Mechanika kontinuamodel kontinua (model spojitého prostředí) :

a) prostor je spojitý (souvislá množina MG geometrických bodů BG)b) každé těleso je spojité (můžeme je chápat jako souvislou množinu MM

materiálových bodů BM)

Axiom kontinuity:V každém okamžiku je každému bodu prostoru přiřazen materiálový bod

Spojitý modelDiskrétní model

vlastnosti látky na poloze jsou

vyjádřeny spojitými funkcemi

vlastnosti látky na poloze jsou vyjádřeny

diskrétními hodnotami

Mechanika kontinuastřední hustota materiálu ⟨ρ⟩ v objemu ∆V

VM∆∆

>=ρ<

• pro limitní případ, kdy ∆V splývá s bodem (prostoru nebo materiálu), získáme hustotu materiálu ve formě spojité funkce souřadnic, tj.

VM

BV ∆∆

=ρ→∆

lim ∫ ∫∆ ∆

ρ==M V

VMM dd

přechod od objemu konečných rozměrů k bezrozměrnému bodu

V praxi se touto hodnotou rozumístřední hodnota ve velice malém(tzv. elementárním) objemu, kde se již neprojevuje nespojitástruktura skutečné látky

Makroskopický popis (pevných látek, kapalin

a plynů)

hmotnost hustota

Mechanika kontinua• Obdobným způsobem jako hmotnost můžeme pro spojitá tělesa vyjádřit všechny charakteristiky soustavy hmotných bodů, závislé na hmotnosti(např. hybnost, moment hybnosti, moment setrvačnosti,…)

[ ]∫ ×= mvrL drrr∫= mvp drr

hybnost moment hybnosti

2 typy veličin:I. Veličiny intenzivní - jsou to veličiny, které závisí na poloze (např. teplota, rychlost, tlak, moment setrvačnosti,…).

II. Veličiny extenzivní - jsou to veličiny, které charakterizují celétěleso jedinou číselnou hodnotou (na poloze nezávisící), např. objem, energie, hmotnost.

Popis kontinua

2 typy přístupů:

• I. Eulerova metodaV prostoru si vybereme jeden pevný bod BG a sledujeme vlastnosti(např. rychlost, zrychlení, teplotu, tlak) různých materiálových bodů BM v daném bodě prostoru v různých časových okamžicích. (látka se pohybuje prostorem a deformuje se).

spojitý prostor spojitý materiál

dvě odlišnéreferenční soustavy

Eulerovy souřadnice3,2,1),( == itXxx jii),,( 321 xxxr =r

• II. Lagrangeova metoda

Vybereme si jeden materiálový bod BM a sledujeme jeho pohyb v čase (změny polohy, trajektorii, rychlost, zrychlení) a změny jeho vlastností (např. změny teploty, tlaku,…).

),,( 321 XXXR =r

Lagrangeovy souřadnice3,2,1),( == jtxXX ijj

Popis kontinuapři popisu změny nějaké skalární funkce f kontinua (např.teploty) máme: )),,((),( ttXxftxff jii ==

• změnu funkce f můžeme vyjádřit jako:

( )fvtf

tx

xf

tf

tf

tf

Rk

k

krR

graddd 3

1⋅+

∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

= ∑=

r

rrr

materiálová(Lagrangeova) časová derivace

lokální (Eulerova) časová derivace

konvektivníčasová změna

kk vt

x=

dd

způsobeno pohybem

látky

Popis kontinuaRychlost materiálového bodu:

Zrychlení materiálového bodu :

),,( 321 vvvtrv

R

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=r

rr

vvtv

tv

tva

rR

rrrrr

r

rr)grad(

dd

⋅+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

≡=

ii

i vvtva grad⋅+∂∂

=r

část lokální

část konvektivní

)( 0tV

)(tV

)( 0trr

)(trr

soubor částic látky zaujímá v čase

různý objem a tvar

Kontinuum má dvě základní kinematické vlastnosti: a) může pohybovatb) může se deformovat (tj. měnit tvar a objem).

Kinematika spojitého prostředí

Lagrangeova metoda Eulerova metoda

Znázornění pohybu kontinua:

( )tRrr ,rrr

= ( )trvv ,rrr=( )0trR rr

=

- zadané pole rychlosti v prostoru

- v čase t = konst. můžeme v tekutině vést myšlené křivky -proudnice (proudočáry)

- rychlosti materiálových bodůležících na proudnici v místech xk v čase t = konst. mají směry tečen k této křivce.

- vyloučením času získáme trajektorii částic spojitého prostředí

- pohyb kontinua je pak popsán množinou všech trajektorií.

Proudočára a trajektorieobecně nesplývají (pouze u stacionárního proudění)

Charakteristiky vektorových políProudočáry mohou vznikat i zanikat. O jejich přírůstku nebo úbytku nás informuje divergence rychlosti.

Divergence – výtok vektoru z objemového elementu jednotkovévelikosti

• Tok vektoru uzavřenou plochou: VNv

Vv

V ddd1limdiv

0=Ω

∆= ∫

∆Ω→∆

rrr

∫∆Ω

Ω=rr dvN

N>0 … vytéká více než vtéká (zřídla toku)N<0 … vytéká méně než vtéká (propady toku)N=0 … stejný vtok i výtok

tok můžeme charakterizovat počtem proudočar

0div =vr 0div ≠vr

Divergence vyjadřuje to, zda dané vektorové pole (např. pole

rychlosti proudící kapaliny, elektromagnetické pole,…)

obsahuje v daném místě zdroje či úbytky toku dané veličiny

Umožňuje určit tok daného vektorového pole ve

specifikovaném objemu, např. hmotnostní průtok kapalinyproudění nezřídlové

Charakteristiky vektorových políVd

vr

yx ≡2

xx ≡1

zx ≡3

yy vv d+yv

VvVzv

yv

xvNNNN zyx

zyx ddivddddd r=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂

∂+

∂∂

=++=

Celkový tok vektoru v objemu dV:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂

∂+

∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅=⋅∇=

zv

yv

xvv

rvv zyxr

rrr

dddiv

Vyv

zxyyv

vN yyyyy ddddddd

∂

∂=

∂

∂=Ω⋅=

Tok vektoru ve směru y:

Divergence vektorového pole:

Gaussova věta:

( ) ∫∫ =Ω⋅Ω V

Vvv ddivd rrr

∫∫ =ΩΩ V

VSS dgraddr

- výsledkem této diferenciální operace je skalár (číslo)

Charakteristiky vektorových políJestliže některé proudočáry jsou uzavřené křivky, pak jde o tzv. vírový pohyb.

Vírový pohyb je možno charakterizovat rotací rychlosti:

[ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ×=×∇= v

rvv r

rrr

ddrot

[ ] [ ] ω=×ω=×ω+=rrrrrrr 2rotrotrotrot rrvv T

0rotrr

=v 0rr

=ω

Rotace rychlosti jednoho bodu kontinua

0)rot(dd

dd

rotrot === TT

T rtt

rv r

rr

proudová trubice

Stokesova věta:

∫∫ ΓΩ=Ω rVV rrrr

ddrot

Deformace kontinuaspojité prostředí může konat translaci, rotaci a může se deformovat

vektor posunutí - rozdíl polohových vektorů před a po deformaci

)()()( PrPrPu rrr−′=

P′

P

)(Prr

)(Pr ′r )(Pur

uu rr d+

Q

Q′

O

rrd

r ′rd

rPrQr rrr d)()( += uPuQu rrr d)()( +=

deformace kontinua

• poloha bodu Q po deformaci:

rPrQr ′+′=′ rrr d)()(

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

∂∂

∂∂

+=+=′ ∑∑∑===

3

1

33

1

23

1

1 d,d,dddddj

jjj

jjj

jj

xxux

xux

xururr rrrr

),,( 321 xxxr =r

Deformace kontinuamíra deformace materiálu je určena rozdílem:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=ε ∑=

3

121

k j

k

i

k

i

j

j

iij x

uxu

xu

xu

tenzor konečných deformací

∑∑= =

ε=−′3

1

3

1

22 dd2)d()d(i j

jiij xxrr rr

1<<∂∂

j

i

xu• za předpokladu, že deformace jsou malé, tj.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂∂

=εi

j

j

iij x

uxu

21 tenzor (malé) deformace

P′

P

)(Prr

)(Pr ′r )(Pur

uu rr d+

Q

Q′

O

rrd

r ′rd

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

εεεεεεεεε

=ε

333231

232221

131211t• symetrický tenzor 2.řádu

Deformace kontinua

i

iii x

u∂∂

=ε

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂∂

=εi

j

j

iij x

uxu

21

relativní délková změna objemového elementu ve směru osy xi

- souvisí se změnou objemu

polovina úhlu, o který se změní pravý úhel při smykové deformaci obj.elementu se stranami rovnoběžnými s osami xi a xj

- souvisí se změnou tvaru (bez změny objemu)

F

F

2du

1dx

2dx

2x

1x

2

222 x

u∂∂

=ε

122

11212 2tg ε=

∂∂

=α≈αxu

tF

1x

2x

12α

1du

2dx

1dx

čistá rotace elementu2112 α−=α

úhel smyku (poměrné posunutí)

Síly a napětí v kontinuuSíly působící na tělesa můžeme dělit podle dvou hledisek:

A. Síly vnitřní a vnější (pouze vnější síly mění pohybový stav tělesa)

B. Síly krátkého a dlouhého dosahu

Síly dlouhého dosahu(síly objemové)

Síly krátkého dosahu(síly povrchové)

působí bezprostředně na velkévzdálenosti (např. gravitačnísíla)

působí na celý objem (a nikoli pouze na jeho povrch) vyšetřovaného objektu

působí nezávisle na silách, působících na sousední elementy

působí pouze mezi nejbližšími molekulami (molekulární síly).

vnější síla působí pouze na molekuly tvořící povrchzkoumaného tělesa ( povrchovésíly) - např. tlak, tření atd.

účinek povrchových sil ovšem nekončí na povrchu tělesa

Objemové sílyObjemové síly:

- můžeme zobrazit vektorovou funkcí:

- objemové síly charakterizujeme intenzitou síly a hustotou síly:

( )trFO ,rr

intenzita síly hustota síly

( ) ( )VF

VtrFtrf OO

BVO dd,lim,rrr

rr=

∆=

→∆

( ) ( )∫∆

=V

OO VtrftrF d,, rrrr( ) ∫ ∫∆ ∆

=ρ=V M

O mEVEtrF dd,rrrr

( ) ( )mF

MtrFtrE OO

M dd,lim,

0

rrrrr

=∆

=→∆

EfO

rrρ=síla působící na

jednotkovou hmotnost dm tělesa

síla působící na jednotkový objem

dV materiálu

Povrchové sílyPovrchové síly:

- povrchovou sílu můžeme zobrazit vektorovou funkcí:

- při působení vnější povrchové síly na těleso vzniká odezva materiálu (reakční síla) – vnitřní povrchová síla se šíří uvnitř materiálu a snaží se vrátit materiál do původního stavu

- povrchové síly charakterizujeme vektorem napětí a hustotou síly:

( )trFP ,rr

plošná hustota povrchové síly(vektor napětí) T

∫Ω Ω= dTFP

rr

objemová hustota vnitřnípovrchové síly fP

síla působící na jednotkovou plochu

dΩ povrchu

Ω=

∆Ω=

→∆Ω ddlim PP

A

FFTrr

r

VF

VFf PP

BVP ddlimrr

r=

∆=

→∆

∫∆

=V

PP VfF drr

síla působící na jednotkový objem

dV materiáluNapětí … 1 N/m2=1 Pa

Povrchové síly, napětíVektor napětí T můžeme obecně rozložit na normálovou a tečnou složku k dané elementární plošce dΩ

Ωd

Ω= dd TFP

rr

SV d,d

nrΩσ= dd nF nn

rr

Ωτσ= dd rrttF

normálovénapětí

tečné (smykové)napětí

Vektor napětí můžeme vyjádřit pomocítzv. tenzoru napětí

22σ2Tr

23σ

21σ yx ≡2

xx ≡1

zx ≡3

vnitřní napětíσij – složka síly ve

směru xj působící na plošku dΩi kolmou k

souřadné ose xii

jP

i

jPij

FFi Ω

=∆Ω

=σ→∆Ω d

dlim ,,

0

Povrchové síly, napětíTenzor napětí:

- symetrický tenzor 2.řádu, kde na hlavní diagonále jsou normálovánapětí a na vedlejších diagonálách tečná napětí

- popisuje stav napjatosti v daném bodě tělesa (v různých bodech tělesa je různý)

- vektor napětí na libovolné plošce:⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

σσσσσσσσσ

=σ

333231

232221

131211t

nT rtrσ=

∑=

σ=3

1jjjii nT

( ) ∑∑==

Ω∂σ∂

=Ωσ−σ′=3

1

3

1, dddd

kkk

k

ki

kkkikiiP x

xF

yx ≡2

xx ≡1

zx ≡3

22σ′

2dΩ2dx

Vd32σ′

12σ′

12σ

32σ22σ

Rozdíl sil působících ve směru xi na objemový

element dV

∑= ∂

σ∂==

3

1

,, d

d

k k

kiiPiP xV

Ffobjemová hustota síly

Povrchové síly, napětísměry a velikost hlavních napětí σ

0

333231

232221

131211

=σ−σσσ

σσ−σσσσσ−σ

jiij ≠=σ 0

hlavní normálová napětí321 σ>σ>σ

nn rrtσ=σ

trajektorie hlavních napětí

Vnitřní napětí a deformacetypy vnitřního napětí: elastická napětí, vazká napětí

A) Vnitřní elastická napětí (pnutí) - odezvy pružného materiálu na deformační procesy

ε

SF

=σ

lineárníchování v tahu

lineárníchování v tlaku

tahovázkouška

FF

l∆

l S

ll∆

=ε poměrná deformace pracovní diagram

Vnitřní napětí a deformacelineární vztah v teorii pružnosti mezi deformací a napětím u homogenního izotropního materiálu lze vyjádřit Hookeovýmzákonem:

při obecném jednoosém namáhání platí:

ε=σ En α=τ=σ GttF

1x

2x

α

smykovázkouška

iii

iii E

xuE ε=∂∂

=σ ( )kixu

Gi

kik ≠

∂∂

=σ

v obecném případě anizotropního materiálu (např.dřevo, kompozity,..) platí:

klijklij C ε=σ Cijkl - tenzor elastických koeficientů

Deformace jsou různé při namáhání v různých

směrechizotropní materiál

2 elastické koeficienty – E,G

Základní pružná namáháníPružnost v tahu:

llEE

SF ∆

=ε==σ

ll∆

=ε

FF

l∆

l S

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ σ+=ε+=′

Elll 1)1(

a

b b′

a′

poměrné délkovéprodloužení

poměrné příčnézkrácení

bb

aa ∆=

∆=ν

εη

=νPoissonovočíslo

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ σ

ν−=η−=′E

aaa 1)1(

0>σ

210 <ν<

Základní pružná namáháníVšestranný kolmý tlak:

objemová změna

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ σ

ν+σ

−=η+ε−=′EE

aaa nn 21)21(

délková změna hrany

p

p

p

a

bc

VabcabccbaV )2(3]1)21[( 3 η−ε−=−η+ε−=−′′′=∆

0332211 <σ−=−=σ=σ=σ np

v kapalinách v klidu (vzhledem k jejich deformovatelnosti) působí tzv. statické tlaky, jež jsou speciálním případem elastických napětí.

• jsou konstantní v každém bodě povrchu nějakého objemu, jsou kolmé na povrch a jsou orientovány dovnitř objemu

nEVV

σν−−

=∆

=ϑ)21(3

)21(31

ν−=

γ=

EKpV

V 1∆−=γ

součinitel objemovépružnosti

210 <ν<

objemovástlačitelnost

Základní pružná namáhání0,0

21

=∆=γ⇒=ν V nestlačitelný materiál

p−=σ=σ=σ 332211

( )kiik ≠=σ 0

pf p grad−=r

Statický tlak p se snaží zmenšit objem

332211

3

1ddd

ε+ε+ε=∂∂

=−′

=ϑ ∑=k k

k

xu

VVV

)dd)(dd)(dd(d 332211 uxuxuxV +++=′

321 dddd xxxV =

ϑ−=−= KVVKp d

K…modul objemové pružnosti

p

p

p

1dx2dx

3dx

Vd

relativní změna objemu

Základní pružná namáháníPružnost v tlaku: SF /−=σ0<σ F

S

Pružnost ve smyku:

- síla působí v rovině průřezu- jednotlivé vrstvy materiálu se navzájem posouvají, aniž se mění jejich kolmávzdálenost

α=τ=σ Gttečné (smykové)

napětí

tF

1x

2x

12α

1du

2dx

1dx122

112 2tg

12ε=

∂∂

=α≈αxu

Základní pružná namáháníPružnost ve smyku

ε+η−

=γ+γ−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ γ

−π

11

)2/(tg1)2/(tg1

24tg

2/)2/(tg γ≈γ 1,1 <<ηε<<γ

)1( ν+σ

=η+ε≈γE

n SF nσ= 24cos FFFt =

π=

γν+

=σ

===′

=τ)1(2222

ES

FS

FSF ntt

modul pružnosti ve smyku 23

EGE<<

)1(2 ν+=

EG Hookeův zákon γ=τ G

Základní pružná namáháníHookeův zákon – homogenní izotropní elastický materiál (E,G=konst.)

0,0 332211 =σ=σ≠σ E11

113322σ

ν−=νε−=ε=ε

0,0 331122 =σ=σ≠σ

0,0 221133 =σ=σ≠σ

E22

223311σ

ν−=νε−=ε=ε

E33

332211σ

ν−=νε−=ε=ε yx ≡2

xx ≡1

zx ≡3Vd

32σ

22σ

12σ11σ21σ

31σ

23σ13σ

33σ

)(21332211

3

σ+σ+σν−

=ε=ϑ ∑ Ekkk

ikikik GG ε=α=σ 2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ε

ν−ν

+εν+

=σ ∑=

3

1211 kkkiiii

E

[ ])(133221111 σ+σν−σ=ε

E[ ])(1

33112222 σ+σν−σ=εE[ ])(1

22113333 σ+σν−σ=εE

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

=εi

k

k

iik x

uxu

21

Základní pružná namáháníElastické charakteristiky materiálů:

Materiál E [GPa] G [GPa] µ

ocel 190-220 70-90 0,25-0,35hliník 65-68 25-27 0,33dřevo 10-15 0,3-1,0 0,2beton 40-80 16-33 0,1-0,15sklo 50-80 20-30 0,25

Materiál K [GPa]voda 2líh 0,9rtuť 26

Základní pružná namáháníPevnost materiálů:

Při navrhování konstrukcí je nutné zajistit, aby napětí nepřekročilo hodnotu, která by se vyznačovala velkými deformacemi resp. porušením konstrukce

21

resp.CC

kvýp

mvýp

σ≤σ

σ≤σvýpočtová pevnost

Materiál σu [MPa] σm [MPa]ocel 190-220 380-450dural 180-200 370dřevo 25 40sklo 40-100 80-200

beton 3-25 5-50zdivo 2-6 3,5-20

pevnostnícharakteristiky materiálů (tlak)

SF

=σ

ε

kσ

mσσ

uσ

Základní pružná namáháníVideo – pevnost v tahu:

Základní pružná namáháníPříklad: (tahové a smykové namáhání)

- určete smykové a normálové napětí v ploše lepeného spoje

α

F

F

nστ

S

α=′ cos/SS

α

nFτF

F

α=τ sinFF α= cosFFn

αα=′

=τ τ cossinSF

SFsmykové napětí

α=′

=σ 2cosSF

SFn

nnormálové napětí

Základní pružná namáhání

H

J

H ′

h

LCh

mx

Příklad: (statické a dynamické protažení pružného lana)

a) Statické protažení LxEE

SFE =ε=

LESmgxs =GFE =

b) Dynamické protažení

- změna polohové energie se spotřebuje na práci nutnou k protažení lana

2

00 2dd m

xx

xL

ESxxL

ESxFAmm

=== ∫∫ )( mcp xhmgW +=∆

AWp =∆

0222 =−− cmm hESmgLx

ESmgLx

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++= cm h

mgLES

ESmgLx 211

MPa500=Em30=L

kg80=mm2=&sx2cm8,0=S

m1,9=&mxm60=ChL

xESF m=max

kN1,12max =F

předpoklad lineárního chování lana

Základní pružná namáháníRázová síla – lano bez prokluzu

Pádový faktor P=hC/L

Rázová sílaFmax [kN]

0,5 6,41 8,7

1,5 10,52 12,1

4 16,73 14,5

5 18,5

via ferrata – P = 0.5-5

Základní pružná namáháníPříklad: (čistý ohyb nosníku)

0dd ===σ= ∫∫∫∫ SzrESz

rESF T

SS

yS

y IrESz

rEFzM === ∫∫∫ dd 2

Relativníprodloužení: r

zs

ss=

−′=ε

ddd

yMyMx

z vrstvaneutrální 0=σ

α+=′ d)(d zrs

- předpoklad zachování rovinnostiprůřezů i po deformaci (D.Bernoulli)

napětí v průřezu: zrEE =ε=σ

Výslednice sil v průřezu: 0=F

neutrální vrstva procházítěžištěm průřezu

0≠yMMoment síly v průřezu:

Iy [m4] …moment setrvačnosti průřezu

Základní pružná namáháníPříklad: (čistý ohyb nosníku) x

z r

sd

nosníkučára ohybová

αd

αdαα= dd rs

xxzzxs d)

dd(1)d()d(d 222 +=+=

xz

ddtg =α

xz

ddarctg=α

x

xzx

z d

dd1

1ddd 22

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

⋅=α

23

22

2

dd1

1dd

dd1

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

⋅=α

=

xz

xz

sr

2

2

2

2

dd

dd

xwEI

xzEII

rEM yyyy ===

Křivost křivky:Průhybová čára nosníku (malé deformace)

2

2

dd11

dd

dd

xz

rxw

xz

≈⇒<<=

Základní pružná namáháníVideo – ohyb nosníku (měření modulu pružnosti):

F

L

E

w2d

d2

2 FxMxwEI y −==

0d/d2/ =⇒= xwLx

00 =⇒= wx

21

3

12CxCFxEIw ++−=

1

2

4dd CFx

xwEI +−=

EIFLw

48

3

=02 =C16/2

1 FLC =

Vnitřní napětí a deformaceB) Vazká napětí- napětí sil vnitřního tření- jsou odezvou materiálu na posouvání jeho jednotlivých částí vůči

sobědůležité u tekutin

• Newtonův zákon viskozity:- vyjadřuje přímou úměru mezi rychlostí deformace a smykovým napětím

kii

kik D

xv

η=∂∂

η=σ 2Vazká napětí

dynamická viskozita látky [Pa·s]

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

=∂ε∂

=k

i

i

kkiki x

vxv

tD

21

• v praxi existují i tzv.nenewtonovské materiály (např. asfalt, krev, bahno,…)

)( ikki fD σ=

tenzor rychlosti deformace

Rovnice mechaniky kontinuaRovnice kontinuity:

- vyjadřuje zákon zachování hmoty

- úbytek hmotnosti, ke kterému v objemu ∆V dojde za časovou jednotku, je roven toku hmotnosti přes povrch ∆Ω objemu ∆V

0dd

=tm

Ωr

vVm rr⋅Ωρ=ρ= ddd Ω⋅=Ω dd nr

r

∫∫∆Ω

Ωρ=rr dvm ∫∫

∆∆ ∂ρ∂

−=ρ∂∂

−=VV

Vt

Vt

m dd

d

ΩdV∆

vr

Hmotnostní tok kapaliny za jednotku času v objemu ∆V

∫∫∫∫ ∂ρ∂

−=ρ=Ωρ∆Ω VV

Vt

Vvv dddivd rrr- použitím Gaussovy věty získáme

0div =ρ+∂ρ∂ vt

rRovnice kontinuity

Rovnice mechaniky kontinuaRovnice kontinuity pro stacionární proudění nestlačitelné tekutiny:

( ) 0d =Ω⋅ρ∫∆Ωrrv0=

∂ρ∂t

0div =ρvr

- ustálené proudění proudovou trubicí

1nr

2nr

3nr

1S

2S

3S1vr

2vr

( ) ( ) ( )∫ ∫∫ =Ω⋅ρ+Ω⋅ρ+Ω⋅ρ1 32

0dddS SS

vvvrrrrrr

222111 SvSv ρ=ρ

( ) .konst, =ρ trr- u nestlačitelné kapaliny:

2211 SvSv =

Pohybová rovnice kontinua

∑= ∂

σ∂=

3

1,

k k

kiiP x

f

PO FFvvtvM

tvMaM

rrrrrr

r dd)(ddddd +=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ∇⋅+∂∂

==

PO ffarrr

+=ρ

EfO

rrρ=

Pohybovárovnice kontinua

Pohybová rovnice kontinua: )),(),(),(( 321 ttxtxtxvv rr=

- v případě vazké kapaliny v tíhovém poli:

vpga rrr∆η+−ρ=ρ grad

ik k

iVi v

xv

f ∆η=∂

∂η= ∑

=

3

12

2

ϕρ−=ρ= gradgfOrr

pfT grad−=r

Navier-Stokesovarovnice