Mocniny s přirozeným mocnitelem

Matematika – 8. ročník

Početní operace

Základní početní operace:

Základní aritmetickou operací je sčítání.

Odčítání je opačnou aritmetickou operací ke sčítánítj. platí a – b = a + (-b); při odčítání vlastně přičítáme opačné číslo

Násobení je opakované sčítání.tj. platí a · b = b + b + b + … + b; sčítáme a stejných čísel b.

a

Dělení je opačnou aritmetickou operací k násobení.

tj. platí ; při dělení vlastně násobíme převráceným číslem.

Početní operace

Základní početní operace:Umocňování je k násobení v podobném vztahu, v jakém je samo násobení ke sčítání.

Umocňování slouží ke zkrácenému zápisu vícenásobného násobení.

tj. platí ba = b · b · b · … · b; násobíme a stejných čísel b.

a

Odmocňování je opačnou aritmetickou operací k umocňování.

tj. platí ; při odmocňování vlastně rozkládáme číslo na součin n stejných čísel.

Mocniny s přirozeným mocnitelem

Pro každé přirozené číslo n je n-tá mocnina čísla a součin, ve kterém je n činitelů a.

𝒂 ∙𝒂 ∙𝒂 ∙…∙𝒂=𝒂𝒏

𝟐𝟓=𝟐 ∙𝟐 ∙𝟐 ∙𝟐∙𝟐=𝟔𝟒(−𝟏)𝟒=(−𝟏)∙(−𝟏)∙(−𝟏)∙(−𝟏)=𝟏

𝒂𝒏n-tá mocnina

čísla a

Základ mocniny

Mocnitel (exponent)

n krát

Mocniny s přirozeným mocnitelem

Přečti mocninu:

127

(−0,5)12

0 ,74

(−16)3 6

12010

(−1)72

Mocniny s přirozeným mocnitelem

Zapiš jako mocninu:

𝟐 ,𝟑∙𝟐 ,𝟑 ∙𝟐 ,𝟑 ∙𝟐 ,𝟑 ∙𝟐 ,𝟑 ∙𝟐 ,𝟑 ∙𝟐 ,𝟑 ∙𝟐 ,𝟑 ∙𝟐 ,𝟑=¿𝟎 ,𝟎𝟐 ∙𝟎 ,𝟎𝟐 ∙𝟎 ,𝟎𝟐=¿ =𝟐𝟑𝟕=¿ Pro každé číslo a se a na prvou rovná a.

𝒂𝟏=𝒂

(−𝟎 ,𝟑)𝟒𝟓𝟕

𝟐 ,𝟑𝟗

𝟎 ,𝟐𝟑

(𝟐𝟑 )𝟏𝟔

𝟐𝟑𝟕𝟏

Mocniny s přirozeným mocnitelem

Vypočtěte:

𝟔𝟐𝟓

𝟓𝟏𝟐𝟎 ,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟏

𝟐𝟎𝟒𝟖

𝟏

(−𝟎 ,𝟑)𝟓=¿𝟓𝟒=¿

𝟐𝟗=¿𝟎 ,𝟏𝟕=¿

(𝟏𝟐 )𝟏𝟏

=¿

𝟏𝟔𝟒=¿

Mocniny s přirozeným mocnitelem

Vypočtěte:

𝟏𝟔

𝟔𝟒−𝟏𝟐𝟖

(−𝟐)𝟓=¿

(−𝟐)𝟒=¿

(−𝟐)𝟔=¿(−𝟐)𝟕=¿ Pro n-tou mocninu libovolného

záporného čísla a platí:

Jeli n sudé číslo, potom je an > 0

Jeli n liché číslo, potom je an < 0

Pro n-tou mocninu libovolného kladného čísla a platí: an > 0

𝟎𝟖=¿𝟎 𝟎𝒏=𝟎

Mocniny s přirozeným mocnitelem

Určete, zda bude daná mocnina kladná, či záporná: +¿

−

+¿+¿−

+¿

(−𝟎 ,𝟑)𝟏𝟏=¿

𝟓𝟏𝟒=¿

𝟎 ,𝟐𝟓𝟕=¿

(−𝟎 ,𝟏)𝟒𝟐=¿

(−𝟏𝟐 )𝟏𝟏

=¿

𝟏𝟔𝟒=¿

Mocniny s přirozeným mocnitelem

Pomocí znaků <; >; = porovnejte čísla:

𝟒𝟐

(−𝟔 )𝟓

𝟕𝟕

𝟎 ,𝟖𝟓

(−𝟑𝟒 )𝟏𝟎

(−𝟐)𝟔

(−𝟓)𝟔𝟐𝟒

𝟓𝟕

𝟎 ,𝟖𝟔

(−𝟑𝟒 )𝟕

(−𝟑)𝟒

<

>=

Pozor: Pro čísla větší než 0 a menší než 1 platí, že je-li x > y, pak ax < ay

Pozor: První číslo je kladné, druhé záporné

Pozor: Vyšší základ, stejný mocnitel => větší mocnina (neplatí vždy – zkus zjistit kdy)

Mocniny s přirozeným mocnitelem

Rozložte na součin prvočísel číslo 3 600:3 600

60 60

6 10 6 10

2 3 2 5 2 3 2 5

=

Zapište rozklad čísla 3 600 jako součin mocnin prvočísel:

=𝟐𝟒 ∙𝟑𝟐 ∙𝟓𝟐

Mocniny s přirozeným mocnitelem

Zapiš dané číslo jako součin mocnin prvočísel:

𝟐𝟑 ∙𝟓𝟑

𝟐 ∙𝟐 ∙𝟐 ∙𝟑 ∙𝟑∙𝟓 ∙𝟓=¿

𝟐 ∙𝟐 ∙𝟐 ∙𝟑 ∙𝟑∙𝟑 ∙𝟕 ∙𝟕=¿

𝟐 ∙𝟐 ∙𝟐 ∙𝟐 ∙𝟐∙𝟐 ∙𝟑 ∙𝟑 ∙𝟑 ∙𝟓∙𝟓=¿

𝟏𝟎𝟖=¿

𝟕𝟐=¿

𝟏𝟎𝟎𝟎=¿

𝟏𝟖𝟎𝟎=¿

𝟏𝟎𝟓𝟖𝟒=¿

𝟒𝟑𝟐𝟎𝟎=¿

𝟐𝟑 ∙𝟑𝟐

𝟐𝟐 ∙𝟑𝟑

𝟐 ∙𝟐 ∙𝟐 ∙𝟓 ∙𝟓∙𝟓=¿

𝟐𝟑 ∙𝟑𝟐 ∙𝟓𝟐

𝟐𝟑 ∙𝟑𝟑 ∙𝟕𝟐

𝟐𝟔 ∙𝟑𝟑 ∙𝟓𝟐

Mocniny s přirozeným mocnitelem

Zapiš dané číslo jako mocninu se základem 10:

𝟏𝟎𝟒𝟏𝟎𝟎𝟎=¿𝟏𝟎𝟎=¿ 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎=¿𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎=¿ 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎=¿𝟏𝟎𝟐 𝟏𝟎𝟑

𝟏𝟎𝟓 𝟏𝟎𝟏𝟎

Zapiš dané číslo jako mocninu se základem 2:

𝟐𝟑𝟏𝟐𝟖=¿𝟑𝟐=¿ 𝟖=¿𝟏𝟎𝟐𝟒=¿ 𝟏𝟔𝟕𝟕𝟕𝟐𝟏𝟔=¿𝟐𝟓 𝟐𝟕

𝟐𝟏𝟎 𝟐𝟐𝟒

Zapiš dané číslo jako mocninu se základem 5:

𝟓𝟏𝟕𝟖𝟏𝟐𝟓=¿𝟏𝟐𝟓=¿ 𝟓=¿𝟓𝟑 𝟓𝟕

Mocniny s přirozeným mocnitelem

O vzniku šachu koluje více pověstí. Podle jedné vznikly šachy někdy v 5.století v Indii. Pověst dále praví, že ji vymyslel bráhman Sissa pro pobavení indického vladaře. Nadšený vládce vyzval vynálezce, aby si sám určil odměnu. Byl zklamán, když si vybral „jen pšenici“. Na prvé pole šachovnice jedno zrno, na druhé dvě, na třetí čtyři, na čtvrté osm, na páté šestnáct atd., vždy dvojnásobek předešlého. Tak málo? Divil se vladař. http://www.spartak-rokytnice.cz/sachy/

𝟐𝟔𝟒−𝟏=18 446 744 073 709 551 615   zrnek

Spočtěte jakou hmotnost by měla pšenice pro vynálezce, je-li hmotnost tisíce semen v rozmezí 30–55 g.

Od 553 402 322 211 286 548,45 g ≐ 553 402 322 211 tun Do 1 014 570 924 054 025 338,825 g ≐ 1 014 570 924 054 tun