Matrice - University of Splitgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Jelena Sedlar...

Matrice

Jelena Sedlar

Fakultet gra�evinarstva, arhitekture i geodezije u Splitu

Jelena Sedlar (FGAG) Matrice 1 / 84

Osnovni pojmoviDefinicija matrice

Definicija. Pravokutnu tablicu brojeva oblika

A =

a11 a12 . . . a1j . . . a1na21 a22 . . . a2j . . . a2n...

......

...ai1 ai2 . . . aij . . . ain...

......

...am1 am2 . . . amj . . . amn

,

pri cemu je m, n ∈N te aij ∈ R za svaki i = 1, . . . ,m i j = 1, . . . , nnazivamo realnom matricom tipa m× n.Nazivi:

m je broj redaka, n je broj stupaca.aij su matricni elementi.elementi ai1, ai2, . . . , ain tvore i−ti redak,elementi a1j , a2j , . . . , amj tvore j−ti stupac.



Definicija.

Pravokutnu tablicu brojeva oblika

A =

a11 a12 . . . a1j . . . a1na21 a22 . . . a2j . . . a2n...

......

...ai1 ai2 . . . aij . . . ain...

......

...am1 am2 . . . amj . . . amn

,






A =

a11 a12 . . . a1j . . . a1na21 a22 . . . a2j . . . a2n...

......

...ai1 ai2 . . . aij . . . ain...

......

...am1 am2 . . . amj . . . amn

,






A =

a11 a12 . . . a1j . . . a1na21 a22 . . . a2j . . . a2n...

......

...ai1 ai2 . . . aij . . . ain...

......

...am1 am2 . . . amj . . . amn

,

pri cemu je m, n ∈N

te aij ∈ R za svaki i = 1, . . . ,m i j = 1, . . . , nnazivamo realnom matricom tipa m× n.Nazivi:





A =

a11 a12 . . . a1j . . . a1na21 a22 . . . a2j . . . a2n...

......

...ai1 ai2 . . . aij . . . ain...

......

...am1 am2 . . . amj . . . amn

,

pri cemu je m, n ∈N te aij ∈ R za svaki i = 1, . . . ,m i j = 1, . . . , n

nazivamo realnom matricom tipa m× n.Nazivi:





A =

a11 a12 . . . a1j . . . a1na21 a22 . . . a2j . . . a2n...

......

...ai1 ai2 . . . aij . . . ain...

......

...am1 am2 . . . amj . . . amn

,

pri cemu je m, n ∈N te aij ∈ R za svaki i = 1, . . . ,m i j = 1, . . . , nnazivamo realnom matricom tipa m× n.

Nazivi:





A =

a11 a12 . . . a1j . . . a1na21 a22 . . . a2j . . . a2n...

......

...ai1 ai2 . . . aij . . . ain...

......

...am1 am2 . . . amj . . . amn

,






A =

a11 a12 . . . a1j . . . a1na21 a22 . . . a2j . . . a2n...

......

...ai1 ai2 . . . aij . . . ain...

......

...am1 am2 . . . amj . . . amn

,


m je broj redaka, n je broj stupaca.

aij su matricni elementi.elementi ai1, ai2, . . . , ain tvore i−ti redak,elementi a1j , a2j , . . . , amj tvore j−ti stupac.




A =

a11 a12 . . . a1j . . . a1na21 a22 . . . a2j . . . a2n...

......

...ai1 ai2 . . . aij . . . ain...

......

...am1 am2 . . . amj . . . amn

,


m je broj redaka, n je broj stupaca.aij su matricni elementi.

elementi ai1, ai2, . . . , ain tvore i−ti redak,elementi a1j , a2j , . . . , amj tvore j−ti stupac.




A =

a11 a12 . . . a1j . . . a1na21 a22 . . . a2j . . . a2n...

......

...ai1 ai2 . . . aij . . . ain...

......

...am1 am2 . . . amj . . . amn

,


m je broj redaka, n je broj stupaca.aij su matricni elementi.elementi ai1, ai2, . . . , ain tvore i−ti redak,

elementi a1j , a2j , . . . , amj tvore j−ti stupac.




A =

a11 a12 . . . a1j . . . a1na21 a22 . . . a2j . . . a2n...

......

...ai1 ai2 . . . aij . . . ain...

......

...am1 am2 . . . amj . . . amn

,


m je broj redaka, n je broj stupaca.aij su matricni elementi.elementi ai1, ai2, . . . , ain tvore i−ti redak,elementi a1j , a2j , . . . , amj tvore j−ti stupac.Jelena Sedlar (FGAG) Matrice 2 / 84

Osnovni pojmovi

Zadatak.

Za matricu

A =

1 √2 −1 012 0 0 π2 1 7 12

odredi kojeg je tipa, koji elementi tvore drugi redak, a koji cetvrti stupac!Rješenje.Broj redaka: 3,Broj stupaca: 4,Tip: 3× 4,Drugi redak: 12 , 0, 0,π,Cetvrti stupac: 0,π, 12.


Osnovni pojmovi

Zadatak. Za matricu

A =

1 √2 −1 012 0 0 π2 1 7 12

odredi kojeg je tipa,

koji elementi tvore drugi redak, a koji cetvrti stupac!Rješenje.Broj redaka: 3,Broj stupaca: 4,Tip: 3× 4,Drugi redak: 12 , 0, 0,π,Cetvrti stupac: 0,π, 12.


Osnovni pojmovi

Zadatak. Za matricu

A =

1 √2 −1 012 0 0 π2 1 7 12

odredi kojeg je tipa, koji elementi tvore drugi redak,

a koji cetvrti stupac!Rješenje.Broj redaka: 3,Broj stupaca: 4,Tip: 3× 4,Drugi redak: 12 , 0, 0,π,Cetvrti stupac: 0,π, 12.


Osnovni pojmovi

Zadatak. Za matricu

A =

1 √2 −1 012 0 0 π2 1 7 12

odredi kojeg je tipa, koji elementi tvore drugi redak, a koji cetvrti stupac!

Rješenje.Broj redaka: 3,Broj stupaca: 4,Tip: 3× 4,Drugi redak: 12 , 0, 0,π,Cetvrti stupac: 0,π, 12.


Osnovni pojmovi

Zadatak. Za matricu

A =

1 √2 −1 012 0 0 π2 1 7 12

odredi kojeg je tipa, koji elementi tvore drugi redak, a koji cetvrti stupac!Rješenje.

Broj redaka: 3,Broj stupaca: 4,Tip: 3× 4,Drugi redak: 12 , 0, 0,π,Cetvrti stupac: 0,π, 12.


Osnovni pojmovi

Zadatak. Za matricu

A =

1 √2 −1 012 0 0 π2 1 7 12

odredi kojeg je tipa, koji elementi tvore drugi redak, a koji cetvrti stupac!Rješenje.Broj redaka:

3,Broj stupaca: 4,Tip: 3× 4,Drugi redak: 12 , 0, 0,π,Cetvrti stupac: 0,π, 12.


Osnovni pojmovi

Zadatak. Za matricu

A =

1 √2 −1 012 0 0 π2 1 7 12

odredi kojeg je tipa, koji elementi tvore drugi redak, a koji cetvrti stupac!Rješenje.Broj redaka: 3,

Broj stupaca: 4,Tip: 3× 4,Drugi redak: 12 , 0, 0,π,Cetvrti stupac: 0,π, 12.


Osnovni pojmovi

Zadatak. Za matricu

A =

1 √2 −1 012 0 0 π2 1 7 12

odredi kojeg je tipa, koji elementi tvore drugi redak, a koji cetvrti stupac!Rješenje.Broj redaka: 3,Broj stupaca:

4,Tip: 3× 4,Drugi redak: 12 , 0, 0,π,Cetvrti stupac: 0,π, 12.


Osnovni pojmovi

Zadatak. Za matricu

A =

1 √2 −1 012 0 0 π2 1 7 12

odredi kojeg je tipa, koji elementi tvore drugi redak, a koji cetvrti stupac!Rješenje.Broj redaka: 3,Broj stupaca: 4,

Tip: 3× 4,Drugi redak: 12 , 0, 0,π,Cetvrti stupac: 0,π, 12.


Osnovni pojmovi

Zadatak. Za matricu

A =

1 √2 −1 012 0 0 π2 1 7 12

odredi kojeg je tipa, koji elementi tvore drugi redak, a koji cetvrti stupac!Rješenje.Broj redaka: 3,Broj stupaca: 4,Tip:

3× 4,Drugi redak: 12 , 0, 0,π,Cetvrti stupac: 0,π, 12.


Osnovni pojmovi

Zadatak. Za matricu

A =

1 √2 −1 012 0 0 π2 1 7 12

odredi kojeg je tipa, koji elementi tvore drugi redak, a koji cetvrti stupac!Rješenje.Broj redaka: 3,Broj stupaca: 4,Tip: 3× 4,

Drugi redak: 12 , 0, 0,π,Cetvrti stupac: 0,π, 12.


Osnovni pojmovi

Zadatak. Za matricu

A =

1 √2 −1 012 0 0 π2 1 7 12

odredi kojeg je tipa, koji elementi tvore drugi redak, a koji cetvrti stupac!Rješenje.Broj redaka: 3,Broj stupaca: 4,Tip: 3× 4,Drugi redak:

12 , 0, 0,π,

Cetvrti stupac: 0,π, 12.


Osnovni pojmovi

Zadatak. Za matricu

A =

1 √2 −1 012 0 0 π2 1 7 12

odredi kojeg je tipa, koji elementi tvore drugi redak, a koji cetvrti stupac!Rješenje.Broj redaka: 3,Broj stupaca: 4,Tip: 3× 4,Drugi redak: 12 , 0, 0,π,

Cetvrti stupac: 0,π, 12.


Osnovni pojmovi

Zadatak. Za matricu

A =

1 √2 −1 012 0 0 π2 1 7 12

odredi kojeg je tipa, koji elementi tvore drugi redak, a koji cetvrti stupac!Rješenje.Broj redaka: 3,Broj stupaca: 4,Tip: 3× 4,Drugi redak: 12 , 0, 0,π,Cetvrti stupac:

0,π, 12.


Osnovni pojmovi

Zadatak. Za matricu

A =

1 √2 −1 012 0 0 π2 1 7 12

odredi kojeg je tipa, koji elementi tvore drugi redak, a koji cetvrti stupac!Rješenje.Broj redaka: 3,Broj stupaca: 4,Tip: 3× 4,Drugi redak: 12 , 0, 0,π,Cetvrti stupac: 0,π, 12.


Osnovni pojmovi

Nazivi:

ako je m = 1 kazemo da je matrica retcana,

ako je n = 1 kazemo da je matrica stupcana,

retcane i stupcane matrice se jednim imenom nazivaju vektori.

Zadatak. Kojeg tipa su matrice

A =[2−3

]i B =

[1 2 2 0

]?

Kako nazivamo te matrice?Rješenje. Matrica A je tipa: 2× 1, naziv: stupcana matrica.Matrica B je tipa: 1× 4, naziv: retcana matrica.


Osnovni pojmovi

Nazivi:





A =[2−3

]i B =

[1 2 2 0

]?



Osnovni pojmovi

Nazivi:





A =[2−3

]i B =

[1 2 2 0

]?



Osnovni pojmovi

Nazivi:




Zadatak.

Kojeg tipa su matrice

A =[2−3

]i B =

[1 2 2 0

]?



Osnovni pojmovi

Nazivi:





A =[2−3

]i B =

[1 2 2 0

]?



Osnovni pojmovi

Nazivi:





A =[2−3

]i B =

[1 2 2 0

]?

Kako nazivamo te matrice?

Rješenje. Matrica A je tipa: 2× 1, naziv: stupcana matrica.Matrica B je tipa: 1× 4, naziv: retcana matrica.


Osnovni pojmovi

Nazivi:





A =[2−3

]i B =

[1 2 2 0

]?

Kako nazivamo te matrice?Rješenje.

Matrica A je tipa: 2× 1, naziv: stupcana matrica.Matrica B je tipa: 1× 4, naziv: retcana matrica.


Osnovni pojmovi

Nazivi:





A =[2−3

]i B =

[1 2 2 0

]?

Kako nazivamo te matrice?Rješenje. Matrica A je tipa:

2× 1, naziv: stupcana matrica.Matrica B je tipa: 1× 4, naziv: retcana matrica.


Osnovni pojmovi

Nazivi:





A =[2−3

]i B =

[1 2 2 0

]?

Kako nazivamo te matrice?Rješenje. Matrica A je tipa: 2× 1,

naziv: stupcana matrica.Matrica B je tipa: 1× 4, naziv: retcana matrica.


Osnovni pojmovi

Nazivi:





A =[2−3

]i B =

[1 2 2 0

]?

Kako nazivamo te matrice?Rješenje. Matrica A je tipa: 2× 1, naziv:

stupcana matrica.Matrica B je tipa: 1× 4, naziv: retcana matrica.


Osnovni pojmovi

Nazivi:





A =[2−3

]i B =

[1 2 2 0

]?

Kako nazivamo te matrice?Rješenje. Matrica A je tipa: 2× 1, naziv: stupcana matrica.

Matrica B je tipa: 1× 4, naziv: retcana matrica.


Osnovni pojmovi

Nazivi:





A =[2−3

]i B =

[1 2 2 0

]?

Kako nazivamo te matrice?Rješenje. Matrica A je tipa: 2× 1, naziv: stupcana matrica.Matrica B je tipa:

1× 4, naziv: retcana matrica.


Osnovni pojmovi

Nazivi:





A =[2−3

]i B =

[1 2 2 0

]?

Kako nazivamo te matrice?Rješenje. Matrica A je tipa: 2× 1, naziv: stupcana matrica.Matrica B je tipa: 1× 4,

naziv: retcana matrica.


Osnovni pojmovi

Nazivi:





A =[2−3

]i B =

[1 2 2 0

]?

Kako nazivamo te matrice?Rješenje. Matrica A je tipa: 2× 1, naziv: stupcana matrica.Matrica B je tipa: 1× 4, naziv:

retcana matrica.


Osnovni pojmovi

Nazivi:





A =[2−3

]i B =

[1 2 2 0

]?



Osnovni pojmovi

Oznake:

matrice cemo oznacavati velikim tiskanim slovima A,B,C,X, . . . ,vektore cemo oznacavati s a,b, c, x, . . . .matricu A tipa m× n s elementima aij za i = 1, . . . ,m i j = 1, . . . , nkrace zapisujemo s A = [aij ]m,n ,skup svih matrica tipa m× n oznacavat cemo saMm,n.


Osnovni pojmovi

Oznake:

matrice cemo oznacavati velikim tiskanim slovima A,B,C,X, . . . ,

vektore cemo oznacavati s a,b, c, x, . . . .matricu A tipa m× n s elementima aij za i = 1, . . . ,m i j = 1, . . . , nkrace zapisujemo s A = [aij ]m,n ,skup svih matrica tipa m× n oznacavat cemo saMm,n.


Osnovni pojmovi

Oznake:

matrice cemo oznacavati velikim tiskanim slovima A,B,C,X, . . . ,vektore cemo oznacavati s a,b, c, x, . . . .

matricu A tipa m× n s elementima aij za i = 1, . . . ,m i j = 1, . . . , nkrace zapisujemo s A = [aij ]m,n ,skup svih matrica tipa m× n oznacavat cemo saMm,n.


Osnovni pojmovi

Oznake:

matrice cemo oznacavati velikim tiskanim slovima A,B,C,X, . . . ,vektore cemo oznacavati s a,b, c, x, . . . .matricu A tipa m× n s elementima aij za i = 1, . . . ,m i j = 1, . . . , nkrace zapisujemo s A = [aij ]m,n ,

skup svih matrica tipa m× n oznacavat cemo saMm,n.


Osnovni pojmovi

Oznake:

matrice cemo oznacavati velikim tiskanim slovima A,B,C,X, . . . ,vektore cemo oznacavati s a,b, c, x, . . . .matricu A tipa m× n s elementima aij za i = 1, . . . ,m i j = 1, . . . , nkrace zapisujemo s A = [aij ]m,n ,skup svih matrica tipa m× n oznacavat cemo saMm,n.


Osnovni pojmovi

Definicija.

Kazemo da su matrice A = [aij ]m,n i B = [bij ]k ,l jednake akosu istog tipa (tj. m = k i n = l), te imaju jednake odgovarajuce elemente(tj. aij = bij za svaki i = 1, . . . ,m i j = 1, . . . , n).

Zadatak. Ispitaj je li A = B ako je:

a) A =[1 2−1 3

]i B =

[1−1

],

b) A =[1 2−1 3

]i B =

[1 2−1 0

],

c) A =[1 2−1 3

]i B =

[1 2−1 3

].

Rješenje. a) A 6= B jer su razlicitog tipa, b) A 6= B jer a22 6= b22,c) A = B.


Osnovni pojmovi

Definicija. Kazemo da su matrice A = [aij ]m,n i B = [bij ]k ,l jednake

akosu istog tipa (tj. m = k i n = l), te imaju jednake odgovarajuce elemente(tj. aij = bij za svaki i = 1, . . . ,m i j = 1, . . . , n).


a) A =[1 2−1 3

]i B =

[1−1

],

b) A =[1 2−1 3

]i B =

[1 2−1 0

],

c) A =[1 2−1 3

]i B =

[1 2−1 3

].



Osnovni pojmovi

Definicija. Kazemo da su matrice A = [aij ]m,n i B = [bij ]k ,l jednake akosu istog tipa (tj. m = k i n = l),

te imaju jednake odgovarajuce elemente(tj. aij = bij za svaki i = 1, . . . ,m i j = 1, . . . , n).


a) A =[1 2−1 3

]i B =

[1−1

],

b) A =[1 2−1 3

]i B =

[1 2−1 0

],

c) A =[1 2−1 3

]i B =

[1 2−1 3

].



Osnovni pojmovi

Definicija. Kazemo da su matrice A = [aij ]m,n i B = [bij ]k ,l jednake akosu istog tipa (tj. m = k i n = l), te imaju jednake odgovarajuce elemente(tj. aij = bij za svaki i = 1, . . . ,m i j = 1, . . . , n).


a) A =[1 2−1 3

]i B =

[1−1

],

b) A =[1 2−1 3

]i B =

[1 2−1 0

],

c) A =[1 2−1 3

]i B =

[1 2−1 3

].



Osnovni pojmovi


Zadatak.

Ispitaj je li A = B ako je:

a) A =[1 2−1 3

]i B =

[1−1

],

b) A =[1 2−1 3

]i B =

[1 2−1 0

],

c) A =[1 2−1 3

]i B =

[1 2−1 3

].



Osnovni pojmovi



a) A =[1 2−1 3

]i B =

[1−1

],

b) A =[1 2−1 3

]i B =

[1 2−1 0

],

c) A =[1 2−1 3

]i B =

[1 2−1 3

].



Osnovni pojmovi



a) A =[1 2−1 3

]i B =

[1−1

],

b) A =[1 2−1 3

]i B =

[1 2−1 0

],

c) A =[1 2−1 3

]i B =

[1 2−1 3

].



Osnovni pojmovi



a) A =[1 2−1 3

]i B =

[1−1

],

b) A =[1 2−1 3

]i B =

[1 2−1 0

],

c) A =[1 2−1 3

]i B =

[1 2−1 3

].



Osnovni pojmovi



a) A =[1 2−1 3

]i B =

[1−1

],

b) A =[1 2−1 3

]i B =

[1 2−1 0

],

c) A =[1 2−1 3

]i B =

[1 2−1 3

].



Osnovni pojmovi



a) A =[1 2−1 3

]i B =

[1−1

],

b) A =[1 2−1 3

]i B =

[1 2−1 0

],

c) A =[1 2−1 3

]i B =

[1 2−1 3

].

Rješenje.

a) A 6= B jer su razlicitog tipa, b) A 6= B jer a22 6= b22,c) A = B.


Osnovni pojmovi



a) A =[1 2−1 3

]i B =

[1−1

],

b) A =[1 2−1 3

]i B =

[1 2−1 0

],

c) A =[1 2−1 3

]i B =

[1 2−1 3

].

Rješenje. a)

A 6= B jer su razlicitog tipa, b) A 6= B jer a22 6= b22,c) A = B.


Osnovni pojmovi



a) A =[1 2−1 3

]i B =

[1−1

],

b) A =[1 2−1 3

]i B =

[1 2−1 0

],

c) A =[1 2−1 3

]i B =

[1 2−1 3

].

Rješenje. a) A 6= B jer su razlicitog tipa,

b) A 6= B jer a22 6= b22,c) A = B.


Osnovni pojmovi



a) A =[1 2−1 3

]i B =

[1−1

],

b) A =[1 2−1 3

]i B =

[1 2−1 0

],

c) A =[1 2−1 3

]i B =

[1 2−1 3

].

Rješenje. a) A 6= B jer su razlicitog tipa, b)

A 6= B jer a22 6= b22,c) A = B.


Osnovni pojmovi



a) A =[1 2−1 3

]i B =

[1−1

],

b) A =[1 2−1 3

]i B =

[1 2−1 0

],

c) A =[1 2−1 3

]i B =

[1 2−1 3

].

Rješenje. a) A 6= B jer su razlicitog tipa, b) A 6= B jer a22 6= b22,

c) A = B.


Osnovni pojmovi



a) A =[1 2−1 3

]i B =

[1−1

],

b) A =[1 2−1 3

]i B =

[1 2−1 0

],

c) A =[1 2−1 3

]i B =

[1 2−1 3

].

Rješenje. a) A 6= B jer su razlicitog tipa, b) A 6= B jer a22 6= b22,c)

A = B.


Osnovni pojmovi



a) A =[1 2−1 3

]i B =

[1−1

],

b) A =[1 2−1 3

]i B =

[1 2−1 0

],

c) A =[1 2−1 3

]i B =

[1 2−1 3

].



Osnovni pojmovi

Definicija.

Kazemo da je matrica A ∈ Mm,n kvardatna ako je m = n.a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

, [a11 a12 a13 a14 a15 a16a21 a22 a23 a24 a25 a26

]

Nazivi i oznake:

za kvadratnu matricu tipa n× n kazemo joši da je matrica reda n,skupMn,n oznacavamo joši sMn,

glavnu dijagonalu kvadratne matrice A reda n cine a11, a22, . . . , ann.


Osnovni pojmovi

Definicija. Kazemo da je matrica A ∈ Mm,n kvardatna ako je m = n.

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

, [a11 a12 a13 a14 a15 a16a21 a22 a23 a24 a25 a26

]

Nazivi i oznake:




Osnovni pojmovi

Definicija. Kazemo da je matrica A ∈ Mm,n kvardatna ako je m = n.a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

, [a11 a12 a13 a14 a15 a16a21 a22 a23 a24 a25 a26

]

Nazivi i oznake:




Osnovni pojmovi


, [a11 a12 a13 a14 a15 a16a21 a22 a23 a24 a25 a26

]

Nazivi i oznake:




Osnovni pojmovi


, [a11 a12 a13 a14 a15 a16a21 a22 a23 a24 a25 a26

]

Nazivi i oznake:

za kvadratnu matricu tipa n× n kazemo joši da je matrica reda n,

skupMn,n oznacavamo joši sMn,



Osnovni pojmovi


, [a11 a12 a13 a14 a15 a16a21 a22 a23 a24 a25 a26

]

Nazivi i oznake:




Osnovni pojmovi


, [a11 a12 a13 a14 a15 a16a21 a22 a23 a24 a25 a26

]

Nazivi i oznake:




Osnovni pojmovi

Zadatak.

Je li matrica A kvadratna ako je:

a) A =

2 33 71 3

, b) A = [ 2 33 7

], c) A =

2 3 13 7 31 3 −1

.Ako matrica A jest kvadratna, kojeg je reda i koji elementi tvore glavnudijagonalu?Rješenje. a) Matrica A nije kvadratna.

b) Matrica A jest kvadratna. Red od A je 2. Glavnu dijagonalu cineelementi 2, 7.

c) Matrica A jest kvadratna. Red od A je 3. Glavnnu dijagonalu cineelementi 2, 7,−1.


Osnovni pojmovi

Zadatak. Je li matrica A kvadratna ako je:

a) A =

2 33 71 3

, b) A = [ 2 33 7

], c) A =

2 3 13 7 31 3 −1





Osnovni pojmovi


a) A =

2 33 71 3

,

b) A =[2 33 7

], c) A =

2 3 13 7 31 3 −1





Osnovni pojmovi


a) A =

2 33 71 3

, b) A = [ 2 33 7

],

c) A =

2 3 13 7 31 3 −1





Osnovni pojmovi


a) A =

2 33 71 3

, b) A = [ 2 33 7

], c) A =

2 3 13 7 31 3 −1

.

Ako matrica A jest kvadratna, kojeg je reda i koji elementi tvore glavnudijagonalu?Rješenje. a) Matrica A nije kvadratna.




Osnovni pojmovi


a) A =

2 33 71 3

, b) A = [ 2 33 7

], c) A =

2 3 13 7 31 3 −1

.Ako matrica A jest kvadratna, kojeg je reda

i koji elementi tvore glavnudijagonalu?Rješenje. a) Matrica A nije kvadratna.




Osnovni pojmovi


a) A =

2 33 71 3

, b) A = [ 2 33 7

], c) A =

2 3 13 7 31 3 −1

.Ako matrica A jest kvadratna, kojeg je reda i koji elementi tvore glavnudijagonalu?

Rješenje. a) Matrica A nije kvadratna.




Osnovni pojmovi


a) A =

2 33 71 3

, b) A = [ 2 33 7

], c) A =

2 3 13 7 31 3 −1

.Ako matrica A jest kvadratna, kojeg je reda i koji elementi tvore glavnudijagonalu?Rješenje.

a) Matrica A nije kvadratna.




Osnovni pojmovi


a) A =

2 33 71 3

, b) A = [ 2 33 7

], c) A =

2 3 13 7 31 3 −1

.Ako matrica A jest kvadratna, kojeg je reda i koji elementi tvore glavnudijagonalu?Rješenje. a)

Matrica A nije kvadratna.




Osnovni pojmovi


a) A =

2 33 71 3

, b) A = [ 2 33 7

], c) A =

2 3 13 7 31 3 −1





Osnovni pojmovi


a) A =

2 33 71 3

, b) A = [ 2 33 7

], c) A =

2 3 13 7 31 3 −1


b)

Matrica A jest kvadratna. Red od A je 2. Glavnu dijagonalu cineelementi 2, 7.



Osnovni pojmovi


a) A =

2 33 71 3

, b) A = [ 2 33 7

], c) A =

2 3 13 7 31 3 −1


b) Matrica A jest kvadratna.

Red od A je 2. Glavnu dijagonalu cineelementi 2, 7.



Osnovni pojmovi


a) A =

2 33 71 3

, b) A = [ 2 33 7

], c) A =

2 3 13 7 31 3 −1


b) Matrica A jest kvadratna. Red od A je 2.

Glavnu dijagonalu cineelementi 2, 7.



Osnovni pojmovi


a) A =

2 33 71 3

, b) A = [ 2 33 7

], c) A =

2 3 13 7 31 3 −1





Osnovni pojmovi


a) A =

2 33 71 3

, b) A = [ 2 33 7

], c) A =

2 3 13 7 31 3 −1



c)

Matrica A jest kvadratna. Red od A je 3. Glavnnu dijagonalu cineelementi 2, 7,−1.


Osnovni pojmovi


a) A =

2 33 71 3

, b) A = [ 2 33 7

], c) A =

2 3 13 7 31 3 −1



c) Matrica A jest kvadratna.

Red od A je 3. Glavnnu dijagonalu cineelementi 2, 7,−1.


Osnovni pojmovi


a) A =

2 33 71 3

, b) A = [ 2 33 7

], c) A =

2 3 13 7 31 3 −1



c) Matrica A jest kvadratna. Red od A je 3.

Glavnnu dijagonalu cineelementi 2, 7,−1.


Osnovni pojmovi


a) A =

2 33 71 3

, b) A = [ 2 33 7

], c) A =

2 3 13 7 31 3 −1





Osnovni pojmovi

Definicija.

Neka je A = [aij ]m,n matrica. Transponirana matrica AT

matrice A je matrica AT = [aji ]n,m .

Zadatak. Odredi AT ako je

A =

2 14 7−1 5

.Rješenje. Vrijedi

AT =[2 4 −11 7 5

].


Osnovni pojmovi

Definicija. Neka je A = [aij ]m,n matrica.

Transponirana matrica AT



A =

2 14 7−1 5

.Rješenje. Vrijedi

AT =[2 4 −11 7 5

].


Osnovni pojmovi

Definicija. Neka je A = [aij ]m,n matrica. Transponirana matrica AT



A =

2 14 7−1 5

.Rješenje. Vrijedi

AT =[2 4 −11 7 5

].


Osnovni pojmovi



Zadatak.

Odredi AT ako je

A =

2 14 7−1 5

.Rješenje. Vrijedi

AT =[2 4 −11 7 5

].


Osnovni pojmovi




A =

2 14 7−1 5

.

Rješenje. Vrijedi

AT =[2 4 −11 7 5

].


Osnovni pojmovi




A =

2 14 7−1 5

.Rješenje.

Vrijedi

AT =[2 4 −11 7 5

].


Osnovni pojmovi




A =

2 14 7−1 5

.Rješenje. Vrijedi

AT =

[2 4 −11 7 5

].


Osnovni pojmovi




A =

2 14 7−1 5

.Rješenje. Vrijedi

AT =[2 4 −11 7 5

].


Osnovni pojmoviNeke matrice specijalnog oblika

Nul-matrica je svaka matrica kojoj su svi elementi 0, bez obzira kojeg jetipa (oznaka O).00

0

[0 0 00 0 0

] [0 0 0

] 0 . . . 0...

...0 . . . 0



Nul-matrica je svaka matrica kojoj su svi elementi 0, bez obzira kojeg jetipa (oznaka O).

000

[0 0 00 0 0

] [0 0 0

] 0 . . . 0...

...0 . . . 0



Nul-matrica je svaka matrica kojoj su svi elementi 0, bez obzira kojeg jetipa (oznaka O).00

0

[0 0 00 0 0

] [0 0 0

] 0 . . . 0...

...0 . . . 0


Osnovni pojmovi

Dijagonalna matrica je kvadratna matrica kojoj su svi elementi van glavnedijagonale jednaki 0.

[4 00 −3

] 2 0 00 0 00 0 −1

a11 0 . . . 00 a22 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . ann

Jedinicna matrica je kvadratna matrica kojoj su svi elementi na dijagonalijednaki 1, a van dijagonale jednaki 0 (oznaka I ili In).

[1 00 1

] 1 0 00 1 00 0 1

1 0 . . . 00 1 . . . 0....... . .

...0 0 . . . 1


Osnovni pojmovi


[4 00 −3

] 2 0 00 0 00 0 −1

a11 0 . . . 00 a22 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . ann


[1 00 1

] 1 0 00 1 00 0 1

1 0 . . . 00 1 . . . 0....... . .

...0 0 . . . 1


Osnovni pojmovi


[4 00 −3

] 2 0 00 0 00 0 −1

a11 0 . . . 00 a22 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . ann


[1 00 1

] 1 0 00 1 00 0 1

1 0 . . . 00 1 . . . 0....... . .

...0 0 . . . 1


Osnovni pojmovi


[4 00 −3

] 2 0 00 0 00 0 −1

a11 0 . . . 00 a22 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . ann


[1 00 1

] 1 0 00 1 00 0 1

1 0 . . . 00 1 . . . 0....... . .

...0 0 . . . 1


Osnovni pojmovi

Gornjetrokutasta matrica je svaka kvadratna matrica kojoj su svi elementiispod glavne dijagonale jednaki 0.

[2 20 2

] 2 0 40 1 50 0 −1

a11 a12 . . . a1n0 a22 . . . a2n...

.... . .

...0 0 . . . ann

Donjetrokutasta matrica je svaka kvadratna matrica kojoj su svi elementiiznad glavne dijagonale jednaki 0.

[4 05 −3

] 2 0 06 0 03 3 −1

a11 0 . . . 0a21 a22 . . . 0...

.... . .

...an1 an2 . . . ann


Osnovni pojmovi


[2 20 2

] 2 0 40 1 50 0 −1

a11 a12 . . . a1n0 a22 . . . a2n...

.... . .

...0 0 . . . ann


[4 05 −3

] 2 0 06 0 03 3 −1

a11 0 . . . 0a21 a22 . . . 0...

.... . .

...an1 an2 . . . ann


Osnovni pojmovi


[2 20 2

] 2 0 40 1 50 0 −1

a11 a12 . . . a1n0 a22 . . . a2n...

.... . .

...0 0 . . . ann


[4 05 −3

] 2 0 06 0 03 3 −1

a11 0 . . . 0a21 a22 . . . 0...

.... . .

...an1 an2 . . . ann


Osnovni pojmovi


[2 20 2

] 2 0 40 1 50 0 −1

a11 a12 . . . a1n0 a22 . . . a2n...

.... . .

...0 0 . . . ann


[4 05 −3

] 2 0 06 0 03 3 −1

a11 0 . . . 0a21 a22 . . . 0...

.... . .

...an1 an2 . . . ann


Osnovni pojmoviMatrica kao skup vektora

mozemo smatrati da je matrica

A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

am1 am2 . . . amn

sastavljena od vektora redaka

a1 =[a11 a12 . . . a1n

],

a2 =[a21 a22 . . . a2n

],

...am =

[am1 am2 . . . amn

],

A =

a1a2...am




A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

am1 am2 . . . amn


a1 =[a11 a12 . . . a1n

],

a2 =[a21 a22 . . . a2n

],

...am =

[am1 am2 . . . amn

],

A =

a1a2...am




A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

am1 am2 . . . amn


a1 =[a11 a12 . . . a1n

],

a2 =[a21 a22 . . . a2n

],

...am =

[am1 am2 . . . amn

],

A =

a1a2...am




A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

am1 am2 . . . amn


a1 =[a11 a12 . . . a1n

],

a2 =[a21 a22 . . . a2n

],

...am =

[am1 am2 . . . amn

],

A =

a1a2...am




A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

am1 am2 . . . amn

ili pak od sljedecih vektora stupaca

a1 =

a11a21...am1

, a2 =a12a22...am2

, . . . , an =

a1na2n...amn

, A = [a1 a2 . . . an].




A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

am1 am2 . . . amn


a1 =

a11a21...am1

, a2 =a12a22...am2

, . . . , an =

a1na2n...amn

,

A =[a1 a2 . . . an

].




A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

am1 am2 . . . amn


a1 =

a11a21...am1

, a2 =a12a22...am2

, . . . , an =

a1na2n...amn

, A = [a1 a2 . . . an].


Racunske operacijeZbrajanje matrica

Definicija. Neka su A = [aij ]m,n i B = [bij ]m,n matrice istog tipa. Tada je

A+B = [aij + bij ]m,n .

Zadatak. Izracunaj A+B ako je

A =

1 −13 1−2 0

i B =

4 41 0−1 2

.Rješenje. Vrijedi

A+B =

1 −13 1−2 0

+ 4 41 0−1 2

= 1+ 4 −1+ 43+ 1 1+ 0−2− 1 0+ 2

= 5 34 1−3 2

.



Definicija.

Neka su A = [aij ]m,n i B = [bij ]m,n matrice istog tipa. Tada je



A =

1 −13 1−2 0

i B =

4 41 0−1 2

.Rješenje. Vrijedi

A+B =

1 −13 1−2 0

+ 4 41 0−1 2

= 1+ 4 −1+ 43+ 1 1+ 0−2− 1 0+ 2

= 5 34 1−3 2

.



Definicija. Neka su A = [aij ]m,n i B = [bij ]m,n matrice istog tipa.

Tada je



A =

1 −13 1−2 0

i B =

4 41 0−1 2

.Rješenje. Vrijedi

A+B =

1 −13 1−2 0

+ 4 41 0−1 2

= 1+ 4 −1+ 43+ 1 1+ 0−2− 1 0+ 2

= 5 34 1−3 2

.






A =

1 −13 1−2 0

i B =

4 41 0−1 2

.Rješenje. Vrijedi

A+B =

1 −13 1−2 0

+ 4 41 0−1 2

= 1+ 4 −1+ 43+ 1 1+ 0−2− 1 0+ 2

= 5 34 1−3 2

.





Zadatak.

Izracunaj A+B ako je

A =

1 −13 1−2 0

i B =

4 41 0−1 2

.Rješenje. Vrijedi

A+B =

1 −13 1−2 0

+ 4 41 0−1 2

= 1+ 4 −1+ 43+ 1 1+ 0−2− 1 0+ 2

= 5 34 1−3 2

.






A =

1 −13 1−2 0

i B =

4 41 0−1 2

.

Rješenje. Vrijedi

A+B =

1 −13 1−2 0

+ 4 41 0−1 2

= 1+ 4 −1+ 43+ 1 1+ 0−2− 1 0+ 2

= 5 34 1−3 2

.






A =

1 −13 1−2 0

i B =

4 41 0−1 2

.Rješenje.

Vrijedi

A+B =

1 −13 1−2 0

+ 4 41 0−1 2

= 1+ 4 −1+ 43+ 1 1+ 0−2− 1 0+ 2

= 5 34 1−3 2

.






A =

1 −13 1−2 0

i B =

4 41 0−1 2

.Rješenje. Vrijedi

A+B =

1 −13 1−2 0

+ 4 41 0−1 2

= 1+ 4 −1+ 43+ 1 1+ 0−2− 1 0+ 2

= 5 34 1−3 2

.






A =

1 −13 1−2 0

i B =

4 41 0−1 2

.Rješenje. Vrijedi

A+B =

1 −13 1−2 0

+ 4 41 0−1 2

=

1+ 4 −1+ 43+ 1 1+ 0−2− 1 0+ 2

= 5 34 1−3 2

.






A =

1 −13 1−2 0

i B =

4 41 0−1 2

.Rješenje. Vrijedi

A+B =

1 −13 1−2 0

+ 4 41 0−1 2

= 1+ 4

−1+ 43+ 1 1+ 0−2− 1 0+ 2

= 5 34 1−3 2

.






A =

1 −13 1−2 0

i B =

4 41 0−1 2

.Rješenje. Vrijedi

A+B =

1 −13 1−2 0

+ 4 41 0−1 2

= 1+ 4 −1+ 4

3+ 1 1+ 0−2− 1 0+ 2

= 5 34 1−3 2

.






A =

1 −13 1−2 0

i B =

4 41 0−1 2

.Rješenje. Vrijedi

A+B =

1 −13 1−2 0

+ 4 41 0−1 2

= 1+ 4 −1+ 43+ 1

1+ 0−2− 1 0+ 2

= 5 34 1−3 2

.






A =

1 −13 1−2 0

i B =

4 41 0−1 2

.Rješenje. Vrijedi

A+B =

1 −13 1−2 0

+ 4 41 0−1 2

= 1+ 4 −1+ 43+ 1 1+ 0

−2− 1 0+ 2

= 5 34 1−3 2

.






A =

1 −13 1−2 0

i B =

4 41 0−1 2

.Rješenje. Vrijedi

A+B =

1 −13 1−2 0

+ 4 41 0−1 2

= 1+ 4 −1+ 43+ 1 1+ 0−2− 1

0+ 2

= 5 34 1−3 2

.






A =

1 −13 1−2 0

i B =

4 41 0−1 2

.Rješenje. Vrijedi

A+B =

1 −13 1−2 0

+ 4 41 0−1 2

= 1+ 4 −1+ 43+ 1 1+ 0−2− 1 0+ 2

= 5 34 1−3 2

.






A =

1 −13 1−2 0

i B =

4 41 0−1 2

.Rješenje. Vrijedi

A+B =

1 −13 1−2 0

+ 4 41 0−1 2

= 1+ 4 −1+ 43+ 1 1+ 0−2− 1 0+ 2

=

5 34 1−3 2

.






A =

1 −13 1−2 0

i B =

4 41 0−1 2

.Rješenje. Vrijedi

A+B =

1 −13 1−2 0

+ 4 41 0−1 2

= 1+ 4 −1+ 43+ 1 1+ 0−2− 1 0+ 2

= 5 34 1−3 2

.Jelena Sedlar (FGAG) Matrice 15 / 84

Racunske operacije

Zbrajanje matrica izMm,n ima sljedeca svojstva:

Z1) (A+B) +C = A+ (B+C) (asocijativnost),Z2) A+B = B+A (komutativnost),Z3) za svaku matricu A vrijedi A+O = O+A = A (postojanje

neutralnog elementa),

Z4) za svaku matricu A postoji njoj suprotna matrica −A takva da jeA+ (−A) = O (postojanje suprotnog elementa).


Racunske operacije


Z1) (A+B) +C = A+ (B+C) (asocijativnost),

Z2) A+B = B+A (komutativnost),Z3) za svaku matricu A vrijedi A+O = O+A = A (postojanje




Racunske operacije


Z1) (A+B) +C = A+ (B+C) (asocijativnost),Z2) A+B = B+A (komutativnost),

Z3) za svaku matricu A vrijedi A+O = O+A = A (postojanjeneutralnog elementa),



Racunske operacije






Racunske operacije






Racunske operacijeMnozenje matrica sa skalarom

Definicija. Neka je A = [aij ]m,n matrica i λ ∈ R skalar (broj). Tada je

λA = [λaij ]m,n .

Zadatak. Izracunaj −2A ako je

A =[1 −1 23 1 −2

].

Rješenje. Vrijedi

−2A = − 2[1 −1 23 1 −2

]=

[−2 2 −4−6 −2 4

].



Definicija.

Neka je A = [aij ]m,n matrica i λ ∈ R skalar (broj). Tada je

λA = [λaij ]m,n .


A =[1 −1 23 1 −2

].

Rješenje. Vrijedi

−2A = − 2[1 −1 23 1 −2

]=

[−2 2 −4−6 −2 4

].



Definicija. Neka je A = [aij ]m,n matrica i λ ∈ R skalar (broj).

Tada je

λA = [λaij ]m,n .


A =[1 −1 23 1 −2

].

Rješenje. Vrijedi

−2A = − 2[1 −1 23 1 −2

]=

[−2 2 −4−6 −2 4

].




λA = [λaij ]m,n .


A =[1 −1 23 1 −2

].

Rješenje. Vrijedi

−2A = − 2[1 −1 23 1 −2

]=

[−2 2 −4−6 −2 4

].




λA = [λaij ]m,n .

Zadatak.

Izracunaj −2A ako je

A =[1 −1 23 1 −2

].

Rješenje. Vrijedi

−2A = − 2[1 −1 23 1 −2

]=

[−2 2 −4−6 −2 4

].




λA = [λaij ]m,n .


A =[1 −1 23 1 −2

].

Rješenje. Vrijedi

−2A = − 2[1 −1 23 1 −2

]=

[−2 2 −4−6 −2 4

].




λA = [λaij ]m,n .


A =[1 −1 23 1 −2

].

Rješenje.

Vrijedi

−2A = − 2[1 −1 23 1 −2

]=

[−2 2 −4−6 −2 4

].




λA = [λaij ]m,n .


A =[1 −1 23 1 −2

].

Rješenje. Vrijedi

−2A =

− 2[1 −1 23 1 −2

]=

[−2 2 −4−6 −2 4

].




λA = [λaij ]m,n .


A =[1 −1 23 1 −2

].

Rješenje. Vrijedi

−2A = − 2[1 −1 23 1 −2

]=

[−2 2 −4−6 −2 4

].




λA = [λaij ]m,n .


A =[1 −1 23 1 −2

].

Rješenje. Vrijedi

−2A = − 2[1 −1 23 1 −2

]=

[−2 2 −4−6 −2 4

].


Racunske operacije

Mnozenje matrica izMm,n sa skalarom ima sljedeca svojstva:

M1) λ(A+B) = λA+ λB (distributivnost prema zbrajanju uMm,n),

M2) (λ+ µ)A = λA+ µA (distributivnost prema zbrajanju u R),

M3) (λµ)A = λ(µA) (kompatibilnost mnozenja),M4) 0 ·A = O,M5) 1 ·A = A (netrivijalnost mnozenja).


Racunske operacije






Racunske operacije






Racunske operacije




M3) (λµ)A = λ(µA) (kompatibilnost mnozenja),

M4) 0 ·A = O,M5) 1 ·A = A (netrivijalnost mnozenja).


Racunske operacije




M3) (λµ)A = λ(µA) (kompatibilnost mnozenja),M4) 0 ·A = O,

M5) 1 ·A = A (netrivijalnost mnozenja).


Racunske operacije






Racunske operacijeMnozenje matrica

Kazemo da su dvije matrice ulancane ako je broj stupaca prve matricejednak broju redaka druge matrice.

Zadatak. Jesu li matrice A i B ulancane, ako je:

a) A =[1 2 −17 0 2

]i B =

23−1

,b) A =

23−1

i B = [1 2 −17 0 2

].

Rješenje.a) Tip od A? 2× 3. Tip od B? 3× 1. Ulancane? DA.b) Tip od A? 3× 1. Tip od B? 2× 3. Ulancane? NE.



Kazemo da su dvije matrice ulancane

ako je broj stupaca prve matricejednak broju redaka druge matrice.


a) A =[1 2 −17 0 2

]i B =

23−1

,b) A =

23−1

i B = [1 2 −17 0 2

].






a) A =[1 2 −17 0 2

]i B =

23−1

,b) A =

23−1

i B = [1 2 −17 0 2

].





Zadatak.

Jesu li matrice A i B ulancane, ako je:

a) A =[1 2 −17 0 2

]i B =

23−1

,b) A =

23−1

i B = [1 2 −17 0 2

].






a) A =[1 2 −17 0 2

]i B =

23−1

,b) A =

23−1

i B = [1 2 −17 0 2

].






a) A =[1 2 −17 0 2

]i B =

23−1

,b) A =

23−1

i B = [1 2 −17 0 2

].






a) A =[1 2 −17 0 2

]i B =

23−1

,b) A =

23−1

i B = [1 2 −17 0 2

].

Rješenje.

a) Tip od A? 2× 3. Tip od B? 3× 1. Ulancane? DA.b) Tip od A? 3× 1. Tip od B? 2× 3. Ulancane? NE.





a) A =[1 2 −17 0 2

]i B =

23−1

,b) A =

23−1

i B = [1 2 −17 0 2

].

Rješenje.a) Tip od A?

2× 3. Tip od B? 3× 1. Ulancane? DA.b) Tip od A? 3× 1. Tip od B? 2× 3. Ulancane? NE.





a) A =[1 2 −17 0 2

]i B =

23−1

,b) A =

23−1

i B = [1 2 −17 0 2

].

Rješenje.a) Tip od A? 2× 3.

Tip od B? 3× 1. Ulancane? DA.b) Tip od A? 3× 1. Tip od B? 2× 3. Ulancane? NE.





a) A =[1 2 −17 0 2

]i B =

23−1

,b) A =

23−1

i B = [1 2 −17 0 2

].

Rješenje.a) Tip od A? 2× 3. Tip od B?

3× 1. Ulancane? DA.b) Tip od A? 3× 1. Tip od B? 2× 3. Ulancane? NE.





a) A =[1 2 −17 0 2

]i B =

23−1

,b) A =

23−1

i B = [1 2 −17 0 2

].

Rješenje.a) Tip od A? 2× 3. Tip od B? 3× 1.

Ulancane? DA.b) Tip od A? 3× 1. Tip od B? 2× 3. Ulancane? NE.





a) A =[1 2 −17 0 2

]i B =

23−1

,b) A =

23−1

i B = [1 2 −17 0 2

].

Rješenje.a) Tip od A? 2× 3. Tip od B? 3× 1. Ulancane?

DA.b) Tip od A? 3× 1. Tip od B? 2× 3. Ulancane? NE.





a) A =[1 2 −17 0 2

]i B =

23−1

,b) A =

23−1

i B = [1 2 −17 0 2

].

Rješenje.a) Tip od A? 2× 3. Tip od B? 3× 1. Ulancane? DA.

b) Tip od A? 3× 1. Tip od B? 2× 3. Ulancane? NE.





a) A =[1 2 −17 0 2

]i B =

23−1

,b) A =

23−1

i B = [1 2 −17 0 2

].

Rješenje.a) Tip od A? 2× 3. Tip od B? 3× 1. Ulancane? DA.b) Tip od A?

3× 1. Tip od B? 2× 3. Ulancane? NE.





a) A =[1 2 −17 0 2

]i B =

23−1

,b) A =

23−1

i B = [1 2 −17 0 2

].

Rješenje.a) Tip od A? 2× 3. Tip od B? 3× 1. Ulancane? DA.b) Tip od A? 3× 1.

Tip od B? 2× 3. Ulancane? NE.





a) A =[1 2 −17 0 2

]i B =

23−1

,b) A =

23−1

i B = [1 2 −17 0 2

].

Rješenje.a) Tip od A? 2× 3. Tip od B? 3× 1. Ulancane? DA.b) Tip od A? 3× 1. Tip od B?

2× 3. Ulancane? NE.





a) A =[1 2 −17 0 2

]i B =

23−1

,b) A =

23−1

i B = [1 2 −17 0 2

].

Rješenje.a) Tip od A? 2× 3. Tip od B? 3× 1. Ulancane? DA.b) Tip od A? 3× 1. Tip od B? 2× 3.

Ulancane? NE.





a) A =[1 2 −17 0 2

]i B =

23−1

,b) A =

23−1

i B = [1 2 −17 0 2

].

Rješenje.a) Tip od A? 2× 3. Tip od B? 3× 1. Ulancane? DA.b) Tip od A? 3× 1. Tip od B? 2× 3. Ulancane?

NE.





a) A =[1 2 −17 0 2

]i B =

23−1

,b) A =

23−1

i B = [1 2 −17 0 2

].



Racunske operacije

Definicija.

Neka su A = [aij ]m,n i B = [bij ]n,p dvije ulancane matrice.Umnozak matrica A i B je matrica

AB = [ai1b1j + ai2b2j + . . .+ ainbnj ]m,p = [n

∑k=1

aikbkj ]m,p .

Primjer. Neka su

A =[a11 a12 a13a21 a22 a23

]i B =

b11 b12 b13 b14b21 b22 b23 b24b31 b32 b33 b34

.Postoji li matrica C = AB? Ako postoji, odredi element c23!Rješenje. Ulancane? Da. Tip od C? 2× 4.

c23 = a21b13 + a22b23 + a23b33 =3

∑k=1

a2kbk3.


Racunske operacije

Definicija. Neka su A = [aij ]m,n i B = [bij ]n,p dvije ulancane matrice.

Umnozak matrica A i B je matrica


∑k=1

aikbkj ]m,p .

Primjer. Neka su

A =[a11 a12 a13a21 a22 a23

]i B =

b11 b12 b13 b14b21 b22 b23 b24b31 b32 b33 b34


c23 = a21b13 + a22b23 + a23b33 =3

∑k=1

a2kbk3.


Racunske operacije

Definicija. Neka su A = [aij ]m,n i B = [bij ]n,p dvije ulancane matrice.Umnozak matrica A i B je matrica


∑k=1

aikbkj ]m,p .

Primjer. Neka su

A =[a11 a12 a13a21 a22 a23

]i B =

b11 b12 b13 b14b21 b22 b23 b24b31 b32 b33 b34


c23 = a21b13 + a22b23 + a23b33 =3

∑k=1

a2kbk3.


Racunske operacije



∑k=1

aikbkj ]m,p .

Primjer. Neka su

A =[a11 a12 a13a21 a22 a23

]i B =

b11 b12 b13 b14b21 b22 b23 b24b31 b32 b33 b34


c23 = a21b13 + a22b23 + a23b33 =3

∑k=1

a2kbk3.


Racunske operacije



∑k=1

aikbkj ]m,p .

Primjer.

Neka su

A =[a11 a12 a13a21 a22 a23

]i B =

b11 b12 b13 b14b21 b22 b23 b24b31 b32 b33 b34


c23 = a21b13 + a22b23 + a23b33 =3

∑k=1

a2kbk3.


Racunske operacije



∑k=1

aikbkj ]m,p .

Primjer. Neka su

A =[a11 a12 a13a21 a22 a23

]i B =

b11 b12 b13 b14b21 b22 b23 b24b31 b32 b33 b34

.Postoji li matrica C = AB?

Ako postoji, odredi element c23!Rješenje. Ulancane? Da. Tip od C? 2× 4.

c23 = a21b13 + a22b23 + a23b33 =3

∑k=1

a2kbk3.


Racunske operacije



∑k=1

aikbkj ]m,p .

Primjer. Neka su

A =[a11 a12 a13a21 a22 a23

]i B =

b11 b12 b13 b14b21 b22 b23 b24b31 b32 b33 b34

.Postoji li matrica C = AB? Ako postoji, odredi element c23!

Rješenje. Ulancane? Da. Tip od C? 2× 4.

c23 = a21b13 + a22b23 + a23b33 =3

∑k=1

a2kbk3.


Racunske operacije



∑k=1

aikbkj ]m,p .

Primjer. Neka su

A =[a11 a12 a13a21 a22 a23

]i B =

b11 b12 b13 b14b21 b22 b23 b24b31 b32 b33 b34

.Postoji li matrica C = AB? Ako postoji, odredi element c23!Rješenje.

Ulancane? Da. Tip od C? 2× 4.

c23 = a21b13 + a22b23 + a23b33 =3

∑k=1

a2kbk3.


Racunske operacije



∑k=1

aikbkj ]m,p .

Primjer. Neka su

A =[a11 a12 a13a21 a22 a23

]i B =

b11 b12 b13 b14b21 b22 b23 b24b31 b32 b33 b34

.Postoji li matrica C = AB? Ako postoji, odredi element c23!Rješenje. Ulancane?

Da. Tip od C? 2× 4.

c23 = a21b13 + a22b23 + a23b33 =3

∑k=1

a2kbk3.


Racunske operacije



∑k=1

aikbkj ]m,p .

Primjer. Neka su

A =[a11 a12 a13a21 a22 a23

]i B =

b11 b12 b13 b14b21 b22 b23 b24b31 b32 b33 b34

.Postoji li matrica C = AB? Ako postoji, odredi element c23!Rješenje. Ulancane? Da.

Tip od C? 2× 4.

c23 = a21b13 + a22b23 + a23b33 =3

∑k=1

a2kbk3.


Racunske operacije



∑k=1

aikbkj ]m,p .

Primjer. Neka su

A =[a11 a12 a13a21 a22 a23

]i B =

b11 b12 b13 b14b21 b22 b23 b24b31 b32 b33 b34

.Postoji li matrica C = AB? Ako postoji, odredi element c23!Rješenje. Ulancane? Da. Tip od C?

2× 4.

c23 = a21b13 + a22b23 + a23b33 =3

∑k=1

a2kbk3.


Racunske operacije



∑k=1

aikbkj ]m,p .

Primjer. Neka su

A =[a11 a12 a13a21 a22 a23

]i B =

b11 b12 b13 b14b21 b22 b23 b24b31 b32 b33 b34


c23 = a21b13 + a22b23 + a23b33 =3

∑k=1

a2kbk3.


Racunske operacije



∑k=1

aikbkj ]m,p .

Primjer. Neka su

A =[a11 a12 a13a21 a22 a23

]i B =

b11 b12 b13 b14b21 b22 b23 b24b31 b32 b33 b34


c23 =

a21b13 + a22b23 + a23b33 =3

∑k=1

a2kbk3.


Racunske operacije



∑k=1

aikbkj ]m,p .

Primjer. Neka su

A =[a11 a12 a13a21 a22 a23

]i B =

b11 b12 b13 b14b21 b22 b23 b24b31 b32 b33 b34


c23 = a21b13 + a22b23 + a23b33 =

3

∑k=1

a2kbk3.


Racunske operacije



∑k=1

aikbkj ]m,p .

Primjer. Neka su

A =[a11 a12 a13a21 a22 a23

]i B =

b11 b12 b13 b14b21 b22 b23 b24b31 b32 b33 b34


c23 = a21b13 + a22b23 + a23b33 =3

∑k=1

a2kbk3.


Racunske operacije

Zadatak. Izracunaj AB i BA ako je:

a) A =[2 03 −1

]i B =

[1 −1 23 1 −2

]

Rješenje.

AB =

[2 03 − 1

] [1 − 1 23 1 − 2

]=

=

[

2 · 1+ 0 · 3 2 · (−1) + 0 · 1 2 · 2+ 0 · (−2)3 · 1+ (−1) · 3 3 · (−1) + (−1) · 1 3 · 2+ (−1) · (−2)

]=

=

[2 −2 40 −4 8

].


Racunske operacije


a) A =[2 03 −1

]i B =

[1 −1 23 1 −2

]Rješenje.

AB =

[2 03 − 1

] [1 − 1 23 1 − 2

]=

=

[

2 · 1+ 0 · 3 2 · (−1) + 0 · 1 2 · 2+ 0 · (−2)3 · 1+ (−1) · 3 3 · (−1) + (−1) · 1 3 · 2+ (−1) · (−2)

]=

=

[2 −2 40 −4 8

].


Racunske operacije


a) A =[2 03 −1

]i B =

[1 −1 23 1 −2

]Rješenje.

AB =

[2 03 − 1

] [1 − 1 23 1 − 2

]=

=

[

2 · 1+ 0 · 3 2 · (−1) + 0 · 1 2 · 2+ 0 · (−2)3 · 1+ (−1) · 3 3 · (−1) + (−1) · 1 3 · 2+ (−1) · (−2)

]=

=

[2 −2 40 −4 8

].


Racunske operacije


a) A =[2 03 −1

]i B =

[1 −1 23 1 −2

]Rješenje.

AB =

[2 03 − 1

] [1 − 1 23 1 − 2

]=

=

[

2 · 1+ 0 · 3 2 · (−1) + 0 · 1 2 · 2+ 0 · (−2)3 · 1+ (−1) · 3 3 · (−1) + (−1) · 1 3 · 2+ (−1) · (−2)

]=

=

[2 −2 40 −4 8

].


Racunske operacije


a) A =[2 03 −1

]i B =

[1 −1 23 1 −2

]Rješenje.

AB =

[2 03 − 1

] [1 − 1 23 1 − 2

]=

=

[

2 · 1+ 0 · 3 2 · (−1) + 0 · 1 2 · 2+ 0 · (−2)3 · 1+ (−1) · 3 3 · (−1) + (−1) · 1 3 · 2+ (−1) · (−2)

]=

=

[2 −2 40 −4 8

].


Racunske operacije


a) A =[2 03 −1

]i B =

[1 −1 23 1 −2

]Rješenje.

AB =

[2 03 − 1

] [1 − 1 23 1 − 2

]=

=

[2 · 1+ 0 · 3

2 · (−1) + 0 · 1 2 · 2+ 0 · (−2)3 · 1+ (−1) · 3 3 · (−1) + (−1) · 1 3 · 2+ (−1) · (−2)

]=

=

[2 −2 40 −4 8

].


Racunske operacije


a) A =[2 03 −1

]i B =

[1 −1 23 1 −2

]Rješenje.

AB =

[2 03 − 1

] [1 −1 23 1 − 2

]=

=

[2 · 1+ 0 · 3

2 · (−1) + 0 · 1 2 · 2+ 0 · (−2)3 · 1+ (−1) · 3 3 · (−1) + (−1) · 1 3 · 2+ (−1) · (−2)

]=

=

[2 −2 40 −4 8

].


Racunske operacije


a) A =[2 03 −1

]i B =

[1 −1 23 1 −2

]Rješenje.

AB =

[2 03 − 1

] [1 −1 23 1 − 2

]=

=

[2 · 1+ 0 · 3 2 · (−1) + 0 · 1

2 · 2+ 0 · (−2)3 · 1+ (−1) · 3 3 · (−1) + (−1) · 1 3 · 2+ (−1) · (−2)

]=

=

[2 −2 40 −4 8

].


Racunske operacije


a) A =[2 03 −1

]i B =

[1 −1 23 1 −2

]Rješenje.

AB =

[2 03 − 1

] [1 − 1 23 1 −2

]=

=

[2 · 1+ 0 · 3 2 · (−1) + 0 · 1

2 · 2+ 0 · (−2)3 · 1+ (−1) · 3 3 · (−1) + (−1) · 1 3 · 2+ (−1) · (−2)

]=

=

[2 −2 40 −4 8

].


Racunske operacije


a) A =[2 03 −1

]i B =

[1 −1 23 1 −2

]Rješenje.

AB =

[2 03 − 1

] [1 − 1 23 1 −2

]=

=

[2 · 1+ 0 · 3 2 · (−1) + 0 · 1 2 · 2+ 0 · (−2)

3 · 1+ (−1) · 3 3 · (−1) + (−1) · 1 3 · 2+ (−1) · (−2)

]=

=

[2 −2 40 −4 8

].


Racunske operacije


a) A =[2 03 −1

]i B =

[1 −1 23 1 −2

]Rješenje.

AB =

[2 03 −1

] [1 − 1 23 1 − 2

]=

=

[2 · 1+ 0 · 3 2 · (−1) + 0 · 1 2 · 2+ 0 · (−2)

3 · 1+ (−1) · 3 3 · (−1) + (−1) · 1 3 · 2+ (−1) · (−2)

]=

=

[2 −2 40 −4 8

].


Racunske operacije


a) A =[2 03 −1

]i B =

[1 −1 23 1 −2

]Rješenje.

AB =

[2 03 −1

] [1 − 1 23 1 − 2

]=

=

[2 · 1+ 0 · 3 2 · (−1) + 0 · 1 2 · 2+ 0 · (−2)

3 · 1+ (−1) · 3

3 · (−1) + (−1) · 1 3 · 2+ (−1) · (−2)

]=

=

[2 −2 40 −4 8

].


Racunske operacije


a) A =[2 03 −1

]i B =

[1 −1 23 1 −2

]Rješenje.

AB =

[2 03 −1

] [1 −1 23 1 − 2

]=

=

[2 · 1+ 0 · 3 2 · (−1) + 0 · 1 2 · 2+ 0 · (−2)

3 · 1+ (−1) · 3

3 · (−1) + (−1) · 1 3 · 2+ (−1) · (−2)

]=

=

[2 −2 40 −4 8

].


Racunske operacije


a) A =[2 03 −1

]i B =

[1 −1 23 1 −2

]Rješenje.

AB =

[2 03 −1

] [1 −1 23 1 − 2

]=

=

[2 · 1+ 0 · 3 2 · (−1) + 0 · 1 2 · 2+ 0 · (−2)

3 · 1+ (−1) · 3 3 · (−1) + (−1) · 1

3 · 2+ (−1) · (−2)

]=

=

[2 −2 40 −4 8

].


Racunske operacije


a) A =[2 03 −1

]i B =

[1 −1 23 1 −2

]Rješenje.

AB =

[2 03 −1

] [1 − 1 23 1 −2

]=

=

[2 · 1+ 0 · 3 2 · (−1) + 0 · 1 2 · 2+ 0 · (−2)

3 · 1+ (−1) · 3 3 · (−1) + (−1) · 1

3 · 2+ (−1) · (−2)

]=

=

[2 −2 40 −4 8

].


Racunske operacije


a) A =[2 03 −1

]i B =

[1 −1 23 1 −2

]Rješenje.

AB =

[2 03 −1

] [1 − 1 23 1 −2

]=

=

[2 · 1+ 0 · 3 2 · (−1) + 0 · 1 2 · 2+ 0 · (−2)

3 · 1+ (−1) · 3 3 · (−1) + (−1) · 1 3 · 2+ (−1) · (−2)

]=

=

[2 −2 40 −4 8

].


Racunske operacije


a) A =[2 03 −1

]i B =

[1 −1 23 1 −2

]Rješenje.

AB =

[2 03 − 1

] [1 − 1 23 1 − 2

]=

=

[2 · 1+ 0 · 3 2 · (−1) + 0 · 1 2 · 2+ 0 · (−2)

3 · 1+ (−1) · 3 3 · (−1) + (−1) · 1 3 · 2+ (−1) · (−2)

]=

=

[2 −2 40 −4 8

].


Racunske operacije


a) A =[2 03 −1

]i B =

[1 −1 23 1 −2

]Rješenje.

AB =

[2 03 − 1

] [1 − 1 23 1 − 2

]=

=

[2 · 1+ 0 · 3 2 · (−1) + 0 · 1 2 · 2+ 0 · (−2)

3 · 1+ (−1) · 3 3 · (−1) + (−1) · 1 3 · 2+ (−1) · (−2)

]=

=

[2 −2 40 −4 8

].


Racunske operacije


a) A =[2 03 −1

]i B =

[1 −1 23 1 −2

]Rješenje.

BA = nije definiran


Racunske operacije


a) A =[2 03 −1

]i B =

[1 −1 23 1 −2

]Rješenje.

BA =

nije definiran


Racunske operacije


a) A =[2 03 −1

]i B =

[1 −1 23 1 −2

]Rješenje.

BA = nije definiran


Racunske operacije


a) A =[2 03 −1

]i B =

[1 −1 23 1 −2

]Rješenje.

AB =[2 −2 40 −4 8

]i BA = nije definiran


Racunske operacije


b) A =

−1 31 20 2

i B = [ 2 −1 54 1 −2

]Rješenje. Imamo,

AB =

− 1 31 20 2

[ 2 − 1 54 1 − 2

]=

=

− 1 · 2+ 3 · 4 − 1 · (−1) + 3 · 1 − 1 · 5+ 3 · (−2)1 · 2+ 2 · 4 1 · (−1) + 2 · 1 1 · 5+ 2 · (−2)0 · 2+ 2 · 4 0 · (−1) + 2 · 1 0 · 5+ 2 · (−2)

==

10 4 −1110 1 18 2 −4

.


Racunske operacije


b) A =

−1 31 20 2

i B = [ 2 −1 54 1 −2

]

Rješenje. Imamo,

AB =

− 1 31 20 2

[ 2 − 1 54 1 − 2

]=

=

− 1 · 2+ 3 · 4 − 1 · (−1) + 3 · 1 − 1 · 5+ 3 · (−2)1 · 2+ 2 · 4 1 · (−1) + 2 · 1 1 · 5+ 2 · (−2)0 · 2+ 2 · 4 0 · (−1) + 2 · 1 0 · 5+ 2 · (−2)

==

10 4 −1110 1 18 2 −4

.


Racunske operacije


b) A =

−1 31 20 2

i B = [ 2 −1 54 1 −2

]Rješenje. Imamo,

AB =

− 1 31 20 2

[ 2 − 1 54 1 − 2

]=

=

− 1 · 2+ 3 · 4 − 1 · (−1) + 3 · 1 − 1 · 5+ 3 · (−2)1 · 2+ 2 · 4 1 · (−1) + 2 · 1 1 · 5+ 2 · (−2)0 · 2+ 2 · 4 0 · (−1) + 2 · 1 0 · 5+ 2 · (−2)

==

10 4 −1110 1 18 2 −4

.


Racunske operacije


b) A =

−1 31 20 2

i B = [ 2 −1 54 1 −2

]Rješenje. Imamo,

AB =

− 1 31 20 2

[ 2 − 1 54 1 − 2

]=

=

− 1 · 2+ 3 · 4 − 1 · (−1) + 3 · 1 − 1 · 5+ 3 · (−2)1 · 2+ 2 · 4 1 · (−1) + 2 · 1 1 · 5+ 2 · (−2)0 · 2+ 2 · 4 0 · (−1) + 2 · 1 0 · 5+ 2 · (−2)

==

10 4 −1110 1 18 2 −4

.


Racunske operacije


b) A =

−1 31 20 2

i B = [ 2 −1 54 1 −2

]Rješenje. Imamo,

AB =

− 1 31 20 2

[ 2 − 1 54 1 − 2

]=

=

− 1 · 2+ 3 · 4 − 1 · (−1) + 3 · 1 − 1 · 5+ 3 · (−2)1 · 2+ 2 · 4 1 · (−1) + 2 · 1 1 · 5+ 2 · (−2)0 · 2+ 2 · 4 0 · (−1) + 2 · 1 0 · 5+ 2 · (−2)

=

=

10 4 −1110 1 18 2 −4

.


Racunske operacije


b) A =

−1 31 20 2

i B = [ 2 −1 54 1 −2

]Rješenje. Imamo,

AB =

−1 31 20 2

[ 2 − 1 54 1 − 2

]=

=

− 1 · 2+ 3 · 4 − 1 · (−1) + 3 · 1 − 1 · 5+ 3 · (−2)1 · 2+ 2 · 4 1 · (−1) + 2 · 1 1 · 5+ 2 · (−2)0 · 2+ 2 · 4 0 · (−1) + 2 · 1 0 · 5+ 2 · (−2)

=

=

10 4 −1110 1 18 2 −4

.


Racunske operacije


b) A =

−1 31 20 2

i B = [ 2 −1 54 1 −2

]Rješenje. Imamo,

AB =

−1 31 20 2

[ 2 − 1 54 1 − 2

]=

=

− 1 · 2+ 3 · 4

− 1 · (−1) + 3 · 1 − 1 · 5+ 3 · (−2)1 · 2+ 2 · 4 1 · (−1) + 2 · 1 1 · 5+ 2 · (−2)0 · 2+ 2 · 4 0 · (−1) + 2 · 1 0 · 5+ 2 · (−2)

=

=

10 4 −1110 1 18 2 −4

.


Racunske operacije


b) A =

−1 31 20 2

i B = [ 2 −1 54 1 −2

]Rješenje. Imamo,

AB =

−1 31 20 2

[ 2 −1 54 1 − 2

]=

=

− 1 · 2+ 3 · 4

− 1 · (−1) + 3 · 1 − 1 · 5+ 3 · (−2)1 · 2+ 2 · 4 1 · (−1) + 2 · 1 1 · 5+ 2 · (−2)0 · 2+ 2 · 4 0 · (−1) + 2 · 1 0 · 5+ 2 · (−2)

=

=

10 4 −1110 1 18 2 −4

.


Racunske operacije


b) A =

−1 31 20 2

i B = [ 2 −1 54 1 −2

]Rješenje. Imamo,

AB =

−1 31 20 2

[ 2 −1 54 1 − 2

]=

=

− 1 · 2+ 3 · 4 − 1 · (−1) + 3 · 1

− 1 · 5+ 3 · (−2)1 · 2+ 2 · 4 1 · (−1) + 2 · 1 1 · 5+ 2 · (−2)0 · 2+ 2 · 4 0 · (−1) + 2 · 1 0 · 5+ 2 · (−2)

=

=

10 4 −1110 1 18 2 −4

.


Racunske operacije


b) A =

−1 31 20 2

i B = [ 2 −1 54 1 −2

]Rješenje. Imamo,

AB =

−1 31 20 2

[ 2 − 1 54 1 −2

]=

=

− 1 · 2+ 3 · 4 − 1 · (−1) + 3 · 1

− 1 · 5+ 3 · (−2)1 · 2+ 2 · 4 1 · (−1) + 2 · 1 1 · 5+ 2 · (−2)0 · 2+ 2 · 4 0 · (−1) + 2 · 1 0 · 5+ 2 · (−2)

=

=

10 4 −1110 1 18 2 −4

.


Racunske operacije


b) A =

−1 31 20 2

i B = [ 2 −1 54 1 −2

]Rješenje. Imamo,

AB =

−1 31 20 2

[ 2 − 1 54 1 −2

]=

=

− 1 · 2+ 3 · 4 − 1 · (−1) + 3 · 1 − 1 · 5+ 3 · (−2)

1 · 2+ 2 · 4 1 · (−1) + 2 · 1 1 · 5+ 2 · (−2)0 · 2+ 2 · 4 0 · (−1) + 2 · 1 0 · 5+ 2 · (−2)

=

=

10 4 −1110 1 18 2 −4

.


Racunske operacije


b) A =

−1 31 20 2

i B = [ 2 −1 54 1 −2

]Rješenje. Imamo,

AB =

− 1 31 20 2

[ 2 − 1 54 1 − 2

]=

=

− 1 · 2+ 3 · 4 − 1 · (−1) + 3 · 1 − 1 · 5+ 3 · (−2)

1 · 2+ 2 · 4 1 · (−1) + 2 · 1 1 · 5+ 2 · (−2)0 · 2+ 2 · 4 0 · (−1) + 2 · 1 0 · 5+ 2 · (−2)

=

=

10 4 −1110 1 18 2 −4

.


Racunske operacije


b) A =

−1 31 20 2

i B = [ 2 −1 54 1 −2

]Rješenje. Imamo,

AB =

− 1 31 20 2

[ 2 − 1 54 1 − 2

]=

=

− 1 · 2+ 3 · 4 − 1 · (−1) + 3 · 1 − 1 · 5+ 3 · (−2)1 · 2+ 2 · 4

1 · (−1) + 2 · 1 1 · 5+ 2 · (−2)0 · 2+ 2 · 4 0 · (−1) + 2 · 1 0 · 5+ 2 · (−2)

=

=

10 4 −1110 1 18 2 −4

.


Racunske operacije


b) A =

−1 31 20 2

i B = [ 2 −1 54 1 −2

]Rješenje. Imamo,

AB =

− 1 31 20 2

[ 2 −1 54 1 − 2

]=

=

− 1 · 2+ 3 · 4 − 1 · (−1) + 3 · 1 − 1 · 5+ 3 · (−2)1 · 2+ 2 · 4

1 · (−1) + 2 · 1 1 · 5+ 2 · (−2)0 · 2+ 2 · 4 0 · (−1) + 2 · 1 0 · 5+ 2 · (−2)

=

=

10 4 −1110 1 18 2 −4

.


Racunske operacije


b) A =

−1 31 20 2

i B = [ 2 −1 54 1 −2

]Rješenje. Imamo,

AB =

− 1 31 20 2

[ 2 −1 54 1 − 2

]=

=

− 1 · 2+ 3 · 4 − 1 · (−1) + 3 · 1 − 1 · 5+ 3 · (−2)1 · 2+ 2 · 4 1 · (−1) + 2 · 1

1 · 5+ 2 · (−2)0 · 2+ 2 · 4 0 · (−1) + 2 · 1 0 · 5+ 2 · (−2)

=

=

10 4 −1110 1 18 2 −4

.


Racunske operacije


b) A =

−1 31 20 2

i B = [ 2 −1 54 1 −2

]Rješenje. Imamo,

AB =

− 1 31 20 2

[ 2 − 1 54 1 −2

]=

=

− 1 · 2+ 3 · 4 − 1 · (−1) + 3 · 1 − 1 · 5+ 3 · (−2)1 · 2+ 2 · 4 1 · (−1) + 2 · 1

1 · 5+ 2 · (−2)0 · 2+ 2 · 4 0 · (−1) + 2 · 1 0 · 5+ 2 · (−2)

=

=

10 4 −1110 1 18 2 −4

.


Racunske operacije


b) A =

−1 31 20 2

i B = [ 2 −1 54 1 −2

]Rješenje. Imamo,

AB =

− 1 31 20 2

[ 2 − 1 54 1 −2

]=

=

− 1 · 2+ 3 · 4 − 1 · (−1) + 3 · 1 − 1 · 5+ 3 · (−2)1 · 2+ 2 · 4 1 · (−1) + 2 · 1 1 · 5+ 2 · (−2)

0 · 2+ 2 · 4 0 · (−1) + 2 · 1 0 · 5+ 2 · (−2)

=

=

10 4 −1110 1 18 2 −4

.


Racunske operacije


b) A =

−1 31 20 2

i B = [ 2 −1 54 1 −2

]Rješenje. Imamo,

AB =

− 1 31 20 2

[ 2 − 1 54 1 − 2

]=

=

− 1 · 2+ 3 · 4 − 1 · (−1) + 3 · 1 − 1 · 5+ 3 · (−2)1 · 2+ 2 · 4 1 · (−1) + 2 · 1 1 · 5+ 2 · (−2)

0 · 2+ 2 · 4 0 · (−1) + 2 · 1 0 · 5+ 2 · (−2)

=

=

10 4 −1110 1 18 2 −4

.


Racunske operacije


b) A =

−1 31 20 2

i B = [ 2 −1 54 1 −2

]Rješenje. Imamo,

AB =

− 1 31 20 2

[ 2 − 1 54 1 − 2

]=

=

− 1 · 2+ 3 · 4 − 1 · (−1) + 3 · 1 − 1 · 5+ 3 · (−2)1 · 2+ 2 · 4 1 · (−1) + 2 · 1 1 · 5+ 2 · (−2)0 · 2+ 2 · 4

0 · (−1) + 2 · 1 0 · 5+ 2 · (−2)

=

=

10 4 −1110 1 18 2 −4

.


Racunske operacije


b) A =

−1 31 20 2

i B = [ 2 −1 54 1 −2

]Rješenje. Imamo,

AB =

− 1 31 20 2

[ 2 −1 54 1 − 2

]=

=

− 1 · 2+ 3 · 4 − 1 · (−1) + 3 · 1 − 1 · 5+ 3 · (−2)1 · 2+ 2 · 4 1 · (−1) + 2 · 1 1 · 5+ 2 · (−2)0 · 2+ 2 · 4

0 · (−1) + 2 · 1 0 · 5+ 2 · (−2)

=

=

10 4 −1110 1 18 2 −4

.


Racunske operacije


b) A =

−1 31 20 2

i B = [ 2 −1 54 1 −2

]Rješenje. Imamo,

AB =

− 1 31 20 2

[ 2 −1 54 1 − 2

]=

=

− 1 · 2+ 3 · 4 − 1 · (−1) + 3 · 1 − 1 · 5+ 3 · (−2)1 · 2+ 2 · 4 1 · (−1) + 2 · 1 1 · 5+ 2 · (−2)0 · 2+ 2 · 4 0 · (−1) + 2 · 1

0 · 5+ 2 · (−2)

=

=

10 4 −1110 1 18 2 −4

.


Racunske operacije


b) A =

−1 31 20 2

i B = [ 2 −1 54 1 −2

]Rješenje. Imamo,

AB =

− 1 31 20 2

[ 2 − 1 54 1 −2

]=

=

− 1 · 2+ 3 · 4 − 1 · (−1) + 3 · 1 − 1 · 5+ 3 · (−2)1 · 2+ 2 · 4 1 · (−1) + 2 · 1 1 · 5+ 2 · (−2)0 · 2+ 2 · 4 0 · (−1) + 2 · 1

0 · 5+ 2 · (−2)

=

=

10 4 −1110 1 18 2 −4

.


Racunske operacije


b) A =

−1 31 20 2

i B = [ 2 −1 54 1 −2

]Rješenje. Imamo,

AB =

− 1 31 20 2

[ 2 − 1 54 1 −2

]=

=

− 1 · 2+ 3 · 4 − 1 · (−1) + 3 · 1 − 1 · 5+ 3 · (−2)1 · 2+ 2 · 4 1 · (−1) + 2 · 1 1 · 5+ 2 · (−2)0 · 2+ 2 · 4 0 · (−1) + 2 · 1 0 · 5+ 2 · (−2)

=

=

10 4 −1110 1 18 2 −4

.


Racunske operacije


b) A =

−1 31 20 2

i B = [ 2 −1 54 1 −2

]Rješenje. Imamo,

AB =

− 1 31 20 2

[ 2 − 1 54 1 − 2

]=

=

− 1 · 2+ 3 · 4 − 1 · (−1) + 3 · 1 − 1 · 5+ 3 · (−2)1 · 2+ 2 · 4 1 · (−1) + 2 · 1 1 · 5+ 2 · (−2)0 · 2+ 2 · 4 0 · (−1) + 2 · 1 0 · 5+ 2 · (−2)

=

=

10 4 −1110 1 18 2 −4

.


Racunske operacije


b) A =

−1 31 20 2

i B = [ 2 −1 54 1 −2

]Rješenje. Imamo,

AB =

− 1 31 20 2

[ 2 − 1 54 1 − 2

]=

=

− 1 · 2+ 3 · 4 − 1 · (−1) + 3 · 1 − 1 · 5+ 3 · (−2)1 · 2+ 2 · 4 1 · (−1) + 2 · 1 1 · 5+ 2 · (−2)0 · 2+ 2 · 4 0 · (−1) + 2 · 1 0 · 5+ 2 · (−2)

==

10 4 −1110 1 18 2 −4

.Jelena Sedlar (FGAG) Matrice 24 / 84

Racunske operacije


b) A =

−1 31 20 2

i B = [ 2 −1 54 1 −2

]Rješenje. Imamo,

BA =

[2 −1 54 1 −2

] −1 31 20 2

==

[

2 · (−1) + (−1) · 1+ 5 · 0 2 · 3+ (−1) · 2+ 5 · 24 · (−1) + 1 · 1+ (−2) · 0 4 · 3+ 1 · 2+ (−2) · 2

]=

=

[−3 14−3 10

]


Racunske operacije


b) A =

−1 31 20 2

i B = [ 2 −1 54 1 −2

]Rješenje. Imamo,

BA =

[2 −1 54 1 −2

] −1 31 20 2

=

=

[

2 · (−1) + (−1) · 1+ 5 · 0 2 · 3+ (−1) · 2+ 5 · 24 · (−1) + 1 · 1+ (−2) · 0 4 · 3+ 1 · 2+ (−2) · 2

]=

=

[−3 14−3 10

]


Racunske operacije


b) A =

−1 31 20 2

i B = [ 2 −1 54 1 −2

]Rješenje. Imamo,

BA =

[2 −1 54 1 −2

] −1 31 20 2

==

[

2 · (−1) + (−1) · 1+ 5 · 0 2 · 3+ (−1) · 2+ 5 · 24 · (−1) + 1 · 1+ (−2) · 0 4 · 3+ 1 · 2+ (−2) · 2

]=

=

[−3 14−3 10

]


Racunske operacije


b) A =

−1 31 20 2

i B = [ 2 −1 54 1 −2

]Rješenje. Imamo,

BA =

[2 −1 54 1 −2

] −1 31 20 2

==

[2 · (−1) + (−1) · 1+ 5 · 0

2 · 3+ (−1) · 2+ 5 · 24 · (−1) + 1 · 1+ (−2) · 0 4 · 3+ 1 · 2+ (−2) · 2

]=

=

[−3 14−3 10

]


Racunske operacije


b) A =

−1 31 20 2

i B = [ 2 −1 54 1 −2

]Rješenje. Imamo,

BA =

[2 −1 54 1 −2

] −1 31 20 2

==

[2 · (−1) + (−1) · 1+ 5 · 0 2 · 3+ (−1) · 2+ 5 · 2

4 · (−1) + 1 · 1+ (−2) · 0 4 · 3+ 1 · 2+ (−2) · 2

]=

=

[−3 14−3 10

]


Racunske operacije


b) A =

−1 31 20 2

i B = [ 2 −1 54 1 −2

]Rješenje. Imamo,

BA =

[2 −1 54 1 −2

] −1 31 20 2

==

[2 · (−1) + (−1) · 1+ 5 · 0 2 · 3+ (−1) · 2+ 5 · 24 · (−1) + 1 · 1+ (−2) · 0

4 · 3+ 1 · 2+ (−2) · 2

]=

=

[−3 14−3 10

]


Racunske operacije


b) A =

−1 31 20 2

i B = [ 2 −1 54 1 −2

]Rješenje. Imamo,

BA =

[2 −1 54 1 −2

] −1 31 20 2

==

[2 · (−1) + (−1) · 1+ 5 · 0 2 · 3+ (−1) · 2+ 5 · 24 · (−1) + 1 · 1+ (−2) · 0 4 · 3+ 1 · 2+ (−2) · 2

]=

=

[−3 14−3 10

]


Racunske operacije


b) A =

−1 31 20 2

i B = [ 2 −1 54 1 −2

]Rješenje. Imamo,

BA =

[2 −1 54 1 −2

] −1 31 20 2

==

[2 · (−1) + (−1) · 1+ 5 · 0 2 · 3+ (−1) · 2+ 5 · 24 · (−1) + 1 · 1+ (−2) · 0 4 · 3+ 1 · 2+ (−2) · 2

]=

=

[−3 14−3 10

]


Racunske operacije


b) A =

−1 31 20 2

i B = [ 2 −1 54 1 −2

]Rješenje. Imamo,

AB =

10 4 −1110 1 18 2 −4

i BA =[−3 14−3 10

]


Racunske operacije


c) A =[−2 21 −1

]i B =

[3 43 4

].

Rješenje. Imamo

AB =

[−2 21 −1

] [3 43 4

]=

[0 00 0

],

BA =

[3 43 4

] [−2 21 −1

]=

[−2 2−2 2

].

Kod mnozenja matrica:

opcenito vrijediAB 6= BA,

vrijedi

faktor = O ⇒ umnozak = Oumnozak = O 6⇒ faktor = O


Racunske operacije


c) A =[−2 21 −1

]i B =

[3 43 4

].

Rješenje. Imamo

AB =

[−2 21 −1

] [3 43 4

]=

[0 00 0

],

BA =

[3 43 4

] [−2 21 −1

]=

[−2 2−2 2

].



vrijedi



Racunske operacije


c) A =[−2 21 −1

]i B =

[3 43 4

].

Rješenje. Imamo

AB =

[−2 21 −1

] [3 43 4

]=

[0 00 0

],

BA =

[3 43 4

] [−2 21 −1

]=

[−2 2−2 2

].



vrijedi



Racunske operacije


c) A =[−2 21 −1

]i B =

[3 43 4

].

Rješenje. Imamo

AB =

[−2 21 −1

] [3 43 4

]=

[0 00 0

],

BA =

[3 43 4

] [−2 21 −1

]=

[−2 2−2 2

].



vrijedi



Racunske operacije


c) A =[−2 21 −1

]i B =

[3 43 4

].

Rješenje. Imamo

AB =

[−2 21 −1

] [3 43 4

]=

[0 00 0

],

BA =

[3 43 4

] [−2 21 −1

]=

[−2 2−2 2

].



vrijedi



Racunske operacije


c) A =[−2 21 −1

]i B =

[3 43 4

].

Rješenje. Imamo

AB =

[−2 21 −1

] [3 43 4

]=

[0 00 0

],

BA =

[3 43 4

] [−2 21 −1

]=

[−2 2−2 2

].



vrijedi



Racunske operacije


c) A =[−2 21 −1

]i B =

[3 43 4

].

Rješenje. Imamo

AB =

[−2 21 −1

] [3 43 4

]=

[0 00 0

],

BA =

[3 43 4

] [−2 21 −1

]=

[−2 2−2 2

].



vrijedi



Racunske operacije


c) A =[−2 21 −1

]i B =

[3 43 4

].

Rješenje. Imamo

AB =

[−2 21 −1

] [3 43 4

]=

[0 00 0

],

BA =

[3 43 4

] [−2 21 −1

]=

[−2 2−2 2

].



vrijedi



Racunske operacije


c) A =[−2 21 −1

]i B =

[3 43 4

].

Rješenje. Imamo

AB =

[−2 21 −1

] [3 43 4

]=

[0 00 0

],

BA =

[3 43 4

] [−2 21 −1

]=

[−2 2−2 2

].



vrijedi



Racunske operacije


c) A =[−2 21 −1

]i B =

[3 43 4

].

Rješenje. Imamo

AB =

[−2 21 −1

] [3 43 4

]=

[0 00 0

],

BA =

[3 43 4

] [−2 21 −1

]=

[−2 2−2 2

].



vrijedi



Racunske operacije


c) A =[−2 21 −1

]i B =

[3 43 4

].

Rješenje. Imamo

AB =

[−2 21 −1

] [3 43 4

]=

[0 00 0

],

BA =

[3 43 4

] [−2 21 −1

]=

[−2 2−2 2

].



vrijedi



Racunske operacije

Mnozenje matrica ima sljedeca svojstva uvijek kad su svi umnošcidefinirani:

1 (AB)C = A(BC) (asocijativnost),2 (A+B)C = AC+BC (distributivnost),3 AI = IA = A (postojanje neutralnog elementa),4 (AB)T = BTAT .


Racunske operacije


1 (AB)C = A(BC) (asocijativnost),

2 (A+B)C = AC+BC (distributivnost),3 AI = IA = A (postojanje neutralnog elementa),4 (AB)T = BTAT .


Racunske operacije


1 (AB)C = A(BC) (asocijativnost),2 (A+B)C = AC+BC (distributivnost),

3 AI = IA = A (postojanje neutralnog elementa),4 (AB)T = BTAT .


Racunske operacije


1 (AB)C = A(BC) (asocijativnost),2 (A+B)C = AC+BC (distributivnost),3 AI = IA = A (postojanje neutralnog elementa),

4 (AB)T = BTAT .


Racunske operacije


1 (AB)C = A(BC) (asocijativnost),2 (A+B)C = AC+BC (distributivnost),3 AI = IA = A (postojanje neutralnog elementa),4 (AB)T = BTAT .


Regularne matrice

Definicija. Neka je A ∈ Mn kvadratna matrica reda n. Kazemo da jematrica A−1 ∈ Mn inverzna matrica matrice A ako vrijedi

AA−1 = A−1A = I.

Postoje brojne matrice A koje nemaju inverznu matricu A−1.

Definicija. Kazemo da je kvadratna matrica A regularna ako ima inverznumatricu. U suprotnom kazemo da je matrica A singularna.

Zadatak. Neka su A,B ∈Mn regularne kvadratne matrice. Pokazi da jetada (AB)−1 = B−1A−1.Rješenje. Treba pokazati da je (AB)(B−1A−1) = I. Vrijedi

(AB)(B−1A−1) = {asocijativnost} = A(BB−1)A−1 == AIA−1 = AA−1 = I.


Regularne matrice

Definicija.

Neka je A ∈ Mn kvadratna matrica reda n. Kazemo da jematrica A−1 ∈ Mn inverzna matrica matrice A ako vrijedi

AA−1 = A−1A = I.






Regularne matrice

Definicija. Neka je A ∈ Mn kvadratna matrica reda n.

Kazemo da jematrica A−1 ∈ Mn inverzna matrica matrice A ako vrijedi

AA−1 = A−1A = I.






Regularne matrice

Definicija. Neka je A ∈ Mn kvadratna matrica reda n. Kazemo da jematrica A−1 ∈ Mn inverzna matrica matrice A

ako vrijedi

AA−1 = A−1A = I.






Regularne matrice


AA−1 = A−1A = I.






Regularne matrice


AA−1 = A−1A = I.






Regularne matrice


AA−1 = A−1A = I.


Definicija.

Kazemo da je kvadratna matrica A regularna ako ima inverznumatricu. U suprotnom kazemo da je matrica A singularna.




Regularne matrice


AA−1 = A−1A = I.


Definicija. Kazemo da je kvadratna matrica A regularna ako ima inverznumatricu.

U suprotnom kazemo da je matrica A singularna.




Regularne matrice


AA−1 = A−1A = I.






Regularne matrice


AA−1 = A−1A = I.



Zadatak.

Neka su A,B ∈Mn regularne kvadratne matrice. Pokazi da jetada (AB)−1 = B−1A−1.Rješenje. Treba pokazati da je (AB)(B−1A−1) = I. Vrijedi



Regularne matrice


AA−1 = A−1A = I.



Zadatak. Neka su A,B ∈Mn regularne kvadratne matrice.

Pokazi da jetada (AB)−1 = B−1A−1.Rješenje. Treba pokazati da je (AB)(B−1A−1) = I. Vrijedi



Regularne matrice


AA−1 = A−1A = I.



Zadatak. Neka su A,B ∈Mn regularne kvadratne matrice. Pokazi da jetada (AB)−1 = B−1A−1.

Rješenje. Treba pokazati da je (AB)(B−1A−1) = I. Vrijedi



Regularne matrice


AA−1 = A−1A = I.



Zadatak. Neka su A,B ∈Mn regularne kvadratne matrice. Pokazi da jetada (AB)−1 = B−1A−1.Rješenje.

Treba pokazati da je (AB)(B−1A−1) = I. Vrijedi



Regularne matrice


AA−1 = A−1A = I.



Zadatak. Neka su A,B ∈Mn regularne kvadratne matrice. Pokazi da jetada (AB)−1 = B−1A−1.Rješenje. Treba pokazati da je (AB)(B−1A−1) = I.

Vrijedi



Regularne matrice


AA−1 = A−1A = I.




(AB)(B−1A−1) =

{asocijativnost} = A(BB−1)A−1 == AIA−1 = AA−1 = I.


Regularne matrice


AA−1 = A−1A = I.




(AB)(B−1A−1) = {asocijativnost} =

A(BB−1)A−1 == AIA−1 = AA−1 = I.


Regularne matrice


AA−1 = A−1A = I.




(AB)(B−1A−1) = {asocijativnost} = A(BB−1)A−1 =

= AIA−1 = AA−1 = I.


Regularne matrice


AA−1 = A−1A = I.




(AB)(B−1A−1) = {asocijativnost} = A(BB−1)A−1 == AIA−1 =

AA−1 = I.


Regularne matrice


AA−1 = A−1A = I.




(AB)(B−1A−1) = {asocijativnost} = A(BB−1)A−1 == AIA−1 = AA−1 =

I.


Regularne matrice


AA−1 = A−1A = I.






Regularne matrice

Sada se postavljaju sljedeca pitanja.

1 Kako znati je li kvadratna matrica A regularna?2 Ako je kvadratna matrica regularna, kako odrediti njen inverz?


Regularne matrice


1 Kako znati je li kvadratna matrica A regularna?

2 Ako je kvadratna matrica regularna, kako odrediti njen inverz?


Regularne matrice


1 Kako znati je li kvadratna matrica A regularna?2 Ako je kvadratna matrica regularna, kako odrediti njen inverz?


Elementarne transformacije

Definicija. Elementarne transformacije matrice A su:

E1) zamjena dvaju redaka (stupaca),

E2) mnozenje nekog retka (stupca) skalarom razlicitim od 0,

E3) dodavanje nekom retku (stupcu) drugog retka (stupca) pomnoznognekim skalarom.

Definicija. Neka su A,B ∈ Mm,n. Kazemo da su matrice A i Bekvivalentne (pišemo A ∼ B) ako se jedna iz druge mogu dobitiprimjenom elementarnih transformacija konacno puta.



Definicija.

Elementarne transformacije matrice A su:







































Definicija.

Neka su A,B ∈ Mm,n. Kazemo da su matrice A i Bekvivalentne (pišemo A ∼ B) ako se jedna iz druge mogu dobitiprimjenom elementarnih transformacija konacno puta.







Definicija. Neka su A,B ∈ Mm,n.

Kazemo da su matrice A i Bekvivalentne (pišemo A ∼ B) ako se jedna iz druge mogu dobitiprimjenom elementarnih transformacija konacno puta.







Definicija. Neka su A,B ∈ Mm,n. Kazemo da su matrice A i Bekvivalentne (pišemo A ∼ B)

ako se jedna iz druge mogu dobitiprimjenom elementarnih transformacija konacno puta.










Zadatak.

Za matricu

A =

1 −2 23 0 12 2 4

odredi njoj ekvivalentne matrice koje iz nje nastaju:a) zamjenom prvog i treceg retka,b) mnozenjem drugog retka brojem 2,c) dodavanjem trecem retku drugog retka pomnozenog s −2.Rješenje. a) Vrijedi

A =

1 −2 23 0 12 2 4

∼2 2 43 0 11 −2 2

III

I= A′.



Zadatak. Za matricu

A =

1 −2 23 0 12 2 4


A =

1 −2 23 0 12 2 4

∼2 2 43 0 11 −2 2

III

I= A′.



Zadatak. Za matricu

A =

1 −2 23 0 12 2 4

odredi njoj ekvivalentne matrice koje iz nje nastaju:

a) zamjenom prvog i treceg retka,b) mnozenjem drugog retka brojem 2,c) dodavanjem trecem retku drugog retka pomnozenog s −2.Rješenje. a) Vrijedi

A =

1 −2 23 0 12 2 4

∼2 2 43 0 11 −2 2

III

I= A′.



Zadatak. Za matricu

A =

1 −2 23 0 12 2 4

odredi njoj ekvivalentne matrice koje iz nje nastaju:a) zamjenom prvog i treceg retka,

b) mnozenjem drugog retka brojem 2,c) dodavanjem trecem retku drugog retka pomnozenog s −2.Rješenje. a) Vrijedi

A =

1 −2 23 0 12 2 4

∼2 2 43 0 11 −2 2

III

I= A′.



Zadatak. Za matricu

A =

1 −2 23 0 12 2 4

odredi njoj ekvivalentne matrice koje iz nje nastaju:a) zamjenom prvog i treceg retka,b) mnozenjem drugog retka brojem 2,

c) dodavanjem trecem retku drugog retka pomnozenog s −2.Rješenje. a) Vrijedi

A =

1 −2 23 0 12 2 4

∼2 2 43 0 11 −2 2

III

I= A′.



Zadatak. Za matricu

A =

1 −2 23 0 12 2 4

odredi njoj ekvivalentne matrice koje iz nje nastaju:a) zamjenom prvog i treceg retka,b) mnozenjem drugog retka brojem 2,c) dodavanjem trecem retku drugog retka pomnozenog s −2.

Rješenje. a) Vrijedi

A =

1 −2 23 0 12 2 4

∼2 2 43 0 11 −2 2

III

I= A′.



Zadatak. Za matricu

A =

1 −2 23 0 12 2 4

odredi njoj ekvivalentne matrice koje iz nje nastaju:a) zamjenom prvog i treceg retka,b) mnozenjem drugog retka brojem 2,c) dodavanjem trecem retku drugog retka pomnozenog s −2.Rješenje. a)

Vrijedi

A =

1 −2 23 0 12 2 4

∼2 2 43 0 11 −2 2

III

I= A′.



Zadatak. Za matricu

A =

1 −2 23 0 12 2 4


A =

1 −2 23 0 12 2 4

∼

2 2 43 0 11 −2 2

III

I= A′.



Zadatak. Za matricu

A =

1 −2 23 0 12 2 4


A =

1 −2 23 0 12 2 4

∼2 2 43 0 11 −2 2

III

I

= A′.



Zadatak. Za matricu

A =

1 −2 23 0 12 2 4


A =

1 −2 23 0 12 2 4

∼2 2 43 0 11 −2 2

III

I= A′.



Zadatak. Za matricu

A =

1 −2 23 0 12 2 4

odredi njoj ekvivalentne matrice koje iz nje nastaju:a) zamjenom prvog i treceg retka,b) mnozenjem drugog retka brojem 2,c) dodavanjem trecem retku drugog retka pomnozenog s −2.Rješenje. b)

Vrijedi

A =

1 −2 23 0 12 2 4

∼1 −2 26 0 22 2 4

2II = A′′.



Zadatak. Za matricu

A =

1 −2 23 0 12 2 4

odredi njoj ekvivalentne matrice koje iz nje nastaju:a) zamjenom prvog i treceg retka,b) mnozenjem drugog retka brojem 2,c) dodavanjem trecem retku drugog retka pomnozenog s −2.Rješenje. b) Vrijedi

A =

1 −2 23 0 12 2 4

∼

1 −2 26 0 22 2 4

2II = A′′.



Zadatak. Za matricu

A =

1 −2 23 0 12 2 4

odredi njoj ekvivalentne matrice koje iz nje nastaju:a) zamjenom prvog i treceg retka,b) mnozenjem drugog retka brojem 2,c) dodavanjem trecem retku drugog retka pomnozenog s −2.Rješenje. b) Vrijedi

A =

1 −2 23 0 12 2 4

∼1 −2 26 0 22 2 4

2II = A′′.



Zadatak. Za matricu

A =

1 −2 23 0 12 2 4

odredi njoj ekvivalentne matrice koje iz nje nastaju:a) zamjenom prvog i treceg retka,b) mnozenjem drugog retka brojem 2,c) dodavanjem trecem retku drugog retka pomnozenog s −2.Rješenje. c)

Vrijedi

A =

1 −2 23 0 12 2 4

∼ 1 −2 23 0 1−4 2 2

III − 2II

= A′′′.

Dakle, vrijedi A 6= A′ 6= A′′ 6= A′′′, ali sve ove matrice su me�usobnoekvivalentne, tj. A ∼ A′ ∼ A′′ ∼ A′′′.



Zadatak. Za matricu

A =

1 −2 23 0 12 2 4

odredi njoj ekvivalentne matrice koje iz nje nastaju:a) zamjenom prvog i treceg retka,b) mnozenjem drugog retka brojem 2,c) dodavanjem trecem retku drugog retka pomnozenog s −2.Rješenje. c) Vrijedi

A =

1 −2 23 0 12 2 4

∼

1 −2 23 0 1−4 2 2

III − 2II

= A′′′.




Zadatak. Za matricu

A =

1 −2 23 0 12 2 4


A =

1 −2 23 0 12 2 4

∼ 1 −2 23 0 1−4 2 2

III − 2II

=

A′′′.




Zadatak. Za matricu

A =

1 −2 23 0 12 2 4


A =

1 −2 23 0 12 2 4

∼ 1 −2 23 0 1−4 2 2

III − 2II

= A′′′.




Zadatak. Za matricu

A =

1 −2 23 0 12 2 4


A =

1 −2 23 0 12 2 4

∼ 1 −2 23 0 1−4 2 2

III − 2II

= A′′′.

Dakle, vrijedi A 6= A′ 6= A′′ 6= A′′′,

ali sve ove matrice su me�usobnoekvivalentne, tj. A ∼ A′ ∼ A′′ ∼ A′′′.



Zadatak. Za matricu

A =

1 −2 23 0 12 2 4


A =

1 −2 23 0 12 2 4

∼ 1 −2 23 0 1−4 2 2

III − 2II

= A′′′.



DeterminanteDefinicija determinante

Definicija. Neka je A = [a11] kvadratna matrica reda 1. Determinantamatrice A je broj detA definiran s detA = |a11| = a11.

Definicija. Neka je

A =[a11 a12a21 a22

]kvadratna matrica reda 2. Determinanta matrice A je broj detA definiran s

detA =∣∣∣∣a11 a12a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.



Definicija.

Neka je A = [a11] kvadratna matrica reda 1. Determinantamatrice A je broj detA definiran s detA = |a11| = a11.

Definicija. Neka je

A =[a11 a12a21 a22


detA =∣∣∣∣a11 a12a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.



Definicija. Neka je A = [a11] kvadratna matrica reda 1.

Determinantamatrice A je broj detA definiran s detA = |a11| = a11.

Definicija. Neka je

A =[a11 a12a21 a22


detA =∣∣∣∣a11 a12a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.




Definicija. Neka je

A =[a11 a12a21 a22


detA =∣∣∣∣a11 a12a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.




Definicija.

Neka je

A =[a11 a12a21 a22


detA =∣∣∣∣a11 a12a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.




Definicija. Neka je

A =[a11 a12a21 a22

]kvadratna matrica reda 2.

Determinanta matrice A je broj detA definiran s

detA =∣∣∣∣a11 a12a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.




Definicija. Neka je

A =[a11 a12a21 a22


detA =∣∣∣∣a11 a12a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.


Determinante

Zadatak.

Izracunaj determinantu matrice A, ako je

a) A = [−3] , b) A =[2 −15 3

].

Rješenje. a) VrijedidetA = |−3| = − 3,

b) Vrijedi

detA =∣∣∣∣2 −15 3

∣∣∣∣ = 2 · 3− (−1) · 5 = 11.


Determinante

Zadatak. Izracunaj determinantu matrice A,

ako je

a) A = [−3] , b) A =[2 −15 3

].


b) Vrijedi

detA =∣∣∣∣2 −15 3

∣∣∣∣ = 2 · 3− (−1) · 5 = 11.


Determinante

Zadatak. Izracunaj determinantu matrice A, ako je

a) A = [−3] ,

b) A =[2 −15 3

].


b) Vrijedi

detA =∣∣∣∣2 −15 3

∣∣∣∣ = 2 · 3− (−1) · 5 = 11.


Determinante


a) A = [−3] , b) A =[2 −15 3

].


b) Vrijedi

detA =∣∣∣∣2 −15 3

∣∣∣∣ = 2 · 3− (−1) · 5 = 11.


Determinante


a) A = [−3] , b) A =[2 −15 3

].

Rješenje.

a) VrijedidetA = |−3| = − 3,

b) Vrijedi

detA =∣∣∣∣2 −15 3

∣∣∣∣ = 2 · 3− (−1) · 5 = 11.


Determinante


a) A = [−3] , b) A =[2 −15 3

].

Rješenje. a)

VrijedidetA = |−3| = − 3,

b) Vrijedi

detA =∣∣∣∣2 −15 3

∣∣∣∣ = 2 · 3− (−1) · 5 = 11.


Determinante


a) A = [−3] , b) A =[2 −15 3

].

Rješenje. a) VrijedidetA =

|−3| = − 3,b) Vrijedi

detA =∣∣∣∣2 −15 3

∣∣∣∣ = 2 · 3− (−1) · 5 = 11.


Determinante


a) A = [−3] , b) A =[2 −15 3

].

Rješenje. a) VrijedidetA = |−3| =

− 3,b) Vrijedi

detA =∣∣∣∣2 −15 3

∣∣∣∣ = 2 · 3− (−1) · 5 = 11.


Determinante


a) A = [−3] , b) A =[2 −15 3

].


b) Vrijedi

detA =∣∣∣∣2 −15 3

∣∣∣∣ = 2 · 3− (−1) · 5 = 11.


Determinante


a) A = [−3] , b) A =[2 −15 3

].


b)

Vrijedi

detA =∣∣∣∣2 −15 3

∣∣∣∣ = 2 · 3− (−1) · 5 = 11.


Determinante


a) A = [−3] , b) A =[2 −15 3

].


b) Vrijedi

detA =

∣∣∣∣2 −15 3

∣∣∣∣ = 2 · 3− (−1) · 5 = 11.


Determinante


a) A = [−3] , b) A =[2 −15 3

].


b) Vrijedi

detA =∣∣∣∣2 −15 3

∣∣∣∣ =

2 · 3− (−1) · 5 = 11.


Determinante


a) A = [−3] , b) A =[2 −15 3

].


b) Vrijedi

detA =∣∣∣∣2 −15 3

∣∣∣∣ = 2 · 3− (−1) · 5 =

11.


Determinante


a) A = [−3] , b) A =[2 −15 3

].


b) Vrijedi

detA =∣∣∣∣2 −15 3

∣∣∣∣ = 2 · 3− (−1) · 5 = 11.


Determinante

Determinante matrica reda višeg od dva definirat cemo induktivno, tj.:

determinantu reda 3 definirat cemo kao zbroj 3 determinante reda 2,


. . .determinantu reda n definirat cemo kao zbroj n determinanti redan− 1.

Najprije trebamo uvesti pojmove algebarskog komplementa i minore.


Determinante







Determinante







Determinante




. . .

determinantu reda n definirat cemo kao zbroj n determinanti redan− 1.



Determinante







Determinante







Determinante

Definicija.

Neka je A = [aij ]n,n kvadratna matrica. Minora Mij elementaaij matrice A je determinanta matrice koja nastaje kad iz matrice Aizbrišemo i−ti redak i j−ti stupac. Algebarski komplement Aij elementaaij matrice A definiran je sa Aij = (−1)i+jMij .

Zadatak. Za matricu

A =

1 −2 23 4 12 1 −1

odredi minore M12 i M31, te algebarske komplemente A22 i A32.Rješenje. Vrijedi

M12 =

∣∣∣∣3 12 −1

∣∣∣∣ = − 3− 2 = − 5M31 =

∣∣∣∣−2 24 1

∣∣∣∣ = − 2− 8 = − 10.


Determinante

Definicija. Neka je A = [aij ]n,n kvadratna matrica.

Minora Mij elementaaij matrice A je determinanta matrice koja nastaje kad iz matrice Aizbrišemo i−ti redak i j−ti stupac. Algebarski komplement Aij elementaaij matrice A definiran je sa Aij = (−1)i+jMij .

Zadatak. Za matricu

A =

1 −2 23 4 12 1 −1


M12 =

∣∣∣∣3 12 −1

∣∣∣∣ = − 3− 2 = − 5M31 =

∣∣∣∣−2 24 1

∣∣∣∣ = − 2− 8 = − 10.


Determinante

Definicija. Neka je A = [aij ]n,n kvadratna matrica. Minora Mij elementaaij matrice A

je determinanta matrice koja nastaje kad iz matrice Aizbrišemo i−ti redak i j−ti stupac. Algebarski komplement Aij elementaaij matrice A definiran je sa Aij = (−1)i+jMij .

Zadatak. Za matricu

A =

1 −2 23 4 12 1 −1


M12 =

∣∣∣∣3 12 −1

∣∣∣∣ = − 3− 2 = − 5M31 =

∣∣∣∣−2 24 1

∣∣∣∣ = − 2− 8 = − 10.


Determinante

Definicija. Neka je A = [aij ]n,n kvadratna matrica. Minora Mij elementaaij matrice A je determinanta matrice koja nastaje kad iz matrice Aizbrišemo i−ti redak i j−ti stupac.

Algebarski komplement Aij elementaaij matrice A definiran je sa Aij = (−1)i+jMij .

Zadatak. Za matricu

A =

1 −2 23 4 12 1 −1


M12 =

∣∣∣∣3 12 −1

∣∣∣∣ = − 3− 2 = − 5M31 =

∣∣∣∣−2 24 1

∣∣∣∣ = − 2− 8 = − 10.


Determinante

Definicija. Neka je A = [aij ]n,n kvadratna matrica. Minora Mij elementaaij matrice A je determinanta matrice koja nastaje kad iz matrice Aizbrišemo i−ti redak i j−ti stupac. Algebarski komplement Aij elementaaij matrice A

definiran je sa Aij = (−1)i+jMij .

Zadatak. Za matricu

A =

1 −2 23 4 12 1 −1


M12 =

∣∣∣∣3 12 −1

∣∣∣∣ = − 3− 2 = − 5M31 =

∣∣∣∣−2 24 1

∣∣∣∣ = − 2− 8 = − 10.


Determinante

Definicija. Neka je A = [aij ]n,n kvadratna matrica. Minora Mij elementaaij matrice A je determinanta matrice koja nastaje kad iz matrice Aizbrišemo i−ti redak i j−ti stupac. Algebarski komplement Aij elementaaij matrice A definiran je sa Aij = (−1)i+jMij .

Zadatak. Za matricu

A =

1 −2 23 4 12 1 −1


M12 =

∣∣∣∣3 12 −1

∣∣∣∣ = − 3− 2 = − 5M31 =

∣∣∣∣−2 24 1

∣∣∣∣ = − 2− 8 = − 10.


Determinante


Zadatak.

Za matricu

A =

1 −2 23 4 12 1 −1


M12 =

∣∣∣∣3 12 −1

∣∣∣∣ = − 3− 2 = − 5M31 =

∣∣∣∣−2 24 1

∣∣∣∣ = − 2− 8 = − 10.


Determinante


Zadatak. Za matricu

A =

1 −2 23 4 12 1 −1

odredi minore M12 i M31,

te algebarske komplemente A22 i A32.Rješenje. Vrijedi

M12 =

∣∣∣∣3 12 −1

∣∣∣∣ = − 3− 2 = − 5M31 =

∣∣∣∣−2 24 1

∣∣∣∣ = − 2− 8 = − 10.


Determinante


Zadatak. Za matricu

A =

1 −2 23 4 12 1 −1

odredi minore M12 i M31, te algebarske komplemente A22 i A32.

Rješenje. Vrijedi

M12 =

∣∣∣∣3 12 −1

∣∣∣∣ = − 3− 2 = − 5M31 =

∣∣∣∣−2 24 1

∣∣∣∣ = − 2− 8 = − 10.


Determinante


Zadatak. Za matricu

A =

1 −2 23 4 12 1 −1

odredi minore M12 i M31, te algebarske komplemente A22 i A32.Rješenje.

Vrijedi

M12 =

∣∣∣∣3 12 −1

∣∣∣∣ = − 3− 2 = − 5M31 =

∣∣∣∣−2 24 1

∣∣∣∣ = − 2− 8 = − 10.


Determinante


Zadatak. Za matricu

A =

1 −2 23 4 12 1 −1


M12 =

∣∣∣∣3 12 −1

∣∣∣∣ = − 3− 2 = − 5M31 =

∣∣∣∣−2 24 1

∣∣∣∣ = − 2− 8 = − 10.


Determinante


Zadatak. Za matricu

A =

1 −2 23 4 12 1 −1


M12 =

∣∣∣∣3 12 −1

∣∣∣∣ =

− 3− 2 = − 5

M31 =

∣∣∣∣−2 24 1

∣∣∣∣ = − 2− 8 = − 10.


Determinante


Zadatak. Za matricu

A =

1 −2 23 4 12 1 −1


M12 =

∣∣∣∣3 12 −1

∣∣∣∣ = − 3− 2 =

− 5

M31 =

∣∣∣∣−2 24 1

∣∣∣∣ = − 2− 8 = − 10.


Determinante


Zadatak. Za matricu

A =

1 −2 23 4 12 1 −1


M12 =

∣∣∣∣3 12 −1

∣∣∣∣ = − 3− 2 = − 5

M31 =

∣∣∣∣−2 24 1

∣∣∣∣ = − 2− 8 = − 10.


Determinante


Zadatak. Za matricu

A =

1 −2 23 4 12 1 −1


M12 =

∣∣∣∣3 12 −1

∣∣∣∣ = − 3− 2 = − 5M31 =

∣∣∣∣−2 24 1

∣∣∣∣ = − 2− 8 = − 10.


Determinante


Zadatak. Za matricu

A =

1 −2 23 4 12 1 −1


M12 =

∣∣∣∣3 12 −1

∣∣∣∣ = − 3− 2 = − 5M31 =

∣∣∣∣−2 24 1

∣∣∣∣ =

− 2− 8 = − 10.


Determinante


Zadatak. Za matricu

A =

1 −2 23 4 12 1 −1


M12 =

∣∣∣∣3 12 −1

∣∣∣∣ = − 3− 2 = − 5M31 =

∣∣∣∣−2 24 1

∣∣∣∣ = − 2− 8 =

− 10.


Determinante


Zadatak. Za matricu

A =

1 −2 23 4 12 1 −1


M12 =

∣∣∣∣3 12 −1

∣∣∣∣ = − 3− 2 = − 5M31 =

∣∣∣∣−2 24 1

∣∣∣∣ = − 2− 8 = − 10.Jelena Sedlar (FGAG) Matrice 38 / 84

Determinante


Zadatak. Za matricu

A =

1 −2 23 4 12 1 −1

odredi minore M12 i M31, te algebarske komplemente A22 i A32.Rješenje. Tako�er,

A22 =

(−1)2+2∣∣∣∣1 22 −1

∣∣∣∣ = − 1− 4 = − 5A32 = (−1)3+2

∣∣∣∣1 23 1

∣∣∣∣ = − (1− 6) = 5.


Determinante


Zadatak. Za matricu

A =

1 −2 23 4 12 1 −1


A22 = (−1)2+2∣∣∣∣1 22 −1

∣∣∣∣ =

− 1− 4 = − 5

A32 = (−1)3+2∣∣∣∣1 23 1

∣∣∣∣ = − (1− 6) = 5.


Determinante


Zadatak. Za matricu

A =

1 −2 23 4 12 1 −1


A22 = (−1)2+2∣∣∣∣1 22 −1

∣∣∣∣ = − 1− 4 =

− 5

A32 = (−1)3+2∣∣∣∣1 23 1

∣∣∣∣ = − (1− 6) = 5.


Determinante


Zadatak. Za matricu

A =

1 −2 23 4 12 1 −1


A22 = (−1)2+2∣∣∣∣1 22 −1

∣∣∣∣ = − 1− 4 = − 5

A32 = (−1)3+2∣∣∣∣1 23 1

∣∣∣∣ = − (1− 6) = 5.


Determinante


Zadatak. Za matricu

A =

1 −2 23 4 12 1 −1


A22 = (−1)2+2∣∣∣∣1 22 −1

∣∣∣∣ = − 1− 4 = − 5A32 =

(−1)3+2∣∣∣∣1 23 1

∣∣∣∣ = − (1− 6) = 5.


Determinante


Zadatak. Za matricu

A =

1 −2 23 4 12 1 −1


A22 = (−1)2+2∣∣∣∣1 22 −1

∣∣∣∣ = − 1− 4 = − 5A32 = (−1)3+2

∣∣∣∣1 23 1

∣∣∣∣ =

− (1− 6) = 5.


Determinante


Zadatak. Za matricu

A =

1 −2 23 4 12 1 −1


A22 = (−1)2+2∣∣∣∣1 22 −1

∣∣∣∣ = − 1− 4 = − 5A32 = (−1)3+2

∣∣∣∣1 23 1

∣∣∣∣ = − (1− 6) =

5.


Determinante


Zadatak. Za matricu

A =

1 −2 23 4 12 1 −1


A22 = (−1)2+2∣∣∣∣1 22 −1

∣∣∣∣ = − 1− 4 = − 5A32 = (−1)3+2

∣∣∣∣1 23 1

∣∣∣∣ = − (1− 6) = 5.Jelena Sedlar (FGAG) Matrice 39 / 84

Determinante

Definicija.

Neka je A = [aij ]n,n kvadratna matrica. Determinanta matriceA je broj detA definiran s

detA = ai1Ai1 + ai2Ai2 + . . .+ ainAin =n

∑j=1aijAij

(razvoj po i−tom retku)ili pak s

detA = a1jA1j + a2jA2j + . . .+ anjAnj =n

∑i=1aijAij .

(razvoj po j−tom stupcu)

Ovi razvoji zovu se joši Laplaceovi razvoji po retku ili stupcu, te se mozepokazati da svi daju isti rezultat. Dakle, determinanta je dobro definirana.


Determinante

Definicija. Neka je A = [aij ]n,n kvadratna matrica.

Determinanta matriceA je broj detA definiran s


∑j=1aijAij



∑i=1aijAij .




Determinante

Definicija. Neka je A = [aij ]n,n kvadratna matrica. Determinanta matriceA je broj detA definiran s

detA =

ai1Ai1 + ai2Ai2 + . . .+ ainAin =n

∑j=1aijAij



∑i=1aijAij .




Determinante


detA = ai1Ai1 + ai2Ai2 + . . .+ ainAin =

n

∑j=1aijAij



∑i=1aijAij .




Determinante



∑j=1aijAij



∑i=1aijAij .




Determinante



∑j=1aijAij

(razvoj po i−tom retku)

ili pak s


∑i=1aijAij .




Determinante



∑j=1aijAij


detA =

a1jA1j + a2jA2j + . . .+ anjAnj =n

∑i=1aijAij .




Determinante



∑j=1aijAij


detA = a1jA1j + a2jA2j + . . .+ anjAnj =

n

∑i=1aijAij .




Determinante



∑j=1aijAij



∑i=1aijAij .




Determinante



∑j=1aijAij



∑i=1aijAij .




Determinante



∑j=1aijAij



∑i=1aijAij .


Ovi razvoji zovu se joši Laplaceovi razvoji po retku ili stupcu,

te se mozepokazati da svi daju isti rezultat. Dakle, determinanta je dobro definirana.


Determinante



∑j=1aijAij



∑i=1aijAij .


Ovi razvoji zovu se joši Laplaceovi razvoji po retku ili stupcu, te se mozepokazati da svi daju isti rezultat.

Dakle, determinanta je dobro definirana.


Determinante



∑j=1aijAij



∑i=1aijAij .




Determinante

Laplaceov razvoj po i−tom retku:

detA =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 . . . a1j . . . a1n...

......

ai1 . . . aij . . . ain...

......

an1 . . . anj . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

= ai1Ai1 + . . .+ aijAij + . . .+ ainAin =

= ∑nj=1 aijAij


Determinante


detA =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 . . . a1j . . . a1n...

......

ai1 . . . aij . . . ain...

......

an1 . . . anj . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=


= ∑nj=1 aijAij


Determinante


detA =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 . . . a1j . . . a1n...

......

ai1 . . . aij . . . ain...

......

an1 . . . anj . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=


= ∑nj=1 aijAij


Determinante


detA =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 . . . a1j . . . a1n...

......

ai1 . . . aij . . . ain...

......

an1 . . . anj . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=


= ∑nj=1 aijAij


Determinante


detA =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 . . . a1j . . . a1n...

......

ai1 . . . aij . . . ain...

......

an1 . . . anj . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

= ai1Ai1 +

. . .+ aijAij + . . .+ ainAin =

= ∑nj=1 aijAij


Determinante


detA =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 . . . a1j . . . a1n...

......

ai1 . . . aij . . . ain...

......

an1 . . . anj . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

= ai1Ai1 +

. . .+ aijAij + . . .+ ainAin =

= ∑nj=1 aijAij


Determinante


detA =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 . . . a1j . . . a1n...

......

ai1 . . . aij . . . ain...

......

an1 . . . anj . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

= ai1Ai1 + . . .+

aijAij + . . .+ ainAin =

= ∑nj=1 aijAij


Determinante


detA =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 . . . a1j . . . a1n...

......

ai1 . . . aij . . . ain...

......

an1 . . . anj . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

= ai1Ai1 + . . .+

aijAij + . . .+ ainAin =

= ∑nj=1 aijAij


Determinante


detA =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 . . . a1j . . . a1n...

......

ai1 . . . aij . . . ain...

......

an1 . . . anj . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

= ai1Ai1 + . . .+ aijAij +

. . .+ ainAin =

= ∑nj=1 aijAij


Determinante


detA =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 . . . a1j . . . a1n...

......

ai1 . . . aij . . . ain...

......

an1 . . . anj . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

= ai1Ai1 + . . .+ aijAij +

. . .+ ainAin =

= ∑nj=1 aijAij


Determinante


detA =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 . . . a1j . . . a1n...

......

ai1 . . . aij . . . ain...

......

an1 . . . anj . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

= ai1Ai1 + . . .+ aijAij + . . .+

ainAin =

= ∑nj=1 aijAij


Determinante


detA =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 . . . a1j . . . a1n...

......

ai1 . . . aij . . . ain...

......

an1 . . . anj . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

= ai1Ai1 + . . .+ aijAij + . . .+

ainAin =

= ∑nj=1 aijAij


Determinante


detA =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 . . . a1j . . . a1n...

......

ai1 . . . aij . . . ain...

......

an1 . . . anj . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=


= ∑nj=1 aijAij


Determinante


detA =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 . . . a1j . . . a1n...

......

ai1 . . . aij . . . ain...

......

an1 . . . anj . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=


= ∑nj=1 aijAij


Determinante


detA =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 . . . a1j . . . a1n...

......

ai1 . . . aij . . . ain...

......

an1 . . . anj . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=


= ∑nj=1 aijAij


Determinante

Laplaceov razvoj po j−tom stupcu:

detA =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 . . . a1j . . . a1n...

......

ai1 . . . aij . . . ain...

......

an1 . . . anj . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

= a1jA1j + . . .+ aijAij + . . .+ anjAnj =

= ∑ni=1 aijAij


Determinante


detA =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 . . . a1j . . . a1n...

......

ai1 . . . aij . . . ain...

......

an1 . . . anj . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=


= ∑ni=1 aijAij


Determinante


detA =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 . . . a1j . . . a1n...

......

ai1 . . . aij . . . ain...

......

an1 . . . anj . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=


= ∑ni=1 aijAij


Determinante


detA =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 . . . a1j . . . a1n...

......

ai1 . . . aij . . . ain...

......

an1 . . . anj . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

= a1jA1j +

. . .+ aijAij + . . .+ anjAnj =

= ∑ni=1 aijAij


Determinante


detA =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 . . . a1j . . . a1n...

......

ai1 . . . aij . . . ain...

......

an1 . . . anj . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

= a1jA1j +

. . .+ aijAij + . . .+ anjAnj =

= ∑ni=1 aijAij


Determinante


detA =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 . . . a1j . . . a1n...

......

ai1 . . . aij . . . ain...

......

an1 . . . anj . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

= a1jA1j + . . .+

aijAij + . . .+ anjAnj =

= ∑ni=1 aijAij


Determinante


detA =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 . . . a1j . . . a1n...

......

ai1 . . . aij . . . ain...

......

an1 . . . anj . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

= a1jA1j + . . .+

aijAij + . . .+ anjAnj =

= ∑ni=1 aijAij


Determinante


detA =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 . . . a1j . . . a1n...

......

ai1 . . . aij . . . ain...

......

an1 . . . anj . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

= a1jA1j + . . .+ aijAij +

. . .+ anjAnj =

= ∑ni=1 aijAij


Determinante


detA =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 . . . a1j . . . a1n...

......

ai1 . . . aij . . . ain...

......

an1 . . . anj . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

= a1jA1j + . . .+ aijAij +

. . .+ anjAnj =

= ∑ni=1 aijAij


Determinante


detA =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 . . . a1j . . . a1n...

......

ai1 . . . aij . . . ain...

......

an1 . . . anj . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

= a1jA1j + . . .+ aijAij + . . .+

anjAnj =

= ∑ni=1 aijAij


Determinante


detA =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 . . . a1j . . . a1n...

......

ai1 . . . aij . . . ain...

......

an1 . . . anj . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

= a1jA1j + . . .+ aijAij + . . .+

anjAnj =

= ∑ni=1 aijAij


Determinante


detA =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 . . . a1j . . . a1n...

......

ai1 . . . aij . . . ain...

......

an1 . . . anj . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=


= ∑ni=1 aijAij


Determinante


detA =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 . . . a1j . . . a1n...

......

ai1 . . . aij . . . ain...

......

an1 . . . anj . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=


= ∑ni=1 aijAij


Determinante


detA =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 . . . a1j . . . a1n...

......

ai1 . . . aij . . . ain...

......

an1 . . . anj . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=


= ∑ni=1 aijAij


Determinante

Primjer.

Razvij detA po prvom retku, ako je

A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

.Rješenje. Vrijedi

detA =

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ = a11 · (−1)1+1∣∣∣∣ a22 a23a32 a33

∣∣∣∣++a12 · (−1)1+2

∣∣∣∣ a21 a23a31 a33

∣∣∣∣+ a13 · (−1)1+3 ∣∣∣∣ a21 a22a31 a32

∣∣∣∣ == a11

∣∣∣∣a22 a23a32 a33

∣∣∣∣ − a12 ∣∣∣∣a21 a23a31 a33

∣∣∣∣ + a13 ∣∣∣∣a21 a22a31 a32

∣∣∣∣ == a11a22a33 − a11a23a32 − a12a21a33 + a12a23a33 + a13a21a32 − a13a22a31.


Determinante

Primjer. Razvij detA po prvom retku, ako je

A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

.

Rješenje. Vrijedi

detA =

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ = a11 · (−1)1+1∣∣∣∣ a22 a23a32 a33

∣∣∣∣++a12 · (−1)1+2

∣∣∣∣ a21 a23a31 a33

∣∣∣∣+ a13 · (−1)1+3 ∣∣∣∣ a21 a22a31 a32

∣∣∣∣ == a11

∣∣∣∣a22 a23a32 a33

∣∣∣∣ − a12 ∣∣∣∣a21 a23a31 a33

∣∣∣∣ + a13 ∣∣∣∣a21 a22a31 a32



Determinante


A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

.Rješenje.

Vrijedi

detA =

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ = a11 · (−1)1+1∣∣∣∣ a22 a23a32 a33

∣∣∣∣++a12 · (−1)1+2

∣∣∣∣ a21 a23a31 a33

∣∣∣∣+ a13 · (−1)1+3 ∣∣∣∣ a21 a22a31 a32

∣∣∣∣ == a11

∣∣∣∣a22 a23a32 a33

∣∣∣∣ − a12 ∣∣∣∣a21 a23a31 a33

∣∣∣∣ + a13 ∣∣∣∣a21 a22a31 a32



Determinante


A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

.Rješenje. Vrijedi

detA =

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ = a11 · (−1)1+1∣∣∣∣ a22 a23a32 a33

∣∣∣∣++a12 · (−1)1+2

∣∣∣∣ a21 a23a31 a33

∣∣∣∣+ a13 · (−1)1+3 ∣∣∣∣ a21 a22a31 a32

∣∣∣∣ == a11

∣∣∣∣a22 a23a32 a33

∣∣∣∣ − a12 ∣∣∣∣a21 a23a31 a33

∣∣∣∣ + a13 ∣∣∣∣a21 a22a31 a32



Determinante


A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

.Rješenje. Vrijedi

detA =

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ =

a11 · (−1)1+1∣∣∣∣ a22 a23a32 a33

∣∣∣∣++a12 · (−1)1+2

∣∣∣∣ a21 a23a31 a33

∣∣∣∣+ a13 · (−1)1+3 ∣∣∣∣ a21 a22a31 a32

∣∣∣∣ == a11

∣∣∣∣a22 a23a32 a33

∣∣∣∣ − a12 ∣∣∣∣a21 a23a31 a33

∣∣∣∣ + a13 ∣∣∣∣a21 a22a31 a32



Determinante


A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

.Rješenje. Vrijedi

detA =

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ =

a11 · (−1)1+1∣∣∣∣ a22 a23a32 a33

∣∣∣∣++a12 · (−1)1+2

∣∣∣∣ a21 a23a31 a33

∣∣∣∣+ a13 · (−1)1+3 ∣∣∣∣ a21 a22a31 a32

∣∣∣∣ == a11

∣∣∣∣a22 a23a32 a33

∣∣∣∣ − a12 ∣∣∣∣a21 a23a31 a33

∣∣∣∣ + a13 ∣∣∣∣a21 a22a31 a32



Determinante


A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

.Rješenje. Vrijedi

detA =

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ =

a11 · (−1)1+1∣∣∣∣ a22 a23a32 a33

∣∣∣∣++a12 · (−1)1+2

∣∣∣∣ a21 a23a31 a33

∣∣∣∣+ a13 · (−1)1+3 ∣∣∣∣ a21 a22a31 a32

∣∣∣∣ == a11

∣∣∣∣a22 a23a32 a33

∣∣∣∣ − a12 ∣∣∣∣a21 a23a31 a33

∣∣∣∣ + a13 ∣∣∣∣a21 a22a31 a32



Determinante


A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

.Rješenje. Vrijedi

detA =

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ = a11 · (−1)1+1∣∣∣∣ a22 a23a32 a33

∣∣∣∣+

+a12 · (−1)1+2∣∣∣∣ a21 a23a31 a33

∣∣∣∣+ a13 · (−1)1+3 ∣∣∣∣ a21 a22a31 a32

∣∣∣∣ == a11

∣∣∣∣a22 a23a32 a33

∣∣∣∣ − a12 ∣∣∣∣a21 a23a31 a33

∣∣∣∣ + a13 ∣∣∣∣a21 a22a31 a32



Determinante


A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

.Rješenje. Vrijedi

detA =

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ = a11 · (−1)1+1∣∣∣∣ a22 a23a32 a33

∣∣∣∣+

+a12 · (−1)1+2∣∣∣∣ a21 a23a31 a33

∣∣∣∣+ a13 · (−1)1+3 ∣∣∣∣ a21 a22a31 a32

∣∣∣∣ == a11

∣∣∣∣a22 a23a32 a33

∣∣∣∣ − a12 ∣∣∣∣a21 a23a31 a33

∣∣∣∣ + a13 ∣∣∣∣a21 a22a31 a32



Determinante


A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

.Rješenje. Vrijedi

detA =

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ = a11 · (−1)1+1∣∣∣∣ a22 a23a32 a33

∣∣∣∣++a12 · (−1)1+2

∣∣∣∣ a21 a23a31 a33

∣∣∣∣+

a13 · (−1)1+3∣∣∣∣ a21 a22a31 a32

∣∣∣∣ == a11

∣∣∣∣a22 a23a32 a33

∣∣∣∣ − a12 ∣∣∣∣a21 a23a31 a33

∣∣∣∣ + a13 ∣∣∣∣a21 a22a31 a32



Determinante


A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

.Rješenje. Vrijedi

detA =

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ = a11 · (−1)1+1∣∣∣∣ a22 a23a32 a33

∣∣∣∣++a12 · (−1)1+2

∣∣∣∣ a21 a23a31 a33

∣∣∣∣+

a13 · (−1)1+3∣∣∣∣ a21 a22a31 a32

∣∣∣∣ == a11

∣∣∣∣a22 a23a32 a33

∣∣∣∣ − a12 ∣∣∣∣a21 a23a31 a33

∣∣∣∣ + a13 ∣∣∣∣a21 a22a31 a32



Determinante


A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

.Rješenje. Vrijedi

detA =

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ = a11 · (−1)1+1∣∣∣∣ a22 a23a32 a33

∣∣∣∣++a12 · (−1)1+2

∣∣∣∣ a21 a23a31 a33

∣∣∣∣+ a13 · (−1)1+3 ∣∣∣∣ a21 a22a31 a32

∣∣∣∣ =

= a11

∣∣∣∣a22 a23a32 a33

∣∣∣∣ − a12 ∣∣∣∣a21 a23a31 a33

∣∣∣∣ + a13 ∣∣∣∣a21 a22a31 a32



Determinante


A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

.Rješenje. Vrijedi

detA =

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ = a11 · (−1)1+1∣∣∣∣ a22 a23a32 a33

∣∣∣∣++a12 · (−1)1+2

∣∣∣∣ a21 a23a31 a33

∣∣∣∣+ a13 · (−1)1+3 ∣∣∣∣ a21 a22a31 a32

∣∣∣∣ =

= a11

∣∣∣∣a22 a23a32 a33

∣∣∣∣ − a12 ∣∣∣∣a21 a23a31 a33

∣∣∣∣ + a13 ∣∣∣∣a21 a22a31 a32



Determinante


A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

.Rješenje. Vrijedi

detA =

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ = a11 · (−1)1+1∣∣∣∣ a22 a23a32 a33

∣∣∣∣++a12 · (−1)1+2

∣∣∣∣ a21 a23a31 a33

∣∣∣∣+ a13 · (−1)1+3 ∣∣∣∣ a21 a22a31 a32

∣∣∣∣ == a11

∣∣∣∣a22 a23a32 a33

∣∣∣∣

− a12∣∣∣∣a21 a23a31 a33

∣∣∣∣ + a13 ∣∣∣∣a21 a22a31 a32



Determinante


A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

.Rješenje. Vrijedi

detA =

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ = a11 · (−1)1+1∣∣∣∣ a22 a23a32 a33

∣∣∣∣++a12 · (−1)1+2

∣∣∣∣ a21 a23a31 a33

∣∣∣∣+ a13 · (−1)1+3 ∣∣∣∣ a21 a22a31 a32

∣∣∣∣ == a11

∣∣∣∣a22 a23a32 a33

∣∣∣∣ − a12 ∣∣∣∣a21 a23a31 a33

∣∣∣∣

+ a13

∣∣∣∣a21 a22a31 a32



Determinante


A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

.Rješenje. Vrijedi

detA =

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ = a11 · (−1)1+1∣∣∣∣ a22 a23a32 a33

∣∣∣∣++a12 · (−1)1+2

∣∣∣∣ a21 a23a31 a33

∣∣∣∣+ a13 · (−1)1+3 ∣∣∣∣ a21 a22a31 a32

∣∣∣∣ == a11

∣∣∣∣a22 a23a32 a33

∣∣∣∣ − a12 ∣∣∣∣a21 a23a31 a33

∣∣∣∣ + a13 ∣∣∣∣a21 a22a31 a32

∣∣∣∣ =

= a11a22a33 − a11a23a32 − a12a21a33 + a12a23a33 + a13a21a32 − a13a22a31.


Determinante


A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

.Rješenje. Vrijedi

detA =

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ = a11 · (−1)1+1∣∣∣∣ a22 a23a32 a33

∣∣∣∣++a12 · (−1)1+2

∣∣∣∣ a21 a23a31 a33

∣∣∣∣+ a13 · (−1)1+3 ∣∣∣∣ a21 a22a31 a32

∣∣∣∣ == a11

∣∣∣∣a22 a23a32 a33

∣∣∣∣ − a12 ∣∣∣∣a21 a23a31 a33

∣∣∣∣ + a13 ∣∣∣∣a21 a22a31 a32

∣∣∣∣ == a11a22a33 − a11a23a32

− a12a21a33 + a12a23a33 + a13a21a32 − a13a22a31.


Determinante


A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

.Rješenje. Vrijedi

detA =

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ = a11 · (−1)1+1∣∣∣∣ a22 a23a32 a33

∣∣∣∣++a12 · (−1)1+2

∣∣∣∣ a21 a23a31 a33

∣∣∣∣+ a13 · (−1)1+3 ∣∣∣∣ a21 a22a31 a32

∣∣∣∣ == a11

∣∣∣∣a22 a23a32 a33

∣∣∣∣ − a12 ∣∣∣∣a21 a23a31 a33

∣∣∣∣ + a13 ∣∣∣∣a21 a22a31 a32

∣∣∣∣ == a11a22a33 − a11a23a32 − a12a21a33 + a12a23a33

+ a13a21a32 − a13a22a31.


Determinante


A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

.Rješenje. Vrijedi

detA =

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ = a11 · (−1)1+1∣∣∣∣ a22 a23a32 a33

∣∣∣∣++a12 · (−1)1+2

∣∣∣∣ a21 a23a31 a33

∣∣∣∣+ a13 · (−1)1+3 ∣∣∣∣ a21 a22a31 a32

∣∣∣∣ == a11

∣∣∣∣a22 a23a32 a33

∣∣∣∣ − a12 ∣∣∣∣a21 a23a31 a33

∣∣∣∣ + a13 ∣∣∣∣a21 a22a31 a32



Determinante

Iz prethodnog primjera izvodimo Sarrusovo pravilo za determinante reda 3:

+ + +a11 a12 a13 a11 a12a21 a22 a23 a21 a22a31 a32 a33 a31 a32− − −

Dobije se:

detA = a11a22a33 + a12a23a33 + a13a21a32−a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33.

Napomena. Sarrusovo pravilo ne moze se ’poopcavati’na determinantevišeg reda.


Determinante



Dobije se:




Determinante



Dobije se:

detA =

a11a22a33 + a12a23a33 + a13a21a32−a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33.



Determinante



Dobije se:

detA = a11a22a33

+ a12a23a33 + a13a21a32−a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33.



Determinante



Dobije se:

detA = a11a22a33 + a12a23a33

+ a13a21a32−a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33.



Determinante



Dobije se:

detA = a11a22a33 + a12a23a33 + a13a21a32

−a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33.



Determinante



Dobije se:

detA = a11a22a33 + a12a23a33 + a13a21a32−a13a22a31

− a11a23a32 − a12a21a33.



Determinante



Dobije se:

detA = a11a22a33 + a12a23a33 + a13a21a32−a13a22a31 − a11a23a32

− a12a21a33.



Determinante



Dobije se:




Determinante



Dobije se:


Napomena.

Sarrusovo pravilo ne moze se ’poopcavati’na determinantevišeg reda.


Determinante



Dobije se:




Determinante

Zadatak.

Razvij determinantu matrice

A =

1 0 −12 4 3−3 −2 0

a) po drugom retku, b) po trecem stupcu.Rješenje. a) Vrijedi

detA =

∣∣∣∣∣∣1 0 − 12 4 3− 3 − 2 0

∣∣∣∣∣∣ = 2 · (−1)2+1∣∣∣∣ 0 −1−2 0

∣∣∣∣++4 · (−1)2+2

∣∣∣∣ 1 −1−3 0

∣∣∣∣+ 3 · (−1)2+3 ∣∣∣∣ 1 0−3 −2

∣∣∣∣ == −2 (0− 2) + 4 (0− 3) − 3 (−2− 0) = − 2


Determinante

Zadatak. Razvij determinantu matrice

A =

1 0 −12 4 3−3 −2 0


detA =

∣∣∣∣∣∣1 0 − 12 4 3− 3 − 2 0

∣∣∣∣∣∣ = 2 · (−1)2+1∣∣∣∣ 0 −1−2 0

∣∣∣∣++4 · (−1)2+2

∣∣∣∣ 1 −1−3 0

∣∣∣∣+ 3 · (−1)2+3 ∣∣∣∣ 1 0−3 −2

∣∣∣∣ == −2 (0− 2) + 4 (0− 3) − 3 (−2− 0) = − 2


Determinante


A =

1 0 −12 4 3−3 −2 0

a) po drugom retku,

b) po trecem stupcu.Rješenje. a) Vrijedi

detA =

∣∣∣∣∣∣1 0 − 12 4 3− 3 − 2 0

∣∣∣∣∣∣ = 2 · (−1)2+1∣∣∣∣ 0 −1−2 0

∣∣∣∣++4 · (−1)2+2

∣∣∣∣ 1 −1−3 0

∣∣∣∣+ 3 · (−1)2+3 ∣∣∣∣ 1 0−3 −2

∣∣∣∣ == −2 (0− 2) + 4 (0− 3) − 3 (−2− 0) = − 2


Determinante


A =

1 0 −12 4 3−3 −2 0

a) po drugom retku, b) po trecem stupcu.

Rješenje. a) Vrijedi

detA =

∣∣∣∣∣∣1 0 − 12 4 3− 3 − 2 0

∣∣∣∣∣∣ = 2 · (−1)2+1∣∣∣∣ 0 −1−2 0

∣∣∣∣++4 · (−1)2+2

∣∣∣∣ 1 −1−3 0

∣∣∣∣+ 3 · (−1)2+3 ∣∣∣∣ 1 0−3 −2

∣∣∣∣ == −2 (0− 2) + 4 (0− 3) − 3 (−2− 0) = − 2


Determinante


A =

1 0 −12 4 3−3 −2 0

a) po drugom retku, b) po trecem stupcu.Rješenje. a)

Vrijedi

detA =

∣∣∣∣∣∣1 0 − 12 4 3− 3 − 2 0

∣∣∣∣∣∣ = 2 · (−1)2+1∣∣∣∣ 0 −1−2 0

∣∣∣∣++4 · (−1)2+2

∣∣∣∣ 1 −1−3 0

∣∣∣∣+ 3 · (−1)2+3 ∣∣∣∣ 1 0−3 −2

∣∣∣∣ == −2 (0− 2) + 4 (0− 3) − 3 (−2− 0) = − 2


Determinante


A =

1 0 −12 4 3−3 −2 0


detA =

∣∣∣∣∣∣1 0 − 12 4 3− 3 − 2 0

∣∣∣∣∣∣ =

2 · (−1)2+1∣∣∣∣ 0 −1−2 0

∣∣∣∣++4 · (−1)2+2

∣∣∣∣ 1 −1−3 0

∣∣∣∣+ 3 · (−1)2+3 ∣∣∣∣ 1 0−3 −2

∣∣∣∣ == −2 (0− 2) + 4 (0− 3) − 3 (−2− 0) = − 2


Determinante


A =

1 0 −12 4 3−3 −2 0


detA =

∣∣∣∣∣∣1 0 − 12 4 3−3 − 2 0

∣∣∣∣∣∣ =

2 · (−1)2+1∣∣∣∣ 0 −1−2 0

∣∣∣∣++4 · (−1)2+2

∣∣∣∣ 1 −1−3 0

∣∣∣∣+ 3 · (−1)2+3 ∣∣∣∣ 1 0−3 −2

∣∣∣∣ == −2 (0− 2) + 4 (0− 3) − 3 (−2− 0) = − 2


Determinante


A =

1 0 −12 4 3−3 −2 0


detA =

∣∣∣∣∣∣1 0 − 12 4 3−3 − 2 0

∣∣∣∣∣∣ = 2 · (−1)2+1∣∣∣∣ 0 −1−2 0

∣∣∣∣+

+4 · (−1)2+2∣∣∣∣ 1 −1−3 0

∣∣∣∣+ 3 · (−1)2+3 ∣∣∣∣ 1 0−3 −2

∣∣∣∣ == −2 (0− 2) + 4 (0− 3) − 3 (−2− 0) = − 2


Determinante


A =

1 0 −12 4 3−3 −2 0


detA =

∣∣∣∣∣∣1 0 − 12 4 3− 3 −2 0

∣∣∣∣∣∣ = 2 · (−1)2+1∣∣∣∣ 0 −1−2 0

∣∣∣∣+

+4 · (−1)2+2∣∣∣∣ 1 −1−3 0

∣∣∣∣+ 3 · (−1)2+3 ∣∣∣∣ 1 0−3 −2

∣∣∣∣ == −2 (0− 2) + 4 (0− 3) − 3 (−2− 0) = − 2


Determinante


A =

1 0 −12 4 3−3 −2 0


detA =

∣∣∣∣∣∣1 0 − 12 4 3− 3 −2 0

∣∣∣∣∣∣ = 2 · (−1)2+1∣∣∣∣ 0 −1−2 0

∣∣∣∣++4 · (−1)2+2

∣∣∣∣ 1 −1−3 0

∣∣∣∣+

3 · (−1)2+3∣∣∣∣ 1 0−3 −2

∣∣∣∣ == −2 (0− 2) + 4 (0− 3) − 3 (−2− 0) = − 2


Determinante


A =

1 0 −12 4 3−3 −2 0


detA =

∣∣∣∣∣∣1 0 −12 4 3− 3 − 2 0

∣∣∣∣∣∣ = 2 · (−1)2+1∣∣∣∣ 0 −1−2 0

∣∣∣∣++4 · (−1)2+2

∣∣∣∣ 1 −1−3 0

∣∣∣∣+

3 · (−1)2+3∣∣∣∣ 1 0−3 −2

∣∣∣∣ == −2 (0− 2) + 4 (0− 3) − 3 (−2− 0) = − 2


Determinante


A =

1 0 −12 4 3−3 −2 0


detA =

∣∣∣∣∣∣1 0 −12 4 3− 3 − 2 0

∣∣∣∣∣∣ = 2 · (−1)2+1∣∣∣∣ 0 −1−2 0

∣∣∣∣++4 · (−1)2+2

∣∣∣∣ 1 −1−3 0

∣∣∣∣+ 3 · (−1)2+3 ∣∣∣∣ 1 0−3 −2

∣∣∣∣ =

= −2 (0− 2) + 4 (0− 3) − 3 (−2− 0) = − 2


Determinante


A =

1 0 −12 4 3−3 −2 0


detA =

∣∣∣∣∣∣1 0 − 12 4 3− 3 − 2 0

∣∣∣∣∣∣ = 2 · (−1)2+1∣∣∣∣ 0 −1−2 0

∣∣∣∣++4 · (−1)2+2

∣∣∣∣ 1 −1−3 0

∣∣∣∣+ 3 · (−1)2+3 ∣∣∣∣ 1 0−3 −2

∣∣∣∣ =

= −2 (0− 2) + 4 (0− 3) − 3 (−2− 0) = − 2


Determinante


A =

1 0 −12 4 3−3 −2 0


detA =

∣∣∣∣∣∣1 0 − 12 4 3− 3 − 2 0

∣∣∣∣∣∣ = 2 · (−1)2+1∣∣∣∣ 0 −1−2 0

∣∣∣∣++4 · (−1)2+2

∣∣∣∣ 1 −1−3 0

∣∣∣∣+ 3 · (−1)2+3 ∣∣∣∣ 1 0−3 −2

∣∣∣∣ == −2 (0− 2)

+ 4 (0− 3) − 3 (−2− 0) = − 2


Determinante


A =

1 0 −12 4 3−3 −2 0


detA =

∣∣∣∣∣∣1 0 − 12 4 3− 3 − 2 0

∣∣∣∣∣∣ = 2 · (−1)2+1∣∣∣∣ 0 −1−2 0

∣∣∣∣++4 · (−1)2+2

∣∣∣∣ 1 −1−3 0

∣∣∣∣+ 3 · (−1)2+3 ∣∣∣∣ 1 0−3 −2

∣∣∣∣ == −2 (0− 2) + 4 (0− 3)

− 3 (−2− 0) = − 2


Determinante


A =

1 0 −12 4 3−3 −2 0


detA =

∣∣∣∣∣∣1 0 − 12 4 3− 3 − 2 0

∣∣∣∣∣∣ = 2 · (−1)2+1∣∣∣∣ 0 −1−2 0

∣∣∣∣++4 · (−1)2+2

∣∣∣∣ 1 −1−3 0

∣∣∣∣+ 3 · (−1)2+3 ∣∣∣∣ 1 0−3 −2

∣∣∣∣ == −2 (0− 2) + 4 (0− 3) − 3 (−2− 0) =

− 2


Determinante


A =

1 0 −12 4 3−3 −2 0


detA =

∣∣∣∣∣∣1 0 − 12 4 3− 3 − 2 0

∣∣∣∣∣∣ = 2 · (−1)2+1∣∣∣∣ 0 −1−2 0

∣∣∣∣++4 · (−1)2+2

∣∣∣∣ 1 −1−3 0

∣∣∣∣+ 3 · (−1)2+3 ∣∣∣∣ 1 0−3 −2

∣∣∣∣ == −2 (0− 2) + 4 (0− 3) − 3 (−2− 0) = − 2


Determinante


A =

1 0 −12 4 3−3 −2 0

a) po drugom retku, b) po trecem stupcu.Rješenje. b)

Vrijedi

detA =

∣∣∣∣∣∣1 0 − 12 4 3− 3 − 2 0

∣∣∣∣∣∣ == (−1) · (−1)1+3

∣∣∣∣ 2 4−3 −2

∣∣∣∣+ 3 · (−1)2+3 ∣∣∣∣ 1 0−3 −2

∣∣∣∣ == −1 · (−4+ 12) − 3 (−2− 0) = − 2.


Determinante


A =

1 0 −12 4 3−3 −2 0

a) po drugom retku, b) po trecem stupcu.Rješenje. b) Vrijedi

detA =

∣∣∣∣∣∣1 0 − 12 4 3− 3 − 2 0

∣∣∣∣∣∣ =

= (−1) · (−1)1+3∣∣∣∣ 2 4−3 −2

∣∣∣∣+ 3 · (−1)2+3 ∣∣∣∣ 1 0−3 −2

∣∣∣∣ == −1 · (−4+ 12) − 3 (−2− 0) = − 2.


Determinante


A =

1 0 −12 4 3−3 −2 0


detA =

∣∣∣∣∣∣1 0 −12 4 3− 3 − 2 0

∣∣∣∣∣∣ =

= (−1) · (−1)1+3∣∣∣∣ 2 4−3 −2

∣∣∣∣+ 3 · (−1)2+3 ∣∣∣∣ 1 0−3 −2

∣∣∣∣ == −1 · (−4+ 12) − 3 (−2− 0) = − 2.


Determinante


A =

1 0 −12 4 3−3 −2 0


detA =

∣∣∣∣∣∣1 0 −12 4 3− 3 − 2 0

∣∣∣∣∣∣ == (−1) · (−1)1+3

∣∣∣∣ 2 4−3 −2

∣∣∣∣+

3 · (−1)2+3∣∣∣∣ 1 0−3 −2

∣∣∣∣ == −1 · (−4+ 12) − 3 (−2− 0) = − 2.


Determinante


A =

1 0 −12 4 3−3 −2 0


detA =

∣∣∣∣∣∣1 0 −12 4 3− 3 − 2 0

∣∣∣∣∣∣ == (−1) · (−1)1+3

∣∣∣∣ 2 4−3 −2

∣∣∣∣+

3 · (−1)2+3∣∣∣∣ 1 0−3 −2

∣∣∣∣ == −1 · (−4+ 12) − 3 (−2− 0) = − 2.


Determinante


A =

1 0 −12 4 3−3 −2 0


detA =

∣∣∣∣∣∣1 0 −12 4 3− 3 − 2 0

∣∣∣∣∣∣ == (−1) · (−1)1+3

∣∣∣∣ 2 4−3 −2

∣∣∣∣+ 3 · (−1)2+3 ∣∣∣∣ 1 0−3 −2

∣∣∣∣

=

= −1 · (−4+ 12) − 3 (−2− 0) = − 2.


Determinante


A =

1 0 −12 4 3−3 −2 0


detA =

∣∣∣∣∣∣1 0 −12 4 3−3 −2 0

∣∣∣∣∣∣ == (−1) · (−1)1+3

∣∣∣∣ 2 4−3 −2

∣∣∣∣+ 3 · (−1)2+3 ∣∣∣∣ 1 0−3 −2

∣∣∣∣

=

= −1 · (−4+ 12) − 3 (−2− 0) = − 2.


Determinante


A =

1 0 −12 4 3−3 −2 0


detA =

∣∣∣∣∣∣1 0 −12 4 3−3 −2 0

∣∣∣∣∣∣ == (−1) · (−1)1+3

∣∣∣∣ 2 4−3 −2

∣∣∣∣+ 3 · (−1)2+3 ∣∣∣∣ 1 0−3 −2

∣∣∣∣ =

= −1 · (−4+ 12) − 3 (−2− 0) = − 2.


Determinante


A =

1 0 −12 4 3−3 −2 0


detA =

∣∣∣∣∣∣1 0 − 12 4 3− 3 − 2 0

∣∣∣∣∣∣ == (−1) · (−1)1+3

∣∣∣∣ 2 4−3 −2

∣∣∣∣+ 3 · (−1)2+3 ∣∣∣∣ 1 0−3 −2

∣∣∣∣ =

= −1 · (−4+ 12) − 3 (−2− 0) = − 2.


Determinante


A =

1 0 −12 4 3−3 −2 0


detA =

∣∣∣∣∣∣1 0 − 12 4 3− 3 − 2 0

∣∣∣∣∣∣ == (−1) · (−1)1+3

∣∣∣∣ 2 4−3 −2

∣∣∣∣+ 3 · (−1)2+3 ∣∣∣∣ 1 0−3 −2

∣∣∣∣ == −1 · (−4+ 12)

− 3 (−2− 0) = − 2.


Determinante


A =

1 0 −12 4 3−3 −2 0


detA =

∣∣∣∣∣∣1 0 − 12 4 3− 3 − 2 0

∣∣∣∣∣∣ == (−1) · (−1)1+3

∣∣∣∣ 2 4−3 −2

∣∣∣∣+ 3 · (−1)2+3 ∣∣∣∣ 1 0−3 −2

∣∣∣∣ == −1 · (−4+ 12) − 3 (−2− 0) =

− 2.


Determinante


A =

1 0 −12 4 3−3 −2 0


detA =

∣∣∣∣∣∣1 0 − 12 4 3− 3 − 2 0

∣∣∣∣∣∣ == (−1) · (−1)1+3

∣∣∣∣ 2 4−3 −2

∣∣∣∣+ 3 · (−1)2+3 ∣∣∣∣ 1 0−3 −2

∣∣∣∣ == −1 · (−4+ 12) − 3 (−2− 0) = − 2.


DeterminanteSvojstva determinanti

Lako se vidi da determinanta ima sljedeca svojstva.

D1) Ako matrica A ima redak (ili stupac) koji se sastoji od samih nula,onda je detA = 0.

D2) Determinanta trokutaste matrice jednaka je umnošku elemenata nadijagonali.

D3) Ako matrica A ima dva jednaka retka (ili stupca), onda je detA = 0.D4) Matrice A i AT imaju istu determinantu, tj. vrijedi detA = detAT .D5) Ako se svi elementi nekog retka (ili stupca) matrice rastave na zbroj

dvaju pribrojnika, onda je determinanta te matrice jednaka zbrojudeterminanti odgovarajucih dviju matrica.



























D3) Ako matrica A ima dva jednaka retka (ili stupca), onda je detA = 0.

D4) Matrice A i AT imaju istu determinantu, tj. vrijedi detA = detAT .D5) Ako se svi elementi nekog retka (ili stupca) matrice rastave na zbroj







D3) Ako matrica A ima dva jednaka retka (ili stupca), onda je detA = 0.D4) Matrice A i AT imaju istu determinantu, tj. vrijedi detA = detAT .

D5) Ako se svi elementi nekog retka (ili stupca) matrice rastave na zbrojdvaju pribrojnika, onda je determinanta te matrice jednaka zbrojudeterminanti odgovarajucih dviju matrica.







dvaju pribrojnika,

onda je determinanta te matrice jednaka zbrojudeterminanti odgovarajucih dviju matrica.










Zadatak.

Korištenjem svojstava determinante odredi detA, ako je

A =

2 1 32 2 40 0 5

.Rješenje. Vrijedi

detA =

∣∣∣∣∣∣2 1 32 2 40 0 5

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣2 1 3

2+ 0 1+ 1 3+ 10 0 5

∣∣∣∣∣∣ = {rastav na pribrojnike} ==

∣∣∣∣∣∣2 1 32 1 30 0 5

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣2 1 30 1 10 0 5

∣∣∣∣∣∣ = {dva ista retka, trokutasta} == 0+ 2 · 1 · 5 = 10



Zadatak. Korištenjem svojstava determinante odredi detA,

ako je

A =

2 1 32 2 40 0 5

.Rješenje. Vrijedi

detA =

∣∣∣∣∣∣2 1 32 2 40 0 5

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣2 1 3

2+ 0 1+ 1 3+ 10 0 5


∣∣∣∣∣∣2 1 32 1 30 0 5

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣2 1 30 1 10 0 5




Zadatak. Korištenjem svojstava determinante odredi detA, ako je

A =

2 1 32 2 40 0 5

.

Rješenje. Vrijedi

detA =

∣∣∣∣∣∣2 1 32 2 40 0 5

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣2 1 3

2+ 0 1+ 1 3+ 10 0 5


∣∣∣∣∣∣2 1 32 1 30 0 5

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣2 1 30 1 10 0 5





A =

2 1 32 2 40 0 5

.Rješenje.

Vrijedi

detA =

∣∣∣∣∣∣2 1 32 2 40 0 5

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣2 1 3

2+ 0 1+ 1 3+ 10 0 5


∣∣∣∣∣∣2 1 32 1 30 0 5

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣2 1 30 1 10 0 5





A =

2 1 32 2 40 0 5

.Rješenje. Vrijedi

detA =

∣∣∣∣∣∣2 1 32 2 40 0 5

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣2 1 3

2+ 0 1+ 1 3+ 10 0 5


∣∣∣∣∣∣2 1 32 1 30 0 5

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣2 1 30 1 10 0 5





A =

2 1 32 2 40 0 5

.Rješenje. Vrijedi

detA =

∣∣∣∣∣∣2 1 32 2 40 0 5

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣2 1 3

2+ 0 1+ 1 3+ 10 0 5


∣∣∣∣∣∣2 1 32 1 30 0 5

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣2 1 30 1 10 0 5





A =

2 1 32 2 40 0 5

.Rješenje. Vrijedi

detA =

∣∣∣∣∣∣2 1 32 2 40 0 5

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣2 1 3

2+ 0 1+ 1 3+ 10 0 5

∣∣∣∣∣∣ =

{rastav na pribrojnike} =

=

∣∣∣∣∣∣2 1 32 1 30 0 5

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣2 1 30 1 10 0 5





A =

2 1 32 2 40 0 5

.Rješenje. Vrijedi

detA =

∣∣∣∣∣∣2 1 32 2 40 0 5

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣2 1 3

2+ 0 1+ 1 3+ 10 0 5

∣∣∣∣∣∣ = {rastav na pribrojnike} =

=

∣∣∣∣∣∣2 1 32 1 30 0 5

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣2 1 30 1 10 0 5





A =

2 1 32 2 40 0 5

.Rješenje. Vrijedi

detA =

∣∣∣∣∣∣2 1 32 2 40 0 5

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣2 1 3

2+ 0 1+ 1 3+ 10 0 5


∣∣∣∣∣∣2 1 32 1 30 0 5

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣2 1 30 1 10 0 5

∣∣∣∣∣∣ =

{dva ista retka, trokutasta} =

= 0+ 2 · 1 · 5 = 10




A =

2 1 32 2 40 0 5

.Rješenje. Vrijedi

detA =

∣∣∣∣∣∣2 1 32 2 40 0 5

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣2 1 3

2+ 0 1+ 1 3+ 10 0 5


∣∣∣∣∣∣2 1 32 1 30 0 5

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣2 1 30 1 10 0 5

∣∣∣∣∣∣ = {dva ista retka, trokutasta} =

= 0+ 2 · 1 · 5 = 10




A =

2 1 32 2 40 0 5

.Rješenje. Vrijedi

detA =

∣∣∣∣∣∣2 1 32 2 40 0 5

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣2 1 3

2+ 0 1+ 1 3+ 10 0 5


∣∣∣∣∣∣2 1 32 1 30 0 5

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣2 1 30 1 10 0 5

∣∣∣∣∣∣ = {dva ista retka, trokutasta} == 0+

2 · 1 · 5 = 10




A =

2 1 32 2 40 0 5

.Rješenje. Vrijedi

detA =

∣∣∣∣∣∣2 1 32 2 40 0 5

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣2 1 3

2+ 0 1+ 1 3+ 10 0 5


∣∣∣∣∣∣2 1 32 1 30 0 5

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣2 1 30 1 10 0 5

∣∣∣∣∣∣ = {dva ista retka, trokutasta} == 0+ 2 · 1 · 5 =

10




A =

2 1 32 2 40 0 5

.Rješenje. Vrijedi

detA =

∣∣∣∣∣∣2 1 32 2 40 0 5

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣2 1 3

2+ 0 1+ 1 3+ 10 0 5


∣∣∣∣∣∣2 1 32 1 30 0 5

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣2 1 30 1 10 0 5



Determinante

Teorem (Binet-Cauchy).

Neka su A,B dvije kvadratne matrice. Tadavrijedi det (AB) = detA detB.

Zadatak. Koristeci Teorem Binet-Cauchy pokazi da je

det(A−1) = (detA)−1 .

Rješenje. Vrijedi

detA detA−1 = det(A−1A) = det I = 1,

pa slijedi da je

detA−1 =1

detA= (detA)−1.


Determinante

Teorem (Binet-Cauchy). Neka su A,B dvije kvadratne matrice.

Tadavrijedi det (AB) = detA detB.


det(A−1) = (detA)−1 .

Rješenje. Vrijedi


pa slijedi da je

detA−1 =1

detA= (detA)−1.


Determinante

Teorem (Binet-Cauchy). Neka su A,B dvije kvadratne matrice. Tadavrijedi det (AB) = detA detB.


det(A−1) = (detA)−1 .

Rješenje. Vrijedi


pa slijedi da je

detA−1 =1

detA= (detA)−1.


Determinante


Zadatak.

Koristeci Teorem Binet-Cauchy pokazi da je

det(A−1) = (detA)−1 .

Rješenje. Vrijedi


pa slijedi da je

detA−1 =1

detA= (detA)−1.


Determinante



det(A−1) = (detA)−1 .

Rješenje. Vrijedi


pa slijedi da je

detA−1 =1

detA= (detA)−1.


Determinante



det(A−1) = (detA)−1 .

Rješenje.

Vrijedi


pa slijedi da je

detA−1 =1

detA= (detA)−1.


Determinante



det(A−1) = (detA)−1 .

Rješenje. Vrijedi

detA detA−1 =

det(A−1A) = det I = 1,

pa slijedi da je

detA−1 =1

detA= (detA)−1.


Determinante



det(A−1) = (detA)−1 .

Rješenje. Vrijedi

detA detA−1 = det(A−1A) =

det I = 1,

pa slijedi da je

detA−1 =1

detA= (detA)−1.


Determinante



det(A−1) = (detA)−1 .

Rješenje. Vrijedi

detA detA−1 = det(A−1A) = det I =

1,

pa slijedi da je

detA−1 =1

detA= (detA)−1.


Determinante



det(A−1) = (detA)−1 .

Rješenje. Vrijedi


pa slijedi da je

detA−1 =1

detA= (detA)−1.


Determinante



det(A−1) = (detA)−1 .

Rješenje. Vrijedi


pa slijedi da je

detA−1 =1

detA=

(detA)−1.


Determinante



det(A−1) = (detA)−1 .

Rješenje. Vrijedi


pa slijedi da je

detA−1 =1

detA= (detA)−1.


Determinante

Propozicija.

Neka je A kvadratna matrica. Ako je matrica B dobivena izmatrice A:

1 zamjenom dvaju redaka (ili dvaju stupaca), onda je detB = − detA;2 mnozenjem nekog retka (ili nekog stupca) skalarom λ 6= 0, onda jedetB = λ detA;

3 dodavanje nekom retku drugog retka (ili nekom stupcu drugogstupca) pomnoznog nekim skalarom, onda je detB = detA.

Teorem. Neka su A,B ∈ Mn dvije me�usobno ekvivalentne kvadratnematrice. Tada su determinante tih matrica ili obje jednake nula ili objerazlicite od nula.


Determinante

Propozicija. Neka je A kvadratna matrica.

Ako je matrica B dobivena izmatrice A:





Determinante

Propozicija. Neka je A kvadratna matrica. Ako je matrica B dobivena izmatrice A:





Determinante


1 zamjenom dvaju redaka (ili dvaju stupaca),

onda je detB = − detA;2 mnozenjem nekog retka (ili nekog stupca) skalarom λ 6= 0, onda jedetB = λ detA;




Determinante


1 zamjenom dvaju redaka (ili dvaju stupaca), onda je detB = − detA;

2 mnozenjem nekog retka (ili nekog stupca) skalarom λ 6= 0, onda jedetB = λ detA;




Determinante


1 zamjenom dvaju redaka (ili dvaju stupaca), onda je detB = − detA;2 mnozenjem nekog retka (ili nekog stupca) skalarom λ 6= 0,

onda jedetB = λ detA;




Determinante






Determinante



3 dodavanje nekom retku drugog retka (ili nekom stupcu drugogstupca) pomnoznog nekim skalarom,

onda je detB = detA.



Determinante






Determinante




Teorem.

Neka su A,B ∈ Mn dvije me�usobno ekvivalentne kvadratnematrice. Tada su determinante tih matrica ili obje jednake nula ili objerazlicite od nula.


Determinante




Teorem. Neka su A,B ∈ Mn dvije me�usobno ekvivalentne kvadratnematrice.

Tada su determinante tih matrica ili obje jednake nula ili objerazlicite od nula.


Determinante






Determinante

Zadatak.

Koristeci svojstva determinanti izracunaj detA, ako je

A =

1 4 −12 6 1−2 −5 0

.Rješenje. Vrijedi

detA=

∣∣∣∣∣∣1 4 −12 6 1−2 −5 0

∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣1 4 −1

0 −2 30 3 −2

∣∣∣∣∣∣

II − 2IIII + 2I

=12

∣∣∣∣∣∣1 4 −10 −2 30 6 −4

∣∣∣∣∣∣ ==12

∣∣∣∣∣∣1 4 −10 −2 3

0 0 5

∣∣∣∣∣∣

III + 3II

=12· 1 · (−2) · 5 = − 5.


Determinante

Zadatak. Koristeci svojstva determinanti izracunaj detA, ako je

A =

1 4 −12 6 1−2 −5 0

.

Rješenje. Vrijedi

detA=

∣∣∣∣∣∣1 4 −12 6 1−2 −5 0

∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣1 4 −1

0 −2 30 3 −2

∣∣∣∣∣∣

II − 2IIII + 2I

=12

∣∣∣∣∣∣1 4 −10 −2 30 6 −4

∣∣∣∣∣∣ ==12

∣∣∣∣∣∣1 4 −10 −2 3

0 0 5

∣∣∣∣∣∣

III + 3II

=12· 1 · (−2) · 5 = − 5.


Determinante


A =

1 4 −12 6 1−2 −5 0

.Rješenje.

Vrijedi

detA=

∣∣∣∣∣∣1 4 −12 6 1−2 −5 0

∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣1 4 −1

0 −2 30 3 −2

∣∣∣∣∣∣

II − 2IIII + 2I

=12

∣∣∣∣∣∣1 4 −10 −2 30 6 −4

∣∣∣∣∣∣ ==12

∣∣∣∣∣∣1 4 −10 −2 3

0 0 5

∣∣∣∣∣∣

III + 3II

=12· 1 · (−2) · 5 = − 5.


Determinante


A =

1 4 −12 6 1−2 −5 0

.Rješenje. Vrijedi

detA=

∣∣∣∣∣∣1 4 −12 6 1−2 −5 0

∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣1 4 −1

0 −2 30 3 −2

∣∣∣∣∣∣

II − 2IIII + 2I

=12

∣∣∣∣∣∣1 4 −10 −2 30 6 −4

∣∣∣∣∣∣ ==12

∣∣∣∣∣∣1 4 −10 −2 3

0 0 5

∣∣∣∣∣∣

III + 3II

=12· 1 · (−2) · 5 = − 5.


Determinante


A =

1 4 −12 6 1−2 −5 0

.Rješenje. Vrijedi

detA=

∣∣∣∣∣∣1 4 −12 6 1−2 −5 0

∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣1 4 −1

0 −2 30 3 −2

∣∣∣∣∣∣

II − 2IIII + 2I

=12

∣∣∣∣∣∣1 4 −10 −2 30 6 −4

∣∣∣∣∣∣ ==12

∣∣∣∣∣∣1 4 −10 −2 3

0 0 5

∣∣∣∣∣∣

III + 3II

=12· 1 · (−2) · 5 = − 5.


Determinante


A =

1 4 −12 6 1−2 −5 0

.Rješenje. Vrijedi

detA=

∣∣∣∣∣∣1 4 −12 6 1−2 −5 0

∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣1 4 −1

0 −2 30 3 −2

∣∣∣∣∣∣

II − 2IIII + 2I

=12

∣∣∣∣∣∣1 4 −10 −2 30 6 −4

∣∣∣∣∣∣ ==12

∣∣∣∣∣∣1 4 −10 −2 3

0 0 5

∣∣∣∣∣∣

III + 3II

=12· 1 · (−2) · 5 = − 5.


Determinante


A =

1 4 −12 6 1−2 −5 0

.Rješenje. Vrijedi

detA=

∣∣∣∣∣∣1 4 −12 6 1−2 −5 0

∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣1 4 −1

0 −2 30 3 −2

∣∣∣∣∣∣

II − 2IIII + 2I

=12

∣∣∣∣∣∣1 4 −10 −2 30 6 −4

∣∣∣∣∣∣ ==12

∣∣∣∣∣∣1 4 −10 −2 3

0 0 5

∣∣∣∣∣∣

III + 3II

=12· 1 · (−2) · 5 = − 5.


Determinante


A =

1 4 −12 6 1−2 −5 0

.Rješenje. Vrijedi

detA=

∣∣∣∣∣∣1 4 −12 6 1−2 −5 0

∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣1 4 −1

0 −2 30 3 −2

∣∣∣∣∣∣ II − 2I

III + 2I=12

∣∣∣∣∣∣1 4 −10 −2 30 6 −4

∣∣∣∣∣∣ ==12

∣∣∣∣∣∣1 4 −10 −2 3

0 0 5

∣∣∣∣∣∣

III + 3II

=12· 1 · (−2) · 5 = − 5.


Determinante


A =

1 4 −12 6 1−2 −5 0

.Rješenje. Vrijedi

detA=

∣∣∣∣∣∣1 4 −12 6 1−2 −5 0

∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣1 4 −10 −2 3

0 3 −2

∣∣∣∣∣∣ II − 2I

III + 2I=12

∣∣∣∣∣∣1 4 −10 −2 30 6 −4

∣∣∣∣∣∣ ==12

∣∣∣∣∣∣1 4 −10 −2 3

0 0 5

∣∣∣∣∣∣

III + 3II

=12· 1 · (−2) · 5 = − 5.


Determinante


A =

1 4 −12 6 1−2 −5 0

.Rješenje. Vrijedi

detA=

∣∣∣∣∣∣1 4 −12 6 1−2 −5 0

∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣1 4 −10 −2 3

0 3 −2

∣∣∣∣∣∣ II − 2I

III + 2I=12

∣∣∣∣∣∣1 4 −10 −2 30 6 −4

∣∣∣∣∣∣ ==12

∣∣∣∣∣∣1 4 −10 −2 3

0 0 5

∣∣∣∣∣∣

III + 3II

=12· 1 · (−2) · 5 = − 5.


Determinante


A =

1 4 −12 6 1−2 −5 0

.Rješenje. Vrijedi

detA=

∣∣∣∣∣∣1 4 −12 6 1−2 −5 0

∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣1 4 −10 −2 3

0 3 −2

∣∣∣∣∣∣ II − 2IIII + 2I

=12

∣∣∣∣∣∣1 4 −10 −2 30 6 −4

∣∣∣∣∣∣ ==12

∣∣∣∣∣∣1 4 −10 −2 3

0 0 5

∣∣∣∣∣∣

III + 3II

=12· 1 · (−2) · 5 = − 5.


Determinante


A =

1 4 −12 6 1−2 −5 0

.Rješenje. Vrijedi

detA=

∣∣∣∣∣∣1 4 −12 6 1−2 −5 0

∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣1 4 −10 −2 30 3 −2

∣∣∣∣∣∣ II − 2IIII + 2I

=12

∣∣∣∣∣∣1 4 −10 −2 30 6 −4

∣∣∣∣∣∣ ==12

∣∣∣∣∣∣1 4 −10 −2 3

0 0 5

∣∣∣∣∣∣

III + 3II

=12· 1 · (−2) · 5 = − 5.


Determinante


A =

1 4 −12 6 1−2 −5 0

.Rješenje. Vrijedi

detA=

∣∣∣∣∣∣1 4 −12 6 1−2 −5 0

∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣1 4 −10 −2 30 3 −2

∣∣∣∣∣∣ II − 2IIII + 2I

=12

∣∣∣∣∣∣1 4 −10 −2 30 6 −4

∣∣∣∣∣∣ ==12

∣∣∣∣∣∣1 4 −10 −2 3

0 0 5

∣∣∣∣∣∣

III + 3II

=12· 1 · (−2) · 5 = − 5.


Determinante


A =

1 4 −12 6 1−2 −5 0

.Rješenje. Vrijedi

detA=

∣∣∣∣∣∣1 4 −12 6 1−2 −5 0

∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣1 4 −10 −2 30 3 −2

∣∣∣∣∣∣ II − 2IIII + 2I

=12

∣∣∣∣∣∣1 4 −10 −2 30 6 −4

∣∣∣∣∣∣ ==12

∣∣∣∣∣∣1 4 −10 −2 3

0 0 5

∣∣∣∣∣∣

III + 3II

=12· 1 · (−2) · 5 = − 5.


Determinante


A =

1 4 −12 6 1−2 −5 0

.Rješenje. Vrijedi

detA=

∣∣∣∣∣∣1 4 −12 6 1−2 −5 0

∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣1 4 −10 −2 30 3 −2

∣∣∣∣∣∣ II − 2IIII + 2I=12

∣∣∣∣∣∣1 4 −10 −2 30 6 −4

∣∣∣∣∣∣ =

=12

∣∣∣∣∣∣1 4 −10 −2 3

0 0 5

∣∣∣∣∣∣

III + 3II

=12· 1 · (−2) · 5 = − 5.


Determinante


A =

1 4 −12 6 1−2 −5 0

.Rješenje. Vrijedi

detA=

∣∣∣∣∣∣1 4 −12 6 1−2 −5 0

∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣1 4 −10 −2 30 3 −2

∣∣∣∣∣∣ II − 2IIII + 2I=12

∣∣∣∣∣∣1 4 −10 −2 30 6 −4

∣∣∣∣∣∣ =

=12

∣∣∣∣∣∣1 4 −10 −2 3

0 0 5

∣∣∣∣∣∣

III + 3II

=12· 1 · (−2) · 5 = − 5.


Determinante


A =

1 4 −12 6 1−2 −5 0

.Rješenje. Vrijedi

detA=

∣∣∣∣∣∣1 4 −12 6 1−2 −5 0

∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣1 4 −10 −2 30 3 −2

∣∣∣∣∣∣ II − 2IIII + 2I=12

∣∣∣∣∣∣1 4 −10 −2 30 6 −4

∣∣∣∣∣∣ =

=12

∣∣∣∣∣∣1 4 −10 −2 3

0 0 5

∣∣∣∣∣∣

III + 3II

=12· 1 · (−2) · 5 = − 5.


Determinante


A =

1 4 −12 6 1−2 −5 0

.Rješenje. Vrijedi

detA=

∣∣∣∣∣∣1 4 −12 6 1−2 −5 0

∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣1 4 −10 −2 30 3 −2

∣∣∣∣∣∣ II − 2IIII + 2I=12

∣∣∣∣∣∣1 4 −10 −2 30 6 −4

∣∣∣∣∣∣ ==12

∣∣∣∣∣∣1 4 −10 −2 3

0 0 5

∣∣∣∣∣∣

III + 3II=12· 1 · (−2) · 5 = − 5.


Determinante


A =

1 4 −12 6 1−2 −5 0

.Rješenje. Vrijedi

detA=

∣∣∣∣∣∣1 4 −12 6 1−2 −5 0

∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣1 4 −10 −2 30 3 −2

∣∣∣∣∣∣ II − 2IIII + 2I=12

∣∣∣∣∣∣1 4 −10 −2 30 6 −4

∣∣∣∣∣∣ ==12

∣∣∣∣∣∣1 4 −10 −2 3

0 0 5

∣∣∣∣∣∣ III + 3II

=12· 1 · (−2) · 5 = − 5.


Determinante


A =

1 4 −12 6 1−2 −5 0

.Rješenje. Vrijedi

detA=

∣∣∣∣∣∣1 4 −12 6 1−2 −5 0

∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣1 4 −10 −2 30 3 −2

∣∣∣∣∣∣ II − 2IIII + 2I=12

∣∣∣∣∣∣1 4 −10 −2 30 6 −4

∣∣∣∣∣∣ ==12

∣∣∣∣∣∣1 4 −10 −2 30 0 5

∣∣∣∣∣∣ III + 3II

=12· 1 · (−2) · 5 = − 5.


Determinante


A =

1 4 −12 6 1−2 −5 0

.Rješenje. Vrijedi

detA=

∣∣∣∣∣∣1 4 −12 6 1−2 −5 0

∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣1 4 −10 −2 30 3 −2

∣∣∣∣∣∣ II − 2IIII + 2I=12

∣∣∣∣∣∣1 4 −10 −2 30 6 −4

∣∣∣∣∣∣ ==12

∣∣∣∣∣∣1 4 −10 −2 30 0 5

∣∣∣∣∣∣ III + 3II

=12· 1 · (−2) · 5 = − 5.


Determinante


A =

1 4 −12 6 1−2 −5 0

.Rješenje. Vrijedi

detA=

∣∣∣∣∣∣1 4 −12 6 1−2 −5 0

∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣1 4 −10 −2 30 3 −2

∣∣∣∣∣∣ II − 2IIII + 2I=12

∣∣∣∣∣∣1 4 −10 −2 30 6 −4

∣∣∣∣∣∣ ==12

∣∣∣∣∣∣1 4 −10 −2 30 0 5

∣∣∣∣∣∣ III + 3II =12· 1 · (−2) · 5 =

− 5.


Determinante


A =

1 4 −12 6 1−2 −5 0

.Rješenje. Vrijedi

detA=

∣∣∣∣∣∣1 4 −12 6 1−2 −5 0

∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣1 4 −10 −2 30 3 −2

∣∣∣∣∣∣ II − 2IIII + 2I=12

∣∣∣∣∣∣1 4 −10 −2 30 6 −4

∣∣∣∣∣∣ ==12

∣∣∣∣∣∣1 4 −10 −2 30 0 5

∣∣∣∣∣∣ III + 3II =12· 1 · (−2) · 5 = − 5.


Rang matriceDefinicija ranga

Definicija. Podmatrica matrice A je svaka matrica koja se iz matrice Amoze dobiti uklanjanjem bilo kojih redaka i/ili stupaca.

Nekoliko razlicitih podmatrica opcenite matrice A ∈ M4,4 sua11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24a31 a32 a33 a34a41 a42 a43 a44

a11 a12 a14a21 a22 a24a31 a32 a34

a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24a31 a32 a33 a34a41 a42 a43 a44

[a21 a22 a24a41 a42 a44

]


[a12 a14a42 a44

]



Definicija.

Podmatrica matrice A je svaka matrica koja se iz matrice Amoze dobiti uklanjanjem bilo kojih redaka i/ili stupaca.


a11 a12 a14a21 a22 a24a31 a32 a34


[a21 a22 a24a41 a42 a44

]


[a12 a14a42 a44

]





a11 a12 a14a21 a22 a24a31 a32 a34


[a21 a22 a24a41 a42 a44

]


[a12 a14a42 a44

]




Nekoliko razlicitih podmatrica opcenite matrice A ∈ M4,4 su


a11 a12 a14a21 a22 a24a31 a32 a34


[a21 a22 a24a41 a42 a44

]


[a12 a14a42 a44

]





a11 a12 a14a21 a22 a24a31 a32 a34


[a21 a22 a24a41 a42 a44

]


[a12 a14a42 a44

]





a11 a12 a14a21 a22 a24a31 a32 a34


[a21 a22 a24a41 a42 a44

]


[a12 a14a42 a44

]





a11 a12 a14a21 a22 a24a31 a32 a34


[a21 a22 a24a41 a42 a44

]


[a12 a14a42 a44

]





a11 a12 a14a21 a22 a24a31 a32 a34


[a21 a22 a24a41 a42 a44

]


[a12 a14a42 a44

]





a11 a12 a14a21 a22 a24a31 a32 a34


[a21 a22 a24a41 a42 a44

]


[a12 a14a42 a44

]





a11 a12 a14a21 a22 a24a31 a32 a34


[a21 a22 a24a41 a42 a44

]


[a12 a14a42 a44

]


Rang matrice

Definicija.

Neka je A ∈ Mm,n matrica. Rang r(A) matrice A je rednjezine najvece kvadratne podmatrice kojoj je determinantarazlicita od nula.


Rang matrice

Definicija. Neka je A ∈ Mm,n matrica.

Rang r(A) matrice A je rednjezine najvece kvadratne podmatrice kojoj je determinantarazlicita od nula.


Rang matrice

Definicija. Neka je A ∈ Mm,n matrica. Rang r(A) matrice A

je rednjezine najvece kvadratne podmatrice kojoj je determinantarazlicita od nula.


Rang matrice

Definicija. Neka je A ∈ Mm,n matrica. Rang r(A) matrice A je rednjezine najvece kvadratne podmatrice

kojoj je determinantarazlicita od nula.


Rang matrice

Definicija. Neka je A ∈ Mm,n matrica. Rang r(A) matrice A je rednjezine najvece kvadratne podmatrice kojoj je determinantarazlicita od nula.


Rang matrice

Zadatak.

Odredi r(A), ako je

A =

3 1 1 21 0 2 −12 1 −1 3

Rješenje. Vrijedi∣∣∣∣∣∣3 1 11 0 22 1 −1

∣∣∣∣∣∣ = 0,∣∣∣∣∣∣3 1 21 0 −12 1 3

∣∣∣∣∣∣ = 0,∣∣∣∣∣∣3 1 21 2 −12 −1 3

∣∣∣∣∣∣ = 0,∣∣∣∣∣∣1 1 20 2 −11 −1 3

∣∣∣∣∣∣ = 0.Dakle, rang matrice nije 3.


Rang matrice

Zadatak. Odredi r(A), ako je

A =

3 1 1 21 0 2 −12 1 −1 3


∣∣∣∣∣∣ = 0,∣∣∣∣∣∣3 1 21 0 −12 1 3

∣∣∣∣∣∣ = 0,∣∣∣∣∣∣3 1 21 2 −12 −1 3

∣∣∣∣∣∣ = 0,∣∣∣∣∣∣1 1 20 2 −11 −1 3



Rang matrice


A =

3 1 1 21 0 2 −12 1 −1 3

Rješenje.

Vrijedi∣∣∣∣∣∣3 1 11 0 22 1 −1

∣∣∣∣∣∣ = 0,∣∣∣∣∣∣3 1 21 0 −12 1 3

∣∣∣∣∣∣ = 0,∣∣∣∣∣∣3 1 21 2 −12 −1 3

∣∣∣∣∣∣ = 0,∣∣∣∣∣∣1 1 20 2 −11 −1 3



Rang matrice


A =

3 1 1 21 0 2 −12 1 −1 3


∣∣∣∣∣∣ = 0,∣∣∣∣∣∣3 1 21 0 −12 1 3

∣∣∣∣∣∣ = 0,∣∣∣∣∣∣3 1 21 2 −12 −1 3

∣∣∣∣∣∣ = 0,∣∣∣∣∣∣1 1 20 2 −11 −1 3

∣∣∣∣∣∣ = 0.

Dakle, rang matrice nije 3.


Rang matrice


A =

3 1 1 21 0 2 −12 1 −1 3


∣∣∣∣∣∣ = 0,∣∣∣∣∣∣3 1 21 0 −12 1 3

∣∣∣∣∣∣ = 0,∣∣∣∣∣∣3 1 21 2 −12 −1 3

∣∣∣∣∣∣ = 0,∣∣∣∣∣∣1 1 20 2 −11 −1 3



Rang matrice


A =

3 1 1 21 0 2 −12 1 −1 3

Rješenje.

Vrijedi∣∣∣∣3 11 0

∣∣∣∣=-1, ∣∣∣∣3 11 2

∣∣∣∣=5, ∣∣∣∣3 21 -1

∣∣∣∣=-5, ∣∣∣∣1 10 2

∣∣∣∣=2, ∣∣∣∣1 20 -1

∣∣∣∣=-1, ∣∣∣∣1 22 -1

∣∣∣∣=-5∣∣∣∣3 12 1

∣∣∣∣=1, ∣∣∣∣3 12 -1

∣∣∣∣=-5, ∣∣∣∣3 22 3

∣∣∣∣=5, ∣∣∣∣1 11 -1

∣∣∣∣=-2, ∣∣∣∣1 21 3

∣∣∣∣=1, ∣∣∣∣ 1 2-1 3

∣∣∣∣=5,∣∣∣∣1 02 1

∣∣∣∣=1, ∣∣∣∣1 22 -1

∣∣∣∣=-5, ∣∣∣∣1 -12 3

∣∣∣∣=5, ∣∣∣∣0 21 -1

∣∣∣∣=-2, ∣∣∣∣0 -11 3

∣∣∣∣=1, ∣∣∣∣ 2 -1-1 3

∣∣∣∣=5.Dakle, zakljucujemo r(A) = 2.


Rang matrice


A =

3 1 1 21 0 2 −12 1 −1 3

Rješenje. Vrijedi∣∣∣∣3 11 0

∣∣∣∣=-1, ∣∣∣∣3 11 2

∣∣∣∣=5, ∣∣∣∣3 21 -1

∣∣∣∣=-5, ∣∣∣∣1 10 2

∣∣∣∣=2, ∣∣∣∣1 20 -1

∣∣∣∣=-1, ∣∣∣∣1 22 -1

∣∣∣∣=-5∣∣∣∣3 12 1

∣∣∣∣=1, ∣∣∣∣3 12 -1

∣∣∣∣=-5, ∣∣∣∣3 22 3

∣∣∣∣=5, ∣∣∣∣1 11 -1

∣∣∣∣=-2, ∣∣∣∣1 21 3

∣∣∣∣=1, ∣∣∣∣ 1 2-1 3

∣∣∣∣=5,∣∣∣∣1 02 1

∣∣∣∣=1, ∣∣∣∣1 22 -1

∣∣∣∣=-5, ∣∣∣∣1 -12 3

∣∣∣∣=5, ∣∣∣∣0 21 -1

∣∣∣∣=-2, ∣∣∣∣0 -11 3

∣∣∣∣=1, ∣∣∣∣ 2 -1-1 3

∣∣∣∣=5.

Dakle, zakljucujemo r(A) = 2.


Rang matrice


A =

3 1 1 21 0 2 −12 1 −1 3

Rješenje. Vrijedi∣∣∣∣3 11 0

∣∣∣∣=-1, ∣∣∣∣3 11 2

∣∣∣∣=5, ∣∣∣∣3 21 -1

∣∣∣∣=-5, ∣∣∣∣1 10 2

∣∣∣∣=2, ∣∣∣∣1 20 -1

∣∣∣∣=-1, ∣∣∣∣1 22 -1

∣∣∣∣=-5∣∣∣∣3 12 1

∣∣∣∣=1, ∣∣∣∣3 12 -1

∣∣∣∣=-5, ∣∣∣∣3 22 3

∣∣∣∣=5, ∣∣∣∣1 11 -1

∣∣∣∣=-2, ∣∣∣∣1 21 3

∣∣∣∣=1, ∣∣∣∣ 1 2-1 3

∣∣∣∣=5,∣∣∣∣1 02 1

∣∣∣∣=1, ∣∣∣∣1 22 -1

∣∣∣∣=-5, ∣∣∣∣1 -12 3

∣∣∣∣=5, ∣∣∣∣0 21 -1

∣∣∣∣=-2, ∣∣∣∣0 -11 3

∣∣∣∣=1, ∣∣∣∣ 2 -1-1 3

∣∣∣∣=5.Dakle, zakljucujemo r(A) = 2.


Rang matrice

Uocimo:

najveca kvadratna podmatrica matrice A ∈ Mm,n ima redmin {m, n},pa ocito da za rang matrice A vrijedi r(A) ≤ min {m, n} .

Zadatak. Koliki najviše moze biti rang matrice A, ako je:

a) A =

1 23 37 0

, b) A = 1 0 3−2 3 46 0 5

, c) A =2 3 39 0 54 3 1−1 2 0

.Rješenje. Vrijedi:

a) r(A) ≤ 2, b) r(A) ≤ 3, c) r(A) ≤ 3.


Rang matrice

Uocimo:

najveca kvadratna podmatrica matrice A ∈ Mm,n ima redmin {m, n},

pa ocito da za rang matrice A vrijedi r(A) ≤ min {m, n} .


a) A =

1 23 37 0

, b) A = 1 0 3−2 3 46 0 5

, c) A =2 3 39 0 54 3 1−1 2 0


a) r(A) ≤ 2, b) r(A) ≤ 3, c) r(A) ≤ 3.


Rang matrice

Uocimo:



a) A =

1 23 37 0

, b) A = 1 0 3−2 3 46 0 5

, c) A =2 3 39 0 54 3 1−1 2 0


a) r(A) ≤ 2, b) r(A) ≤ 3, c) r(A) ≤ 3.


Rang matrice

Uocimo:


Zadatak.

Koliki najviše moze biti rang matrice A, ako je:

a) A =

1 23 37 0

, b) A = 1 0 3−2 3 46 0 5

, c) A =2 3 39 0 54 3 1−1 2 0


a) r(A) ≤ 2, b) r(A) ≤ 3, c) r(A) ≤ 3.


Rang matrice

Uocimo:



a) A =

1 23 37 0

, b) A = 1 0 3−2 3 46 0 5

, c) A =2 3 39 0 54 3 1−1 2 0


a) r(A) ≤ 2, b) r(A) ≤ 3, c) r(A) ≤ 3.


Rang matrice

Uocimo:



a) A =

1 23 37 0

,

b) A =

1 0 3−2 3 46 0 5

, c) A =2 3 39 0 54 3 1−1 2 0


a) r(A) ≤ 2, b) r(A) ≤ 3, c) r(A) ≤ 3.


Rang matrice

Uocimo:



a) A =

1 23 37 0

, b) A = 1 0 3−2 3 46 0 5

,

c) A =

2 3 39 0 54 3 1−1 2 0


a) r(A) ≤ 2, b) r(A) ≤ 3, c) r(A) ≤ 3.


Rang matrice

Uocimo:



a) A =

1 23 37 0

, b) A = 1 0 3−2 3 46 0 5

, c) A =2 3 39 0 54 3 1−1 2 0

.

Rješenje. Vrijedi:

a) r(A) ≤ 2, b) r(A) ≤ 3, c) r(A) ≤ 3.


Rang matrice

Uocimo:



a) A =

1 23 37 0

, b) A = 1 0 3−2 3 46 0 5

, c) A =2 3 39 0 54 3 1−1 2 0

.Rješenje.

Vrijedi:

a) r(A) ≤ 2, b) r(A) ≤ 3, c) r(A) ≤ 3.


Rang matrice

Uocimo:



a) A =

1 23 37 0

, b) A = 1 0 3−2 3 46 0 5

, c) A =2 3 39 0 54 3 1−1 2 0


a)

r(A) ≤ 2, b) r(A) ≤ 3, c) r(A) ≤ 3.


Rang matrice

Uocimo:



a) A =

1 23 37 0

, b) A = 1 0 3−2 3 46 0 5

, c) A =2 3 39 0 54 3 1−1 2 0


a) r(A) ≤

2, b) r(A) ≤ 3, c) r(A) ≤ 3.


Rang matrice

Uocimo:



a) A =

1 23 37 0

, b) A = 1 0 3−2 3 46 0 5

, c) A =2 3 39 0 54 3 1−1 2 0


a) r(A) ≤ 2,

b) r(A) ≤ 3, c) r(A) ≤ 3.


Rang matrice

Uocimo:



a) A =

1 23 37 0

, b) A = 1 0 3−2 3 46 0 5

, c) A =2 3 39 0 54 3 1−1 2 0


a) r(A) ≤ 2, b)

r(A) ≤ 3, c) r(A) ≤ 3.


Rang matrice

Uocimo:



a) A =

1 23 37 0

, b) A = 1 0 3−2 3 46 0 5

, c) A =2 3 39 0 54 3 1−1 2 0


a) r(A) ≤ 2, b) r(A) ≤

3, c) r(A) ≤ 3.


Rang matrice

Uocimo:



a) A =

1 23 37 0

, b) A = 1 0 3−2 3 46 0 5

, c) A =2 3 39 0 54 3 1−1 2 0


a) r(A) ≤ 2, b) r(A) ≤ 3,

c) r(A) ≤ 3.


Rang matrice

Uocimo:



a) A =

1 23 37 0

, b) A = 1 0 3−2 3 46 0 5

, c) A =2 3 39 0 54 3 1−1 2 0


a) r(A) ≤ 2, b) r(A) ≤ 3, c)

r(A) ≤ 3.


Rang matrice

Uocimo:



a) A =

1 23 37 0

, b) A = 1 0 3−2 3 46 0 5

, c) A =2 3 39 0 54 3 1−1 2 0


a) r(A) ≤ 2, b) r(A) ≤ 3, c) r(A) ≤

3.


Rang matrice

Uocimo:



a) A =

1 23 37 0

, b) A = 1 0 3−2 3 46 0 5

, c) A =2 3 39 0 54 3 1−1 2 0


a) r(A) ≤ 2, b) r(A) ≤ 3, c) r(A) ≤ 3.


Rang matriceRang matrice u reduciranoj formi

Definicija. Neka je A ∈ Mm,n matrica. Kazemo da je matricni elementaij stozer retka i , ako je to prvi ne-nul element u tom retku.

Definicija. Neka je A ∈ Mm,n matrica. Nadalje, kazemo da je matrica Au reduciranoj formi ako vrijedi:

1 svi nul-retci (ako takvih ima) nalaze se iza ne-nul redaka,2 stozer svakog retka je strogo desno od stozera prethodnog retka.



Definicija.

Neka je A ∈ Mm,n matrica. Kazemo da je matricni elementaij stozer retka i , ako je to prvi ne-nul element u tom retku.






Kazemo da je matricni elementaij stozer retka i , ako je to prvi ne-nul element u tom retku.





Definicija. Neka je A ∈ Mm,n matrica. Kazemo da je matricni elementaij stozer retka i ,

ako je to prvi ne-nul element u tom retku.











Definicija.

Neka je A ∈ Mm,n matrica. Nadalje, kazemo da je matrica Au reduciranoj formi ako vrijedi:






Nadalje, kazemo da je matrica Au reduciranoj formi ako vrijedi:











1 svi nul-retci (ako takvih ima) nalaze se iza ne-nul redaka,

2 stozer svakog retka je strogo desno od stozera prethodnog retka.







Rang matrice

Zadatak.

Ispitaj je li matrica A u reduciranoj formi, ako je:

a) A =

2 13 −10 2

, b) A =

1 5 1 60 0 −1 20 2 3 30 0 0 5

,

c) A =

3 0 0 0 60 0 0 0 00 0 3 0 30 0 0 0 5

, d) A =

3 0 0 0 60 0 −1 2 20 0 0 0 00 0 0 0 0

Rješenje. Vrijedi:a) A nije u reduciranoj formi, jer 2. stozer nije strogo desno od 1. stozera,b) A nije u reduciranoj formi, jer 3. tozer nije strogo desno od 2. stozera,c) A nije u reduciranoj formi, jer 2. nul-redak nije "na dnu" matrice,d) A jest u reduciranoj formi.


Rang matrice

Zadatak. Ispitaj je li matrica A u reduciranoj formi, ako je:

a) A =

2 13 −10 2

, b) A =

1 5 1 60 0 −1 20 2 3 30 0 0 5

,

c) A =

3 0 0 0 60 0 0 0 00 0 3 0 30 0 0 0 5

, d) A =

3 0 0 0 60 0 −1 2 20 0 0 0 00 0 0 0 0



Rang matrice


a) A =

2 13 −10 2

, b) A =

1 5 1 60 0 −1 20 2 3 30 0 0 5

,

c) A =

3 0 0 0 60 0 0 0 00 0 3 0 30 0 0 0 5

, d) A =

3 0 0 0 60 0 −1 2 20 0 0 0 00 0 0 0 0



Rang matrice


a) A =

2 13 −10 2

, b) A =

1 5 1 60 0 −1 20 2 3 30 0 0 5

,

c) A =

3 0 0 0 60 0 0 0 00 0 3 0 30 0 0 0 5

, d) A =

3 0 0 0 60 0 −1 2 20 0 0 0 00 0 0 0 0

Rješenje.

Vrijedi:

a) A nije u reduciranoj formi, jer 2. stozer nije strogo desno od 1. stozera,b) A nije u reduciranoj formi, jer 3. tozer nije strogo desno od 2. stozera,c) A nije u reduciranoj formi, jer 2. nul-redak nije "na dnu" matrice,d) A jest u reduciranoj formi.


Rang matrice


a) A =

2 13 −10 2

, b) A =

1 5 1 60 0 −1 20 2 3 30 0 0 5

,

c) A =

3 0 0 0 60 0 0 0 00 0 3 0 30 0 0 0 5

, d) A =

3 0 0 0 60 0 −1 2 20 0 0 0 00 0 0 0 0

Rješenje.

Vrijedi:



Rang matrice


a) A =

2 13 −10 2

, b) A =

1 5 1 60 0 −1 20 2 3 30 0 0 5

,

c) A =

3 0 0 0 60 0 0 0 00 0 3 0 30 0 0 0 5

, d) A =

3 0 0 0 60 0 −1 2 20 0 0 0 00 0 0 0 0

Rješenje.

Vrijedi:



Rang matrice


a) A =

2 13 −10 2

, b) A =

1 5 1 60 0 −1 20 2 3 30 0 0 5

,

c) A =

3 0 0 0 60 0 0 0 00 0 3 0 30 0 0 0 5

, d) A =

3 0 0 0 60 0 −1 2 20 0 0 0 00 0 0 0 0

Rješenje.

Vrijedi:



Rang matrice


a) A =

2 13 −10 2

, b) A =

1 5 1 60 0 −1 20 2 3 30 0 0 5

,

c) A =

3 0 0 0 60 0 0 0 00 0 3 0 30 0 0 0 5

, d) A =

3 0 0 0 60 0 −1 2 20 0 0 0 00 0 0 0 0

Rješenje.

Vrijedi:



Rang matrice


a) A =

2 13 −10 2

, b) A =

1 5 1 60 0 −1 20 2 3 30 0 0 5

,

c) A =

3 0 0 0 60 0 0 0 00 0 3 0 30 0 0 0 5

, d) A =

3 0 0 0 60 0 −1 2 20 0 0 0 00 0 0 0 0

Rješenje.

Vrijedi:



Rang matrice


a) A =

2 13 −10 2

, b) A =

1 5 1 60 0 −1 20 2 3 30 0 0 5

,

c) A =

3 0 0 0 60 0 0 0 00 0 3 0 30 0 0 0 5

, d) A =

3 0 0 0 60 0 −1 2 20 0 0 0 00 0 0 0 0

Rješenje.

Vrijedi:



Rang matrice


a) A =

2 13 −10 2

, b) A =

1 5 1 60 0 −1 20 2 3 30 0 0 5

,

c) A =

3 0 0 0 60 0 0 0 00 0 3 0 30 0 0 0 5

, d) A =

3 0 0 0 60 0 −1 2 20 0 0 0 00 0 0 0 0

Rješenje.

Vrijedi:



Rang matrice


a) A =

2 13 −10 2

, b) A =

1 5 1 60 0 −1 20 2 3 30 0 0 5

,

c) A =

3 0 0 0 60 0 0 0 00 0 3 0 30 0 0 0 5

, d) A =

3 0 0 0 60 0 −1 2 20 0 0 0 00 0 0 0 0

Rješenje.

Vrijedi:



Rang matrice


a) A =

2 13 −10 2

, b) A =

1 5 1 60 0 −1 20 2 3 30 0 0 5

,

c) A =

3 0 0 0 60 0 0 0 00 0 3 0 30 0 0 0 5

, d) A =

3 0 0 0 60 0 −1 2 20 0 0 0 00 0 0 0 0

Rješenje.

Vrijedi:



Rang matrice


a) A =

2 13 −10 2

, b) A =

1 5 1 60 0 −1 20 2 3 30 0 0 5

,

c) A =

3 0 0 0 60 0 0 0 00 0 3 0 30 0 0 0 5

, d) A =

3 0 0 0 60 0 −1 2 20 0 0 0 00 0 0 0 0

Rješenje.

Vrijedi:



Rang matrice


a) A =

2 13 −10 2

, b) A =

1 5 1 60 0 −1 20 2 3 30 0 0 5

,

c) A =

3 0 0 0 60 0 0 0 00 0 3 0 30 0 0 0 5

, d) A =

3 0 0 0 60 0 −1 2 20 0 0 0 00 0 0 0 0

Rješenje.

Vrijedi:



Rang matrice


a) A =

2 13 −10 2

, b) A =

1 5 1 60 0 −1 20 2 3 30 0 0 5

,

c) A =

3 0 0 0 60 0 0 0 00 0 3 0 30 0 0 0 5

, d) A =

3 0 0 0 60 0 −1 2 20 0 0 0 00 0 0 0 0

Rješenje.

Vrijedi:



Rang matrice


a) A =

2 13 −10 2

, b) A =

1 5 1 60 0 −1 20 2 3 30 0 0 5

,

c) A =

3 0 0 0 60 0 0 0 00 0 3 0 30 0 0 0 5

, d) A =

3 0 0 0 60 0 −1 2 20 0 0 0 00 0 0 0 0

Rješenje. Vrijedi:a)

A nije u reduciranoj formi, jer 2. stozer nije strogo desno od 1. stozera,b) A nije u reduciranoj formi, jer 3. tozer nije strogo desno od 2. stozera,c) A nije u reduciranoj formi, jer 2. nul-redak nije "na dnu" matrice,d) A jest u reduciranoj formi.


Rang matrice


a) A =

2 13 −10 2

, b) A =

1 5 1 60 0 −1 20 2 3 30 0 0 5

,

c) A =

3 0 0 0 60 0 0 0 00 0 3 0 30 0 0 0 5

, d) A =

3 0 0 0 60 0 −1 2 20 0 0 0 00 0 0 0 0

Rješenje. Vrijedi:a) A nije u reduciranoj formi,

jer 2. stozer nije strogo desno od 1. stozera,

b) A nije u reduciranoj formi, jer 3. tozer nije strogo desno od 2. stozera,c) A nije u reduciranoj formi, jer 2. nul-redak nije "na dnu" matrice,d) A jest u reduciranoj formi.


Rang matrice


a) A =

2 13 −10 2

, b) A =

1 5 1 60 0 −1 20 2 3 30 0 0 5

,

c) A =

3 0 0 0 60 0 0 0 00 0 3 0 30 0 0 0 5

, d) A =

3 0 0 0 60 0 −1 2 20 0 0 0 00 0 0 0 0

Rješenje. Vrijedi:a) A nije u reduciranoj formi, jer 2. stozer nije strogo desno od 1. stozera,

b) A nije u reduciranoj formi, jer 3. tozer nije strogo desno od 2. stozera,c) A nije u reduciranoj formi, jer 2. nul-redak nije "na dnu" matrice,d) A jest u reduciranoj formi.


Rang matrice


a) A =

2 13 −10 2

, b) A =

1 5 1 60 0 −1 20 2 3 30 0 0 5

,

c) A =

3 0 0 0 60 0 0 0 00 0 3 0 30 0 0 0 5

, d) A =

3 0 0 0 60 0 −1 2 20 0 0 0 00 0 0 0 0

Rješenje. Vrijedi:a) A nije u reduciranoj formi, jer 2. stozer nije strogo desno od 1. stozera,b)

A nije u reduciranoj formi, jer 3. tozer nije strogo desno od 2. stozera,c) A nije u reduciranoj formi, jer 2. nul-redak nije "na dnu" matrice,d) A jest u reduciranoj formi.


Rang matrice


a) A =

2 13 −10 2

, b) A =

1 5 1 60 0 −1 20 2 3 30 0 0 5

,

c) A =

3 0 0 0 60 0 0 0 00 0 3 0 30 0 0 0 5

, d) A =

3 0 0 0 60 0 −1 2 20 0 0 0 00 0 0 0 0

Rješenje. Vrijedi:a) A nije u reduciranoj formi, jer 2. stozer nije strogo desno od 1. stozera,b) A nije u reduciranoj formi,

jer 3. tozer nije strogo desno od 2. stozera,

c) A nije u reduciranoj formi, jer 2. nul-redak nije "na dnu" matrice,d) A jest u reduciranoj formi.


Rang matrice


a) A =

2 13 −10 2

, b) A =

1 5 1 60 0 −1 20 2 3 30 0 0 5

,

c) A =

3 0 0 0 60 0 0 0 00 0 3 0 30 0 0 0 5

, d) A =

3 0 0 0 60 0 −1 2 20 0 0 0 00 0 0 0 0

Rješenje. Vrijedi:a) A nije u reduciranoj formi, jer 2. stozer nije strogo desno od 1. stozera,b) A nije u reduciranoj formi, jer 3. tozer nije strogo desno od 2. stozera,

c) A nije u reduciranoj formi, jer 2. nul-redak nije "na dnu" matrice,d) A jest u reduciranoj formi.


Rang matrice


a) A =

2 13 −10 2

, b) A =

1 5 1 60 0 −1 20 2 3 30 0 0 5

,

c) A =

3 0 0 0 60 0 0 0 00 0 3 0 30 0 0 0 5

, d) A =

3 0 0 0 60 0 −1 2 20 0 0 0 00 0 0 0 0

Rješenje. Vrijedi:a) A nije u reduciranoj formi, jer 2. stozer nije strogo desno od 1. stozera,b) A nije u reduciranoj formi, jer 3. tozer nije strogo desno od 2. stozera,c)

A nije u reduciranoj formi, jer 2. nul-redak nije "na dnu" matrice,d) A jest u reduciranoj formi.


Rang matrice


a) A =

2 13 −10 2

, b) A =

1 5 1 60 0 −1 20 2 3 30 0 0 5

,

c) A =

3 0 0 0 60 0 0 0 00 0 3 0 30 0 0 0 5

, d) A =

3 0 0 0 60 0 −1 2 20 0 0 0 00 0 0 0 0

Rješenje. Vrijedi:a) A nije u reduciranoj formi, jer 2. stozer nije strogo desno od 1. stozera,b) A nije u reduciranoj formi, jer 3. tozer nije strogo desno od 2. stozera,c) A nije u reduciranoj formi,

jer 2. nul-redak nije "na dnu" matrice,

d) A jest u reduciranoj formi.


Rang matrice


a) A =

2 13 −10 2

, b) A =

1 5 1 60 0 −1 20 2 3 30 0 0 5

,

c) A =

3 0 0 0 60 0 0 0 00 0 3 0 30 0 0 0 5

, d) A =

3 0 0 0 60 0 −1 2 20 0 0 0 00 0 0 0 0

Rješenje. Vrijedi:a) A nije u reduciranoj formi, jer 2. stozer nije strogo desno od 1. stozera,b) A nije u reduciranoj formi, jer 3. tozer nije strogo desno od 2. stozera,c) A nije u reduciranoj formi, jer 2. nul-redak nije "na dnu" matrice,

d) A jest u reduciranoj formi.


Rang matrice


a) A =

2 13 −10 2

, b) A =

1 5 1 60 0 −1 20 2 3 30 0 0 5

,

c) A =

3 0 0 0 60 0 0 0 00 0 3 0 30 0 0 0 5

, d) A =

3 0 0 0 60 0 −1 2 20 0 0 0 00 0 0 0 0

Rješenje. Vrijedi:a) A nije u reduciranoj formi, jer 2. stozer nije strogo desno od 1. stozera,b) A nije u reduciranoj formi, jer 3. tozer nije strogo desno od 2. stozera,c) A nije u reduciranoj formi, jer 2. nul-redak nije "na dnu" matrice,d)

A jest u reduciranoj formi.


Rang matrice


a) A =

2 13 −10 2

, b) A =

1 5 1 60 0 −1 20 2 3 30 0 0 5

,

c) A =

3 0 0 0 60 0 0 0 00 0 3 0 30 0 0 0 5

, d) A =

3 0 0 0 60 0 −1 2 20 0 0 0 00 0 0 0 0



Rang matrice

Ako je matrica u reduciranoj formi, onda vrijedi:

a11 a12 a13 a14 a150 0 a23 a24 a250 0 0 a34 a350 0 0 0 00 0 0 0 0

,a11 a12 a13 a14 a150 0 a23 a24 a250 0 0 a34 a350 0 0 0 00 0 0 0 0

.

Teorem. Neka je A matrica u reduciranom obliku. Rang r(A) matrice Ajednak je broju ne-nul redaka matrice A.


Rang matrice

Ako je matrica u reduciranoj formi, onda vrijedi:a11 a12 a13 a14 a150 0 a23 a24 a250 0 0 a34 a350 0 0 0 00 0 0 0 0

,a11 a12 a13 a14 a150 0 a23 a24 a250 0 0 a34 a350 0 0 0 00 0 0 0 0

.



Rang matrice


,a11 a12 a13 a14 a150 0 a23 a24 a250 0 0 a34 a350 0 0 0 00 0 0 0 0

.

Teorem.

Neka je A matrica u reduciranom obliku. Rang r(A) matrice Ajednak je broju ne-nul redaka matrice A.


Rang matrice


,a11 a12 a13 a14 a150 0 a23 a24 a250 0 0 a34 a350 0 0 0 00 0 0 0 0

.

Teorem. Neka je A matrica u reduciranom obliku.

Rang r(A) matrice Ajednak je broju ne-nul redaka matrice A.


Rang matrice


,a11 a12 a13 a14 a150 0 a23 a24 a250 0 0 a34 a350 0 0 0 00 0 0 0 0

.



Rang matrice

Zadatak.

Ispitaj je li matrica A u reduciranoj formi, te ako jest odredir(A), ako je:

a) A =

1 1 −10 4 00 0 2

, b) A = 3 3 −10 3 00 0 0

, c) A = 2 5 10 0 10 0 3

.Rješenje. a) Matrica A jest u reduciranoj formi, te

r(A) = 3,

b) Matrica A jest u reduciranoj formi, te

r(A) = 2,

c) Matrica A nije u reduciranoj formi.


Rang matrice

Zadatak. Ispitaj je li matrica A u reduciranoj formi,

te ako jest odredir(A), ako je:

a) A =

1 1 −10 4 00 0 2

, b) A = 3 3 −10 3 00 0 0

, c) A = 2 5 10 0 10 0 3


r(A) = 3,


r(A) = 2,



Rang matrice

Zadatak. Ispitaj je li matrica A u reduciranoj formi, te ako jest odredir(A),

ako je:

a) A =

1 1 −10 4 00 0 2

, b) A = 3 3 −10 3 00 0 0

, c) A = 2 5 10 0 10 0 3


r(A) = 3,


r(A) = 2,



Rang matrice

Zadatak. Ispitaj je li matrica A u reduciranoj formi, te ako jest odredir(A), ako je:

a) A =

1 1 −10 4 00 0 2

,

b) A =

3 3 −10 3 00 0 0

, c) A = 2 5 10 0 10 0 3


r(A) = 3,


r(A) = 2,



Rang matrice


a) A =

1 1 −10 4 00 0 2

, b) A = 3 3 −10 3 00 0 0

,

c) A =

2 5 10 0 10 0 3


r(A) = 3,


r(A) = 2,



Rang matrice


a) A =

1 1 −10 4 00 0 2

, b) A = 3 3 −10 3 00 0 0

, c) A = 2 5 10 0 10 0 3

.

Rješenje. a) Matrica A jest u reduciranoj formi, te

r(A) = 3,


r(A) = 2,



Rang matrice


a) A =

1 1 −10 4 00 0 2

, b) A = 3 3 −10 3 00 0 0

, c) A = 2 5 10 0 10 0 3

.Rješenje.

a) Matrica A jest u reduciranoj formi, te

r(A) = 3,


r(A) = 2,



Rang matrice


a) A =

1 1 −10 4 00 0 2

, b) A = 3 3 −10 3 00 0 0

, c) A = 2 5 10 0 10 0 3

.Rješenje. a)

Matrica A jest u reduciranoj formi, te

r(A) = 3,


r(A) = 2,



Rang matrice


a) A =

1 1 −10 4 00 0 2

, b) A = 3 3 −10 3 00 0 0

, c) A = 2 5 10 0 10 0 3

.Rješenje. a) Matrica A jest u reduciranoj formi,

te

r(A) = 3,


r(A) = 2,



Rang matrice


a) A =

1 1 −10 4 00 0 2

, b) A = 3 3 −10 3 00 0 0

, c) A = 2 5 10 0 10 0 3


r(A) =

3,


r(A) = 2,



Rang matrice


a) A =

1 1 −10 4 00 0 2

, b) A = 3 3 −10 3 00 0 0

, c) A = 2 5 10 0 10 0 3


r(A) = 3,


r(A) = 2,



Rang matrice


a) A =

1 1 −10 4 00 0 2

, b) A = 3 3 −10 3 00 0 0

, c) A = 2 5 10 0 10 0 3


r(A) = 3,

b)

Matrica A jest u reduciranoj formi, te

r(A) = 2,



Rang matrice


a) A =

1 1 −10 4 00 0 2

, b) A = 3 3 −10 3 00 0 0

, c) A = 2 5 10 0 10 0 3


r(A) = 3,

b) Matrica A jest u reduciranoj formi,

te

r(A) = 2,



Rang matrice


a) A =

1 1 −10 4 00 0 2

, b) A = 3 3 −10 3 00 0 0

, c) A = 2 5 10 0 10 0 3


r(A) = 3,


r(A) =

2,



Rang matrice


a) A =

1 1 −10 4 00 0 2

, b) A = 3 3 −10 3 00 0 0

, c) A = 2 5 10 0 10 0 3


r(A) = 3,


r(A) = 2,



Rang matrice


a) A =

1 1 −10 4 00 0 2

, b) A = 3 3 −10 3 00 0 0

, c) A = 2 5 10 0 10 0 3


r(A) = 3,


r(A) = 2,

c)

Matrica A nije u reduciranoj formi.


Rang matrice


a) A =

1 1 −10 4 00 0 2

, b) A = 3 3 −10 3 00 0 0

, c) A = 2 5 10 0 10 0 3


r(A) = 3,


r(A) = 2,



Rang matriceRang opcenite matrice

Teorem. Elementarne transformacije ne mijenjaju rang matrice.

Sada rang opcenite matrice mozemo odre�ivati tako da:

1 elementarnim transformacijama svedemo matricu A na reduciranuformu (dobivamo neku novu matricu A′);

2 ocitamo rang dobivene matrice A′ kao broj ne-nul redaka.

Ovaj postupak je valjan jer elementarne transformacije ne mijenjaju rang,pa je

r(A) = r(A′).



Teorem.

Elementarne transformacije ne mijenjaju rang matrice.





r(A) = r(A′).








r(A) = r(A′).








r(A) = r(A′).





1 elementarnim transformacijama svedemo matricu A na reduciranuformu

(dobivamo neku novu matricu A′);2 ocitamo rang dobivene matrice A′ kao broj ne-nul redaka.


r(A) = r(A′).








r(A) = r(A′).








r(A) = r(A′).







Ovaj postupak je valjan

jer elementarne transformacije ne mijenjaju rang,pa je

r(A) = r(A′).







Ovaj postupak je valjan jer elementarne transformacije ne mijenjaju rang,

pa jer(A) = r(A′).








r(A) = r(A′).


Rang matrice

Zadatak.

Odredi rang matrice

A =

1 2 0 23 4 −1 5−1 1 2 3−2 1 1 −12

.


Rang matrice

Zadatak. Odredi rang matrice

A =

1 2 0 23 4 −1 5−1 1 2 3−2 1 1 −12

.


Rang matrice

Rješenje. Vrijedi

A =

1 −1 2 03 −3 4 2−2 3 −1 31 2 5 −1

∼

1 −1 2 00 0 −2 20 1 3 30 3 3 −1

II − 3IIII + 2IIV − I

∼

∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 20 3 3 −1

IIIII

∼

1 −1 2 00 1 3 3

0 0 −2 20 0 −6 −10

IV − 3II

∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 2

0 0 0 −16

IV − 3III

⇒ r(A) = 4


Rang matrice

Rješenje. Vrijedi

A =

1 −1 2 03 −3 4 2−2 3 −1 31 2 5 −1

∼

1 −1 2 00 0 −2 20 1 3 30 3 3 −1


∼

∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 20 3 3 −1

IIIII

∼

1 −1 2 00 1 3 3

0 0 −2 20 0 −6 −10

IV − 3II

∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 2

0 0 0 −16

IV − 3III

⇒ r(A) = 4


Rang matrice

Rješenje. Vrijedi

A =

1 −1 2 03 −3 4 2−2 3 −1 31 2 5 −1

∼1 −1 2 0

0 0 −2 20 1 3 30 3 3 −1


∼

∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 20 3 3 −1

IIIII

∼

1 −1 2 00 1 3 3

0 0 −2 20 0 −6 −10

IV − 3II

∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 2

0 0 0 −16

IV − 3III

⇒ r(A) = 4


Rang matrice

Rješenje. Vrijedi

A =

1 −1 2 03 −3 4 2−2 3 −1 31 2 5 −1

∼1 −1 2 0

0 0 −2 20 1 3 30 3 3 −1

II − 3I

III + 2IIV − I

∼

∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 20 3 3 −1

IIIII

∼

1 −1 2 00 1 3 3

0 0 −2 20 0 −6 −10

IV − 3II

∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 2

0 0 0 −16

IV − 3III

⇒ r(A) = 4


Rang matrice

Rješenje. Vrijedi

A =

1 −1 2 03 −3 4 2−2 3 −1 31 2 5 −1

∼1 −1 2 00 0 −2 2

0 1 3 30 3 3 −1

II − 3I

III + 2IIV − I

∼

∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 20 3 3 −1

IIIII

∼

1 −1 2 00 1 3 3

0 0 −2 20 0 −6 −10

IV − 3II

∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 2

0 0 0 −16

IV − 3III

⇒ r(A) = 4


Rang matrice

Rješenje. Vrijedi

A =

1 −1 2 03 −3 4 2−2 3 −1 31 2 5 −1

∼1 −1 2 00 0 −2 2

0 1 3 30 3 3 −1

II − 3I

III + 2IIV − I

∼

∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 20 3 3 −1

IIIII

∼

1 −1 2 00 1 3 3

0 0 −2 20 0 −6 −10

IV − 3II

∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 2

0 0 0 −16

IV − 3III

⇒ r(A) = 4


Rang matrice

Rješenje. Vrijedi

A =

1 −1 2 03 −3 4 2−2 3 −1 31 2 5 −1

∼1 −1 2 00 0 −2 2

0 1 3 30 3 3 −1

II − 3IIII + 2I

IV − I

∼

∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 20 3 3 −1

IIIII

∼

1 −1 2 00 1 3 3

0 0 −2 20 0 −6 −10

IV − 3II

∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 2

0 0 0 −16

IV − 3III

⇒ r(A) = 4


Rang matrice

Rješenje. Vrijedi

A =

1 −1 2 03 −3 4 2−2 3 −1 31 2 5 −1

∼1 −1 2 00 0 −2 20 1 3 3

0 3 3 −1

II − 3IIII + 2I

IV − I

∼

∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 20 3 3 −1

IIIII

∼

1 −1 2 00 1 3 3

0 0 −2 20 0 −6 −10

IV − 3II

∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 2

0 0 0 −16

IV − 3III

⇒ r(A) = 4


Rang matrice

Rješenje. Vrijedi

A =

1 −1 2 03 −3 4 2−2 3 −1 31 2 5 −1

∼1 −1 2 00 0 −2 20 1 3 3

0 3 3 −1

II − 3IIII + 2I

IV − I

∼

∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 20 3 3 −1

IIIII

∼

1 −1 2 00 1 3 3

0 0 −2 20 0 −6 −10

IV − 3II

∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 2

0 0 0 −16

IV − 3III

⇒ r(A) = 4


Rang matrice

Rješenje. Vrijedi

A =

1 −1 2 03 −3 4 2−2 3 −1 31 2 5 −1

∼1 −1 2 00 0 −2 20 1 3 3

0 3 3 −1


∼

∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 20 3 3 −1

IIIII

∼

1 −1 2 00 1 3 3

0 0 −2 20 0 −6 −10

IV − 3II

∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 2

0 0 0 −16

IV − 3III

⇒ r(A) = 4


Rang matrice

Rješenje. Vrijedi

A =

1 −1 2 03 −3 4 2−2 3 −1 31 2 5 −1

∼1 −1 2 00 0 −2 20 1 3 30 3 3 −1


∼

∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 20 3 3 −1

IIIII

∼

1 −1 2 00 1 3 3

0 0 −2 20 0 −6 −10

IV − 3II

∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 2

0 0 0 −16

IV − 3III

⇒ r(A) = 4


Rang matrice

Rješenje. Vrijedi

A =

1 −1 2 03 −3 4 2−2 3 −1 31 2 5 −1

∼1 −1 2 00 0 −2 20 1 3 30 3 3 −1


∼

∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 20 3 3 −1

IIIII

∼

1 −1 2 00 1 3 3

0 0 −2 20 0 −6 −10

IV − 3II

∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 2

0 0 0 −16

IV − 3III

⇒ r(A) = 4


Rang matrice

Rješenje. Vrijedi

A =

1 −1 2 03 −3 4 2−2 3 −1 31 2 5 −1

∼1 −1 2 00 0 −2 20 1 3 30 3 3 −1


∼

∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 20 3 3 −1

IIIII

∼

1 −1 2 00 1 3 3

0 0 −2 20 0 −6 −10

IV − 3II

∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 2

0 0 0 −16

IV − 3III

⇒ r(A) = 4


Rang matrice

Rješenje. Vrijedi

A =

1 −1 2 03 −3 4 2−2 3 −1 31 2 5 −1

∼1 −1 2 00 0 −2 20 1 3 30 3 3 −1


∼

∼

1 −1 2 0

0 1 3 30 0 −2 20 3 3 −1

IIIII

∼

1 −1 2 00 1 3 3

0 0 −2 20 0 −6 −10

IV − 3II

∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 2

0 0 0 −16

IV − 3III

⇒ r(A) = 4


Rang matrice

Rješenje. Vrijedi

A =

1 −1 2 03 −3 4 2−2 3 −1 31 2 5 −1

∼1 −1 2 00 0 −2 20 1 3 30 3 3 −1


∼

∼

1 −1 2 0

0 1 3 30 0 −2 20 3 3 −1

IIIII∼

1 −1 2 00 1 3 3

0 0 −2 20 0 −6 −10

IV − 3II

∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 2

0 0 0 −16

IV − 3III

⇒ r(A) = 4


Rang matrice

Rješenje. Vrijedi

A =

1 −1 2 03 −3 4 2−2 3 −1 31 2 5 −1

∼1 −1 2 00 0 −2 20 1 3 30 3 3 −1


∼

∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 2

0 3 3 −1

IIIII∼

1 −1 2 00 1 3 3

0 0 −2 20 0 −6 −10

IV − 3II

∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 2

0 0 0 −16

IV − 3III

⇒ r(A) = 4


Rang matrice

Rješenje. Vrijedi

A =

1 −1 2 03 −3 4 2−2 3 −1 31 2 5 −1

∼1 −1 2 00 0 −2 20 1 3 30 3 3 −1


∼

∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 20 3 3 −1

IIIII∼

1 −1 2 00 1 3 3

0 0 −2 20 0 −6 −10

IV − 3II

∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 2

0 0 0 −16

IV − 3III

⇒ r(A) = 4


Rang matrice

Rješenje. Vrijedi

A =

1 −1 2 03 −3 4 2−2 3 −1 31 2 5 −1

∼1 −1 2 00 0 −2 20 1 3 30 3 3 −1


∼

∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 20 3 3 −1

IIIII∼

1 −1 2 00 1 3 3

0 0 −2 20 0 −6 −10

IV − 3II

∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 2

0 0 0 −16

IV − 3III

⇒ r(A) = 4


Rang matrice

Rješenje. Vrijedi

A =

1 −1 2 03 −3 4 2−2 3 −1 31 2 5 −1

∼1 −1 2 00 0 −2 20 1 3 30 3 3 −1


∼

∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 20 3 3 −1

IIIII∼

1 −1 2 00 1 3 3

0 0 −2 20 0 −6 −10

IV − 3II

∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 2

0 0 0 −16

IV − 3III

⇒ r(A) = 4


Rang matrice

Rješenje. Vrijedi

A =

1 −1 2 03 −3 4 2−2 3 −1 31 2 5 −1

∼1 −1 2 00 0 −2 20 1 3 30 3 3 −1


∼

∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 20 3 3 −1

IIIII∼

1 −1 2 00 1 3 3

0 0 −2 20 0 −6 −10

IV − 3II

∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 2

0 0 0 −16

IV − 3III

⇒ r(A) = 4


Rang matrice

Rješenje. Vrijedi

A =

1 −1 2 03 −3 4 2−2 3 −1 31 2 5 −1

∼1 −1 2 00 0 −2 20 1 3 30 3 3 −1


∼

∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 20 3 3 −1

IIIII∼

1 −1 2 00 1 3 3

0 0 −2 20 0 −6 −10

IV − 3II

∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 2

0 0 0 −16

IV − 3III

⇒ r(A) = 4


Rang matrice

Rješenje. Vrijedi

A =

1 −1 2 03 −3 4 2−2 3 −1 31 2 5 −1

∼1 −1 2 00 0 −2 20 1 3 30 3 3 −1


∼

∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 20 3 3 −1

IIIII∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 2

0 0 −6 −10

IV − 3II

∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 2

0 0 0 −16

IV − 3III

⇒ r(A) = 4


Rang matrice

Rješenje. Vrijedi

A =

1 −1 2 03 −3 4 2−2 3 −1 31 2 5 −1

∼1 −1 2 00 0 −2 20 1 3 30 3 3 −1


∼

∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 20 3 3 −1

IIIII∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 2

0 0 −6 −10

IV − 3II

∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 2

0 0 0 −16

IV − 3III

⇒ r(A) = 4


Rang matrice

Rješenje. Vrijedi

A =

1 −1 2 03 −3 4 2−2 3 −1 31 2 5 −1

∼1 −1 2 00 0 −2 20 1 3 30 3 3 −1


∼

∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 20 3 3 −1

IIIII∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 2

0 0 −6 −10

IV − 3II

∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 2

0 0 0 −16

IV − 3III

⇒ r(A) = 4


Rang matrice

Rješenje. Vrijedi

A =

1 −1 2 03 −3 4 2−2 3 −1 31 2 5 −1

∼1 −1 2 00 0 −2 20 1 3 30 3 3 −1


∼

∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 20 3 3 −1

IIIII∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 20 0 −6 −10

IV − 3II

∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 2

0 0 0 −16

IV − 3III

⇒ r(A) = 4


Rang matrice

Rješenje. Vrijedi

A =

1 −1 2 03 −3 4 2−2 3 −1 31 2 5 −1

∼1 −1 2 00 0 −2 20 1 3 30 3 3 −1


∼

∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 20 3 3 −1

IIIII∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 20 0 −6 −10

IV − 3II

∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 2

0 0 0 −16

IV − 3III

⇒ r(A) = 4


Rang matrice

Rješenje. Vrijedi

A =

1 −1 2 03 −3 4 2−2 3 −1 31 2 5 −1

∼1 −1 2 00 0 −2 20 1 3 30 3 3 −1


∼

∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 20 3 3 −1

IIIII∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 20 0 −6 −10

IV − 3II

∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 2

0 0 0 −16

IV − 3III

⇒ r(A) = 4


Rang matrice

Rješenje. Vrijedi

A =

1 −1 2 03 −3 4 2−2 3 −1 31 2 5 −1

∼1 −1 2 00 0 −2 20 1 3 30 3 3 −1


∼

∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 20 3 3 −1

IIIII∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 20 0 −6 −10

IV − 3II

∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 2

0 0 0 −16

IV − 3III

⇒ r(A) = 4


Rang matrice

Rješenje. Vrijedi

A =

1 −1 2 03 −3 4 2−2 3 −1 31 2 5 −1

∼1 −1 2 00 0 −2 20 1 3 30 3 3 −1


∼

∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 20 3 3 −1

IIIII∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 20 0 −6 −10

IV − 3II

∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 2

0 0 0 −16

IV − 3III

⇒ r(A) = 4


Rang matrice

Rješenje. Vrijedi

A =

1 −1 2 03 −3 4 2−2 3 −1 31 2 5 −1

∼1 −1 2 00 0 −2 20 1 3 30 3 3 −1


∼

∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 20 3 3 −1

IIIII∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 20 0 −6 −10

IV − 3II

∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 2

0 0 0 −16

IV − 3III

⇒ r(A) = 4


Rang matrice

Rješenje. Vrijedi

A =

1 −1 2 03 −3 4 2−2 3 −1 31 2 5 −1

∼1 −1 2 00 0 −2 20 1 3 30 3 3 −1


∼

∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 20 3 3 −1

IIIII∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 20 0 −6 −10

IV − 3II

∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 20 0 0 −16

IV − 3III

⇒ r(A) = 4


Rang matrice

Rješenje. Vrijedi

A =

1 −1 2 03 −3 4 2−2 3 −1 31 2 5 −1

∼1 −1 2 00 0 −2 20 1 3 30 3 3 −1


∼

∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 20 3 3 −1

IIIII∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 20 0 −6 −10

IV − 3II

∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 20 0 0 −16

IV − 3III

⇒ r(A) = 4


Rang matrice

Rješenje. Vrijedi

A =

1 −1 2 03 −3 4 2−2 3 −1 31 2 5 −1

∼1 −1 2 00 0 −2 20 1 3 30 3 3 −1


∼

∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 20 3 3 −1

IIIII∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 20 0 −6 −10

IV − 3II

∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 20 0 0 −16

IV − 3III

⇒ r(A) =

4


Rang matrice

Rješenje. Vrijedi

A =

1 −1 2 03 −3 4 2−2 3 −1 31 2 5 −1

∼1 −1 2 00 0 −2 20 1 3 30 3 3 −1


∼

∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 20 3 3 −1

IIIII∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 20 0 −6 −10

IV − 3II

∼

1 −1 2 00 1 3 30 0 −2 20 0 0 −16

IV − 3III

⇒ r(A) = 4


Inverzna matrica

Podsjetimo se:

inverzna matrica kvadratne matrice A je matrica A−1 sa svojstvom

AA−1 = A−1A = I.

Uveli smo nazive:

regularna matrica - matrica koja ima inverz,

singularna matrica - matrica koja nema inverz.

Postavili smo pitanja:

1 kako znati je li kvadratna matrica A regularna (tj. ima li inverz)?2 ako kvadratna matrica A ima inverz, kako ga odrediti?


Inverzna matrica

Podsjetimo se:


AA−1 = A−1A = I.

Uveli smo nazive:






Inverzna matrica

Podsjetimo se:

inverzna matrica kvadratne matrice A

je matrica A−1 sa svojstvom

AA−1 = A−1A = I.

Uveli smo nazive:






Inverzna matrica

Podsjetimo se:

inverzna matrica kvadratne matrice A je matrica A−1

sa svojstvom

AA−1 = A−1A = I.

Uveli smo nazive:






Inverzna matrica

Podsjetimo se:


AA−1 = A−1A = I.

Uveli smo nazive:






Inverzna matrica

Podsjetimo se:


AA−1 = A−1A = I.

Uveli smo nazive:






Inverzna matrica

Podsjetimo se:


AA−1 = A−1A = I.

Uveli smo nazive:






Inverzna matrica

Podsjetimo se:


AA−1 = A−1A = I.

Uveli smo nazive:






Inverzna matrica

Podsjetimo se:


AA−1 = A−1A = I.

Uveli smo nazive:






Inverzna matrica

Podsjetimo se:


AA−1 = A−1A = I.

Uveli smo nazive:




1 kako znati je li kvadratna matrica A regularna (tj. ima li inverz)?

2 ako kvadratna matrica A ima inverz, kako ga odrediti?


Inverzna matrica

Podsjetimo se:


AA−1 = A−1A = I.

Uveli smo nazive:






Inverzna matricaDeterminanta i inverzna matrica

Teorem. Kvadratna matrica A ∈ Mn je regularna ako i samo ako jedetA 6= 0.

Definicija. Neka je A ∈ Mn kvadratna matrica, te neka je A = [Aij ]n,nmatrica algebarskih komplemenata matrice A. Matrica AT zove seadjunkta matrice A.

Teorem. Neka je A ∈ Mn kvadratna matrica. Ako je A regularna, ondaje A−1 = 1

detAAT .



Teorem.

Kvadratna matrica A ∈ Mn je regularna ako i samo ako jedetA 6= 0.



detAAT .






detAAT .




Definicija.

Neka je A ∈ Mn kvadratna matrica, te neka je A = [Aij ]n,nmatrica algebarskih komplemenata matrice A. Matrica AT zove seadjunkta matrice A.


detAAT .




Definicija. Neka je A ∈ Mn kvadratna matrica,

te neka je A = [Aij ]n,nmatrica algebarskih komplemenata matrice A. Matrica AT zove seadjunkta matrice A.


detAAT .




Definicija. Neka je A ∈ Mn kvadratna matrica, te neka je A = [Aij ]n,nmatrica algebarskih komplemenata matrice A.

Matrica AT zove seadjunkta matrice A.


detAAT .






detAAT .





Teorem.

Neka je A ∈ Mn kvadratna matrica. Ako je A regularna, ondaje A−1 = 1

detAAT .





Teorem. Neka je A ∈ Mn kvadratna matrica.

Ako je A regularna, ondaje A−1 = 1

detAAT .






detAAT .


Inverzna matrica

Zadatak.

Odredi (ako postoji) inverznu matricu matrice

A =[−2 32 −4

].

Rješenje. Vrijedi

detA =∣∣∣∣ −2 32 −4

∣∣∣∣ = 8− 6 = 2,Imamo

A11 = (−1)2 |−4| = − 4, A12 = (−1)3 |2| = − 2,A21 = (−1)3 |3| = − 3, A22 = (−1)4 |−2| = − 2.

Sada je

A−1 =12

[−4 −2−3 −2

]T=12

[−4 −3−2 −2

]=

[−2 − 32−1 −1

].


Inverzna matrica

Zadatak. Odredi (ako postoji) inverznu matricu matrice

A =[−2 32 −4

].

Rješenje. Vrijedi

detA =∣∣∣∣ −2 32 −4

∣∣∣∣ = 8− 6 = 2,Imamo

A11 = (−1)2 |−4| = − 4, A12 = (−1)3 |2| = − 2,A21 = (−1)3 |3| = − 3, A22 = (−1)4 |−2| = − 2.

Sada je

A−1 =12

[−4 −2−3 −2

]T=12

[−4 −3−2 −2

]=

[−2 − 32−1 −1

].


Inverzna matrica


A =[−2 32 −4

].

Rješenje. Vrijedi

detA =

∣∣∣∣ −2 32 −4

∣∣∣∣ = 8− 6 = 2,Imamo

A11 = (−1)2 |−4| = − 4, A12 = (−1)3 |2| = − 2,A21 = (−1)3 |3| = − 3, A22 = (−1)4 |−2| = − 2.

Sada je

A−1 =12

[−4 −2−3 −2

]T=12

[−4 −3−2 −2

]=

[−2 − 32−1 −1

].


Inverzna matrica


A =[−2 32 −4

].

Rješenje. Vrijedi

detA =∣∣∣∣ −2 32 −4

∣∣∣∣ =

8− 6 = 2,

Imamo

A11 = (−1)2 |−4| = − 4, A12 = (−1)3 |2| = − 2,A21 = (−1)3 |3| = − 3, A22 = (−1)4 |−2| = − 2.

Sada je

A−1 =12

[−4 −2−3 −2

]T=12

[−4 −3−2 −2

]=

[−2 − 32−1 −1

].


Inverzna matrica


A =[−2 32 −4

].

Rješenje. Vrijedi

detA =∣∣∣∣ −2 32 −4

∣∣∣∣ = 8− 6 =

2,

Imamo

A11 = (−1)2 |−4| = − 4, A12 = (−1)3 |2| = − 2,A21 = (−1)3 |3| = − 3, A22 = (−1)4 |−2| = − 2.

Sada je

A−1 =12

[−4 −2−3 −2

]T=12

[−4 −3−2 −2

]=

[−2 − 32−1 −1

].


Inverzna matrica


A =[−2 32 −4

].

Rješenje. Vrijedi

detA =∣∣∣∣ −2 32 −4

∣∣∣∣ = 8− 6 = 2,

Imamo

A11 = (−1)2 |−4| = − 4, A12 = (−1)3 |2| = − 2,A21 = (−1)3 |3| = − 3, A22 = (−1)4 |−2| = − 2.

Sada je

A−1 =12

[−4 −2−3 −2

]T=12

[−4 −3−2 −2

]=

[−2 − 32−1 −1

].


Inverzna matrica


A =[−2 32 −4

].

Rješenje. Vrijedi

detA =∣∣∣∣ −2 32 −4

∣∣∣∣ = 8− 6 = 2,Imamo

A11 =

(−1)2 |−4| = − 4, A12 = (−1)3 |2| = − 2,A21 = (−1)3 |3| = − 3, A22 = (−1)4 |−2| = − 2.

Sada je

A−1 =12

[−4 −2−3 −2

]T=12

[−4 −3−2 −2

]=

[−2 − 32−1 −1

].


Inverzna matrica


A =[−2 32 −4

].

Rješenje. Vrijedi

detA =∣∣∣∣ −2 32 −4

∣∣∣∣ = 8− 6 = 2,Imamo

A11 = (−1)2 |−4| =

− 4, A12 = (−1)3 |2| = − 2,A21 = (−1)3 |3| = − 3, A22 = (−1)4 |−2| = − 2.

Sada je

A−1 =12

[−4 −2−3 −2

]T=12

[−4 −3−2 −2

]=

[−2 − 32−1 −1

].


Inverzna matrica


A =[−2 32 −4

].

Rješenje. Vrijedi

detA =∣∣∣∣ −2 32 −4

∣∣∣∣ = 8− 6 = 2,Imamo

A11 = (−1)2 |−4| = − 4,

A12 = (−1)3 |2| = − 2,A21 = (−1)3 |3| = − 3, A22 = (−1)4 |−2| = − 2.

Sada je

A−1 =12

[−4 −2−3 −2

]T=12

[−4 −3−2 −2

]=

[−2 − 32−1 −1

].


Inverzna matrica


A =[−2 32 −4

].

Rješenje. Vrijedi

detA =∣∣∣∣ −2 32 −4

∣∣∣∣ = 8− 6 = 2,Imamo

A11 = (−1)2 |−4| = − 4, A12 =

(−1)3 |2| = − 2,A21 = (−1)3 |3| = − 3, A22 = (−1)4 |−2| = − 2.

Sada je

A−1 =12

[−4 −2−3 −2

]T=12

[−4 −3−2 −2

]=

[−2 − 32−1 −1

].


Inverzna matrica


A =[−2 32 −4

].

Rješenje. Vrijedi

detA =∣∣∣∣ −2 32 −4

∣∣∣∣ = 8− 6 = 2,Imamo

A11 = (−1)2 |−4| = − 4, A12 = (−1)3 |2| =

− 2,A21 = (−1)3 |3| = − 3, A22 = (−1)4 |−2| = − 2.

Sada je

A−1 =12

[−4 −2−3 −2

]T=12

[−4 −3−2 −2

]=

[−2 − 32−1 −1

].


Inverzna matrica


A =[−2 32 −4

].

Rješenje. Vrijedi

detA =∣∣∣∣ −2 32 −4

∣∣∣∣ = 8− 6 = 2,Imamo

A11 = (−1)2 |−4| = − 4, A12 = (−1)3 |2| = − 2,

A21 = (−1)3 |3| = − 3, A22 = (−1)4 |−2| = − 2.Sada je

A−1 =12

[−4 −2−3 −2

]T=12

[−4 −3−2 −2

]=

[−2 − 32−1 −1

].


Inverzna matrica


A =[−2 32 −4

].

Rješenje. Vrijedi

detA =∣∣∣∣ −2 32 −4

∣∣∣∣ = 8− 6 = 2,Imamo

A11 = (−1)2 |−4| = − 4, A12 = (−1)3 |2| = − 2,A21 =

(−1)3 |3| = − 3, A22 = (−1)4 |−2| = − 2.Sada je

A−1 =12

[−4 −2−3 −2

]T=12

[−4 −3−2 −2

]=

[−2 − 32−1 −1

].


Inverzna matrica


A =[−2 32 −4

].

Rješenje. Vrijedi

detA =∣∣∣∣ −2 32 −4

∣∣∣∣ = 8− 6 = 2,Imamo

A11 = (−1)2 |−4| = − 4, A12 = (−1)3 |2| = − 2,A21 = (−1)3 |3| =

− 3, A22 = (−1)4 |−2| = − 2.Sada je

A−1 =12

[−4 −2−3 −2

]T=12

[−4 −3−2 −2

]=

[−2 − 32−1 −1

].


Inverzna matrica


A =[−2 32 −4

].

Rješenje. Vrijedi

detA =∣∣∣∣ −2 32 −4

∣∣∣∣ = 8− 6 = 2,Imamo

A11 = (−1)2 |−4| = − 4, A12 = (−1)3 |2| = − 2,A21 = (−1)3 |3| = − 3,

A22 = (−1)4 |−2| = − 2.Sada je

A−1 =12

[−4 −2−3 −2

]T=12

[−4 −3−2 −2

]=

[−2 − 32−1 −1

].


Inverzna matrica


A =[−2 32 −4

].

Rješenje. Vrijedi

detA =∣∣∣∣ −2 32 −4

∣∣∣∣ = 8− 6 = 2,Imamo

A11 = (−1)2 |−4| = − 4, A12 = (−1)3 |2| = − 2,A21 = (−1)3 |3| = − 3, A22 =

(−1)4 |−2| = − 2.Sada je

A−1 =12

[−4 −2−3 −2

]T=12

[−4 −3−2 −2

]=

[−2 − 32−1 −1

].


Inverzna matrica


A =[−2 32 −4

].

Rješenje. Vrijedi

detA =∣∣∣∣ −2 32 −4

∣∣∣∣ = 8− 6 = 2,Imamo

A11 = (−1)2 |−4| = − 4, A12 = (−1)3 |2| = − 2,A21 = (−1)3 |3| = − 3, A22 = (−1)4 |−2| =

− 2.Sada je

A−1 =12

[−4 −2−3 −2

]T=12

[−4 −3−2 −2

]=

[−2 − 32−1 −1

].


Inverzna matrica


A =[−2 32 −4

].

Rješenje. Vrijedi

detA =∣∣∣∣ −2 32 −4

∣∣∣∣ = 8− 6 = 2,Imamo

A11 = (−1)2 |−4| = − 4, A12 = (−1)3 |2| = − 2,A21 = (−1)3 |3| = − 3, A22 = (−1)4 |−2| = − 2.

Sada je

A−1 =12

[−4 −2−3 −2

]T=12

[−4 −3−2 −2

]=

[−2 − 32−1 −1

].


Inverzna matrica


A =[−2 32 −4

].

Rješenje. Vrijedi

detA =∣∣∣∣ −2 32 −4

∣∣∣∣ = 8− 6 = 2,Imamo

A11 = (−1)2 |−4| = − 4, A12 = (−1)3 |2| = − 2,A21 = (−1)3 |3| = − 3, A22 = (−1)4 |−2| = − 2.

Sada je

A−1 =

12

[−4 −2−3 −2

]T=12

[−4 −3−2 −2

]=

[−2 − 32−1 −1

].


Inverzna matrica


A =[−2 32 −4

].

Rješenje. Vrijedi

detA =∣∣∣∣ −2 32 −4

∣∣∣∣ = 8− 6 = 2,Imamo

A11 = (−1)2 |−4| = − 4, A12 = (−1)3 |2| = − 2,A21 = (−1)3 |3| = − 3, A22 = (−1)4 |−2| = − 2.

Sada je

A−1 =12

[−4 −2−3 −2

]T=

12

[−4 −3−2 −2

]=

[−2 − 32−1 −1

].


Inverzna matrica


A =[−2 32 −4

].

Rješenje. Vrijedi

detA =∣∣∣∣ −2 32 −4

∣∣∣∣ = 8− 6 = 2,Imamo

A11 = (−1)2 |−4| = − 4, A12 = (−1)3 |2| = − 2,A21 = (−1)3 |3| = − 3, A22 = (−1)4 |−2| = − 2.

Sada je

A−1 =12

[−4 −2−3 −2

]T=12

[−4 −3−2 −2

]=

[−2 − 32−1 −1

].


Inverzna matrica


A =[−2 32 −4

].

Rješenje. Vrijedi

detA =∣∣∣∣ −2 32 −4

∣∣∣∣ = 8− 6 = 2,Imamo

A11 = (−1)2 |−4| = − 4, A12 = (−1)3 |2| = − 2,A21 = (−1)3 |3| = − 3, A22 = (−1)4 |−2| = − 2.

Sada je

A−1 =12

[−4 −2−3 −2

]T=12

[−4 −3−2 −2

]=

[−2 − 32−1 −1

].


Inverzna matrica

Zadatak.

Odredi (ako postoji) inverznu matricu matrice

A =

2 1 −30 −1 45 1 2

.Rješenje. Obzirom da je

detA =

∣∣∣∣∣∣2 1 −30 −1 45 1 2

∣∣∣∣∣∣ = 2 · (−1)2∣∣∣∣ −1 41 2

∣∣∣∣++5 · (−1)4

∣∣∣∣ 1 −3−1 4

∣∣∣∣ == 2 (−2− 4) + 5 (4− 3) = − 7 6= 0

Postoji A−1!


Inverzna matrica


A =

2 1 −30 −1 45 1 2

.

Rješenje. Obzirom da je

detA =

∣∣∣∣∣∣2 1 −30 −1 45 1 2

∣∣∣∣∣∣ = 2 · (−1)2∣∣∣∣ −1 41 2

∣∣∣∣++5 · (−1)4

∣∣∣∣ 1 −3−1 4

∣∣∣∣ == 2 (−2− 4) + 5 (4− 3) = − 7 6= 0

Postoji A−1!


Inverzna matrica


A =

2 1 −30 −1 45 1 2

.Rješenje.

Obzirom da je

detA =

∣∣∣∣∣∣2 1 −30 −1 45 1 2

∣∣∣∣∣∣ = 2 · (−1)2∣∣∣∣ −1 41 2

∣∣∣∣++5 · (−1)4

∣∣∣∣ 1 −3−1 4

∣∣∣∣ == 2 (−2− 4) + 5 (4− 3) = − 7 6= 0

Postoji A−1!


Inverzna matrica


A =

2 1 −30 −1 45 1 2


detA =

∣∣∣∣∣∣2 1 −30 −1 45 1 2

∣∣∣∣∣∣ = 2 · (−1)2∣∣∣∣ −1 41 2

∣∣∣∣++5 · (−1)4

∣∣∣∣ 1 −3−1 4

∣∣∣∣ == 2 (−2− 4) + 5 (4− 3) = − 7 6= 0

Postoji A−1!


Inverzna matrica


A =

2 1 −30 −1 45 1 2


detA =

∣∣∣∣∣∣2 1 −30 −1 45 1 2

∣∣∣∣∣∣ =

2 · (−1)2∣∣∣∣ −1 41 2

∣∣∣∣++5 · (−1)4

∣∣∣∣ 1 −3−1 4

∣∣∣∣ == 2 (−2− 4) + 5 (4− 3) = − 7 6= 0

Postoji A−1!


Inverzna matrica


A =

2 1 −30 −1 45 1 2


detA =

∣∣∣∣∣∣2 1 −30 −1 45 1 2

∣∣∣∣∣∣ = 2 · (−1)2∣∣∣∣ −1 41 2

∣∣∣∣+

+5 · (−1)4∣∣∣∣ 1 −3−1 4

∣∣∣∣ == 2 (−2− 4) + 5 (4− 3) = − 7 6= 0

Postoji A−1!


Inverzna matrica


A =

2 1 −30 −1 45 1 2


detA =

∣∣∣∣∣∣2 1 −30 −1 45 1 2

∣∣∣∣∣∣ = 2 · (−1)2∣∣∣∣ −1 41 2

∣∣∣∣++5 · (−1)4

∣∣∣∣ 1 −3−1 4

∣∣∣∣ =

= 2 (−2− 4) + 5 (4− 3) = − 7 6= 0

Postoji A−1!


Inverzna matrica


A =

2 1 −30 −1 45 1 2


detA =

∣∣∣∣∣∣2 1 −30 −1 45 1 2

∣∣∣∣∣∣ = 2 · (−1)2∣∣∣∣ −1 41 2

∣∣∣∣++5 · (−1)4

∣∣∣∣ 1 −3−1 4

∣∣∣∣ == 2 (−2− 4)

+ 5 (4− 3) = − 7 6= 0

Postoji A−1!


Inverzna matrica


A =

2 1 −30 −1 45 1 2


detA =

∣∣∣∣∣∣2 1 −30 −1 45 1 2

∣∣∣∣∣∣ = 2 · (−1)2∣∣∣∣ −1 41 2

∣∣∣∣++5 · (−1)4

∣∣∣∣ 1 −3−1 4

∣∣∣∣ == 2 (−2− 4) + 5 (4− 3) =

− 7 6= 0

Postoji A−1!


Inverzna matrica


A =

2 1 −30 −1 45 1 2


detA =

∣∣∣∣∣∣2 1 −30 −1 45 1 2

∣∣∣∣∣∣ = 2 · (−1)2∣∣∣∣ −1 41 2

∣∣∣∣++5 · (−1)4

∣∣∣∣ 1 −3−1 4

∣∣∣∣ == 2 (−2− 4) + 5 (4− 3) = − 7 6= 0

Postoji A−1!


Inverzna matrica


A =

2 1 −30 −1 45 1 2


detA =

∣∣∣∣∣∣2 1 −30 −1 45 1 2

∣∣∣∣∣∣ = 2 · (−1)2∣∣∣∣ −1 41 2

∣∣∣∣++5 · (−1)4

∣∣∣∣ 1 −3−1 4

∣∣∣∣ == 2 (−2− 4) + 5 (4− 3) = − 7 6= 0

Postoji A−1!


Inverzna matrica


A =

2 1 −30 −1 45 1 2

.Rješenje. Vrijedi

A11 = (-1)2∣∣∣∣-1 41 2

∣∣∣∣ =-6 A12 = (-1)3∣∣∣∣0 45 2

∣∣∣∣ = 20 A13 = (-1)4∣∣∣∣0 -15 1

∣∣∣∣ = 5A21 = (-1)3

∣∣∣∣1 -31 2

∣∣∣∣ =-5 A22 = (-1)4∣∣∣∣2 -35 2

∣∣∣∣ = 19 A23 = (-1)5∣∣∣∣2 15 1

∣∣∣∣ = 3A31 = (-1)4

∣∣∣∣ 1 -3-1 4

∣∣∣∣ = 1 A32 = (-1)5∣∣∣∣2 -30 4

∣∣∣∣ =-8 A33 = (-1)6∣∣∣∣2 10 -1

∣∣∣∣ =-2


Inverzna matrica


A =

2 1 −30 −1 45 1 2

.Rješenje. Vrijedi

A11 =

(-1)2∣∣∣∣-1 41 2

∣∣∣∣ =-6 A12 = (-1)3∣∣∣∣0 45 2

∣∣∣∣ = 20 A13 = (-1)4∣∣∣∣0 -15 1

∣∣∣∣ = 5A21 = (-1)3

∣∣∣∣1 -31 2

∣∣∣∣ =-5 A22 = (-1)4∣∣∣∣2 -35 2

∣∣∣∣ = 19 A23 = (-1)5∣∣∣∣2 15 1

∣∣∣∣ = 3A31 = (-1)4

∣∣∣∣ 1 -3-1 4

∣∣∣∣ = 1 A32 = (-1)5∣∣∣∣2 -30 4

∣∣∣∣ =-8 A33 = (-1)6∣∣∣∣2 10 -1

∣∣∣∣ =-2


Inverzna matrica


A =

2 1 −30 −1 45 1 2

.Rješenje. Vrijedi

A11 = (-1)2

∣∣∣∣-1 41 2

∣∣∣∣ =-6 A12 = (-1)3∣∣∣∣0 45 2

∣∣∣∣ = 20 A13 = (-1)4∣∣∣∣0 -15 1

∣∣∣∣ = 5A21 = (-1)3

∣∣∣∣1 -31 2

∣∣∣∣ =-5 A22 = (-1)4∣∣∣∣2 -35 2

∣∣∣∣ = 19 A23 = (-1)5∣∣∣∣2 15 1

∣∣∣∣ = 3A31 = (-1)4

∣∣∣∣ 1 -3-1 4

∣∣∣∣ = 1 A32 = (-1)5∣∣∣∣2 -30 4

∣∣∣∣ =-8 A33 = (-1)6∣∣∣∣2 10 -1

∣∣∣∣ =-2


Inverzna matrica


A =

2 1 −30 −1 45 1 2

.Rješenje. Vrijedi

A11 = (-1)2∣∣∣∣-1 41 2

∣∣∣∣ =

-6 A12 = (-1)3∣∣∣∣0 45 2

∣∣∣∣ = 20 A13 = (-1)4∣∣∣∣0 -15 1

∣∣∣∣ = 5A21 = (-1)3

∣∣∣∣1 -31 2

∣∣∣∣ =-5 A22 = (-1)4∣∣∣∣2 -35 2

∣∣∣∣ = 19 A23 = (-1)5∣∣∣∣2 15 1

∣∣∣∣ = 3A31 = (-1)4

∣∣∣∣ 1 -3-1 4

∣∣∣∣ = 1 A32 = (-1)5∣∣∣∣2 -30 4

∣∣∣∣ =-8 A33 = (-1)6∣∣∣∣2 10 -1

∣∣∣∣ =-2


Inverzna matrica


A =

2 1 −30 −1 45 1 2

.Rješenje. Vrijedi

A11 = (-1)2∣∣∣∣-1 41 2

∣∣∣∣ =-6

A12 = (-1)3∣∣∣∣0 45 2

∣∣∣∣ = 20 A13 = (-1)4∣∣∣∣0 -15 1

∣∣∣∣ = 5A21 = (-1)3

∣∣∣∣1 -31 2

∣∣∣∣ =-5 A22 = (-1)4∣∣∣∣2 -35 2

∣∣∣∣ = 19 A23 = (-1)5∣∣∣∣2 15 1

∣∣∣∣ = 3A31 = (-1)4

∣∣∣∣ 1 -3-1 4

∣∣∣∣ = 1 A32 = (-1)5∣∣∣∣2 -30 4

∣∣∣∣ =-8 A33 = (-1)6∣∣∣∣2 10 -1

∣∣∣∣ =-2


Inverzna matrica


A =

2 1 −30 −1 45 1 2

.Rješenje. Vrijedi

A11 = (-1)2∣∣∣∣-1 41 2

∣∣∣∣ =-6 A12 =

(-1)3∣∣∣∣0 45 2

∣∣∣∣ = 20 A13 = (-1)4∣∣∣∣0 -15 1

∣∣∣∣ = 5A21 = (-1)3

∣∣∣∣1 -31 2

∣∣∣∣ =-5 A22 = (-1)4∣∣∣∣2 -35 2

∣∣∣∣ = 19 A23 = (-1)5∣∣∣∣2 15 1

∣∣∣∣ = 3A31 = (-1)4

∣∣∣∣ 1 -3-1 4

∣∣∣∣ = 1 A32 = (-1)5∣∣∣∣2 -30 4

∣∣∣∣ =-8 A33 = (-1)6∣∣∣∣2 10 -1

∣∣∣∣ =-2


Inverzna matrica


A =

2 1 −30 −1 45 1 2

.Rješenje. Vrijedi

A11 = (-1)2∣∣∣∣-1 41 2

∣∣∣∣ =-6 A12 = (-1)3

∣∣∣∣0 45 2∣∣∣∣ = 20 A13 = (-1)4

∣∣∣∣0 -15 1

∣∣∣∣ = 5A21 = (-1)3

∣∣∣∣1 -31 2

∣∣∣∣ =-5 A22 = (-1)4∣∣∣∣2 -35 2

∣∣∣∣ = 19 A23 = (-1)5∣∣∣∣2 15 1

∣∣∣∣ = 3A31 = (-1)4

∣∣∣∣ 1 -3-1 4

∣∣∣∣ = 1 A32 = (-1)5∣∣∣∣2 -30 4

∣∣∣∣ =-8 A33 = (-1)6∣∣∣∣2 10 -1

∣∣∣∣ =-2


Inverzna matrica


A =

2 1 −30 −1 45 1 2

.Rješenje. Vrijedi

A11 = (-1)2∣∣∣∣-1 41 2

∣∣∣∣ =-6 A12 = (-1)3∣∣∣∣0 45 2

∣∣∣∣ =

20 A13 = (-1)4∣∣∣∣0 -15 1

∣∣∣∣ = 5A21 = (-1)3

∣∣∣∣1 -31 2

∣∣∣∣ =-5 A22 = (-1)4∣∣∣∣2 -35 2

∣∣∣∣ = 19 A23 = (-1)5∣∣∣∣2 15 1

∣∣∣∣ = 3A31 = (-1)4

∣∣∣∣ 1 -3-1 4

∣∣∣∣ = 1 A32 = (-1)5∣∣∣∣2 -30 4

∣∣∣∣ =-8 A33 = (-1)6∣∣∣∣2 10 -1

∣∣∣∣ =-2


Inverzna matrica


A =

2 1 −30 −1 45 1 2

.Rješenje. Vrijedi

A11 = (-1)2∣∣∣∣-1 41 2

∣∣∣∣ =-6 A12 = (-1)3∣∣∣∣0 45 2

∣∣∣∣ = 20

A13 = (-1)4∣∣∣∣0 -15 1

∣∣∣∣ = 5A21 = (-1)3

∣∣∣∣1 -31 2

∣∣∣∣ =-5 A22 = (-1)4∣∣∣∣2 -35 2

∣∣∣∣ = 19 A23 = (-1)5∣∣∣∣2 15 1

∣∣∣∣ = 3A31 = (-1)4

∣∣∣∣ 1 -3-1 4

∣∣∣∣ = 1 A32 = (-1)5∣∣∣∣2 -30 4

∣∣∣∣ =-8 A33 = (-1)6∣∣∣∣2 10 -1

∣∣∣∣ =-2


Inverzna matrica


A =

2 1 −30 −1 45 1 2

.Rješenje. Vrijedi

A11 = (-1)2∣∣∣∣-1 41 2

∣∣∣∣ =-6 A12 = (-1)3∣∣∣∣0 45 2

∣∣∣∣ = 20 A13 =

(-1)4∣∣∣∣0 -15 1

∣∣∣∣ = 5A21 = (-1)3

∣∣∣∣1 -31 2

∣∣∣∣ =-5 A22 = (-1)4∣∣∣∣2 -35 2

∣∣∣∣ = 19 A23 = (-1)5∣∣∣∣2 15 1

∣∣∣∣ = 3A31 = (-1)4

∣∣∣∣ 1 -3-1 4

∣∣∣∣ = 1 A32 = (-1)5∣∣∣∣2 -30 4

∣∣∣∣ =-8 A33 = (-1)6∣∣∣∣2 10 -1

∣∣∣∣ =-2


Inverzna matrica


A =

2 1 −30 −1 45 1 2

.Rješenje. Vrijedi

A11 = (-1)2∣∣∣∣-1 41 2

∣∣∣∣ =-6 A12 = (-1)3∣∣∣∣0 45 2

∣∣∣∣ = 20 A13 = (-1)4

∣∣∣∣0 -15 1

∣∣∣∣ = 5A21 = (-1)3

∣∣∣∣1 -31 2

∣∣∣∣ =-5 A22 = (-1)4∣∣∣∣2 -35 2

∣∣∣∣ = 19 A23 = (-1)5∣∣∣∣2 15 1

∣∣∣∣ = 3A31 = (-1)4

∣∣∣∣ 1 -3-1 4

∣∣∣∣ = 1 A32 = (-1)5∣∣∣∣2 -30 4

∣∣∣∣ =-8 A33 = (-1)6∣∣∣∣2 10 -1

∣∣∣∣ =-2


Inverzna matrica


A =

2 1 −30 −1 45 1 2

.Rješenje. Vrijedi

A11 = (-1)2∣∣∣∣-1 41 2

∣∣∣∣ =-6 A12 = (-1)3∣∣∣∣0 45 2

∣∣∣∣ = 20 A13 = (-1)4∣∣∣∣0 -15 1

∣∣∣∣ =

5

A21 = (-1)3∣∣∣∣1 -31 2

∣∣∣∣ =-5 A22 = (-1)4∣∣∣∣2 -35 2

∣∣∣∣ = 19 A23 = (-1)5∣∣∣∣2 15 1

∣∣∣∣ = 3A31 = (-1)4

∣∣∣∣ 1 -3-1 4

∣∣∣∣ = 1 A32 = (-1)5∣∣∣∣2 -30 4

∣∣∣∣ =-8 A33 = (-1)6∣∣∣∣2 10 -1

∣∣∣∣ =-2


Inverzna matrica


A =

2 1 −30 −1 45 1 2

.Rješenje. Vrijedi

A11 = (-1)2∣∣∣∣-1 41 2

∣∣∣∣ =-6 A12 = (-1)3∣∣∣∣0 45 2

∣∣∣∣ = 20 A13 = (-1)4∣∣∣∣0 -15 1

∣∣∣∣ = 5

A21 = (-1)3∣∣∣∣1 -31 2

∣∣∣∣ =-5 A22 = (-1)4∣∣∣∣2 -35 2

∣∣∣∣ = 19 A23 = (-1)5∣∣∣∣2 15 1

∣∣∣∣ = 3A31 = (-1)4

∣∣∣∣ 1 -3-1 4

∣∣∣∣ = 1 A32 = (-1)5∣∣∣∣2 -30 4

∣∣∣∣ =-8 A33 = (-1)6∣∣∣∣2 10 -1

∣∣∣∣ =-2


Inverzna matrica


A =

2 1 −30 −1 45 1 2

.Rješenje. Vrijedi

A11 = (-1)2∣∣∣∣-1 41 2

∣∣∣∣ =-6 A12 = (-1)3∣∣∣∣0 45 2

∣∣∣∣ = 20 A13 = (-1)4∣∣∣∣0 -15 1

∣∣∣∣ = 5A21 =

(-1)3∣∣∣∣1 -31 2

∣∣∣∣ =-5 A22 = (-1)4∣∣∣∣2 -35 2

∣∣∣∣ = 19 A23 = (-1)5∣∣∣∣2 15 1

∣∣∣∣ = 3A31 = (-1)4

∣∣∣∣ 1 -3-1 4

∣∣∣∣ = 1 A32 = (-1)5∣∣∣∣2 -30 4

∣∣∣∣ =-8 A33 = (-1)6∣∣∣∣2 10 -1

∣∣∣∣ =-2


Inverzna matrica


A =

2 1 −30 −1 45 1 2

.Rješenje. Vrijedi

A11 = (-1)2∣∣∣∣-1 41 2

∣∣∣∣ =-6 A12 = (-1)3∣∣∣∣0 45 2

∣∣∣∣ = 20 A13 = (-1)4∣∣∣∣0 -15 1

∣∣∣∣ = 5A21 = (-1)3

∣∣∣∣1 -31 2

∣∣∣∣ =-5 A22 = (-1)4∣∣∣∣2 -35 2

∣∣∣∣ = 19 A23 = (-1)5∣∣∣∣2 15 1

∣∣∣∣ = 3A31 = (-1)4

∣∣∣∣ 1 -3-1 4

∣∣∣∣ = 1 A32 = (-1)5∣∣∣∣2 -30 4

∣∣∣∣ =-8 A33 = (-1)6∣∣∣∣2 10 -1

∣∣∣∣ =-2


Inverzna matrica


A =

2 1 −30 −1 45 1 2

.Rješenje. Vrijedi

A11 = (-1)2∣∣∣∣-1 41 2

∣∣∣∣ =-6 A12 = (-1)3∣∣∣∣0 45 2

∣∣∣∣ = 20 A13 = (-1)4∣∣∣∣0 -15 1

∣∣∣∣ = 5A21 = (-1)3

∣∣∣∣1 -31 2

∣∣∣∣ =

-5 A22 = (-1)4∣∣∣∣2 -35 2

∣∣∣∣ = 19 A23 = (-1)5∣∣∣∣2 15 1

∣∣∣∣ = 3A31 = (-1)4

∣∣∣∣ 1 -3-1 4

∣∣∣∣ = 1 A32 = (-1)5∣∣∣∣2 -30 4

∣∣∣∣ =-8 A33 = (-1)6∣∣∣∣2 10 -1

∣∣∣∣ =-2


Inverzna matrica


A =

2 1 −30 −1 45 1 2

.Rješenje. Vrijedi

A11 = (-1)2∣∣∣∣-1 41 2

∣∣∣∣ =-6 A12 = (-1)3∣∣∣∣0 45 2

∣∣∣∣ = 20 A13 = (-1)4∣∣∣∣0 -15 1

∣∣∣∣ = 5A21 = (-1)3

∣∣∣∣1 -31 2

∣∣∣∣ =-5

A22 = (-1)4∣∣∣∣2 -35 2

∣∣∣∣ = 19 A23 = (-1)5∣∣∣∣2 15 1

∣∣∣∣ = 3A31 = (-1)4

∣∣∣∣ 1 -3-1 4

∣∣∣∣ = 1 A32 = (-1)5∣∣∣∣2 -30 4

∣∣∣∣ =-8 A33 = (-1)6∣∣∣∣2 10 -1

∣∣∣∣ =-2


Inverzna matrica


A =

2 1 −30 −1 45 1 2

.Rješenje. Vrijedi

A11 = (-1)2∣∣∣∣-1 41 2

∣∣∣∣ =-6 A12 = (-1)3∣∣∣∣0 45 2

∣∣∣∣ = 20 A13 = (-1)4∣∣∣∣0 -15 1

∣∣∣∣ = 5A21 = (-1)3

∣∣∣∣1 -31 2

∣∣∣∣ =-5 A22 =

(-1)4∣∣∣∣2 -35 2

∣∣∣∣ = 19 A23 = (-1)5∣∣∣∣2 15 1

∣∣∣∣ = 3A31 = (-1)4

∣∣∣∣ 1 -3-1 4

∣∣∣∣ = 1 A32 = (-1)5∣∣∣∣2 -30 4

∣∣∣∣ =-8 A33 = (-1)6∣∣∣∣2 10 -1

∣∣∣∣ =-2


Inverzna matrica


A =

2 1 −30 −1 45 1 2

.Rješenje. Vrijedi

A11 = (-1)2∣∣∣∣-1 41 2

∣∣∣∣ =-6 A12 = (-1)3∣∣∣∣0 45 2

∣∣∣∣ = 20 A13 = (-1)4∣∣∣∣0 -15 1

∣∣∣∣ = 5A21 = (-1)3

∣∣∣∣1 -31 2

∣∣∣∣ =-5 A22 = (-1)4

∣∣∣∣2 -35 2

∣∣∣∣ = 19 A23 = (-1)5∣∣∣∣2 15 1

∣∣∣∣ = 3A31 = (-1)4

∣∣∣∣ 1 -3-1 4

∣∣∣∣ = 1 A32 = (-1)5∣∣∣∣2 -30 4

∣∣∣∣ =-8 A33 = (-1)6∣∣∣∣2 10 -1

∣∣∣∣ =-2


Inverzna matrica


A =

2 1 −30 −1 45 1 2

.Rješenje. Vrijedi

A11 = (-1)2∣∣∣∣-1 41 2

∣∣∣∣ =-6 A12 = (-1)3∣∣∣∣0 45 2

∣∣∣∣ = 20 A13 = (-1)4∣∣∣∣0 -15 1

∣∣∣∣ = 5A21 = (-1)3

∣∣∣∣1 -31 2

∣∣∣∣ =-5 A22 = (-1)4∣∣∣∣2 -35 2

∣∣∣∣ =

19 A23 = (-1)5∣∣∣∣2 15 1

∣∣∣∣ = 3A31 = (-1)4

∣∣∣∣ 1 -3-1 4

∣∣∣∣ = 1 A32 = (-1)5∣∣∣∣2 -30 4

∣∣∣∣ =-8 A33 = (-1)6∣∣∣∣2 10 -1

∣∣∣∣ =-2


Inverzna matrica


A =

2 1 −30 −1 45 1 2

.Rješenje. Vrijedi

A11 = (-1)2∣∣∣∣-1 41 2

∣∣∣∣ =-6 A12 = (-1)3∣∣∣∣0 45 2

∣∣∣∣ = 20 A13 = (-1)4∣∣∣∣0 -15 1

∣∣∣∣ = 5A21 = (-1)3

∣∣∣∣1 -31 2

∣∣∣∣ =-5 A22 = (-1)4∣∣∣∣2 -35 2

∣∣∣∣ = 19

A23 = (-1)5∣∣∣∣2 15 1

∣∣∣∣ = 3A31 = (-1)4

∣∣∣∣ 1 -3-1 4

∣∣∣∣ = 1 A32 = (-1)5∣∣∣∣2 -30 4

∣∣∣∣ =-8 A33 = (-1)6∣∣∣∣2 10 -1

∣∣∣∣ =-2


Inverzna matrica


A =

2 1 −30 −1 45 1 2

.Rješenje. Vrijedi

A11 = (-1)2∣∣∣∣-1 41 2

∣∣∣∣ =-6 A12 = (-1)3∣∣∣∣0 45 2

∣∣∣∣ = 20 A13 = (-1)4∣∣∣∣0 -15 1

∣∣∣∣ = 5A21 = (-1)3

∣∣∣∣1 -31 2

∣∣∣∣ =-5 A22 = (-1)4∣∣∣∣2 -35 2

∣∣∣∣ = 19 A23 =

(-1)5∣∣∣∣2 15 1

∣∣∣∣ = 3A31 = (-1)4

∣∣∣∣ 1 -3-1 4

∣∣∣∣ = 1 A32 = (-1)5∣∣∣∣2 -30 4

∣∣∣∣ =-8 A33 = (-1)6∣∣∣∣2 10 -1

∣∣∣∣ =-2


Inverzna matrica


A =

2 1 −30 −1 45 1 2

.Rješenje. Vrijedi

A11 = (-1)2∣∣∣∣-1 41 2

∣∣∣∣ =-6 A12 = (-1)3∣∣∣∣0 45 2

∣∣∣∣ = 20 A13 = (-1)4∣∣∣∣0 -15 1

∣∣∣∣ = 5A21 = (-1)3

∣∣∣∣1 -31 2

∣∣∣∣ =-5 A22 = (-1)4∣∣∣∣2 -35 2

∣∣∣∣ = 19 A23 = (-1)5

∣∣∣∣2 15 1∣∣∣∣ = 3

A31 = (-1)4∣∣∣∣ 1 -3-1 4

∣∣∣∣ = 1 A32 = (-1)5∣∣∣∣2 -30 4

∣∣∣∣ =-8 A33 = (-1)6∣∣∣∣2 10 -1

∣∣∣∣ =-2


Inverzna matrica


A =

2 1 −30 −1 45 1 2

.Rješenje. Vrijedi

A11 = (-1)2∣∣∣∣-1 41 2

∣∣∣∣ =-6 A12 = (-1)3∣∣∣∣0 45 2

∣∣∣∣ = 20 A13 = (-1)4∣∣∣∣0 -15 1

∣∣∣∣ = 5A21 = (-1)3

∣∣∣∣1 -31 2

∣∣∣∣ =-5 A22 = (-1)4∣∣∣∣2 -35 2

∣∣∣∣ = 19 A23 = (-1)5∣∣∣∣2 15 1

∣∣∣∣ =

3

A31 = (-1)4∣∣∣∣ 1 -3-1 4

∣∣∣∣ = 1 A32 = (-1)5∣∣∣∣2 -30 4

∣∣∣∣ =-8 A33 = (-1)6∣∣∣∣2 10 -1

∣∣∣∣ =-2


Inverzna matrica


A =

2 1 −30 −1 45 1 2

.Rješenje. Vrijedi

A11 = (-1)2∣∣∣∣-1 41 2

∣∣∣∣ =-6 A12 = (-1)3∣∣∣∣0 45 2

∣∣∣∣ = 20 A13 = (-1)4∣∣∣∣0 -15 1

∣∣∣∣ = 5A21 = (-1)3

∣∣∣∣1 -31 2

∣∣∣∣ =-5 A22 = (-1)4∣∣∣∣2 -35 2

∣∣∣∣ = 19 A23 = (-1)5∣∣∣∣2 15 1

∣∣∣∣ = 3

A31 = (-1)4∣∣∣∣ 1 -3-1 4

∣∣∣∣ = 1 A32 = (-1)5∣∣∣∣2 -30 4

∣∣∣∣ =-8 A33 = (-1)6∣∣∣∣2 10 -1

∣∣∣∣ =-2


Inverzna matrica


A =

2 1 −30 −1 45 1 2

.Rješenje. Vrijedi

A11 = (-1)2∣∣∣∣-1 41 2

∣∣∣∣ =-6 A12 = (-1)3∣∣∣∣0 45 2

∣∣∣∣ = 20 A13 = (-1)4∣∣∣∣0 -15 1

∣∣∣∣ = 5A21 = (-1)3

∣∣∣∣1 -31 2

∣∣∣∣ =-5 A22 = (-1)4∣∣∣∣2 -35 2

∣∣∣∣ = 19 A23 = (-1)5∣∣∣∣2 15 1

∣∣∣∣ = 3A31 =

(-1)4∣∣∣∣ 1 -3-1 4

∣∣∣∣ = 1 A32 = (-1)5∣∣∣∣2 -30 4

∣∣∣∣ =-8 A33 = (-1)6∣∣∣∣2 10 -1

∣∣∣∣ =-2


Inverzna matrica


A =

2 1 −30 −1 45 1 2

.Rješenje. Vrijedi

A11 = (-1)2∣∣∣∣-1 41 2

∣∣∣∣ =-6 A12 = (-1)3∣∣∣∣0 45 2

∣∣∣∣ = 20 A13 = (-1)4∣∣∣∣0 -15 1

∣∣∣∣ = 5A21 = (-1)3

∣∣∣∣1 -31 2

∣∣∣∣ =-5 A22 = (-1)4∣∣∣∣2 -35 2

∣∣∣∣ = 19 A23 = (-1)5∣∣∣∣2 15 1

∣∣∣∣ = 3A31 = (-1)4

∣∣∣∣ 1 -3-1 4

∣∣∣∣ = 1 A32 = (-1)5∣∣∣∣2 -30 4

∣∣∣∣ =-8 A33 = (-1)6∣∣∣∣2 10 -1

∣∣∣∣ =-2


Inverzna matrica


A =

2 1 −30 −1 45 1 2

.Rješenje. Vrijedi

A11 = (-1)2∣∣∣∣-1 41 2

∣∣∣∣ =-6 A12 = (-1)3∣∣∣∣0 45 2

∣∣∣∣ = 20 A13 = (-1)4∣∣∣∣0 -15 1

∣∣∣∣ = 5A21 = (-1)3

∣∣∣∣1 -31 2

∣∣∣∣ =-5 A22 = (-1)4∣∣∣∣2 -35 2

∣∣∣∣ = 19 A23 = (-1)5∣∣∣∣2 15 1

∣∣∣∣ = 3A31 = (-1)4

∣∣∣∣ 1 -3-1 4

∣∣∣∣ =

1 A32 = (-1)5∣∣∣∣2 -30 4

∣∣∣∣ =-8 A33 = (-1)6∣∣∣∣2 10 -1

∣∣∣∣ =-2


Inverzna matrica


A =

2 1 −30 −1 45 1 2

.Rješenje. Vrijedi

A11 = (-1)2∣∣∣∣-1 41 2

∣∣∣∣ =-6 A12 = (-1)3∣∣∣∣0 45 2

∣∣∣∣ = 20 A13 = (-1)4∣∣∣∣0 -15 1

∣∣∣∣ = 5A21 = (-1)3

∣∣∣∣1 -31 2

∣∣∣∣ =-5 A22 = (-1)4∣∣∣∣2 -35 2

∣∣∣∣ = 19 A23 = (-1)5∣∣∣∣2 15 1

∣∣∣∣ = 3A31 = (-1)4

∣∣∣∣ 1 -3-1 4

∣∣∣∣ = 1

A32 = (-1)5∣∣∣∣2 -30 4

∣∣∣∣ =-8 A33 = (-1)6∣∣∣∣2 10 -1

∣∣∣∣ =-2


Inverzna matrica


A =

2 1 −30 −1 45 1 2

.Rješenje. Vrijedi

A11 = (-1)2∣∣∣∣-1 41 2

∣∣∣∣ =-6 A12 = (-1)3∣∣∣∣0 45 2

∣∣∣∣ = 20 A13 = (-1)4∣∣∣∣0 -15 1

∣∣∣∣ = 5A21 = (-1)3

∣∣∣∣1 -31 2

∣∣∣∣ =-5 A22 = (-1)4∣∣∣∣2 -35 2

∣∣∣∣ = 19 A23 = (-1)5∣∣∣∣2 15 1

∣∣∣∣ = 3A31 = (-1)4

∣∣∣∣ 1 -3-1 4

∣∣∣∣ = 1 A32 =

(-1)5∣∣∣∣2 -30 4

∣∣∣∣ =-8 A33 = (-1)6∣∣∣∣2 10 -1

∣∣∣∣ =-2


Inverzna matrica


A =

2 1 −30 −1 45 1 2

.Rješenje. Vrijedi

A11 = (-1)2∣∣∣∣-1 41 2

∣∣∣∣ =-6 A12 = (-1)3∣∣∣∣0 45 2

∣∣∣∣ = 20 A13 = (-1)4∣∣∣∣0 -15 1

∣∣∣∣ = 5A21 = (-1)3

∣∣∣∣1 -31 2

∣∣∣∣ =-5 A22 = (-1)4∣∣∣∣2 -35 2

∣∣∣∣ = 19 A23 = (-1)5∣∣∣∣2 15 1

∣∣∣∣ = 3A31 = (-1)4

∣∣∣∣ 1 -3-1 4

∣∣∣∣ = 1 A32 = (-1)5

∣∣∣∣2 -30 4

∣∣∣∣ =-8 A33 = (-1)6∣∣∣∣2 10 -1

∣∣∣∣ =-2


Inverzna matrica


A =

2 1 −30 −1 45 1 2

.Rješenje. Vrijedi

A11 = (-1)2∣∣∣∣-1 41 2

∣∣∣∣ =-6 A12 = (-1)3∣∣∣∣0 45 2

∣∣∣∣ = 20 A13 = (-1)4∣∣∣∣0 -15 1

∣∣∣∣ = 5A21 = (-1)3

∣∣∣∣1 -31 2

∣∣∣∣ =-5 A22 = (-1)4∣∣∣∣2 -35 2

∣∣∣∣ = 19 A23 = (-1)5∣∣∣∣2 15 1

∣∣∣∣ = 3A31 = (-1)4

∣∣∣∣ 1 -3-1 4

∣∣∣∣ = 1 A32 = (-1)5∣∣∣∣2 -30 4

∣∣∣∣ =

-8 A33 = (-1)6∣∣∣∣2 10 -1

∣∣∣∣ =-2


Inverzna matrica


A =

2 1 −30 −1 45 1 2

.Rješenje. Vrijedi

A11 = (-1)2∣∣∣∣-1 41 2

∣∣∣∣ =-6 A12 = (-1)3∣∣∣∣0 45 2

∣∣∣∣ = 20 A13 = (-1)4∣∣∣∣0 -15 1

∣∣∣∣ = 5A21 = (-1)3

∣∣∣∣1 -31 2

∣∣∣∣ =-5 A22 = (-1)4∣∣∣∣2 -35 2

∣∣∣∣ = 19 A23 = (-1)5∣∣∣∣2 15 1

∣∣∣∣ = 3A31 = (-1)4

∣∣∣∣ 1 -3-1 4

∣∣∣∣ = 1 A32 = (-1)5∣∣∣∣2 -30 4

∣∣∣∣ =-8

A33 = (-1)6∣∣∣∣2 10 -1

∣∣∣∣ =-2


Inverzna matrica


A =

2 1 −30 −1 45 1 2

.Rješenje. Vrijedi

A11 = (-1)2∣∣∣∣-1 41 2

∣∣∣∣ =-6 A12 = (-1)3∣∣∣∣0 45 2

∣∣∣∣ = 20 A13 = (-1)4∣∣∣∣0 -15 1

∣∣∣∣ = 5A21 = (-1)3

∣∣∣∣1 -31 2

∣∣∣∣ =-5 A22 = (-1)4∣∣∣∣2 -35 2

∣∣∣∣ = 19 A23 = (-1)5∣∣∣∣2 15 1

∣∣∣∣ = 3A31 = (-1)4

∣∣∣∣ 1 -3-1 4

∣∣∣∣ = 1 A32 = (-1)5∣∣∣∣2 -30 4

∣∣∣∣ =-8 A33 =

(-1)6∣∣∣∣2 10 -1

∣∣∣∣ =-2


Inverzna matrica


A =

2 1 −30 −1 45 1 2

.Rješenje. Vrijedi

A11 = (-1)2∣∣∣∣-1 41 2

∣∣∣∣ =-6 A12 = (-1)3∣∣∣∣0 45 2

∣∣∣∣ = 20 A13 = (-1)4∣∣∣∣0 -15 1

∣∣∣∣ = 5A21 = (-1)3

∣∣∣∣1 -31 2

∣∣∣∣ =-5 A22 = (-1)4∣∣∣∣2 -35 2

∣∣∣∣ = 19 A23 = (-1)5∣∣∣∣2 15 1

∣∣∣∣ = 3A31 = (-1)4

∣∣∣∣ 1 -3-1 4

∣∣∣∣ = 1 A32 = (-1)5∣∣∣∣2 -30 4

∣∣∣∣ =-8 A33 = (-1)6

∣∣∣∣2 10 -1

∣∣∣∣ =-2


Inverzna matrica


A =

2 1 −30 −1 45 1 2

.Rješenje. Vrijedi

A11 = (-1)2∣∣∣∣-1 41 2

∣∣∣∣ =-6 A12 = (-1)3∣∣∣∣0 45 2

∣∣∣∣ = 20 A13 = (-1)4∣∣∣∣0 -15 1

∣∣∣∣ = 5A21 = (-1)3

∣∣∣∣1 -31 2

∣∣∣∣ =-5 A22 = (-1)4∣∣∣∣2 -35 2

∣∣∣∣ = 19 A23 = (-1)5∣∣∣∣2 15 1

∣∣∣∣ = 3A31 = (-1)4

∣∣∣∣ 1 -3-1 4

∣∣∣∣ = 1 A32 = (-1)5∣∣∣∣2 -30 4

∣∣∣∣ =-8 A33 = (-1)6∣∣∣∣2 10 -1

∣∣∣∣ =

-2


Inverzna matrica


A =

2 1 −30 −1 45 1 2

.Rješenje. Vrijedi

A11 = (-1)2∣∣∣∣-1 41 2

∣∣∣∣ =-6 A12 = (-1)3∣∣∣∣0 45 2

∣∣∣∣ = 20 A13 = (-1)4∣∣∣∣0 -15 1

∣∣∣∣ = 5A21 = (-1)3

∣∣∣∣1 -31 2

∣∣∣∣ =-5 A22 = (-1)4∣∣∣∣2 -35 2

∣∣∣∣ = 19 A23 = (-1)5∣∣∣∣2 15 1

∣∣∣∣ = 3A31 = (-1)4

∣∣∣∣ 1 -3-1 4

∣∣∣∣ = 1 A32 = (-1)5∣∣∣∣2 -30 4

∣∣∣∣ =-8 A33 = (-1)6∣∣∣∣2 10 -1

∣∣∣∣ =-2Jelena Sedlar (FGAG) Matrice 68 / 84

Inverzna matrica


A =

2 1 −30 −1 45 1 2

.Rješenje. Dakle, sada je

A−1 =1−7

−6 20 5−5 19 31 −8 −2

T =

1−7

−6 −5 120 19 −85 3 −2

==

67

57 − 17

− 207 − 19787

− 57 − 3727

.


Inverzna matrica


A =

2 1 −30 −1 45 1 2


A−1 =1−7

−6 20 5−5 19 31 −8 −2

T = 1−7

−6 −5 120 19 −85 3 −2

=

=

67

57 − 17

− 207 − 19787

− 57 − 3727

.


Inverzna matrica


A =

2 1 −30 −1 45 1 2


A−1 =1−7

−6 20 5−5 19 31 −8 −2

T = 1−7

−6 −5 120 19 −85 3 −2

==

67

57 − 17

− 207 − 19787

− 57 − 3727

.


Inverzna matricaRang i inverzna matrica

Uocimo da:

dvije ekvivalentne matrice su ili obje regularne ili obje singularne;

matrica u reduciranoj formi je regularna ako i samo ako ima puni rang.

Teorem. Kvadratna matrica A ∈ Mn je regularna ako i samo ako imapuni rang (tj. r(A) = n).



Uocimo da:






Uocimo da:






Uocimo da:






Uocimo da:



Teorem.

Kvadratna matrica A ∈ Mn je regularna ako i samo ako imapuni rang (tj. r(A) = n).



Uocimo da:



Teorem. Kvadratna matrica A ∈ Mn je regularna

ako i samo ako imapuni rang (tj. r(A) = n).



Uocimo da:



Teorem. Kvadratna matrica A ∈ Mn je regularna ako i samo ako imapuni rang

(tj. r(A) = n).



Uocimo da:





Inverzna matrica

Postupak kojim se odre�uje inverzna matrica je sljedeci.

1) Formiramo matricu tipa n× 2n spajanjem matrica A i In

[A In

]=

a11 a12 . . . a1n 1 0 . . . 0a21 a22 . . . a2n 0 1 . . . 0...

......

......

...an1 an2 . . . ann 0 0 . . . 1

.2) Vršimo elementarne transformacije nad matricom dok ne dobijemo[

In B],

ili dok s lijeve strane ne dobijemo nul-redak.

3) Ako smo:

1 s lijeve strane dobili In , onda je A regularna i vrijedi A−1 = B,2 s lijeva dobili nul-redak, onda A nije regularna, jer nema puni rang.

Ovakav postupak naziva se Gauss-Jordanova eliminacija.


Inverzna matrica



[A In

]=

a11 a12 . . . a1n 1 0 . . . 0a21 a22 . . . a2n 0 1 . . . 0...

......

......

...an1 an2 . . . ann 0 0 . . . 1

.

2) Vršimo elementarne transformacije nad matricom dok ne dobijemo[In B

],


3) Ako smo:




Inverzna matrica



[A In

]=

a11 a12 . . . a1n 1 0 . . . 0a21 a22 . . . a2n 0 1 . . . 0...

......

......

...an1 an2 . . . ann 0 0 . . . 1


In B],


3) Ako smo:




Inverzna matrica



[A In

]=

a11 a12 . . . a1n 1 0 . . . 0a21 a22 . . . a2n 0 1 . . . 0...

......

......

...an1 an2 . . . ann 0 0 . . . 1


In B],


3) Ako smo:




Inverzna matrica



[A In

]=

a11 a12 . . . a1n 1 0 . . . 0a21 a22 . . . a2n 0 1 . . . 0...

......

......

...an1 an2 . . . ann 0 0 . . . 1


In B],


3) Ako smo:




Inverzna matrica



[A In

]=

a11 a12 . . . a1n 1 0 . . . 0a21 a22 . . . a2n 0 1 . . . 0...

......

......

...an1 an2 . . . ann 0 0 . . . 1


In B],


3) Ako smo:

1 s lijeve strane dobili In ,

onda je A regularna i vrijedi A−1 = B,2 s lijeva dobili nul-redak, onda A nije regularna, jer nema puni rang.



Inverzna matrica



[A In

]=

a11 a12 . . . a1n 1 0 . . . 0a21 a22 . . . a2n 0 1 . . . 0...

......

......

...an1 an2 . . . ann 0 0 . . . 1


In B],


3) Ako smo:

1 s lijeve strane dobili In , onda je A regularna i vrijedi A−1 = B,

2 s lijeva dobili nul-redak, onda A nije regularna, jer nema puni rang.



Inverzna matrica



[A In

]=

a11 a12 . . . a1n 1 0 . . . 0a21 a22 . . . a2n 0 1 . . . 0...

......

......

...an1 an2 . . . ann 0 0 . . . 1


In B],


3) Ako smo:

1 s lijeve strane dobili In , onda je A regularna i vrijedi A−1 = B,2 s lijeva dobili nul-redak,

onda A nije regularna, jer nema puni rang.



Inverzna matrica



[A In

]=

a11 a12 . . . a1n 1 0 . . . 0a21 a22 . . . a2n 0 1 . . . 0...

......

......

...an1 an2 . . . ann 0 0 . . . 1


In B],


3) Ako smo:




Inverzna matrica



[A In

]=

a11 a12 . . . a1n 1 0 . . . 0a21 a22 . . . a2n 0 1 . . . 0...

......

......

...an1 an2 . . . ann 0 0 . . . 1


In B],


3) Ako smo:




Inverzna matrica

Zadatak. Gauss-Jordanovom eliminacijom odredi A−1, ako je:

a) A =

1 2 −23 −1 1−2 0 1

, b) A = 1 −1 42 −3 16 −10 −4

.

Rješenje. a) Vrijedi 1 2 −2 1 0 03 −1 1 0 1 0−2 0 1 0 0 1

∼

1 2 −2 1 0 00 −7 7 −3 1 00 4 −3 2 0 1

II − 3IIII + 2I

∼

7 0 0 1 2 00 −7 7 −3 1 00 0 7 2 4 7

7I + 2II

7III + 4II

∼

7 0 0 1 2 00 − 7 0 − 5 − 3 − 70 0 7 2 4 7

II − III


Inverzna matrica


a) A =

1 2 −23 −1 1−2 0 1

, b) A = 1 −1 42 −3 16 −10 −4

.Rješenje. a) Vrijedi 1 2 −2 1 0 0

3 −1 1 0 1 0−2 0 1 0 0 1

∼

1 2 −2 1 0 00 −7 7 −3 1 00 4 −3 2 0 1

II − 3IIII + 2I

∼

7 0 0 1 2 00 −7 7 −3 1 00 0 7 2 4 7

7I + 2II

7III + 4II

∼

7 0 0 1 2 00 − 7 0 − 5 − 3 − 70 0 7 2 4 7

II − III


Inverzna matrica


a) A =

1 2 −23 −1 1−2 0 1

, b) A = 1 −1 42 −3 16 −10 −4


3 −1 1 0 1 0−2 0 1 0 0 1

∼

1 2 −2 1 0 00 −7 7 −3 1 00 4 −3 2 0 1

II − 3IIII + 2I

∼

7 0 0 1 2 00 −7 7 −3 1 00 0 7 2 4 7

7I + 2II

7III + 4II

∼

7 0 0 1 2 00 − 7 0 − 5 − 3 − 70 0 7 2 4 7

II − III


Inverzna matrica


a) A =

1 2 −23 −1 1−2 0 1

, b) A = 1 −1 42 −3 16 −10 −4


3 −1 1 0 1 0−2 0 1 0 0 1

∼ 1 2 −2 1 0 0

0 −7 7 −3 1 00 4 −3 2 0 1

II − 3IIII + 2I

∼

7 0 0 1 2 00 −7 7 −3 1 00 0 7 2 4 7

7I + 2II

7III + 4II

∼

7 0 0 1 2 00 − 7 0 − 5 − 3 − 70 0 7 2 4 7

II − III


Inverzna matrica


a) A =

1 2 −23 −1 1−2 0 1

, b) A = 1 −1 42 −3 16 −10 −4


3 −1 1 0 1 0−2 0 1 0 0 1

∼ 1 2 −2 1 0 0

0 −7 7 −3 1 00 4 −3 2 0 1

II − 3IIII + 2I

∼

7 0 0 1 2 00 −7 7 −3 1 00 0 7 2 4 7

7I + 2II

7III + 4II

∼

7 0 0 1 2 00 − 7 0 − 5 − 3 − 70 0 7 2 4 7

II − III


Inverzna matrica


a) A =

1 2 −23 −1 1−2 0 1

, b) A = 1 −1 42 −3 16 −10 −4


3 −1 1 0 1 0−2 0 1 0 0 1

∼ 1 2 −2 1 0 0

0 −7 7 −3 1 00 4 −3 2 0 1

II − 3I

III + 2I∼

7 0 0 1 2 00 −7 7 −3 1 00 0 7 2 4 7

7I + 2II

7III + 4II

∼

7 0 0 1 2 00 − 7 0 − 5 − 3 − 70 0 7 2 4 7

II − III


Inverzna matrica


a) A =

1 2 −23 −1 1−2 0 1

, b) A = 1 −1 42 −3 16 −10 −4


3 −1 1 0 1 0−2 0 1 0 0 1

∼ 1 2 −2 1 0 00 −7 7 −3 1 0

0 4 −3 2 0 1

II − 3I

III + 2I∼

7 0 0 1 2 00 −7 7 −3 1 00 0 7 2 4 7

7I + 2II

7III + 4II

∼

7 0 0 1 2 00 − 7 0 − 5 − 3 − 70 0 7 2 4 7

II − III


Inverzna matrica


a) A =

1 2 −23 −1 1−2 0 1

, b) A = 1 −1 42 −3 16 −10 −4


3 −1 1 0 1 0−2 0 1 0 0 1

∼ 1 2 −2 1 0 00 −7 7 −3 1 0

0 4 −3 2 0 1

II − 3I

III + 2I∼

7 0 0 1 2 00 −7 7 −3 1 00 0 7 2 4 7

7I + 2II

7III + 4II

∼

7 0 0 1 2 00 − 7 0 − 5 − 3 − 70 0 7 2 4 7

II − III


Inverzna matrica


a) A =

1 2 −23 −1 1−2 0 1

, b) A = 1 −1 42 −3 16 −10 −4


3 −1 1 0 1 0−2 0 1 0 0 1

∼ 1 2 −2 1 0 00 −7 7 −3 1 0

0 4 −3 2 0 1

II − 3IIII + 2I

∼

7 0 0 1 2 00 −7 7 −3 1 00 0 7 2 4 7

7I + 2II

7III + 4II

∼

7 0 0 1 2 00 − 7 0 − 5 − 3 − 70 0 7 2 4 7

II − III


Inverzna matrica


a) A =

1 2 −23 −1 1−2 0 1

, b) A = 1 −1 42 −3 16 −10 −4


3 −1 1 0 1 0−2 0 1 0 0 1

∼ 1 2 −2 1 0 00 −7 7 −3 1 00 4 −3 2 0 1

II − 3IIII + 2I

∼

7 0 0 1 2 00 −7 7 −3 1 00 0 7 2 4 7

7I + 2II

7III + 4II

∼

7 0 0 1 2 00 − 7 0 − 5 − 3 − 70 0 7 2 4 7

II − III


Inverzna matrica


a) A =

1 2 −23 −1 1−2 0 1

, b) A = 1 −1 42 −3 16 −10 −4


3 −1 1 0 1 0−2 0 1 0 0 1

∼ 1 2 −2 1 0 00 −7 7 −3 1 00 4 −3 2 0 1

II − 3IIII + 2I

∼

7 0 0 1 2 00 −7 7 −3 1 00 0 7 2 4 7

7I + 2II

7III + 4II

∼

7 0 0 1 2 00 − 7 0 − 5 − 3 − 70 0 7 2 4 7

II − III


Inverzna matrica


a) A =

1 2 −23 −1 1−2 0 1

, b) A = 1 −1 42 −3 16 −10 −4


3 −1 1 0 1 0−2 0 1 0 0 1

∼ 1 2 −2 1 0 00 −7 7 −3 1 00 4 −3 2 0 1

II − 3IIII + 2I

∼

7 0 0 1 2 00 −7 7 −3 1 00 0 7 2 4 7

7I + 2II

7III + 4II

∼

7 0 0 1 2 00 − 7 0 − 5 − 3 − 70 0 7 2 4 7

II − III


Inverzna matrica


a) A =

1 2 −23 −1 1−2 0 1

, b) A = 1 −1 42 −3 16 −10 −4


3 −1 1 0 1 0−2 0 1 0 0 1

∼ 1 2 −2 1 0 00 −7 7 −3 1 00 4 −3 2 0 1

II − 3IIII + 2I

∼

7 0 0 1 2 0

0 −7 7 −3 1 0

0 0 7 2 4 7

7I + 2II

7III + 4II∼

7 0 0 1 2 00 − 7 0 − 5 − 3 − 70 0 7 2 4 7

II − III


Inverzna matrica


a) A =

1 2 −23 −1 1−2 0 1

, b) A = 1 −1 42 −3 16 −10 −4


3 −1 1 0 1 0−2 0 1 0 0 1

∼ 1 2 −2 1 0 00 −7 7 −3 1 00 4 −3 2 0 1

II − 3IIII + 2I

∼

7 0 0 1 2 0

0 −7 7 −3 1 0

0 0 7 2 4 7

7I + 2II

7III + 4II∼

7 0 0 1 2 00 − 7 0 − 5 − 3 − 70 0 7 2 4 7

II − III


Inverzna matrica


a) A =

1 2 −23 −1 1−2 0 1

, b) A = 1 −1 42 −3 16 −10 −4


3 −1 1 0 1 0−2 0 1 0 0 1

∼ 1 2 −2 1 0 00 −7 7 −3 1 00 4 −3 2 0 1

II − 3IIII + 2I

∼

7 0 0 1 2 0

0 −7 7 −3 1 0

0 0 7 2 4 7

7I + 2II

7III + 4II∼

7 0 0 1 2 00 − 7 0 − 5 − 3 − 70 0 7 2 4 7

II − III


Inverzna matrica


a) A =

1 2 −23 −1 1−2 0 1

, b) A = 1 −1 42 −3 16 −10 −4


3 −1 1 0 1 0−2 0 1 0 0 1

∼ 1 2 −2 1 0 00 −7 7 −3 1 00 4 −3 2 0 1

II − 3IIII + 2I

∼

7 0 0 1 2 00 −7 7 −3 1 0

0 0 7 2 4 7

7I + 2II

7III + 4II∼

7 0 0 1 2 00 − 7 0 − 5 − 3 − 70 0 7 2 4 7

II − III


Inverzna matrica


a) A =

1 2 −23 −1 1−2 0 1

, b) A = 1 −1 42 −3 16 −10 −4


3 −1 1 0 1 0−2 0 1 0 0 1

∼ 1 2 −2 1 0 00 −7 7 −3 1 00 4 −3 2 0 1

II − 3IIII + 2I

∼

7 0 0 1 2 00 −7 7 −3 1 0

0 0 7 2 4 7

7I + 2II

7III + 4II∼

7 0 0 1 2 00 − 7 0 − 5 − 3 − 70 0 7 2 4 7

II − III


Inverzna matrica


a) A =

1 2 −23 −1 1−2 0 1

, b) A = 1 −1 42 −3 16 −10 −4


3 −1 1 0 1 0−2 0 1 0 0 1

∼ 1 2 −2 1 0 00 −7 7 −3 1 00 4 −3 2 0 1

II − 3IIII + 2I

∼

7 0 0 1 2 00 −7 7 −3 1 0

0 0 7 2 4 7

7I + 2II7III + 4II

∼

7 0 0 1 2 00 − 7 0 − 5 − 3 − 70 0 7 2 4 7

II − III


Inverzna matrica


a) A =

1 2 −23 −1 1−2 0 1

, b) A = 1 −1 42 −3 16 −10 −4


3 −1 1 0 1 0−2 0 1 0 0 1

∼ 1 2 −2 1 0 00 −7 7 −3 1 00 4 −3 2 0 1

II − 3IIII + 2I

∼

7 0 0 1 2 00 −7 7 −3 1 00 0 7 2 4 7

7I + 2II7III + 4II

∼

7 0 0 1 2 00 − 7 0 − 5 − 3 − 70 0 7 2 4 7

II − III


Inverzna matrica


a) A =

1 2 −23 −1 1−2 0 1

, b) A = 1 −1 42 −3 16 −10 −4


3 −1 1 0 1 0−2 0 1 0 0 1

∼ 1 2 −2 1 0 00 −7 7 −3 1 00 4 −3 2 0 1

II − 3IIII + 2I

∼

7 0 0 1 2 00 −7 7 −3 1 00 0 7 2 4 7

7I + 2II7III + 4II

∼

7 0 0 1 2 00 − 7 0 − 5 − 3 − 70 0 7 2 4 7

II − III


Inverzna matrica


a) A =

1 2 −23 −1 1−2 0 1

, b) A = 1 −1 42 −3 16 −10 −4


3 −1 1 0 1 0−2 0 1 0 0 1

∼ 1 2 −2 1 0 00 −7 7 −3 1 00 4 −3 2 0 1

II − 3IIII + 2I

∼

7 0 0 1 2 00 −7 7 −3 1 00 0 7 2 4 7

7I + 2II7III + 4II

∼

7 0 0 1 2 00 − 7 0 − 5 − 3 − 70 0 7 2 4 7

II − III


Inverzna matrica


a) A =

1 2 −23 −1 1−2 0 1

, b) A = 1 −1 42 −3 16 −10 −4


3 −1 1 0 1 0−2 0 1 0 0 1

∼ 1 2 −2 1 0 00 −7 7 −3 1 00 4 −3 2 0 1

II − 3IIII + 2I

∼

7 0 0 1 2 00 −7 7 −3 1 00 0 7 2 4 7

7I + 2II7III + 4II

∼

7 0 0 1 2 00 − 7 0 − 5 − 3 − 7

0 0 7 2 4 7

II − III


Inverzna matrica


a) A =

1 2 −23 −1 1−2 0 1

, b) A = 1 −1 42 −3 16 −10 −4


3 −1 1 0 1 0−2 0 1 0 0 1

∼ 1 2 −2 1 0 00 −7 7 −3 1 00 4 −3 2 0 1

II − 3IIII + 2I

∼

7 0 0 1 2 00 −7 7 −3 1 00 0 7 2 4 7

7I + 2II7III + 4II

∼

7 0 0 1 2 00 − 7 0 − 5 − 3 − 7

0 0 7 2 4 7

II − III


Inverzna matrica


a) A =

1 2 −23 −1 1−2 0 1

, b) A = 1 −1 42 −3 16 −10 −4


3 −1 1 0 1 0−2 0 1 0 0 1

∼ 1 2 −2 1 0 00 −7 7 −3 1 00 4 −3 2 0 1

II − 3IIII + 2I

∼

7 0 0 1 2 00 −7 7 −3 1 00 0 7 2 4 7

7I + 2II7III + 4II

∼

7 0 0 1 2 00 − 7 0 − 5 − 3 − 7

0 0 7 2 4 7

II − III


Inverzna matrica


a) A =

1 2 −23 −1 1−2 0 1

, b) A = 1 −1 42 −3 16 −10 −4


3 −1 1 0 1 0−2 0 1 0 0 1

∼ 1 2 −2 1 0 00 −7 7 −3 1 00 4 −3 2 0 1

II − 3IIII + 2I

∼

7 0 0 1 2 00 −7 7 −3 1 00 0 7 2 4 7

7I + 2II7III + 4II

∼

7 0 0 1 2 0

0 − 7 0 − 5 − 3 − 70 0 7 2 4 7

II − III


Inverzna matrica


a) A =

1 2 −23 −1 1−2 0 1

, b) A = 1 −1 42 −3 16 −10 −4


3 −1 1 0 1 0−2 0 1 0 0 1

∼ 1 2 −2 1 0 00 −7 7 −3 1 00 4 −3 2 0 1

II − 3IIII + 2I

∼

7 0 0 1 2 00 −7 7 −3 1 00 0 7 2 4 7

7I + 2II7III + 4II

∼

7 0 0 1 2 0

0 − 7 0 − 5 − 3 − 70 0 7 2 4 7

II − III


Inverzna matrica


a) A =

1 2 −23 −1 1−2 0 1

, b) A = 1 −1 42 −3 16 −10 −4


3 −1 1 0 1 0−2 0 1 0 0 1

∼ 1 2 −2 1 0 00 −7 7 −3 1 00 4 −3 2 0 1

II − 3IIII + 2I

∼

7 0 0 1 2 00 −7 7 −3 1 00 0 7 2 4 7

7I + 2II7III + 4II

∼

7 0 0 1 2 00 − 7 0 − 5 − 3 − 70 0 7 2 4 7

II − III


Inverzna matrica


a) A =

1 2 −23 −1 1−2 0 1

, b) A = 1 −1 42 −3 16 −10 −4


3 −1 1 0 1 0−2 0 1 0 0 1

∼ 1 2 −2 1 0 00 −7 7 −3 1 00 4 −3 2 0 1

II − 3IIII + 2I

∼

7 0 0 1 2 00 −7 7 −3 1 00 0 7 2 4 7

7I + 2II7III + 4II

∼

7 0 0 1 2 00 − 7 0 − 5 − 3 − 70 0 7 2 4 7

II − III


Inverzna matrica


a) A =

1 2 −23 −1 1−2 0 1

, b) A = 1 −1 42 −3 16 −10 −4

.Rješenje. a) Dobili smo 7 0 0 1 2 0

0 −7 0 −5 −3 −70 0 7 2 4 7

Sada je

A−1 =

17

27 0

57

37 1

27

47 1

.


Inverzna matrica


a) A =

1 2 −23 −1 1−2 0 1

, b) A = 1 −1 42 −3 16 −10 −4

.Rješenje. a) Dobili smo 7 0 0 1 2 0

0 −7 0 −5 −3 −70 0 7 2 4 7

Sada je

A−1 =

17

27 0

57

37 1

27

47 1

.


Inverzna matrica


a) A =

1 2 −23 −1 1−2 0 1

, b) A = 1 −1 42 −3 16 −10 −4

.Rješenje. b)

Vrijedi 1 −1 4 1 0 02 −3 1 0 1 06 −10 −4 0 0 1

∼

1 −1 4 1 0 00 −1 −7 −2 1 00 −4 −28 −6 0 1

II − 2IIII − 6I

∼

1 0 11 3 − 1 00 − 1 − 7 − 2 1 00 0 0 2 − 4 1

I − II

III − 4II

⇒ A−1 ne postoji


Inverzna matrica


a) A =

1 2 −23 −1 1−2 0 1

, b) A = 1 −1 42 −3 16 −10 −4

.Rješenje. b) Vrijedi 1 −1 4 1 0 02 −3 1 0 1 06 −10 −4 0 0 1

∼

1 −1 4 1 0 00 −1 −7 −2 1 00 −4 −28 −6 0 1

II − 2IIII − 6I

∼

1 0 11 3 − 1 00 − 1 − 7 − 2 1 00 0 0 2 − 4 1

I − II

III − 4II



Inverzna matrica


a) A =

1 2 −23 −1 1−2 0 1

, b) A = 1 −1 42 −3 16 −10 −4


∼

1 −1 4 1 0 00 −1 −7 −2 1 00 −4 −28 −6 0 1

II − 2IIII − 6I

∼

1 0 11 3 − 1 00 − 1 − 7 − 2 1 00 0 0 2 − 4 1

I − II

III − 4II



Inverzna matrica


a) A =

1 2 −23 −1 1−2 0 1

, b) A = 1 −1 42 −3 16 −10 −4


∼ 1 −1 4 1 0 0

0 −1 −7 −2 1 00 −4 −28 −6 0 1

II − 2IIII − 6I

∼

1 0 11 3 − 1 00 − 1 − 7 − 2 1 00 0 0 2 − 4 1

I − II

III − 4II



Inverzna matrica


a) A =

1 2 −23 −1 1−2 0 1

, b) A = 1 −1 42 −3 16 −10 −4


∼ 1 −1 4 1 0 0

0 −1 −7 −2 1 00 −4 −28 −6 0 1

II − 2IIII − 6I

∼

1 0 11 3 − 1 00 − 1 − 7 − 2 1 00 0 0 2 − 4 1

I − II

III − 4II



Inverzna matrica


a) A =

1 2 −23 −1 1−2 0 1

, b) A = 1 −1 42 −3 16 −10 −4


∼ 1 −1 4 1 0 0

0 −1 −7 −2 1 00 −4 −28 −6 0 1

II − 2I

III − 6I

∼

1 0 11 3 − 1 00 − 1 − 7 − 2 1 00 0 0 2 − 4 1

I − II

III − 4II



Inverzna matrica


a) A =

1 2 −23 −1 1−2 0 1

, b) A = 1 −1 42 −3 16 −10 −4


∼ 1 −1 4 1 0 00 −1 −7 −2 1 0

0 −4 −28 −6 0 1

II − 2I

III − 6I

∼

1 0 11 3 − 1 00 − 1 − 7 − 2 1 00 0 0 2 − 4 1

I − II

III − 4II



Inverzna matrica


a) A =

1 2 −23 −1 1−2 0 1

, b) A = 1 −1 42 −3 16 −10 −4


∼ 1 −1 4 1 0 00 −1 −7 −2 1 0

0 −4 −28 −6 0 1

II − 2I

III − 6I

∼

1 0 11 3 − 1 00 − 1 − 7 − 2 1 00 0 0 2 − 4 1

I − II

III − 4II



Inverzna matrica


a) A =

1 2 −23 −1 1−2 0 1

, b) A = 1 −1 42 −3 16 −10 −4


∼ 1 −1 4 1 0 00 −1 −7 −2 1 0

0 −4 −28 −6 0 1

II − 2IIII − 6I

∼

1 0 11 3 − 1 00 − 1 − 7 − 2 1 00 0 0 2 − 4 1

I − II

III − 4II



Inverzna matrica


a) A =

1 2 −23 −1 1−2 0 1

, b) A = 1 −1 42 −3 16 −10 −4


∼ 1 −1 4 1 0 00 −1 −7 −2 1 00 −4 −28 −6 0 1

II − 2IIII − 6I

∼

1 0 11 3 − 1 00 − 1 − 7 − 2 1 00 0 0 2 − 4 1

I − II

III − 4II



Inverzna matrica


a) A =

1 2 −23 −1 1−2 0 1

, b) A = 1 −1 42 −3 16 −10 −4


∼ 1 −1 4 1 0 00 −1 −7 −2 1 00 −4 −28 −6 0 1

II − 2IIII − 6I

∼

1 0 11 3 − 1 00 − 1 − 7 − 2 1 00 0 0 2 − 4 1

I − II

III − 4II



Inverzna matrica


a) A =

1 2 −23 −1 1−2 0 1

, b) A = 1 −1 42 −3 16 −10 −4


∼ 1 −1 4 1 0 00 −1 −7 −2 1 00 −4 −28 −6 0 1

II − 2IIII − 6I

∼

1 0 11 3 − 1 00 − 1 − 7 − 2 1 00 0 0 2 − 4 1

I − II

III − 4II



Inverzna matrica


a) A =

1 2 −23 −1 1−2 0 1

, b) A = 1 −1 42 −3 16 −10 −4


∼ 1 −1 4 1 0 00 −1 −7 −2 1 00 −4 −28 −6 0 1

II − 2IIII − 6I

∼

1 0 11 3 − 1 0

0 − 1 − 7 − 2 1 0

0 0 0 2 − 4 1

I − II

III − 4II⇒ A−1 ne postoji


Inverzna matrica


a) A =

1 2 −23 −1 1−2 0 1

, b) A = 1 −1 42 −3 16 −10 −4


∼ 1 −1 4 1 0 00 −1 −7 −2 1 00 −4 −28 −6 0 1

II − 2IIII − 6I

∼

1 0 11 3 − 1 0

0 − 1 − 7 − 2 1 0

0 0 0 2 − 4 1

I − II



Inverzna matrica


a) A =

1 2 −23 −1 1−2 0 1

, b) A = 1 −1 42 −3 16 −10 −4


∼ 1 −1 4 1 0 00 −1 −7 −2 1 00 −4 −28 −6 0 1

II − 2IIII − 6I

∼

1 0 11 3 − 1 0

0 − 1 − 7 − 2 1 0

0 0 0 2 − 4 1

I − II



Inverzna matrica


a) A =

1 2 −23 −1 1−2 0 1

, b) A = 1 −1 42 −3 16 −10 −4


∼ 1 −1 4 1 0 00 −1 −7 −2 1 00 −4 −28 −6 0 1

II − 2IIII − 6I

∼

1 0 11 3 − 1 00 − 1 − 7 − 2 1 0

0 0 0 2 − 4 1

I − II



Inverzna matrica


a) A =

1 2 −23 −1 1−2 0 1

, b) A = 1 −1 42 −3 16 −10 −4


∼ 1 −1 4 1 0 00 −1 −7 −2 1 00 −4 −28 −6 0 1

II − 2IIII − 6I

∼

1 0 11 3 − 1 00 − 1 − 7 − 2 1 0

0 0 0 2 − 4 1

I − II



Inverzna matrica


a) A =

1 2 −23 −1 1−2 0 1

, b) A = 1 −1 42 −3 16 −10 −4


∼ 1 −1 4 1 0 00 −1 −7 −2 1 00 −4 −28 −6 0 1

II − 2IIII − 6I

∼

1 0 11 3 − 1 00 − 1 − 7 − 2 1 0

0 0 0 2 − 4 1

I − IIIII − 4II



Inverzna matrica


a) A =

1 2 −23 −1 1−2 0 1

, b) A = 1 −1 42 −3 16 −10 −4


∼ 1 −1 4 1 0 00 −1 −7 −2 1 00 −4 −28 −6 0 1

II − 2IIII − 6I

∼

1 0 11 3 − 1 00 − 1 − 7 − 2 1 00 0 0 2 − 4 1

I − IIIII − 4II



Inverzna matrica


a) A =

1 2 −23 −1 1−2 0 1

, b) A = 1 −1 42 −3 16 −10 −4


∼ 1 −1 4 1 0 00 −1 −7 −2 1 00 −4 −28 −6 0 1

II − 2IIII − 6I

∼

1 0 11 3 − 1 00 − 1 − 7 − 2 1 00 0 0 2 − 4 1

I − IIIII − 4II



Inverzna matrica


a) A =

1 2 −23 −1 1−2 0 1

, b) A = 1 −1 42 −3 16 −10 −4


∼ 1 −1 4 1 0 00 −1 −7 −2 1 00 −4 −28 −6 0 1

II − 2IIII − 6I

∼

1 0 11 3 − 1 00 − 1 − 7 − 2 1 00 0 0 2 − 4 1

I − IIIII − 4II

⇒

A−1 ne postoji


Inverzna matrica


a) A =

1 2 −23 −1 1−2 0 1

, b) A = 1 −1 42 −3 16 −10 −4


∼ 1 −1 4 1 0 00 −1 −7 −2 1 00 −4 −28 −6 0 1

II − 2IIII − 6I

∼

1 0 11 3 − 1 00 − 1 − 7 − 2 1 00 0 0 2 − 4 1

I − IIIII − 4II



Linearna nezavisnost matricaDefinicija

Definicija. Neka su A1, . . . ,An matrice istog tipa. Linearna kombinacijamatrica A1,A2, . . . ,An je svaka matrica oblika

λ1A1 + λ2A2 + . . .+ λnAn

pri cemu su λ1,λ2, . . . ,λn realni brojevi..

Zadatak. Napiši (barem) dvije razlicite linearne kombinacije matrica

A =[23

], B =

[0−1

]i C =

[31

].

Rješenje. Vrijedi

2A− 3B+C = 2[23

]− 3

[0−1

]+

[31

]=

[710

]3A+ 2B− 4C = 3

[23

]+ 2

[0−1

]− 4

[31

]=

[−63

]



Definicija.

Neka su A1, . . . ,An matrice istog tipa. Linearna kombinacijamatrica A1,A2, . . . ,An je svaka matrica oblika

λ1A1 + λ2A2 + . . .+ λnAn



A =[23

], B =

[0−1

]i C =

[31

].

Rješenje. Vrijedi

2A− 3B+C = 2[23

]− 3

[0−1

]+

[31

]=

[710

]3A+ 2B− 4C = 3

[23

]+ 2

[0−1

]− 4

[31

]=

[−63

]



Definicija. Neka su A1, . . . ,An matrice istog tipa.

Linearna kombinacijamatrica A1,A2, . . . ,An je svaka matrica oblika

λ1A1 + λ2A2 + . . .+ λnAn



A =[23

], B =

[0−1

]i C =

[31

].

Rješenje. Vrijedi

2A− 3B+C = 2[23

]− 3

[0−1

]+

[31

]=

[710

]3A+ 2B− 4C = 3

[23

]+ 2

[0−1

]− 4

[31

]=

[−63

]




λ1A1 + λ2A2 + . . .+ λnAn



A =[23

], B =

[0−1

]i C =

[31

].

Rješenje. Vrijedi

2A− 3B+C = 2[23

]− 3

[0−1

]+

[31

]=

[710

]3A+ 2B− 4C = 3

[23

]+ 2

[0−1

]− 4

[31

]=

[−63

]




λ1A1 + λ2A2 + . . .+ λnAn



A =[23

], B =

[0−1

]i C =

[31

].

Rješenje. Vrijedi

2A− 3B+C = 2[23

]− 3

[0−1

]+

[31

]=

[710

]3A+ 2B− 4C = 3

[23

]+ 2

[0−1

]− 4

[31

]=

[−63

]




λ1A1 + λ2A2 + . . .+ λnAn


Zadatak.

Napiši (barem) dvije razlicite linearne kombinacije matrica

A =[23

], B =

[0−1

]i C =

[31

].

Rješenje. Vrijedi

2A− 3B+C = 2[23

]− 3

[0−1

]+

[31

]=

[710

]3A+ 2B− 4C = 3

[23

]+ 2

[0−1

]− 4

[31

]=

[−63

]




λ1A1 + λ2A2 + . . .+ λnAn



A =[23

], B =

[0−1

]i C =

[31

].

Rješenje. Vrijedi

2A− 3B+C = 2[23

]− 3

[0−1

]+

[31

]=

[710

]3A+ 2B− 4C = 3

[23

]+ 2

[0−1

]− 4

[31

]=

[−63

]




λ1A1 + λ2A2 + . . .+ λnAn



A =[23

], B =

[0−1

]i C =

[31

].

Rješenje. Vrijedi

2A− 3B+C = 2[23

]− 3

[0−1

]+

[31

]=

[710

]3A+ 2B− 4C = 3

[23

]+ 2

[0−1

]− 4

[31

]=

[−63

]




λ1A1 + λ2A2 + . . .+ λnAn



A =[23

], B =

[0−1

]i C =

[31

].

Rješenje.

Vrijedi

2A− 3B+C = 2[23

]− 3

[0−1

]+

[31

]=

[710

]3A+ 2B− 4C = 3

[23

]+ 2

[0−1

]− 4

[31

]=

[−63

]




λ1A1 + λ2A2 + . . .+ λnAn



A =[23

], B =

[0−1

]i C =

[31

].

Rješenje. Vrijedi

2A− 3B+C =

2[23

]− 3

[0−1

]+

[31

]=

[710

]3A+ 2B− 4C = 3

[23

]+ 2

[0−1

]− 4

[31

]=

[−63

]




λ1A1 + λ2A2 + . . .+ λnAn



A =[23

], B =

[0−1

]i C =

[31

].

Rješenje. Vrijedi

2A− 3B+C = 2[23

]− 3

[0−1

]+

[31

]=

[710

]3A+ 2B− 4C = 3

[23

]+ 2

[0−1

]− 4

[31

]=

[−63

]




λ1A1 + λ2A2 + . . .+ λnAn



A =[23

], B =

[0−1

]i C =

[31

].

Rješenje. Vrijedi

2A− 3B+C = 2[23

]− 3

[0−1

]+

[31

]=

[710

]

3A+ 2B− 4C = 3[23

]+ 2

[0−1

]− 4

[31

]=

[−63

]




λ1A1 + λ2A2 + . . .+ λnAn



A =[23

], B =

[0−1

]i C =

[31

].

Rješenje. Vrijedi

2A− 3B+C = 2[23

]− 3

[0−1

]+

[31

]=

[710

]3A+ 2B− 4C =

3[23

]+ 2

[0−1

]− 4

[31

]=

[−63

]




λ1A1 + λ2A2 + . . .+ λnAn



A =[23

], B =

[0−1

]i C =

[31

].

Rješenje. Vrijedi

2A− 3B+C = 2[23

]− 3

[0−1

]+

[31

]=

[710

]3A+ 2B− 4C = 3

[23

]+ 2

[0−1

]− 4

[31

]=

[−63

]




λ1A1 + λ2A2 + . . .+ λnAn



A =[23

], B =

[0−1

]i C =

[31

].

Rješenje. Vrijedi

2A− 3B+C = 2[23

]− 3

[0−1

]+

[31

]=

[710

]3A+ 2B− 4C = 3

[23

]+ 2

[0−1

]− 4

[31

]=

[−63

]Jelena Sedlar (FGAG) Matrice 75 / 84

Linearna nezavisnost matrica

Definicija.

Neka su A1, . . . ,An matrice istog tipa. Kazemo da su matriceA1,A2, . . . ,An linearno nezavisne ako

λ1A1 + λ2A2 + . . .+ λnAn = O⇒ λ1 = λ2 = . . . = λn = 0.

Pojašnjenje. Dakle, pitamo se kad je linearna kombinacija matricaA1,A2, . . . ,An jednaka nul-matrici.

Trivijalna kombinacija: λ1 = λ2 = . . . = λn = 0 - uvijek postoji.

Netrivijalna kombinacija: ?

ako postoji ⇒ linearno zavisne matriceako ne postoji ⇒ linearno nezavisne matrice



Definicija. Neka su A1, . . . ,An matrice istog tipa.

Kazemo da su matriceA1,A2, . . . ,An linearno nezavisne ako

λ1A1 + λ2A2 + . . .+ λnAn = O⇒ λ1 = λ2 = . . . = λn = 0.







Definicija. Neka su A1, . . . ,An matrice istog tipa. Kazemo da su matriceA1,A2, . . . ,An linearno nezavisne

ako

λ1A1 + λ2A2 + . . .+ λnAn = O⇒ λ1 = λ2 = . . . = λn = 0.







Definicija. Neka su A1, . . . ,An matrice istog tipa. Kazemo da su matriceA1,A2, . . . ,An linearno nezavisne ako

λ1A1 + λ2A2 + . . .+ λnAn = O⇒ λ1 = λ2 = . . . = λn = 0.








λ1A1 + λ2A2 + . . .+ λnAn = O⇒ λ1 = λ2 = . . . = λn = 0.

Pojašnjenje.

Dakle, pitamo se kad je linearna kombinacija matricaA1,A2, . . . ,An jednaka nul-matrici.







λ1A1 + λ2A2 + . . .+ λnAn = O⇒ λ1 = λ2 = . . . = λn = 0.








λ1A1 + λ2A2 + . . .+ λnAn = O⇒ λ1 = λ2 = . . . = λn = 0.


Trivijalna kombinacija: λ1 = λ2 = . . . = λn = 0

- uvijek postoji.






λ1A1 + λ2A2 + . . .+ λnAn = O⇒ λ1 = λ2 = . . . = λn = 0.








λ1A1 + λ2A2 + . . .+ λnAn = O⇒ λ1 = λ2 = . . . = λn = 0.








λ1A1 + λ2A2 + . . .+ λnAn = O⇒ λ1 = λ2 = . . . = λn = 0.




ako postoji

⇒ linearno zavisne matriceako ne postoji ⇒ linearno nezavisne matrice




λ1A1 + λ2A2 + . . .+ λnAn = O⇒ λ1 = λ2 = . . . = λn = 0.




ako postoji ⇒ linearno zavisne matrice

ako ne postoji ⇒ linearno nezavisne matrice




λ1A1 + λ2A2 + . . .+ λnAn = O⇒ λ1 = λ2 = . . . = λn = 0.




ako postoji ⇒ linearno zavisne matriceako ne postoji

⇒ linearno nezavisne matrice




λ1A1 + λ2A2 + . . .+ λnAn = O⇒ λ1 = λ2 = . . . = λn = 0.







Zadatak.

Odredi linearnu kombinaciju 2A+ 3B−C ako je

A =[12

], B =

[1−1

]i C =

[51

].

Što iz toga zakljucuješo linearnoj nezavisnosti matrica A, B i C?Rješenje. Vrijedi

2A+ 3B−C =2[12

]+ 3

[1−1

]−[51

]=

[00

].

Postoji netrivijalna kombinacija matrica A, B i C koja daje nul-matricu, pasu matrice A, B i C linearno zavisne.

Primjerice, matrica C zavisi od matrica A i B po formuli

C = 2A+ 3B



Zadatak. Odredi linearnu kombinaciju 2A+ 3B−C

ako je

A =[12

], B =

[1−1

]i C =

[51

].


2A+ 3B−C =2[12

]+ 3

[1−1

]−[51

]=

[00

].



C = 2A+ 3B



Zadatak. Odredi linearnu kombinaciju 2A+ 3B−C ako je

A =[12

], B =

[1−1

]i C =

[51

].


2A+ 3B−C =2[12

]+ 3

[1−1

]−[51

]=

[00

].



C = 2A+ 3B




A =[12

], B =

[1−1

]i C =

[51

].

Što iz toga zakljucuješo linearnoj nezavisnosti matrica A, B i C?

Rješenje. Vrijedi

2A+ 3B−C =2[12

]+ 3

[1−1

]−[51

]=

[00

].



C = 2A+ 3B




A =[12

], B =

[1−1

]i C =

[51

].

Što iz toga zakljucuješo linearnoj nezavisnosti matrica A, B i C?Rješenje.

Vrijedi

2A+ 3B−C =2[12

]+ 3

[1−1

]−[51

]=

[00

].



C = 2A+ 3B




A =[12

], B =

[1−1

]i C =

[51

].


2A+ 3B−C =

2[12

]+ 3

[1−1

]−[51

]=

[00

].



C = 2A+ 3B




A =[12

], B =

[1−1

]i C =

[51

].


2A+ 3B−C =2[12

]+ 3

[1−1

]−[51

]=

[00

].



C = 2A+ 3B




A =[12

], B =

[1−1

]i C =

[51

].


2A+ 3B−C =2[12

]+ 3

[1−1

]−[51

]=

[00

].



C = 2A+ 3B




A =[12

], B =

[1−1

]i C =

[51

].


2A+ 3B−C =2[12

]+ 3

[1−1

]−[51

]=

[00

].

Postoji netrivijalna kombinacija matrica A, B i C koja daje nul-matricu,

pasu matrice A, B i C linearno zavisne.


C = 2A+ 3B




A =[12

], B =

[1−1

]i C =

[51

].


2A+ 3B−C =2[12

]+ 3

[1−1

]−[51

]=

[00

].



C = 2A+ 3B




A =[12

], B =

[1−1

]i C =

[51

].


2A+ 3B−C =2[12

]+ 3

[1−1

]−[51

]=

[00

].


Primjerice, matrica C zavisi od matrica A i B

po formuli

C = 2A+ 3B




A =[12

], B =

[1−1

]i C =

[51

].


2A+ 3B−C =2[12

]+ 3

[1−1

]−[51

]=

[00

].



C =

2A+ 3B




A =[12

], B =

[1−1

]i C =

[51

].


2A+ 3B−C =2[12

]+ 3

[1−1

]−[51

]=

[00

].



C = 2A+ 3B


Linearna nezavisnost matricaLinearna nezavisnost redaka ili stupaca

Prisjetimo se da se matrica moze shvatiti kao da je sastavljena od:

matrica redaka,

matrica stupaca.1 2 32 3 05 5 −1

←→

125

,235

30−1

1 2 32 3 05 5 −1

←→

[1 2 3

][2 3 0

][5 5 −1

]Postavlja se pitanje linearne nezavisnosti redaka (ili stupaca) u matrici.




matrica redaka,


←→

125

,235

30−1

1 2 32 3 05 5 −1

←→

[1 2 3

][2 3 0

][5 5 −1





matrica redaka,


←→

125

,235

30−1

1 2 32 3 05 5 −1

←→

[1 2 3

][2 3 0

][5 5 −1





matrica redaka,

matrica stupaca.

1 2 32 3 05 5 −1

←→

125

,235

30−1

1 2 32 3 05 5 −1

←→

[1 2 3

][2 3 0

][5 5 −1





matrica redaka,


←→

125

,235

30−1

1 2 32 3 05 5 −1

←→

[1 2 3

][2 3 0

][5 5 −1





matrica redaka,


←→

125

,235

30−1

1 2 32 3 05 5 −1

←→

[1 2 3

][2 3 0

][5 5 −1

]

Postavlja se pitanje linearne nezavisnosti redaka (ili stupaca) u matrici.




matrica redaka,


←→

125

,235

30−1

1 2 32 3 05 5 −1

←→

[1 2 3

][2 3 0

][5 5 −1




Uocimo da za kvadratnu matricu A ∈ Mn

u kojoj je npr. zadnji redaklinearna kombinacija prva dva retka, vrijedi

detA =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

λa11 + µa21 λa12 + µa22 . . . λa1n + µa2n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =

= λ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

a11 a12 . . . a1n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣+ µ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

a21 a22 . . . a2n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0.Teorem. Retci (stupci) kvadratne matrice A ∈ Mn su linearno nezavisniako i samo ako je detA 6= 0.



Uocimo da za kvadratnu matricu A ∈ Mn u kojoj je npr. zadnji redaklinearna kombinacija prva dva retka,

vrijedi

detA =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

λa11 + µa21 λa12 + µa22 . . . λa1n + µa2n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =

= λ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

a11 a12 . . . a1n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣+ µ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

a21 a22 . . . a2n




Uocimo da za kvadratnu matricu A ∈ Mn u kojoj je npr. zadnji redaklinearna kombinacija prva dva retka, vrijedi

detA =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

λa11 + µa21 λa12 + µa22 . . . λa1n + µa2n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =

= λ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

a11 a12 . . . a1n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣+ µ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

a21 a22 . . . a2n





detA =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

λa11 + µa21 λa12 + µa22 . . . λa1n + µa2n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =

= λ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

a11 a12 . . . a1n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣+

µ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

a21 a22 . . . a2n





detA =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

λa11 + µa21 λa12 + µa22 . . . λa1n + µa2n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =

= λ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

a11 a12 . . . a1n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣+ µ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

a21 a22 . . . a2n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =

0.

Teorem. Retci (stupci) kvadratne matrice A ∈ Mn su linearno nezavisniako i samo ako je detA 6= 0.




detA =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

λa11 + µa21 λa12 + µa22 . . . λa1n + µa2n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =

= λ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

a11 a12 . . . a1n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣+ µ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

a21 a22 . . . a2n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0.

Teorem. Retci (stupci) kvadratne matrice A ∈ Mn su linearno nezavisniako i samo ako je detA 6= 0.




detA =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

λa11 + µa21 λa12 + µa22 . . . λa1n + µa2n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =

= λ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

a11 a12 . . . a1n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣+ µ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

a21 a22 . . . a2n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0.Teorem.

Retci (stupci) kvadratne matrice A ∈ Mn su linearno nezavisniako i samo ako je detA 6= 0.




detA =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

λa11 + µa21 λa12 + µa22 . . . λa1n + µa2n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =

= λ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

a11 a12 . . . a1n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣+ µ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

a21 a22 . . . a2n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0.Teorem. Retci (stupci) kvadratne matrice A ∈ Mn su linearno nezavisni

ako i samo ako je detA 6= 0.




detA =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

λa11 + µa21 λa12 + µa22 . . . λa1n + µa2n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =

= λ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

a11 a12 . . . a1n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣+ µ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

a21 a22 . . . a2n




Uocimo da za matricu A ∈ Mm,n

u kojoj je primjerice zadnji redaklinearna kombinacija prva dva retka, vrijedi

A ∼

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

λa11 + µa21 λa12 + µa22 . . . λa1n + µa2n

∼

∼

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

µa21 µa22 . . . µa2n

Rn − λR1

∼

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

0 0 . . . 0

Rn − µR2

= A′

Teorem. Broj linearno nezavisnih redaka (odnosno stupaca) matriceA ∈ Mm,n jednak je rangu r(A) te matrice.



Uocimo da za matricu A ∈ Mm,n u kojoj je primjerice zadnji redaklinearna kombinacija prva dva retka,

vrijedi

A ∼

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

λa11 + µa21 λa12 + µa22 . . . λa1n + µa2n

∼

∼

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

µa21 µa22 . . . µa2n

Rn − λR1

∼

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

0 0 . . . 0

Rn − µR2

= A′




Uocimo da za matricu A ∈ Mm,n u kojoj je primjerice zadnji redaklinearna kombinacija prva dva retka, vrijedi

A ∼

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

λa11 + µa21 λa12 + µa22 . . . λa1n + µa2n

∼

∼

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

µa21 µa22 . . . µa2n

Rn − λR1

∼

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

0 0 . . . 0

Rn − µR2

= A′





A ∼

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

λa11 + µa21 λa12 + µa22 . . . λa1n + µa2n

∼

∼

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

µa21 µa22 . . . µa2n

Rn − λR1

∼

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

0 0 . . . 0

Rn − µR2

= A′





A ∼

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

λa11 + µa21 λa12 + µa22 . . . λa1n + µa2n

∼

∼

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

µa21 µa22 . . . µa2n

Rn − λR1

∼

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

0 0 . . . 0

Rn − µR2

=

A′





A ∼

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

λa11 + µa21 λa12 + µa22 . . . λa1n + µa2n

∼

∼

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

µa21 µa22 . . . µa2n

Rn − λR1

∼

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

0 0 . . . 0

Rn − µR2

= A′





A ∼

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

λa11 + µa21 λa12 + µa22 . . . λa1n + µa2n

∼

∼

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

µa21 µa22 . . . µa2n

Rn − λR1

∼

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

0 0 . . . 0

Rn − µR2

= A′

Teorem.

Broj linearno nezavisnih redaka (odnosno stupaca) matriceA ∈ Mm,n jednak je rangu r(A) te matrice.




A ∼

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

λa11 + µa21 λa12 + µa22 . . . λa1n + µa2n

∼

∼

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

µa21 µa22 . . . µa2n

Rn − λR1

∼

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

0 0 . . . 0

Rn − µR2

= A′

Teorem. Broj linearno nezavisnih redaka (odnosno stupaca) matriceA ∈ Mm,n

jednak je rangu r(A) te matrice.




A ∼

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

λa11 + µa21 λa12 + µa22 . . . λa1n + µa2n

∼

∼

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

µa21 µa22 . . . µa2n

Rn − λR1

∼

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

0 0 . . . 0

Rn − µR2

= A′




Za kvadratnu matricu A reda n vrijedi:

matrica A je regularna ako i samo ako detA 6= 0,vrijedi detA 6= 0 ako i samo ako su retci matrice A linearno nezavisni,retci matrice A su linearno nezavisni ako i samo ako je r(A) = n.

Korolar. Kvadratna matrica A ∈ Mn je regularna ako i samo ako imapuni rang (tj. r(A) = n).




matrica A je regularna ako i samo ako detA 6= 0,

vrijedi detA 6= 0 ako i samo ako su retci matrice A linearno nezavisni,retci matrice A su linearno nezavisni ako i samo ako je r(A) = n.





matrica A je regularna ako i samo ako detA 6= 0,vrijedi detA 6= 0 ako i samo ako su retci matrice A linearno nezavisni,

retci matrice A su linearno nezavisni ako i samo ako je r(A) = n.











Korolar.

Kvadratna matrica A ∈ Mn je regularna ako i samo ako imapuni rang (tj. r(A) = n).





Korolar. Kvadratna matrica A ∈ Mn je regularna ako i samo ako imapuni rang

(tj. r(A) = n).








Uocimo, pomocu:

1 ranga se mogu analizirat matrice bilo kojeg tipa,2 determinante se mogu analizirat samo kvadratne matrice.

Tako�er, vrijedi:

1 rang nam daje tocan broj linearno nezavisnih redaka (ili stupaca),2 determinanta samo kaze jesu li svi retci (stupci) linearno nezavisni ilinisu.

Dakle, rang je "mocniji" alat za ispitivanje linearne nezavisnosti redaka(odnosno stupaca) u matrici.



Uocimo, pomocu:

1 ranga se mogu analizirat matrice bilo kojeg tipa,

2 determinante se mogu analizirat samo kvadratne matrice.

Tako�er, vrijedi:





Uocimo, pomocu:


Tako�er, vrijedi:





Uocimo, pomocu:


Tako�er, vrijedi:





Uocimo, pomocu:


Tako�er, vrijedi:

1 rang nam daje tocan broj linearno nezavisnih redaka (ili stupaca),

2 determinanta samo kaze jesu li svi retci (stupci) linearno nezavisni ilinisu.




Uocimo, pomocu:


Tako�er, vrijedi:





Uocimo, pomocu:


Tako�er, vrijedi:





Zadatak.

Ispitaj jesu li retci matrice A linearno nezavisni, ako je

A =

1 2 03 3 21 2 −2

.Rješenje. Vrijedi

detA =

∣∣∣∣∣∣1 2 03 3 21 2 −2

∣∣∣∣∣∣ = 1 · (−6− 4)− 2 · (−6− 2) = 6 6= 0pa su retci matrice A linearno nezavisni.



Zadatak. Ispitaj jesu li retci matrice A linearno nezavisni,

ako je

A =

1 2 03 3 21 2 −2

.Rješenje. Vrijedi

detA =

∣∣∣∣∣∣1 2 03 3 21 2 −2




Zadatak. Ispitaj jesu li retci matrice A linearno nezavisni, ako je

A =

1 2 03 3 21 2 −2

.

Rješenje. Vrijedi

detA =

∣∣∣∣∣∣1 2 03 3 21 2 −2





A =

1 2 03 3 21 2 −2

.Rješenje.

Vrijedi

detA =

∣∣∣∣∣∣1 2 03 3 21 2 −2





A =

1 2 03 3 21 2 −2

.Rješenje. Vrijedi

detA =

∣∣∣∣∣∣1 2 03 3 21 2 −2





A =

1 2 03 3 21 2 −2

.Rješenje. Vrijedi

detA =

∣∣∣∣∣∣1 2 03 3 21 2 −2

∣∣∣∣∣∣ =

1 · (−6− 4)− 2 · (−6− 2) = 6 6= 0

pa su retci matrice A linearno nezavisni.




A =

1 2 03 3 21 2 −2

.Rješenje. Vrijedi

detA =

∣∣∣∣∣∣1 2 03 3 21 2 −2

∣∣∣∣∣∣ = 1 · (−6− 4)− 2 · (−6− 2) =

6 6= 0





A =

1 2 03 3 21 2 −2

.Rješenje. Vrijedi

detA =

∣∣∣∣∣∣1 2 03 3 21 2 −2

∣∣∣∣∣∣ = 1 · (−6− 4)− 2 · (−6− 2) = 6

6= 0





A =

1 2 03 3 21 2 −2

.Rješenje. Vrijedi

detA =

∣∣∣∣∣∣1 2 03 3 21 2 −2

∣∣∣∣∣∣ = 1 · (−6− 4)− 2 · (−6− 2) = 6 6= 0





A =

1 2 03 3 21 2 −2

.Rješenje. Vrijedi

detA =

∣∣∣∣∣∣1 2 03 3 21 2 −2




Zadatak.

Odredi broj linearno nezavisnih stupaca u matrici A, ako je

A =

1 2 0 32 1 2 −11 −1 2 −4

.Rješenje. Vrijedi

A =

1 2 0 32 1 2 −11 −1 2 −4

∼1 2 0 30 −3 2 −70 −3 2 −7

II − 2IIII − I

∼

∼

1 2 0 30 −3 2 −70 0 0 0

III − II

⇒ r(A) = 2

Matrica A ima 4 stupca, ali samo 2 stupca su linearno nezavisni.



Zadatak. Odredi broj linearno nezavisnih stupaca u matrici A,

ako je

A =

1 2 0 32 1 2 −11 −1 2 −4

.Rješenje. Vrijedi

A =

1 2 0 32 1 2 −11 −1 2 −4

∼1 2 0 30 −3 2 −70 −3 2 −7

II − 2IIII − I

∼

∼

1 2 0 30 −3 2 −70 0 0 0

III − II

⇒ r(A) = 2




Zadatak. Odredi broj linearno nezavisnih stupaca u matrici A, ako je

A =

1 2 0 32 1 2 −11 −1 2 −4

.

Rješenje. Vrijedi

A =

1 2 0 32 1 2 −11 −1 2 −4

∼1 2 0 30 −3 2 −70 −3 2 −7

II − 2IIII − I

∼

∼

1 2 0 30 −3 2 −70 0 0 0

III − II

⇒ r(A) = 2





A =

1 2 0 32 1 2 −11 −1 2 −4

.Rješenje.

Vrijedi

A =

1 2 0 32 1 2 −11 −1 2 −4

∼1 2 0 30 −3 2 −70 −3 2 −7

II − 2IIII − I

∼

∼

1 2 0 30 −3 2 −70 0 0 0

III − II

⇒ r(A) = 2





A =

1 2 0 32 1 2 −11 −1 2 −4

.Rješenje. Vrijedi

A =

1 2 0 32 1 2 −11 −1 2 −4

∼

1 2 0 30 −3 2 −70 −3 2 −7

II − 2IIII − I

∼

∼

1 2 0 30 −3 2 −70 0 0 0

III − II

⇒ r(A) = 2





A =

1 2 0 32 1 2 −11 −1 2 −4

.Rješenje. Vrijedi

A =

1 2 0 32 1 2 −11 −1 2 −4

∼1 2 0 30 −3 2 −70 −3 2 −7

II − 2IIII − I

∼

∼

1 2 0 30 −3 2 −70 0 0 0

III − II

⇒ r(A) = 2





A =

1 2 0 32 1 2 −11 −1 2 −4

.Rješenje. Vrijedi

A =

1 2 0 32 1 2 −11 −1 2 −4

∼1 2 0 30 −3 2 −70 −3 2 −7

II − 2IIII − I

∼

∼

1 2 0 30 −3 2 −70 0 0 0

III − II

⇒ r(A) = 2





A =

1 2 0 32 1 2 −11 −1 2 −4

.Rješenje. Vrijedi

A =

1 2 0 32 1 2 −11 −1 2 −4

∼1 2 0 30 −3 2 −70 −3 2 −7

II − 2IIII − I

∼

∼

1 2 0 30 −3 2 −70 0 0 0

III − II

⇒ r(A) =

2





A =

1 2 0 32 1 2 −11 −1 2 −4

.Rješenje. Vrijedi

A =

1 2 0 32 1 2 −11 −1 2 −4

∼1 2 0 30 −3 2 −70 −3 2 −7

II − 2IIII − I

∼

∼

1 2 0 30 −3 2 −70 0 0 0

III − II

⇒ r(A) = 2





A =

1 2 0 32 1 2 −11 −1 2 −4

.Rješenje. Vrijedi

A =

1 2 0 32 1 2 −11 −1 2 −4

∼1 2 0 30 −3 2 −70 −3 2 −7

II − 2IIII − I

∼

∼

1 2 0 30 −3 2 −70 0 0 0

III − II

⇒ r(A) = 2

Matrica A ima 4 stupca,

ali samo 2 stupca su linearno nezavisni.




A =

1 2 0 32 1 2 −11 −1 2 −4

.Rješenje. Vrijedi

A =

1 2 0 32 1 2 −11 −1 2 −4

∼1 2 0 30 −3 2 −70 −3 2 −7

II − 2IIII − I

∼

∼

1 2 0 30 −3 2 −70 0 0 0

III − II

⇒ r(A) = 2



Date post:	27-Feb-2021
Category:	Documents
Upload:	others
View:	4 times
Download:	0 times

Matrice - University of Splitgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Jelena Sedlar...

Documents