Matice a maticovárních rovnic, kořeny polynomu a soustava...

Matice a maticová algebra, soustavy lineárníchMatice a maticová algebra, soustavy lineárníchrovnic, kořeny polynomu a soustava nelin.rovnicrovnic, kořeny polynomu a soustava nelin.rovnic

Úvod do programování v prostředích Octave, Scilab a Matlab

co byste měli umět po dnešní lekci:

● definovat matici, přistupovat k jejím prvkům ● provádět základní algebraické operace● spočíst inverzní matici ● najít řešení soustavy lineárních rovnic● určit vlastní čísla a vektory matice● najít řešení soustavy nelineárních rovnic



matice v Octave/Matlabu:

A=[1 2; 3 4]

A =

1 2 3 4

prvky v řádku matice se oddělují mezerou nebo čárkou, jednotlivé řádky středníkem

přístup k jednotlivým prvků matice: A(řádek, sloupec)

A(1,1) = 1 A(1,2) = 2A(2,1) = 3 A(2,2) = 4



základní operace s maticemi:

sčítání: A+B

octave:1> A=[1 2; 3 4];octave:2> B=[1 0; 0 1];octave:3> A+Bans =

2 2 3 5

octave:4>

odčítání: AB

octave:4> ABans =

0 2 3 3

octave:5>

násobení: A*B

octave:5> A*Bans =

1 2 3 4

octave:6> A.*Bans =

1 0 0 4



matematické funkce a matice:

všechny matematické funkce působí na každý prvek matice zvlášť:

speciální maticové funkce: expm, sqrtm,... pouze pro čtvercové matice



řešení soustavy rovnic Gaussovou eliminací:

Ax=b ⇒ x=A\b nebo x=A1*b

“obrácené” lomítko octave:6> x=A\b octave:7> x=inv(A)*b x = x =

8 8 2 2



užitečné funkce:B=zeros(m,n) vytvoří matici m x n s nulovými prvky octave:8> B=zeros(3,2)

B =

0 0 0 0 0 0

B=ones(m,n) vytvoří matici m x n s jednotkovými prvky octave:9> B=ones(3,2)B =

1 1 1 1 1 1

B=eye(m,n) vytvoří matici m x n s jedn.prvky na diagonále, ostatní 0 – jednotkové matice

B=eye(3,3) B = 1 0 0 0 1 0 0 0 1



užitečné funkce:

transponovaná matice transA=A';determinant matice detA=det(A);

inverzní matice invA=inv(A);stopa matice trA=trace(A);

Úkol: Vyřešte následující soustavu rovnic (tři závaží za sebou na stejných pružinách):

m1= 2 kg, m2= 3 kg, m3= 2.5 kg, k=10 N/m, g je gravitační zrychlení

vektor diag.prvků diagA=diag(A);součet prvků ntého ř. nradek=sum(A(n,:))násobení ntého řádku sloupcovým vektorem A(n,:)*xsubmatice subA=A(r1:rn,s1:sn);



LU dekompozice: další metoda řešení soustav rovnic Ax=b

U a L jsou takové matice, že platí: Ux=d L(Uxd)=Axb

LU=ALd=b

Octave/Matlab: funkce lu [L,U]=lu(A)



Př: Řešte soustavu Ax=b pomocí LU dekompozice

octave:82> [L,U]=lu(A)L =

0.14286 0.32836 1.00000 0.57143 1.00000 0.00000 1.00000 0.00000 0.00000

U =

7.00000 8.00000 9.00000 0.00000 9.57143 0.85714 0.00000 0.00000 1.43284

octave:83>

octave:83> d=L\bd =

5.0000 5.8571 9.2090

octave:84> x=U\dx =

8.9062 1.1875 6.4271



výpočet inverzní matice pomocí LU dekompozice:

Ax=b

jeli b “jednotkový vektor”, jsou řešení x sloupcem inverzní matice A



Podmíněnost matice:

norma vektoru norma matice

hodnota čísla Cond[A] udává tzv. podmíněnost matice (Cond ≥ 1)

čím je hůře podmíněná matice A, tímjsou chyby řešení většíCond[A]=10c, koef A jsou známy na tdesetinných míst, pak řešení jsou přesnájen na (tc) míst

funkce norm(X,p) a cond(X,p) – podívejte se do helpu co dělají



známé špatně podmíněné matice:

Hilbertova Vandermonde

A=hilb(n); c=[x1 x2 x3];A=vander(c);



Iterativní metoda řešení soustavy lineárních rovnic (GaussSeidel)

Ax=b, kde A je matice jejíž diagonální členy jsou nenulové.

postačující podmínka konvergence

relaxace (urychlující konvergenci)(zkuste různě podmíněné matice)

Úkol: Napište skript (funkci), která bude řešit soustavu rovnic GaussSeidelovou metodou



kořeny polynomu

funkce na hledání jednoho kořene (viz minule) neefektivní

kořeny polynomu = vlastní čísla A

x=eig(A);[v,x]=eig(A); % i v.vektory

x=roots([a1 a2 ...]); % koreny

a=poly([x1 x2 ...]); % koef.polyn.



Soustava nelineárních rovnic (NewtonRaphson):

pro 1 rovnici pro soustavu 2 rovnic

prvky Jacobiánu




kromě matice koef. soustavy rovnic potřebujeme ještě matici derivací, Jacobián

obecně: [Jac]*xi+1=f+[Jac]*xi, kde [Jac] je matice Jacobiánu, xi+1 je vektor nových iterací, f je vektor hodnot funkcí (rovnic f(x1, x2,...)=0) a xi je vektor původních iterací

Jacobián =




Příklad: Řešme soustavu

Napište funkci, která bude tuto soustavu řešit pomocí NewtonRaphsonovy metody. Výsledek porovnejte s výsledkem funkce fsolve (Octave) nebo fzero (Matlab).

fsolve('f',[1 1])

nějaká funkce f v souboru f.m



e1=7V, e2=10VR1=100 , R2=200 , R3 = 200

1. Určete proudy v jednotlivých větvích2. Určete napětí UAB mezi uzly A a B

Úkol:

Úkol: Rozdělení teploty úzkého pásku

2m

T0=40 T5=200

x=0 x=10

Ta=10

Ta=10

h' je koef. přenosu tepla, h'=0.05, ∆x=2m



Úkol: Rozdělení teploty úzkého pásku

2m

T0=40 T5=200

x=0 x=10

Ta=10

Ta=10

Date post:	29-Jun-2019
Category:	Documents
Upload:	hahuong
View:	213 times
Download:	0 times

Matice a maticovárních rovnic, kořeny polynomu a soustava...

Documents