Matematika 1mat.fsv.cvut.cz/Ivana/p12ver3web.pdfMatematika 1 12. pˇredn a´ˇska MA1 1 Analyticka...

Matematika 1

12. prednaska

MA1

1 Analyticka geometrie v prostoru - zakladnı pojmy

2 Skalarnı, vektorovy a smıseny soucin, projekce vektoru

3 Prımky a roviny

4 Vzdalenosti

5 Prıcky mimobezek

6 Zkouska; konzultace; vyberova matematika; . . .

12. prednaska (20.12.2010) Matematika 1 1 / 32



3 Prımky a roviny

4 Vzdalenosti

5 Prıcky mimobezek



Analyticka geometrie v prostoru - zakladnı pojmy

Bod v rovine nebo v prostoru ztotoznıme s usporadanou dvojicı [x , y ] nebo trojicı [x , y , z] realnychcısel. Tyto mnoziny budeme znacit E2 nebo E3.

Vektorem budeme nazyvat usporadanou dvojici (x , y) nebo trojici (x , y , z) realnych cısel. Tytomnoziny budeme znacit V 2 nebo V 3.

Orientovana usecka ~AB, kde A, B ∈ E2 nebo A, B ∈ E3 a platı B − A = u je umıstenım vektoru udo bodu A, je take reprezentantem vektoru u.

Napr. body [x , y , z] na kulove plose se stredem v bode S = [3, 1, 0] a s polomerem r = 3splnujı rovnici

(x − 3)2 + (y − 1)2 + z2 = 9.

Naprıklad skladanı sil pusobıcıch ve stejnem bode odpovıda souctu vektoru, ktere sılyreprezentujı. Je-li ~u = (0, 1, 2) a ~v = (1,−1, 0), je jejich soucet

~w = ~u + ~v = (1, 0, 2).

Dva body A = [1, 1, 3] a B = [3, 0, 0], mohou urcovat vektor posunutı

~AB = B − A = [3, 0, 0]− [1, 1, 3] = (2,−1,−3).




3 Prımky a roviny

4 Vzdalenosti

5 Prıcky mimobezek



Skalarnı soucin dvou vektoru u = (u1, u2, u3) a v = (v1, v2, v3) je definovan

u · v = u1v1 + u2v2 + u3v3.

Skalarnı soucin se nekdy znacı take (u, v) nebo jen uv . (Inner product, scalar product, dotproduct.)Napr. (u, v) = ((1, 2, 5), (3,−4, 0)) = −5.

Delka vektoru (velikost, norma, Euklidovska norma) je

||u|| =q

u21 + u2

2 + u23 .

Tedy platı||u|| =

√u · u.

Napr. ||u|| = ||(1,−3, 5)|| =√

35.

Pro jakykoliv nenulovy vektor u platı, ze delka vektoru 1||u||u je 1, nebot

||1||u||

u|| =1||u||

||u|| = 1.


v

u

u’

v’

z

α

v

uv’

π/2

v−v’

Odchylka (uhel) α, α ∈ 〈0, π〉, dvou vektoru lze spocıtat pomocı

cos α =u · v

||u|| ||v ||.

Dva vektory jsou kolme, prave kdyz je jejich skalarnı soucin 0.

Kolma projekce v ′ vektoru v do vektoru u je dana vztahem

v ′ =u · v||u||2

u.

Odvozenı: Ma platit v ′ = c u a (v − v ′, u) = 0.Tedy

(v − c u, u) = 0

c =(v , u)

(u, u)=

(v , u)

||u||2,

tedy

v ′ =(v , u)

(u, u)u =

u · v||u||2

u.


Vektorovy soucin dvou vektoru u = (u1, u2, u3) a v = (v1, v2, v3) je vektor

u × v = (u2v3 − u3v2,−u1v3 + u3v1, u1v2 − u2v1).

(Cross product.)

Pomucka pro vypocet:

u1 u2 u3v1 v2 v3

−−−−−−− −−−−−−− −−−−−−−u2v3 − u3v2 −(u1v3 − u3v1) u1v2 − u2v1

Vlastnosti:

a) u × v je kolmy k obema vektorum u a v ;

b) velikost vektoru u × v je rovna plose rovnobeznıka urceneho vektory u a v , tedy

||u × v || = ||u|| ||v || sin φ,

kde φ je odchylka u a v ;

c) orientace u × v je dana pravidlem prave ruky: je-li u ukazovacek, v malıcek, mırı palec(nelezıcı v rovine dlane) smerem u × v .



u × v = (u2v3 − u3v2,−u1v3 + u3v1, u1v2 − u2v1).

(Cross product.)


u1 u2 u3v1 v2 v3

−−−−−−− −−−−−−− −−−−−−−u2v3 − u3v2 −(u1v3 − u3v1) u1v2 − u2v1

Vlastnosti:



||u × v || = ||u|| ||v || sin φ,





u × v = (u2v3 − u3v2,−u1v3 + u3v1, u1v2 − u2v1).

(Cross product.)


u1 u2 u3v1 v2 v3

−−−−−−− −−−−−−− −−−−−−−u2v3 − u3v2 −(u1v3 − u3v1) u1v2 − u2v1

Vlastnosti:



||u × v || = ||u|| ||v || sin φ,





u × v = (u2v3 − u3v2,−u1v3 + u3v1, u1v2 − u2v1).

(Cross product.)


u1 u2 u3v1 v2 v3

−−−−−−− −−−−−−− −−−−−−−u2v3 − u3v2 −(u1v3 − u3v1) u1v2 − u2v1

Vlastnosti:



||u × v || = ||u|| ||v || sin φ,




Prıklad.Urcıme obsah trojuhelnıka s vrcholy A = [0, 0, 2], B = [−1, 3, 1], C = [1, 1, 5].Urcıme uhel pri vrcholu A.

Dve strany trojuhelnıka tvorı vektory napr. u = B − A a v = C − A, tedy

u = (−1, 3,−1),

v = (1, 1, 3).

Obsah trojuhelnıka je tedy

S =12||u × v || =

12||(10, 2,−4)|| =

12

q102 + 22 + (−4)2 =

√120/2 =

√30.

Pro uhel pri vrcholu A platı

cos α =(u, v)

||u|| ||v ||=

((−1, 3,−1), (1, 1, 3))√

1 + 9 + 1√

1 + 1 + 9=

−111

,

tedy

α = arccos−111

.


Smıseny soucin vektoru u, v , w ∈ V 3 je

u · (v × w).

Vlastnosti:

a) Hodnota smıseneho soucinu je rovna determinantu matice, jejız radky (resp. sloupce) jsoutvoreny vektory u, v , w (v tomto poradı).

b) Absolutnı hodnota smıseneho soucinu je rovna objemu rovnobeznostenu jehoz hrany jsouvektory u, v , w .

c) Absolutnı hodnota smıseneho soucinu je rovna 6-tinasobku objemu ctyrstenu jehoz hranyjsou vektory u, v , w .

Prıklad. Urcete objem ctyrstenu urceneho vektory u = (2, 0, 3), v = (−1, 1, 0), w = (0, 5, 1).

16

˛˛det

0@ 2 0 3−1 1 0

0 5 1

1A˛˛ =

|2 + 0 − 15 − 0 − 0 − 0|6

=136

.




3 Prımky a roviny

4 Vzdalenosti

5 Prıcky mimobezek



Prımka v prostoru muze byt urcena dvema body (P a Q) nebo bodem a smerovym vektorem(P a v ).

Kazdy bod [x , y , z] na prımce lze vyjadrit v parametrickem (vektorovem) tvaru

[x , y , z] = P + s(Q − P),

kde s ∈ R, nebo[x , y , z] = P + sv ,

kde s ∈ R. Mınıme-li bodem X = [x , y , z] bod prımky, lze psat strucneji

X = P + s(Q − P) nebo X = P + sv .

Jestlize oznacıme P = [P1, P2, P3] a v = (v1, v2, v3), muzeme vzah

X = P + sv

prepsat do 3 rovnic

x = P1 + sv1, y = P2 + sv2, z = P3 + sv3.

Osamostatnıme-li v kazde z techto trı rovnic s, dostaneme

s =x − P1

v1, s =

y − P2

v2, s =

z − P3

v3,

a tedyx − P1

v1=

y − P2

v2=

z − P3

v3.

Tım jsme dostali kanonicke (osove, polarnı) vyjadrenı prımky.12. prednaska (20.12.2010) Matematika 1 11 / 32

Prıklad. Urcıme nejaky smerovy vektor v a nejaky bod P prımky

x − 17

=y + 3

2=

5 − z10

.

Podle predchozıho textu je napr.

x − 17

=y + 3

2=

5 − z10

= s,

a tedyx = 1 + 7s, y = −3 + 2s, z = 5 − 10s,

a tedy v = (7, 2,−10) (pozor na znamenko poslednı souradnice) a P = (1,−3, 5).

Dve ruzne prımky v prostoru mohou byt

a) ruznobezne - majı prave jeden spolecny bod,

b) rovnobezne - majı rovnobezne smerove vektory a nemajı zadny spolecny bod,

c) mimobezne - nemajı rovnobezne smerove vektory a nemajı zadny spolecny bod.


Prıklad. Urcete vzajemnou polohu prımek p a r . Prımka p je dana body A = [0, 2, 1] aB = [1,−3, 0]. Prımka r je dana bodem C = [1, 1, 1] a vektorem u = (0,−3, 1).

Urcıme smerovy vektor prımky p:

v = B − A = (1,−5,−1).

Vektory u a v nejsou linearne zavisle, proto prımky p a r nejsou rovnobezne (ani totozne).

Zjistıme, zda majı prımky spolecny bod. Budeme resit soustavu rovnic (hledat s a t)

A + sv = C + tu,

tedy

0 + s = 1 + 0t

2 − 5s = 1 − 3t

1 − s = 1 + t .

Nutne s = 1, potom z poslednı rovnice t = −1, ale to nevyhovuje druhe rovnici, tedy soustavanema resenı, tedy prımky p a r jsou mimobezky.


Prımka v rovine muze byt urcena dvema body (P a Q) nebo bodem a smerovym vektorem (Pa v ). Tedy kazdy bod [x , y ] na prımce lze vyjadrit v parametrickem tvaru

[x , y ] = P + s(Q − P),

kde s ∈ R nebo[x , y ] = P + sv ,

kde s ∈ R. Mınıme-li bodem X = [x , y ] bod prımky, lze psat strucneji

X = P + s(Q − P) nebo X = P + sv .

Jestlize oznacıme P = [P1, P2] a v = (v1, v2), muzeme vztah

X = P + sv

prepsat jakox = P1 + sv1, y = P2 + sv2.

Osamostatnıme-li v kazde z techto dvou rovnic s, dostaneme

s =x − P1

v1, s =

y − P2

v2,

a tedyx − P1

v1=

y − P2

v2,

nebolixv2 − yv1 − P1v2 + P2v1 = 0.

Tım jsme dostali obecnou rovnici prımky, ktera je vzdy typu ax + by + c = 0, kde a, b, c jsourealne konstanty. Vzdy je vektor (a, b) kolmy ke smerovemu vektoru prımky.


Prıklad. Urcıme obecnou rovnici prımky, ktera je dana body A = [0, 1] a B = [2, 7].

Parametricke vyjadrenı prımky je napr.

[x , y ] = A + s(B − A) = [0, 1] + s((2, 7)− (0, 1)) = [0, 1] + s(2, 6),

s ∈ R, tedy

s =x − 0

2=

y − 16

,

neboli6x − 2y + 2 = 0,

coz je totez jako3x − y + 1 = 0.

Obecna rovnice prımky je tedy 3x − y + 1 = 0.

V tomto prıklade jsme mohli postupovat jeste jinak. Vıme, ze hodnoty a, b v obecne rovnici prımkytvorı vektor kolmy k prımce. Najdeme tedy nejaky. Je-li smerovy vektor (2, 6) (nebo take (1, 3)), jek nemu kolmy vektor napr. (−3, 1). Obecne rovnice bude tedy

−3x + y + c = 0.

Konstantu c urcıme dosazenım libovolneho bodu prımky, napr. A,

−3 · 0 + 1 · 1 + c = 0,

tedy c = −1, tedy rovnice je−3x + y − 1 = 0,

neboli3x − y + 1 = 0.


Prıklad. Urcıme odchylku α a prunik S prımek p a q, kde p je dana rovnicı 3x − y + 7 = 0 a q jeurcena body A = [1, 1] a B = [2, 5].

Smerovy vektor prımky p je u = (1, 3) a smerovy vektor prımky q je v = B − A = (1, 4).Uhel α prımek p a q je roven uhlu vektoru u a v

cos α =|u · v |||u|| ||v ||

=1 + 12√

10√

17=

13√

170.

Odchylka prımek je tedy α = arccos 13√170

.Parametricke vyjadrenı prımky q je napr.

[x , y ] = [1, 1] + s(1, 4),

s ∈ R. Kazdy bod spolecny obema prımkam bude vyhovovat rovnici pro p i vyjadrenı q,dosadıme tedy parametricke vyjadrenı q do obecne rovnice pro p

3x − y + 7 = 3(1 + s)− (1 + 4s) + 7 = 0,

a dostaneme s = 9. Spolecny bod je

S = [x , y ] = [1, 1] + 9(1, 4) = [10, 37].


Rovina v prostoru muze byt urcena tremi body (P, Q, R) nebo bodem a dvema linearnenezavislymi smerovymi vektory (P, u, v ). Bod X = [x , y , z] roviny tedy muzeme vyjadrit ve tvaru

X = P + r(Q − P) + s(R − P),

r , s ∈ R, neboX = P + ru + sv ,

r , s ∈ R, to jsou parametricke (vektorove) rovnice roviny.

Uvedomme si, ze pro kazdy bod roviny X platı, ze vektor X − P je linearnı kombinacı vektoru u av . Normalovy vektor n = (n1, n2, n3) roviny je kolmy k u i v , tedy k X − P pro libovolne X . Tedyrovina muze byt dana rovnicı

n · (X − P) = 0,

nebolin1(x − P1) + n2(y − P2) + n3(z − P3) = 0,

nebon1x + n2y + n3z − n1P1 − n2P2 − n3P3 = 0,

nebo obecneax + by + cz + d = 0.

Tento vztah se nazyva obecna rovnice roviny. Koeficienty a, b, c v rovnici tvorı vektor(a, b, c) kolmy k rovine, je to normalovy vektor roviny.


Odchylka α rovin ρ a τ je dana odchylkou jejich normalovych vektoru nρ a nτ

cos α =|nρ · nτ |||nρ|| ||nτ ||

.

Odchylka α prımky p od roviny ρ lze spocıtat ze vztahu

sin α =|nρ · vp|||nρ|| ||vp||

,

kde nρ je normalovy vektor roviny ρ a vp je smerovy vektor prımky p.

Prımka a rovina v prostoru mohou byt

a) ruznobezne (majı prave jeden spolecny bod),

b) rovnobezne (nemajı zadny spolecny bod nebo je prımka castı roviny).

Prımka a rovina v prostoru NEMOHOU byt mimobezne.


Prıklad. Urcıme obecnou rovnici roviny ρ, ktera je dana bodem P = [2, 0, 1] a vektoryu = (−1, 2, 2) a v = (3, 1, 0).

Najdeme normalovy vektor n roviny ρ jako vektorovy soucin vektoru u a v ,

n = u × v = (−1, 2, 2)× (3, 1, 0) = (−2, 6,−7).

Rovnice bude tedy−2x + 6y − 7z + d = 0.

Konstantu d urcıme dosazenım bodu P,

−2 · 2 + 6 · 0 − 7 · 1 + d = 0,

tedy d = 11. Obecna rovnice roviny ρ je tedy −2x + 6y − 7z + 11 = 0, neboli

2x − 6y + 7z − 11 = 0.


Prıklad. Urcıme prunik rovin ρ a τ , ktere jsou zadane obecnymi rovnicemi 3x − 2y + 1 = 0 ax + y + z + 2 = 0.

Roviny nejsou rovnobezne, protoze jejich normalove vektory nρ = (3,−2, 0) a nτ = (1, 1, 1) jsoulinearne nezavisle. Smerovy vektor v prımky p , ktera je jejich prunikem, je kolmy k nρ i k nτ ,

v = nρ × nτ = (−2,−3, 5).

Zbyva najıt nejaky bod p vyresenım soustavy rovnic

3x − 2y + 1 = 0

x + y + z + 2 = 0.

Zvolıme-li napr. x = 1, dostaneme y = 2 a z = −5, tedy parametricke vyjadrenı prımky je

[x , y , z] = [1, 2,−5] + s(−2,−3, 5),

s ∈ R.


Prıklad. Najdeme prunik P prımky zadane

[x , y , z] = [1, 2,−5] + s(−3,−2, 5),

s ∈ R, s rovinoux − y + 2z − 7 = 0.

Dosadıme vyjadrenı prımky do rovnice roviny

(1 − 3s)− (2 − 2s) + 2(−5 + 5s)− 7 = 0,

dostaneme9s = 18,

tedy s = 2, tedy prunikem je bod P = [1, 2,−5] + 2(−3,−2, 5) = [−5,−2, 5].




3 Prımky a roviny

4 Vzdalenosti

5 Prıcky mimobezek



Vzdalenost mnozin bodu M1 a M2 je infimum delek usecek spojujıcıch nejaky bod z M1 snejakym bodem z M2.

Vzdalenost bodu od roviny. Vzdalenost d(P, τ) bodu P = [p1, p2, p3] od roviny τ dane rovnicıax + by + cz + d = 0 je

d(P, τ) =|ap1 + bp2 + cp3 + d |p

a2 + b2 + c2.

Odvozenı. Prımka kolma k τ a prochazejıcı bodem P je

X = P + t(a, b, c).

Jejı prunik s rovinou τ najdeme dosazenım

a(P1 + sa) + b(P2 + sb) + c(P3 + sc) + d = 0,

s =aP1 + bP2 + cP3 + d

a2 + b2 + c2.

Bod pruniku je tedy T = P + s(a, b, c) a vzdalenost T od P je d(P, τ) = ||s(a, b, c)||, tedy

d(P, τ) = |s|p

a2 + b2 + c2 =|aP1 + bP2 + cP3 + d |

a2 + b2 + c2

pa2 + b2 + c2 =

|aP1 + bP2 + cP3 + d |pa2 + b2 + c2

.


Prıklad. Urcıme vzdalenost d(P, τ) bodu P = [6, 1, 0] od roviny τ dane bodem A = [3, 0, 0] avektory u = (1, 2, 0) a v = (0, 1, 1).

(Prvnı postup.) Najdeme obecnou rovnici roviny τ a pouzijeme predchozı vzorec. Normalovyvektor je n = (2,−1, 1), tedy rovnice je 2x − y + z + d = 0, kde d = −6. Vzdalenost je tedy

d(P, τ) =2 · 6 − 1 · 1 + 1 · 0 − 6p

22 + (−1)2 + 12=

5√

6.

(Jiny postup.) Vektory u, v a w = P − A = (3, 1, 0) urcujı rovnobeznosten, jehoz objem je rovenabsolutnı hodnote determinantu

V = det

0@ 1 2 00 1 13 1 0

1A = 0 + 6 + 0 − 0 − 1 = 5.

Objem je ale soucasne roven obsahu podstavy, urcene vektory u a v , nasobenemu vzdalenostıd(P, τ), tedy

V = ||u × v || · d(P, τ) = ||(2,−1, 1)|| · d(P, τ) =√

6 · d(P, τ),

tedy

d(P, τ) =5√

6.


As

P

d(P,s)

v

u

Vzdalenost bodu od prımky. Vzdalenost bodu P = [p1, p2, p3] od prımky s dane bodem A asmerovym vektorem v je

d(P, s) =||(P − A)× v ||

||v ||.

Odvozenı. Pouzijeme zname vztahy. Oznacme u = P − A. Rovnobeznık urceny vektory u a v maobsah

S = ||u × v ||.

Tento obsah je roven soucinuS = d · ||v ||,

kde d je vzdalenost bodu P od prımky s. Tedy

d(P, s) =||(P − A)× v ||

||v ||.




3 Prımky a roviny

4 Vzdalenosti

5 Prıcky mimobezek



Prıcky mimobezek

Jestlize p a q jsou mimobezky, nazyva se kazda prımka, ktera protına p i q, jejich prıcka.

Prıcka, na ktere tyto dva prusecıky vytınajı usecku nejmensı delky, se nazyva osa mimobezek.

Prıklad. Urcete osu r mimobezek p a s. Prımka p je urcena pravym svislym okrajem promıtacıhoplatna, ktere sledujete, prımka s je urcena hornım okrajem vaseho sesitu.

Urcıme smer w , kolmy ke smerum prımek p a s. To bude smer hledane osy r .Sestrojıme rovinu ρ, ktera prochazı prımkou p a je rovnobezna se smerem w .Najdeme prunik T roviny ρ a prımky s.Osa r je dana bodem T a vektorem w .

? Co bude resenım, budou-li prımky p a s rovnobezne ?? Co bude resenım, budou-li prımky p a s ruznobezne ?? Jak urcıme vzdalenost mimobezek ?


Prıklad. Najdete osu r mimobezek p a q, vyjadrenych vztahy

p : X = A + sv , q : X = B + tu,

s, t ∈ R, kde A = [1, 0, 1], B = [0, 2, 2], v = (1, 1, 0), u = (−2, 0, 1).

(Overenı mimobeznosti p a q by se provedlo naprıklad zjistenım, ze determinant matice slozene zvektoru u, v a B − A je nenulovy.)Urcıme smer prımky r - smer kolmy k p i q,

w = v × u = (1,−1, 2).

Urcıme rovinu ρ prochazejıcı prımkou p a rovnobeznou se smerem w . Rovina ρ ma tedynormalovy vektor

(a, b, c) = w × v = (−2, 2, 2) = −2(1,−1,−1)

a rovnicix − y − z + d = 0.

Konstantu d spocteme dosazenım A do rovnice,

1 − 0 − 1 + d = 0,

tedy d = 0. Prunik q a ρ oznacıme C a spocteme dosazenım vyjadrenı q do obecne rovnice ρ,

(0 − 2t)− (2)− (2 + t) = 0.

Mame t = − 43 , a tedy C = [0, 2, 2]− 4

3 (−2, 0, 1) = [ 83 , 2, 2

3 ]. Osa mimobezek p a q je tedy

X = C + sw = [83

, 2,23] + k(1,−1, 2),

k ∈ R.12. prednaska (20.12.2010) Matematika 1 28 / 32

Prıklad. Najdeme prıcku r mimobezek p a q rovnobeznou se smerem w = (0, 1, 0). Prımky p a qjsou vyjadreny vztahy

p : X = A + sv , q : X = B + tu,

s, t ∈ R, kde A = [1, 0, 1], B = [0, 2, 2], v = (1, 1, 0), u = (−2, 0, 1).

Nejdrıve urcıme rovinu ρ prochazejıcı prımkou p a rovnobeznou se smerem w . Rovina ρ manormalovy vektor

n = v × w = (0, 0, 1),

a tedy obecnou rovnici z + d = 0. Urcıme d dosazenım bodu A do rovnice ρ,

1 · 1 + d = 0.

Dostaneme d = −1. Prunik ρ a q dostaneme dosazenım vyjadrenı q do ρ,

1(2 + t)− 1 = 0,

mame t = −1, tedy prunik je C = [0, 2, 2]− (−2, 0, 1) = [2, 2, 1]. Prıcka je tedy

X = C + kw = [2, 2, 1] + k(0, 1, 0),

kde k ∈ R.


Otazky.

1. Co lze obecne rıci o rovine zadane obecnou rovnicı ax + by + cz + d = 0, kdea) a = 0,b) a = b = 0,c) d = 0 ?

2. Jak najıt kolmy prumet prımky do roviny?

3. Jak najıt kolmy prumet bodu do roviny?

4. Jak najıt bod soumerne sdruzeny s danym bodem podle dane roviny?

5. Jak urcit vzdalenost bodu od roviny?




3 Prımky a roviny

4 Vzdalenosti

5 Prıcky mimobezek



Zkouska: 120 minut, sesite papıry, . . .

Odpovedi na otazky - vetami.

Nahledy, zkousenı na A, zapis znamky do indexu - nasledujıcı den po pısemne zkousce.

Vyberova Matematika 2 . . . web Katedry matematiky

Vycichlova soutez,

Rektorysova soutez,

Kapitoly ze soucasne matematiky,

seminar

. . . web Katedry matematiky

Katedra matematiky - predmet YZAI (Zaklady informatiky)

MATLAB, SCILAB - volne, atd.


Date post:	18-May-2019
Category:	Documents
Upload:	nguyenthuan
View:	221 times
Download:	0 times

Matematika 1mat.fsv.cvut.cz/Ivana/p12ver3web.pdfMatematika 1 12. pˇredn a´ˇska MA1 1 Analyticka...

Documents