Metody teorie spolehlivosti

Pravděpodobnostní metody

EXAKTNÍúroveň III

Historické metodyEmpirické metody

FORMúroveň II

Kalibrace

KalibraceKalibrace METOD NÁVRH. BODŮ

METODA DÍLČÍCH SOUČINITELŮ

úroveň I

Nejistoty stavebních systémů• Nejistoty Možnost popisu

- Náhodnosti - přirozená proměnlivost- Statistické nejistoty - nedostatek dat- Modelové nejistoty- Neurčitosti - nepřesnosti definic- Hrubé chyby - lidský činitel- Neznalosti - nové materiály a podmínky

• Nástroje- teorie pravděpodobnosti a fuzzy množin- matematická statistika

Některé nejistoty je obtížné kvantifikovat

MEZ PRŮTAŽNOSTIDensity Plot (Shifted Lognormal) - [A1_792]

210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 4200.000

0.005

0.010

0.015

0.020

Relative requency

Yield strength [MPa]

Pravděpodobnostní metoda-úroveň III

• Zatížení - náhodné veličiny F• Vlastnosti materiálů - náhodné veličiny f• Rozměry - náhodné veličiny a

• Nedostatky- nedostatek representativních dat umožňujících definice příslušných teoretických modelů

ttf,f ; ββ >< PP )( f-1N Pβ Φ−=

Pravděpodobnost poruchyZákladní veličiny: X zatížení, vlastnosti materiálů, rozměryFunkce mezního stavu: g(X), g(X) < 0 porucha,

g(X) > 0 příznivý stavPravděpodobnost poruchy Pf a spolehlivost Ps

Nedostatky: - definice funkce g(x) - stanovení směrné hodnoty Ptarget- definice teoretických modelů pro X- nedostatečný zřetel k následkům poruch

XXXX

X d)(}0)({Prob10)(g

sf ∫<

=

Základní úloha teorie spolehlivosti 1Zatížení E známé, odolnost R náhodná: µR, σR

Index spolehlivosti: RR E σµβ /)( −=

poruchy

E

Spolehlivost

βσR µR

Pravděpod.

( )ϕG x

Základní úloha teorie spolehlivosti 2Zatížení E náhodné µE, σE , odolnost R známá

poruchyPravděpod.

R

Spolehlivost

βσEµE

( )ϕG x

EER σµβ /)( −=Index spolehlivosti:

Reserva spolehlivosti: G = R - Eµ µ µ σ σ σG R E G R E= − = +,

2 2 2

2/122 )( ERER

G

G

σσµµ

σµβ

+−

==Index spolehlivosti pronormální rozdělení:

( )ϕG x

poruchyPravděpod.

0

Spolehlivost

βσG µG

Pravděpodobnost poruchy pf = P{E > R}( ) ( )p x x xE Rf d= ∫ ϕ Φ

0.2

Gamma,Gumbel Lognormal,

Normal

( )ϕE x( )ϕR x

ACTION RESISTANCE

1.0

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.1

0.00.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

x

Metody výpočtuMetody výpočtu pravděpodobnosti Pf:

- exaktní analytická metoda (výjimečně) - numerické metody integrace (pro malý počet základních

veličin, MATLAB, MATHCAD)- přibližné metody (MVFO, FORM, SORM, moments)- simulační metody (přímé, hrubé, metody Monte Carlo,

importance a adaptive sampling)

Softwarové produkty využívají většinou přibližné metody (FORM, SORM) a simulační metody (Monte Carlo)

- VaP (FORM, moments, direct Monte Carlo) - STRUREL (MVFO, FORM, SORM, Monte Carlo)

-- COMREL (COMponent RELiability)-- SYSREL (SYStem RELiability)

Metoda FORM(1) Transformace základních veličin X na normované náhodné

veličiny U(2) Transformace funkce mezního stavu g(X) na gU(U)(3) Aproximace funkce gU(U) tečnou v návrhovém bodě U*(4) Pravděpodobnost poruchy Pf = Φ(−β), kde β je vzdálenost

návrhového bodu U* od počátku.Vliv variability základních veličin Xi na pravděpodobnost poruchy

vyjadřují váhové součinitele (směrové kosiny tečné plochy)

Aproximativní analytickou metodu FORM lze zpřesnit nahrazením funkce gU(U) kvadratickou plochou v návrhovém bodě U* (metoda SORM).

1,))((

)(2

2

=

∂∂∂

∂

= ∑∑ i

i

ii

i

ii

i

XXg

XXg

ασ

σα

Lineární funkce g(x) a index spolehlivosti β

Transformace základních veličin Xna normované normální proměnné U

EσE

σRR

αE β

αR βµR

µE

funkce mezního stavu

návrhový bod β

Návrhový bod podle metody FORM- úroveň II

EσE

σRR

αE β

αR βµR

µE

funkce mezního stavu

návrhový bod β

Návrhový bod podle metody FORM- úroveň II

β

Pravděpodobnost poruchy Pfa index spolehlivosti β

)()( s-1Nf

-1N PPβ Φ=Φ−=

Příklad - železobetonová deskaG + Q

L

Odolnost R

Asd

d1

x

h

b

g (X)= R – E = MR – ME =

= ξR As fy ( h - d1 - 0,5 As fy / (b fc) ) - ξE ( g + q ) L2 / 8

Pravděpodobnostní modely

• Zatížení: normální, lognormální, gamma,Weibulovo, Gumbelovo

• Materiálové vlastnosti: normální,lognormální, Weibulovo

• Geometrické údaje: normální, lognormální

Nedostatek věrohodných dat a nejednotnost teoretických modelů

Základní typy rozděleníRozdělení a

označeníHustota pravděpodobnosti Obor

veličiny XParametryrozdělení

Průměrµ

Směrodatnáodchylka σ

Šikmostα

RovnoměrnéR(a,b) 1/(b − a) a ≤ x ≤ b ab > a

(a + b)/2 (b − a)/√12 0

NormálníN(µ,σ)

−−

2

21exp

21

σµ

πσx -∞ ≤ x ≤ ∞ µ

σµ σ 0

Lognormálníobecné

LN(µ,σ,α)LN(µ,σ,x0)

+

+−−

+−))1ln(2(

1||||lnexp

2)1ln(||

1 22

20

20

cccxx

cxx σπ

x0 ≤ x < ∞pro α > 0,-∞ < x ≤x0pro α < 0

x0 = µ − cσσc

x0 + cσ σ 3c+c3

Lognormálnís dolní mezí

v nuleLN(µ,σ)

+

+−

+))1ln(2(1lnexp

2)1ln(

1 22

2

2wwx

wx µπ

0 ≤ x < ∞ µw =σ /µ

µ w µ 3w+w3

GamaGama(µ,σ) λ

k xk-1 exp(-λx) / Γ(k) 0 ≤ x < ∞ λ = µ /σ2

k = (µ /σ)2k/λ √k/λ 2 /√k

Betaobecné

Beta(µ,σ,α,b)Beta(µ,σ,a,b)

1

11

))(,()()(−+

−−

−−−

dc

dc

abdcBxbax

a ≤ x ≤ b ab >ac ≥1d ≥1 dc

caba

++

+ ) - ( dgcg

ab+

) - ( ,

cddcg 1++=

2) - (2

++ dccdg ,

cddcg 1++=

Betas dolní mezí

v nuleBeta(µ,σ,α)Beta(µ,σ,b)

1

11

),()()(−+

−− −dc

dc

bdcBxbx 0 ≤ x ≤ b

b >0c ≥1d ≥1

dccb

+

dgcgb+ ,

cddcg 1++=

2) - (2

++ dccdg ,

cddcg 1++=

GumbelovoGum(µ,σ) exp(-exp(-c(x-xmod)))

-∞ ≤ x < ∞ xmod = µ −0,577√6σ /πc = π /(√6σ)

xmod +0,577/c

π /(√6c) 1,14

Parametry funkce náhodných veličinFunkce Z Průměr µZ Směrodatná odchylka σZ Šikmost αZ

aX+b aµX + b Xa σ|| αX pro a > 0, - αX pro a < 0

X2 *) 22 XX σµ + ( ) 2/122 XXXXX ασµµσ + ( )3

33 38

Z

XXXX wσασµ +

X1 *)

X

XXX wwµ

α321 −+ ( )X

XXX wwµ

α2/132 2−

33

346

ZX

XXX wwσµ

α−

aX + bY + c aµX + bµY + c ( ) 2/12222 YX ba σσ +3

3333

Z

YYXX baσ

ασασ +

X + Y µX + µY ( ) 2/122 YX σσ +3

33

Z

YYXX

σασασ +

X – Y µX - µY ( ) 2/122 YX σσ +3

33

Z

YYXX

σασασ −

X Y *) µX µY µX µY ( ) 2/12222 YXYX wwww ++ ( )3223333 6

Z

YXYYXXYX wwwwσ

ααµµ ++

YX *) ( )

Y

YYYX αwwµ

µ 321 −+ ( )Y

YYYXX wwwµ

αµ2/1322 2−+ ( )

33

224333 66

ZY

YXYYYXXX wwwwwσµ

ααµ ++−

Metoda návrhových bodůPodmínka g(Xi) > 0 se nahrazuje

g(xdi) = g(xd1, xd2 , xd3, ...) > 0

kde návrhový bod xdi základní veličiny Xi se stanoví:pro libovolné rozdělení

ΦXi(xdi) = Φ(–αiβ)

pro normální rozděleníxdi = µi(1–αiβVi)

pro lognormální rozdělení

xdi = (µi/√ (1+Vi2)) exp(–αiβ√ ln(1+Vi2)) ≅ µi exp(–αiβVi)

Normované součinitele αiXi αi

Odolnost:Dominantní odolnost 0,8Ostatní 0,32=0,4 ×0,8

Zatížení: Dominantní zatížení –0,7Ostatní –0,27= – 0,4×0,7

Příklad: Pro funkci g(X) = R – E a normální R a E, podmínka g(xd1, xd2 , xd3, ...) > 0 zní

µR(1–αRβVR) – µE(1–αEβVE) > 0Pro β = 3,8

µR(1– 3,04VR) – µE(1+ 2,66VE) > 0

Pro VR = 0,1 a VR = 0,3 vychází podmínka pro průměryµR > µE(1,8/0,7) ≅ 2,6 µE

Zjednodušené pravděpodobnostní pojetí spolehlivosti v Eurokódech

β µσ

µ µσ σ

= =−

+G

G

R E

R E2 2• Index spolehlivosti

R ER R R E E Ed d= − = −µ βα σ µ βα σ,• Návrhové hodn.

ασ

σ σ

ασ

σ σ

RR

R E

EE

R E

=+

≈

= −+

≈ −

2 2

2 2

0 8

0 7

.

.

• Váhové součinitele a aproximace v EC

Metoda návrhových bodů pro E

Dílčí součinitele

RE

RREEγ

γ kdkd , ==

EEEE σβαµ −=d RRRR σβαµ −=d

RRR

RpRR

EpE

EEEE

uRR

uEE

σβαµσµ

γσµσβαµγ

−

+==

+−

==d

k

k

d ,

EN 1990 pro dominantní: αE = – 0,7; αR = 0,8pro nedominantní: – αE = αR = 0,4

Dílčí součinitele pro odolnost R

R

R

RRR

RpRR V

VuRR

××−×−

=−+

==8,38,01

645,11d

k

σβαµσµ

γ

wR 0 0,05 0,1 0,15 0,20γR 1,0 1,08 1,20 1,38 1,71

Dílčí součinitele pro stálé zatížení G

Gd = γG Gk , Gk = µG

GG

GEGG wG

G××+=

−== 83701 ,,

k

d

µσβαµγ

wG 0 0,05 0,1 0,15

γG 1,0 1,13 1,27 1,40

• Zatížení - návrhové veličiny • Vlastnosti materiálů - n. v. • Rozměry - náhodné veličiny

• Nedostatky- rozdílné pravděpodobnosti poruchy nosných prvků z různých materiálů- nedostatek representativních dat

Dílčí součinitele spolehlivosti- úroveň I

E F f a R F f ad d d d d d d d( , , ) ( , , )<

F FFd k= γ

a a ad k= ± ∆f f fd k= / γ

E RE E R Rd d= + = −µ βσ µ βσ0 7 0 8. , .

Návrhové hodnoty Ed a RdDOMINANTNÍ VELIČINY

P E EP R R

E

R

{ } ( ) ( , ) ( , ) ,{ } ( ) ( , ) ( , ) ,

> = + = − = − =< = − = − = − =

d

d

Φ Φ ΦΦ Φ Φ

α β βα β β

0 7 2 66 0 003910 8 3 04 0 00118

NEDOMINANTNÍ VELIČINY

P E EP R R

E

R

{ } ( , ) ( , ) ( , ) ,{ } ( , ) ( , ) ( , ) ,

> = + = − = − =< = − = − = − =

d

d

Φ Φ ΦΦ Φ Φ

0 4 0 28 1 064 0 1430 4 0 32 1 216 0 112

α β βα β β

Odolnost v Eurokódech

{ }R R X ad k M nom= / ,γ ENV 1992 a 1995

{ }R R X aR

d k nom=1γ

, ENV 1993

{ }R R X aR

dd

k m nom=1γ

γ/ , ENV 1994

Závěry• Metoda dílčích součinitelů je nejdokonalejší

operativní metoda navrhování • Dosud je spolehlivost konstrukcí značně

nevyrovnaná• Pravděpodobnostní metody vytvářejí předpoklady

pro porovnávání a zobecnění• Další kalibrace součinitelů materiálu a zatížení a

dalších prvků spolehlivosti je žádoucí• Ve zvláštních případech je možno aplikovat

pravděpodobnostní postupy přímo

Nejistoty stavebních systémuPravdepodobnostní metoda-úroven IIIPravdepodobnost poruchyZákladní úloha teorie spolehlivosti 1Základní úloha teorie spolehlivosti 2Reserva spolehlivosti: G = R - EPravdepodobnost poruchy pf = P{E > R}Metody výpoctuMetoda FORMLineární funkce g(x) a index spolehlivosti bPravdepodobnost poruchy Pf a index spolehlivosti bPríklad - železobetonová deskaPravdepodobnostní modely