MatematiekYm modelum a metodam reseni (doh z oblasti dopravy je venovana znac-na cast nasledujiciho textu. Pokud jde 0 dalSi faze reseni, tzn. sestaveni, vyladeni a odzkou-seni programu, vyPocet, jeho interpretaee a implementaee, je moznost jejieh realizaee danaprostredky, ktere jsou k dispoziei (hardwarove a softwarove vybaveni) a take speeifiky re-seneho problemu.

Z jiz uvedeneho je zrejme, ze od vyskytu problemu k jeho vyfeseni je nutne vidyprojit nekolika etapami a v nieh postupne ulohu rozdelenou na nekolik dilcieh problemu re-sit. Jedinou moznosti, jak lze k v)rsledku dojit systemovYm zpusobem je vybudovani jed-notneho systemu (metodologie) pro reseni optimalizacnich uloh fonnulovanyeh v doprav-nieh systemeeh. Takovato obeena metodologie v sobe zahmuje:

• popis problemu a vhodnyeh optimalizacnieh metod;

• zpusob implementaee optimalizacnieh algoritmu z hlediska moinosti vyPocetni teehni-ky;

• pnpravu vstupnieh dat a vystupnieh v)rsledku;

• nzeni komunikaee operatora s vyPocetnim systemem;

• moinosti vyuiiti prostredkU umele inteligenee

Vystupy z takoveho systemu slouzi pro podporu rozhodovani, to znamena jako podklad proplanovani a fizeni dopravnieh proeesu. Tyto vystupy lze vyuiit pro rozhodovani v realnemcase i jako podklad pro dlouhodobe koneepcni rozhodovani. Definovanim a vybudovanimjednotneho systemu pro reseni optimalizacnieh uloh fonnulovanyeh v dopravnich syste-mech (a nejen v dopravnieh) zabYva napr. publikaee [14].

V souvislosti s tvorbou modelu (verbalniho nebo matematiekeho) muze b)rt znacneobtiina fonnulaee vhodneho kriteria optimality. Pritom navie rnnoho praktiekyeh problemuvede na tzv. multikriterialni ulohy. Napfiklad poiadavky, aby vYrobek byl zaroven lehky,pevny a levny nelze splnit v nejvyssi mire soucasne. Zlepseni kteryehkoli dvou z uvedenyehvlastnosti zhorsuje tfeti. Vzdy pujde 0 dosazeni stupne kvality niznyeh pozadavkU v jistemire jejieh naplneni. JinYm pfikladem muze b)rt napfiklad pozadavek na ryehlou, kvalitni,kapaeitni, levnou, komfortni, cetnou dopravni obsluhu urciteho mesta nebo regionu.V tomto pripade je problem ztiien definovanim uvedenyeh poiadavkU, navie kaida ze zu-castnenyeh stran bude mit na obsah pojmu zee1a jiste jiny nazor.

Na vieekriterialnost rozhodovacieh situaci poukazal jiz v roee 1896 ita1sky ekonoma soeiolog Vi1fredo Pareto ('ll' 1923). Ten zavedl pojem nedominovaneho neboli paretovskyoptimalniho reseni. Je to takove reseni, u nehoz kterykoli ukazatel muie b)rt jii zlepsen jenza eenu zhorseni jineho. Pojem paretovsky optima1niho reseni dale upresnime.

Budeme predpok1adat, ze pfipustne reseni X, tzn. reseni, jez spliiuje vseehny podmin-ky nejake u10hy, je posuzovano pod1e nekolika kvantitativnich ukazatelu neboli dilcich

kriterii K1(X), ... , Kn(X). Pritom tato kriteria lze vzdy zadat tak, ze "lepsimu" reseni budeodpovidat u kazdeho kriteria Leho vetSi hodnota. Rikame, ze reseni Xl dominuje reseni X",kdyz pro vsechna uvazovana dilci kriteria je:

K1(X/) ~ K1 (Xl'), ... ,Kn(X/) ~ Kn(X"),

a kdyz alespon u jedne z techto n nerovnosti nenastane rovnost. Vztah dominantnosti ozna-Cime napnklad symbolem Xl ~ X".

D v v v , Xl X" k' 1 t' . Xl "'X" ' X"", Xl ,."ve resem a , pro tera nep a 1 am r, am r , nazveme vzaJemne ne-dominovana. Mnozinu vsech tech reseni, k nimz neexistuje reseni, je.z by je dominovalo,nazveme nedominovana mnoiina a kazdemu prvku nedominovane mnoziny budeme nkatparetovsky optimaIni reseni.

Pnklad znazomujici prave zavedene pojmy pro pripad dvou kriterii K1 a K2 je na ob-razku c. 1.3. Mnozina dvojic hodnot K1 (X), K2(X) pro vsechna pripustna reseni Xje zna-zomena jako oblast ~vcetne jeji hranice. Cast hranice, odpovidajici paretovsky optimalnimresenim, je vyznacena silnejsi carou vcetne bodu A, BaD, s vynechanim bodu C. Pravepodel techto useku nelze jedno z kriterii zvetSit, aniz by se druM zvetSilo.

'\

A

B

o

Priklad 2) Pro skhidku komunalniho odpadu byly vytipovany 4 lokality; oznaClme je:X1, "'J N. Pro posouzeni techto variant budeme brat v uvahu pet nize uvedenych kriterii.Pntom opet bude lepsi variante odpovidat vyssi hodnota kriteria:

• K1 uspora v zaboru zemedelske pudy ve srovnani s nejhorsi variantou,

• K2 uspora investicnich nakladu a nakladu na dopravu po dobu pfedpokladane zivotnostive srovnani s nejhorsi variantou,

• K3 snizeni negativnich dusledkU pro okolni obyvatelstvo,

• ~ snizeni negativnich dusledkU pro vodni hospodafstvi,

• Ks pfedpokladana kapacita.

Pro kriteria 1ze napfiklad pouzit stupnici podle negativnich dusledku: O. nepfipust-ne velke, 1. znacne, 2. zna 1ne, 4. nep'atm . Ostatni kriteria budeme vyhodnocovatv nekterych pomemych hodnotach, takze rysledna tabulka hodnot kriterii muze v konkretnisituaci vypadat napf. takto:

- - ~';,( () ~ LE1$(-Je videt, ze pro dominanci, kterou nyni posuzujeme tak, ze optimym podle ktereho-

koli "teria Q<lpovidajeho dosazenemu maximu, plati: X1 ~ X2; X1 ~ N; X3~ X2; X3~N,zatimco X1 a ~. ou vzajemne nedominovane a obe jsou paretovsky optimalni. Idealni hy-poteticka varianta, odpovidajici maximalnim hodnotam ( • ) je v daneuloze neuskutecnitelna. Graficky lze znazomit vyhodnoceni jednotlirych variant ve tvarutzv. hvizdicoveho mnohouhelniku. Sestrojime pravidelny petiuhelnik, ve kterem hodnotyjednotlivych kriterii vynasime na stfedni pficky tak, ze stfed petiuhelniku odpovida nulo-vYmhodnotam a vrcholy odpovidaji maximalnim v uloze dosazenYm hodnotam kriterii.

9,6

1

KaZdou variantu znazoriiuje potom petiUhelnik, vepsany do "idealniho" pravidelnehopetiUhelniku. Na obr. c. 1.4 jsou vrcholy odpovidajici variante X1 oznaceny Ctvereckya vrcholy odpovidajici variante X3 krouzky. " r"X1 y" ) J)O{ It HO)(

\ ./

AIJ 1>2- (XC\)Act: ')sn0 \/2-j- 'NtE\)\J11 ill HP~\ /

38 v>pbSdJl (V 1>€-(\GilQhftJ

Protinajici se petiuhelniky predstavuji vzajemne nedominovana reseni. Vyhodnostposuzovane varianty lze nekdy hodnotit podle rozdilu obsahu "idealniho" petiUhelniku,odpovidajiciho dane variante; potom je varianta tim "lepsi", eim mensi je tento rozdil.

DalSi pnstup v multikriterialni optimalizaci predstavuje hierarchicke usporadani jed-notlivych kriterii podle duleZitosti. Pokud z rozboru ulohy vyplYva, ze kriterium K1 je dule-zitejsi neZ K2 a K2 je dulezitejsi nez K3 atd., postupujeme takto:

Pokud 0 optimalni variante rozhodlo kriterium K1, dale nepokraeujeme. Kdyz optimalnihodnotu K1 splftuje vice variant, rozhodujeme mezi nimi obdobne podle K2, atd. Zbude-linakonec vice variant, mezi nimiz nerozhodlo zadne z kriterii, povafujeme je vsechny zaoptimalni reseni.

V nekterych pnpadech lze z dileich kriterii K1, •.• ,Kn na podklade objektivniho zhodnoceniulohy vytvofit globalnf kriterium ve tvaru funkce:

Ke kazdemu kriteriu Kj muzeme take pfiradit ureite realne eislo (nebo prvek z nejakeho li-nearniho prostoru) f(Kj). Potom lze pouzivat pro dalSi kriteria rozhodovani linearni kombi-naci techto veliCin:

nI Cj f(Kj),

i=1