Nerovnice

Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Nerovnice

Druhy řešení

podle definičního oboru


Postup řešení nerovnic je obdobný jako při řešení rovnic s tou výjimkou, že pokud násobíme nebo dělíme nerovnici záporným číslem, mění se znak nerovnosti v opačný.

Místo znaménka = (rovná se) užívaného v rovnicích se

v nerovnicích objevují znaménka

> (je větší než), < (je menší než),

(je větší nebo rovno) nebo (je menší nebo rovno).

Lineární nerovnice je zápis nerovnosti dvou výrazů (v obecném tvaru a.x + b < 0 , kde se mohou vyskytovat znaménka nerovnosti >, <, , ), ve kterém máme najít všechna čísla dané množiny (neznámé), která splňují danou nerovnost.

Lineární nerovnice - opakování

2.x + 6 > 0

U nerovnic a určení jejich řešení hraje podstatnou roli i číselný obor, ve kterém nerovnici řešíme. Jestliže řešíme nerovnici v přirozených či celých číslech, pak je řešením zpravidla množina prvků. Jestliže řešíme nerovnici v reálných číslech, pak je řešením zpravidla interval.


Druhy řešení

Nerovnice může mít 3 různá řešení:Po několika krocích ekvivalentních úprav tak můžeme dostat některé z následujících řešení:

1)

x > 5 nebo y -3

7 < 4 nebo -3 > 1 nebo -2 -5,5Tedy nepravdivý matematický výraz, nepravdivá

nerovnost, což znamená, že nerovnice nemá žádné řešení.

2) 7 > 4 nebo -3 < 1 nebo -2 -5,5

Tedy pravdivý matematický výraz, pravdivá nerovnost, což znamená, že nerovnice má nekonečně mnoho řešení, přesněji řečeno všechna čísla z dané množiny definičního oboru.

3)Tedy nerovnost, určující také nekonečně mnoho řešení, přesněji řečeno interval čísel. Řešením je tedy spojitá část (množina) čísel definičního oboru.


Druhy řešení

Nerovnice může mít 3 různá řešení:Po několika krocích ekvivalentních úprav, tak můžeme dostat některé z následujících řešení:

1.)

x > 5 nebo y -3

7 < 4 nebo -3 > 1 nebo -2 -5,5Tedy nepravdivý matematický výraz, nepravdivá

nerovnost, což znamená, že nerovnice nemá žádné řešení.

2.)

7 > 4 nebo -3 < 1 nebo -2 -5,5

Tedy pravdivý matematický výraz, pravdivá nerovnost, což znamená, že nerovnice má nekonečně mnoho řešení, přesněji řečeno všechna čísla z dané množiny definičního oboru.

3.)

Tedy nerovnost, určující také nekonečně mnoho řešení, přesněji řečeno interval čísel. Řešením je tedy spojitá část (množina) čísel definičního oboru.

Kromě prvního druhu řešení nerovnic se ve zbývajících dvou objevuje odvolávka na definiční obor. Nyní se tedy podíváme, co to v praxi znamená.


Druhy řešení – podle definičního oboru

Řešte nerovnici v R: 123217 xx

Nerovnici vydělíme číslem –4. Pozor na to, že násobíme-li či dělíme-li nerovnici záporným

číslem, musíme obrátit znaménko nerovnosti!

3;x

Nerovnice má v množině reálných čísel nekonečně mnoho řešení určených spojitým intervalem čísel od mínus nekonečna do trojky včetně.

Nejdříve se zbavíme závorek,

a to tak, že je roznásobíme.

x4/

Převede všechny členy s neznámou na levou stranu a

členy bez neznámé na stranu pravou.

17/

123217 xx126217 xx

5417 xxxx 454417

5417 x17517417 x

124 x 4:/

41244 ::x3x

Reálná čísla


Druhy řešení - ověření

Řešte nerovnici v R: 3;... xŘešení

Ověření:

Ověření správnosti, ne tedy zkouška, protože většinou je řešením celý interval a

my nemáme možnost všechna čísla z daného

intervalu dosadit.

Provedeme si tedy ověření správnosti, nejprve pro „hraniční“ číslo x=3. 3L

A nyní si provedeme ověření správnosti pro jiné než „krajní“ číslo intervalu řešení, např. pro x=0.

17

3P 132332 33 PL

Pro hraniční bod intervalu řešení, ovšem jen pokud je součástí řešení, nastává vždy

rovnost!

0L 17

0P 102302 132 16 5

00 PL

Pro jiné než „hraniční“ číslo intervalu řešení platí daná nerovnost!

A na závěr si provedeme ověření správnosti pro číslo, které není řešením nerovnice, které nepatří do intervalu řešení, např. pro x=5. 5L 17

5P 152352 982 916 25 55 PL

123217 xx

562 512 17Pro číslo, které není řešením, tedy není

z intervalu řešení, daná nerovnost neplatí!



Řešte nerovnici v Z: 123217 xx



Nerovnice má v množině celých čísel nekonečně mnoho řešení určených množinou čísel (bodů).



x4/



17/

123217 xx126217 xx

5417 xxxx 454417

5417 x17517417 x

124 x 4:/

41244 ::x3x

Celá čísla

321012 ;;;;;...; x

…

Ještě jednou si tedy projdeme celý postup řešení této nerovnice. Ten se

totiž v závislosti na zadaném

definičním oboru nemění!



Řešte nerovnici v N: 123217 xx



Nerovnice má v množině přirozených čísel konečnou množinu řešení - čísel (bodů).



x4/



17/

123217 xx126217 xx

5417 xxxx 454417

5417 x17517417 x

124 x 4:/

41244 ::x3x

Přirozená čísla

321 ;;x

A totéž ještě jednou. A vzhledem k tomu,

že již víme, že postup úprav nerovnice se

v závislosti na zadaném definičním

oboru nemění, můžete jej již rychle

„překlikat“!



Řešte nerovnici v R : 123217 xx

0;x

Nerovnice má v množině záporných reálných čísel nekonečně mnoho řešení určených spojitým intervalem čísel od mínus nekonečna do nuly (ta však již řešením

není).

x4/

17/

123217 xx126217 xx

5417 xxxx 454417

5417 x17517417 x

124 x 4:/

41244 ::x3x

Záporná reálná čísla

-



Řešte nerovnici v R+ : 123217 xx

30;x

Nerovnice má v množině nezáporných reálných čísel nekonečně mnoho řešení určených spojitým intervalem čísel od nuly (včetně) do tří (včetně).

x4/

17/

123217 xx126217 xx

5417 xxxx 454417

5417 x17517417 x

124 x 4:/

41244 ::x3x

Nezáporná reálná čísla(tj. kladná a

nula)

0


Druhy definičních oborů

N … množina všech přirozených čísel

Z … množina všech celých číselZ+… množina všech kladných celých číselZ- … množina všech záporných celých číselZ+… množina všech celých nezáporných

čísel0

Z- … množina všech celých nekladných čísel0

R … množina všech reálných číselR+… množina všech kladných reálných číselR- … množina všech záporných reálných

číselR+… množina všech reálných nezáporných

čísel0

R- … množina všech reálných nekladných čísel0


Příklady k procvičení

Řešte nerovnici v R: 4332152 xxx

Reálná čísla

Klikněte pro zobrazení výsledku



Řešte nerovnici v R : 4332152 xxx

5;x

x3/

9/

4362152 xxx

4394 xx

xxxx 343394 49 x

9499 x

5x



Řešte nerovnici: 4332152 xxx

};;;{... 4321x

5x

Jak by vypadalo řešení, kdyby se nerovnice řešila:

1) v N

2) v Z };;;;;;;{...;... 43210123 x3) v Z+ };;;{... 4321x4) v Z- };;{...;... 123 x5) v Z- };;;{...;... 0123 x0



Řešte nerovnici: 4332152 xxx

};;;;{... 43210x

5x


6) v Z+

7) v R+ 50;... x8) v R- 0;... x9) v R+ 50;... x

10) v R- 0;... x0

0

0



Řešte nerovnici v R: 1715 2 xxxx

Reálná čísla





1755 22 xxxx

152 x

512 x

62 x

26 :x

3x

;3x




3x

...};;;;{... 4321xJak by vypadalo řešení, kdyby se nerovnice řešila:

1) v N

2) v Z ...};;;;;;;;{... 43210123 x3) v Z+ ...};;;;{... 4321x4) v Z- };;{... 123 x5) v Z- };;;{... 0123 x

0




3x


...};;;;;{... 43210x6) v Z+

7) v R+ ;... 0x8) v R- 03;... x9) v R+ ;... 0x

10) v R- 03;... x0

0

0



Řešte nerovnici v R: 6

527

4412

3

1 xxx

x

Reálná čísla





527

4412

3

1 xxx

x

6

527

482

3

1 xxx

x

12./

xxxx 104143962444

1410728100 xx

147 x

714 :x

2x

2 ;x




527

4412

3

1 xxx

x

2x

x...Jak by vypadalo řešení, kdyby se nerovnice řešila:

1) v N

2) v Z };;;{...;... 2345 x3) v Z+ x...4) v Z- };;;{...;... 2345 x5) v Z-

0 };;;{...;... 2345 x




527

4412

3

1 xxx

x

2x


x...6) v Z+

7) v R+ x...8) v R- 2 ;...x

9) v R+ x...10) v R-

0

0

0

2 ;...x


Tak víme, co jsou nerovnice, známe ekvivalentní úpravy používané při řešení nerovnic, víme, co jsou intervaly řešení,víme, co jsou „obory“, jaké existují a co znamenají.

Nyní tedy vzhůru na příklady, bez obav vzhůru do řešení nerovnic.

Date post:	03-Feb-2016
Category:	Documents
Upload:	mills
View:	25 times
Download:	0 times

Nerovnice

Documents