Mechanika tuh ého tělesa

Kinematika + dynamika

Kinematika tuhKinematika tuhééhoho ttěělesalesa

• Pojem tuhé těleso vzniká abstrakcí reálného tělesa

• Tuhé těleso zachovává tvar a rozložení hmotnosti reálného tělesa, předpokládá se však, že vzájemnévzdálenosti jednotlivých bodů tělesa zůstávajíneproměnné při libovolných silách působících na těleso

• Tuhým tělesem tedy nazýváme těleso, které se působením vnějších sil nedeformuje

TuhTuhéé ttěělesoleso• Tuhé těleso si můžeme představit buď jako soustavu

hmotných bodů, pro než se nemění vzdálenost (tuhásoustava) nebo jako útvar se spojitě rozloženou hmotou

Kinematika tuhKinematika tuhéého tho těělesalesa

• Tuhé těleso má maximálně šest stupňů volnosti

• Je-li ve svém pohybu ještě nějak omezeno, počet stupňůvolnosti se zmenší

• Tuhé těleso může konat pohyby transla ční (posuvný, postupný) a rotační (otáčivý)

• Kombinací obou pohybů dostáváme pohyb obecný

TranslaTranslaččnníí pohybpohyb• Trajektorie všech bodů mají stejný tvar a v libovolném

okamžiku jsou rychlosti a zrychlení všech bod ů

tuhého tělesa stejné

RotaRotaččnníí pohybpohyb• Tento pohyb může tuhé těleso

konat, pokud jeden z jeho bodůzůstává v klidu a ostatní se pohybují po kulových plochách se středem v tomto pevném bodě –sférický rota ční pohyb

• Častěji se setkáváme s pohybem, kdy body tělesa zůstávají v klidu na přímce, které se říká pevná osa rotace

• Rotační pohyb kolem pevné osy rotace se nazývárovinný rota ční pohyb

Kinematika tuhKinematika tuhéého tho těělesalesa

• Volná soustava hmotných bodů má 3N stup ňůvolnosti

• Tuhá soustava hmotných bodů a tuhé těleso majípouze šest stup ňů volnosti

• Udáním polohy tří hmotných bodů tuhé soustavy, kterévšechny neleží v jedné přímce, je jednoznačně určena poloha všech bodů soustavy

Určení polohy tuhého tělesa (bodů soustavy)

• Další možností je určit polohu jednoho bodu, tímto bodem bude procházet osa a určíme úhel natočenívzhledem k této ose

• Rotace tuhého t ělesa kolem pevné osy– bod A a osa o zachovávají po celou dobu pohybu v tělese i

prostoru stálou polohu => jedinou časově proměnnou veličinou je úhel φ a udáme-li jeho časovou závislost, bude pohyb kinematicky plně určen

Určení polohy tuhého tělesa (bodů soustavy)

OtOtááččeneníí ttěělesa kolem pevnlesa kolem pevnéého ho bodubodu

• V každém okamžiku lze otáčení tuhého tělesa kolem pevného bodu vyjádřit jako otáčení tuhého tělesa kolem pevné osy procházející pevným bodem

SmSměěr vektoru r vektoru úúhlovhlovéé rychlostirychlosti• Vektor úhlové rychlosti je vždy rovnoběžný s osou

rotace a jeho směr určí palec pravé ruky, ukazují-li ostatní sevřené prsty pravé ruky smysl rotace tělesa. Směr vektoru nemusí proto vždy souhlasit se směrem, který udává zvolený směrový vektor rotační osy

OkamOkamžžititéé zrychlenzrychleníí bodu v tuhbodu v tuhéém m ttěěleselese

• Vektor okamžitého zrychlení

Obecný pohyb tuhObecný pohyb tuhéého tho těělesalesa• Libovolný pohyb tuhého tělesa lze složit z posuvného

pohybu (translace) a otáčení (rotace) kolem pevného bodu (Chaslesova věta)

Kinematika tuhKinematika tuhéého tho těělesalesa

• Úhlová rychlost otáčení tělesa nezávisí na volbě bodu, vůči kterému otáčení uvažujeme.

• Rychlosti dvou různých bodůtělesa zde označené V a V’jsou obecně různé

• Velikost posuvné rychlosti na volbě bodu A závisí

Dynamika tuhDynamika tuhéého tho těělesalesa

• Stejně jako v dynamice hmotného bodu budeme hledat souvislosti mezi veličinami popisujícími příčinu změny pohybového stavu TT a veličinami popisujícími pohyb TT

• Těžištěm dynamiky TT je opět pohybový zákon a s ním související věta o kinetické energii a zákon zachovánímechanické energie

• Dynamika HB je v podstatě dynamikou translačního pohybu, v případě TT je vhodné v závislosti na charakteru pohybu tělesa rozlišit dynamiku translačního, dynamiku rotačního a dynamiku obecného pohybu TT

Dynamika tuhDynamika tuhéého tho těělesalesa

• Transla ční pohyb – reprezentuje pohyb hmotného středu, platí pro něj všechny zákony, uvedené pro dynamiku hmotného bodu

• Rotační pohyb – známe kinematické veli činy

které jsou analogické kinematickým veličinám při transla čním pohybu

• Pro potřeby dynamiky TT je třeba zavést dynamickéveli činy obdobné hmotnosti, síle a hybnosti

RotaRotaččnníí pohyb tuhpohyb tuhéého tho těělesalesa

• Mírou setrvačných účinků tělesa při translačním pohybu je jeho hmotnost

• Při rotaci tyto vlastnosti závisí nejen na hmotnosti, ale také na rozložení hmoty v tělese vzhledem k ose rotace

• Míra setrva čných vlastností t ělesa p ři rotaci vyjadřuje veličina, která je závislá na hmotnosti tělesa a na rozložení hmoty v tělese – moment setrva čnosti

RotaRotaččnníí pohyb tuhpohyb tuhéého tho těělesalesa

• Závislost rotačního účinku na velikosti síly, na směru síly a na poloze působiště síly vzhledem k ose otáčenívyjadřuje moment síly – míra rotačních účinků síly

• Celková hybnost výše uvedeného rotátoru je nulová –veličina hybnost není tedy ideální pro popis dynamického stavu rotujícího tělesa – zavádí se analogická veličina nazývaná moment hybnosti tělesa

Moment setrvaMoment setrvaččnosti TTnosti TT• Kinetická energie rotujícího tělesa, složeného z n

hmotných bodů

• Moment setrvačnosti je mírou setrvačných vlastnostídaného soustavy při jejím rotačním pohybu kolem osy

Moment setrvaMoment setrvaččnosti TTnosti TT

• V případě spojitého rozložení hmoty v tělese

Moment setrvaMoment setrvaččnosti nnosti něěkterých kterých ttěělesles

Steinerova vSteinerova věětata

Moment sMoment síílyly

• Otáčivé účinky sil, které působí na tuhé těleso, závisínejen na velikosti sil, ale také na směru působení a poloze působišť sil vzhledem k ose rotace

• Moment síly je tedy míra otáčivých účinků při rotaci tělesa

• Tuto veličinu můžeme definovat vzhledem k bodu (sférický rotační pohyb) nebo vzhledem k ose (rovinný rotační pohyb)

Moment sMoment sííly vzhledem k boduly vzhledem k bodu

Moment sMoment sííly vzhledem k osely vzhledem k ose

Dvojice silDvojice sil

Dvojice silDvojice sil

• Přeneseme-li sílu F z bodu A do bodu B, její dynamický účinek na těleso se nezmění, přidáme-li k síle F v bodu B silovou dvojici o momentu

Dvojice silDvojice sil

• Z předchozího vyplývá, že– sílu, působící na tuhé těleso můžeme přenést do jiného bodu,

když současně přidáme dvojici sil, jejíž moment se rovnámomentu dané síly vzhledem k novému působišti

– působí-li na těleso v jeho různých bodech soustava sil, můžeme všechny přenést do určitého bodu a nahradit je v něm jedinou silou

ProPročč se hmotnse hmotnéému stmu střředu edu řřííkkááttěžěžiiššttěě

• Hmotný střed bývá nazýván těžištěm, protože je působištěm síly, která na těleso působí v tíhovém poli