Napětí a přetvořenífast10.vsb.cz/krejsa/studium/pp_tema02.pdf · Pracovní diagram Fyzikální...

Katedra stavební mechanikyFakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

Pružnost a plasticita, 2.ročník bakalářského studia

Téma 2Napětí a přetvoření

• Deformace a posuny v tělese• Fyzikální vztahy mezi napětími a deformacemi,Hookeův zákon, fyzikální konstanty a pracovnídiagramy stavebních materiálů

• Deformace od změny teploty

2 / 37

Deformace a posuny

Deformace a posuny v tělese

Vlivem zatížení nebo změny teploty se tělesa deformují, což lze popsat pomocí poměrných deformací nebo složek posunutí.

Poměrné deformace: - délkové (poměrné prodloužení nebo zkrácení)

xx

x dd

yy

y dd

zz

z dd

3 / 37

Deformace a posuny

Poměrné deformace:- úhlové (zkosení)

Teorie malých deformací: 1 1

Zjednodušení: tan


yx

xy d

zy

yz d

xz

zx d

4 / 37

Poměrné deformace

xx

x dd

yy

y dd

zz

z dd

dx dx

y

dz

pros

tý ta

h

krou

cení

+z

+x+y

+x

T

N N

délkové

úhlové


yx

xy d

zy

yz d

xz

zx d

5 / 37

Stav přetvoření tělesaStav přetvoření tělesa: tenzor, definovaný v pravoúhlé soustavě

z

yzy

xzxyx

sym

.

Tenzor deformace:Pouze 6 složek přetvoření Txyzxyzzyx

Vektor deformace:

Geometrii deformovatelného tělesa lze popsat jednoznačně pomocí složek posunůlibovolného bodu:


),,( zyxuxx ),,( zyxvyy

),,( zyxwzz

6 / 37

Geometrické rovnice

xu

xyxuyxxu

xxaubux

xxx

x

d

),(),d(d

d)()(dd

dd


7 / 37



xv

yu

xyxvyxxv

yyxuyyxu

xavbv

yaucu

xy

d

),(),d(d

),()d,(d

)()(d

)()(21

8 / 37


xu

x

yv

y

zw

z

yu

xv

xy

zv

yw

yz

xw

zu

zx

Vyjadřují vztahy mezi složkami poměrných deformacív tělese a složkami posunů libovolných bodů v tělese.


9 / 37

Pracovní diagram

Fyzikální vztahy mezi napětími a deformacemi

Vztah napětí - deformace vyjadřuje pracovní diagram. Závisí na fyzikálních a mechanických vlastnostech materiálů.

TAH

AN

A

0

limAN

ll

10 / 37

Pracovní diagram

Osové namáhání - tah

N

N

Tahová zkouška oceliTéma č.1


11 / 37

Pracovní diagram


N

N

Tahová zkouška oceliTéma č.1


12 / 37

Pracovní diagram


Tahová zkouška oceli

N

N

Téma č.1


13 / 37

Pracovní diagramOsové namáhání - tah

Přetržený vzorek oceli po tahové

zkoušce

Téma č.1


14 / 37

Pracovní diagramOsové namáhání - tah

Přetržený vzorek oceli po tahové

zkoušce

Téma č.1


15 / 37

Pracovní diagram

Téma č.1

Tahová zkouška oceli, pracovní diagram


16 / 37

Pracovní diagram


Téma č.1


17 / 37

Pracovní diagram


Téma č.1


18 / 37

Pracovní diagramPracovní diagram oceli, získaný tahovou zkouškou

N

orm

álov

é na

pětí

Poměrnépřetvoření

Lineárně pružný materiál

Téma č.1


19 / 37


N

orm

álov

é na

pětí


Plastické chování materiálu

Téma č.1


20 / 37


N

orm

álov

é na

pětí


Trvalá deformace

Téma č.1


21 / 37

Lineárně pružný materiál, Hookeův zákon

TAH

EE x

xx

x tan

AN

x ll

x

EAN

ll

x ... normálové napětí [Pa]x ... poměrné prodloužení [-]

AElNl

..

Hookeův zákon

E ... modul pružnosti v tahu a tlaku(Youngův) [Pa]


22 / 37

Lineárně pružný materiál, Hookeův zákon

(dříve ) ... Poissonův součinitelpříčné deformace [-]

Ex

xzy ..

5,0

Při současném působení x, y a z zyxzyx

x EEEE

..1..

obdobně zxyy E ..1 yxzz E

..1

Fyzikální rovnice - 1.část


23 / 37

Anglický fyzik, přírodovědec a architekt, který jako první vyslovil v roce 1676 zákon o úměrnosti mezi napětím a přetvořením.

Historické osobnostiRobert Hooke(1635 - 1703)

Thomas Young(1773 - 1829)

Simeon Denis Poisson(1781 - 1840)

Anglický učenec, v roce 1807 definoval matematicky Hookeův zákon (modul pružnosti E).

Francouzský matematik, zabývající se chováním materiálu a matematickou teorií pružnosti.


24 / 37

Smyk, smyková napětí

x

y

dy

dx

xyxy

yx

yx


25 / 37

Lineárně pružný materiál, Hookeův zákon ve smyku

xy

xy = yx

= arctan G

xy ... smykové napětí [Pa]

xy ... zkosení [-]

G ... modul pružnosti ve smyku [Pa]

Hookeův zákon ve smyku

GG xy

xyxy

xy

tan

obdobně

Gyz

yz

Gzx

zx

Fyzikální rovnice - 2.část


26 / 37

Fyzikální rovnice

Vyjadřují vztahy mezi složkami poměrných deformacía složkami napětí v tělese.

Gyz

yz

Gzx

zx

Gxy

xy

zxyy E ..1

yxzz E ..1

zyxx E ..1


27 / 37

Fyzikální konstanty

U izotropní látky není E, G a vzájemně nezávislé.

5,00 1.2GE

23EGE

Orientační hodnoty fyzikálních konstant některých látek: E G

Ocel 210 000 MPa 81 000 MPa 0,3

Sklo 70 000 MPa 28 000 MPa 0,25

Žula 40 000 až 100 000 MPa - 0,2

Dřevo jehličnaté E = 10 000 MPaE = 300 MPa

600 MPa -


28 / 37

Pracovní diagram betonu v tlaku


29 / 37

Fyzikální konstanty betonu

Třída betonu Ecm

sečnový modul pružnostiG

C12/15 27 000 MPa 0,42.E 0,2

C16/20 29 000 MPa

C20/25 30 000 MPa

C25/30 31 000 MPa

C30/37 33 000 MPa

C35/45 34 000 MPa

C40/50 35 000 MPa

C45/55 36 000 MPa

C50/60 37 000 MPa


30 / 37

Návrhový pracovní diagram betonu v tlaku

Parabolicko-rektangulární


Bilineární

31 / 37

Pracovní diagram oceli

Plasticita: schopnost materiálu deformovat se trvale bez porušení.

Tažnost: plastické protažení přetržené tyče, ocel 15%.


32 / 37

Pracovní diagram dřeva


Pracovní diagram dřeva

33 / 37

Ideálně pružno-plastický materiál


Pracovní diagram ideálně pružno-plastického materiálu

34 / 37

Přetvárná energie, ideálně pružno-plastický materiál

x

x

Namáhání nárazem

fy

0

Y A

1.

2.

Plocha 1. : přetvárná energie pružného materiálu En,ePlocha 2. : přetvárná energie plastického materiálu En,p

Kinetická energie nárazu:2. 2vmW nEW


35 / 37

Omezené využití plastických vlastností materiálu

• pracovní diagram každého materiálu závisí na rychlosti zatěžování a teplotě

• porušení – ztráta pevnosti je mnohotvárný jev, někdy vznikají tvárné-plastické deformace, jindy je povahy křehkého lomu (při nízkých teplotách, koncentrací napětí), který vzniká náhle

• při proměnném napětí opakujícím se v mnoha cyklech se uplatní tzv. únava materiálu při napětích podstatně nižších než je fy


36 / 37

Deformace od změny teploty

Deformace od změny teploty

TTTzTyTx .,,,

0 zxyzxy t … součinitel tepelné roztažnosti [oC-1]

Ocel t =12.10-6 oC-1 Dřevo t =3.10-6 oC-1

Beton t =10.10-6 oC-1 Zdivo t =5.10-6 oC-1

37 / 37

Okruhy problémů k ústní části zkoušky

1. Deformace a posuny v tělese, geometrické rovnice2. Hookeův zákon, lineárně pružný materiál,

fyzikální konstanty stavebních materiálů3. Pracovní diagramy stavebních materiálů4. Nepružný a ideálně pružno-plastický materiál,

tažnost5. Deformace od změny teploty

Podklady ke zkoušce

Date post:	02-Feb-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	6 times
Download:	0 times

Napětí a přetvořenífast10.vsb.cz/krejsa/studium/pp_tema02.pdf · Pracovní diagram Fyzikální...

Documents