g(/í, u, v) .Y = /I + ru + jv + nvD $ q , w = D — ¿4 í, j , r e R a zároveň r Si 0ax + ^ + Cir-f-ťf=0 , alespoň jeden z koeficientů a, b, c různý od nulyn = (a, b, c) ť* (0, 0, 0)

Odchylka rovin q, a nQ, na normálové vektory rovin

I apaj + bgba cgcacosa =V ^ T X + Ž - Y a l + b l + c l

, a = 90° — /?Odchylka « přímky p(A, u) cos = od roviny p I u . . « .Podmínka kolmosti rovin g, a g 1 or o nc . n„ = 0

a^ o + ¿e6<r + Cpi,, = 0. - | a « i -f bm2 + cms + d \

Vzdálenost bodu M ! Mq I ---------- -------------------------od roviny g V * + * + *

2 Kvadratické útvary v rov in ě a v pros toru

Kuželosečky

Parabola

- označení prvků V vrchol, F ohnisko, o osa, d řídid přímka, 2p > 0 parametr,

I VF\ = j , x+,y+ (x~,y-) kladné (záporné) poloosy souřadnic

44

Rovnice vrcholová

- obecná- parametrické Vnitřní oblast parabolyTečna paraboly v boděT[xo, y 0]

Kružnice- označení

Středová rovnice

Rovnice obecná

- parametrické Vnitřní oblast kružnice KruhTečna knižnice v bodě T[xo,yo]

Elipsa- označení

Excentricita

y 2 = 2px— -2px

x2 = 2py

F [0 ,0] F e x +F e x ~F e y +F ey~ x2 = —2py

V[m, n], o f f x+ (y — n)2 = 2p(x — m)011 y+ (x~~ m)2 = 2p{y — «)

o \ \ x, A ýí 0 y 2 + Ax + By + C = 0K [0 ,0], a > 0 x = f2, y = atF e y + 2py > x2F [ 0 ,0] F e x + yoy = p(x + xo)V[m,n\, o f f x* (yo — n)(y — n) = p(x -f *o — 2m)

r > 0 poloměr, S střed kružnice

S[o, 0]Sfwi, n]

M 2 + N 2 — 4L > 0

S[0, 0]S[0, 0]S[0, 0]S[0, 0] 5 [w , n]

x2 y 2 — r2 ( x — m)2 + ( y — n)2 = r2x2 + y 1 + Mx + Ny + L = 0

s L ^ - y w ] , r = -i- I/aí2 N 2 — 4L

x = r cos y , = r sin cp x2 + y 2 < r2 x2 -f .y2 sí r2 xox + yoy = r2(x o — » * ) ( x — w ) - f C v o — « ) C y — « ) = f 2

a > b > 0 poloosy, a = | A S | hlavní poloosa s ohnisky E, F, b = | CS | vedlejší poloosa, S střed elipsy, e excentricitae = | F S | = | SE j = ]/a2 - b2

Vzorce

Vzorce

Rovnice osová

- obecná

- parametrické

Vnitřní oblast elipsy

Tečna v bodě T[xo, j>o]

Hyperbola- označení

A S <= x, CS <= y •SfO, 0]

n]A S || x, C S \ \y

A S ||y , CS || xb2 aů

Předchozí rovnice lze upravit na tvarAx2 + By2 + Cx + Dy + E = 0, kde A ^ B, A > 0, B > 0. S[0, 0]

x = a cos (p, y = b sinu2

i i - L ^ 1 - 1a2 ^ b2(x — m)2 ( y — n)2 _

a2 b2( x — tri)2 | ( y — n)2 = j

0° ^ q> < 360°AS<= x, C5 c 3; S[0, 0]

S[0, 0]

n]

v*

- ^ + ^ = 1b2b2xo* + aôy = a2i 2

62(*o — m) (x — m) + a2(y0 — n ) (y — n) = afy

0 < a < e, a = \ A S | = | BS | hlavní poloosa s ohnisky E, F; b > 0 vedlejší poloosa, (neleží však na ní žádný bod hyperboly); e excentrická, S střed hyperboly

y =0'

- obecná

\^ c r

0 \ /0=SA / \ B

Excentricita * = | FS | = | 5 B |Vedlejší poloosa Qr* II li 1 a2

Rovnice osová S[0, 0] EF a x

5[m, n] EF || *

E F \\y

a2 b2( x — m)2 ( y - n )2

a2 b2( x - m )2 , ( y - n )2

b2 ^ a2Předchozí rovnice lze upravit na tvarAx- — By2 -f CX + Dy -f- £ = 0, kde A > 0, B > 0.

46

- parametrické

Vnitřní oblast hyperboly

Tečna v bodě T[xo,yo\

Směrnice asymptot (EF c: x)

S[0, 0]EF <= x 0° á ■ = a2*2

Rovnice rovnoosé hyperboly s asymptotami v osách soustavy souřadnic nebo rovnoběžnými s osami souřadnic

hlavní osa v přímce se směrnicí k — 1 S[0, 0]

•S[m, m]

hlavní osa v přímce se směrnicí k = — 1 S[0, 0]

* r= y fl2

(x — m) (y — ti) = - a2

Kulová plocha- označení Rovnice

Tečná rovina kulové plochy v bodě T[xo,yo,zo]

S[m, tt] (.x — m )(y — n) = — y a2

x(S, r), 5 střed kulové plochy, r poloměrS[0, 0] S[m , M, ?]

S f m ,«,

x2 + y 2 + z1 = r2(x - w)2 + ( y - n)2 + ( a r - ?)2 = r2(x0 — m) (x — tri) + (y0 — ti) Cy — ») + (*o — q) (z — q) = r2

2.7 Diferenciální a in teg rá ln í počet

1 D e r i v a c e f u n k c e

Derivace funkce v bodě xo y — /(x)

Derivace funkce y = m

Derivace součinu konstanty c y = c ./(x) a funkce

y = / '(* > )= lim /(*) — /(xo)

y = / ' ( * ) = lim /»-►0

y = c ./ '(x )

X—*xn *0/(x + A )- /(x )

Vzorce

Derivace součtu a rozdílu funkcí*Derivace součinu funkcí

Derivace podílu funkcí

Derivace složené funkceDerivace některých elementárních funkcí

Rovnice tečny ke grafu funkce v bodě [xo, / ( xo)]Lokální extrémy funkcí

y = ci/(*) ± c2£(.v) či, ci konstantyy = m . g { x )

/(*)*(*)

1

> * (* )# 0

, g i x ) ^ 0g(x)

y =f(g(x))y = k, k konstanta y = xnpro ta x, pro která je xn definovánoy = sin x y = cos x

y = tg*,n

x # (2fc + 1) —

y = cotg x, x ^ k n

y = eTy = ax, a > 0, 1

y = ln x, x > 0

y = loga xa > 0, a # 1, x > 0y = f ( x )

v bodě [x0,/(x 0)] lokální minimum lokální maximum

y = cif’(x) ± ag(x)

/ =/'(*) • £(*) +/(■*) • g \x ) f \x) • £(*) - f ( x ) . g\x)

.y =

y = _

OK*))2g\x)

GK*))2y = / T O ) * ř 'w y = 03»' = wx” ’1

_y = cos x y = — sin x

1y - - -----------------

COS2X

y = — sin-x

y — ax ln a

y - —

.y =1

x ln a

y — / ( jco) = /'(*o) (x — x0)

/'(xo) = 0 a zároveň /*(xo) > 0 /'(xo) = 0 a zároveň /"(xo) < 0

2 P r i m i t i v n í fu n k c e

Definice F ( x ) = / ( x ) ; J/(*) dx = F(x) + c, c konstanta

48

Primitivní funkce k součinu konstanty a funkcePrimitivní funkce k součtu a rozdílu funkcí

Primitivní funkce některých elementárních funkcí

y = a , a konstantay = af(x) ± bg(x) a, b konstanty

y = a, a konstanta

y = xn, n =/= — 1

1^ = 7

y = cos x

y — sin x

____1_^ cos2* 3 ” ' v_” 1 */ 2

3 U r č i t ý i n t e g r á l

Definice

Záměna mezí

Meze sobě rovné

Rozděleníintervalu,a < c < b

Obsah plochy omezené grafem funkce y = /(*), osou * a přímkami x = a, x — b;/ t o v <a, b} nezáporná

Objem rotačního tělesa, vytvořeného rotací popsaného obrazce kolem osy *

y = - 4-- , x ^ k - Ksrn2*

y = ez

y — ax, a > 0, 1

F(x) primitivní funkce kfix), a, b reálná čísla, mezeb a

| /(*) d* = — J /(x) dx

a .fix) dx = a . j f(x) dx

[af(x) ± bg(x)\ dx =

= a | /(x) dx ± b J ¿(x) dx

a dx — a j dx = ax -f c

xn dx =rn+l

« + 1+ C.

dx— = ln x + c x

cos x dx = sin x -f c

sin x dx = —cos x + c

1COS2 X

1

dx = tg x + c

dx = —cotg x -f- cs u r x

e* dx = e® + c

ax dx = ln a + c

f{x) dx = [F(*)]> = F(b) - F(a).

J / ( x ) d x = 0a

b c b

J f ix ) dx = J f(x) dx + J /(*) dxa <2 c

b

5 = J /(*) dx

= 7T J > ( x ) djc

Vzorce/

49

3 O T A B U L K Á C H F U N K C Í

Pokyny

3.1 Tabelování hodnot funkce

Definice funkce reálné proměnnéNa množině D(/) je dána funkce / , jc-li ke každému číslu x z dané množiny D(/) (oboru funkce) při

řazeno právě jedno číslo y množiny R. Čísla x e D(/) se nazývají hodnoty proměnné nebo hodnoty argum entu, čísla j r e R se nazývají hodnoty funkce. Píšeme y = f ( x ) .

Tabulka funkceHodnoty proměnné a jim příslušné hodnoty funkce se zapisují do tabulek, které jsou buď sloupcové, nebo

plošné.

Tabulka sloupcováVe sloupcových tabulkách jsou v jednom sloupci hodnoty proměnné a ve druhém sloupci hodnoty funkce,

a to tak, že hodnota proměnné a k ní příslušná hodnota funkce jsou v témž řádku. Příkladem je tabulka 1, zachycující část hodnot proměnné a hodnot funkce y = x 2. Např. 1042 = 10 816.

Tabulka plošnáV tabulce plošné je hodnota funkce příslušná určité hodnotě proměnné uvedena v průsečíku řádku, který

má v záhlaví několik prvních číslic hodnoty proměnné, a sloupce, který má v záhlaví zbývající číslice hodnoty proměnné. Příkladem plošné tabulky je tabulka 2.

Tabulka 2

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1,0 1,000 1,020 1,040 1,061 1,082 1,103 1,124 1,145 1,166 1,188

1,1 1,210 1,232 1,254 1,277 1,300 1,323 1,346 1,369 1,392 1,4161,2 1,440 1,464 1,488 1,513 1,538 1,563 1,588 1,613 1,638 1,6641,3 1,690 1,716 1,742 1,769 1,796 1,823 1,850 1,877 1,904 1,932

Tabulka 1 Tabulka 3

n n2

100 10 000

101 10 201102 10 404103 10 609104 10 816105 11 025106 11 236

1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 5 7 10 12 14 17 19 22

Dvojcifemá skupina - např. 1,2 z čísla 1,23 - je v prvním sloupci a platí pro celý řádek, na jehož počátku je uvedena; třetí číslice - 3 - je uvedena v záhlaví sloupce. Hodnota funkce příslušná číslu 1,23 je uvedena v průsečíku řádku 1,2 se sloupcem 3. Příslušná hodnota funkce je tedy 1,513.

Každou tabulku, která obsahuje hodnoty proměnné a k nim příslušné hodnoty funkce, budeme stručně nazývat tabulka funkce. Budeme tedy hovořit o tabulce druhých mocnin, o tabulce goniometrických funkcí apod.

50

Hodnoty proměnnéJe-li funkce definována na nekonečné množině, např. pro všechna reálná čísla, není možné v žádných

tabulkách všechny hodnoty zapsat. Hodnoty proměnné omezíme počtem platných číslic; v našich tabulkách jsou hodnoty proměnné třímístné.

Hodnoty proměnné náleží pak do určitého intervalu z oboru funkce. Např. v tabulkách druhých mocnin jsou tříciferné hodnoty proměnné z intervalu <1,00; 9,99); v tabulce goniometrických funkcí jsou hodnoty proměnné z intervalu <0°00'; 90°). Interval je volen tak, aby pomocí známých vlastností funkcí bylo možné určit hodnoty funkce i pro hodnoty proměnné z jiných intervalů oboru funkce.

Krok tabulkyHodnoty proměnné rostou v tabulkách obvykle rovnoměrně, tj. tak, že rozdíl dvou po sobě následujících

hodnot proměnné je stálý. Tento rozdíl se nazývá krok tabulky. Např. krok tabulky druhých mocnin je1,01 — 1,00 = 0,01, krok tabulky goniometrických funkcí je 10'.

Hodnoty funkceHodnoty funkce v tabulkách jsou většinou jen aproximace hodnot. Mnohacifemá a iracionální čísla jsou

totiž v tabulkách zaokrouhlena. Jsou-li např. zaokrouhlena na čtyři platné číslice (např. 1,513), říkáme, že tabulky jsou čtyřmístné.

Tabulková diferenceRozdíl dvou po sobě následujících hodnot funkce se nazývá tabulková diference a označuje se písmenem

D (někdy d, popřípadě A). Na rozdíl od kroku tabulky není diference stálá, ale mění se podle průběhu funkce. Diference je důležitá pro lineární interpolaci.

3.2 Lineární in terpo lace funkcí

Má-li hodnota proměnné v tabulkách 3 platné číslice, můžeme (za jisté podmínky, kterou nebudeme vysvětlovat) z tabulek určit i hodnotu funkce pro hodnotu proměnné se čtyřmi platnými číslicemi tzv. lineární interpolací. (Obdobně z tabulek, v nichž hodnoty proměnné jsou čtyřmístné, můžeme lineární interpolací určit hodnotu funkce pro pěticifernou hodnotu proměnné.)

Při lineární interpolaci rostoucích funkcí předpokládáme, že v určitém malém intervalu < a, b > oboru funkce jsou přírůstky hodnot funkce přímo úměrné přírůstkům hodnot proměnné. To znamená, že zvětší-li se hodnota proměnné a o n desetin rozdílu b — a, zvětší se hodnota funkce f(á) o n desetin rozdílu

_ Df(b) — /(a) = D (tj. diference). Číslo dn = — n se nazývá oprava hodnoty funkce pro n.

Např. z tabulky druhých mocnin vyplývá, že

^ O » 50’ ) D — 0,06 = 10,56. /

3,242 = 3,252

Pokyny

51

Pokyny

Hledáme-li 3,2472, pak přírůstku 0,007, tj. sedmi desetinám z rozdílu sousedních hodnot proměnné, odpo-7 0,06

vídá přírůstek — rozdílu hodnot funkce; oprava je tedy <h = . 7 = 0,042 = 0,04. To znamená, že

3,2472 == 10,50 + 0,04 = 10,54. Hodnota funkce vypočtená lineární interpolací, může mít absolutní chybu nejvýše rovnou jednotce řádu poslední platné číslice; tzn., že 3,2472 = 10,54 i 0,01.

K usnadnění lineární interpolace jsou v tabulkách uvedeny na konci každého řádku zaokrouhlené opravy d„ pro n = 1,2, ..., 9 (viz tab. 3).

Opravy platí pro celý řádek i v případě, kdy se diference o jednotku posledního místa liší; přesnější výsledek bychom proto někdy dostali lineární interpolací.

Tam, kde nelze opravy vypočítat jednotně pro celý řádek, je někdy řádek rozdělen na části a opravy jsou vypočteny pro každou část zvlášť (viz např. tabulku 9.2).

V tabulce 5.2 je tečkovanou čarou mezi hodnotami funkce a vypočtenými opravami naznačen interval, ve kterém interpolace pomocí vypočtených oprav může vést k chybě větší, než je jednotka posledního místa; v tomto intervalu je proto vhodnější najít přesnější hodnoty interpolací podle vzorce

Interpolace funkcí klesajícíchJe-li a f(b), je funkce klesající. Pak f(b) — f(a) = D < 0. Když vypočítáme nebo

najdeme opravu dn — | D |, musíme opravu dn od hodnoty /(a ) odečíst!

3.3 Vyhledání hodnoty prom ěnné

Až dosud jsme vysvědovali vyhledání hodnoty funkce k dané hodnotě proměnné. Tabulky umožňujíi řešení obrácené úlohy: k dané hodnotě funkce určit příslušnou hodnotu proměnné. Pokud je hodnota funkce přímo uvedena v tabulce, stačí vypsat příslušnou hodnotu proměnné ze záhlaví příslušného řádku a sloupce. Není-li hodnota funkce přímo v tabulce, je možné hodnotu proměnné získat lineární interpolací nebo použít nejbližší hodnotu funkce.

Interpolace p ři určování hodnoty proměnnéJe-li dáno f(h) takové, že f(a) < f(h) < f(b), kde /(a ) a f(b) jsou sousední tabelované hodnoty funkce,

pak /(A) — /(a) je oprava dn a f(b) — j(a) = D je. tabulková diference. Protože platí

D ; D dn jo • n 9 j® n — “# • iq •V našich tabulkách jsou opravy uvedeny na kond řádku; k vypočtené opravě dH najdeme příslušné n

přímo v nadpisu sloupce.U funkcí rostoucích připisujeme n k hodnotě a jako další číslid hodnoty proměnné; u funkcí klesajících

ji v jednotkách řádu k — 1 (kde k je řád poslední platné číslice) od a odčítáme.

3.4 Aproxim ace čísel a výpočty s nimi

Aproximace hodnot funkceV běžných úlohách z praxe mají údaje obvykle tři a maximálně čtyři platné číslice. V takovém případě

neodpovídají vícemístné hodnoty funkce uvedené v tabulkách přesnosti údajů. Je-li např. úhel dán jen

52

i přesností na desítky minut, např. a = 32°40', znamená to, že úhel a je z intervalu <32°35', 32°45').Pak pro sin a platí

sin 32°35' < sin a < sin 32°45'neboli

0,5386 < sin a < 0,5409.Je zřejmé, že v uvedeném příkladu se shodují jen první platné číslice a po zaokrouhlení dvě platné číslice: 0,54. Nemá proto význam uvádět sin 32°40' (je-li hodnota proměnné zaokrouhlena na desítky minut) přesněji než 0,54, další číslice jsou nespolehlivé. Vyhledáme tedy v tabulkách sin 32°40' = 0,5398 a zaokrouhlíme na dvě platné číslice: 0,54.

Ve vysvětlivkách k jednotlivým tabulkám je proto uvedeno, kolik platných číslic má hodnota funkce, má-li hodnota proměnné určitý počet platných číslic.

Zaokrouhleni hodnot funkceV některých případech je tedy potřeba zaokrouhlit hodnotu funkce na menší počet platných číslic, než

udává tabulka. V takovém případě by mohly vznikat chyby při zaokrouhlování čísel, která mají na posledním platném místě číslici 5.

Číslice 5 na posledním misteJe-li nad číslicí 5 na posledním platném místě pruh (5), vznikla pětka zaokrouhlením (např. 1,49 = 1,5). Má-

me-li tedy při zaokrouhlování číslici 5 vypustit, pak předchozí číslici ponecháme (nezvětšujeme ji o jednotku). Např. 46,65 = 46,6. Není-li vypouštěná číslice 5 nijak označena, pak při zaokrouhlování předchozí číslicio jednotku zvětšíme. Např. 37,45 == 37,5. Stejně zaokrouhlujeme, je-li nad vypouštěnou číslicí 5 tečka (5); to je v případě, kdy hodnota je přesná a za číslicí 5 jsou samé nuly. Např. 1,52 = 2,25 j pak 2,25 = 2,3.

Výpočty s aproxim acem i číselHodnoty funkcí uvedené v tabulkách jsou obvykle zaokrouhlené. Musíme proto s nimi počítat jako s apro

ximacemi čísel. Přesná, matematicky zdůvodněná pravidla se probírají v učebnicích matematiky. Pro běžnou praxi stačí tato jednodušší, ovšem hrubší pravidla:

U součtu aproxim ací čísel určím e ten nejnižší řád sčítanců, který m á platné číslice ve všech sčítancích. Na tento řád výsledek zaokrouhlíme. Např. v součtu

8,6 4524,516,3 4

49,4 8 = 49,5jsou platné číslice v desetinách všech sčítanců; za desetinami naznačíme svislou čarou platné číslice, sečteme počínaje setinami a výsledek zaokrouhlíme na desetiny.

Obdobně postupujeme u rozdílu:637,8

- 52,1 5

585,6 5 = 585,7Součin má tolik platných číslic, kolik jich m á činitel s nejm enším počtem platných číslic.

Má-li např. 3,8 dvě platné číslice a 24,3 tři platné číslice, pak součin 3,8 .24,3 má jen dvě platné číslice.I když tedy vypočteme přímo, pomocí logaritmů nebo počítačkou jako součin číslo 92,34, zaokrouhlíme je na dvě platné číslice: 92.

Obdobně podíl 24,3 : 3,8 má jen dvě platné číslice, tedy podíl je 6,4.Při umocnění aproxim ace čísla m á mocnina tolik platných číslic, kolik platných číslic m á

základ.Odmocnina z aproxim ace čísla m á tolik platných číslic, kolik platných číslic m á odmocňované

číslo.

Pokyny

53

Pokyny

P ři složitějších výpočtech zaokrouhlujeme dílčí výsledky tak, aby měly o jednu platnou číslici více, než udávají předchozí pravidla; další výpočty provádím e s těmito zaokrouhlenými výsledky a s čísly, která m ají jen o jednu platnou číslici více, než bude zapotřebí ve výsledku. Známe-li některý údaj s libovolnou přesností, pak k získání výsledku s k platnými číslicemi počítáme s údajem zaokrouhleným na k + 1 platnou číslici.

3.5 Grafy funkcí a jejich užití

Grafem funkce y = /(x) nazýváme množinu všech bodů o souřadnicích [x, _y], kde x jsou hodnoty prom ěnné a y jim příslušné hodnoty funkce. Pomocí tabulek snadno narýsujeme grafy tabelo- vaných funkcí tak, že k dvojcifemým hodnotám proměnné najdeme dvojciferné hodnoty funkcí a body narýsujeme na milimetrový papír.

Grafy nejdůlcžitějších funkcí jsou u tabulek jednotlivých funkcí narýsovány. Grafy mohou sloužit k rychlému vyhledáni přibližné hodnoty funkce při odhadech nebo při kontrole správnosti výpočtu, ke sledování průběhu funkce a ke grafickému řešení některých rovnic, které jinými metodami na střední škole řešit nedovedeme.

Grafické řešení rovnicŘešíme-li graficky rovnici /(x) = p(x), narýsujeme grafy funkcí y = /(x) a y = p{x) a určíme souřad

nice průsečíků obou grafů. Má-li průsečík souřadnice [xo, .yo], pak platí yo = /(xo) a yo = p(xo), takže

/(*>) = P (x o ) ;to však znamená, že xo je kořenem rovnice

/(x) = p{x) .13 3

Např. rovnici 4x® — 13x — 6 = 0 upravíme na tvar x3 = — x - f —13 3 4 2

a narýsujeme grafy funkd .y = x3 a y = — x + — .

Můžeme využít grafu funkce y = x3 na str. 70 nebo šablony grafů funkd Logarex 25 516. 3 y Průsečíky obou grafů mají x-ové souřadnice — — , — — , 2,

3 1 2 2 takže kořeny rovnice jsou — — , — — , 2.

3.6 Úprava tabulek

Před každou tabulkou funkce nebo před skupinou tabulek je výklad o tom, jak s tabulkou pracovat, pak následují tabulky a grafy funkd.

54

Tabulka obsahuje rozklady čísel 1—1 000 v součin prvočísel. Využije se při krácení zlomků, při určování nejmenšího společného násobku a největšího společného dělitele.

Tabulka slouží i k vyhledávání všech prvočísel menších než 1 000; jsou vytištěna polotučně ve sloupci rozkladů.

4.1 Rozklad čísel v součin prvočísel

4.2 Hodnoty a logaritm y hodnot některých konstant

Při výpočtech obsahů a objemů geometrických útvarů se často vyskytují výrazy s některými odmocninami nebo se zlomky čísla n. K urychlení výpočtů jsou takové výrazy a jejich logaritmy obsaženy v tabulce 4.2.

Např. objem koule se počítá podle vzorce

V = jTzr*;

4v tabulce 4.2 najdeme, že — tc = 4,1888, takže počítáme

V = 4,1888 . r 3 .

4.3 Faktoriály

Tabulku užíváme např. k určení počtu permutací n prvků podle vzorceV

P(ri) — n\ — n .(n — 1 ) ..........3 . 2 . 1

4.4 Binomičtí součinitelé

Tabulku užíváme k určení počtu ¿-členných kombinací z n prvků podle vzorce K(k, n) počtu mocnin dvojčlenů podle binomické věty (viz vzorce na str. 26).

= ( ” ) a k vý-

4.5 Mocniny čísla 2

Tabulky mocnin používáme např. při zapisování čísel ve dvojkové soustavě.

4.6 Pravidelné mnohoúhelníky

V pravidelném mnohoúhelníku označíme n ... počet stran q ... poloměr kružnice vepsanéa ... délku strany o ... obvodr ... poloměr kružnice S ... obsah

opsané

55

Je-li pro pravidelný n-úhelník dáno jedno z čísel a, r, g, o, S, vypočteme pomocí tabulky zbývající čísla. Např. do kruhu o poloměru r = 10,0 cm je vepsán pravidelný sedmiúhelník. Vypočtěte a, q, o, S. ŘešeníPodle tabulky 4.6 platí:

r : a = 1,1524, takže a = r : 1,1524, tj. a = 10,0cm : 1,1524 = 8,68cmo : r = 6,0744 o — r . 6,0744 o = 10,0 cm . 6,0744 ^ 60,7 cm5 : i* = 2,7364 S = r2 . 2,7364 5 = 100 cm2 . 2,7364 = 273 cm2g : r =- 0,9010 q = r . 0,9010 g = 10,0 cm . 0,9010 == 9,01 cm

Obdobně řešíme úlohy s jiným zadáním n-úhelníku.

4.7 Form áty papíru

Normalizované formáty papíru jsou si geometricky podobné a mají poměr stran x : y = 1 : }'2 = = 1 : 1,414. Je to poměr strany čtverce a jeho úhlopříčky y = x \2 .

Form áty téže řady vznikají postupným půlením delší strany, takže obsahy ploch sousedních formátů téže řady jsou v poměru 1 : 2.

Hlavní řada A vychází z formátu, jehož plocha má obsah 1 m2. Jeho strany jsou x = 0,841 m, y = = 1,189 m. Formáty hlavní řady A jsou formáty technických výkresů, sešitů aj.

Formáty doplňkové řady B jsou v geometrických středech mezi formáty hlavní řady A; formáty doplňkové řady C jsou v geometrických středech mezi formáty řady A a řady B.

56

4.1 Rozklad čísel v součin prvočísel 1 — 249

n součin

150 2 .3 .5 2

151 151152 23. 19153 32. 17154 2.7.11155 5.31156 22.3.13157 157158 2.79159 3.53

160 25. 5

161 7.23162 2 .3 4163 163164 22.41165 3.5.11166 2.83167 167168 23.3.7169 132

170 2.5.17

171 32. 19172 22. 43173 173174 2.3 .29175 52. 7176 2“. 11177 3.59178 2.89179 179

180 22.3 2. 5

181 181182 2.7.13183 3.61184 23.23185 5.37186 2.3.31187 11.17188 22. 47189 33.7

190 2.5.19

191 191192 26. 3193 193194 2.97195 3.5.13196 22. 72197 197198 2 .32. 11199 199

n součin

100 22.52

101 101102 2.3.17103 103104 23. 13105 3 .5 .7106 2.53107 107108 22.3 3109 109

110 2.5.11

111 3.37112 24.7113 113114 2.3 .19115 5.23116 22. 29117 32. 13118 2.59119 7.17

120 23. 3.5

121 l l 2122 2.61123 3.41124 22. 31125 53126 2.32. 7127 127128 27129 3.43

130 2.5.13

131 131132 22. 3 .11133 7.19134 2.67135 33. 5136 23. 17137 137138 2.3.23139 139

140 22. 5.7

141 3.47142 2.71143 11.13144 2“.32145 5.29146 2.73147 3 .7 2148 22. 37149 149

n součin

200 23. 5*

201 3.67202 2.101203 7.29204 22. 3.17205 5.41206 2.103207 3*. 23208 2*. 13209 11.19

210 2 .3 .5 .7

211 211212 22. 53213 3.71214 2.107215 5.43216 23.33217 7.31218 2.109219 3.73

220 22. 5 .11

221 13.17222 2.3.37223 223224 25. 7225 32.5 2226 2.113227 227228 22. 3.19229 229230 2.5.23

231 3.7.11232 23.29233 233234 2.32. 13235 5.47236 22. 59237 3.79238 2.7.17239 239

240 2 \ 3 .5

241 241242 2 . I I 2243 38244 22. 61245 5.72246 2.3.41247 13.19248 23. 31249 3.83

n součin

50 2 .52

51 3.1752 22. 1353 5354 2.3355 5.1156 23. 757 3.1958 2 .2 959 59

60 22. 3.5

61 6162 2.3163 32. 764 2#65 5.1366 2.3.1167 6768 22. 1769 3.23

70 2 .5 .7

71 7172 23. 3273 7374 2.3775 3 .5276 22. 1977 7.1178 2.3 .1379 79

80 2*.5

81 3«82 2.4183 8384 22. 3 .785 5.1786 2.4387 3.2988 23. 1189 89

90 2 .32. 5

91 7.1392 4.2393 3.3194 2.4795 5.1996 25. 397 9798 2 .7 299 32. 11

n součin

1 12 23 34 225 56 2.37 78 239 32

10 2.5

11 1112 22. 313 1314 2.715 3.516 2417 1718 2 .3219 19

20 22. 5

21 3.722 2.1123 2324 23. 325 5226 2.1327 3328 22. 729 29

30 2.3 .5

31 3132 2533 3.1134 2.1735 5.736 22.3 237 3738 2.1939 3.13

40 23.5

41 4142 2 .3 .743 4344 22. 1145 32. 546 2.2347 4748 2* .349 72

57

250—491

čísla

n součin

250 2.5»

251 251252 22.3 a. 7253 11.23254 2.127255 3.5 .17256 2»257 257258 2.3.43259 7.37

260 2*. 5.13

261 32. 29262 2.131263 263264 2». 3.11265 5.53266 2.7 .19267 3.89268 2*. 67269 269

270 2.33. 5

271 271272 2«. 17273 3.7 .13274 2.137275 5*. 11276 2*.3.23277 277278 2.139279 3*. 31

280 2». 5 .7

281 281282 2.3.47283 283284 2*. 71285 3.5 .19286 2.11.13287 7.41288 2*. 3*289 1?2

290 2.5 .29

291 3.97292 2*. 73293 293294 2.3.7*295 5.59296 2». 37297 3*. 11298 2.149299 13.23

n součin

300 2*. 3.5*

301 7.43302 2.151303 3.101304 24. 19305 5.61306 2.3*. 17307 307308 4.7.11309 3.103

310 2.5.31

311 311312 2». 3.13313 313314 2.157315 3*.5.7316 2*. 79317 317318 2.3.53319 11.29

320 2». 5

321 3.107322 2.7.23323 17.19324 2*. 3«325 5*. 13326 2.163327 3.109328 2*. 41329 7.47

330 2.3.5.11

331 331332 2*. 83333 3*. 37334 2.167335 5.67336 2*.3.7337 337338 2.13*339 3.113

340 2*.5.17

341 11.31342 2.3*.19343 7*344 2*. 43345 3.5 .23346 2.173347 347348 2*.3.29349 349

n součin

350 2.5*.7

351 3*. 13352 2M 1353 353354 2.3 .59355 5.71356 2*. 89357 3.7.17358 2.179359 359

360 2*. 3*.5

361 192362 2.181363 3.11*364 2*.7.13365 5.73366 2.3.61367 367368 2«.23369 3*. 41

370 2.5.37

371 7.53372 2*. 3.31373 373374 2.11.17375 3.5*376 2*. 47377 13.29378 2.33. 7379 379

380 2*.5.19

381 3.127382 2.191383 383384 27. 3385 5.7.11386 2.193387 3*.43388 2*. 97389 389

390 2.3 .5 .13

391 17.23392 23.72393 3.131394 2.197395 5.79396 2*. 3*.11397 397398 2.199399 3.7 .19

n součin

400 2«. 5*

401 401402 2.3.67403 13.31404 2*. 101405 3«. 5406 2.7.29407 11.37408 2*.3.17409 409

410 2.5.41

411 3.137412 2*. 103413 7.59414 2.3*. 23415 5.83416 25. 13417 3.139418 2.11.19419 419

420 2*.3 .5 .7

421 421422 2.211423 3*. 47424 2J.53425 5*. 17426 2.3.71427 7.61428 2*.107429 3.11.13

430 2.5.43

431 431432 24. 3*433 433434 2.7.31435 3.5 .29436 2*. 109437 19.23438 2.3.73439 439

440 2*.5.11

441 32 .72442 2.13.17443 443444 2*.3.37445 5.89446 2.223447 3.149448 2«. 7449 449

n součin

450 2.3*. 5>

451 11.41452 22. 113453 3.151454 2.227455 5.7.13456 23. 3.19457 457458 2.229459 33. 17

460 2-, 5.23

461 461462 2.3.7.11463 463464 24. 29465 3.5.31466 2.233467 467468 22. 32. 13469 7.67

470 2.5.47

471 3.157472 23. 59473 11.43474 2.3.79475 52.19476 22. 7.17477 32. 53478 2.239479 479

•180 ~2 ~. 3TŠ

481 13.37482 2.241483 3.7.23484 2*. 11*485 5.97486 2.3»487 487488 23. 61489 3.163

490 2.5.7*

491 491492 22. 3.41493 17.29494 2.13.19495 3* .5 .11496 2*. 31497 7.71498 2.3.83499 499

58

500 —749

n součin

550 2 .5 2. 11

551 19.29552 23. 3.23553 7.79554 2.277555 3.5.37556 22.139557 557558 2.32.31559 13.43

560 2*.5.7

561 3.11.17562 2.281563 563564 22.3 .47565 5.113566 2.283567 3«.7568 2».71569 569

570 2 .3 .5 .19

571 571572 22.11.13573 3.191574 2.7.41575 52.23576 2«. 32577 577578 2.172579 3.193

580 22. 5.29

581 7.83582 2.3 .97583 11.53584 23.73585 32. 5.13586 2.293587 587588 22.3 .72589 19.31

590 2.5 .59

591 3.197592 2*.37593 593594 2.33. 11595 5.7.17596 22. 149597 3.199598 2.13.23599 599

11 součin

500 22.53

501 3.167502 2.251503 503504 23.32.7505 5.101506 2 . 11.&3507 3.132508 22.127509 509

510 2.3 .5 .17

511 7.73512 2»513 33. 19514 2.257515 5.103516 22. 3.43517 11.47518 2.7.37519 3.173

520 23.5.13

521 521522 2 .32. 29523 523524 22.131525 3.52.7526 2.263527 17.31528 2*.3 .11529 232

530 2.5.53

531 32.59532 22.7.19533 13.41534 2.3 .89535 5.107536 23. 67537 3.179538 2.269539 72. l l

540 22.38.5

541 541542 2.271543 3.181544 2S. 17545 5.109546 2.3 .7 .13547 547548 22. 137549 32. 61

n součin

600 23.3 .5 2

601 601602 2.7.43603 32.67604 22.151605 5.112606 2.3.101607 607608 26.19609 3.7 .29

610 2.5.61

611 13.47612 22. 32.17613 613614 2.307615 3.5.41616 23. 7.11617 617618 2.3.103619 619

620 22.5.31

621 33. 23622 2.311623 7.89624 24.3.13625 5*626 2.313627 3.11.19628 22.157629 17.37

630 2.32.5.7

631 631632 23. 79633 3.211634 2.317635 5.127636 22.3 .53637 72.13638 2.11.29639 32.71

640 27.5

641 641642 2.3.107643 643644 22. 7.23645 3.5 .43646 2.17.19647 647648 28.34649 11.59

n součin

650 2.52.13

651 3.7.31652 22. 163653 653654 2.3.109655 5.131656 2*.41657 32.73658 2.7.47659 659

660 22.3.5.11

661 661662 2.331663 3.13.17664 23. 83665 5.7.19666 2.32.37667 23.29668 22.167669 3.223

670 2.5.67

671 11.61672 25.3 .7673 673674 2.337675 33.52676 22.132677 677678 2.3.113679 7.97

680 23. 5.17

681 3.227682 2.11.31683 683684 22. 32.19685 5.137686 2.73687 3.229688 24.43689 13.53

690 2.3 .5 .23

691 691692 22.173693 32.7.11694 2.347695 5.139696 23. 3.29697 17.41698 2.349699 3.233

n součin

700 22.52.7

701 701702 2 .33. 13703 19.37704 2° .11705 3.5.47706 2.353707 7.101708 22.3.59709 709

710 2.5.71

711 32.79712 23. 89713 23.31714 2 .3 .7 .17715 5.11.13716 22. 179717 3.239718 2.359719 719

720 24.3 2. 5

721 7.103722 2.192723 3.241724 22.181725 52.29726 2.3.11*727 727728 23.7 .13729 3«

730 2.5 .73

731 17.43732 22.3.61733 733734 2.367735 3 .5 .7 2736 25. 23737 11.67738 2.32.41739 739

740 22.5.37

741 3.13.19742 2.7.53743 743744 23. 3.31745 5.149746 2.373747 32.83748 22.11.17749 7.107

59

750 — 1 000

n součin

950 2.5*.19

951 3.317952 2s . 7.17953 953954 2 .32. 53955 5.191956 22. 239957 3.11.29958 2.479959 7.137

960 2«.3.5

961 31*962 2.13.37963 3*.107964 2*. 241965 5.193966 2 .3 .7 .23967 967968 2S. 11*969 3.17.19

970 2.5.97

971 971972 2s. 3S973 7.139974 2.487975 3.52. 13976 24. 61977 977978 2.3.163979 11.89

980 2*. 5.7»

981 3*.109982 2.491983 983984 23.3.41985 5.197986 2.17.29987 3.7.47988 2*.13.19989 23.43

990 2.3*.5.11

991 991992 2*. 31993 3.331994 2.7.71995 5.199996 2«.3.83997 997998 2.499999 33.37

1 000 23.5*

n součin

900 2*. 3*. 5*

901 17.53902 2.11.41903 3.7 .43904 2*.113905 5.181906 2.3.151907 907908 2*. 227909 3*.101

910 2 .5 .7 .13

911 911912 24. 3.19913 11.83914 2.457915 3.5.61916 2*. 229917 7.131918 2.3*.17919 919

920 23.5.23

921 3.307922 2.461923 13.71924 22.3.7.11925 5*. 37926 2.463927 32. 103928 2S.29929 929

930 2.3.5.31

931 7*. 19932 2*. 233933 3.311934 2.467935 5.11.17936 23. 3*. 13937 937938 2.7.67939 3.313

940 2*. 5.47

941 941942 2.3.157943 23.41944 2«. 59945 3*.5.7946 2.11.43947 947948 2*.3.79949 13.73

n součin

850 2.5*.17

851 23.37852 2*. 3.71853 853854 2.7.61855 3*. 5.19856 2*. 107857 857858 2.3.11.13859 859

860 2*. 5.43

861 3.7.41862 2.431863 863864 2». 3*865 5.173866 2.433867 3.17*868 2*.7.31869 11.79

870 2.3 .5 .29

871 13.67872 2*. 109873 3*. 97874 2.19.23875 5*.7876 2*. 3.73877 877878 2.439879 3.293

880 24 . 5.11

881 881882 2.3*.7*883 883884 2*.13.17885 3.5.59886 2.443887 887888 2*. 3.37889 7.127

890 2.5.89

891 34.11892 2*.223893 19.47894 2.3.149895 5.179896 27.7897 3.13.23898 2.449899 29.31

n součin

800 2». 5*

801 3*. 89802 2.401803 11.73804 2*. 3.67805 5.7.23806 2.13.31807 3.269808 23.101809 809

810 2 .34. 5

811 811812 2*. 7.29813 3.271814 2.11.37815 5.163816 24. 3.17817 19.43818 2.409819 3*.7.13

820 2*. 5.41

821 821822 2.3.137823 823824 2*.103825 3 .5 * .11826 2.7.59827 827828 2*. 3*. 23829 829

830 2.5.83

831 3.277832 2«. 13833 7*. 17834 2.3.139835 5.167836 2*.11.19837 33.31838 2.419839 839

840 23.3.5.7

841 29*842 2.421843 3.281844 2*.211845 5.13*846 2.3*. 47847 7.11*848 24.53849 3.283

n součin

750 2.3.53

751 751752 24.47753 3.251754 2.13.29755 5.151756 2*. 3*. 7757 757758 2.379759 3.11.23

760 23.5.19

761 761762 2.3.127763 7.109764 2*. 191765 3*. 5.17766 2.383767 13.59768 2*.3769 769

770 2.5.7.11

771 3.257772 2*.193773 773774 2.3*.43775 5*.31776 2*. 97777 3.7.37778 2.389779 19.41

780 22.3 .5 .13

781 11.71782 2.17.23783 3*. 29784 2«. 7*785 5.157786 2.3.131787 787788 22. 197789 3.263

790 2.5.79

791 7.113792 2*. 3*.11793 13.61794 2.397795 3.5.53796 2*. 199797 797798 2.3 .7 .19799 17.47

60

4.2 Hodnoty a logaritm y hodnot některých konstant

Čísla

n log n n log n n log «

}l2 1,4142 0,1505 1/3 1,7321 0,2386 e 2,7183 0,43431/ 2/2 0,7071 0,8495-1 1/3/2 0,8660 0,9375-1 1/e 0,3679 0,5657-1

V3/3 0,5774 0,7614-11^3/4 0,4330 0,6365-1j/3/6 0,2887 0,4604-1

ir 3,1416 0,4971 1/tc 0,3183 0,5029-1 1/í/tt 0,5642 0,7514-1271 6,2832 0,7982 l / 2 ir 0,1592 0,2018-1 y 1/271 0,3989 0,6009-14tt 12,5664 1,0992 1/4 jr 0,0796 0,9008-2 Vi /4tt 0,2821 0,4504-1tc/2 1,5708 0,1961 2/k 0,6366 0,8039-1 ]/2fn 0,7979 0,9019-1rc/3 1,0472 0,0200 3In 0,9549 0,9800-1 V 3/tc 0,9772 0,9900-1ir/4 0,7854 0,8951-1 4 /tz 1,2732 0,1049 1 4j n 1,1284 0,0625TI 16 0,5236 0,7190-1 6/tt 1,9099 0,2810 Vď/tt 1,3820 0,1405it/12 0,2618 0,4180-1 12/tt 3,8197 0,5820 1/12/7c 1,9544 0,29107t/180 0,0175 0,2419-2 180/jt 57,296 1,7581 1/180/tt 7,5694 0,8791tt/360 0,0087 0,9408-3 360/tt 114,59 2,0592 V360/ti 10,705 1,0296

47r/3 4,1888 0,6221 3/ 4tt 0,2387 0,3779-1 j/ 3/4tt 0,6204 0,7926-1

Hodnoty k . 2tt, kde k — 1, 2, 3, 10, jsou uvedeny na str. 86, 87 dole.

4.3 Faktoriály

0 ! 11 ! 1 61 720 11 ! 39 916800 16! 20 922789 8880002 ! 2 7! 5040 1 2 ! 479 001600 17! 355 687428 0960003! 6 8 ! 40320 13! 6227 020800 18! 6402 373705 7280004! 24 9! 362880 14! 87178 291200 19! 121645 100408 8320005! 120 1 0 ! 3 628800 15! 1 307674 368000 2 0 ! 2 432902 008176 640000

21!22!23!24!25!

51 090942 171709 440000 1124 000727 777607 680000

25852 016738 884976 640000 620448 401733 239439 360000

15 511210 043330 985984 000000

26!27!28!29!30!

403 291461 126605 635584 000000 10888 869450 418352 160768 000000

304888 344611 713860 501504 000000 8 841761 993739 701954 543616 000000

265 252859 812191 058636 308480 000000

1 ! 1 6 ! 24.3 2.5 1 1 !2 ! 2 7! 24.3 2.5 .7 1 2 !3! 2 .3 8 ! 27.32.5 .7 13!4! 23.3 9! 27.34.5 .7 14!5! 23.3 .5 1 0 ! 28.3 4.52.7 15!

28 .34.5 2. 7 .11 210.35.5 2. 7 .11 210.35.52.7.11.13 2U.35.5 2.72.11.13 2n .38.53.72.11.13

16!17!18!19!20!

215.3«.53. 72.11.13215.36.53.72.1 1.1 3 .1 7216.38.53.72.1 1 .1 3 .17218.38.53.72.11 .13 .17 .19218.38.5 4.7 2.11.13.17.19

21!22!23!24!25!

218.39.54.73.11 .13.17.19219.39.5 4.73. I I 2. 13.17.19219.3 9.5 4.73. I I 2. 13.17.19.23222. 310. 54. 73. n 2. 13.17.19.23222.310. 56. 73. u 2. 13. 17 . 19.23

26!27!28!29!30!

2 2 3 .3 1 0 .5 6 .7 3 .n 2 .1 3 2 .1 7 .19.232 2 3 .3 1 3 .5 6 .7 3 .n 2 .132.1 7.1 9 .2 3 225 .313.56.7 4. 112.132.1 7.1 9.232 25. 318 .5 6 .74 .1 1 2 .13 2 .1 7.19 . 2 3 .2 92 26.314. 5 7 .74 . 1 1 2 .1 3 2 .1 7 .19 . 23 .2 9

61

4.4 Binomičtí součinitelé

n (S) (?) © © © © © (?) © © (.o) n

1 1 1 12 1 2 1 23 1 3 3 1 3

4 1 4 6 4 1 45 1 5 10 10 5 1 56 1 6 15 20 15 6 1 6

7 1 7 21 35 35 21 7 1 78 1 8 28 56 70 56 28 8 1 89 1 9 36 84 126 126 ' 84 36 9 1 9

10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 10

4.5 Mocniny čísla 2

n 2" n 2” n 2» n 2" n 2n

1 2 10 1 024 19 524 288 28 268 435 456 37 137 438 953 4722 4 11 2 048 20 1 048 576 29 536 870 912 38 274 877 906 9443 8 12 4 096 21 2 097 152 30 1 073 741 824 39 549 755 813 8884 16 13 8 192 22 4 194 304 31 2 147 483 648 40 1 099 511 627 7765 32 14 16 384 23 8 388 608 32 4 294 967 296 41 2 199 023 255 5526 64 15 32 768 24 16 777 216 33 8 589 934 592 42 4 398 046 511 1047 128 16 65 536 25 33 554 432 34 17 179 869 184 43 8 796 093 022 2088 256 17 131 072 26 67 108 864 35 34 359 738 368 44 17 592 186 044 4169 512 18 262 144 27 134 217 728 36 68 719 476 736 45 35 184 372 088 832

4.6 Pravidelné mnohoúhelníkyn r : a r : q q : a í? : * o : r o : g S 5 :r* S : q*

3 0,5774 2,0000 0,2887 0,5000 5,1962 10,3923 0,4330 1,2990 5,19624 0,7071 1,4142 0,5000 0,7071 5,6569 8,0000 1,0000 2,0000 4,00005 0,8507 1,2361 0,6882 0,8090 5,8779 7,2654 1,7205 2,3776 3,6327

6 1,0000 1,1547 0,8660 0,8660 6,0000 6,9282 2,5981 2,5981 3,46417 1,1524 1,1099 1,0383 0,9010 6,0744 6,7420 3,6339 2,7364 3,37108 1,3066 1,0824 1,2071 0,9239 6,1229 6,6274 4,8284 2,8284 3,31379 1,4619 1,0642 1,3737 0,9397 6,1564 6,5515 6,1818 2,8925 3,2757

10 1,6180 1,0515 1,5388 0,9511 6,1813 6,4984 7,6942 2,9389 3,2492

11 1,7747 1,0422 1,7028 0,9595 6,1981 6,4598 9,3656 2,9735 3,229912 1,9319 1,0353 1,8660 0,9659 6,2117 6,4308 11,1962 3,0000 3,215413 2,0893 1,0299 2,0286 0,9709 6,2222 6,4084 13,1858 3,0207 3,204214 2,2470 1,0257 2,1906 0,9749 6,2306 6,3908 15,3345 3,0372 3,195415 2,4049 1,0223 2,3523 0,9781 6,2373 6,3767 17,6424 3,0505 3,1883

16 2,5629 1,0196 2,5137 0,9808 6,2429 6,3652 20,1094 3,0615 3,182617 2,7211 1,0173 2,6748 0,9830 6,2475 6,3557 22,7355 3,0706 3,177918 2,8794 1,0154 2,8356 0,9848 6,2513 6,3478 25,5208 3,0782 3,173919 3,0378 1,0138 2,9963 0,9864 6,2546 6,3411 28,4452 3,0846 3,1705

20 3,1962 1,0125 3,1569 0,9877 6,2574 6,3354 31,5688 3,0902 3,1677

24 3,8306 1,0086 3,7979 0,9914 6,2653 6,3193 45,5745 3,1058 3,159748 7,6449 1,0021 7,6285 0,9979 6,2787 6,2922 183,085 3,1326 3,146196 15,2816 1,0005 15,2734 0,9995 6,2821 6,2854 733,124 3,1394 3,1427

192 30,5591 1,0001 30,5550 0,9999 6,2829 6,2837 2933,28 3,1410 3,1419384 61,1162 1,0000 61,1141 1,0000 6,2831 6,2833 11733,9 3,1415 3,1417

63

5 F U N K C E x ^ x 3

5.1 Druhá mocnina a odmocnina

V tabulce 5.1 jsou uvedeny hodnoty funkce y = x2, zaokrouhlené na čtyři platné číslice, pro x rostoud po 0,01 v intervalu <1,00; 10,09).

Má-li číslo jen dvč (tři) platné čislice, pak i jeho druhá mocnina má jen dvě (tři) platné číslice. Vyhledávání hodnot je popsáno na str. 52.

Příklady:5,018 ... řádek 2,2, sloupec 4 + 27 ... sloupec 6 oprav

2,2462

5,0459,3002 == 86,49 ... řádek 9,3, sloupec 0 Má-li 9,3 jen dvč platné číslice, je 9,32 r= 86.

Máme-li určit druhou mocninu čísla n, které není z intervalu <1,00; 10,09), napíšeme n jako součin »o • 10*, kde no je číslo z intervalu <1,00; 10,09) a k je celé číslo. Pak n2 = n%. 102*.Příklady:80822 = (8,082 . 103)2 = 8,0822 . 10« = 65,32 . 10«0,015072 = (1,507 . 10-2)2 = 1,5072 . 10-“ = 2,272 . 10~4

Tabulka 5.1 slouží také k hledání druhých odmocnin čísel.Najdeme-li v tabulce hodnot číslo, jehož druhou odmocninu hledáme, čteme v záhlaví příslušného řádku

první dvě platné číslice a v záhlaví příslušného sloupce třetí platnou ďslid. Není-li dané číslo v tabulce, najdeme odmocninu z čísla nejbližšího k danému číslu nebo určíme čtvrtou platnou dslid pomod tabulek oprav v pravé části tabulek.

Příklady:1/9,734 = 3,12

9,734 ... řádek 3,1, sloupec 2^2345 = 1,531

2,341 ... řádek 1,5, sloupec 34 ... k diferend 4 nejbližší oprava 3 ve sloupd 1

Uvedeným postupem hledáme druhé odmocniny čísel z intervalu <1,00; 99,80). Máme-li určit druhou odmocninu z čísla n, které není z uvedeného intervalu, vyjádříme n jako součin no . 102*, kde «0 je z intervalu <1,00; 99,80) (má před desetinnou čárkou jednocifernou nebo dvojdfemou skupinu číslic). Pak

j/«o. 102* = ^«o . 10*.Příklady:^885,7 = V'8,857. 102 = j/8,857 . 10 = 29,76ý š 857" = j/88,57 . 102 = ^8837 . 10 = 9,411. 10 = 94,11y57004 955 = y49,55 . 10-4 = ^49,55 . 10 '2 = 7,039 . 10 '2 = 0,070 39

Druhá odmocnina má právě tolik platných číslic, jako odmocňované číslo. Např. ^43,00 = 6,558, J/43 = 6,6.

Na str. 70 je sestrojen graf funkce y = x2, pomod něhož můžeme odhadovat druhé mocniny a druhé odmocniny, a který umožňuje grafické řešení kvadratické rovnice (str. 54).

64

5.2 T řetí mocnina a odmocnina

V tabulce 5.2 jsou uvedeny hodnoty funkce y — xz, zaokrouhlené na čtyři platné číslice, pro x rostoucí po 0,01 v intervalu <1,00; 10,09).

Úprava tabulky a postup při hledání třetích mocnin a třetích odmocnin je obdobný jako při hledání druhých mocnin a odmocnin.

Význam tečkované čáry mezi hodnotami funkce a vypočtenými opravami je vysvětlen na str. 52.Máme-li určit třetí mocninu čísla n, které není z intervalu <1,00; 10,09), napíšeme ti jako součin « o -10*,

kde no je číslo z intervalu <1,00; 10,09) a k je celé číslo; pak n3 — t i l . I®3*- Máme-li určit třetí odmocninu z čísla n, které není z intervalu <1,00; 997,0), vyjádříme n jako součin

«o. 103Ar, kde no je z intervalu <1,00; 997,0) (má před desetinnou čárkou jednocifernou až třícifernou skupinu číslic); pak

. 3 ___________ 3 _

}/TIq . 103* = }/„0 . 10* .

Třetí mocnina a třetí odmocnina čísel, která mají čtyři (tři, dvě, jednu) platné číslice, má rovněž čtyři (tři, dvě, jednu) platné aslice.

P říklady:2,3673 13jl4 + 0jl2 = 13,2667,83» = (6,783 . 10)3 = 6,7833 . 103 ^ 312,1 . 103 = 312 100 8,043 = 520 (8,04 i 520 mají po třech platných číslicích)3_______

^482,5 ==7,843 481,9 ... řádek 7,8, sloupec 4

6 ... diference 6 ve sloupci 3 oprav3 _________ 3 ____________________3 ______________

|/0,2182 = |/218,2 . ÍO-3 = ]/218,2 . 10-1 = 6,02 . 10“1 = 0,602

Na str. 70 je sestrojen graf funkce y — x:i, pomocí něhož můžeme odhadovat třetí mocniny a třetí odmocniny a který umožňuje grafické řešení rovnic třetího stupně (viz př. na str. 54).

5.1 Druhá mocnina

Většímu n odpovídá větší n*.

tl 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 1 4 5 6 7 8 9

1,0 1,000 1,020 1,040 1,061 1,082 1,103 1,124 1,145 1,166 1,188 2 4 6 8 10 13 15 17 19

1,1 1,210 1,232 1,254 1,277 1,300 1,323 1,346 1,369 1,392 1,416 2 5 7 9 11 14 16 18 211,2 1,440 1,464 1,488 1,513 1,538 1,563 1,588 1,613 1,638 1,664 2 5 7 10 12 15 17 20 221,3 1,690 1,716 1,742 1,769 1,796 1,823 1,850 1,877 1,904 1,932 3 5 8 11 13 16 19 22 24

1,4 1,960 1,988 2,016 2,045 2,074 2,103 2,132 2,161 2,190 2,220 3 6 9 12 14 17 20 23 261,5 2,250 2,280 2,310 2,341 2,372 2,403 2,434 2,465 2,496 2,528 3 6 9 12 15 19 22 25 281,6 2,560 2,592 2,624 2,657 2,690 2,723 2,756 2,789 2,822 2,856 3 7 10 13 16 20 23 26 30

1,7 2,890 2,924 2,958 2,993 3,028 3,063 3,098 3,133 3,168 3,204 3 7 10 14 17 21 24 28 311,8 3,240 3,276 3,312 3,349 3,386 3,423 3,460 3,497 3,534 3,572 4 7 11 15 18 22 26 30 331,9 3,610 3,648 3,686 3,725 3,764 3,803 3,842 3,881 3,920 3,960 4 8 12 16 19 23 27 31 35

2,0 4,000 4,040 4,080 4,121 4,162 4,203 4,244 4,285 4,326 4,368 4 8 12 16 20 25 29 33 37

2,1 4,410 4,452 4,494 4,537 4,580 4,623 4,666 4,709 4,752 4,796 4 9 13 17 21 26 30 34 392,2 4,840 4,884 4,928 4,973 5,018 5,063 5,108 5,153 5,198 5,244 4 9 13 18 22 27 31 36 402,3 5,290 5,336 5,382 5,429 5,476 5,523 5,570 5,617 5,664 5,712 5 9 14 19 23 28 33 38 42

2,4 5,760 5,808 5,856 5,905 5,954 6,003 6,052 6,101 6,150 6,200 5 10 15 20 24 29 34 39 442,5 6,250 6,300 6,350 6,401 6,452 6,503 6,554 6,605 6,656 6,708 5 10 15 20 25 31 36 41 462,6 6,760 6,812 6,864 6,917 6,970 7,023 7,076 7,129 7,182 7,236 5 11 16 21 26 32 37 42 48

2,7 7,290 7,344 7,398 7,453 7,508 7,563 7,618 7,673 7,728 7,784 5 11 16 22 27 33 38 14 492,8 7,840 7,896 7,952 8,009 8,066 8,123 8,180 8,237 8,294 8,352 6 11 17 23 28 34 40 46 512,9 8,410 8,468 8,526 8,585 8,644 8,703 8,762 8,821 8,880 8,940 6 12 18 24 29 35 41 47 53

3,0 9,000 9,060 9,120 9,181 9,242 9,303 9,364 9,425 9,486 9,548 6 12 18 24 30 37 43 49 55

3,1 9,610 9,672 9,734 9,797 9,860 9,923 9,986 6 13 19 25 31 38 44 50 563,1 10,05 10,11 10,18 1 1 2 3 3 4 5 5 63,2 10,24 10,30 10,37 10,43 10,50 10,56 10,63 10,69 10,76 10,82 1 1 2 3 3 4 5 5 63,3 10,89 10,96 11,02 11,09 11,16 11,22 11,29 11,36 11,42 11,49 1 1 2 3 3 4 5 5 63,4 11,56 11,63 11,70 11,76 11,83 11,90 11,97 12,04 12,11 12,18 1 1 2 3 3 4 5 6 63,5 12,25 12,32 12,39 12,46 12,53 12,60 12,67 12,74 12,82 12,89 1 1 2 3 4 4 5 6 63,6 12,96 13,03 13,10 13,18 13,25 13,32 13,40 13,47 13,54 13,62 1 1 2 3 4 4 5 6 73,7 13,69 13,76 13,84 13,91 13,99 14,06 14,14 14,21 14,29 14,36 1 2 2 3 4 5 5 6 73,8 14,44 14,52 14,59 14,67 14,75 14,82 14,90 14,98 15,05 15,13 1 2 2 3 4 5 5 6 73,9 15,21 15,29 15,37 15,44 15,52 15,60 15,68 15,76 15,84 15,92 1 2 2 3 4 5 6 6 7

4,0 16,00 16,08 16,16 16,24 16,32 16,40 16,48 16,56 16,65 16,73 1 2 2 3 4 5 6 6 7

4,1 16,81 16,89 16,97 17,06 17,14 17,22 17,31 17,39 17,47 17,56 1 2 2 3 4 5 6 7 7-»,2 17,6-1 17,72 17,81 17,89 17,98 18,06 18,15 18,23 18,32 18,40 1 2 3 3 1 5 6 7 84,3 18,49 18,58 18,66 18,75 18,84 18,92 19,01 19,10 19,18 19,27 1 2 3 3 4 5 6 7 8

4,4 19,36 19,45 19,54 19,62 19,71 19,80 19,89 19,98 20,07 20,16 1 2 3 4 5 5 6 7 84,5 20,25 20,34 20,43 20,52 20,61 20,70 20,79 20,88 20,98 21,07 1 2 3 4 5 5 6 7 84,6 21,16 21,25 21,34 21,44 21,53 21,62 21,72 21,81 21,90 22,00 1 2 3 4 5 6 7 7 8

4,7 22,09 22,18 22,28 22,37 22,47 22,56 22,66 22,75 22,85 22,94 1 2 3 4 5 6 7 8 94,8 23,04 23,14 23,23 23,33 23,43 23,52 23,62 23,72 23,81 23,91 1 2 3 4 5 6 7 8 94,9 24,01 24,11 24,21 24,30 24,40 24,50 24,60 24,70 24,80 24,90 1 2 3 4 5 6 7 8 9

5,0 25,00 25,10 25,20 25,30 25,40 25,50 25,60 25,70 25,81 25,91 1 2 3 4 5 6 7 8 9

5,1 26,01 26,11 26,21 26,32 26,42 26,52 26,63 26,73 26,83 26,94 1 2 3 4 5 6 7 8 95,2 27,04 27,14 27,25 27,35 27,46 27,56 27,67 27,77 27,88 27,98 1 2 3 4 5 6 7 8 95,3 28,09 28,20 28,30 28,41 28,52 28,62 28,73 28,84 28,94 29,05 1 2 3 4 5 6 7 9 10

5,4 29,16 29,27 29,38 29,48 29,59 29,70 29,81 29,92 30,03 30,14 1 2 3 4 6 7 8 9 105,5 30,25 30,36 30,47 30,58 30,69 30,80 30,91 31,02 31,14 31,25 1 2 3 4 6 7 8 9 10

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Posune-li se v čísle n desetinná čárka o jedno místo, posune se desetinná čárka v čísle ns o dvě místa.

66

5.1 Druhá mocninay = x*

Většímu n odpovídá větší n2.

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 89 |

5,5 30,25 30,36 30,47 30,58 30,69 30,80 30,91 31,02 31,14 31,25 1 2 3 4 6 7 8 9 105,6 31,36 31,47 31,58 31,70 31,81 31,92 32,04 32,15 32,26 32,38 1 2 3 5 6 7 8 9 105,7 32,49 32,60 32,72 32,83 32,95 33,06 33,18 33,29 33,41 33,52 1 2 3 5 6 7 8 9 105,8 33,64 33,76 33,87 33,99 34,11 34,22 34,34 34,46 34,57 34,69 1 2 4 5 6 7 8 9 115,9 34,81 34,93 35,05 35,16 35,28 35,40 35,52 35,64 35,76 35,88 1 2 4 5 6 7 8 10 11

6,0 36,00 36,12 36,24 36,36 36,48 36,60 36,72 36,84 36,97 37,09 1 2 4 5 6 7 9 10 11

6,1 37,21 37,33 37,45 37,58 37,70 37,82 37,95 38,07 38,19 38,32 1 2 4 5 6 7 9 10 116,2 38,44 38,56 38,69 38,81 38,94 39,06 39,19 39,31 39,44 39,56 1 3 4 5 6 8 9 10 116,3 39,69 39,82 39,94 40,07 40,20 40,32 40,45 40,58 40,70 40,83 1 3 4 5 6 8 9 10 116,4 40,96 41,09 41,22 41,34 41,47 41,60 41,73 41,86 41,99 42,12 1 3 4 5 6 8 9 10 126,5 42,2$ 42,38 42,51 42,64 42,77 42,90 43,03 43,16 43,30 43,43 1 3 4 5 7 8 9 10 126,6 43,56 43,69 43,82 43,96 44,09 44,22 44,36 44,49 44,62 44,76 1 3 4 5 7 8 9 11 126,7 44,89 45,02 45,16 45,29 45,43 45,56 45,70 45,83 45,97 46,10 1 3 4 5 7 8 9 11 126,8 46,24 46,38 46,51 46,65 46,79 46,92 47,06 47,20 47,33 47,47 1 3 4 5 7 8 10 11 126,9 47,61 47,75 47,89 48,02 48,16 48,30 48,44 48,58 48,72 48,86 1 3 4 6 7 8 10 11 13

7,0 49,00 49,14 49,28 49,42 49,56 49,70 49,84 49,98 50,13 50,27 1 3 4 6 7 8 10 11 13

7,1 50,41 50,55 50,69 50,84 50,98 51,12 51,27 51,41 51,55 51,70 1 3 4 6 7 9 10 11 137,2 51,84 51,98 52,13 52,27 52,42 52,56 52,71 52,85 53,00 53,14 1 3 4 6 7 9 10 12 137,3 53,29 53,44 53,58 53,73 53,88 54,02 54,17 54,32 54,46 54,61 1 3 4 6 7 9 10 12 137,4 54,76 54,91 55,06 55,20 55,35 55,50 55,65 55,80 55,95 56,10 1 3 4 6 7 9 10 12 137,5 56,25 56,40 56,55 56,70 56,85 57,00 57,15 57,30 57,46 57,61 2 3 5 6 8 9 11 12 147,6 57,76 57,91 58,06 58,22 58,37 58,52 58,68 58,83 58,98 59,14 2 3 5 6 8 9 11 12 147,7 59,29 59,44 59,60 59,75 59,91 60,06 60,22 60,37 60,53 60,68 2 3 5 6 8 9 11 12 147,8 60,84 61,00 61,15 61,31 61,47 61,62 61,78 61,94 62,09 62,25 2 3 5 6 8 9 11 13 147,9 62,41 62,57 62,73 62,88 63,04 63,20 63,36 63,52 63,68 63,84 2 3 5 6 8 10 11 13 14

8,0 64,00 64,16 64,32 64,48 64,64 64,80 64,96 65,12 65,29 65,45 2 3 5 6 8 10 11 13 14

8,1 65,61 65,77 65,93 66,10 66,26 66,42 66,59 66,75 66,91 67,08 2 3 5 7 8 10 11 13 158,2 67,24 67,40 67,57 67,73 67,90 68,06 68,23 68,39 68,56 68,72 2 3 5 7 8 10 12 13 158,3 68,89 69,06 69,22 69,39 69,56 69,72 69,89 70,06 70,22 70,39 2 3 5 7 8 10 12 13 158,4 70,56 70,73 70,90 71,06 71,23 71,40 71,57 71,74 71,91 72,08 2 3 5 7 8 10 12 14 158,5 72,25 72,42 72,59 72,76 72,93 73,10 73,27 73,44 73,62 73,79 2 3 5 7 9 10 12 14 158,6 73,96 74,13 74,30 74,48 74,65 74,82 75,00 75,17 75,34 75,52 2 3 5 7 9 10 12 14 168,7 75,69 75,86 76,04 76,21 76,39 76,56 76,74 76,91 77,09 77,26 2 4 5 7 9 11 12 14 168,8 77,44 77,62 77,79 77,97 78,15 78,32 78,50 78,68 78,85 79,03 2 4 5 7 9 11 12 14 168,9 79,21 79,39 79,57 79,74 79,92 80,10 80,28 80,46 80,64 80,82 2 4 5 7 9 11 13 14 16

9,0 81,00 81,18 81,36 81,54 81,72 81,90 82,08 82,26 82,45 82,63 2 4 5 7 9 11 13 14 16

9,1 82,81 82,99 83,17 83,36 83,54 83,72 83,91 84,09 84,27 84,46 2 4 5 7 9 11 13 15 169,2 84,64 84,82 85,01 85,19 85,38 85,56 85,75 85,93 86,12 86,30 2 4 6 7 9 11 13 15 179,3 86,49 86,68 86,86 87,05 87,24 87,42 87,61 87,80 87,98 88,17 2 4 6 7 9 11 13 15 179,4 88,36 88,55 88,74 88,92 89,11 89,30 89,49 89,68 89,87 90,06 2 4 6 8 9 11 13 15 179,5 90,25 90,44 90,63 90,82 91,01 91,20 91,39 91,58 91,78 91,97 2 4 6 8 10 11 13 15 179,6 92,16 92,35 92,54 92,74 92,93 93,12 93,32 93,51 93,70 93,90 2 4 6 8 10 12 14 15 179,7 94,09 94,28 94,48 94,67 94,87 95,06 95,26 95,45 95,65 95,84 2 4 6 8 10 12 14 16 189,8 96,04 96,24 96,43 96,63 96,83 97,02 97,22 97,42 97,61 97,81 2 4 6 8 10 12 14 16 189,9 98,01 98,21 98,41 98,60 98,80 99,00 99,20 99,40 99,60 99,80 2 4 6 8 10 12 14 16 18

10,0 100,00 100,20 100,40 100,60 100,80 101,00 101,20 101,40 101,61 101,81 2 4 6 8 10 12 14 16 18

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Posune-li se v čísle n desetinná čárka o jedno místo, posune se desetinná čárka v čísle n2 o dvě místa.

67

5.2 T řetí mocninay — x 1

Vétšímu n odpovídá větší n3.

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 56 i

7 81

1,0 1,000 1,030 1,061 1,093 1,125 1,158 1,191 1,225 1,260 1,295 : 3 7 10 13 17 20 23 26 30

1,1 1,331 1,368 1,405 1,443 1,482 1,521 1,561 1,602 1,643 1,685 : 4 8 12 16 20 24 28 33 371,2 1,728 1,772 1,816 1,861 1,907 1,953 2,000 2,048 2,097 2,147 : 5 9 14 19 23 28 33 38 421,3 2,197 2,248 2,300 2,353 2,406 2,460 2,515 2,571 2,628 2,686 : 5 11 16 22 27 33 38 44 491,4 2,744 2,803 2,863 2,924 2,986 3,049 3,112 3,177 3,242 3,308 : 6 13 19 25 32 38 44 50 571,5 3,375 3,443 3,512 3,582 3,652 3,724 3,796 3,870 3,944 4,020 : 7 14 22 29 36 43 50 58 651,6 4,096 4,173 4,252 4,331 4,411 4,492 4,574 4,657 4,742 4,827 : 8 16 25 33 41 49 57 65 741,7 4,913 5,000 5,088 5,178 5,268 5,359 5,452 5,545 5,640 5,735 : 9 18 28 37 46 55 64 74 831,8 5,832 5,930 6,029 6,128 6,230 6,332 6,435 6,539 6,645 6,751 : 10 21 31 41 51 62 72 82 931,9 6,859 6,968 7,078 7,189 7,301 7,415 7,530 7,645 7,762 7,881 :11 23 34 46 57 68 80 91 103

2,0 8,000 8,121 8,242 8,365 8,490 8,615 8,742 8,870 8,999 9,129 :13 25 38 50 63 76 88 101 113

2,1 9,261 9,394 9,528 9,664 9,800 9,938 :14 27 41 54 68 81 95 108 1222,1 10,08 10,22 10,36 10,50 1 3 4 6 7 9 10 11 132,2 10,65 10,79 10,94 11,09 11,24 11,39 11,54 11,70 11,85 12,01 2 3 5 6 8 9 11 12 142,3 12,17 12,33 12,49 12,65 12,81 12,98 13,14 13,31 13,48 13,65 2 3 5 7 8 10 12 13 152,4 13,82 14,00 14,17 14,35 14,53 14,71 14,89 15,07 15,25 15,44 2 4 5 7 9 11 13 14 162,5 15,63 15,81 16,00 16,19 16,39 16,58 16,78 16,97 17,17 17,37 2 4 6 8 10 12 14 16 182,6 17,58 17,78 17,98 18,19 18,40 18,61 18,82 19,03 19,25 19,47 2 4 6 8 11 13 15 17 192,7 19,68 19,90 20,12 20,35 20,57 20,80 21,02 21,25 21,48 21,72 2 5 7 9 11 14 16 18 202,8 21,95 22,19 22,43 22,67 22,91 23,15 23,39 23,64 23,89 24,14 2 D 7 10 12 15 17 20 222,9 24,39 24,64 24,90 25,15 25,41 25,67 25,93 26,20 26,46 26,73 3 5 8 10 13 16 18 21 23

3,0 27,00 27,27 27,54 27,82 28,09 28,37 28,65 28,93 29,22 29,50 3 6 8 11 14 17/ 20 22 25

3,1 29,79 30,08 30,37 30,66 30,96 31,26 31,55 31,86 32,16 32,46 3 6 9 12 15 18 21 24 273,2 32,77 33,08 33,39 33,70 34,01 34,33 34,65 34,97 35,29 35,61 3 6 10 13 16 19 22 25 293,3 35,94 36,26 36,59 36,93 37,26 37,60 37,93 38,27 38,61 38,96 3 7 10 13 17 20 24 27 303,4 39,30 39,65 40,00 40,35 40,71 41,06 41,42 41,78 42,14 42,51 4 7 11 14 18 21 25 29 323,5 42,88 43,24 43,61 43,99 44,36 44,74 45,12 45,50 45,88 46,27 4 8 11 15 19 23 27 30 343,6 46,66 47,05 47,44 47,83 48,23 48,63 49,03 49,43 49,84 50,24 4 8 12 16 20 24 28 32 363.7 50,65 51,06 51,48 51,90 52,31 52,73 53,16 53,58 54,01 54,44 4 8 13 17 21 25 30 34 383,8 54,87 55,31 55,74 56,18 56,62 57,07 57,51 57,96 58,41 58,86 4 9 13 18 22 27 31 36 403,9 59,32 59,78 60,24 60,70 61,16 61,63 62,10 62,57 63,04 63,52 5 9 14 19 23 28 33 37 42

4,0 64,00 64,48 64,96 65,45 65,94 66,43 66,92 67,42 67,92 68,42 5 10 15 20 25 30 34 39 44

4,1 68,92 69,43 69,93 70,44 70,96 71,47 71,99 72,51 73,03 73,56 5 10 16 21 26 31 36 41 474,2 74,09 74,62 75,15 75,69 76,23 76,77 77,31 77,85 78,40 78,95 5 11 16 22 27 33 38 43 494,3 79,51 80,06 80,62 81,18 81,75 82,31 82,88 83,45 84,03 84,60 6 11 17 23 28 34 40 45 514,4 85,18 85,77 86,35 86,94 87,53 88,12 88,72 89,31 89,92 90,52 : 6 12 18 24 30 36 42 48 544,5 91,13 91,73 92,35 92,96 93,58 94,20 94,82 95,44 96,07 96,70 : 6 12 19 25 31 37 44 50 564,6 97,34 97,97 98,61 99,25 99,90 : 6 13 19 26 32 38 45 51 584,6 100,5 101,2 101,8 102,5 103,2 1 1 2 3 3 4 5 5 64,7 103,8 104,5 105,2 105,8 106,5 107,2 107,9 108,5 109,2 109,9 1 1 2 3 3 4 5 5 64,8 110,6 111,3 112,0 112,7 113,4 114,1 114,8 115,5 116,2 116,9 1 1 2 3 4 4 5 6 64,9 117,6 118,4 119,1 119,8 120,6 121,3 122,0 122,8 123,5 124,3 1 1 2 3 4 4 5 6 7

5,0 125,0 125,8 126,5 127,3 128,0 128,8 129,6 130,3 131,1 131,9 1 2 2 3 4 5 5 6 7

5,1 132,7 133,4 134,2 135,0 135,8 136,6 137,4 138,2 139,0 139,8 1 2 2 • 3 4 5 6 6 75,2 140,6 141,4 142,2 143,1 143,9 144,7 145,5 146,4 147,2 148,0 1 2 2 3 4 5 6 7 75,3 148,9 149,7 150,6 151,4 152,3 153,1 154,0 154,9 155,7 156,6 1 2 3 3 4 5 6 7 85,4 157,5 158,3 159,2 160,1 161,0 161,9 162,8 163,7 164,6 165,5 1 2 3 4 4 5 6 7 85,5 166,4 167,3 168,2 169,1 170,0 171,0 171,9 172,8 173,7 174,7 1 2 3 4 5 6 6 7 8

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 89

Posunc-li se v čísle n desetinná čárka o jedno místo, posune se desetinná čýka v čísle n3 o tři místa.

68

5.2 T řetí mocninay =

Většímu ti odpovídá větší n3.

1 ” ,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9

5,5 166,4 167,3 168,2 169,1 170,0 171,0 171,9 172,8 173,7 174,7 1 2 3 4 5 6 6 7 85/> 175,6 176,6 177,5 178,5 179,4 180,4 181,3 182,3 183,3 184,2 1 2 3 4 5 6 7 8 95,7 185,2 186,2 187,1 188,1 189,1 190,1 191,1 192,1 193,1 194,1 1 2 3 4 5 6 7 8 95,8 195,1 196,1 197,1 198,2 199,2 200,2 201,2 202,3 203,3 204,3 1 2 3 4 5 6 7 8 95,9 205,4 206,4 207,5 208,5 209,6 210,6 211,7 212,8 213,8 214,9 1 2 3 4 5 6 7 8 9

6,0 216,0 217,1 218,2 219,3 220,3 221,4 222,5 223,6 224,8 225,9 1 2 3 4 5 7 8 9 10

6,1 227,0 228,1 229,2 230,3 231,5 232,6 233,7 234,9 236,0 237,2 1 2 3 5 6 7 8 9 106,2 238,3 239,5 240,6 241,8 243,0 244,1 245,3 246,5 247,7 248,9 1 2 3 5 6 7 8 9 116,3 250,0 251,2 252,4 253,6 254,8 256,0 257,3 258,5 259,7 260,9 1 2 4 5 6 7 8 10 116,4 262,1 263,4 264,6 265,8 267,1 268,3 269,6 270,8 272,1 273,4 1 2 4 5 6 7 9 10 116,5 274,6 275,9 277,2 278,4 279,7 281,0 282,3 283,6 284,9 286,2 1 3 4 5 6 8 9 10 126,6 287,5 288,8 290,1 291,4 292,8 294,1 295,4 296,7 298,1 299,4 1 3 4 5 7 8 9 11 126,7 300,8 302,1 303,5 304,8 306,2 307,5 308,9 310,3 311,7 313,0 1 3 4 5 7 8 10 11 126,8 314,4 315,8 317,2 318,6 320,0 321,4 322,8 324,2 325,7 327,1 1 3 4 6 7 8 10 11 136,9 328,5 329,9 331,4 332,8 334,3 335,7 337,2 338,6 340,1 341,5 1 3 4 6 7 9 10 12 13

7,0 343,0 344,5 345,9 347,4 348,9 350,4 351,9 353,4 354,9 356,4 1 3 4 6 7 9 10 12 13

7,1 357,9 359,4 360,9 362,5 364,0 365,5 367,1 368,6 370,1 371,7 2 3 5 6 8 9 11 12 147,2 373,2 374,8 376,4 377,9 379,5 381,1 382,7 384,2 385,8 387,4 2 3 5 6 8 0 11 13 147,3 389,0 390,6 392,2 393,8 395,4 397,1 398,7 400,3 401,9 403,6 2 3 5 6 8 10 11 13 157,4 405,2 406,9 408,5 410,2 411,8 413,5 415,2 416,8 418,5 420,2 2 3 5 7 8 10 12 13 157,5 421,9 423,6 425,3 427,0 428,7 430,4 432,1 433,8 435,5 437,2 2 3 5 7 9 11 12 14 157,6 439,0 440,7 442,5 444,2 445,9 447,7 449,5 451,2 453,0 454,8 2 4 5 7 9 11 12 14 167,7 456,5 458,3 460,1 461,9 463,7 465,5 467,3 469,1 470,9 472,7 2 4 5 7 9 11 13 14 167,8 474,6 476,4 478,2 480,0 481,9 483,7 485,6 487,4 489,3 491,2 2 4 6 7 9 11 13 15 177,9 493,0 494,9 496,8 498,7 500,6 502,5 504,4 506,3 508,2 510,1 2 4 6 8 9 11 13 15 17

8,0 512,0 513,9 515,8 517,8 519,7 521,7 523,6 525,6 527,5 529,5 2 4 6 8 10 12 14 16 17

8,1 531,4 533,4 535,4 537,4 539,4 541,3 543,3 545,3 547,3 549,4 2 4 6 8 10 12 14 16 188,2 551,4 553,4 555,4 557,4 559,5 561,5 563,6 565,6 567,7 569,7 2 4 6 8 10 12 14 16 188,3 571,8 573,9 575,9 578,0 580,1 582,2 584,3 586,4 588,5 590,6 2 4 6 8 10 13 15 17 198,4 592,7 594,8 596,9 599,1 601,2 603,4 605,5 607,6 609,8 612,0 2 4 6 9 11 13 15 17 198,5 614,1 616,3 618,5 620,7 622,8 625,0 627,2 629,4 631,6 633,8 2 4 7 9 11 13 15 18 208,6 636,1 638,3 640,5 642,7 645,0 647,2 649,5 651,7 654,0 656,2 2 4 7 9 11 13 16 18 20

8,7 658,5 660,8 663,1 665,3 667,6 669,9 672,2 674,5 676,8 679,2 2 5 7 9 11 14 16 18 218,8 681,5 683,8 686,1 688,5 690,8 693,2 695,5 697,9 700,2 702,6 2 5 7 9 12 14 16 19 218,9 705,0 707,3 709,7 712,1 714,5 716,9 719,3 721,7 724,2 726,6 2 5 7 10 12 14 17 19 22

9,0 729,0 731,4 733,9 736,3 738,8 741,2 743,7 746,1 748,6 751,1 2 5 7 10 12 15 17 20 22

9,1 753,6 756,1 758,6 761,0 763,6 766,1 768,6 771,1 773,6 776,2 3 5 8 10 13 15 18 20 239,2 778,7 781,2 783,8 786,3 788,9 791,5 794,0 796,6 799,2 801,8 3 5 8 10 13 15 18 21 239,3 804,4 807,0 809,6 812,2 814,8 817,4 820,0 822,7 825,3 827,9 3 5 8 10 13 16 18 21 249,4 830,6 833,2 835,9 838,6 841,2 843,9 846,6 849,3 852,0 854,7 3 5 8 11 13 16 19 21 249,5 857,4 860,1 862,8 865,5 868,3 871,0 873,7 876,5 879,2 882,0 3 5 8 11 14 16 19 22 259,6 884,7 887,5 890,3 893,1 895,8 898,6 901,4 904,2 907,0 909,9 3 6 8 11 14 17 20 22 259,7 912,7 915,5 918,3 921,2 924,0 926,9 929,7 932,6 935,4 938,3 3 6 9 11 14 17 20 23 269,8 941,2 944,1 947,0 949,9 952,8 955,7 958,6 961,5 964,4 967,4 3 6 9 12 15 17 20 23 269,9 970,3 973,2 976,2 979,1 982,1 985,1 988,0 991,0 994,0 997,0 3 6 9 12 15 18 21 24 27

10,0 1000,0 1003,0 1006,0 1009,0 1012,01015,1 1018,1 1021,1 1024,2 1027,2 3 6 9 12 15 18 21 24 27

B 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Posune-li se v čísle n desetinná čárka o jedno místo, posune se desetinná čárka v čísle n3 o tři místa.

69

7 0

6 P Ř E V O D Y J E D N O T E K V E L I K O S T Í Ú H L Ů

Velikosti úhlů se udávají v různých jednotkách: v radiánech (rad), ve stupních (°), v gradech (g) a v díl' cích (ů). Přitom platí:

plný úhel = 4 R ^ 2n rad = 360° = 400« = 6 000d .K vyjádření velikostí úhlů v různých jednotkách slouží tabulky 6.1 - 6.4.

6.1 Převod stupňů na radiány

Radián (1 rad) je rovinný úhel, sevřený dvěma poloměry kruhu, které vytínají na obvodě kruhu oblouk stejné délky jako je poloměr. Je tedy

1 rad = = 57°17'45" .71

K vyjádření velikosti úhlu ve stupních, je-li dána velikost úhlu v radiánech a obráceně, používáme dále uvedené vztahy nebo tabulky.

Je-li a číselná hodnota velikosti úhlu ve stupních a x je číselná hodnota velikosti úhlu v radiánech, pak„ * . 180°

a =7U

a ° . 7t

180°V tabulce 6.1 jsou uspořádány číselné hodnoty velikostí úhlů od 0° do 180° rostoucí po 1°, od 0' do 60

rostoucí po 1' a od 0" do 60" rostoucí po 1" a jim odpovídající číselné hodnoty velikostí úhlů v radiánech.

Příklady:Velikost úhlu 164°36'12" vyjádřete v radiánech:

164° ... 2,86234 rad 36' ... 0,01047 20 rad

12" ... 0,00005 82 rad

164°36'12" = 2,87287 rad

Velikost úhlu 2,87287 rad vyjádřete ve stupňové míře. nejblíže nižší hodnota radiánů 2,87287 rad(ve sloupci se stupni) ... —2,86234 rad ... 164°

0,01053 radnejblíže nižší hodnota radiánů(ve sloupci s minutami) ... —0,01047 rad ... 36'

0,00006 radnejbližší hodnota radiánů(ve sloupci s vteřinami) ... 0,000058 rad ... 12"

2,87287 rad = 164°36'12"

Jsou-li velikosti úhlů ve stupňové míře aproximovány, mají číselné hodnoty velikostí úhlů v radiánech menší počet desetinných míst:

71

Míryúhlů

Velikost úhlu zaokrouhlena na

desítkystupňů stupně desítky

minut minutydesítkyvteřin,vteřiny

Číselná hodnota velikosti v radiánech má nejvýše

1 desetinné místo

2 desetinná místa

3 desetinná místa

4 desetinná místa

5 desetinných míst

Pomocí tabulky 6.1 počítáme také délku oblouku a, který v kružnici o poloměru r přísluší středovému úhlu a; velikost úhlu a vyjádříme v radiánech a použijeme vzorce a — r . x. Podobně podle vzorce

S = ~ r-x počítáme obsah kruhové výseče o poloměru r, která má středový úhel velikosti x radiánů.

6.2 Převod stupňů na grady

1« je 1 setina pravého úhlu. Menšími jednotkami jsou decigrad, centigrad, miligrad; píšou se obvyklým způsobem pomocí desetinného čísla, např. 2,6425«. Pro centigrad se podle normy používá i značka c a pro setinu centigradu cc, takže 2,6425* = 2>í64R25cc.

Pro převod stupňů na grady platí vzorec

pro převod gradů na stupně vzorec«° = 0,9yg,

kde a je číselná hodnota velikosti úhlu ve stupních a y je číselná hodnota velikosti úhlu v gradech. Převod urychluje tabulka 6.2.

Přiklad:Velikost úhlu 344°36'12" vyjádřete v gradech.

3 .9 0 ° = 270° ... 300,00000 874° ... 82,22222«

36' ... 0,66667 812" ... 0,00370«

344°36'12" == 382,8926 8

Převod gradů na stupně se provádí obdobně jako u tabulky 6.1 převod radiánů na stupně. Údaj v gradech má právě tolik platných číslic jako údaj ve stupních.Pro převod gradů na radiány platí vztah

* rad = 7r : 200, tj. x rad = 0,015 708 Qy% .

6.3 Převod stupňů na dílce

Dílec je jednotka, které se užívá ve vojenství. Zaměřovači přístroje a dalekohledy jsou opatřeny stupnicemi v dílcích. Platí

360° = 6 000d, 90° = 1 5000, 60° = 1 000*1.

72

K vyjádření velikosti úhlu v dílcích, je-li dána velikost úhlu ve stupních a obráceně, používáme vztahy

K° = 0,06 2«1 ,kde a je číselná hodnota velikosti úhlu ve stupních a z je číselná hodnota velikosti úhlu v dílcích.

Převod urychluje tabulka 6.3. Užívá se obdobně jako tabulka 6.2.

6.4 Převod m inut a vteřin na desetinné zlomky stupně

Při výpočtech potřebujeme někdy velikosti úhlů vyjádřit v desetinných zlomcích stupně, např. na počítačkách. Rovněž některé tabulky mají hodnoty proměnné goniometrických funkcí v desetinných zlomcích stupně. Pro převod minut a vteřin na desetinné zlomky stupně užijeme tabulku 6.4.

Příklad:Velikost úhlu 7°23'15" vyjádřete ve stupních a desetinných zlomcích stupně.

r j O r j O

23' ... 0,38333°15" ... 0,00417°

7°23'15" == 7,38750°

Pomocí tabulky 6.4 vyjádříme i desetinné zlomky stupně v minutách a vteřinách.

Příklad:Velikost úhlu 6,24358° vyjádřete ve stupních, minutách a vteřinách.

6,24358° ... 6°0,23333° ... 14'

0,01025°0,01028° ... 37"

6,24358" 6 14'37"

Naprosto shodně, podle téže tabulky, převádím e hodiny, m inuty a sekundy na hodiny a desetinné zlomky hodiny a naopak.

73

6.1 Převod stupňů na radiány i rad = 57017 '45 '

o rad0 0,00 0001 01 7452 03 4913 05 2364 06 9815 0,08 7276 10 4727 12 2178 13 9639 15 708

10 0,17 45311 19 19912 20 94413 22 68914 24 43515 0,26 18016 27 92517 29 67118 3141619 33 16120 0,34 90721 36 65222 38 39723 40 14324 41 88825 0,43 63326 45 37927 47 12428 48 86929 50 61530 0,52 36031 54 10532 55 85133 57 59634 59 34135 0,61 08736 62 83237 64 57738 66 32339 68 06840 0,69 81341 71 55842 73 30443 75 04944 76 79445 0,78 54046 80 28547 82 03048 83 77649 85 52150 0,87 26651 89 01252 90 75753 92 50254 94 24855 0,95 99356 97 73857 0,99 48458 1,01 22959 02 97460 1,04 720

O rad60 1,04 72061 06 46562 08 21063 09 95664 11 70165 1,13 44666 15 19267 16 93768 18 68269 20 428

" 70 1,22 17371 23 91872 25 66473 27 40974 29 15475 1,30 90076 32 64577 34 39078 36 13679 37 88180 1,39 62681 41 37282 43 11783 44 86284 46 60885 1,48 35386 50 09887 51 84488 53 58989 55 33490 1,57 08091 58 82592 60 57093 62 31694 64 06195 1,65 80696 67 55297 69 29798 71 04299 72 788

100 1,74 5331>H 76 278102 78 024103 79 769104 81 514105 1,83 260106 85 005107 86 750108 88 496109 90 241110 1,91 986111 93 732112 95 477113 97 222114 1,98 968115 2,00 713116 02 458117 04 204118 05 949119 07 694120 2,09 440

O rad120 2,09 4401-1 11 185122 12 930123 14 675124 16 421125 2,18 166126 19911127 21 657128 23 402129 25 147no 2,26 893131 28 638132 30 383133 32 129134 33 874135 2,35 619136 37 365137 39 110138 40 855139 42 601140 2,44 346Mi 46 091142 47 837143 49 582144 51 327145 2,53 073146 54 818147 56 563148 58 309149 60 054150 2,61 799151 63 545152 65 290153 67 035154 68 781155 2,70 526156 72 271157 74 017158 75 762159 77 5071«() 2,79 253161 80 998162 82 743163 84 489164 86 234165 2,87 979166 89 725167 91 470168 93 215169 94 961170 2,96 706171 2,98 451172 3,00 197173 01 942174 03 687175 3,05 433176 07 178177 08 923178 10 669179 12 414180 3,14 159

! rad0 0,00000 00

~~1 029 092 058 183 087 274 116 365 0,00145 446 174 537 203 628 232 719 261 80

10 0,00290 8911 319 9812 349 0713 378 1514 407 2415 0,00436 3316 465 4217 494 5118 523 6019 552 6920 0,00581 7821 610 8722 639 9523 669 0424 698 1325 0,00727 2226 756 3127 785 4028 814 4929 843 5830 0,00872 6631 901 7532 930 8433 959 9334 0,00989 0235 0,01018 1136 1047 2037 1076 2938 1105 3839 1134 4640 0,01163 55•u~ 1192 6442 1221 7343 1250 8244 1279 9145 0,01309 0046 1338 0947 1367 1748 1396 2649 1425 3550 0,01454 4451 1483 5352 1512 6253 1541 7154 1570 8055 0,01599 8956 1628 9757 1658 0658 16871559 1716 2460 0,01745 33

// rad0 0,00000 001 0 482 0 973 1 454 1 945 0,00002 426 2 917 3 398 3 889 4 36

10 0,00004 8511 5 3312 5 8213 6 3014 6 7915 0,00007 2716 7 7617 8 2418 8 7319 9 2120 0,00009 7021 0,00010 1822 10 6723 11 1524 11 6425 0,00012 1226 12 6127 13 0928 13 5729 14 0630 0,00014 5431 15 0332 15 5133 16 0034 16 4835 0,00016 9736 17 4537 17 9438 18 4239 18 9140 0,00019 3941 19 8842 20 3643 20 8544 21 3345 0,00021 8246 22 3047 22 7948 23 2749 23 7650 0,00024 2451 24 7352 25 2153 25 7054 261855 0,00026 6656 27 1557 27 6358 28 1259 28 6060 0,00029 09

74

6.2 Převod stupňů na grady

Míryúhlů

o g0 0,000001 1,111112 2,222223 3,333334 4,444445 5,555566 6,666677 7,777788 8,888899 10,00000

10 11,1111111 12,2222212 13,3333313 14,4444414 15,5555615 16,6666716 17,7777817 18,8888918 20,0000019 21,1111120 22,2222221 23,3333322 24,4444423 25,5555624 26,6666725 27,7777826 28,8888927 30,0000028 31,1111129 32,2222230 33,3333331 34,4444432 35,5555633 36,6666734 37,7777835 38,8888936 40,0000037 41,1111138 42,2222239 43,3333340 44,4444441 45,5555642 46,6666743 47,7777844 48,8888945 50,0000046 51,1111147 52,2222248 53,3333349 54,4444450 55,5555651 56,6666752 57,7777853 58,8888954 60,0000055 61,1111156 62,2222257 63,3333358 64,4444459 65,5555660 66,66667

O g60 66,6666761 67,7777862 68,8888963 70,0000064 71,1111165 72,2222266 73,3333367 74,4444468 75,5555669 76,6666770 77,7777871 78,8888972 80,0000073 81,1111174 82,2222275 83,33333 .76 84,4444477 85,5555678 86,6666779 87,7777880 88,8888981 90,0000082 91,1111183 92,2222284 93,3333385 94,4444486 95,5555687 96,6666788 97,7777889 98,8888990 100,00000

/ g0 0,000001 0,018522 0,037043 0,055564 0,074075 0,092596 0,111117 0,129638 0,148159 0,16667

10 0,1851911 0,2037012 0,2222213 0,2407414 0,2592615 0,2777816 0,2963017 0,3148118 0,3333319 0,3518520 0,3703721 0,3888922 0,4074123 0,4259324 0,4444425 0,4629626 0,4814827 0,5000028 0,5185229 0,5370430 0,5555631 0,5740732 0,5925933 0,6111134 0,6296335 0,6481536 0,6666737 0,6851938 0,7037039 0,7222240 0,7407441 0,7592642 0,7777843 0,7963044 0,8148145 0,8333346 0,8518547 0,8703748 0,8888949 0,9074150 0,9259351 0,9444452 0,9629653 0,9814854 1,0000055 1,0185256 1,0370457 1,0555658 1,0740759 1,0925960 1,11111

// g0 0,000001 0,000312 0,000623 0,000934 0,001235 0,001546 0,001857 0,002168 0,002479 0,00278

10 0,0030911 0,0034012 0,0037013 0,0040114 0,0043215 0,0046316 0,0049417 0,0052518 *0,0055619 0,0058620 0,0061721 0,0064822 0,0067923 0,0071024 0,0074125 0,0077226 0,0080227 0,0083328 0,0086429 0,0089530 0,0092631 0,0095732 0,0098833 0,0101934 0,0104935 0,0108036 0,0111137 0,0114238 0,0117339 0,0120440 0,0123541 0,0126542 0,0129643 0,0132744 0,0135845 0,0138946 0,0142047 0,0145148 0,0148149 0,0151250 0,0154351 0,0157452 0,0160553 0,0163654 0,0166755 0,0169856 0,0172857 0,0175958 0,0179059 0,0182160 0,01852

75

6.3 Převod stupňů na dílce 6.4 Převod m inut a vteřin na desetinné zlomky stupně

Míryúhlů

o d0 0,001 16,672 33,333 50,004 66,675 83,336 100,007 116,678 133,339 150,00

10 166,6711 183,3312 200,0013 216,6714 233,3315 250,0016 266,6717 283,3318 300,0019 316,6720 333,3321 350,0022 366,6723 383,3324 400,0025 416,6726 433,3327 450,0028 466,6729 483,3330 500,0031 516,6732 533,3333 550,0034 566,6735 583,3336 600,0037 616,6738 633,3339 650,0040 666,6741 683,3342 700,0043 716,6744 733,3345 750,0046 766,6747 783,3348 800,0049 816,6750 833,3351 850,0052 866,6753 883,3354 900,0055 916,6756 933,3357 950,0058 966,6759 983,3360 1000,00

' d0 0,001 0,282 0,563 0,834 1,115 1,386 1,677 1,948 2,229 2,50

10 2,78‘l 1 3,0612 3,3313 3,6114 3,8915 4,1716 4,4417 4,7218 5,0019 5,2820 5,5621 5,8322 6,1123 6,3924 6,6725 6,9426 7,2227 7,5028 7,7829 8,0630 8,3331 8,6132 8,8933 9,1734 9,4435 9,7236 10,0037 10,2838 10,5639 10,8340 11,1111 11,3942 11,6743 11,9444 12,2245 12,50 •46 12,7847 13,0648 13,3349 13,6150 13,8951 14,1752 14,4453 14,7254 15,0055 15,2856 15,5657 15,8358 16,1159 16,3960 16,67

II d0 0,001 0,002 0,013 0,014 0,025 0,026 0,037 0,038 0,049 0,04

10 0,0511 0,0512 0,0613 0,0614 0,0615 0,0716 0,0717 0,0818 0,0819 0,0920 0,0921 0,1022 0,1023 0,1124 0,1125 0,1226 0,1227 0,1328 0,1329 0,1330 0,1431 0,1432 0,1533 0,1534 0,1635 0,1636 0,1737 0,1738 0,1839 0,1840 0,1941 0,1942 0,1943 0,2044 0,2045 0,2146 0,2147 0,2248 0,2249 0,2350 0,2351 0,2452 0,2453 0,2554 0,2555 0,2556 0,2657 0,2658 0,2759 0,2760 0,28

1 O

~ Ď" 0,00 0001 01 6672 03 3333 05 0004 06 6675 0,08 3336 10 0007 11 6678 13 3339 15 000

10 0,16 66711 18 33312 20 00013 21 66714 23 33315 0,25 00016 26 66717 28 33318 30 00019 31 66720 0,33 33321 35 00022 36 66723 38 33324 40 00025 0,41 66726 43 33327 45 00028 46 66729 48 33330 0,50 00031 51 66732 53 33333 55 00034 56 66735 0,58 33336 60 00037 61 66738 63 33339 65 00040 0,66 66741 68 33342 70 00043 71 66744 73 33345 0,75 00046 76 66747 78 33348 80 00049 81 66750 0,83 33351 85 00052 86 66753 88 33354 90 00055 0,91 66756 93 33357 95 00058 96 66759 0,98 33360 1,00 000

II O

0 0,00 0001 0282 0563 0834 1115 0,00 1396 1677 1948 2229 250

10 0,00 27811 30612 33313 36114 38915 0,00 41716 44417 47218 50019 52820 0,00 55621 58322 61123 63924 66725 0,00 69426 72227 75028 77829 80630 0,00 83331 86132 88933 91734 94435 0,00 97236 0,01 00037 1 02838 1 05639 1 08340 0,01 11141 1 13942 1 16743 1 19444 1 22245 0,01 25046 1 27847 1 30648 1 33349 1 36150 0,01 38951 1 41752 1 44453 1 47254 1 50055 0,01 52856 1 55657 1 58358 1 61159 1 63960 0,01 667

76

7 G O N I O M E T R I C K É F U N K C E

Definice a vlastnosti goniometrických funkcí jsou uvedeny v kapitole 2 str. 32—34.

7.1 a 7.2 sin a, cos a, tg a , cotg aTabulky 7.1 a 7.2 obsahují čtyřmístné hodnoty funkcí sin a a cos a, tg a a cotg a pro velikosti úhlů

ve stupňové míře rostoucí po 10' v intervalu <0°, 90°) (s výjimkou tg 90° a cotg 0°). Pro funkce tg a a cotg a

je dále připojena tabulka 7.2a, obsahující hodnoty funkce tg a (cotg a) pro úhly 76° < a < 90° (0° < a ? g 14°) rostoucí po 1'.

Protože sin a = cos (90° — a), tg a = cotg (90° — a), jsou tabulky uspořádány tak, že totéž číslo je hodnotou sinu úhlu (uvedeného v levém krajním sloupci stupňů a v prvním řádku minut) a hodnotou kosinu úhlu doplňkového (uvedeného v pravém sloupci stupňů a v dolním řádku minut). Obdobně pro funkce tangens a kotangens.

Lineární interpolace funkcí sin a a cos a je přípustná v celém intervalu tabulek; místo lineární interpolace funkce tg a (cotg a) pro úhly 76° a < 90° (0° < a g 14°) se užije tabulka 7.2a.

Lineární interpolaci usnadňují opravy, vypočtené na konci řádků pro 1 , 2', ..., 9'.Funkce sin a a tg x jsou v tabelovaném intervalu rostouci, oprava se k hodnotám uvedeným

v tabulkách přičítá; funkce cos a a cotg a jsou v tabelovaném intervalu klesající, oprava se od hodnot uvedených v tabulkách odčítá.

Příklady:sin 18°26' —— 0,3145 ... řádek 18° vlevo, sloupec 20' shora

+ 17 ... oprava 17 pro 6'

0,3162cos 57° 15' ——- 0,5422 ... řádek 57° vpravo, sloupec 10' zdola

- 12 ... oprava 12 pro 5'

0,5410 1cotg 40°23' 1,178 ... řádek 40° vpravo, sloupec 20' zdola

— 2 ... oprava 2 pro 3'

1,176sin« = 0,8776; a = 61°21'

—0,8774 ... 61°20' ... řádek 61° vlevo, sloupec 20' shora

2 ... + 1' ... opravě 2 přísluší 1'cos a = 0,1889; « = 79°07'

-0 ,1880 ... 79°10' ... řádek 79° vpravo, sloupec 10' zdola

9 ... —3' ... opravě 9 přísluší 3'

tg 88°24' = 35,80 ... tabulka 7.2a, řádek 88°20' vlevo, sloupec 4' shora cotg « = 25,64; » = 2°14' ... tabulka 7.2a, řádek 2°10' vpravo, sloupec 4' zdola

Jsou-li proměnné neúplná čísla, mají hodnoty funkce přesnost podle této tabulky:

Proměnná s přesností na stupně desítky minut minuty

Hodnota funkce má přesné nejvýše 2 platné číslice 3 platné číslice 4 platné číslice

Určení hodnot funkcí pro velikosti úhlů mimo interval tabulek je vysvětleno ve vzorcích na str. 33.

77

sin x, tg x

Tabulky 7.3 - 7.6 obsahují čtyřmístné hodnoty goniometrických funkcí pro reálné promčnné rostoucí po 0,01, a to v intervalu <0,00; 3,15) pro funkce sin x a cos x a v intervalu <0,00; 1,57) pro funkce tg x a cotg x. První dvojčíslí proměnné je uvedeno v levém krajním sloupci, třetí číslice je v záhlaví prvního řádku.

V tabulkách 7.5 a 7.6 je před některými hodnotami funkce hvězdička. V tom případě je celá část hodnoty uvedena až na dalším řádku. Např. tg 1,15 = 2,2345, cotg 0,35 = 2,7395.

Lineární interpolace je možná podle zásad vyložených na str. 51 a 52. Při interpolaci je nutné si uvědomit, zda pro daný argument je funkce rostoucí nebo klesající, a podle toho opravu přičítat nebo odčítat. Dále je třeba dát pozor na znaménko hodnot funkce.Příklad:

—0,2563 ... řádek 1,8, sloupec 3— 49 ... D = 97, di = 9,7, db = 48,5 i 49

7.3 —7.6 sinx, cos x, tg x , cotg x (x v radiánech)

cos 1,835 =

—0,2612

Není-li proměnná z intervalů tabulek, určuje se hodnota funkce pomocí celých násobků periody (2n nebo 7t podle funkce) a pomocí vzorců, uvedených na příslušné stránce dole.Příklad: Určete cos 17,24Řešení: Použijeme vztah cos x = cos (x + k . 2ti), k e Z a od proměnné x = 17,24 odečteme nejbližší násobek 2tz, tj. číslo 3 . 2it == 18,850:

17,24— 18,85 = —1,61Pak platí

cos 17,24 = cos (—1,61) = cos 1,61 = —0,0392 = —0,040.

Přiklad: Určete tg (-729).Řešení: tg (—729) = —tg 729. Od proměnné 729 odečteme postupně celočíselné násobky n tak, aby rozdíl

byl z intervalu( - Í ' Ť ) =

729—628,3 ... 200n: (2tc . 100)

100,7— 94,2 ... 30rt (3n . 10)

6,5— 63 ••• 2tz

0,2Pak —tg 729 = —tg 0,2 = —0,2027 = —0,2.

Tabulky 7.3 - 7.6 jsou velmi vhodné k řešení jednoduchých goniometrických rovnic.P řík lady : (k všude celé číslo) sin x — 0,5726 x = 0,61 + 2kn

x = 2,53 + 2kr: sin x = —0,5726 x = —0,61 + 2kir = 5,67 + 2k7i:

x = —2,53 + 2kn = 3,75 + 2 bz cos x = 0,5978 x = 0,93 2kn

x = —0,93 + 2kn = 5yi5 + 2bz cos x = —0,5978 x = 2,21 + 2kiz

x = —2^1 + 2Jnz = 4,07 + 2kn tg x = —2,1285 x = —1,13 + k7i = 2,01 -f kn cotg x = 1,3431 x = 0,64 + k7i

Na str. 79 a 89 jsou uvedeny grafy goniometrických funkd. Využijeme je k odhadu hodnot nebo proměnných funkd s přesností na dvě platné číslice a k přibližnému řešení goniometrických rovnic podle výkladu na str. 54.

78

X U

IS

sin X,

t 0 *

7.1 sin a (« ve stupních)

a

0

10* 20' 30* 40- 50' 60’1

I* 2 ' 3' 4' 5' 6 ' 7’ 8 ' 9'

0 0,0000 0029 0058 0087 0116 0145 0175 89 3 6 9 12 15 17 20 23 261 0175 0204 0233 0262 0291 0320 0349 88 3 6 9 12 15 17 20 23 262 0349 0378 0407 0436 0465 0494 0523 87 3 6 9 12 15 17 20 23 263 0523 0552 0581 0610 0640 0669 0698 86 3 6 9 12 15 17 20 23 264 0698 0727 0756 0785 0814 0843 0872 85 3 6 9 12 15 17 20 23 26

5 0,0872 0901 0929 0958 0987 1016 1045 84 3 6 9 12 15 17 20 23 266 1045 1074 1103 1132 1161 1190 1219 83 3 6 9 12 15 17 20 23 267 1219 1248 1276 1305 1334 1363 1392 82 3 6 9 12 15 17 20 23 268 1392 1421 1449 1478 1507 1536 1564 81 3 6 9 12 15 17 20 23 269 1564 1593 1622 1650 1679 1708 1736 80 3 6 9 12 15 17 20 23 26

10 0,1736 1765 1791 1822 1851 1880 1908 79 3 6 9 12 15 17 20 23 2611 1908 1937 1965 1994 2022 2051 2079 78 3 6 8 11 14 17 20 22 2512 2079 2108 2136 2164 2193 2221 2250 77 3 6 8 11 14 17 20 22 2513 2250 2278 2306 2334 2363 2391 2419 76 3 6 8 11 14 17 20 22 2514 2419 2447 2476 2504 2532 2560 2588 75 3 6 8 11 14 17 20 22 25

15 0,2588 2616 2644 2672 2700 2728 2756 74 3 6 8 11 14 17 20 22 2516 2756 2784 2812 2840 2868 2896 2924 73 3 6 8 11 14 17 20 22 2517 2924 2952 2979 3007 3035 3062 3090 72 3 6 8 11 14 17 20 22 2518 3090 3118 3145 3173 3201 3228 3256 71 3 6 8 11 14 17 20 22 2519 3256 3283 3311 3338 3365 3393 3420 70 3 5 8 11 14 16 19 22 24

20 0.3420 3448 3475 3502 3529 3557 3584 69 3 5 8 U 14 16 19 22 2421 3584 3611 3638 3665 3692 3719 3746 68 3 5 8 11 14 16 19 22 2422 3746 3773 3800 3827 3854 3881 3907 67 3 5 8 11 14 16 19 22 2423 3907 3934 3961 3987 4014 4041 4067 66 3 5 8 11 14 16 19 22 2424 4067 4094 4120 4147 4173 4200 4226 65 3 5 8 10 13 16 18 21 23

25 0,4226 4253 4279 4305 4331 4358 4384 64 3 5 8 10 13 16 18 21 2326 4384 4410 4436 4462 4488 4514 4540 63 3 5 8 10 13 16 18 21 2327 4540 4566 4592 4617 4643 4669 4695 62 3 5 8 10 13 16 18 21 2328 4695 4720 4746 4772 4797 4823 4848 61 3 5 8 10 13 16 18 21 2329 4848 4874 4899 4924 4950 4975 5ooo 60 3 5 8 10 13 15 18 20 23

30 0,5000 5025 5050 5075 5100 5125 5150 59 3 5 8 10 13 15 18 20 2331 5150 5175 5200 5225 5250 5275 5299 58 3 5 8 10 13 15 18 20 2332 5299 5324 5348 5373 5398 5422 5446 57 2 5 7 10 12 14 17 19 2233 5446 5471 5495 5519 5544 5568 5592 56 2 5 7 10 12 14 17 19 2234 5592 5616 5640 5664 5688 5712 5736 55 2 5 7 10 12 14 17 19 22

35 0,5736 5760 5783 5807 5831 5854 5878 54 2 5 7 10 12 14 17 19 2236 5878 5901 5925 5948 5972 5995 6018 53 2 5 7 9 12 14 16 18 2137 6018 6041 6065 6088 6111 6134 6157 52 2 5 7 9 12 14 16 18 2138 6157 6180 6202 6225 6248 6271 6293 51 2 5 7 9 12 14 16 18 2139 6293 6316 6338 6361 6383 6406 6428 50 2 4 7 9 11 13 15 18 20

40 0,6428 6450 6472 6494 6517 6539 6561 49 2 4 7 9 11 13 15 18 2041 6561 6583 6604 6626 6648 6670 6691 48 2 4 7 9 11 13 15 18 2042 6691 6713 6734 6756 6777 6799 6820 47 2 4 7 9 11 13 15 18 2043 6820 6841 6862 6884 6905 6926 6947 46 2 4 6 8 11 13 15 17 1944 6947 6967 6988 7009 7030 7050 7071 45 2 4 6 8 11 13 15 17 19

60' 50' 40’ 30' 20 ' 10* O' a ' 1' 2' 3' 4' 5' 6 ' 7 ' 8 ' V

cos a

80

7.1 sin a (a ve stupních)

a 0 ' 10' 20 ' 30' 40' 50’ 60'

45 0,7071 7092 7112 7133 7153 7173 7193 4446 7193 7214 7234 7254 7274 7294 7314 4347 7314 7333 7353 7373 7392 7412 7431 4248 7431 7451 7470 7490 7509 7528’ 7547 4149 7547 7566 7585 7604 7623 7642 7660 40

50 0,7660 7679 7698 7716 7735 7753 7771 3951 7771 7790 7808 7826 7844 7862 7880 3852 7880 7898 7916 7934 7951 7969 7986 3753 7986 8004 8021 8039 8056 8073 8090 3654 8090 8107 8124 8141 8158 8175 8192 35

55 0,8192 8208 8225 8241 8258 8274 8290 3456 8290 8307 8323 8339 8355 8371 8387 3357 8387 8403 8418 8434 8450 8465 8480 3258 8480 8496 8511 8526 8542 8557 8572 3159 8572 8587 8601 8616 8631 8646 8660 30

60 0,8660 8675 8689 8704 8718 8732 8746 2961 8746 8760 8774 8788 8802 8816 8829 2862 8829 8843 8857 8870 8884 8897 8910 2763 8910 8923 8936 8949 8962 8975 8988 2664 8988 9001 9013 9026 9038 9051 9063 25

65 0,9063 9075 9088 9100 9112 9124 9135 2466 9135 9147 9159 9171 9182 9194 9205 2367 9205 9216 9228 9239 9250 9261 9272 2268 9272 9283 9293 9304 9315 9325 9336 2169 9336 9346 9356 9367 9377 9387 9397 20

70 0,9397 9407 9417 9426 9436 9446 9455 1971 9455 9465 9474 9483 9492 9502 9511 1872 9511 9520 9528 9537 9546 9555 9563 1773 9563 9572 9580 9588 9596 9605 9613 1674 9613 9621 9628 9636 9644 9652 9659 15

75 0,9659 9667 9674 9681 9689 9696 9703 1476 9703 9710 9717 9724 9730 9737 9744 1377 9744 9750 9757 9763 9769 9775 9781 1278 9781 9787 9793 9799 9805 9811 9816 1179 9816 9822 9827 9833 9838 9843 9848 10

80 0,9848 9853 9858 9863 9868 9872 9877 981 9877 9881 9886 9890 9894 9899 9903 882 9903 9907 9911 9914 9918 9922 9925 783 9925 9929 9932 9936 9939 9942 9945 684 9945 9948 9951 9954 9957 9959 9962 5

85 0,9962 9964 9967 9969 9971 9974 9976 486 9976 9978 9980 9981 9983 9985 9986 387 9986 9988 9989 9990 9992 9993 9994 288 9994 9995 9996 9997 9997 9998 9998 189 9998 9999 9999 *0000 *0000 *0000 *0000 090 1,0000

60' 50' 40' 30' 20 ' 10' 0 ' a

eos a

81

7.2 tg O. (a ve stupních)

15161718 19

O'

0,00000175034905240699

10' 20'

00290204037805530729

00580233040705820758

0,08751051122814051584

09041080125714351614

09341110128714651644

1011121314

0,17631944212623092493

17931974215623392524

18232004218623702555

0,26792867305732493443

27112899308932813476

27422931312133143508

30'

00870262043706120787

09631139131714951673

18532035221724012586

27732962315333463541

40' 50' 60'

01160291046606410816

09921169134615241703

0145 01750320 03490495 05240670 06990846 0875

1022 10511198 12281376 14051554 15841733 1763

18832065224724322617

1914 19442095 21262278 23092462 24932648 2679

28052994318533783574

28363026321734113607

28673057324934433640

8988878685

8483828180

7978777675

7473727170

2021222324

25262728 29

3031323334

0,36403839404042454452

36733872407442794487

37063906410843144522

37393939414243484557

37723973417643834592

38054006421044174628

38394040424544524663

0,46634877509553175543

46994913513253545581

47344950516953925619

47704986520654305658

48065022524354675696

48415059528055055735

48775095531755435774

0,57746009624964946745

58126048628965366787

58516088633065776830

58906128637166196873

59306168641266616916

59696208645367036959

60096249649467457002

6968676665

6463626160

5958575655

5453525150

4948474645

3536373839

404142434445

0,70027265753678138098

70467310758178608146

70897355762779078195

71337400767379548243

71777445772080028292

72217490776680508342

72657536781380988391

0,83918693900493259657

1,0000

60'

84418744905793809713

84918796911094359770

50' 40'

85418847916394909827

30'

85918899921795459884

8642 8693 8952 9004 9271 9325 9601 9657 9942 *0000

20 ' 10' O'

1' 2 ' 3' .4' 5' 6 ' 7' 8 ' 9'

3 6 9 12 15 17 20 23 263 6 9 12 15 17 20 23 263 6 9 12 15 17 20 23 263 6 9 12 15 17 20 23 263 6 9 12 15 17 20 23 26

3 6 9 12 15 17 20 23 263 6 9 12 15 18 21 24 273 6 9 12 15 18 21 24 273 6 9 12 15 18 21 24 273 6 9 12 15 18 21 24 27

3 6 9 12 15 18 21 24 273 6 9 12 15 18 21 24 273 6 9 12 15 18 21 24 273 6 9 12 16 19 22 25 283 6 9 12 16 19 22 25 28

3 6 9 12 16 19 22 25 283 6 10 13 16 19 22 26 293 6 10 13 16 19 22 26 293 6 10 13 16 19 22 26 293 7 10 13 17 20 23 26 30

3 7 10 13 17 20 23 26 303 7 10 14 17 20 24 27 313 7 10 14 17 20 24 27 313 7 10 14 17 20 24 27 314 7 11 14 18 21 25 28 32

4 7 11 14 18 22 25 29 324 7 11 14 18 22 25 29 324 7 11 15 19 22 26 30 334 8 11 15 19 23 27 30 344 8 11 15 19 23 27 30 34

4 8 12 16 20 23 27 31 354 8 12 16 20 24 28 32 364 8 12 16 21 25 29 33 374 8 13 17 21 25 29 34 384 9 13 17 22 26 30 34 39

4 9 13 18 22 26 31 35 405 9 14 18 23 27 32 36 415 9 14 18 23 28 32 37 415 10 14 19 24 29 34 38 435 10 15 20 25 29 34 39 44

5 10 15 20 25 30 35 40 455 10 16 21 26 31 36 42 475 11 16 22 27 32 38 43 496 11 17 22 28 33 39 44 506 11 17 23 29 34 40 46 51

1' 2 ' 3' 4' 5' 6 ' 7' 8 ' 9'

82

cotg a

7.2 tg a (« ve stupních)

a 0 ' 10' 20 ' 30' 40' 50' 60'

45 1,000 1,006 1,012 1,018 1,024 1,030 1,036 4446 1,036 1,042 1,048 1,054 1,060 1,066 1,072 4347 1,072 1,079 1,085 1,091 1,098 1,104 1,111 4248 1,111 1,117 1,124 1,130 1,137 1,144 1,150 4149 1,150 1,157 1,164 1,171 1,178 1,185 1,192 40

50 1,192 1,199 1,206 1,213 1,220 1,228 1,235 3951 1,235 1,242 1,250 1,257 1,265 1,272 1,280 3852 1,280 1,288 1,295 1,303 1,311 1,319 1,327 3753 1,327 1,335 1,343 1,351 1,360 1,368 1,376 3654 1,376 1,385 1,393 1,402 1,411 1,419 1,428 35

55 1,428 1,437 1,446 1,455 1,464 1,473 1,483 3456 1,483 1,492 1,501 1,511 1,520 1,530 1,540 3357 1,540 1,550 1,560 1,570 1,580 1,590 1,600 3258 1,600 1,611 1,621 1,632 1,643 1,653 1,664 3159 1,664 1,675 1,686 1,698 1,709 1,720 1,732 30

60 1,732 1,744 1,756 1,767 1,780 1,792 1,804 2961 1,804 1,816 1,829 1,842 1,855 1,868 1,881 2862 1,881 1,894 1,907 1,921 1,935 1,949 1,963 2763 1,963 1,977 1,991 2,006 2,020 2,035 2,050 2664 2,050 2,066 2,081 2,097 2,112 2,128 2,145 25

65 2,145 2,161 2,177 2,194 2,211 2,229 2,246 2466 2,246 2,264 2,282 2,300 2,318 2,337 2,356 2367 2,356 2,375 2,394 2,414 2,434 2,455 2,475 2268 2,475 2,496 2,517 2,539 2,560 2,583 2,605 2169 2,605 2,628 2,651 2,675 2,699 2,723 2,747 20

70 2,747 2,773 2,788 2,824 2,850 2,877 2,904 1971 2,904 2,932 2,960 2,989 3,018 3,047 3,078 1872 3,078 3,108 3,140 3,172 3,204 3,237 3,271 1773 3,271 3,305 3,340 3,376 3,412 3,450 3,487 1674 3,487 3,526 3,566 3,606 3,647 3,689 3,732 15

75 3,732 3,776 3,821 3,867 3,914 3,962 4,011 14

60' 50' 40' 30' 20 ' 10' 0 ' a

cotg a

tg 76° 00' až tg 89° 59' | viz str. 84—85 cotg 0° I ' až cotg 14° 00' j

1' 2 ' 3' 4' 5' 6 ' 7' 8 ' 9'

1 1 2 2 3 4 4 5 51 1 2 2 3 4 4 5 51 1 2 2 3 4 4 5 51 1 2 2 3 4 4 5 51 1 2 3 4 4 5 6 6

1 1 2 3 4 4 5 6 61 2 2 3 4 5 6 6 71 2 2 3 4 5 6 6 71 2 2 3 4 5 6 6 71 2 3 4 5 5 6 7 8

1 2 3 4 5 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 8 91 2 3 4 5 6 7 8 91 2 3 4 6 7 8 9 101 2 3 4 6 7 8 9 10

1 2 4 5 6 7 8 10 111 3 4 5 7 8 9 10 121 3 4 6 7 8 10 11 131 3 4 6 7 8 10 11 132 3 5 6 8 10 11 13 14

2 3 5 7 9 10 12 14 152 4 5 7 9 11 13 14 162 4 6 8 10 12 14 16 182 4 7 9 11 13 15 18 202 5 7 10 12 14 17 19 22

3 5 8 10 13 16 18 21 233 6 9 12 15 17 20 23 263 6 10 13 16 19 22 26 294 7 11 14 18 22 25 29 324 8 12 16 21 25 29 33 37

5 9 14 18 23 28 32 37 41

1' 2 ' 3' 4' 5' 6 ' 7' 8 ' 9'

83

7.2a tg a

sin x, tg x

a 0' 1' 2' 3' 4' 5' 6' 7' 8' 9' 10'

76°00' 4,011 4,016 4,021 4,026 4,031 4,036 4,041 4,046 4,051 4,056 4,061 50'10' 4,061 4,066 4,071 4,076 4,082 4,087 4,092 4,097 4,102 4,107 4,113 40'20' 4,113 4,118 4,123 4,128 4,134 4,139 4,144 4,149 4,155 4,160 4,165 30'30' 4,165 4,171 4,176 4,181 4,187 4,192 4,198 4,203 4,208 4,214 4,219 20'40' 4,219 4,225 4,230 4,236 4,241 4,247 4,252 4,258 4,264 4,269 4,275 10'50' 4,275 4,280 4,286 4,292 4,297 4,303 4,309 4,314 4,320 4,326 4,331 13°00'

77°00' 4,331 4,337 4,343 4,349 4,355 4,360 4,366 4,372 4,378 4,384 4,390 50'10' 4,390 4,396 4,402 4,407 4,413 4,419 4,425 4,431 4,437 4,443 4,449 40'20' 4,449 4j455 4,462 4,468 4,474 4,480 4,486 4,492 4,498 4,505 4,511 30'30' 4,511 4,517 4,523 4,529 4,536 4,542 4,548 4,555 4,561 4,567 4,574 20'40' 4,574 4,580 4,586 4,593 4,599 4,606 4,612 4,619 4,625 4,632 4,638 10'50' 4,638 4,645 4,651 4,658 4,665 4,671 4,678 4,685 4,691 4,698 4,705 12°00'

78°00' 4,705 4,711 4,718 4,725 4,732 4,739 4,745 4,752 4,759 4,766 4,773 50'10' 4,773 4,780 4,787 4,794 4,801 4,808 4,815 4,822 4,829 4,836 4,843 40'20' 4,843 4,850 4,857 4,864 4,872 4,879 4,886 4,893 4,901 4,908 4,915 30'30' 4,915 4,922 4,930 4,937 4,945 4,952 4,959 4,967 4,974 4,982 4,989 20'40' 4,989 4,997 5,005 5,012 5,020 5,027 5,035 5,043 5,050 5,058 5,066 10'50' 5,066 5,074 5,081 5,089 5,097 5,105 5,113 5,121 5,129 5,137 5,145 11°00'

79°00' 5,145 5,153 5,161 5,169 5,177 5,185 5,193 5,201 5,209 5,217 5,226 50'10' 5,226 5,234 5,242 5,250 5,259 5,267 5,276 5,284 5,292 5,301 5,309 40'20 5,309 5,318 5,326 5,335 5,343 5,352 5,361 5,369 5,378 5,387 5,396 30'30' 5,396 5,404 5,413 5,422 5,431 5,440 5,449 5,458 5,466 5,475 5,485 20'40' 5,485 5,494 5,503 5,512 5,521 5,530 5,539 5,549 5,558 5,567 5,576 10'50' 5,576 5,586 5,595 5,605 5,614 5,623 5,633 5,642 5,652 5,662 5,671 10°00'

80°00' 5,671 5,681 5,691 5,700 5,710 5,720 5,730 5,740 5,749 5,759 5,769 50'10' 5,769 5,779 5,789 5,799 5,810 5,820 5,830 5,840 5,850 5,861 5,871 40'20' 5,871 5,881 5,892 5,902 5,912 5,923 5,933 5,944 5,954 5,965 5,976 30'30' 5,976 5,986 5,997 6,008 6,019 6,030 6,041 6,051 6,062 6,073 6,084 20'40' 6,084 6,096 6,107 6,118 6,129 6,140 6,152 6,163 6,174 6,186 6,197 10'50' 6,197 6,209 6,220 6,232 6,243 6,255 6,267 6,278 6,290 6,302 6,314 9°00'

81°00' 6,314 6,326 6,338 6,350 6,362 6,374 6,386 6,398 6,410 6,423 6,435 50'10' 6,435 6,447 6,460 6,472 6,485 6,497 6,510 6,522 6,535 6,548 6,561 40'20' 6,561 6,573 6,586 6,599 6,612 6,625 6,638 6,651 6,665 6,678 6,691 30'30' 6,691 6,704 6,718 6,731 6,745 6,758 6,772 6,786 6,799 6,813 6,827 20'40' 6,827 6,841 6,855 6,869 6,883 6,897 6,911 6,925 6,940 6,954 6,968 10'50' 6,968 6,983 6,997 7,012 7,026 7,041 7,056 7,071 7,085 7,100 7,115 8°00'

82°00' 7,115 7,130 7,146 7,161 7,176 7,191 7,207 7,222 7,238 7,253 7,269 50'10' 7,269 7,284 7,300 7,316 7,332 7,348 7,364 7,380 7,396 7,412 7,429 40'20' 7,429 7,445 7,462 7,478 7,495 7,511 7,528 7,545 7,562 7,579 7,596 30'30' 7,596 7,613 7,630 7,647 7,665 7,682 7,700 7,717 7,735 7,753 7,770 20'40' 7,770 7,788 7,806 7,824 7,842 7,861 7,879 7,897 7,916 7,934 7,953 10'50' 7,953 7,972 7,991 8,009 8,028 8,048 8,067 8,086 8,105 8,125 8,144 7°00'

10' 9' 8' T 6' 5' 4' 3' 2' 1' 0' a

cotg a

84

7.2a tg a

a 0' 1' 2' 3' 4' 5' 6' 7' 8' 9' 10'

83°00' 8,144 8,164 8,184 8,204 8,223 8,243 8,264 8,284 8,304 8,324 8,345 50'10' 8,345 8,366 8,386 8,407 8,428 8,449 8,470 8,491 8,513 8,534 8,556 40'20' 8,556 8,577 8,599 8,621 8,643 8,665 8,687 8,709 8,732 8,754 8,777 30'30' 8,777 8,800 8,823 8,846 8,869 8,892 8,915 8,939 8,962 8,986 9,010 20'40' 9,010 9,034 9,058 9,082 9,106 9,131 9,156 9,180 9,205 9,230 9,255 10'50' 9,255 9,281 9,306 9,332 9,357 9,383 9,409 9,435 9,461 9,488 9,514 6°00'

84°00' 9,514 9,541 9,568 9,595 9,622 9,649 9,677 9,704 9,732 9,760 9,788 50'10' 9,788 9,816 9,845 9,873 9,902 9,931 9,960 9,989 10,02 10,05 10,08 40'20' 10,08 10,11 10,14 10,17 10,20 10,23 10,26 10,29 10,32 10,35 10,39 30'30' 10,39 10,42 10,45 10,48 10,51 10,55 10,58 10,61 10,64 10,68 10,71 20'40' 10,71 10,75 10,78 10,81 10,85 10,88 10,92 10,95 10,99 11,02 11,06 10'50' 11,06 11,10 11,13 11,17 11,20 11,24 11,28 11,32 11,35 11,39 11,43 5°00'

85°00' 11,43 11,47 11,51 11,55 11,59 11,62 11,66 11,70 11,74 11,79 11,83 50'10' 11,83 11,87 11,91 11,95 11,99 12,03 12,08 12,12 12,16 12,21 12,25 40'20' 12,25 12,29 12,34 12,38 12,43 12,47 12,52 12,57 12,61 12,66 12,71 30'30' 12,71 12,75 12,80 12,85 12,90 12,95 13,00 13,05 13,10 13,15 13,20 20'40' 13,20 13,25 13,30 13,35 13,40 13,46 13,51 13,56 13,62 13,67 13,73 10'50' 13,73 13,78 13,84 13,89 13,95 14,01 14,07 14,12 14,18 14,24 14,30 4°00'

86°00' 14,30 14,36 14,42 14,48 14,54 14,61 14,67 14,73 14,80 14,86 14,92 50'10' 14,92 14,99 15,06 15,12 15,19 15,26 15,33 15,39 15,46 15,53 15,60 40'20' 15,60 15,68 15,75 15,82 15,89 15,97 16,04 16,12 16,20 16,27 16,35 30'30' 16,35 16,43 16,51 16,59 16,67 16,75 16,83 16,92 17,00 17,08 17,17 20'40' 17,17 17,26 17,34 17,43 17,52 17,61 17,70 17,79 17,89 17,98 18,07 10'50' 18,07 18,17 18,27 18,37 18,46 18,56 18,67 18,77 18,87 18,98 19,08 3°00'

87°00' 19,08 19,19 19,30 19,41 19,52 19,63 19,74 19,85 19,97 20,09 20,21 50'10' 20,21 20,33 20,45 20,57 20,69 20,82 20,95 21,07 21,20 21,34 21,47 40’20' 21,47 21,61 21,74 21,88 22,02 22,16 22,31 22,45 22,60 22,75 22,90 30'30' 22,90 23,06 23,21 23,37 23,53 23,69 23,86 24,03 24,20 24,37 24,54 20'40' 24,54 24,72 24,90 25,08 25,26 25,45 25,64 25,83 26,03 26,23 26,43 10'50' 26,43 26,64 26,84 27,06 27,27 27,49 27,71 27,94 28,17 28,40 28,64 2°00'

88°00' 28,64 28,88 29,12 29,37 29,62 29,88 30,14 30,41 30,68 30,96 31,24 50'10' 31,24 31,53 31,82 32,12 32,42 32,73 33,05 33,37 33,69 34,03 34,37 40'20' 34,37 34,72 35,07 35,43 35,80 36,18 36,56 36,96 37,36 37,77 38,19 30'30' 38,19 38,62 39,06 39,51 39,97 40,44 40,92 41,41 41,92 42,43 42,96 20'40' 42,96 43,51 44,07 44,64 45,23 45,83 46,45 47,09 47,74 48,41 49,10 10'50' 49,10 49,82 50,55 51,30 52,08 52,88 53,71 54,56 55,44 56,35 57,29 l c00'

89°00' 57,29 58,26 59,27 60,31 61,38 62,50 63,66 64,86 66,11 67,40 68,75 50'10' 68,75 70,15 71,62 73,14 74,73 76,39 78,13 79,94 81,85 83,84 85,94 40'20' 85,94 88,14 90,46 92,91 95,49 98,22 101,1 104,2 107,4 110,9 114,6 30'30' 114,6 118,5 122,8 127,3 132,2 137,5 143,2 149,5 156,3 163,7 171,9 20'40' 171,9 180,9 191,0 202,2 214,9 229,2 245,6 264,4 286,5 312,5 343,8 10'50' 343,8 382,0 429,7 491,1 573,0 687,5 859,4 1146 1719 3438 0°00'

10' 9' 8' 7' 6' 5' 4' 3' 2' 1' 0' a

cotg a

85

sin x,

tg x

7.3 si n X (x v radiánech)

X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0,0 0,0000 0100 0200 0300 0400 0500 0600 0699 0799 0899

' 0,1 0998 1098 1197 1296 1395 1494 1593 1692 1790 18890,2 1987 2085 2182 2280 2377 2474 2571 2667 2764 28600,3 2955 3051 3146 3240 3335 3429 3523 3616 3709 3802

0,4 3894 3986 4078 4169 4259 4350 4439 4529 4618 47060,5 4794 4882 4969 5055 5141 5227 5312 5396 5480 55640,6 5646 5729 5810 5891 5972 6052 6131 6210 6288 6365

0,7 6442 6518 6594 6669 6743 6816 6889 6961 7033 71040,8 7174 7243 7311 7379 7446 7513 7578 7643 7707 77710,9 7833 7895 7956 8016 8076 8134 8192 8249 8305 8360

1,0 0,8415 8468 8521 8573 8624 8674 8724 8772 8820 8866

1,1 8912 8957 9001 9044 9086 9128 9168 9208 9246 92841,2 9320 9356 9391 9425 9458 9490 9521 9551 9580 96081,3 9636 9662 9687 9711 9735 9757 9779 9799 9819 9837

1,4 9854 9871 9887 9901 9915 9927 9939 9949 9959 99671,5 9975 9982 9987 9992 9995 9998 9999 1,00001,5 1,0000 99981,6 9996 9992 9988 9982 9976 9969 9960 9951 9940 9929

1,7 9917 9903 9889 9874 9857 9840 9822 9802 9782 97611,8 9738 9715 9691 9666 9640 9613 9585 9556 9526 94951,9 9463 9430 9396 9362 9326 9290 9252 9214 9174 9134

2,0 0,9093 9051 9008 8964 8919 8874 8827 8780 8731 8682

2,1 8632 8581 8529 8477 8423 8369 8314 8258 8201 81432,2 8085 8026 7966 7905 7843 7781 7717 7654 7589 75232,3 7457 7390 7322 7254 7185 7115 7044 6973 6901 6828

2,4 6755 6681 6606 6530 6454 6378 6300 6222 6144 60652,5 5985 5904 5823 5742 5660 5577 5494 5410 5325 52402,6 5155 5069 4983 4896 4808 4720 4632 4543 4454 4364

2,7 4274 4183 4092 4001 3909 3817 3724 3631 3538 34442,8 3350 3256 3161 3066 2970 2875 2779 2683 2586 24892,9 2392 2295 2198 2100 2002 1904 1806 1708 1609 1510

3,0 0,1411 1312 1213 1114 1014 0955 0815 0715 0616 0516

3,1 0416 0316 0216 0116 0016 -0,0084

k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

k . 2jt 6,283 12,566 18,850 25,133 31,416 37,699 43,982 50,265 56,549 62,832

sin (—x) — —sin x sin x = sin (x + k . 2ti), k e Z

86

7 A COS X (x v radiánech)

X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0,0 1,0000 1,0000 0,9998 9996 9992 9988 9982 9976 9968 9960

0,1 0,9950 9940 9928 9916 9902 9888 9872 9856 9838 98200,2 9801 9780 9759 9737 9713 9689 9664 9638 9611 95820,3 9553 9523 9492 9460 9428 9394 9359 9323 9287 9249

0,4 9211 9171 9131 9090 9048 9004 8961 8916 8870 88230,5 8776 8727 8678 8628 8577 8525 8473 8419 8365 83090,6 8253 8196 8139 8080 8021 7961 7900 7838 7776 7712

0,7 7648 7584 7518 7452 7385 7317 7248 7179 7109 70380,8 6967 6895 6822 6749 6675 6600 6524 6448 6372 62940,9 6216 6137 6058 5978 5898 5817 5735 5653 5570 5487

1,0 0,5403 5319 5234 5148 5062 4976 4889 4801 4713 4625

1,1 4536 4447 4357 4267 4176 4085 3993 3902 3809 37171,2 3624 3530 3436 3342 3248 3153 3058 2963 2867 27711,3 2675 2579 2482 2385 2288 2190 2092 1994 1896 1798

1,4 1700 1601 1502 1403 1304 1205 1106 1006 0907 08071,5 0707 0608 0508 0408 0308 0208 0108 00081,5 -0,0092-0,01921,6 —0,0292 0392 0492 0592 0691 0791 0891 0990 1090 1189

1,7 —0,1288 1388 1486 1585 1684 1782 1881 1979 2077 21751,8 —0,2272 2369 2466 2563 2660 2756 2852 2948 3043 31381,9 —0,3233 3327 3421 3515 3609 3702 3795 3887 3979 4070

2,0 —0,4161 4252 4342 4432 4522 4611 4699 4787 4875 4962

2,1 —0,5048 5135 5220 5305 5390 5474 5557 5640 5722 58042,2 —0,5885 5966 6046 6125 6204 6282 6359 6436 6512 65882,3 —0,6663 6737 6811 6883 6956 7027 7098 7168 7237 73062,4 —0,7374 7441 7508 7573 7638 7702 7766 7828 7890 79512,5 —0,8011 8071 8130 8187 8244 8301 8356 8410 8464 85172,6 —0,8569 8620 8670 8720 8768 8816 8863 8908 8953 89982,7 —0,9041 9083 9124 9165 9204 9243 9281 9318 9353 93882,8 —0,9422 9455 9487 9519 9549 9578 9606 9633 9660 96852,9 -0 ,9710 9733 9755 9777 9797 9817 9836 9853 9870 9885

3,0 —0,9900 9914 9926 9938 9948 9958 9967 9974 9981 9987

3,1 —0,9991 9995 9998 9999 -1,0000 -1,0000

sin X,

tg X0

k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

k . 2n 6,283 12,566 18,850 25,133 31,416 37,699 43,982 50,265 56,549 62,832

cos (—x) — cos * cos X = cos (x + k . 2n), k e Z

87

7.5 tg X (x v radiánech)

X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 ,0 0,0000 0100 0200 0300 0400 0500 0601 0701 0802 0902

0,1 0,1003 1104 1206 1307 1409 1511 1614 1717 1820 19230,2 0,2027 2131 2236 2341 2447 2553 2660 2768 2876 29840,3 0,3093 3203 3314 3425 3537 3650 3764 3879 3994 4111

0,4 0,4228 4346 4466 4586 4708 4831 4954 5080 5206 53340,5 0,5463 5594 5726 5859 5994 6131 6269 6410 6552 66960,6 0,6841 6989 7139 7291 7445 7602 7761 7923 8087 8253

0,7 0,8423 8595 8771 8949 9131 9316 9505 9697 9893 *00920,8 1,0296 0505 0717 0934 1156 1383 1616 1853 2097 23460,9 1,2602 2864 3133 3409 3692 3984 4284 4592 4910 5237

1,0 1,5574 5922 6281 6652 7036 7433 7844 8270 8712 9171

1,1 1,9648 *0143 *0660 *1198 *1759 *2345 *2958 *3600 *4273 *49791,2 2,5722 6503 7328 8198 9119 3,010 3,113 3,224 3,341 3,4671,3 3,602 3,747 3,903 4,072 4,256 4,455 4,673 4,913 5,177 5,471

1,4 5,798 6,165 6,581 7,055 7,602 8,238 8,989 9,887 10,98 12,351,5 14,10 16,43 19,67 24,50 32,46 48,08 92,62 1255,8

7.6 cotg X (x v radiánech)

X 0 1 2 3 4 5 6 7 8*

0,0 — 100,00 49,99 33,22 24,99 19,98 16,65 14¿6 12,47 11,08

0,1 9,967 9,054 8,293 7,649 7,096 6,617 6,197 5,826 5,495 5,2000,2 4,933 4,692 4,472 4,271 4,086 3,916 3,759 3,613 3,478 3,3510,3 3,2327 1218 0176 *9195 *8270 *7395 *6567 *5782 *5037 *4328

0,4 2,3652 3008 2393 1804 1241 0702 0184 *9686 *9208 *87480,5 1,8305 7878 7465 7067 6683 6310 5950 5601 5263 49350,6 1,4617 4308 4007 3715 3431 3154 2885 2622 2366 21160,7 1,1872 1634 1402 1174 0952 0734 0521 0313 0109 *99080,8 0,9712 9520 9331 9146 8964 8785 8609 8437 8267 81000,9 0,7936 7774 7615 7458 7303 7151 7001 6853 6707 6563

1,0 0,6421 6281 6142 6005 5870 5736 5604 5473 5344 5216

1,1 0,5090 4964 4840 4718 4596 4475 4356 4237 4120 40031,2 0,3888 3773 3659 3546 3434 3323 3212 3102 2993 28841,3 0,2776 2669 2562 2456 2350 2245 2140 2035 1931 1828

1,4 0,1725 1622 1519 1417 1315 1214 1113 1011 0910 08101,5 0,0709 0609 0508 0408 0308 0208 0108 0008

k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

k . 7Í 3,142 6,283 9,425 12,566 15,708 18,850 21,991 25,133 28,274 31,416

tg (—x) = —tg X tg * = tg (x + k . tc), k e Z cotg (— x) = —cotg X cotg X — cotg (x + k . 7t), k e Z

88

sin X,

tg X

y=tgx

89

8 F U N K C E e' , e"

Exponenciální funkce e* a e-*, kde e = 2,718 ... je základ přirozených logaritmů, jsou definovány pro všechna reálná x.

V tabulce jsou uvedeny hodnoty těchto funkcí pro x rostoucí po 0,01 v intervalu <0,00; 1,50), pro x rostoucí po 0,1 v intervalu <1,5; 6,0) a pro x e {6,5; 7,0; 8,0; 9,0; 10,0}.

K vyhledávání hodnot funkcí pro x minjo uvedené intervaly použijeme vlastností exponenciální funkce, zejména vzorce:

e*+v = e * . e* a (ea)b = eabPomocí hodnot funkcí e1 a e"* určujeme hodnoty hyperbolického sinu a hyperbolického kosinu

podle vzorců:e* — e~x , ez -f- e~z

sinh x = ----------- , cosh x = ----- ^-----

Pro hyperbolický sinus a hyperbolický kosinus platí vztahy:sinh (—ar) = —sinh x, cosh (—x) = cosh x cosh2 x — sinh2 x = 1, sinh x + cosh x = e*

y=e- y=ex y = c o s h x

y=sinhx90

8 Funkce e*, e‘x

X e * e~*

0,00 1,0000 1,0000

0,010,020,03

1,010102020305

0,990098029704

0,040,050,06

1,040805130618

0,960895129418

0,070,080,09

1,072508330942

0,932492319139

0,10 1,1052 0,9048

0,110,120,13

1,116312751388

0,895888698781

0,140,150,16

1,150316181735

0,869486078521

0,170,180,19

1,185319722092

0,843783538270

0,20 1,2214 0,8187

0,210,220,23

1,233724612586

0,810680257945

0,240,250,26

1,271228402969

0,786677887711

0,270,280,29

1,310032313364

0,763475587483

0,30 1,3499 0,7408

0,310,320,33

1,363437713910

0,733472617189

0,340,350,36

1,404941914333

0,711870476977

0,370,380,39

1,447746234770

0,690768396771

0,40 1,4918 0,6703

0,410,420,43

1,506852205373

0,663765706505

0,440,450,46

1,552756835841

0,644063766313

0,470,480,49

1,600061616323

0,625061886126

0,50 1,6487 0,6065

X e* e~*

1,00 2,7183 0,3679

1,01 2,7456 0,36421,02 7732 36061,03 8011 35701,04 2,8292 0,35351,05 8577 34991,06 8864 34651,07 2,9154 0,34301,08 9447 33961,09 9743 3362

1,10 3,0042 0,3329

1,11 3,0344 0,32961,12 0649 32631,13 0957 32301,14 3,1268 0,31981,15 1582 31661,16 1899 31351,17 3,2220 0,31041,18 2544 30731,19 2871 3042

1,20 3,3201 0,3012

1,21 3,3535 0,29821,22 3872 29521,23 4212 29231,24 3,4556 0,28941,25 4903 28651,26 5254 28371,27 3,5609 0,28081,28 5966 27801,29 6328 2753

1,30 3,6693 0,2725

1,31 3,7062 0,26981,32 7434 26711,33 7810 26451,34 3,8190 0,26181,35 8574 25921,36 8962 25671,37 3,9354 0,25411,38 9749 25161,39 4,0149 2491

1,40 4,0552 0,2466

1,41 4,0960 0,24411,42 1371 24171,43 1787 23931,44 4,2207 0,23691,45 2631 23461,46 3060 23221,47 4,3492 0,22991,48 3929 22761,49 4371 22541,50 4,4817 0,2231

X e* e-*

1,5 4,4817 0,22311,6 4,9530 20191,7 5,4739 0,18271,8 6,0496 16531,9 6,6859 1496

2,0 7,3891 0,1353

2,1 8,1662 0,12252,2 9,0250 11082,3 9,9742 10032,4 11,0232 0,09072,5 12,182 08212,6 13,464 07432,7 14,880 0,06722,8 16,445 06082,9 18,174 0550

3,0 20,086 0,0498

3,1 22,198 0,04503,2 24,533 04083,3 27,113 03693,4 29,964 0,03343,5 33,115 03023,6 36,598 02733,7 40,447 0,02473,8 44,701 02243,9 49,402 0202

4,0 54,598 0,0183

4,1 60,340 0,01664,2 66,686 01504,3 73,700 01364,4 81,451 0,01234,5 90,017 01114,6 99,484 01014,7 109,947 0,00914,8 121,510 00824,9 134,290 0074

5,0 148,41 0,0067

5,1 164,02 0,00615,2 181,27 00555,3 200,34 00505,4 221,41 0,00455,5 244,69 00415,6 270,43 00375,7 298,87 0,00335,8 330,30 00305,9 365,04 0027

6,0 403,43 0,00256,5 665,14 0,00157,0 1096,6 00098,0 2981,0 00039,0 8103,1 0001

10,0 22026 0,0000

X e* e ~ x

0,50 1,6487 0,6065

0,510,520,53

1,665368206989

0,600559455886

0,540,550,56

1,716073337507

0,582757695712

0,570,580,59

1,768378608040

0,565555995543

0,60 1,8221 0,5488

0,610,620,63

1,840485898776

0,543453795326

0,640,650,66

1,896591559348

0,527352205169

0,670,680,69

1,954297399937

0,511750665016

0,70 2,0138 0,4966

0,710,720,73

2,034005440751

0,491648684819

0,740,750,76

2,095911701383

0,477147244677

0,770,780,79

2,159818152034

0,463045844538

0,80 2,2255 0,4493

0,810,820,83

2,247927052933

0,444944044360

0,840,850,86

2,316433963632

0,431742744232

0,870,880,89

2,386941094351

0,419041484107

0,90 2,4596 0,4066

0,910,920,93

2,484350935345

0,402539853946

0,940,950,96

2,560058576117

0,390638673829

0,970,980,99

2,637966456912

0,379137533716

1,00 2,7183 0,3679

91

9 L O G A R I T M Y

Definice a pravidla pro počítání s logaritmy jsou uvedeny ve vzorcích v kapitole 2 na str. 25.Pro výpočty jsou nejdůležitější logaritm y o základu 10, zvané dekadické nebo také podle autora, který je

poprvé vypočítal, logaritmy Briggsovy. V zápisech dekadických logaritmů vynecháváme označení základu 10 a píšeme stručně log n.

Ve vyšší matematice jsou důležité logaritmy, jejichž základem je iracionální číslo e = 2,718 282 (viz str. 29); nazýváme je logaritm y přirozené; užíváme pro ně značku In n.

K odhadům logaritmů čísel jsou vhodné grafy funkcí y = log n a y — ln n.Mezi dekadickým logaritmem kladného čísla n a přirozeným logaritmem téhož čísla platí tyto vztahy:

ln n = ln 10 . log n, ln 10 = 2,302 585, log n = log e . ln n, log e = 0,434 294.

9.1 Přirozené logaritm y čísel

V tabulce jsou uvedeny pětimístné hodnoty přirozených logaritmů čísel 1—100.Přirozené logaritmy čísel z intervalu (0; 1) a větších než 100 hledáme s využitím vlastností logaritmů.

Příklady:ln 0,5 = ln (5 : 10) = ln 5 — ln 10 = 1,60944 — 2,30259 = -0,69315 ln 5 000 = ln (50 . 100) = ln 50 + ln 100 = 3,91202 + 4,60517 = 8,51719 ln 106 = 6 . ln 10 = 6 . 2,30259 = 13,81554

9.2 Logaritmy dekadické

Z definice dekadického logaritmu vyplývá:log 1 = 0; log 10 = 1; log 10° = c

Většímu n odpovídá větší logaritmus; platí:je-li 1 ^ «o < 10, je 0 ^ log no < 1 .

Každé kladné číslo n můžeme napsat ve tvaru n = no . 10c, kde 1 ^ no < 10 platné číslice); pak platí:

log n = log (10° . no) = log 10° + log «o = c + m ,

kde m — log «o a 0 ^ m < 1.

Každý dekadický logaritmus je tedy součtem celého čísla c a čísla m. Číslo číslice daného čísla n a nazývá se charakteristika logaritm u; číslo m se nazývá m antisa logaritm u. Všechna čísla, která se liší pouze umístěním desetinné čárky, mají touž mantisu.

Hledáme-li logaritmus nějakého čísla, určíme nejprve charakteristiku, která se rovná řádu první platné číslice zleva. Je-li charakteristika kladná nebo nula, napíšeme ji, za ni napíšeme desetinnou čárku a pak připíšeme mantisu nalezenou v tabulkách. Je-li charakteristika záporná, napíšeme nulu, za ni desetinnou čárku, vynecháme místo na mantisu a za ně připíšeme zápornou charakteristiku. Pak z tabulky doplníme mantisu.

V tabulce 9.2 jsou uvedeny čtyřmístné mantisy trojcifemých čísel 100— 999 a na kond řádků opravy pro čtvrtou platnou číslici.

a c je celé číslo (řád první

c udává řád první platné

92

Příklady:log 8 320 =

log 0,0456 =

log 1,357 =

3,9201

0,6590 —2

0,1303

+23

číslo 8 320 má nejvyšší řád tisíce, tedy charakteristiku 3; mantisa řádek 83, sloupec 2číslo 0,0456 má nejvyšší řád setiny, charakteristiku —2; mantisa - řádek 45, sloupec 6číslo 1,357 má nejvyšší řád jednotky, charakteristiku 0; mantisa řádek 13, sloupec 5oprava pro čtvrtou platnou číslici 7

0,1326

(Až do mantis log 209 jsou řádky rozděleny na dvě až čtyři části, protože tabulkové diference nejsou na řádku stejné, takže se opravy pro různé diference liší. Teprve od mantisy log 210 se diference mezi manti- sami liší nejvýše o 1, takže zaokrouhlené opravy platí pro celý řádek.)

Opačným postupem najdeme k danému logaritmu číslo se čtyřmi platnými číslicemi.

Příklad:log x = 0,9131

—0,9128 řádek 81, sloupec 8 oprava 3 přísluší čtvrté číslici 5 nebo 6charakteristika log x — 0, nejvyšším řádem čísla x jsou jednotky

řádek 46, sloupec 2 oprava 4 přísluší čtvrté číslici 4charakteristika logjy j e —3, nejvyšším řádem čísla y budou tisíciny, proto napíšeme 0,00 a doplníme desetinná místa odpovídající mantise.

M antisa logaritm u čísla n m á nejvýše tolik platných číslic, kolik platných číslic m á číslo n.Hledáme-li proto mantisu čísla zaokrouhleného např. na 3 platné číslice, zaokrouhlíme mantisu rovněž na tři platné číslice.

x = 8,185log = 0,6650 - 3

-0 ,6646

y = 0,004624

log x 0O «■ ■ě

93

9.1 Přirozené logaritm y čísel 1—100

n ln n n ln n n ln n n ln n n ln n

1 0,00 000 21 3,04 452 41 3,71 357 61 4,11 087 81 4,39 4452 0,69 315 22 3,09 104 42 3,73 767 62 4,12 713 82 4,40 6723 1,09 861 23 3,13 549 43 3,76 120 63 4,14 313 83 4,41 884

4 1,38 629 24 3,17 805 44 3,78 419 64 4,15 888 84 4,43 0825 1,60 944 25 3,21 888 45 3,80 666 65 4,17 439 85 4,44 2656 1,79 176 26 3,25 810 46 3,82 864 66 4,18 965 86 4,45 435

7 1,94 591 27 3,29 584 47 3,85 015 67 4,20 469 87 4,46 5918 2,07 944 28 3,33 220 48 3,87 120 68 4,21 951 88 4,47 7349 2,19 722 29 3,36 730 49 3,89 182 69 4,23 411 89 4,48 864

10 2,30 259 30 3,40 120 50 3,91 202 70 4,24 850 90 4,49 981

11 2,39 790. 31 3,43 399 51 3,93 183 71 4,26 268 91 4,51 08612 2,48 491 32 3,46 574 52 3,95 124 72 4,27 667 92 4,52 17913 2,56 495 33 3,49 651 53 3,97 029 73 4,29 046 93 4,53 260

14 2,63 906 34 3,52 636 54 3,98 898 74 4,30 407 94 4,54 32915 2,70 805 35 3,55 535 55 4,00 733 75 4,31 749 95 4,55 38816 2,77 259 36 3,58 352 56 4,02 535 76 4,33 073 96 4,56 435

17 2,83 321 37 3,61 092 57 4,04 305 77 4,34 381 97 4,57 47118 2,89 037 38 3,63 759 58 4,06 044 78 4,35 671 98 4,58 49719 2,94 444 39 3,66 356 59 4,07 754 79 4,36 945 99 4,59 512

20 2,99 573 40 3,68 888 60 4,09 434 80 4,38 203 100 4,60 517

ln re = 1,144 73

9.2 Mantisy log n 100 - 299

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 0000 0043 4 9 13 17 22 26 30 35 390086 0128 0170 4 9 13 17 21 25 30 34 38

0212 0253 4 8 12 16 21 25 29 33 370294 0334 0374 4 8 12 16 20 24 28 32 36

11 0414 0453 0492 4 8 12 16 20 24 27 31 350531 0569 0607 4 8 11 15 19 23 27 30 34

0645 0682 0719 0755 4 7 11 15 18 22 26 29 33

12 0792 0823 0864 0899 0934 3 7 11 14 18 21 25 28 320969 4 7 11 14 17 21 24 28 31

1004 1038 1072 1106 3 7 10 14 17 20 24 27 30

13 1139 1173 3 7 10 13 17 20 23 27 301206 1239 1271 1303 1335 3 6 10 13 16 19 23 26 29

1367 1399 1430 3 6 9 13 16 19 22 25 28

14 1461 1492 3 6 9 13 16 19 22 25 281523 1553 1584 1614 1644 1673 3 6 9 12 15 18 21 24 27

1703 1732 3 6 9 11 14 17 20 23 26

15 1761 1790 1818 1847 1875 1903 1931 3 6 9 11 14 17 20 23 261959 1987 2014 3 5 8 11 14 16 19 22 25

16 2041 2068 2095 2122 2148 2175 2201 2227 3 5 8 11 13 16 19 21 242253 2279 3 5 8 10 13 15 18 20 23

17 2304 2330 2355 2380 2405 2430 . 3 5 8 10 13 15 18 20 232455 2480 2504 2529 2 5 7 10 12 15 17 19 22

18 2553 2577 2601 2625 2648 2672 2695 2718 2 5 7 9 12 14 16 19 212742 2765 2 5 7 9 11 13 16 18 20

19 2788 2810 2833 2856 2878 2900 2 4 7 9 11 14 16 18 202923 2945 2967 2989 2 4 6 8 11 13 15 17 19

20 3010 3032 3054 3075 3096 2 4 6 8 11 13 15 17 193118 3139 3160 3181 3201 2 4 6 8 10 12 14 17 19

21 3222 3243 3263 3284 3304 3324 3345 3365 3385 3404 2 4 6 8 10 12 14 16 1822 3424 3444 3464 3483 3502 3522 3541 3560 3579 3598 2 4 6 8 10 12 14 15 1723 3617 3636 3655 3674 3692 3711 3729 3747 3766 3784 2 4 6 7 9 11 13 15 1724 3802 3820 3838 3856 3874 3892 3909 3927 3945 3962 2 4 5 7 9 11 12 14 1625 3979 3997 4014 4031 4048 4065 4082 4099 4116 4133 2 3 5 7 9 10 12 14 1526 4150 4166 4183 4200 4216 4232 4249 4265 4281 4298 2 3 5 7 8 10 11 13 15

27 4314 4330 4346 4362 4378 4393 4409 4425 4440 4456 2 3 5 6 8 9 11 13 1428 4472 4487 4502 4518 4533 4548 4564 4579 4594 4609 2 3 5 6 8 9 11 12 1429 4624 4639 4654 4669 4683 4698 4713 4728 4742 4757 1 3 4 6 7 9 10 12 13

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9

log XO

95

9.2 M antisy logn 300—639

log X

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9

30 4771 4786 4800 4814 4829 4843 4857 4871 4886 4900 1 3 4 6 7 9 10 11 13

31 4914 4928 4942 4955 4969 4983 4997 5011 5024 5038 1 3 4 6 7 8 10 11 1232 5051 5065 5079 5092 5105 5119 5132 5145 5159 5172 1 3 4 5 7 8 9 11 1233 5185 5198 5211 5224 5237 5250 5263 5276 5289 5302 1 3 4 5 6 8 9 10 12

34 5315 5328 5340 5353 5366 5378 5391 5403 5416 5428 1 3 4 5 6 8 9 10 1135 5441 5453 5465 5478 5490 5502 5514 5527 5539 5551 1 2 4 5 6 7 9 10 1136 5563 5575 5587 5599 5611 5623 5635 5647 5658 5670 1 2 4 5 6 7 8 10 U

37 5682 5694 5705 5717 5729 5740 5752 5763 5775 5786 1 2 3 5 6 7 8 9 1038 5798 5809 5821 5832 5843 5855 5866 5877 5888 5899 1 2 3 5 6 7 8 9 1039 5911 5922 5933 5944 5955 5966 5977 5988 5999 6010 1 2 3 4 5 7 8 9 10

40 6021 6031 6042 6053 6064 6075 6085 6096 6107 6117 1 2 3 4 5 6 8 9 10

41 6128 6138 6149 6160 6170 6180 6191 6201 6212 6222 1 2 3 4 5 6 7 8 942 6232 6243 6253 6263 6274 6284 6294 6304 6314 6325 1 2 3 4 5 6 7 8 943 6335 6345 6355 6365 6375 6385 6395 6405 6415 6425 1 2 3 4 5 6 7 8 9

44 6435 6444 6454 6464 6474 6484 6493 6503 6513 6522 1 2 3 4 5 6 7 8 945 6532 6542 6551 6561 6571 6580 6590 6599 6609 6618 1 2 3 4 5 6 7 8 946 6628 6637 6646 6656 6665 6675 6684 6693 6702 6712 1 2 3 4 5 6 7 7 8

47 6721 6730 6739 6749 6758 6767 6776 6785 6794 6803 1 2 3 4 5 5 6 7 848 6812 6821 6830 6839 6848 6857 6866 6875 6884 6893 1 2 3 4 4 5 6 7 849 6902 6911 6920 6928 6937 6946 6955 6964 6972 6981 1 2 3 4 4 5 6 7 8

50 6990 6998 7007 7016 7024 7033 7042 7050 7059 7067 1 2 3 3 4 5 6 7 8

51 7076 7084 7093 7101 7110 7118 7126 7135 7143 7152 1 2 3 3 4 5 6 7 852 7160 7168 7177 7185 7193 7202 7210 7218 7226 7235 1 2 2 3 4 5 6 7 753 7243 7251 7259 7267 7275 7284 7292 7300 7308 7316 1 2 2 3 4 5 6 6 7

54 7324 7332 7340 7348 7356 7364 7372 7380 7388 7396 1 2 2 3 4 5 6 6 755 7404 7412 7419 7427 7435 7443 7451 7459 7466 7474 1 2 2 3 4 5 5 6 756 7482 7490 7497 7505 7513 7520 7528 7536 7543 7551 1 2 2 3 4 5 5 6 7

57 7559 7566 7574 7582 7589 7597 7604 7612 7619 7627 1 2 2 3 4 5 5 6 758 7634 7642 7649 7657 7664 7672 7679 7686 7694 7701 1 1 2 3 4 4 5 6 759 7709 7716 7723 7731 7738 7745 7752 7760 7767 7774 1 1 2 3 4 4 5 6 7

60 7782 7789 7796 7803 7810 7818 7825 7832 7839 7846 1 1 2 3 4 4 5 6 6

61 7853 7860 7868 7875 7882 7889 7896 7903 7910 7917 1 1 2 3 4 4 5 6 662 7924 7931 7938 7945 7952 7959 7966 7973 7980 7987 1 1 2 3 3 4 5 6 663 7993 8000 8007 8014 8021 8028 8035 8041 8048 8055 1 1 2 3 3 4 5 5 6

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9

n ~ 3,1416, log .i = 0,4971, — = 0,3183, log — = 0,5029 - 1j Z 71

]j'2 = 1,4142, log ¡2 = 0,1505, ^3 = 1,7321, log 0,2386

96

9.2 Mantisy log n 640—999

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9

64 8062 8069 8075 8082 8089 8096 8102 8109 8116 8122 1 1 2 3 3 4 5 5 665 8129 8136 8142 8149 8156 8162 8169 8176 8182 8189 1 1 2 3 3 4 5 5 666 8195 8202 8209 8215 8222 8228 8235 8241 8248 8254 1 1 2 3 3 4 5 5 6

67 8261 8267 8274 8280 8287 8293 8299 8306 8312 8319 1 1 2 3 3 4 5 5 668 8325 8331 8338 8344 8351 8357 8363 8370 8376 8382 1 1 2 3 3 4 4 5 669 8388 8395 8401 8407 8414 8420 8426 8432 8439 8445 1 1 2 2 3 4 4 5 6

70 8451 8457 8463 8470 8476 8482 8488 8494 8500 8506 1 1 2 2 3 4 4 5 6

71 8513 8519 8525 8531 8537 8543 8549 8555 8561 8567 1 1 2 2 3 4 4 5 572 8573 8579 8585 8591 8597 8603 8609 8615 8621 8627 1 1 2 2 3 4 4 5 573 8633 8639 8645 8651 8657 8663 8669 8675 8681 8686 1 1 2 2 3 4 4 5 5

74 8692 8698 8704 8710 8716 8722 8727 8733 8739 8745 1 1 2 2 3 4 4 5 575 8751 8756 8762 8768 8774 8779 8785 8791 8797 8802 1 1 2 2 3 3 4 5 576 8808 8814 8820 8825 8831 8837 8842 8848 8854 8859 1 1 2 2 3 3 4 5 5

77 8865 8871 8876 8882 8887 8893 8899 8904 8910 8915 1 1 2 2 3 3 4 4 578 8921 8927 8932 8938 8943 8949 8954 8960 8965 8971 1 1 2 2 3 3 4 4 579 8976 8982 8987 8993 8998 9004 9009 9015 9020 9025 1 1 2 2 3 3 4 4 5

80 9031 9036 9042 9047 9053 9058 9063 9069 9074 9079 1 1 2 2 3 3 4 4 5

81 9085 9090 9096 9101 9106 9112 9117 9122 9128 9133 1 1 2 2 3 3 4 4 582 9138 9143 9149 9154 9159 9165 9170 9175 9180 9186 1 1 2 2 3 3 4 4 583 9191 9196 9201 9206 9212 9217 9222 9227 9232 9238 1 1 2 2 3 3 4 4 5

84 9243 9248 9253 9258 9263 9269 9274 9279 9284 9289 1 1 2 2 3 3 4 4 585 9294 9299 9304 9309 9315 9320 9325 9330 9335 9340 1 1 2 2 3 3 4 4 586 9345 9350 9355 9360 9365 9370 9375 9380 9385 9390 1 1 2 2 3 3 4 4 5

87 9395 9400 9405 9410 9415 9420 9425 9430 9435 9440 0 1 1 2 2 3 3 4 488 9445 9450 9455 9460 9465 9469 9474 9479 9484 9489 0 1 1 2 2 3 3 4 489 9494 9499 9504 9509 9513 9518 9523 9528 9533 9538 0 1 1 2 2 3 3 4 4

90 9542 9547 9552 9557 9562 9566 9571 9576 9581 9586 0 1 1 2 2 3 3 4 4

91 9590 9595 9600 9605 9609 9614 9619 9624 9628 9633 0 1 1 2 2 3 3 4 492 9638 9643 9647 9652 9657 9661 9666 9671 9675 9680 0 1 1 2 2 3 3 4 493 9685 9689 9694 9699 9703 9708 9713 9717 9722 9727 0 1 1 2 2 3 3 4 4

94 9731 9736 9741 9745 9750 9754 9759 9763 9768 9773 0 1 1 2 2 3 3 4 495 9777 9782 9786 9791 9795 9800 9805 9809 9814 9818 0 1 1 2 2 3 3 4 496 9823 9827 9832 9836 9841 9845 9850 9854 9859 9863 0 1 1 2 2 3 3 4 4

97 9868 9872 9877 9881 9886 9890 9894 9899 9903 9908 0 1 1 2 2 3 3 4 498 9912 9917 9921 9926 9930 9934 9939 9943 9948 9952 0 1 1 2 2 3 3 4 499 9956 9961 9965 9969 9974 9978 9983 9987 9991 9996 0 1 1 2 2 3 3 3 4

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0

log X

97

fyzikální a chemické

tabulky

Ú VO D

Veličiny jsou pojmy, které se užívají ke kvantitativnímu a kvalitativnímu popisu jevů nebo těles. Veličiny, které mají stejný kvalitativní charakter a lze je vzájemně porovnávat, jsou veličiny stejného druhu. Příklad: vlnová délka žluté sodíkové čáry a poloměr Země jsou veličiny stejného druhu.

Vybereme-li ze skupiny veličin stejného druhu jednu, kterou považujeme za referenční (vztažnou) a s níž ostatní porovnáváme (měřením), nazýváme takto vybranou veličinu jednotka. Jednotka je vhodně zvolená referenční veličina používaná při měření veličin stejného druhu. Je zpravidla určena mezinárodní dohodou.

Kdybychom volili jednotky všech veličin nezávisle, komplikovaly by se rovnice vyjadřující funkční závislosti mezi veličinami číselnými součiniteli. Proto volíme nezávisle jen několik jednotek, které pak nazýváme základní jednotky; ostatní jednotky z nich odvozujeme a říkáme jim odvozené jednotky. Základní a odvozené jednotky tvoří spolu soustavu jednotek. Soustava jednotek je koherentní, mají-li rovnice mezi číselnými hodnotami stejný tvar jako veličinové rovnice.

Rozměrem veličiny vzhledem k základním veličinám nazýváme formální součin všech rozměrových symbolů s příslušnými exponenty (základní veličiny a jejich rozměrové symboly jsou: délka L, hmotnost M, čas T , elektrický proud I, teplota 0 , látkové množství M, svítivost J). Např. rozměrem výkonu je L2MT~3. V praxi je zvykem nahrazovat v rozměru veličiny rozměrové symboly značkami odpovídajících základních jednotek, např. pro výkon m2 . kg . s~3. Protože korespondence mezi základními veličinami a základními jednotkami je v případě zákonných jednotek jednoznačná, jsou obě vyjádření zaměnitelná.

Číselná hodnota veličiny je číslo, kterým musíme vynásobit jednotku, abychom dostali danou veličinu.Číselná hodnota veličiny je určena poměrem této veličiny k její jednotce. Příklad: výška stolu h = 0,8 m; h je výška stolu, m (metr) je jednotka, 0,8 je číselná hodnota. Veličina nezávisí na volbě jednotky, číselná hodnota veličiny však na volbě jednotky závisí. Kolikrát se zvětší (zmenší) jednotka, tolikrát se zmenší (zvětší) číselná hodnota veličiny. Příklad: výška stolu nezávisí na tom, v jakých jednotkách je vyjádřena.Avšak h = 0,800 m - 80,0 cm = 800 mm.

Jsou-li v témž sloupci tabulky uvedeny číselné hodnoty ve stejných jednotkách, je uvedena příslušná jednotka pouze v záhlaví tabulky poměrem veličiny a příslušné jednotky ve tvaru zlomku.

Přík lad : číselné hodnoty hustoty q různých látek v kilogramech na krychlový metr jsou v záhlaví tabulky0 Qoznačeny takto: ^ ^ 3 . Najdeme-li např. u vody v tabulce číselnou hodnotu 998, znamená to —— =

= 998. Tuto rovnici můžeme vynásobením (na obou stranách) k g . m -3 uvést do obvyklého tvaru g = 998 kg . m~3.

Číselné hodnoty veličin se v tabulkách uvádějí zpravidla se třemi až čtyřmi platnými číslicemi; větší přesnost není pro praktické použití nutná a leckdy ani nejsou číselné hodnoty s větší přesností známy. Počet platných číslic se u čísel s desetinnou čárkou shoduje vždy s počtem napsaných číslic, např. číslo 2,14 má platné 3 číslice. Uvádí-li se číslo s menším počtem platných číslic, než je počet napsaných číslic, např. 2 140 se třemi platnými číslicemi, lze ho zapsat jako součin desetinného čísla a mocniny 10, tj. 2,14. 103.V některých tabulkách se takový zápis nehodí a pak není počet platných číslic vyznačen. Např. hustota chromniklu je v tabulce zapsána takto: 8 200 k g . m -3. V tomto případě jsou pouze první dvě číslice platnými číslicemi, nuly slouží k vyznačení řádu. Nuly na konci celých čísel ve fyzikálních a chemických tabulkách zpravidla nejsou platnými číslicemi.

V tabulkách jsou uvedeny veličiny, které charakterizují vlastnosti látek, vlastnosti jevů a vlastnosti pohybu těles, přeměn energie apod. Ve většině tabulek je shrnuto více veličin dohromady, aby se nemusel pro každou veličinu opakovat seznam látek. Příkladem jsou tabulky tepelných konstant kapalin a plynů. V takových tabulkách pak nejsou vždy všechny údaje; některé údaje nemají význam, jiné třeba nebyly změřeny. Příslušná místa v tabulkách jsou proškrtnuta.

Jednotky a značky veličin jsou převzaty ze státních norem.Nadpisy tabulek jsou pokud možno stručné, pod nadpisem jsou však vždy uvedeny všechny veličiny, které

se vyskytují v tabulce, a jejich značky. U tabulek vyjadřujících závislost je uveden též příslušný matematický vztah. V rovnicích a vztazích se někde pro úsporu místa užívají také šikmé zlomkové čáry.

Údaje v tabulkách jsou uváděny v jednotkách Mezinárodní soustavy jednotek. Kromě jednotek SI se

Jednotky

101

Jednotky

užívají též násobky a díly jednotek, a to i v kombinacích, např. kV . mm-1 a pod. Přednostně se užívají ty jednotky, které se užívají i v praxi. Při zápisu jednotek se v tabulkách neužívají zlomkové čáry, aby nemohlo dojít k omylu. Jmenovatel je vždy vyznačen jako součinitel se záporným exponentem. Z vedlejších jednotek jsou v tabulkách užity pouze elektronvolt a výjimečně i litr.

Některé veličiny a zejména látkové konstanty závisí často na vnějších podmínkách. Aby byly údaje těchto veličin srovnatelné, zavádíme tzv. normální podmínky, charakterizované normálním tíhovým zrychlením ga = 9,806 65 m . s-2, normální teplotou rn = 0 ° C a normálním tlakem. Za normální tlak se dříve považoval tlak jedné fyzikální atmosféry, odpovídající tlaku rtuťového sloupce 760 mm vysokého, tj. pa = = 1,013 25 . 105 Pa == 1,013 . 105 Pa. Ve spojení se soustavou SI je výhodnější užívat pn = 105 Pa přesně. Přechod na tuto novou hodnotu není dosud ukončen, a proto se v tabulkách setkáme s oběma hodnotami normálního tlaku.

Úkolem tabulek je informovat především o číselných hodnotách velikostí veličin. U vektorových veličin proto většinou není respektován jejich vektorový charakter (zápisem ani slovním vyjádřením), který na číselné hodnoty nemá vhv. Podrobnosti o vektorových veličinách jsou uvedeny v učebnicích.

Některé státní normy (ČSN) důležité pro fyziku a chemii.

ČSN 01 1001 Matematické značkyČSN 01 1010 Zapisování a zaokrouhlování číselČSN 01 1300 Zákonné měřicí jednotkyČSN 01 1301 Veličiny, jednotky a rovnice. Společná ustanoveniČSN 01 1302 Veličiny, jednotky a značky v mechanice tuhých a poddajných tělesČSN 01 1303 Veličiny a jednotky v mechanice tekutin a termomechaniceČSN 01 1304 Veličiny a jednotky v akusticeČSN 01 1305 Veličiny a jednotky v elektrotechniceČSN 01 1306 Veličiny a jednotky světla a příbuzných elektromagnetických zářeníČSN 01 1307 Veličiny a jednotky ve fyzikální chemiiČSN 01 1308 Veličiny a jednotky v atomové a jaderné fyziceČSN 01 1312 Veličiny a jednotky mechanického kmitání a rázůČSN 01 1326 Veličiny a jednotky ve sdílení tepla a přenosu látkyČSN 01 1329 Jednotka decibel pro měření úrovní, útlumů a ziskůČSN 36 9032 Vyjádřeme meradch jednotiek pre tlačiarenské zariadenia s obmedzeným súborom znakov

102

Mezinárodní soustava jednotek (Systéme International ď Unités, zkratka SI) byla v ČSSR uzákoněna v roce 1962 zákonem č. 35/62 Sb. O měrové službě, který stanovil šest základních jednotek: metr, kilogram, sekunda, ampér, kelvin a kandela. Zákon č. 57/75 Sb., kterým se mění a doplňuje zákon č. 35/62 Sb. O měrové službě, doplnil sedmou základní jednotku mol. Definice základních jednotek a další zákonné jednotky stanoví norma ČSN 01 1300 Zákonné měřicí jednotky.

1 Základní jednotky

Veličina Základní jednotka Definice

délka metr metr je délka dráhy, kterou proběhne světlo ve vakuu

23 299 792 458

hmotnost kilogram kilogram je hmotnost mezinárodního prototypu kilogramu uloženého v Mezinárodním úřadě pro váhy a míry v Sèvres u Paříže

čas sekunda sekunda je doba rovnající se 9 192 631 770 periodám záření, které odpovídá přechodu mezi dvěma hladinami velmi jemné struktury základního stavu atomu cesia 133

elektrickýproud

ampér ampér je stálý elektrický proud, který při průchodu dvěma přímými rovnoběžnými nekonečně dlouhými vodiči zanedbatelného kruhového průřezu umístěnými ve vakuu ve vzájemné vzdálenosti 1 metr vyvolá mezi nimi stálou sílu 2 . 10~7 newtonu na 1 metr délky vodiče

termodynamickáteplota

kelvin kelvin je •} , , termodynamické teploty trojného bodu vody 273,16

svítivost kandela kandela je svítivost zdroje, který v daném směru vysílá monochromatické záření o kmitočtu 540 . 1012 hertzů a jehož zářivost v tomto směruje wattu na steradián 683

látkové množství mol mol je látkové množství soustavy, která obsahuje právě tolik elementárních jedinců (entit), kolik je atomů v 0,012 kilogramu nuklidu uhlíku J|C (přesně).Při udávání látkového množství je třeba elementární entity specifikovat; mohou to být atomy, molekuly, ionty, elektrony, jiné částice nebo blíže určená seskupení těchto částic

M etr byl dřivé definován jako vzdálenost dvou rysek na mezinárodním prototypu metru, který je uložen v Mezinárodním úřadě pro váhy a míry v Sčvres (čti sěvr - předměstí Paříže), měřená při teplotě 0 °C a tlaku 1,013 25 . 106 Pa. Nově přijatá definice nemění velikost metru, pouze ji zpřesňuje.

Ve školské fyzice se veličina délka dráhy nazývá krátce dráha.1 sekunda odpovídá ^ dne (středního slunečního dne).

86 400Teplota trojného bodu vody je teplotou rovnovážného stavu ledu, vody a vodní páry; trojný bod vody je základní

teplotní bod. Termodynamická teplota začíná absolutní nulou. Termodynamická teplota trojného bodu vody je 273,16 K. Nule Celsiovy stupnice přísluší termodynamická teplota 273,15 K přesně. Leži 0,01 K pod trojným bodem vody a je to teplota tuhnuti vody při tlaku 1,013 25 . 105 Pa. Teplota 100 ”C je teplota varu vody při témž tlaku. Teplotní stupeň je v obou stupnicích stejný.

Jednotky

103

Jednotky

2 Zákonné m ěřicí jednotky

Podle normy ČSN 01 1300 Zákonné měřicí jednotky se zákonné měřicí jednotky dělí na:a) základní jednotky, které jsou určeny zákonem,b) odvozené jednotky, které jsou koherentně odvozeny od základních jednotek. Norma ČSN 01 1300

uvádí ještě kategorii tzv. doplňkových jednotek (radián, steradián). S těmito jednotkami se pracuje jako s jednotkami odvozenými, a proto jsou zahrnuty mezi odvozené jednotky. Základní a odvozené jednotky se nazývají souhrnným názvem hlavni jednotky nebo též jednotky SI,

c) násobky a díly jednotek - viz tabulku 5,d) vedlejší jednotky, které se odvozují od hlavních jednotek převodním činitelem různým od jedné a které

jsou v ČSN 01 1300 jmenovitě uvedeny.Ostatní jednotky, které nepatří do výše uvedených skupin, nejsou zákonné měřicí jednotky a v ČSSR se

nesmějí používat.V této tabulce jsou uvedeny hlavní jednotky, které mají zvláštní název. Hlavní jednotky jsou podrobně

uvedeny v tabulce 4, vedlejší v tabulce 6.

Veličina Jednotka

Název Rozměr Název Značka

rovinný úhel 1 radián radprostorový úhel 1 steradián srkmitočet s-1 hertz Hzsíla m . kg . *-2 newton Ntlak, mechanické napití m-1 . kg . s-2 pascal Paenergie, práce, teplo m2 . kg . s-2 joule Jvýkon m2 . kg . s- 3 watt Welektrický náboj s . A coulomb Celektrické napétí, el. potenciál, elektromotorické napětí m2 . kg . s-3 . A-1 volt velektrická kapacita m -2 . kg-1 . s4 . A2 farad Felektrický odpor m2 . kg . s-3 . A-2 ohm aelektrická vodivost m -2. kg"1, s3 . A2 siemens smagnetický indukční tok m2 . kg . s-2 . A-1 weber Wbmagnetická indukce k g . s-2 . A-1 tesla Tindukčnost, vzájemná indukčnost ma . kg . s- 2 . A’ 2 henry Hsvětelný tok cd lumen lmosvětlení m -2 . cd lux lxaktivita s-1 becquerel Bqdávka m2 . s ' 2 gray Gyekvivalentní dávka m2 . s-2 sievert Sv

3 Definice některých jednotekRovinný úhel. Hlavní jednotkou je radián (rad).

Radián je úhel, u něhož poměr příslušné délky kruhového oblouku opsaného z vrcholu úhlu k poloměru oblouku se rovná 1.

Prostorový úhel. Hlavní jednotkou je steradián (sr).Steradián je prostorový úhel, u něhož poměr obsahu plochy vytknuté příslušným kuželem na povrchu koule, jež má střed ve vrcholu úhlu, ke druhé mocnině poloměru koule se rovná 1.

Kmitočet. Hlavní jednotkou je hertz (Hz).Hertz je kmitočet periodického jevu, jehož perioda trvá 1 sekundu.

Síla, tíha. Hlavní jednotkou je newton (N).Newton je síla, která uděluje tělesu o hmotnosti 1 kg zrychlení 1 m . s ~2.

104

Hustota. Hlavni jednotkou je kilogram na krychlový metr (kg . m 3).Kilogram na krychlový metr je hustota homogenní látky, jejíž jeden krychlový metr má hmotnost jeden kilogram.

Tlak, mechanické napětí. Hlavní jednotkou je pascal (Pa).Pascal je tlak, který vyvolá síla jednoho newtonu rovnoměrně působící na plochu o obsahu 1 m2 kolmou ke směru síly.

Dynamická viskozita. Hlavní jednotkou je pascalsekunda (Pa . s).Pascalsekunda je dynamická viskozita laminárně proudící tekutiny, v níž při gradientu rychlosti 1 s*1 napříč proudu vzniká tečné napětí 1 Pa.

Energie, práce, teplo. Hlavní jednotkou je joule (J).Joule je práce, kterou vykoná stálá síla 1 newtonu působící ve směru síly po dráze 1 m.

Výkon, zářivý tok. Hlavní jednotkou je watt (W).Watt je výkon, při němž se vykoná práce 1 joulu za 1 sekundu.

M ěrná tepelná kapacita. Hlavní jednotkou je joule na kilogram a kelvin (J . kg - *. K 1).Joule na kilogram a kelvin je měrná tepelná kapacita homogenní látky takové, že těleso o hmotnosti 1 kg z ní vyrobené se zahřeje teplem 1 joulu o 1 kelvin.

Elektrický náboj. Hlavní jednotkou je coulomb (C).Coulomb je elektrický náboj, jenž proteče vodičem při stálém proudu 1 ampéru za dobu 1 sekundy.

Elektrické napětí. Hlavní jednotkou je volt (V).Volt je napětí mezi konci vodiče, do něhož stálý proud 1 ampéru dodává výkon 1 wattu.

Elektrická kapacita. Hlavní jednotkou je farad (F).Farad je kapacita elektrického kondenzátoru, který při napětí 1 voltu pojme náboj 1 coulombu.

Elektrický odpor. Hlavní jednotkou je ohm (O).Ohm je odpor vodiče, v němž stálé napětí 1 voltu mezi konci vodiče vyvolá proud 1 ampéru, nepůsobí-li ve vodiči elektromotorické napětí.

Elektrická vodivost. Hlavní jednotkou je siemens (S).Siemens je vodivost vodiče, jehož odpor je 1 ohm.

Indukčnost. Hlavní jednotkou je henry (H).Henry je vlastní indukčnost uzavřeného obvodu, v němž vzniká elektromotorické napětí 1 voltu, jestliže se elektrický proud procházející tímto obvodem rovnoměrně mění o 1 ampér za sekundu.

Magnetický indukční tok. Hlavní jednotkou je weber (Wb).Weber je magnetický indukční tok, který indukuje v závitu jej obepínajícím elektromotorické napětí 1 voltu, zmenšuje-li se tento tok rovnoměrně tak, že za 1 sekundu zanikne.

M agnetická indukce. Hlavní jednotkou je tesla (T).Tesla je magnetická indukce, při níž je v ploše s obsahem 1 čtverečného metru umístěné kolmo ke směru magnetické indukce magnetický indukční tok 1 weberu.

Intenzita magnetického pole. Hlavní jednotkou je ampér na metr (A . m ’). Užíval se též nevhodný název ampérzávit na metr (Az . m _1).Ampér na metr je intenzita magnetického pole uvnitř velmi dlouhého solenoidu, u něhož součin proudu a délkové hustoty závitů je 1 ampér na metr.

Světelný tok. Hlavní jednotkou je lumen (lm).Lumen je světelný tok vyzařovaný do prostorového úhlu 1 steradiánu bodovým zdrojem, jehož svítivost je ve všech směrech 1 kandela.

Osvětlení. Hlavní jednotkou je lux (Ix).Lux je osvětlení plochy, na jejíž každý čtverečný metr dopadá rovnoměrně rozdělený světelný tok 1 lumenu.

Jas. Hlavní jednotkou je kandela na čtverečný metr (cd . m~2).Kandela na čtverečný metr je jas zdroje, jehož svítivost na 1 čtverečný m etr zdánlivé plochy zdroje je rovna 1 kandele; zdánlivou plochou se přitom rozumí obsah průmětu skutečné plochy do roviny kolmé ke směru záření.

Aktivita. Hlavní jednotkou je becquerel (Bq).Becquerel je aktivita radionuklidu, v němž dochází průměrně k jedné přeměně za 1 sekundu.

Dávka (absorbovaná dávka). Hlavní jednotkou je gray (Gy).Gray je dávka, při níž ionizující záření předá 1 kilogramu dané látky střední energii 1 joule.

Jednotky

105

Jednotky4 Přehled veličin, značek a hlavních jednotek

Tabulka obsahuje názvy a značky vybraných fyzikálních veličin a názvy, značky a rozměry jejich hlavních jednotek. Výrazy uvedené ve sloupci Vztah udávají souvislost dané veličiny s ostatními a v některých případech matematicky vyjadřují obvyklou definici veličiny. V tomto sloupci jsou pro úsporu místa použity zlomky se šikmou zlomkovou čárou.

Veličina Jednotka

Název Značka Vztah Název Značka Rozměr

délka metr m mobsah (plochy) 5 čtverečný metr m2 m2objem V krychlový metr m3 m3úhel (rovinný) a , . . . radián rad 1prostorový úhel to, í i steradián sr 1časperioda

tT | sekunda s s

kmitočet f / = i / r hertz Hz S '1úhlový kmitočet to (O = 2 k/T reciproká sekunda s-1 s-1frekvence otáčení f f = 1 /T reciproká sekunda s-1 s_lrychlost v, ... v = Aj/Ař metr za sekundu m . s-1 m . s '1zrychlení a a = Ad/A t metr za sekundu

na druhoum . s-2 m . s~a

úhlová dráha /At radián za sekundu rad . s-1 s"1úhlové zrychlení £ e = Ato/A t radián za sekundu

na druhourad . s-2 s—2

hmotnost m kilogram kg kghustota Q, S Q = m /V kilogram na krychlový

metrk g . m~3 m -3 . kg

měrný objem v v — 1 Iq krychlový metr na kilogram

m 3 . kg-1 m3 . kg-1

hybnost p P = mv kilogram metr za sekundu

kg . m . s-1 m . kg . s-1

síla F F — ma ) Ntíha G [ newton m . kg . s-2tíhové zrychlení g g — G/m metr za sekundu

na druhoum . s-2 m . s-2

moment setrvačnosti I I = mra kilogram metr kg . ma m2 . kgna druhou

moment síly M M = rF*) newton metr N . m m2 . kg . s~2tlakmechanické napětí

Pa

Pa

= F /S = F /S | pascal Pa m-1 . kg . s-2

poměrné prodloužení e s = M/l — — 1modul pružnosti v tahu E E = tr/e pascal Pa m '1 . kg . s-2součinitel smykového f f = F%/Fm — — 1

třenírameno valivého tření f metr m mviskozita (dynamická) n pascalsekunda Pa . s m -1 . kg . s-1povrchové napětí a a = F/l newton na metr N . m-1 kg . S‘2hmotnostní tok Qm Qm — Am/At kilogram za sekundu kg . s-1 k g . s_lobjemový tok Qv Qv = AF/A í krychlový metr

za sekundum3 . s-1 m3 . s~l

práceenergie

wE

w = Fl cos a j joule J m2 . kg . s-2výkon P p = AlF/Af watt W m2 . kg . s-aúčinnost V — — 1rychlost šíření zvuku v metr za sekundu m . s-1 m . s“1vlnová délka X X = e l f metr m m

*) r je rameno sily.

106

Veličina Jednotka


vlnočet a a = m reciproký metr m -1 m -1intenzita zvuku 1 I - PIS*) watt na čtverečný metr W . m~2 k g . s-3hladina akustického L rxrx , P decibel dB 1

tlaku L = 20 log — Po

hladina hlasitosti L n fón Ph 1hlasitost N son son 1termodynam. teplota T kelvin K KCelsiova teplota t Celsiův stupeň °C Kteplotní rozdíl Af kelvin, Celsiův stupeň K, °C Ksoučinitel teplotní a a = A//(/jAř)**)

délkové roztažnosti } reciproký kelvin K-» K -isoučinitel teplotní P>V f> = AV(ViAt)

objemové roztažnosti **•)teplo Q joule J ma . kg . s-2tepelný tok 0 = AQ/At***) watt W ma . kg . s-3hustota tepelného toku <P <P = 0 /S watt na čtverečný metr W .m - 2 k g . s~3součinitel tepelné X watt na metr a kelvin W.m~l.K~l m . kg . s-3 . K _1

vodivostitepelná kapacita C C = Q IAt**) joule na kelvin J . K - i m2 . kg . s~2 , K -1měrná tepelná c c == C/m joule na kilogram J.k g -i.K -i m2 . s '2 . K -1

kapacita a kelvinentropie S A S = AQ/T joule na kelvin J . K - i m2 . kg . s“2 . K “1vnitřní energie uentalpie H H = U + p V J joule J m2 . kg . s~2Gibbsova funkce G G = H — T S Irelativní atomová Ar Ar — m jm a _ _ 1

hmotnostrelativní molekulová Mr Mr = mm/ma — — 1

hmotnostlátkové množství n mol mol molhmotnostní zlomek w, Ul, = nulm — — 1hmotnostní ír»i Cmt = m dV kilogram na krychlový kg . m“3 m -s .k g

koncentrace metrmolámí koncentrace c< Cf = n JV mol na krychlový metr m o l. m -3 m -3 . molmoláraí hmotnost M m,M Mm = min kilogram na mol kg . mol-1 kg . mol-1molámí objem Vm Vm = Vln krychlový metr na mol m3 . mol-1 m 3 . mol-1molámí teplo Cm Cm = MmC joule na mol a kelvin J .m o l'1. K-1 m2.kg.s_2.K_1.

.mol-1molámí plynová Em Km = pV/(nT) joule na mol a kelvin J .m ol-J.K -1 m2.kg.s-2.K -1.

konstanta .mol-1měrná plynová r r RmIMm joule na kilogram <—

( 5T (W i. m2.s-2 .K -1konstanta a kelvin

skupenské teplo L joule J m2 . kg . s-2měrné skupenské teplo l l = L/m joule na kilogram J • kg-1 m2 . s-2elektrický náboj Q coulomb C s . Aelektrický dipólový p P = rQ coulombmetr C . m s . A . m

momentelektrický proud I I = AQ/At ampér A Aproudová hustota 3 J = U S f) ampér na čtverečný

metrA .m - 2 m“2 . A

intenzita elektrického E E - - F/Q volt na metr V .m -» m .kg .s_3.A _1pole

napětí, potenciál U,<p U = P / / t t ) volt V m2.kg.s~3. A-1elektrická indukce D coulomb na čtverečný

metrC .m -2 m "2. s . A

Jednotky

*) Plocha kolmá na směr šíření zvuku.**) t je teplota,***) t je čas.f ) Plocha kolmá ke směru proudových vláken, t t ) Pro stejnosměrný proud.

107

JednotkyVeličina Jednotka


elektrický indukční tok N N = D S*) coulomb C s . Aelektrická kapacita C C = Q/U farad F m '2.kg_1.s4.A2permitiva e E = DIE farad na metr F .m - ‘ m 'a .k g ^ .s ^ A 2poměrná permitiva £t tr = eleo — — 1elektrický odpor R R = U II ohm n m2.kg.s_3.A ‘2elektrická vodivost G G = 1 IR siemens s m_ ,.kg_I.s3.A2měrný elektrický odpor Q Q = RSIl ohmmetr a . m m3.k g .s-3.A -2magnetická indukce D B = Fill**) tesla T kg . s-2 . A '1magnetický indukční u henry H m2.kg .s-2. A-2permeabilita = BIH henry na metr H . m -1 m .kg .s-2.A -2poměrná permeabilita /'r lir = /l/fiO — — 1zářivý tok watt W m3 . kg . s-3světelný tok <P lumen lm cdsvítivost I I = A0/AÍ1 kandela cd cdjas L kandela na čtverečný

metrcd . m_* m-2 . cd

osvětlení E E = A 0IA S lux lx m - * . cdosvit H luxsekunda lx . s m - * . s . cdrychlost šíření světla c

ve vakuu rychlost šíření světla v l metr za sekundu m . s-1 m . s-1

v látkovém prostředí iindex lomu n — — 1ohnisková vzdálenost f metr m moptická mohutnost 9 <r = U f diop>trie D m -1protonové číslo Z — — 1nukleonové číslo A — — 1aktivita A A = — A N Ib t becquerel Bq B_1měrná aktivita a a = A/m becquerel na kilogram Bq .kg"1 k g '1 . s_1poločas přeměny

T i T i — r . ln 2 sekunda s sdávka D gray Gy m2 . s-2střední doba života X sekunda s sexpozice X X = AQ/Am coulomb na kilogram C .kg-> kg-1 . s . A

*) Plocha kolmá k indukčním čarám pole.**) Vodič kolmý k magnetickému poli.

***) Plocha kolmá k magnetickému poli.

Násobky a díly jednotek se tvoří z hlavních nebo vedlejších jednotek násobením nebo dělením vhodnou mocninou deseti. Název násobku nebo dílu hlavní (vedlejší) jednotky se skládá z normalizované předpony a názvu jednotky.

Předpona se spojuje s názvem jednotky v jedno slovo. Značka předpony se spojuje se značkou jednotky bez mezery. Při tvoření názvu násobku nebo dílu jednotky se smí užít pouze jedna předpona.

Násobky a díly jednotek se tvoří přednostně v řadě s kvocientem 103 pomocí těchto předpon a značek:

5 Násobky a díly jednotekJednotky

Před

Název

pona

ZnačkaZnamená násobek

exa E 1 000 000 000 000 000 000 10«peta P 1 000 000 000 000 000 1016tera T 1 000 000 000 000 10«giga G 1 000 000 000 10°mega M 1 000 000 10«kilo k 1 000 103milí m 0,001 10-3mikro 0,000 001 10-«nano n 0,000 000 001 10-9piko P 0,000 000 000 001 10-12femto f 0,000 000 000 000 001 10-15atto a 0,000 000 000 000 000 001 10-18

Ve zvláštních případech lze užít též tyto předpony a značky určující desítkový násobek nebo díl jednotky:

PředponaZnamená násobek

Název Značka

hekto h 100 102deka da 10 101deci d 0,1 ío -icenti c 0,01 10-2

Jednotky Vedlejší jednotky jsou zákonné jednotky a lze je bez omezení používat. Jsou stanoveny jmenovitě normou ČSN 01 1300 Zákonné měřicí jednotky. Vedlejší jednotky lze kombinovat s hlavními jednotkami i s jejich násobky a díly, popřípadě s jinými vedlejšími jednotkami. Např.: m3 . min_1,kW . h ,m g . H , t. ha-1, g . ml*1

6 Vedlejší jednotky

VeličinaJednotka

Vztah k hlavní jednotceNázev Značka

čas minuta* min 60 shodina* h 3 600 sden* d 86 400 s

rovinný úhel (úhlový) stupeň * O (7t/180) rad(úhlová) minuta* / (tc/ 10 800) radvteřina* H (ti/648 000) radgrad, gon g, gon (ti/200) rad

délka astronomická jednotka * AU = 1,495 98 . 10“ mparsek PC -=- 3,085 7 . 101« msvětelný rok* lý ^ 9,460 5 . 10“ m

obsah (plošný) hektar ha 10 000 m2objem litr 1» L 10*8 m3hmotnost tuna t 103 kg

atomová hmotnostní jednotka * u :£= 1,660 57 . 10-w kgdélková hmotnost tex tex 10*« k g . m-1optická mohutnost dioptrie * — 1 m-1energie elektronvolt eV ^ 1,602 19 . 10-1» jzdánlivý výkon voltampér V . Ajalový výkon var var

U jednotek označených hvězdičkou nelze tvořit násobky nebo díly pomocí normalizovaných předpon.Užívání dále uvedených vedlejších jednotek je omezeno na některé obory: grad (gon) v geodézii, astronomická jednotka, parsek a světelný rok v astronomii, tex v textilním průmyslu, dioptrie v optice, voltampér a var v elektrotechnice.V astronomii se těž užívají jednotky času: hvězdný den = 23 h 56 min 4,09054 s; tropický rok (1950) = 365 d 5 h 48 min 45,71 s.

7 Jiné jednotky

Uvádíme nejběžnčjší dříve nebo jinde užívané jednotky. Tyto jednotky nejsou zákonné jednotky a jejich,přesně“ za jednotkou znamená, že převodní vztah je určenužívám není v ČSSR dovoleno. Poznámka

přesně a na dalších místech jsou jen nuly.Délka:angstrom yard (čti jard) foot (čti fút)* inch (čti inč)* míle námořní míle versta (rus.)Obsah: barnčtverečný yard acre (čti akr)

1 A 1 yd 1 ft 1 in

10-10 m 0,914 4 m (přesně) 0,304 8 m (přesně) 0,025 4 m (přesně)

1 mile (čti mail) — 1 609,344 m (přesně) 1 n mile = 1 852 m (přesně)

= 1 066,78 m

1 yd2 1 acre

= 10*28 m2 = 0,836 127 m2 = 4 046,86 m2

3 fit = 1 yd 12 in = 1 ft

1 mile = 1 760 yd

110

Objem:litr (stará definice)

/(U K )**gallonv

\ (U S )* * pint (UK) (čti paint) iiquid pint (US) (čti likwid paint) barrel (US)

Hm otnost: *

1 11 gal(UK)

1 gal(US)1 pt(UK)1 liq.pt(US) 1 barrel(US)

0,001 000 028 m3 4,546 09 dm3

3,785 43 dm3 0,568 261 dm3 0,473 179 dm3

158,998 dm3

metrický karát*** = 0,200 gmetrická technická jednotka hmotnosti = 9,806 65 kgpound (avoirdupois) (čti paund) 1 lb = 0,453 592 37 kggrain (čti grejn) 1 grain = 0,064 789 91 g (přesně)ounce (čti unce) 1 oz = 28,349 5 g

Sila:kilopond 1 kp = 9,806 65 N (přesně)

Tlak:bar 1 bar = 105 Papieze 1 pz = 103 Pafyzikální atmosféra 1 atm = 1,013 25 . 105 Pa (přesně) = 760 Torrkonvenční milimetr vodního sloupce 1 mm H2O = 9,806 65 Pa (přesně) = 1 kp . m~2konvenční milimetr rtuťového sloupce 1 mm Hg = 133,322 Pa = 1 Torr

Práce:kilopondmetr 1 kp . m = 9,806 65 J (přesně)kalorie 1 cal = 4,186 8 J (přesně)erg 1 erg = 10-7 J

Výkon:kilopondmetr za sekundu 1 kp . m . s 1 = 9,806 65 W (přesně)kilokalorie za hodinu 1 kcal. h _1 = 1,163 Werg za sekundu 1 e rg . s_1 = 10-7 Wkůň 1 ks = 735,5 Wkoňská síla 1 HP = 745,7 W

Elektrické a magnetické jednotky:proud mezinárodní ampér 1 A int. = 0,999 85 Anapětí mezinárodní volt 1 V int. = 1,000 34 Vodpor mezinárodní ohm 1 Cl int. = 1,000 49 í imagnetický tok maxwell 1 M = 10-8 w bmagnetická indukce gauss 1 G = IO-4 Tintenzita magnetického pole oersted 1 Oe = 79,6 A . m _1

Fotometrické jednotky:svítivost Hefnerova svíčka (HK) 1 HK = 0,92 cd

mezinárodní svíčka (SI) 1 SI = 1,02 cdjas stilb (sb) 1 sb = 1 cd . cm-2

lambert (La) 1 La = — sb7T

osvětlení phot (ph) 1 ph = 1 lm . cm-2 = 104

* Foot se česky nazývá anglická stopa, inch anglický palec.** (UK) - jednotka anglická, (US) - jednotka americká.

*** Ve zlatnictví se používá karát ryzosti zlata, který udává percentuální obsah zlata ve slitině s tím, že 100 % zlata se přiřazuje číslo 24.

Jednotky

111

Obecnétabulky

aktivita radionuklidů curie (Ci) I Q = 3 ,7 .1010 Bqozáření rentgen (R) 1 R = 2,58. 10"4 C . kg-1dávka rad 1 rad = 10~2 Gy

Radiační jednotky:

8 Mezinárodní praktická tep lo tn í stupnice (1968)

Mezinárodní praktická teplotní stupnice (Échelle Internationale Pratique de Température - E IPT-68) slouží k realizaci termodynamické teplotní stupnice pomocí jedenácti přesně reprodukovatelných teplot (rovnovážných stavů), tzv. definičních pevných bodů, a pomocí předepsaných teploměrů. Pro kontrolní účely se uvádějí kromě definičních pevných bodů ještě další, tzv. druhotné referenční body (v tabulce nejsou uvedeny).

Mezinárodní praktická teplotní stupnice 1968 se v mezích přesnosti dnešního měření kryje s termodynamickou teplotní stupnicí. S výjimkou trojných bodů a teplot v druhém řádku jsou všechny rovnovážné stavy při tlaku 101 325 Pa.

Teplota 7'a 8TC

í68

trojného bodu rovnovážného vodíkurovnovážného stavu mezi kapalnou fází a párou rovnovážného vodíku

13,81 —259,34

při tlaku 33 330,6 Pa 17,042 —256,108varu rovnovážného vodíku 20,28 —252,87varu neonu 27,102 —246,048trojného bodu kyslíku 54,361 —218,789varu kyslíku 90,188 — 182,962trojného bodu vody 273,16 0,01varu vody 373,15 100tuhnutí zinku 692,73 419,58tuhnuti stříbra 1 235,08 961,93tuhnutí zlata 1 337,58 1 064,43

Interpolace se provádí mezi teplotami 13,81 K a 630,74 °C platinovým odporovým teploměrem, mezi teplotami 630,74 °C a 1 064,43 °C termočlánkem platina-platinrhodium, nad teplotou 1 064,43 °C měřením teplotního záření.

V roce 1976 byla mezinárodně přijata provizorní teplotní stupnice pro velmi nízké teploty: 0,5 K až 30 K, která přidává 6 níže uvedených hlavních teplot:

Teplota TwK

supravodivého přechodu kadmia 0,519supravodivého přechodu zinku 0,851supravodivého přechodu hliníku 1,179 6supravodivého přechodu india 3,414 5varu 4He 4,222 1supravodivého přechodu olova 7,199 9

112

9 Řady vyvolených čísel

Vyvolená čísla tvoří geometrické řady. Užívají se pro odstupňování hodnot součástek a výrobků, kmitočtů apod. Běžně se užívají základní řady R (Renardovy), pro odpory a kondenzátory se užívají řady E. Teore

tická hodnota poměru dvou sousedních členů ft

řady je ]/l0 , kde n je číslo řady. Pro praktické účely se teoretické hodnoty vyvolených čísel zaokrouhlují na tři platné číslice, u řad E na dvě platné číslice. Zaokrouhlená čísla se nazývají normální čísla.

Např. výkony elektromotorů a kmitočty pro akustická měření jsou odstupňovány podle řady R 10, normalizované průměry drátu podle řady R40. Hodnoty odporů a kondenzátorů vyrobených s tolerancí ± 5 % jsou odstupňovány podle řady E 24, tytéž součástky s tolerancí ± 10 % podle řady E 12 apod.

Základní řady

R 5 R 10 R 20 R 40

poměr sousedních členů

1,60 1,25 1,12 1,06

normální čísla řad

1,00 1,00 1,00 1,001,06

1,12 1,121,18

1,25 1,25 1,251,32

1,40 1,401,50

1,60 1,60 1,60 1,601,70

1,80 1,801,90

2,00 2,00 2,002,12

2,24 2,242,36

2,50 2,50 2,50 2,502,65

2,80 2,803,00

3,15 3,15 3,153,35

3,55 3,553,75

4,00 4,00 4,00 4,004,25

4,50 4,504,75

5,00 5,00 5,005,30

5,60 5,606,00

6,30 6,30 6,30 6,306,70

7,10 7,107,50

8,00 8,00 8,008,50

9,00 9,009,50

10,00 10,00 10,00 10,00

Řady

E 3 E 6 E 12 E 24

poměr sousedních členů

2,2 1,5 1,2 1,1normální čísla řad

1,0 1,0 1,0 1,01,1

1,2 1,21,3

1,5 1,5 1,51,6

1,8 1,82,0

2,2 2,2 2,2 2,22,4

2,7 2,73,0

3,3 3,3 3,33,6

3,9 3,94,3

4,7 4,7 4,7 4,75,1

5,6 5,66,2

6,8 6,8 6,87,5

8,2 8,29,1

10,0 10,0 10,0 10,0

Obecnétabulky

113

10 Acidobazické neutralizační indikátory

pK = —log K , kde K je disociační konstanta indikátoru

Záření Indikátor Meze přechodu pH Zbarvení formyPoužívaný roztokp K

kyselé zásadité

Dimethylová žluť 2 ,9 - 4 ,0 3,31

červené žluté 0,1 % v 90% ethanolu

Methylová oranž 3 ,1 - 4 ,4 3,40

červené oranžové 0,1 % vodný roztok

Bromkresolová zeleň 3 ,8 - 5 ,4 4,68

žluté modré 0,1 % v 20% ethanolu

Methylová červeň 4 ,2— 6,3 4,95


Bromthymolová modř 6,0— 7,6 7,1

žluté modré 0,1 % v 20% ethanolu

Neutrální červeň 6,8 — 8,0 7,0


Fenolová červeň 6,8 — 8,4 7,9

žluté červené 0,1 % v 20% ethanolu

Fenolftalein 8,3 — 10,0 9,4

bezbarvé červené 0,1 % v 60% ethanolu

Thymolftalein 9,3 — 10,5 10,0

bezbarvé modré 0,1 % v 90% ethanolu

Přidávají se 1—4 kapky indikátoru na 10 cm3 titrované tekutiny.

114

11 Disociační konstanty kyselin a zásad ve vodných roztocích při 25 “C

Pro disociační konstantu K a kyseliny HA, jejíž disociace je vystižena rovnicí HA + H 2O = HaO+ + A~, platí:

^ (H3O+) (A-) — (HA) 5

kde symboly v závorkách označují aktivity, které je možné pro zředěné roztoky ztotožnit s číselnými hodnotami molámí (látkové) koncentrace udanými v m ol. dm -8. Pro zásadu B disociujíd podle rovnice B + H20 = BH+ + OH- obdobně platí:

(BH+HOH-) b (B)

pKu = —log K &, pKb = —log Kb. Pro konjugovaný pár platí: pATa + píTb = 14 U vícesytných kyselin udává římská číslice příslušný stupeň disociace. (Konstanta 4,8 . 10~13 u kyseliny

fosforečné tedy např. odpovídá disociad iontu HPO|~.)

Obecnétabulky

Kyselina Vzorec X . pK*

Benzoová CbHsCOOH 6,46 ÍO' 5 4,19Boritá HsBOa 5,80. IO-10 9,24Bromoctová CHaBrCOOH 2,05 io-» 2,69Bromovodíková HBr R3 1 1 0 ° —9Citronová CHaCOOH I 7,45 1 0 -« 3,13

HO—C—COOH 1 II 1,73 10-6 4,76

CHaCOOH III 4,02 10-7 6,40Dusičná HNOa sa 2 1 0 1 - 1 ,3Dusitá HNOa 5,1 1 0 -* 3,3Fenol C0H5OH 1,05 XO-10 9,98Fluorovodíková HF 6 ,2 1 0 - 4 3,2

H ,Fa 3,53 1 0 -« 3,45Fosforečná H3PO4 I 7,52 10-3 2,12

II 6,23 ÍO' 8 7,21III 4,80 10-13 12,32

Chlorečná HClOs es 1 10» —3Chloristá h q o 4 na 1 1010 — 10Chloritá HClOa »s 1 ÍO" 2 2Chlomá HCIO 3,2 10-» 7,5Chloroctová CH2CICOOH 1,40 10-3 2,85Dichloroctová CHClaCOOH 3,32 10-2 1,49Trichloroctová CCbCOOH 2 10-1 0,70Chlorovodíková HC1 1,3 10« - 6 ,1Jodičná HIOs 1,7 10-1 0,77Jodistá HIO4 2,82 10-2 1,55

HsIOo 5,13 10-« 3,29Jodovodíková HI Rtf 3 10» - 9 ,5Kyanovodíková HCN 4,93 10-10 9,31Křemičitá H2S1O3 I (20 °C) 1,41 IO-10 9,85

II (20 °C) 1,58 10-!2 11,80H4S1O4 I (30 °C) 2,18 IO-1 0 9,66

II (30 °C) 2,00 10-12 11,7Malonová CHa(COOH> I 1,49 10-3 2,83

II 2,03 10-6 5,69Mléčná CH2CHOHCOOH 1,38 10-« 3,86Mravenčí HCOOH 1,77 10-« 3,752-Nitrofenol OaNC«H4OH 6,8 10-8 7,17Octová CHaCOOH 1,75 10-5 4,76Propionová CH3CH2COOH 1,34 10-8 4,87Salicylová 2 -HOC8H 4COOH (19 °C) 1,07 10-3 2,97

115

Obecnétabulky

Zásada Vzorec K b pKb

Amoniak NHs 1,79 . IO"6 4,75Anilin C«H5NHa 4,27 . 10-w 9,37Diethylamin (C H s C H a )a N H 8,51 . 10-< 3,07Dimethylamin ( C H 3)2N H 5,89 . 10-< 3,23Ethylamin C H s C H a N H s 4,68 . 10-* 3,33Hydrazin N 2H4 8,71.10-7 6,06Hydroxylamin N H a O H 8,91. 10-» 8,05Methylamin C H 3 N H 2 5,25 . 10—« 3,28Pyridin C s H s N 1 ,7 0 .10-« 8,77Triethylamin (C H s C H í) a N 5,89 . 10-* 3,23Trimethylamin (C H a Ja N 6,31. IO“8 4,20

Kyselina Vzorec /Ca pK t

Sírová HaSOí I « 1 , 10s —3II 1,20 . IO'2 1,92

Siřičitá H 2SO3 I (18 °C) 1,54 . 10-2 1,81II (18 °C) 1,02 . IO"’ 6,99

Sulfan H,S I 9 ,1 . IO"8 7,04II 1 , 1 . io -« 11,96

Šťavelová (COOH)a I II

5,9 . 10-« 1,236,4.10-* 4,19

Uhličitá H2CO3 I 4,30. 10-7 6,37II 5 ,6 1 .10-u 10,25

12 Součiny rozpustnosti látek při tep lo tě 25 °C ve vodných roztocích

Pro pevnou látku MaLb, která v roztoku disociuje na ionty Mb+ a L a ~, je součin rozpustnosti definován vztahem

K a = (Mb+)a . (La~)»>, kde symboly v závorkách označují aktivity iontů v nasyceném roztoku. Pro zředěné roztoky je možné tyto aktivity ztotožnit s číselnými hodnotami molární (látkové) koncentrace udanými v m ol. dm -3.

Látka K . Látka K„

AgBr 5 . 10-1» FeS 5 . 10-1*AgsCOa 8 . 10-12 HgaBra 7 . lO-23AgCl 2 . 10-1« HgaCla 1 . ío-i«AgaCr04 3 . 10-1« Hgala 5 . 10-2»Agl 8 . 10-17 Hga(OH)a 2 . 10-24AgíPOi 1 . ío-i« Hg(OH)a 4 . 10-2«AgaS 6 . 10-50 HgS (černý) 1 . 10-52AgaS04 2 . 10-* HgaSO, 1 . 10-7Al(OH)3 1 . 1 0 - 33 MgCOa 1 . 10-5BaCOa 5 . 10-» MgNH4P 04 2 . 10-i8BaCr04 1 . io-i° Mg(OH)a 1 . ío -uBaS04 1 . lO-io Mn(OH)a 7 . 10-1“BiiSs 1 .1 0 -” MnS (růžový) 3 . 10-1°CaCOs 5 . 10"» Ni(OH)a 6 . 10-1«CaCjO-i 2 . 10"» NiS (a) 3 . 10-1»CaFa 3 . 10-n PbBra 9 . 10-«Ca(OH)i 4 . 10-« PbCOs 6 . IO-14CaS04 2 . 10-5 PbCla 2 . 10-5Cd(OH)a 4 . IO-15 PbCr04 3 . 10-1«CdS 2 . 10-2« Pbla 1 . 10-9Co(OH)a 6 . IO-15 Pb(OH)a 6 . 10-1«Co(OH)s 3 .1 0 - “ PbS 1 . 10-28CoS (a) 4 . IO-21 P bS04 2 . 10"8

m 2 . 10-S5 SbaSa *) 2 .1 0 -» 3Cr(OH)a 1 . 10-17 Sc(OH)a 2 . 10-80Cr(OH>8 1 . 10-80 Sn(OH)a 8 . ÍO-26CuQ 2 . 10-7 SnS 1 . 10-25CuBr ' 5 . 10-9 SrCOs 1 . io-i°Cul 1 . 10-12 SrCr04 2 . ÍO*5Cu(OH)a 1 . 10-2° Sr(OH)a 3 . 10-4CuS 6 . 10-«« SrS04 3 . 10-7Fe(OH)a 8 . 10-1« Zn(OH)a 3 . ÍO""Fe(OH)s 4 . 10-40 ZnS (sfalerit) 2 . ÍO“24

*) Rovnovážná konstanta reakce je

i - SbaSs(s) + 3 HaO = Sb(OH)„ + y HaS(g) 2 .1 0 -«

i - As2S3(s) + 3 HjO = As(OH)3 + HaS(g) 3 . 10~i» 2 ^2 AgCN(s) = Ag+ + Ag(CN)i 5 . 10-«(iC,(AgCN) = 1 . 10-1«)

Obecnétabulky

117

¡2 13 Prvky a jejich vlastnosti00

Z - protonové (atomové) číslo; A r - relativní atomová hmotnost, údaje z roku 1981 vztahující se k uhlíkovému standardu A rC iC ) — 12 přesně. Interval spolehlivosti je ± 1 a.menší na posledním desetinném místě nebo ± 3 , je-li uvedeno označení + (pravděpodobnost výskytu odchylky přesahující tyto intervaly je asi 10 % —15 %). Index g označuje existenci geologicky výjimečných vzorků s neobvyklým izotopovým složením, m - možnost změny izotopového složení při výrobě komerčně dodávaných látek, r - velký rozsah přírodního izotopového složení zabraňující přesnějšímu stanovení A r, hodnoty označené indexem L se týkají izotopu daného prvku s nejdelším poločasem.V závorce jsou uvedena hmotnostní čísla nejstálejšího izotopu, ft - teplota tání při tlaku 101,3 kPa; rv - teplota varu při témže tlaku, není-li v závorce uveden jiný tlak; clark - hmotnostní zlomek prvku v zemské kůře; ppm (parts per million, viz str. 17) označuje jednu milióntinu; sub - sublimuje.

Název prvku Latinský název Značka Z A t Oxidační číslo ft°C

ívXT

clarkppm

Rokobjevu

Aktinium Actinium Ac 89 227,0278L 3,5 1 050 3 200 ± 300 _ 1899Américium Americium Am 95 (243) 3, 4, 5, 6 994 ± 4 2 607 -- 1944Antimon Stibium Sb 51 121,75 + - 3 , 3, 5 630,74 1 750 0,4 —Argon Argon Ar 18 39,948 sr — 189,2 — 185,7 1894Arsen Arsenicum As 33 • 74,921 6 - 3 , 3, 5 817 (2,8MPa) 613 sub 1,7 —Astat Astatium At 85 (210) ( - 1 ) 302 337 1940Baryum Baryum Ba 56 137,33* 2 725 1 640 500 1774Berkelium Berkelium Bk 97 (247) 3 ,4 — — — 1950Béryllium Beryllium Be 4 9,012 18 2 1 278 ± 5 2 970(0,7kPa) 3 1798Bismut Bismuthum Bi 83 208,980 4 3 ,5 271,3 1 650 ± 5 0,1 —Bor Borům B 5 10,81” r - 3 , 3 2 079 2 550 sub 11 1808Brom Bromům Br 35 79,904« - 1 , 1, 3, 5, 7 - 7 ,2 58,78 2 1826Cer Cerium Ce 58 140,12* 3 ,4 798 ± 2 3 257 70 1803Cesium Caesium Cs 55 132,905 4 1 28,40 669,3 3 1860Cín Stannum Sn 50 118,69 + ( - 4 ) , 2, 4 231,968 1 2 270 2 —Curium Curium Cm 96 (247) 3,4 1340 + 40 — — 1944Draslík Kalium K 19 39,098 3 1 63,25 759,9 2 . 104 1807Dusík Nitrogenium N 7 14,006 7 - 3 , 1 , 2, 3, 4, 5 —209,86 — 195,8 19 1772Dysprosium Dysprosium Dy 66 162,50 + 3 1 409 2 335 4 1886Einsteinium Einsteinium Es 99 (252) 3 — — — 1952Erbium Erbium Er 68 167,26 + 3 1 522 2 510 3 1843Europium Europium Eu 63 151,96* 2 ,3 822 ± 5 1 597 1,3 1901Fermium Fermium Fm 100 (257) 3 — — — 1952Fluor Fluorum F 9 18,998 403 — 1 —219,62 — 188,14 640 1886Fosfor Phosphorus P 15 30,973 76 - 3 , 1,3, 4, 5 44,1 bflý 280 bíty 1,1 . 103 1669Francium Francium Fr 87 (223) 1 (27) (677) — 1939Gadolinium Gadolinium Gd 64 157,25 + * 3 1 3 1 1 + 1 3 233 7 1880Gallium Gallium Ga 31 69,72 1,3 29,78 2 403 17 1875Germanium Germanium Ge 32 72,59 + 2 ,4 937,4 2 830 1,4 1886Hafnium Hafnium Hf 72 178,49+ 4 2 227 ± 20 4 602 2 1923Helium Helium He 2 4,002 60* —272,2

(2,6 MPa)—268,934 1868

ce

Název prvku Latinský název Značka Z A t Oxidační číslo ít°C

íy’ č

clarkppm

Rokobjevu

Hliník Aluminium AI 13 26,981 54 (1), 3 660,37 2 467br—4r—I00 1827

Holmium Holmium Ho 67 164,930 4 3 1470 2 720 “1 1879Hořčík Magnesium Mg 12 24,305« 2 648,8 1 090 2 ,1 .10“ 1775Chlor Chlorům Cl 17 35,453 - 1 , 1 , 3, 4, 5, 6, 7 — 100,98 —34,6 150 1774Chrom Chromium Cr 24 51,996 1, 2, 3, 4, 5, 6 1 857, ± 20 2 672 90 1797Indium Indium In 49 114,82« 1,3 156,61 2 080 0,2 1863Iridium Iridium Ir 77 192,22+ 1, 3, 4, 5, 6 2 410 4 130 1804Jod Iodum I 53 126,904 5 - 1 , 1, 3, 5, 7 113,5 184,35 0,4 1811Kadmium Cadmium Cd 48 112,41 2 320,9 765 0,1 1817Kalifornium Californium Cf 98 (251) 3 — — 1950Kobalt Cobaltum Co 27 58,933 2 2,3 1 495 2 870 21 1735Krypton Krypton Kr 36 83,80®m — 156,6 — 152,3 — 1898Křemík Silicium Si 14 28,085 5+ - 4 , 2, 4 1 410 2 355 2,9 . 105 1824Kyslík Oxygenium O 8 15,999 4+*r —2, (—1) —218,4 — 182,962 4,7 . 10® 1774Lanthan Lanthanum La 57 138,905 5 + « 3 920 ± 5 3 454 29 1839Lawrencium Laurenrium Lr 103 (260) 3 — — — 1961Lithium Lithium Li 3 6,941 + «™ 1 180,54 1342 30 1817Lutécium Lutetium Lu 71 174,967 3 1 656 ± 5 3 315 1 1907Mangan Manganům Mn 25 54,938 0 2, 3, 4, 6, 7 1 244 ± 3 1 962 1,0 . 103 1774Měď Cuprum Cu 29 63,546+ r 1 ,2 ,3 1 083,4 ± 0,2 2 567 1,9 . 10* —Mendelevium Mendelevium Md 101 (258) 2 ,3 — — — 1955Molybden Molybdaenum Mo 42 95,94« 2, 3, 4, 5, 6 2 617 4 612 1 1778Neodym Neodymium Nd 60 144,24 +« 3 1 010 3 127 30 1885Neon Neon Ne 10 20,179«™ — —248,67 —246,048 — 1898Neptunium Neptunium Np 93 237,048 2L 2, 3, 4, 5, 6 6 4 0 ± 1 3 902 — 1940Nikl Niccolum Ni 28 58,69 1, 2, 3, 4 1 453 2 732 60 1751Niob Niobium Nb 41 92,906 4 1,2, 3 ,4 , 5 2 468 ± 10 4 742 20 1801Nobelium Nobelium No 102 (259) 2,3 — — — 1958Olovo Plumbum Pb 82 207,2«r 2 ,4 327,502 1 740 15 —Osmium Osmium Os 76 190,2« 2, 3, 4, 5, 6, 8 3 045 ± 30 5 027 ± 100 — 1803Palladium Palladium Pd 46 106,42« 2 ,3 ,4 1 554 3 140 0,01 1803Platina Platinum Pt 78 195,08+ 2, 3, 4, 6 1 772 3 827 ± 100 — 1741Plutonium Plutonium Pu 94 (244) 3, 4, 5, 6 641 3 232 — 1940Polonium Polonium Po 84 (209) 2 ,4 ,6 254 962 — 1898Praseodym Praseodymium Pr 59 140,907 7 3 ,4 931 ± 4 3 212 9 1885Promethium Promethium Pm 61 (145) 3 (1 080) (2 460) — 1945Protaktinium Protactinium Pa 91 231,035 9L 3 ,4 ,5 1 600 — — 1917Radium Radium Ra 88 226,025 4L« 2 700 1 140 — 1898Radon Radon Rn 86 (222) — —71 —61,8 — 1900Rhenium Rhenium Re 75 186,207 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 3 180 (5 627) 7 . ÍO-4 1925Rhodium Rhodium Rh 45 102,905 5 2, 3, 4, 6 1 965 ± 3 3 727 ± 100 — 1804Rtuť Hydrargyrum Hg 80 200,59 + 1,2 —38,87 356,58 0,08 —Rubidium Rubidium Rb 37 85,467 8 + « 1 38,89 686 120 1861Ruthenium Ruthenium Ru 44 101,07+« 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 2 310 3 900 — 1844Samarium Samarium Sm 62 150,36 + « 2 ,3 1 072 ± 5 1 778 7 1879Selen Selenium Se 34 78,96 + - 2 , 4, 6 217 685 0,05 1817

Název prvku Latinský název Značka Z A r Oxidační číslo ft°C

ty clarkppm

Rokobjevu

Síra Sulfur S 16 32,06r - 2 , 2, 4, 6 112,8 444,674 4 . 102 _Skandium Scandium Sc 21 44,955 9 3 1 539 2 832 10 1879Sodík Natrium Na 11 22,989 77 1 97,81 882,9 2,5 . 104 1807Stroncium Strontium Sr 38 87,62* 2 769 1 384 340 1808Stříbro Argentum Ag 47 107,868 2+ « 1,2 961,93 2 212 0,07 —Tantal Tantalum Ta 73 180,947 9 2, 3, 4, 5 2 996 5 400 2 1802Technecium Technetium Tc 43 (98) 4 ,6 ,7 2 172 4 877 — 1937Tellur Tellurium Te 52 127,60+« - 2 , 4, 6 449,5 989,8 ± 3,8 0,001 1782Terbium Terbium Tb 65 158,925 4 3 ,4 1 360 ± 4 3 041 4 1843Thallium Thallium TI 81 204,383 1,3 303,5 1 457 ± 10 1 1861Thorium Thorium Th 90 232,038 1L« 2 ,3 ,4 1 750 (4 790) 1,2 1828Thulium Thulium Tm 69 168,934 2 3 1 545 ± 15 1 727 0,3 1879Titan Titanium Ti 22 47,88 + 2, 3 ,4 1 660 ± 10 3 287 5 . 103 1791Uhlík Carboneum C 6 12,011' - 4 , 2, 4 3 652 subl 2,2 . 102 —Unnilhexium Unnilhexium Unh 106Unnilpentium Unnilpentium Unp 105 (Hahnium Ha, Nielsbohrium Ns)Unnilquadium Unnilquadium Unq 104 (Kurčatovium Ku, Rutherfordium Rf)Uran Uranium U 92 238,028 9*™ 3,4 , 5, 6 1 132 ± 0,8 3 818 2,5 1789Vanad Vanadium V 23 50,941 5 2, 3, 4, 5 1 890 ± 10 3 380 1,0 . 102 1801Vápník Calcium Ca 20 40,08* 2 839 ± 2 1 484 3 . 10* 1808Vodík Hydrogenium H 1 1,007 94 ± 7*®r - 1 , 1 —259,14 —252,87 — 1766Wolfram Wolframium W 74 183,85 + 2, 3, 4, 5, 6 3 410 ± 20 5 660 1,4 1783Xenon Xenon Xe 54 131,29+*” — 111,9 — 107 ± 3 — 1898Ytterbium Ytterbium Yb 70 173,04+ 2,3 824 ± 5 1 193 0,3 1907Yttrium Yttrium Y 39 88,905 9 3 1 523 ± 8 3 337 29 1843Zinek Zincum Zn 30 65,38 2 419,58 907 80 —Zirkonium Zirconium Zr 40 91,22 2 ,3 ,4 1 852 ± 2 4 377 170 1789Zlato Aurum Au 79 196,966 5 1,3 1 064,434 3 080 4 . 10~3 —Železo Ferrum Fe 26 55,847+ 2, 3, 4, 6 1 535 2 750 5,0 . 104

14 Obsazení elektronových podslupek v atom ech

Slupka K L M N O

Podslupka ls 2s 2p 3s 3p 3d 4s 4p 4d 4f 5s 5p 5d 5f

Prvek

1. H 12. He 2

3. Li 2 14. Be 2 25. B 2 2 16. C 2 2 27. N 2 2 38. O 2 2 49. F 2 2 5

10. Ne 2 2 6

11. Na 2 2 6 112. Mg 2 2 6 213. AI 2 2 6 2 114. Si 2 2 6 2 215. P 2 2 6 2 316. S 2 2 6 2 417. a 2 2 6 2 518. Ar 2 2 6 2 6

19. K 2 2 6 2 6 120. Ca 2 2 6 2 6 221. Sc 2 2 6 2 6 1 222. T i 2 2 6 2 6 2 223. V 2 2 6 2 6 3 224. Cr 2 2 6 2 6 5 125. Mn 2 2 6 2 6 5 226. Fe 2 2 6 2 6 6 227. Co 2 2 6 2 6 7 228. Ni 2 2 6 2 6 8 229. Cu 2 2 6 2 6 10 130. Zn 2 2 6 2 6 10 231. Ga 2 2 6 2 6 10 2 132. Ge 2 2 6 2 6 10 2 233. As 2 2 6 2 6 10 2 334. Se 2 2 6 2 6 10 2 435. Br 2 2 6 2 6 10 2 536. Kr 2 2 6 2 6 10 2 6

Prvky

121

Prvky

122

SlupkaK L M N

O * P Q

Podslupka 5s 5p 5d 5f 6s 6p 6d 7s

Prvek

77. Ir 2 8 18 32 2 6 7 278. Pt 2 8 18 32 2 6 9 179. Au 2 8 18 32 2 6 10 180. Hg 2 8 18 32 2 6 10 281. TI 2 8 18 32 2 6 10 2 182. Pb 2 8 18 32 2 6 10 2 283. Bi 2 8 18 32 2 6 10 2 384. Po 2 8 18 32 2 6 10 2 485. At 2 8 18 32 2 6 10 2 586. Rn 2 8 18 32 2 6 10 2 6

87. Fr 2 8 18 32 2 6 10 2 6•1

88. Ra 2 8 18 32 2 6 10 2 6 2

89. Ac 2 8 18 32 2 6 10 2 6 1 290. T h 2 8 18 32 2 6 10 2 6 2 291. Pa 2 8 18 32 2 6 10 2 2 6 1 292. U 2 8 18 32 2 6 10 3 2 6 1 293. Np 2 8 18 32 2 6 10 4 2 6 1 294. Pu 2 8 18 32 2 6 10 6 2 6 295. Am 2 8 18 32 2 6 10 7 2 6 296. Cm 2 8 18 32 2 6 10 7 2 6 1 297. Bk 2 8 18 32 2 6 10 9 2 6 298. Cf 2 8 18 32 2 6 10 10 2 6 299. Es 2 8 18 32 2 6 10 11 2 6 2

100. Fm 2 8 18 32 2 6 10 12 2 6 2101. Md 2 8 18 32 2 6 10 13 2 6 2102. No 2 8 18 32 2 6 10 14 2 6 2103. Lr 2 8 18 32 2 6 10 14 2 6 1 2

Prvky

123

15 Stabilní nuklidy a jejich výskytZ - protonové (atomové) číslo; A - nukleonové (hmotnostní) číslo; » -p ro c e n tn í zastoupení v prvcích zemské kůry.

Značka Z A Výskyt (n>) %

Značka Z A Výskyt (to)%

H 1 1 99,984 4 Fe 26 54 5,81D 2 0,015 6 - 56 91,64He 2 3 ~ io -< 57 2,21

4 99,999 9 58 0,34Li 3 6 7,39 Co 27 59 100

7 92,61 Ni 28 58 67,76Be 4 9 100 60 26,16B 5 10 18,83 61 1,25

11 81,17 62 3,66C 6 12 98,9 64 1,16

13 1,1 Cu 29 63 68,9N 7 14 99,62 65 31,1

15 0,38 Zn 30 64 48,89O 8 16 99,757 66 27,81

* 17 0,039 67 4,1618 0,2065 68 18,5

F 9 19 100 70 0,620Ne 10 20 90 Ga 31 69 60,1

21 0,27 71 39,922 9,73 Ge 32 70 20,55

Na 11 23 100 72 27,37Mg 12 24 78,60 73 7,8

25 10,11 74 36,426 11,29 76 7,8

AI 13 27 100 As 33 75 100Si 14 28 92,28 Se 34 74 0,87

29 4,07 76 9,530 3,05 77 8,3

P 15 31 100 78 24,0S 16 32 95,06 80 48,0

33 0,74 82 9,334 4,18 Br 35 79 50,536 0,016 81 49,5

a 17 35 75,4 Kr 36 78 0,3537 24,6 80 2,01

Ar 18 36 0,307 82 11,5038 0,060 83 11,4840 99,633 84 57,1

K 19 39 93,3 86 17,540**) 0,011 Rb 37 85 72,841 6,7 87*) 27,2

Ca 20 40 96,96 Sr 38 84 0,5642 0,64 86 9,8643 0,13 87 7,0244 2,13 88 82,5646 0,003 3 Y 39 89 10048 0,18 Zr 40 90 51,5

Sc 21 45 100 91 11,23Ti 22 46 7,95 92 17,11

47 7,75 94 17,4048 73,45 96 2,8049 5,51 Nb 41 93 10050 5,34 Mo 42 92 15,9

V 23 51 100 94 9,2Cr 24 50 4,3 95 16,5

52 83,78 96 15,753 9,5 97 9,4554 2,4 98 23,75

Mn 25 55 100 100 9,62

124

Značka Z A Výskyt (to)% Značka Z A Výskyt (to)

%

Ru 44 96 5,68 La 57 138*) 0,08998 2,22 139 99,91199 12,81 Ce 58 136 0,193

100 12,70 138 0,250101 16,98 140 88,48102 31,34 142*) 11,07104 18,27 Pr 59 141 100

Rh 45 103 100 Nd 60 142 27,13Pd 46 102 0,8 143 12,20

104 9>3 144*) 23,87105 22,6 145 8,30106 27,2 146*) 17,18108 26,8 148 5,72110 13,5 150 5,60

Ag 47 107 51,9 Sm 62 144 3,16109 48,1 147*) 17

Cd 48 106 1,215 148*) 14108 0,875 149*) 15110 12,39 152 26111 12,75 154 20112 24,07 Eu 63 151 47,77113*) 12,26 153 52,23114 28,86 Gd 64 152*) 0,20116 7,58 154 2,15

In 49 113 4,5 155 14,78115*) 95,5 156 20,59

Sn 50 112 0,90 157 15,71114 0,61 158 24,78115 0,4 160 21,79116 14,07 T b 65 159 100117 7,54 Dy 66 156*) 0,0524118 23,98 158 0,0902119 8,62 160 2,294120 33,03 161 18,88122 4,78 162 25,53124 6,11 163 25

Sb 51 121 57,25 164 28,18123 42,75 Ho 67 165 100

Te 52 120 0,05 Er 68 162 0,25122 2,43 164 2,0123-*) 0,85 166 35,0124 4,59 167 24,4125 6,97 168 29,0126 18,72 170 10128 31,72 Tm 69 170 100130 34,46 Yb 70 168 0,06

J 53 127 100 170 4,21Xc 54 124 0,094 171 14,26

126 0,088 172 21,49128 1,90 173 17,02129 26,23 174 29,58130 4,07 176 13,38131 21,17 Lu 71 175 97,5132 26,96 176*) 2,5134 10,54 Hf 72 174*) 0,18136 8,95 176 5,03

Cs 55 133 100 177 18,47Ba 56 130 0,101 178 27,10

132 0,097 179 13,84134 2,42 180 35,11135 6,59 Ta 73 181 100136 7,81 W 74 180 0,122137 11,32 182 25,77138 71,79 183 14,24

Prvky

125

Prvky

Značka Z Výskyt (to) % Značka Z A Výskyt (to)

%

W 74 184 30,68 Hg 80 196 0,15186 29,17 198 10,1

Re 75 185 31,7 199 17,0187*) 62,93 200 23,3

Os 76 184 0,018 201 13,2186*) 1,59 202 29,6187 1,64 204 6,7188 13,3 TI 81 203 29,1189 16,1 205 70,9190 26,4 Pb 82 204*) 1,5192 41,0 206 25,1

Ir 77 191 38,5 207 21,1193 61,5 208 52,3

Pt 78 192 0,8 Bi 83 209*) 100194 30,2 T h 90 232*) 100195 35,3 U 92 234 0,005 1196 26,6 235**) 0,71198 7,23 238**) 99,28

Au 79 197 100

*) Nuklidy, jejichž poločas přeměny T. > 1010 roku.2

**) Nuklidy, jejichž poločas přeměny 7 .10® roku < T, < 1010 roku.2

126

16 Nejdůležitější elem entární částice

<2 -nábo j; s -sp in ; m - klidová hmotnost; me - klidová hmotnost elektronu; r - střední doba života; # - redukovaná Planckova konstanta, H = hj2n, viz tab. 77

ZnačkaQe

NejpravděDruh Název

Částice Antičástice

h u nta S podobnějšírozpad

Elektromagnetickézáření

foton (obecně) foton gama

fY 1 0 0 0 stabilní

Lehké částice (leptony)

neutrino**)elektronmion

ve~

ve+ *)

1/21/21/2

(0) 5,486.10-4 0,113 4

(0)1

206,8

0T IT I

stabilní stabilní 2 ,2 .10-» e~ + Vji + Ve

Střední částice (mezony)

pion 7t® 0 0,144 9 264,1 0 0,8 . 10-1« r + Y

K+ 7T- 0 0,149 8 273,1 ± 1 2,6 . 10-8 ¡X+ + V;í

kaon K +

K°

K -

K°

0

0

0,529 9

0,534 2

966,60

973,8

± 1

0

1,2.10-810~10(»)5,1 . 10*8 (T)

¡¿+ + vn ■8-: 7i- + 7t+t: rr+ + e_+ v e

Těžké částice (baryony)

protonneutron

Pn

P~n

1/21/2

1,0071,009

1 836,03 1 838,56

± 10

stabilní925 p+ + e- + ve

hyperon lambda A A 1/2 1,197 2 183,0 0 2,5 . 10-10 1 p+ + 7t~ j n + 7t°

hyperon sigma 2+ 2+ 1/2 1,277 2 327,3 ± 1 0,8 . 10-10 j p+ + K°j n + 7t+

2° vo 1/2 1,279 2 333,4 0 5,8 . 10-20 A + y2~ 2- 1/2 1,284 2 343,0 + 1 1,5 . 10-10 n + 7t~

hyperon ksí S° E° 1/2 1,408 2 573,0 0 2,9 . 10-10 A +7ť>5 ” 1/2 1,415 2 585,6 T I 1,6 . 10-1° A + n~

*) Tato antičástice se nazývá pozitron **) Rozlišujeme elektronové neutrino ve a mionové neutrino v,*

to

-TJ-»<

17 Hm otnostní schodky jader některých prvků

B - hmotnostní schodek (defekt) jádra. Je to rozdíl mezi součtem hmotností všech nukleonů obsažených v jádře a celkovou hmotností jádra. E\ - vazebná energie, £j = Bc2; c - rychlost šíření světla, c ~ 3 . 108 m . s-1; l u = 1,660 44 . 10-27 kg.

Prvky

Prvek ZnačkaB Ei

10-3u MeV

Vodík 2,35 2,19

Helium fHe 8,18 7,61

Helium <He 30,29 28,20

Lithium 3 Li 34,31 31,94

Lithium 3 Li 42,01 39,11

Beryllium jBe 62,3 58,0

Radium 2I |R a 1 838,0 1 711,0

Aktinium 2i,»Ac 1 845,0 1 718,0

Thorium 2foTh 1 873,0 1 744,0

Protaktinium 2|Í P a 1 868,0 1 739,0

Uran 2 3 8 t i9 2 U 1 908,0 1 776,0

128

18 Radioaktivní přem ěnové řady

Ve sloupci Název jsou uvedeny historické názvy nuklidů.

Název Značka Poločas přeměny Přeměna

Uran - radiová řada

Uran I 2^28U UI 4,5 . 10» r OCUran Xi 2& Th UXi 24,1 d PUran X2 2 91 Pa u x 2 1,14 min PUran II 292U U II 2,3 . 10* r aIonium 2?oTh Io 8 ,3 . 10» r aRadium 28 8Ra Ra 1 590 r ocRadon

Radium A

Radium B

2IÍR n

2 8 4 Po

2182Pb

Rn

RaA

RaB

3,825 d

3,05 min

26,8 min

oc

a

PP

Radium C

Radium C'?83BÍ214»84l °

RaC

RaC'

19,7 min

1,5 . 10-> s \ o c

Radium C" 2 1 0 'T'i 81 1 1 RaC" 1,32 mina \

Radium D 2iŠPb RaD 22,2 rr p

Radium E 21 8 » RaE 5,04 d P

Radium F 2 8 4 Po RaF 139 dP 1

Radium G 2 82?b RaG 00 a.

Thoriová řada

Thorium 2fÍT h Th 1,39 . 1010 r oc

Mezothorium 1 2f 8Ra M s-Th 1 6,7 r PMezothorium 2 228Ar8 9 AC M s-Th 2 6,13 h PRadiothorium 22oTh Rd-Th 1,90 r aThorium X 2L8+8Ra ThX 3,64 d ocThoron Tn 54,5 s ocThorium A 2¥;Po ThA 0,158 s a'I'horium B 2 8 2Pb ThB 10,6 h

PP / JThorium C 2 1 2 d;

8 :iki ThC 60,5 min \Thorium C' 2 1 2 p 84 O ThC ' 3 . 10-7 s

<

Thorium C" 20 8npi 81 11 ThC " 3,1 min\ >

Thorium D 2SfPb ThD 00 \ ^ p

129

Prvky

Název Značka Poločas přcmčny Přeména

Aktiniová řada

Aktinouran 235fj92u AcU 7,13.10» r

Aktinium Y 231T h90 UY 24,6 h

Protaktinium 231Pa 9 1 * a Pa 3,2 . 104 r

Aktinium 2 S97Ac Ac 21,7 r

Radioaktinium 2lo7T h RdAc 18,9 d

Aktinium K 2??Fr AcK 21 min

Aktinium X ’¿|R« AcX 11,4 d

Aktin on 219Rn86Kn An 3,92 s

Aktinium A 2l lpo AcA 1,83 . IO '3 s

Aktinium B 2 “ Pb AcB 36,1 min

Aktinium C 2 83®' AcC 2,16 min

Aktinium C' 211Po84 AcC' 0,52 s

Aktinium C" 207-n 81 11 AcC" 4,76 min

Aktinium D 20 7p_ 82 AcD oo

Neptuniová řada

Plutonium 2$}Pu Pu 10 r

Ameridum 2 9 5 A n > Am 500 r

Neptunium 2!lN p Np 2,25 . 10« r

Protaktinium 2jJP a Pa 27,4 d

Uran 2 3 3 tt92U U 1,63 . 10» r

Thorium 2 lo9T h Th 7 . 103 r

Radium 2IlRa Ra 14,8 d

Aktinium 2 2 5 Ae 89/\c Ac 10 d

Francium 221cr87*^ Fr 4,8 min

Astat 218?At At 0,021 s

Bismut 2 I ! k Bi 47 min

Polonium 2| 3Po Po 4,2 . 10-* s

Thallium 208?T1 TI 2,20 min

Olovo Z 8 2 P b Pb 3,3 h

Bismut 20*> Bi 00

P>a.

a.

PaaPa

130

19 Hustota, součinitel tep lo tn í délkové roztažnosti a m ěrná tepelná kapacita některých prvků při tep lo tě 20 °C

«20 - hustota při 20 °C; cc2o - součinitel teplotní délkové roztažnosti při 20 °C; ¿20 - měrná tepelná kapacita při 20 °C

Prvek (?20 <X20 C20k g . m~3 10-» K -1 k j .kg"1 . K -‘

Antimon Sb 6 690 0,011 0,208Arsen As 5 720 0,005 0,330Baryum Ba 3 760 — —

Beryllium Be 1 850 0,013 1,750Bismut Bi 9 800 0,014 0,124Bor B 2 340 0,008 1,047Cer Ce 6 800 — —

Cesium Cs 1 870 0,097 0,230Cín Sn 7 280 0,027 0,227Draslík K 862 0,083 0,741Fosfor (bílý) P 1 820 0,125 0,754Gallium Ga 5 900 0,018 0,377Germanium Ge 5 300 — 0,308Hliník AI 2 700 0,024 0,896Hořčík Mg 1 740 0,026 1,017Chrom Cr 7 100 0,008 0,440Iridium Ir 22 500 0,006 0,134Jod I 4 930 0,093 0,218Kadmium Cd 8 640 0,030 0,231Kobalt Co 8 800 0,012 0,389Křemík Si 2 330 0,002 0,703Lithium Li 534 0,056 3,391Mangan Mn 7 300 0,023 0,486Měď Cu 8 930 0,017 0,383Molybden Mo 10 200 0,005 0,251Nikl Ni 8 900 0,013 0,446Olovo Pb 11 340 0.029 0,129Osmium Os 22 480 0,006 0,130Palladium Pd 12 000 0,012 0,247Platina Pt 21 450 0,009 0,133Rhenium Re 20 500 — 0,137Rhodium Rh 12 400 0,009 0,248Rubidium Rb 1 520 0,090 0,348Selen Se 4 400 0,037 0,335Síra jednokl. S 1 960 0,080 —

kosočtv. 2 060 0,074 0,720Sodík Na 971 0,072 1,206Stříbro Ag 10 500 0,019 0,234Tantal Ta 16 600 0,006 0,138Titan Ti 4 530 0,009 0,611Uhlík amorf. C 2 300 0,008 0,837

diamant 3 500 0,013 0,495Uran U 19 050 — 0,117Vanad V 6 000 0,008 0,502Vápník Ca 1 540 0,025 0,649Wolfram W 19 300 0,004 0,134Zinek Zn 7 130 0,029 0,385Zirkon Zr 6 530 — 0,272Zlato Au 19 290 0,014 0,129Železo Fe 7 860 0,012 0,452

Prvky

131

20 Vlastnosti důležitých anorganických sloučenin

M i - relativní molekulová hmotnost; q - hustota při 20 °C, není-li v závorce uvedena jiná teplota; ít - teplota tání při tlaku 101,3 kPa; tv - teplota varu při témž tlaku Zkratky: b - bílý, bb - bezbarvý, č - černý, čv - červený, f - fialový, h - hnědý, hž - hnědožlutý, m - modrý, o - oranžový, r - rozkládá se, rž - růžový, š - šedý, z - zelený, ž - žlutý, subl - sublimuje, (—8 H2O, 780) značí, že 1 mol látky uvolňuje 8 molů vody při teplotě 780 °C

Látka Mr e°C

ty•c Barvakg . m~3

AgBr bromid stříbrný 187,77 6 473 (25) 432 700 r žAgMOs dusičnan stříbrný 169,87 4 352 212 444 r bbAI2O3 oxid hlinitý 101,96 3 965 (25) 2 072 2 980 bbBaCl2 . 2 HzO dihydrát chloridu bamatého 244,27 3 097 962 (—H 20 , 113) 1 560 bbBaCOs uhličitan bamatý 197,34 4 430 — — bBa(NOs)2 dusičnan bamatý 261,34 3 244 (23) 592 r bbBa(OH)2 . 8 H 2O oktahydrát hydroxidu barnatého 315,47 2 180 (16) 78 (—8 HaO, 780) bBaSOí síran bamatý 233,39 4 480 1 580 — bCO oxid uhelnatý 28,01 1,250 — 199 — 191 bbCOa oxid uhličitý 44,01 1,977 —56,6 (500 kPa) —78,5 subl bbCS2 sirouhlík 76,13 1 270 (15) — 110,08 46,3 bbCaCU chlorid vápenatý 110,99 2 150 782 > 1 600 bbCaCl2 . 6 HzO hexahydrát chloridu vápenatého 219,08 1 680 (17) (—4 H 20 , 30) (—6 H 2O, 200) bbCaC 03 uhličitan vápenatý 100,09 2 710 (calc.) 1 339 (137 kPa) 899 r

2 930 (arag.) 520 (-»-calc.) — bbCaO oxid vápenatý 56,08 3 300 2 614 2 850 bC aS04 . 2 H aO dihydrát síranu vápenatého 172,17 2 320 (— 1,5 H 2O, 128) (—2 H20 , 163) bbCdCl2 chlorid kademnatý 183,32 4 050 (25) 568 960 bbCd(NOs)2 . 4 H 2O tetrahydrát dusičnanu kademnatého 308,48 2 455 (17) 59,6 132 bCdSOj síran kademnatý 208,47 4 690 1 000 — bC0CI2 .6 H 2O hexahydrát chloridu kobalnatého 273,93 1 924 (25) 86 (—6 HaO, 110) čvCuCl2 chlorid mědnatý 134,45 3 386 (25) 620 993 r (CuCl) hCu(N 0 3)2 .3 H20 trihydrát dusičnanu mčdnatého 241,60 2 320 (25) 114,5 (—HNO3, 170) mCuO oxid mědnatý 79,54 6 400 1326 — čC uS04 . 5 H 2O pentahydrát síranu mčdnatého 249,68 2 284 (—4 H 20 , 110) (—5 H 2O, 150) mC uS 04 síran mědnatý 159,60 3 603 200 650 r bzFeClu chlorid železitý 162,21 2 898 306 315 r hžF eS O j. 7 HaO heptahydrát síranu železnatého 278,01 1 898 64 (—6 H 20 , 90) (—7 H aO, 300) zH 3BO3 kyselina trihydrogenboritá 61,83 1 435 (15) ( - H 2O, 169) (— 1,5 H20 , 300) bbHBr bromovodík 80,92 3,388 —87 — 67 bbHC1 chlorovodík 36,46 1,267 — 112 —85 bbHF fluorovodík 20,01 0,91 —83 19,5 bbHNOs kyselina dusičná 63,01 1 527 —41,6 83 bbH3PO4 kyselina trihydrogenfosforečná 98,00 1 825 42,4 (—0,5 H 2O, 213) bbHsS sulfan (sirovodík) 34,08 1,190 —85,5 — 60,7 bbH 2SO4 kyselina sírová 98,07 1 840 10,4 338 r bb

Látka AirQ tt ty

Barvakg . m '3 °C °C

KBr bromid draselný 119,00 2 750 (25) 734 1435 bbKC1 chlorid draselný 74,55 1 984 770 1 500 subl bbKClOa chlorečnan draselný 122,55 2 320 356 400 r bbK2CO3 uhličitan draselný 138,21 2 428 (19) 891 r bbK2CT207 dichroman draselný 294,18 2 676 398 500 r 0

KI jodid draselný 166,00 3 130 681 1 330 bKM n04 manganistan draselný 158,03 2 703 r < 240 — fKNOs dusičnan draselný 101,10 2 109 (16) 334 400 r bbKOH hydroxid draselný 56,11 2 044 360,4 1 327 bK 2SO4 síran draselný 174,25 2 662 1 069 1 689 bbLiCl chlorid lithný 42,39 2 068 (25) 605 1 382 bbLÍ2CO3 uhličitan lithný 73,89 2 111 (17) 723 1310 r bbLÍ2SO4 síran lithný 109,94 2 221 845 — bbM gS04 . 7 H2O heptahydrát síranu hořečnatého 246,47 1 680 (—6 H2O, 150) ( - 7 HaO, 200) bbMnCla . 4 HjO tetrahydrát chloridu manganatého 197,91 2 010 58 (—H2O, 106) ( - 4 HaO, 198) ržMnOa oxid manganičitý 86,94 5 026 ( - O 2, 535) — čNaaB407 tetraboritan sodný 201,22 2 367 741 1 575 r bbNa2[B405(0H )4]. 8 HaO oktahydrát tetrahydroxotetra-

boritanu disodného (borax)381,37 1 730 75 (—8 HaO, 60) (— 10 HaO, 320) bb

NaBr bromid sodný 102,89 3 203 748 1 390 bbNaCl chlorid sodný 58,44 2 165 (25) 801 1413 bbNaClOs chlorečnan sodný 106,44 2 490 (15) 255 — bbN32C03 . 10 HaO dekahydrát uhličitanu sodného 286,14 1 440 32,5 (-H aO , 33,5) bNaHCOs hydrogenuhličitan sodný 84,00 2 159 (—CO2, 270) — bbNaNOs dusičnan sodný 84,99 2 261 307 380 r bbNaOH hydroxid sodný 40,00 2 130 318,4 1 390 bbNa3P 04 . 12 HaO dodekahydrát fosforečnanu

sodného380,12 1 620 73,4 r (— 12 HaO, 100) bb

NH 4CI chlorid amonný 53,49 1 527 340 subl — bbNH 4HCO3 hydrogenuhličitan amonný 79,06 1 580 36 r subl bb(NH4)2S04 síran amonný 132,13 1 769 (50) 235 r — bbNÍSO4 . 7 HaO heptahydrát síranu nikelnatého 280,85 1 948 99 (—H2O, 32) ( - 6 HaO, 103) zPbCla chlorid olovnatý 278,1 5 850 501 950 bPb(N03)2 dusičnan olovnatý 331,2 4 530 470 — bbPbO oxid olovnatý 223,2 9 530 886 1 470 ž, čvPb30 4 oxid olovnato-olovičitý 685,6 9 100 500 r — čvP b02 oxid olovičitý 239,2 9 375 290 r — hSO2 oxid siřičitý 64,06 2,927 — 72,7 — 10 bbSO3 (trimer) oxid sírový 80,06 1 970 (1) 16,8 44,8 bbSnCla . 2 HaO dihydrát chloridu cínatého 225,63 2 710 (15) 37,7 — bSnCLi chlorid cíničitý 260,50 2 226 —33 144 bbSrS04 síran strontnatý 183,68 3 960 1 605 r bbZnCla chlorid zinečnatý 136,29 2 910 283 732 bZnS04 síran zinečnatý 161,44 3 540 (25) 600 — bbZnS04 . 7 HsO heptahydrát síranu zinečnatého 287,54 1 957 (25) 100 (—7 HaO, 280) bb

134 21 Vlastnosti důležitých organických sloučenin

Air - relativní molekulová hmotnost; g - hustota při 20 °C, není-li v závorce uvedena jiná teplota; ít - teplota tání při tlaku 101,3 kPa; ív - teplota varu při témž tlaku, není-li v závorce uveden jiný tlak Zkratky: rozkl - rozkládá se, subl - sublimuje, tuh - tuhne, expl - exploduje, stabil - stabilizovaný, r - rozpustný, vr - velmi rozpustný, mr - málo rozpustný, nr - nerozpustný, rt - rozpustný za tepla, 1 - kapalina, g - plyn

LátkaQ t\ í v Rozpust

Vzorec Air kg . m“8 “* c nost ve vodě

Acetaldehyd CHsCHO 44,05 778 — 122 20,8 vrAcetofenon CHsCOCeHs 120,15 1 028 19,6 202 nrAceton CH3COCH3 58,08 790 —95,4 56,2 vrAcetylen CH=CH 26,04 1,175 —81 —84 mrAcetylchlorid CH3COCI 78,50 1 105 — 112 51,5 rozklAcetylsalicylová kyselina 2 -CH3OCOC6H4COOH 180,16 — 135 140 rozkl rtAdipová kyselina HOOC(CH2)4COOH 146,14 1360 153 216 (2 kPa) mrAkrolein c h 2= c h c h o 56,06 841 —87 53 rAkrylová kyselina c h 2= c h c o o h 72,06 1051 13 141 vra-Alanin-(L) c h 3c h (n h 2)c o o h 89,09 1 424 297 rozkl rAllylalkohol c h 2= c h c h 2o h 58,08 854 — 129 97,1 vro-Aminobenzoová kyselina 2-H2NC6H4COOH 137,14 1 412 146 subl rtAnilin c »h 5n h 2 93,13 1 022 —6,0 184 rtAn tracen CitHjo 178,23 1 283 216 340 nrAntrachinon Ci4H802 208,22 1 438 286 379,8 nrAzobenzen C«H5N =N C 8H 6 182,23 — cis 71 — —

1 203 trans 68,5 296 (13 kPa) nr.CONH.

H2C ( >c o x c o n h /

Barbiturová kyselina 128,09 _ 248 rozkl _ mr

Benzaldehyd CsHsCHO 106,13 1045 —26(—56 tuh)

— nr

Benzen CeHs 78,11 877 5,5 80,10 nrBenzidin 4,4'-NH2C«H4C«H4NH2 184,24 — 128 — mrBenzoová kyselina CeHsCOOH 122,12 1 266 (15) 122,4 249 mrBenzofenon CsHsCOCoHs 182,22 1 146 (19) 48,1 305,9 nrBenzylalkohol CeHsCHüOH 108,14 1 041 - 1 5 ,3 205,4 nrBenzylchlorid CeHsCHaCl 126,59 1 100 —39 179 —Bifenyl Cel IsCgHö 154,21 866 71 256 nrBiuret NH(CONH2)2 103,08 — 180 rozkl — rBrombenzen CeHsBr 157,01 1 495 —30,8 156 nrBromoform CHBra 252,73 2 889 8 149,5 nr1,3-Butadien c h 2= c h —c h = c h 2 54,09 621 — 108,9 - 4 ,4 nrButan c h 3c h 2c h 2c h 3 58,12 2,703 — 138,4 “ 0,5 nr1-Butanol CH3CH2CH2CH2OH 74,12 810 —89,5 117,2 mr2-Butanol CH3CH2CH(OH)CH3 74,12 807 — 114,7 99,5 mr

Látka

1-Butylen

Citronová kyselina

CyklohexanCyklohexanolCyklohexanon

DekanDiethyletherDifenylaminEthanEthanolEthylacetátEthylaminEthylbenzenEthylbenzoátEthylbromidEthylchloridEthylenEthylformiátEthylnitrátFenolFormaldehydFosgenD-Fruktosa

Ftalanhydrid

Ftalová kyselina Fumarová kyselina

FuranGallová kyselina D-Glukosa

GlycerolGlyceroltrinitrát

GlycinGlykolHexachlorbenzenHexan

Vzorec

CHo=CHCH2CH3CHsCOOHI

HO—C -C O O HI

CHzCOOHCíHI2CaHuOHCeHioO

CH3(CH2)8CH3 c 2h s 0c 2h s (CsH5)2NH CH3CH3 C2H 5OH CH3COOC2H5 C2H5NH2 C6H5C2H5 CeHsCOOCüHs C2H5Br C2H5C1 c h 2= c h 2 HCOOC2H5 C2H5ONOs C6H5OH HCHO COCl2 CsHiäOs

,CO.C0H .1 / \ O

\ c o ^l,2-C6H4(COOH)s HOOCCH=CHCOOH (trans)C 4H 4O3,4,5-(OH)3C(,H2COOHC6H12O6

HOCH2CH(OH)CH2OHC3H 5(0N 02)3

h 2n c h 2c o o hh o c h 2c h 2o hCsClcC H 3( C H 2)4C H 3

A ir

56,12

192,13

84,16100,1698,15

142,2974.12

169,2330.0746.0788.1245.09

106.17150.18 108,9764,5228,0574.0891.07 94,11 30,03 98,92

180,16

148.12

166.13 116,07

68.08 170,12 180,16

92.10 227,09

75.0762.07

284,7886,18

kg . m-3

2,45 (16)

1 542 (18)

779962948

730 714

1 160 1,356

789 900 683 867

1 046 1 460

898 1,25 (0)

917 1 108 1 058

815 (—20) 139 (0)

1 598

1 593 1 635

951 1 694 (6)1 562 (18)

1 261 1 593

1 161 1 109 1 629 (21)

660 (20)

11°C

-185,3

155

6,525,1

— 16,4(—26 tuh) —27,9

— 116 55

— 183,3— 117,3 —83,6 —81— 95— 34,6

— 118,6— 136,4— 169

—80— 94,6

43—92

— 118 103

131,6

210 rozkl

— 85,6 253 rozkl

al46-147rozkl /J148-150rozkl

1813 (stabil)2 (nestab) 262 rozkl

-1 1 ,5 230

— 95

tv

- 6 ,3

rozkl

80,7161,1155,6

174.134.6

302— 88,6

78.477.116.6

136.2 213

38.4 12,3

-1 0 45487.2

182—21

8,3

295 subl

165 subl

31,4

290 rozkl 256 expl

198322 subl 69

Rozpustnost

ve vodě

11

vr

nrmrmr

nrmrnrnrvrrvrnrnrmrnrnr

ozklvr

mr

rt

mrmrvrvrvrmr

vrvrnrnr

Látka VzorecQ íi řv Rozpust

M , kg . m~ 3nost

ve vodé

Hydrochinon l,4-C 6H4(OH) 2 1 1 0 , 1 1 1 358 173 286 vrChloraceton CH3COCH2CI 92,53 1 150 — 44,5 119 rChloral CCI3CHO 147,39 1 512 -5 7 ,5 97,8 rChloralhydrát CCl3CH(OH)2 165,40 1 908 57 96,3 rChlorbenzen CeHsCl 112,56 1 105 —45,6 132 nrChloroform CHCI3 119,38 1 483 —63,5 61,2 nrIsopren CH2=C(CH3)CH=CH2 68,12 681 — 146 34 nrJantarová kyselina HOOC(CH2)2COOH 118,09 1 572 (25) 188 235 rozkl rtJodoform c h i3 393,73 4 008 123 210 expl nrm-Kresol l,3-CH3CeH4OH 108,14 1 034 12 203 mro-Kresol l,2-CH3CeH4OH 108,14 1 027 31 191 rtp-Kresol 1,4-CH3C«H40H 108,14 1 018 35 202 rtKyanovodík HCN 27,03 688 (1) — 13 26 vrLaktosa Ci2H22Oii 342,30 a —

ß \ 590223253

— vr

Malonová kyselina CH2(COOH)2 104,06 1 619 (16) 135,6 140 rozkl vrMáselná kyselina CH3(CH2)2COOH 88,11 956 - 4 ,5 165,6 vrMethan CH4 16,04 0,717 — 182 — 154 mrMethanol CHsOH 32,04 791 -r-93,9 65 vrMethylacetylen CH3C =CH 40,07 — — 102,7 —24 rMethylbenzoát CeHsCOOCHs 136,15 1 089 — 12,3 199,6 nrMethylchlorid CH3C1 50,49 2,31 — 97 -2 4 ,1 nr2-Methyl-2-propanol (CH3)3COH 74,12 789 25,5 82,3 vrMléčná kyselina D, L CH3CHOHCOOH 90,08 1 206 (21) 18 122 (1,6 kPa) vrMočovina H2NCONH2 60,06 1 323 135 rozkl rMravenčí kyselina HCOOH 46,03 1 220 8,4 100,7 vrNaftalen C10H8 128,17 1 168 (22) 80,5 218 nrNitrobenzen C«HäN02 123,11 1 204 5,7 210,8 nrOctová kyselina CHsCOOH 60,05 1 049 16,6 117,9 vrOktan CH3(CH2)6CH3 114,23 702 — 56,8 125,7 nrOlejová kyselina Ci7H33COOH 282,47 894 13,4 216 (0,7 kPa) nrPalmitová kyselina C15H31COOH 256,43 853 63 222 (2,1 kPa) nrPentan CH3(CH2)3CH3 72,15 626 — 130 36,1 nrPropan c h 3c h 2c h 3 44,10 2,01 — 189,7 — 42,1 nr1-Propanol c h 3c h 2c h 2o h 60,10 804 — 126,5 97,4 vrPropanová kyselina c h 3c h 2c o o h 74,08 993 — 20,8 141 vrPropylen c h 2= c h c h 3 42,08 1,81 (16) — 185,2 -47,4 rPyridin C5H5N 79,10 982 —42 115,5 vrPyrogallol l,2,3-C«H3(OH)3 126,11 1 453 (4) 133 309 rPyrokatechin l,2-CeH4(OH)2 110,11 1 344 105 245 rResorcin l,3-C«H4(OH)2 110,11 1 272 111 281 r

Sacharin / CO\ C6H4 ( )N Hx so2/

183,191

828 229 rozkl

Sacharosa Cl2H22Oll 342,30 1 581 (17) 185—186 rozkl r

Látka Vzorec Aire ft

°CÍT°c

Rozpustnost

ve voděk g . m~s

Salicylová kyselina 2 -HOC6H4COOH 138,12 1443 159 211 subl rStearová kyselina C17H35COOH 284,49 941 71,2 360 rozkl nrStyren C6H5C H =C H 2 104,15 906 —30,6 145,2 nrŠťavelová kyselina (COOH)2 90,03 1 900 (17) 189,5 rozkl 157 subl rŠťavelová kyselina - dihydrát (COOH)2 . 2HaO 126,07 1 653 (19) 101,5 rozkl rTeraftalová kyselina l,4-CeH4(COOH)2 166,13 — — subl nrT etrachlor benzen 1,2,3,5-CsH2C14 215,89 — 54,5 246 nrT etrachlormethan c a 4 153,82 1594 —23 76,8 nrToluen CsHsCHs 92,14 867 —95 110,6 nrTribromfenol 2,4,6-Br3CeHaOH 330,80 2 550 95 280 subl mrTrichlor benzen 1,3,5-C8H3C13 181,45 — 63 208 nrTrinitrobenzen 1,3,5-C«H3(N02)3 213,11 1 688 121 315 rozkl mrTrinitrofenol 2,4,6-(NOa)3C6H2OH 229,10 1 767 (19) 122 — expl rtTrichloroctová kyselina CClsCOOH 163,39 1 620 (25) 58 197,5 vrVinná kyselina (L) HOOCCH—CHCOOH i i 150,09 1 760 170 — r

I 1 OH OH

Vinylchlorid CH2=CHC1 62,50 — — 153,8 -1 3 ,4 nrm-Xylen 1,3-C6H4(CH3)2 106,17 864 —47,9 139,1 nro-Xylen l,2-CeH4(CH3)2 106,17 880 —25,2 144,4 nrp-Xylen 1,4-CeHi(CH3)a 106,17 861 13,3 138,3 nr

q - hustota při běžných teplotách (okolo 20 °C)U většiny látek závisí hustota na jejich fyzikálním stavu (např. na vlhkosti apod.) a na chemickém složení.

Údaje v tabulce jsou proto přibližné. U sypaných nebo pórovitých látek je uvedena objemová hmotnost (podíl hmotnosti a celkového objemu včetně mezer), která je menší než hustota téže látky. Tyto látky jsou v tabulce označeny hvězdičkou.

22 Hustoty pevných látek

Vlastnostilátek

Látka e Látka Qkg . m~8 k g . m-3

Asfalt 1 300 Pájka (cín) 8 200Azbest 2 100 — 2 800 Papír 700 — 1 100Bakelit 1 300 Parafín 870 — 930Beton 1 800 — 2 200 Pertinax 1 300— 1 400Bronz 8 700 — 8 900 Pískovec 1 900 — 2 700Celofán 1 420 Plexisklo 1 180Celuloid 1 400 Polystyren 1 050Cihly* 1 400 — 2 000 Polyvinylchlorid 1 200 — 1 500Cukr 1 600 Porcelán 2 100 — 2 400Čedič 2 900 Prešpán 1 350Diamant 3 500 RaSelina 330 — 410Dřevo balsové 100 — 300 Rula 2 400 — 2 700Dřevo dubové 700— 1 000 Sádra* 800 — 1 200Dřevo jehličnaté 400 — 600 Sklo křemenné 3 600 — 4 700Dřevo mahagonové 700 Sklo olovnaté 2 600 — 4 200Dural 2 800 Sklo tabulové 2 400 — 2-600Ebonit 1200 Slída 2 600 — 3 200Elektron 1 800 Sníh (čerstvě padlý)* 125Grafit (tuha) 2 100 Sníh vlhký* 200 — 800Guma (pryž) 1 150 — 1 350 Stearin 970Guma pěnová* 50 — 500 Sůl kuchyňská 2 160Chromnikl 8 200 Šamot 1 700 — 2 200Igelit 1 390 Šedá litina 7 250Invar 8 130 Teflon 2 100 — 2 300Kamenina 2 200 — 2 500 Tělo lidské* (při vdechnutí) 960Kaolín 2 200 Tělo lidské* (při vydechnutí) 1040Klih 1 270 Tuky 920 — 950Konstantan 8 800 Uhlí dřevné* 300 — 600Korek 200 — 350 Uhlí hnědé* 1 200 — 1 500Kosti 1 700 — 2 000 Uhlí černé* 1 200 — 1 500Křemen 2 600 Vápenec 2 710Křída 1 800 — 2 600 Vápno hašené* 1 100 — 1 300Kůže 850— 1000 Vápno pálené* 900— 1 300Led 917 Vinidur 1 350Lůj 900 — 970 Vosk 950 — 980Malta vápenná 1 700 Woodův kov 9 700Manganin 8 400 Xylolit 715Máslo 920 Zdivo cihlové duté 1 200Mastek 2 700 Zdivo cihlové plné 1 600MosazOcel

8 600 7400 — 8000

Žula 2 600 — 2 900

138

23 Mechanické vlastnosti pevných látek

E - modul pružnosti v tahu; G - modul pružnosti ve smyku; - pevnost v tahu; a v - pevnost v tlaku; /i - Poissonův poměr (poměr poměrného příčného zkrácení a poměrného prodloužení materiálu)

Uvedené veličiny závisejí na složení a tepelném a mechanickém zpracování látek. Pevnost v daku je udána, jen když se liší od pevnosti v tahu.

|| po směru vláken, X kolmo k směru vláken

Látka

Modul pružnosti Pevnost

E G Ot av103 MPa 103 MPa MPa MPa

Ocel 220 85 350—800 0,30Ocel pro lana 220 85 až 2 000 —

Temperovaná litina — — 320—520 —

Šedá litina 60—140 24—57 200—560 0,26Hliník 66—68 26—28 70—190 0,33Dural 72 27 150—520 0,34Elektron 42—45 16—18 160—330 0,29Méd 120—130 42—47 180—450 0,34Mosaz 100—110 43 300—500 0,3—0,4Nikl 205—220 75 500—1 000 0,30Zinek 100 40 120—500 0,25Cín 55 15 30—70 0,33Olovo 15— 17 6,5 15—20 0,40Stříbro 75—80 28 150—400 0,38Zlato 80 28 120—300 0,42Platina 170 62 200—400 0,38Dřevo 10 0,3 73 33 —

jehličnaté ||Dřevo 10 0,3 12,5 4—7 —

jehličnaté XDřevo 12,5 0,6 92 40 —

dubové ||Dřevo 12,5 0,6 15 12—15 —

dubové J_Žula 27—51 — 4,2—5,6 75—230 —

Čedič 52— 115 — — 300 —

Vápenec 35 — 4—7 80—220 —Cihly — — — 10—50 —Sklo 60—80 20—30 30—90 320—1 200 0,2—0,3Ebonit 3,7 — 40—70 120 —

Xylolit — 3 22,5 —Bakelit 9—15 25 120—200

“

Vlastnostilátek

■. ..

139

Vlastnostilátek

2U Tvrdost některých látej;

Mohsova stupnice tvrdosti: 1. mastek, 2. sůl kamenná, 3. kalcit, 4. fluorit, 5. apatit, 6. živec (ortoklas), 7. křemen, 8. topaz, 9. korupd, 10. diamant

Látka Tvrdost Látka Tvrdost

Achát 6—7 Křemík 7,0Alabastr 1,7 Lithium 0,6Antracit 2,0 Magnetit 6,0Antimon 3,0 Mangan 5,0Aragonit 3,5 Měd 3,0Azbest 2,0 Mořská pěna 2,5Asfalt 1—2 Mosaz 3 ,5 - 4Augit 6,0 Mramor 3—4Baryt 3,3 Nikl 3,8Beryl 7,8 Ocel 5—8,5Beryllium 5,0 Olovo 1,5Bismut 2,5 Opál 4—6Boritá kyselina 3,0 Ortoklas 6,0Bor 9,5 Osmium 7,0Bronz fosforová 4,0 Palladium 4,8Cesium 0,2 Platina 4,3Cin 1,8 Platinairidium 6,5Dolomit 3,5 Pyrit 6,3Draslík 0,5 Rubidium 0,3Fluorit 4,0 Sádrovec 1,6—2Fosfor 0,5 Selen 2,0Gallium 1,5 Síra 2,0Germanium 6,25 Sklo 4 ,5 -6 ,5Grafit 1,2 Slída 2,8Hematit 6,0 Sodík 0,4Hliník 2,9 Stříbro 2,7Hořčík 2,0 Stroncium 1,8Chrom 9,0 Tellur 2,3Indium 1,2 Vanad 6,0Iridium 6,5 Vápník 1,5Iridium-osmium 7,0 Vosk 0°C 0,2Kadmium 2,0 Woodův kov 3,0Kalcit 3,0 Zinek 2,5Kaolinit 2,5 Zirkon 8,0Karborundum 9,5— 10 Zlato 2,5Kobalt 5,5 Železo 4,5Křemelina 1,5

140

25 Tepelná vodivost některých pevných látek

A20 - součinitel tepelné vodivosti při teplotě 20 °C

LátkaA20 Látka

AjoW . m - i . K '1 W . m -‘ . K -1

Stříbro 99,98 % 418 Tabulové sklo 0,60—1,0Měď elektrolytická 395 Betonový panel 0,46—0,74Hliník 99,75 % 229 Asfalt 0,7Wolfram 163 Sníh 500 kg . m"3 (0 °C) 0,46Mosaz 106 Fíbr 0,3Železo 99,92 % 73 Bakelit 0,23Platina 70,3 Celuloid 0,22Cín 64 Plexisklo 0,2Ocel 0,2 % C 50 Linoleum 0,19Bronz 90 % Cu, 10 % Sn 42 Dřevocement 0,17Olovo 34,7 Polystyren 0,16Bronz 75 % Cu, 25 % Sn 26 Igelit 0,15Žula 2,9—4,0 Vinidur 0,15Led (0°C) 2,2 Azbest 0,12Čedič 1,67 Sníh 150 kg . m“3 (0 °C) 0,12Beton armovaný 1,5 Plsť 0,04—0,09Sníh 800 kg . m “3 (0 °C) 1,3 Skelná vlna 0,03—0,05Cihly 0,28— 1,2

26 Složení některých slitin

<o - hustota; ít - teplota tání

Název Složení v % (hmotnostní zlomek)

Qk g . m -3

ft°C

Pájka (Cín) 67 Sn, 33 Pb 8 200 240Pájka (Olovo) 67 Pb, 33 Sn 9 400 275Hliníková bronz 90 Cu, 10 AI 7 600 1 050Fosforová bronz 79,7 Cu, 10 Sn, 9,5 Sb, 0,8 P 8 800 900Zrcadlová bronz 67 Cu, 33 Sn 8 600 745Zvonovina 78 Cu, 22 Sn 8 700 870Nikelin 80 Cu, 20 Ni 8 500 1 185Mosaz 62 Cu, 38 Zn 8 100 — 8 600 940Konstantan 60 Cu, 40 Ni 8 800 1 280Nichrom 60 Ni, 24 Fe, 16 Cr, 0,1 C 8 170 1350Platiniridium 90 Pt, 10 Ir 21 610 1 850Platinrhodium 90 Pt, 10 Rh 19 800Woodův kov 50 Bi, 25 Pb, 12,5 Cd, 12,5 Sn 10 600 66Nástrojová ocel 99 Fe, 1 C 7 800 1 350Ocel pro trvalé magnety 94,5 Fe, 5 W, 0,5 C 7 500 — 8 300Nerez, ocel kalitelná 14— 17 Cr, 0,3—0,5 C, zbytek Fe 7 700 1 380Nerez, ocel nekalitelná 18 Cr, 8 Ni, zbytek FeNiklová ocel 74,2 Fe, 25 Ni, 0,8 C 8 100 1 500Invar 63,8 Fe, 36 Ni, 0,2 C 8 000 1 495Bílá litina 3—4 C, zbytek Fe 7 600 1 150 — 1 400Šedá litina 3— 4 C, 1 — 2,5 Si, zbytek Fe 7 000 1 150Dural 93,7 AI, 4,3 Cu, 1,4 Mg, 0,6 Mn 2 750 — 2 870 650Heuslerova slitina 55 Cu, 30 Mn, 15 AI

Vlastnostilátek

141

27 Rozpustnost pevných látek ve voděmt - hmotnost bezvodé látky, která se rozpustí ve 100 g vody; w - hmotnostní zlomek rozpuštěné (bezvodé) látky v nasyceném roztoku; o - hustota nasyceného roztoku; t - teplota. Vzorec udává složení pevné fáze, která je v rovnováze s nasyceným roztokem. Pokud je počet molekul krystalové vody jiný než v uvedeném vzorci, je vytištěn v závorce u příslušné hodnoty mT.

Vlastnostilátek

t0 20 100 20 20

Látkam, w í?g kg . m -3

AgNOa 115 219,2 1024 68,7 2 180AlCla . 6 H20 44,9 45,6 — 31,3 —BaCC>3 — 0,0022 (18 °C) 0,006 5 2,2 . 10-3 (18 °C) —BaCla . 2 H aO 30,7 35,7 58,7 26,3 1 280Ba(OH)2 . 8 HaO 1,50 3,48 159 (3) (109 °C) 3,36 1 040Ba(N03)a 4,95 9,06 34,2 8,31 1 069BaS04 — 2,4 . 10-4 3,9 . 10-» 2,4. 10-< —CaCla . 6 HaO 60,3 74,53 159 (2) 42,7 1 430CaCla . 2 HaO — — 159,0 — —CaO . HaO 0,130 0,123 0,052 0,123 1 001CaS04 . 2 HaO 0,176 0,203 6 (18 °C) 0,161 9 0,203 1 001C d(N 03)a .4 HaO — 153 — 60,5 —CdCla . 2,5 HaO 90,1 111,4 147(1) 52,7 —C dS04 . 8/3 HaO 75,75 76,69 84,6 (80 °C) 43,4 1 616CuCla . 2 HaO 70,65 77,0 107,9 43,5 1 550Cu(NOa)a - 6 HaO 81,8 125,2 247 (3) 55*6 —CuS04 . 5 HaO 14,8 20,77 73,6 17,2 1 196FeCl3 . 6 HaO 74,5 91,94 — 47,9 1 520F eS04 . 7 HaO 15,65 26,58 31,6 (1) 21,0 1 225KBr 54,0 65,85 104,9 39,7 1 370KC1 28,15 34,24 56,20 25,5 1 174KClOa 3,3 7,3 56,20 6,8 1 042KI 127,8 144,51 208 59,1 1 710k n o 3 13,25 31,66 245,2 24,0 1 160K 2CraO? 4,68 12,49 103 11,1 1077KaCOs . 3/2 HaO 105,5 111,5 156 52,7 1 580k 2s o 4 7,33 11,11 24,10 10,0 1 081L iC l. HaO 69,2 (2) 82,82 127,5 45,3 1 290LiaCOs 1,33 — 1,31 —LiaS04 . HaO 36,2 34,8 31,0 25,8 1 230MgCla . 6 HaO 52,8 54,57 72,7 35,3 1 331M gS04 . 7 HaO 30 (10 °C) 35,6 48,0 (1) 26,3 1 310MnCla . 4 HaO 63,6 73,62 115 (2) 42,4 1 499M nS04 . 5 HaO 52,9 (7) 62,88 35,5 (1) 38,6 1 487N aB r.2 HaO 79,5 90,49 121,2 (0) 47,5 —NaCl 35,6 (2) 35,88 39,2 26,4 1 201NaNOa 70,7 88,27 176 46,9 1380NaClOa 80,5 98,82 204 49,7 —NaaBiO? . 10 HaO 1,0 2,5 52,5 2,4 —Na2C 0 3 . 10 HaO 6,86 21,66 44,5 17,8 1 194NaaCraO? . 2 HaO 163,2 180,16 440 (0) (80 °C) 64,3 —NaOH 43,2 (4) 109,2 (2) 341 52,2 —NaaS04 . 10 HaO 4,6 19,0 42,3 (0) 16,1 1 150NHiCl 29,7 37,56 77,3 27,3 1 075NH4HCO3 11,9 21,22 355 17,5 1 070NH4NOa 118,5 187,7 871 65,2 1 308(NHl)a S 0 4 70,4 75,44 102 43,0 1247N iS0 4 . 7 HaO 27,9 37,8 77,9 (1) 27,4 —PbCla 0,672 8 0,99 3,31 0,98 1 007Pb(N 03> 36,4 52,22 127,3 34,3 1 400SnCI2 83,9 299,8 (15 °C) — 75 (15 °C) 2 070SrCl2 . 6 HaO 44,1 53,85 — 35,0 1390ZnCla 208 (3) 368 (2,5) 614 — —ZnS04 .7 HaO 41,6 53,8 60,5 (1) 35,0 1470

142

28 Měrné spalné teplo a výhřevnost paliv

Měrné spalné teplo i výhřevnost jsou určeny podílem tepla, které se uvolní při dokonalém spálení paliva, ochladí-li se spaliny na původní teplotu paliva, a hmotnosti paliva. U měrného spalného tepla se počítá, že voda vzniklá reakcí i původně obsažená v palivu je v kapalném stavu; u výhřevnosti se počítá, že voda zůstane v plynném stavu.

PalivoMěrné spalné teplo

k j . kg-iVýhřevnost

k j . kg“‘

Acetylen 50 120 —

Antracit 31 400—34 300 18 800—32 700Benzin (střední frakce) 46 000 42 700Benzen 41 980 40 200Butan 49 610 43 500Dřevo (suché) průměrně 18 000 16 000Ethanol 29 700 26 800Koks 31 000 30 690Methan 55 560 49 610Petrolej 46 000 44 400Propan 50 360 50 000Svítiplyn 39 800 18 800Uhli hnědé 18 500—29 300 10 500—17 200Uhlí černé 29 300—33 500 20 900—31 400Vodík 143 000 95 500

Vlastnostilátek

143

IV I erm ochem icke uaaje

A/ř? - standardní molámí slučovací entalpie; AG°, - standardní molámí slučovad Gibbsova funkce; S° - standardní molární entropie; Cp - molární tepelná kapacita při konstantním tlaku. Údaje všech uvedených veličin platí pro teplotu 25 °C a dak 101 325 Pa; (aq) označuje hypotetický ideální roztok o jednotkové molalitě (rozpuštěná látka se chová jako v nekonečně zředěném roztoku).

Anorganické látky

Vlastnostilátek

Látka AH°( AG? 5° Cpkj . mol-1 kj . mol-1 J . mol-1. K-* J . mol'1. K-1

AgBr (j) — 100,4 —96,5 107,1 52,38AgCl (s) — 127,07 — 109,80 96,2 50,79AgNOa (s) — 124,4 —33,5 140,2 93,1AlCls (*) —705,2 —630,1 109,3 91,13AUOa (a korund) — 1675 — 1 582 50,92 79,04BaCh (s) — 858,1 —810,4 123,7 75,1BaCla. 2 HaO (s) — 1460,1 — 1 296,5 203 162,0BaSOi (s) — 1 473,2 — 1 362,3 132 101,8Br, (1) 0 0 152,23 75,689Br, (g) 30,91 3,14 245,4 36,0Br (g) 111,88 82,429 174,91 20,79HBr (g) —36,4 —53,51 198,6 29,1C (grafit) 0 0 5,694 8,644C (diamant) 1,897 2,900 2,38 6,116C (g) 717 671 158 21CO (g) — 110,5 — 137,2 197,9 29,2COa (g) —393,5 —394,4 213,7 37,1CO, (aq) —413,8 —386,0 118 —C O ," (aq) —677,1 —527,9 —56,9 —CaCOs (kalcit) — 1 206,9 — 1 128,8 92,9 81,88CaCla (s) —795,8 —748,1 105 72,84CaCla (aq) —877,13 —816,05 59,8 —CaO ($) —653,13 —603,54 38,2 42,13Ca(OH)a (s) —986,17 —898,51 83,39 87,49Ca(OH)j (aq) — 1 002,8 —868,14 74,5 —CaS04 (s) —1 434,1 — 1 321,9 107 99,66CaS04 . 2 HaO (s) —2 022,6 — 1 797,4 194,1 186,0Caa(P04)a (s) —4 120,8 —3 884,8 236 227,8Cli (g) 0 0 223,0 33,95c i (g) 121,3 105,3 165,1 21,8HCl (g) —92,30 —95,31 186,8 29,12H Q (aq) — 167,16 — 131,3 56,5 — 136CuSO« (s) —771,4 — 661,9 109 100CuSO« (aq) —844,5 —679,1 79,5 —CuSO« . 5 HaO (s) — 2 279,7 — 1 880,056 300 280Fs (g) 0 0 202,7 31,3F (g) 78,99 61,92 158,7 22,74HF (g) —271,1 —273,2 173,7 29,1HP (aq) —332,6 —276,5 - 9 ,6 —FeCOs (siderit) —740,57 —666,72 92,9 82,13FeCla (*) —341,8 —302,3 117,9 76,65FeCla (s) —399,4 —334,1 142,3 96,65FeaOj (hematit) —824,2 —742,2 87,40 103,8FeaO« (magnetit) — 1 118 — 1 015 146 147Ha (g) 0 0 130,59 28,84H (g) 217,97 203,26 114,60 20,79HaO (g) —241,82 —228,59 188,72 33,58HaO (1) —285,83 —237,18 69,91 75,291la (g) 62,438 19,36 260,6 36,9I (g) 106,84 70,28 180,68 20,79I* (*) 0 0 116,14 54,44HI (g) 26,5 1,7 206,5 29,2HI (aq) —55,19 —51,59 237 142

144

I LátkaAHf AG\\ 5® 0 P

kj . mol-1 kj . mol-1 J . mol“1 . K '1 J . mol'1 . K"1

KBr (s) —392,2 —379,2 96,44 52,3KC1 (s) —435,9 —408,3 82,68 51,3KClOa (s) —391,2 —289,9 143,0 —KMnOí (s) —813,4 —713,8 171,7 —KNOs (s) —492,71 —393,1 132,9 96,27K2SO4 (s) — 1 433,7 — 1 316,4 176 131,2KOH (s) —425,8 —379 78,87 64,89MgCla (s) —641,6 —592,1 89,62 71,38MnCla (s) —481,29 —440,53 118,2 72,93MnOa (s) —520,03 —465,18 53,05 54,14Na (g) 0 0 191,5 29,12N (g) 472,704 455,579 153,19 20,79NH3 (g) —46,11 — 16,5 192,3 35,1NH4CI (s) —314,4 —203,0 94,6 84,1(NH4)aS04 (s) — 1 180,9 —901,90 220,0 187,5HNOs (X) — 173,2 —79,91 155,6 —HNO3 (aq) —207,4 — 111,3 146 86,6NO (g) 90,25 86,57 210,65 29,84NOa (g) 33,2 51,30 240,0 37,2N2O4 (g) 9,16 97,82 304,2 77,28Na (s) 0 0 51,46 28,2Na (g) 107,7 77,32 153,6 20,8NaaCÓs (s) — 1 131 — 1 048 136 111,0NaaCOs . 10 HaO (s) —4 082NaHCOa (s) —947,7 —851,9 102 87,78NaCl (s) —411,0 —384,0 72,38 50,50NaNOs (s) —466,68 -3 6 5 ,9 116,3 93,05NaaS04 (s) — 1 384,5 — 1 266,8 149,5 133,0Oa (g) 0 0 205,03 29,350 (g) 249,17 231,75 160,95 21,91O3 (g) 143 163 238,8 39,2P (bílý) 17,4 12,0 41,1 23,84P (červený) 0 0 22,8 21,2Pí (g) 128,9 72,4 128,9 67,1PCI3 (l) —320 —272 217 —PCls (g) —342 —278 364,5 112,8P4O9 (s) — 1 640P4OX0 (s, šestereč.) —2 940 —2 675 228,9 211,7PbCl2 (s) —359,4 -3 ,1 4 135,6 77,07PbO (s, červ.) —219,0 — 189,2 66,5 45,77PbOz (s) —277,4 —215 71,80 61,17Pba04 (s) — 718,8 —601,6 212,1 154,9PbS04 (8) —919,94 —813,20 148,6 103,2S (s, kosočtvereč.) 0 0 31,9 22,59S (s, jednoklon.) 0,3 0,1 33 24Ss (g) 101,2 49,16 430,20 156,1H2SO4 (1) —813,99 —690,06 156,9 138,9H2SO4 (aq) —909,27 —744,62 20 290SOa (g) —296,83 . —300,19 248,1 39,9SOs (g) —395,7 —371,9 256,6 50,67Si (s) 0 0 18,8 20,0SiCU (1) —687,0 —619,90 240 145,3SÍH4 (g) 31 56,9 204,5 42,84S1O2 (křemen) —910,94 —856,67 41,84 44,43Sn (s, bílý) 0 0 51,55 27,0Sn (s, šedý) - 2 ,1 0,1 44,14 25,0Sn (g) 302 267,3 168,38 21,26SnCU (1) — 511,3 —440,1 259 165SnOz (s) —580,7 —519,7 52,3 52,59Zn (s) 0 0 41,6 25,4Zn (g) 130,72 95,178 160,87 20,79ZnCla (s) —415,1 —369,43 108 67,53ZnC03 (s) —812,7 —731,57 82,4 79,71ZnO (s) —348,3 —318,3 43,64 40,3ZnS04 (s) — 982,8 —874,4 128 114,3

Vlastnostilátek

145

O rganické látky, A /í" - standardní molární spalná entalpie

Vlastnostilátek

LátkaAH°f A G? S° A H°c ~'p

k j . mol"1 k j . mol-1 J . mol-1 .K "1 k j .m ol 1 J .m o l-i . K J

Acetaldehyd (g) — 166,3 — 133,3 264,2 — 1 180f

54,64Aceton (g) —215,6 — 153,1 294,9 — 74,89Aceton (1) —247,6 — 155,7 200 — 1 790 126,4Anilin (1) 31,6 149,1 191,3 —3 396 192,0Benzen (1) 19,0 124,3 173,3 —3 268 81,671,3-Butadien (g) 110,2 151,0 278,7 —2 539 80,12Butan (g) — 126,1 — 17,2 310,1 —2 874 97,451-Buten (g) - 0 ,1 71,3 305,6 —2 715 85,65c/j-2-Buten (g) —6,99 65,86 300,8 —2 708 78,91trans-2-Buten (g) — 11,2 62,97 296,5 —2 704 87,82Cyklohexan (g) — 123,1 31,8 298,2 —3 853 106,2Cyklohexan (1) — 156,2 26,7 204,3 —3 920 156Diethylether (1) —273,2 — 116,6 253 —2 727 1711,2-Dichlorethan (1) — 165,2 —79,62 208,5 — 1 112 129Dichlormethan (1) — 124 —70,42 179 —550 —Ethan (g) —84,68 —32,8 229,1 —1 560 52,471,2-Ethandiol (1) —454,8 —323,2 167 — 1 190 150Ethanol (g) — 234,4 — 167,9 282,6 — 65,44Ethanol (1) —277,0 — 174,2 161,0 — 1 367 112Ethen (g) 52,3 68,24 219,2 — 1 411 42,84Ethin (g) 226,7 209,2 200,8 — 1 299 43,93Ethylacetát (1) —479,0 —332,7 259,4 —2 246 —Fenol (s) —165,0 —50,42 144,0 —3 060 135Heptan (1) —224,4 1,8 326,0 —4 811 224,9Hexan fl) — 198,8 3,8 296,1 —4 164 189,1Chlorbc.nzen (1) 10,8 89,2 209,2 -t- 3 110 150Chlorrr.ethan (g) —81,96 —58,45 234,2 —687 40,8Methan (g) —74,85 —50,83 186,3 —890,3 35,7Methanol (g) —201,1 — 162,4 239,7 — 43,89Methanol (1) —239,0 — 166,8 127,2 — 739 81,172-Methylpropan (g) — 134,5 —20,9 294,6 —2 860 96,822-Methyl-2-propanol (1) —359,2 — 184,7 192,9 — 2 645 220,1Mravenčí kyselina (1) —424,7 —361,4 129,0 —255 99,04Nitrobenzen (1) 15,9 146,2 224,2 —3 107 186Octová kyselina (1) —484,1 —390 161 —875 124Palmitová kyselina (s) —891,6 — — — 9 979 80,2Pentan Cg) — 146,4 - 8 ,4 348,9 —3 536 120Pentan (1) — 173,1 — —3 510 —1-Pen ten (g) —20,9 79,12 345,8 —3 351 (1) 109,6cjs-2-Penten (g) —28,1 71,84 346,3 —3 343 (1) 101,7íranj-2-Penten (g) —31,8 69,9 340,4 —3 339 (1) 108,4Propan (g) — 103,8 —23,6 270,2 —2 220 73,60Propen (g) 20,4 62,8 266,6 —2 052 64,31Propanová kyselina (1) —510,7 383,5 — — 1 527 —Salicylová kyselina (s) —589,5 — 418,1 178 —3 023 —Styren (1) 103,9 202,4 237,6 —4 390 182,6Šťavelová kyselina —827,2 —697,9 120 —255 —

Tetrachlormethan (1) — 133 —63 216,2 —258 —Trichlormethan (1) — 132 —72 203 —402 —

Toluen (1) 12,0 113,8 221,0 —3 911 157,2/>-Xylen —24,4 110,1 247,4 —4 554

146

30 Délky, úhly a disociační entalpie vazeb v některých jednoduchých molekulách

d - délka vazby (rovnovážná vzdálenost atomových jader); a - vazebný úhel (úhel spojnic atomových jader); H o - molární disociační entalpie vazby při 25 °C (užívá se též označení vazebná energie); p - elektrický dipólový moment molekuly, prům. - průměrná hodnota pro daný typ vazby. Vazby v radikálech jsou uvedeny v závorkách.

Vlastnostilátek

Molekula Tvara

Vazbad H v P

0 pm kj . mol-1 10-*® C . m

COa lineární o c= o 116,3 532 0CSa lineární — S C = S 155,4 500 0NaO lineární — O N = N 112,6 481 —

N N = 0 118,6 167HaO lomený 105 HO—H 95,8 499 6,14

(O -H ) 428H2S lomený 92 HS—H 134 381 3,23

( S - H ) 353f 2o lomený 103 F—O—F prům. 141 190 —cuo lomený 110 Q —O—Cl prům. 170 205CIO2 lomený 117 OCl—O 149 250 2,60

(Cl—O) 272SO2 lomený 120 os=o 143 552 5,44

( S = 0 ) 522NO2 lomený 134 0 N = 0 119 305 1,05O3 lomený 118 0 0 —0 128 0C2H2 lineární — HC—CH 120 962 0

HCC—H 106 523

b f 3 rovinný 120 Bn-F prům. 129 594 0

BCI3 rovinný 120 B—Cl prům. 172 393 0

SO3 rovinný 120 VIS = 0 prům. 143 454 0

Molekulad H d

Molekulad H t> P

pm kj . mol-1 pm kj . mol"1 10-*® C . m

H2 74,6 435,78 HF 91,6 569,9 6,07Na 109,7 945,33 HC1 127,7 431,49 3,60Oa 120,8 498,34 HBr 141,4 366,31 2,73F2 141,7 158,3 HI 160,4 298,39 1,47Cla 198,8 242,93 CO 113 1 076,5 0,37Bra 229,0 193,86 NO 115 630,6 0,51Ia 262,2 152,53 IC1 229 211

Vlastnostilátek

Molekula Tvara

Vazbad H d P

O pm k j . mol-1 10-3° C . m

C H a O • rovinný HCH 125 H a C = 0 123 732HCO 117 O H C -H 106 370

(OC—H) 127NHa jehlan HNH 107 HaN—H 102 435 4,90

(HN—H) 377(NT-H) 356

p h 3 jehlan HPH 93 P—-H prům. 142 330 1,93

PCU jehlan C1PC1 100 P—Cl prům. 204 328 2,60P4 tetraedr PPP 60 P—P prům. 221 210 0

CCU tetraedr C1CC1 109,5 C—Cl prům. 177 340 0CH4 tetraedr HCH 109,5 CH3—H 109 430 0

(C H a — H ) 474(C H -H ) 444( C - H ) 339

s í q 4 tetraedr CISiCl 109,5 SÍ--C1 prům. 203 380 0CH2CH2 rovinný HCH 116 CH 2CH—H 107 431 0

HCC 122 H2C—CH2 134 682C H a C H 3 HCH 109 H3CH2C—H 111 410 0

H3C—CHs 154 368benzen rovinný CCC 120 C—C prům. 139 510 0

HCC 120 H —C prům. 108 413PCU trojboký C1PC1 120 axiální 219 322 0

dvojjehlan 90 ekvatoriální 204SF„ čtyřboký FSF 90 FjS—F 158 326 0

dvojjehlan „ V LS—F prům. 318

148

31 Hustota, dynamická viskozita, tepelná vodivost, objemová roztažnost a povrchové napětí kapalin při 20 °C

£20 - hustota při 20 °C ; rj20 - dynamická viskozita při 20 °C ; A20 - součinitel tepelné vodivosti při 20 °C ; /?20 - součinitel teplotní objemové roztažnosti při 20 °C ; cr2o - povrchové napětí při 20 °C

Kapalina Vzorec £20 , »?20 /.20 (¡20 <720kg . m -3 10"3 Pa . s W .m -i.K -1 10-3 K -1 IO- 3 N . m -1

Aceton CsHeO 790 0,33 0,180 1,43 23,3Anilin CoHjN 1 022 4,43 0,172 0,85 40,5Benzín 700—750 0,53 0,131 — —Benzen CoH b 877 0,65 0,154 1,06 29,1Diethylether C4H 10O 714 0,24 0,138 1,62 16,4Ethanol C2H«0 789 1,20 0,182 1,10 22,0Glycerol C3H803 1 261 1 480 0,285 0,50 62,5Glyceroltrinitrát C3H 509N 3 1 593 — — — —Chloroform CHCb 1 483 0,58 0,129 1,28 26,5Kyselina dusičná HN03 1 527 0,91 — 1,24 —Kyselina mravenčí CH202 1 220 1,78 0,257 1,02 37,8Kyselina octová C2H 402 1 049 — 0,193 1,07 28,0Kyselina sírová H 2S04 1 840 25,4 0,314 0,57 —Methanol c h 4o 791 0,58 0,212 1,19 22,7Olej ricinový — 960 987 0,181 0,69 36,4Olej terpentýnový CioHia 855 1,49 — 0,97 27Olej transformátorový — 866 31,6 0,124 — —Petrolej — 760—860 — 0,151 0,96 27Rtuť Hg 13 546 1,55 9,30 0,18 491Sirouhlík CSz 1 263 0,31 0,160 1,19 33,8T etrachlormethan CCLi 1 594 0,97 0,108 1,22 25,9Toluen c 7h 8 867 0,59 0,151 1,08 28,4Voda H aO 998 1,00 0,598 0,18 73,0

Kapaliny

32 Závislost tlaku a hustoty sytých vodních par na tep lo tě

t - teplota; p - tlak; g - hustota

Kapaliny

t P e t P10* Pa

e tX “

P102 Pa g . m~3 g . m~3 102 Pa

—50 0,039 0,038 0 6,106 4,8 50 123,3—45 0,069 0,067 5 8,666 6,8 55 157,6—40 0,124 0,117 10 12,27 9,4 60 199,2

—35 0,223 0,198 15 17,06 12,8 65 250,1—30 0,373 0,333 20 23,33 17,3 70 311,6—25 0,627 0,55 25 31,73 23,0 75 385,4

—20 1,027 0,88 30 42,40 30,3 80 473,6— 15 1,653 1,38 35 56,26 39,6 85 578,0— 10 2,600 2,14 40 73,73 51,2 90 701,1

—5 4,013 3,24 45 95,86 — 95 845,30 6,106 4,84 50 123,3 — 100 1 013,2

tX

P t P tXT

P tXT

P105 Pa 10» Pa 105 Pa 10« Pa

100 1,013 150 4,760 250 39,78 350 165,4105 1,208 160 6,180 260 46,95 360 186,7110 1,433 170 7,920 270 55,05 370 210,5

115 1,691 180 10,03 280 64,20 372 215,7120 1,985 190 12,55 290 74,45 374 220,8125 2,321 200 15,55 300 85,92 — —

130 2,701 210 19,08 310 98,69 — —

135 3,130 220 23,20 320 112,9 — —

140 3,614 230 27,98 330 128,6 — —

145 4,155 240 33,48 340 146,1 — —

150 4,760 250 39,78 350 165,4 — —

Teplota rosného bodu tT je teplota, při níž by byly vodní páry obsažené ve vzduchu právě syté. Zjistí se měřením. Relativní vlhkost

kde ftr - hustota syté páry při teplotě tr rosného bodu, Qt - hustota syté páry při teplotě t vzduchu.

150

Kapaliny

Kapaliny

33 Závislost teploty varu vody na tlaku

p - tlak; fv - teplota varuZávislost lze přibližně vyjádřit

rovnicí číselných hodnot:

Í - 7 ‘,6 + 28.—

V rozmezí (0,9—1,075) . 105 Pa jsou odchylky od správné hodnoty menší než 0,1 %.

0,92 0,98 1,00 1,02 1,04

teploty varu vody na tlaku.

10» Pa96

0,90

34 Tepelné konstanty kapalin0,94 0,96

Závislost

tt - teplota tání; lt - měrné skupenské teplo tání; řv - teplota varu; /v - měrné skupenské teplo varu; ík - kritická teplota; />k - kritický tlak; - hustota v kritickém stavu; cô - měrná tepelná kapacita při 20 °C. Údaje kromě kritických jsou udány při tlaku 10® Pa.

Látka Vzorec

Tání Var Kritický stavOcaO

Vtt

8>— 1

ít°C

h řv_5č

Iv tk°C

P* e*k j . kg"1 k j . kg-1 105 Pa kg . m -3

Aceton CaHeO —95,4 96 56,2 523 236 58,8 252 2,16Anilin C«H7N —6,0 113 184,4 448 425,7 51,4 — 2,06Benzín — — — — — — — 2,09Benzen CgH» 5,5 127 80,1 396 288,6 47,1 305 1,74Diethylether C4H 10O — 116,3 100,5 34,6 360 194 35,6 265 2,33Ethanol CaHsO — 117,3 105 78,4 879 243 61,8 280 2,47Glycerol CsHgOa 18,6 200 290 — — — — 2,43Glyceroltri nitrát CsHisOsNa 13,2 96 — — — — —Chloroform CHCla —63,5 80 61,2 247 260 53,8 496 0,97Kyselina HNOa —41,6 40 83 481 — — — 1,72

dusičnáKyselina CHjO* 8,4 276 100,7 494 — — — 2,18

mravenčíKyselina octová CaH4Oa 16,6 194 117,9 406 321,6 56,0 351 2,03Kyselina sírová HaS 0 4 10,4 109 — — — — — 1,38Methanol CH4O 93,9 100 64,7 1 101 — — — 2,47Olej ricínový — — — — — — — — 1,93Olej terpentý- CioHu — 10 — 160 293 376 — — 1,80

novýOlej transfor — — — — — — — — 1,89

mátorovýPetrolej — — — — — — — — 2,14Rtuť Hg —38,8 11,7 356,6 301 — — — 0,14Sirouhlík CSa — 110,1 74 46,3 373 277 73,6 441 1,02Tetrachlor- CCU —22,8 15,7 76,8 193 283 44,1 558 0.85

methanToluen C7Hg — 95 72 110,6 356 320,6 40,8 — 1,68Voda HaO 0,0 332,4 99,6 2257 374,15 221,3 315 4,18

152

35 Molární hm otnosti, norm ální hustoty a m ěrné plynové konstanty plynů

M m - molární hmotnost; gn - hustota při teplotě 0 °C a tlaku 105 Pa; r - měrná plynová konstanta, r = RmIMm (Rm - 8,314 4 J . m o l'* . K~i)

Látka VzorecM m gn r

g . mol-1 kg . m-3 kj . kg~> . K -1

Acetylen CaHa 26,04 1,147 0,319 3Amoniak n h 3 17,03 0,750 0,488 2Argon Ar 39,95 1,759 0,208 2Bromovodík HBr 80,92 3,563 0,102 7Butan C4H10 58,12 2,559 0,143 2Difluordichlormethan CF2CI3 120,91 5,324 0,068 8Dimethylether C2HeO 46,07 2,028 0,180 4Dusík N 2 28,01 1,234 0,296 7Ethan C2H« 30,07 1,24 0,276 5Ethen C2H4 28,05 1,235 0,296 4Fluor f 2 38,00 1,673 0,218 7Fosfan (fosforovodík) PHs 34,00 1,479 0,244 5Helium He 4,00 0,176 2 2,078 6Chlor CI2 70,91 3,12 0,117 3Chlorovodík HC1 36,46 1,605 0,228 0Jodovodík HI 127,91 5,632 0,065 0Krypton Kr 83,80 3,690 0,099 2Kyslík O2 32,00 1,409 0,259 8Methan c h 4 16,04 0,707 0,518 4Methylamin c h 5n 31,06 1,37 0,267 7Methylfluorid c h 3f 34,03 1,499 0,244 3Methylchlorid c h 3q 50,49 2,277 0,164 8Neon Ne . 20,18 0,888 0,412 0Oxid dusnatý NO 30,01 1,323 0,277 1Oxid dusný N 2O 44,01 1,938 0,188 9Oxid siřičitý SOa 64,06 2,820 0,129 8Oxid uhelnatý CO 28,01 1,234 0,296 9Oxid uhličitý co2 44,01 1,951 0,188 8Ozon o3 48,00 2,114 0,173 4Propan CsHg 44,10 1,942 0,188 8Propen CsHo 42,08 1,853 0,197 6Sulfan (sirovodík) HaS 34,08 1,501 0,244 7Vodík Ha 2,02 0,008 895 4,116 0Vzduch — 28,96 1,275 9 0,287 0Xenon Xe 131,30 5,78 0,063 3

Plyny

153

36 Tepelné konstanty plynů

h - teplota tání při 105 Pa; řv - teplota varu při tlaku 105 Pa; fk - kritická teplota; p k - kritický tlak; ok - hustota v kritickém stavu; cp - mérná tepelná kapacita při stálém tlaku při teplotě 15 °C; cPlcv - Poissonova konstanta; »/o - dynamická viskozita při 0 °C; ¿o - tepelná vodivost při 0 °C

Látka Vzorectt°c

ty"X

ík°C

p k ß k Cp cv no ¿010» pa kg.m "3 kJ.kg-1.K _1 cv 10~®Pa.s lO -sW .m -í.K -1

Acetylen C2H2 —81 —83,8*) 36,3 62,42 231 1,604 1,26 9,35 —Amoniak NH3 —77,7 —33,35 132,35 112,77 235 2,190 1,310 9,18 21,8Argon Ar — 189,2 — 185,7 -122 ,44 48,64 530,8 0,525 1,668 20,96 16,24Dusík N j —209,86 — 195,8 — 146,9 33,98 311 1,037 1,404 17,07 23,78Ethan C2He — 183,3 —88,6 32,27 48,84 203 1,616 1,22 8,48 18,0Ethen C 2H4 — 169 — 103,9 9,9 51,17 227 1,504 1,225 9,07 16,54Chlor Cis — 101 —34,6 144 77,11 573 0,481 1,355 12,97 7,2Chlorovodík HC1 — 112 — 85,1 51,4 88,58 423 0,812 1,41 13,85 —Kyslík O2 —218,4 — 182,96 — 118,38 50,80 410 0,912 1,401 18,9 23,86Methan CH 4 — 182 — 154 —82,1 46,41 162 2,212 1,31 10,26 30,14Oxid dusnatý NO — 163,6 — 151,8 —92,9 65,46 520 0,975 M 17,8 19,26Oxid dusný N 2O — 90,8 — 88,5 36,5 72,60 459 0,893 1,303 13,5 14,78Oxid siřičitý SO2 —72,7 — 10,0 157,5 78,82 524 0,635 1,29 11,58 —Oxid uhelnatý CO — 199 — 191 — 140,2 34,96 301 1,038 1,404 16,6 22,69Oxid uhličitý C0a —56,6 — 78,5 31,04 73,81 468 0,833 1,304 13,9 13,90Sulfan (sirovodík) H2S —85,5 —60,7 100,4 90,08 348,8 1,060 1,32 11,66 12,0Vodík h 2 —259,14 —252,9 —239,92 12,97 31,02 14,189 1,41 8,35 174,2Vzduch (bez CO2) -- — 193 — 140,7 38,50 1,005 1,40 17,1 24,28

*) Sublimuje.

I

37 Rozpustnost plynů ve vodě za norm álního tlaku

mr - hmotnost látky, která se rozpustí ve 100 g vody při tlaku 1,013 . 105 Pa; t - teplota

Plyny

38 Střední volná dráha molekul a jiné konstanty plynů

r] - dynamická viskozita; d - průměr molekuly; A - střední volná dráha molekul; z - počet srážek za jednotku času

při 0°C a 1,1013 . 105 Pa

Plyn V d A z10-« P a . s nra nm 109 s-1

Argon Ar 20,96 0,368 6,2 6,1Dusík N* 17,07 0,378 5,9 7,8Ethen CaH4 9,07 0,502 3,3 13,7Helium He 18,73 0,218 17,5 6,9Kyslík Oa 18,9 0,364 6,3 6,7Methan c h 4 10,26 0,418 4,8 12,6Oxid dusný NaO 13,5 0,470 3,8 9,5Oxid uhelnatý CO 16,6 0,378 5,9 7,8Oxid uhličitý COa 13,9 0,466 3,9 9,4Vodík Ha 8,35 0,274 11,1 15,3

t^ C 0 20 50

Plynm,

Acetylen CaHa 0,200 0,117 _Amoniak NHs 89,5 52,9 23,5Dusík Na 0,002 94 0,001 90 0,001 22Ethan CaH« 0,013 2 0,006 20 0,002 94Ethen CaH4 0,028 1 0,014 9 0,001 18 (30 °C)Helium He — 0,000 174 0,000 169Chlor Cla 1,46 0,729 0,393Chlorovodík HC1 84,5 72,1 59,6Kyslík Oa 0,006 95 0,004 34 0,002 66Methan CH4 0,003 95 0,002 32 0,001 36Oxid dusnatý NO 0,009 83 0,006 17 0,003 76Oxid uhelnatý CO 0,004 40 0,002 84 0,001 8Oxid uhličitý COa 0,335 0,169 0,076 1Oxid siřičitý SOa 22,83 11,28 5,41 (40 °C)Sulfan (sirovodík) HaS 0,707 0,385 0,188Vodík Ha 0,000 192 0,000 160 0,000 129

155

39 Střední kvadratická rychlost pohybu molekul plynů

í-tep lo ta ; T - termodynamická teplota; R„, - molární plynová konstanta; Rm = 8,314 4 ] . m ol'1 K ! ; Mm - molární hmotnost (kg . mol l); - střední kvadratická (efektivní) rychlost pohybu molekul plynu; v - průměrná rychlost pohybu molekul plynu; w - nejpravděpodobnější rychlost pohybu molekul plynu,

v ■■

w

H/53 RmT

= y i « 0 ,8 1 6 vk,

-V83t í

Plyny

t“sc — 100 0 100 300 500 1 000

Plynv*

m . s~l

Dusík N2 394 493 577 715 828 1 065Helium He 1 041 1 305 1 527 1 892 2 192 2 828Chlor Cl2 248 310 363 449 521 669Kyslík o 2 369 461 539 667 774 995Oxid uhelnatý CO 394 493 577 715 828 1 065Oxid uhličitý C 0 2 314 393 460 570 660 849Ozon o 3 302 377 441 546 634 814Vodík h 2 1 471 1 839 2152 2 666 3 090 3 970Vzduch — 388 485 567 703 815 1047Xenon Xe 182 228 267 331 383 492

156

40 Vzduch

a) Hustota suchého vzduchuHustota suchého vzduchu q při tlaku p a teplotě t se určí z výrazu

g== .eo... jp_ .l + yt po

oo = 1,276 kg . m -3; p0 = 105 Pa; y = 0,003 66 K "1

b) Složeni atmosférického vzduchu<p - objemový zlomek; w - hmotnostní zlomek

Plyn Ní o 2 Ar CO* H j Ne He Kr X ,

9%

78,03 20,99 0,933 0,030 0,000 05 0,001 8 0,000 5 0,000 1 0,000 009

tu%~

75,47 23,20 1,28 0,046 0,001 0,001 2 0,000 07 0,000 3 0,000 04

Plyny

Pravá část tabulky slouží k informativnímu zjištění nadmořské výšky ze změřeného tlaku. Tabulka vychází z předpokladu, že tlak u mořské hladiny je 1 000 hPa. Je-li tlak vzduchu u mořské hladiny v obvyklých mezích, nebudou odchylky z tabulek odečtené výšky zpravidla větší než 2 % . Odpovídající přibližnou výšku najdeme lineární interpolací.

h P t É? P hm hPa * č kg . m-3 hPa m

0 1 000 15,00 1,210 1 000 0100 988,2 14,35 1,198 950 431200 976,5 13,70 1,184 900 880500 942,1 11,75 1,153 850 1 349

1 000 886,9 8,50 1,098 800 1 8421 500 834,6 5,25 1,045 750 2 3592 000 784,5 2,00 0,994 700 2 9072 500 737,1 — 1,25 0,945 650 3 4873 000 691,8 —4,50 0,898 600 4 1043 500 649,0 — 7,75 0,852 550 4 7644000 608,2 — 11,00 0,809 500 5 4754 500 569,7 — 14,25 0,770 450 6 2475 000 533,0 — 17,50 0,727 400 7 0906 000 465,6 —24,00 0,651 350 8 0247 000 405,1 —30,50 0,582 300 9 0738 000 351,1 — 37,00 0,518 250 10 2749 000

10 000303,3260,7

— 43,50 — 50,00

0,4600,407

200 11 686

11 000 223,2 — 56,50 0,359 -

c) Tlak, teplota a hustota vzduchu v různých výškáchh - nadmořská výška; p - tlak; t - teplota; q - hustota vzduchu při tlaku p a teplotě t

V levé části tabulky je uvedena závislost těchto veličin na nadmořské výšce s tím, že ve výšce 0 m n. m. je t = 15 °C, p = p o — 105 Pa. Pokles teploty s výškou se považuje až do výše 11 km za stálý (dtjdh = = —0,006 5 K . m -1). Pak platí (T0 = 273,15 K):

, dř h \5'225 P ~ p0 \ + ďh - T0 + t)

157

d) Redukce tlaku vzduchu na mořskou hladinu

Plyny

h - nadmořská výška; t - teplota; p - měřený tlak; po - tlak ve výšce 0 m n. m.; g - tíhové zrychlení;

T - termodynamická teplota; r - měrná plynová konstanta vzduchu ( r = ) , r = 287 J . kg-1 . K '1\

Tlak vzduchu po ve výšce 0 m n. m. při dané teplotě určíme z výrazugh

po — p{ 1 + £)> kde k = e rT — 1.Příklad: Ve výšce 420 m při teplotě 20 °C je tlak 950 hPa. Příslušný tlak při mořské hladině při téže teplotě

je po = 950 (1 + 0,050 2) hPa = 998 hPa.

tX " — 30 — 20 — 10 0 10 20 30 40

hm

hW

20 2,8 2,7 2,6 2,5 2,4 2,3 2,3 2,240 5,6 5,4 5,2 5,0 4,8 4,7 4,5 4,460 8,5 8,1 7,9 7,6 7,3 7,0 6,8 6,6

80 11,3 10,9 10,5 10,1 9,7 9,4 9,0 8,7100 14,1 13,6 13,1 12,6 12,1 11,7 11,3 10,9120 17,0 16,4 15,8 15,2 14,6 14,1 13,6 13,1

140 19,9 19,1 18,4 17,7 17,0 16,5 15,9 15,4160 22,8 21,9 21,1 20,3 19,5 18,8 18,1 17,6180 25,7 24,7 23,7 22,8 21,9 21,2 20,4 19,9

200 28,6 27,4 26,4 25,4 24,4 23,6 22,7 22,1220 31,5 30,2 29,1 28,0 26,9 26,0 25,0 24,4240 34,4 33,0 31,7 30,6 29,4 28,4 27,3 26,6

260 37,3 35,7 34,4 33,1 31,9 30,8 29,6 28,9280 40,2 38,5 37,1 35,7 34,4 33,2 32,0 31,1300 43,1 41,3 39,7 38,3 36,9 35,6 34,4 33,4

320 46,0 44,1 42,4 40,9 39,4 38,0 36,7 35,7340 49,0 47,0 45,1 43,5 41,9 40,4 39,1 37,9360 51,9 49,8 47,9 46,1 44,4 41,8 41,4 40,2

380 54,8 52,6 50,6 48,7 47,0 45,3 43,7 42,4400 57,8 55,5 53,3 51,3 49,5 47,7 46,1 44,7420 60,8 58,4 56,0 53,9 52,0 50,2 48,5 47,0

440 63,8 61,2 58,8 56,6 54,6 52,6 50,8 49,3460 66,8 64,1 61,5 59,2 57,1 55,1 53,2 51,5480 69,8 67,0 64,3 61,8 59,6 57,5 55,5 53,8

500 72,8 69,8 67,1 64,5 62,2 60,0 57,9 56,1

158

v - rychlost šíření zvuku. Není-li uvedena teplota, jde o rychlost při běžných teplotách (okolo 20 °C).

41 Rychlost šíření zvuku v různých látkách

Látkav

m . s-1

Oxid uhličitý 260Kyslík 317Vzduch 0 °C 331Dusík 336Vzduch 20 °C 343Vodní pára 405Svítiplyn 453Helium 971Vodík 1 270Diethylether 1 020Benzín 1 170Methanol 1 240Rtuť 1 400Voda 4 °C 1 400Voda 13 °C 1 410Voda 25 °C 1 500

Látkav

m . s-1

Mořská voda 1 500Kaučuk 40Korek 5u0Olovo 1 300Ebonit 1 570Beton 1 700Stříbro 2 700Platina 2 800Led 3 200Mosaz 3 400Dřevo bukové, dubové 3 400Méd 3 500Cihly 3 600Ocel 5 000Hliník 5 100Sklo 5 200

Závislost rychlosti šíření zvuku ve vzduchu na teplotě

Zvuk

159

42 Přehled hladin akustického tlaku

L - hladina akustického tlaku; p - akustický tlak; po - prahový akustický tlak, po = 2 . 10~5 Pa;

L = 20 log —Po

LdB

Druh zvuku

0 práh slyšení10 šumění listů při slabém větru20 klidná zahrada30 šepot, velmi tichý byt a velmi tichá ulice

30—35 relativní dcho v obsazeném hledišti kina (divadla)40 malý šum v bytě

40—60 obvyklá mluva, živá ulice40—70 hluk v kancelářích a obchodech40—80 reprodukovaná hudba v uzavřené místností50—80 hluk v autech, tramvajích a železničních vozech

70 strojovna, hlučný hostinec, živější ulice, potlesk v sále80 velmi silná reprodukovaná hudba, velmi živé ulice, podzemní dráha

20—80 velký orchestr80— 100 hluk v kabině letadla

100 nýtování, nejsilnější signál auta ve vzdálenosti 7 m, motocykl bez tlumiče110 kovárna kotlů (pneumatická kladiva)120 hluk letadla ve vzdálenosti asi 20 metrů130 práh bolesti

Zvuk43 Tem perované ladění

/ - kmitočet; a1 ^ 440,00 Hz

Oktáva Ca Ci C c c1 ca c3 c4

Tón /Hz

c 16,35 32,70 65,41 130,81 261,62 523,25 1 046,50 2 093,00cis, des 17,32 34,64 69,29 138,59 277,18 554,37 1 108,73 2 217,46d 18,35 36,71 73,42 146,84 293,67 587,33 1 174,66 2 349,31dis, es 19,45 38,89 77,78 155,56 311,13 622,25 1 244,51 2 489,01e 20,60 41,20 82,40 164,81 329,63 659,25 1 318,51 2 637,02f 21,83 43,65 87,31 174,61 349,23 698,46 1 396,91 2 793,82fis, ges 23,13 46,25 92,50 185,00 369,99 739,98 1 479,98 2 959,95g 24,50 49,00 98,00 196,00 392,00 783,99 1 567,98 3 135,95gis, as 25,96 51,92 103,83 207,65 415,30 830,61 1 661,22 3 322,43a 27,50 55,00 110,00 220,00 440,00 880,00 1 760,00 3 520,00ais, b 29,14 58,27 116,54 233,08 466,16 932,33 1 864,65 3 729,30h 30,87 61,74 123,47 246,94 493,88 987,77 1 975,53 3 951,06

160

44 Součinitelé smykového třen í

fo - součinitel smykového třem, začíná-li pohyb z klidu; / - součinitel smykového tření v pohybu

Látka /o /

Ocel na oceli, suchá 0,15 0,10Ocel na bronzi, suchá 0,18 0,16Ocel na bronzi, dobře mazáno 0,1 0,01Ocel na dřevě (průměrně) 0,55 0,35Dřevo na dřevě (průměrně) 0,65 0,30Kůže na kovu 0,60 0,25Kožený řemen na litině 0,56 0,28Kožený řemen na dřevě 0,47 0,27Ocel na ledě — 0,027Dřevo na ledě nebo sněhu — 0,035Pryž (pneumatika) na náledí 0,1—0,2 —Pryž na mokrém asfaltu 0,2—0,5 —Pryž na suchém asfaltu 0,55 —Pryž na dlažbě (velké kostky) 0,6 —Pryž na dlažbě (malé kostky) 0,6—0,7 —Pryž na betonu 0,7—0,8 —

45 Ramena valivého odporu

Ft - síla působící proti pohybu; r - poloměr kola; F n - tlaková síla kola na podložku; £ - rameno valivého odporu

r F t = f F n

Látkaí

mm

Tvrdé dřevo na tvrdém dřevu 0,8Měkká ocel na měkké oceli 0,5Tvrdá ocel na tvrdé oceli 0,03Kalené kuličky na kalených kroužcích 0,01Pryžová kola na kamenné dlažbě 2,5Pryžová kola na válcované silnici 2Pryžová kola na asfaltu 1,6Ocelová kola na kolejnicích 0,5Kolo s ocelovými obručemi na asfaltové vozovce 5Kolo na dlážděné vozovce 10Kolo na štěrkové vozovce 15— 60

Tření

161

46 Měrný elektrický odpor vodičů

qo - měrný elektrický odpor vodičů při 0 °C; a - teplotní součinitel elektrického odporuMěrný elektrický odpor v ¡xQ . m = Q.. mm2 . m_1 má stejnou číselnou hodnotu jako odpor drátu délky

1 m a průřezu 1 mm2. U kovů, jejichž a ^ 0,004 K “1 se zvětšuje odpor o 10 % při zvětšení teploty o 25 °C.

Elektřina a magnetismus

Látkaeo a

ixíl . m 1 0 -3 K - i

Bronz 0,17 2Cekas (15 % Fe, 65 % Ni, 20 % Cr) 1,13 0,4Q n 0,17 4,7Hliník 0,027 4,0Hořčík 0,044 4,0Chróranikl (20 % Cr, 80 % Ni) 1,1 0,18Iridium 0,053 4,1Kadmium 0,073 4,0Kanthal (72 % Fe, 5 % AI, 20 % Cr, 3 % Co) 1,4 0,06Kobalt 0,06 6,0Konstantan 0,50 0,05Manganin (86 % Cu, 12 % Mn, 2 % Ni) 0,42 0,02Měď 0,018 4,0Molybden 0,05 4,7Mosaz 0,08 1,5Nikclin (54 % Cu, 26 % Ni, 20 % Zn) 0,38—0,42 0,18Nikl 0,07 5,8Olovo 0,21 3,9Platina 0,105 3,6Platinrhodium (10 % Rh) 0,2 1,7Rtuť 0,958 0,9Stříbro 0,016 3,8Tantal 0,14 3,2Uhlíkové vlákno 60 —0 ,2 ------ 0,8Wolfram 0,053 4,4Zinek 0,06 3,8Ocel měkká 0,1— 0,2 5Litina 0,6— 1,5 1,9Transformátorový plech (4 % Si) 0,5 0,9

162

er - poměrná permitívita; q-měrný elektrický odpor; Ep-elektrická pevnost (1 kV . mm*1 = 10® V . m_1)

47 Elektrické vlastnosti izolantů

Látka 6re Ev

n . m k V . mm-1

Bakelit 4 ,8 -5 ,3 10» 10Dusík 1,000 61 — —Ebonit 2 ,5 -3 ,5 1013— 10« 35Ethanol 24 — —Fíbr 3 10«— 10« 2Glycerol 43 — máloJantar 2,8 > 1 0 « 6Kalafuna 2,6 10« 7Keramika umělá až 100 1010— 1013 10Kyslík 1,00 55 — —Methanol 34 — —Mikanit 4,5—6 10« 30Mramor 8,5 107— 10» 2Olej olivový 3,1 — 17Olej transformátorový 2,2 — 25Parafín 2,0— 2,2 10«— 10« 30Papír parafinovaný 3,5—6 10« 30Papír tvrzený 3 ,5 - 5 1010— 1012 25Petrolej 2,1 — —Polystyren (trolitul) 2,3—2,5 > 1 0 « 50Polyvinylchlorid 3 ,4 -4 ,0 > 1 0 « 45Porcelán 6 10« 30Sklo 5 — 16 1011— 10« 15Slída 5 — 8 10«— 10« 70Terpentýn 2 ,1 -2 ,3 — 16Voda 81,6 — —Vodík 1,000 26 — —Vzduch (suchý) 1,000 60 — 3


163

Pom ěrné perm itivity (při 18 °C a 105 Pa)

Pevné látky Bt Kapaliny £r Plyny Er

Břidlice 6 ,6— 7,4 Benzen 2,3 Dusík 1,000 61Dřevo (suché) 2 — 8 Ethanol 24 Amoniak 1,007 2Gutaperča 4,4 Ethylether 4,4 Ethylen 1,001 45Kamenná sůl 5,6 Glycerol 43 Ethylchlorid 1,014 7Kaučuk 2,2— 3 Chloroform 5,2 Helium 1,000 07Křemen 4,4 Kyselina mravenčí 58 Chlorovodík 1,003Mastek 4 ,1 - 6 ,4 Methanol 34 Kyslík 1,000 55Mycalex 8,0 Nitrobenzen 36,4 Methan 1,000 94Papír 2— 2,5 Petrolej 2,0 Oxid siřičitý 1,009 5Parafín 2 Ricínový olej 4,6 Oxid uhelnatý 1,000 69Porcelán 6 Sirouhlík 2,6 Oxid uhličitý 1,000 96Sklo obyčejné 5 — 7 Terpentýnový olej 2,3 Vodík 1,000 26Skla optickáSlídaŠelak

až 106 — 83— 3,7

Voda 81 Vzduch 1,000 60

48 Term oelektrom otorická napětí

Elektromotorická napětí Ue termočlánků, jejichž druhý vodič je platinový, při teplotách stykových míst 0°C a 100 °C. (Znaménko + značí, že u teplejšího spoje má platina vyšší potenciál.) Elektromotorické napětí termočlánku ze dvou různých vodičů při teplotách spojů 0 °Ca 100 °C dostaneme jako rozdíl hodnot uvedených v tabulce.

Příklad: Termočlánek Fe-Cu: 1,8 mV - 0,75 mV = 1,05 mV; termočlánek Fe - konstantan: 1,8 mV —- ( - 3 , 4 mV) = 5,2 mV.


Kov mV KovUemV Kov

Ue mV

Křemík + 4 5 Rhodium + 0,65 Grafit + 0,2Antimon + 4,7 Iridium + 0 ,6 5 Rtuť 0,0Železo + 1,8 Manganin + 0 ,6 Platina 0,0Molybden + 1,2 Tantal + 0 ,5 Sodík — 0,2Kadmium + 0,9 Cesium + 0 ,5 Palladium - 0 , 3Wolfram + 0,8 Cín + 0,45 Draslík - 0 , 9Méd + 0,75 Olovo + 0,45 Nikl - 1 , 5Zlato + 0,7 Hořčík + 0 ,4 Kobalt - 1 , 6Stříbro + 0,7 Hliník + 0,4 Konstantan - 3 , 4Zinek + 0,7 Uhlík + 0 ,3 Bismut - 7 , 0

164

49 Polovodivé prvky a látky

ít - teplota tání; //n - pohyblivost elektronů; //p - pohyblivost děr; Ee - šířka zakázaného pásu při 20 °C

Prvky nebo sloučeniny Skupina

řt°C

/¿a /*P E seVcm2 . V- 1 . s~l cm2 . V- 1 . s-1

Si 1 420 1 800 600 1,1Ge IV 936 3 800 1 800 0,65C 3 500 1 800 1 200 5,2

GaP 1 4o7 2 500 1 000 2,3GaAs AIUBV i 240 7 000 400 1,4InSb 523 80 000 4 000 0,17

ZnS 1 850 165 3,7ZnSe 1 000 100 2,6CdS AnBVI 1 475 200 20 2,4CdSe 1 250 200 1,8CdTc 1 040 600 100 1,4


50 Elektrochem ické ekvivalenty

A - elektrochemický ekvivalent; m - hmotnost vyloučené látky; Q - prošlý náboj; A = —

Látka IonA

Látka IonA

10-« k g . c -i ÍO-« kg . c -i

Baryum Ba2+ 0,712 Rtuť Hg+ 2,079Bismut Bi3+ 0,722 Sodík Na+ 0,233Cín Sn2+ 0,615 Stříbro Ag+ 1,118Cín Sn4+ 0,308 Vápník Ca2+ 0,208Draslík K+ 0,405 Vodík H+ 0,010Hliník AP+ 0,093 Zinek Zn2+ 0,339Hořčík Mg2+ 0,126 Zlato Au3+ 0,681Chrom C r3+ 0,180 Železo Fe2t 0,289Mangan Mn2+ 0,285 Železo Fe3+ 0,193Mangan Mn3+ 0,190 Brom B r- 0,828M čd Cu2+ 0,329 Fluor F " 0,197Nikl Ni2+ 0,304 Chlor c i - 0,367Nikl Nis+ 0,203 Kyslík o 2- 0,083Olovo Pb2+ 1,074Platina Pť>+ 0,505

165

Proud 1 A vyloučí nebo rozloží

Zadobu

mg cm3 při 0 °C a 1,013 Pa

Ag Cu H zO O2 4" 2 H2 O2 Ha

1 s1 min 1 h 1 d

1,1 &8 67,08

4 024,8 96 595,2

0,329 4 19,764

I 185,84 28 460,2

0,093 34 5,600 4

336,026 8 064,62

0,174 2 10,454

627,26 15 054,2

0,058 02 3,481 3

208,88 5 013,1

0,116 22 6,973 0

418,38 10 041,2

51 Standardní elektrodové potenciály při 25 °C vztahující se ke standardní vodíkové elektrodě


Elektroda E°V

Elektrody prvního druhuL i+ | Li — 3,040 1K + | K — 2,931Ba2+ j Ba — 2,912Ca2+ | Ca — 2,868Na+ | Na — 2,71Mg2+ | Mg — 2,372Bc2+ | Be — 1,847Al3+ | AI — 1,662M n2+ | Mn — 1,185C r2+ | Cr — 0,913Zn2+ | Zn — 0,761 8C r3+ | Cr — 0,744F e2+ | Fe — 0,447Cd2+ | Cd — 0,403 0Co2+ | Co — 0,28Ni2+ | Ni — 0,257Sn2+ | Sn — 0,137 5Pb2+ i Pb — 0,126 2H + |Ha(g) 0,000 0Cu2+ | Cu 0,341 9O H - | Oj (g) 0,401I “ | I2 0,535 5Hg|+ | Hg 0,797 3Ag+ | Ag 0,799 6Hg2+ | Hg 0,851B r- | Br (1) 1,066a - i c u f e ) 1,358 27Au3+ | Au 1,498F - 1 Fa (g) 2,866

Elektroda E°V

E lektrod y druhého druhuSOJ - | PbSOj(s), Pb — 0,358 8I - | Agl(s), Ag — 0,152 24I - | Hgala(s), Hg — 0,040 5B r- | AgBr(s), Ag 0,071 33O H - | HgO(s), Hg 0,123B r- | Hg2Br2(s), Hg 0,139 23C l- | AgCl(s), Ag 0,222 33C l- | HgaClaís), Hg 0,268 08SO4- | HgaS0 4 (s), Hg 0,612 5S0|-|PbS04(s), 1,691 3

PbOa-Pb(s)O xidačně redukční elektrodyC r3+ | Cr2+ — 0,407S4OŽ- | SaO^- 0,08Sn4+ | Sn2+ 0,151B rO - | B r- 0,761Fe3f | Fe2+ 0,771Hg2- | Hg|+ 0,920CraO f- |Cr3)- 1,232ClOj | c i - 1,389CIO5 i c i - 1,451P b 0 2 | Pb2+ 1,455MnOí | M n2+ 1,507Mn3+ | Mn2+ 1,541 5Ce4+ | Ce3+ 1,61HaOa | HaO 1,776S2O2- | s o | - 2,010P oten ciál srovn ávací kalomelovéelektrody1 molální KC1 0,280 01 molární KC1 0,280 10,1 molární KC1 0,333 7nasycený KC1 0,241 2nasycený NaCl 0,236 0

166

52 Měrný elektrický odpor vodných roztoků při 18 °C

\v - hmotnostní zlomek (hmotnost bezvodé soli/hmotnost výsledného roztoku); q - měrný elektrický odpor při teplotě 18 °C

Látka NHUCl NaCl ZnSOj C uSOí KOH NaOH H 2SO 1

w"%

_6_ÍJ . m

5 0,109 0,149 0,524 0,529 0,058 0,051 0,04810 0,056 0,083 0,312 0,313 0,032 0,032 0,02615 0,039 0,061 0,241 0,238 0,024 0,029 0,01820 0,030 0,051 0,213 — 0,020 0,030 0,01525 0,025 0,047 0,208 — 0,019 0,037 0,014

Qn,o = 2,27 . 105 £1 . m (měrný elektrický odpor čisté vody při 18 °C)

53 Závislost magnetické indukce a poměrné perm eability na intenzitě magnetického pole

H - intenzita magnetického pole; B - magnetická indukce; //r - poměrná permeabilita; fio - permeabilita vakua, ¡aq — At. . 10-7 H . m _i

Magnetická indukce ve feromagnetickém prostředí není lineární funkcí elektrického proudu, který pole vytváří. Místo proudu se uvádí jako nezávisle proměnná veličina intenzita magnetického pole, která se např. u dlouhého solenoidu v homogenním prostředí určí z výrazu H — N I// (N - celkový počet závitů, / - proud, / - délka solenoidu). Tabulka uvádí příklad závislosti B na H pro některé látky.

B^ ~ fioH *

H A . m -1

Fe Ni Co Heuslerova slitina*)

B~T flr

BT fii

BT /‘ r

BT (ir

80 0,580 5 800 0,065 650 __ — — —120 0,750 5 000 0,135 900 — — — —200 0,920 3 680 0,280 1 120 0,021 84 0,012 48

400 1,100 2 200 0,433 865 0,057 114 0,040 80800 1,230 1 230 0,494 494 0,170 170 0,072 72

1 600 1,345 673 0,540 270 0,340 170 0,107 54

4 000 1,485 297 0,585 117 0,596 119 0,154 318 000 1,600 160 0,620 62 0,784 78 0,197 20

12 000 1,686 112 0,640 43 0,900 60 0,225 15

24 000 1,840 61,3 0,670 22 — — 0,280 9,340 000 1,920 38,4 0,691 14 — — 0,312 6,280 000 2,000 20,0 0,737 7,4 — — 0,367 3,7

160 000 2,106 10,5 0,840 4,2 — — 0,471 2,4240 000 2,210 7,4 0,938 3,1 — — 0,575 1,9320 000 2,313 5,8 1,040 2,6 — — 0,678 1,7

400 000 2,412 4,8 — — — — 0,779 1,6480 000 2,513 4,2 — — — — 0,879 1,5


*) 75,5 % Cu + 14,25 % Mn + 10,25 % AI.

167

fiT - poměrná permeabilita; xm - magnetická susceptibilita; při t — 20 °C, u plynů za normálních pod- mínek _ , ,

f i r — 1 + Xm

54 Magnetické perm eability neferomagnetických látek

Látka Kraio-«

Látka y.m1 0 ^

Látka y.mT(F»

Argon — 0,011 Kadmium — 20 Rtuť — 31Baryum + 7,1 Kyslík + 1,85 Síra — 12Benzen — 8,0 Lithium + 3,4 Stříbro — 26Bismut — 170 Mangan + 810 Tantal + 180Cín + 2,3 Méd - 8,9 Vápník + 22Dusík — 0,007 Olovo + 0,82 Voda — 9Hliník + 22 Oxid dusný — 0,01 Vodík — 0,002Chrom + 3 2 0 Oxid dusnatý — 17 Vzduch + 0,38Iridium + 40 Platina + 280 Zinek - 14

Zlato - 37

55 Přehled televizních pásem

K - číslo kanálu; /o - nosný kmitočet obrazu; /z - nosný kmitočet zvuku. Ve světě se užívá celá řada různých norem. Uvádíme pouze normu D, užívanou v zemích sdružených v O IRT a normu B, užívanou v zemích sdružených v CCIR.Norma D: Bulharsko, Čína, ČSSR, Madarsko, Mongolsko, Polsko, Rumunsko, SSSR.Norma B: Austrálie, Dánsko, Holandsko, Itálie, Jugoslávie, Norsko, NDR, NSR, Rakousko, Švédsko,

Švýcarsko, Španělsko, Turecko a další.Kmitočtový rozsah kanálu začíná u obou norem 1,25 MHz pod /o a končí 0,25 MHz nad /2, např. u 2. kanálu O IR T je (58—66) MHz. Šířka kanálu je u normy D 8 MHz, u normy B 7 MHz.


Záření

PásmoNorma D (O IR T) Norma B (CCIR)

K /o fz K fo / iM Hz MHz MHz MHz

I — _ _ 1 41,25 46,751 49,75 56,25 2 48,25 53,752 59,25 65,75 3 55,25 60,75

— — — 4 62,25 67,75

II 3 77,25 83,75 _ _ _4 85,25 91,75 — — —5 93,25 99,75 — — —

III 6 175,25 181,75 5 175,25 180,757 183,25 189,75 6 182,25 187,758 191,25 197,75 7 189,25 194,759 199,25 205,75 8 196,25 201,75

10 207,25 213,75 9 203,25 208,7511 215,25 221,75 10 210,25 215,7512 223,25 229,75 11 217,25 222,75— — — 12 224,25 229,75

168

IV. pásmo začíná kanálem 21 (/o = 471,25 MHz). V. pásmo začíná kanálem 38 (/o = 607,25 MHz) a končí kanálem 69. Odstup mezi kanály je u obou norem 8 MHz a nosný kmitočet obrazu se určí ze vztahu:

= 463,25 + 8 . (K —20)

Nosný kmitočet zvuku je v zemích užívajících normu D 6,5 MHz nad obrazovým, v zemích s normou B jen 5,5 MHz nad obrazovým.

56 Přehled elektrom agnetického záření

/ - kmitočet; X - vlnová délka ve vzduchu A/ = c == 3 . 108 m . s_1

Název /Hz A

Technické střídavé proudy 16 — 102 18 000 km — 3 000 kmStřídavé proudy při telefonii 10* _ 104 3 000 km — 30 km

Radiové vlny 104 _ 1013 30 km — 0,03 mmDlouhé vlny 1,5 . 10» — 3 . 105 2 000 m — 1 000 mStřední vlny 0,5 . 10« — 2 . 10« 600 m — 150 mKrátké vlny 0,6 . 10’ — 2 . 107 50 m — 15 mVelmi krátké vlny 0,2 . 10« — 3 . 10« 15 m — 1 mMikrovlny 3 . 10« — 1013 1 m — 0,03 mm

Optické záření 10i2 — 3 . 101« 0,3 mm — 10 nmInfračervené záření 1012 _ 3 )g . 1Q14 0,3 mm — 790 nmViditelné záření 3,8 . 1 0 « — 7,7 . 1014 790 nm — 390 nm

Střední červená 4,6 . 1014 650 nmStřední oranž 5 . 1014 600 nmStřední žlutá 5 ,2 . 10“ 580 nmStřední zelená 5,75 . 1014 525 nmStřední modrá 6,7 . 1014 450 nmStřední fialová 7,5 . 10i4 400 nm

Ultrafialové záření 7,7 . 10»4 — 3 . 101« 400 nm — 10 nm

Rentgenové záření 3 . 101« — 3 . 1020 10 nm — 1 pmZáření gama > 1 0 18 < 3 0 0 pm

Záření

169

Mezinárodni tříděni elektromagnetických vln (1985)

Značka Označeni vln podle kmitočtu Kmitočet Označení vlny Vlnová délka

v metrech

V L F velmi nízké pod 30 kHz myriametrové nad 10 000L F nízké 30 — 300 kHz kilometrové 1 0 0 0 0 — 1 000M F střední 300 — 3 000 kHz hektometrové 1 000 — 100H F vysoké 3 000 — 30 000 kHz dekametrové 1 0 0 — 10V H F velmi vysoké 30 000 kH z— 300 MHz metrové 1 0 — 1U H F ultra vysoké 300 — 3 000 MHz decimetrové 1 — 0,1SH F superiomi 3 0 0 0 — 30 000 MHz centimetrové 0 ,1 — 0,01E H F extrémní vysoké 30 000 — 300000 MHz milimetrové 0,01 — 0,001

57 Doporučená osvětlení

E - doporučené osvědení; tabulka uvádí výběr z ČSN 36 0450 - Umělé osvětlení vnitřních prostorů, ČSN 36 0451 - Umělé osvětlení průmyslových prostorů a ČSN 36 0452 - Umělé osvětlení obytných budov.

ProstorE

Tx

Vnitřní, málo frekventované komunikace 20 _ 50Skladové prostory, hygienická zařízení apod. 50 — 100Hrubé práce, pracoviště v domácnosti 100 — 200Běžná výroba, obchodní prostory, kanceláře, učebny, ošetřovny, domácí práce apod. 200 — 500Jemné práce, křes limy, laboratoře, obrábění apod. 500 — 1 000Velmi jemné práce, napr. hodinářské, rýsovny apod. 1000 — 2 000Mimořádně jemné práce klenotnické, restaurátorské, montáž měřicích přístrojů 2 000 — 5 000Speciální výrobny a laboratoře, montáž mikroelektroniky 5 000 — 10 000Operační sály, ambulance pro speciální zákroky 10 000 20 000

58 Vlnové délky některých intenzivních čar ve spektrech

X - vlnové délky ve vzduchu při 15 °C a tlaku 1,013 . 105 Pa; f - kmitočty. Jsou uvedeny jen některé vybrané čáry, které jsou vhodné pro kalibraci spektrálních přístrojů.

X / X / X fPrvek nm THŽ Prvek nm TH z Prvek nm ŤH z

Ag 520,907 575,353 He 447,148 670,260 Mg 517,270 579,399546,549 548,360 471,314 635,894 518,362 578,178

492,193 608,919508,840Ca 422,673 709,072 501,568 597,537 Na 588,997

714,815 419,277 587,563 510,082 589,593 508,326

Cd 467,816 640,648 667,815 448,785 Ne 533,078 562,217479,992 624,397 706,520 424,200 540,056 554,953508,582 589,296

Hg 435,833 687,661 585,249 512,099643,847 465,492 546,074 548,837 594,484

614,306640,225

504,144487,877468,125Cs 455,535 657,920 576,960 519,456

459,318 652,501 579,066 517,567

K 404,414 741,086 Zn 468,020 640,369Cu 521,820 574,347 472,216 634,827

404,720 740,526H 410,174 730,679 766,491 391,010

481,054 623,018

434,047 690,497 769,898 389,280 518,199 578,360

486,132 616,506 636,235 471,061

656,278 456,680 Li 460,286 651,129670,785 446,798

Záření

171

59 Index lomu různých látek

n - index lomu dané látky vůči vzduchu; .9 - střední disperze, 9 — tiy — ne/, A - vlnová délka; ř. - řádný paprsek, m. - mimořádný paprsek

Fraunhoferovačára A B C D E F G H

&Aum

760,82 686,72 656,28 589,30 527,00 486,14 430,78 396,85

Látka n

Voda 1,329 1,330 1,331 1,333 1,335 1,337 1,341 1,343 0,006Ethanol 1,358 1,359 1,360 1,362 1,364 1,366 1,370 1,374 0,006Benzen 1,491 1,495 1,496 1,501 1,508 1,513 1,524 1,534 0,017Diethylcther 1,349 1,350 1,351 1,353 1,355 1,357 1,361 1,364 0,006Kassiový olej 1,586 1,592 1,596 1,604 1,619 1,634 1,665 1,701 0,038Sirouhlík 1,609 1,615 1,618 1,628 1,641 1,652 1,677 1,699 0,034Fluorit (kazivec) 1,431 1,432 1,432 1,434 1,436 1,437 1,440 1,442 0,005Křemenné sklo 1,454 1,456 1,457 1,459 1,461 1,464 1,468 1,471 0,007Korunové sklo 1,510 1,512 1,513 1,515 1,519 1,521 1,527 1,531 0,008

lehkéFlintové sklo 1,735 1,741 1,743 1,752 1,762 1,772 1,792 1,811 0,029

těžkéKuchyňská sůl 1,537 1,539 1,541 1,544 1,549 1,553 1,561 1,568 0,012Sylvin 1,484 1,486 1,487 1,490 1,494 1,498 1,505 1,512 0,011Kalcit ř. 1,650 1,653 1,654 1,658 1,663 1,668 1,676 1,683 0,014

m. 1,483 1,484 1,485 1,486 1,489 1,491 1,495 1,498 0,006Křemen ř. 1,539 1,541 1,542 1,544 1,547 1,550 1,554 1,558 0,008

m. 1,548 1,550 1,551 1,553 1,556 1,559 1,564 1,568 0,008

Záření

Látka rtD Látka « D Látka >tD

Vakuum 0,999 71 Led 1,31 Kanadský balzám 1,542Vodik 0,999 85 Methanol 1,329 Flintové sklo lehké 1,608Vodní pára 0,999 96 Glycerol 1,469 Korunové sklo těžké 1,615Kyslík 0,999 98 Ricínový olej 1,478 oc-monobromnaftalen 1,658Vzduch 1,000 00 Lněný olej 1,486 Diamant 2,417Dusík 1,000 01 Cedrový olej 1,505

*

172

60 Ionizační práce volných atomů

IVi - ionizační práce (ionizační energie); Wn - ionizační práce atomu vodíku; Z - protonové čísloIonizační práce je práce, kterou musíme vynaložit na odstranění elektronu z volného atomu (je větší než

výstupní práce - tab. 61 - při níž jsou atomy v krystalické struktuře látky). Číselné hodnoty ionizační práce v eV jsou shodné s číselnými hodnotami ionizačního napětí ve V.

z PrvekWiWn

PPieV Z Prvek

WtWn

WieV

_____

1

_____

H vodík 1,00 13,53 28 Ni nikl 0,56 7,632 Hc helium 1,81 24,57 29 Cu mčd 0,57 7,713 Li lithium 0,40 5,41 30 Zn zinek 0,69 9,34

4 Be beryllium 0,69 9,34 31 Ga gallium 0,44 5,955 B bor 0,61 8,30 32 Ge germanium 0,58 7,886 C uhlík 0,83 11,27 33 As arsen 0,72 9,80

7 N dusík 1,07 14,53 34 Se selen 0,72 9,758 O kyslík 1,00 13,60 35 Br brom 0,88 11,849 F fluor 1,29 17,42 36 Kr krypton 1,03 13,94

10 Ne neon 1,59 21,51 37 Rb rubidium 0,31 4,1911 Na sodík 0,38 5,14 38 Sr stroncium 0,42 5,6812 Mg hořčík 0,56 7,64 39 Y yttrium 0,49 6,60

13 AI hliník 0,44 5,95 40 Zr zirkon 0,51 6,9514 Si křemík 0,60 8,15 41 Nb niob 0,50 6,7715 P fosfor 0,78 10,60 47 Ag stříbro 0,56 7,58

16 S síra 0,76 10,34 48 Cd kadmium 0,66 8,9317 Cl chlor 0,96 13,00 49 In indium 0,43 5,8218 Ar argon 1,16 15,69 50 Sn cín 0,54 7,31

19 K draslík 0,32 4,33 51 Sb antimon 0,64 8,6020 Ca vápník 0,45 6,09 52 Te tellur 0,66 8,9321 Sc skandium 0,84 6,56 53 I jod 0,77 10,42

22 Ti titan 0,50 6,83 54 Xe xenon 0,89 12,04

23 V vanad 0,50 6,74 55 Cs cesium 0,29 3,9224 Cr chrom 0,50 6,76 56 Ba baryum 0,39 5,21

25 Mn mangan 0,55 7,43 79 Au zlato 0,68 9,20

26 Fe železo 0,58 7,90 80 Hg rtuť 0,77 10,4227 Co kobalt 0,58 7,83 81 TI thallium 0,45 6,09 Záření

173

61 Výstupní práce elektronů z kovů; mezní vlnové délky fotoelektrického jevu

IFV - výstupní práce; Áo - mezní vlnová délka fotoelektrického jevu; h - Planckova konstanta; c - rychlosthc

siření světla ve vakuuj / - kmitočet; ¿o = *7^ — > hc = 1,99 . 10~25 J . m = 1,24 . 10"6 eV . mw v

Záření

PrvekWyeV

Ao /nm TH z

Cs cesium 1,93 642 476Rb rubidium 2,13 582 515K draslík 2,24 554 541Na sodík 2,28 544 551Li lithium 2,36 525 571Ba baryum 2,52 492 609Ce cer 2,84 437 686Ca vápník 2,96 419 715Tli thorium 3,35 370 810n thallium 3,68 337 889Mg huičík 3,69 336 892Zr /irkonium 3,84 323 928Mu mangan 3,95 314 954Ti titan 3,95 314 954Nb niob 3,99 311 964Pb olovo 4,02 308 973Sb antimon 4,05 306 979Ga gallium 4,12 301 996T a tantal 4,12 301 996Co kobalt 4,18 297 1 009Mo molybden 4,24 292 1 026Sn cín 4,38 283 1 059Bi bismut 4,44 279 1 0 7 4Cr chrom 4,45 279 1 074Cu mčd 4,48 277 108 2Hg rtuť 4,53 274 1 0 9 4W wolfram 4,54 273 1 098Ag stříbro 4,70 264 1 135Se selen 4,72 263 1 140Te tellur 4,72 263 1 140Au zlato 4,76 260 1 153Fe železo 4,77 260 1 153Pd palladium 4,97 250 1 199Ni nikl 5,00 248 1 208As arsen 5,11 243 1233Pt platina 5,36 231 1297

174

62 Závislost hm otnosti částice, hm otnosti a energie elektronu na rychlosti

m - hmotnost částice; wo - klidová hmotnost částice; me - hmotnost elektronu; moe - klidová hmotnost elektronu, woe = 9,109 . 10-31 kg; v - rychlost; c - rychlost šíření světla, c = 2,998 . 108 m . s_1; Ee - energie elektronu

m 1

"»o 1 / ¿ ž

r - i *

Ee = (me — moc) c2

Číselná hodnota energie elektronu v MeV se rovná číselné hodnotě napětí v MV, které je potřebné k urychlení elektronu na tuto energii.

v v m me Ee v v m mc E ec 106m .s-1 mo 10-3« kg MeV c 10sm .s -1 wo 10-30 kg MeV

0,001 0,30 1,000 00 0,911 0,000 000 0,90 269,8 2,29 2,089 0,6610,002 0,60 1,000 00 0,911 0,000 001 0,92 275,8 2,55 2,324 0,7930,005 1,5 1,000 01 0,911 0,000 006 0,94 281,8 2,93 2,67 0,986

0,01 3,0 1,000 05 0,911 0,000 026 0,95 284,8 3,20 2,92 1,1260,02 6,0 1,000 20 0,911 0,000 102 0,96 287,8 3,57 3,25 1,3160,05 15 1,001 25 0,912 0,000 640 0,97 290,8 4,11 3,75 1,591

0,10 30 1,005 0,915 0,002 56 0,98 293,8 5,03 4,58 2,0570,20 60 1,021 0,930 0,010 73 0,985 295,3 5,79 5,28 2,450,30 90 1,048 0,955 0,024 53 0,990 296,8 7,10 6,46 3,12

0,40 120 1,091 0,994 0,046 50 0,992 297,4 7,93 7,22 3,540,50 150 1,155 1,052 0,079 2 0,994 298,0 9,13 8,32 4,160,60 180 1,25 1,139 0,127 8 0,996 298,6 11,2 10,18 5,20

0,65 195 1,32 1,199 0,161 5 0,997 298,9 12,9 11,76 6,090,70 210 1,40 1,275 0,204 0,998 299,2 15,8 14,40 7,570,75 225 1,51 1,377 0,262 0,999 299,5 22,4 20,37 10,92

0,80 240 1,67 1,518 0,341 0,999 5 299,7 31,6 28,78 15,640,85 255 1,90 1,722 0,455 1 299,8 oo oo 00

Záření

175

63 Energie a hm otnosti fotonů

A - vlnová délka; E - energie fotonu; m - hmotnost fotonu; h - Planckova konstanta, h = 6,626 . 10~34 J . s; c - rychlost šíření světla ve vakuu, c = 2,998 . 108 m . s -1; hic — 2 ,21 . 10~42 kg . m; hc = 1,99 .

10-25 j . m; me - klidová hmotnost elektronu, me = 9,109 . 10-31 kg

AE

ěVEJ

mkg

mmi

2 000 m 6,20 . 10-1° 9,93 . 1 0 -« 1,105 . ÍO"15 1,211 . IO-15300 m 4,13 . 10-» 6 ,6 2 . IO"2* 7,37 . 1 0 -“ 8,09 . 10-1«

50 m 2,48 . 10-» 3,97 . 10-*» 4,42 . 10-*4 4,85 . 10-1“10 m 1,24 . 10-7 1 ,9 9 . IO"2« 2,21 . IO-»3 2,43 . ÍO-“

1 m 1,24 . 10-« 1,99 . IO"2« 2,21 . IO-*2 2,43 . IO-12100 mm 1,24 . ÍO-5 1,99 . IO"24 2,21 . IO -« 2,43 . IO-11

10 mm 1,24 . 10-» 1,99 . IO“2» 2,21 . 1 0 - " 2,43 . 10-1°1 mm 1,24 . IO”3 1,99 . 10-22 2,21 . IO*8» 2,43 . 10-»

100 |im 1 ,2 4 . IO"« 1,99 . 10-21 2,21 . IO"3* 2,43 . ÍO '810 ¡im 1 ,2 4 . IO-» 1,99 . IO"2» 2,21 . IO'3? 2,43 . ÍO"7

1 |xm 1,240 1,99 . 10-1® 2,21 . ÍO-3« 2,43 . 10-«100 nm 1 ,2 4 . 101 1,99 . IO -« 2,21 . 10-35 2,43 . ÍO"5

10 nm 1,24 . 102 1,99 . IO-17 2,21 . ÍO'34 2,43 . 10-»1 nm 1 ,2 4 . 10« 1,99 . 10-1« 2,21 . 10-33 2,43 . ÍO"3

100 pm 1 ,2 4 . 104 1,99 . IO -« 2,21 . 10-32 2,43 . ÍO"210 pm 1,24 . 10« 1,99 . 10-n 2,21 . 10-31 •u OJ 0 1

1 pm 1 ,2 4 . 10« 1,99 . 10-13 2,21 . 10-30 2,43

Poznámka: Foton, jehož hmotnost se rovná hmotnosti elektronu, má vlnovou dílku Ác = 2,426 . 1 0 ~12 m (tzv. Com- ptonova vlnová dílka).

Záření

64 Slunce, Zem ě, MěsícV

Slunce

Poloměr 695 550 km = 109,048 poloměrů ZeměHmotnost 1,99 . 1030 kg = 333 000 hmotností ZeměStřední hustota 1 408,9 kg . m -3 = 0,255 střední hustoty ZeměTíhové zrychlení na rovníku 274,1 m . s-2 = 27,95 tíhového zrychlení na ZemiZdánlivý střední poloměr 15' 59 ,63"Sklon rovníku k ekliptice 7° 15' 0 "Doba rotace siderická 25,4 dDoba rotace synodická 27,3 dTeplota povrchu 5 770 KZářivý výkon 3,83 . 1028 WZdánlivá magnituda — 26,8™Absolutní magnituda + 4 ,7 “Úniková rychlost na povrchu Slunce 618 km . s_1

Z em í

Rovníkový poloměr 6,38 . 108 mPoloměr koule se stejným objemem 6,37 . 108 mZploštění 0,003 37Povrch Země 5 1 0 . 108 km2Povrch souší 149 . 10« km3Povrch oceánů 361 . 108 km2Hmotnost 5,98 . 102< kgStřední hustota 5 520 kg . m “3Střední rychlost oběhu 29,77 km . s -1Úhlová rychlost rotace Země 7,27 . 10-» rad . s ' 1Úniková rychlost na povrchu Země 11,2 km . s -1

M ěsíc

Poloměr 1,74 . 10« mHmotnost 7,35 . 1022 kgStřední hustota 3 340 kg . m -3Střední vzdálenost od Země 384 400 kmNejmenší vzdálenost od Země 356 400 kmNejvětšf vzdálenost od Země 407 700 kmČíselná výstřednost trajektorie 0,055Sklon trajektorie k ekliptice 18,3°Tíhové zrychlení na rovníku 1,625 m . s -2Zdánlivý střední poloměr 15' 33"Oběžná doba siderická (vzhledem ke hvězdám) 27 d 7 h 43 min 11,5 sOběžná doba synodická (vzhledem ke Slunci) 29 d 12 h 44 min 2,8 sÚniková rychlost na povrchu Měsíce 2,38 km . s~l

Astronomie

177

65 Elementy tra jek to rií planet

a - střední vzdálenost od Slunce; e - číselná výstřednost (numerická excentricita); i - sklon roviny trajektorie k rovině ekliptiky; Q - délka výstupního uzlu; co - délka perihélia; T - siderická oběžná doba; Ts - synodická oběžná doba

Planetaa

AU ei

Oo>5

Tr

T» d

Merkur 0,387 10 0,205 63 7,004 5 48,157 9 77,227 8 0,240 85 115,88Venuše 0,723 33 0,006 78 3,394 5 76,548 1 131,365 2 0,615 21 583,92Země 1,000 00 0,016 71 — — 102,688 8 1,000 04 —Mars 1,523 69 0,093 39 1,849 8 49,444 6 335,789 7 1,880 89 779,94Jupiter 5,202 57 0,048 06 1,305 2 100,340 4 15,438 8 11,862 23 398,88Saturn 9,560 22 0,051 05 2,485 6 113,546 0 92,864 0 29,457 72 378,09Uran 19,285 39 0,046 88 0,774 2 73,994 2 176,441 3 84,013 12 369,66Neptun 30,265 32 0,007 25 1,770 3 131,643 3 359,336 8 167,793 95 367,48Pluto 39,620 37 0,251 86 17,131 8 110,222 1 224,421 9 248,430 2 366,73

Siderická oběžná doba je skutečná doba oběhu vzhledem ke hvězdám; synodická oběžná doba je doba, za niž se opakuje stejná poloha planety vzhledem ke Slunci a k Zemi.

66 Fyzikální charakteristiky planet

m - hmotnost; M% - hmotnost Země; q - průměrná hustota; dT - rovníkový průměr; T - perioda rotace; g - tíhové zrychlení na povrchu

Planeta .m

MzQ A

kmr g zdánlivá

hvězdnámagnitudakg . m-3 d h min s m . s-2

Merkur 0,055 27 5 400 4 878 58 15 30 3,60 — 1,8 až + 3 ,3Venuše 0,815 0 5 248 12 104 243 0 14 8,87 — 4,3 až — 3,3Země 1,000 0 5 515 12 756,3 23 56 04 9,82 —Mars 0,107 4 3 940 6 794,4 24 37 23 3,76 — 2,8 až + 2 ,0Jupiter 317,892 1 330 142 796 9 50 30 26,00 — 2,6 až — 1,3Saturn 95,168 690 120 000 10 14 11,20 — 0,3 až + 0 ,9Uran 14,559 1 600 50 800 24 00 9,40 + 5,5 až + 6 ,3Neptun 17,239 1 580 48 600 18 24 12,00 + 7,6 až + 8 ,0Pluto 0,002 6 700 3 000 6 9 17 — + 13,6 až + 1 5 ,9

Astronomie

178

67 Měsíce planet

d - vzdálenost od planety; T - siderická oběžná doba; Ts - synodická oběžná doba; e - číselná výstřednost; D - průměr; m - zdánlivá hvězdná magnituda

(Stav v r. 1985)

Měsícd

AU i)T T.

eD

m~a~ d h min km 4)

Z em čMěsíc 0,002 569 27,322 29 12 44 0,055 3 476 — 12,7

M arsI. Phobos 0,000 063 0,319 7 39 0,015 2 7 X 1 9 11,5

II. Deimos 0,000 157 1,262 1 6 21 0,001 16X 10 12,5

Ju p iterX V I. Metis 0,000 848 0,29 6 59 40XV . Adrastea 0,000 848 0,29 6 59 30 r*14

V. Amalthea 0,001 207 0,498 11 57 0,003 265X 140 «a 13X IV . Thebe 0,001 478 0,68 16 32 0,013 70 -f- 80 <«15

I. Io 0,002 820 1,769 1 18 29 0,004 3 6 4 0 5,5II . Europa 0,004 486 3,551 3 13 18 0,009 3 130 6,0

III . Ganymed 0,007 156 7,154 7 4 00 0,002 5 280 5,1IV. Kallisto 0,012 586 16,689 16 18 05 0,007 4 840 6,2

X II I . Leda 0,074 159 •238,7 252 19 0,148 10 - ř 20 19 -f- 20VI. Himalia 0,076 723 250,57 265 23 0,159 170 14,7

VII. Elara 0,078 455 259,65 276 5 0,207 80 19 - r 20X . Lysithea 5) 0,079 217 263,55 280 15 0,130 10 20 19

X II . Ananke 0,141 773 631,1 738 17 0,169 20 18,1X I. Carme 0,150 834 692,5 824 6 0,207 30 19

V III. Pasiphae 0,157 20 735 891 3 0,378 40 17,0IX . Sinope 0,158 5 758 918 19 0,275 30 18,6

S aturn 3)XV . Atlas 0,000 920 0,602 14 27 0,002 60 18

1980 S 27 *) 0,000 931 0,613 14 43 0,004 140X 80 16,51980 S 26 2) 0,000 947 0,628 15 04 0,004 110X 70 16

X . Janus 0,001 012 0,695 16 41 0,007 220X 160 14,5X I . Epimetheus 0,001 012 0,694 16 39 0,009 140X 100 15,5

I. Mimas 0,001 241 0,942 22 37 0,020 390 12,1II . Enceladus 0,001 592 1,369 1 8 52 0,004 510 11,7

III. Tethys 0,001 970 1,885 1 21 15 0,000 1 050 10,61980 S 13 2) 0,001 970 1,885 1 21 15 60

IV. Dione 0,002 523 2,733 2 17 37 0,002 1 120 10,71980 S 6 2) 0,002 527 2,739 2 17 45 60

V. Rhea 0,003 524 4,511 4 12 19 0,001 1 530 10,0VI. Titan 0,008 166 15,910 15 22 24 0,029 S 5 120 «) 8,3

VII. Hyperion 0,009 913 21,281 21 7 45 0,104 410 X 2 2 0 15V III. Japetus 0,023 797 79,155 79 17 48 0,028 1 440 10,8

IX . Phoebe 0,086 564 549,148 522 11 0,163 200 16,5

U ran *)V. Miranda 0,000 825 1,414 1 9 57 0,027 400 16,8I. Ariel 0,001 282 2,520 2 12 30 0,003 1 330 14,8

179

I

Měsícd

AU »)T r .

eD

km 4) md d h min

II. Umbriel 0,001 786 4,144 4 3 28 0,004 1 110 15,4III. Titania 0,002 930 8,706 8 17 00 0,002 1 600 13,9IV. Oberon 0,003 919 13,463 13 11 16 0,001 1 600 14,3

NeptunI. Triton 0,002 364 5,877 5 21 03 0,000 4 000 13,6

II . Nereida 0,036 841 361,568 368 21 0,748 «¡300 18,7

P lutoI. Charon 0,000 13 6,387 0,0 ¿ 1 200

x) Rozumí se vzdálenost od středu planety.2) Satelity zachycené sondami Voyager 1 nebo Pioneer 11, jejichž existence je velmi pravděpodobná. Údaje je však

nutno chápat jen jako předběžné.3) Na základě údajů z průletu Voyageru 1 je uváděno několik typových satelitů, jejichž existence je dosud nejistá a tra

jektorie nejsou známy s dostatečnou přesností. Jsou to:• 1981 S 12 na trajektorii satelitu Mimas, asi 180° za Mimasem, průměr asi 10 km;• ( • • ) 2 satelity na trajektorii Tethys, 99° (236°) před Tethys, průměr 20 km až 30 km, nazvané X III . Telesto,

X IV . Calypso;• 1981 S 10 ve vzdálenosti 0,002 340 A U, oběžná doba 2,44 d, průměr asi 15 km ;• (• • ) 1 až 2 satelity na trajektorii Dione, 61° (62°) před Dione a asi 12° před satelitem 1980 S 6 ;• 1981 S 9 ve vzdálenosti 0,003 142 A U, oběžná doba asi 3,8 d, průměr 15 km až 20 km.

4) Údaj tvaru DD x dd znamená satelit nepravidelného tvaru. Dále je možné počítat s nepravidelným tvarem satelitů do průměru 100 km.

6) Podle údajů sondy Voyager 1 má Lysithea menší vzdálenost od Jupitera než Elara.6) S atmosférou 5 680 km.*) Sonda Voyager 2 objevila v r. 1986 dalších deset malých měsíců Uranu.

68 Údaje o některých významných planetkách

a — střední vzdálenost od Slunce; e - číselná výstřednost (numerická excentrická); i - sklon roviny trajektorie k rovině ekliptiky; T - siderická oběžná doba kolem Slunce

Astronomie

Číslo Jménoa

ÄXT eiO

Ti Poznámka

1 Ceres 2,77 0,08 10,6 4,60 \2 Pallas 2,77 0,23 34,7 4,61 1 čtyři největší a nejznámější planetky;3 Juno 2,67 0,25 13,0 4,36 [ první byla objevena v r. 18014 Vesta 2,36 0,09 7,1 3,63 J

433 Eros 1,46 0,22 10,8 1,76 přiblížení k Zemi: 23 000 000 km588 Achilles 5,24 0,15 10,3 11,98 patří do skupiny Trojanů, 60° před

Jupiterem617 Patroclus 5,19 0,14 22,1 11,82 patří do skupiny Trojanů, 60° za

Jupiterem2060 Chiron 13,7 0,38 6,9 50,7 největší střední vzdálenost

Hermes 1,29 0,47 4,7 1,47 přiblížení k Zemi: 800 000 km1566 Icarus 1,08 0,83 23,0 1,10 malá perihéliová vzdálenost a největší

výstřednost

Skupina planetek nazývaná Trojané tvoří rovnostranný trojúhelník se Sluncem a Jupiterem. Mají přibližně stejnou dobu oběžnou jako Jupiter a obíhají kolem Slunce stále přibližně 60° před Jupiterem nebo za ním.

180

69 N ěkteré kom ety a m eteorické roje

a) Vybrané krátkoperiodické kometyT - doba oběžná; q - vzdálenost komety od Slunce v periheliu

Název (objevitel)TT

Poslední pozorovaný návrat roku AU

Počet pozorovaných návratů

Encke 3,30 1984,2 0,339 53Tempel 2 5,26 1983,4 1,364 17Wolf 1 8,43 1984,5 2,506 13Tuttle 13,8 1981,0 1,023 10Schwassmann-Wachmann I 16,1 1974,1 5,538 4Tempel-Tuttle 32,9 1965,5 0,982 4Olbers 69,5 1956,5 1,179 3Pons-Brooks 71,0 1954,4 0,774 3Halley 76,1 1986,3 0,587 30

b) Hlavni pravidelné meteorické roje

Název Souhvězdí Maximum dne Trvánídní

Hodinovýpočet Mateřská kometa

quadrantidy Bootes 4. I. 1 35 ?lyridy Lyra 29. IV. 2 12 Tchatcheréta-aquaridy Vodnář 3. V. 18 13 Halleydelta-aquaridy Vodnář 29. VII. 10 20 ?perseidy Perseus 12. VIII. 20 50 Swift-Tuttleorionidy Orión 22. X . 8 25 Halleytauridy-arietidy Býk-Beran 6. X I. 30 12 Enckeleonidy Lev 17. X I. 4 12 Tempel-Tuttlegeminidy Blíženci 14. X II. 6 60 ?ursidy Malá medvědice 23. X II. 2 15 Tuttle

70 Paralaxy a vzdálenosti blízkých hvězd

n - roční paralaxa; d - vzdálenost

Hvězda71It

dpc Poznámka

Proxima Centauri 0,763 1,31 po Slunci nej bližší známá hvězdaa Centauri 0,756 1,3161 Cygni 0,299 3,34 první změřená paralaxa (Bessel, 1838)Sirius 0,376 2,66 a Velkého psaProcyon 0,291 3,42 a Malého psaVega 0,140 7,15 a LyryPolárka 0,008 125,00 a Malé medvědice (Malého vozu)

Astronomie

181

71 Spektrální klasifikace hvězd

T - průměrná povrchová teplota

Spektrálnítřída Vzhled spektra

>

TT C

W intenzívní spojité spektrum se širokými emisními čarami vodíku, helia, uhlíku, dusíku aj. (tzv. Wolfovy-Rayetovy hvězdy)

50 000

O jasné spojité spektrum, absorpční čáry ionizovaného helia 35 000B absorpční čáry neutrálního helia, zesilující se čáry Balmerovy série vodíku 20 000A nejintenzivnější čáry Balmerovy série vodíku, objevují se čáry ionizovaného vápníku

a čáry kovů10 000

F slábnou čáry vodíku, sílí čáry vápníku a kovů 7 500G tlusté čáry ionizovaného vápníku, dále slábne série vodíku, zvýrazňují se čáry kovů,

zejména železa6 000

K nejtlustší čáry kovů, objevují se pásy molekul, zejména CN a CH , velmi tenké čáry vodíku

4 500

M mnoho výrazných pásů molekul, zejména TiO 3 500

Doplňkové třídy jsou: R ,N a S . Hvězdy třídy R mají pásy uhlovodíkových sloučenin, tzv. uhlíkové hvězdy. Hvězdy třídy N mají spektrum podobné spektru hvězd třídy M (ztenčující se pásy CN). Hvězdy třídy S, tzv. zirkonové hvězdy, ve spektru jsou absorpční pásy ZrO.

Spektrální třídy jsou dále děleny pomocí číslic 0 až 9 (např. třída B9 je blízká AO, G9 je blízká KO atd.).

72 Základní fyzikální charakteristiky hvězd

Sp - spektrální třída; T - povrchová teplota hvězdy; m - hmotnost; D - průměr; g - hustota; M - absolutní hvězdná magnituda; symbol O označuje Slunce

Astronomie

T m D QSp K mo QOAi

B 50 20 0,006 - 5 , 9A 16 40 0,000 3 - 5 , 3

veleobři FG 4 000

1310

65100

0,000 5 0,000 01

- 4 , 7- 4 , 2

K 3 800 13 200 0,000 002 - 4 , 2M 3 000 16 500 0,000 000 1 - 4 , 2

G 5 200 3,1 10 0,003 + 0,8obři K 4 100 3,5 24 0,000 3 + 0,4

M 3 500 3,8 76 0,000 02 - 0 , 3

O 35 000 32 20 0,005 - 5 , 1B 22 000 16 9 0,025 - 3 , 2

hvězdy hlavní posloupnosti

AFG

10 700 7 400 5 900

3.0 1,61.0

2,21,51,0

0,280,501,0

+ 0 ,6 + 3,0 + 4,6

K 4 900 0,76 0,83 1,3 + 6,2M 3 600 0,49 0,60 2,3 + 8,8

bílí A 0,6 0,02 80 000 + 13trpaslíci F

G1,23

0,020,02

150 000 400 000 -1-14

182

73 Galaxie (galaktická soustava)

Príuněr Galaxie 30 kpcTloušťka 2 kpcCelková hmotnost 2,8 . 104i kg - - 1 ,4 . 1011 M 0Potenciální energie 1,5 . 10->» JAbsolutní hvězdná magnituda — 21«Vzdálenost Slunce od středu Galaxie (10,0 ± 0,8) kpcVzdálenost Slunce od galaktického rovníku (8 12) pc, severněRychlost Slunce vzhledem k blízkým hvězdám 19,7 km . s"1 4,15 AU . r 1Rychlost hvězd v okolí Slunce vzhledem ke středu Galaxie 250 km . s 1Průměrné magnetické pole v Galaxii je řádu 0,1 nT

Naše Galaxie je spirální soustava; má dva průvodce: Velké a Malé mračno Magellanovo.

74 Místní skupina galaxií

m - zdánlivá magnituda; d - vzdálenost; D - průmčr; M - absolutní magnituda; vT - radiální rychlost; M - hmotnost galaxie

Označení galaxie Typ md D

M'¿-'r M

kpc kpc km . s~J M o..................

Naše Galaxie S _ _ 30 ( - 2 1 ) _ 1 ,4 . 1011Velké mračno Magellanovo N 0,9 48 10 — 17,7 + 276 2,5 . 10"“Malé mračno Magellanovo N 2,3 56 8 — 16,5 + 168Soustava v Malé medvědici E 70 1 ( - 9 )Soustava v Sochaři E 8,0 83 2,2 — 11,8 2 až 4 . 10«Soustava v Draku E 100 1,4 ( - 1 0 )Soustava v Peci E 8,3 190 6,6 — 13,3 + 3 9 1 až 2 . 107Soustava Lev II. E 12,04 230 1,6 , — 10,0 1,1 . 106Soustava Lev I. E 12,0 280 1,5 - 1 0 ,4NGC 6822 N 8,9 460 2,7 — 14,8 — 32NGC 147 E 9,73 570 3 - 1 4 , 5NGC 185 E 9,43 570 2,3 — 14,8 — 305NGC 205 E 8,17 680 5 — 16,5 — 239NGC 221 (M 32)

AndromcdaE 8,16 680 2,4 — 16,5 — 214

IC 1613 N 9,61 680 5 - 1 4 ,7 — 238NGC 224 (M 31)

AndromedaS 3,47 680 40 — 21,2 4 . 10“

NGC 589 (M 33) Trojúhelník

S 5,79 720 17 — 18,9 — 189 8 . 10»

Typ galaxie označují písmena: E - eliptická, N - nepravidelná, S - spirálníNGC je číslo v New General Catalogue of Nebulae and Clusters of Stars, IC - Index Catalogue, M - Messierův katalog

183

75 Vesm ír

Hubbleova konstanta H (75 ± 2 5 )k m .s -1 .M p c -1Hubbleův čas 1/H 4 . 1017 s = 13 . 10» rHustota galaktické látky 2 . 10~28 kg . m -3 — 0,1 atomu . m -3Hustota záření ve vesmíru

rádiové vlny IO '20 J . m~3mikrovlny 6,3 . 10 -“ J . m -3optické záření 1,3 . 10"16 J . m “3rentgenové záření 3,2 . 10-17 J . m '3

Stáří galaxií a kulových hvězdokup 12 . 109 rSoučasný stav vesmíru vznikl rozpínáním z velmi hustéhoa horkého stavu před 10 . 10» r až 20 . 109 r

Chemické složení vesmíru: na 1 000 atomů vodíku připadá přibližně 85 atomů helia, 1 atom uhlíku, dusíku nebo kyslíku a 0,1 atomu prvků skupiny železa.Hmotnostně: 70 % vodíku, 29 % helia a asi 1 % prvků s větší atomovou hmotností.

76 N ěkteré důležité astronom ické konstanty

(podle doporučení Mezinárodní astronomické unie)

Světelný čas pro astronomickou jednotku = 499,004 782 sAstronomická jednotka AU = c fA = 1,495 978 70 . 10“ mRovníkový poloměr Země ar = 6 378 140 mSluneční paralaxa 71 = 8,794 148'Aberační konstanta (na rok 2000) A = 20,495 52"Hmotnost Slunce M q = 1,989 1 . 103° kgStřední den D = 86 400 s

Poměr hmotností Slunce a ZeměM q

Mz— 332 946,0

Poměr hmotností Měsíce a Země /* = 0,012 300 2Generální precese P = 5 029,096 6"Nutační konstanta pro epochu 2000 N = 9,210 9"Sklon roviny ekliptiky ke světovému rovníku pro epochu 2000 e = 23° 26 '21,448"

Astronomie

184

77 Přehled důležitých fyzikálních konstant

Normální tíhové zrychlení gn __ 9,806 65 m . s ' ! (přesně)Gravitační konstanta X = (6,672 0 ± 0,004 1) . 10"11 N . m2 . kg"2Avogadrova konstanta ATa = (6,022 045 ± 0,000 031) . 1023 mol’ 1Molámí plynová konstanta Rm = (8,314 41 ± 0,000 26) J . mol"1 . K “*Normální molámí objem při 1,013 25 . 105 Pa VmO = (2,241 383 ± 0,000 070) . 10~2 m3 . mol"1Normální molámí objem při 105 Pa VmO = (2,271 081 ± 0,000 070) . 10"2 m3 . m ol'1Rychlost šíření svčtla ve vakuu C = 2,997 924 58 . 103 m . s '1 (přesně)Permitivita vakua eo = (8,854 187 818 ± 0,000 000 071) . 10->2 F . m ‘ JPermeabilita vakua /to = 4rc . lO -^H .m "1 (přesně) = 1,256 637. lO ^ H .m -1Faradayova konstanta F — (9,648 455 i 0,000 027) . 10< C . mol’ 1Elementární náboj e = (1,602 189 2 ± 0,000 004 6) . ÍO“18 CHmotnostní jednotka mu = (1,660 565 5 ± 0,000 008 6) . 10~27 kgMěrný náboj elektronu e/me = (1,758 804 7 ± 0,000 004 9 ) . 10” C . kg"1Klidová hmotnost elektronu rite = (9,109 534 ± 0,000 047) . 10"31 kg

(5,485 97 ± 0,000 09) . 10-« uKlidová hmotnost protonu m p = (1,672 648 5 ± 0,000 008 6) . 10"27 kg

= (1,007 276 63 ± 0,000 000 24) uKlidová hmotnost neutronu mn = (1,674 954 3 ± 0,000 008 6) . 10"27 kg

(1,008 665 4 ± 0,000 001) uRydbergova konstanta Hoo = (1,097 373 177 ± 0,000 000 083) . 107 m “1Planckova konstanta h — (6,626 176 ± 0,000 036) . 10~3“ J . s

(1,054 558 7 ± 0,000 005 7) . 10-34 J . s* =Boltzmannova konstanta k = (1,380 662 ± 0,000 044) . 10"23 J . K “1Konstanta Wienova zákona = (2,897 790 ± 0,000 090) . 1 0 '3 m . KStefanova-Boltzmannova konstanta a = (5,670 32 ± 0,000 71) . 10~8 W . m "2 . K -4Solární konstanta N = 1 327 W . m "2Bohrův magneton Mß = (9,274 078 ± 0,000 036) . 10"24 A . m2Jaderný magneton

=(5,050 824 ± 0,000 0 2 0 ). 10~27 A . m2

Údaje v tabulce jsou z r. 1973.

78 Přehled důležitých fyzikálních vzorců

v — — = konst.t

s = vtAs

Wp = At

Přehled vzorců obsahuje důležité fyzikální vzorce probírané na středních školách. Nemá nahradit učebnici,, ale připomenout vzorce, které si žák nezapamatoval. Předpokládá se, že žák vzorce zná a rozumí jim; proto u nich není ani výklad, ani vysvětlení značek. Užívají se značky běžné v učebnicích a značky uvedené v tab. 4. Definiční vzorce veličin jsou v přehledu uvedeny jen výjimečně tam, kde je to nutné pro doplněni vzorců. Pro součty se užívá důsledně sumační znaménko.

a) Mechanika

Hustota homogenní látky (? =

Objemová hmotnost nehomogenní látky (objem mse měří včetně mezer, např. u sypaných látek) Qv — ~y

Rovnoměrný pohyb

rychlost

dráha

Průměrná rychlost nerovnoměrného pohybu

Rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb

zrychlení a = —— = konst.

rychlost v = vo + atdráha s — so + + \ať2

vzrychlení* a = — = konst.

rychlost* v = at — ]j2asdráha* s — \aťl = \vt

Volný pád*zrychlení g = 9,8 m . s~2 = konst.rychlost v = gtdráha i = \gt2rychlost dopadu z výšky h v — ]/2gh

Svislý vrh vzhůru («o je počáteční rychlost) výška h = vo t — \gt2rychlost v = vo — gt

Vodoba stoupání T —

výška výstupu H V°

gv±2 g

* vzorce platí, jen když začíná pohyb z klidu.

186

Rovnoměrný pohyb po kružnici

úhlová dráha

dráhová rychlost

úhlová rychlost

vztah mezi dráhovou a úhlovou rychlostí

perioda pohybu

frekvence pohybu

dostředivé zrychlení

Hybnost tělesa

Impuls síly

Druhý pohybový zákon (zákon síly)

je-li m — konst.

Tíhová síla

Dostředivá síla

Sklon vozovky v zatáčce

Výsledná síla

Rovnováha sil

Moment síly

Momentová rovnováha

Působiště výslednice dvou rovnoběžných sil (obě síly mají k působišti výslednice stejný moment)

Moment silové dvojice Mechanická práce

působí-li síla ve směru pohybu Kinetická energie translačního pohybu tělesa Potenciální tíhová energie Zákon zachování energie v mechanice

Průměrný výkon

sr

T = —(O

p = mv

J = F Ař

F — ma

Fa = mg

Ftx = mufir — mvú

tg * =g r

F — . 2 ^ 1

¿ r - o 'i - l

M = rF

2 /ví, = oi - l

n F i = r 2F2

D = F dW = Fs cos x — Pt

cos a = 1 W — Fs E\n — \mv*

Ep = mghEp + Ek = konst., mgh + \mv2 = konst.

Různé

187

Výkon urychlující síly

Účinnost

Moment setrvačnosti tělesa k ose pro hmotný bod

pro tuhé těleso

pro plný válec k ose symetrie

pro kouli k ose procházející středem

neprocházející těžištěm tělesa (Steinerova věta) Kinetická energie rotujícího tělesa Třed síla

Valivý odpor

Jednoduché stroje rovnováha na páce rovnováha na volné kladce rovnováha u kola na hřídeli nakloněná rovina,

pohybová složka tíhové síly tlaková síla

klín s jednostranným úkosem šroub

Vážení na nerovnoramenných vahách (« 1, mz hmotnosti závaží)

Redukce vážení na vakuum*

Gravitační síla (Newtonův gravitační zákon)

Intenzita gravitačního pole

ve výšce h nad povrchem planety

na povrchu planety

Práce v homogenním gravitačním poli

P = Fvvýkon

T) =příkon

W P7 ,~ W0 ~ P o <

1 = mr2n

l = I min

I = \mr2

i 2 2 / = — mr*

1 = l o + m d 2 = \Io>2

Ft = fF n

F v = - F nr

F\a = F%bF i = \F2

F i R - FiX

F — mg sin a F q = mg cos a

F : F i — h : z F\ : Fz = h : 2nr

M = Mmmz

( l 1 \m fy «o + (?v I -------------\ m a — m o +

\Q ť?m/km0

F a — Xmimz

K = — = o«m

K = x

K = x

MCR + h f M_R 2

W - mK{h\ - hz)

* Vážime-li ve vzduchu (ov = 1,2 kg . m -3) mosazným závažím (pm = 8 400 kg . m -3) a závaží má hmotnost mo, vážené těleso hmotnost m a hustotu o, pak při hustotě váženého předmětu 550 kg . m~3 je chyba výsledku při zanedbáni redukce vážení na vakuum 2 o/00) při hustotách váženého předmětu (5 000 —20 000) kg . m~3 je chyba výsledku při zanedbání redukce vážení na vakuum menší než 0,1 o/oo.

188 <£-• <7 ■ ? / ( > " " A ' t - H f- i

Gravitační potenciální energie

Gravitační potenciál

Tíhová síla

TíhaKruhová rychlost družice

ve výšce h nad povrchem planety

při povrchu planety

Oběžná doba družice

Parabolická rychlost

Třetí Keplerův zákon

Ev = mKh £ P

<Pe = ------m

Fq = Fg + F0

Fq = mg

G = mg

®k0

- y

- v

x M

T =

R + h

x M

~1T

2 n(R + h)Vk

v p V 2xM ~ Ř ~

VE.H ‘

' '« t l / . c o s *= V6 S m * " <£.

Vj » o

A - . Ví,fc Cť>Sov/I 1

y= v0-t síwcx - 2 2 . - 0

rovvůct Vw/elcVOîe- zx siv\^ 4 _X____

V» c e s *

d o b a výs-HAfu.

T*

rf : TI - ~3

- »ko . 1/2

a r : «2

b) Hydromechanika

Tlak

Tlaková síla

Hydraulický lis

Hydrostatický tlak v hloubce h

Hydrostatická tlaková síla na rovinnou plochu v hloubce h

Hydrostatická vztlaková síla Rovnice spojitosti (kontinuity)

ideální kapalinypro ustálené proudění stlačitelné kapaliny

Bernoulliova rovnice pro ustálené vodorovné proudění ideální kapaliny

Rychlost kapaliny vytékající otvorem v nádoběNewtonův vzorec pro velikost odporové síly

P S F = pS

P = Qgh F = QghS

Fy z = Vog

S v = k o n s t .

S v q — k o n s t .

p - f - \ q v z — k o n s t .

v — \2hg F = C I qSv2

c) Molekulová fyzika a termodynamika

Tepelná kapacita tělesa

Měrná tepelná kapacita

C = Q_A t

QmAt

Různé

189

Kalorimetrická rovnice První termodynamický zákon

Střední kvadratická rychlost molekul plynu

(C + wid) (t — ti) = AU:

Q

Střední kinetická energie molekuly

Tlak ideálního plynu

Stavová rovnice ideálního plynu

Stavová zmčna ideálního plynu stálé hmotnosti

Izotermický děj

Izochorický děj

Izobarický děj

Adiabatický děj

Měrná tepelná kapacita plynu

při stálém objemu

při stálém tlaku

Poissonova konstanta

Práce plynu při izobarickém ději

Účinnost kruhového děje

Účinnost tepelného motoru

Van der Waalsova stavová rovnice

Hookeův zákon

m ci(t2 — t )

■ W + Q A U + W

4 1 / i V . V

»k- V

3 kT m0

E0 =

P =

PV =

pv_ =T

T =

V =

moví = ~rkT 2 2

movl

P '

pV* =

Cy =■

Cp =

X =

w =

LIL3 v N k T = nRmT

konst.

kons t.

konst.

konst.

konst.

pV =

P_T

_K

T =

Qvm A T

Qvm A T

c vcvpA V

W

Různé

Teplotní roztažnost pevných látek délková objemová

Teplotní objemová roztažnost kapalin

f} š í í?max :

(,P + P * ) { V - b )

0n

AIA/i :

l :

V

V ,

Q i 1

TinRmT

■■ eE

\ _F _E S

Q i= i

h (1 + a At)

Vi (1 + ß Ař)

Vi (1 + ß At)

= konst.

= konst.

= konst.

hTi

190

Povrchové napětí kapalin

Kapilární tlak pro povrch kapaliny kulového tvaru

Měrné skupenské teplo

Vlhkost vzduchu

absolutní

relativní

d) Mechanické kmitání, vlnčni a akustika

Kmitavý (harmonický) pohyb okamžitá výchylka rychlost zrychlení

úhlová frekvence

Kmitavý pohyb s počáteční fází

Síla vyvolávají harmonický pohyb Vlastní kmitání oscilátoru

úhlová frekvence

frekvence

Doba kmitu matematického kyvadla

Postupné vlnění šířící se ve směru osy x

Fázová rychlost vlnění

Fáze vlnění

Stojaté vlnění

Frekvence chvění pružného vlákna

Zákon lomu vlnění

F" = 7

2 a />* = -

/ = Am



y =v = a —

co =

y = F =

y m sin ojt wym cos wt—co2y m sin un = 2n~ Y = 2* /

y m sin (wt i- <p) —ky

-<t)2y

a>o

fo -

T :

y =

=v

n

2n

2ng

y m sin co

= _ym sin 2n

(-í) - ( ? - í )

v —

<P

y

f

A / = - f

2nx

2k . 2n 2ym cos - j - x sm — t

21

sm a sin P

v\V2

Různé

191

Intenzita zvuku

Rychlost šíření zvuku ve vzduchu

Hladina hlasitosti

e) Elektřina a magnetismus

Coulombův zákon

Intenzita elektrického pole bodového náboje

Plošná hustota náboje

Elektrický potenciál

Elektrické napětí

Práce v homogenním elektrickém poli

Kapacita vodiče

Kapacita deskového kondenzátoru

Energie nabitého kondenzátoru

Spojení kondenzátorů

sériové

paralelní

Elektrický proud

Ohmův zákon

pro část obvodu

pro uzavřený obvod

Elektrická vodivost

Měrný elektrický odpor (rezistivita)

Odpor drátu s kruhovým průřezem

192

' - ÍVt = (331,82 + 0,61 {*}) m . s~i

B — B0 = 10 log 4 - dB

F e = 1 QiQz47T6

Fe£ = ^ L ; £ = _ L iQ ’ 47té r 2

a —

Ep W * - Q ~ Q

U = \ <pe2 — <pel\U = \ E \ d I F = Q U

o - %

- 4W = \CU2

- = Ž - c iéi c ,

c = 1 q i - 1

/ =

/ =

/ =

A<2Af

« - i

(? =RS

l

7c ač

Závislost měrného elektrického odporu na teplotě Svorkové napětí zdroje Spojení rezistorů

sériové

paralelní

První Kirchhoffův zákon

Druhý Kirchhoffův zákon

Elektrická práce ve vnější části obvodu s konstantním proudem

Výkon konstantního proudu

Proudový zesilovací činitel tranzistoru

Faradayův zákon

Síla působícína přímý vodič v homogenním magnetickém poli na nabitou částici v magnetickém poli

Síla mezi dvěma rovnoběžnými vodiči s proudem

Magnetická indukce

přímého vodiče

ve středu kruhové smyčky

ve středu dlouhé válcové cívky

Moment dvojice sil působících na závit v magnetickém poli

Intenzita magnetického pole

Magnetický indukční tok

Faradayův zákon elektromagnetické indukce

Indukčnost

Elektromotorické napětí indukované v cívce

Q -- U-

: go(l + <* At)

Ue ~ R iJ

í-1

Jl_~Ř

n2 u¿=*=1

m2 Uet i - l

w

p

fi

r~ =■ iaa . <x_

^ E Q

\XJ — £ Q q\

t * u / c *

Wc /

a

= o

n

= 2 * - 1

= Vit

= U I

/ A * \ \ A/s/

V^ct-h Qi 0-x

. ~Lr

m —

F m = F m =

F =

B =

B

Í/CE " konst.

Mm Fv

Va

/

B II sin a QvB sin a

H I M2 n d

j l L2 tz d

= )T = t t - C & n <x= ,» 2r

N 7B

M = ¿J/.S sin ai

H

d>-.

Ui

L

Ui

B<«

J3S cos a A<PA (

~ > _ ^ 1 /

u; -3 L

4 t<P_

~ I

— — LA/Ař

193

Různé

Energie magnetického pole cívky Střídavý proud

okamžité hodnoty napětí a proudu

efektivní hodnoty napětí a proudu

Sériové elektrické obvody se střídavým proudem impedance

fázový posun

obvod s odporem

obvod s indukčností

obvod s kapacitou

obvod s odporem a indukčností (RL)

obvod s odporem a kapacitou (RC)

obvod s odporem, indukčností a kapacitou (RLC)

Thomsonúv vztah

Výkon střídavého proudu v obvodu s odporem v obvodu s impedancí

Transformace napětí

proudu

Rychlost šíření elektromagnetického vlnění

ve vakuu

v prostředí

f ) Optika

Index lomu absolutní

Zákon odrazu

Zákon lomu

u —

U =

Um sin wt, i I m sin (o>t — <p)

w

Um. Imr j I —

Z--

tg L, <p = — —

7TX c

X

X = —Xc, tg <p = —

wC ’ 9 2„ ojLX l, tg <p = —

1

u)CR

o)L —X = wL-

ůjC » tg <P = -

1

(oCR

mo —lIl c

P = U l

P — UJ cos <p

Ui Ni

Ah

Hi n 2

c —1

l/fo/íoc

v.sin a sin fl

Vj.Ví

n-inv

194

Mezný úhel

Zobrazovací rovnice kulového zrcadla

tenké čočky

Ohnisková vzdálenost kulového zrcadla

tenké čočky

Optická mohutnost

Zvětšení příčné

« 2sm a m = —

«1

2_r

J = l ) ( — + — )/ \ »1 / \ n r2 /

0 = 7

Z =

úhlové

Zvětšení kulového zrcadla, tenké čočky

SÚhlové zvětšení lupy

mikroskopu

dalekohledu

Vztah mezi vlnovou délkou vlnění ve vakuu a v optickém prostředí

Optická dráha

Interferenční maxima v odraženém svědě

minima v odraženém svědě

Maxima při ohybu svěda mřížkou

Svítivost

Osvětlení

T

y = -

a —ff

fa —f

y =

7 = 'h

Áo — Xn

l = n s

2 nd + kX

2nd + ^ = ( 2 k + l ) j

b sin ak = kX

A&/ =

E =

A Q

A 0AS

Wienův posunovací zákon Stefanův-Boltzmannův zákon

E = cosa

XmT = b M0 = oT 4 Různé

195

Různé

g) Speciální teorie relativity

Dilatace času Ar = ^ ío

Kontrakce délek

V'-J_/ I ^

Relativistické skládání rovnoběžných rychlostí u — —

Relativistická hmotnost m = ^

\ ' ~ í

Celková energie tělesa E = Eo + J?k — mc2 =

Klidová energie Eo = moc2Přírůstek energie tělesa A E — A mc2

h) Kvantová fyzika, fyzika elektronového obalu a atomového jádra

Energie fotonu E = hf

h fHybnost fotonu • p = —¿r

Hmotnost fotonu m = -s—Ác

Einsteinova rovnice hf — -\- \mv2

hDe Broglieho vztah pro vlnovou délku pohybující se A = -----

částice mv

m o c 2

y > ~ ?

Kinetická energie elektronu ve stacionárním stavu

Hmotnostní schodek jádra nuklidu £X B = Zmp + (A — Z) «„ — '«)Vazebná energie jádra Evj = Bc2

Vazebná energie nukleonu v jádřeE\ j

Ei = ~A~

Zákon radioaktivní přeměny N(t) = N0c-» , A =ln 2

TRychlost vzdalování galaxií v = Hr

hcMezní vlnová délka rentgenového záření An =

196

79 Přehled vzorců pro chem ické výpočty(Význam symbolů viz tab. 4)

S lo ž e n í lá te k a j e j i c h s m ě s í

Hmotnostní zlomek látky B( v soustavě o celkové hmotnosti m :

ro(B ,) = m = 2 r o ( Bj)tn

Hmotnostní koncentrace látky Bi v soustavě o celkovém objemu V:

Hmotnostní zlomek prvku D ve sloučenině, která má stechiometrický vzorec DxEy:

X . AÍ(D) X . Ar(D) _ X . /ír(D)* * ; Aí(DxEy) Aír(DxEy) X . ^ r(D) + y . A JE )

X _ Kl(D) . /4r(E) y — w(E). Ar(D)

M je molárni hmotnost, Mr je relativní molekulová hmotnost a At je relativní atomová hmotnost.

Objemový zlomek látky Bi v soustavě:

F ( B 0

F (B .)F(B j) je objem, který má čistá látka Bi před smísením.

Objemová koncentrace látky Bj v soustavě o celkovém objemu V:

Pro ideální roztoky, směsi ideálních plynů a pro ty reálné roztoky, u kterých můžeme zanedbat objemové změny, k nimž dochází při smísení, platí:

2 F (B ,) = V, cp( Bi) = C7(Bj)

Molárni (látkový) zlomek látky Bt:

* ( 8 , ) = .2 «(B i)

Molárni (látková) koncentrace látky B<:

Různé

197

Různé

Směšovací rovnice a křížové pravidlo

Indexy 1 a 2 označují výchozí roztoky, index 3 roztok výsledný

m\. k>i(B) + m-z . ro2(B) = (mi + m-i) . ws(B)

a>l v . S w3 — w 2)K>3 — «>2 W l W3 Wl > W2W 1 W'i n t2 W 2 ^ — TO3 )

V i. a(B ) + V2 . c2( B) = (Vi + V o) . c3(B)

(Zanedbávají se objemové změny při míšení.)

C3 - C 2 V x C1^ ^ 3 - ^ 2 )---------------- = -T ř ~ . C3 Cl > C2

Cl~ C3 ^ ( c i - c 3)

F i . cm,i(B) + V2 . cm>2(B) = (F i + V2) • cm,3(B)

(Zanedbávají se objemové změny při míšení.)Příprava roztoků určitého hmotnostního zlomku:

W 2 ttlitn2 = —---------, kde

1 — H»2

u>2 - požadovaný hmotnostní zlomek; m<i - hmotnost rozpuštěné látky; m\ - hmotnost rozpouštědla. Příprava roztoků určitého objemového zlomku:

V = Vz — j kde<P

<pz - objemový zlomek zásobního roztoku; <p - požadovaný objemový zlomek; V - objem požadovaného roztoku; Vz - objem zásobního roztoku, který se ředí. (Zanedbávají se objemové změny při míšení; objemový zlomek je roven objemové koncentraci.)

Výpočty na z á k la d ě c h e m i c k é r o v n ic e

Jestliže průběh chemické reakce lze vyjádřit rovnicí

aA + b B = k K + l L ,platí pro:

a) Látková (molární, částicová) množství zreagováných nebo vzniklých látek:

h(B) b m(K) k w(L) 1 «(A) — a ’ «(A) — a 5 n(A) “ a 3

b) Hmotnost zreagovaných nebo vzniklých látek:

w(B) b AÍ(B) _ b_ Aír(B) w(A) a AÍ(A) a M r(A)

c) Objemy vzniklých nebo zreagovaných plynů za předpokladu, že se chovají jako plyny ideální:

F(B) _ bV (A) ~ a

198

d) Hmotnosti navzájem reagujících roztoků látky A a látky B:

wír(B) b Af(B) te(A)wr(A) a M(A) w(B)

e) Objemy navzájem reagujících roztoků látky A a látky B:

F(B) b AÍ(B) w(A) Lj(A)V(A) a Af(A) w(B) <?(B) ’

kde g(A), <p(B) jsou hustoty příslušných roztoků.

V(B) b c(A) b M(B) cm(A)F(A) a c(B) “ a Aí(A) cm(B)

f) Rovnovážnou konstantu, rovnovážné molární zlomky, koncentrace a popřípadě rovnovážné parciální tlaky

. Sv!> __

(c se vesměs udává v m ol. dm-3)K c = 4 4 1 (-V ') '> c° = 1 mol . dm-3, £ví = k + 1 - a - b

C AC B \c /

Kp = pfpť ( ± ) > P° = 325 Pa (nově se doporučujetaké p° — 100 000 Pa = 1 bar)

irk „iK x = , pro ideální plyny platí Kp = K x(p/p0)Evi a Kp = Kc(RTc°/p°)2vi,

XaXb kam dosazujeme c° = 1 000 m ol. m -3 ( = 1 m ol. dm-3).Značka p° se užívá místo běžně užívané značky p. pouze při chemických výpočtech.

g) Standardní molární reakční entalpii (standardní reakční teplo za konstantního tlaku) a Gibbsovu funkci

AH?,T = 2vi(AH?iT),,kde (A H ^ i je standardní molární slučovací entalpie (standardní slučovací teplo za konstantního tlaku), látky B](K, L , A, B), vj = k, 1, —a, — b ;

AH° T = — 2 vi(AH°>T),,kde (AH° x)i je standardní molární spalná entalpie (standardní spalné teplo za konstantního tlaku) látky Bj(K, L , A, B), vi = k, 1, —a, — b ;

A G°T = 2 ví(AGí’x) i , kde (AG°jT)í je standardní molární slučovací Gibbsova funkce látky B i, vj = k, 1, —a, —b.Pro teplotní závislost rovnovážné konstanty platí:

. k 2 a h ? /_1_____ 1_\K! R \Ti T 2/ ’

za předpokladu, že AH° v daném rozmezí teplot nezávisí na teplotě. Dále platí:

A G °X = — R T ln Kt ,kde hodnota AG° x i rovnovážné konstanty K t (při teplotě T ) závisí na volbě standardního stavu

Různé

199

80 Značky pro elektrotechnická schém ata

Značky pro elektrotechnická schémata jsou normalizovány státními normami řady ČSN 0133. Hvězdičkou označené značky jsou příklady.Další značky jsou uvedeny v příslušné normě.

Různé

200

201

REJSTŘÍK

A

abeceda, latinská, řecká 13 absolutní četnost hodnot 30- hodnota komplexního čísla 23- reálného čísla 23- chyba aproximace čísla 24 akustika, hladiny tlaku 160 algebraický tvar kompl. čísla 22 alternativa 1 4 ,2 0ampér 103 antičástice 127 aproximace čísel 23, 24, 52 — , výpočty s nimi 53 argument funkce 50- komplexního čísla 22 aritmetika finanční 29 asociativnost 22 asymptoty hyperboly 47 — , směrnice 47

B

barva anorganických sloučenin 132binomická věta 30binomický koeficient (součinitel)

30, 55, 62 body trojné 112

C

clark 118 cyklická záměna 34

Č

čára Fraunhoferova 172 částice elementární 127 čísla vyvolená 113 číslo atomové 118- e 29- imaginární 22- kombinační 17, 30- komplexní 22- periodické 16- protonové 118- racionální 25- reálné 22, 23- ryze imaginární 22 čtverec 36

»

definice jednotek 104 děleno, dělí 17 dělitel největší.společný 17 délka úsečky 18, 41- vazby 147- vlnová intenzivních čar 171 derivace funkcí 47— 48 diference tabulková 51 dichotomie 21díly jednotek 109 disjunkce 1 4 ,2 0- úplná 20 diskriminant 28 distributivnost 22 doplněk množiny 15 dráha volná střední 155druhá mocnina a odmocnina 64,

66— 67důkaz matematickou indukcí 21- nepřímý 21- sporem 21

E

ekvivalence 1 4 ,2 0 ekvivalent elektrochemický 165 elipsa 3 7 ,4 5 - , rovnice 46 energie fotonu 176- vazebná 147entalpie disociační vazby 147- reakční molámí standardní 199- slučovací molární standardní

144, 199- spalná molární standardní 146 entropie molární standardní 144 excentrická elipsy 45- hyperboly 46 extrémy funkcí 48

F

faktoriál 18, 55, 61 formáty papíru 56, 63 funkce, definice 50- cx, e 90— 91- Gibbsova reakční molámí

standardní 199- Gibbsova slučovací molární

standardní 144, 199

- goniometrické 32, 77 — , vzorce 32— 33 - - , tabulky 77— 78- primitivní 48— 49- složená, derivace 48- *2 64, 66— 67- x3 65, 68— 69

G

galaxie 183geometrie analytická 41— 47 grad 71graf funkce cos x 79- c o tg * 89- cx, c~x 90- ln x, log x 94- sin x 79 - - tg x 89- x2, x3 70 — , užití 54

H

hladiny akustického tlaku 160 hmotnost atomová relativní 118- fotonu 176- molámí plynu 153- relativní molekulová anorganických

sloučenin 132- relativní molekulová organických

sloučenin 134- , závislost na rychlosti 175 hodnota číselná veličiny 101 hodnoty funkce 51- konstant 55, 61- proměnné 51 hranol 38hustota anorganických sloučenin 132- kapalin 149- nasyceného roztoku 142- normální plynu 153- organických sloučenin 134- pevných látek 132- prvků 118,131- slitin 141- sytých vodních par 150- vzduchu 157hvězda, fyzikální charakteristiky 182 hyperbola 46

202

Ch

charakteristika logaritmu 92 chyba aproximace, absolutní 24- aproximace, relativní 24- podílu aproximaci 24- součinu aproximací 24

I

implikace 1 4 ,2 0 index lomu 172 indikátory neutralizační

acidobazické 114 indukce magnetická 167 inkluze 15 integrál určitý 49 integrály funkcí 49 intenzita magnetického pole 167 interpolace 51 intervaly 16 izolanty 163

J

jednotka imaginární 22 jednotky 101- hlavní 104, 106 a dále- jiné 110- SI 104- vedlejší 110- základní 103- zákonné měřicí 104 jehlan komolý 39- pravidelný 39 jev doplňkový 31- fotoelektrický 174 jevy nezávislé 31

K

kandela 103kapacita tepelná měrná kapalin 152-------plynů 154-------prvků 138- molární při konstantním tlaku

144kartézský součin množin 15 kelvin 103 kilogram 103klasifikace spektrální hvězd 182 koeficient binomický 17- korelace 31 kolmost přímek 42, 43

- rovin 44- vektorů 40 kombinace 30 kombinatorika 30 komety 181 komutativnost 22 koncentrace hmotnostní 197- molární 197- rovnovážná 199- objemová 197 kongruence 16 konjunkce 1 4 ,2 0konstanta disociační indikátoru 114- plynová měrná 153- Poissonova pro plyny 154- rovnovážná 199 konstanty astronomické 185- disociační kyselin 115 ,116- zásad 116konstrukce algebraických výrazů kořen rovnice binomické 27- kvadratické 27 kosinus hyperbolický 90 koule 39kráceni odmocnitele 25 krát 17 krok tabulky 51 kruh 3 7 ,4 5 kružnice 1 9 ,3 7 - , rovnice 45 krychle 38 kužel rotační 39- komolý 39 kuželosečky 44— 47 kvádr 38kvantifikátor existenční 14- s jednoznačností 14- obecný 14

L

ladění temperované 160 látky polovodivé 165 lichoběžník 36 limita posloupnosti 29 lineární kombinace vektorů 40 logaritmus 25- dekadický 25, 92- přirozený 25, 92, 94, 95— 97 lomeno 17

M

mantisa logaritmu 92

maximum funkce 48 medián 31 Měsíc 177 měsíce planet 179 metr 103minimum funkce 48 minus 17 minuta 19mnohoúhelníky pravidelné 55, 63 množina, počet prvků 15 - , — sjednocení 21- prázdná 15 mocniny 17- čísla 2 55, 62- komplexních čísel 22- mnohočlenů 26- mocniny 24- odmocniny 25- podílu 24

37 - reálných čísel 24- součinu 24mocnost bodu ke kružnici 37 modus 30 Moivre 23 mol 103molekuly jednoduché, vlastnosti 147 moment dipólový elektrický molekuly

147monotonie 21,23

N

napětí povrchová kapalin 149 napětí termoelektromotorické 164 násobek nejmenší společný 17 násobky jednotek 109 negace výroku 14, 20- s kvantifikátory 20 nerovnítko 16,19 nerovnosti, reálná čísla 23 - , násobení 23normy státní ČSN 102 n-tý člen 28, 29 nuklid stabilní 124

O

obdélník 36objem rotačního tělesa pomocí integrá

lu 49 objemy těles 38— 39 oblast vnitřní, vnější, elipsy 46-------, hyperboly 47------ , kružnice 45

203

oblast vnitřní, vnější paraboly 45 oblouk kruhový 37- kružnice 19obsah plochy pomoci integrálu 49 obsahy rovinných útvarů 34— 37 odchylka přímek 1 8 ,4 2 ,4 3- přímky od roviny 18, 44- rovin 1 8 ,4 4 odmocniny 17- komplexního čísla 23- reálných čísel 24- z odmocniny 25 odmocnítko 17odpor elektrický měrný 162 ,163-------izolantů 163------- roztoků 167odpor valivý 161 operátory logické 20 osvětlení doporučené 170

P

parabola 44— 45 rovníce 45

paralaxa blízkých hvězd 181 parametrické vyjádření přímky 41 parts per million 17 Pascalův trojúhelník 30 pás kulový 39 pásma televizní 168 perioda 16 periodičnost funkcí 32 permeabilita magnetická 168- poměrná 167 permitivita poměrná 163 ,164 permutace 30pevnost elektrická 163 planeta, fyzikální charakteristiky 178 plocha kulová 39, 47 plus 17počet prvků množiny 15- sjednocení množin 21 podíl aproximací čísel 24- komplexních čísel 22- mocnin 24- odmocnin 25- zlomků 26 podmínky normální 102 podmnožina 15 ,1 9 podobnost 19 podslupky elektronové 121 pohyblivost elektronů, děr 165 pokles hodnoty 29 poloměr kružnice vepsané

a opsané trojúhelníku 35 poloosa hlavní, elipsy 45 — , hyperboly 46- vedlejší, elipsy 45 — , hyperboly 46 poloprostor 18- , rovnice 44 polopřímka 1 8 ,4 2 polorovina 1 8 ,4 3

rovnice 44 porovnávání zlomků 25 posloupnost aritmetická 28- částečných součtů 29- geometrická 29- nekonečná 29posunutí soustavy souřadnic 43 potenciál elektrodový standardní 166 povrchy těles 38— 39 práce ionizační 173- výstupní 174 pravděpodobnost 31- geometrická 31 pravdivost výroků 20 pravidlo křížové 198 procenta 17 ,2 6 promile 17průměr aritmetický 31- vážený 31- geometrický 25, 38- molekul plynu 155 průměrná hodnota znaku x 31 průnik množin 15- přímek, rovin 19 prvek inverzní 22- neutrální 22 prvky 118- polovodivč 165 - , rok objevu 118 předperioda 16 předpony jednotek 109 převod logaritmů 25převody jednotek velikosti úhlů 71- srupňů na radiány 7 1 ,7 4- stupňů na grady 72, 75- stupňů na dílce 72, 76- minut a vteřin na stupně 73, 76 přímka 18- , rovnice 42— 43

R

radiánradioaktivita 129 redukce tlaku vzduchu 158

relativní četnost hodnot znaku x 30 roje meteorické 181 rovina 18 - , rovnice 44 rovnice algebraická 27- anulovaná 27- binomická 27- lineární 28- kvadratická 27, 28- přímek 4 2 ,4 3- reciproké 27- roviny 44- směšovací 198- symbolická 40 rovnítka 15, 16, 19 rovnoběžník 36 rovnoběžnost nesouhlasná 19- přímek 19, 42, 43- souhlasná 19- vektorů 40rovnost komplexních čísel 22- vektorů 40

vlastnosti 21- zlomků 25 rozbor rovnice 28 rozdíl aproximací čísel 24- množin 15- zlomků a lomených výrazů 26 rozklad čísel v součin prvočísel 55,

57— 60- mnohočlenů 26- v kořenové činitele 2 7 ,2 8 rozměr 106rozptyl hodnot 31 rozpustnost anorganických sloučenin

142- organických sloučenin 134- pevných látek 142- plynů ve vodě 155 rozsah souboru rozšiřování odmocnitele 25 roztažnost objemová kapalin 149 rychlost střední kvadratická molekul

156- šířeni zvuku 159

ft

řada nekonečná 29řady radioaktivní přeměnové 129- Renardovy 113 řešení rovnic grafické 54

2 0 4

s

sekunda 103 shodnost 19schodek hmotnostní jádra 128 sinus hyperbolický 90 sjednocení množin 15 sloučeniny anorganické 132- organické 134 složeni látek 197- slitin 141- směsí 197- vzduchu 157 Slunce 177 směrnice přímky 43 směrodatná odchylka 31 soubor statistický 30 součet aproximaci čísel 24,- komplexních čísel 23- n členů posloupnosti 2 8 ,2 9- nekonečné řady 29- vektorů 40- všech ai 18- zlomků a lomených výrazů 26 součin aproximací čísel 24- komplexních čísel 23- mocnin 24- odmocnin 24- vektorů a reál. čísla 40- skalární 40- vektorový 41- všech <2( 18- zlomků a lomených výrazů 26 součinitel délkové roztažnosti teplotní,

prvků 131- tepelné vodivosti pevných látek

141- teplotní elektrického odporu 162 součiny rozpustnosti 117 souřadnice bodů 41- vektorů 40 spektra 171 statistika 30stav kritický kapalin 152- plynů 154 stereometrie 38— 39 střádání 29střed úsečky 41 střední geometrická úměrná 38 střední příčka lichoběžníku 36 stupeň 19stupnice teplotní mezinárodní 112- tvrdosti Mohsova 140

T

tabulka funkce, sloupcová, plošná 50 tečna elipsy 46- hyperboly 47- ke grafu funkce 48- kružnice 45- paraboly 45tečná rovina kulové plochy 47 teplo skupenské měrné kapalin 152- spalné měrné paliv 143 teplota tání anorganických sloučenin

132- kapalin 152- organických sloučenin 134- plynů 154- prvků 118- slitin 141- varu anorganických sloučenin 132- kapalin 152- organických sloučenin 134- plynů 154- prvků 118- vody 151 termočlánek 164tlak parciální rovnovážný 199- sytých vodních par 150 trajektorie planet 178 tranzitivnost nerovnosti 23 trichotomie 23 trojúhelník 1 9 ,3 4- Pascalův 30- pravoúhlý 35- rovnostranný 35 tření smykové 161třetí mocnina a odmocnina 65, 68,

69tvar molekuly 147 tvrdost 140

Ú

úhel konvexní 18- nekonvexní 18- obvodový 37- orientovaný 19- pravý 19- středový 37- vazebný 147- vektorů 40 - , velikost 18 úhlopříčky čtverce 36- pravidelných mnohoúhelníků 36 úhly doplňkové 34

- přilehlé 34- souhlasné 34- střídavé 34- vedlejší 34- vnější v trojúhelníku 34- vrcholové 34- v pravidelném mnohoúhelníku 36- v trojúhelníku 35 umístění vektoru 40 umocněno 17 umořování půjčky 29 úseč kruhová 37- kulová 39 úsečka 18 ,4 2úseky přímky na osách 43 útvary kvadratické 44— 47 uzavřenost 22

V

válec 38 variace 30 vektor 4 0 ,4 1- opačný 40- normálový 43- roviny 44- směrový 41, 43 veličiny 101, 106 velikost úhlu 18- vektoru 40 vesmír 184věta binomická 30- Eukleidova 36- kosinová 35- Pythagorova 35- sinová 35- tangentová 35viskozita dynamická kapalin 149- plynů 154vlastnosti anorganických sloučenin

132- operaci 22- organických sloučenin 134- pevných látek mechanické 139- prvků 118- rovnosti čísel 21 vlnová délka mezní 174 vlny elektromagnetické 170 vodivost tepelná kapalin 149- pevných látek 141- plynů 154 vrchlík kulový 39 vrstva kulová 39 vteřina 19

205

výhřevnost 143 výpočty na základě chemické

rovnice 198- stechiometrickč 197, 198 výrazy lomené 25 výroky 1 4 ,2 0- složené 20 výseč kruhová 37vzdálenost bodu od přímky 18, 43- od roviny 44- dvou rovnoběžek 18- rovnoběžných rovin 18 vzduch 157 ,158vzorce fyzikální 186 a dále

- matematické 20 a dále- pro chemické výpočty 197 a dále vzorec Heronův 35- Moivreův 23 vzrůst hodnoty 29vztahy mezi goniom. funkcemi 33- kořeny a koeficienty

kvadratické rovnice 27, 28

Z

záměna cyklická 34- mezi 49záření elektromagnetické 169

závorky 16 Země 177 zlomek 25- hmotnostní 197- prvku v zemské kůře 118- molámí 197- rovnovážný 199- objemový 197- složený 26značky matematické 13 a dále- pro elektrotechnická schémata 200- veličin a jednotek 106 a dále- v počítačkách 1 6 ,1 7

206

RNDr. Jiří Mikulčák, CSe,Doc. Ing. Dr. tech. Bohdan Klimeš, CSc., RNDr. Jaromír Široký, CSc,RNDr. Václav Sůla,RNDr. František Zemánek

M A T E M A T I C K É ,

F Y Z I K Á L N Í

A C H E M I C K É

T A B U L K Y

pro střední ško ly

O bálku navrhl Jaroslav T ušerVydalo Státní pedagogické nakladatelství, n. p.,v Praze roku 1989ja k o svou publikaci č. 54-09-12/1 bEdice Pom ocné knihy pro žákyOdpovědná redaktorka M arie N ovákováVýtvarný redaktor V áclav HanušTechn ická redaktorka Jan a T arantováVytiskla Polygrafia, n. p., závod 3 , Praha 7, D obrovského 27Form át papíru 84 cm x 108 cmPočet stran 208AA 1 6 ,2 8 - V A 18,10Náklad 299 500 výtiskůT em atická skupina a podskupina 03/2D otisk 1. vydáníCena vázaného výtisku K čs 21 ,00 101/23,853

231 4012 1 4 - 2 5 7 - 8 9 K č s 21 ,00

Date post:	07-Oct-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	2 times
Download:	0 times

MATEMATICKÉ, FYZIKÁLNÍ A CHEMICKÉ...

Documents