Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 1 / 13
Matematika
Petr SalačFakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická
Technická univerzita v [email protected]
17. 12. 2012
Neurčitý integrál
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 2 / 13
Výpočtem primitivní funkce rozumíme její vyjádření pomocí základních elementárníchfunkcí,
Neurčitý integrál
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 2 / 13
Výpočtem primitivní funkce rozumíme její vyjádření pomocí základních elementárníchfunkcí, (říkáme vyjádření primitivní funkce v uzavřeném tvaru).
Neurčitý integrál
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 2 / 13
Výpočtem primitivní funkce rozumíme její vyjádření pomocí základních elementárníchfunkcí, (říkáme vyjádření primitivní funkce v uzavřeném tvaru).
Definice
Množinu všech primitivních funkcí k funkci f na intervalu J zapíšeme symbolem
∫
f(x) dx
Neurčitý integrál
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 2 / 13
Výpočtem primitivní funkce rozumíme její vyjádření pomocí základních elementárníchfunkcí, (říkáme vyjádření primitivní funkce v uzavřeném tvaru).
Definice
Množinu všech primitivních funkcí k funkci f na intervalu J zapíšeme symbolem
∫
f(x) dx
a nazýváme neurčitý integrál funkce f na intervalu J ,
Neurčitý integrál
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 2 / 13
Výpočtem primitivní funkce rozumíme její vyjádření pomocí základních elementárníchfunkcí, (říkáme vyjádření primitivní funkce v uzavřeném tvaru).
Definice
Množinu všech primitivních funkcí k funkci f na intervalu J zapíšeme symbolem
∫
f(x) dx
a nazýváme neurčitý integrál funkce f na intervalu J , tj.
∫
f(x) dx = F (x) + C .
Neurčitý integrál
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 2 / 13
Výpočtem primitivní funkce rozumíme její vyjádření pomocí základních elementárníchfunkcí, (říkáme vyjádření primitivní funkce v uzavřeném tvaru).
Definice
Množinu všech primitivních funkcí k funkci f na intervalu J zapíšeme symbolem
∫
f(x) dx
a nazýváme neurčitý integrál funkce f na intervalu J , tj.
∫
f(x) dx = F (x) + C .
Konstantu C nazýváme integrační konstanta.
Neurčitý integrál
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 2 / 13
Výpočtem primitivní funkce rozumíme její vyjádření pomocí základních elementárníchfunkcí, (říkáme vyjádření primitivní funkce v uzavřeném tvaru).
Definice
Množinu všech primitivních funkcí k funkci f na intervalu J zapíšeme symbolem
∫
f(x) dx
a nazýváme neurčitý integrál funkce f na intervalu J , tj.
∫
f(x) dx = F (x) + C .
Konstantu C nazýváme integrační konstanta.
Příklad
Neurčitý integrál
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 2 / 13
Výpočtem primitivní funkce rozumíme její vyjádření pomocí základních elementárníchfunkcí, (říkáme vyjádření primitivní funkce v uzavřeném tvaru).
Definice
Množinu všech primitivních funkcí k funkci f na intervalu J zapíšeme symbolem
∫
f(x) dx
a nazýváme neurčitý integrál funkce f na intervalu J , tj.
∫
f(x) dx = F (x) + C .
Konstantu C nazýváme integrační konstanta.
Příklad∫
2x dx = x2 + C
Základní vzorce pro integraci
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 3 / 13
Základní vzorce pro integraci
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 3 / 13
∫
xs dx =xs+1
s+ 1+ C s 6= −1 ,
Základní vzorce pro integraci
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 3 / 13
∫
xs dx =xs+1
s+ 1+ C s 6= −1 ,
∫
1
xdx = ln |x|+ C ,
Základní vzorce pro integraci
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 3 / 13
∫
xs dx =xs+1
s+ 1+ C s 6= −1 ,
∫
1
xdx = ln |x|+ C ,
∫
ex dx = ex + C ,
Základní vzorce pro integraci
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 3 / 13
∫
xs dx =xs+1
s+ 1+ C s 6= −1 ,
∫
1
xdx = ln |x|+ C ,
∫
ex dx = ex + C ,
∫
ax dx =ax
ln a+ C (a > 0, a 6= 1) ,
Základní vzorce pro integraci
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 3 / 13
∫
xs dx =xs+1
s+ 1+ C s 6= −1 ,
∫
1
xdx = ln |x|+ C ,
∫
ex dx = ex + C ,
∫
ax dx =ax
ln a+ C (a > 0, a 6= 1) ,
∫
sinx dx = − cosx+ C ,
Základní vzorce pro integraci
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 3 / 13
∫
xs dx =xs+1
s+ 1+ C s 6= −1 ,
∫
1
xdx = ln |x|+ C ,
∫
ex dx = ex + C ,
∫
ax dx =ax
ln a+ C (a > 0, a 6= 1) ,
∫
sinx dx = − cosx+ C ,∫
cosx dx = sinx+ C ,
Základní vzorce pro integraci
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 3 / 13
∫
xs dx =xs+1
s+ 1+ C s 6= −1 ,
∫
1
xdx = ln |x|+ C ,
∫
ex dx = ex + C ,
∫
ax dx =ax
ln a+ C (a > 0, a 6= 1) ,
∫
sinx dx = − cosx+ C ,∫
cosx dx = sinx+ C ,
∫
1
cos2 xdx = tgx+ C ,
Základní vzorce pro integraci
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 3 / 13
∫
xs dx =xs+1
s+ 1+ C s 6= −1 ,
∫
1
xdx = ln |x|+ C ,
∫
ex dx = ex + C ,
∫
ax dx =ax
ln a+ C (a > 0, a 6= 1) ,
∫
sinx dx = − cosx+ C ,∫
cosx dx = sinx+ C ,
∫
1
cos2 xdx = tgx+ C ,
∫
1
sin2 xdx = −cotgx+ C ,
Základní vzorce pro integraci
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 4 / 13
Základní vzorce pro integraci
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 4 / 13
∫
1√1− x2
dx = arcsinx+ C ,
Základní vzorce pro integraci
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 4 / 13
∫
1√1− x2
dx = arcsinx+ C ,
∫
1
1 + x2dx = arctgx+ C ,
Základní vzorce pro integraci
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 4 / 13
∫
1√1− x2
dx = arcsinx+ C ,
∫
1
1 + x2dx = arctgx+ C ,
∫
1√x2 + 1
dx = ln|x+√
x2 + 1|+ C ,
Základní vzorce pro integraci
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 4 / 13
∫
1√1− x2
dx = arcsinx+ C ,
∫
1
1 + x2dx = arctgx+ C ,
∫
1√x2 + 1
dx = ln|x+√
x2 + 1|+ C ,∫
1√x2 − 1
dx = ln|x+√
x2 − 1|+ C ,
Neurčitý integrál
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 5 / 13
Poznámka
Neurčitý integrál
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 5 / 13
Poznámka
Výpočet primitivní funkce se nazývá integrování, má dva významy, jednak výpočetčísla a jednak výpočet funkce.
Neurčitý integrál
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 5 / 13
Poznámka
Výpočet primitivní funkce se nazývá integrování, má dva významy, jednak výpočetčísla a jednak výpočet funkce.(odtud název určitý či neurčitý integrál)
Neurčitý integrál
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 5 / 13
Poznámka
Výpočet primitivní funkce se nazývá integrování, má dva významy, jednak výpočetčísla a jednak výpočet funkce.(odtud název určitý či neurčitý integrál)
Věta 9.5.
Neurčitý integrál
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 5 / 13
Poznámka
Výpočet primitivní funkce se nazývá integrování, má dva významy, jednak výpočetčísla a jednak výpočet funkce.(odtud název určitý či neurčitý integrál)
Věta 9.5.
Jestliže existují integrály na pravé straně následujících rovností, potom platí:
Neurčitý integrál
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 5 / 13
Poznámka
Výpočet primitivní funkce se nazývá integrování, má dva významy, jednak výpočetčísla a jednak výpočet funkce.(odtud název určitý či neurčitý integrál)
Věta 9.5.
Jestliže existují integrály na pravé straně následujících rovností, potom platí:
∫
Kf(x) dx = K
∫
f(x) dx , kde K je konstanta
Neurčitý integrál
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 5 / 13
Poznámka
Výpočet primitivní funkce se nazývá integrování, má dva významy, jednak výpočetčísla a jednak výpočet funkce.(odtud název určitý či neurčitý integrál)
Věta 9.5.
Jestliže existují integrály na pravé straně následujících rovností, potom platí:
∫
Kf(x) dx = K
∫
f(x) dx , kde K je konstanta
∫
(f(x) + g(x)) dx =
∫
f(x) dx+
∫
g(x) dx .
Neurčitý integrál
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 5 / 13
Poznámka
Výpočet primitivní funkce se nazývá integrování, má dva významy, jednak výpočetčísla a jednak výpočet funkce.(odtud název určitý či neurčitý integrál)
Věta 9.5.
Jestliže existují integrály na pravé straně následujících rovností, potom platí:
∫
Kf(x) dx = K
∫
f(x) dx , kde K je konstanta
∫
(f(x) + g(x)) dx =
∫
f(x) dx+
∫
g(x) dx .
Příklad.
Neurčitý integrál
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 5 / 13
Poznámka
Výpočet primitivní funkce se nazývá integrování, má dva významy, jednak výpočetčísla a jednak výpočet funkce.(odtud název určitý či neurčitý integrál)
Věta 9.5.
Jestliže existují integrály na pravé straně následujících rovností, potom platí:
∫
Kf(x) dx = K
∫
f(x) dx , kde K je konstanta
∫
(f(x) + g(x)) dx =
∫
f(x) dx+
∫
g(x) dx .
Příklad.∫
(2x3 − 34x−√x) dx =
Neurčitý integrál
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 6 / 13
Poznámka
Neurčitý integrál
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 6 / 13
Poznámka
a) Definiční obory funkcí neuvádíme a rozumíme jimi interval, na němž je příslušnáfunkce spojitá.
Neurčitý integrál
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 6 / 13
Poznámka
a) Definiční obory funkcí neuvádíme a rozumíme jimi interval, na němž je příslušnáfunkce spojitá.b) Integrační konstantu píšeme až po konečné úpravě.
Neurčitý integrál
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 6 / 13
Poznámka
a) Definiční obory funkcí neuvádíme a rozumíme jimi interval, na němž je příslušnáfunkce spojitá.b) Integrační konstantu píšeme až po konečné úpravě.
Poznámka. (integrabilita v „konečném tvaruÿ)
Neurčitý integrál
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 6 / 13
Poznámka
a) Definiční obory funkcí neuvádíme a rozumíme jimi interval, na němž je příslušnáfunkce spojitá.b) Integrační konstantu píšeme až po konečné úpravě.
Poznámka. (integrabilita v „konečném tvaruÿ)Každá spojitá funkce má primitivní funkci,
Neurčitý integrál
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 6 / 13
Poznámka
a) Definiční obory funkcí neuvádíme a rozumíme jimi interval, na němž je příslušnáfunkce spojitá.b) Integrační konstantu píšeme až po konečné úpravě.
Poznámka. (integrabilita v „konečném tvaruÿ)Každá spojitá funkce má primitivní funkci, ale tuto primitivní funkci obecně nelzevyjádřit pomocí konečných součtů, součinů, podílů a složení tzv. základníchelementárních funkcí
Neurčitý integrál
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 6 / 13
Poznámka
a) Definiční obory funkcí neuvádíme a rozumíme jimi interval, na němž je příslušnáfunkce spojitá.b) Integrační konstantu píšeme až po konečné úpravě.
Poznámka. (integrabilita v „konečném tvaruÿ)Každá spojitá funkce má primitivní funkci, ale tuto primitivní funkci obecně nelzevyjádřit pomocí konečných součtů, součinů, podílů a složení tzv. základníchelementárních funkcí (tj. pomocí elementárních funkcí).
Neurčitý integrál
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 6 / 13
Poznámka
a) Definiční obory funkcí neuvádíme a rozumíme jimi interval, na němž je příslušnáfunkce spojitá.b) Integrační konstantu píšeme až po konečné úpravě.
Poznámka. (integrabilita v „konečném tvaruÿ)Každá spojitá funkce má primitivní funkci, ale tuto primitivní funkci obecně nelzevyjádřit pomocí konečných součtů, součinů, podílů a složení tzv. základníchelementárních funkcí (tj. pomocí elementárních funkcí).
Příklad.
Neurčitý integrál
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 6 / 13
Poznámka
a) Definiční obory funkcí neuvádíme a rozumíme jimi interval, na němž je příslušnáfunkce spojitá.b) Integrační konstantu píšeme až po konečné úpravě.
Poznámka. (integrabilita v „konečném tvaruÿ)Každá spojitá funkce má primitivní funkci, ale tuto primitivní funkci obecně nelzevyjádřit pomocí konečných součtů, součinů, podílů a složení tzv. základníchelementárních funkcí (tj. pomocí elementárních funkcí).
Příklad.∫ x
asin tt
dt,
Neurčitý integrál
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 6 / 13
Poznámka
a) Definiční obory funkcí neuvádíme a rozumíme jimi interval, na němž je příslušnáfunkce spojitá.b) Integrační konstantu píšeme až po konečné úpravě.
Poznámka. (integrabilita v „konečném tvaruÿ)Každá spojitá funkce má primitivní funkci, ale tuto primitivní funkci obecně nelzevyjádřit pomocí konečných součtů, součinů, podílů a složení tzv. základníchelementárních funkcí (tj. pomocí elementárních funkcí).
Příklad.∫ x
asin tt
dt,∫ x
acos tt
dt,
Neurčitý integrál
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 6 / 13
Poznámka
a) Definiční obory funkcí neuvádíme a rozumíme jimi interval, na němž je příslušnáfunkce spojitá.b) Integrační konstantu píšeme až po konečné úpravě.
Poznámka. (integrabilita v „konečném tvaruÿ)Každá spojitá funkce má primitivní funkci, ale tuto primitivní funkci obecně nelzevyjádřit pomocí konečných součtů, součinů, podílů a složení tzv. základníchelementárních funkcí (tj. pomocí elementárních funkcí).
Příklad.∫ x
asin tt
dt,∫ x
acos tt
dt,∫ x
aet2
dt,
Neurčitý integrál
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 6 / 13
Poznámka
a) Definiční obory funkcí neuvádíme a rozumíme jimi interval, na němž je příslušnáfunkce spojitá.b) Integrační konstantu píšeme až po konečné úpravě.
Poznámka. (integrabilita v „konečném tvaruÿ)Každá spojitá funkce má primitivní funkci, ale tuto primitivní funkci obecně nelzevyjádřit pomocí konečných součtů, součinů, podílů a složení tzv. základníchelementárních funkcí (tj. pomocí elementárních funkcí).
Příklad.∫ x
asin tt
dt,∫ x
acos tt
dt,∫ x
aet2
dt,∫ x
asin t2 dt,
Integrování po částech
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 7 / 13
Věta 9.6 (per partes)
Integrování po částech
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 7 / 13
Věta 9.6 (per partes)Nechť u(x), v(x) jsou dvě funkce mající derivaci v intervalu I.
Integrování po částech
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 7 / 13
Věta 9.6 (per partes)Nechť u(x), v(x) jsou dvě funkce mající derivaci v intervalu I.Pak platí
∫
uv′ dx = uv −∫
u′v dx pro x ∈ I .
Integrování po částech
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 7 / 13
Věta 9.6 (per partes)Nechť u(x), v(x) jsou dvě funkce mající derivaci v intervalu I.Pak platí
∫
uv′ dx = uv −∫
u′v dx pro x ∈ I .
Důkaz :
Integrování po částech
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 7 / 13
Věta 9.6 (per partes)Nechť u(x), v(x) jsou dvě funkce mající derivaci v intervalu I.Pak platí
∫
uv′ dx = uv −∫
u′v dx pro x ∈ I .
Důkaz :Vzorec pro derivaci součinu
(u.v)′ = u′v + uv′
Integrování po částech
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 7 / 13
Věta 9.6 (per partes)Nechť u(x), v(x) jsou dvě funkce mající derivaci v intervalu I.Pak platí
∫
uv′ dx = uv −∫
u′v dx pro x ∈ I .
Důkaz :Vzorec pro derivaci součinu
(u.v)′ = u′v + uv′
integrujeme
Integrování po částech
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 7 / 13
Věta 9.6 (per partes)Nechť u(x), v(x) jsou dvě funkce mající derivaci v intervalu I.Pak platí
∫
uv′ dx = uv −∫
u′v dx pro x ∈ I .
Důkaz :Vzorec pro derivaci součinu
(u.v)′ = u′v + uv′
integrujeme
u.v + C =
∫
u′v dx +
∫
uv′ dx .
Integrování po částech
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 8 / 13
Příklady
Integrování po částech
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 8 / 13
Příklady∫
xex dx
Integrování po částech
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 8 / 13
Příklady∫
xex dx∫
lnx dx
Integrování po částech
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 8 / 13
Příklady∫
xex dx∫
lnx dx∫
sin2 x dx
Integrování po částech
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 8 / 13
Příklady∫
xex dx∫
lnx dx∫
sin2 x dx
Poznámka
Integrování po částech
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 8 / 13
Příklady∫
xex dx∫
lnx dx∫
sin2 x dx
Poznámka
Integrační konstantu neuvádíme, dokud se na pravé straně vyskytuje nějaké znaménkointegrálu.
Integrování po částech
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 9 / 13
Věta 9.7 (per partes pro určitý integrál)
Integrování po částech
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 9 / 13
Věta 9.7 (per partes pro určitý integrál)Nechť u(x), v(x) jsou dvě funkce definované v [a, b] a jsou tam spojité i se svýmiderivacemi u′, v′.
Integrování po částech
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 9 / 13
Věta 9.7 (per partes pro určitý integrál)Nechť u(x), v(x) jsou dvě funkce definované v [a, b] a jsou tam spojité i se svýmiderivacemi u′, v′.Pak platí
∫ b
a
uv′ dx = [uv]ba −∫ b
a
u′v dx .
Integrování po částech
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 9 / 13
Věta 9.7 (per partes pro určitý integrál)Nechť u(x), v(x) jsou dvě funkce definované v [a, b] a jsou tam spojité i se svýmiderivacemi u′, v′.Pak platí
∫ b
a
uv′ dx = [uv]ba −∫ b
a
u′v dx .
Příklad
Integrování po částech
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 9 / 13
Věta 9.7 (per partes pro určitý integrál)Nechť u(x), v(x) jsou dvě funkce definované v [a, b] a jsou tam spojité i se svýmiderivacemi u′, v′.Pak platí
∫ b
a
uv′ dx = [uv]ba −∫ b
a
u′v dx .
Příklad∫ π
0x sinx dx
Substituce v integrálech
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 10 / 13
Věta 9.8 (1. věta o substituci)
Substituce v integrálech
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 10 / 13
Věta 9.8 (1. věta o substituci)Nechť
∫
f(u) du = F (u) + C v intervalu I.
Substituce v integrálech
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 10 / 13
Věta 9.8 (1. věta o substituci)Nechť
∫
f(u) du = F (u) + C v intervalu I.
Nechť g je funkce definovaná v intervalu J , má tam derivaci g′
Substituce v integrálech
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 10 / 13
Věta 9.8 (1. věta o substituci)Nechť
∫
f(u) du = F (u) + C v intervalu I.
Nechť g je funkce definovaná v intervalu J , má tam derivaci g′ a nechť g(x) ∈ I prox ∈ J .
Substituce v integrálech
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 10 / 13
Věta 9.8 (1. věta o substituci)Nechť
∫
f(u) du = F (u) + C v intervalu I.
Nechť g je funkce definovaná v intervalu J , má tam derivaci g′ a nechť g(x) ∈ I prox ∈ J .Pak
∫
f(g(x)).g′(x) dx = F (g(x)) + C v intervalu J.
Substituce v integrálech
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 10 / 13
Věta 9.8 (1. věta o substituci)Nechť
∫
f(u) du = F (u) + C v intervalu I.
Nechť g je funkce definovaná v intervalu J , má tam derivaci g′ a nechť g(x) ∈ I prox ∈ J .Pak
∫
f(g(x)).g′(x) dx = F (g(x)) + C v intervalu J.
Důkaz :
Substituce v integrálech
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 10 / 13
Věta 9.8 (1. věta o substituci)Nechť
∫
f(u) du = F (u) + C v intervalu I.
Nechť g je funkce definovaná v intervalu J , má tam derivaci g′ a nechť g(x) ∈ I prox ∈ J .Pak
∫
f(g(x)).g′(x) dx = F (g(x)) + C v intervalu J.
Důkaz :Vzorec pro derivaci složené funkce
Substituce v integrálech
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 10 / 13
Věta 9.8 (1. věta o substituci)Nechť
∫
f(u) du = F (u) + C v intervalu I.
Nechť g je funkce definovaná v intervalu J , má tam derivaci g′ a nechť g(x) ∈ I prox ∈ J .Pak
∫
f(g(x)).g′(x) dx = F (g(x)) + C v intervalu J.
Důkaz :Vzorec pro derivaci složené funkce
(F (g(x))′ = F ′(g(x)).g′(x) = f(g(x)).g′(x)
Substituce v integrálech
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 10 / 13
Věta 9.8 (1. věta o substituci)Nechť
∫
f(u) du = F (u) + C v intervalu I.
Nechť g je funkce definovaná v intervalu J , má tam derivaci g′ a nechť g(x) ∈ I prox ∈ J .Pak
∫
f(g(x)).g′(x) dx = F (g(x)) + C v intervalu J.
Důkaz :Vzorec pro derivaci složené funkce
(F (g(x))′ = F ′(g(x)).g′(x) = f(g(x)).g′(x)
a nyní integrujeme
Substituce v integrálech
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 10 / 13
Věta 9.8 (1. věta o substituci)Nechť
∫
f(u) du = F (u) + C v intervalu I.
Nechť g je funkce definovaná v intervalu J , má tam derivaci g′ a nechť g(x) ∈ I prox ∈ J .Pak
∫
f(g(x)).g′(x) dx = F (g(x)) + C v intervalu J.
Důkaz :Vzorec pro derivaci složené funkce
(F (g(x))′ = F ′(g(x)).g′(x) = f(g(x)).g′(x)
a nyní integrujeme
F (g(x)) + C =
∫
f(g(x)).g′(x) dx .
Substituce v integrálech
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 11 / 13
Schéma výpočtu
Substituce v integrálech
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 11 / 13
Schéma výpočtu
∫
f(g(x)).g′(x) dx =
Substituce v integrálech
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 11 / 13
Schéma výpočtu
∫
f(g(x)).g′(x) dx =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
u = g(x)du = g′(x) dxdu
g′(x) = dx
∣
∣
∣
∣
∣
∣
Substituce v integrálech
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 11 / 13
Schéma výpočtu
∫
f(g(x)).g′(x) dx =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
u = g(x)du = g′(x) dxdu
g′(x) = dx
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
=
∫
f(u).g′(x)du
g′(x)
Substituce v integrálech
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 11 / 13
Schéma výpočtu
∫
f(g(x)).g′(x) dx =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
u = g(x)du = g′(x) dxdu
g′(x) = dx
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
=
∫
f(u).g′(x)du
g′(x)=
∫
f(u) du
Substituce v integrálech
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 11 / 13
Schéma výpočtu
∫
f(g(x)).g′(x) dx =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
u = g(x)du = g′(x) dxdu
g′(x) = dx
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
=
∫
f(u).g′(x)du
g′(x)=
∫
f(u) du = · · · = F (u) + C
Substituce v integrálech
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 11 / 13
Schéma výpočtu
∫
f(g(x)).g′(x) dx =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
u = g(x)du = g′(x) dxdu
g′(x) = dx
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
=
∫
f(u).g′(x)du
g′(x)=
∫
f(u) du = · · · = F (u) + C =
=∣
∣ u = g(x)∣
∣
Substituce v integrálech
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 11 / 13
Schéma výpočtu
∫
f(g(x)).g′(x) dx =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
u = g(x)du = g′(x) dxdu
g′(x) = dx
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
=
∫
f(u).g′(x)du
g′(x)=
∫
f(u) du = · · · = F (u) + C =
=∣
∣ u = g(x)∣
∣ = F (g(x)) + C
Substituce v integrálech
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 11 / 13
Schéma výpočtu
∫
f(g(x)).g′(x) dx =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
u = g(x)du = g′(x) dxdu
g′(x) = dx
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
=
∫
f(u).g′(x)du
g′(x)=
∫
f(u) du = · · · = F (u) + C =
=∣
∣ u = g(x)∣
∣ = F (g(x)) + C
Příklad
Substituce v integrálech
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 11 / 13
Schéma výpočtu
∫
f(g(x)).g′(x) dx =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
u = g(x)du = g′(x) dxdu
g′(x) = dx
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
=
∫
f(u).g′(x)du
g′(x)=
∫
f(u) du = · · · = F (u) + C =
=∣
∣ u = g(x)∣
∣ = F (g(x)) + C
Příklad∫
sin2 x cosx dx
Substituce v integrálech
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 12 / 13
Substituce v integrálech
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 12 / 13
Věta 9.10 (Substituce pro určitý integrál)
Substituce v integrálech
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 12 / 13
Věta 9.10 (Substituce pro určitý integrál)Nechť funkce f je spojitá v intervalu [a, b].
Substituce v integrálech
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 12 / 13
Věta 9.10 (Substituce pro určitý integrál)Nechť funkce f je spojitá v intervalu [a, b]. Nechť funkce g je spojitá v intervalu [α, β]a má tam spojitou derivaci g′.
Substituce v integrálech
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 12 / 13
Věta 9.10 (Substituce pro určitý integrál)Nechť funkce f je spojitá v intervalu [a, b]. Nechť funkce g je spojitá v intervalu [α, β]a má tam spojitou derivaci g′. Nechť g(α) = a, g(β) = b
Substituce v integrálech
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 12 / 13
Věta 9.10 (Substituce pro určitý integrál)Nechť funkce f je spojitá v intervalu [a, b]. Nechť funkce g je spojitá v intervalu [α, β]a má tam spojitou derivaci g′. Nechť g(α) = a, g(β) = b a nechť g(t) ∈ [a, b] provšechna t ∈ [α, β].
Substituce v integrálech
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 12 / 13
Věta 9.10 (Substituce pro určitý integrál)Nechť funkce f je spojitá v intervalu [a, b]. Nechť funkce g je spojitá v intervalu [α, β]a má tam spojitou derivaci g′. Nechť g(α) = a, g(β) = b a nechť g(t) ∈ [a, b] provšechna t ∈ [α, β].Pak platí
∫ β
α
f(g(t)).g′(t) dt =
∫ b
a
f(x) dx .
Substituce v integrálech
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 13 / 13
Schéma výpočtu
Substituce v integrálech
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 13 / 13
Schéma výpočtu
∫ β
α
f(g(t)).g′(t) dt
Substituce v integrálech
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 13 / 13
Schéma výpočtu
∫ β
α
f(g(t)).g′(t) dt =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
x = g(t)dx = g′(t) dtt = α . . . x = g(α) = at = β . . . x = g(β) = b
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
Substituce v integrálech
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 13 / 13
Schéma výpočtu
∫ β
α
f(g(t)).g′(t) dt =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
x = g(t)dx = g′(t) dtt = α . . . x = g(α) = at = β . . . x = g(β) = b
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
=
∫ b
a
f(x) dx = . . .
Substituce v integrálech
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 13 / 13
Schéma výpočtu
∫ β
α
f(g(t)).g′(t) dt =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
x = g(t)dx = g′(t) dtt = α . . . x = g(α) = at = β . . . x = g(β) = b
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
=
∫ b
a
f(x) dx = . . .
Příklad
Substituce v integrálech
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 13 / 13
Schéma výpočtu
∫ β
α
f(g(t)).g′(t) dt =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
x = g(t)dx = g′(t) dtt = α . . . x = g(α) = at = β . . . x = g(β) = b
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
=
∫ b
a
f(x) dx = . . .
Příklad∫ e
1ln2 x dx =
Substituce v integrálech
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 13 / 13
Schéma výpočtu
∫ β
α
f(g(t)).g′(t) dt =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
x = g(t)dx = g′(t) dtt = α . . . x = g(α) = at = β . . . x = g(β) = b
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
=
∫ b
a
f(x) dx = . . .
Příklad∫ e
1ln2 x dx =
Poznámka
Substituce v integrálech
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2012-2013 – 13 / 13
Schéma výpočtu
∫ β
α
f(g(t)).g′(t) dt =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
x = g(t)dx = g′(t) dtt = α . . . x = g(α) = at = β . . . x = g(β) = b
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
=
∫ b
a
f(x) dx = . . .
Příklad∫ e
1ln2 x dx =
Poznámka
Na rozdíl od neurčitého integrálu se k původní proměnné x již nevracíme.