7. Mechanika tuhého 7. Mechanika tuhého tělesatělesa

Tuhé těleso a jeho pohybTuhé těleso a jeho pohyb

Tuhé tělesoTuhé těleso je ideální těleso, jehož je ideální těleso, jehož tvar ani objem se účinkem libovolně tvar ani objem se účinkem libovolně velkých sil nemění, tzn. tuhé těleso velkých sil nemění, tzn. tuhé těleso se nedeformuje. se nedeformuje.

Pohyb tuhého tělesa:Pohyb tuhého tělesa:

Posuvný (translace) Posuvný (translace)

Otáčivý (rotace)Otáčivý (rotace)

Složený (posuvný + otáčivý)Složený (posuvný + otáčivý)

Pohyb tuhého tělesaPohyb tuhého tělesa

Posuvný (translace) Posuvný (translace) - každá přímka je pevně spojená s tělese a - každá přímka je pevně spojená s tělese a

stále rovnoběžná se svojí původní polohoustále rovnoběžná se svojí původní polohou- všechny body tělesa opisují stejné trajektorie a mají - všechny body tělesa opisují stejné trajektorie a mají v v

daném okamžiku stejnou rychlost daném okamžiku stejnou rychlost vv- - může být křivočarý, přímočarý, rovnoměrný, …může být křivočarý, přímočarý, rovnoměrný, …

Otáčivý (rotace tělesa kolem nehybné osy)Otáčivý (rotace tělesa kolem nehybné osy)- body tělesa opisují soustředné kružnice- body tělesa opisují soustředné kružnice

(nebo jejich části)(nebo jejich části)- mají stejnou okamžitou úhlovou rychlost - mají stejnou okamžitou úhlovou rychlost ωω- velikost rychlosti je přímo úměrná vzdálenosti od osy - velikost rychlosti je přímo úměrná vzdálenosti od osy

otáčeníotáčení

Moment síly vzhledem k oseMoment síly vzhledem k ose

• vektorová fyzikální veličina vyjadřující otáčivý účinek síly vektorová fyzikální veličina vyjadřující otáčivý účinek síly FF na tuhé těleso vektorová fyzikální veličina na tuhé těleso vektorová fyzikální veličina

• leží v ose otáčení, směr určíme podle leží v ose otáčení, směr určíme podle pravidla pravé rukypravidla pravé ruky – položíme-li pravou ruku dlaní na těleso tak, aby prsty – položíme-li pravou ruku dlaní na těleso tak, aby prsty ukazovaly směr otáčení tělesa, pak vztyčený palec ukazovaly směr otáčení tělesa, pak vztyčený palec ukazuje směr momentu síly ukazuje směr momentu síly

• označení: označení: MM• jednotka: N.m (newton metr)jednotka: N.m (newton metr)

M = F M = F xx r r FF…velikost působící síly…velikost působící síly r…vzdálenost r…vzdálenost rr, tj. rameno síly, tj. rameno síly

Momentová větaMomentová věta

Výsledný moment sil Výsledný moment sil MM současně působících současně působících na tuhé těleso se rovná vektorovému na tuhé těleso se rovná vektorovému součtu momentů jednotlivých sil vzhledem součtu momentů jednotlivých sil vzhledem k dané ose, tedy k dané ose, tedy MM = = MM11 + + MM22 + … + + … + MMn.n.

Otáčivý účinek sil působících na tuhé těleso Otáčivý účinek sil působících na tuhé těleso se navzájem ruší, je-li vektorový součet se navzájem ruší, je-li vektorový součet momentů všech sil vzhledem k dané ose momentů všech sil vzhledem k dané ose nulový, tedy nulový, tedy MM = = MM11 + + MM22 + … + + … + MMn n = 0.= 0.

Skládání a rozkládání silSkládání a rozkládání silSkládání dvou sil se společným Skládání dvou sil se společným

působištěmpůsobištěmVýsledniceVýslednice – síla stejně velká, ale opačného směru jako síla, která – síla stejně velká, ale opačného směru jako síla, která

skládané síly drží v rovnovázeskládané síly drží v rovnováze

Skládání více sil se společným Skládání více sil se společným

působištěmpůsobištěm

Skládání dvou různoběžných sil Skládání dvou různoběžných sil

působících v různých bodech na působících v různých bodech na tělesotěleso

Rozklad síly na dvě různoběžné složkyRozklad síly na dvě různoběžné složky

FFGG = = FF11 + + FF22

FFGG / 2 =/ 2 = F F11sinsinαα

FF11 = = FF22

FF11 = d = d22/d · F/d · FGG

FF22 = d = d11/d · F/d · FGG

FF11dd11 = F = F22dd22

Dvojice silDvojice sil

Dvojici sil tvoří dvě stejně velké rovnoběžné síly F, FDvojici sil tvoří dvě stejně velké rovnoběžné síly F, F´ navzájem opačného směru, které působí ve ´ navzájem opačného směru, které působí ve dvou různých bodech tělesa otáčivého kolem dvou různých bodech tělesa otáčivého kolem nehybné osy. nehybné osy.

Vektorové přímky sil F a F´ jsou různé. Vektorové přímky sil F a F´ jsou různé. Nelze nahradit jedinou silou, neboť výslednice by Nelze nahradit jedinou silou, neboť výslednice by

byla nulová.byla nulová.Moment dvojice sil: Moment dvojice sil: DD

D = F · d D = F · d

Velikost momentu dvojice sil je rovna součinu velikosti jedné Velikost momentu dvojice sil je rovna součinu velikosti jedné síly a ramena dvojice. Je kolmý k rovině, v níž leží síly a jeho síly a ramena dvojice. Je kolmý k rovině, v níž leží síly a jeho směr určujeme pomocí pravidla pravé ruky.směr určujeme pomocí pravidla pravé ruky.

Těžiště tělesaTěžiště tělesa

Tuhé těleso je složeno z velkého počtu hmotných bod, Tuhé těleso je složeno z velkého počtu hmotných bod, jejichž vzájemná poloha se nemění. Na jednotlivé body jejichž vzájemná poloha se nemění. Na jednotlivé body působí tíhové síly Fpůsobí tíhové síly FG1G1, F, FG2G2,…,F,…,FGnGn, které jsou navzájem , které jsou navzájem rovnoběžné. Jejich složením dostaneme výslednou rovnoběžné. Jejich složením dostaneme výslednou tíhovou sílu Ftíhovou sílu FGG, která má působiště v bodě T, který , která má působiště v bodě T, který nazýváme nazýváme těžiště tělesatěžiště tělesa..

Těžiště tuhého tělesa je působiště tíhové síly působící na Těžiště tuhého tělesa je působiště tíhové síly působící na těleso v homogenním tíhovém poli. těleso v homogenním tíhovém poli.

Podmínky rovnovážné polohy Podmínky rovnovážné polohy tuhého tělesatuhého tělesa

Tuhé těleso je v rovnovážné poloze, jestliže se pohybový Tuhé těleso je v rovnovážné poloze, jestliže se pohybový účinek všech sil působících na těleso navzájem ruší a účinek všech sil působících na těleso navzájem ruší a těleso je v klidu.těleso je v klidu.

Podmínka rovnováhy sil: Těleso je v rovnovážné poloze, je-Podmínka rovnováhy sil: Těleso je v rovnovážné poloze, je-li výslednice všech sil působících na těleso nulová. li výslednice všech sil působících na těleso nulová.

F F = = FF11 + + FF22 + … + + … + FFnn = 0 = 0

Podmínka rovnováhy momentů sil: Těleso otáčivé kolem Podmínka rovnováhy momentů sil: Těleso otáčivé kolem nehybné osy je v rovnovážné poloze, je-li vzhledem k nehybné osy je v rovnovážné poloze, je-li vzhledem k této ose výsledný moment všech sil působících na těleso této ose výsledný moment všech sil působících na těleso nulový. (tj. momentová věta) nulový. (tj. momentová věta)

MM = = MM11 + + MM22 + … + + … + MMnn = 0 = 0

Rovnovážné polohy tuhých Rovnovážné polohy tuhých tělestěles

Stálá = stabilní Stálá = stabilní - má těleso, které se po vychýlení- má těleso, které se po vychýlení

z této polohy opět do ní vracíz této polohy opět do ní vrací

Vratká = labilní Vratká = labilní - má těleso, které se po vychýlení- má těleso, které se po vychýlení

z této polohy do ní nevrací, z této polohy do ní nevrací,

ale přechází do nové stálé polohyale přechází do nové stálé polohy

Volná = indiferentníVolná = indiferentní- má těleso, které zůstává - má těleso, které zůstává

po vychýlení v jakékoli nové polozepo vychýlení v jakékoli nové poloze

Jednoduché strojeJednoduché stroje

1.1. Stroje založené na rovnováze Stroje založené na rovnováze momentů sil – páka, kladka, kolo na momentů sil – páka, kladka, kolo na hřídelihřídeli

2.2. Stroje založené na rovnováze sil - Stroje založené na rovnováze sil - nakloněná rovina, klín, šroubnakloněná rovina, klín, šroub

pevná páka jednozvratnápevná páka jednozvratná

volná kladka dvojzvratná nakloněná rovina šroubvolná kladka dvojzvratná nakloněná rovina šroub

Kinetická energie tuhého Kinetická energie tuhého tělesatělesa

Kinetická energie tělesa je rovna součtu Kinetická energie tělesa je rovna součtu kinetických energií jednotlivých kinetických energií jednotlivých hmotných bodů: hmotných bodů:

EEkk = ½ m = ½ m11vv1122 + ½ m + ½ m22vv22

22 + … + ½ m + … + ½ mnnvvnn22

Při otáčivém pohybu:Při otáčivém pohybu: vv11 = = ωωrr11, v, v22 = = ωωrr22, …, …

EEkk = ½ m = ½ m11ωω22rr1122 + ½ m + ½ m22ωω22rr22

2 2 + … + ½ m+ … + ½ mnnωω22rrnn22

EEkk = ½ = ½ωω22 (m (m11rr1122 + m + m22rr22

22 + … + m + … + mnnrrnn22))

Moment setrvačnosti tuhého Moment setrvačnosti tuhého tělesa vzhledem k ose otáčenítělesa vzhledem k ose otáčení

Moment setrvačnosti je skalární fyzikální veličina, Moment setrvačnosti je skalární fyzikální veličina, která vyjadřuje rozložení látky v tělese vzhledem která vyjadřuje rozložení látky v tělese vzhledem k ose otáčení. k ose otáčení.

Označení: J Označení: J [[kg · mkg · m22]]

J = mJ = m11rr1122 + m + m22rr22

22 + … + m + … + mnnrrnn22

Kinetická energie při otáčivém pohybuKinetická energie při otáčivém pohybuEEkk = ½J = ½Jωω22

Setrvačník: tuhé těleso s velkým momentem setrvačnosti (obvykle Setrvačník: tuhé těleso s velkým momentem setrvačnosti (obvykle osově souměrné), které se může setrvačně otáčet, a tak osově souměrné), které se může setrvačně otáčet, a tak nahromadit kinetickou energii.nahromadit kinetickou energii.

Steinerova věta: Steinerova věta: Pokud osa otáčení o´ Pokud osa otáčení o´

neprochází těžištěm tělesa, moment neprochází těžištěm tělesa, moment setrvačnosti určujeme podle Steinerovy věty J setrvačnosti určujeme podle Steinerovy věty J = J= J00 + md + md22..

Momenty setrvačnosti některých tělesMomenty setrvačnosti některých tělesTělesoTěleso Osa otáčeníOsa otáčení Moment Moment

setrvačnostisetrvačnostitenká tyčtenká tyč kolmá na tyč v koncovém kolmá na tyč v koncovém

boděbodě

kolmá na tyč v jejím kolmá na tyč v jejím středustředu

J = 1/3 mlJ = 1/3 ml22

J = 1/12 mlJ = 1/12 ml22

rotační válecrotační válec totožná s osou válcetotožná s osou válce J = ½ mrJ = ½ mr22

tenký prstenectenký prstenec kolmá na rovinu ve kolmá na rovinu ve středu prstencestředu prstence

J = mrJ = mr22

koulekoule prochází středem kouleprochází středem koule J = 2/5 mrJ = 2/5 mr22

TestTest

Výsledky testuVýsledky testu

11 22 33 44 55 66 77 88 99 1010 1111 1212