Zopakujte si základní informace ke zkoušce:

n Test obsahuje 30 úloh a na jeho řešení máte 90 minut čistého času.

n V průběhu testu můžete používat přiložené vzorce, prázdný sloupec je určen na vaše poznámky.

n U každé úlohy je jen jedna správná odpověď.

n Za každou správnou odpověď získáte bod, za špatnou 1/4 bodu ztrácíte.

n Nejlepší je řešit nejdříve snadné úlohy a k náročnějším se vrátit.

n Nebuďte nervózní z toho, že nevyřešíte všechno, to se povede málokomu

MatematikaNÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY

T��� � BŘEZNA 2019

D���� ��� �� �������: 8. března 2019 Počet řešitelů testu: 1013Počet úloh: 30

Průměrná vynechanost: 22,2 %Správné

odpovědi jsou vyznačeny.

Max. možné skóre: 30 Max. dosažené skóre: 30 Min. možné skóre: -7,5 Min. dosažené skóre: -4,3 Průměrné skóre: 12,6

PŘEHLED VZORCŮ

© Scio® 2018 Matematika

Kvadratická rovnice: 2 0ax bx c ; 2

1,2

4

2

b b acx

a

; x1 + x2 =

b

a ;

1 2

cx x

a ; 0a

Goniometrické funkce:

2 2sin cos 1x x

tg cotg 1,2

x x x k

sin 2 2 sin cosx x x ; 2 2cos2 cos sinx x x

xx cos2

πsin

;

πcos sin

2x x

cos

tg cotg ,2 sin

xx x x k

x

π sin π

cotg tg , 2 12 cos 2

xx x x k

x

sin sin cos cos sinx y x y x y

cos cos cos sin sin x y x y x y

2

cos1

2sin

xx ;

2

cos1

2cos

xx

x 0 6

π

4

π

3

π

2

π

sin x 0 1

2

1

22

1

23 1

cos x 1 1

23

1

22

1

2 0

Trigonometrie: sinová věta:

sin

sin

b

a;

sin

sin

c

b;

sin

sin

a

c

kosinová věta: 2 2 2 2 cosa b c b c ; 2 2 2 2 cosb a c a c ; 2 2 2 2 cosc a b a b

Logaritmus: log log logz z zx y x y ; log log logz z z

xx y

y ; log logk

z zx k x ; log y

z x y x z

Aritmetická posloupnost: 1 1na a n d ; 12

n n

ns a a

Geometrická posloupnost: 1

1

n

na a q ; 1

1, 1

1

n

n

qs a q

q

Geometrická řada: 1

1, 1

1s a q

q

Rozklad na součin: 1 2 3 2 2 1( )( ... ) n n n n n n na b a b a a b a b a b b

Kombinatorika: ( ) !P n n ;

V k nn

n k( , )

!

!

;

!,

! !

n nC k n

k k n k

;

1; =

1 1

n n n n n

k n k k k k

1 2

1 2

1 2

( ... )!’( , , ..., )

! !... !

k

k

k

n n nP n n n

n n n

; ’ , kV k n n ;

1 1’ ,

1

n k n kC k n

k n

Binomická věta: 1 2 2 1....1 2 1

n n n n n nn n n

a b a a b a b a b bn

Analytická geometrie: velikost vektoru: 1 2( ; )u u u je: 2 2

1 2u u

Kosinus odchylky přímek 1 1 1 1: 0p a x b y c a

2 2 2 2: 0p a x b y c je 1 2 1 2

2 2 2 2

1 1 2 2

cosa a b b

a b a b

Vzdálenost bodu M[m1;m2] od přímky p: ax + by + c = 0 je 1 2

2 2

a m b m cMp

a b

Středový tvar rovnice kružnice: 2 2 2x m y n r ; elipsy:

2 2

2 21

x m y n

a b

; e

2 = a

2 – b

2

Středový tvar rovnice hyperboly:

2 2

2 21

x m y n

a b

;

1

2

2

2

2

b

ny

a

mx; e

2 = a

2 + b

2

Vrcholová rovnice paraboly: 2

2 , ;2

py n p x m F m n

;

22 , ;

2

px m p y n F m n

Objemy a povrchy těles:

Kvádr Válec Jehlan Kužel Koule

Objem a b c 2r v 1

3S v

21π

3r v

34π

3r

Povrch 2(ab+ac+bc) 2π r r v S+Q π r r s 24π r

Matematika 

© Scio 2019  3 

1.

Která z následujících rovností platí pro všechna reálná čísla x?

(A) 2 2( 2) 4 4x x x

(B) 2 2 2( 2) 4 4x x x

(C) 2 2( 2) 2 4x x x

(D) 2 2( 2) 2 4 4x x x

(E) 2 2( 2) 4 2 2x x x

2.

1 1 1 1 1, , , , , ...

4 4 4 4 4

V posloupnosti se pravidelně střídají čísla 1

4 a

1

4 . Jaký je

součet prvních sto čísel takové posloupnosti, z níž je uvedeno prvních 5 čísel?

(A) 1

2

(B) 1

4

(C) 0

(D) 1

4

(E) 1

2

3.

Na začátku je v hrnečku tekutina, z níž je 85 % čaje a zbytek tvoří mléko. Přilejeme-li do hrnečku 15 ml mléka, změní se podíl čaje na 80 %. Kolik bylo v hrnečku na začátku tekutiny?

(A) 200 ml (B) 175 ml (C) 240 ml (D) 250 ml (E) 125 ml

4.

Jako Mersenneova prvočísla jsou označována prvočísla ve tvaru 2 1pM , kde p je prvočíslo. Mersenneovým prvočíslem je například číslo:

(A) 5 (B) 11 (C) 15 (D) 31 (E) 63

Matematika 

© Scio 2019  4 

5.

Libovolné přirozené číslo, které při dělení číslem 5 dává zbytek 2, lze zapsat následujícím způsobem:

(A) 2 5, k k N

(B) 2 5, k k N

(C) 5 3, k k N

(D) 5 2, k k N

(E) 5 3, k k N

6.

Mezi racionální čísla nepatří číslo:

(A) 1

22

22

(B)

1

211

2 22

(C) 102 1

22

(D)

1

212

2

2

(E) 2

1

1 1

22

7.

Pro každé výroky X, Y, Z, jejichž negace jsou označeny X ' , Y ', Z ', platí, že negace výroku (X ∨ Z) ∧ Y je výrok:

(A) (X ' ∨ Z ' ) ∧ Y ' (B) (X ' ∧ Z ' ) ∨ Y ' (C) X ' ∧ Z ' ∧ Y ' (D) X ' ∨ Z ' ∨ Y ' (E) X ' ∨ Z ' ∨ Y

8.

Rodiče Novákovi, Vaňkovi a Šimkovi slíbili před koncem školního roku svému jedinému dítěti: „Budeš-li mít vyznamenání na vysvědčení, koupíme ti kolo.“ Na konci školního roku se stalo toto:

Mirek Novák neměl vyznamenání a rodiče mu koupili kolo. Vašek Vaněk neměl vyznamenání a rodiče mu nekoupili kolo. Tomáš Šimek měl vyznamenání a rodiče mu nekoupili kolo. Kteří rodiče nesplnili, co slíbili?

(A) pouze Novákovi (B) pouze Šimkovi (C) pouze Novákovi a Šimkovi (D) pouze Novákovi a Vaňkovi (E) Žádní rodiče nesplnili, co slíbili.

Matematika 

© Scio 2019  5 

9.

Na hodinovém displeji je údaj 14:41, tj. je právě 14 hodin 41 minut. Uvažujme tento časový údaj jako symetrické čtyřciferné číslo 1441. Na displeji bude symetrické čtyřciferné číslo dělitelné třemi například:

(A) za 2 minuty (B) za 8 minut (C) za 19 minut (D) za 1 hodinu 10 minut (E) za 5 hodin 9 minut

10.

Počet podmnožin X množiny {1, 2, 3, 4, 5}, pro něž platí

{1, 3, 4} ∩ X = {1, 4},

je roven:

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5

11.

Je dána nerovnice 2 5x p s neznámou x a reálným

parametrem p. Řešením této nerovnice je každé reálné číslo x pro:

(A) 5p

(B) 5p

(C) libovolné 5;p

(D) libovolné ; 5p

(E) Žádná z předchozích odpovědí není správná.

12.

Vyplníme-li do políček uvedené pyramidy celá čísla tak, aby každé číslo ve druhém a vyšším patře bylo součtem dvou čísel přímo pod sebou, bude na místě otazníku číslo:

(A) −3 (B) −1 (C) 1 (D) 2 (E) 3

Matematika 

© Scio 2019  6 

13.

Rovnice

2 21 4 1 2 0x x x x

má v oboru reálných čísel:

(A) právě jedno řešení (B) právě dvě řešení (C) právě tři řešení (D) právě čtyři řešení (E) Rovnice nemá žádné řešení.

14.

Číslo, které je řešením rovnice

64 754 3 0

2 43

3

x x

xx x

,

leží v intervalu:

(A) ; 1

(B) 1; 0

(C) 0;1

(D) 1; 2

(E) 2;

15.

Mnohočlen 3 22 2x x x není beze zbytku dělitelný dvojčlenem:

(A) 2 1x (B) 1x (C) 1x

(D) 2x (E) 2x

Matematika 

© Scio 2019  7 

16.

Máme dva sudy a v nich černé a bílé koule. Na začátku jsou v prvním sudu dvě černé a tři bílé koule, zatímco v druhém sudu jsou tři černé a čtyři bílé koule. Vyjmeme jednu kouli z prvního sudu a přemístíme zbytek koulí do druhého sudu. Následně vyjmeme jednu kouli z druhého sudu. Jaká je pravděpodobnost, že jsme vyjmuli jednu černou a jednu bílou kouli (v libovolném pořadí)?

(A) 29

55

(B) 1

2

(C) 35

132

(D) 31

66

(E) 5

12

17.

Z dvaceti žáků třídy se má vybrat desetičlenná skupina, ve které nezáleží na uspořádání a v níž jsou žáci A i B a není žádný z žáků C, D, E. Počet možných výběrů této skupiny je:

(A) 18

8

(B) 17

10

(C) 17

8

(D) 15

10

(E) 15

8

18. Na základě VO, uznána dvě správná řešení

O sportovním dni se ze 33 žáků třídy 8. C přihlásilo 21 žáků na účast ve fotbalovém zápase, 9 žáků se přihlásilo na tenisový turnaj a 17 žáků se přihlásilo na závod ve sprintu. Žádný žák se nepřihlásil na právě dva sporty. Počet žáků, kteří se přihlásili na právě tři z těchto aktivit, je:

(A) 3 (B) 5 (C) 7 (D) 9 (E) 11

Matematika 

© Scio 2019  8 

19.

Je-li na geometrická posloupnost s prvním členem 1 3a

taková, že její kvocient q je kladné celé číslo, pak součtem prvních tří členů této posloupnosti nemůže být číslo:

(A) 21 (B) 39 (C) 63 (D) 71 (E) 93

20.

Počet společných bodů grafů funkcí 2 4

2

xy

x

, 2y x je:

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) nekonečně mnoho

21.

Z funkcí

: cos 2f y x , : π cos3 g y x

s definičními obory :

(A) jsou obě sudé (B) je sudá jen funkce f (C) je sudá jen funkce g (D) není sudá ani jedna (E) nelze rozhodnout, zda je některá sudá

22.

Rovnice 22

16t

t má v oboru reálných čísel:

(A) dvě kladná řešení (B) jedno kladné a jedno záporné řešení (C) dvě záporná řešení (D) jediné řešení (E) žádné řešení

Matematika 

© Scio 2019  9 

23.

V aritmetické posloupnosti na je dán pátý člen 5 15a .

Součet prvních patnácti členů této posloupnosti je roven 150, rovná-li se diference d číslu:

(A) 5

3

(B) 3

5

(C) 3

5

(D) 5

3

(E) Žádná z předchozích odpovědí není správná.

24.

Soustavě rovnic

12 3 17x y

12 3 23x y

vyhovuje uspořádaná dvojice reálných čísel [x; y].

Součet x + y je roven číslu:

(A) 2 (B) 4 (C) 5 (D) 13 (E) 17

25.

Funkce 2

2

log

a

a

y x s reálným parametrem a není definována

mimo jiné pro a rovno:

(A) −3 (B) 1 (C) 3 (D) 5 (E) 7

Matematika 

© Scio 2019  10 

26.

V obdélníku KLMN se středem S platí

|KL| = a, | LSM | = 60°.

Potom |LM| je rovno:

(A) 3

4a

(B) 2

2a

(C) 2

3a

(D) 3

3a

(E) 1

2a

27.

Má-li krychle, jejíž povrch je 1S , stejný objem jako koule, jejíž

povrch je 2S , je poměr 1

2

S

S roven:

(A) 34

π

(B) 36

π

(C) 38

π

(D) 32

12

π

(E) 32

15

π

28.

Čtyřúhelník ABCD má vrcholy A [2; 2], B [6; 5], C [1; 5], D [−3; 2]. Odchylka jeho úhlopříček je:

(A) 60° (B) 75° (C) 90° (D) 105° (E) 180°

Matematika 

© Scio 2019  11 

29.

Grafickým řešením soustavy nerovnic

2 3 0x y

2 1 0x y

je:

(A) ostrý úhel (B) přímý úhel (C) tupý úhel (D) pás (E) prázdná množina

30.

Rovnice středné (přímky procházející středy) dvou kružnic

2 21 : 3 5 4,5 0k x y x y

2 22 : 2 8 8 0k x y x y

může mít tvar:

(A) 3 5 17 0x y

(B) 3 5 17 0x y

(C) 3 5 17 0x y

(D) 3 5 17 0x y

(E) 3 5 17 0x y