Čas v kvantové mechanice Pavel Cejnar
ÚČJF MFF UK pavel.cejnar @ mff.cuni.cz
Filozofické problémy fyziky, prosinec 2012
Salvador Dalí, 1931
Program: 1) „Zábavný“ úvod 2) Nezábavné resumé QM 3) Relace neurčitosti E x t 4) Neexponenciální rozpad,
Zenónův jev… 5) Operátor času 6) Šipka času 7) Diskuze
Proč chodíte na matfyz?
1) Abyste se stali vynikajícími odborníky ve svých oborech, skvělými pedagogy etc.
„Typický Absolvent MFF UK“
2) Abyste dokázali odpovědět panu Omzuvi Pan Omzu = Obyčejný Muž Z Ulice = A Common Man
Proč chodíte na matfyz?
„Typický Absolvent MFF UK“
?????????????? Čas je…parametr…který…plyne.
Značíme ho…písmenem t. Jo…a málem bych zapomněl:
Je relativní.
Jo, tys´ chodil na ten matfyz.
To mně ta matika nikdy nešla. Já byl vždycky spíš na ty ženský.
A hele, to bys´ teda moh´ vědět:
Co je to vlastně ten čas?
Proč chodíte na matfyz?
Lillian R. Lieber (1886–1986)
“The Celebrated Man In The Street”
(1942)
Kvantová mechanika – prostor fyzikálních stavů Prostor stavů kvantového systému (protějšek klasického fázového prostoru) = komplexní lineární vektorový prostor se skalárním součinem (úplný) = Hilbertův prostor
Důsledky: Daný stav nelze v jednom měření přesně odlišit od jiných stavů ! Pravděpodobnost „záměny“ stavových vektorů: Měření na systému nemusí dávat jednoznačné výsledky !
2),()( ΨΨ′=Ψ′Ψp
H
David Hilbert (1862-1943)
Ψ
Ψ′
( )ΨΨ′,
( ) ( )( ) 1,
1,,≤ΨΨ′⇒
=Ψ′Ψ′=ΨΨ
Zásadní vlastnost: Různé stavové vektory se vzájemně „překrývají“
normalizace
Kvantová mechanika – reprezentace veličin
∫ ΨΨΨ ≡↔ daapaaap nn )()(
Např. střední hodnota n. disperze
Ψ
1a 22ΨΨ
− aa
Vyjádření statistických momentů pomocí operátorů ( )ΨΨ≡
Ψ
nn Aa ,reálnost momentů => hermiticita operátorů
( ) ( )( )
*,
,,ΨΨ
ΨΨ=ΨΨA
AA
H
Fyzikální veličiny v daném stavu systému nemusí nabývat ostrých hodnot Pravděpodobnostní rozdělení charakterizováno statistickými momenty
Ψ
Ψ′≡ΨAΨ ′′≡Ψ2A
Ψ ′′′≡Ψ3A
A A
A
A
Stavy s ostrou hodnotou veličiny A: 022 ≡−ΨΨ
aa
( ) ( )
Ψ=Ψ
ΨΨΨ
Ψ
=Ψ−⇒=Ψ−Ψ=−ΨΨaA
IaAIaAaA 0][0][,, 222
Ψ=Ψ⇒ aA vlastní vektory & hodnoty operátoru A Paul Dirac John von Neumann
(1902-1984) (1903-1957)
Kvantová mechanika – princip neurčitosti
H
Revoluční vlastnost operátorů – nemusí „komutovat“! BAAB ≠Komutátor [ ] BAABBA −≡, 0=
0≠
ba ′′,
ba,
a
ba′
b′
IiPX ijji δ=],[Např.
Důsledky: 1) Komutující veličiny mají společné vlastní vektory
2) Nekomutující veličiny nemají společné vlastní vektory
⇒ společně nabývají ostrých hodnot
⇒ nemohou společně nabývat ostrých hodnot
Relace neurčitosti
Rozptyl veličiny A pro daný stav: 22ΨΨΨ −≡∆ aaa
( )|| ],[,21 ΨΨ≥∆∆ ΨΨ BAiba
Např. ( ) ⇒ΨΨ≥∆∆ ΨΨ
1
2 , Ipx ii 2≥∆∆ px
Werner Heisenberg (1901-1976)
fsVe66.0 ⋅=
Kvantová mechanika – evoluce
0e Ψ=Ψ− Hti
t
ttdtd Hi Ψ=Ψ
Erwin Schrödinger (1887-1961)
++++≡ 3!3
12!2
11!1
1e XXXIX
Vývoj statistických momentů
1) Spontánní evoluce
( ) ( )00 ee,, ΨΨ=ΨΨ= −+
Ψ
HtnHtt
nt
n ii
tAAa
( )tn
tn
dtd HAai
tΨΨ=
Ψ],[,
0Ψ
tΨ
H
2) Kvantové měření
1)
2)
Ψ ′′Ψ′
→Ψ
t
t
tSystém se naráz ocitne v některém z vlastních vektorů měřené veličiny (podle toho, jaká z vlastních hodnot byla naměřena)
Stavový vektor systému se spojitě vyvíjí v Hilbertově prostoru (jeho norma se při tom zachovává)
H = operátor energie, hamiltonián
Evoluce 1) je vratná = reverzibilní
Evoluce 2) je nevratná = ireverzibilní
Relace neurčitosti “čas x energie”
L. Mandelshtam (1879–1944)
I. Tamm (1895–1971)
Máme hamiltonián H s vlastními hodnotami energie e Uvažujme o veličině, která umožňuje (aspoň pro některé počáteční stavy daného systému) měřit čas => operátor T s vlastními hodnotami τ
Neurčitost skutečného času stanoveného měřením τ je: V daném okamžitém stavu Ψt má hodnota τ kvantovou neurčitost ΔΨtτ
( ) e
ttidtd
tt
t
t
t
t HTt
ΨΨ ∆∆≤
Ψ
Ψ
ΨΨ ΨΨ
∆=
∆=∆
τ
τ
τ
τ],[,2
12τ
tΨ∆
tΨτ
t∆ t
τ
2≥∆∆⇒ ΨΨ et
tt
1945 1930
Niels Bohr (1885-1962) Albert Einstein (1879-1955)
2≥∆∆ et
Průchod systému okamžitým stavem
tδ
1
( ) ( ) 200 , tt
p δδΨΨ=ΨΨ
0
( )( )0022
21
022
21
0 ,][][, 22 ΨΨ−+Ψ−−Ψ≈ tHtHItHtHI ii δδδδ
( )( ) ≈ΨΨΨΨ= 00 ,, tt δδ
22
01 te
δ
∆−≈ Ψ
½
2≥∆∆ et
t
e
e
t Gaussovské rozdělení energie
Gaussovský profil pravděpodobnosti
( ) ( ) 200 , tt
p δδΨΨ=ΨΨ( ) ( ) 2
00 ,ΨΨ=Ψ eep
⇒
( ) deeti
p
e
p
t
et
−∞+
∞−
ΨΨ∝
∫ ΨΨ=ΨΨΨ
e),(,
)(
20
)(
0
00δ
δamplituda stavu Ψ0
v proměnném stavu Ψδt Fourierova transformace energetického rozdělení ve stavu Ψ0
Obecná relace:
te σ
σ =
Příklad:
„překryvová pravděpodobnost“
Průchod systému okamžitým stavem
tδ
1
( ) ( ) 200 , tt
p δδΨΨ=ΨΨ
0
( )( )0022
21
022
21
0 ,][][, 22 ΨΨ−+Ψ−−Ψ≈ tHtHItHtHI ii δδδδ
( )( ) ≈ΨΨΨΨ= 00 ,, tt δδ
22
01 te
δ
∆−≈ Ψ
½
2≥∆∆ et
1Ψ 2Ψ
NΨ
kΨ
1Ψ 2Ψ
kΨPracovní postup: 1) Spočteme přesný průběh evoluce daného systému čas t1 ↔ stav Ψ1 , čas t2 ↔ stav Ψ2 , ………... 2) Sestrojíme přístroje na detekci okamžitých stavů Ψ1, Ψ2, Ψ3, …… 3) Připravíme si obrovské množství replik systému 4) Na jednotlivých replikách neustále proměřujeme výskyt všech okamžitých stavů Ψ1, Ψ2, Ψ3, …… 5) Na základě statistického rozboru výsledků určujeme čas Přesnost této metody měření času je omezena kvantovou relaci neurčitosti
NΨ
2/≥∆∆ et
H
#1 #2
#3 #4
#n
Důsledky:
1) Přesnost měření času založeného na průchodu sekvencí okamžitých kvantových stavů splňuje relace neurčitosti
„překryvová pravděpodobnost“
Průchod systému okamžitým stavem
tδ
1
( ) ( ) 200 , tt
p δδΨΨ=ΨΨ
0
( )( )0022
21
022
21
0 ,][][, 22 ΨΨ−+Ψ−−Ψ≈ tHtHItHtHI ii δδδδ
( )( ) ≈ΨΨΨΨ= 00 ,, tt δδ
22
01 te
δ
∆−≈ Ψ
½
2≥∆∆ et Důsledky:
1) Přesnost měření času založeného na průchodu sekvencí okamžitých kvantových stavů splňuje relace neurčitosti
2) Existuje kvantová korekce k exponenciálnímu rozpadovému zákonu pro malé časy => neexponenciální rozpad
Wilkinson et al., Nature 1997
Experimentální důkaz neexp. rozpadu: kvantové tunelování ochlazených iontů z optické pasti
Poznámky k exp. rozpadu: • Evidence a první vysvětlení – radioaktivita jader: E. Rutherhord, E. Schweidler (1900-05) • Kvantové rozdělení energie, které odpovídá exponenciálnímu rozpadu – „Breit-Wignerián“ (Cauchyho rozdělení)
pološířka = Γ , rozptyl = ∞ ( ) ( )22
20
210 )(
Γ
Γ
−−=Ψ
EEpe π
„překryvová pravděpodobnost“
Průchod systému okamžitým stavem
tδ
1
( ) ( ) 200 , tt
p δδΨΨ=ΨΨ
0
( )( )0022
21
022
21
0 ,][][, 22 ΨΨ−+Ψ−−Ψ≈ tHtHItHtHI ii δδδδ
( )( ) ≈ΨΨΨΨ= 00 ,, tt δδ
22
01 te
δ
∆−≈ Ψ
½
2≥∆∆ et
Zenon z Eleje (cca 490-430 B.C.) ukazuje mladým dveře k pravdě
(freska, knihovna El Escorial, Madrid)
3) Rychle opakovaná měření zpomalují (v limitě zastavují) vývoj systému [George Sudarshan, Baidyanath Misra,1977] => kvantový Zenónův jev
2) Existuje kvantová korekce k exponenciálnímu rozpadovému zákonu pro malé časy => neexponenciální rozpad
Důsledky:
1) Přesnost měření času založeného na průchodu sekvencí okamžitých kvantových stavů splňuje relace neurčitosti
„překryvová pravděpodobnost“
Operátor času? Proč není čas v kvantové teorii reprezentován stejně jako ostatní veličiny? Předpokládejme existenci univerzálního operátoru času, T, vyhovujícího kanonické komutační relaci: [ ] iTH =, pak by relace neurčitosti Δt Δe
byla stejného typu jako Δx Δp ( ) Důsledek [Wolfgang Pauli; 1926,1933]: vlastní hodnoty časového operátoru vlastní hodnoty Hamiltoniánu
….OK
…. ???? Wolfgang Pauli (1900-1958) & Niels Bohr (1885-1962) sledují káču
),(),(
+∞−∞∈+∞−∞∈
et
eTe
tHt
i
i
U
U∆+
∆
∆−∆
≡
≡
e
e posun na obě strany v čase posun na obě strany v energii
NESTABILITA HMOTY !!!
Kvantová šipka času spontánní kvantová
evoluce je reverzibilní kvantové měření je ireverzibilní x
dvouštěrbinový experiment Kvantové měření otevírá principiální možnost vysvětlit jednosměrnost plynutí času. Jak to ale chápat?
Všechny interpretace potřebují nějaký typ dualismu:
Buď (méně důvěryhodné) opravdu dva odlišné typy evoluce
1) 2)
Kvantová šipka času spontánní kvantová
evoluce je reverzibilní kvantové měření je ireverzibilní x
dvouštěrbinový experiment Kvantové měření otevírá principiální možnost vysvětlit jednosměrnost plynutí času. Jak to ale chápat?
Všechny interpretace potřebují nějaký typ dualismu:
Buď (méně důvěryhodné) opravdu dva odlišné typy evoluce
Nebo (důvěryhodnější) rozdělení celku na dvě interagující entity „ TOTO = můj systém“ x „zbytek světa = ONÉ “ např. elektron procházející např. atomy registrující průchod dvouštěrbinovou aparaturou elektronu oběma rameny aparatury
Celkový stavový vektor se vyvíjí spojitě a má tvar:
Interakce TOTO-ONÉ však může mít prakticky stejné důsledky jako měření na TOTO (protože ONÉ v sobě zaznamenává informaci o tom,
CELEK
ONÉTOTOONÉTOTOCELEK
H
HH ⊗∈ΨΨ∝Ψ ∑i
ii
=> Plynutí času pro TOTO je důsledkem interakce s ONÉ. Dělení na TOTO/ONÉ není jednoznačné, provádíme ho MY !?
kterou z alternativ si TOTO „vybralo“)
Jojo, tak nějak to asi bude.
Závěr Z tvého výkladu jsem pochopil, že čas je spíš spíš vlastností nás pozorovatelů než světa tam venku. Ale konečná odpověď je asi ještě dost daleko, že? Určitě bude třeba vzít v úvahu jak kvanta, tak relativitu. A snad ještě něco dalšího; zdá se, že nějaký klíčový element teorie nám stále chybí. Čas je prostě obrovské mystérium!
