Cıl techto stranek1 je trojı:(a) Zachytit to podstatne z prednasek tykajıcıch se linearnı algebry.(b) Nektere casti prednesene latky doplnit o podrobnosti a souvislosti, na nez pri prednascenebyl cas.(c) Pripomenout ty partie z predmetu Matematika 1, Matematika 2 a Matematika 3(resitelnost okrajovych uloh), bez nichz se v Matematice 4 (zejmena pri resenı prıkladu)nelze obejıt.
Nektere casti textu tedy prednasku presahujı a jsou jen informacnı, naprıklad metodasdruzenych gradientu je uvedena pro svou dulezitost, nicmene u zkousky se neobjevuje.Jine useky jsou naopak pro uspesne absolvovanı zkousky zasadnı, to se tyka predevsımoddılu 1, 2.1, 2.2, 2.4, 2.5, 2.7.1, 2.7.2 (zejmena Jacobiova metoda) a 2.8, jak je ostatnepatrne i z prıkladu uvedenych ve sbırce [9]. Kapitola 7 je venovana praktickym ukazkamtoho, jak se resı soustava linearnıch algebraickych rovnic a hleda extrem funkce jednepromenne, coz jsou dovednosti v [9] zhusta vyuzıvane.
V listopadu 2014 byly pridany dve nove casti. Kapitolu 3 tvorı tvrzenı a vztahypostacujıcı pro zvladnutı standardnıch skolnıch problemu zamerenych na resitelnost okra-jovych uloh. Kapitola 6 sestava z utrzkovitych informacı, ktere se mohou uplatnit priresenı uloh zadanych u zkousky.
Prace se sbırkou [9] vsak odhalı, ze nazev Prırucka pro prezitı je vıce reklamnı nezpravdivy. Prıklady v [9] totiz pokryvajı i temata, o nichz se prırucka vubec nezminuje,takze nastudovanı prırucky k bezproblemovemu zvladnutı zkousky z Matematiky 4 nemusıstacit.
1 Komplexnı cısla
Komplexnı cıslo ma tvar α = a+ i b, kde a ab jsou realna cısla a i je imaginarnı jednotka,pro niz platı
i2 = −1, i3 = −i, i4 = 1.
Realne cıslo a se nazyva realna cast cısla α,realne cıslo b se nazyva imaginarnı cast cıslaα. Je-li a = 0, nazyvame α ryze imaginarnımcıslem.
-
6
realna osa
imaginarnı osa
������
���rα = a+ i b
a
b
ϕ
r
Mnozinu komplexnıch cısel znacıme C, mnozinu realnych cısel znacıme R.Scıtanı a nasobenı komplexnıch cısel — dle pravidel pro upravu algebraickych vyrazu:
(a1 + i b1) + (a2 + i b2) = (a1 + a2) + i (b1 + b2),
(a1 + i b1)(a2 + i b2) = (a1a2 − b1b2) + i (a1b2 + a2b1).
1V zadnem prıpade nejde o uceleny ucebnı text podrobneho a vykladoveho typu, jako jsou naprıkladskripta a ucebnice.
2
Naprıklad
−2 + i 4 + 7− i 5 = 5− i,
(−2 + i 4)(7− i 5) = −14 + i 28 + i 10− i220 = 6 + i 38.
Cıslu a− i b rıkame cıslo komplexne sdruzene k cıslu α = a+ i b, komplexnı sdruzenostoznacujeme α.
Pro komplexnı cısla α, β, γ platı
(α + β) = α + β, αβ = αβ,
(α
γ
)=α
γ,
kde γ 6= 0.Absolutnı hodnotou komplexnıho cısla α = a + i b nazyvame realne cıslo |α| =√a2 + b2. Naprıklad |3− i 4| =
√32 + (−4)2 =
√25 = 5.
Prevracena hodnota komplexnıho cısla a+ i b je komplexnı cıslo 1/(a+ i b). Tento tvarcısla nam vsak nedava dobrou predstavu o realne a imaginarnı slozce prevracene hodnoty,proto je zadoucı vhodna uprava. Je zalozena na vynasobenı hodnotou 1 zapsanou ve tvaru
zlomkua− i b
a− i b. Pak
1
a+ i b
a− i b
a− i b=
a− i b
a2 + b2.
Konkretne naprıklad1
3 + i 4=
3
25− i
4
25.
S podılem dvou komplexnıch cısel si poradıme stejnym zpusobem:
c+ i d
a+ i b=c+ i d
a+ i b
a− i b
a− i b=
(c+ i d)(a− i b)
a2 + b2.
Konkretne naprıklad
2− i 3
3 + i 4=
(2− i 3)(3− i 4)
(3 + i 4)(3− i 4)=
6− i 8− i 9 + i212
32 − (i 4)2= − 6
25− i
17
25.
Upravou tedy dostavame komplexnı cıslo ve tvaru p + i q, kde p a q ovsem mohou bytrealna cısla ve tvaru zlomku.
Nenulova komplexnı cısla lze psat v goniometrickem tvaru
α = a+ i b = r(cosϕ+ i sinϕ) = reiϕ,
kde r = |α| a uhel ϕ (viz2 obrazek) je dan (az na cele nasobky 2π) vztahy
cosϕ =a√
a2 + b2, sinϕ =
b√a2 + b2
.
Vyhodou goniometrickeho vyjadrenı je snadne nasobenı komplexnıch cısel, nebot’ proα1 = r1(cosϕ1 + i sinϕ1) a α2 = r2(cosϕ2 + i sinϕ2) platı, ze
α1α2 = r1r2[cos(ϕ1 + ϕ2) + i sin(ϕ1 + ϕ2)].
Dalsı informace naprıklad v [12, Kapitola 1.6]).
2Toto mısto je mi prılezitostı k vyzve ctenarum, aby nepodlehali hromadnemu bludu a nepsali za viztecku. V anglictine se pıse viz., ale vyznam je zcela odlisny. Kdo v ceskem textu pıse viz., nedela si dobroureklamu.
3
2 Linearnı algebra
Odkazy na literaturu jsou spıse namatkove — knihy [1, 6] se tematu venujı do hloubky.Zaklady linearnı algebry (vektorovy prostor, matice, vlastnı cısla a vlastnı vektory, resenısoustav linearnıch algebraickych rovnic atd.) jsou vylozeny a prıklady ilustrovany v mnohabezne dostupnych skriptech, napr. [4, 5, 8, 11]. Zakladnı informace nabızı i [12]. Leccos jena internetu, doporucuji odkazy, k nimz se dostanete z webove stranky predmetu MA 4.
2.1 Vlastnı cısla, vlastnı vektory
Zpracovano predevsım podle [6]. Necht’ A je ctvercova(!!!) matice3 s realnymi nebo kom-plexnımi prvky. Nenulovy(!!!) vektor x se nazyva vlastnı vektor matice A, platı-li Ax = λxpro nejake cıslo4 λ ∈ C. Toto λ se nazyva vlastnı cıslo5 matice A odpovıdajıcı vlastnımuvektoru x. Dvojici (λ, x) budeme pro jednoduchost rıkat vlastnı par.
Aby cıslo λ bylo vlastnım cıslem matice A, je nutne a postacujıcı, aby matice A− λIbyla singularnı, tj. aby det(A − λI) = 0, jinymi slovy, aby hodnota λ byla korenemcharakteristickeho polynomu matice A.
Pripomenme, ze (ctvercova) matice B je singularnı prave tehdy, kdyz existuje nenulovyvektor x takovy, ze platı6 Bx = 0.
Poznamka 2.1 Matice s realnymi prvky muze mıt komplexnı vlastnı cısla a vlastnı vek-tory s komplexnımi slozkami, viz [9]. �
Nektere vlastnosti [2, 11] (A je ctvercova matice n-teho radu):
• Matice A = (aij) ma prave n vlastnıch cısel (pocıtame je i s jejich nasobnostmi),oznacme je λ1, λ2, . . . , λn. O jejich souctu a soucinu platı7
n∑i=1
λi =n∑i=1
aii, λ1λ2 . . . λn = detA.
• Vlastnı vektory maticeA odpovıdajıcı ruznym vlastnım cıslum jsou linearne nezavisle.(Platı i pro komplexnı matice.)
• Matice A je singularnı prave tehdy, kdyz ma vlastnı cıslo 0. (Platı i pro komplexnımatice.)
• Je-li λ vlastnı cıslo matice A, pak je λ take vlastnı cıslo matice AT.To je dusledek toho, ze determinant matice i k nı transponovane matice je v obouprıpadech stejny, i kdyz matice nenı symetricka. Proto
det(A− λI) = det((A− λI)T
)= det
(AT − λI
),
3Pripomenme, ze matice je obdelnıkova tabulka cısel (obecneji i jinych matematickych objektu —vyrazu, funkcı aj.), ktera mam radku a n sloupcu, je tedy typu (m,n) ci, jinak psano,m×n. O ctvercovychmaticıch, tj. maticıch typu (n, n), rıkame, ze jsou radu n.
4Uz v predchozı casti bylo zavedeno, ze symbol C oznacuje komplexnı cısla.5Zdurazneme, ze vlastnı cıslo muze byt rovno nule, kdezto vlastnı vektor je z definice vzdy nenulovy!6Symbol 0 zde znacı nulovy sloupcovy vektor.7Cıslo
∑ni=1 aii, tj. soucet diagonalnıch prvku ctvercove matice, se nazyva stopa matice a znacı se trA.
4
tedy oba charakteristicke polynomy jsou stejne a majı stejne mnoziny korenu (i s na-sobnostmi).
• Je-li (λ, x) vlastnı par realne matice A, je take (λ, x) vlastnı par matice A. To jepatrne z rovnostı
Ax = Ax = (Ax) = (λx) = λx.
• Je-li (λ, x) vlastnı par (realne nebo komplexnı) matice A, je (λk, x) vlastnı parmatice Ak, kde k je prirozene cıslo. To je videt z toho, ze
Akx = Ak−1(Ax) = Ak−1(λx) = λAk−1x = λAk−2(Ax)
= λAk−2(λx) = λ2Ak−2x = · · · = λk−1Ax = λkx
• Existuje-li A−1, tj. matice inverznı k matici A, je (λ, x) vlastnım parem matice Aprave tehdy, kdyz (1/λ, x) je vlastnım parem matice A−1 (tj. A i A−1 majı stejnevlastnı vektory, ale prevracena vlastnı cısla), nebot’
Ax = λx⇒ A−1Ax = A−1(λx)⇒ x = λA−1x⇒ λ−1x = A−1x,
a pak stejnou uvahu provedeme pro A−1x = λx, kde (λ, x) je vlastnı par maticeA−1. (Platı i pro komplexnı matice.)
• Je-li A realna a symetricka8 matice, pak vsechna jejı vlastnı cısla jsou realna a vlastnıvektory odpovıdajıcı ruznym vlastnım cıslum jsou vzajemne kolme.9
• Vlastnı cısla dolnı nebo hornı trojuhelnıkove matice jsou rovna prvkum maticelezıcım na hlavnı diagonale.10
• Matice A a matice AT majı stejna vlastnı cısla,11 ale jejich vlastnı vektory mohoubyt ruzne (jsou ovsem stejne, je-li A symetricka).
Rozlisujeme dve nasobnosti vlastnıho cısla λ matice A typu n× n:
• Algebraicka nasobnost je nasobnost korene charakteristickeho polynomu det(A−λI),tj. nasobnost resenı charakteristicke rovnice det(A− λI) = 0.
• Geometricka nasobnost je dimenze (pod)prostoru N (A − λI) = {v ∈ Rn : (A −λI)v = 0}, tj. maximalnı pocet linearne nezavislych vlastnıch vektoru prıslusnychvlastnımu cıslu λ.
8Pripomenme, ze matice transponovana k matici A = (aij) typu (m,n) vznikne prohozenım radku asloupcu matice A, tedy AT = (aji) je typu (n,m). Platı (A−1)T = (AT)−1, detA = detAT a pro soucinmatic AB platı (AB)T = BTAT.
O matici A rekneme, ze je symetricka, jestlize A = AT.9Analogicke tvrzenı platı i pro jisty typ komplexnıch matic (hermitovske matice), ale tım se nebudeme
zabyvat.10Nebot’ det(A− λI) = Πn
i=1(aii − λ).11Majı totiz stejne charakteristicke polynomy, tj. det(A − λI) a det(AT − λI). To je videt naprıklad
z vypoctu determinantu provedeneho metodou rozvoje (viz kapitolu 7), kdy det(A − λI) pocıtame roz-vojem podle naprıklad radku a det(AT − λI) = det
Zpracovano dle [6, str. 183]. Necht’ A = (aij) je komplexnı nebo realna ctvercova maticen-teho radu (tj. typu (n, n)). Potom vsechna vlastnı cısla matice A lezı v komplexnı rovineve sjednocenı
⋃ni=1 Ki kruhu Ki o stredu aii a polomeru
∑j 6=i |aij|:
Ki =
{z : |aii − z| ≤
n∑j 6=i
|aij|
}, i = 1, 2, . . . , n.
V kazde komponente tohoto sjednocenı lezı prave tolik vlastnıch cısel matice A, z kolikakruhu tato komponenta vznikla.
Specialne v izolovanem kruhu lezı prave jedno vlastnı cıslo. Kruh Ks je izolovany tehdya jen tehdy, platı-li pro vsechny indexy t 6= s, ze
|ass − att| >∑i 6=s
|asi|+∑j 6=t
|atj|,
kde se v prvnı sume scıta pres index i a v druhe pres index j.
2.3 Normovany linearnı prostor
Zpracovano dle [13, str. 46 a 111].Realny vektorovy prostor 12 je mnozina V (jejı prvky se nazyvajı vektory, i kdyz ne-
musejı byt tvoreny usporadanymi n-ticemi), na nız jsou definovany dve operace, jimzse rıka scıtanı (prvku vektoroveho prostoru) a nasobenı (prvku vektoroveho prostoru)skalarem. V nasem prıpade se skalarem myslı libovolne realne cıslo.
Pro kazdou dvojici vektoru x, y ∈ V a pro kazdou dvojici α, β ∈ R platı, ze vysledeklinearnı kombinace αx+ βy opet lezı v prostoru V .
Operace scıtanı a nasobenı (skalarem) dale majı nasledujıcı vlastnosti:Kazde dvojici vektoru x a y je prirazen vektor x+ y tak, ze x+ y = y+ x; pro kazdou
trojici vektoru x, y a z platı x+ (y+ z) = (x+ y) + z; V obsahuje jediny vektor 0 (nulovyvektor neboli pocatek) takovy, ze x+ 0 = x pro kazde x ∈ V ; konecne kazdemu x ∈ V jeprirazen jediny vektor −x takovy, ze x+ (−x) = 0.
Kazde dvojici α, x, kde x ∈ V a α ∈ R je skalar, je prirazen vektor αx ∈ V takovy,ze 1x = x, α(βx) = (αβ)x a jsou splneny dva distributivnı zakony α(x + y) = αx + αy,(α + β)x = αx+ βx.
Zcela obdobne lze zavest komplexnı vektorovy prostor, pak skalar znamena komplexnıcıslo.
12Tez se rıka linearnı prostor.
6
Realny (nebo komplexnı) vektorovy prostor X se nazyva normovany linearnı prostor,jestlize kazdemu x ∈ X je prirazeno realne cıslo ‖x‖, ktere se nazyva norma x, a jsousplneny tyto podmınky:
‖x‖ ≥ 0 ∀x ∈ X, (1)
‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ ∀x, y ∈ X, (2)
‖αx‖ = |α|‖x‖ ∀x ∈ X, ∀α ∈ R (α ∈ C, je-li X komplexnı), (3)
‖x‖ = 0⇒ x = 0. (4)
Povsimneme si, ze pro u, v, w ∈ X platı
‖u− v‖ ≤ ‖u− w‖+ ‖w − v‖, (5)
coz plyne z rovnosti ‖u− v‖ = ‖u− w + w − v‖, v nız polozıme x = u− w a y = w − v,a pak uplatnıme (2). Nerovnosti (2), ale i (5) se rıka trojuhelnıkova nerovnost.
Pro 0 (nulovy prvek prostoru X) platı ‖0‖ = 0 (viz (3)-(4), kde α = 0).
2.4 Normy vektoru a matic
Vıce a podrobneji v [6, str. 164 a dalsı].Vektorem x nynı rozumıme matici typu (n, 1), tj. x = (x1, x2, . . . , xn)T ∈ Cn, prıpadnex ∈ Rn.
Pozadavkum (1)-(4) vyhovuje mnoho ruznych definic norem vektoru. V linearnı algebrese vsak jako nejpraktictejsı osvedcily tyto:
Pro p ≥ 1 je lp-norma definovana vztahem
‖x‖p =
(n∑i=1
|xi|p)1/p
,
jejı dulezite specialnı prıpady jsou
‖x‖1 =n∑i=1
|xi| (oktaedricka norma),
‖x‖2 =
(n∑i=1
|xi|2)1/2
(euklidovska norma).
Limitnım prıpadem lp-normy (pro p→∞) je max-norma:
‖x‖∞ = maxi∈{1,2,...,n}
|xi|.
V dalsım se pro jednoduchost omezme na realne matice a na realne vektory. 13
13Pro zvıdave: Nıze uvedene definice norem matic by byly platne i pro komplexnı matice, jen normu‖ · ‖2 by bylo nutne definovat mırne odlisne.
7
Uvazujme mnozinu vsech (realnych) matic typu (m,n) a povsimneme si, ze zavedeme-li obvykle scıtanı matic a nasobenı matic skalarem, tvorı tato mnozina vektorovy pros-tor; oznacme jej M. Necht’ Xn a Ym jsou (realne) prostory m-dimenzionalnıch a n-dimenzionalnıch vektoru opatrene normou ‖ · ‖Xn a normou ‖ · ‖Ym . Pak vztahem14
‖A‖YmXn = sup {‖Ax‖Ym : x ∈ Xn, ‖x‖Xn = 1} (6)
definujeme pro kazdou matici A ∈ M normu ‖A‖YmXn ; dukaz, ze ‖A‖YmXn opravdu mavlastnosti normy, je podan naprıklad v [6]. O norme ‖ · ‖YmXn rıkame, ze je generovananormami ‖ · ‖Xn a ‖ · ‖Ym .
Z (3) a ze spojitosti zobrazenı x 7→ Ax plyne, ze (6) lze ekvivalentne definovat takto
‖A‖YmXn = max{x∈Xn: x6=0}
‖Ax‖Ym‖x‖Xn
. (7)
Povsimneme si, ze jestlize platı y = Ax, kde x ∈ Xn a y ∈ Ym, pak z (7) plyne
‖y‖Ym ≤ ‖A‖YmXn‖x‖Xn . (8)
Jsou-li v obou prostorech pouzity normy stejneho typu — konkretne ‖ · ‖ξ, kde ξodpovıda 1, 2, p nebo ∞, pak i normu matice A generovanou normami ‖ · ‖ξ budemeznacit ‖A‖ξ. V nekterych prıpadech se dokonce muzeme vyhnout nepohodlnemu vypoctunormy z definice (6) ci (7), protoze lze ukazat (viz [6]), ze platı
‖A‖1 = maxk∈{1,2,...,n}
m∑i=1
|aik|,
‖A‖∞ = maxi∈{1,2,...,m}
n∑k=1
|aik|,
‖A‖2 = (%(ATA))1/2 (spektralnı norma),
kde AT znacı matici transponovanou k matici A.Jest %(ATA) = %(AAT) = λmax(AAT) = λmax(ATA), kde λmax(ATA) znacı nejvetsı
vlastnı cıslo matice ATA (matice ATA je symetricka a pozitivne semidefinitnı, vsechnajejı vlastnı cısla jsou realna a nezaporna).
Je-li matice A realna a symetricka, je ‖A‖2 = (%(ATA))1/2 = (%(A2))1/2 = %(A).
Casto pouzıvana Frobeniova norma
‖A‖F =
(m∑i=1
n∑k=1
|aik|2)1/2
nenı (pro n > 1 nebo m > 1) normou matice generovanou z norem v prostorech Xn
a Ym. Povsimnete si, ze pro In, jednotkovou matici n-teho radu, je ‖In‖F =√n, kdezto
‖In‖ξ = 1, kde ξ = 1, 2, p,∞.
Lze dokazat [6, Veta 9.2], ze je-li A ctvercova matice a ‖ · ‖ Frobeniova nebo libo-volna generovana norma, pak %(A) ≤ ‖A‖. Z predchozıho uz vıme, ze v prıpade, ze A jesymetricka matice, platı %(A) = ‖A‖2
14Pokud nejste obeznameni s pojmem supremum, nahrad’te jej ve vztahu (6) pojmem maximum,tj. ‖A‖YmXn = max {‖Ax‖Ym : x ∈ Xn, ‖x‖Xn = 1}.
8
2.5 Skalarnı soucin vektoru
I v teto casti predpokladame, ze matice a vektory jsou realne.Pripomenme definici skalarnıho soucinu v prostoru n-rozmernych realnych vektoru:15
skalarnım soucinem vektoru x = (x1, . . . , xn) a y = (y1, . . . , yn) rozumıme cıslo
(x, y) =n∑k=1
xkyk. (9)
Pro x, y, z ∈ Rn a α ∈ R platı
(y, x) = (x, y), (10)
(x+ z, y) = (x, y) + (z, y), (11)
(αx, y) = α(x, y), (x, αy) = α(x, y), (12)
(x, x) ≥ 0, (13)
(x, x) = 0⇒ x = 0. (14)
Ovsem take (0, x) = (x, 0) = 0, viz (12) pri α = 0.Pomocı skalarnıho soucinu definujeme euklidovskou normu vektoru
‖x‖2 =√
(x, x). (15)
Z definice skalarnıho soucinu a prımym vypoctem dostaneme ([6, Veta 2.3]), ze (Ax, y) =(x,ATy) =
∑j,k ajkyjxk.
Pripomenme jeste, ze o vektorech x, y ∈ Rn, pro nez (x, y) = 0, rekneme, ze jsouvzajemne kolme (ortogonalnı).
Dulezita a uzitecna je Cauchyova nerovnost (tez nekdy nazyvana Schwarzova nerov-nost)
|(x, y)| ≤ ‖x‖2 ‖y‖2, (16)
jejız odvozenı nenı obtızne: Jestlize y je nulovy vektor, pak (16) platı, nebot’ 0 ≤ 0. Jestlizey 6= 0, pak spocıtejme kvadrat normy specialne zvoleneho vektoru (je to samozrejmenezaporne cıslo)
0 ≤∥∥∥∥x− (x, y)
‖y‖22
y
∥∥∥∥2
2
=
(x− (x, y)
‖y‖22
y, x− (x, y)
‖y‖22
y
)= ‖x‖2
2 − 2(x, y)2
‖y‖22
+(x, y)2
‖y‖22
= ‖x‖22 −
(x, y)2
‖y‖22
.
15Pro zajemce. Definice skalarnıho soucinu komplexnıch vektoru se lisı jen v (10) a (12), konkretne
(y, x) = (x, y),
α(x, y) = α(x, y), (x, αy) = α(x, y),
v definici se tedy vyskytujı komplexne sdruzena cısla.
9
Porovnanım leveho a praveho konce retezce zjistıme, ze
0 ≤ ‖x‖22 −
(x, y)2
‖y‖22
,
(x, y)2
‖y‖22
≤ ‖x‖22,
(x, y)2 ≤ ‖x‖22‖y‖2
2.
Poznamka 2.2 Pozdeji pro nas bude dulezity skalarnı soucin funkcı definovany profunkce z linearnıho prostoru C([a, b]) funkcı spojitych na uzavrenem intervalu [a, b], jenzje pro u, v ∈ C([a, b]) definovan takto
(u, v) =
∫ b
a
u(x)v(x) dx. (17)
Uvedomte si, ze urcity integral soucinu dvou funkcı opravdu splnuje pozadavky kladenena skalarnı soucin, viz (10)-(14), a definuje normu na prostoru C([a, b]), viz (15). Zarovenplatı nerovnost (16) a o funkcıch u, v ∈ C([a, b]), pro nez platı (u, v) = 0, rıkame, ze jsouortogonalnı. Skalarnı soucin (17) je dulezity pri studiu diferencialnıch rovnic s okrajovymipodmınkami.
Take se zamyslete nad tım, ze C([a, b]) s obvyklym scıtanım dvou funkcı a s nasobenımfunkce realnym cıslem tvorı vektorovy (linearnı) prostor.
K temto tematum se vratıme v kapitole 5.1.
2.6 Pozitivne definitnı matice
Matice A = (aij) typu (n, n) se nazyva pozitivne definitnı, platı-li pro kazdy nenulovyn-rozmerny realny vektor x
(Ax, x) > 0, tj.n∑j=1
n∑j=1
aijxixj > 0.
Lze ukazat, ze symetricka(!) matice A je pozitivne definitnı prave tehdy, kdyz vsechnavlastnı cısla matice A jsou kladna. (To je jen jedna z mnoha ekvivalentnıch charakterizacı,jez uvadı napr. [6, Veta 2.17].)
Jestlize platı jen neostra nerovnost, tj. (Ax, x) ≥ 0, hovorıme o matici semidefinitnı.
Poznamka 2.3 Rozmyslete si, ze pro matici A typu (n, n) a sloupcove vektory x, y typu(n, 1) platı
Uvazovane matice jsou ctvercove typu (n, n) a vsecky jejich prvky jsou realne, vektoryjsou n-rozmerne sloupcove. Nepredpoklada se, ze matice jsou pozitivne definitnı.
10
2.7.1 Gaussova eliminacnı metoda
Metodu znate z prvnıho semestru, je vylozena napr. ve standarnıch skriptech Matema-tika I. Tem, kdo si ji chtejı pripomenout, doporucuji prejıt ke kapitole 7.1. Nıze uvadım jenjadro metody v podobe vztahu pouzıvanych pri eliminaci [6, str. 203], viz take napr. [14]a mnohe jine zdroje. Vztahy se mohou hodit tem, kdo by si chteli metodu naprogramovat.
Resme soustavu Ax = b se ctvercovou maticı n-teho radu, kde b ∈ Rn a take vsechnyprvky aij matice A jsou realne.
Oznacme a(0)1i = a1i a definujme vztahy zavisle na k = 1, 2, . . . , n− 1,
a(k)ij = a
(k−1)ij − a(k−1)
ik (a(k−1)kk )−1a
(k−1)kj , i, j = k + 1, . . . , n, (18)
b(k)i = b
(k−1)i − a(k−1)
ik (a(k−1)kk )−1b
(k−1)k , i = k + 1, . . . , n, (19)
pritom se predpoklada, ze hlavnı prvky jsou nenulove
a11 6= 0, a(1)22 6= 0, a
(2)33 6= 0, . . . , a
(n−2)n−1,n−1 6= 0, (20)
aby se v (18)-(19) nedelilo nulou. Smyslem (18) je v k-tem kroku vynulovat tu cast k-teho sloupce matice, ktera lezı pod hlavnı diagonalou, a to odectenım vhodnych nasobkuk-teho radku. Vynulovane prvky uz nejsou vztahem (18) zachyceny. Odpovıdajıcı upravyprave strany popisuje vztah (19).
Zaved’me zjednodusene oznacenı
lik = a(k−1)ik (a
(k−1)kk )−1, i = k + 1, . . . , n, (21)
ukj = a(k−1)kj , j = k, k + 1, . . . , n, k = 1, 2, . . . , n.
Pak soustava Ax = b prejde po eliminaci prvku pod hlavnı diagonalou na ekvivalentnısoustavu16 Ux = b, kde U je hornı trojuhelnıkova matice n-teho radu s prvky ukj.
Definujme dolnı trojuhelnıkovou matici L = (lij) n-teho radu:
lik =
viz (21), jestlize i > k,
1, jestlize i = k,
0, jestlize i < k.
Lze ukazat, ze A = LU , a tedy Ux = L−1b, kde L−1b = b. Pak x = U−1b. V praxi sematice U neinvertuje, ale soustava Ux = b se resı “zpetnym chodem”, pricemz vektor bse z rovnice Lb = b take vypocıta doprednou obdobou zpetneho chodu.
Nenı-li splneno (20) nebo potrebujeme-li se vyhnout numerickym problemum,17 po-
muzeme si pivotacı, tj. vyberem hlavnıho prvku, v upravach vystupuje v (a(k−1)kk )−1. Nej-
jednodussı je castecna pivotace zalozena na prohozenı radku (vcetne odpovıdajıcıch slozek
16To je ta soustava, k nız dospejete postupem, ktery znate uz z MA 1, cestou pouzıvate informace, jezzachycuje matice L zmınena dale.
17Vypocetnı nesnaze provazene ztratou presnosti resenı se objevujı, kdyz a(k−1)kk je male cıslo, tedy
(a(k−1)kk )−1 je cıslo velke.
11
vektoru na prave strane soustavy). Pri uplne pivotaci se na mısto hlavnıho prvku presouvaten prvek “nedokoncene”casti matice, jenz je v absolutnı hodnote maximalnı. Pritom semohou prohodit i sloupce matice, coz znamena zmenu poradı slozek vektoru neznamych.
Je-li matice A symetricka a pozitivne definitnı, je (20) splneno, k pivotaci vsak mohouvest ohledy na presnost vysledku zıskaneho v pocıtacove aritmetice.
Je-li matice A symetricka a pozitivne definitnı, je vyhodny rozklad (Choleskeho roz-klad, metoda) A = LLT, kde L = (lij) je dolnı trojuhelnıkova matice s prvky pocıtanymipostupne pro r = 1, 2, . . . , n:
lrr = (arr −r−1∑s=1
l2rs)1/2,
lir =1
lrr(air −
r−1∑s=1
lrslis), i = r + 1, . . . , n.
O matici rekneme, ze je rıdka, pokud nejvyse 5% prvku matice je nenulovych.
Zaplnenı matice (anglicky fill-in): Jev pri Gaussove eliminaci charakterizovany tım, zepri ekvivalentnıch upravach vedoucıch k hornı trojuhelnıkove matici se zvysuje pocetnenulovych prvku a rostou naroky na pamet’ pocıtace a pocet operacı. Prıkladem muzebyt matice nulova az na hlavnı diagonalu, prvnı radek a prvnı sloupec. Oslabuje se ciztracı charakter rıdke matice.
Matice (p, q)-pasova: jejı prvky lezıcı mimo pas kolem hlavnı diagonaly jsou nulove.Presneji [6]
p = max(p0, 0), p0 = max{k − i; i, k, aik 6= 0},q = max(q0, 0), q0 = −min{k − i; i, k, aik 6= 0}.
Pocet aritmetickych operacı nutnych pro vyresenı soustavy Ax = bPredpokladejme, ze nenı treba provadet pivotaci a ze narocnost jednoho delenı odpovıdanarocnosti jednoho nasobenı a scıtanı.
Pak (viz [1, Section 1.4.3]) k vyresenı soustavy s (a) plnou maticı potrebujeme zhruban3/3+n2 flops (floating point operations, aritmetickych operacı s plovoucı radovou carkou),(b) plnou symetrickou maticı zhruba n3/6 + n2 flops, (c) (q, q)-pasovou maticı zhruba(q + 1)2n + 2qn flops, (d) (q, q)-pasovou symetrickou maticı zhruba (q + 1)2n/2 + 2qnflops.
2.7.2 Iteracnı metody
Budeme se zabyvat resenım soustavy linearnıch algebraickych rovnic s regularnı (tj. ctver-covou) realnou maticı. U zkousky se muzete setkat s prıklady tykajıcımi se Jacobiovya Gaussovy-Seidelovy metody.
12
Veta 2.1 (podrobneji viz [6, Veta 12.1]) Necht’ pro spektralnı polomer %(A) matice Aplatı %(A) < 1. Pak pro libovolny vektor b a kazdy pocatecnı vektor x(0) posloupnostvektoru {x(k)}k=0,1,2,... urcena vztahem
x(k+1) = Ax(k) + b, k = 0, 1, 2, . . . , (22)
konverguje (po souradnicıch) k vektoru x, jenz je resenım soustavy
(I − A)x = b. (23)
Postacujıcı podmınkou pro %(A) < 1 je, aby pro nekterou generovanou normu ‖A‖matice A platilo ‖A‖ < 1.
Pak take platı odhady
‖x− x(k)‖ ≤ ‖A‖k‖x(0)‖+‖A‖k
1− ‖A‖‖b‖, (24)
‖x− x(k)‖ ≤ ‖A‖1− ‖A‖
‖x(k) − x(k−1)‖. (25)
Dukaz nerovnosti (25) je velmi jednoduchy. Protoze x = Ax+ b, platı (s uzitım (22))tento retezec rovnostı
Normy leve a prave strany rovnosti jsou si rovny, ale, po uplatnenı trojuhelnıkove nerov-nosti, normu clenu A(x− x(k)) a A(x(k) − x(k−1)) odhadneme shora pomocı (8)
‖x− x(k)‖ ≤ ‖A‖‖x− x(k)‖+ ‖A‖‖x(k) − x(k−1)‖,
coz po algebraicke uprave dava nerovnost (25).
Povsimneme si, ze nerovnosti (24)-(25) nam umoznujı odhadnout chybu (ve vyznamu
”nepresnost“) iteracnıho resenı v k-tem kroku, aniz bychom znali presne resenı x!
My se vsak v praxi nesetkavame se soustavami ve tvaru (23), nybrz ve tvaru
Cx = y. (26)
Musıme tedy od (26) prejıt k (23), coz lze udelat napr. takto [6, str. 217]:
Napıseme18 C = (cij) jako D − C, kde D = diag{c11, c22, . . . , cnn} je matice, jejızhlavnı diagonala je totozna s hlavnı diagonalou matice C, ale jejız vsechny ostatnı prvkyjsou nulove, a C = (cij) je matice s prvky cii = 0, cij = −cij pro i 6= j.
18Cely postup lze ekvivalentne zapsat s odlisnou znamenkovou konvencı, ta vsak muze nekomu vıcevyhovovat. Napıseme C = (cij) jako D + C, kde C = (cij) je matice s prvky cii = 0, cij = cij pro i 6= j.
Jsou-li vsechny diagonalnı prvky cii nenulove, polozıme (povsimnete si znamenka v definici matice Azde a v (27))
A = −D−1C, b = D−1y.
Overme, ze soustavy (I −A)x = b a Cx = y majı stejne resenı x:
(I −A)x = b⇔ (I +D−1C)x = D−1y ⇔ (D + C)x = y ⇔ Cx = y.
13
Jsou-li vsechny diagonalnı prvky cii nenulove, polozıme
A = D−1C, b = D−1y. (27)
Overme, ze soustavy (I − A)x = b a Cx = y majı stejne resenı x:
(I − A)x = b⇔ (I −D−1C)x = D−1y ⇔ (D − C)x = y ⇔ Cx = y.
Iteracnı metoda (22), kde matice A a vektor b jsou dany predpisem (27), se nazyvaJacobiova a lze ji zapsat i takto
x(k+1) = D−1Cx(k) +D−1y, k = 0, 1, . . . , (28)
kde pocatecnı vektor x(0) ∈ Rn zvolıme, a pak postupne vypocıtavame vektory x(1), x(2),x(3), . . .
Zapsano po slozkach
x(k+1)i = − 1
cii
(i−1∑j=1
cijx(k)j +
n∑j=i+1
cijx(k)j
)+yicii, i = 1, 2, . . . , n, (29)
kde x(s)r znacı r-tou slozku vektoru x(s), cij jsou prvky matice C a yi jsou slozky vektoru
y.Podle vety 1 podmınka %(D−1C) < 1 zarucuje konvergenci Jacobiovy metody pro
kazdou pravou stranu y a pri libovolne volbe pocatecnıho vektoru x(0). Tuto podmınkuvsak byva nesnadne overit, proto se v praxi pouzıvajı podmınky jednodussı, uved’me dve.
Veta 2.2 ([6, Veta 12.2]) Necht’ matice C = (cij) n-teho radu ma prevladajıcı diagonalu,tj. necht’ existujı kladna cısla h1, h2, . . . , hn tak, ze
|cii|hi >∑k 6=i
|cik|hk, i = 1, . . . , n.
Pak Jacobiova metoda pro resenı soustavy Cx = y konverguje pro kazdou pravou stranuy a kazdy pocatecnı vektor x(0).(Poznamka: V praxi nekdy stacı volit h1 = h2 = · · · = hn = 1.) �
Veta 2.3 ([6, str. 219]) Ma-li realna symetricka matice C vsechny prvky na hlavnı dia-gonale kladne a je-li D diagonalnı cast matice C (definici matice D viz vyse), konvergujeJacobiova metoda pro kazdy pocatecnı vektor a kazdou pravou stranu, prave kdyz Ci 2D − C jsou pozitivne definitnı matice. �
Jiny rozklad matice C vede na jinou metodu.Pisme
C = D + L+ U, (30)
kde D je opet diagonalnı cast matice C, L je dolnı trojuhelnıkova matice, ktera je podhlavnı diagonalou identicka s maticı C a jinde nulova, U je hornı trojuhelnıkova matice,
14
ktera je nad hlavnı diagonalou identicka s maticı C a jinde nulova; matice L a U majınulove hlavnı diagonaly.
Z (32) plyne, ze vektor x(k+1) resı soustavu (D+L)x(k+1) = −Ux(k)+y. Teto rovnosti sevyuzıva v implementaci algoritmu Gaussovy-Seidelovy metody, pri nız se snadno vyhnemevypoctu inverznıch matic. Protoze matice D+L je dolnı trojuhelnıkova, lze prvnı slozkuvektoru x(k+1) ihned vypocıtat. Tuto slozku pak dosadıme do rovnice pro druhou slozkuvektoru x(k+1), cımz pocet neznamych teto rovnice redukujeme o jednu (tj. na jednu);vypocteme druhou slozku. Prvnı a druhou slozku vektoru x(k+1) dosadıme do rovnice protretı slozku vektoru x(k+1), cımz pocet neznamych teto rovnice opet redukujeme na jednu;vypocteme tretı slozku. Takto postupujeme tak dlouho, az vypocteme cely vektor x(k+1).
Predchozı slovnı popis muzeme snadno vyjadrit matematickym zapisem (viz [12]):
x(k+1)i = − 1
cii
(i−1∑j=1
cijx(k+1)j +
n∑j=i+1
cijx(k)j
)+yicii, i = 1, 2, . . . , n, (33)
kde cij jsou prvky matice C a yi slozky vektoru y. Srovnejte (29) a (33).
Lze ukazat [6, Veta 12.4], ze ma-li matice C prevladajıcı diagonalu (viz vyse), je%((D−L)−1U) < 1, tj. metoda konverguje pro kazdou volbu pocatecnıho vektoru a kazdoupravou stranu. Velmi uzitecne je toto tvrzenı:19
Veta 2.4 ([6, Veta 12.5]) Gaussova-Seidelova metoda konverguje, je-li matice C pozitivnedefinitnı. �
Dnes pravdepodobne nejpouzıvanejsı metodou pro iteracnı resenı soustav se symetric-kou a pozitivne definitnı maticı je metoda sdruzenych gradientu a jejı vylepsenı.
19Numericke resenı mnoha praktickych uloh je zalozeno na vyresenı soustavy linearnıch algebraickychrovnic. To, ze odpovıdajıcı matice je pozitivne definitnı (a casto i symetricka), lze u nekterych metod(naprıklad u metody konecnych prvku) a u rady dulezitych inzenyrskych problemu snadno ukazat prımoz vlastnostı vychozı ulohy, aniz by bylo nutne analyzovat konkretnı matici. Predpoklad tvrzenı tedyv praxi byva splnen.
15
Pro s.p.d. matici A typu (n, n) je metoda definovana takto (viz napr. [6, str. 212]nebo [10, str. 105]): Necht’ x(0) je pocatecnı aproximace resenı soustavy Ax = b takova,ze Ax(0) 6= b. Polozme p(0) = r(0) = b− Ax(0) a pocıtejme pro k = 0, 1, . . . , n− 1
a(k) =(r(k), r(k))
(Ap(k), p(k)),
x(k+1) = x(k) + a(k)p(k),
r(k+1) = r(k) − a(k)Ap(k),
b(k) =(r(k+1), r(k+1))
(r(k), r(k)),
p(k+1) = r(k+1) + b(k)p(k).
Nenı-li pro zadne k < n vektor r(k) nulovy, je x(n) resenı. Nastane-li (poprve) pro nejakek < n, ze vektor r(k) je nulovy, je x(k) resenı.
Predchozı tvrzenı zarucuje, ze resenı nalezneme v nejvyse n krocıch; jde tedy vlastneo metodu prımou. Zaroven (a casteji) je vsak pocıtana mezi metody iteracnı; jednakkvuli nepresne pocıtacove aritmetice proces nebyva ukoncen nulovostı vektoru ri, jednakv mnoha praktickych prıpadech je uspokojive presnosti resenı dosazeno mnohem drıve nezpo n krocıch. O metode prıstupnym zpusobem pojednava [10], velmi podrobne [1].
Obdobou nerovnostı (24)-(25) je odhad (viz napr. [10])
‖x− x(k)‖A ≤ 2
(√κ(A)− 1√κ(A) + 1
)k
‖x− x(0)‖A, k = 0, 1, 2, . . . ,
kde κ(A) je cıslo podmınenosti20 definovane jako podıl nejvetsıho vlastnıho cısla maticeA k nejmensımu vlastnımu cıslu matice A a ‖x‖A =
√xTAx je (energeticka) norma (ze
jde o normu, to plyne z pozitivnı definitnosti matice A).
2.8 Cıslo podmınenosti
Necht’ ‖ · ‖ je nejaka generovana norma a necht’ A je regularnı matice (tj. existuje maticeA−1). Pak cıslo
κ(A) = ‖A‖ ‖A−1‖
se nazyva cıslo podmınenosti matice A vzhledem k norme ‖ · ‖.Pripomenme si, ze je-li A realna a symetricka matice a pouzijeme-li normu ‖ · ‖2, je
‖A‖2 = %(A). Predpokladejme navıc, ze matice A je pozitivne definitnı, pak %(A) = λmax,kde λmax je nejvetsı vlastnı cıslo matice A (vsechna vlastnı cısla pozitivne definitnı maticejsou kladna). Protoze vlastnı cısla matice A−1 jsou prevracenymi hodnotami vlastnıchcısel (pozitivne definitnı) matice A, je ‖A−1‖2 = 1/λmin, kde λmin je nejmensı vlastnı cıslomatice A. Pak tedy κ(A) = λmax/λmin (je-li matice A symetricka a pozitivne definitnı).Je-li matice A jen realna a symetricka, je k vypoctu norem ‖A‖2 a ‖A−1‖2 zapotrebı vzıtabsolutnı hodnoty vlastnıch cısel, nebot’ prıslusna vlastnı cısla mohou byt i zaporna.
20Podrobneji v oddılu 2.8.
16
Cıslo podmınenosti ukazuje, jak citlive muze byt resenı soustavy linearnıch alge-braickych rovnic na male zmeny soustavy a prave strany. Je-li z resenı soustavy Az = ba x resenı soustavy s maticı A + Γ a s pravou stranou b + β, pricemz prvky matice Γa vektoru β jsou male, tj. (A + Γ)x = b + β, pak pro velikost relativnıho rozdılu mezi za x platı [1, Theorem A.13′]
‖x− z‖‖z‖
≤ κ(A)
1− ‖A−1Γ‖
[‖Γ‖‖A‖
+‖β‖‖b‖
], (34)
za predpokladu, ze ‖A−1Γ‖ < 1.Predchozı odstavec popisuje naprıklad situaci, kdy mısto presne soustavy Az = b
resıme soustavu (A+Γ)x = b+β, ktera odpovıda nepresne spocıtane matici A a nepresneurcenemu vektoru b (nepresnosti jsou reprezentovane maticı Γ a vektorem β). To je v praxibezne, pokud prvky matice A a vektoru b pocıtame nejakou numerickou, tudız pribliznoumetodou. Nerovnost (34) nam rıka, ze soucet relativnıch nepresnostı (vyraz v [ ]) je zesılen
faktoremκ(A)
1− ‖A−1Γ‖, jenz pri velkem κ(A) muze byt velmi velky. Pak je hornı mez pro
relativnı chybu na leve strane (34) take velka. Praxe ukazuje, ze skutecna chyba opravduvelka byva.
Jeste srozumitelnejsı je tvrzenı [6, Veta 11.1]: Necht’ A je regularnı matice a x0 resenısoustavy Ax = b0 a x1 resenı soustavy Ax = b1, kde b0 6= b1, pak platı
‖x1 − x0‖‖x0‖
≤ κ(A)‖b1 − b0‖‖b0‖
, (35)
kde κ(A) je cıslo podmınenosti matice A vzhledem k norme ‖ · ‖. Pritom k dane maticiA existujı vektory b0 6= 0 a b0 6= b1 takove, ze v (35) nastane rovnost.
Jinymi slovy, i kdyz se od sebe prave strany soustavy lisı malo, mohou se prıslusnaresenı lisit velmi mnoho.
3 Resitelnost okrajovych uloh v 1D
Resitelnost obycejne diferencialnı rovnice
u′′ + λu = f, (36)
kde f je funkce spojita na intervalu [a, b], doplnene o okrajovou podmınku
u(a) = 0, u(b) = 0 (37)
nebo o okrajovou podmınkuu(a) = 0, u′(b) = 0 (38)
nebo o okrajovou podmınkuu′(a) = 0, u(b) = 0 (39)
je popsana takto (viz [15, tvrzenı 4.9 a veta 5.15]):
17
• Nenı-li λ vlastnı cıslo okrajove ulohy dane rovnicı (36) a okrajovou podmınkou, mauloha prave jedno resenı.
• Je-li λ vlastnı cıslo a f je ortogonalnı k vlastnı funkci prıslusne λ, ma uloha ne-konecne mnoho resenı.
• Je-li λ vlastnı cıslo a f nenı ortogonalnı k vlastnı funkci prıslusne λ, nema ulohazadne resenı.
Okrajovou podmınkou se myslı podmınka (37) nebo (38) nebo (39).
Pro aplikaci predchozıch tvrzenı je tedy nutne znat systemy vlastnıch cısel a vlastnıchfunkcı.
Okrajova uloha (36), (37).
Vlastnı cısla λk = k2 π2
(b− a)2, vlastnı funkce uk(x) = sin
kπ(x− a)
b− a, k = 1, 2, . . .
Okrajova uloha (36), (38).
Vlastnı cısla λk =
((k − 1/2)π
b− a
)2
, vlastnı funkce uk(x) = sin(k − 1/2)π(x− a)
b− a, k =
1, 2, . . .
Okrajova uloha (36), (39).
Vlastnı cısla λk =
((k − 1/2)π
b− a
)2
, vlastnı funkce uk(x) = cos(k − 1/2)π(x− a)
b− a, k =
1, 2, . . .
Pro vsechny tri typy okrajovych uloh platı, ze cuk, kde 0 6= c ∈ R, je opet vlastnıfunkce prıslusna vlastnımu cıslu λk a ze vlastnı funce prıslusne ruznym vlastnım cıslumjsou ortogonalnı na intervalu [a, b].21
4 Metoda sıtı – zakladnı schemata
h . . . krok sıte ve smeru x, tj. h = xi − xi−1
q . . . krok sıte ve smeru y, tj. q = yj − yj−1
τ . . . krok ve smeru t, tj. τ = tk − tk−1
Ui . . . hodnota priblizneho resenı v uzlu xi (1D ulohy)U ji . . . hodnota priblizneho resenı v uzlu (xi, yj) (Poissonova rovnice)
21U okrajovych uloh (36), (38) a (36), (39) se muzete setkat s formalne odlisnym vztahem definujıcımvlastnı cısla a vlastnı funkce, a to
λk =
((k + 1/2)π
b− a
)2
, uk(x) = sin(k + 1/2)π(x− a)
b− a, k = 0, 1, 2, . . .
λk =
((k + 1/2)π
b− a
)2
, uk(x) = cos(k + 1/2)π(x− a)
b− a, k = 0, 1, 2, . . .
Vztahy v hlavnım textu se od vztahu v teto poznamce lisı znamenkem pred 1/2 a dolnı mezı pro pa-rametr k. Systemy vlastnıch cısel a vlastnıch funkcı jsou ovsem stejne, lisı se jen poradovymi cısly,tj. λk−1 = λk a uk−1 = uk, kde k = 1, 2, . . .
18
Uki . . . hodnota priblizneho resenı v uzlu (xi, tk) (rovnice zavisle na case t)
f ji ≡ f(xi, yj)
Obycejne diferencialnı rovnice, okrajove ulohy na intervalu [a, b]Rovnomerna sıt’ uzlu xi = a+ ih pro i = 0, 1, 2, . . . ,m, kde x0 ≡ a a xm ≡ b.Nahrada prvnı derivace presneho resenı u v bode xi
u′(xi) ≈Ui+1 − Ui−1
2h(symetricke schema).22
Nahrada druhe derivace
u′′(xi) ≈Ui−1 − 2Ui + Ui+1
h2.
Graficke znazornenı
xi−1 xi xi+1
Ui−1 Ui Ui+1x x xNa hranicıch oblasti jsou uzlove hodnoty dany okrajovymi podmınkami bud’ prımo
u(a) = α⇒ U0 = α, u(b) = β ⇒ Um = β,
α, β ∈ R, nebo neprımo — prostrednictvım rovnic. Je-li v okrajove podmınce prıtomnaderivace resenı, tj. u′, pak zavedeme pomocny uzel vne intervalu [a, b] a odvodıme dvediferencnı rovnice. Jednu z okrajove podmınky a druhou z diferencialnı rovnice uvazovanev krajnım bode intervalu.
Naprıklad podmınka u′(a) = α vede k
U1 − U−1
2h= α⇒ U−1 = U1 − 2hα, (40)
kde U−1 ≈ u(x−1) a x−1 = a − h je pomocny uzel. Diferencialnı rovnice aproximovanav bode x0 dava linearnı rovnici svazujıcı uzlove hodnoty U−1, U0 a U1 s hodnotou pravestrany diferencialnı rovnice v bode x0. V teto diferencnı rovnici se eliminujeme U−1 tım,ze za U−1 dosadıme z (40). Tım se zbavıme hodnoty v pomocnem uzlu a rovnice spjata suzlem x0 bude obsahovat jen nezname U0 a U1.
Analogicky se postupuje v bode b (pomocny bod xm+1 = b+h) nebo v prıpade jinychtypu okrajovych podmınek, napr. u′(b) = α(u(b)− β).
Poissonova rovnice (a = 1, b = 1), jejı zobecnenı (a 6= 0, b 6= 0)
a∂2u
∂x2+ b
∂2u
∂y2= f. (41)
22Je mozne uvazovat i aproximaci u′(xi) ≈ Ui+1−Ui
h , ta je vsak mene presna, a proto se jı, pokud je tomozne, vyhybame. Viz tez postup zpracovanı okrajove podmınky obsahujıcı derivaci.
19
Diferencnı rovnice v uzlu (xi, yj) (petibodove schema):
aU ji−1 − 2U j
i + U ji+1
h2+ b
U j−1i − 2U j
i + U j+1i
q2= f ji . (42)
V obecnem prıpade je nutne pouzıt (41). Ve specialnıch prıpadech je aproximace jed-nodussı.
Jestlize h 6= q a a = b, pak
U ji−1 − 2U j
i + U ji+1
h2+U j−1i − 2U j
i + U j+1i
q2=
1
af ji . (43)
Jestlize h = q (ctvercova sıt’) a a 6= b, pak
a(U ji−1 + U j
i+1) + b(U j−1i + U j+1
i )− 2(a+ b)U ji = h2f ji . (44)
Jestlize h = q (ctvercova sıt’) a a = b, pak
U ji−1 + U j
i+1 + U j−1i + U j+1
i − 4U ji =
h2
af ji . (45)
Jestlize navıc f = 0 (Laplaceova rovnice), pak
U ji−1 + U j
i+1 + U j−1i + U j+1
i − 4U ji = 0, (46)
z cehoz dostaneme
U ji =
1
4
(U ji−1 + U j
i+1 + U j−1i + U j+1
i
). (47)
Vztahy (42)-(46) jsou vlastne linearnı algebraicke rovnice pro hodnoty pribliznehoresenı ve vnitrnıch uzlech; je treba sestavit celou soustavu rovnic, a pak ji vyresit.
Ze vztahu (47) vychazı Liebmannova iterace.
Graficke znazornenı schematu
xi−1 xi xi+1
yj−1
yj
yj+1
U j−1i−1 U j−1
i U j−1i+1
U ji−1 U j
i U ji+1
U j+1i−1 U j+1
i U j+1i+1
xxx
x x
Na hranicıch oblasti jsou uzlove hodnoty dany okrajovymi podmınkami Dirichletovatypu.23
23Jine okrajove podmınky jsou mozne, ale nebudeme se jimi zabyvat.
20
Upozornenı: Aby diferencialnı operator prımo odpovıdajıcı Poissonove rovnici byl pozi-
tivne definitnı, uvadı se (41) casto s podmınkou a > 0, b > 0 ve tvaru −a∂2u
∂x2−b∂
2u
∂y2= f ,
jenz, pri f = −f , je s (41) ekvivalentnı (prenasobenı cıslem −1). Tomu pak odpovıdaschema
−aU ji−1 − 2U j
i + U ji+1
h2− bU
j−1i − 2U j
i + U j+1i
q2= f ji .
Rovnice vedenı tepla∂u
∂t= a2∂
2u
∂x2.
Diferencnı rovnice v uzlu (xi, τk) (ctyrbodove explicitnı schema):
Uk+1i − Uk
i
τ= a2U
ki−1 − 2Uk
i + Uki+1
h2. (48)
Podmınka stability τ ≤ h2
2a2.
Z (48) dostavame explicitnı vyjadrenı uzlove hodnoty Uk+1i na (k+1)-nı casove vrstve
(hodnoty na k-te vrstve jsou jiz znamy):
Uk+1i = Uk
i +a2τ
h2
(Uki−1 − 2Uk
i + Uki+1
),
volba τ =h2
2a2rovnost dale zjednodusı
Uk+1i =
1
2
(Uki−1 + Uk
i+1
).
Graficke znazornenı schematu
xi−1 xi xi+1
tk−1
tk
tk+1
Uk−1i−1 Uk−1
i Uk−1i+1
Uki−1 Uk
i Uki+1
Uk+1i−1 Uk+1
i Uk+1i+1
xx xx
21
Diferencnı rovnice v uzlu (xi, τk) (ctyrbodove implicitnı schema):
Uki − Uk−1
i
τ= a2U
ki−1 − 2Uk
i + Uki+1
h2.
Metoda je stabilnı pro libovolne τ .Hodnoty na (k − 1)-nı casove vrstve jsou jiz znamy, ale na k-te vrstve jeste ne. Nelze
je explicitne urcit, nybrz je nutne ze sıt’ovych rovnic sestavit soustavu, jejımz vyresenımdostaneme uzlove hodnoty priblizneho resenı na k-te casove vrstve.
Graficke znazornenı schematu
xi−1 xi xi+1
tk−1
tk
tk+1
Uk−1i−1 Uk−1
i Uk−1i+1
Uki−1 Uk
i Uki+1
Uk+1i−1 Uk+1
i Uk+1i+1
xx xx
V obou schematech se uzlove hodnoty pro pocatecnı cas t0 = 0 dostanou z pocatecnıpodmınky24 a hodnoty na koncıch prostoroveho intervalu (pro t1, t2, . . . ) z okrajovychpodmınek.
Vlnova rovnice∂2u
∂t2= a2∂
2u
∂x2, a > 0.
Diferencnı rovnice v uzlu (xi, τk) (petibodove explicitnı schema):
Uk+1i − 2Uk
i + Uk−1i
τ 2= a2U
ki−1 − 2Uk
i + Uki+1
h2. (49)
Podmınka stability τ ≤ h
a.
Z rovnosti (49) dostavame explicitnı vyjadrenı uzlove hodnoty Uk+1i na (k + 1)-nı
casove vrstve (hodnoty na k-te a (k − 1)-nı vrstve jsou jiz znamy):
Uk+1i = 2
(1− a2τ 2
h2
)Uki +
a2τ 2
h2
(Uki−1 + Uk
i+1
)− Uk−1
i ,
24Pocatecnı podmınkou je tedy urcena pocatecnı casova vrstva a muze byt zahajen explicitnı ci impli-citnı prechod k dalsı casove vrstve.
22
volba τ =h
avede k
Uk+1i = Uk
i−1 + Uki+1 − Uk−1
i .
Graficke znazornenı schematu
xi−1 xi xi+1
tk−1
tk
tk+1
Uk−1i−1 Uk−1
i Uk−1i+1
Uki−1 Uk
i Uki+1
Uk+1i−1 Uk+1
i Uk+1i+1
xx xx
x
Uzlove hodnoty pro pocatecnı cas t0 = 0 se dostanou z pocatecnı podmınky predepisujıcıu(x, 0). Uzlove hodnoty pro cas t1 = t0+τ se urcı pomocı pocatecnı podmınky predepisujıcı∂u
∂t(x, 0). Tj. U1
i = U0i + τ
∂u
∂t(xi, 0).25 Hodnoty na koncıch prostoroveho intervalu (pro
t1, t2, . . . ) jsou dany okrajovymi podmınkami.
Problemy se stabilitou metody odpadajı u vhodnych implicitnıch schemat, napr. u sed-mibodoveho schematu
Uk+1i − 2Uk
i + Uk−1i
τ 2=
1
2a2
[Uk+1i−1 − 2Uk+1
i + Uk+1i+1
h2+Uk−1i−1 − 2Uk−1
i + Uk−1i+1
h2
],
v nemz je druha parcialnı derivace podle x aproximovana prumerem diferencnıch podıluna casovych vrstvach k + 1 a k − 1. Pro kazde tri sousednı uzlove hodnoty na (k + 1)-nıcasove vrstve je treba sestavit linearnı algebraickou rovnici. Vysledne soustave odpovıdatrıdiagonalnı matice. Jejım vyresenım zıskame hodnoty Uk+1
i , i = 1, . . . ,M − 1 (hodnotyUk+1
0 a Uk+1M jsou znamy z okrajovych podmınek).
Graficke znazornenı schematu
25Pocatecnımi podmınkami jsou tedy urceny dve casove vrstvy a muze byt zahajen explicitnı prechodk dalsı casove vrstve.
23
xi−1 xi xi+1
tk−1
tk
tk+1
Uk−1i−1 Uk−1
i Uk−1i+1
Uki−1 Uk
i Uki+1
Uk+1i−1 Uk+1
i Uk+1i+1
v v vv
v v v Stejne jako u explicitnı metody, uz-love hodnoty pro pocatecnı cas t0 =0 se dostanou z pocatecnı podmınkypredepisujıcı u(x, 0). Uzlove hodnotypro cas t1 = t0 + τ se urcı pomo-cı pocatecnı podmınky predepisujıcı∂u
∂t(x, 0), tj. U1
i = U0i + τ
∂u
∂t(xi, 0).
Poznamka Nektera schemata vedou k sestavenı linearnıch algebraickych rovnic pro nezna-me hodnoty U j
i (nebo Uki ) v tech uzlech sıte, v nichz priblizne resenı nelze urcit prımo
z pocatecnıch a okrajovych podmınek. Oznacenı se dvema indexy je z hlediska algoritmuresenı soustavy rovnic neobratne. Proto se nezname prejmenujı novym symbolem s jednımindexem, napr. W` a usporadajı do sloupcoveho vektoru w. Pak lze soustavu psat maticove
Aw = g,
kde sloupcovy vektor g vznikne z hodnot f ji (u Poissonovy rovnice) nebo z hodnotpriblizneho resenı na nizsı casove vrstve.
5 Prıprava na variacne pojate okrajove ulohy v 1D
5.1 Skalarnı soucin funkcı
Necht’ je zobrazenı, ktere dvojici funkcı η, ξ ∈ C([a, b]), kde C([a, b]) znacı mnozinu vsechspojitych funkcı na uzavrenem intervalu [a, b], priradı realne cıslo definovane urcitymintegralem takto
(η, ξ) =
∫ b
a
η(x)ξ(x) dx. (50)
Stejne jako (9) i definice (50) splnuje (10)–(14), jsme tedy opravneni hovorit o (50)jako o skalarnım soucinu.
Jestlize definujeme‖η‖L2(a,b) =
√(η, η), (51)
kde η ∈ C([a, b]), pak (1)–(4) platı pro kazde funkce η, ξ ∈ C([a, b]) (normu ‖ · ‖ nahrazu-jeme symbolem ‖ · ‖L2(a,b), mısto x, y uzıvame η, ξ a prostor X nahrazujeme prostorem26
26Povsimnete si, ze mnozina C([a, b]) s prirozene zavedenym scıtanım funkcı a nasobenım funkceskalarem (realnym cıslem) splnuje vsechny pozadavky, kterymi jsme v kapitole 2.3 charakterizovali vek-torovy/linearnı prostor.
24
C([a, b]). Proto o hodnote ‖η‖L2(a,b) ∈ R hovorıme jako o norme funkce η a o mnozineC([a, b]) jako o normovanem linearnım prostoru spojitych funkcı s normou27 ‖ · ‖L2(a,b).
Mejme nynı symetricky a pozitivne definitnı operator A na D(A), viz kapitolu 5.2.Pak je predpisem
(η, ξ)Adef= (Aη, ξ) =
∫ b
a
(Aη)(x)ξ(x) dx (52)
take definovan skalarnı soucin na D(A) ⊂ C([a, b]), opet jsou totiz splneny pozadavky(10)–(14). Skalarnı soucin (Aη, ξ) se z jistych duvodu pocıta s vyuzitım metody integracepo castech. O (η, ξ)A hovorıme jako o energetickem skalarnım soucinu a o norme
‖η‖A =√
(η, η)A (53)
jako o energeticke norme.
5.2 Okrajove ulohy a diferencialnı operatory
Cılem je najıt funkci u ∈M def= Ck([a, b]) ∩ C2((a, b)) takovou, aby platilo
α(x)u′′(x) + β(x)u′(x) + q(x)u(x) = f(x) pro kazde x ∈ (a, b) (54)
a zaroven aby byla splnena zadana okrajova podmınka (OP) (55) nebo (56) nebo (57)
u(a) = 0 = u(b), (55)
u(a) = 0 = u′(b), (56)
u′(a) = 0 = u(b). (57)
Funkce α, β, q a f jsou zadany a jsou spojite na (a, b). Je-li OP dana (55), stacı v M,aby k = 0 (C0([a, b]) ≡ C([a, b]) jsou spojite funkce na [a, b]). V prıpade OP (56) nebo(57) pozadujeme pro jednoduchost k = 1 (funkce spojite na [a, b] vcetne prvnı derivace).
Rovnici (54) s OP (55) nebo (56) nebo (57) se rıka okrajova uloha (OU).Do leve strany (54) muzeme dosadit libovolnou funkci z mnozinyM, po provedenych
operacıch derivovanı a nasobenı dostaneme spojitou funkci na intervalu (a, b). Zaved’menynı D(A), podmozinu mnoziny M,
D(A)def= {v ∈M| v splnuje OP} .
Mnozine (presneji linearnımu prostoru28) D(A) se rıka definicnı obor operatoru A defino-vaneho predpisem
Audef= α(x)u′′(x) + β(x)u′(x) + q(x)u(x),
kde u ∈ D(A).
27Oznacenı ‖·‖L2(a,b) ma svuj puvod v jinem, obecnejsım prostoru funkcı, jenz obsahuje vsechny funkcez C([a, b]) a jeste dalsı funkce, ktere ani nejsou spojite. Z jistych duvodu nenı norma ‖·‖L2(a,b) pro prostorC([a, b]) prirozena. Pro spojite funkce je vhodnejsı norma ‖η‖C([a,b]) = maxx∈[a,b] |η(x)|, ale to uz jdemeza ramec nasich potreb.
28Opravdu, mnozina ma vlastnosti charakterizujıcı linearnı prostor – soucet dvou funkcı z D(A) lezıopet v D(A), soucin konstanty a funkce z D(A) opet padne do D(A) atd.
25
Okrajova uloha v operatorovem tvaru: Najıt takovou funkci z ∈ D(A), aby platilo
Az = f.
Posoudit resitelnost OU s obecnou rovnicı (54) muze byt nesnadne. Situace se zjed-nodusı, pokud mezi funkcemi α a β je takovy vztah, ze operator A je mozne zapsatv divergentnım tvaru
Azdef= −
(p(x)z′(x)
)′+ q(x)z(x),
kde z ∈ D(A), p ∈ C1([a, b]) a q ∈ C([a, b]).
O diferencialnım operatoru A rekneme, ze je (na svem definicnım oboru D(A)) syme-tricky, jestlize pro kazdou dvojici v, w ∈ D(A) platı (Av,w) = (v,Aw), kde zavorky znacıskalarnı soucin (50).
Operator v divergentnım tvaru je na D(A) symetricky, nebot’
(Av,w) = −∫ b
a
(p(x)v′(x)
)′w(x) dx+
∫ b
a
q(x)v(x)w(x) dx
p. p.= − [p(x)v′(x)w(x)]
x=bx=a +
∫ b
a
(p(x)v′(x)w′(x) + q(x)v(x)w(x)
)dx,
(v, Aw) = −∫ b
a
v(x)(p(x)w′(x)
)′dx+
∫ b
a
v(x)q(x)w(x) dx
p. p.= − [p(x)v(x)w′(x)]
x=bx=a +
∫ b
a
(p(x)v′(x)w′(x) + q(x)v(x)w(x)
)︸ ︷︷ ︸vyraz
dx. (58)
Platı (Av,w) = (v, Aw), protoze vyrazy s hranatymi zavorkami jsou rovny nule dıky OP,ktere jsou zahrnuty v definici D(A). Zbyvajıcı integralnı cleny jsou identicke. Vyuzili jsmeintegraci po castech (per partes).29
O diferencialnım operatoru A rekneme, ze je (na svem definicnım oboru D(A)) po-zitivne definitnı, jestlize existuje kladna konstanta c > 0 takova, ze pro kazdou funkciv ∈ D(A) platı (Av, v) ≥ c(v, v) (v jine variante (Av, v) ≥ c
((v, v)+(v′, v′)
); zdurazneme,
ze konstanta c nezavisı na funkci v.30
Je-li ve vyrazu v (58) p(x) > 0 a q(x) > 0 pro vsechna x ∈ [a, b], je snadne ukazat,ze operator A je pozitivne definitnı. Za jinych okolnostı je situace slozitejsı (viz postupnıze), vzdy je vsak nutne, aby pro kazde x ∈ [a, b] platilo p(x) > 0.
Casto se uplatnı Friedrichsova nerovnost : Pro kazdou funkci ω ∈ C1([a, b]) takovou,ze ω(a) = 0 nebo ω(b) = 0, platı nerovnost∫ b
a
ω′2(x) dx ≥ 2
(b− a)2
∫ b
a
ω2(x) dx. (59)
29Integrovanı po castech funkcı r, s ∈ C1([a, b]):∫ b
a
r′(x)s(x) dx = [r(x)s(x)]x=bx=a −
∫ b
a
r(x)s′(x) dx.
30Povsimnete si, ze pojmy symetricka matice, pozitivne definitnı matice ci skalarnı soucin vektoruzavedene v kapitole o linearnı algebre, korespondujı s obdobnymi pojmy pro operatory z kapitoly 5. Jeto tım, ze jak matice, tak nase diferencialnı operatory spadajı do rıse linearnıch operatoru, a proto majımnoho spolecnych nebo aspon podobnych vlastnostı.
26
Pri dokazovanı pozitivnı definitnosti operatoru postupujeme takto
(Av, v)(58)=
∫ b
a
(p(x)v′2(x) + q(x)v2(x)
)dx
≥∫ b
a
mint∈[a,b]
p(t)v′2(x) dx+
∫ b
a
mins∈[a,b]
q(s)v2(x) dx
Fr. ner. (59)
≥ mint∈[a,b]
p(t)2
(b− a)2
∫ b
a
v2(x) dx+ mins∈[a,b]
q(s)
∫ b
a
v2(x) dx
=
(2
(b− a)2mint∈[a,b]
p(t) + mins∈[a,b]
q(s)
)∫ b
a
v2(x) dx. (60)
Pokud je v (60) hodnota v zavorce kladna, ukazali jsme, ze operator je pozitivne definitnı.
6 Uzitecne drobnosti
Tato kapitola sestava z velice strucneho prehledu ruznych matematickych pojmu a vztahu,jejichz znalost by mohla usnadnit resenı uloh predmetu Matematika 4. Prehled podavajen jadro informacı, neobsahuje podstatne detaily (tj. naprıklad definicnı obory, vymezenıplatnosti atd.).
6.1 Nektere pojmy, vztahy a hodnoty
FunkceLicha funkce f : f(−x) = −f(x). Suda funkce g: g(−x) = g(x).
Goniometricke funkcesinx je licha funkce, cosx je suda funkce,sin(x+ 2π) = sin x, cos(x+ 2π) = cos x, sin2 x+ cos2 x = 1,sin(α + β) = sinα cos β + cosα sin β, cos(α + β) = cosα cos β − sinα sin β,sin 2α = 2 sinα cosα, cos 2α = cos2 α− sin2 α,|sin(α/2)| =
Nejprve jsme prvnı radek podelili cıslem 5 (krok ♠), pak jsme prvnı radek presunuli
o dva radky dolu (krok ♣), v kroku ♥ jsme od druheho radku odecetli prvnı radek, odtretıho radku odecetli dvojnasobek prvnıho radku a k poslednımu radku pricetli prvnıradek. Nakonec (krok �) jsme k tretımu radku pricetli trojnasobek druheho radku a odposlednıho radku jsme odecetli dvojnasobek druheho radku.
Cast matice vlevo od svisle cary jsme upravili na hornı trojuhelnıkovy tvar. Poslednıradek muzeme jeste vydelit cıslem −6, upravene matici pak odpovıda soustava
x1 + x2 − x3 − x4 = 0,x2 + 2x4 = 5,
3x3 + 10x4 = 16,x4 = 1.
Hodnost matice soustavy i hodnost rozsırene matice soustavy jsou stejne, existuje tedyresenı soustavy. Soustava ma ctyri nezname a hodnost jejı matice je 4, soustava ma tedyprave jedno resenı.
Poslednı rovnice upravene soustavy uz prımo urcuje, ze x4 = 1, coz dosadıme do tretırovnice, tj. 3x3 + 10 = 16, odkud x3 = 2. S vyuzitım x4 = 1 dostaneme z druhe rovnicex2 = 3. Dosadıme-li zıskane vysledky do prvnı rovnice, obdrzıme x1 = 0.
Zkouska 10 −5 5 101 1 −1 −11 2 −1 1−1 1 1 −1
0321
=
5054
potvrzuje spravnost vysledku.
Pripomenme, ze pokud hodnost matice soustavy je mensı nez hodnost rozsırene maticesoustavy, soustava nema resenı. V Matematice 4 se vsak casteji setkate s prıpadem, kdy naopakexistuje nekonecne mnoho resenı — naprıklad pri urcovanı vlastnıch vektoru matic.
28
Tuto situaci ilustrujme Prıkladem 2.23 z [7]. Postupujme uz strucneji. Jiste soustave rovnicAx = b, kde b = (−1, 3,−4, 4)T, odpovıda rozsırena matice, kterou se snazıme dale upravit:−1 2 1 −1 −1
0 −1 −1 3 31 3 2 −4 −45 2 0 4 4
♠∼
−1 2 1 −1 −1
0 −1 −1 3 30 5 3 −5 −50 12 5 −1 −1
♣∼
−1 2 1 −1 −1
0 −1 −1 3 30 0 −2 10 100 0 −7 35 35
♥∼
−1 2 1 −1 −10 −1 −1 3 30 0 1 −5 −5
.
K tretımu radku jsme pricetli prvnı radek a k poslednımu radku jsme pricetli petinasobekprvnıho radku (krok ♠). Ke tretımu radku jsme pricetli petinasobek druheho radku a ke ctvrtemuradku jsme pricetli dvanactinasobek druheho radku (krok ♣). Tretı radek jsme vydelili cıslem−2 a ctvrty radek jsme vydelili cıslem −7, po teto uprave se ctvrty radek shoduje s radkemtretım, neprinası tedy zadnou novou vazbu mezi promennymi a muze byt z rozsırene maticevyskrtnut (krok ♥).
Pro ctyri nezname mame jen tri rovnice, ocekavame tedy nekonecny pocet resenı. Upravenousoustavu
−x1 + 2x2 + x3 − x4 = −1,− x2 − x3 + 3x4 = 3,
x3 − 5x4 = −5
resıme tak, ze jednu zvolenou neznamou povazujeme za parametr a ostatnı nezname vyjadrımepomocı tohoto parametru. Za parametr zvolme x4 a pro prehlednost oznacme symbolem p, tedyx4 = p. Z poslednı rovnice dostaneme x3 = 5p− 5, z druhe rovnice x2 = 2− 2p a z prvnı rovnicex1 = 0. Resenı x tedy muzeme napsat takto
x =
0
2− 2p−5 + 5p
p
= u+ pv, kde u =
02−5
0
a v =
0−2
51
,
pricemz p je libovolne realne cıslo.Jak overıme spravnost resenı? Povsimneme si, ze pro libovolne p ∈ R ma platit
b = Ax = A(u+ pv) = Au+A(pv) = Au+ pAv. (61)
Z (61) dostavame vztah b−Au = pAv, jenz by mel platit pro vsechna cısla p ∈ R, coz, pokud byvektor Av byl nenulovy, nemuze nastat, protoze leva strana rovnosti na p nezavisı. Musı tedybyt Av = o, kde o = (0, 0, 0, 0)T. Odtud pak Au = b.
Spravnost resenı x tedy overıme tak, ze vektor u vynasobıme maticı A a vysledek srovnames nenulovym vektorem b. Vektor Av se naopak musı rovnat nulovemu vektoru.
Poznamenejme, ze pro jinou soustavu se muze stat, ze jejı resenı je zavisle naprıklad na dvouparametrech, tj. Ax = b, kde, kuprıkladu, x = u+pv+qw a p, q ∈ R. Pak musı platit, ze Au = b
29
a ze vektory Av a Aw jsou nulove. Ukazme to na resenı soustavy s touto rozsırenou maticı0 −8 8 2 −222 −4 6 3 −136 −4 10 7 −174 −4 8 5 −15
♠∼
2 −4 6 3 −130 −4 4 1 −116 −4 10 7 −174 −4 8 5 −15
♣∼
2 −4 6 3 −130 −4 4 1 −110 8 −8 −2 220 4 −4 −1 11
♥∼(
2 −4 6 3 −130 −4 4 1 −11
)∼(
2 0 2 2 −20 4 −4 −1 11
).
Prohodili jsme prvnı a druhy radek, pricemz jsme cely”novy“ druhy radek delili dvema (krok ♠).
Od tretıho radku jsme odecetli trojnasobek prvnıho radku, od ctvrteho radku jsme odecetlidvojnasobek prvnıho radku (krok ♣). Po teto uprave jsou tretı a ctvrty radek jen nasobkemdruheho radku, neprinası tedy zadnou novou vazbu mezi promennymi a mohou byt z rozsırenematice vyskrtnuty (krok ♥). Nakonec druhy radek jeste vynasobıme31 cıslem −1 a pricteme hok prvnımu radku, tım se soustava dale zjednodusı.
Pro ctyri nezname mame jen dve nezavisle rovnice, ocekavame tedy nekonecny pocet resenızavislych na dvou parametrech. Upravenou soustavu (prvnı radek vydelıme 2)
x1 + x3 + x4 = −1,4x2 − 4x3 − x4 = 11
resıme tak, ze dve zvolene nezname povazujeme za parametry a ostatnı nezname vyjadrımepomocı techto parametru. Za parametr zvolme x4 a pro prehlednost oznacme symbolem p, tedyx4 = p. Dale oznacme x3 = q. Z druhe rovnice dostaneme x2 = 11/4 + p/4 + q, z prvnı pakx1 = −1− p− q. Resenı x tedy muzeme napsat takto
x =
−1− p− q
11/4 + p/4 + qqp
= u+ vp+wq, kde u =
−1
11/400
, v =
−11/4
01
a w =
−1
110
,
pricemz p a q jsou libovolna realna cısla. Zkouska spravnosti vysledku spocıva ve vypoctu vektoruAx a jeho srovnanı s vektorem b = (−22,−13,−17,−15)T. Musı byt Ax = b. Nasobit maticıA prımo vektor x je vsak neprakticke kvuli parametrum p, q a neprehlednym soucinum. Protobyva jednodussı (a provazeno mensım mnozstvım pocetnıch chyb) overit, ze Au = b, Av = o aAw = o, kde o = (0, 0, 0, 0)T.
7.2 Vypocıtavame inverznı matici
Jestlize umıme vyresit soustavu linearnıch algebraickych rovnic, pak take umıme vypocıtat in-verznı matici k regularnı matici radu n. Jde vlastne jen o vyresenı nekolika soustav se stejnoumaticı, ale s n ruznymi pravymi stranami. Ty jsou dany linearne nezavislymi jednotkovymivektory se vsemi slozkami nulovymi s vyjimkou i-te slozky, ta ma hodnotu 1, i = 1, 2, . . . , n.Vsechny soustavy se resı zaroven, nebot’ do rozsırene matice muzeme najednou napsat vsechnyprave strany.
Levou cast rozsırene matice nestacı upravit na trojuhelnıkovy tvar, nybrz je nutne uzıt zpetnychod a dojıt az k jednotkove matici. Pak, za predpokladu ze jsme pocıtali bez chyby (nebo senase chyby vzajemne vyrusily, na kteryzto jev ovsem nelze spolehat), dostaneme v prave castirozsırene matice hledanou inverznı matici.
31Nenı to nutne, jen se tım v dalsım kroku vyhneme zapornym znamenkum.
30
Postup si ukazme na prıkladu s touto rozsırenou maticı 2 −1 1 1 0 04 1 2 0 1 01 0 1 0 0 1
♠∼
1 0 1 0 0 12 −1 1 1 0 04 1 2 0 1 0
∼ 1 0 1 0 0 1
0 −1 −1 1 0 −20 1 −2 0 1 −4
∼
1 0 1 0 0 10 −1 −1 1 0 −20 0 −3 1 1 −6
♣∼
1 0 1 0 0 10 1 1 −1 0 20 0 1 −1/3 −1/3 2
∼
1 0 0 1/3 1/3 −10 1 0 −2/3 1/3 00 0 1 −1/3 −1/3 2
.
Pro pohodlı jsme nejprve preusporadali radky rozsırene matice (krok ♠). Vlevo od mısta ♣je matice v hornım trojuhelnikovem tvaru, vpravo take, ale uz po zahajenı uprav vedoucıchk jednotkove matici.
Overıme, ze jsme skutecne urcili inverznı matici: 2 −1 14 1 21 0 1
1/3 1/3 −1−2/3 1/3 0−1/3 −1/3 2
=
1 0 00 1 00 0 1
.
7.3 Pocıtame determinanty
Pripomenme, ze determinant je jistym pomerne slozitym zpusobem definovane cıslo detA prirazenectvercove matici A radu n. Kdykoli se v dalsım vykladu objevı matice, vzdy pujde bez dalsıhoupresnovanı o ctvercovou matici s realnymi prvky.
Zakladnı vlastnosti a pojmy [2, 3]
• detA = detAT, kde detAT je matice transponovana k matici A. Z toho naprıklad plyne,ze tvrzenı o vlivu operacı s radky matice na determinant jsou platna i pro operace sesloupci matice.
• Pricteme-li k libovolnemu radku (sloupci) maticeA libovolnou linearnı kombinaci ostatnıchradku (sloupcu), determinant matice se nezmenı.
• Jestlize z matice A = (aij) radu n vynechame i-ty radek a j-ty sloupec, dostaneme maticiradu n−1, jejız determinant oznacıme Mij . Cıslo Aij = (−1)i+jMij se nazyva algebraickydoplnek prvku aij (aij je ten prvek, ktery lezel na krızenı vynechaneho radku a sloupce).
Platı (rozvoj determiantu podle radku)
detA =
n∑k=1
aikAik.
• det(AB) = detA · detB.
Prvnı tri vlastnosti s vyhodou pouzijeme k vypoctu determinantu, jak ukazuje prıklad
31
prevzaty z [3]:32 Pri vypoctu determinantu vychozı matice
detA =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣2 1 −1 2 −1−4 3 2 −1 1
3 5 −2 1 −22 2 −1 3 −1−1 2 3 1 3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣0 1 0 0 0
−10 3 5 −7 4−7 5 3 −9 3−2 2 1 −1 1−5 2 5 −3 5
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣jsme od prvnıho sloupce odecetli dvojnasobek druheho sloupce, k tretımu sloupci jsme pricetlidruhy sloupec, od ctvrteho sloupce jsme odecetli dvojnasobek druheho sloupce a k patemusloupci jsme pricetli druhy sloupec. Hodnota determinantu se nezmenila, ale prvnı radek je nu-lovy s vyjimkou prvku ve druhem sloupci (jest i + j = 3), rozvoj determinantu podle prvnıhoradku nas vede k vypoctu determinantu33 matice radu 4, kterou dale upravıme pricıtanımvhodnych nasobku ctvrteho sloupce k ostatnım sloupcum:
detA = −
∣∣∣∣∣∣∣∣−10 5 −7 4−7 3 −9 3−2 1 −1 1−5 5 −3 5
∣∣∣∣∣∣∣∣ = −
∣∣∣∣∣∣∣∣−2 1 −3 4−1 0 −6 3
0 0 0 15 0 2 5
∣∣∣∣∣∣∣∣ .Rozvojem podle tretıho radku s jedinym nenulovym prvkem (hodnota 1, i + j = 3 + 4 = 7)dostavame determinant matice tretıho radu, ale i ten lze rozvest podle druheho sloupce (i+ j =1 + 2 = 3) (vetu o rozvoji uplatnıme na druhy radek transponovane matice):
detA =
∣∣∣∣∣∣−2 1 −3−1 0 −6
5 0 2
∣∣∣∣∣∣ = −∣∣∣∣ −1 −6
5 2
∣∣∣∣ = −28,
k zaverecnemu vypoctu jsme uzili definici determinantu matice typu 2× 2.
7.4 Hledame extremy funkce jedne promenne
V Matematice 4 se znacna pozornost venuje operatorove formulaci okrajovych uloh pro obycejnediferencialnı rovnice. Pri vysetrovanı vlastnostı techto operatoru je nutne najıt minimum funkcejedne promenne na omezenem intervalu. Pripomenme, jak se takove minimum hleda.
Predpokladejme, ze funkce f je spojita na intervalu [a, b], pak na intervalu [a, b] jiste nabyvaminima i maxima. Body, v nichz se nabyva extremu, mohou patrit pouze do techto skupin
(α) body, v nichz se nuluje derivace funkce f ;
(β) body, v nichz neexistuje derivace funkce f ;
(γ) body a a b.
Prıklad: Najdeme extremy funkce f(x) = 2x3 − 15x2 + 36x+ 10 na intervalu [−1, 5].
32Zapisy det(·) a | · | , kde · symbolizuje ctvercovou tabulku prvku matice, jsou ekvivalentnı.33Povsimnete si znamenka minus, vzniklo z (−1)3.
32
Resenı: Derivace f ′(x) = 6x2 − 30x + 36 existuje na celem intervalu [−1, 5], prıpad (β) tedynenastane. Resme
6x2 − 30x+ 36 = 0,
x2 − 5x+ 6 = 0,
(x− 2)(x− 3) = 0,
tj. x1 = 2, x2 = 3 (situace (α)). Nesmıme zapomenout na (γ), vypoctem funkcnıch hodnot vevysetrovanych bodech nalezneme extremy:
Funkce f na intervalu [−1, 5] nabyva minima v bode x = −1 a maxima v bode x = 5, hodnotaminima je f(−1) = −43, hodnota maxima je f(5) = 65.
Literatura
[1] O. Axelsson: Iterative Solution Methods. Cambridge University Press, Cambridge, 1994.
[2] R. A. Beezer: A First Course in Linear Algebra.http://linear.ups.edu/download/fcla-electric-2.20.pdf
[3] L. Bican: Linearnı algebra. SNTL, Praha, 1979.
[4] F. Bubenık, O. Zindulka: Matematika 1. FSv CVUT, Praha, 2005.
[5] B. Budinsky, J. Charvat: Matematika I (cast 1). FSv CVUT, Praha, 2000.
[6] M. Fiedler: Specialnı matice a jejich pouzitı v numericke matematice. TKI. SNTL, Praha,1981.
[7] J. Charvat, M. Hala, Z. Sibrava: Prıklady k Matematice I. CVUT, Praha, 1992.
[8] J. Charvat, V. Kelar, Z. Sibrava: Matematika 1. Sbırka prıkladu. FSv CVUT, Praha, 2005.
[9] J. Chleboun: Prıklady k predmetu Matematika 4. Text na webovych strankach prednasejı-cıho.
[10] M. Krızek, J. Brandts: Padesat let metody sdruzenych gradientu aneb Zvladnou pocıtacesoustavy milionu rovnic o milionech neznamych? Pokroky matematiky, fyziky a astronomie47 (2002), 103-113
[11] J. Neustupa: Matematika I. FS CVUT, Praha, 2005.
[12] K. Rektorys a spolupracovnıci: Prehled uzite matematiky I (sedme vydanı). Prometheus,Praha, 2000.
[13] W. Rudin: Analyza v realnem a komplexnım oboru. Academia, Praha, 1977.
[14] E. Vitasek: Numericke metody. SNTL, Praha, 1987.
[15] O. Zindulka: Matematika 3, Ceska technika – nakladatelstvı CVUT, Praha, 2007.
![- nÂ) · 2018-05-13 · cp¶p F¶p \mw hmbn¡p¶pv. blqZybn ioXImes¯ þ {]tXyIn¨p cm{Xn-bnse XWp¸p \nan¯w CS-b·mÀ BSpIsf Imh Im¯psImp cm{Xn shfn-bn Xmakn¡p¶Xv HIvtSm_À](https://static.dokumenty.site/doc/80x56/5e792735e8647e5ea317dd1c/n-2018-05-13-cpp-fp-mw-hmbnppv-blqzybn-ioximes-txyinp.jpg)
