第7講

周期場中の電子 ~~ 規則正しく永遠に ~~

広島大学　井野明洋

固体物理学1

居室： 理D205、 放射光セ408

実験事実

食い違い？ 3

周期場による散乱は、 ある！！！

102

103

104

105

106

, 1 10 100 1000

, T (K)Al

Cu

Au

Ag

ℓ ~ Å

周期場による散乱は、 検出され ない!?!

電気抵抗の実験

一体、何が、起きているのか？

電子線回折の実験

LEED of Cu(100)Robinson et al., J. Phys. Chem. C 117, 23919 (2013).

周期場による電子の散乱 4

ki

kf

d

θ

θ

G

•１回ポッキリ の散乱を想定

•終状態の平面波は、 定常状態

外から来た電子を 外へ出す散乱

固体の内部にとどまる散乱

•周期場によって、 何度も 散乱される

•平面波は、 もはや 定常ではない

抵抗実験回折実験

まずは、 定常状態を求めよう！

5

結晶中の電子の
定常状態を 探し出す

課題

逆空間実空間ψ(r) ψk召喚済

電子の確率 密度分布 フェルミ球

結晶格子

-2 -1 0 1 2x k

a 2a -a -2a 0

-2 -1 0 1 2x k

a 2a -a -2a 0

kx a 2a -a -2a 00

= =

•*

V(r)周期場

-2 -1 0 1 2x k

a 2a -a -2a 0

-2 -1 0 1 2x k

a 2a -a -2a 0

kx a 2a -a -2a 00

= =

•*

VG 離散化 逆格子

召喚済

召喚済ブラッグ散乱 θ θ

シュレーディンガー方程式

召喚しよう

どうやって？

7

シュレーディンガー 方程式を

逆空間に召喚する

方針

•Blochの定理 •バンド理論

周期場中の方程式9

逆空間

実空間

微分則 周期 関数

掛け算と 畳み込み

有限区間・離散波数のフーリエ変換[ ψ(r) に周期的境界条件]

時間軸で考えよう10

ツボQ1

•Vng は、 ブラッグ散乱 kf = ki ± ng を表す •V-g =Vg* より、 H はエルミート → 必ず、 固有ベクトルが存在

波数空間の折り畳み11

… …k0 k0+g k0+2gk0−g

k1−g k1+gk1+2g

k1

k

通常は結晶波数も k と表記される。 文脈で判断せよ。

周期場中では、 結晶運動量　　が保存される

k と k+G を同一視したものを、 結晶波数 　と定義

ブロッホの定理12

波数表示位置表示

周期的な振幅変調 離散化された波数成分

周期場　　　　　　　　ならば、 必ず、 固有状態が存在し、

それは、 ブロッホ状態になる。 Felix Bloch 1905 — 1983

x

k

000 g 2g-2g -g

0-5a 10a5a-10a

8a

x

k

00

BZ

k00 g 2g-2g -g

0-5a 10a5a-10a

x k

000 g 2g-2g -g0-5a 10a5a-10a ==

⇤

(a)

(b)

(c)

周期関数

平面波

ブロッホ波

真空中

結晶中

13

逆空間

実空間

振幅変調

ブ ラ ッ グ 散 乱

固有状態 = 定常状態14

•『周期場による 規則正しい 散乱』 を取り込んだ新しい固有状態 = 定常状態 が実現する。

•ブロッホ波 (定常状態) が運ぶ電流は、 散逸しない。

•周期場による散乱は、 電気抵抗にならない。

規則正しく永遠に

ツボQ1

固有状態 が 見つかってしまった

二準位問題 16

E E+

E-ε1

ε2大小関係で決まる

二準位の混成17

E+

E-

E(a)

E+

E-

0

0

(b) 1

0.5

ツボQ3

ツボQ4,Q5

エネルギー固有値

確率

混成条件

神様は、よそ見をしている、、、

固有状態

ブラッグ点近傍の方程式 18

弱周期場で、 混成可能な成分だけを抜き出す

のとき、 対角要素

二つの平面波の混成 19

k

(a)

0 g

E

V

ギャップ端の状態20

k0.45g 0.55g0.5g

E(b)

定在波が立つ

ツボQ2

量子力学の復習21

縦軸

横軸

ただし、 観測できるのは振幅　　だけ。

ψ(x,t) = ei(kx−ωt)波動関数

真空中の波動関数 (V= 0) 22

k0

E ψ(t) = ψ(0) e -iEt/ℏ

E(k)

弱周期場中の波動関数 (V< 0) 23

k0

E E(k) ψ(t) = ψ(0) e -iEt/ℏ

ツボQ2

k

E

0 g

±g

–g

±2g

±3g

k

E

0 g-g

ブラッグ点

ブラッグ散乱

周期場 と 電子構造 24

空格子 弱周期場

k

E

0 g

±g

–g

±2g

±3g

k

E

0 g-g

E

0k

３つの表示形式 25

波数区別 同一視

結晶波数

拡張ゾーン形式 還元ゾーン形式 周期ゾーン形式

バンド構造 26

k

E

0 +g-g

バンド

kバンド

バンド±2g

±2g

±g

±gギャップ

ギャップ

波長が合わねば、 素通り。

波長が合えば、 定在波。

伝播可能な領域 と

伝播不可な領域

/周期的境界条件

/周期場 （単位胞）二種類の周期性

27

ブラッグ散乱

… …

逆空間 k波数の離散化

k0k1

拡張ゾーン形式

実空間 xa

L = Nuc a

格子定数

↑単位胞の数

/周期的境界条件

/周期場 （単位胞）二種類の周期性

28

ブリルアン・ゾーン (BZ)

……

逆空間 k波数の離散化

k0k1バンド１バンド２バンド３

還元ゾーン形式

実空間 xa

L = Nuc a

格子定数

↑単位胞の数

１つのバンドは、 BZ全体で 2Nuc 個の電子を収容する

電子の収容数 29

k

(a) = 1,

0

EF

E

kF-kFk

(b) = 2,

0

EF

E

k

(c) = 3,

0

EF

E

kF-kF

金属 金属絶縁体

バンド１本の 電子収容数

2Nuc

まとめ30

1. ブラッグ散乱を取り込んだ ブロッホ状態 が固有状態。
結晶運動量が保存 する。 周期場は電気抵抗を生じない。

2. 電子の 波長 が、 周期場と合わなければ、 素通り。 
周期場と一致すると、 散乱を繰り返して、 定在波 に。

3. エネルギー によって、 電子の波が伝播可能な バンド と、 
　　　　　　　　　　伝播不可な ギャップ に分かれる。

4. 単位胞あたりの電子数の 偶奇 が重要。

~~ バンド理論 ~~

残された謎31

弱周期場

?固体結晶中の

電子気体自由電子気体

結晶の向きによって、 バンド構造が違うはず。

今日の話は、次元が低すぎる。物性現象は

フェルミ面上で 起きている

32

二次元が好き

次回

第8講　電子構造の異方性

32

次回

第8講　電子構造の異方性

三次元も気になる