8. 1. 2015 1

Pokročilá fyzika C803fIIp_11

Úvod do moderní fyziky III Důležité aplikace kvantové

fyziky

Doc. Miloš Steinhart, 06 036, ext. 6029

http://webak.upce.cz/~stein/msfIIp09.html

8. 1. 2015 2

Hlavní body

• Jednoduché aplikace kvantové mechaniky • 2D a 3D potenciálové jámy

• Atomy - atom vodíku

• Pauliho princip

• Složitější atomy - periodická soustava

• Molekuly - molekula vodíku

• Spektra – fluorescence, fosforescence, RTG

• Pokročilá KM a co je za ní?

8. 1. 2015 3

Pravoúhlá kvantová hradba I• Rozšiřme nekonečnou potenciálovou jámu do dvou

rozměrů, takže bude mít šířku Lx ve směru osy x a šířku Ly ve směru osy y. Uvnitř bude potenciální energie rovna nule, vně nekonečnu.

• Podrobnější výpočet, založený na požadavku spojitosti vlnové funkce, ukazuje, že přítomnost další dimenze znamená existenci dalšího nezávislého kvantování.

• V 2D případě tedy budeme tedy mít dvě kvantová čísla : nx

a ny, které odpovídají DeBroglieho (stojaté) vlně částice vzhledem k šířce Lx, respektive k šířce Ly.

8. 1. 2015 4

Pravoúhlá kvantová hradba II• Energie bude nyní záviset na obou kvantových číslech.

• K zajímavému úkazu dojde, budou-li oba rozměry jámy stejné Lx = Ly = L. Potom totiž budou existovat různé stavy, tedy stavy s různými kvantovými čísly, se stejnou energií. Říkáme, že tyto stavy jsou degenerované.

2

2

2

22

, 8 y

y

x

xnynx L

n

Ln

mh

E

8. 1. 2015 5

Pravoúhlá krabice I• 2D potenciálovou jámu můžeme rozšířit do 3D prostoru na

pravoúhlou krabici rozměrů Lx, Ly, Lz. Lze ukázat, že tím přibude další kvantové číslo nz a energie bude nyní záviset na všech třech kvantových číslech :

• Podobně, jako ve 2D případě, budou-li alespoň dva rozměry jámy stejné, např. Lx = Ly ≠ Lz, budou existovat degenerované energetické stavy.

2

2

2

2

2

22

,, 8 z

z

y

y

x

xnznynx L

nL

n

Ln

mh

E

8. 1. 2015 6

Atomy• Vlastnosti atomů jsou zdánlivě vzdáleny problémům

každodenního života. Ten na nich ale ve skutečnosti naprosto zásadním způsobem závisí. Atomy (άτoμoσ - nedělitelný) :• jsou při chemických procesech stabilní, ale jsou dělitelné!• sdružují se do molekul• lze systematicky seřadit podle vlastností• lze je ionizovat, což je výsledek kompromisu mezi snahou o

elektrickou neutralitu a vytvoření uzavřené elektronové struktury• emitují a absorbují elektromagnetické záření• mají moment hybnosti a vlastní magnetismus• …

8. 1. 2015 7

Atom vodíku I• Proč se zabývat atomem vodíku?• Kvantová teorie dosáhla výborné shody s experimentem

při popisu chování jednotlivých částic. Velmi důležitá je ale hlavně její aplikace na interagující částice a přes ně na stavební jednotky hmoty atomy, molekuly a krystaly.

• Je přirozené, že nová teorie a každá metoda na ní založená se nejsnadněji rozvíjí na nejjednodušších systémech. Těmi jsou atom a molekula vodíku. Na nich také musí fungovat první testy, než má smysl přejít na systémy složitější.

• Vodík je ovšem také nejhojněji zastoupený prvek ve vesmíru 92% početně (75% váhově).

8. 1. 2015 8

Atom vodíku II – Bohrův model• Významným ‘mezičlánkem’ mezi klasickou a kvantovou

teorií byl Bohrův (Niels Bohr 1885-1962, NCF 1922 nobelprize.org) model atomu vodíku, který souhlasí velmi dobře s experimentem (interpretuje vodíková spektra). Připomeňme si jeho základní postuláty :• Elektron se pohybuje kolem jádra po kruhové dráze v důsledku

elektrických přitažlivých sil s souladu s klasickou mechanikou.• Jsou přípustné pouze takové dráhy, aby orbitální moment hybnosti

by celistvým násobkem ħ nebo aby dráha byla stojatou DB vlnou.• Přestože se elektron pohybuje zrychleně, na povolených drahách

nevyzařuje elektromagnetické záření, tedy neztrácí energii.• Energie se vyzáří nebo absorbuje pouze při přechodu elektronu z

jedné stabilní (povolené) dráhy na druhou.

8. 1. 2015 9

Atom vodíku III• Bohrův model výborně předpovídá diskrétní (kvantované)

energetické hladiny :

a po korekci na redukovanou hmotnost elektronu je chyba pouze 3 / 105. Konstanta je ovšem určena empiricky!

• Kromě toho, uvážíme-li kvantování momentu hybnosti

vychází pěkný souhlas s DeBroglieho hypotézou - obvod dráhy je totiž roven celistvému násobku DeB vln :

][6.13 2

2

eVnZ

E

nhnprL 2

nr 2

8. 1. 2015 10

Atom vodíku IV• Co nás tedy vede k nespokojenosti s Bohrovým modelem?• Bohrův model byl velice úspěšný při výkladu vodíkových

spekter, ale měl závažné nedostatky :• Je to směska klasické mechaniky s kvantovými předpoklady :

• Elektron se pohybuje po klasické dráze, ale jeho moment hybnosti je přesto kvantován.

• Elektron vyhovuje klasické elektromagnetické teorii a přesto při zrychleném pohybu po speciálních drahách nezáří.

• Dává představu o energetických hladinách, ale ne o době, kterou v ní elektrony stráví a pravděpodobnosti přechodu na hladinu jinou.

• Nedovede vysvětlit jemnější efekty (spin, degeneraci hladin…)• Funguje u několika vodíku - podobných atomů. Selhává však u

drtivé většiny atomů ostatních, např. již hned u vedlejšího – helia.

8. 1. 2015 11

Atom vodíku V - r. neurčitosti• KT poskytuje odhady základních parametrů atomu vodíku

již z Heisenbergových relací neurčitosti :

• Předpokládáme-li pohyb elektronu po kruhové dráze a tedy neurčitost x ~ r lze pro hybnost a její neurčitost přibližně psát :

• Tu můžeme dosadit do klasického vztahu pro energii:

))(( xpx

rpp x

re

mrre

mp

E2

2

222

22

8. 1. 2015 12

Atom vodíku VI (r. neurčitosti)• Kinetická energie s poloměrem klesá, zatímco potenciální

složka roste. Lze očekávat, že poloměr bude minimalizovat celkovou energii :

• jako extrém obdržíme :

• Dosazením této hodnoty do vztahu pro energii vypočítáme ionizační energii E = -13.6 eV. Obě hodnoty se slušnou přesností odpovídají Bohrově modelu i experimentu.

nmame

r 0529.002

2

02

2

3

2

re

mrrE

8. 1. 2015 13

Atom vodíku VII• Přesné řešení Schrödingerovy rovnice vede na kvantování

pomocí tří (atom je totiž 3D!) kvantových čísel : hlavního n, orbitálního l a magnetického ml.

• Energetická hladina je určena jen hlavním kvantovým číslem, které je přirozeným číslem, a má přesně stejný tvar jako dává Bohrova teorie :

• Z je nábojové číslo, pro vodík samozřejmě rovno 1 a je koeficient jemné struktury (c je rychlost e. v zákl. stavu):

eVnZ

nZmc

En 2

2

2

222

6.132

13712

c

e

8. 1. 2015 14

Atom vodíku VIII• Orbitální kvantové číslo l souvisí s velikostí orbitálního momentu

hybnosti. Je to celé číslo v intervalu 0 ≤ l ≤ (n-1).• Magnetické kvantové číslo ml (–l ≤ ml ≤ 1) souvisí se směrem

orbitálního momentu hybnosti.• Elektron může být navíc ve dvou různých spinových stavech,

charakterizovaných spinovým číslem ms. (ms=±½)• Za určitých podmínek, například v magnetickém poli se stavy s

různým kvantovým číslem ml projeví i mírně odlišnými energiemi. Energetická hladina se takzvaně rozštěpí. Bohatší se stává samozřejmě i možnost přechodů mezi stavy, čili vyzařované spektrum. Všechny přechody ale dovoleny ani zdaleka nejsou - existují výběrová pravidla, vyplývající ze zákonů zachování (Δl=±1).

8. 1. 2015 15

Atom vodíku IX• Souhrnně lze pro kvantová čísla elektronu v atomu napsat :

kvant. číslo hodnota kvantovaná veličina

n n ≥ 1 energie

l 0 ≤ l ≤ (n-1) velikost momentu hybnosti

ml -l ≤ ml ≤ l z-složka momentu hybnosti

ms +1/2, -1/2 spin

8. 1. 2015 16

Atom vodíku X• Vedlejší nebo-li orbitální kvantové číslo l bývá zvykem

vyjadřovat ve spektroskopické notaci :l 0 1 2 3 4 …

s p d f gTa z historických důvodů vychází z charakteristiky spektrálních čar sharp, primary, diffuse a fundamental.

• Zajímavý je samozřejmě tvar příslušných orbitalů. Jeho zobrazení není, vzhledem k tomu, že se jedná o trojrozměrný objekt, triviální. Zpravidla se rozkládá na radiální část – radiální pravděpodobnostní funkci a řezy významnými směry : 1s, P1s, 2s, 2p, P2p.

8. 1. 2015 17

Atom vodíku XI• Nastíněné řešení je jen přibližné. Pro další zpřesnění, vedoucí

k rozštěpení některých energetických hladin i bez přítomnosti vnějšího magnetického pole, které je pozorováné experimentálně, je nutné vzít v úvahu další efekty, například :• elektron se na některých drahách pohybuje relativisticky - Dirac

• jádro v soustavě spojené s elektronem obíhá kolem něj a vytváří tedy magnetické pole

• jádro atomu má (může mít) magnetický moment

• Důležité ale je, že v rámci kvantové teorie je možné další zpřesňování. Ta sice vyžadují další rozvoj, ale nenaráží na podstatu kvantové teorie.

8. 1. 2015 18

Složitější atomy I• Jediný elektron vodíku, může být v mnoha kvantových stavech.

Za běžných teplot bude nepravděpodobněji ve stavu základním. Ale například ve vodíkové výbojce se může vyskytovat v mnoha hladinách energeticky vyšších a přecházet do stavů nižších, přičemž vyzáří foton, což lze pozorovat ve vodíkových spektrech.

• U složitějších atomů bude struktura energetických hladin obdobná jako u vodíku a proto se používá i jejich stejné pojmenování. Není ale totožná :• složitější atomy mají vyšší nábojové číslo Z

• kromě přitahování k jádru je elektron odpuzován ostatními elektrony a tedy pro vzdálenější elektrony je náboj jádra částečně odstíněn

8. 1. 2015 19

Pauliho princip• Vzhledem k tomu, že elektrony mají poločíselný spin, řadí

se mezi fermiony, což jsou částice, které nemohou být ve stejném stavu.

• Při obsazovaní energetických hladin to znamená, že nemohou mít stejná kvantová čísla.

• Na každé hladině, charakterizované kvantovými čísly n, l a ml mohou být maximálně dva elektrony, lišící se svými spinovými čísly.

• To je nejdůležitější základ principu zaplňování energetických hladin u složitějších atomů.

8. 1. 2015 20

Složitější atomy II• Důležitý rozdíl, vyplývající z existence stínění je, že

energie elektronu závisí na jeho hlavním i orbitálním kvantovém čísle.

• Elektrony mající stejné hlavní kvantové číslo jsou ve stejné slupce. Slupky značíme K, L, M, N …

• Elektrony mající stejné hlavní i vedlejší kvantové číslo jsou ve stejné podslupce (s, p, d, f) …

• Podslupky se zaplňují, vždy tak, aby se minimalizovala energie. Z toho důvodu existují zdánlivé anomálie, jako jsou přechodové prvky nebo lanthanoidy a actinoidy.

8. 1. 2015 21

Složitější atomy III• V důsledku Pauliho principu mohou podslupky obsahovat určité

maximální množství elektronů :

l symbol max. elektronů

0 s 2

1 p 6

2 d 10

3 f 14

4 g 18

5 h 22

• Na konkrétních atomech si ukážeme některé typické vlastnosti určitých skupin atomů.

8. 1. 2015 22

Ne – Neon• Neon - elektronová struktura: 1s2 2s2 2p6 (He 2s2 2p6).

• Srovnáme-li počty elektronů v jednotlivých podslupkách s tabulkou, vidíme, že všechny podslupky jsou uzavřené.

• V uzavřené podslupce lze najít všechny dovolené průměty momentu hybnosti (do osy z) a tyto průměty se pro celou podslupku vyruší. Uzavřená podslupka tedy má nulový celkový moment hybnosti i magnetický moment.

• Neon nemá žádné slabě vázané elektrony. Má velkou ionizační energii a je chemicky inertní. Obdobně se chovají i ostatní vzácné plyny, ale ty již nemusí mít úplně uzavřené vnitřní podslupky!

8. 1. 2015 23

Na – Sodík• Sodík - elektronová struktura: 1s2 2s2 2p6 3s1 (Ne 3s1).

• Prvních 10 elektronů sodíku vytváří uzavřené elektronové jádro stejně jako u atomu neonu.

• Zbývající elektron je od tohoto jádra více vzdálen a v důsledku odstínění cítí jen částečný náboj jádra ~ +1e a je relativně velmi slabě vázán.

• Magnetický dipólový moment sodíkového atomu bude určen jen spinem tohoto jediného elektronu.

• Sodík má malou ionizační energii. Podobně jako ostatní alkalické kovy snadno reaguje, zvláště s atomy, které mají podobný neobsazený stav – díru, halogenidy.

8. 1. 2015 24

Cl – Chlor• Chlor – el. struktura: 1s2, 2s2, 2p6, 3s2, 3p5 (Ne 3s2 3p5).

• Prvních 10 elektronů chloru vytváří uzavřené elektronové jádro stejně jako u atomu neonu. Další dva elektrony tvoří uzavřenou podslupku 3s.

• K zaplnění podslupky 3p chybí pouze jediný elektron.

• Chlor má sice relativně velkou ionizační energii, avšak podobně jako ostatní halogeny velmi snadno interaguje s atomy, které jsou schopny mu zbývající elektron dodat, například se alkalickými kovy. Má tzv. velkou elektronovou afinitu.

8. 1. 2015 25

Fe – Železo I • Fe - el. : 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d6 4s2 (Ne 3s2 3p6 3d6 4s2). Je

jedním z přechodových prvků 4. skupiny, které začínají Sc a končí Zn. U vodíku má hladina 4s vyšší energii než hladina 3d. U složitějších atomů tomu tak ale není. Proto se po uzavření podslupky 3p nezaplňuje hladina 3d, ale napřed hladina 4s.

• I během jejího zaplňování se vyskytují anomálie.

• Kdyby mělo železo strukturu 3d8, 4s0, rychle by přešlo do své normální energeticky nižší a tedy výhodnější konfigurace 3d6, 4s2 za současného vyzáření fotonů.

8. 1. 2015 26

Fe – Železo II • Přechodové prvky 4. skupiny a okolí (Ne 3s2 3p6 & )

Ca 4s2

Sc 3d1, 4s2

Ti 3d2, 4s2

V 3d3, 4s2

Cr 3d5, 4s1

Mn 3d5, 4s2

Fe 3d6, 4s2

Co 3d7, 4s2

Ni 3d8, 4s2

Cu 3d10, 4s1

Zn 3d10, 4s2

Ga 3d10, 4s2 , 4p1

8. 1. 2015 27

Spin-orbitální interakce I

• Má-li elektron, podobně jako jiná nabitá částice, moment hybnosti, má i magnetický dipólový moment a pomocí jednoduchého planetárního modelu elektronu můžeme ověřit vztah mezi nimi :

• Díky tomu jsou možné experimenty, které z měření rozštěpení spektrálních čar v magnetickém poli ukazují, že celkový moment hybnosti atomu je superpozice (součet) orbitálních a spinových momentů hybnosti všech elektronů.

)...()...( 2121 ZZ SSSLLLJ

Lme

2

8. 1. 2015 28

Spin-orbitální interakce II

• Pro popis stavu elektronů u složitějších atomů zavádíme spinorbitální kvantové číslo j tak, že pro celkový moment hybnosti J a jeho průmět Lz platí:

• Od kvantových čísel n, l, ml, ms přecházíme na n, l, j, mj.

• Skutečnost, že foton má spin 1 a kromě energie se zachovává i moment hybnosti vede na výběrová pravidla:

l = 1 a j = 0, 1. Jsou tedy možné jen některé přechody a existují jen jim odpovídající spektrální čáry.

jjm

mJ

jjJ

j

jz

,

)1(

8. 1. 2015 29

S-O int. III Spektroskopická notace• Není striktně ustálená, ale obvykle má obecný tvar nLj, kde n je

hlavní kvant. číslo, velké písmeno L odpovídá vedlejšímu kvant. číslu l a j je spinorbitální kvant. číslo.

• Její pochopení je užitečné u řady metod, pracujících s RTG zářením (EXAFS, XANES…). Ukažme si několik příkladů:

n = 1: l = 0, s = -½ nemá smysl; s = ½ j = 1/2 1S1/2 nebo 1S

n = 2: l = 0, s = -½ nemá smysl; s = ½ j = 1/2 2S1/2 nebo 2S

n = 2: l = 1, s = -½ j = 1/2 2P1/2; s = ½ j = 3/2 2P3/2

n = 3: l = 0, s = -½ nemá smysl; s = ½ j = 1/2 3S1/2 nebo 3S

n = 3: l = 1, s = -½ j = 1/2 3P1/2; s = ½ j = 3/2 3P3/2

n = 3: l = 2, s = -½ j = 3/2 3D3/2; s = ½ j = 5/2 3D5/2

8. 1. 2015 30

RTG spektrum a Z I• Spektrum RTG záření začíná při jisté vlnové délce 0 a

skládá se ze spojitého a charakteristického záření.

• Spojité též difúzní, brzdné nebo bílé záření je způsobeno postupnou ztrátou kinetické energie elektronu, který pronikl do anody, na několika atomech. Ztráta může být vyzářena jako několik fotonů různých vlnových délek.

• Existence prahové vlnové délky 0 , tzv Duane Huntův zákon, vyplývá ze zákona zachování energie. Příslušný foton vznikne, pokud se elektron zabrzdí na jednom atomu a odpovídá celé kinetické energii dopadajícího elektronu :

00

kEhc

8. 1. 2015 31

RTG spektrum a Z II• Charakteristické záření je spektrum přechodů z vyšších do

nižších – zpravidla velmi nízkých energetických hladin.

• Elektron s vysokou energií může při nárazu do atomu terče vyrazit jeden z vnitřních elektronů. Když jiný elektron z vyšší hladiny tuto díru za dodržení výběrových pravidel (!) zaplní, dojde k vyzáření fotonu s vysokou energií.

• Zaplnění díry například v K-té (n=1) slupce elektronem z L-té (n=2) slupky se často popisuje jako přeskok díry z hladiny K do hladiny L. Po jistém tréninku je tento způsob popisu pohodlnější. My ale budeme pro zjednodušení hovořit o pádu elektronu z vyšší hladiny na nižší.

8. 1. 2015 32

RTG spektrum a Z III• Píky charakteristického záření je zvykem označovat

písmenem hladiny (slupky), na kterou dopadá elektron, (čili ze které díra vychází), s řeckým indexem podle rozpětí od hladiny, odkud elektron přichází (nebo kam díra dopadá). Například: • K - elektron padá ze slupky L na nejnižší slupku K

• K - elektron padá ze slupky M na nejnižší slupku K

• L - elektron padá ze slupky M na slupku L

• L - elektron padá ze slupky N na slupku L

•

• …

8. 1. 2015 33

RTG spektrum a Z IV• K důležité závislosti došel v roce 1913 Henry Gwyn Jeffreys Moseley

1887-1915), když vynesl odmocninu frekvence, odpovídající určité čáře, např. K, pro různé atomy v závislosti na pořadí v periodické tabulce - atomovém čísle.

• Došel k lineární závislosti. Tím významně podpořil názor, že atomové číslo není pouze pořadí atomu podle atomové váhy, ale odpovídá počtu kladných elementárních nábojů v jádře Z.

• Díky tomu například bylo nutné změnit pořadí některých atomů v Mendělejevově tabulce (Ni 28/58.7u Co 27/58.9u !) a byla předpovězena existence několika tehdy dosud neobjevených prvků např. Nd Pm Sm nebo W Re OS.

• Moseleyův článek je krásná ukázka, jak se má bádat: Phil. Mag. 1913, p. 1024

8. 1. 2015 34

RTG spektrum a Z V• Moseleyovy grafy podporují a úvahy o stavbě vnitřní části

elektronového obalu atomů s vyšším atomovým číslem.

• Elektron v mnoha-elektronovém obalu necítí celý náboj jádra, ale jeho část je mu odstíněna elektrony, které jsou v bližších a stejných slupkách. Cítí jen náboj (Z-)e.

• Pro čáry K je stínící faktor = 1 protože v nejvnitřnější slupce K je před emisí fotonu jen jeden elektron. Druhý schází, čímž jsou přeskok elektronu do této slupky a tedy i emise vlastně umožněny.

• Pro čáry L je = 7.4 , že devět (jeden musí opět scházet) elektronů ve slupkách K a L efektivně odstíní jen 7.4 násobek elementárního náboje.

8. 1. 2015 35

RTG spektrum a Z VI• Na závěrech plynoucích z Moseleyho grafů je založena

rentgenová spektroskopie, která má mnoho společného spektroskopii optické (IR, VIS, UV).

• Existuje ale jeden důležitý rozdíl: RTG spektra závisí na jen vnitřních hladinách atomů. Ty jsou dobudovány a jejich struktura je stejná a je určena jen příslušným nábojem jádra (a stíněním). To vede k• systematickému poklesu vlnové délky vyzářených fotonů se Z

• k faktu, že rentgenové spektrum je superpozicí spekter obsažených prvků bez ohledu na to, jestli a jak jsou vázány. Naproti tomu optické spektrum molekuly se zásadně liší od spekter atomů, z nichž je složena.

8. 1. 2015 36

Fluorescence a fosforescence• K fluorescenci dochází je-li elektron excitován z určité

energetické hladiny na hladinu vyšší. Potom může se v jednom nebo více krocích vrátit na hladinu původní. Proces trvá řádově 10-8 s. Přitom je vyzářen jeden nebo několik fotonů. Jejich energie závisí na okolnostech a její měření je účinná metoda identifikace látek a určování jejich koncentrace.

• Fosforescence je obdobný proces. Elektron je ale excitován na metastabilní hladinu a doba do vyzáření fotonu je řádově delší. Z metastabilní hladiny může se elektron může vrátit pomocí fotonu vhodné energie. Na stimulované emisi funguje laser.

8. 1. 2015 37

Molekuly

• Přiblíží-li se dva atomy do dostatečné vzdálenosti mohou jejich elektrony mezi nimi tunelovat. Tím jsou oběma atomy sdíleny a vzniká přitažlivá síla – vazba.

• Nejjednodušší molekula a zároveň testovací systém pro kvantově mechanické metody je iont vodíku H+

2 a molekula vodíku H2….

8. 1. 2015 38

Molekula vodíku• Iont vodíku H+

2 má dva protony, které se odpuzují a jeden elektron, který je jimi sdílen. Jeho přitažlivost stačí udržet iont pohromadě. Ten je sice stabilní, ale snadno přijme další elektron. Ten sníží energii systému a molekula se tím pádem stane stabilnější.

• Molekuly jsou stabilní systémy tedy takové, kterým je nutné dodat energii, aby se rozrušily.

8. 1. 2015 39

Pokročilá KM a za ní?• KM se vyvíjí několika směry :

• Její praktičtější větev si klade za cíl zjednodušit a zpřesnit výpočty v oblasti chemie, biologie a pevných látek. Tam mají velkou úlohu poruchová teorie, semi-empirické metody a díky rozvoji počítačové technologie metody ab-initio.

• Větev teoretičtější se snaží o její spojení s STR, OTR a včlenění dalších fyzikálních sil: slabé a silné interakce a gravitace. Výsledkem jsou zatím KTP (kvantová teorie pole-STR), QED(kvantová elektrodynamika-EMA, slabé) a QCD(kvantová chromodynamika+silné)

Částice v nekonečné p. jámě I

• Řešíme stacionární Schrödingerovu rovnici :

• Zopakujme si výsledky řešení chování částice v nekonečně hluboké potenciálové jámě délky L. Potenciální energii můžeme napsat jako :

kxBkxA cossin

),0(

),0(0

LxproE

LxproE

p

p

• Obecné řešení předpokládejme ve tvaru:

02

2 22

2

2

22

mE

xE

xm

Částice v n. potenciálové jámě II

0)()0( L

• Z požadavku její spojitosti musí tedy platit okrajové podmínky ve tvaru :

• Vlnová funkce je tedy stojatá vlna s uzly na okrajích jámy. Díky tomu se obecné řešení zjednoduší na :

• k je vlnový vektor :

22

2

hpmE

k

kxAsin

Částice v n. potenciálové jámě III• Periodicita funkce sinus vede na kvantování vlnového

vektoru k , hybnosti a energie :

...3,2,182

sinsin

22

22

2

22

nnmLh

nmL

E

nL

pnL

knkL

• Konstantu A získáme z normalizační podmínky a konečně :

Lxn

x Ln

sin)( 2

• Omezení výskytu částice v prostoru vede na kvantování hybnosti, energie a dalších veličin

^

Příklad – degenerované stavy• Mějme symetrickou pravoúhlou kvantovou jámu Lx=Ly=L. Ukažme, že u tohoto systému existují degenerované hodnoty energie.• Napišme energie v několika prvních hladinách (v jednotkách h2/8mL2)• nx ny E• 1 1 2• 2 1 5• 1 2 5• 2 2 8• 3 1 10• 1 3 10• 3 2 13• 2 3 13• 3 3 18

•

• Zjevně existují degenerované i nedegenerované energetické hladiny.

^

Atom vodíku I

• Časová Schrödingerova rovnice má nyní tvar :

• Předpokládáme potenciální energii jednoho elektronu v blízkosti jádra s nábojem Ze z Coulombovské elektrické interakce :

rZe

kU e

2

),(),(2

22

2

trt

itrr

Zek

m e

Atom vodíku II

• E je parametr separace, který je roven celkové energii. Stacionární část Schrödingerova rovnice má potom tvar :

• Je možné separovat proměnné. Vlnovou funkci je možné napsat jako součin prostorové a časové části :

)()(2

22

2

rErr

Zek

m e

)exp()(),(

iEtrtr

Atom vodíku III

• Řešení je snadné při znalosti pokročilého matematického aparátu :

• L je Laguerův polynom a Y je sférická harmonická funkce. Tyto funkce byly vyvinuty k řešení speciálních rovnic a existují přesné postupy pro výpočet jejích hodnot a derivací, podobně jako u ‘důvěrně známé’ funkce sin.

• Tento sféricky symetrický problém se nejsnadněji řeší ve sférických souřadnicích :

)()()(),,( rRr

)2

())(exp()(

),()()(

0

121

00 naZr

LaZr

naZr

rR

Y

lln

l

ml

l

Atom vodíku VI

• Po vhodné transformaci souřadnic lze vyjádřit operátory kvadrátu momentu hybnosti L2 a operátor průmětu momentu hybnosti např. do osy z :

Operátor momentu hybnosti je definován jako:

iL̂

iL

L

zˆ

sin1

sinsin

1ˆ2

2

222

Atom vodíku V

• Je-li elektron v určitém stavu, má orbitální moment hybnosti konstantní velikosti a konstantní projekci na osu z

• Je to proto, že stacionární stavy vlnové funkce musí být společné pro operátorům a vlnová funkce sama a její první derivace musí být spojitá.

Působí-li tyto operátory na výslednou vlnovou funkci, dostaneme :

)1( ll

lz mL

llL

ˆ

)1(ˆ 22

^

lm

zLaLH ˆˆ,ˆ 2

Moseleyho graf

• Předpokládejme atom Z, kterému schází jeden elektron v první slupce a bude doplněn elektronem ze druhé slupky vyzářením K. V počátečním i koncovém stavu cítí elektron přibližně náboj jádra zmenšený o elektron, který již v první slupce je, čili (Z-1)e. Příslušné energetické hladiny jsou :

Vyjděme z energetického spektra atomu vodíku :

][6.131

8 22220

4

eVnnh

meEn

^

2,1)1(6.13

2

2

nnZ

En

CCZfZEEhf 212 )1(2.10

Planetární model atomu I

Mějme náboj q, pohybující se rychlostí v na orbitu o poloměru r a vypočtěme jeho magnetický dipólový moment μ = IS. Plocha je jednoduše : S = r2.Perioda oběhu je : T = 2r/v.Každou periodu T proteče náboj q, tedy proud je : I = q/T = qv/2r.

Planetární model atomu IIMagnetický dipólový moment : μ = rqv/2.Na druhé straně moment hybnosti je :

L = mvr.Porovnáním tedy dostáváme :

μ = L q/2m.To platí obecněji i ve vektorové podobě :

.Jedná-li se o elektron q = -e , mají vektory magetického dipólového momentu a momentu hybnosti opačnou orientaci.

^

mq

L2