30
Úvodní informace Úvodní informace Mgr. Miroslav Kučera; [email protected] Matematika B 2 MIROSLAV KUČERA MIROSLAV KUČERA
Úvodní informaceÚvodní informace
Mgr. Miroslav Kučera; [email protected]
Matematika B 2
MIROSLAV KUČERAMIROSLAV KUČERA
[email protected]@vsfs.cz
Studijní středisko KladnoStudijní středisko Kladno
IT oddělení 306BIT oddělení 306B(kanceláře studijního oddělení)(kanceláře studijního oddělení)
Mgr. Miroslav Kučera; [email protected]
Kontakt
Mgr. Miroslav Kučera; [email protected]
Konzultační hodiny
Po – Pá 8:30 – 15:00Po – Pá 8:30 – 15:00
možno i jindy po dohoděmožno i jindy po dohodě
Cíl předmětu
Mgr. Miroslav Kučera; [email protected]
Předpokládané znalosti
Funkce, konstrukce grafu funkce, derivaceFunkce, konstrukce grafu funkce, derivace
Rozšířit znalosti v oblasti funkcí – vzhled, průběh, vlastnosti dále v oblasti Integrálního počtu – integrování funkcí, posloupnosti
Mgr. Miroslav Kučera; [email protected]
Požadavky k získání zápočtu
Účast na cvičeních minimálně 50%Účast na cvičeních minimálně 50%
Vypracování zápočtové práce se Vypracování zápočtové práce se ziskem minimálně 51%ziskem minimálně 51%
Mgr. Miroslav Kučera; [email protected]
Požadavky k získání zkoušky
Vypracování písemné práceVypracování písemné práce
Ústní část zkouškyÚstní část zkoušky
Budínský, Havlíček: Budínský, Havlíček:
Matematika pro vysoké školy ekonomického a technického Matematika pro vysoké školy ekonomického a technického zaměřenízaměření
Budínský, Havlíček: Budínský, Havlíček:
Sbírka příkladů z matematika pro vysoké školy ekonomického a Sbírka příkladů z matematika pro vysoké školy ekonomického a technického zaměřenítechnického zaměření
Kaňka, Coufal, Klůfa:Kaňka, Coufal, Klůfa:
Učebnice matematiky pro ekonomyUčebnice matematiky pro ekonomy
http://maths.cz/redaktor/jakub-vojacek.html
... a jiná literatura na probírané ... a jiná literatura na probírané tématéma
Mgr. Miroslav Kučera; [email protected]
Literatura
is.vsfs.czis.vsfs.cz
StudentStudent
E-learningE-learning
Matematika B 2Matematika B 2
Studijní materiály Studijní materiály
Učební materiályUčební materiály
Kučera Kučera
Mgr. Miroslav Kučera; [email protected]
Učební materiály v IS VSFS
Průběh funkcePrůběh funkce
Fce je předpis, kterým je všem x z množiny Fce je předpis, kterým je všem x z množiny přiřazenopřiřazeno
právě jedno y z množiny .právě jedno y z množiny .
Definiční obor, obor hodnot, proměnná, funkční Definiční obor, obor hodnot, proměnná, funkční hodnota, soustava souřadnic, graf, tabulka, hodnota, soustava souřadnic, graf, tabulka, značení, značení,
Mgr. Miroslav Kučera; [email protected]
Funkce
fD
fH
Mgr. Miroslav Kučera; [email protected]
Vlastnosti fcí
Rostoucí
Klesající
Prostá
Sudá
Lichá
Omezená - minimum, maximum
Konvexní
Konkávní
Inverzní
Spojitá
Mgr. Miroslav Kučera; [email protected]
Vlastnosti fcí
Průběh funkce je aplikace derivací
Směrnice tečny v bodě - tedy derivace funkce v bodě
Mgr. Miroslav Kučera; [email protected]
Vlastnosti fcí
Kdy je funkce v bodě rostoucí? Když je tečna v tomto bodě rostoucí.
Kdy tečna roste? Když je úhel v intervalu (0, 90) stupňů, tj, když je tangens úhlu kladný.
Co je to derivace? Směrnice tečny.
Co je směrnice? Tangens úhlu.
Kdy funkce v bodě roste? Když je derivace v tomto bodě kladná.
Mgr. Miroslav Kučera; [email protected]
Vlastnosti fcí
Jestliže f'(q)>0, pak je funkce f(x) v okolí bodu q rostoucí. Jestliže f'(q)<0, pak je funkce f(x) v okolí bodu q klesající.
Pokud je f'(q)=0, pak má funkce v tomto bodě extrém
Mgr. Miroslav Kučera; [email protected]
Vlastnosti fcí
KONVEXNOST A KONKÁVNOST
Funkce je konvexní
Funkce je konkÁvní
Mgr. Miroslav Kučera; [email protected]
Vlastnosti fcí
Funkce f(x) je v bodě x0 konvexní, pokud platí f''(x0)≥0 a konkávní pokud f''(x0)≤0.
Funkce f(x) je v bodě x0 ryze konvexní, pokud platí f''(x0)>0 a ryze konkávní pokud f''(x0)<0.
Mgr. Miroslav Kučera; [email protected]
Vlastnosti fcí
Extrémy
Má-li fce v bodě c lokální extrém, pak derivace v tomto bodě buď neexistuje, nebo je rovna nule.(nutná podmínka)
Je-li fce na nějakém intervalu spojitá a existuje
okolí tohoto bodu , kde
Je-li f'(x)>0 v intervalu a f'(x)<0 v
intervalu , má fce v bodě c ostré maximum. (první postačující podmínka)
cc , 0 cc ,
cc,
Mgr. Miroslav Kučera; [email protected]
Vlastnosti fcí
Předpoklad: f'(x) existuje v určitém okolí bodu c
Je-li f'(x) =0 a f''(x) < 0, pak má fce f v bodě c ostré lokální maximum
Je-li f'(x) =0 a f''(x) > 0, pak má fce f v bodě c ostré lokální minimum
(druhá postačující podmínka)
Mgr. Miroslav Kučera; [email protected]
Vlastnosti fcí
Inflexní bod (bod změny)
Předpoklady: Fce je na daném intervalu spojitá a v každém jeho vnitřním bodě má derivaci.
>0 tak, že fce je na intervalu
konvexní a na intervalu konkávní
(respektive obráceně) , pak platí:
Existuje – li f''(c), pak je rovna nule.
cc ,cc ,
Mgr. Miroslav Kučera; [email protected]
Vlastnosti fcí
Shrnutí
1.Určíme D(f)2.Určíme – sudost, lichost, periodicitu a další speciální vlastnosti3.Vyšetříme spojitost4.Určíme průsečíky s osou x a y5.Určíme limity v bodech nespojitosti a v nevlastních bodech6.Vypočítáme první derivaci – lokální extrémy, rostoucí, klesající7.Vypočítáme druhou derivaci – inflexní body, konvexnost, konkávnost8.Nakreslíme graf
Mgr. Miroslav Kučera; [email protected]
Vlastnosti fcí
INTEGRÁL
Fci F(x) nazvu primitivní funkcí k fci f(x) na otevřeném intervalu I právě tehdy když platí pro každé x z I:
F‘(x) = f(x)
Mgr. Miroslav Kučera; [email protected]
Vlastnosti fcí
Neurčitý integrál (primitivní fce k fci f) značíme:
respektivef )(xf
dxxf )(
Mgr. Miroslav Kučera; [email protected]
Vlastnosti fcí
f g
cgbfabgaf )(
Nechť existují integrály a a, b jsou reálná
čísla. Pak v I existuje
Kde c je integrační konstanta.
Mgr. Miroslav Kučera; [email protected]
Vlastnosti fcí
Integrační metoda Per partes(po částech)
Nechť fce f a g mají v I spojité derivace. Potom platí:
´´ fgfggf
